Appunti per il modulo di algoritmi e strutture dati - Sezione di ...

Dato un albero con radice p e sottoalberi A1, . . . , An,
• p è padre della radice di ogni Ai;
• la radice di ogni Ai è l’i-esimo figlio di p;
• un nodo che non ha sottoalberi è una foglia;
Si noti che in un albero generico l’ordine tra i figli di ciascun nodo è significativo. Le definizioni di
antecedente, discendente e livello sono uguali a quelle per gli alberi binari. Da ora in poi considereremo
solo alberi generici etichettati. Un esempio di albero generico è mostrato in figura 6.
Anche le proprietà degli alberi generici e dei programmi che li manipolano possono essere dimostrati
con l’induzione strutturale:i casi base sono gli alberi composti da un solo nodo; Il passo induttivo suppone
vera la proprietà sugli alberi A1, . . . , An e la dimostra vera sull’albero composto da un nodo e A1, . . . , An
come sottoalberi.
Esempio 7.1 (induzione strutturale su alberi generici)
Dimostriamo che in un albero il numero dei nodi è uguale ad uno più la somma dei gradi dei nodi, dove
il grado di un nodo è il numero dei suoi figli. Dato un albero A, indichiamo con N(A) il numero dei suoi
nodi, con G(A) la somma dei gradi dei suoi nodi e con G(p) il grado di un nodo p. Vogliamo dimostrare
che, per ogni A, N(A) = G(A) + 1.
• Base. Se l’albero è formato da un solo nodo, questo ha grado 0 e quindi la proprietà è verificata.
• Induzione. Consideriamo un albero A con radice p e sottoalberi della radice A1, . . . , An. Ipotesi:
Per ogni 1 ≤ i ≤ n, N(Ai) = G(Ai) + 1.
Tesi: N(A) = G(A) + 1.
Dim. N(A) = N(A1) + . . . + N(An) + 1
= G(A1) + 1 + . . . + G(An) + 1 + 1 per ipotesi induttiva
= G(A1) + . . . + G(An) + n + 1
= G(A1) + . . . + G(An) + G(p) + 1 perchè G(p) = n
= G(A) + 1 per definizione di grado
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A
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B C D
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E F G
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Figura 6: Esempio di albero
È importante notare come un albero binario non sia un caso particolare di albero generico, ma un tipo
di dato strutturalmente diverso. Questo, per esempio, vuol dire che con due nodi A e B possono essere
costruiti due alberi generici differenti, mostrati in figura 7.a), mentre possono essere costruiti quattro
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