Appunti per il modulo di algoritmi e strutture dati - Sezione di ...

caso particolare di induzione ben fondata (vedi Appendice 1) . L’insieme degli alberi binari può essere
visto come un insieme ben fondato prendendo come relazione di ordinamento la relazione di sottoalbero
(sottostruttura) fra due alberi. Il minimo è l’albero vuoto ed è quindi la base dell’induzione. Il passo
induttivo suppone vera la proprietà su Bs, e Bd, e dimostra che è vera per un nodo con sottoalberi sinistro
e destro rispettivamente Bs e Bd.
Esempio 6.1 (Induzione strutturale su alberi binari)
Dimostriamo che in un albero binario il numero dei sottoalberi vuoti è uguale al numero dei nodi più 1.
Dato un albero B, indichiamo con N(B) il numero dei suoi nodi e con con V (B) il numero di sottoalberi
vuoti di B. Vogliamo dimostrare che, per ogni B, V (B) = N(B) + 1.
• Base. Se l’albero è vuoto N(B) = 0, V (B) = 1 e la proprietà è verificata.
• Induzione. Consideriamo un albero B con radice p e sottoalberi sinistro e destro Bs e Bd. Ipotesi:
V (Bs) = N(Bs) + 1 e V (Bd) = N(Bd) + 1.
Tesi: V (B) = N(B) + 1.
Dim. . V (B) = V (Bs) + V (Bd) perchè B non è vuoto
= N(Bs) + 1 + N(Bd) + 1 per ipotesi induttiva
= N(B) + 1 perchè N(B) = N(Bs) + N(Bd) + 1
Le operazioni più comuni sugli alberi sono quelle di linearizzazione, ricerca, inserimento, e cancellazione
di nodi. Una linearizzazione di un albero è una sequenza contenente i nomi dei suoi nodi. Esistono
diversi tipi di linearizzazione. Le più comuni linearizzazioni, dette visite, degli alberi binari sono tre:
ordine anticipato (preorder), ordine differito (postorder) e ordine simmetrico (inorder), definite nel modo
seguente:
{
}
{
}
{
}
ordine anticipato:
se l’albero binario non e’ vuoto {
esamina la radice;
visita il sottoalbero sinistro;
visita il sottoalbero destro;
}
ordine differito:
se l’albero binario non e’ vuoto {
visita il sottoalbero sinistro;
visita il sottoalbero destro;
esamina la radice;
}
ordine simmetrico:
se l’albero binario non e’ vuoto {
visita il sottoalbero sinistro;
esamina la radice;
visita il sottoalbero destro;
}
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