Appunti per il modulo di algoritmi e strutture dati - Sezione di ...

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abc acb cab
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bac bca cba
Figura 13: Albero di decisione di Selection-Sort
Teorema 10.1
Un albero binario di livello k ha al massimo 2 k foglie.
Dim. L’albero che ha il massimo numero di foglie è quello bilanciato, che ha 2 k foglie per il teorema 6.1.
Come conseguenza, ogni albero binario con s foglie ha livello maggiore o uguale log2 s. Quindi ogni
albero binario con s foglie deve avere almeno un cammino di lunghezza maggiore o uguale a log2 s. Allora
log2 s è un limite inferiore alla lunghezza massima dei cammini per tutti gli alberi con almeno s foglie.
Si può anche dimostrare che log2 s è un limite inferiore alla lunghezza media dei cammini dalla radice ad
una foglia per tutti gli alberi con almeno s foglie.
Quindi, dato un problema, se indichiamo con s(n) il numero di soluzioni come funzione della dimensione
dei dati n, abbiamo che il numero massimo e il numero medio di decisioni sono limitati inferiormente
da log2 s(n).
Utilizziamo questo risultato per trovare un limite inferiore al tempo degli algoritmi di ordinamento
di n elementi basati su confronti. In questo caso le possibili disposizioni degli elementi sono s(n) = n!.
Quindi ogni albero di decisione deve avere almeno n! foglie e ogni albero deve avere almeno un cammino
di lunghezza log(n!). Si può dimostrare che n! è quasi uguale a ( n
e )n . Abbiamo log(n!) = log(( n
e )n ) =
n log( n)
= n log n − n log e. Quindi la complessità dell’ordinamento è limitata inferiormente da n log n e
e
cioè è Ω(n log n). Di conseguenza gli algoritmi mergesort, quicksort e heapsort sono ottimi.
Ribadiamo che il ragionamento con gli alberi di decisione riguarda soltanto i casi in cui gli algoritmi
sono basati su confronti e non abbiamo nessuna informazione sugli elementi da trattare. Per esempio,
l’ordinamento di n elementi che comprendono soltanto valori compresi tra 1 e n è di ordine lineare (vedi
prossima sezione).
È importante anche notare che non è detto che sia possibile trovare per ogni problema un algoritmo con
tempo uguale al limite inferiore trovato con gli alberi di decisione: per esempio, il problema di cercare
un elemento in un insieme di n elementi è Ω(log n). Infatti le possibili soluzioni sono che l’elemento
cercato sia il primo, il secondo, ecc. e quindi sono n. Tuttavia anche l’algoritmo migliore, se non abbiamo
informazioni sugli elementi, fa necessariamente almeno n confronti. Se invece gli elementi sono ordinati,
è possibile, come vedremo, raggiungere il limite inferiore.
Gli alberi binari bilanciati corrispondono ad algoritmi ottimi sia per il caso peggiore che per il caso
medio. Se infatti consideriamo un albero binario di decisione quasi bilanciato B con s foglie, abbiamo
che B ha livello log2 s e quindi la lunghezza media dei cammini dalla radice ad una foglia è log2 s. Quindi
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