Analisi numerica di una turbina eolica ad asse verticale - Atomino FVG

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3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 33 La 3.15 è detta equazione costitutiva. Come si vede, per i fluidi isotropi Newtoniani, essa dipende dai due coefficienti di viscosità λ e µ e, in virtù della 3.16, dal solo coefficiente µ. A questo punto se introduciamo nella 3.12 l’equazione costitutiva 3.15 e le componenti del tensore di deformazione εij = 1 ∂ui + 2 ∂xj ∂uj ∂xi otteniamo le equazioni di Navier-Stokes in forma differenziale ρ dui dt = ρfi − ∂p + ∂xi ∂ (λ∇ · u) + ∂xi ∂ ∂ui µ + ∂xj ∂xj ∂uj ∂xi (3.17) L’ultimo termine della 3.17 può essere scritto µ∇ 2 ui + µ ∂ ∇ · u + ∂xi ∂µ ∂ui + ∂xj ∂xj ∂uj ∂xi Nel caso in cui µ e λ possono essere ritenuti costanti la 3.17 diventa così ρ dui ∂ui ∂ui = ρ + uj dt ∂t ∂xj = ρfi − ∂p + µ∇ ∂xi 2 ui + (λ + µ) ∂ (∇ · u) (3.18) ∂xi La 3.18 può essere scritta in forma vettoriale ricordando però che la somma (λ + µ) è, per via della 3.16, pari a µ/3 ρ du dt = ρf − ∇p + µ∇2ū + µ ∇ (∇ · u) (3.19) 3 e nel caso in cui il fluido sia incompressibile (∇ · u = 0), la 3.19 diventa ρ du dt = ρf − ∇p + µ∇2 u Una conseguenza di assumere l’ipotesi di flusso incompressibile è che non c’è un’equazione di stato per la pressione, a differenza del caso di flusso compressibile. Quindi non c’è un’equazione indipendente per la pressione, ma deve essere ottenuta dall’equazione di continuità e della quantità di moto. Inoltre se si assume che la viscosità sia costante, allora l’equazione dell’energia risulta disaccoppiata da quella di continuità e della quantità di moto e nella nostra trattazione può essere tralasciata.
3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 34 3.1.3 Condizioni al contorno e condizioni iniziali L’equazione di continuità, e l’equazione della quantità di moto, equivalente a tre equazioni scalari, costituiscono per un flusso incompressibile un sistema di quattro equazioni differenziali nelle incognite u, v, w, p. Esse possono essere risolte, analiticamente o numericamente, con opportune condizioni al contorno. In realtà la soluzione analitica delle equazioni di Navier-Stokes presenta in generale difficoltà insormontabili, principalmente per il fatto che le equazioni stesse sono alle derivate parziali e non lineari. Da questo risulta l’importanza e la necessità dell’impiego di solutori numerici che possono sfruttare la velocità di calcolo e la precisione del calcolatore elettronico. La risoluzione del sistema necessita della specifica delle condizioni al contorno, e delle condizioni iniziali. Sono proprio queste condizioni che decidono le soluzioni da ottenere dalle equazioni di governo. Su ciascuna linea o superficie di confine del dominio di calcolo è necessario specificare appropriate condizioni. Dato che le equazioni di Navier-Stokes sono di tipo ellittico nel caso incompressibile, la loro soluzione necessita della specificazione di due condizioni al contorno per ogni coordinata, ed una condizione iniziale (tranne che per la pressione per la quale il valore si ricava, senza l’imposizione di condizioni esplicite, a meno di una costante). L’ellitticità delle equazioni implica il fatto che una variazione del valore di una condizione al contorno in un punto qualsiasi del bordo modifica istantaneamente la soluzione in tutto il dominio di calcolo. 3.1.4 Circolazione e vorticità In fluidodinamica è detta circolazione il valore della circuitazione (ovvero l’integrale di linea) di un campo di velocità lungo un percorso chiuso C ˛ Γ = u · dℓ C La circuitazione, ovvero l’integrale del prodotto scalare della velocità con l’ascissa curvilinea, equivale alla proiezione della velocità, punto per punto, sulla curva. Definendo la vorticità Ω come il rotore della velocità Ω = ∇ × u la circolazione può essere espressa, con il teorema del rotore, anche in funzione della vorticità ˛ ¨ ¨ Γ = u · dℓ = (∇ × u) · dS = Ω · ndS ∂S S S
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