ripartizione forze orizzontali.pdf - Ingegneria Strutturale - Politecnico ...

Corso di Strutture Prefabbricate
Distribuzione delle forze orizzontali
dovute a vento o sisma tra setti e pilastri
Marco di Prisco
Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Politecnico di Milano

y,v
Ripartizione delle forze orizzontali
Si consideri un generico pannello 2D avente sezione
rettangolare piena, vincolato rigidamente a terra:
H
b
x,u
F
K
x
=
=
h
F x
Ku
K
K
M
M
KV
+ K
V
z,w
u
u
K
K
I
κκκκ =
=
M
xx
M
V
u
=
V
+ u
F
K
x
M
M
; u
V
=
F
K
cEI xx ≅ ; c = 3÷
12
3
H
GA 5
≅ μμμμ
; μμμμ =
H 6
3
bh
= ; A = bh
12
μμμμ GAH
cEI
xx
2
=
( 1
x
V
5
+ νννν )
H
ch
2
2

K
K
K
Trascurando la rigidezza torsionale della
singola parete verticale e quella offerta nei
confronti di uno spostamento ⊥ al piano:
⊥
M
⊥
T
=
⊥
M
⊥
M
K
3
Eb h
= c
12
=
c
K
T
K
+
V
K
V
(b/h)Gb
3
≅
h
K
≤
⊥
M
1
3
Gb
⎛
⎜
K
⎜
⎝
K
3
h
⊥
M
V
=
c(1 + ν) b
6µ H
KT K
÷
2
K
K
2
⊥
⎞

ϕ
T T
V
H
V
T B
α
=
αH
( )
2
2
T
2
3
3
3
T
B
T
h
b
1
c
c
6
)
H
(
H
12
cEbh
H
h
Gb
c
T
T
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
α
ν
+
=
ϕ
α
ϕ
=

Per la classificazione del sistema di controvento con
sole pareti di taglio si ipotizza K=∞:
a) labile
b) isostatico
c) iperstatico

Nei sistemi isostatici la determinazione delle forze
agenti su ciascuna parete ricorre al solo equilibrio:
Baricentro delle inerzie dei controventi
1 2
a 1
F y
G I
a 2
K 1 K2
a 2K 2
a 1K 1
R
R
v
v
v
1
1
2
1
2
a
K
2
1
=
=
=
=
=
=
F
F
R
K
2
y
1
1
R
K
v
y
2
2
a
K
1
a
2
1
a
=
1
=
a2
+ a
2
a1
+ a
2
F
a
( a + a )
1
( a + a )
⇒
1
a
2
y
F
y
K
2
2
2
a
2
1
K
=
1
K
2
baricentro delle rigidezze
a
1
K
1

C13 d13 In presenza di 3 pareti non
1
d2 2
3
R2 concorrenti in un punto e non
concorrenti in una retta, si
può usare il metodo di Ritter:
F
Fd
Fd
Fd
13
23
12
=
=
=
R
R
R
2
1
3
d
d
d
2
1
3
R
R
R
2 =
1
3
=
=
d
d
d
d
d
d
13
2
23
1
12
3
F
F
F

Nel caso di controventi disposti ad U spesso si
adottano le relazioni:
C R 1
d c
1
R 3
R R2 d
3
2
F
h
R
1
=
F
Fd
R2
=
h
R = − R
3
Ipotesi: assenza di sforzo di scorrimento
ovvero rigidezza allo scorrimento tra le
pareti 1-3 ed 1-2 nulla.
altrimenti calcolo di d c e profilo soggetto a:
V = F e T = F(d+d c) …. equaz. della torsione mista
2

Sistema iperstatico
Ipotesi
• solai indeformabili nel piano
• controventi perfettamente incastrati alla base
• inerzia costante lungo lo sviluppo longitudinale
dei controventi o variabile con la stessa legge
per tutti i controventi

R 1 R 2 R 3
y
G I
x
xˆ
d
F y
molle in parallelo, con F y posto nel
baricentro delle rigidezze (d=0):
R i
n
k = ∑
i=
1
k
i
R
i
=
k
i
EI
= c
H
k
i
3
i
n
∑ ki
i=
1
F
y
per determinare il baricentro
delle rigidezze:
n
n
∑k
ixi
∑Ii
x
n
i
i=
1
i=
1
Fyx
G = ∑R
ixi
= Fy
= F
I
n y n
i=
1
∑k
i ∑Ii
i=
1
i=
1

Nota la posizione del baricentro delle rigidezze posso
calcolare la generica reazione del controvento i-esimo
che nasce per l’applicazione di una generica forza F y
con d non nullo:
R
i
=
F
y
n
I
∑
i
i=
1
I
i
+
F
y
d
n
xˆ
∑
i=
1
i
I
R i N R i M
Infatti, dall’equilibrio
alla rotazione:
I
i
i
xˆ
2
i
n
F Fy
d =
∑ R Rixˆ
xˆ i = ∑ xˆ xˆ
ϕ
R
G
M
i
=
=
i=
1
n
∑
i=
1
K
F
xˆ
i
y
2
i
ϕ
d
K
G
xˆ
i
i
=
n
i=
1
F
y
d
2
i
ϕ
n
G
xˆ
∑
i=
1
K
i
xˆ
I
i
2
i
i
I
i

0
Presenza di un controvento dominante
R
n
n
y
i
∑
i=
0
∑
i=
1
R
R
x
x
d
= K
i
i
x
= F
i
i
i
y
ϕ
= F
G
y
d
i
F y
eq. traslazione
eq. rotazione
Ipotesi:
I 0>>I i
Il baricentro delle
rigidezze coincide con
l’asse del controvento
dominante

2
i
n
i
i
i
y
2
i
n
i
i
i
y
i
2
i
n
1
i
i
y
G
y
2
i
n
1
i
G
i
i
n
1
i
i
x
I
x
I
d
F
x
K
x
K
d
F
R
x
K
d
F
d
F
x
K
x
R
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
ϕ
=
ϕ
=
per i=1,n
i
1
i
i
i
1
i
i
x
I
x
K ∑
∑
=
=
si ha inoltre:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
+
=
∑
∑
∑
=
=
=
n
1
i
2
i
i
n
1
i
i
i
y
0
n
1
i
i
0
y
x
I
x
I
d
1
F
R
R
R
F

Se I 1 = I 2 = I 3 = I i = ….= I n
R
R
i
0
=
=
F
y
dx
n
∑
i=
1
i
x
2
i
⎛
⎜ d
⎜
Fy
⎜
1−
⎜
⎝ i
n
⎧x
∑ x
i = il
i Se poi, posto l il ⎪
i=
1
n generico interasse: ⎨ 1
2
∑ x xi ⎪⎩ d = nl
i
⎪d = nl
⎩ 2
∑ =1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
E ricordando che:
n
∑
i=
1
n
∑
i=
1
i
i
=
2
1
2
=
n
n
( n + 1)
( n + 1)(
2n
+ 1)
6

Le equazioni precedenti divengono:
R
R
i
0
=
1
2
= F
0.50
0.25
( il)
∑ ( il)
y
F
y
n
i=
1
nl
⎡
⎢
⎢1
−
⎢
⎢
⎣
2
nl
2
n
=
∑
∑
= F
⎤ ⎡
il ⎥ ⎢
⎥ = F ⎢
y 1−
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
2
∑ ( il)
∑ ( i)
i=
1
n
i=
1
2
F
R 0/F y
1
y
n
i=
1
ni
i
2
y
i
2
n
n
2
i=
1
y
( n + 1)(
2n
+ 1)
( n + 1)(
2n
+ 1)
n
∑
i
i=
1
n
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
6n
= F
y
= F i
3
( n + 1)
( )( ) ( ) ⎥ ⎥⎥
⎡ n n ⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥ ⎡ 3n
⎤ ⎢ 3
⎢1
− 2 2
⎥ = Fy
⎢1
− ⎥ = Fy
⎢1
−
n n + 1 2n
+ 1
⎢
⎥ ⎣ 2 2n
+ 1 ⎦
2
⎢ 4 +
⎣ 6 ⎦
⎣ n ⎦
n
Per n→∞ R 0/F y → 0.25

Metodo di Capurso
Ipotesi: Ipotesi:
• Ogni singola mensola a profilo aperto viene analizzata utilizzando la
“Teoria delle aree settoriali” di Timoshenko-Vlasov (γ (γzs =0).
• Si trascura la rigidezza fuori piano del generico orizzontamento
• Si considera trascurabile la rigidezza torsionale propria (alla De Saint
Venant) di ogni pannello
• Si trascura il contributo irrigidente delle architravi
T
T
T
B
2
⎛ b ⎞
∝⎜
⎟
⎝ h ⎠
α
≅
0

)
s
(
x
)
z
(
)
z
(
)
z
,
s
(
v
)
s
(
y
)
z
(
)
z
(
)
z
,
s
(
u
⋅
ϑ
+
η
=
⋅
ϑ
−
ξ
=
y, v
ds
dx
)
s
(
y
ds
dy
)
s
(
x
)
s
(
h ⋅
−
⋅
=
α
=
α
=
sin
ds
dy
cos
ds
dx
cos(α-90)= sinα
sin(α-90)= - cosα
ξ(z) x, u
η(z)
θ(z)
ds
)
s
(
y
ds
)
s
(
x
)
s
(
h ⋅
−
⋅
= ds
α
α
α-90

dx( s) dy( s) dx( s) dy( s)
t( s, z) = u( s, z) ⋅ + v( s, z) ⋅ = ξ( z) ⋅ + η( z) ⋅ + ϑ(
z) ⋅h(
s)
ds ds ds ds
γ
dy
h( s)
= x(
s)
⋅ − y(
s)
⋅
ds
zs
dx
ds
u(
s,
z)
= ξ(
z)
−ϑ(
z)
⋅y(
s)
v(
s,
z)
η(
z)
ϑ(
z)
x(
s)
∂ w ( s , z ) ∂ t ( s , z ) ∂ w dx dy
= + = + ξ ' ⋅ + η ' ⋅ + ϑ ' ⋅ h ( s )
∂s
∂z
∂s
ds ds
w( z,
s)
= ζ(
z)
−ξ'
( z)
⋅x(
s)
−η'
( z)
⋅ y(
s)
−ϑ'
( z)
⋅ω(
s)
dω(
s)
=
ds
h(
s)
=
+
⋅
zs = γ
0

)
z
(
),
z
(
),
z
(
),
z
( ϑ
=
ϑ
η
=
η
ξ
=
ξ
ζ
=
ζ
)
s
(
)
z
(
'
'
)
s
(
y
)
z
(
'
'
)
s
(
x
)
z
(
'
'
)
z
(
'
w
)
s
,
z
( ω
⋅
ϑ
−
⋅
η
−
⋅
ξ
−
ζ
=
δ
=
ε
4 funzioni cinematiche incognite
)
s
(
)
z
(
'
'
)
s
(
y
)
z
(
'
'
)
s
(
x
)
z
(
'
'
)
z
(
'
z
w
)
s
,
z
( ω
⋅
ϑ
−
⋅
η
−
⋅
ξ
−
ζ
=
δ
δ
=
ε
( )
ω
⋅
ϑ
−
⋅
η
−
⋅
ξ
−
ζ
⋅
=
σ '
'
y
'
'
x
'
'
'
E

• Dalle ipotesi si ottengono le equazioni di equilibrio:
⎧N
⎪
⎪
⎪M
⎨
⎪M
⎪
⎪
B
⎩
y
x
=
=
=
∫
∫
∫
L
L
L
σ⋅
bds
=
E
σ⋅
x ⋅bds
= E
σ⋅
y⋅
bds = E
( A ⋅ζ'−S
⋅ξ''−S
⋅η'
'−S
⋅ϑ'
')
( S ⋅ζ'−I
⋅ξ''−I
⋅η'
'−I
⋅ϑ'
')
x
xω
( S ⋅ζ'−I
⋅ξ''−I
⋅η'
'−I
⋅ϑ'
')
• Le azioni interne generatrici di tensioni tangenziali
sono:
= ∫
L
σ
⋅ω⋅
bds = E
y
x
xx
yx
dMy
dMx
Vx = Vy
= Mt
dz dz
y
xy
yy
=
dB
dz
ω
y ω
( S ⋅ζ'−I
⋅ξ''−I
⋅η'
'−I
⋅ϑ'
')
ω
ωx
ωy
ωω

• Se N=0 La matrice di rigidezza diventa 3x3
• Definite le:
⎧ξ⎫
⎪ ⎪
= ⎨ η ⎬
⎪ ⎪
⎩ϑ⎭
⎧My
⎫
⎪ ⎪
M
= ⎨ M x ⎬
⎪ ⎪
⎩ B ⎭
⎧V
⎪
= ⎨ V
⎪
⎩M
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
⎧J
⎪
= ⎨ J
⎪
⎩
J
x xx xy xω
δ
V y J yx J yy J y ω
• Le equazioni di equilibrio divengono:
• Le condizioni al contorno per una mensola incastrata
sono:
M = −E
⋅ J⋅
δ''
V = −E
⋅ J⋅
δ'''
δ
ωx
( 0 ) = 0 δ'
( 0)
= 0 δ''
( L)
= 0
t
J
J
J
ωy
J
J
ωω
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭

A
S
A
S
y
A
S
x G
x
G
y
G
ω
=
ω
=
=
'
'
'
'
y
'
'
x
' G
G
G
ϑ
⋅
ω
+
η
⋅
+
ξ
⋅
=
ζ
)
'
'
J
'
'
J
'
'
J
(
E
ds
b
x
M x
xy
L
xx
y
ϑ
⋅
+
η
⋅
+
ξ
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
σ
= ω
∫
Se N = 0 Passando al riferimento
baricentrico:
)
'
'
J
'
'
J
'
'
J
(
E
ds
b
B
)
'
'
J
'
'
J
'
'
J
(
E
ds
b
y
M
)
'
'
J
'
'
J
'
'
J
(
E
ds
b
x
M
y
L
x
y
yy
L
xy
x
x
xy
L
xx
y
ϑ
⋅
+
η
⋅
+
ξ
⋅
⋅
−
=
⋅
ω
⋅
σ
=
ϑ
⋅
+
η
⋅
+
ξ
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
σ
=
ϑ
⋅
+
η
⋅
+
ξ
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
σ
=
ωω
ω
ω
ω
ω
∫
∫
∫
G
G
y
y
G
G
x
x
G
G
xy
xy
2
G
2
G
yy
yy
2
G
xx
xx
y
A
I
J
x
A
I
J
y
x
A
I
J
A
I
J
y
A
I
J
x
A
I
J
ω
⋅
⋅
−
=
ω
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
ω
⋅
−
=
⋅
−
=
⋅
−
=
ω
ω
ω
ω
ωω
ωω

Ripartizione delle azioni orizzontali
• Per ogni mensola i-esima è possibile scrivere:
Mi i
= −E
⋅ J ⋅ δ''
= −E
⋅ J ⋅ δ'''
Vi i
• In caso di n mensole l’equilibrio dell’intero edificio è:
Mtot = ∑iMi
= −E
⋅ ∑iJi
⋅ δ''
• Ripartizione del momento e del taglio tra le mensole:
i
i
−1
tot
M = J ⋅ J ⋅M
tot
i i '''
J E
Vtot = ∑iVi
= − ⋅ ∑ ⋅ δ
i
i
−1
tot
V = J ⋅ J ⋅
V
tot

Stato di sforzo in ogni mensola
• Solo carico trasversale
• Condizioni al contorno
• Il carico assorbito da ogni mensola
• Risulta quindi
• Le matrici di ripartizione sono
V' = −p
V ( L)
= 0
⋅p
M '=
INVARIABILITÀ DELLE MATRICI DI RIPARTIZIONE
p
i
=
J
i
⋅
J
−1
tot
R
i
V
M ( L)
= 0
V '=
−p
=
i
J
i
⋅
J
i
−1
tot

N.B. Teorico solo D.S.V.;
Elementi di guscio:
Nel primo elemento
a= 6m
b= 0.2m
E.F. 0.5x0.5m
∂
2
u
∂y∂z = 0
ϑ [rad]
Altezza [m]

=20 cm
T = 2900kNm χ=0.517
N.B. ε zz, γ xz, γ yz non nulli negli E.F.

σ τ
Sforzi nella sezione di incastro
3 2
t tot
GI ( b ) h
χ
2
=
EI ( b)
ωω

12
y [m]
10
10
z
9
[m]
8
7
6
5
4
3
2
1
8
6
4
2
0
-2
3
P
C
-4 -2 0 2 4 6
[m]
1
2
x
4t
4m
4t
5m
0
0 0.04 0.08 0.12 0.16
Ux [mm]
0.2
3
2
1
0
0 0.01 0.02 0.03 0.04
30tm
20tm
z
10
[m]
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Bugatti, Cavenaghi (2000)
3
2
1
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
Uy [mm]
Analitico
Analitico profili sconnessi
Elementi finiti
Capurso [1981]
Analitico = tutte le rigidezze connessione ai piani;
Analitico profili sconnessi = solo rigidezze flessionali
principali; E.F. = rigidezze finite del setto, assiali e
tangenziali dei nuclei controventanti; Capurso = solo
Vlasov ma non D.S.V.; (setti infinit. rigidi ovunque
lungo z)
0
0 0.004 0.008 0.012 0.016 0.02
z
10
[m]
9
8
7
6
5
4
3
2
1
3
2
1
0
-0.02 -0.016 -0.012 -0.008 -0.004 0
0
-0.08 -0.06 -0.04 -0.02
Rz [mrad]
0

12
y [m]
10
10
h
[m] 9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
8
6
4
2
0
-2
3
P
C
-4 -2 0 2 4 6
[m]
1
2
x
4t
4m
4t
5m
Analitico
Analitico ing. profili sottili
Elementi finiti (gusci)
Elementi finiti (gusci sconnessi)
Elementi finiti a trave
Capurso [1981]
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Ux [mm]
30tm
20tm
h
10
[m] 9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Bugatti, Cavenaghi (2000)
Analitico
Analitico ing. profili sottili
Elementi finiti (gusci)
Elementi finiti (gusci sconnessi)
Elementi finiti a trave
Capurso [1981]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
Uy [mm]
E.F. a trave = manca la rigidezza di Vlasov
della singola mensola (importante variazione
nella rotazione); E.F. (gusci sconnessi) =
manca la rigidezza di Vlasov del singolo
controvento ed è presente la deformabilità
tangenziale e membranale.
10
h
[m] 9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Analitico
Analitico ing. profili sottili
Elementi finiti (gusci)
Elementi finiti (gusci sconnessi)
Elementi finiti a trave
Capurso [1981]
-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0
Rz [mrad]

12
y [m]
10
8
6
4
2
0
-2
-4 -2 0 2 4 6
[m]
40
σ [t/m 2 ]
20
0
-20
-40
-60
3
P
C
1
2
x
4t
4m
4t
5m
20tm
Bugatti, Cavenaghi (2000)
Sforzi Sforzi
S
0 1 2 3 4 5 6 7
Ascissa curvilinea [m]
30tm Analitico
Elementi finiti
Capurso [1981]
z=0 m
0
τ [t/m
-2
2 ]
-4
-6
-8
-10
-12
-14
z=2.5 m
0 1 2 3 4 5 6 7
Ascissa curvilinea [m]

12
y [m]
10
Bugatti, Cavenaghi (2000)
Il centro di torsione si sposta: difficoltà di confronto
4t
4m
4t
5m
30tm
20tm
x
C
=
J
ωy
J
xx
8
6
4
2
0
y
C
J
= − ωx
J
yy
Profili sconnessi -2
Profili connessi
-2 0 2 4 6 8
C
C
3
1
2
x [m]
4t
4m
4t
5m
30tm
20tm

Q ~
=
Q ~
0
V S
Q
I
~ 0 c
0 =
α = ωH
= H
w
Φ(
α,
ξ)
h
a
3
Q 0
~
E
3E
c
S
c
A
I
A
h(
I
h
cI
c1
+ I
c2
)

Componenti cinematiche al
variare del n° di gradi di libertà

Edificio
multipiano
H=16.7 m

e = 2.11 m