Appunti per il modulo di algoritmi e strutture dati - Sezione di ...

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} return i; Il blocco interno è eseguito m volte, se m è il numero di volte che 2 divide n. Quindi nel peggiore dei casi, e cioè quando n = 2 m , è eseguito log 2 n volte. Abbiamo quindi che il tempo T (n) è O(log n). 2.4 Moltiplicazione di matrici Consideriamo per semplicità matrici quadrate. Date due matrici quadrate n × n, il prodotto righe per colonne è una matrice n × n tale che l’elemento cij, i, j = 1, .., n è definito nel modo seguente: cij = n k=1 aik × bkj La complessità del tempo in questo caso si calcola in funzione di n, cioè del numero di righe e di colonne. Poiché si devono calcolare almeno n 2 prodotti fra elementi distinti, il numero di operazioni da elementari da effettuare ha un limite inferiore proporzionale a n 2 (per una trattazione dei limiti inferiori si veda la sezione 10). La moltiplicazione classica tra matrici, che calcola direttamente la formula definita sopra, può essere descritta dal seguente algoritmo, dove A e B sono due matrici n × n di cui si deve calcolare il prodotto e C è la matrice risultato: void matrixMult ( int A [n] [n], int B [n] [n], int C [n][n]) { for ( int i =0; i
Un altro esempio di funzione ricorsiva è la seguente, che decide se un numero naturale è pari non utilizzando la divisione: int pari ( int x) { if (x == 0) return 1; if (x == 1) return 0; return pari (x -2); } Una funzione ricorsiva è composta da alcuni casi di base in cui il risultato è dato immediatamente, per esempio il caso x=0 per la funzione fatt o i casi x=0 e x=1 per la funzione pari e dai i casi ricorsivi, in cui la funzione richiama se stessa. Una metodologia per programmare una funzione ricorsiva è la seguente: 1. individuare i casi base in cui la funzione é definita immeditamente; 2. effettuare le chiamate ricorsive su un insieme più piccolo di dati, cioé un insieme più vicino ai casi base; 3. fare in modo che alla fine di ogni sequenza di chiamate ricorsive, si ricada nei casi base. Le condizioni 2 e 3 assicurano che il calcolo di una funzione ricorsiva termini sempre. Altri esempi di funzioni ricorsive sono le seguenti, che calcolano rispettivamente il prodotto di due numeri naturali utilizzando la somma e il massimo comun divisore di due numeri naturali: int mult ( int x, int y) { if (x == 0) return 0; return y+ mult (x -1 ,y); } int mcd ( int x, int y) { if (x == y) return x; if (x < y) return mcd (x, y-x); return mcd (x-y, y); } Esempi di funzioni che non rispettano la metodologia sopra descritta sono le seguenti: int pari_errata ( int x) { if (x == 0) return 1; return pari_errata (n -2); } int mcd_errata ( int x, int y) { if (x == y) return x; if (x < y) return mcd_errata (x, y-x); return mcd (x, y); } pari errata non rispetta la regola 3 della metodologia perchè per i numeri dispari non si ricade sempre nell’unico caso base (x=0), mentre mcd errata non rispetta la regola 2 della metodologia perchè con l’ultima istruzione non si richiama su un dato più piccolo, ma sugli stessi valori sia di x che di y. Il metodo più naturale per provare proprietà delle funzioni ricorsive è l’induzione (vedi Appendice A). Per esempio, la correttezza del programma fatt, cioé fatt(n)=n! può essere dimostrata per induzione naturale nel modo seguente. 13
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