Appunti per il modulo di algoritmi e strutture dati - Sezione di ...

}
}
< esamina tree -> label >
preOrder (tree -> left );
preOrder (tree -> right );
void postOrder ( Node * tree ) {
if ( tree ) {
postOrder (tree -> left );
postOrder (tree -> right );
< esamina tree -> label >;
}
}
void inOrder ( Node * tree ) {
if ( tree ) {
inOrder (tree -> left );
< esamina tree -> label >;
inOrder (tree -> right );
}
}
Per quanto riguarda il tempo di esecuzione, in genere la sua complessità è valutata in funzione del
numero n di nodi dell’albero. Supponiamo per semplicità che il tempo per l’esame del nodo sia costante.
La relazione di ricorrenza per le tre visite è la seguente, dove con ns e nd indichiamo rispettivamente il
numero di nodi del sottoalbero sinistro e destro della radice:
T (0) = a
T (n) = b + T (ns) + T (nd) con ns + nd = n − 1 n > 0
Si noti che con a abbiamo indicato il tempo per il test (tree) e con b il tempo per l’esame del nodo.
Dimostriamo con l’induzione strutturale the T (n) = bn + a(n + 1).
Base. Se l’abero è vuoto, T (0) = a e la formula è verificata.
Induzione. Ipotesi: T (ns) = bns + a(ns + 1) e T (nd) = bnd + a(nd + 1)
Tesi: T (n) = bn + a(n + 1).
Dim.
T (n) = b + T (ns) + T (nd) per la relazione di ricorrenza
= b + bns + a(ns + 1) + bnd + a(nd + 1) per ipotesi induttiva
= b(1 + ns + nd) + a(ns + nd + 2)
= bn + a(n + 1) perchè ns + nd + 1 = n
Abbiamo quindi che T (n) è lineare nel numero dei nodi. Diamo ora alcune definizioni che ci saranno
utili nel seguito.
Definizione 6.2 (albero binario bilanciato)
• Un albero binario bilanciato è un albero binario tale che i nodi di tutti i livelli tranne quelli
dell’ultimo hanno due figli.
30