Appunti per il modulo di algoritmi e strutture dati - Sezione di ...

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Figura 8: La memorizzazione M1 dell’albero in figura 6
Riconsideriamo l’albero ordinato di figura 6 e la sua memorizzazione figlio-fratello, mostrata in figura
9. È facile rendersi conto che, applicando preorder otteniamo la linearizzazione dell’albero secondo
l’ordine anticipato, anche se la funzione non è definita con gli stessi casi della definizione di albero
generico ( preorder ha come caso base l’albero vuoto, che non è un albero generico, mentre il caso base
della definizione è l’albero composto da un solo nodo). Per ottenere la linearizzazione differita dell’albero,
è facile rendersi conto che possiamo utilizzare la visita simmetrica. Infatti, adottando la memorizzazione
figlio-fratello, è come se avessimo “trasformato” l’albero in un albero binario, con la proprietà che
• la visita differita dell’albero corrisponde alla visita simmetrica del trasformato.
Quindi il tempo delle visite in un albero generico è lineare nel numero dei nodi. Per quanto riguarda la
ricerca, l’inserimento e la cancellazione di un nodo, il tempo è comunque lineare. Infatti queste operazioni
possono essere programmate mantenendo la struttura delle visite.
Supponiamo ora di voler calcolare la complessità delle visite prendendo come dimensione i livelli
dell’albero. Abbiamo
T (0) = a
T (n) = 2T (n − 1) + b n > 1
Infatti se l’albero ha livello 0, cioè è composto dalla sola radice, il tempo è costante: se l’albero ha n
livelli, il tempo è un tempo costante per la visita della radice più il tempo di visita di due sottoalberi,
ognuno con al massimo n − 1 livelli. Se risolviamo la relazione, vediamo che T (n) è O(2 n ), che è un
tempo esponenziale (la relazione di ricorrenza è lineare).
7.2 Esempi di programmi su alberi generici
Consideriamo la memorizzazione figlio-fratello. La funzione seguente conta le foglie di un albero generico.
Si noti la differenza con la funzione, definita nella sezione 6.2 che conta le foglie di un albero binario:
mentre in un albero binario una foglia ha entrambi i sottoalberi vuoti, in un albero generico, se un nodo
ha il campo left a NULL, allora non ha nessun figlio, cioè è una foglia.
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