PDF - Matematica e Applicazioni

perimetro sei volte il raggio e raddoppiando ripetutamente i lati si ottiene
6 sin( =6) = 3;
q
12 sin( =12) = 6 2 p 3;
r
q
24 sin( =24) = 12 2 2 + p 3;
48 sin( =48) = 24
s
2
r
q
2 + 2 + p 3;
96 sin( =96) = 48
v
u
t
2
s
r
q
2 + 2 + 2 + p 3; :::
Il calcolo numerico di radici senza un adeguato sistema di numerazione non è
banale. Partendo dagli esagoni inscritti e circoscritti con perimetri 12 sin( =6) =
6 e 12 tan( =6) = 12= p 3, Archimede approssima 1= p 3 = 0; 5773502::: dal di
sotto con 780=1351 = 0; 5773501::: e dal di sopra con 153=265 = 0; 5773584:::.
Una possibile spiegazione per queste frazioni è (1351) 2
3 (780) 2 = 1 e (265) 2
3 (153) 2 = 2. Poi, utilizzando un’aritmetica degli intervalli per controllare gli
errori, Archimede stima per difetto ed eccesso il perimetro di poligoni con 12,
24, 48, 96 lati. Il risultato …nale 3 + 10=71 = 3; 140::: < < 3 + 1=7 = 3; 142:::
è un’approssimazione di a meno di 22=7 223=71 = 1=497. Per diagnosticare
una forma maligna del ”morbus cyclometricus”, il più delle volte è su¢ ciente
confrontare una presunta quadratura del cerchio con queste stime, ma spesso
non ci si arrende neanche di fronte all’evidenza. Se in un cilindro con base
circolare ed altezza metà del diametro di base si iscrive una semisfera e nella
semisfera si iscrive un cono, il volume del cono risulta uguale ad un terzo del
cilindro e si può congetturare che la sfera, intermedia tra cono e cilindro, sia
due terzi del cilindro. Questa congettura è corretta. Nel trattato ”Sul cilindro
e la sfera”, ideale continuazione del XII Libro degli ”Elementi” di Euclide, si
trovano le seguenti proposizioni:
”La super…cie di una sfera è quadrupla del suo cerchio massimo.”
”La sfera è quadrupla del cono con base uguale al cerchio massimo e altezza
uguale al raggio.”
”Un cilindro con base il cerchio massimo della sfera e altezza il diametro è
una volta e mezza la sfera e la sua super…cie, comprese le basi, è una volta e
mezza la super…cie della sfera.”
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