PDF - Matematica e Applicazioni

Quindi cos (2 =5) = (z + 1=z) =2 = p 5 1 =4. Se n = 7,
z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = z 3
(z + 1=z) 3 + (z + 1=z) 2
2 (z + 1=z) 1 :
Quindi, se z 6= 1 è un vertice dell’eptagono, x = z + 1=z è soluzione
dell’equazione x3 + x2 2x 1 = 0. Sostituendo ad x un numero razionale
p=q si ottiene p p2 + pq 2q2 = q3 , un’uguaglianza impossibile. L’equazione
non ha radici razionali e quindi neanche radici in estensioni quadratiche iterate
del campo razionale. Se z fosse costruibile, anche x = z + 1=z lo sarebbe,
cosa che abbiamo appena mostrato essere falsa. Quindi l’eptagono regolare non
è costruibile con riga e compasso. Per la costruzione è però su¢ ciente risolvere
un’equazione di terzo grado, o trisecare un angolo. Infatti dalle formule di
Cardano o da quelle di Viète si ottiene
cos(2 =7) = 1
q
3p 3
28 1 + 3
12
p 3i + 3
q
1 3 p 3i 2
=
6p
21952
cos
6
arctan 3 p 3
3
Accenniamo in…ne alla costruzione dell’eptadecagono di Gauss. Si ordinano
le potenze di z = exp (2 i=17) secondo la successione 3 n modulo 17,
z; z 3 ; z 9 ; z 10 ; z 13 ; z 5 ; z 15 ; z 11 ; z 16 ; z 14 ; z 8 ; z 7 ; z 4 ; z 12 ; z 2 ; z 6 :
Poi si costruiscono i periodi:
!
1
6 :
(0) = z + z 9 + z 13 + z 15 + z 16 + z 8 + z 4 + z 2 ;
(1) = z 3 + z 10 + z 5 + z 11 + z 14 + z 7 + z 12 + z 6 ;
8
><
>:
(0) = z + z 13 + z 16 + z 4 ;
(1) = z 3 + z 5 + z 14 + z 12 ;
(2) = z 9 + z 15 + z 8 + z 2 ;
(3) = z 10 + z 11 + z 7 + z 6 ;
8
><
>:
(0) = z + z 16 ;
:::
(4) = z 13 + z 4 ;
:::
Con calcoli noiosi, o come Gauss ”concentrandosi profondamente”, si può
veri…care che (0) + (1) = 1 e (0) (1) = 4, (0) + (2) = (0) e
(0) (2) = 1, (1) + (3) = (1) e (1) (3) = 1, (0) + (4) = (0)
e (0) (4) = (1),... Quindi i periodi (j) sono soluzioni di una equazione
quadratica con coe¢ cienti interi, i (j) sono soluzioni di equazioni quadratiche
con coe¢ cienti (j) ed i (j) sono soluzioni di equazioni quadratiche con coef-
…cienti (j). In…ne, (0) = 2 cos (2 =17),
1
16
cos (2 =17) =
1 + p q
17 + 34 2 p r
17 + 2 17 + 3 p 17
240
q
34 2 p q
17 2 34 + 2 p !
17 :