Appunti per il modulo di algoritmi e strutture dati - Sezione di ...

1 Complessità computazionale
1.1 Tempo di esecuzione dei programmi
Si dice complessità di un algoritmo la funzione che associa alla “dimensione” del problema il costo della
sua risoluzione in base alla misura scelta. Possibili misure sono il tempo di esecuzione o lo spazio di
memoria.
Supponiamo di voler valutare il tempo di esecuzione di un programma. Possiamo provarlo su un insieme
significativo di ingressi e misurare il tempo di esecuzione. Quasi tutti gli ambienti di programmazione
forniscono uno strumento di profiling, per mezzo del quale è possibile associare ad ogni istruzione un
tempo e calcolare così il tempo totale di una esecuzione. Vedremo come sia possibile invece dare una
misura dell’efficienza in termini di tempo, svincolata dalla particolare macchina sulla quale i programmi
vengono eseguiti. Naturalmente, nei casi concreti di progetto di algoritmi, tale misura è solo indicativa
e dovrà essere considerata insieme agli altri fattori che possono influenzare il tempo reale di esecuzione.
Ovviamente il tempo di esecuzione di un programma dipende dalla dimensione degli ingressi. La
prima cosa da fare per valutare un programma è quindi individuare qual’è la dimensione o misura degli
ingressi. Questa misura può variare da programma a programma. Per esempio, per un programma di
ordinamento la dimensione è in genere il numero di elementi da ordinare, per un programma che risolve
sistemi di equazioni è il numero delle incognite, per un programma su liste la lunghezza delle liste, per
un programma che lavora su matrici il numero di righe e di colonne.
Dato un programma P , chiamiamo TP (n) (o semplicemente T (n) quando il programma cui ci si
riferisce è chiaro dal contesto) il tempo di esecuzione di P per ingressi di dimensione n. Più precisamente,
T (n) indica il numero di unità di tempo che P impiega per elaborare un ingresso di dimensione n. T (n)
è una funzione da N in N (N → N), dove con N indichiamo gli interi non negativi.
Esempio 1.1
Consideriamo la seguente funzione max che cerca il massimo in un array di n interi.
int max ( int *a, int n) {
int m=a [0];
for ( int i =1; i < n; i ++)
if (m < a[i]) m=a[i];
return m;
}
Supponiamo per ora che il calcolatore impieghi una unità di tempo per ogni assegnamento ed ogni
confronto. Il tempo per l’assegnamento m=a[0] sarà quindi 1, mentre il tempo per il comando condizionale
sarà 1 o 2 a seconda che si esegua il confronto e l’assegnamento oppure solo il confronto. Se consideriamo
il caso peggiore, possiamo dire che il tempo è 2. Il corpo del comando ripetitivo viene eseguito n − 1 volte
ed ogni volta il tempo è 2 per il comando condizionale più 1 per l’incremento di i più 1 per il confronto.
Quindi il tempo per il comando ripetitivo è 4n − 4 più 1 per l’iniziale assegnamento i=1 più 1 per l’ultimo
incremento i++. Il tempo del comando return è 1. Il tempo dell’intero programma si ottiene sommando
i tempi dei suoi comandi, quindi in conclusione abbiamo Tmax(n) = 4n.
La nostra assunzione che il tempo di esecuzione di un assegnamento o di un confronto sia l’unità di
tempo non corrisponde generalmente alla verità. Per esempio, il tempo di valutazione dell’espressione
alla destra di un assegnamento varia a seconda della complessità dell’espressione: infatti la traduzione in
linguaggio macchina di assegnamenti diversi può risultare in generale in una sequenze di istruzioni macchina
di diversa lunghezza. Inoltre, anche la traduzione dello stesso assegnamento può portare a diverse
sequenze se si utilizzano due compilatori diversi. Il discorso si estende ulteriormente se si considerano
4