Appunti per il modulo di algoritmi e strutture dati - Sezione di ...

• Base. n = 0. In questo caso abbiamo fatt(0) = 1 = 0!.
• Induzione.
Ipotesi: fatt(n)=n!.
Tesi: fatt(n+1)=(n+1)!
Dim.
fatt(n + 1) = (n + 1) ∗ fatt(n + 1 − 1) per definizione di fatt e poiché (n + 1) > 0
= (n + 1) ∗ fatt(n)
= (n + 1) ∗ n! per ipotesi induttiva
= (n + 1)! per definizione di fattoriale.
La programmazione ricorsiva ha un’applicazione naturale nella manipolazione di tipi di dato definiti
ricorsivamente. Un esempio di tale tipo tipo è la lista di elementi, che può essere definita come segue:
• la lista vuota è una lista;
• un elemento seguito da una lista è una lista.
Una buona metodologia per scrivere funzioni che lavorano su liste è quella di ricalcare la definizione
di lista, cioè considerare come caso base la lista vuota e come caso ricorsivo il caso di un elemento seguito
da una lista. Per esempio, se la lista è rappresentata con elementi della struttura:
struct Elem {
int inf ;
Elem * next ;
};
e la lista vuota è rappresentata con NULL, le funzioni seguenti sono definite con la metodologia suddetta:
la prima calcola la lunghezza di una lista, la seconda il numero di volte che un elemento compare in una
lista (il test (p == NULL) può essere sostituito da (!p).
int length ( Elem * p) {
if (p == NULL ) return 0;
return 1+ length (p-> next );
}
int howMany ( Elem * p, int x) {
if (p == NULL ) return 0;
return (p-> inf == x)+ howMany (p->next , x);
}
Naturalmente non sempre i casi non ricorsivi di una funzione che opera su liste coincidono esattamente
con il caso della lista vuota, ma ci possono essere degli altri argomenti su cui la funzione dà immediatemente
il risultato. In genere i casi non ricorsivi sono un soprainsieme dei casi base del tipo di dato. Nella
seguente funzione che cerca se un elemento compare nella lista, i casi non ricorsivi sono due: lista vuota
e lista il cui primo elemento è quello cercato.
int belongs ( Elem * l, int x) {
if (l == NULL ) return 0;
if (l-> inf == x) return 1;
return belongs (l->next , x);
}
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