Analisi numerica di una turbina eolica ad asse verticale - Atomino FVG

Laureando:
Giampaolo Cetraro
Matricola 09110552
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA IN INGEGNERIA AERONAUTICA
TESI DI LAUREA MAGISTRALE
Analisi numerica di una turbina eolica
ad asse verticale
Anno Accademico 2008-2009
Relatore:
Prof. Fausto Gamma
Correlatore:
Ing. Roberto Liberatore

I N D I C E
1 Introduzione 4
1.1 Generatori eolici 5
1.1.1 Turbina Savonius 8
1.1.2 Turbina Darrieus 9
1.2 Obiettivo della tesi 10
2 Aerodinamica di una VAWT a portanza 12
2.1 Descrizione qualitativa del flusso 12
2.2 Potenza del vento 19
2.3 Modello dei tubi di flusso per un rotore Darrieus 23
3 Le equazioni del moto dei fluidi 28
3.1 Equazioni di conservazione 28
3.1.1 Equazione di continuità 28
3.1.2 Conservazione della quantità di moto 30
3.1.3 Condizioni al contorno e iniziali 34
3.1.4 Circolazione e vorticità 34
3.2 Cenni sulla modellizzazione della turbolenza 35
3.2.1 Equazioni di Navier-Stokes mediate alla
Reynolds 35
3.2.2 Modello k-ε 38
3.2.3 Large Eddy Simulation 39
3.2.4 Turbolenza di parete 41
4 VAWT a geometria variabile 44
4.1 Turbina a geometria variabile: la GiampTurbina 46
4.2 Generalità sulle simulazioni numeriche 48
4.3 Validazione del codice numerico 51
4.3.1 Geometria e griglia di calcolo 51
4.3.2 Risultati sperimentali 53
4.3.3 Risultati numerici 57
5 Prestazioni della GiampTurbina 76
5.1 Avvio in configurazione Savonius 78
5.2 Configurazione Darrieus a regime 83
5.3 Simulazioni a differenti velocità del vento 87
6 Conclusioni 94
BIBLIOGRAFIA 97
1

E L E N C O D E I S I M B O L I
α Angolo di attacco [ ◦ ]
c corda del profilo [m]
CD Coefficiente di resistenza [−]
CL Coefficiente di portanza [−]
Cm Coefficiente di momento [−]
Cp Coefficiente di potenza [−]
D Diametro esterno della turbina [m]
H Altezza della turbina [m]
R Raggio esterno del rotore [m]
Re Numero di Reynolds ≡ ℓV∞/ν [−]
s Solidità ≡ Nc/D [−]
St Numero di Strouhal (o frequenza ridotta) ≡ ωc/2V [−]
U ′ Velocità del vento in corrispondenza del rotore [m/s]
V∞ Velocità del flusso indisturbato [m/s]
Vrel Velocità relativa del profilo [m/s]
Γ Circolazione
m2 /s
λ Tip Speed Ratio ≡ ωR/V∞ [−]
˙m Portata [Kg/s]
µ Viscosità assoluta (o dinamica) [Pa · s]
µΓ Valor medio della circolazione
m2 /s
ν Viscosità cinematica ≡ µ/ρ
m2 /s
Ω Vorticità
s−1
ω Velocità angolare del rotore [rad/s]
˜Pw Potenza specifica del vento ≡ 1
2ρV3 ∞
W/m2
2

ρ Densità
Kg/m 3
θ Azimut, posizione angolare della pala della turbina [ ◦ ]
u, ui In grassetto sono indicate le quantità vettoriali e in carattere
normale le quantità scalari
ACRONIMI
HAWT Horizontal Axis Wind Turbine
VAWT Vertical Axis Wind Turbine
CFD Computational Fluid Dynamics
DNS Direct Numerical Simulation
RANS Reynolds-Averaged Navier-Stokes equations
DES Detached Eddy Simulation
LES Large Eddy Simulation
6-DOF Six Degree Of Freedom
RBM Rigid Body Motion
PIV Particle Image Velocimetry
LDV Laser Doppler Velocimetry
NACA National Advisory Committee for Aeronautics
3

1 I N T R O D U Z I O N E
Il vento è il movimento dell’aria nell’atmosfera tra zone ad alta
pressione e a bassa pressione, causate da un irregolare riscaldamento
della superficie terrestre da parte del sole. Quando l’aria
sulla superficie calda si riscalda, sale creando una zona di bassa
pressione. L’aria dalle zone di alta pressione fluisce verso l’area
di bassa pressione, creando il vento. Per questo motivo il vento è
chiamato energia solare indiretta.
L’energia eolica è il prodotto della conversione dell’energia
cinetica del vento in altre forme di energia. Attualmente viene
per lo più convertita in energia elettrica tramite una centrale
eolica, mentre in passato l’energia del vento veniva utilizzata
immediatamente sul posto come energia motrice per applicazioni
industriali e pre-industriali. Prima tra tutte le energie rinnovabili
per il rapporto costo/produzione, è stata anche la prima fonte
energetica rinnovabile usata dall’uomo.
Il vento varia nel tempo di intensità e direzione, e il potenziale
di un sito eolico è generalmente valutato come funzione della media
annuale della velocità del vento. Il vento varia con l’altitudine
e la velocità del vento è spesso influenzata dalle caratteristiche
del terreno come i pendii. La variazione della velocità del vento
con l’altitudine è dovuta all’attrito tra l’aria e la superficie della
terra (strato limite atmosferico). Tutte le stazioni metereologiche
riportano la velocità del vento ad un’altezza standard di 10 m dal
terreno. Il vento vicino le increspature del terreno accelera per
superare il pendio, quindi rallenta (e spesso diventa un flusso
molto turbolento) nella parte lontana dal pendio.
Nonostante la pesante crisi finanziaria, il 2008 è stato un anno Evoluzione del
record per l’energia eolica, con oltre 27000 MW di nuova potenza
installata in tutto il mondo, pari alla potenza generata da 27
centrali nucleari con una potenza media di 1000 MW. Negli anni
precedenti la nuova potenza installata è stata rispettivamente
di 20000 MW (2007), 15000MW (2006) e di 11000 MW (2005).
Questa crescita esponenziale ha portato ad avere già alla fine del
2008, una potenza cumulata totale di oltre 120000 MW, pari ad
oltre l’ 1, 5% del fabbisogno mondiale di energia 1 , e si prevede che
già alla fine di questo anno, si possa arrivare a sfiorare la quota
1 Dati del report 2008 della World Wind Energy Association (
)
4
settore dell’energia
eolica

1.1 GENERATORI EOLICI 5
del 2%. Con questi alti tassi di crescita, si stima che ogni tre anni,
si possa incrementare di 1 punto percentuale la copertura del
fabbisogno mondiale di energia tramite questa fonte di energia
pulita, che anno dopo anno arriverà a conquistare una sempre
maggiore quota mondiale. Solo in Europa nel 2008 la quota di
nuova potenza eolica installata è stata superiore agli altri tipi di
generazione. Le statistiche effettuate dall’European Wind Energy
Association mostrano come il 36% della nuova potenza installata
sia eolica, superando le altre tecnologie (gas, carbone, energia
nucleare).
Grazie ai recenti sviluppi tecnologici l’energia eolica inizia ad Costi dell’eolico
essere economicamente vantaggiosa. Il costo di installazione è
relativamente basso (circa 1, 5 € per Watt), se raffrontato ad altre
tecnologie come ad esempio il fotovoltaico (circa 5 € per Watt).
Al 2004, secondo l’International Energy Agency, il costo medio
di produzione dell’energia eolica sarebbe compreso tra 0, 04-0, 08
€/kWh, anche se stime più recenti indicherebbero un costo ancora
inferiore che farebbe presupporre nel breve termine un costo
di 0, 03 €/kWh del tutto concorrenziale rispetto ai costi dell’energia
generata da fonti convenzionali (negli ultimi dieci anni
la riduzione del costo di produzione di energia da fonti eoliche
si è attestata sul 30%-50% e si prevede che la tendenza rimanga
costante).
1.1 GENERATORI EOLICI
Lo sfruttamento dell’energia del vento, relativamente semplice e
poco costoso, è attuato tramite macchine eoliche divisibili in due
gruppi ben distinti in funzione del tipo di modulo base adoperato
definito generatore eolico. Si hanno quindi i convenzionali generatori
con asse di rotazione orizzontale—Horizontal Axis Wind
Turbine (HAWT)—e i generatori eolici ad asse verticale—Vertical
Axis Wind Turbine (VAWT).
Entrambi i tibi di generatore richiedono una velocità minima
del vento (cut-in) di 3-5 m/s ed erogano la potenza di progetto
ad una velocità del vento di 12-14 m/s. Ad elevate velocità (20-
25 m/s, velocità di cut-off ) l’aerogeneratore viene bloccato dal
sistema frenante per ragioni di sicurezza. Il bloccaggio può avvenire
con veri e propri freni che bloccano il rotore, o con metodi
che si basano sul fenomeno dello stallo, "nascondendo le pale al
vento". I giri al minuto dell’aerogeneratore sono molto variabili
come lo è la velocità del vento; ma la frequenza di rete deve essere
costante a 50 Hz, perciò i rotori vengono collegati a una gear-box
che rende costanti i giri in uscita. La cinematica del generatore

1.1 GENERATORI EOLICI 6
(a) Ad asse orizzontale (b) Ad asse verticale
Figura 1.1: Generatori eolici
eolico è caratterizzata da bassi attriti, surriscaldamento ridotto e
un costo di manutenzione pressoché nullo.
La crescente consapevolezza nei confronti della sostenibilità Interesse per i
ambientale di case e città ha portato alla promozione di sistemi
di conversione di energia per l’ambiente urbano, nell’ambito del
microeolico. Minieolico
Piccolo eolico, o minieolico, è considerata la produzione di energia
elettrica da fonte eolica realizzata con l’utilizzo di generatori
di altezza inferiore a 30 metri.
Gli aerogeneratori possono essere al servizio di una utenza
isolata non collegata alla rete elettrica o connessi sia per una autoproduzione
in scambio che per la fornitura di energia alla rete. La
differenza con il grande eolico risiede oltre che nella dimensione
delle macchine nella possibilità di operare economicamente con
regimi di vento inferiori a quelli richiesti dalle enormi macchine
industriali.
generatori eolici ad
asse verticale per uso
domestico
Dal momento che il vento ha come caratteristica la grande L’incostanza rende
incostanza, gli impianti elettrici con componenti di generazione
eolica, possono essere affiancati alla rete elettrica nazionale come
fonti o clienti dell’energia, oppure nel caso si desideri la totale
autonomia, possono essere affiancati al fotovoltaico, a generatori
diesel, o al mini-idroelettrico.
Uno dei risultati dello sviluppo di queste soluzioni è la ricomparsa
di generatori eolici ad asse verticali. Nell’ambiente urbano
una VAWT presenta diversi vantaggi rispetto al più comune
generatore ad asse orizzontale:
necessario affiancare
l’eolico ad altre fonti

• basse emissioni sonore
1.1 GENERATORI EOLICI 7
• migliore estetica dovuta alla sua tridimensionalità
• indipendenza dalla direzione del vento
• migliori prestazioni per flussi che arrivano di traverso (Mertens
et al., 2003) (nel caso in cui la turbina venga installata
sopra il tetto di un’abitazione, il flusso viene deviato
dall’edificio dal basso verso l’alto)
Una VAWT è un tipo di macchina eolica contraddistinta da una
ridotta quantità di parti mobili nella sua struttura, il che le conferisce
un’alta resistenza alle forti raffiche di vento, e la possibilità
di sfruttare qualsiasi direzione del vento senza doversi riorientare
continuamente. È una macchina molto versatile, adatta all’uso
domestico come alla produzione centralizzata di energia elettrica
nell’ordine di GigaWatt.
Gli aerogeneratori tradizionali hanno, quasi senza eccezioni, Limiti di
l’asse di rotazione orizzontale. Questa caratteristica è il limite
principale alla realizzazione di macchine molto più grandi di
quelle attualmente prodotte: i requisiti statici e dinamici che
bisogna rispettare non consentono di ipotizzare rotori con diametri
molto superiori a 100 m e altezze di torre maggiori di 180 m.
Queste dimensioni, per altro, riguardano macchine per esclusiva
installazione off-shore. Le macchine on-shore più grandi hanno
diametri di rotore di 70 m e altezze di torre di 130 m. In una
macchina siffatta il raggio della base supera i 20 m. La velocità
del vento cresce con la distanza dal suolo: questa è la principale
ragione per la quale i costruttori di aerogeneratori tradizionali
spingono le torri a quote così elevate. La crescita dell’altezza,
insieme al diametro del rotore che essa rende possibile, sono
la causa delle complicazioni statiche dell’intera macchina, che
impone fondazioni complesse e costose e strategie sofisticate di
ricovero in caso di improvvise raffiche di vento troppo forte.
Macchine eoliche ad asse verticale sono state concepite e realizzate
fin dal 1920. La sostanziale minore efficienza rispetto a
quelle con asse orizzontale (30%) ne ha di fatto confinato l’impiego
nei laboratori. L’unica installazione industriale oggi esistente
è quella di Altamont Pass in California, realizzata dalla FloWind
nel 1997.
Negli ultimi tempi, tuttavia, si è cercato di ottimizzare molto
queste macchine, rendendole molto competitive: taluni asseriscono
che gli ultimi prototipi, funzionando in molte più ore
l’anno rispetto a quelle ad asse orizzontale hanno un rendimento
complessivo maggiore.
aerogeneratori
convenzionali

1.1 GENERATORI EOLICI 8
(a) pianta (b) configurazione elicoidale
Figura 1.2: Turbina Savonius
Di seguito vengono descritti le due principali configurazioni di
turbine eoliche ad asse verticale: la turbina Savonius e la turbina
Darrieus.
1.1.1 Turbina Savonius
La turbina a vento Savonius è un tipo di turbina a vento ad asse
verticate, utilizzata per la conversione di coppia dell’energia del
vento su un albero rotante. Inventata dall’ingegnere finlandese
Sigurd J. Savonius nel 1922, e brevettata nel 1929, è una delle
turbine più semplici.
Dal punto di vista aerodinamico si tratta di un dispositivo a
rotore composto da due o tre pale di forma semicilindrica che
lavorano a resistenza. Come si può vedere dalla Figura 1.2, la
configurazione a due pale, vista in sezione orizzontale, appare
come una figura ad S. La pala curva accoglie e sfrutta il vento che
la spinge e lascia più facilmente sfuggire il vento che contrasta
nella fase opposta. In altri termini le pale trovano meno resistenza
quando si muovono contro il vento che quando si muovono con
il vento, la differenza di resistenza induce la turbina di Savonius
a girare.
Il modello originale è stato concepito spaziando le due pale
semicilindriche in modo che e 1 = (dove D è il diametro del
D
cilindro virtuale che le contiene), ma si è visto che si ottengono
migliori prestazioni con un rapporto e
3
1
D = 6 .
Di basso impatto visivo e facilmente integrabile negli edifici Pregi e difetti
senza snaturarne l’estetica, la turbina di Savonius è poco rumorosa,
prende avvio a deboli velocità di vento presentando una
coppia elevata, sebbene variabile in modo sinusoidale nel corso

1.1 GENERATORI EOLICI 9
(a) pianta (3 pale) (b) configurazione a 5 pale
Figura 1.3: Turbina Darrieus
della rotazione. Tuttavia le turbine più evolute, derivate dalla Savonius,
hanno pale elicoidali in grado di omogenizzare la coppia
di torsione durante un giro completo. L’impatto visivo rapportato
a dimensioni importanti rende la turbina Savonius poco adatto
alle grandi produzioni di energia di un parco eolico.
Essendo dispositivi a resistenza aerodinamica, le turbine di
Savonius, a parità di ingombro, sfruttano la forza del vento meno
efficacemente di quelle a portanza e di quelle ad asse orizzontale.
Inolte gran parte del rotore di una Savonius è vicino al suolo,
dove la velocità del vento è più bassa.
1.1.2 Turbina Darrieus
La turbina Darrieus è costituita da un numero di profili alari
disposti verticalmente su un albero rotante. Questo design venne
brevettato da Georges Jean Marie Darrieus, un ingegnere
aeronautico francese nel 1931.
La configurazione Darrieus è teoricamente efficiente come un’elica
se la velocità del vento è costante, ma ha il grande difetto di
non autoavviarsi.
Nella versione originale della configurazione Darrieus, i profili
sono disposti simmetricamente e con un angolo di calettamento
nullo.
Quando il rotore gira, il profilo avanza nell’aria alla velocità
tangenziale di rotazione. A questa velocità si somma vettorialmente
la velocità del vento, creando un angolo d’attacco per il
profilo. Questo genera una portanza la cui proiezione in direzione
tangenziale fornisce la coppia che fa ruotare la turbina nella
direzione in cui già sta ruotando.
Uno dei problemi da tener presente quando si pensa al design
di una turbina Darrieus è che l’angolo d’attacco varia durante la
rotazione, quindi ogni pala genera il massimo della portanza (e

Figura 1.4: Configurazione Troposkein
1.2 OBIETTIVO DELLA TESI 10
quindi della coppia) in due punti durante una rotazione: questo
produce un andamento sinusoidale della coppia. In particolare,
quasi tutte le turbine Darrieus hanno dei modi di risonanza, che
ad una certa velocità angolare, possono essere eccitati e causare
intensi sforzi sulla struttura o addirittura il suo danneggiamento.
Per questo motivo, molte turbine Darrieus hanno freni meccanici
o sistemi di controllo della velocità per controllare la velocità
angolare.
Inoltre, poiché la maggior parte della massa del rotore è all’esterno,
invece che vicino al mozzo, come è per le eliche, si hanno
degli stress molto intensi generati dalla forza centrifuga. Una
soluzione comune per minimizzare questo effetto è curvare le
pale come nella configurazione Troposkein (Figura 1.4).
1.2 OBIETTIVO DELLA TESI
L’obiettivo di questa tesi è proporre un nuovo di tipo di turbina
eolica ad asse verticale a geometria variabile di piccola o media
potenza. La migliore estetica rispetto agli aerogeneratori convenzionali
ad asse orizzontale, renderebbe questa turbina adatta
ad un contesto urbano per la produzione domestica di energia
elettrica. Inoltre, a parità di potenza, una VAWT, sviluppandosi La forma compatta
in altezza, può limitare le dimensioni del diametro del rotore
ed essere più compatta rispetto ad una HAWT. Questa caratteristica
la renderebbe particolarmente adatta ad affiancare sistemi
di generazione tradizionale negli aeroporti: in un suolo aperto il
vento ha la caratteristica di non essere “frenato” da edifici o vegetazione
e la turbina avrebbe un’efficienza migliore, allo stesso
tempo la forma compatta permetterebbe di installare le turbine
della turbina, la
rende adatta alla
generazione elettrica
negli aeroporti

1.2 OBIETTIVO DELLA TESI 11
in serie, aumentando così la quantità di potenza disponibile per
l’aeroporto, e comunque con un impatto visivo per il traffico
aereo decisamente inferiore rispetto ad una serie di HAWT.
L’idea alla base del progetto è quella di sfruttare l’elevata coppia
fornita dalla configurazione Savonius per avviare la turbina e
successivamente “trasformarla” in configurazione Darrieus per
sfruttare l’elevata efficienza che si avrebbe ad un alto numero di
giri.
L’esposizione del lavoro è articolata come segue:
NEL SECONDO CAPITOLO viene descritta a livello qualitativo l’aerodinamica
di una turbina Darrieus e viene proposto il
modello dei tubi di flusso per stimare con un leggero codice
di calcolo le prestazioni di massima di una turbina
Darrieus.
NEL TERZO CAPITOLO vengono fornite le equazioni fluidodinamiche
e i modelli di turbolenza che saranno usati nel programma
CFD Star-CCM+ della CD-Adapco per simulare il
comportamento di un flusso incomprimibile intorno alla
turbina progettata e valutarne le prestazioni.
NEL QUARTO CAPITOLO viene presentato il progetto della turbina
a geometria variabile e vengono riportati i risultati della
validazione del codice numerico per un turbina Darrieus.
NEL QUINTO CAPITOLO vengono riportati i risultati delle simulazioni
numeriche effettuate sulla turbina a geometria variabile
in configurazione di avvio e in configurazione a regime.
NEL SESTO CAPITOLO, infine vengono tratte le conclusioni sui risultati
raggiunti da queste prime simulazioni preliminari e
vengono proposti gli sviluppi futuri degli studi da effettuare
per ottimizzare le prestazioni della versione finale della
turbina.

2 A E R O D I N A M I C A D I U N A VA W T A
P O R TA N Z A
Il grande vantaggio di una VAWT è la capacità di mantenersi in
rotazione indipendentemente dalla direzione del vento. Però rispetto
ad una più convenzionale HAWT, poiché l’asse di rotazione
di una VAWT è perpendicolare al flusso d’aria che la investe (Figura
1.3), l’aerodinamica che si sviluppa è molto più complessa.
Infatti durante la rotazione, sulle pale si realizzano elevati angoli
d’attacco e il flusso che investe le pale sottovento è disturbato
dalla scia dell’asse e delle pale sopravento.
I parametri fondamentali per caratterizzare il funzionamento
di una turbina eolica sono
tip speed ratio λ: esprime il rapporto tra la velocità tangenziale
della pala e la velocità del flusso indisturbato V∞
λ = Rω
V∞
numero di Reynolds: gruppo adimensionale proporzionale al
rapporto tra le forze d’inerzia e le forze viscose
Re = V∞c
ν
coefficiente di potenza Cp: rappresenta la frazione di energia
del vento trasformata in energia utile dalla turbina.
In Figura 2.1 viene riportato il tipico andamento del
Cp in funzione del tip speed ratio λ per un fissato
numero di Reynolds.
2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO
Una delle grosse difficoltà per le pale di una VAWT è quella di Angolo d’attacco
dover operare in un ampio intervallo di angoli d’attacco. Quando
la turbina parte da una velocità di rotazione nulla, le pale possono
addirittura trovarsi in una situazione di flusso inverso, invece
durante la rotazione l’angolo d’attacco locale α varia in funzione
della posizione angolare θ della pala (Figura 2.2).
12

2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO 14
Figura 2.3: Variazione dell’angolo di attacco in funzione di θ
sul dorso di un profilo tenderà a separarsi. La separazione inizia
al bordo d’uscita e si sposta in avanti al crescere dell’angolo. Aumentando
ulteriormente l’angolo il punto di separazione si sposta
in avanti fino a raggiungere il bordo d’attacco: questo fenomeno
viene chiamato superstallo. Se il profilo è in superstallo, questa
condizione viene mantenuta per una frazione di tempo, anche se
l’angolo d’attacco diminuisce, formando un ciclo di isteresi. In
Figura 2.4 è riportato il comportamento in superstallo di un profilo
NACA 0018, qui si vede come il superstallo inizia a α = 21 ◦ e
il ciclo di isteresi si mantiene fino ad α = 13.5 ◦ . L’angolo al quale
si verifica il superstallo dipende dal numero di Reynolds e dalla
curvatura del bordo d’attacco. Questo fenomeno ha una forte
influenza negativa sulle prestazioni del profilo, perché durante il
ciclo di isteresi la portanza si riduce sensibilmente e la resistenza
rimane elevata.
Sui profili che hanno una rapida variazione di angolo di attacco Stallo dinamico
si verifica invece il fenomeno dello stallo dinamico. L’effetto di
questo repentino cambiamento è un’isteresi sulla portanza, sulla
resistenza e sul momento aerodinamico. Lo stallo dinamico è
caratterizzato dal rilascio di vortici controrotanti dalla superficie
a bassa pressione del corpo portante.
La turbina eolica di tipo Darrieus è particolarmente sensibile
allo stallo dinamico, poiché la variazione di angolo di incidenza
è ampia, specialmente a bassi tip speed ratio. Poiché le pale
nella sezione sottovento sono influenzate dalla scia prodotta dalle
pale sopravento è importante capire bene il fenomeno dello stallo

2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO 15
Figura 2.4: Caratteristiche di superstallo per un profilo NACA 0018
dinamico e della relativa scia, poichè ad esso è associato un
aumento di rumore, di vibrazioni aeroelastiche e di fatica per il
profilo.
La prima visualizzazione dello stallo dinamico di una VAWT
è stato fatto da Brochier et al. (1986). Gli esperimenti sono stati
fatti in un canale d’acqua, con tecnica LDV e bolle di idrogeno
ad un numero di Reynolds di 10 · 10 3 variando il tip speed ratio
da 1 a 8. La turbina era di tipo Darrieus con due profili NACA
0018. La visualizzazione per λ = 2, 14 è riportata in Figura 2.5a e
2.5b. Il primo vortice si forma al bordo d’attacco del profilo, un
secondo vortice, rotante in direzione opposta, nasce dal bordo
d’uscita; insieme formano una struttura caratteristica di due
vortici controrotanti, che traslano verso il basso fino a incontrare
il secondo profilo.
Poiché gli angoli di incidenza sono maggiori per bassi tip
speed ratio, in queste condizioni lo stallo dinamico è presente in
maniera più rilevante. Dalla Figura 2.6 possiamo vedere come
per λ = 1 i vortici controrotanti sono di dimensioni maggiori, e
che comunque la struttura dei vortici risulta indipendente dal
tip speed ratio. Ad alti λ, sopra 4, lo stallo dinamico diventa
di minor importanza. Gli studi citati mostrano la presenza di
una forte asimmetria nelle proprietà del flusso all’interno della
turbina, infatti le pale attraversano la scia dello stallo dinamico
solo durante una parte del ciclo, lavorando in condizioni di flusso
fortemente turbolento.
Un fattore importante per le prestazioni di piccole turbine Numero di Reynolds
è l’intervallo dei bassi numeri di Reynolds (< 10 6 ) in cui esse
operano (Figura 2.7). In aerodinamica sono stati condotti molti
studi per velivoli che operano a numeri di Reynolds superiori a
3 · 10 6 , invece risulta molto difficile e spesso impossibile trovare i

2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO 16
(a) Visualizzazione del flusso (b) Diagramma schematico
Figura 2.5: Visualizzazione dello stallo dinamico per λ = 2, 14 (Brochier
et al., 1986)
(a) λ = 1 (b) λ = 2 (c) λ = 3
Figura 2.6: Illustrazione schematica dello stallo dinamico per diversi
λ (Fujisawa e Shibuya, 2001)
dati per profili a bassi numeri di Reynolds.
Nelle figure da 2.8 a 2.10 sono mostrati gli effetti del numero
di Reynolds sulle caratteristiche aerodinamiche di un profilo, in
particolare nella Figura 2.8 si vede come per il profilo NACA 0018
il coefficiente di massima portanza e l’angolo di stallo decrescono
sensibilmente al diminuire del numero di Reynolds.
Sono riportati anche gli effetti del numero di Reynolds sulle
prestazioni di una VAWT. Nelle figure 2.9 e 2.10 è stato variato il
numero di Reynolds relativo alla corda, variando sia la velocità
di rotazione della turbina che la velocità del vento.
A bassi numeri di Reynolds è spesso presente una tipica strut- Bolla di separazione
tura chiamata bolla di separazione laminare. Quando lo strato limite laminare
laminare non è più in grado di seguire il contorno del profilo a

2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO 17
Figura 2.7: Variazione del numero di Reynolds per V∞ = 10 m s
Figura 2.8: Effetti del numero di Reynolds sulla curva di portanza di
un profilo NACA 0018 (Jacobs e Sherman, 1937)
causa del gradiente avverso di pressione, e le instabilità aerodinamiche
non si sono sviluppate sufficientemente per avviare la
transizione turbolenta, si verifica la separazione dello strato limite.
A questo punto il flusso può diventare turbolento e riattaccarsi
al profilo, formando la cosidetta bolla di separazione laminare.
Questo fenomeno va ad alterare la forma del flusso intorno al
profilo, riducendone le prestazioni e addirittura in alcuni casi la
bolla può estendersi oltre il bordo d’uscita del profilo perché il
gradiente di pressione avversa è troppo elevato per far si che lo
strato turbolento possa riattaccarsi.
Studi condotti da Migliore et al. (1980) mostrano come le ca- Curvatura virtuale
ratteristiche aerodinamiche di un profilo sono differenti se il
flusso che lo investe è curvilineo oppure rettilineo. Poiché in

2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO 18
Figura 2.9: Influenza del numero di Reynolds su una turbina Sandia
di 5 metri (Sheldahl et al., 1980)
Figura 2.10: Influenza del numero di Reynolds su un rotore Sandia di
2 metri (Paraschivoiu, 2002)

2.2 POTENZA DEL VENTO 19
Figura 2.11: Cameratura virtuale dovuta a un flusso curvilineo
(Migliore et al., 1980)
una VAWT il profilo ruota, un profilo simmetrico si comporta
come un profilo con curvatura e angolo di attacco investito da un
flusso rettilineo (Figura 2.11). L’influenza di un campo di velocità
curvilineo sulle caratteristiche aerodinamiche dipendono molto
dal rapporto tra corda e raggio c/R. Se questo rapporto cresce,
l’influenza del flusso curvilineo aumenta. Una curvatura virtuale
causa uno spostamento verso l’alto della curva di portanza e
introduce un momento aerodinamico. Un angolo di incidenza
virtuale invece causa lo spostamento verso sinistra della curva di
portanza. Il preciso effetto di questi fenomeni sulle prestazioni
di una VAWT devono essere ancora studiati accuratamente.
2.2 POTENZA DEL VENTO
Per poter studiare le caratteristiche di una turbina eolica e valutare
l’energia che essa può produrre è utile prima considerare
l’energia del vento che si ha a disposizione e capire quanta di
questa energia può essere effettivamente sfruttata dalla turbina.
L’energia cinetica del vento è data da
Pw = 1
2 ˙mV2 ∞
Considerando che la portata può essere espressa come ˙m =
ρV∞A l’equazione dell’energia cinetica diventa
Pw = 1
2 ρV3 ∞A
Generalmente nel settore eolico si considera la potenza per
unità di superficie, quindi la potenza specifica, data da
˜Pw = Pw
A
= 1
2 ρV3 ∞

Figura 2.12: Volume di controllo
La potenza erogata dalla turbina è data da
Pt(θ) = F(θ)V(θ) = T(θ)ω(θ)
2.2 POTENZA DEL VENTO 20
É possibile valutare l’efficienza di una turbina introducendo il
coefficiente di potenza, definito come il rapporto tra la potenza
della turbina e la potenza del vento
Cp = Pt
Pw
(2.1)
La massima energia che è possibile ricavare da una turbina
eolica è fornita dalla legge di Betz, una teoria per le macchine a
fluido sviluppata da Albert Betz nel 1920; il valore noto come
limite di Betz, rappresenta la massima energia che si potrebbe
ricavare con un rotore infinitamente sottile da un fluido che
scorre ad una fissata velocità.
Al fine di calcolare l’efficienza massima di un rotore sottile, lo Limite di Betz
si immagini sostituito da un disco che spilli energia dal fluido
che lo attraversa. Ad una certa distanza a valle di questo disco, il
fluido che lo ha attraversato fluisce con una velocità minore di
quella a monte.
Le ipotesi alla base di questa teoria sono:
1. Il rotore non possiede mozzo, ossia è un rotore ideale, con
un infinito numero di pale e con attrito pari a 0.
2. Il flusso in entrata e in uscita dal rotore ha direzione assiale.
3. Il flusso è incomprimibile. La densità rimane costante, e non
vi è trasferimento di calore dal rotore al fluido e viceversa.
Applicando l’equazione di continuità al volume di controllo
(Figura 2.12), possiamo esprimere la portata come
˙m = ρA1v1 = ρSv = ρA2v2
dove v1 è la velocità a monte del rotore, v2 è la velocità a valle,
e v è la velocità in corrispondenza del rotore; A1, A2 e S sono

2.2 POTENZA DEL VENTO 21
le aree in corrispondenza delle tre sezioni considerate. La forza
esercitata dal vento sul rotore può essere scritta come
F = ma = m dv
dt = ˙m∆V = ρSv(v1 − v2)
Il lavoro fatto dalla forza può essere scritto in forma differen- Potenza e lavoro
ziale come
dE = Fdx
e la potenza contenuta nel fluido è
P = dE
dt
= Fdx
dt
= Fv
Ora sostituendo l’espressione della forza F calcolata precedentemente,
avremo
P = ρSv 2 (v1 − v2)
Un altro modo per calcolare la potenza, è tramite l’energia
cinetica. Applicando l’equazione di conservazione dell’energia al
volume di controllo abbiamo che
P = ∆E
∆t
= 1
2 ˙m(v2 1 − v2 2 )
Sostituendo l’espressione della portata avremo che
P = 1
2 ρSv(v2 1 − v2 2 )
Poichè le espressioni per la potenza calcolate nei due modi
devono valere contemporaneamente, possiamo confrontarle
P = 1
2 ρSv v 2 1 − v2
2
2 = ρSv (v1 − v2)
Da questa uguaglianza è chiaro come la velocità v in corrispondenza
del rotore sia la media della velocità a monte e a valle,
infatti
ovvero
1
2 (v21 − v2 1
2 ) =
2 (v1 − v2)(v1 + v2) = v(v1 − v2)
v = 1
2 (v1 + v2)
Ricordando la definizione del coefficiente di potenza (2.1), pos- Coefficiente di
potenza
siamo ottenere questo valore partendo dall’espressione della
potenza basata sull’energia cinetica e sostituendoci l’espressione
della velocità in corrispondenza del rotore

2.2 POTENZA DEL VENTO 22
Figura 2.13: Coefficiente di potenza; l’asse orizzontale rappresenta il
, l’asse verticale è il coefficiente di potenza Cp.
rapporto v2
v1
P = 1
2 ˙m(v2 1 − v2 2
1
) =
= 1
4 ρSv3
1 1 −
= 1
2 ρSv v 2 1 − v22 4 ρS (v1 + v2) v 2 1 − v22 2
3
v2 v2 v2
v1
+
v1
−
v1
(2.2)
Differenziando P rispetto a v2 per una fissata velocità del fluido
v1
v1 e una fissato valore dell’area S, possiamo ottenere il massimo
valore di P.
Dalla Figura (2.13) vediamo come il massimo di P si ottiene
1 = 3 , sostituendo questo valore nell’espressione (2.2),
abbiamo che la massima potenza ottenibile è
quando v2
v1
Pmax = 16 1
·
27 2 ρSv31 Se consideriamo che la potenza del vento è Pw = 1
2 ρSv3 1 ,
abbiamo che il coefficiente di potenza massimo sarà
Cp = P max
Pw
= 16
= 0.593
27
Questo è il risultato fondamentale della teoria di Betz: da tutta
l’energia del vento disponibile, il massimo valore teorico che
una turbina può ottenere corrisponde al 59.3%. Attualmente le
migliori turbine in commercio hanno valori del coefficiente di
prestazione compreso tra 0.4-0.5.

2.3 MODELLO DEI TUBI DI FLUSSO PER UN ROTORE DARRIEUS 24
Il vento a monte del rotore ha velocità uniforme V∞. In ogni tubo,
la velocità del vento comincia a decrescere da V∞ in maniera
differente fino a quando non raggiunge il semicerchio superiore
della turbina dove la velocità sarà U ′ . Assumiamo che la velocità
U ′ rimanga costante all’interno della circonferenza del rotore,
anche se realisticamente ci aspettiamo che qui la velocità diminuisca.
Dopo aver lasciato il semicerchio inferiore, la velocità
del vento continua a diminuire sempre in maniera differente fra
tubo e tubo. Infine lontano dal rotore la velocità si stabilizza.
Per ogni tubo di flusso, la variazione di velocità è determinata
dall’equazione di Bernoulli (considerando il limite di Betz).
Ogni tubo di flusso subisce una perdita continua di quantità
di moto e due impulsi di forze aerodinamiche per ogni giro.
La diminuzione di quantità di moto del vento al”interno della
circonferenza del rotore può essere calcolata se è nota la velocità
U ′ . Inoltre le forze aerodinamiche che agiscono sulla pala (per
ogni posizione e per una fissata velocità angolare) possono essere
ricavate dalle tabelle di portanza e resistenza dei profili. Per
calcolare la velocità U ′ , il modello dei tubi di flusso eguaglia
la variazione di quantità di moto con le forze aerodinamiche.
Più precisamente, le componenti delle forze aerodinamiche in
direzione del vento vengono eguagliata alla variazione di quantità
di moto. In un tubo di flusso, la forza agisce solo quando la
pala transita nel tubo (una volta a valle e una volte a monte)
e per il resto (la maggior parte del tempo), le forze sono nulle.
Quindi, il modello dei tubi di flusso fa una media di tutte queste
forze (zero e due impulsi non nulli) per trovare un valore medio,
che possiamo assumere che agisca sul tubo durante tutta una
rivoluzione.
Il campo di velocità semplificato può essere calcolato quando
la velocità U ′ è nota. Di conseguenza si possono calcolare le forze
aerodinamiche che agiscono sulla pala in ogni possibile posizione
angolare. Infine questi valori vengono mediati per trovare la
coppia media e la potenza per ogni giro.
Di seguito si riportano le equazioni dei tubi multipli per un
rotore Darrieus con pale dritte. Al fine di poter facilmente confrontare
risultati per diverse geometrie della turbina, invece di
risolvere direttamente rispetto a U ′ , è comodo normalizzare la
U ′ rispetto a una variabile meno diretta ma più vantaggiosa, il
fattore di induzione definito come Fattore di induzione
a = 1 − U′
V∞
La variazione di quantità di moto in un tubo di flusso è
∆q = ρ (HR∆θ sin θ) U ′ · 2 V∞ − U ′

2.3 MODELLO DEI TUBI DI FLUSSO PER UN ROTORE DARRIEUS 26
U′ − sin θ V∞ =
−U
tan α =
′
U ′ cos θ + ωR U ′
ωR cos θ + V∞ V∞
α = tan −1
− (1 − a) sin θ
(1 − a) cos θ + λ
I coefficienti di forza normale e tangenziale
C norm = −CL cos α − CD sin α
C tang = CL sin α − CD cos α
dove CL e CD sono i coefficienti di portanza e resistenza del
profilo con angolo d’attacco α.
Il valore istantaneo di spinta in direzione del vento per un
singolo profilo ad un certo θ è
F = 1
2 ρV2 rel (Hc) −C norm sin θ − C tang cos θ
La spinta mediata nel tempo che agisce su un tubo di flusso
per N pale e due volte per giro
¯F = N · 1
2 ρV2 rel (Hc) −Cnorm sin θ − Ctang cos θ · ∆θ
· 2
π
Normalizzando per ottenere il coefficiente di spinta in un tubo
di flusso
CF =
¯F
1
2ρV2 =
∞ (HR∆θ sin θ)
Nc
D
Vrel
V∞
2
2
−Cnorm −
π
C
tang
tan θ
Da questa equazione possiamo definire un importante parametro
per le turbine eoliche: la solidità
s = Nc
D
Il valore del fattore di induzione deve essere trovato numericamente
con degli algoritmi iterativi. Si assegna un primo valore
di tentativo e con questo valore si calcolano i valori di velocità
normalizzata, angolo d’attacco, coefficiente di portanza, di resistenza,
di forza normale e tangenziale. Successivamente si calcola
il coefficiente di spinta generato dalle forze aerodinamiche e quello
derivato dalla variazione di quantità di moto del vento. Se il
fattore di induzione di primo tentativo è corretto, i coefficienti

2.3 MODELLO DEI TUBI DI FLUSSO PER UN ROTORE DARRIEUS 27
di spinta saranno uguali, altrimenti si assegna un altro valore e
si ripetono i calcoli. Normalmente il fattore di induzione cade
nell’intervallo 0 < a < 0.5, quindi il primo valore di tentativo va
scelto in questo range per ridurre il numero di iterazioni. Una
volta che il fattore di induzione viene trovato per ogni tubo, si
può calcolare il coefficiente di coppia e di momento nel modo
seguente.
Il momento istantaneo di una singola pala ad un certo θ è
M = 1
2 ρV2 rel (cH) C tang · R
La coppia media del rotore per N pale e per una rivoluzione
completa è
¯M = N · 2m
1
i=1 2ρV2 rel (ch) Ctang · R
2m
dove m è il numero dei tubi di flusso e 2m il numero dei ∆θ
Poiché la distribuzione di coppia (o di forza tangenziale) è simmetrica
tra le posizioni sopravento e sottovento, la sommatoria
può essere dimezzata
¯M = N · 2m
1
i=1 2ρV2 rel (cH) Ctang · R
m
Infine, il coefficiente di momento sarà dato da
Cm =
¯M
1
2ρV2 =
∞ (DH) · R
e il coefficiente di potenza da
Nc
D
m i=1
Cp = Cmλ
2
V 2
rel C V∞
tang
m

3 L E E Q U A Z I O N I D E L M OTO D E I
F L U I D I
Il moto di un mezzo continuo è governato dai principi della
meccanica e della termodinamica classica. Esso è rappresentato
mediante le equazioni esprimenti le leggi della conservazione
della massa, della quantità di moto e dell’energia.
Nell’applicazione di questi principi ci si avvale della descrizione
Euleriana del moto in un sistema di riferimento Galileiano
(assoluto). Il punto di vista Euleriano fissa una data posizione
x, y, z ed osserva, al trascorrere del tempo, quel che accade in tale
posizione. Le variabili indipendenti sono quindi le coordinate
x, y, z (in notazione compatta xi) ed il tempo t. Le proprietà
caratteristiche del mezzo fluido sono considerate quindi come
funzioni dello spazio e del tempo nel sistema di riferimento.
Il mezzo fluido è ritenuto continuo: questa assunzione implica
che esistono le derivate di tutte le variabili dipendenti; in altre
parole, proprietà locali come la velocità sono definite come medie
su elementi “grandi” se comparati con la struttura microscopica
del fluido, ma abbastanza “piccoli” in confronto alla scala dei
fenomeni macroscopici. Ciò permette di descriverli con l’uso del
calcolo differenziale.
Per tenere conto della natura reale e turbolenta del flusso il
fluido è considerato viscoso e si introducono modelli ad una o
più equazioni per simulare le interazioni turbolente.
3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE
3.1.1 Equazione di continuità o di conservazione della massa
Il principio di conservazione della massa, nel caso del moto di un
fluido, si esprime dicendo che resta invariata nel tempo la massa
contenuta in un volume che si muove insieme al fluido.
Si scrive quindi
dM
dt
ˆ
d
= ρdV = 0 (3.1)
dt V(t)
Applichiamo ora il teorema del trasporto di Reynolds. Questo
permette di determinare la derivata temporale dell’integrale di
28

3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 29
una certa quantità A(xi, t) esteso ad un volume arbitrario che si
muove con il fluido.
Nel caso generale si scrive
ˆ
ˆ
d
AdV =
dt V(t)
V(t)
ˆ
∂A
dV + Au · ndS (3.2)
∂t S(t)
Bisogna ora applicare all’integrale superficiale della 3.2 il teorema
della divergenza
ˆ
ˆ
a · udS = ∇ · adV
S
Il teorema della divergenza stabilisce che il flusso di un vettore
uscente da una superficie chiusa è uguale all’integrale della
divergenza del vettore stesso, esteso al volume racchiuso.
Abbiamo così
Osservando che
ˆ
ˆ
d
AdV =
dt V(t)
V(t)
V
∂A
∂t
∇ · (Au) = (u · ∇) A + A∇ · u
+ ∇ · (Au) dV (3.3)
ed utilizzando l’espressione della derivata sostanziale
si ottiene
dA
dt
= ∂A
∂t
+ (u · ∇) A (3.4)
ˆ
ˆ
d
dA
AdV =
+ A∇ · u dV (3.5)
dt V(t)
V(t) dt
La derivata sostanziale di una grandezza fisica esprime la
variazione totale nel tempo della grandezza stessa percepita da un
osservatore solidale al moto della particella fluida. Nell’espressione
3.4 possiamo individuare due termini a secondo membro; il
primo, detto derivata locale, esprime a livello fisico la variazione
nel tempo della grandezza in un punto fissato; il secondo termine,
detto derivata convettiva, equivale alla variazione temporale
dovuta al movimento dell’elemento fluido da un punto all’altro
di un campo fluido dove le proprietà del flusso sono diverse nello
spazio.
Riprendendo la 3.1 nella forma 3.3 o nella forma 3.5 e, inserendo
per la generica A(xi, t) la densità ρ, risulta che devono essere
nulli gli integrali a secondo membro “qualunque sia il volume di

3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 30
integrazione V(t)”; devono essere quindi identicamente nulli gli
integrandi
∂ρ
+ ∇ · (ρu) = 0 (3.6)
∂t
oppure in forma equivalente
dρ
+ ρ∇ · u = 0 (3.7)
dt
La 3.6, o la 3.7, costituisce l’equazione di continuità per un fluido.
La forma in cui è espressa la 3.6, viene chiamata conservativa; la
forma della 3.7 è detta non conservativa.
Nel caso in cui dρ/dt = 0, la 3.7 fornisce Flusso
incompressibile
∇ · u = 0 ⇐⇒ ∂ui
∂xi
= 0 (3.8)
La 3.8, essendo
1 dV
= divu = ∇ · u
V dt
ci dice che la velocità di variazione relativa del volume della
particella fluida è nulla. Il flusso è quindi incompressibile.
Si noti che non è necessario che il campo di densità sia uniforme
per un flusso incompressibile, quello che è richiesto è che
la densità dell’elemento fluido non vari nel tempo quando si
muove nello spazio. Infatti la densità è in generale funzione della
temperatura oltre che della pressione: per esempio, il flusso in
un oceano può essere considerato incompressibile anche se la
densità dell’acqua non è uniforme a causa della stratificazione.
Flussi compressibili possono essere approssimati come incompressibili
se il numero di Mach è inferiore a 0.3.
3.1.2 Equazione della conservazione della quantità di moto
L’equazione della quantità di moto applicata alla massa contenuta
in un certo volume di fluido, che si muove con esso, si scrive
dQ
dt
= Fe
(3.9)
dove Fe è la risultante delle forze esterne di massa (ad es. la gravità,
la forza centrifuga) e di quelle di superficie, come gli sforzi
dovuti al fluido esterno e agenti sulla superficie S si contorno. La
3.9 diventa allora
d
dt
ˆ
V(t)
ˆ
ρudV =
V(t)
ˆ
ρfdV + T · ndS (3.10)
S(t)

3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 31
dove f è la forza di volume che si esercita per unità di massa e
T è il tensore degli sforzi. Tale tensore permette di descrivere gli
sforzi attorno ad un punto nelle varie direzioni possibili: esso è
un tensore a nove componenti scalari (a tre componenti vettoriali
rispetto alle tre direzioni degli assi coordinati prescelti). Va sottolineato
che T è un tensore simmetrico per cui Tij = Tji, cosicché
le nove componenti si riducono a sei quantità indipendenti.
Occorre ora esprimere il principio di conservazione della quantità
di moto per un volume che non varia nel tempo, cioè un
volume fisso nello spazio (formulazione Euleriana). Ciò può essere
semplicemente realizzato esprimendo le derivate temporali degli
integrali sul volume materiale V(t) mediante il teorema del
trasporto di Reynolds. Trasformiamo così il primo membro e il
secondo termine del secondo membro della 3.11 in modo che vi
appaiano soltanto integrali di volume, come è il primo termine a
secondo membro.
Se poi applichiamo il teorema della divergenza
ˆ
ˆ
T · ndS = divTdV
V
S
all’integrale superficiale avremo
ˆ
ρ du
− ρf − ∇ · T dV = 0
dt
(3.11)
Dovendo valere la 3.11 per qualsiasi volume di integrazione,
l’integrando deve essere identicamente nullo, quindi
ρ du
dt
V
= ρf + ∇ · T
Passando dall’espressione vettoriale a quella delle componenti
ed introducendo la simbologia della somma introdotta da Einstein,
o notazione indiciale 1
ρ dui
dt = ρfi + ∂
Tij
∂xj
(3.12)
dove ui è la componente i-esima della velocità istantanea, ρ è la
densità, Tij è il tensore degli sforzi e fi è la componente i-esima
della forza di volume per unità di massa.
Dalle ipotesi fatte il fluido è di tipo Newtoniano e a comporta- Fluido Newtoniano
mento isotropo. Per i fluidi Newtoniani le componenti del tensore
degli sforzi sono funzioni lineari delle componenti delle velocità
1 In ogni prodotto, l’indice ripetuto implica una somma rispetto allo stesso indice
per i valori 1, 2, 3. Quello non ripetuto può assumere uno qualsiasi dei valori
1, 2, 3.

3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 32
di deformazione. Per le componenti del tensore degli sforzi si
dimostra che
Tij = 2µεij per i = j (3.13)
Tjj = (−p + λ∇ · u) + 2µεjj (senza somma su j) (3.14)
Dalla 3.14 risulta che nel caso generale i tre sforzi normali sono
diversi tra loro, e la loro media non coincide con la pressione.
Nelle 3.13 e 3.14 µ è la viscosità dinamica che riteniamo costante,
ed εij sono le componenti del tensore delle deformazioni.
La relazione tra sforzi e velocità di deformazione si scrive
Tij = 2µεij − p + 2
µ∇ · u δij (3.15)
3
dove p è la pressione termodinamica e δij è il delta di Kronecker
δij =
1 per i = j
0 per i = j
Nella 3.14 il termine λ∇ · u descrive l’effetto della viscosità
dovuto alla variazione di volume di una particella fluida. I due
coefficienti di viscosità λ e µ sono legati tra loro dalla relazione
Essendo per i gas poliatomici
possiamo scrivere
µ ′ = λ + 2
3 µ
0 < µ ′ ≪ µ
λ = − 2
µ (3.16)
3
La quantità µ ′ , detta bulk viscosity o viscosità di massa, descrive
la differenza esistente, e dovuta alla viscosità, tra sforzo normale
medio e pressione in un fluido in espansione. In altre parole,
supponendo di avere una massa di gas viscoso che si espande
rapidamente (se ∇ · u > 0), il suo comportamento coincide con
quello di un gas non viscoso a pressione p ′ inferiore. Si dimostra
infatti che è
p ′ = p − µ ′ divu
Questo significa che un gas viscoso, sottoposto a pressione
decrescente nel tempo, si espande meno rapidamente di un gas
non viscoso sottoposto alla stessa legge temporale delle pressioni
esterne a parità delle altre condizioni.

3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 33
La 3.15 è detta equazione costitutiva. Come si vede, per i fluidi
isotropi Newtoniani, essa dipende dai due coefficienti di viscosità
λ e µ e, in virtù della 3.16, dal solo coefficiente µ.
A questo punto se introduciamo nella 3.12 l’equazione costitutiva
3.15 e le componenti del tensore di deformazione
εij = 1
∂ui
+
2 ∂xj
∂uj
∂xi
otteniamo le equazioni di Navier-Stokes in forma differenziale
ρ dui
dt = ρfi − ∂p
+
∂xi
∂
(λ∇ · u) +
∂xi
∂
∂ui
µ +
∂xj ∂xj
∂uj
∂xi
(3.17)
L’ultimo termine della 3.17 può essere scritto
µ∇ 2 ui + µ ∂
∇ · u +
∂xi
∂µ
∂ui
+
∂xj ∂xj
∂uj
∂xi
Nel caso in cui µ e λ possono essere ritenuti costanti la 3.17
diventa così
ρ dui
∂ui ∂ui
= ρ + uj
dt ∂t ∂xj
= ρfi − ∂p
+ µ∇
∂xi
2 ui + (λ + µ) ∂
(∇ · u) (3.18)
∂xi
La 3.18 può essere scritta in forma vettoriale ricordando però
che la somma (λ + µ) è, per via della 3.16, pari a µ/3
ρ du
dt = ρf − ∇p + µ∇2ū + µ
∇ (∇ · u) (3.19)
3
e nel caso in cui il fluido sia incompressibile (∇ · u = 0), la 3.19
diventa
ρ du
dt = ρf − ∇p + µ∇2 u
Una conseguenza di assumere l’ipotesi di flusso incompressibile
è che non c’è un’equazione di stato per la pressione, a
differenza del caso di flusso compressibile. Quindi non c’è un’equazione
indipendente per la pressione, ma deve essere ottenuta
dall’equazione di continuità e della quantità di moto. Inoltre se si
assume che la viscosità sia costante, allora l’equazione dell’energia
risulta disaccoppiata da quella di continuità e della quantità
di moto e nella nostra trattazione può essere tralasciata.

3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 34
3.1.3 Condizioni al contorno e condizioni iniziali
L’equazione di continuità, e l’equazione della quantità di moto,
equivalente a tre equazioni scalari, costituiscono per un flusso incompressibile
un sistema di quattro equazioni differenziali nelle
incognite u, v, w, p. Esse possono essere risolte, analiticamente o
numericamente, con opportune condizioni al contorno. In realtà
la soluzione analitica delle equazioni di Navier-Stokes presenta in
generale difficoltà insormontabili, principalmente per il fatto che
le equazioni stesse sono alle derivate parziali e non lineari. Da
questo risulta l’importanza e la necessità dell’impiego di solutori
numerici che possono sfruttare la velocità di calcolo e la precisione
del calcolatore elettronico. La risoluzione del sistema necessita
della specifica delle condizioni al contorno, e delle condizioni iniziali.
Sono proprio queste condizioni che decidono le soluzioni
da ottenere dalle equazioni di governo. Su ciascuna linea o superficie
di confine del dominio di calcolo è necessario specificare
appropriate condizioni. Dato che le equazioni di Navier-Stokes
sono di tipo ellittico nel caso incompressibile, la loro soluzione
necessita della specificazione di due condizioni al contorno per
ogni coordinata, ed una condizione iniziale (tranne che per la
pressione per la quale il valore si ricava, senza l’imposizione di
condizioni esplicite, a meno di una costante). L’ellitticità delle
equazioni implica il fatto che una variazione del valore di una
condizione al contorno in un punto qualsiasi del bordo modifica
istantaneamente la soluzione in tutto il dominio di calcolo.
3.1.4 Circolazione e vorticità
In fluidodinamica è detta circolazione il valore della circuitazione
(ovvero l’integrale di linea) di un campo di velocità lungo un
percorso chiuso C
˛
Γ = u · dℓ
C
La circuitazione, ovvero l’integrale del prodotto scalare della
velocità con l’ascissa curvilinea, equivale alla proiezione della
velocità, punto per punto, sulla curva.
Definendo la vorticità Ω come il rotore della velocità
Ω = ∇ × u
la circolazione può essere espressa, con il teorema del rotore,
anche in funzione della vorticità
˛ ¨
¨
Γ = u · dℓ = (∇ × u) · dS = Ω · ndS
∂S
S
S

3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 35
con l’ipotesi che il percorso chiuso, indicato questa volta con ∂S,
sia il contorno di una superficie S orientata. Si è indicato con n
il versore normale alla superficie diretto verso l’osservatore che
vede ∂S girare in senso antiorario.
Quindi la vorticità può anche essere interpretata come la circuitazione
della velocità per unità di superficie in un punto del
flusso.
Nei fluidi incomprimibili la vorticità nasce solo in presenza
di contorni solidi e deriva dalla necessità che ha il fluido di
soddisfare la condizione di aderenza, ossia di non scorrere sulla
parete. Infatti la velocità relativa tra fluido e contorno solido è
considerata nulla e le particelle a diretto contatto con la parete vi
aderiranno, mentre quelle appena più distanti avranno un certa
velocità relativa non nulla.
In un fluido incomprimibile la vorticità rappresenta la risultante
delle azioni viscose agenti su una particella fluida. Se questa
grandezza è zero, l’equazione che ne regola il moto è identica a
quella di un fluido non viscoso, ma questo non vuol dire che le
azioni viscose siano nulle, bensì che è nulla solo la loro risultante.
3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TUR-
BOLENZA
Nel campo di applicazione delle turbine eoliche, il flusso è sempre
turbolento. Questo significa che il moto del fluido è stocastico,
non stazionario e tridimensionale.
Per queste ragioni, il moto turbolento ed i fenomeni di trasferimento
di calore e di massa con esso associati sono estremamente
difficili da descrivere e da predire in maniera teorica. Di seguito
vengono riportati alcuni modelli matematici per descrivere i fenomeni
turbolenti e largamente usati in campo industriale nelle
simulazioni numeriche.
3.2.1 Equazioni di Navier-Stokes mediate alla Reynolds
Le equazioni di Navier-Stokes mediate (RANS) sono equazioni di
Navier-Stokes dove le grandezze risultano non più istantanee, ma
mediate in un certo periodo di tempo, sufficientemente piccolo
rispetto ai fenomeni che si vogliono seguire, sufficientemente
grande rispetto ai disturbi della turbolenza.
Per molte applicazioni pratiche, la sola conoscenza delle grandezze
medie può essere sufficiente per la soluzione del problema.
Questo approccio consente una notevole riduzione dei tempi di

3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 36
calcolo, poiché le scale del moto medio sono molto più grandi di
quelle delle fluttuazioni turbolente. In effetti un moto turbolento
può essere considerato come la sovrapposizione di un moto
medio e di un moto fluttuante nel tempo.
Usando la decomposizione di Reynolds per la velocità e la pressione
ui = ūi + u ′ i e pi = ¯pi + p ′ i
(dove i valori sopralineati indicano i valori medi e quelli con
l’apice le fluttuazioni), sostituendole nelle equazioni di Navier-
Stokes e mediando nel tempo le equazioni di Navier-Stokes stesse,
si ottiene per un flusso incompressibile
∂ūi ∂ūjūi
ρ + = ρ ¯fi +
∂t ∂xj
∂
∂xj
∂ūj
∂xj
= 0
− ¯pδij + µ
∂ūi
∂xj
+ ∂ūj
− ρu
∂xi
′ iu′
j
dove −ρu ′ iu′ j ≡ τR ij rappresenta il tensore degli sforzi di Reynolds.
L’effetto di questo termine è in genere prevalente rispetto al tensore
degli sforzi viscosi. In definitiva un moto turbolento può
essere descritto dalle stesse equazioni usate per il moto laminare,
purché si sostituiscano alle grandezze istantanee i valori mediati
nel tempo e si includano gli sforzi turbolenti aggiuntivi. Per la
presenza delle 6 nuove incognite rappresentate dalle componenti
del tensore degli sforzi di Reynolds, le due equazioni di conservazione
non costituiscono un sistema chiuso che permetta di
determinare i campi di pressione media e velocità media. Nelle
RANS è pertanto necessaria l’assunzione di un modello che leghi
in modo fisicamente consistente il tensore degli sforzi di Reynolds
alla storia globale del campo di velocità media, in modo
da consentire la chiusura delle equazioni.
I modelli di turbolenza a due equazioni sono fra i più comuni. Modelli di
Modelli come il k-ε e il k-ω sono diventati dei modelli standard turbolenza a due
equazioni
per l’industria e sono i più usati per molti tipi di problemi ingegneristici.
Per definizione, i modelli a due equazioni includono
due equazioni in più per rappresentare le proprietà turbolente del
flusso, in questo modo si tiene conto degli effetti di evoluzione
come la convezione e la diffusione di energia turbolenta. Spesso
una della variabili trasportate è l’energia cinetica turbolenta k.
La seconda variabile trasportata dipende dal tipo di modello
adottato. Le scelte più comuni sono la dissipazione turbolenta
ε, o la dissipazione specifica ω. La seconda variabile può essere
pensata come la variabile che determina la scala della turbolenza
(spaziale o temporale), invece la prima variabile k determina
l’energia nella turbolenza.

3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 37
La base per tutti i modelli a due equazioni è l’ipotesi di Bous- Ipotesi di Boussinesq
sinesq, che assume che il tensore degli stress di Reynolds τ R ij ,
è proporzionale al tensore degli sforzi Sij, e può essere scritto
come
τij = 2µtSij + 2
3 ρkδij
Dove µt è una proprietà scalare chiamata viscosità turbolenta
e viene ricavata a partire dalle due due variabili trasportate.
L’ultimo termine viene incluso per modellizzare il flusso incomprimibile
e per assicurare che venga rispettata la definizione di
energia cinetica turbolenta
k = u′ i u′ i
2
La stessa equazione può essere scritta più esplicitamente come
−ρu ′ iu′
∂ui
j = µt +
∂xj
∂uj
+
∂xi
2
3 ρkδij
L’ipotesi di Boussinesq è allo stesso tempo il punto forte e
debole dei modelli a due equazioni. Questa ipotesi è una enorme
semplificazione che permette di pensare agli effetti della
turbolenza sul flusso principale allo stesso modo come la viscosità
molecolare influisce su un flusso laminare. Questa ipotesi
permette anche di introdurre intuitivamente delle variabili scalari
turbolente, come l’energia turbolenta e la dissipazione, e di
metterle in relazione con variabili più intuitive come l’intensità
turbolenta e la scala spaziale della turbolenza.
L’intensità della turbolenza è definita come
I ≡ u′
ū
dove u ′ è il valore efficace delle fluttuazioni di velocità e ū è la
velocità principale (mediata alla Reynolds). Se l’energia cinetica
turbolenta k è nota, u ′ può essere calcolata come
u ′ ≡
1
3 (u′2 x + u ′2
y + u ′2
2
z ) =
3 k
Il punto debole dell’ipotesi di Boussinesq è che in generale non
è sempre valida. Non c’è niente che ci dice che il tensore degli
stress di Reynolds deve essere proporzionale al tensore degli
sforzi. Questo è vero per semplici flussi come strati limiti dritti o
onde, ma in flussi complessi, come flussi con grandi curvature,
o flussi fortemente accelerati o decelerati l’ipotesi di Boussinesq
non è più valida.
per la viscosità
turbolenta

3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 38
3.2.2 Equazioni di trasporto per il modello k-ε standard
Per l’energia cinetica turbolenta k si ha
∂ ∂
(ρk) + (ρkui) =
∂t ∂xi
∂
µ +
∂xj
µt
∂k
σk ∂xj
+ Pk + Pb − ρɛ − YM + Sk
Per la dissipazione ε si ha
∂ ∂
(ρɛ) + (ρɛui) =
∂t ∂xi
∂
µ +
∂xj
µt
∂ɛ
σɛ ∂xj
ɛ
+ C1ɛ
k (Pk + C3ɛPb) − C2ɛρ ɛ2
+ Sɛ
k
La viscosità turbolenta viene modellizzata come
k
µt = ρCµ
2
ɛ
Il termine di produzione di energia cinetica turbolenta Pk è
dato da
= µtS 2
Pk = −ρu ′ iu′ ∂uj
j ∂xi
dove S è il modulo del tensore dello sforzo definito come
S ≡ 2SijSij
Pb è l’effetto del galleggiamento dato da
µt ∂T
Pb = βgi
Prt ∂xi
dove Prt è il numero di Prandtl turbolento per l’energia e gi è
la componente della forza gravitazionale in direzione i. Per il
modello standard il valore di Prt è 0, 85.
Il coefficiente di dilatazione termica β è definito come
β = − 1
ρ
Le costanti del modello sono
∂ρ
∂T
C1ɛ = 1.44, C2ɛ = 1.92, Cµ = 0.09, σk = 1.0, σɛ = 1.3
p

3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 39
3.2.3 Large Eddy Simulation
La Large Eddy Simulation (LES) è una tecnica largamente usata
per simulare flussi turbolenti. Nella sua teoria del 1941, Kolmogorov
introdusse l’idea che le scale più piccole della turbolenza
fossero universali (simili per ogni flusso turbolento) e che esse
dipendono solo dalla dissipazione ε e dalla viscosità cinematica
ν. Invece le grandi scale dipendono dalla geometria del dominio.
Questa caratteristica permette di risolvere esplicitamente i vortici
più grandi e calcolare implicitamente i vortici più piccoli usando
un modello di scala di sottogriglia (SGS model)
Matematicamente, si può pensare di separare il campo di velocità
in una parte da risolvere esplicitamente e una di sottogriglia.
La parte del campo da risolvere rappresenta le grandi strutture
vorticose, mentre la parte di sottogriglia rappresenta le piccole
scale, i cui effetti sul campo fluidodinamico vengono inclusi attraverso
un modello di sottogriglia. Formalmente, si può pensare
di filtrare una funzione con un nucleo di convoluzione G
ˆ
ũi(x) = G(x − ξ)ui(ξ)dξ,
e quindi scomporre la velocità in
ui = ũi + u ′ i
dove ũi è la parte filtrata e u ′ i è il campo di sottogriglia.
Partendo dalle equazioni di Navier-Stokes per un flusso incomprimibile
in assenza di forze di massa
ρ du
dt = −∇p + µ∇2u → ∂ui ∂ui
+ uj = −
∂t ∂xj
1 ∂p
+
ρ ∂xi
∂
ν
∂xj
∂ui
∂xj
Sostituendo la decomposizione ui = ũi + u ′ i e p = ˜p + p′ e
quindi filtrando le equazioni, l’equazione risultante da l’equazio-
ne del moto per il campo filtrato
∂ũi
∂t
∂ũi
+ ũj
∂xj
= − 1 ∂ ˜p
ρ ∂xi
+ ∂
∂xj
ν ∂ũi
+
∂xj
1 ∂τij
ρ ∂xj
Abbiamo assunto che l’operazione di filtraggio e di derivazione
sono commutative; in generale non è vero, ma possiamo pensare
che gli errori associati con questa ipotesi sono molto piccoli.
Il termine aggiuntivo ∂τij/∂xj deriva dai termini non lineari
di convezione, dovuti al fatto che
∂ui
uj
∂xj
= ũj
∂ũi
∂xj

e quindi
3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 40
τij = ũiũj − uiuj
Analogamente si ricavano le equazioni per il campo di sottogriglia.
Il modello di turbolenza di sottogriglia di solito assume l’ipotesi
di Boussinesq e cerca di calcolare la parte deviatorica degli
stress di sottogriglia imponendo che
τij − 1
3 τkkδij = −2µ sgs ˜Sij
dove ˜Sij è il tensore degli sforzi per il campo filtrato definto come
˜Sij = 1
∂ũi
+
2 ∂xj
∂ũj
∂xi
e µ sgs è la viscosità turbolenta di sottogriglia. Sostituendo nelle
equazioni filtrate di Navier-Stokes, otteniamo
∂ũi ∂ũi
+ ũj = −
∂t ∂xj
1 ∂ ˜p
+
ρ ∂xi
∂
ν ∂ũi
+ νsgs
∂xj
∂xj
dove abbiamo usato l’ipotesi di incompressibilità per semplificare
l’equazione e la pressione è modificata perché include il termine
τkkδij/3.
Nel modello di Smagorinsky, la viscosità turbolenta di sotto- Modello di
griglia viene modellizzata come
Smagorinsky
µ sgs = ρ (Cs∆) 2 ¯S
Dove la lunghezza di filtraggio è presa pari a
∆ = (Volume) 1 3 e ¯S = 2SijSij
Quindi la viscosità totale sarà data da
µ eff = µ mol + µ sgs
Le costanti di Smagorinsky hanno di solito valori pari a
Cs = 0.1 ÷ 0.2
Le difficoltà legate all’uso del modello LES, in particolare nelle Detached Eddy
Simulation
regioni di parete, ha portato allo sviluppo di modelli ibridi che
cercano di combinare le proprietà migliori delle RANS e della LES
in una singola strategia di soluzione. Il modello Detached Eddy
Simulation (DES) cerca di risolvere le regioni di parete utilizzando
le Reynolds-Averaged Navier-Stokes equations (RANS), e il resto
del campo fluidodinamico con la LES.

3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 41
3.2.4 Turbolenza di parete
Lo strato limite turbolento può essere considerato composto
da tre diversi strati in cui il profilo di velocità è sensibilmente
differente:
• il sottostrato laminare (inner layer), dominato dalla diffusione
molecolare, in quanto sono nulle o molto piccole le
fluttuazioni di velocità e quindi gli sforzi di Reynolds e il
profilo di velocità è lineare;
• lo strato esterno (outer layer) nel quale sono preponderanti
gli sforzi turbolenti;
• lo strato di sovrapposizione (overlap layer o log law region)
nel quale il profilo della velocità media mostra un andamento
logaritmico.
Risultati sperimentali e numerici hanno evidenziato come all’interno
dello strato limite turbolento la velocità u possa essere
messa in relazione con la distanza dalla parete y attraverso l’uso
di parametri adimensionalizzati y + e u + definiti da
y + = yu∗
ν
e u + = u
dove u∗ è la velocità d’attrito definita come
τw
u∗ =
ρ
con τw sforzo a parete pari a
τw = h
dp
dx y=0
Il parametro y + è simile ad un numero di Reynolds locale,
quindi il suo valore determina l’importanza relativa del contributo
viscoso e del contributo turbolento nello sforzo di taglio. Per
valori di y + minori di 50 esiste un forte contributo della viscosità
molecolare allo sforzo di taglio. Per valori di y + maggiori di
30 ÷ 50 questo contributo diventa trascurabile.
Alla parete, la condizione di aderenza impone che la velocità Inner layer
sia nulla, quindi lo sforzo di Reynolds si annulla e lo sforzo alla
parete τw è dovuto interamente al contributo viscoso. Nella zona
immediatamente adiacente alla parete, gli sforzi sono totalmente
dovuti agli sforzi viscosi. Questo strato è chiamato sottostrato
viscoso, ed è molto sottile, con un basso valore di y + (y + < 5). Lo
sforzo di taglio è praticamente costante e uguale allo sforzo di
u∗

3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 42
Figura 3.1: Profilo di velocità nel viscous sublayer e nel log-layer
taglio alla parete τw. In questa zona esiste una relazione lineare
tra i due parametri adimensionali u + e y +
u + = y +
Nella log law region (y + > 30) gli effetti della viscosità mole- Log law region
colare sono trascurabili e c’è equilibrio tra la produzione e la
dissipazione di energia cinetica turbolenta. In questo strato vale
la relazione
u + = 1
κ ln y + + C
dove κ è la costante di Von Karman (0.38 < κ < 0.42) e C è un’altra
costante ottenuta sperimentalmente (≈ 5.1) e inversamente
proporzionale alla rugosità della parete. In Figura 3.1 è mostrato
il confronto tra la legge logaritmica e una simulazione numerica
diretta. Si può notare la perfetta rispondenza tra le due curve per
valori di y + > 30.
Figura 3.2: Schema riassuntivo delle regioni di un flusso di parete
(Pope, 2000)
La regione tra il sottostrato viscoso e la log-law region è detta
buffer layer. Questa è la regione di transizione tra la parte del flusso
dominata dalle forze viscose e quella dominate dalla viscosità

3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 43
turbolenta. Nel buffer layer i valori di y + sono compresi tra 5 e
30.
La zona esterna, con valori di y + maggiori di 50, è una zo- Lo strato esterno
na nella quale gli effetti della viscosità sono quasi interamente
trascurabili rispetto a quelli della viscosità turbolenta. In Figura
3.2 è proposto uno schema riassuntivo delle regioni che
contraddistinguono un flusso di parete.

4 VA W T A G E O M E T R I A VA R I A B I L E
Come accennato nell’introduzione le due configurazioni principali
di turbine eoliche ad asse verticale sono la Savonius e la
Darrieus. Queste due configurazioni hanno principio di funzionamento
aerodinamico differente: la prima lavora a resistenza,
la seconda a portanza. Questa sostanziale differenza è il motivo
per cui le prestazioni e il range di velocità in cui esse operano è
molto differente. La Savonius lavora a bassi tip speed ratio, ha il
grande vantaggio di avviarsi da sola e mantenersi in rotazione
anche a basse velocità vento, ma ha prestazioni molto basse ad
alte velocità di rotazione. Al contrario la Darrieus ha ottime
prestazioni ad alti numero di giri, ma ha il grande difetto che
non è in grado di autoavviarsi.
Dal grafico del coefficiente di potenza in funzione di λ (Figura
4.1) si vede come la configurazione Savonius abbia un massimo
per λ = 1, ovvero ha ottime prestazioni a basse velocità di rotazione,
più precisamente a velocità tangenziali uguali alla velocità
del vento, mentre la configurazione Darrieus ha un massimo per
λ = 5-6, cioè ad alte velocità di rotazione. Inoltre la configurazione
Savonius ha elevati valori di coppia all’avvio, a differenza
della Darrieus che a basse velocità ha valori di Cp negativi e non
è quindi in grado di autoavviarsi.
Figura 4.1: Andamento del coefficiente di potenza in funzione di λ per
diverse tipologie di turbine eoliche
44

VAWT A GEOMETRIA VARIABILE 45
Figura 4.2: VAWT ibride a geometria fissa
Per cercare di abbinare le caratteristiche positive dei due ti- Configurazioni ibride
pi di turbine esistono in commercio delle turbine ibride (Figura
4.2) a geometria fissa. I problemi legati a questa soluzione
sono generalmente fenomeni di interferenza aerodinamica che
compromettono le prestazioni della Darrieus esterna.
Gli studi condotti da Wakui et al. (2005) su turbine ibride confermano
che questa configurazione non è la soluzione migliore
per ottimizzare le prestazioni. In Figura 4.3 si vede come per
λ 4 il coefficiente di potenza della turbina ibrida è minore del
singolo contributo fornito dalla Darrieus, infatti ad alti λ la Savonius,
oltre a generare interferenza aerodinamica per la Darrieus,
produce una potenza negativa che riduce le prestazioni totali.
Figura 4.3: Prestazioni di una VAWT ibrida

4.1 TURBINA A GEOMETRIA VARIABILE: LA GIAMPTURBINA 46
(avvio.u3d)
Figura 4.4: GiampTurbina in configurazione di avvio
4.1 TURBINA A GEOMETRIA VARIABILE: LA GIAMP-
TURBINA
Da queste considerazioni nasce l’idea di creare una VAWT con un
semplice meccanismo di variazione di geometria che permetta
di sfruttare al massimo le potenzialità dei due diversi tipi di
configurazioni. Si è pensato di realizzare un turbina Darrieus
con all’interno una Savonius a scomparsa in modo da evitare i
fastidiosi fenomeni di interferenza aerodinamica e evitare che ad
un alto numero di giri la Savonius sottragga potenza alla turbina.
(Figura 4.4 1 ). Poichè la funzione principale della Savonius sarebbe
quella di avviare tutta la turbina o di permettere il funzionamento
a basse velocità in condizione di vento debole, si è pensato di
realizzarla in materiale facilmente ripiegabile (tessuto tipo tenda
o vela) e una volta raggiunta la minima velocità che permette alla
Darrieus di mantenersi in rotazione, la Savonius si avvolgerebbe
intorno ad una sua estremità (Figura 4.5). Quindi il braccio del
telaio che sostiene la pala della Darrieus non è perpendicolare
alla pala come nelle convenzionali configurazioni Darrieus a
geometria fissa, ma è semicircolare, in quanto è anche la guida
che permette alla vela di mantenere la forma della Savonius.
I vantaggi di questa soluzione sarebbero:
1 Se si legge questo documento su una versione di Acrobat superiore alla 7,
queste immagini sono modelli 3D con cui si può interagire col mouse.

4.1 TURBINA A GEOMETRIA VARIABILE: LA GIAMPTURBINA 47
(intermedio.u3d)
(a) intermedia
(regime.u3d)
(b) a regime
Figura 4.5: Configurazioni della GiampTurbina
1. evitare i fenomeni di interferenza aerodinamica a regime
tipici delle configurazioni ibride,
2. mantenere un semplice meccanismo di variazione di geometria,
3. si può ottimizzare la Darrieus a regime nella sua migliore
configurazione pulita, in quanto viene portata in rotazione
dalla Savonius che scompare avvolgendosi su se stessa
quando viene raggiunta una determinata velocità di
rotazione,
4. può essere una turbina di facile realizzazione tecnica e larga
diffusione.
Lo studio preliminare di questa turbina è stato condotto con
l’aiuto del software commerciale di simulazione numerica fluidodinamica
Star-CCM+. Per ridurre il tempo di calcolo è stato
analizzato il comportamento solo di una sezione di turbina. Lo
studio è stato principalmente aerodinamico e la turbina è stata
analizzata solo in configurazione di avvio e in configurazione a regime.
Gli obiettivi che si volevano raggiungere con le simulazioni
numeriche sono stati
IN CONFIGURAZIONE DI AVVIO assegnata una velocità del vento,
calcolare la coppia e vedere qual’è la massima velocità
angolare raggiungibile;
IN CONFIGURAZIONE A REGIME con la stessa velocità del vento in
ingresso, valutare se, assegnata come velocità di rotazione
iniziale la velocità raggiunta dalla Savonius, la configurazione
Darrieus è in grado di accelerare ulteriormente e
calcolare la coppia fornita.

4.2 GENERALITÀ SULLE SIMULAZIONI NUMERICHE 48
Ovviamente prima di procedere alle simulazioni di nostro interesse
è stato necessario validare il codice con dei risultati sperimentali.
Per la configurazione Savonius la validazione era stata
già effettuata da Di Paolo (2007) nella sua tesi di laurea, per la
configurazione Darrieus sono state fatte delle simulazioni in 2D
confrontando i risultati numerici con gli esperimenti di Simão
Ferreira et al. (2007a).
4.2 GENERALITÀ SULLE SIMULAZIONI NUMERI-
CHE
Il software utilizzato per le simulazioni fluidodinamiche è Star-
CCM+ 4.02. Il metodo di calcolo utilizzato è il metodo ai volumi
finiti che consiste in:
1. divisione del dominio di calcolo in volumi di controllo
discreti utilizzando una griglia di calcolo,
2. integrazione delle equazioni di governo del flusso su ogni
volume di controllo per determinare le equazioni algebriche
per le variabili incognite (velocità, pressione); l’integrazione
porta ad equazioni discrete che comportano comunque la
conservazione di ogni grandezza nel singolo volume di
controllo,
3. linearizzazione delle equazioni discretizzate e soluzione del
sistema di equazioni per produrre valori aggiornati delle
variabili.
L’assunzione che il fluido sia un continuo implica che esistono le
derivate di tutte le variabili dipendenti. In altre parole, proprietà
locali come la densità e la velocità sono definite come medie su
elementi “grandi” se comparati con la struttura microscopica
del fluido, ma abbastanza “piccoli” in confronto alla scala dei
fenomeni macroscopici. Ciò permette di descriverli con l’uso del
calcolo differenziale.
Per tenere conto della natura reale e turbolenta del flusso, il
fluido è considerato viscoso e si farà uso di modelli di turbolenza
appropriati a seconda della configurazione della turbina.
Si riporta di seguito le impostazioni sul modello fisico comuni Modello fisico
a tutte le simulazioni effettuate.
• Flusso incompressibile ad 1 atm (101325 Pa) e 25 ◦ C con
densità costante ρ = 1.184 kg/m 3 e viscosità dinamica
µ = 1.85508 · 10 −5 Pa · s. Star-CCM+ permette di stabilire

4.2 GENERALITÀ SULLE SIMULAZIONI NUMERICHE 49
una pressione detta operativa per evitare errori di troncamento
in simulazioni a basso numero di Mach. Il codice
sottrae la pressione operativa dalla pressione assoluta e
usa nei calcoli la pressione relativa. La relazione che lega
pressione assoluta p abs, pressione operativa (ambiente) pa e
pressione relativa p rel è
p abs = pa + p rel
Tutte le pressioni inserite e calcolate nelle simulazioni in
Star-CCM+ sono in termini di pressione relativa p rel.
• Modello temporale instazionario implicito: risolvere le equazioni
di governo discretizzate in maniera implicita fornisce
un margine di stabilità maggiore e permette di avere numeri
di Courant 2 maggiori dell’unità. In questo modo si possono
avere time-steps più grandi e velocità di convergenza
relativamente maggiori.
Poiché il sistema di equazioni è non-lineare, è richiesta
una soluzione iterativa per ogni time-step. Il numero di
iterazioni va scelto manualmente, in maniera empirica, ovvero
assicurandosi che dopo il ciclo di iterazioni di ogni
time-step, i residui abbiano un valore piuttosto modesto (al
massimo < 10 −2 ). Generalmente time-step piccoli implicano
che la soluzione cambi di poco da un time-step all’altro
e quindi saranno necessarie meno iterazioni interne, ci sarà
quindi un valore ottimo fra la grandezza del time-step
e il numero di iterazioni interne per avere l’accuratezza
desiderata.
• Segregated flow model: questo modello, adatto ai flussi incomprimibili,
risolve le equazioni del flusso (una per ogni
componente della velocità e una per la pressione) in modo
disaccoppiato. Il legame tra le equazioni di quantità di moto
e conservazione della massa è ricavato con un approccio
predizione-correzione.
Il profilo di velocità all’interno dello strato limite turbolento è Trattamento a parete
differente a seconda se siamo nel sottostrato viscoso o nel loglayer
(3.2.4). I modelli di turbolenza dei codici numerici tengono
presente queste differenze e possono pertanto essere divisi in
modelli di tipo Low-Reynolds number (low-y + ) e High-Reynolds
number (high-y + ). I primi fanno affidamento sulle celle localizzate
in prossimità della parete e poste all’interno del sottostrato
2 Il numero di Courant è un parametro che vincola la scelta del time-step. É
definito come C = u ∆t
∆x

4.2 GENERALITÀ SULLE SIMULAZIONI NUMERICHE 50
viscoso (y + < 5). Per tali modelli apposite funzioni tengono conto
della transizione dalla zona dominata dagli sforzi viscosi alla
zona dominata dagli effetti turbolenti: l’utilizzo di questi modelli
permette pertanto di risolvere completamente la struttura dello
strato limite, ma al tempo stesso è richiesto un elevato numero
di celle. I modelli di tipo High-Reynolds number sono invece solitamente
associati all’utilizzo di mesh meno fitte in prossimità
delle pareti con il primo strato di celle a parete localizzate all’interno
della regione logaritmica (y + > 30). Le informazioni sulle
condizioni di flusso per tali celle sono fornite dalle wall function.
Esse sono rappresentate da un set di relazioni matematiche utilizzate
per ottenere le condizioni al contorno per le equazioni di
conservazione: il modello di turbolenza risulta pertanto valido
solo all’esterno del sottostrato viscoso e quest’ultima zona non
viene risolta esplicitamente.
In tutte le simulazioni è stato usato il trattamento a parete
all-y + che è un modello ibrido che cerca di emulare l’high-y + per
mesh rade e il low-y + per mesh più fitte. Inoltre questo modello
è stato formulato per dare soluzioni soddisfacenti per mesh di
risoluzione intermedia, cioè quando il centro della cella cade nel
buffer layer dello strato limite.
Le condizioni al contorno assegnate per tutte le serie di simu- Condizioni al
lazioni sono le seguenti
contorno e iniziali
• Il valore di velocità per ogni simulazione viene fissato nella
sezione di ingresso (velocity inlet) come condizione al
contorno e in tutto il dominio come condizione iniziale.
• La pressione viene fissata nella sezione di uscita (pressure
outlet) come condizione al contorno e in tutto il dominio come
condizione iniziale, per tutte le simulazione la pressione
nella sezione di uscita è pari a 1 atm (101325 Pa).
• Per gli elementi del dominio che rappresentano profili, assi
e vele si assegna la condizione di wall. Questa condizione
equivale ad imporre le condizioni di impermeabilità ed
aderenza del fluido alla parete (no-slip).
• Nelle simulazioni 3D si assume che le sezioni superiore,
inferiore e laterali siano piani di simmetria. Star-CCM+ attribuisce
flusso nullo a tutte le grandezze di trasporto attraverso
un piano di simmetria, non esiste cioè flusso convettivo
(la componente della velocità normale al piano è nulla) e
neanche flusso diffusivo (i gradienti normali al piano, di
tutte le variabili sono nulli). Dato che non esiste sforzo
di taglio sul piano di simmetria, quest’ultimo può essere
interpretato come una parete senza attrito (slip wall).

4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 51
• Per inizializzare i modelli di turbolenza vanno specificati
anche i valori iniziali di intensità della turbolenza (3.2.1) e del
turbulent viscosity ratio, un parametro adimensionale dato
dal rapporto tra la viscosità turbolenta µt e la viscosità
dinamica del fluido µ
tvr = µt
µ
Per flussi di nostro interesse questo parametri assume valori
compresi tra 1 e 10. Nel nostro caso è stato assegnato un
valore pari a 10, invece per l’intensità turbolenta è stato
assegnato il valore iniziale di 0, 01.
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO PER
LA CONFIGURAZIONE DARRIEUS
La difficoltà maggiore nel simulare numericamente il comportamento
di una turbina Darrieus è rappresentare in modo ottimale
il fenomeno instazionario dello stallo dinamico.
Come dimostrato anche dalle simulazioni numeriche di Simão
Ferreira et al. (2007b), il modo migliore per validare i risultati numerici
con quelli sperimentali è confrontare la vorticità nell’area
del rotore, in quanto si confronta direttamente il comportamento
del flusso, piuttosto che le forze e i momenti totali che sono
un’integrale sul profilo delle forze aerodinamiche di pressione e
d’attrito, quindi un effetto del campo fluidodinamico. Per questi
confronti si useranno i risultati sperimentali ottenuti con la
tecnica Particle Image Velocimetry (PIV) da Simão Ferreira et al.
(2008).
Una volta validati i risultati per questa configurazione, si procederà
alla simulazione di una turbina Darrieus con quattro profili
equispaziati e successivamente si inserirà nella geometria anche
la Savonius già analizzata da Di Paolo (2007).
4.3.1 Geometria e griglia di calcolo
Il modello 2D realizzato rappresenta la sezione centrale di una
VAWT con una singola pala di allungamento infinito. Il dominio
di calcolo (Figura 4.6) è costituito da due pareti orizzontali distanti
1, 25 m con al centro una turbina Darrieus dal diametro di
0, 4 m con una singola pala. Il rotore è costituito da un profilo
NACA0015 di corda 0, 05 m e dall’asse di 0, 05 m di diametro.
La sezione di inlet e di outlet sono poste rispettivamente a 10D

4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 52
a monte e 14D a valle del rotore per consentire un completo
sviluppo della scia.
(a) dominio fluido
(b) turbina
Figura 4.6: Geometria della configurazione di validazione (le misure
riportate sono in m)
Il dominio è stato discretizzato in 3 sottogriglie di elementi
poligonali (Figura 4.7) con una mesh più fitta in corrispondenza
del profilo per avere un dettaglio maggiore nella descrizione della
scia.
(a) mesh del dominio fluido
(b) mesh del rotore (c) mesh del profilo
Figura 4.7: Mesh della configurazione di validazione
Per simulare la rotazione del rotore, la Mesh Rotore e Profilo
ruotano con velocità angolare costante e costituiscono la regione
Rotante, mentre la Mesh Fluido rimane fissa.

4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 53
Il profilo NACA0015 è stato generato con Xfoil e discretizzato
con 160 punti. In Tabella 4.1 sono riassunte le caratteristiche della
mesh.
Regioni → Fluido Rotante
Rotore Profilo
∆x (m) 0, 008 0, 004 0, 002
n. celle 7171 18930
celle totali 26101
Contorni → inlet lati outlet asse profilo
facce 21 258 17 58 75
spessore celle quadrilatere (m) 5 · 10 −5
Tabella 4.1: Caratteristiche della mesh di validazione
4.3.2 Risultati sperimentali
La simulazione vuole rappresentare le condizioni di flusso a
Re = 50000 con λ = 2, quindi velocità del flusso entrante pari a
V∞ = 7, 5 m/s e velocità angolare della turbina pari a ω = 75 rad/s
(11, 93 giri/s). In Figura 4.8 sono mostrati i risultati sperimentali
per questo regime ottenuti da Simão Ferreira et al. (2008). Possiamo
vedere come il flusso sia caratterizzato da un forte rilascio di
vorticità dal bordo d’attacco, dove si stacca un vortice che ruota
in senso orario (vorticità negativa) e dal bordo d’uscita, dove
si forma una scia che tende a ruotare verso l’alto a causa della
depressione generata sul dorso dal distacco dello strato limite.
La validazione della simulazione sarà effettuata confrontando
il campo di vorticità in prossimità del profilo per le posizioni
angolari 3 comprese tra θ = 90 ◦ e θ = 113 ◦ ; questa scelta è giustificata
dalla presenza in queste posizioni dell’evoluzione della
vorticità rilasciata dal bordo d’attacco. In queste due posizioni
azimutali si ha che:
• a θ = 90 ◦ la vorticità rilasciata dal bordo d’attacco si estende
in una regione lunga circa una corda; invece la scia al bordo
d’uscita è di piccola entità (Figura 4.9).
• a θ = 113 ◦ la scia rilasciata al bordo d’uscita si è estesa sul
dorso del profilo a causa della bassa pressione e la vorticità
positiva (antioraria) si è posta tra il profilo e la vorticità di
bordo d’attacco precedentemente rilasciata.
I risultati sperimentali a disposizione per i confronti sono
costituiti dal valor medio della circolazione in prossimità del
3 θ = 0 ◦ corrisponde alla posizione del profilo sotto all’asse in direzione parallela
a V∞

4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 54
(a) evoluzione della vorticità negativa (oraria) generata dal bordo
d’attacco per λ = 2 a 90 ◦ , 108 ◦ , 133 ◦ e 158 ◦
(b) evoluzione della vorticità positiva (antioraria) generata dal bordo
d’uscita
Figura 4.8: Risultati sperimentali con tecnica PIV
profilo nelle posizioni angolari di θ = 90 ◦ ,98 ◦ ,103 ◦ ,108 ◦ e 113 ◦ .
Questo valor medio è relativo al vortice rilasciato dal bordo
d’attacco quando esso è chiaramente separato dalla superficie
del profilo. Il contorno del vortice è determinato dalle zone a
vorticità nulla. In Figura 4.10 sono riportate le strutture vorticose
di 3 delle 30 misure istantanee acquisite ad ogni giro della turbina
e usate per calcolare la media della vorticità in una determinata

4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 55
Figura 4.9: Campo di vorticità a θ = 90 ◦
posizione angolare. La vorticità è adimensionalizzata rispetto alla
corda e alla velocità tangenziale della pala
Ω ∗ = Ωc
λV∞
Sebbene la struttura del vortice assomiglia a un vortice convenzionale
con un nucleo centrale di vorticità che decresce radialmente,
questa descrizione non è del tutto corretta. Infatti
possiamo notare due sostanziali differenze tra la vorticità media
e la vorticità istantanea:
• il contorno del vortice definito dalle zone a vorticità nulla
non è sempre lo stesso;
• ci sono diverse strutture vorticose più piccole (zone più
scure) nelle misure istantanee invece dell’unico vortice presente
nella misura mediata. Questi piccoli vortici hanno
intensità e posizione diversa per ogni campione.
Nonostante queste differenze, la media spaziale effettuata per
ogni singolo istante nell’area del vortice, e la media effettuata sui
30 istanti allo stesso azimut convergono allo stesso risultato. I valori
ottenuti sperimentalmente sono mostrati in Figura 4.11 dove

4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 56
(a) vorticità istantanea in 3 rotazioni differenti
(b) vorticità mediata su 30 campioni
Figura 4.10: Risultati sperimentali della distribuzione di vorticità a
θ = 113 ◦
in ordinata è rappresentata la circolazione 4 adimensionalizzata
rispetto alla corda e alla velocità tangenziale della pala
µ ∗ Γ
= µΓ
cλV∞
4 Ricordiamo che la circolazione è una grandezza derivata dalla vorticità e può
essere espressa (3.1.4) come l’integrale di superficie della vorticità Γ = ˜
S Ω ·
ndS

Circolazione adimensionale
6
5
4
3
2
1
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 57
0
85 90 95 100 105 110 115
Azimut θ [˚]
Risultati sperimentali
Laminare
k-ε
DES
Figura 4.11: Media della circolazione istantanea
4.3.3 Risultati numerici
I modelli fisici, oltre a quelli presentati in 4.2, che sono stati usati
per le simulazioni di validazione sono
Modello bidimensionale nello spazio
Modello instazionario implicito: per queste simulazioni si adotterà
un time-step pari a
∆t0 = 1 ◦ · ω −1 = π 1
·
180 75 = 2, 3271 · 10−4 s
in modo che per ogni time-step il rotore ruota di
un grado. Successivamente si modificherà questo
valore per verificare la sensibilità del modello ad un
infittimento del time-step. Il termine diffusivo viene
discretizzato al secondo ordine.
Rigid Body Motion Il modello RBM è usato per simulazioni instazionarie
dove viene specificato il moto rigido di
una porzione di mesh. In particolare, poiché si vuole
simulare il comportamento della turbina per λ = 2
e velocità di ingresso V∞ = 7, 5 m/s, la mesh relativa
al rotore ruoterà con una velocità angolare di
ω = 75 rad/s.
Il livello di instazionarietà di questo flusso è determinato dalla
frequenza ridotta k o numero di Strouhal, definito come
St = ωc
2V

4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 58
Condizioni iniziali
velocità (m/s) 7, 5
pressione (Pa) 101325
Condizioni al contorno Inlet Outlet
velocità (m/s) 7, 5
pressione (Pa) 101325
Tabella 4.2: Condizioni iniziali e al contorno
In questo esperimento, poiché V è funzione dell’azimut θ, St è
definito come
St = ωc
=
2λV∞
ωc c
=
2ωR 2R
Per questi esperimenti si ha che St = 0.125, che è un valore tipico
dei flussi instazionari. Poiché la scia del profilo e dell’asse
influiscono sul flusso del profilo nella regione sottovento, è necessario
considerare i risultati ottenuti dopo che la turbina ha
effettuato qualche giro in modo da avere una scia completamente
sviluppata. Tutti i risultati ottenuti sono relativi a posizioni angolari
del rotore successive alla fase transitoria dei primi 5 giri.
Questa soluzione sarà usata come base per l’analisi di sensibilità
all’infittimento del time-step.
I limiti dell’hardware e il tempo necessario per il calcolo di una Confronto tra diversi
simulazione numerica diretta non consentono l’uso di una griglia modelli di turbolenza
spazio-temporale abbastanza fitta per calcolare tutte le scale della
turbolenza. Con una griglia non troppo fitta, il risultato finale
risulta fortemente influenzato dal modello di turbolenza adottato.
Poiché il fenomeno dello stallo dinamico di una VAWT a bassi Tip
Speed Ratio dipende dalla separazione laminare che si verifica al
bordo d’attacco, l’uso di un modello completamente turbolento
può limitare la descrizione della separazione laminare, fornendo
una descrizione non corretta del campo fluidodinamico. Per
questo motivo sono state effettuate 3 serie di simulazioni con i
seguenti modelli:
• il modello laminare, costituito dalle equazioni di conservazione
della massa e della quantità di moto senza equazioni
di chiusura;
• il modello k-ε, dove si considerano per la chiusura del
problema due equazioni di trasporto turbolento: una per
l’energia cinetica turbolenta k ed una per la dissipazione
turbolenta ε;
• la Detached Eddy Simulation, un modello di turbolenza ibrido
che usa le RANS per modellizzare le regioni in prossimità
delle pareti e la Large Eddy Simulation per le regioni esterne.

Residual
10
1
0,1
0,01
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 59
Residuals
0,001
10700 10720 10740 10760 10780 10800 10820
Iteration
Continuity X−momentum Y−momentum
Figura 4.12: Residui per il modello laminare
Come si vedrà dai risultati delle simulazioni il modello laminare
è in grado di predire la formazione del vortice di bordo d’attacco,
ma ne sovrastima il valore di circolazione e la forma, il modello
k-ε sopprime lo sviluppo della separazione di bordo d’attacco
e descrive una distribuzione di vorticità che non corrisponde ai
risultati sperimentali. La DES fornisce la descrizione del campo
fluidodinamico più vicina ai risultati sperimentali.
Modello laminare
Di seguito si riportano i risultati del campo di vorticità nelle
posizioni angolari di θ = 90 ◦ , 98 ◦ , 103 ◦ , 108 ◦ e 113 ◦ . La procedura
operativa per calcolare il valore medio della vorticità (e di
conseguenza la circolazione) rilasciata dal bordo d’attacco, è stata
quella di selezionare solamente le celle in prossimità del profilo
con vorticità oraria (negativa) e su queste calcolare il valore medio
pesato rispetto alla grandezza della cella e moltiplicata per l’area
totale occupata dal vortice. Dalla Figura 4.12 possiamo vedere
come la soluzione giunga a convergenza per ogni time-step con
15 iterazioni, portando i residui ad un valore inferiore a 10 −2 .
Dalle figure da 4.13 a 4.17 possiamo vedere come il modello
laminare riesce a predire la formazione del vortice di bordo
d’attacco ma non ne descrive esattamente la forma. I valori
di circolazione adimensionale hanno un errore rispetto a quelli
sperimentali del 6% per θ = 90 ◦ , ma crescono dal 20% per la
posizione a θ = 98 ◦ al 25% per θ = 113 ◦ . L’errore risulta troppo
elevato per poter ritener valido il modello laminare.

4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 60
(a) Risultato sperimentale (b) contorno di vorticità nulla
(c) Modello laminare (d) vorticità nelle celle della mesh
Figura 4.13: Campo di vorticità per il modello laminare a θ = 90 ◦

4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 61
(a) Risultato sperimentale (b) contorno di vorticità nulla
(c) Modello laminare (d) vorticità nelle celle della mesh
Figura 4.14: Campo di vorticità per il modello laminare a θ = 98 ◦
(a) contorno di vorticità
nulla
(b) Modello laminare (c) vorticità nelle celle
della mesh
Figura 4.15: Campo di vorticità per il modello laminare a θ = 103 ◦

(a) contorno di vorticità
nulla
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 62
(b) Modello laminare (c) vorticità nelle celle
della mesh
Figura 4.16: Campo di vorticità per il modello laminare a θ = 108 ◦
(a) Risultato sperimentale (b) contorno di vorticità nulla
(c) Modello laminare (d) vorticità nelle celle della mesh
Figura 4.17: Campo di vorticità per il modello laminare a θ = 113 ◦

Residual
10
0,1
0,001
1E−5
1E−7
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 63
Residuals
1E−9
16800 16840 16880 16920 16960 17000 17040
Iteration
Continuity X−momentum Y−momentum Tke Tdr
Figura 4.18: Residui per il modello k-ε
(a) Risultato sperimentale (b) Modello k-ε
Figura 4.19: Campo di vorticità per il modello k-ε a θ = 90 ◦
Modello k-ε
Anche per il modello k-ε con 15 iterazioni per ogni time-step i
residui relativi alle equazioni di conservazione risultano inferiori
a 10 −2 . Invece i residui delle equazioni di trasporto dell’energia
cinetica turbolenta k e della dissipazione ε sono inferiori a 10 −7 .
(Figura 4.18).
Risulta evidente come il modello k-ε non è in grado di predire
la formazione del vortice di bordo d’attacco e addirittura i
valori di vorticità risultano inferiori del 40% rispetto ai risultati
sperimentali.

4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 64
(a) Risultato sperimentale (b) Modello k-ε
Figura 4.20: Campo di vorticità per il modello k-ε a θ = 98 ◦
(a) contorno di vorticità nulla (b) Modello k-ε
Figura 4.21: Campo di vorticità per il modello k-ε a θ = 103 ◦
(a) Risultato sperimentale (b) Modello k-ε
Figura 4.22: Campo di vorticità per il modello k-ε a θ = 113 ◦

4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 65
(a) Risultato sperimentale (b) contorno di vorticità nulla
(c) Modello DES (d) vorticità nelle celle della mesh
Figura 4.23: Campo di vorticità per il modello DES a θ = 90 ◦
Modello DES
Il motivo principale che giustifica l’utilizzo della DES è l’alto costo
computazionale che si avrebbe nel risolvere le regioni di parete
con la LES. Nel nostro caso per risolvere le regioni di parete è stato
adottato il modello Spallart-Allmaras, che è un modello ad una
equazione che risolve l’equazione di trasporto per una variabile
di viscosità modificata nota come variabile di Spalart-Allmaras.
Per il modello DES i residui risultano inferiori a 10 −2 con 15
iterazioni per ogni time-step.
Si nota come i risultati forniti dalla DES sono in grado di
fornire una descrizione più accurata dello stallo dinamico. Il
massimo dell’errore percentuale sulla circolazione nell’area del
vortice è al massimo dell’ 8% per θ = 90 ◦ e scende al 4% per
θ = 103 ◦

4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 66
(a) Risultato sperimentale (b) contorno di vorticità nulla
(c) Modello DES (d) vorticità nelle celle della mesh
Figura 4.24: Campo di vorticità per il modello DES a θ = 98 ◦
(a) contorno di vorticità
nulla
(b) Modello DES (c) vorticità nelle celle
della mesh
Figura 4.25: Campo di vorticità per il modello DES a θ = 103 ◦

(a) contorno di vorticità
nulla
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 67
(b) Modello DES (c) vorticità nelle celle
della mesh
Figura 4.26: Campo di vorticità per il modello DES a θ = 108 ◦
(a) Risultato sperimentale (b) contorno di vorticità nulla
(c) Modello DES (d) vorticità nelle celle della mesh
Figura 4.27: Campo di vorticità per il modello DES a θ = 113 ◦

4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 68
In Figura 4.28 e 4.29 si riporta l’andamento delle linee di corrente
per diverse posizioni angolari dove è possibile vedere la
zona di ricircolo a valle del profilo.
Confronti
Figura 4.28: Linee di corrente a θ = 90 ◦
Figura 4.29: Linee di corrente a θ = 113 ◦
Per avere un confronto più immediato vengono di seguito riportati
i risultati relativi alle tre serie di simulazioni

4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 69
(a) sperimentale (b) laminare
(c) k-ε (d) DES
Figura 4.30: Confronto tra i modelli di turbolenza usati per θ = 90 ◦
(a) sperimentale (b) laminare
(c) k-ε (d) DES
Figura 4.31: Confronto tra i modelli di turbolenza usati per θ = 98 ◦

4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 70
(a) sperimentale (b) laminare
(c) k-ε (d) DES
Figura 4.32: Confronto tra i modelli di turbolenza usati per θ = 113 ◦
Circolazione adimensionale
6
5
4
3
2
1
0
85 90 95 100 105 110 115
Azimut θ [˚]
Risultati sperimentali
Laminare
k-ε
DES
Figura 4.33: Confronto fra i valori di circolazione

Coefficiente di momento
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 71
Con i risultati ottenuti per le 3 serie di simulazioni è possibile fare
alcune osservazioni sui valori del coefficiente di momento della
pala durante la rotazione. Il coefficiente di momento è definito
come
M
Cm = 1
2ρλ2V 2 ∞c2 In Figura 4.34 è riportato il valore istantaneo del Cm generato
dal profilo durante la quarta e quinta rotazione per i diversi
modelli adottati.
Coefficiente di Momento
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0 50 100 150 200 250 300 350
Azimut θ [˚]
Laminare
Figura 4.34: Confronto fra i coefficienti di momento per i diversi
modelli adottati
k-ε
DES
Le osservazioni che si possono riportare sono le seguenti:
1. a seconda del modello di turbolenza adottato cambia il valore
di θ al quale si verifica il massimo della coppia. In particolare
si ha θ max = 60 ◦ per il modello laminare, θ max = 71 ◦
per la DES, θ max = 74 ◦ per il modello k-ε. Questi valori
influiscono sull’angolo di stallo, infatti da semplici considerazioni
geometriche (Figura 4.35) si ha che la velocità
relativa del profilo è
V rel =
V 2 ∞ (λ2 + 2λ cos θ + 1)
e l’angolo d’attacco relativo è
α = θ − arcsin
λV∞ sin θ
V2 ∞ (λ2
+ 2λ cos θ + 1)

4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 72
laminare k-ε DES
θ max ( ◦ ) 60 74 71
V rel (m/s) 19, 84 18, 52 18, 82
α stall ( ◦ ) 19 22, 8 22
Tabella 4.3: Valore dell’angolo di stallo per i diversi modelli di
turbolenza
Quindi per i diversi modelli si hanno gli angoli di stallo
λV∞ sin θ
β
λV∞
α
λV∞ cos θ
Vrel
V∞
θ β
V∞
Vrel
Figura 4.35: Velocità relativa
riportati in Tabella 4.3. I valori ottenuti sono confrontabili
con quelli riportati in Figura 2.4 nella pagina 15, ma il
modello laminare sottostima il valore di α per il quale si ha
la separazione mentre il modello k-ε lo sovrastima.
2. il modello laminare e il modello k-ε, che hanno riportato valori
di vorticità lontani da quelli sperimentali, sottostimano
il massimo valore del Cm
3. il modello laminare prevede un momento positivo anche
per le posizioni angolari prossime a θ = 210 ◦ , cioè quando il
profilo si sta muovendo nella stessa direzione della corrente
indisturbata.
4. nelle posizioni angolari da θ = 250 ◦ a θ = 330 ◦ il flusso è
fortemente influenzato dalla scia dell’asse del rotore, una
conseguenza di questo è che i valori relativi a due rotazioni
successive sono leggermente diversi fra loro per i modelli
turbolenti
λV∞
α
θ
θ

Sensibilità alla griglia di calcolo
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 73
Per il modello DES che riporta i risultati più vicini agli esperimenti
sono state fatte altre tre simulazioni per verificarne la sensibilità
all’infittimento della mesh e del time-step. Una prima simulazione
è stata effettuata lasciando invariato il time-step e dimezzando
la lunghezza caratteristica della Mesh Profilo (Figura 4.36), quindi
riducendo di 4 volte l’area di ogni cella.
(a) Mesh fitta (b) Mesh di riferimento
Figura 4.36: Mesh del profilo più fitta
Una seconda simulazione è stata effettuata lasciando inalterata
la mesh e dimezzando il time-step, quindi il rotore girava di 1 ◦
ogni 2 time-steps, infine l’ultima simulazione con Mesh Profilo
dimezzata e time-step dimezzato. Le simulazioni con time-step
dimezzato sono state effettuate partendo dalla soluzione col timestep
di riferimento e facendo girare la simulazione per altri due
giri del rotore.
I risultati sono riportati nelle figure 4.37 e 4.38. Si vede come
un dimezzamento della grandezza caratteristica della mesh sovrastimi
la generazione di vorticità nelle posizione angolari di nostro
interesse invece un dimezzamento del time-step non modifica di
molto la soluzione. In termini quantitativi il dimezzamento della
mesh influisce negativamente sull’errore sulla vorticità facendolo
aumentare fino al 30%. Dalla Figura 4.38 però possiamo notare
come l’infittimento della mesh lascia inalterato il massimo valore
del Cm , e modifica sensibilmente la curva solo nell’intervallo
da θ = 95 ◦ a θ = 160 ◦ invalidando i risultati nell’intervallo che
stiamo analizzando.

Circolazione adimensionale
6
5
4
3
2
1
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 74
(a) Mesh di riferimento (b) mesh dimezzata
(c) time-step dimezzato (d) mesh e time-step dimezzati
Figura 4.37: Effetto dell’infittimento della mesh
Risultati sperimentali
DES riferimento
mesh dimezzata
time-step dimezzato
mesh e time-step dimezzato
0
85 90 95 100
Azimut θ [˚]
105 110 115
Coefficiente di Momento
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
DES riferimento
mesh dimezzata
time-step dimezzato
mesh e time-step dimezzati
0 50 100 150 200 250 300 350
Azimut θ [˚]
Figura 4.38: Confronti della circolazione e del coefficiente di momento
Considerazioni finali
Il confronto della vorticità nell’area del rotore si è rivelato un
metodo efficace per validare il codice numerico dei profili in
stallo dinamico di una turbina Darrieus, in quanto si descrive
direttamente il comportamento del flusso, piuttosto che il suo
effetto secondario in termini di integrale di forza aerodinamica che
agisce sul profilo. I risultati ottenuti mostrano come il modello

4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 75
di turbolenza adottato influenza fortemente la descrizione dello
stallo dinamico. Tra i modelli usati, la Detached Eddy Simulation
ha fornito i risultati più vicini a quelli sperimentali. Il modello
DES non solo è stato in grado di predire la generazione di vorticità
e la sua convezione, ma ha dimostrato anche una buona
robustezza all’infittimento della griglia temporale. Inoltre con
queste simulazioni è stata provata l’utilità dei dati sperimentali
sul campo di velocità acquisiti con tecnica PIV per la validazione.
Il coefficiente di momento per due giri consecutivi ha riportato,
per valori di θ compresi tra 250 ◦ e 330 ◦ , valori leggermenti
diversi a causa dell’interazione pala-vortice nella zona sottovento.
Questo vuol dire che il trasporto della vorticità deve essere
modellizzato correttamente dentro tutto il rotore della turbina,
quindi per evitare una eccessiva dissipazione numerica bisogna
infittire la mesh non solo nelle vicinanze della pala ma in tutta
l’area del rotore.

5 P R E S TA Z I O N I D E L L A G I A M P T U R -
B I N A
Per studiare le prestazioni della GiampTurbina è stato usato il
modulo aggiuntivo Six Degree Of Freedom (6-DOF). Il modello
6-DOF viene usato per simulazioni instazionarie di un corpo con
6 gradi di libertà, nel nostro caso l’unico grado di libertà è la
rotazione intorno all’asse verticale. Il solutore 6-DOF calcola le
forze e i momenti generati dal flusso sul corpo rigido, la pressione
e le forze viscose vengono integrate su tutta la superficie del
corpo rigido e possono essere aggiunte forze e momenti esterni.
Le forze e i momenti che agiscono sul corpo vengono usate per
calcolare con le equazioni cardinali la traslazione del centro di
massa, la velocità angolare e l’assetto del corpo. Di conseguenza
il solutore 6-DOF muove i vertici della mesh in accordo con i
risultati di spostamento così calcolati.
In particolare il modello adottato (6-DOF Embedded Motion Model)
calcola il movimento di un oggetto mobile dentro una sfera
(nel nostro caso un cilindro). La simulazione include un’interfaccia
scorrevole interna tra il cilindro e il resto della mesh, permettendo
la rotazione del cilindro (Figura 5.1). Questo approccio
è utilizzato quando si hanno grandi angoli di rotazione, infatti
si può infittire la mesh solo dentro l’area del cilindro mobile
evitando di infittire tutta la mesh appesantendo i calcoli.
Per ridurre i tempi di calcolo è stato scelto di valutare le prestazioni
non di tutta la turbina, ma solo di una sezione. Inoltre
sempre per ridurre il tempo di calcolo è stato trovato un compromesso
tra il numero delle iterazioni per ogni time-step e il valore
dei residui, che è stato sempre mantenuto inferiore a 10 −2 .
Il diametro della turbina e la corda dei profili sono stati lasciati
inalterati rispetto alle simulazioni di validazione. In particolare il
modello utilizzato ha le seguenti caratteristiche
GEOMETRIA
MASSA
• Altezza del rotore H = 15 cm;
• Diametro della turbina D = 40 cm;
• 4 pale con profili NACA0015 di corda c = 5 cm;
76

PRESTAZIONI DELLA GIAMPTURBINA 77
• Per calcolare le caratteristiche, si ipotizza che la turbina
sia realizzata in alluminio (ρ Al = 2700 Kg/m 3 ). Per
contenere il peso è stato pensato di rendere cavi i
profili e gli assi, questa scelta è giustificata anche dal
fatto che profili e assi dovranno contenere le vele e il
meccanismo di avvolgimento. Con questa geometria
la massa della sezione di turbina è m = 0, 3212 Kg;
• Il momento d’inerzia della turbina è pari a Iz = 0, 01 Kg ·
m 2 .
• L’unica resistenza alla rotazione è data dall’inerzia
della turbina. In questo studio preliminare è stata fatta
solo un’analisi aerodinamica, infatti si è trascurata la
massa aggiuntiva del sistema di controllo per muovere
la vela e sono stati trascurati i momenti resistenti del
generatore elettrico e della trasmissione.
Figura 5.1: Sezione di GiampTurbina: il cilindro verde racchiude la
porzione di mesh solidale alla turbina
DOMINIO FLUIDO
• Il dominio ha la stessa larghezza delle simulazioni
di validazione (1, 25 m) (4.3.1) ed è lungo 4, 4 m. In
particolare si estende per 3 diametri avanti al rotore
e 7 diametri dietro (Figura 5.2): la scelta di ridurre la
lunghezza il dominio di calcolo è stata imposta dalla
necessità di limitare i tempi di calcolo (a differenza
delle simulazioni di validazioni ora le simulazioni
sono in 3D), mantenendo un’accuratezza accettabile
dei risultati numerici.

5.1 AVVIO IN CONFIGURAZIONE SAVONIUS 78
• Il cilindro rotante di fluido che contiene la turbina
ha la mesh solidale con essa e un diametro pari a
Di = 0, 46 m
• la faccia superiore e inferiore del dominio sono state
considerate come superfici di simmetria, quindi vengono
trascurati gli effetti tridimensionali del flusso
in corrispondenza delle estremità superiori e inferiori
della turbina.
Figura 5.2: Dominio di calcolo per le simulazioni della GiampTurbina
5.1 AVVIO IN CONFIGURAZIONE SAVONIUS
Il primo passo da fare per valutare le prestazioni della GiampTurbina
è studiare qual’è la coppia e la massima velocità raggiunta
in configurazione di avvio.
In particolare si vuole vedere quali sono la massima coppia,
potenza e velocità raggiunta con un vento d’ingresso di 10 m/s.
Inoltre si vuole vedere dopo quanto tempo, partendo da velocità
angolare nulla, la turbina raggiunge questi valori.
La discretizzazione del dominio è rappresentata in Figura 5.3 Caratteristiche della
e 5.4. In Tabella 5.1 sono riportate le dimensioni delle celle. Il mesh
controllo volumetrico delle dimensioni di cella è stato realizzato
tramite la creazione di volumi ideali (Figura 5.5) dove all’interno
sono stati posti i profili e gli assi, in particolare la regione Rotante
è stata posta all’interno di Cylinder 1 e i profili all’interno di Brick
1-5.

5.1 AVVIO IN CONFIGURAZIONE SAVONIUS 79
Regioni → Fluido Rotante
Rotore Profili e Assi
∆x (m) 0, 01-0, 1 0, 007 0, 004
n. celle 29002 463956
celle totali 492958
Contorni → inlet lati outlet assi profili vele
facce 51 370 51 1022 43081 11918
spessore celle quadrilatere (m) 5 · 10 −4
Tabella 5.1: Caratteristiche della mesh di avvio
Figura 5.3: Mesh avvio (sezione orizzontale)
Figura 5.4: Mesh avvio (sezione verticale)

5.1 AVVIO IN CONFIGURAZIONE SAVONIUS 80
Figura 5.5: Volumi ideali per il controllo volumetrico della mesh
Considerando le simulazioni numeriche e i relativi risultati
ottenuti da Di Paolo (2007), è stato adottato per la configurazione
d’avvio il modello di turbolenza Standard k-ε.
Per quanto riguarda la scelta del time-step, dal punto di vista Time-step
numerico vale l’indicazione riportata nelle sezioni precedenti che
prevede un valore limite per il numero di Courant nel campo
pari a circa 10. Tuttavia nel caso in esame, la modellizzazione
6-DOF introduce un ulteriore vincolo sulla scelta del time-step:
al fine di produrre soluzioni indipendenti dalla dimensione del
time-step quest’ultimo deve risultare sufficientemente piccolo e
tale da garantire che in un singolo passo temporale l’interfaccia
ruoti per una distanza inferiore della dimensione caratteristica di
cella locale. Nel nostro caso la dimensione caratteristica di cella
(L) in corrispondenza dell’interfaccia è di L = 0, 007 m mentre la
distanza dall’asse di rotazione dell’interfaccia è di Ri = 0, 23 m.
Al fine di garantire la proprietà sopra citata, il time step limite,
ovvero quello per il quale durante un singolo passo temporale la
mesh si muove di una distanza pari esattamente alla dimensione
locale di cella, può essere calcolato come
∆t = ∆θ
ω
= L
Riω
Poiché la velocità angolare varierà da zero fino ad un valore
incognito, scegliamo un time-step iniziale di ∆t = 0, 0005 s che ci
assicura la condizione di sicurezza sopra citata fino a velocità an-

5.1 AVVIO IN CONFIGURAZIONE SAVONIUS 81
golari di 60 rad/s. Se la velocità supera questo valore è possibile
ridurre il time-step durante la simulazione.
I risultati numerici ottenuti per questa simulazione sono ripor- Risultati
tati in Figura 5.6, da questi grafici è possibile riportare le seguenti
conclusioni:
• Il tempo necessario affinche si stabilizzi l’andamento periodico
della coppia e di conseguenza dell’accelerazione
e della potenza è di circa 1 s. In questo transitorio il momento
totale sviluppato dalla turbina si mantiene sempre
maggiore di zero.
• Dopo questo transitorio, i momenti delle due vele risultano
ovviamente sfasati di 180 ◦ , e si hanno due attraversamenti
dello zero. Il momento positivo risulta maggiore in valore
assoluto di quello negativo per 50 ◦ < θ < 180 ◦ , quindi per
0 ◦ < θ < 50 ◦ il momento risultante è negativo. Questo
genera delle accelerazioni negative che nell’intervallo 0 ◦ <
θ < 50 ◦ frenano la turbina. In particolare a θ = 25 ◦ il
momento è minimo;
• Notiamo (Figura 5.7) come i profili liberi generano momento
massimo per posizioni angolari di θ = 160 ◦ + k · 180 ◦ . Si
potrebbe pensare di sfasare i profili liberi spostandoli di 45 ◦
verso le vele per contrastare il momento negativo di quest’ultime
nell’intervallo 0 ◦ < θ < 50 ◦ , riducendo l’ampiezza
delle oscillazioni che potrebbero danneggiare la struttura;
• La velocità angolare ha un andamento crescente e tende
asintoticamente al valore ω = 70 rad/s, con oscillazioni
legate all’accelerazione e in particolare con due oscillazioni
per ogni giro della turbina;
• La potenza, essendo funzione della coppia, risulta negativa
negli stessi intervalli in cui il momento è negativo. La potenza
media, calcolata dopo il primo secondo di transitorio
è pari a P = 11 W. Considerando che la potenza disponibile
del vento è data da
Pw = 1
2 ρV3 ∞A = 0, 5 · 1, 184 · 10 3 · 0, 4 · 0, 15 = 35, 52 W
in fase di avvio, la GiampTurbina ha un rendimento massimo
del 30%.
In Figura 5.8 sono mostrate le streamlines e l’andamento di Streamlines e
vorticità
pressione sulle varie parti della turbina. Le zone rosse sono
quelle dove la pressione è maggiore, e notiamo come il profilo

5.1 AVVIO IN CONFIGURAZIONE SAVONIUS 82
posteriore messo in ombra dalle vele savonius abbia un colore più
chiaro. Nella figura si vede nettamente anche la zona di ricircolo
dietro la vela che avanza in direzione del flusso.
In Figura 5.9 sono mostrate le superfici di isovorticità rilasciate
dalla turbina in fase di avvio. Si può notare come, poiché la
velocità angolare sia ancora bassa, la vorticità generata dal profilo
anteriore viene trasportata dal flusso più velocemente di quanto
si sposta il profilo stesso.
Figura 5.8: Streamlines e pressione in configurazione di avvio

5.2 CONFIGURAZIONE DARRIEUS A REGIME 83
Figura 5.9: Superfici di isovorticità e turbulent viscosity ratio in avvio
5.2 CONFIGURAZIONE DARRIEUS A REGIME
Abbiamo visto come con un vento di 10 m/s la massima velocità
angolare raggiungibile in configurazione Savonius sia di 70 rad/s.
A questo punto un automatismo dovrebbe far arrotolare le vele intorno
ai propri assi per permettere alla turbina in configurazione
Darrieus di aumentare il numero di giri e quindi generare più potenza.
Con questa simulazione si vuole stabilire se, trascurando i
transitori di avvolgimento delle vele, la turbina in configurazione
Darrieus con velocità angolare iniziale di 70 rad/s e velocità del
vento in ingresso V∞ = 10 m/s è in grado di aumentare ulteriormente
la propria velocità angolare, in che modo e in quanto
tempo.
La differenza con la precedente geometria discretizzata è sola- Caratteristiche della
mente la mancanza delle vele. Si riportano di seguito le dimen- mesh
sioni di cella e le immagini della mesh a regime.

5.2 CONFIGURAZIONE DARRIEUS A REGIME 84
Regioni → Fluido Rotante
Rotore Profili e Assi
∆x (m) 0, 01-0, 1 0, 008 0, 004
n. celle 40222 485411
celle totali 525633
Contorni → inlet lati outlet assi profili
facce 51 370 51 1057 42307
spessore celle quadrilatere 5 · 10 −4 m
Tabella 5.2: Caratteristiche della mesh della configurazione a regime
Figura 5.10: Mesh regime
Figura 5.11: Mesh regime (sezione orizzontale)
Figura 5.12: Mesh regime (sezione verticale)

5.2 CONFIGURAZIONE DARRIEUS A REGIME 85
Figura 5.13: Volumi ideali per il controllo volumetrico della mesh
Il modello di turbolenza adottato è stato il DES, in accordo con
la procedura di validazione.
Facendo le stesse considerazioni per la geometria d’avvio e pre- Time-step
vedendo velocità angolari maggiori di 70 rad/s è stato impostato
un time-step ∆t = 2 · 10 −4 s.
In Figura 5.14 sono riportati i risultati numerici della simula- Risultati
zione, dai quali è possibile fare le seguenti considerazioni
• Notiamo subito come dopo un breve transitorio di meno
di 0, 1 s il momento sia sempre maggiore di zero, di conseguenza
anche la potenza erogata è sempre positiva. La
potenza media calcolata fin’ora è uguale a 4, 5 W, ma c’è da
considerare che la velocità sta ancora crescendo (la presente
simulazione è ancora in corso) e non è arrivata a una velocità
stazionaria (dalla teoria dei filetti fluidi, la massima
potenza raggiungibile dalla turbina con questa geometria è
superiore ai 15 W);
• L’andamento della velocità, come ci saremmo aspettati, è
legato alle oscillazioni dell’accelerazione (4 oscillazioni per
ogni giro) e mostra un andamento crescente. Il gradiente
risulta minore della fase di avvio, cioè la turbina accelera
più lentamente della fase di avvio.

[rad/s]
[W]
[N*m]
[rad/s 2 ]
θ [ o ]
15
10
5
0
0.2
0.1
0
10
5
0
72
71.5
71
70.5
70
360
180
0
Momento
Azimut
Velocità angolare
5.2 CONFIGURAZIONE DARRIEUS A REGIME 86
Potenza istantanea
Accelerazione angolare
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Tempo [s]
Figura 5.14: Risultati numerici in configurazione a regime per V∞ =
10 m/s
In Figura 5.15 sono mostrate le streamlines e la distribuzione Streamlines e
vorticità
di pressione sulle pale della turbina. Rispetto alla configurazione
di avvio le streamlines appaiono più ordinate, poiché la turbolenza
generata è minore, questo da un’idea anche di perché la
configurazione Darrieus sia più efficiente: l’energia cinetica del
flusso non alimenta la turbolenza, ma viene trasferita alle pale
per aumentare la loro velocità. In questa figura vediamo anche
quale dei 4 profili è maggiormente spingente in questo istante: il
profilo in basso a sinistra, più rosso, quindi più portante.
In Figura 5.16 sono mostrate le superfici di isovorticità rilasciate
dai profili della turbina a regime. Notiamo come i vortici generati

5.3 SIMULAZIONI A DIFFERENTI VELOCITÀ DEL VENTO 87
siano gli stessi già studiati nella fase di validazione.
Da un confronto tra le due configurazioni, notiamo subito come
la coppia di spunto della configurazione di avvio (picchi di
50 rad/s 2 ) sia maggiore della coppia a regime ma l’accelerazione
media ha un andamento decrescente con la velocità (si hanno
picchi di accelerazione negativa, crescenti con la velocità). Al
contrario la configurazione a regime ha picchi di accelerazione
assai più modesti (10 rad/s 2 ) della configurazione Savonius, ma
l’accelerazione media non decresce con la velocità. Ci aspettiamo
quindi una maggiore generazione di potenza legata ad un più
alto numero di giri raggiungibile dalla turbina. Purtroppo da
queste prime simulazioni preliminari non è stato possibile valutare
la velocità massima raggiungibile a regime. Questo perché
aumentando la velocità di rotazione, va ridotto il time-step per i
motivi già citati e si avrebbero tempi di calcolo esageratamente
lunghi da eseguire con un singolo calcolatore.
5.3 SIMULAZIONI A DIFFERENTI VELOCITÀ DEL
VENTO
Le stesse simulazioni sono state effettute con velocità del vento
pari a V∞ = 5 m/s. Si riportano di seguito i risultati ottenuti.
[N*m]
θ [ o ]
[W]
3
2
1
0
-1
0.2
0.1
0
-0.1
360
180
Azimut
Potenza istantanea
Momento vela 1
Momento vela 2
Momento profili liberi
Momento totale
0
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3
Tempo [s]
Figura 5.17: Momenti in configurazione di avvio per V∞ = 5 m/s

[N*m]
θ [ o ]
[W]
[rad/s 2 ]
[rad/s]
4
3
2
1
0
-1
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
15
10
5
0
-5
30
25
20
15
10
5
360
180
5.3 SIMULAZIONI A DIFFERENTI VELOCITÀ DEL VENTO 88
Azimut
Potenza istantanea
Momento vela 1
Momento vela 2
Momento profili liberi
Momento totale
Accelerazione angolare
Velocità angolare
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Tempo [s]
Figura 5.18: Risultati numerici in configurazione di avvio per V∞ =
5 m/s
Il comportamento in fase di avvio è lo stesso del caso precedente:
la velocità mostra un andamento crescente nei primi istanti di
avviamento e raggiunge un valore asintotico, in questo caso pari
a ω = 30 rad/s. La potenza media in configurazione di avvio
risulta pari a 2 W, invece in configurazione a regime, la potenza
media è quasi nulla, questo perché l’accelerazione media è molto
bassa ( ˙ω = 1, 5 rad/s 2 ). Dai valori a regime si può concludere
che il valore di velocità del vento V∞ = 5 m/s può essere preso
come limite inferiore per l’avvolgimento della turbina: sotto questa
velocità la turbina deve rimanere in configurazione d’avvio
per poter sfruttare al massimo le basse velocità del vento.

[rad/s]
[W]
[N*m]
[rad/s 2 ]
θ [ o ]
0.5
0
-0.5
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
30.05
30
360
180
0
5.3 SIMULAZIONI A DIFFERENTI VELOCITÀ DEL VENTO 89
Momento
Azimut
Potenza istantanea
Accelerazione angolare
Velocità angolare
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Tempo [s]
Figura 5.19: Risultati numerici in configurazione a regime per V∞ =
5 m/s
Si riportano i risultati di un’ulteriore simulazione in configurazione
d’avvio con vento a V∞ = 2 m/s (Figura 5.20). In queste
condizioni la potenza specifica del vento è assai ridotta
˜Pw = 1
2 ρV3 ∞ = 4, 7 W/m 2
e la potenza che si può sfruttare è praticamente nulla. Con
questa simulazione si voleva piuttosto mostrare come, anche a
velocità del vento estremamente basse, la configurazione Savonius
è ancora in grado di avviarsi, seppur molto lentamente. Questa
caratteristica conferma la proprietà della GiampTurbina di essere

5.3 SIMULAZIONI A DIFFERENTI VELOCITÀ DEL VENTO 90
adatta ad un uso “domestico”, potendo operare in un vasto range
di velocità del vento.
[W]
[N*m]
θ [ o ]
[rad/s 2 ]
[rad/s]
0.1
0.05
0
0.03
0.02
0.01
0
3
2
1
0
3
2
1
0
180
Momento totale
Azimut
Potenza istantanea
Accelerazione angolare
Velocità angolare
0
0 0.5 1 1.5 2
Tempo [s]
Figura 5.20: Risultati numerici in configurazione d’avvio per V∞ =
2 m/s

[W]
[N*m]
[rad/s 2 ]
[rad/s]
θ [ o ]
30
20
10
0
-10
0.8
0.4
0
-0.4
-0.8
50
30
10
-10
70
50
30
10
360
180
5.3 SIMULAZIONI A DIFFERENTI VELOCITÀ DEL VENTO 91
Azimut
Potenza istantanea
Momento vela 1
Momento vela 2
Momento profili liberi
Momento totale
Accelerazione angolare
Velocità angolare
0
0 0.5 1 1.5 2
Tempo [s]
Figura 5.6: Risultati numerici in configurazione di avvio per
V∞ = 10 m/s

[W]
[N*m]
θ [ o ]
30
20
10
0
-10
0.8
0.4
0
-0.4
-0.8
360
180
5.3 SIMULAZIONI A DIFFERENTI VELOCITÀ DEL VENTO 92
Azimut
Potenza istantanea
Momento vela 1
Momento vela 2
Momento profili liberi
Momento totale
0
1.98 2.02 2.06 2.1 2.14 2.18 2.22 2.26
Tempo [s]
Figura 5.7: Momenti in configurazione di avvio per V∞ = 10 m/s
Figura 5.15: Streamlines e pressione in configurazione a regime

5.3 SIMULAZIONI A DIFFERENTI VELOCITÀ DEL VENTO 93
Figura 5.16: Superfici di isovorticità e turbulent viscosity ratio a regime

6 C O N C L U S I O N I
I risultati numerici ottenuti con queste prime simulazioni preliminari
sono confortanti e confermano che una Savonius avvolgibile
può essere una buona soluzione per avviare una Darrieus. Ovviamente
sono necessarie altre simulazioni per affinare i risultati,
in particolare sarebbe positivo poter simulare tutto il flusso tridimensionale
e non solo una sezione di flusso intorno alla turbina.
Per una simulazione della turbina completa è necessario però Tempi di calcolo
un cluster di processori, in quanto le simulazioni effettuate per
questa tesi sono il risultato di un compromesso tra accuratezza
dei risultati (i residui sono stati mantenuti inferiori a 10 −2 , ma
è consigliabile un valore minore) e tempi di calcolo ragionevoli.
Per riportare un esempio, nella simulazione in configurazione
di avvio a V∞ = 10 m/s il time-step era pari a ∆t = 5 · 10 −4 s,
per ogni time-step sono state impostate 6 iterazioni per avere
residui inferiori a 10 −2 , per ogni iterazione il tempo di calcolo
con un processore a 2, 5 GHz è stato di circa ti = 60 s (oltre alle
equazioni di Navier-Stokes e ai modelli di turbolenza, andavano
risolte anche le equazioni cardinali discretizzate del corpo rigido).
Quindi per simulare un secondo di flusso e di movimento della
turbina, il tempo di calcolo è stato pari a
ti · i · 1
1
= 60 · 6 ·
∆t 0, 0005 = 720 · 103s ≈ 8, 3 giorni
Questo valore giustifica la necessità di far lavorare più processori
in parallelo.
Inoltre le simulazioni con la geometria completa permetterebbero
di studiare l’ottimizzazione del design della turbina, infatti
si potrebbero valutare le seguenti modifiche
• valutare se esiste un rapporto tra diametro della Savonius e
diametro della Darrieus che ottimizza le prestazioni.
• trovare il miglior rapporto tra altezza e diametro (H/D)
e tra corda del profilo e diametro della turbina (c/D), e
valutare se cambiando tipo di profilo, con diverso spessore
e curvatura le prestazioni migliorano.
• valutare se esiste un migliore posizionamento relativo delle
pale. In questo studio le pale sono equispaziate (∆θ = 90 ◦ ),
94

CONCLUSIONI 95
ma dai risultati numerici in configurazione di avvio (5.1) si
vede che per ridurre l’ampiezza di oscillazione della coppia
si potrebbero sfasare i profili di 45 ◦ .
Si dovrebbe valutare a questo punto se il posizionamento relativo
dei profili non modifica eccessivamente le loro prestazioni rispetto
alla condizione in cui operano a distanze maggiori. A titolo
d’esempio si riporta il risultato di una simulazione numerica
con la geometria di validazione (4.3.1) in cui è stato aggiunto un
profilo a distanza ∆θ = 180 ◦ . Con questa simulazione si voleva
vedere se c’era qualche effetto di interferenza aerodinamica
rispetto al caso con una singola pala. Nel grafico sono riportati,
per ogni simulazione, i valori di due rotazioni successive, la
velocità d’ingresso è di V∞ = 7, 5 m/s e λ = 3, 5. Si può vedere
chiaramente come il Cm istantaneo massimo si riduce e aumenta
quello negativo. Andrebbe effettuato uno studio più approfondito
per ridurre al massimo questi effetti legati all’interferenza
aerodinamica.
Coefficiente di Momento
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
Tsr=3,5 - Re=70000 due pale
Tsr=3,5 - Re=70000 una pala
0 50 100 150 200 250 300 350
Azimut θ [Ê]
Figura 6.1: Effetto sulla coppia dell’interferenza aerodinamica fra
profili
• Si è visto come tutte le grandezze derivate dalla coppia
(accelerazione, velocità, potenza) hanno un andamento periodico:
la frequenza è legata alla velocità di rotazione e il
valore istantaneo alla posizione angolare della pala. Queste
oscillazioni inducono fatica sulle strutture e andrebbero evitate:
per far questo si può pensare di sfasare ogni sezione di
un certo ∆θ, in modo che sommando grandezze con stessa
frequenza ma diversa fase si ottiene un valore costante e
indipendente dalla fase. Sfasando le pale in modo continuo
si otterrebbero delle pale elicoidali (Figura 6.2). Una
simulazione 3D della turbina completa permetterebbe di

CONCLUSIONI 96
valutare gli effetti tridimensionali del flusso legati a questa
particolare geometria.
(giampelix.u3d)
Figura 6.2: GiampTurbina con profili elicoidali
• Tutte le simulazioni sono state effettuate mantenendo costante
la velocità del vento in ingresso. Questa è un’ipotesi
piuttosto grossolana, poiché il vento ha la caratteristica di
essere incostante. Altre simulazioni andrebbero fatte impostando
la condizione al contorno sulla velocità variabile
nel tempo (time-varying boundary conditions) nella sezioni di
ingresso, per vedere qual’è la risposta della turbina alla
variazione della velocità del vento.
• Infine sarebbe necessario costruire un prototipo della Giamp-
Turbina da provare in galleria del vento. Un riscontro dei
risultati numerici nelle prove sperimentali fornirebbe la definitiva
conferma della validità delle ipotesi e dei modelli
matematici usati nelle simulazioni.

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