Analisi numerica di una turbina eolica ad asse verticale - Atomino FVG

3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 33
La 3.15 è detta equazione costitutiva. Come si vede, per i fluidi
isotropi Newtoniani, essa dipende dai due coefficienti di viscosità
λ e µ e, in virtù della 3.16, dal solo coefficiente µ.
A questo punto se introduciamo nella 3.12 l’equazione costitutiva
3.15 e le componenti del tensore di deformazione
εij = 1
∂ui
+
2 ∂xj
∂uj
∂xi
otteniamo le equazioni di Navier-Stokes in forma differenziale
ρ dui
dt = ρfi − ∂p
+
∂xi
∂
(λ∇ · u) +
∂xi
∂
∂ui
µ +
∂xj ∂xj
∂uj
∂xi
(3.17)
L’ultimo termine della 3.17 può essere scritto
µ∇ 2 ui + µ ∂
∇ · u +
∂xi
∂µ
∂ui
+
∂xj ∂xj
∂uj
∂xi
Nel caso in cui µ e λ possono essere ritenuti costanti la 3.17
diventa così
ρ dui
∂ui ∂ui
= ρ + uj
dt ∂t ∂xj
= ρfi − ∂p
+ µ∇
∂xi
2 ui + (λ + µ) ∂
(∇ · u) (3.18)
∂xi
La 3.18 può essere scritta in forma vettoriale ricordando però
che la somma (λ + µ) è, per via della 3.16, pari a µ/3
ρ du
dt = ρf − ∇p + µ∇2ū + µ
∇ (∇ · u) (3.19)
3
e nel caso in cui il fluido sia incompressibile (∇ · u = 0), la 3.19
diventa
ρ du
dt = ρf − ∇p + µ∇2 u
Una conseguenza di assumere l’ipotesi di flusso incompressibile
è che non c’è un’equazione di stato per la pressione, a
differenza del caso di flusso compressibile. Quindi non c’è un’equazione
indipendente per la pressione, ma deve essere ottenuta
dall’equazione di continuità e della quantità di moto. Inoltre se si
assume che la viscosità sia costante, allora l’equazione dell’energia
risulta disaccoppiata da quella di continuità e della quantità
di moto e nella nostra trattazione può essere tralasciata.