Analisi numerica di una turbina eolica ad asse verticale - Atomino FVG

3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 29
una certa quantità A(xi, t) esteso ad un volume arbitrario che si
muove con il fluido.
Nel caso generale si scrive
ˆ
ˆ
d
AdV =
dt V(t)
V(t)
ˆ
∂A
dV + Au · ndS (3.2)
∂t S(t)
Bisogna ora applicare all’integrale superficiale della 3.2 il teorema
della divergenza
ˆ
ˆ
a · udS = ∇ · adV
S
Il teorema della divergenza stabilisce che il flusso di un vettore
uscente da una superficie chiusa è uguale all’integrale della
divergenza del vettore stesso, esteso al volume racchiuso.
Abbiamo così
Osservando che
ˆ
ˆ
d
AdV =
dt V(t)
V(t)
V
∂A
∂t
∇ · (Au) = (u · ∇) A + A∇ · u
+ ∇ · (Au) dV (3.3)
ed utilizzando l’espressione della derivata sostanziale
si ottiene
dA
dt
= ∂A
∂t
+ (u · ∇) A (3.4)
ˆ
ˆ
d
dA
AdV =
+ A∇ · u dV (3.5)
dt V(t)
V(t) dt
La derivata sostanziale di una grandezza fisica esprime la
variazione totale nel tempo della grandezza stessa percepita da un
osservatore solidale al moto della particella fluida. Nell’espressione
3.4 possiamo individuare due termini a secondo membro; il
primo, detto derivata locale, esprime a livello fisico la variazione
nel tempo della grandezza in un punto fissato; il secondo termine,
detto derivata convettiva, equivale alla variazione temporale
dovuta al movimento dell’elemento fluido da un punto all’altro
di un campo fluido dove le proprietà del flusso sono diverse nello
spazio.
Riprendendo la 3.1 nella forma 3.3 o nella forma 3.5 e, inserendo
per la generica A(xi, t) la densità ρ, risulta che devono essere
nulli gli integrali a secondo membro “qualunque sia il volume di