Analisi numerica di una turbina eolica ad asse verticale - Atomino FVG
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Laureando:<br />
Giampaolo Cetraro<br />
Matricola 09110552<br />
FACOLTÀ DI INGEGNERIA<br />
CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA IN INGEGNERIA AERONAUTICA<br />
TESI DI LAUREA MAGISTRALE<br />
<strong>Analisi</strong> <strong>numerica</strong> <strong>di</strong> <strong>una</strong> <strong>turbina</strong> <strong>eolica</strong><br />
<strong>ad</strong> <strong>asse</strong> <strong>verticale</strong><br />
Anno Acc<strong>ad</strong>emico 2008-2009<br />
Relatore:<br />
Prof. Fausto Gamma<br />
Correlatore:<br />
Ing. Roberto Liberatore
I N D I C E<br />
1 Introduzione 4<br />
1.1 Generatori eolici 5<br />
1.1.1 Turbina Savonius 8<br />
1.1.2 Turbina Darrieus 9<br />
1.2 Obiettivo della tesi 10<br />
2 Aero<strong>di</strong>namica <strong>di</strong> <strong>una</strong> VAWT a portanza 12<br />
2.1 Descrizione qualitativa del flusso 12<br />
2.2 Potenza del vento 19<br />
2.3 Modello dei tubi <strong>di</strong> flusso per un rotore Darrieus 23<br />
3 Le equazioni del moto dei flui<strong>di</strong> 28<br />
3.1 Equazioni <strong>di</strong> conservazione 28<br />
3.1.1 Equazione <strong>di</strong> continuità 28<br />
3.1.2 Conservazione della quantità <strong>di</strong> moto 30<br />
3.1.3 Con<strong>di</strong>zioni al contorno e iniziali 34<br />
3.1.4 Circolazione e vorticità 34<br />
3.2 Cenni sulla modellizzazione della turbolenza 35<br />
3.2.1 Equazioni <strong>di</strong> Navier-Stokes me<strong>di</strong>ate alla<br />
Reynolds 35<br />
3.2.2 Modello k-ε 38<br />
3.2.3 Large Eddy Simulation 39<br />
3.2.4 Turbolenza <strong>di</strong> parete 41<br />
4 VAWT a geometria variabile 44<br />
4.1 Turbina a geometria variabile: la GiampTurbina 46<br />
4.2 Generalità sulle simulazioni numeriche 48<br />
4.3 Validazione del co<strong>di</strong>ce numerico 51<br />
4.3.1 Geometria e griglia <strong>di</strong> calcolo 51<br />
4.3.2 Risultati sperimentali 53<br />
4.3.3 Risultati numerici 57<br />
5 Prestazioni della GiampTurbina 76<br />
5.1 Avvio in configurazione Savonius 78<br />
5.2 Configurazione Darrieus a regime 83<br />
5.3 Simulazioni a <strong>di</strong>fferenti velocità del vento 87<br />
6 Conclusioni 94<br />
BIBLIOGRAFIA 97<br />
1
E L E N C O D E I S I M B O L I<br />
α Angolo <strong>di</strong> attacco [ ◦ ]<br />
c corda del profilo [m]<br />
CD Coefficiente <strong>di</strong> resistenza [−]<br />
CL Coefficiente <strong>di</strong> portanza [−]<br />
Cm Coefficiente <strong>di</strong> momento [−]<br />
Cp Coefficiente <strong>di</strong> potenza [−]<br />
D Diametro esterno della <strong>turbina</strong> [m]<br />
H Altezza della <strong>turbina</strong> [m]<br />
R Raggio esterno del rotore [m]<br />
Re Numero <strong>di</strong> Reynolds ≡ ℓV∞/ν [−]<br />
s Soli<strong>di</strong>tà ≡ Nc/D [−]<br />
St Numero <strong>di</strong> Strouhal (o frequenza ridotta) ≡ ωc/2V [−]<br />
U ′ Velocità del vento in corrispondenza del rotore [m/s]<br />
V∞ Velocità del flusso in<strong>di</strong>sturbato [m/s]<br />
Vrel Velocità relativa del profilo [m/s]<br />
Γ Circolazione<br />
<br />
m2 /s<br />
λ Tip Speed Ratio ≡ ωR/V∞ [−]<br />
˙m Portata [Kg/s]<br />
µ Viscosità assoluta (o <strong>di</strong>namica) [Pa · s]<br />
µΓ Valor me<strong>di</strong>o della circolazione<br />
<br />
m2 /s<br />
ν Viscosità cinematica ≡ µ/ρ<br />
<br />
m2 /s<br />
Ω Vorticità<br />
<br />
s−1 <br />
ω Velocità angolare del rotore [r<strong>ad</strong>/s]<br />
˜Pw Potenza specifica del vento ≡ 1<br />
2ρV3 ∞<br />
<br />
W/m2 <br />
2
ρ Densità<br />
Kg/m 3 <br />
θ Azimut, posizione angolare della pala della <strong>turbina</strong> [ ◦ ]<br />
u, ui In gr<strong>asse</strong>tto sono in<strong>di</strong>cate le quantità vettoriali e in carattere<br />
normale le quantità scalari<br />
ACRONIMI<br />
HAWT Horizontal Axis Wind Turbine<br />
VAWT Vertical Axis Wind Turbine<br />
CFD Computational Fluid Dynamics<br />
DNS Direct Numerical Simulation<br />
RANS Reynolds-Averaged Navier-Stokes equations<br />
DES Detached Eddy Simulation<br />
LES Large Eddy Simulation<br />
6-DOF Six Degree Of Freedom<br />
RBM Rigid Body Motion<br />
PIV Particle Image Velocimetry<br />
LDV Laser Doppler Velocimetry<br />
NACA National Advisory Committee for Aeronautics<br />
3
1 I N T R O D U Z I O N E<br />
Il vento è il movimento dell’aria nell’atmosfera tra zone <strong>ad</strong> alta<br />
pressione e a bassa pressione, causate da un irregolare riscaldamento<br />
della superficie terrestre da parte del sole. Quando l’aria<br />
sulla superficie calda si riscalda, sale creando <strong>una</strong> zona <strong>di</strong> bassa<br />
pressione. L’aria dalle zone <strong>di</strong> alta pressione fluisce verso l’area<br />
<strong>di</strong> bassa pressione, creando il vento. Per questo motivo il vento è<br />
chiamato energia solare in<strong>di</strong>retta.<br />
L’energia <strong>eolica</strong> è il prodotto della conversione dell’energia<br />
cinetica del vento in altre forme <strong>di</strong> energia. Attualmente viene<br />
per lo più convertita in energia elettrica tramite <strong>una</strong> centrale<br />
<strong>eolica</strong>, mentre in passato l’energia del vento veniva utilizzata<br />
imme<strong>di</strong>atamente sul posto come energia motrice per applicazioni<br />
industriali e pre-industriali. Prima tra tutte le energie rinnovabili<br />
per il rapporto costo/produzione, è stata anche la prima fonte<br />
energetica rinnovabile usata dall’uomo.<br />
Il vento varia nel tempo <strong>di</strong> intensità e <strong>di</strong>rezione, e il potenziale<br />
<strong>di</strong> un sito eolico è generalmente valutato come funzione della me<strong>di</strong>a<br />
annuale della velocità del vento. Il vento varia con l’altitu<strong>di</strong>ne<br />
e la velocità del vento è spesso influenzata dalle caratteristiche<br />
del terreno come i pen<strong>di</strong>i. La variazione della velocità del vento<br />
con l’altitu<strong>di</strong>ne è dovuta all’attrito tra l’aria e la superficie della<br />
terra (strato limite atmosferico). Tutte le stazioni metereologiche<br />
riportano la velocità del vento <strong>ad</strong> un’altezza standard <strong>di</strong> 10 m dal<br />
terreno. Il vento vicino le increspature del terreno accelera per<br />
superare il pen<strong>di</strong>o, quin<strong>di</strong> rallenta (e spesso <strong>di</strong>venta un flusso<br />
molto turbolento) nella parte lontana dal pen<strong>di</strong>o.<br />
Nonostante la pesante crisi finanziaria, il 2008 è stato un anno Evoluzione del<br />
record per l’energia <strong>eolica</strong>, con oltre 27000 MW <strong>di</strong> nuova potenza<br />
installata in tutto il mondo, pari alla potenza generata da 27<br />
centrali nucleari con <strong>una</strong> potenza me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> 1000 MW. Negli anni<br />
precedenti la nuova potenza installata è stata rispettivamente<br />
<strong>di</strong> 20000 MW (2007), 15000MW (2006) e <strong>di</strong> 11000 MW (2005).<br />
Questa crescita esponenziale ha portato <strong>ad</strong> avere già alla fine del<br />
2008, <strong>una</strong> potenza cumulata totale <strong>di</strong> oltre 120000 MW, pari <strong>ad</strong><br />
oltre l’ 1, 5% del fabbisogno mon<strong>di</strong>ale <strong>di</strong> energia 1 , e si prevede che<br />
già alla fine <strong>di</strong> questo anno, si possa arrivare a sfiorare la quota<br />
1 Dati del report 2008 della World Wind Energy Association (<br />
)<br />
4<br />
settore dell’energia<br />
<strong>eolica</strong>
1.1 GENERATORI EOLICI 5<br />
del 2%. Con questi alti tassi <strong>di</strong> crescita, si stima che ogni tre anni,<br />
si possa incrementare <strong>di</strong> 1 punto percentuale la copertura del<br />
fabbisogno mon<strong>di</strong>ale <strong>di</strong> energia tramite questa fonte <strong>di</strong> energia<br />
pulita, che anno dopo anno arriverà a conquistare <strong>una</strong> sempre<br />
maggiore quota mon<strong>di</strong>ale. Solo in Europa nel 2008 la quota <strong>di</strong><br />
nuova potenza <strong>eolica</strong> installata è stata superiore agli altri tipi <strong>di</strong><br />
generazione. Le statistiche effettuate dall’European Wind Energy<br />
Association mostrano come il 36% della nuova potenza installata<br />
sia <strong>eolica</strong>, superando le altre tecnologie (gas, carbone, energia<br />
nucleare).<br />
Grazie ai recenti sviluppi tecnologici l’energia <strong>eolica</strong> inizia <strong>ad</strong> Costi dell’eolico<br />
essere economicamente vantaggiosa. Il costo <strong>di</strong> installazione è<br />
relativamente basso (circa 1, 5 € per Watt), se raffrontato <strong>ad</strong> altre<br />
tecnologie come <strong>ad</strong> esempio il fotovoltaico (circa 5 € per Watt).<br />
Al 2004, secondo l’International Energy Agency, il costo me<strong>di</strong>o<br />
<strong>di</strong> produzione dell’energia <strong>eolica</strong> sarebbe compreso tra 0, 04-0, 08<br />
€/kWh, anche se stime più recenti in<strong>di</strong>cherebbero un costo ancora<br />
inferiore che farebbe presupporre nel breve termine un costo<br />
<strong>di</strong> 0, 03 €/kWh del tutto concorrenziale rispetto ai costi dell’energia<br />
generata da fonti convenzionali (negli ultimi <strong>di</strong>eci anni<br />
la riduzione del costo <strong>di</strong> produzione <strong>di</strong> energia da fonti eoliche<br />
si è attestata sul 30%-50% e si prevede che la tendenza rimanga<br />
costante).<br />
1.1 GENERATORI EOLICI<br />
Lo sfruttamento dell’energia del vento, relativamente semplice e<br />
poco costoso, è attuato tramite macchine eoliche <strong>di</strong>visibili in due<br />
gruppi ben <strong>di</strong>stinti in funzione del tipo <strong>di</strong> modulo base <strong>ad</strong>operato<br />
definito generatore eolico. Si hanno quin<strong>di</strong> i convenzionali generatori<br />
con <strong>asse</strong> <strong>di</strong> rotazione orizzontale—Horizontal Axis Wind<br />
Turbine (HAWT)—e i generatori eolici <strong>ad</strong> <strong>asse</strong> <strong>verticale</strong>—Vertical<br />
Axis Wind Turbine (VAWT).<br />
Entrambi i tibi <strong>di</strong> generatore richiedono <strong>una</strong> velocità minima<br />
del vento (cut-in) <strong>di</strong> 3-5 m/s ed erogano la potenza <strong>di</strong> progetto<br />
<strong>ad</strong> <strong>una</strong> velocità del vento <strong>di</strong> 12-14 m/s. Ad elevate velocità (20-<br />
25 m/s, velocità <strong>di</strong> cut-off ) l’aerogeneratore viene bloccato dal<br />
sistema frenante per ragioni <strong>di</strong> sicurezza. Il bloccaggio può avvenire<br />
con veri e propri freni che bloccano il rotore, o con meto<strong>di</strong><br />
che si basano sul fenomeno dello stallo, "nascondendo le pale al<br />
vento". I giri al minuto dell’aerogeneratore sono molto variabili<br />
come lo è la velocità del vento; ma la frequenza <strong>di</strong> rete deve essere<br />
costante a 50 Hz, perciò i rotori vengono collegati a <strong>una</strong> gear-box<br />
che rende costanti i giri in uscita. La cinematica del generatore
1.1 GENERATORI EOLICI 6<br />
(a) Ad <strong>asse</strong> orizzontale (b) Ad <strong>asse</strong> <strong>verticale</strong><br />
Figura 1.1: Generatori eolici<br />
eolico è caratterizzata da bassi attriti, surriscaldamento ridotto e<br />
un costo <strong>di</strong> manutenzione pressoché nullo.<br />
La crescente consapevolezza nei confronti della sostenibilità Interesse per i<br />
ambientale <strong>di</strong> case e città ha portato alla promozione <strong>di</strong> sistemi<br />
<strong>di</strong> conversione <strong>di</strong> energia per l’ambiente urbano, nell’ambito del<br />
microeolico. Minieolico<br />
Piccolo eolico, o minieolico, è considerata la produzione <strong>di</strong> energia<br />
elettrica da fonte <strong>eolica</strong> realizzata con l’utilizzo <strong>di</strong> generatori<br />
<strong>di</strong> altezza inferiore a 30 metri.<br />
Gli aerogeneratori possono essere al servizio <strong>di</strong> <strong>una</strong> utenza<br />
isolata non collegata alla rete elettrica o connessi sia per <strong>una</strong> autoproduzione<br />
in scambio che per la fornitura <strong>di</strong> energia alla rete. La<br />
<strong>di</strong>fferenza con il grande eolico risiede oltre che nella <strong>di</strong>mensione<br />
delle macchine nella possibilità <strong>di</strong> operare economicamente con<br />
regimi <strong>di</strong> vento inferiori a quelli richiesti dalle enormi macchine<br />
industriali.<br />
generatori eolici <strong>ad</strong><br />
<strong>asse</strong> <strong>verticale</strong> per uso<br />
domestico<br />
Dal momento che il vento ha come caratteristica la grande L’incostanza rende<br />
incostanza, gli impianti elettrici con componenti <strong>di</strong> generazione<br />
<strong>eolica</strong>, possono essere affiancati alla rete elettrica nazionale come<br />
fonti o clienti dell’energia, oppure nel caso si desideri la totale<br />
autonomia, possono essere affiancati al fotovoltaico, a generatori<br />
<strong>di</strong>esel, o al mini-idroelettrico.<br />
Uno dei risultati dello sviluppo <strong>di</strong> queste soluzioni è la ricomparsa<br />
<strong>di</strong> generatori eolici <strong>ad</strong> <strong>asse</strong> verticali. Nell’ambiente urbano<br />
<strong>una</strong> VAWT presenta <strong>di</strong>versi vantaggi rispetto al più comune<br />
generatore <strong>ad</strong> <strong>asse</strong> orizzontale:<br />
necessario affiancare<br />
l’eolico <strong>ad</strong> altre fonti
• b<strong>asse</strong> emissioni sonore<br />
1.1 GENERATORI EOLICI 7<br />
• migliore estetica dovuta alla sua tri<strong>di</strong>mensionalità<br />
• in<strong>di</strong>pendenza dalla <strong>di</strong>rezione del vento<br />
• migliori prestazioni per flussi che arrivano <strong>di</strong> traverso (Mertens<br />
et al., 2003) (nel caso in cui la <strong>turbina</strong> venga installata<br />
sopra il tetto <strong>di</strong> un’abitazione, il flusso viene deviato<br />
dall’e<strong>di</strong>ficio dal basso verso l’alto)<br />
Una VAWT è un tipo <strong>di</strong> macchina <strong>eolica</strong> contr<strong>ad</strong><strong>di</strong>stinta da <strong>una</strong><br />
ridotta quantità <strong>di</strong> parti mobili nella sua struttura, il che le conferisce<br />
un’alta resistenza alle forti raffiche <strong>di</strong> vento, e la possibilità<br />
<strong>di</strong> sfruttare qualsiasi <strong>di</strong>rezione del vento senza doversi riorientare<br />
continuamente. È <strong>una</strong> macchina molto versatile, <strong>ad</strong>atta all’uso<br />
domestico come alla produzione centralizzata <strong>di</strong> energia elettrica<br />
nell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> GigaWatt.<br />
Gli aerogeneratori tra<strong>di</strong>zionali hanno, quasi senza eccezioni, Limiti <strong>di</strong><br />
l’<strong>asse</strong> <strong>di</strong> rotazione orizzontale. Questa caratteristica è il limite<br />
principale alla realizzazione <strong>di</strong> macchine molto più gran<strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
quelle attualmente prodotte: i requisiti statici e <strong>di</strong>namici che<br />
bisogna rispettare non consentono <strong>di</strong> ipotizzare rotori con <strong>di</strong>ametri<br />
molto superiori a 100 m e altezze <strong>di</strong> torre maggiori <strong>di</strong> 180 m.<br />
Queste <strong>di</strong>mensioni, per altro, riguardano macchine per esclusiva<br />
installazione off-shore. Le macchine on-shore più gran<strong>di</strong> hanno<br />
<strong>di</strong>ametri <strong>di</strong> rotore <strong>di</strong> 70 m e altezze <strong>di</strong> torre <strong>di</strong> 130 m. In <strong>una</strong><br />
macchina siffatta il raggio della base supera i 20 m. La velocità<br />
del vento cresce con la <strong>di</strong>stanza dal suolo: questa è la principale<br />
ragione per la quale i costruttori <strong>di</strong> aerogeneratori tra<strong>di</strong>zionali<br />
spingono le torri a quote così elevate. La crescita dell’altezza,<br />
insieme al <strong>di</strong>ametro del rotore che essa rende possibile, sono<br />
la causa delle complicazioni statiche dell’intera macchina, che<br />
impone fondazioni complesse e costose e strategie sofisticate <strong>di</strong><br />
ricovero in caso <strong>di</strong> improvvise raffiche <strong>di</strong> vento troppo forte.<br />
Macchine eoliche <strong>ad</strong> <strong>asse</strong> <strong>verticale</strong> sono state concepite e realizzate<br />
fin dal 1920. La sostanziale minore efficienza rispetto a<br />
quelle con <strong>asse</strong> orizzontale (30%) ne ha <strong>di</strong> fatto confinato l’impiego<br />
nei laboratori. L’unica installazione industriale oggi esistente<br />
è quella <strong>di</strong> Altamont Pass in California, realizzata dalla FloWind<br />
nel 1997.<br />
Negli ultimi tempi, tuttavia, si è cercato <strong>di</strong> ottimizzare molto<br />
queste macchine, rendendole molto competitive: taluni <strong>asse</strong>riscono<br />
che gli ultimi prototipi, funzionando in molte più ore<br />
l’anno rispetto a quelle <strong>ad</strong> <strong>asse</strong> orizzontale hanno un ren<strong>di</strong>mento<br />
complessivo maggiore.<br />
aerogeneratori<br />
convenzionali
1.1 GENERATORI EOLICI 8<br />
(a) pianta (b) configurazione elicoidale<br />
Figura 1.2: Turbina Savonius<br />
Di seguito vengono descritti le due principali configurazioni <strong>di</strong><br />
turbine eoliche <strong>ad</strong> <strong>asse</strong> <strong>verticale</strong>: la <strong>turbina</strong> Savonius e la <strong>turbina</strong><br />
Darrieus.<br />
1.1.1 Turbina Savonius<br />
La <strong>turbina</strong> a vento Savonius è un tipo <strong>di</strong> <strong>turbina</strong> a vento <strong>ad</strong> <strong>asse</strong><br />
verticate, utilizzata per la conversione <strong>di</strong> coppia dell’energia del<br />
vento su un albero rotante. Inventata dall’ingegnere finlandese<br />
Sigurd J. Savonius nel 1922, e brevettata nel 1929, è <strong>una</strong> delle<br />
turbine più semplici.<br />
Dal punto <strong>di</strong> vista aero<strong>di</strong>namico si tratta <strong>di</strong> un <strong>di</strong>spositivo a<br />
rotore composto da due o tre pale <strong>di</strong> forma semicilindrica che<br />
lavorano a resistenza. Come si può vedere dalla Figura 1.2, la<br />
configurazione a due pale, vista in sezione orizzontale, appare<br />
come <strong>una</strong> figura <strong>ad</strong> S. La pala curva accoglie e sfrutta il vento che<br />
la spinge e lascia più facilmente sfuggire il vento che contrasta<br />
nella fase opposta. In altri termini le pale trovano meno resistenza<br />
quando si muovono contro il vento che quando si muovono con<br />
il vento, la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> resistenza induce la <strong>turbina</strong> <strong>di</strong> Savonius<br />
a girare.<br />
Il modello originale è stato concepito spaziando le due pale<br />
semicilindriche in modo che e 1 = (dove D è il <strong>di</strong>ametro del<br />
D<br />
cilindro virtuale che le contiene), ma si è visto che si ottengono<br />
migliori prestazioni con un rapporto e<br />
3<br />
1<br />
D = 6 .<br />
Di basso impatto visivo e facilmente integrabile negli e<strong>di</strong>fici Pregi e <strong>di</strong>fetti<br />
senza snaturarne l’estetica, la <strong>turbina</strong> <strong>di</strong> Savonius è poco rumorosa,<br />
prende avvio a deboli velocità <strong>di</strong> vento presentando <strong>una</strong><br />
coppia elevata, sebbene variabile in modo sinusoidale nel corso
1.1 GENERATORI EOLICI 9<br />
(a) pianta (3 pale) (b) configurazione a 5 pale<br />
Figura 1.3: Turbina Darrieus<br />
della rotazione. Tuttavia le turbine più evolute, derivate dalla Savonius,<br />
hanno pale elicoidali in gr<strong>ad</strong>o <strong>di</strong> omogenizzare la coppia<br />
<strong>di</strong> torsione durante un giro completo. L’impatto visivo rapportato<br />
a <strong>di</strong>mensioni importanti rende la <strong>turbina</strong> Savonius poco <strong>ad</strong>atto<br />
alle gran<strong>di</strong> produzioni <strong>di</strong> energia <strong>di</strong> un parco eolico.<br />
Essendo <strong>di</strong>spositivi a resistenza aero<strong>di</strong>namica, le turbine <strong>di</strong><br />
Savonius, a parità <strong>di</strong> ingombro, sfruttano la forza del vento meno<br />
efficacemente <strong>di</strong> quelle a portanza e <strong>di</strong> quelle <strong>ad</strong> <strong>asse</strong> orizzontale.<br />
Inolte gran parte del rotore <strong>di</strong> <strong>una</strong> Savonius è vicino al suolo,<br />
dove la velocità del vento è più bassa.<br />
1.1.2 Turbina Darrieus<br />
La <strong>turbina</strong> Darrieus è costituita da un numero <strong>di</strong> profili alari<br />
<strong>di</strong>sposti verticalmente su un albero rotante. Questo design venne<br />
brevettato da Georges Jean Marie Darrieus, un ingegnere<br />
aeronautico francese nel 1931.<br />
La configurazione Darrieus è teoricamente efficiente come un’elica<br />
se la velocità del vento è costante, ma ha il grande <strong>di</strong>fetto <strong>di</strong><br />
non autoavviarsi.<br />
Nella versione originale della configurazione Darrieus, i profili<br />
sono <strong>di</strong>sposti simmetricamente e con un angolo <strong>di</strong> calettamento<br />
nullo.<br />
Quando il rotore gira, il profilo avanza nell’aria alla velocità<br />
tangenziale <strong>di</strong> rotazione. A questa velocità si somma vettorialmente<br />
la velocità del vento, creando un angolo d’attacco per il<br />
profilo. Questo genera <strong>una</strong> portanza la cui proiezione in <strong>di</strong>rezione<br />
tangenziale fornisce la coppia che fa ruotare la <strong>turbina</strong> nella<br />
<strong>di</strong>rezione in cui già sta ruotando.<br />
Uno dei problemi da tener presente quando si pensa al design<br />
<strong>di</strong> <strong>una</strong> <strong>turbina</strong> Darrieus è che l’angolo d’attacco varia durante la<br />
rotazione, quin<strong>di</strong> ogni pala genera il massimo della portanza (e
Figura 1.4: Configurazione Troposkein<br />
1.2 OBIETTIVO DELLA TESI 10<br />
quin<strong>di</strong> della coppia) in due punti durante <strong>una</strong> rotazione: questo<br />
produce un andamento sinusoidale della coppia. In particolare,<br />
quasi tutte le turbine Darrieus hanno dei mo<strong>di</strong> <strong>di</strong> risonanza, che<br />
<strong>ad</strong> <strong>una</strong> certa velocità angolare, possono essere eccitati e causare<br />
intensi sforzi sulla struttura o <strong>ad</strong><strong>di</strong>rittura il suo danneggiamento.<br />
Per questo motivo, molte turbine Darrieus hanno freni meccanici<br />
o sistemi <strong>di</strong> controllo della velocità per controllare la velocità<br />
angolare.<br />
Inoltre, poiché la maggior parte della massa del rotore è all’esterno,<br />
invece che vicino al mozzo, come è per le eliche, si hanno<br />
degli stress molto intensi generati dalla forza centrifuga. Una<br />
soluzione comune per minimizzare questo effetto è curvare le<br />
pale come nella configurazione Troposkein (Figura 1.4).<br />
1.2 OBIETTIVO DELLA TESI<br />
L’obiettivo <strong>di</strong> questa tesi è proporre un nuovo <strong>di</strong> tipo <strong>di</strong> <strong>turbina</strong><br />
<strong>eolica</strong> <strong>ad</strong> <strong>asse</strong> <strong>verticale</strong> a geometria variabile <strong>di</strong> piccola o me<strong>di</strong>a<br />
potenza. La migliore estetica rispetto agli aerogeneratori convenzionali<br />
<strong>ad</strong> <strong>asse</strong> orizzontale, renderebbe questa <strong>turbina</strong> <strong>ad</strong>atta<br />
<strong>ad</strong> un contesto urbano per la produzione domestica <strong>di</strong> energia<br />
elettrica. Inoltre, a parità <strong>di</strong> potenza, <strong>una</strong> VAWT, sviluppandosi La forma compatta<br />
in altezza, può limitare le <strong>di</strong>mensioni del <strong>di</strong>ametro del rotore<br />
ed essere più compatta rispetto <strong>ad</strong> <strong>una</strong> HAWT. Questa caratteristica<br />
la renderebbe particolarmente <strong>ad</strong>atta <strong>ad</strong> affiancare sistemi<br />
<strong>di</strong> generazione tra<strong>di</strong>zionale negli aeroporti: in un suolo aperto il<br />
vento ha la caratteristica <strong>di</strong> non essere “frenato” da e<strong>di</strong>fici o vegetazione<br />
e la <strong>turbina</strong> avrebbe un’efficienza migliore, allo stesso<br />
tempo la forma compatta permetterebbe <strong>di</strong> installare le turbine<br />
della <strong>turbina</strong>, la<br />
rende <strong>ad</strong>atta alla<br />
generazione elettrica<br />
negli aeroporti
1.2 OBIETTIVO DELLA TESI 11<br />
in serie, aumentando così la quantità <strong>di</strong> potenza <strong>di</strong>sponibile per<br />
l’aeroporto, e comunque con un impatto visivo per il traffico<br />
aereo decisamente inferiore rispetto <strong>ad</strong> <strong>una</strong> serie <strong>di</strong> HAWT.<br />
L’idea alla base del progetto è quella <strong>di</strong> sfruttare l’elevata coppia<br />
fornita dalla configurazione Savonius per avviare la <strong>turbina</strong> e<br />
successivamente “trasformarla” in configurazione Darrieus per<br />
sfruttare l’elevata efficienza che si avrebbe <strong>ad</strong> un alto numero <strong>di</strong><br />
giri.<br />
L’esposizione del lavoro è articolata come segue:<br />
NEL SECONDO CAPITOLO viene descritta a livello qualitativo l’aero<strong>di</strong>namica<br />
<strong>di</strong> <strong>una</strong> <strong>turbina</strong> Darrieus e viene proposto il<br />
modello dei tubi <strong>di</strong> flusso per stimare con un leggero co<strong>di</strong>ce<br />
<strong>di</strong> calcolo le prestazioni <strong>di</strong> massima <strong>di</strong> <strong>una</strong> <strong>turbina</strong><br />
Darrieus.<br />
NEL TERZO CAPITOLO vengono fornite le equazioni fluido<strong>di</strong>namiche<br />
e i modelli <strong>di</strong> turbolenza che saranno usati nel programma<br />
CFD Star-CCM+ della CD-Adapco per simulare il<br />
comportamento <strong>di</strong> un flusso incomprimibile intorno alla<br />
<strong>turbina</strong> progettata e valutarne le prestazioni.<br />
NEL QUARTO CAPITOLO viene presentato il progetto della <strong>turbina</strong><br />
a geometria variabile e vengono riportati i risultati della<br />
validazione del co<strong>di</strong>ce numerico per un <strong>turbina</strong> Darrieus.<br />
NEL QUINTO CAPITOLO vengono riportati i risultati delle simulazioni<br />
numeriche effettuate sulla <strong>turbina</strong> a geometria variabile<br />
in configurazione <strong>di</strong> avvio e in configurazione a regime.<br />
NEL SESTO CAPITOLO, infine vengono tratte le conclusioni sui risultati<br />
raggiunti da queste prime simulazioni preliminari e<br />
vengono proposti gli sviluppi futuri degli stu<strong>di</strong> da effettuare<br />
per ottimizzare le prestazioni della versione finale della<br />
<strong>turbina</strong>.
2 A E R O D I N A M I C A D I U N A VA W T A<br />
P O R TA N Z A<br />
Il grande vantaggio <strong>di</strong> <strong>una</strong> VAWT è la capacità <strong>di</strong> mantenersi in<br />
rotazione in<strong>di</strong>pendentemente dalla <strong>di</strong>rezione del vento. Però rispetto<br />
<strong>ad</strong> <strong>una</strong> più convenzionale HAWT, poiché l’<strong>asse</strong> <strong>di</strong> rotazione<br />
<strong>di</strong> <strong>una</strong> VAWT è perpen<strong>di</strong>colare al flusso d’aria che la investe (Figura<br />
1.3), l’aero<strong>di</strong>namica che si sviluppa è molto più complessa.<br />
Infatti durante la rotazione, sulle pale si realizzano elevati angoli<br />
d’attacco e il flusso che investe le pale sottovento è <strong>di</strong>sturbato<br />
dalla scia dell’<strong>asse</strong> e delle pale sopravento.<br />
I parametri fondamentali per caratterizzare il funzionamento<br />
<strong>di</strong> <strong>una</strong> <strong>turbina</strong> <strong>eolica</strong> sono<br />
tip speed ratio λ: esprime il rapporto tra la velocità tangenziale<br />
della pala e la velocità del flusso in<strong>di</strong>sturbato V∞<br />
λ = Rω<br />
V∞<br />
numero <strong>di</strong> Reynolds: gruppo a<strong>di</strong>mensionale proporzionale al<br />
rapporto tra le forze d’inerzia e le forze viscose<br />
Re = V∞c<br />
ν<br />
coefficiente <strong>di</strong> potenza Cp: rappresenta la frazione <strong>di</strong> energia<br />
del vento trasformata in energia utile dalla <strong>turbina</strong>.<br />
In Figura 2.1 viene riportato il tipico andamento del<br />
Cp in funzione del tip speed ratio λ per un fissato<br />
numero <strong>di</strong> Reynolds.<br />
2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO<br />
Una delle grosse <strong>di</strong>fficoltà per le pale <strong>di</strong> <strong>una</strong> VAWT è quella <strong>di</strong> Angolo d’attacco<br />
dover operare in un ampio intervallo <strong>di</strong> angoli d’attacco. Quando<br />
la <strong>turbina</strong> parte da <strong>una</strong> velocità <strong>di</strong> rotazione nulla, le pale possono<br />
<strong>ad</strong><strong>di</strong>rittura trovarsi in <strong>una</strong> situazione <strong>di</strong> flusso inverso, invece<br />
durante la rotazione l’angolo d’attacco locale α varia in funzione<br />
della posizione angolare θ della pala (Figura 2.2).<br />
12
2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO 14<br />
Figura 2.3: Variazione dell’angolo <strong>di</strong> attacco in funzione <strong>di</strong> θ<br />
sul dorso <strong>di</strong> un profilo tenderà a separarsi. La separazione inizia<br />
al bordo d’uscita e si sposta in avanti al crescere dell’angolo. Aumentando<br />
ulteriormente l’angolo il punto <strong>di</strong> separazione si sposta<br />
in avanti fino a raggiungere il bordo d’attacco: questo fenomeno<br />
viene chiamato superstallo. Se il profilo è in superstallo, questa<br />
con<strong>di</strong>zione viene mantenuta per <strong>una</strong> frazione <strong>di</strong> tempo, anche se<br />
l’angolo d’attacco <strong>di</strong>minuisce, formando un ciclo <strong>di</strong> isteresi. In<br />
Figura 2.4 è riportato il comportamento in superstallo <strong>di</strong> un profilo<br />
NACA 0018, qui si vede come il superstallo inizia a α = 21 ◦ e<br />
il ciclo <strong>di</strong> isteresi si mantiene fino <strong>ad</strong> α = 13.5 ◦ . L’angolo al quale<br />
si verifica il superstallo <strong>di</strong>pende dal numero <strong>di</strong> Reynolds e dalla<br />
curvatura del bordo d’attacco. Questo fenomeno ha <strong>una</strong> forte<br />
influenza negativa sulle prestazioni del profilo, perché durante il<br />
ciclo <strong>di</strong> isteresi la portanza si riduce sensibilmente e la resistenza<br />
rimane elevata.<br />
Sui profili che hanno <strong>una</strong> rapida variazione <strong>di</strong> angolo <strong>di</strong> attacco Stallo <strong>di</strong>namico<br />
si verifica invece il fenomeno dello stallo <strong>di</strong>namico. L’effetto <strong>di</strong><br />
questo repentino cambiamento è un’isteresi sulla portanza, sulla<br />
resistenza e sul momento aero<strong>di</strong>namico. Lo stallo <strong>di</strong>namico è<br />
caratterizzato dal rilascio <strong>di</strong> vortici controrotanti dalla superficie<br />
a bassa pressione del corpo portante.<br />
La <strong>turbina</strong> <strong>eolica</strong> <strong>di</strong> tipo Darrieus è particolarmente sensibile<br />
allo stallo <strong>di</strong>namico, poiché la variazione <strong>di</strong> angolo <strong>di</strong> incidenza<br />
è ampia, specialmente a bassi tip speed ratio. Poiché le pale<br />
nella sezione sottovento sono influenzate dalla scia prodotta dalle<br />
pale sopravento è importante capire bene il fenomeno dello stallo
2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO 15<br />
Figura 2.4: Caratteristiche <strong>di</strong> superstallo per un profilo NACA 0018<br />
<strong>di</strong>namico e della relativa scia, poichè <strong>ad</strong> esso è associato un<br />
aumento <strong>di</strong> rumore, <strong>di</strong> vibrazioni aeroelastiche e <strong>di</strong> fatica per il<br />
profilo.<br />
La prima visualizzazione dello stallo <strong>di</strong>namico <strong>di</strong> <strong>una</strong> VAWT<br />
è stato fatto da Brochier et al. (1986). Gli esperimenti sono stati<br />
fatti in un canale d’acqua, con tecnica LDV e bolle <strong>di</strong> idrogeno<br />
<strong>ad</strong> un numero <strong>di</strong> Reynolds <strong>di</strong> 10 · 10 3 variando il tip speed ratio<br />
da 1 a 8. La <strong>turbina</strong> era <strong>di</strong> tipo Darrieus con due profili NACA<br />
0018. La visualizzazione per λ = 2, 14 è riportata in Figura 2.5a e<br />
2.5b. Il primo vortice si forma al bordo d’attacco del profilo, un<br />
secondo vortice, rotante in <strong>di</strong>rezione opposta, nasce dal bordo<br />
d’uscita; insieme formano <strong>una</strong> struttura caratteristica <strong>di</strong> due<br />
vortici controrotanti, che traslano verso il basso fino a incontrare<br />
il secondo profilo.<br />
Poiché gli angoli <strong>di</strong> incidenza sono maggiori per bassi tip<br />
speed ratio, in queste con<strong>di</strong>zioni lo stallo <strong>di</strong>namico è presente in<br />
maniera più rilevante. Dalla Figura 2.6 possiamo vedere come<br />
per λ = 1 i vortici controrotanti sono <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni maggiori, e<br />
che comunque la struttura dei vortici risulta in<strong>di</strong>pendente dal<br />
tip speed ratio. Ad alti λ, sopra 4, lo stallo <strong>di</strong>namico <strong>di</strong>venta<br />
<strong>di</strong> minor importanza. Gli stu<strong>di</strong> citati mostrano la presenza <strong>di</strong><br />
<strong>una</strong> forte asimmetria nelle proprietà del flusso all’interno della<br />
<strong>turbina</strong>, infatti le pale attraversano la scia dello stallo <strong>di</strong>namico<br />
solo durante <strong>una</strong> parte del ciclo, lavorando in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> flusso<br />
fortemente turbolento.<br />
Un fattore importante per le prestazioni <strong>di</strong> piccole turbine Numero <strong>di</strong> Reynolds<br />
è l’intervallo dei bassi numeri <strong>di</strong> Reynolds (< 10 6 ) in cui esse<br />
operano (Figura 2.7). In aero<strong>di</strong>namica sono stati condotti molti<br />
stu<strong>di</strong> per velivoli che operano a numeri <strong>di</strong> Reynolds superiori a<br />
3 · 10 6 , invece risulta molto <strong>di</strong>fficile e spesso impossibile trovare i
2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO 16<br />
(a) Visualizzazione del flusso (b) Diagramma schematico<br />
Figura 2.5: Visualizzazione dello stallo <strong>di</strong>namico per λ = 2, 14 (Brochier<br />
et al., 1986)<br />
(a) λ = 1 (b) λ = 2 (c) λ = 3<br />
Figura 2.6: Illustrazione schematica dello stallo <strong>di</strong>namico per <strong>di</strong>versi<br />
λ (Fujisawa e Shibuya, 2001)<br />
dati per profili a bassi numeri <strong>di</strong> Reynolds.<br />
Nelle figure da 2.8 a 2.10 sono mostrati gli effetti del numero<br />
<strong>di</strong> Reynolds sulle caratteristiche aero<strong>di</strong>namiche <strong>di</strong> un profilo, in<br />
particolare nella Figura 2.8 si vede come per il profilo NACA 0018<br />
il coefficiente <strong>di</strong> massima portanza e l’angolo <strong>di</strong> stallo decrescono<br />
sensibilmente al <strong>di</strong>minuire del numero <strong>di</strong> Reynolds.<br />
Sono riportati anche gli effetti del numero <strong>di</strong> Reynolds sulle<br />
prestazioni <strong>di</strong> <strong>una</strong> VAWT. Nelle figure 2.9 e 2.10 è stato variato il<br />
numero <strong>di</strong> Reynolds relativo alla corda, variando sia la velocità<br />
<strong>di</strong> rotazione della <strong>turbina</strong> che la velocità del vento.<br />
A bassi numeri <strong>di</strong> Reynolds è spesso presente <strong>una</strong> tipica strut- Bolla <strong>di</strong> separazione<br />
tura chiamata bolla <strong>di</strong> separazione laminare. Quando lo strato limite laminare<br />
laminare non è più in gr<strong>ad</strong>o <strong>di</strong> seguire il contorno del profilo a
2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO 17<br />
Figura 2.7: Variazione del numero <strong>di</strong> Reynolds per V∞ = 10 m s<br />
Figura 2.8: Effetti del numero <strong>di</strong> Reynolds sulla curva <strong>di</strong> portanza <strong>di</strong><br />
un profilo NACA 0018 (Jacobs e Sherman, 1937)<br />
causa del gra<strong>di</strong>ente avverso <strong>di</strong> pressione, e le instabilità aero<strong>di</strong>namiche<br />
non si sono sviluppate sufficientemente per avviare la<br />
transizione turbolenta, si verifica la separazione dello strato limite.<br />
A questo punto il flusso può <strong>di</strong>ventare turbolento e riattaccarsi<br />
al profilo, formando la cosidetta bolla <strong>di</strong> separazione laminare.<br />
Questo fenomeno va <strong>ad</strong> alterare la forma del flusso intorno al<br />
profilo, riducendone le prestazioni e <strong>ad</strong><strong>di</strong>rittura in alcuni casi la<br />
bolla può estendersi oltre il bordo d’uscita del profilo perché il<br />
gra<strong>di</strong>ente <strong>di</strong> pressione avversa è troppo elevato per far si che lo<br />
strato turbolento possa riattaccarsi.<br />
Stu<strong>di</strong> condotti da Migliore et al. (1980) mostrano come le ca- Curvatura virtuale<br />
ratteristiche aero<strong>di</strong>namiche <strong>di</strong> un profilo sono <strong>di</strong>fferenti se il<br />
flusso che lo investe è curvilineo oppure rettilineo. Poiché in
2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO 18<br />
Figura 2.9: Influenza del numero <strong>di</strong> Reynolds su <strong>una</strong> <strong>turbina</strong> San<strong>di</strong>a<br />
<strong>di</strong> 5 metri (Sheldahl et al., 1980)<br />
Figura 2.10: Influenza del numero <strong>di</strong> Reynolds su un rotore San<strong>di</strong>a <strong>di</strong><br />
2 metri (Paraschivoiu, 2002)
2.2 POTENZA DEL VENTO 19<br />
Figura 2.11: Cameratura virtuale dovuta a un flusso curvilineo<br />
(Migliore et al., 1980)<br />
<strong>una</strong> VAWT il profilo ruota, un profilo simmetrico si comporta<br />
come un profilo con curvatura e angolo <strong>di</strong> attacco investito da un<br />
flusso rettilineo (Figura 2.11). L’influenza <strong>di</strong> un campo <strong>di</strong> velocità<br />
curvilineo sulle caratteristiche aero<strong>di</strong>namiche <strong>di</strong>pendono molto<br />
dal rapporto tra corda e raggio c/R. Se questo rapporto cresce,<br />
l’influenza del flusso curvilineo aumenta. Una curvatura virtuale<br />
causa uno spostamento verso l’alto della curva <strong>di</strong> portanza e<br />
introduce un momento aero<strong>di</strong>namico. Un angolo <strong>di</strong> incidenza<br />
virtuale invece causa lo spostamento verso sinistra della curva <strong>di</strong><br />
portanza. Il preciso effetto <strong>di</strong> questi fenomeni sulle prestazioni<br />
<strong>di</strong> <strong>una</strong> VAWT devono essere ancora stu<strong>di</strong>ati accuratamente.<br />
2.2 POTENZA DEL VENTO<br />
Per poter stu<strong>di</strong>are le caratteristiche <strong>di</strong> <strong>una</strong> <strong>turbina</strong> <strong>eolica</strong> e valutare<br />
l’energia che essa può produrre è utile prima considerare<br />
l’energia del vento che si ha a <strong>di</strong>sposizione e capire quanta <strong>di</strong><br />
questa energia può essere effettivamente sfruttata dalla <strong>turbina</strong>.<br />
L’energia cinetica del vento è data da<br />
Pw = 1<br />
2 ˙mV2 ∞<br />
Considerando che la portata può essere espressa come ˙m =<br />
ρV∞A l’equazione dell’energia cinetica <strong>di</strong>venta<br />
Pw = 1<br />
2 ρV3 ∞A<br />
Generalmente nel settore eolico si considera la potenza per<br />
unità <strong>di</strong> superficie, quin<strong>di</strong> la potenza specifica, data da<br />
˜Pw = Pw<br />
A<br />
= 1<br />
2 ρV3 ∞
Figura 2.12: Volume <strong>di</strong> controllo<br />
La potenza erogata dalla <strong>turbina</strong> è data da<br />
Pt(θ) = F(θ)V(θ) = T(θ)ω(θ)<br />
2.2 POTENZA DEL VENTO 20<br />
É possibile valutare l’efficienza <strong>di</strong> <strong>una</strong> <strong>turbina</strong> introducendo il<br />
coefficiente <strong>di</strong> potenza, definito come il rapporto tra la potenza<br />
della <strong>turbina</strong> e la potenza del vento<br />
Cp = Pt<br />
Pw<br />
(2.1)<br />
La massima energia che è possibile ricavare da <strong>una</strong> <strong>turbina</strong><br />
<strong>eolica</strong> è fornita dalla legge <strong>di</strong> Betz, <strong>una</strong> teoria per le macchine a<br />
fluido sviluppata da Albert Betz nel 1920; il valore noto come<br />
limite <strong>di</strong> Betz, rappresenta la massima energia che si potrebbe<br />
ricavare con un rotore infinitamente sottile da un fluido che<br />
scorre <strong>ad</strong> <strong>una</strong> fissata velocità.<br />
Al fine <strong>di</strong> calcolare l’efficienza massima <strong>di</strong> un rotore sottile, lo Limite <strong>di</strong> Betz<br />
si immagini sostituito da un <strong>di</strong>sco che spilli energia dal fluido<br />
che lo attraversa. Ad <strong>una</strong> certa <strong>di</strong>stanza a valle <strong>di</strong> questo <strong>di</strong>sco, il<br />
fluido che lo ha attraversato fluisce con <strong>una</strong> velocità minore <strong>di</strong><br />
quella a monte.<br />
Le ipotesi alla base <strong>di</strong> questa teoria sono:<br />
1. Il rotore non possiede mozzo, ossia è un rotore ideale, con<br />
un infinito numero <strong>di</strong> pale e con attrito pari a 0.<br />
2. Il flusso in entrata e in uscita dal rotore ha <strong>di</strong>rezione assiale.<br />
3. Il flusso è incomprimibile. La densità rimane costante, e non<br />
vi è trasferimento <strong>di</strong> calore dal rotore al fluido e viceversa.<br />
Applicando l’equazione <strong>di</strong> continuità al volume <strong>di</strong> controllo<br />
(Figura 2.12), possiamo esprimere la portata come<br />
˙m = ρA1v1 = ρSv = ρA2v2<br />
dove v1 è la velocità a monte del rotore, v2 è la velocità a valle,<br />
e v è la velocità in corrispondenza del rotore; A1, A2 e S sono
2.2 POTENZA DEL VENTO 21<br />
le aree in corrispondenza delle tre sezioni considerate. La forza<br />
esercitata dal vento sul rotore può essere scritta come<br />
F = ma = m dv<br />
dt = ˙m∆V = ρSv(v1 − v2)<br />
Il lavoro fatto dalla forza può essere scritto in forma <strong>di</strong>fferen- Potenza e lavoro<br />
ziale come<br />
dE = Fdx<br />
e la potenza contenuta nel fluido è<br />
P = dE<br />
dt<br />
= Fdx<br />
dt<br />
= Fv<br />
Ora sostituendo l’espressione della forza F calcolata precedentemente,<br />
avremo<br />
P = ρSv 2 (v1 − v2)<br />
Un altro modo per calcolare la potenza, è tramite l’energia<br />
cinetica. Applicando l’equazione <strong>di</strong> conservazione dell’energia al<br />
volume <strong>di</strong> controllo abbiamo che<br />
P = ∆E<br />
∆t<br />
= 1<br />
2 ˙m(v2 1 − v2 2 )<br />
Sostituendo l’espressione della portata avremo che<br />
P = 1<br />
2 ρSv(v2 1 − v2 2 )<br />
Poichè le espressioni per la potenza calcolate nei due mo<strong>di</strong><br />
devono valere contemporaneamente, possiamo confrontarle<br />
P = 1<br />
2 ρSv v 2 1 − v2 <br />
2<br />
2 = ρSv (v1 − v2)<br />
Da questa uguaglianza è chiaro come la velocità v in corrispondenza<br />
del rotore sia la me<strong>di</strong>a della velocità a monte e a valle,<br />
infatti<br />
ovvero<br />
1<br />
2 (v21 − v2 1<br />
2 ) =<br />
2 (v1 − v2)(v1 + v2) = v(v1 − v2)<br />
v = 1<br />
2 (v1 + v2)<br />
Ricordando la definizione del coefficiente <strong>di</strong> potenza (2.1), pos- Coefficiente <strong>di</strong><br />
potenza<br />
siamo ottenere questo valore partendo dall’espressione della<br />
potenza basata sull’energia cinetica e sostituendoci l’espressione<br />
della velocità in corrispondenza del rotore
2.2 POTENZA DEL VENTO 22<br />
Figura 2.13: Coefficiente <strong>di</strong> potenza; l’<strong>asse</strong> orizzontale rappresenta il<br />
, l’<strong>asse</strong> <strong>verticale</strong> è il coefficiente <strong>di</strong> potenza Cp.<br />
rapporto v2<br />
v1<br />
P = 1<br />
2 ˙m(v2 1 − v2 2<br />
1<br />
) =<br />
= 1<br />
4 ρSv3 <br />
1 1 −<br />
= 1<br />
2 ρSv v 2 1 − v22 4 ρS (v1 + v2) v 2 1 − v22 2 <br />
3<br />
v2 v2 v2<br />
v1<br />
+<br />
v1<br />
<br />
−<br />
v1<br />
<br />
(2.2)<br />
Differenziando P rispetto a v2 per <strong>una</strong> fissata velocità del fluido<br />
v1<br />
v1 e <strong>una</strong> fissato valore dell’area S, possiamo ottenere il massimo<br />
valore <strong>di</strong> P.<br />
Dalla Figura (2.13) ve<strong>di</strong>amo come il massimo <strong>di</strong> P si ottiene<br />
1 = 3 , sostituendo questo valore nell’espressione (2.2),<br />
abbiamo che la massima potenza ottenibile è<br />
quando v2<br />
v1<br />
Pmax = 16 1<br />
·<br />
27 2 ρSv31 Se consideriamo che la potenza del vento è Pw = 1<br />
2 ρSv3 1 ,<br />
abbiamo che il coefficiente <strong>di</strong> potenza massimo sarà<br />
Cp = P max<br />
Pw<br />
= 16<br />
= 0.593<br />
27<br />
Questo è il risultato fondamentale della teoria <strong>di</strong> Betz: da tutta<br />
l’energia del vento <strong>di</strong>sponibile, il massimo valore teorico che<br />
<strong>una</strong> <strong>turbina</strong> può ottenere corrisponde al 59.3%. Attualmente le<br />
migliori turbine in commercio hanno valori del coefficiente <strong>di</strong><br />
prestazione compreso tra 0.4-0.5.
2.3 MODELLO DEI TUBI DI FLUSSO PER UN ROTORE DARRIEUS 24<br />
Il vento a monte del rotore ha velocità uniforme V∞. In ogni tubo,<br />
la velocità del vento comincia a decrescere da V∞ in maniera<br />
<strong>di</strong>fferente fino a quando non raggiunge il semicerchio superiore<br />
della <strong>turbina</strong> dove la velocità sarà U ′ . Assumiamo che la velocità<br />
U ′ rimanga costante all’interno della circonferenza del rotore,<br />
anche se realisticamente ci aspettiamo che qui la velocità <strong>di</strong>minuisca.<br />
Dopo aver lasciato il semicerchio inferiore, la velocità<br />
del vento continua a <strong>di</strong>minuire sempre in maniera <strong>di</strong>fferente fra<br />
tubo e tubo. Infine lontano dal rotore la velocità si stabilizza.<br />
Per ogni tubo <strong>di</strong> flusso, la variazione <strong>di</strong> velocità è determinata<br />
dall’equazione <strong>di</strong> Bernoulli (considerando il limite <strong>di</strong> Betz).<br />
Ogni tubo <strong>di</strong> flusso subisce <strong>una</strong> per<strong>di</strong>ta continua <strong>di</strong> quantità<br />
<strong>di</strong> moto e due impulsi <strong>di</strong> forze aero<strong>di</strong>namiche per ogni giro.<br />
La <strong>di</strong>minuzione <strong>di</strong> quantità <strong>di</strong> moto del vento al”interno della<br />
circonferenza del rotore può essere calcolata se è nota la velocità<br />
U ′ . Inoltre le forze aero<strong>di</strong>namiche che agiscono sulla pala (per<br />
ogni posizione e per <strong>una</strong> fissata velocità angolare) possono essere<br />
ricavate dalle tabelle <strong>di</strong> portanza e resistenza dei profili. Per<br />
calcolare la velocità U ′ , il modello dei tubi <strong>di</strong> flusso eguaglia<br />
la variazione <strong>di</strong> quantità <strong>di</strong> moto con le forze aero<strong>di</strong>namiche.<br />
Più precisamente, le componenti delle forze aero<strong>di</strong>namiche in<br />
<strong>di</strong>rezione del vento vengono eguagliata alla variazione <strong>di</strong> quantità<br />
<strong>di</strong> moto. In un tubo <strong>di</strong> flusso, la forza agisce solo quando la<br />
pala transita nel tubo (<strong>una</strong> volta a valle e <strong>una</strong> volte a monte)<br />
e per il resto (la maggior parte del tempo), le forze sono nulle.<br />
Quin<strong>di</strong>, il modello dei tubi <strong>di</strong> flusso fa <strong>una</strong> me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> tutte queste<br />
forze (zero e due impulsi non nulli) per trovare un valore me<strong>di</strong>o,<br />
che possiamo assumere che agisca sul tubo durante tutta <strong>una</strong><br />
rivoluzione.<br />
Il campo <strong>di</strong> velocità semplificato può essere calcolato quando<br />
la velocità U ′ è nota. Di conseguenza si possono calcolare le forze<br />
aero<strong>di</strong>namiche che agiscono sulla pala in ogni possibile posizione<br />
angolare. Infine questi valori vengono me<strong>di</strong>ati per trovare la<br />
coppia me<strong>di</strong>a e la potenza per ogni giro.<br />
Di seguito si riportano le equazioni dei tubi multipli per un<br />
rotore Darrieus con pale dritte. Al fine <strong>di</strong> poter facilmente confrontare<br />
risultati per <strong>di</strong>verse geometrie della <strong>turbina</strong>, invece <strong>di</strong><br />
risolvere <strong>di</strong>rettamente rispetto a U ′ , è comodo normalizzare la<br />
U ′ rispetto a <strong>una</strong> variabile meno <strong>di</strong>retta ma più vantaggiosa, il<br />
fattore <strong>di</strong> induzione definito come Fattore <strong>di</strong> induzione<br />
a = 1 − U′<br />
V∞<br />
La variazione <strong>di</strong> quantità <strong>di</strong> moto in un tubo <strong>di</strong> flusso è<br />
∆q = ρ (HR∆θ sin θ) U ′ · 2 V∞ − U ′
2.3 MODELLO DEI TUBI DI FLUSSO PER UN ROTORE DARRIEUS 26<br />
U′ − sin θ V∞ =<br />
−U<br />
tan α =<br />
′<br />
U ′ cos θ + ωR U ′<br />
ωR cos θ + V∞ V∞<br />
α = tan −1<br />
<br />
− (1 − a) sin θ<br />
(1 − a) cos θ + λ<br />
I coefficienti <strong>di</strong> forza normale e tangenziale<br />
C norm = −CL cos α − CD sin α<br />
C tang = CL sin α − CD cos α<br />
dove CL e CD sono i coefficienti <strong>di</strong> portanza e resistenza del<br />
profilo con angolo d’attacco α.<br />
Il valore istantaneo <strong>di</strong> spinta in <strong>di</strong>rezione del vento per un<br />
singolo profilo <strong>ad</strong> un certo θ è<br />
F = 1<br />
2 ρV2 rel (Hc) −C norm sin θ − C tang cos θ <br />
La spinta me<strong>di</strong>ata nel tempo che agisce su un tubo <strong>di</strong> flusso<br />
per N pale e due volte per giro<br />
¯F = N · 1<br />
2 ρV2 rel (Hc) −Cnorm sin θ − Ctang cos θ · ∆θ<br />
· 2<br />
π<br />
Normalizzando per ottenere il coefficiente <strong>di</strong> spinta in un tubo<br />
<strong>di</strong> flusso<br />
CF =<br />
¯F<br />
1<br />
2ρV2 =<br />
∞ (HR∆θ sin θ)<br />
Nc<br />
D<br />
Vrel<br />
V∞<br />
2 <br />
2<br />
−Cnorm −<br />
π<br />
C <br />
tang<br />
tan θ<br />
Da questa equazione possiamo definire un importante parametro<br />
per le turbine eoliche: la soli<strong>di</strong>tà<br />
s = Nc<br />
D<br />
Il valore del fattore <strong>di</strong> induzione deve essere trovato <strong>numerica</strong>mente<br />
con degli algoritmi iterativi. Si <strong>asse</strong>gna un primo valore<br />
<strong>di</strong> tentativo e con questo valore si calcolano i valori <strong>di</strong> velocità<br />
normalizzata, angolo d’attacco, coefficiente <strong>di</strong> portanza, <strong>di</strong> resistenza,<br />
<strong>di</strong> forza normale e tangenziale. Successivamente si calcola<br />
il coefficiente <strong>di</strong> spinta generato dalle forze aero<strong>di</strong>namiche e quello<br />
derivato dalla variazione <strong>di</strong> quantità <strong>di</strong> moto del vento. Se il<br />
fattore <strong>di</strong> induzione <strong>di</strong> primo tentativo è corretto, i coefficienti
2.3 MODELLO DEI TUBI DI FLUSSO PER UN ROTORE DARRIEUS 27<br />
<strong>di</strong> spinta saranno uguali, altrimenti si <strong>asse</strong>gna un altro valore e<br />
si ripetono i calcoli. Normalmente il fattore <strong>di</strong> induzione c<strong>ad</strong>e<br />
nell’intervallo 0 < a < 0.5, quin<strong>di</strong> il primo valore <strong>di</strong> tentativo va<br />
scelto in questo range per ridurre il numero <strong>di</strong> iterazioni. Una<br />
volta che il fattore <strong>di</strong> induzione viene trovato per ogni tubo, si<br />
può calcolare il coefficiente <strong>di</strong> coppia e <strong>di</strong> momento nel modo<br />
seguente.<br />
Il momento istantaneo <strong>di</strong> <strong>una</strong> singola pala <strong>ad</strong> un certo θ è<br />
M = 1<br />
2 ρV2 rel (cH) C tang · R<br />
La coppia me<strong>di</strong>a del rotore per N pale e per <strong>una</strong> rivoluzione<br />
completa è<br />
¯M = N · 2m <br />
1<br />
i=1 2ρV2 rel (ch) Ctang · R <br />
2m<br />
dove m è il numero dei tubi <strong>di</strong> flusso e 2m il numero dei ∆θ<br />
Poiché la <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> coppia (o <strong>di</strong> forza tangenziale) è simmetrica<br />
tra le posizioni sopravento e sottovento, la sommatoria<br />
può essere <strong>di</strong>mezzata<br />
¯M = N · 2m <br />
1<br />
i=1 2ρV2 rel (cH) Ctang · R <br />
m<br />
Infine, il coefficiente <strong>di</strong> momento sarà dato da<br />
Cm =<br />
¯M<br />
1<br />
2ρV2 =<br />
∞ (DH) · R<br />
e il coefficiente <strong>di</strong> potenza da<br />
<br />
Nc<br />
D<br />
m i=1<br />
Cp = Cmλ<br />
2<br />
<br />
V 2<br />
rel C V∞<br />
tang<br />
m
3 L E E Q U A Z I O N I D E L M OTO D E I<br />
F L U I D I<br />
Il moto <strong>di</strong> un mezzo continuo è governato dai principi della<br />
meccanica e della termo<strong>di</strong>namica classica. Esso è rappresentato<br />
me<strong>di</strong>ante le equazioni esprimenti le leggi della conservazione<br />
della massa, della quantità <strong>di</strong> moto e dell’energia.<br />
Nell’applicazione <strong>di</strong> questi principi ci si avvale della descrizione<br />
Euleriana del moto in un sistema <strong>di</strong> riferimento Galileiano<br />
(assoluto). Il punto <strong>di</strong> vista Euleriano fissa <strong>una</strong> data posizione<br />
x, y, z ed osserva, al trascorrere del tempo, quel che acc<strong>ad</strong>e in tale<br />
posizione. Le variabili in<strong>di</strong>pendenti sono quin<strong>di</strong> le coor<strong>di</strong>nate<br />
x, y, z (in notazione compatta xi) ed il tempo t. Le proprietà<br />
caratteristiche del mezzo fluido sono considerate quin<strong>di</strong> come<br />
funzioni dello spazio e del tempo nel sistema <strong>di</strong> riferimento.<br />
Il mezzo fluido è ritenuto continuo: questa assunzione implica<br />
che esistono le derivate <strong>di</strong> tutte le variabili <strong>di</strong>pendenti; in altre<br />
parole, proprietà locali come la velocità sono definite come me<strong>di</strong>e<br />
su elementi “gran<strong>di</strong>” se comparati con la struttura microscopica<br />
del fluido, ma abbastanza “piccoli” in confronto alla scala dei<br />
fenomeni macroscopici. Ciò permette <strong>di</strong> descriverli con l’uso del<br />
calcolo <strong>di</strong>fferenziale.<br />
Per tenere conto della natura reale e turbolenta del flusso il<br />
fluido è considerato viscoso e si introducono modelli <strong>ad</strong> <strong>una</strong> o<br />
più equazioni per simulare le interazioni turbolente.<br />
3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE<br />
3.1.1 Equazione <strong>di</strong> continuità o <strong>di</strong> conservazione della massa<br />
Il principio <strong>di</strong> conservazione della massa, nel caso del moto <strong>di</strong> un<br />
fluido, si esprime <strong>di</strong>cendo che resta invariata nel tempo la massa<br />
contenuta in un volume che si muove insieme al fluido.<br />
Si scrive quin<strong>di</strong><br />
dM<br />
dt<br />
ˆ<br />
d<br />
= ρdV = 0 (3.1)<br />
dt V(t)<br />
Applichiamo ora il teorema del trasporto <strong>di</strong> Reynolds. Questo<br />
permette <strong>di</strong> determinare la derivata temporale dell’integrale <strong>di</strong><br />
28
3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 29<br />
<strong>una</strong> certa quantità A(xi, t) esteso <strong>ad</strong> un volume arbitrario che si<br />
muove con il fluido.<br />
Nel caso generale si scrive<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
d<br />
AdV =<br />
dt V(t)<br />
V(t)<br />
ˆ<br />
∂A<br />
dV + Au · ndS (3.2)<br />
∂t S(t)<br />
Bisogna ora applicare all’integrale superficiale della 3.2 il teorema<br />
della <strong>di</strong>vergenza<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
a · udS = ∇ · <strong>ad</strong>V<br />
S<br />
Il teorema della <strong>di</strong>vergenza stabilisce che il flusso <strong>di</strong> un vettore<br />
uscente da <strong>una</strong> superficie chiusa è uguale all’integrale della<br />
<strong>di</strong>vergenza del vettore stesso, esteso al volume racchiuso.<br />
Abbiamo così<br />
Osservando che<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
d<br />
AdV =<br />
dt V(t)<br />
V(t)<br />
V<br />
∂A<br />
∂t<br />
∇ · (Au) = (u · ∇) A + A∇ · u<br />
<br />
+ ∇ · (Au) dV (3.3)<br />
ed utilizzando l’espressione della derivata sostanziale<br />
si ottiene<br />
dA<br />
dt<br />
= ∂A<br />
∂t<br />
+ (u · ∇) A (3.4)<br />
ˆ<br />
ˆ <br />
d<br />
dA<br />
AdV =<br />
+ A∇ · u dV (3.5)<br />
dt V(t)<br />
V(t) dt<br />
La derivata sostanziale <strong>di</strong> <strong>una</strong> grandezza fisica esprime la<br />
variazione totale nel tempo della grandezza stessa percepita da un<br />
osservatore solidale al moto della particella fluida. Nell’espressione<br />
3.4 possiamo in<strong>di</strong>viduare due termini a secondo membro; il<br />
primo, detto derivata locale, esprime a livello fisico la variazione<br />
nel tempo della grandezza in un punto fissato; il secondo termine,<br />
detto derivata convettiva, equivale alla variazione temporale<br />
dovuta al movimento dell’elemento fluido da un punto all’altro<br />
<strong>di</strong> un campo fluido dove le proprietà del flusso sono <strong>di</strong>verse nello<br />
spazio.<br />
Riprendendo la 3.1 nella forma 3.3 o nella forma 3.5 e, inserendo<br />
per la generica A(xi, t) la densità ρ, risulta che devono essere<br />
nulli gli integrali a secondo membro “qualunque sia il volume <strong>di</strong>
3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 30<br />
integrazione V(t)”; devono essere quin<strong>di</strong> identicamente nulli gli<br />
integran<strong>di</strong><br />
∂ρ<br />
+ ∇ · (ρu) = 0 (3.6)<br />
∂t<br />
oppure in forma equivalente<br />
dρ<br />
+ ρ∇ · u = 0 (3.7)<br />
dt<br />
La 3.6, o la 3.7, costituisce l’equazione <strong>di</strong> continuità per un fluido.<br />
La forma in cui è espressa la 3.6, viene chiamata conservativa; la<br />
forma della 3.7 è detta non conservativa.<br />
Nel caso in cui dρ/dt = 0, la 3.7 fornisce Flusso<br />
incompressibile<br />
∇ · u = 0 ⇐⇒ ∂ui<br />
∂xi<br />
= 0 (3.8)<br />
La 3.8, essendo<br />
1 dV<br />
= <strong>di</strong>vu = ∇ · u<br />
V dt<br />
ci <strong>di</strong>ce che la velocità <strong>di</strong> variazione relativa del volume della<br />
particella fluida è nulla. Il flusso è quin<strong>di</strong> incompressibile.<br />
Si noti che non è necessario che il campo <strong>di</strong> densità sia uniforme<br />
per un flusso incompressibile, quello che è richiesto è che<br />
la densità dell’elemento fluido non vari nel tempo quando si<br />
muove nello spazio. Infatti la densità è in generale funzione della<br />
temperatura oltre che della pressione: per esempio, il flusso in<br />
un oceano può essere considerato incompressibile anche se la<br />
densità dell’acqua non è uniforme a causa della stratificazione.<br />
Flussi compressibili possono essere approssimati come incompressibili<br />
se il numero <strong>di</strong> Mach è inferiore a 0.3.<br />
3.1.2 Equazione della conservazione della quantità <strong>di</strong> moto<br />
L’equazione della quantità <strong>di</strong> moto applicata alla massa contenuta<br />
in un certo volume <strong>di</strong> fluido, che si muove con esso, si scrive<br />
dQ<br />
dt<br />
= Fe<br />
(3.9)<br />
dove Fe è la risultante delle forze esterne <strong>di</strong> massa (<strong>ad</strong> es. la gravità,<br />
la forza centrifuga) e <strong>di</strong> quelle <strong>di</strong> superficie, come gli sforzi<br />
dovuti al fluido esterno e agenti sulla superficie S si contorno. La<br />
3.9 <strong>di</strong>venta allora<br />
d<br />
dt<br />
ˆ<br />
V(t)<br />
ˆ<br />
ρudV =<br />
V(t)<br />
ˆ<br />
ρfdV + T · ndS (3.10)<br />
S(t)
3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 31<br />
dove f è la forza <strong>di</strong> volume che si esercita per unità <strong>di</strong> massa e<br />
T è il tensore degli sforzi. Tale tensore permette <strong>di</strong> descrivere gli<br />
sforzi attorno <strong>ad</strong> un punto nelle varie <strong>di</strong>rezioni possibili: esso è<br />
un tensore a nove componenti scalari (a tre componenti vettoriali<br />
rispetto alle tre <strong>di</strong>rezioni degli assi coor<strong>di</strong>nati prescelti). Va sottolineato<br />
che T è un tensore simmetrico per cui Tij = Tji, cosicché<br />
le nove componenti si riducono a sei quantità in<strong>di</strong>pendenti.<br />
Occorre ora esprimere il principio <strong>di</strong> conservazione della quantità<br />
<strong>di</strong> moto per un volume che non varia nel tempo, cioè un<br />
volume fisso nello spazio (formulazione Euleriana). Ciò può essere<br />
semplicemente realizzato esprimendo le derivate temporali degli<br />
integrali sul volume materiale V(t) me<strong>di</strong>ante il teorema del<br />
trasporto <strong>di</strong> Reynolds. Trasformiamo così il primo membro e il<br />
secondo termine del secondo membro della 3.11 in modo che vi<br />
appaiano soltanto integrali <strong>di</strong> volume, come è il primo termine a<br />
secondo membro.<br />
Se poi applichiamo il teorema della <strong>di</strong>vergenza<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
T · ndS = <strong>di</strong>vTdV<br />
V<br />
S<br />
all’integrale superficiale avremo<br />
ˆ <br />
ρ du<br />
<br />
− ρf − ∇ · T dV = 0<br />
dt<br />
(3.11)<br />
Dovendo valere la 3.11 per qualsiasi volume <strong>di</strong> integrazione,<br />
l’integrando deve essere identicamente nullo, quin<strong>di</strong><br />
ρ du<br />
dt<br />
V<br />
= ρf + ∇ · T<br />
Passando dall’espressione vettoriale a quella delle componenti<br />
ed introducendo la simbologia della somma introdotta da Einstein,<br />
o notazione in<strong>di</strong>ciale 1<br />
ρ dui<br />
dt = ρfi + ∂<br />
Tij<br />
∂xj<br />
(3.12)<br />
dove ui è la componente i-esima della velocità istantanea, ρ è la<br />
densità, Tij è il tensore degli sforzi e fi è la componente i-esima<br />
della forza <strong>di</strong> volume per unità <strong>di</strong> massa.<br />
Dalle ipotesi fatte il fluido è <strong>di</strong> tipo Newtoniano e a comporta- Fluido Newtoniano<br />
mento isotropo. Per i flui<strong>di</strong> Newtoniani le componenti del tensore<br />
degli sforzi sono funzioni lineari delle componenti delle velocità<br />
1 In ogni prodotto, l’in<strong>di</strong>ce ripetuto implica <strong>una</strong> somma rispetto allo stesso in<strong>di</strong>ce<br />
per i valori 1, 2, 3. Quello non ripetuto può assumere uno qualsiasi dei valori<br />
1, 2, 3.
3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 32<br />
<strong>di</strong> deformazione. Per le componenti del tensore degli sforzi si<br />
<strong>di</strong>mostra che<br />
Tij = 2µεij per i = j (3.13)<br />
Tjj = (−p + λ∇ · u) + 2µεjj (senza somma su j) (3.14)<br />
Dalla 3.14 risulta che nel caso generale i tre sforzi normali sono<br />
<strong>di</strong>versi tra loro, e la loro me<strong>di</strong>a non coincide con la pressione.<br />
Nelle 3.13 e 3.14 µ è la viscosità <strong>di</strong>namica che riteniamo costante,<br />
ed εij sono le componenti del tensore delle deformazioni.<br />
La relazione tra sforzi e velocità <strong>di</strong> deformazione si scrive<br />
<br />
Tij = 2µεij − p + 2<br />
<br />
µ∇ · u δij (3.15)<br />
3<br />
dove p è la pressione termo<strong>di</strong>namica e δij è il delta <strong>di</strong> Kronecker<br />
δij =<br />
1 per i = j<br />
0 per i = j<br />
Nella 3.14 il termine λ∇ · u descrive l’effetto della viscosità<br />
dovuto alla variazione <strong>di</strong> volume <strong>di</strong> <strong>una</strong> particella fluida. I due<br />
coefficienti <strong>di</strong> viscosità λ e µ sono legati tra loro dalla relazione<br />
Essendo per i gas poliatomici<br />
possiamo scrivere<br />
µ ′ = λ + 2<br />
3 µ<br />
0 < µ ′ ≪ µ<br />
λ = − 2<br />
µ (3.16)<br />
3<br />
La quantità µ ′ , detta bulk viscosity o viscosità <strong>di</strong> massa, descrive<br />
la <strong>di</strong>fferenza esistente, e dovuta alla viscosità, tra sforzo normale<br />
me<strong>di</strong>o e pressione in un fluido in espansione. In altre parole,<br />
supponendo <strong>di</strong> avere <strong>una</strong> massa <strong>di</strong> gas viscoso che si espande<br />
rapidamente (se ∇ · u > 0), il suo comportamento coincide con<br />
quello <strong>di</strong> un gas non viscoso a pressione p ′ inferiore. Si <strong>di</strong>mostra<br />
infatti che è<br />
p ′ = p − µ ′ <strong>di</strong>vu<br />
Questo significa che un gas viscoso, sottoposto a pressione<br />
decrescente nel tempo, si espande meno rapidamente <strong>di</strong> un gas<br />
non viscoso sottoposto alla stessa legge temporale delle pressioni<br />
esterne a parità delle altre con<strong>di</strong>zioni.
3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 33<br />
La 3.15 è detta equazione costitutiva. Come si vede, per i flui<strong>di</strong><br />
isotropi Newtoniani, essa <strong>di</strong>pende dai due coefficienti <strong>di</strong> viscosità<br />
λ e µ e, in virtù della 3.16, dal solo coefficiente µ.<br />
A questo punto se introduciamo nella 3.12 l’equazione costitutiva<br />
3.15 e le componenti del tensore <strong>di</strong> deformazione<br />
εij = 1<br />
<br />
∂ui<br />
+<br />
2 ∂xj<br />
∂uj<br />
<br />
∂xi<br />
otteniamo le equazioni <strong>di</strong> Navier-Stokes in forma <strong>di</strong>fferenziale<br />
ρ dui<br />
dt = ρfi − ∂p<br />
+<br />
∂xi<br />
∂<br />
(λ∇ · u) +<br />
∂xi<br />
∂<br />
<br />
∂ui<br />
µ +<br />
∂xj ∂xj<br />
∂uj<br />
<br />
∂xi<br />
(3.17)<br />
L’ultimo termine della 3.17 può essere scritto<br />
µ∇ 2 ui + µ ∂<br />
∇ · u +<br />
∂xi<br />
∂µ<br />
<br />
∂ui<br />
+<br />
∂xj ∂xj<br />
∂uj<br />
<br />
∂xi<br />
Nel caso in cui µ e λ possono essere ritenuti costanti la 3.17<br />
<strong>di</strong>venta così<br />
ρ dui<br />
<br />
∂ui ∂ui<br />
= ρ + uj<br />
dt ∂t ∂xj<br />
= ρfi − ∂p<br />
+ µ∇<br />
∂xi<br />
2 ui + (λ + µ) ∂<br />
(∇ · u) (3.18)<br />
∂xi<br />
La 3.18 può essere scritta in forma vettoriale ricordando però<br />
che la somma (λ + µ) è, per via della 3.16, pari a µ/3<br />
ρ du<br />
dt = ρf − ∇p + µ∇2ū + µ<br />
∇ (∇ · u) (3.19)<br />
3<br />
e nel caso in cui il fluido sia incompressibile (∇ · u = 0), la 3.19<br />
<strong>di</strong>venta<br />
ρ du<br />
dt = ρf − ∇p + µ∇2 u<br />
Una conseguenza <strong>di</strong> assumere l’ipotesi <strong>di</strong> flusso incompressibile<br />
è che non c’è un’equazione <strong>di</strong> stato per la pressione, a<br />
<strong>di</strong>fferenza del caso <strong>di</strong> flusso compressibile. Quin<strong>di</strong> non c’è un’equazione<br />
in<strong>di</strong>pendente per la pressione, ma deve essere ottenuta<br />
dall’equazione <strong>di</strong> continuità e della quantità <strong>di</strong> moto. Inoltre se si<br />
assume che la viscosità sia costante, allora l’equazione dell’energia<br />
risulta <strong>di</strong>saccoppiata da quella <strong>di</strong> continuità e della quantità<br />
<strong>di</strong> moto e nella nostra trattazione può essere tralasciata.
3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 34<br />
3.1.3 Con<strong>di</strong>zioni al contorno e con<strong>di</strong>zioni iniziali<br />
L’equazione <strong>di</strong> continuità, e l’equazione della quantità <strong>di</strong> moto,<br />
equivalente a tre equazioni scalari, costituiscono per un flusso incompressibile<br />
un sistema <strong>di</strong> quattro equazioni <strong>di</strong>fferenziali nelle<br />
incognite u, v, w, p. Esse possono essere risolte, analiticamente o<br />
<strong>numerica</strong>mente, con opportune con<strong>di</strong>zioni al contorno. In realtà<br />
la soluzione analitica delle equazioni <strong>di</strong> Navier-Stokes presenta in<br />
generale <strong>di</strong>fficoltà insormontabili, principalmente per il fatto che<br />
le equazioni stesse sono alle derivate parziali e non lineari. Da<br />
questo risulta l’importanza e la necessità dell’impiego <strong>di</strong> solutori<br />
numerici che possono sfruttare la velocità <strong>di</strong> calcolo e la precisione<br />
del calcolatore elettronico. La risoluzione del sistema necessita<br />
della specifica delle con<strong>di</strong>zioni al contorno, e delle con<strong>di</strong>zioni iniziali.<br />
Sono proprio queste con<strong>di</strong>zioni che decidono le soluzioni<br />
da ottenere dalle equazioni <strong>di</strong> governo. Su ciasc<strong>una</strong> linea o superficie<br />
<strong>di</strong> confine del dominio <strong>di</strong> calcolo è necessario specificare<br />
appropriate con<strong>di</strong>zioni. Dato che le equazioni <strong>di</strong> Navier-Stokes<br />
sono <strong>di</strong> tipo ellittico nel caso incompressibile, la loro soluzione<br />
necessita della specificazione <strong>di</strong> due con<strong>di</strong>zioni al contorno per<br />
ogni coor<strong>di</strong>nata, ed <strong>una</strong> con<strong>di</strong>zione iniziale (tranne che per la<br />
pressione per la quale il valore si ricava, senza l’imposizione <strong>di</strong><br />
con<strong>di</strong>zioni esplicite, a meno <strong>di</strong> <strong>una</strong> costante). L’ellitticità delle<br />
equazioni implica il fatto che <strong>una</strong> variazione del valore <strong>di</strong> <strong>una</strong><br />
con<strong>di</strong>zione al contorno in un punto qualsiasi del bordo mo<strong>di</strong>fica<br />
istantaneamente la soluzione in tutto il dominio <strong>di</strong> calcolo.<br />
3.1.4 Circolazione e vorticità<br />
In fluido<strong>di</strong>namica è detta circolazione il valore della circuitazione<br />
(ovvero l’integrale <strong>di</strong> linea) <strong>di</strong> un campo <strong>di</strong> velocità lungo un<br />
percorso chiuso C<br />
˛<br />
Γ = u · dℓ<br />
C<br />
La circuitazione, ovvero l’integrale del prodotto scalare della<br />
velocità con l’ascissa curvilinea, equivale alla proiezione della<br />
velocità, punto per punto, sulla curva.<br />
Definendo la vorticità Ω come il rotore della velocità<br />
Ω = ∇ × u<br />
la circolazione può essere espressa, con il teorema del rotore,<br />
anche in funzione della vorticità<br />
˛ ¨<br />
¨<br />
Γ = u · dℓ = (∇ × u) · dS = Ω · ndS<br />
∂S<br />
S<br />
S
3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 35<br />
con l’ipotesi che il percorso chiuso, in<strong>di</strong>cato questa volta con ∂S,<br />
sia il contorno <strong>di</strong> <strong>una</strong> superficie S orientata. Si è in<strong>di</strong>cato con n<br />
il versore normale alla superficie <strong>di</strong>retto verso l’osservatore che<br />
vede ∂S girare in senso antiorario.<br />
Quin<strong>di</strong> la vorticità può anche essere interpretata come la circuitazione<br />
della velocità per unità <strong>di</strong> superficie in un punto del<br />
flusso.<br />
Nei flui<strong>di</strong> incomprimibili la vorticità nasce solo in presenza<br />
<strong>di</strong> contorni soli<strong>di</strong> e deriva dalla necessità che ha il fluido <strong>di</strong><br />
sod<strong>di</strong>sfare la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> <strong>ad</strong>erenza, ossia <strong>di</strong> non scorrere sulla<br />
parete. Infatti la velocità relativa tra fluido e contorno solido è<br />
considerata nulla e le particelle a <strong>di</strong>retto contatto con la parete vi<br />
<strong>ad</strong>eriranno, mentre quelle appena più <strong>di</strong>stanti avranno un certa<br />
velocità relativa non nulla.<br />
In un fluido incomprimibile la vorticità rappresenta la risultante<br />
delle azioni viscose agenti su <strong>una</strong> particella fluida. Se questa<br />
grandezza è zero, l’equazione che ne regola il moto è identica a<br />
quella <strong>di</strong> un fluido non viscoso, ma questo non vuol <strong>di</strong>re che le<br />
azioni viscose siano nulle, bensì che è nulla solo la loro risultante.<br />
3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TUR-<br />
BOLENZA<br />
Nel campo <strong>di</strong> applicazione delle turbine eoliche, il flusso è sempre<br />
turbolento. Questo significa che il moto del fluido è stocastico,<br />
non stazionario e tri<strong>di</strong>mensionale.<br />
Per queste ragioni, il moto turbolento ed i fenomeni <strong>di</strong> trasferimento<br />
<strong>di</strong> calore e <strong>di</strong> massa con esso associati sono estremamente<br />
<strong>di</strong>fficili da descrivere e da pre<strong>di</strong>re in maniera teorica. Di seguito<br />
vengono riportati alcuni modelli matematici per descrivere i fenomeni<br />
turbolenti e largamente usati in campo industriale nelle<br />
simulazioni numeriche.<br />
3.2.1 Equazioni <strong>di</strong> Navier-Stokes me<strong>di</strong>ate alla Reynolds<br />
Le equazioni <strong>di</strong> Navier-Stokes me<strong>di</strong>ate (RANS) sono equazioni <strong>di</strong><br />
Navier-Stokes dove le grandezze risultano non più istantanee, ma<br />
me<strong>di</strong>ate in un certo periodo <strong>di</strong> tempo, sufficientemente piccolo<br />
rispetto ai fenomeni che si vogliono seguire, sufficientemente<br />
grande rispetto ai <strong>di</strong>sturbi della turbolenza.<br />
Per molte applicazioni pratiche, la sola conoscenza delle grandezze<br />
me<strong>di</strong>e può essere sufficiente per la soluzione del problema.<br />
Questo approccio consente <strong>una</strong> notevole riduzione dei tempi <strong>di</strong>
3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 36<br />
calcolo, poiché le scale del moto me<strong>di</strong>o sono molto più gran<strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
quelle delle fluttuazioni turbolente. In effetti un moto turbolento<br />
può essere considerato come la sovrapposizione <strong>di</strong> un moto<br />
me<strong>di</strong>o e <strong>di</strong> un moto fluttuante nel tempo.<br />
Usando la decomposizione <strong>di</strong> Reynolds per la velocità e la pressione<br />
ui = ūi + u ′ i e pi = ¯pi + p ′ i<br />
(dove i valori sopralineati in<strong>di</strong>cano i valori me<strong>di</strong> e quelli con<br />
l’apice le fluttuazioni), sostituendole nelle equazioni <strong>di</strong> Navier-<br />
Stokes e me<strong>di</strong>ando nel tempo le equazioni <strong>di</strong> Navier-Stokes stesse,<br />
si ottiene per un flusso incompressibile<br />
<br />
∂ūi ∂ūjūi<br />
ρ + = ρ ¯fi +<br />
∂t ∂xj<br />
∂<br />
∂xj<br />
∂ūj<br />
∂xj<br />
= 0<br />
<br />
− ¯pδij + µ<br />
∂ūi<br />
∂xj<br />
+ ∂ūj<br />
<br />
− ρu<br />
∂xi<br />
′ iu′ <br />
j<br />
dove −ρu ′ iu′ j ≡ τR ij rappresenta il tensore degli sforzi <strong>di</strong> Reynolds.<br />
L’effetto <strong>di</strong> questo termine è in genere prevalente rispetto al tensore<br />
degli sforzi viscosi. In definitiva un moto turbolento può<br />
essere descritto dalle stesse equazioni usate per il moto laminare,<br />
purché si sostituiscano alle grandezze istantanee i valori me<strong>di</strong>ati<br />
nel tempo e si includano gli sforzi turbolenti aggiuntivi. Per la<br />
presenza delle 6 nuove incognite rappresentate dalle componenti<br />
del tensore degli sforzi <strong>di</strong> Reynolds, le due equazioni <strong>di</strong> conservazione<br />
non costituiscono un sistema chiuso che permetta <strong>di</strong><br />
determinare i campi <strong>di</strong> pressione me<strong>di</strong>a e velocità me<strong>di</strong>a. Nelle<br />
RANS è pertanto necessaria l’assunzione <strong>di</strong> un modello che leghi<br />
in modo fisicamente consistente il tensore degli sforzi <strong>di</strong> Reynolds<br />
alla storia globale del campo <strong>di</strong> velocità me<strong>di</strong>a, in modo<br />
da consentire la chiusura delle equazioni.<br />
I modelli <strong>di</strong> turbolenza a due equazioni sono fra i più comuni. Modelli <strong>di</strong><br />
Modelli come il k-ε e il k-ω sono <strong>di</strong>ventati dei modelli standard turbolenza a due<br />
equazioni<br />
per l’industria e sono i più usati per molti tipi <strong>di</strong> problemi ingegneristici.<br />
Per definizione, i modelli a due equazioni includono<br />
due equazioni in più per rappresentare le proprietà turbolente del<br />
flusso, in questo modo si tiene conto degli effetti <strong>di</strong> evoluzione<br />
come la convezione e la <strong>di</strong>ffusione <strong>di</strong> energia turbolenta. Spesso<br />
<strong>una</strong> della variabili trasportate è l’energia cinetica turbolenta k.<br />
La seconda variabile trasportata <strong>di</strong>pende dal tipo <strong>di</strong> modello<br />
<strong>ad</strong>ottato. Le scelte più comuni sono la <strong>di</strong>ssipazione turbolenta<br />
ε, o la <strong>di</strong>ssipazione specifica ω. La seconda variabile può essere<br />
pensata come la variabile che determina la scala della turbolenza<br />
(spaziale o temporale), invece la prima variabile k determina<br />
l’energia nella turbolenza.
3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 37<br />
La base per tutti i modelli a due equazioni è l’ipotesi <strong>di</strong> Bous- Ipotesi <strong>di</strong> Boussinesq<br />
sinesq, che assume che il tensore degli stress <strong>di</strong> Reynolds τ R ij ,<br />
è proporzionale al tensore degli sforzi Sij, e può essere scritto<br />
come<br />
τij = 2µtSij + 2<br />
3 ρkδij<br />
Dove µt è <strong>una</strong> proprietà scalare chiamata viscosità turbolenta<br />
e viene ricavata a partire dalle due due variabili trasportate.<br />
L’ultimo termine viene incluso per modellizzare il flusso incomprimibile<br />
e per assicurare che venga rispettata la definizione <strong>di</strong><br />
energia cinetica turbolenta<br />
k = u′ i u′ i<br />
2<br />
La stessa equazione può essere scritta più esplicitamente come<br />
−ρu ′ iu′ <br />
∂ui<br />
j = µt +<br />
∂xj<br />
∂uj<br />
<br />
+<br />
∂xi<br />
2<br />
3 ρkδij<br />
L’ipotesi <strong>di</strong> Boussinesq è allo stesso tempo il punto forte e<br />
debole dei modelli a due equazioni. Questa ipotesi è <strong>una</strong> enorme<br />
semplificazione che permette <strong>di</strong> pensare agli effetti della<br />
turbolenza sul flusso principale allo stesso modo come la viscosità<br />
molecolare influisce su un flusso laminare. Questa ipotesi<br />
permette anche <strong>di</strong> introdurre intuitivamente delle variabili scalari<br />
turbolente, come l’energia turbolenta e la <strong>di</strong>ssipazione, e <strong>di</strong><br />
metterle in relazione con variabili più intuitive come l’intensità<br />
turbolenta e la scala spaziale della turbolenza.<br />
L’intensità della turbolenza è definita come<br />
I ≡ u′<br />
ū<br />
dove u ′ è il valore efficace delle fluttuazioni <strong>di</strong> velocità e ū è la<br />
velocità principale (me<strong>di</strong>ata alla Reynolds). Se l’energia cinetica<br />
turbolenta k è nota, u ′ può essere calcolata come<br />
u ′ ≡<br />
<br />
1<br />
3 (u′2 x + u ′2<br />
y + u ′2<br />
<br />
2<br />
z ) =<br />
3 k<br />
Il punto debole dell’ipotesi <strong>di</strong> Boussinesq è che in generale non<br />
è sempre valida. Non c’è niente che ci <strong>di</strong>ce che il tensore degli<br />
stress <strong>di</strong> Reynolds deve essere proporzionale al tensore degli<br />
sforzi. Questo è vero per semplici flussi come strati limiti dritti o<br />
onde, ma in flussi complessi, come flussi con gran<strong>di</strong> curvature,<br />
o flussi fortemente accelerati o decelerati l’ipotesi <strong>di</strong> Boussinesq<br />
non è più valida.<br />
per la viscosità<br />
turbolenta
3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 38<br />
3.2.2 Equazioni <strong>di</strong> trasporto per il modello k-ε standard<br />
Per l’energia cinetica turbolenta k si ha<br />
∂ ∂<br />
(ρk) + (ρkui) =<br />
∂t ∂xi<br />
∂<br />
<br />
µ +<br />
∂xj<br />
µt<br />
<br />
∂k<br />
σk ∂xj<br />
+ Pk + Pb − ρɛ − YM + Sk<br />
Per la <strong>di</strong>ssipazione ε si ha<br />
∂ ∂<br />
(ρɛ) + (ρɛui) =<br />
∂t ∂xi<br />
∂<br />
<br />
µ +<br />
∂xj<br />
µt<br />
<br />
∂ɛ<br />
σɛ ∂xj<br />
ɛ<br />
+ C1ɛ<br />
k (Pk + C3ɛPb) − C2ɛρ ɛ2<br />
+ Sɛ<br />
k<br />
La viscosità turbolenta viene modellizzata come<br />
k<br />
µt = ρCµ<br />
2<br />
ɛ<br />
Il termine <strong>di</strong> produzione <strong>di</strong> energia cinetica turbolenta Pk è<br />
dato da<br />
= µtS 2<br />
Pk = −ρu ′ iu′ ∂uj<br />
j ∂xi<br />
dove S è il modulo del tensore dello sforzo definito come<br />
S ≡ 2SijSij<br />
Pb è l’effetto del galleggiamento dato da<br />
µt ∂T<br />
Pb = βgi<br />
Prt ∂xi<br />
dove Prt è il numero <strong>di</strong> Prandtl turbolento per l’energia e gi è<br />
la componente della forza gravitazionale in <strong>di</strong>rezione i. Per il<br />
modello standard il valore <strong>di</strong> Prt è 0, 85.<br />
Il coefficiente <strong>di</strong> <strong>di</strong>latazione termica β è definito come<br />
β = − 1<br />
ρ<br />
Le costanti del modello sono<br />
∂ρ<br />
∂T<br />
C1ɛ = 1.44, C2ɛ = 1.92, Cµ = 0.09, σk = 1.0, σɛ = 1.3<br />
<br />
p
3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 39<br />
3.2.3 Large Eddy Simulation<br />
La Large Eddy Simulation (LES) è <strong>una</strong> tecnica largamente usata<br />
per simulare flussi turbolenti. Nella sua teoria del 1941, Kolmogorov<br />
introdusse l’idea che le scale più piccole della turbolenza<br />
fossero universali (simili per ogni flusso turbolento) e che esse<br />
<strong>di</strong>pendono solo dalla <strong>di</strong>ssipazione ε e dalla viscosità cinematica<br />
ν. Invece le gran<strong>di</strong> scale <strong>di</strong>pendono dalla geometria del dominio.<br />
Questa caratteristica permette <strong>di</strong> risolvere esplicitamente i vortici<br />
più gran<strong>di</strong> e calcolare implicitamente i vortici più piccoli usando<br />
un modello <strong>di</strong> scala <strong>di</strong> sottogriglia (SGS model)<br />
Matematicamente, si può pensare <strong>di</strong> separare il campo <strong>di</strong> velocità<br />
in <strong>una</strong> parte da risolvere esplicitamente e <strong>una</strong> <strong>di</strong> sottogriglia.<br />
La parte del campo da risolvere rappresenta le gran<strong>di</strong> strutture<br />
vorticose, mentre la parte <strong>di</strong> sottogriglia rappresenta le piccole<br />
scale, i cui effetti sul campo fluido<strong>di</strong>namico vengono inclusi attraverso<br />
un modello <strong>di</strong> sottogriglia. Formalmente, si può pensare<br />
<strong>di</strong> filtrare <strong>una</strong> funzione con un nucleo <strong>di</strong> convoluzione G<br />
ˆ<br />
ũi(x) = G(x − ξ)ui(ξ)dξ,<br />
e quin<strong>di</strong> scomporre la velocità in<br />
ui = ũi + u ′ i<br />
dove ũi è la parte filtrata e u ′ i è il campo <strong>di</strong> sottogriglia.<br />
Partendo dalle equazioni <strong>di</strong> Navier-Stokes per un flusso incomprimibile<br />
in <strong>asse</strong>nza <strong>di</strong> forze <strong>di</strong> massa<br />
ρ du<br />
dt = −∇p + µ∇2u → ∂ui ∂ui<br />
+ uj = −<br />
∂t ∂xj<br />
1 ∂p<br />
+<br />
ρ ∂xi<br />
∂<br />
<br />
ν<br />
∂xj<br />
∂ui<br />
<br />
∂xj<br />
Sostituendo la decomposizione ui = ũi + u ′ i e p = ˜p + p′ e<br />
quin<strong>di</strong> filtrando le equazioni, l’equazione risultante da l’equazio-<br />
ne del moto per il campo filtrato<br />
∂ũi<br />
∂t<br />
∂ũi<br />
+ ũj<br />
∂xj<br />
= − 1 ∂ ˜p<br />
ρ ∂xi<br />
+ ∂<br />
∂xj<br />
<br />
ν ∂ũi<br />
<br />
+<br />
∂xj<br />
1 ∂τij<br />
ρ ∂xj<br />
Abbiamo assunto che l’operazione <strong>di</strong> filtraggio e <strong>di</strong> derivazione<br />
sono commutative; in generale non è vero, ma possiamo pensare<br />
che gli errori associati con questa ipotesi sono molto piccoli.<br />
Il termine aggiuntivo ∂τij/∂xj deriva dai termini non lineari<br />
<strong>di</strong> convezione, dovuti al fatto che<br />
∂ui<br />
uj<br />
∂xj<br />
= ũj<br />
∂ũi<br />
∂xj
e quin<strong>di</strong><br />
3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 40<br />
τij = ũiũj − uiuj<br />
Analogamente si ricavano le equazioni per il campo <strong>di</strong> sottogriglia.<br />
Il modello <strong>di</strong> turbolenza <strong>di</strong> sottogriglia <strong>di</strong> solito assume l’ipotesi<br />
<strong>di</strong> Boussinesq e cerca <strong>di</strong> calcolare la parte deviatorica degli<br />
stress <strong>di</strong> sottogriglia imponendo che<br />
τij − 1<br />
3 τkkδij = −2µ sgs ˜Sij<br />
dove ˜Sij è il tensore degli sforzi per il campo filtrato definto come<br />
˜Sij = 1<br />
<br />
∂ũi<br />
+<br />
2 ∂xj<br />
∂ũj<br />
<br />
∂xi<br />
e µ sgs è la viscosità turbolenta <strong>di</strong> sottogriglia. Sostituendo nelle<br />
equazioni filtrate <strong>di</strong> Navier-Stokes, otteniamo<br />
∂ũi ∂ũi<br />
+ ũj = −<br />
∂t ∂xj<br />
1 ∂ ˜p<br />
+<br />
ρ ∂xi<br />
∂<br />
<br />
ν ∂ũi<br />
+ νsgs<br />
∂xj<br />
∂xj<br />
dove abbiamo usato l’ipotesi <strong>di</strong> incompressibilità per semplificare<br />
l’equazione e la pressione è mo<strong>di</strong>ficata perché include il termine<br />
τkkδij/3.<br />
Nel modello <strong>di</strong> Smagorinsky, la viscosità turbolenta <strong>di</strong> sotto- Modello <strong>di</strong><br />
griglia viene modellizzata come<br />
Smagorinsky<br />
µ sgs = ρ (Cs∆) 2 ¯S <br />
Dove la lunghezza <strong>di</strong> filtraggio è presa pari a<br />
∆ = (Volume) 1 3 e ¯S = 2SijSij<br />
Quin<strong>di</strong> la viscosità totale sarà data da<br />
µ eff = µ mol + µ sgs<br />
Le costanti <strong>di</strong> Smagorinsky hanno <strong>di</strong> solito valori pari a<br />
Cs = 0.1 ÷ 0.2<br />
Le <strong>di</strong>fficoltà legate all’uso del modello LES, in particolare nelle Detached Eddy<br />
Simulation<br />
regioni <strong>di</strong> parete, ha portato allo sviluppo <strong>di</strong> modelli ibri<strong>di</strong> che<br />
cercano <strong>di</strong> combinare le proprietà migliori delle RANS e della LES<br />
in <strong>una</strong> singola strategia <strong>di</strong> soluzione. Il modello Detached Eddy<br />
Simulation (DES) cerca <strong>di</strong> risolvere le regioni <strong>di</strong> parete utilizzando<br />
le Reynolds-Averaged Navier-Stokes equations (RANS), e il resto<br />
del campo fluido<strong>di</strong>namico con la LES.
3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 41<br />
3.2.4 Turbolenza <strong>di</strong> parete<br />
Lo strato limite turbolento può essere considerato composto<br />
da tre <strong>di</strong>versi strati in cui il profilo <strong>di</strong> velocità è sensibilmente<br />
<strong>di</strong>fferente:<br />
• il sottostrato laminare (inner layer), dominato dalla <strong>di</strong>ffusione<br />
molecolare, in quanto sono nulle o molto piccole le<br />
fluttuazioni <strong>di</strong> velocità e quin<strong>di</strong> gli sforzi <strong>di</strong> Reynolds e il<br />
profilo <strong>di</strong> velocità è lineare;<br />
• lo strato esterno (outer layer) nel quale sono preponderanti<br />
gli sforzi turbolenti;<br />
• lo strato <strong>di</strong> sovrapposizione (overlap layer o log law region)<br />
nel quale il profilo della velocità me<strong>di</strong>a mostra un andamento<br />
logaritmico.<br />
Risultati sperimentali e numerici hanno evidenziato come all’interno<br />
dello strato limite turbolento la velocità u possa essere<br />
messa in relazione con la <strong>di</strong>stanza dalla parete y attraverso l’uso<br />
<strong>di</strong> parametri a<strong>di</strong>mensionalizzati y + e u + definiti da<br />
y + = yu∗<br />
ν<br />
e u + = u<br />
dove u∗ è la velocità d’attrito definita come<br />
<br />
τw<br />
u∗ =<br />
ρ<br />
con τw sforzo a parete pari a<br />
τw = h<br />
<br />
dp<br />
dx y=0<br />
Il parametro y + è simile <strong>ad</strong> un numero <strong>di</strong> Reynolds locale,<br />
quin<strong>di</strong> il suo valore determina l’importanza relativa del contributo<br />
viscoso e del contributo turbolento nello sforzo <strong>di</strong> taglio. Per<br />
valori <strong>di</strong> y + minori <strong>di</strong> 50 esiste un forte contributo della viscosità<br />
molecolare allo sforzo <strong>di</strong> taglio. Per valori <strong>di</strong> y + maggiori <strong>di</strong><br />
30 ÷ 50 questo contributo <strong>di</strong>venta trascurabile.<br />
Alla parete, la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> <strong>ad</strong>erenza impone che la velocità Inner layer<br />
sia nulla, quin<strong>di</strong> lo sforzo <strong>di</strong> Reynolds si annulla e lo sforzo alla<br />
parete τw è dovuto interamente al contributo viscoso. Nella zona<br />
imme<strong>di</strong>atamente a<strong>di</strong>acente alla parete, gli sforzi sono totalmente<br />
dovuti agli sforzi viscosi. Questo strato è chiamato sottostrato<br />
viscoso, ed è molto sottile, con un basso valore <strong>di</strong> y + (y + < 5). Lo<br />
sforzo <strong>di</strong> taglio è praticamente costante e uguale allo sforzo <strong>di</strong><br />
u∗
3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 42<br />
Figura 3.1: Profilo <strong>di</strong> velocità nel viscous sublayer e nel log-layer<br />
taglio alla parete τw. In questa zona esiste <strong>una</strong> relazione lineare<br />
tra i due parametri a<strong>di</strong>mensionali u + e y +<br />
u + = y +<br />
Nella log law region (y + > 30) gli effetti della viscosità mole- Log law region<br />
colare sono trascurabili e c’è equilibrio tra la produzione e la<br />
<strong>di</strong>ssipazione <strong>di</strong> energia cinetica turbolenta. In questo strato vale<br />
la relazione<br />
u + = 1<br />
κ ln y + + C<br />
dove κ è la costante <strong>di</strong> Von Karman (0.38 < κ < 0.42) e C è un’altra<br />
costante ottenuta sperimentalmente (≈ 5.1) e inversamente<br />
proporzionale alla rugosità della parete. In Figura 3.1 è mostrato<br />
il confronto tra la legge logaritmica e <strong>una</strong> simulazione <strong>numerica</strong><br />
<strong>di</strong>retta. Si può notare la perfetta rispondenza tra le due curve per<br />
valori <strong>di</strong> y + > 30.<br />
Figura 3.2: Schema riassuntivo delle regioni <strong>di</strong> un flusso <strong>di</strong> parete<br />
(Pope, 2000)<br />
La regione tra il sottostrato viscoso e la log-law region è detta<br />
buffer layer. Questa è la regione <strong>di</strong> transizione tra la parte del flusso<br />
dominata dalle forze viscose e quella dominate dalla viscosità
3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 43<br />
turbolenta. Nel buffer layer i valori <strong>di</strong> y + sono compresi tra 5 e<br />
30.<br />
La zona esterna, con valori <strong>di</strong> y + maggiori <strong>di</strong> 50, è <strong>una</strong> zo- Lo strato esterno<br />
na nella quale gli effetti della viscosità sono quasi interamente<br />
trascurabili rispetto a quelli della viscosità turbolenta. In Figura<br />
3.2 è proposto uno schema riassuntivo delle regioni che<br />
contr<strong>ad</strong><strong>di</strong>stinguono un flusso <strong>di</strong> parete.
4 VA W T A G E O M E T R I A VA R I A B I L E<br />
Come accennato nell’introduzione le due configurazioni principali<br />
<strong>di</strong> turbine eoliche <strong>ad</strong> <strong>asse</strong> <strong>verticale</strong> sono la Savonius e la<br />
Darrieus. Queste due configurazioni hanno principio <strong>di</strong> funzionamento<br />
aero<strong>di</strong>namico <strong>di</strong>fferente: la prima lavora a resistenza,<br />
la seconda a portanza. Questa sostanziale <strong>di</strong>fferenza è il motivo<br />
per cui le prestazioni e il range <strong>di</strong> velocità in cui esse operano è<br />
molto <strong>di</strong>fferente. La Savonius lavora a bassi tip speed ratio, ha il<br />
grande vantaggio <strong>di</strong> avviarsi da sola e mantenersi in rotazione<br />
anche a b<strong>asse</strong> velocità vento, ma ha prestazioni molto b<strong>asse</strong> <strong>ad</strong><br />
alte velocità <strong>di</strong> rotazione. Al contrario la Darrieus ha ottime<br />
prestazioni <strong>ad</strong> alti numero <strong>di</strong> giri, ma ha il grande <strong>di</strong>fetto che<br />
non è in gr<strong>ad</strong>o <strong>di</strong> autoavviarsi.<br />
Dal grafico del coefficiente <strong>di</strong> potenza in funzione <strong>di</strong> λ (Figura<br />
4.1) si vede come la configurazione Savonius abbia un massimo<br />
per λ = 1, ovvero ha ottime prestazioni a b<strong>asse</strong> velocità <strong>di</strong> rotazione,<br />
più precisamente a velocità tangenziali uguali alla velocità<br />
del vento, mentre la configurazione Darrieus ha un massimo per<br />
λ = 5-6, cioè <strong>ad</strong> alte velocità <strong>di</strong> rotazione. Inoltre la configurazione<br />
Savonius ha elevati valori <strong>di</strong> coppia all’avvio, a <strong>di</strong>fferenza<br />
della Darrieus che a b<strong>asse</strong> velocità ha valori <strong>di</strong> Cp negativi e non<br />
è quin<strong>di</strong> in gr<strong>ad</strong>o <strong>di</strong> autoavviarsi.<br />
Figura 4.1: Andamento del coefficiente <strong>di</strong> potenza in funzione <strong>di</strong> λ per<br />
<strong>di</strong>verse tipologie <strong>di</strong> turbine eoliche<br />
44
VAWT A GEOMETRIA VARIABILE 45<br />
Figura 4.2: VAWT ibride a geometria fissa<br />
Per cercare <strong>di</strong> abbinare le caratteristiche positive dei due ti- Configurazioni ibride<br />
pi <strong>di</strong> turbine esistono in commercio delle turbine ibride (Figura<br />
4.2) a geometria fissa. I problemi legati a questa soluzione<br />
sono generalmente fenomeni <strong>di</strong> interferenza aero<strong>di</strong>namica che<br />
compromettono le prestazioni della Darrieus esterna.<br />
Gli stu<strong>di</strong> condotti da Wakui et al. (2005) su turbine ibride confermano<br />
che questa configurazione non è la soluzione migliore<br />
per ottimizzare le prestazioni. In Figura 4.3 si vede come per<br />
λ 4 il coefficiente <strong>di</strong> potenza della <strong>turbina</strong> ibrida è minore del<br />
singolo contributo fornito dalla Darrieus, infatti <strong>ad</strong> alti λ la Savonius,<br />
oltre a generare interferenza aero<strong>di</strong>namica per la Darrieus,<br />
produce <strong>una</strong> potenza negativa che riduce le prestazioni totali.<br />
Figura 4.3: Prestazioni <strong>di</strong> <strong>una</strong> VAWT ibrida
4.1 TURBINA A GEOMETRIA VARIABILE: LA GIAMPTURBINA 46<br />
(avvio.u3d)<br />
Figura 4.4: GiampTurbina in configurazione <strong>di</strong> avvio<br />
4.1 TURBINA A GEOMETRIA VARIABILE: LA GIAMP-<br />
TURBINA<br />
Da queste considerazioni nasce l’idea <strong>di</strong> creare <strong>una</strong> VAWT con un<br />
semplice meccanismo <strong>di</strong> variazione <strong>di</strong> geometria che permetta<br />
<strong>di</strong> sfruttare al massimo le potenzialità dei due <strong>di</strong>versi tipi <strong>di</strong><br />
configurazioni. Si è pensato <strong>di</strong> realizzare un <strong>turbina</strong> Darrieus<br />
con all’interno <strong>una</strong> Savonius a scomparsa in modo da evitare i<br />
fasti<strong>di</strong>osi fenomeni <strong>di</strong> interferenza aero<strong>di</strong>namica e evitare che <strong>ad</strong><br />
un alto numero <strong>di</strong> giri la Savonius sottragga potenza alla <strong>turbina</strong>.<br />
(Figura 4.4 1 ). Poichè la funzione principale della Savonius sarebbe<br />
quella <strong>di</strong> avviare tutta la <strong>turbina</strong> o <strong>di</strong> permettere il funzionamento<br />
a b<strong>asse</strong> velocità in con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> vento debole, si è pensato <strong>di</strong><br />
realizzarla in materiale facilmente ripiegabile (tessuto tipo tenda<br />
o vela) e <strong>una</strong> volta raggiunta la minima velocità che permette alla<br />
Darrieus <strong>di</strong> mantenersi in rotazione, la Savonius si avvolgerebbe<br />
intorno <strong>ad</strong> <strong>una</strong> sua estremità (Figura 4.5). Quin<strong>di</strong> il braccio del<br />
telaio che sostiene la pala della Darrieus non è perpen<strong>di</strong>colare<br />
alla pala come nelle convenzionali configurazioni Darrieus a<br />
geometria fissa, ma è semicircolare, in quanto è anche la guida<br />
che permette alla vela <strong>di</strong> mantenere la forma della Savonius.<br />
I vantaggi <strong>di</strong> questa soluzione sarebbero:<br />
1 Se si legge questo documento su <strong>una</strong> versione <strong>di</strong> Acrobat superiore alla 7,<br />
queste immagini sono modelli 3D con cui si può interagire col mouse.
4.1 TURBINA A GEOMETRIA VARIABILE: LA GIAMPTURBINA 47<br />
(interme<strong>di</strong>o.u3d)<br />
(a) interme<strong>di</strong>a<br />
(regime.u3d)<br />
(b) a regime<br />
Figura 4.5: Configurazioni della GiampTurbina<br />
1. evitare i fenomeni <strong>di</strong> interferenza aero<strong>di</strong>namica a regime<br />
tipici delle configurazioni ibride,<br />
2. mantenere un semplice meccanismo <strong>di</strong> variazione <strong>di</strong> geometria,<br />
3. si può ottimizzare la Darrieus a regime nella sua migliore<br />
configurazione pulita, in quanto viene portata in rotazione<br />
dalla Savonius che scompare avvolgendosi su se stessa<br />
quando viene raggiunta <strong>una</strong> determinata velocità <strong>di</strong><br />
rotazione,<br />
4. può essere <strong>una</strong> <strong>turbina</strong> <strong>di</strong> facile realizzazione tecnica e larga<br />
<strong>di</strong>ffusione.<br />
Lo stu<strong>di</strong>o preliminare <strong>di</strong> questa <strong>turbina</strong> è stato condotto con<br />
l’aiuto del software commerciale <strong>di</strong> simulazione <strong>numerica</strong> fluido<strong>di</strong>namica<br />
Star-CCM+. Per ridurre il tempo <strong>di</strong> calcolo è stato<br />
analizzato il comportamento solo <strong>di</strong> <strong>una</strong> sezione <strong>di</strong> <strong>turbina</strong>. Lo<br />
stu<strong>di</strong>o è stato principalmente aero<strong>di</strong>namico e la <strong>turbina</strong> è stata<br />
analizzata solo in configurazione <strong>di</strong> avvio e in configurazione a regime.<br />
Gli obiettivi che si volevano raggiungere con le simulazioni<br />
numeriche sono stati<br />
IN CONFIGURAZIONE DI AVVIO <strong>asse</strong>gnata <strong>una</strong> velocità del vento,<br />
calcolare la coppia e vedere qual’è la massima velocità<br />
angolare raggiungibile;<br />
IN CONFIGURAZIONE A REGIME con la stessa velocità del vento in<br />
ingresso, valutare se, <strong>asse</strong>gnata come velocità <strong>di</strong> rotazione<br />
iniziale la velocità raggiunta dalla Savonius, la configurazione<br />
Darrieus è in gr<strong>ad</strong>o <strong>di</strong> accelerare ulteriormente e<br />
calcolare la coppia fornita.
4.2 GENERALITÀ SULLE SIMULAZIONI NUMERICHE 48<br />
Ovviamente prima <strong>di</strong> procedere alle simulazioni <strong>di</strong> nostro interesse<br />
è stato necessario validare il co<strong>di</strong>ce con dei risultati sperimentali.<br />
Per la configurazione Savonius la validazione era stata<br />
già effettuata da Di Paolo (2007) nella sua tesi <strong>di</strong> laurea, per la<br />
configurazione Darrieus sono state fatte delle simulazioni in 2D<br />
confrontando i risultati numerici con gli esperimenti <strong>di</strong> Simão<br />
Ferreira et al. (2007a).<br />
4.2 GENERALITÀ SULLE SIMULAZIONI NUMERI-<br />
CHE<br />
Il software utilizzato per le simulazioni fluido<strong>di</strong>namiche è Star-<br />
CCM+ 4.02. Il metodo <strong>di</strong> calcolo utilizzato è il metodo ai volumi<br />
finiti che consiste in:<br />
1. <strong>di</strong>visione del dominio <strong>di</strong> calcolo in volumi <strong>di</strong> controllo<br />
<strong>di</strong>screti utilizzando <strong>una</strong> griglia <strong>di</strong> calcolo,<br />
2. integrazione delle equazioni <strong>di</strong> governo del flusso su ogni<br />
volume <strong>di</strong> controllo per determinare le equazioni algebriche<br />
per le variabili incognite (velocità, pressione); l’integrazione<br />
porta <strong>ad</strong> equazioni <strong>di</strong>screte che comportano comunque la<br />
conservazione <strong>di</strong> ogni grandezza nel singolo volume <strong>di</strong><br />
controllo,<br />
3. linearizzazione delle equazioni <strong>di</strong>scretizzate e soluzione del<br />
sistema <strong>di</strong> equazioni per produrre valori aggiornati delle<br />
variabili.<br />
L’assunzione che il fluido sia un continuo implica che esistono le<br />
derivate <strong>di</strong> tutte le variabili <strong>di</strong>pendenti. In altre parole, proprietà<br />
locali come la densità e la velocità sono definite come me<strong>di</strong>e su<br />
elementi “gran<strong>di</strong>” se comparati con la struttura microscopica<br />
del fluido, ma abbastanza “piccoli” in confronto alla scala dei<br />
fenomeni macroscopici. Ciò permette <strong>di</strong> descriverli con l’uso del<br />
calcolo <strong>di</strong>fferenziale.<br />
Per tenere conto della natura reale e turbolenta del flusso, il<br />
fluido è considerato viscoso e si farà uso <strong>di</strong> modelli <strong>di</strong> turbolenza<br />
appropriati a seconda della configurazione della <strong>turbina</strong>.<br />
Si riporta <strong>di</strong> seguito le impostazioni sul modello fisico comuni Modello fisico<br />
a tutte le simulazioni effettuate.<br />
• Flusso incompressibile <strong>ad</strong> 1 atm (101325 Pa) e 25 ◦ C con<br />
densità costante ρ = 1.184 kg/m 3 e viscosità <strong>di</strong>namica<br />
µ = 1.85508 · 10 −5 Pa · s. Star-CCM+ permette <strong>di</strong> stabilire
4.2 GENERALITÀ SULLE SIMULAZIONI NUMERICHE 49<br />
<strong>una</strong> pressione detta operativa per evitare errori <strong>di</strong> troncamento<br />
in simulazioni a basso numero <strong>di</strong> Mach. Il co<strong>di</strong>ce<br />
sottrae la pressione operativa dalla pressione assoluta e<br />
usa nei calcoli la pressione relativa. La relazione che lega<br />
pressione assoluta p abs, pressione operativa (ambiente) pa e<br />
pressione relativa p rel è<br />
p abs = pa + p rel<br />
Tutte le pressioni inserite e calcolate nelle simulazioni in<br />
Star-CCM+ sono in termini <strong>di</strong> pressione relativa p rel.<br />
• Modello temporale instazionario implicito: risolvere le equazioni<br />
<strong>di</strong> governo <strong>di</strong>scretizzate in maniera implicita fornisce<br />
un margine <strong>di</strong> stabilità maggiore e permette <strong>di</strong> avere numeri<br />
<strong>di</strong> Courant 2 maggiori dell’unità. In questo modo si possono<br />
avere time-steps più gran<strong>di</strong> e velocità <strong>di</strong> convergenza<br />
relativamente maggiori.<br />
Poiché il sistema <strong>di</strong> equazioni è non-lineare, è richiesta<br />
<strong>una</strong> soluzione iterativa per ogni time-step. Il numero <strong>di</strong><br />
iterazioni va scelto manualmente, in maniera empirica, ovvero<br />
assicurandosi che dopo il ciclo <strong>di</strong> iterazioni <strong>di</strong> ogni<br />
time-step, i residui abbiano un valore piuttosto modesto (al<br />
massimo < 10 −2 ). Generalmente time-step piccoli implicano<br />
che la soluzione cambi <strong>di</strong> poco da un time-step all’altro<br />
e quin<strong>di</strong> saranno necessarie meno iterazioni interne, ci sarà<br />
quin<strong>di</strong> un valore ottimo fra la grandezza del time-step<br />
e il numero <strong>di</strong> iterazioni interne per avere l’accuratezza<br />
desiderata.<br />
• Segregated flow model: questo modello, <strong>ad</strong>atto ai flussi incomprimibili,<br />
risolve le equazioni del flusso (<strong>una</strong> per ogni<br />
componente della velocità e <strong>una</strong> per la pressione) in modo<br />
<strong>di</strong>saccoppiato. Il legame tra le equazioni <strong>di</strong> quantità <strong>di</strong> moto<br />
e conservazione della massa è ricavato con un approccio<br />
pre<strong>di</strong>zione-correzione.<br />
Il profilo <strong>di</strong> velocità all’interno dello strato limite turbolento è Trattamento a parete<br />
<strong>di</strong>fferente a seconda se siamo nel sottostrato viscoso o nel loglayer<br />
(3.2.4). I modelli <strong>di</strong> turbolenza dei co<strong>di</strong>ci numerici tengono<br />
presente queste <strong>di</strong>fferenze e possono pertanto essere <strong>di</strong>visi in<br />
modelli <strong>di</strong> tipo Low-Reynolds number (low-y + ) e High-Reynolds<br />
number (high-y + ). I primi fanno affidamento sulle celle localizzate<br />
in prossimità della parete e poste all’interno del sottostrato<br />
2 Il numero <strong>di</strong> Courant è un parametro che vincola la scelta del time-step. É<br />
definito come C = u ∆t<br />
∆x
4.2 GENERALITÀ SULLE SIMULAZIONI NUMERICHE 50<br />
viscoso (y + < 5). Per tali modelli apposite funzioni tengono conto<br />
della transizione dalla zona dominata dagli sforzi viscosi alla<br />
zona dominata dagli effetti turbolenti: l’utilizzo <strong>di</strong> questi modelli<br />
permette pertanto <strong>di</strong> risolvere completamente la struttura dello<br />
strato limite, ma al tempo stesso è richiesto un elevato numero<br />
<strong>di</strong> celle. I modelli <strong>di</strong> tipo High-Reynolds number sono invece solitamente<br />
associati all’utilizzo <strong>di</strong> mesh meno fitte in prossimità<br />
delle pareti con il primo strato <strong>di</strong> celle a parete localizzate all’interno<br />
della regione logaritmica (y + > 30). Le informazioni sulle<br />
con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> flusso per tali celle sono fornite dalle wall function.<br />
Esse sono rappresentate da un set <strong>di</strong> relazioni matematiche utilizzate<br />
per ottenere le con<strong>di</strong>zioni al contorno per le equazioni <strong>di</strong><br />
conservazione: il modello <strong>di</strong> turbolenza risulta pertanto valido<br />
solo all’esterno del sottostrato viscoso e quest’ultima zona non<br />
viene risolta esplicitamente.<br />
In tutte le simulazioni è stato usato il trattamento a parete<br />
all-y + che è un modello ibrido che cerca <strong>di</strong> emulare l’high-y + per<br />
mesh r<strong>ad</strong>e e il low-y + per mesh più fitte. Inoltre questo modello<br />
è stato formulato per dare soluzioni sod<strong>di</strong>sfacenti per mesh <strong>di</strong><br />
risoluzione interme<strong>di</strong>a, cioè quando il centro della cella c<strong>ad</strong>e nel<br />
buffer layer dello strato limite.<br />
Le con<strong>di</strong>zioni al contorno <strong>asse</strong>gnate per tutte le serie <strong>di</strong> simu- Con<strong>di</strong>zioni al<br />
lazioni sono le seguenti<br />
contorno e iniziali<br />
• Il valore <strong>di</strong> velocità per ogni simulazione viene fissato nella<br />
sezione <strong>di</strong> ingresso (velocity inlet) come con<strong>di</strong>zione al<br />
contorno e in tutto il dominio come con<strong>di</strong>zione iniziale.<br />
• La pressione viene fissata nella sezione <strong>di</strong> uscita (pressure<br />
outlet) come con<strong>di</strong>zione al contorno e in tutto il dominio come<br />
con<strong>di</strong>zione iniziale, per tutte le simulazione la pressione<br />
nella sezione <strong>di</strong> uscita è pari a 1 atm (101325 Pa).<br />
• Per gli elementi del dominio che rappresentano profili, assi<br />
e vele si <strong>asse</strong>gna la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> wall. Questa con<strong>di</strong>zione<br />
equivale <strong>ad</strong> imporre le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> impermeabilità ed<br />
<strong>ad</strong>erenza del fluido alla parete (no-slip).<br />
• Nelle simulazioni 3D si assume che le sezioni superiore,<br />
inferiore e laterali siano piani <strong>di</strong> simmetria. Star-CCM+ attribuisce<br />
flusso nullo a tutte le grandezze <strong>di</strong> trasporto attraverso<br />
un piano <strong>di</strong> simmetria, non esiste cioè flusso convettivo<br />
(la componente della velocità normale al piano è nulla) e<br />
neanche flusso <strong>di</strong>ffusivo (i gra<strong>di</strong>enti normali al piano, <strong>di</strong><br />
tutte le variabili sono nulli). Dato che non esiste sforzo<br />
<strong>di</strong> taglio sul piano <strong>di</strong> simmetria, quest’ultimo può essere<br />
interpretato come <strong>una</strong> parete senza attrito (slip wall).
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 51<br />
• Per inizializzare i modelli <strong>di</strong> turbolenza vanno specificati<br />
anche i valori iniziali <strong>di</strong> intensità della turbolenza (3.2.1) e del<br />
turbulent viscosity ratio, un parametro a<strong>di</strong>mensionale dato<br />
dal rapporto tra la viscosità turbolenta µt e la viscosità<br />
<strong>di</strong>namica del fluido µ<br />
tvr = µt<br />
µ<br />
Per flussi <strong>di</strong> nostro interesse questo parametri assume valori<br />
compresi tra 1 e 10. Nel nostro caso è stato <strong>asse</strong>gnato un<br />
valore pari a 10, invece per l’intensità turbolenta è stato<br />
<strong>asse</strong>gnato il valore iniziale <strong>di</strong> 0, 01.<br />
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO PER<br />
LA CONFIGURAZIONE DARRIEUS<br />
La <strong>di</strong>fficoltà maggiore nel simulare <strong>numerica</strong>mente il comportamento<br />
<strong>di</strong> <strong>una</strong> <strong>turbina</strong> Darrieus è rappresentare in modo ottimale<br />
il fenomeno instazionario dello stallo <strong>di</strong>namico.<br />
Come <strong>di</strong>mostrato anche dalle simulazioni numeriche <strong>di</strong> Simão<br />
Ferreira et al. (2007b), il modo migliore per validare i risultati numerici<br />
con quelli sperimentali è confrontare la vorticità nell’area<br />
del rotore, in quanto si confronta <strong>di</strong>rettamente il comportamento<br />
del flusso, piuttosto che le forze e i momenti totali che sono<br />
un’integrale sul profilo delle forze aero<strong>di</strong>namiche <strong>di</strong> pressione e<br />
d’attrito, quin<strong>di</strong> un effetto del campo fluido<strong>di</strong>namico. Per questi<br />
confronti si useranno i risultati sperimentali ottenuti con la<br />
tecnica Particle Image Velocimetry (PIV) da Simão Ferreira et al.<br />
(2008).<br />
Una volta validati i risultati per questa configurazione, si procederà<br />
alla simulazione <strong>di</strong> <strong>una</strong> <strong>turbina</strong> Darrieus con quattro profili<br />
equispaziati e successivamente si inserirà nella geometria anche<br />
la Savonius già analizzata da Di Paolo (2007).<br />
4.3.1 Geometria e griglia <strong>di</strong> calcolo<br />
Il modello 2D realizzato rappresenta la sezione centrale <strong>di</strong> <strong>una</strong><br />
VAWT con <strong>una</strong> singola pala <strong>di</strong> allungamento infinito. Il dominio<br />
<strong>di</strong> calcolo (Figura 4.6) è costituito da due pareti orizzontali <strong>di</strong>stanti<br />
1, 25 m con al centro <strong>una</strong> <strong>turbina</strong> Darrieus dal <strong>di</strong>ametro <strong>di</strong><br />
0, 4 m con <strong>una</strong> singola pala. Il rotore è costituito da un profilo<br />
NACA0015 <strong>di</strong> corda 0, 05 m e dall’<strong>asse</strong> <strong>di</strong> 0, 05 m <strong>di</strong> <strong>di</strong>ametro.<br />
La sezione <strong>di</strong> inlet e <strong>di</strong> outlet sono poste rispettivamente a 10D
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 52<br />
a monte e 14D a valle del rotore per consentire un completo<br />
sviluppo della scia.<br />
(a) dominio fluido<br />
(b) <strong>turbina</strong><br />
Figura 4.6: Geometria della configurazione <strong>di</strong> validazione (le misure<br />
riportate sono in m)<br />
Il dominio è stato <strong>di</strong>scretizzato in 3 sottogriglie <strong>di</strong> elementi<br />
poligonali (Figura 4.7) con <strong>una</strong> mesh più fitta in corrispondenza<br />
del profilo per avere un dettaglio maggiore nella descrizione della<br />
scia.<br />
(a) mesh del dominio fluido<br />
(b) mesh del rotore (c) mesh del profilo<br />
Figura 4.7: Mesh della configurazione <strong>di</strong> validazione<br />
Per simulare la rotazione del rotore, la Mesh Rotore e Profilo<br />
ruotano con velocità angolare costante e costituiscono la regione<br />
Rotante, mentre la Mesh Fluido rimane fissa.
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 53<br />
Il profilo NACA0015 è stato generato con Xfoil e <strong>di</strong>scretizzato<br />
con 160 punti. In Tabella 4.1 sono riassunte le caratteristiche della<br />
mesh.<br />
Regioni → Fluido Rotante<br />
Rotore Profilo<br />
∆x (m) 0, 008 0, 004 0, 002<br />
n. celle 7171 18930<br />
celle totali 26101<br />
Contorni → inlet lati outlet <strong>asse</strong> profilo<br />
facce 21 258 17 58 75<br />
spessore celle qu<strong>ad</strong>rilatere (m) 5 · 10 −5<br />
Tabella 4.1: Caratteristiche della mesh <strong>di</strong> validazione<br />
4.3.2 Risultati sperimentali<br />
La simulazione vuole rappresentare le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> flusso a<br />
Re = 50000 con λ = 2, quin<strong>di</strong> velocità del flusso entrante pari a<br />
V∞ = 7, 5 m/s e velocità angolare della <strong>turbina</strong> pari a ω = 75 r<strong>ad</strong>/s<br />
(11, 93 giri/s). In Figura 4.8 sono mostrati i risultati sperimentali<br />
per questo regime ottenuti da Simão Ferreira et al. (2008). Possiamo<br />
vedere come il flusso sia caratterizzato da un forte rilascio <strong>di</strong><br />
vorticità dal bordo d’attacco, dove si stacca un vortice che ruota<br />
in senso orario (vorticità negativa) e dal bordo d’uscita, dove<br />
si forma <strong>una</strong> scia che tende a ruotare verso l’alto a causa della<br />
depressione generata sul dorso dal <strong>di</strong>stacco dello strato limite.<br />
La validazione della simulazione sarà effettuata confrontando<br />
il campo <strong>di</strong> vorticità in prossimità del profilo per le posizioni<br />
angolari 3 comprese tra θ = 90 ◦ e θ = 113 ◦ ; questa scelta è giustificata<br />
dalla presenza in queste posizioni dell’evoluzione della<br />
vorticità rilasciata dal bordo d’attacco. In queste due posizioni<br />
azimutali si ha che:<br />
• a θ = 90 ◦ la vorticità rilasciata dal bordo d’attacco si estende<br />
in <strong>una</strong> regione lunga circa <strong>una</strong> corda; invece la scia al bordo<br />
d’uscita è <strong>di</strong> piccola entità (Figura 4.9).<br />
• a θ = 113 ◦ la scia rilasciata al bordo d’uscita si è estesa sul<br />
dorso del profilo a causa della bassa pressione e la vorticità<br />
positiva (antioraria) si è posta tra il profilo e la vorticità <strong>di</strong><br />
bordo d’attacco precedentemente rilasciata.<br />
I risultati sperimentali a <strong>di</strong>sposizione per i confronti sono<br />
costituiti dal valor me<strong>di</strong>o della circolazione in prossimità del<br />
3 θ = 0 ◦ corrisponde alla posizione del profilo sotto all’<strong>asse</strong> in <strong>di</strong>rezione parallela<br />
a V∞
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 54<br />
(a) evoluzione della vorticità negativa (oraria) generata dal bordo<br />
d’attacco per λ = 2 a 90 ◦ , 108 ◦ , 133 ◦ e 158 ◦<br />
(b) evoluzione della vorticità positiva (antioraria) generata dal bordo<br />
d’uscita<br />
Figura 4.8: Risultati sperimentali con tecnica PIV<br />
profilo nelle posizioni angolari <strong>di</strong> θ = 90 ◦ ,98 ◦ ,103 ◦ ,108 ◦ e 113 ◦ .<br />
Questo valor me<strong>di</strong>o è relativo al vortice rilasciato dal bordo<br />
d’attacco quando esso è chiaramente separato dalla superficie<br />
del profilo. Il contorno del vortice è determinato dalle zone a<br />
vorticità nulla. In Figura 4.10 sono riportate le strutture vorticose<br />
<strong>di</strong> 3 delle 30 misure istantanee acquisite <strong>ad</strong> ogni giro della <strong>turbina</strong><br />
e usate per calcolare la me<strong>di</strong>a della vorticità in <strong>una</strong> determinata
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 55<br />
Figura 4.9: Campo <strong>di</strong> vorticità a θ = 90 ◦<br />
posizione angolare. La vorticità è a<strong>di</strong>mensionalizzata rispetto alla<br />
corda e alla velocità tangenziale della pala<br />
Ω ∗ = Ωc<br />
λV∞<br />
Sebbene la struttura del vortice assomiglia a un vortice convenzionale<br />
con un nucleo centrale <strong>di</strong> vorticità che decresce ra<strong>di</strong>almente,<br />
questa descrizione non è del tutto corretta. Infatti<br />
possiamo notare due sostanziali <strong>di</strong>fferenze tra la vorticità me<strong>di</strong>a<br />
e la vorticità istantanea:<br />
• il contorno del vortice definito dalle zone a vorticità nulla<br />
non è sempre lo stesso;<br />
• ci sono <strong>di</strong>verse strutture vorticose più piccole (zone più<br />
scure) nelle misure istantanee invece dell’unico vortice presente<br />
nella misura me<strong>di</strong>ata. Questi piccoli vortici hanno<br />
intensità e posizione <strong>di</strong>versa per ogni campione.<br />
Nonostante queste <strong>di</strong>fferenze, la me<strong>di</strong>a spaziale effettuata per<br />
ogni singolo istante nell’area del vortice, e la me<strong>di</strong>a effettuata sui<br />
30 istanti allo stesso azimut convergono allo stesso risultato. I valori<br />
ottenuti sperimentalmente sono mostrati in Figura 4.11 dove
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 56<br />
(a) vorticità istantanea in 3 rotazioni <strong>di</strong>fferenti<br />
(b) vorticità me<strong>di</strong>ata su 30 campioni<br />
Figura 4.10: Risultati sperimentali della <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> vorticità a<br />
θ = 113 ◦<br />
in or<strong>di</strong>nata è rappresentata la circolazione 4 a<strong>di</strong>mensionalizzata<br />
rispetto alla corda e alla velocità tangenziale della pala<br />
µ ∗ Γ<br />
= µΓ<br />
cλV∞<br />
4 Ricor<strong>di</strong>amo che la circolazione è <strong>una</strong> grandezza derivata dalla vorticità e può<br />
essere espressa (3.1.4) come l’integrale <strong>di</strong> superficie della vorticità Γ = ˜<br />
S Ω ·<br />
ndS
Circolazione a<strong>di</strong>mensionale<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 57<br />
0<br />
85 90 95 100 105 110 115<br />
Azimut θ [˚]<br />
Risultati sperimentali<br />
Laminare<br />
k-ε<br />
DES<br />
Figura 4.11: Me<strong>di</strong>a della circolazione istantanea<br />
4.3.3 Risultati numerici<br />
I modelli fisici, oltre a quelli presentati in 4.2, che sono stati usati<br />
per le simulazioni <strong>di</strong> validazione sono<br />
Modello bi<strong>di</strong>mensionale nello spazio<br />
Modello instazionario implicito: per queste simulazioni si <strong>ad</strong>otterà<br />
un time-step pari a<br />
∆t0 = 1 ◦ · ω −1 = π 1<br />
·<br />
180 75 = 2, 3271 · 10−4 s<br />
in modo che per ogni time-step il rotore ruota <strong>di</strong><br />
un gr<strong>ad</strong>o. Successivamente si mo<strong>di</strong>ficherà questo<br />
valore per verificare la sensibilità del modello <strong>ad</strong> un<br />
infittimento del time-step. Il termine <strong>di</strong>ffusivo viene<br />
<strong>di</strong>scretizzato al secondo or<strong>di</strong>ne.<br />
Rigid Body Motion Il modello RBM è usato per simulazioni instazionarie<br />
dove viene specificato il moto rigido <strong>di</strong><br />
<strong>una</strong> porzione <strong>di</strong> mesh. In particolare, poiché si vuole<br />
simulare il comportamento della <strong>turbina</strong> per λ = 2<br />
e velocità <strong>di</strong> ingresso V∞ = 7, 5 m/s, la mesh relativa<br />
al rotore ruoterà con <strong>una</strong> velocità angolare <strong>di</strong><br />
ω = 75 r<strong>ad</strong>/s.<br />
Il livello <strong>di</strong> instazionarietà <strong>di</strong> questo flusso è determinato dalla<br />
frequenza ridotta k o numero <strong>di</strong> Strouhal, definito come<br />
St = ωc<br />
2V
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 58<br />
Con<strong>di</strong>zioni iniziali<br />
velocità (m/s) 7, 5<br />
pressione (Pa) 101325<br />
Con<strong>di</strong>zioni al contorno Inlet Outlet<br />
velocità (m/s) 7, 5<br />
pressione (Pa) 101325<br />
Tabella 4.2: Con<strong>di</strong>zioni iniziali e al contorno<br />
In questo esperimento, poiché V è funzione dell’azimut θ, St è<br />
definito come<br />
St = ωc<br />
=<br />
2λV∞<br />
ωc c<br />
=<br />
2ωR 2R<br />
Per questi esperimenti si ha che St = 0.125, che è un valore tipico<br />
dei flussi instazionari. Poiché la scia del profilo e dell’<strong>asse</strong><br />
influiscono sul flusso del profilo nella regione sottovento, è necessario<br />
considerare i risultati ottenuti dopo che la <strong>turbina</strong> ha<br />
effettuato qualche giro in modo da avere <strong>una</strong> scia completamente<br />
sviluppata. Tutti i risultati ottenuti sono relativi a posizioni angolari<br />
del rotore successive alla fase transitoria dei primi 5 giri.<br />
Questa soluzione sarà usata come base per l’analisi <strong>di</strong> sensibilità<br />
all’infittimento del time-step.<br />
I limiti dell’hardware e il tempo necessario per il calcolo <strong>di</strong> <strong>una</strong> Confronto tra <strong>di</strong>versi<br />
simulazione <strong>numerica</strong> <strong>di</strong>retta non consentono l’uso <strong>di</strong> <strong>una</strong> griglia modelli <strong>di</strong> turbolenza<br />
spazio-temporale abbastanza fitta per calcolare tutte le scale della<br />
turbolenza. Con <strong>una</strong> griglia non troppo fitta, il risultato finale<br />
risulta fortemente influenzato dal modello <strong>di</strong> turbolenza <strong>ad</strong>ottato.<br />
Poiché il fenomeno dello stallo <strong>di</strong>namico <strong>di</strong> <strong>una</strong> VAWT a bassi Tip<br />
Speed Ratio <strong>di</strong>pende dalla separazione laminare che si verifica al<br />
bordo d’attacco, l’uso <strong>di</strong> un modello completamente turbolento<br />
può limitare la descrizione della separazione laminare, fornendo<br />
<strong>una</strong> descrizione non corretta del campo fluido<strong>di</strong>namico. Per<br />
questo motivo sono state effettuate 3 serie <strong>di</strong> simulazioni con i<br />
seguenti modelli:<br />
• il modello laminare, costituito dalle equazioni <strong>di</strong> conservazione<br />
della massa e della quantità <strong>di</strong> moto senza equazioni<br />
<strong>di</strong> chiusura;<br />
• il modello k-ε, dove si considerano per la chiusura del<br />
problema due equazioni <strong>di</strong> trasporto turbolento: <strong>una</strong> per<br />
l’energia cinetica turbolenta k ed <strong>una</strong> per la <strong>di</strong>ssipazione<br />
turbolenta ε;<br />
• la Detached Eddy Simulation, un modello <strong>di</strong> turbolenza ibrido<br />
che usa le RANS per modellizzare le regioni in prossimità<br />
delle pareti e la Large Eddy Simulation per le regioni esterne.
Residual<br />
10<br />
1<br />
0,1<br />
0,01<br />
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 59<br />
Residuals<br />
0,001<br />
10700 10720 10740 10760 10780 10800 10820<br />
Iteration<br />
Continuity X−momentum Y−momentum<br />
Figura 4.12: Residui per il modello laminare<br />
Come si vedrà dai risultati delle simulazioni il modello laminare<br />
è in gr<strong>ad</strong>o <strong>di</strong> pre<strong>di</strong>re la formazione del vortice <strong>di</strong> bordo d’attacco,<br />
ma ne sovrastima il valore <strong>di</strong> circolazione e la forma, il modello<br />
k-ε sopprime lo sviluppo della separazione <strong>di</strong> bordo d’attacco<br />
e descrive <strong>una</strong> <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> vorticità che non corrisponde ai<br />
risultati sperimentali. La DES fornisce la descrizione del campo<br />
fluido<strong>di</strong>namico più vicina ai risultati sperimentali.<br />
Modello laminare<br />
Di seguito si riportano i risultati del campo <strong>di</strong> vorticità nelle<br />
posizioni angolari <strong>di</strong> θ = 90 ◦ , 98 ◦ , 103 ◦ , 108 ◦ e 113 ◦ . La procedura<br />
operativa per calcolare il valore me<strong>di</strong>o della vorticità (e <strong>di</strong><br />
conseguenza la circolazione) rilasciata dal bordo d’attacco, è stata<br />
quella <strong>di</strong> selezionare solamente le celle in prossimità del profilo<br />
con vorticità oraria (negativa) e su queste calcolare il valore me<strong>di</strong>o<br />
pesato rispetto alla grandezza della cella e moltiplicata per l’area<br />
totale occupata dal vortice. Dalla Figura 4.12 possiamo vedere<br />
come la soluzione giunga a convergenza per ogni time-step con<br />
15 iterazioni, portando i residui <strong>ad</strong> un valore inferiore a 10 −2 .<br />
Dalle figure da 4.13 a 4.17 possiamo vedere come il modello<br />
laminare riesce a pre<strong>di</strong>re la formazione del vortice <strong>di</strong> bordo<br />
d’attacco ma non ne descrive esattamente la forma. I valori<br />
<strong>di</strong> circolazione a<strong>di</strong>mensionale hanno un errore rispetto a quelli<br />
sperimentali del 6% per θ = 90 ◦ , ma crescono dal 20% per la<br />
posizione a θ = 98 ◦ al 25% per θ = 113 ◦ . L’errore risulta troppo<br />
elevato per poter ritener valido il modello laminare.
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 60<br />
(a) Risultato sperimentale (b) contorno <strong>di</strong> vorticità nulla<br />
(c) Modello laminare (d) vorticità nelle celle della mesh<br />
Figura 4.13: Campo <strong>di</strong> vorticità per il modello laminare a θ = 90 ◦
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 61<br />
(a) Risultato sperimentale (b) contorno <strong>di</strong> vorticità nulla<br />
(c) Modello laminare (d) vorticità nelle celle della mesh<br />
Figura 4.14: Campo <strong>di</strong> vorticità per il modello laminare a θ = 98 ◦<br />
(a) contorno <strong>di</strong> vorticità<br />
nulla<br />
(b) Modello laminare (c) vorticità nelle celle<br />
della mesh<br />
Figura 4.15: Campo <strong>di</strong> vorticità per il modello laminare a θ = 103 ◦
(a) contorno <strong>di</strong> vorticità<br />
nulla<br />
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 62<br />
(b) Modello laminare (c) vorticità nelle celle<br />
della mesh<br />
Figura 4.16: Campo <strong>di</strong> vorticità per il modello laminare a θ = 108 ◦<br />
(a) Risultato sperimentale (b) contorno <strong>di</strong> vorticità nulla<br />
(c) Modello laminare (d) vorticità nelle celle della mesh<br />
Figura 4.17: Campo <strong>di</strong> vorticità per il modello laminare a θ = 113 ◦
Residual<br />
10<br />
0,1<br />
0,001<br />
1E−5<br />
1E−7<br />
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 63<br />
Residuals<br />
1E−9<br />
16800 16840 16880 16920 16960 17000 17040<br />
Iteration<br />
Continuity X−momentum Y−momentum Tke Tdr<br />
Figura 4.18: Residui per il modello k-ε<br />
(a) Risultato sperimentale (b) Modello k-ε<br />
Figura 4.19: Campo <strong>di</strong> vorticità per il modello k-ε a θ = 90 ◦<br />
Modello k-ε<br />
Anche per il modello k-ε con 15 iterazioni per ogni time-step i<br />
residui relativi alle equazioni <strong>di</strong> conservazione risultano inferiori<br />
a 10 −2 . Invece i residui delle equazioni <strong>di</strong> trasporto dell’energia<br />
cinetica turbolenta k e della <strong>di</strong>ssipazione ε sono inferiori a 10 −7 .<br />
(Figura 4.18).<br />
Risulta evidente come il modello k-ε non è in gr<strong>ad</strong>o <strong>di</strong> pre<strong>di</strong>re<br />
la formazione del vortice <strong>di</strong> bordo d’attacco e <strong>ad</strong><strong>di</strong>rittura i<br />
valori <strong>di</strong> vorticità risultano inferiori del 40% rispetto ai risultati<br />
sperimentali.
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 64<br />
(a) Risultato sperimentale (b) Modello k-ε<br />
Figura 4.20: Campo <strong>di</strong> vorticità per il modello k-ε a θ = 98 ◦<br />
(a) contorno <strong>di</strong> vorticità nulla (b) Modello k-ε<br />
Figura 4.21: Campo <strong>di</strong> vorticità per il modello k-ε a θ = 103 ◦<br />
(a) Risultato sperimentale (b) Modello k-ε<br />
Figura 4.22: Campo <strong>di</strong> vorticità per il modello k-ε a θ = 113 ◦
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 65<br />
(a) Risultato sperimentale (b) contorno <strong>di</strong> vorticità nulla<br />
(c) Modello DES (d) vorticità nelle celle della mesh<br />
Figura 4.23: Campo <strong>di</strong> vorticità per il modello DES a θ = 90 ◦<br />
Modello DES<br />
Il motivo principale che giustifica l’utilizzo della DES è l’alto costo<br />
computazionale che si avrebbe nel risolvere le regioni <strong>di</strong> parete<br />
con la LES. Nel nostro caso per risolvere le regioni <strong>di</strong> parete è stato<br />
<strong>ad</strong>ottato il modello Spallart-Allmaras, che è un modello <strong>ad</strong> <strong>una</strong><br />
equazione che risolve l’equazione <strong>di</strong> trasporto per <strong>una</strong> variabile<br />
<strong>di</strong> viscosità mo<strong>di</strong>ficata nota come variabile <strong>di</strong> Spalart-Allmaras.<br />
Per il modello DES i residui risultano inferiori a 10 −2 con 15<br />
iterazioni per ogni time-step.<br />
Si nota come i risultati forniti dalla DES sono in gr<strong>ad</strong>o <strong>di</strong><br />
fornire <strong>una</strong> descrizione più accurata dello stallo <strong>di</strong>namico. Il<br />
massimo dell’errore percentuale sulla circolazione nell’area del<br />
vortice è al massimo dell’ 8% per θ = 90 ◦ e scende al 4% per<br />
θ = 103 ◦
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 66<br />
(a) Risultato sperimentale (b) contorno <strong>di</strong> vorticità nulla<br />
(c) Modello DES (d) vorticità nelle celle della mesh<br />
Figura 4.24: Campo <strong>di</strong> vorticità per il modello DES a θ = 98 ◦<br />
(a) contorno <strong>di</strong> vorticità<br />
nulla<br />
(b) Modello DES (c) vorticità nelle celle<br />
della mesh<br />
Figura 4.25: Campo <strong>di</strong> vorticità per il modello DES a θ = 103 ◦
(a) contorno <strong>di</strong> vorticità<br />
nulla<br />
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 67<br />
(b) Modello DES (c) vorticità nelle celle<br />
della mesh<br />
Figura 4.26: Campo <strong>di</strong> vorticità per il modello DES a θ = 108 ◦<br />
(a) Risultato sperimentale (b) contorno <strong>di</strong> vorticità nulla<br />
(c) Modello DES (d) vorticità nelle celle della mesh<br />
Figura 4.27: Campo <strong>di</strong> vorticità per il modello DES a θ = 113 ◦
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 68<br />
In Figura 4.28 e 4.29 si riporta l’andamento delle linee <strong>di</strong> corrente<br />
per <strong>di</strong>verse posizioni angolari dove è possibile vedere la<br />
zona <strong>di</strong> ricircolo a valle del profilo.<br />
Confronti<br />
Figura 4.28: Linee <strong>di</strong> corrente a θ = 90 ◦<br />
Figura 4.29: Linee <strong>di</strong> corrente a θ = 113 ◦<br />
Per avere un confronto più imme<strong>di</strong>ato vengono <strong>di</strong> seguito riportati<br />
i risultati relativi alle tre serie <strong>di</strong> simulazioni
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 69<br />
(a) sperimentale (b) laminare<br />
(c) k-ε (d) DES<br />
Figura 4.30: Confronto tra i modelli <strong>di</strong> turbolenza usati per θ = 90 ◦<br />
(a) sperimentale (b) laminare<br />
(c) k-ε (d) DES<br />
Figura 4.31: Confronto tra i modelli <strong>di</strong> turbolenza usati per θ = 98 ◦
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 70<br />
(a) sperimentale (b) laminare<br />
(c) k-ε (d) DES<br />
Figura 4.32: Confronto tra i modelli <strong>di</strong> turbolenza usati per θ = 113 ◦<br />
Circolazione a<strong>di</strong>mensionale<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
85 90 95 100 105 110 115<br />
Azimut θ [˚]<br />
Risultati sperimentali<br />
Laminare<br />
k-ε<br />
DES<br />
Figura 4.33: Confronto fra i valori <strong>di</strong> circolazione
Coefficiente <strong>di</strong> momento<br />
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 71<br />
Con i risultati ottenuti per le 3 serie <strong>di</strong> simulazioni è possibile fare<br />
alcune osservazioni sui valori del coefficiente <strong>di</strong> momento della<br />
pala durante la rotazione. Il coefficiente <strong>di</strong> momento è definito<br />
come<br />
M<br />
Cm = 1<br />
2ρλ2V 2 ∞c2 In Figura 4.34 è riportato il valore istantaneo del Cm generato<br />
dal profilo durante la quarta e quinta rotazione per i <strong>di</strong>versi<br />
modelli <strong>ad</strong>ottati.<br />
Coefficiente <strong>di</strong> Momento<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
-0.2<br />
-0.4<br />
0 50 100 150 200 250 300 350<br />
Azimut θ [˚]<br />
Laminare<br />
Figura 4.34: Confronto fra i coefficienti <strong>di</strong> momento per i <strong>di</strong>versi<br />
modelli <strong>ad</strong>ottati<br />
k-ε<br />
DES<br />
Le osservazioni che si possono riportare sono le seguenti:<br />
1. a seconda del modello <strong>di</strong> turbolenza <strong>ad</strong>ottato cambia il valore<br />
<strong>di</strong> θ al quale si verifica il massimo della coppia. In particolare<br />
si ha θ max = 60 ◦ per il modello laminare, θ max = 71 ◦<br />
per la DES, θ max = 74 ◦ per il modello k-ε. Questi valori<br />
influiscono sull’angolo <strong>di</strong> stallo, infatti da semplici considerazioni<br />
geometriche (Figura 4.35) si ha che la velocità<br />
relativa del profilo è<br />
V rel =<br />
<br />
V 2 ∞ (λ2 + 2λ cos θ + 1)<br />
e l’angolo d’attacco relativo è<br />
<br />
α = θ − arcsin<br />
λV∞ sin θ<br />
<br />
V2 ∞ (λ2 <br />
+ 2λ cos θ + 1)
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 72<br />
laminare k-ε DES<br />
θ max ( ◦ ) 60 74 71<br />
V rel (m/s) 19, 84 18, 52 18, 82<br />
α stall ( ◦ ) 19 22, 8 22<br />
Tabella 4.3: Valore dell’angolo <strong>di</strong> stallo per i <strong>di</strong>versi modelli <strong>di</strong><br />
turbolenza<br />
Quin<strong>di</strong> per i <strong>di</strong>versi modelli si hanno gli angoli <strong>di</strong> stallo<br />
λV∞ sin θ<br />
β<br />
λV∞<br />
α<br />
λV∞ cos θ<br />
Vrel<br />
V∞<br />
θ β<br />
V∞<br />
Vrel<br />
Figura 4.35: Velocità relativa<br />
riportati in Tabella 4.3. I valori ottenuti sono confrontabili<br />
con quelli riportati in Figura 2.4 nella pagina 15, ma il<br />
modello laminare sottostima il valore <strong>di</strong> α per il quale si ha<br />
la separazione mentre il modello k-ε lo sovrastima.<br />
2. il modello laminare e il modello k-ε, che hanno riportato valori<br />
<strong>di</strong> vorticità lontani da quelli sperimentali, sottostimano<br />
il massimo valore del Cm<br />
3. il modello laminare prevede un momento positivo anche<br />
per le posizioni angolari prossime a θ = 210 ◦ , cioè quando il<br />
profilo si sta muovendo nella stessa <strong>di</strong>rezione della corrente<br />
in<strong>di</strong>sturbata.<br />
4. nelle posizioni angolari da θ = 250 ◦ a θ = 330 ◦ il flusso è<br />
fortemente influenzato dalla scia dell’<strong>asse</strong> del rotore, <strong>una</strong><br />
conseguenza <strong>di</strong> questo è che i valori relativi a due rotazioni<br />
successive sono leggermente <strong>di</strong>versi fra loro per i modelli<br />
turbolenti<br />
λV∞<br />
α<br />
θ<br />
θ
Sensibilità alla griglia <strong>di</strong> calcolo<br />
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 73<br />
Per il modello DES che riporta i risultati più vicini agli esperimenti<br />
sono state fatte altre tre simulazioni per verificarne la sensibilità<br />
all’infittimento della mesh e del time-step. Una prima simulazione<br />
è stata effettuata lasciando invariato il time-step e <strong>di</strong>mezzando<br />
la lunghezza caratteristica della Mesh Profilo (Figura 4.36), quin<strong>di</strong><br />
riducendo <strong>di</strong> 4 volte l’area <strong>di</strong> ogni cella.<br />
(a) Mesh fitta (b) Mesh <strong>di</strong> riferimento<br />
Figura 4.36: Mesh del profilo più fitta<br />
Una seconda simulazione è stata effettuata lasciando inalterata<br />
la mesh e <strong>di</strong>mezzando il time-step, quin<strong>di</strong> il rotore girava <strong>di</strong> 1 ◦<br />
ogni 2 time-steps, infine l’ultima simulazione con Mesh Profilo<br />
<strong>di</strong>mezzata e time-step <strong>di</strong>mezzato. Le simulazioni con time-step<br />
<strong>di</strong>mezzato sono state effettuate partendo dalla soluzione col timestep<br />
<strong>di</strong> riferimento e facendo girare la simulazione per altri due<br />
giri del rotore.<br />
I risultati sono riportati nelle figure 4.37 e 4.38. Si vede come<br />
un <strong>di</strong>mezzamento della grandezza caratteristica della mesh sovrastimi<br />
la generazione <strong>di</strong> vorticità nelle posizione angolari <strong>di</strong> nostro<br />
interesse invece un <strong>di</strong>mezzamento del time-step non mo<strong>di</strong>fica <strong>di</strong><br />
molto la soluzione. In termini quantitativi il <strong>di</strong>mezzamento della<br />
mesh influisce negativamente sull’errore sulla vorticità facendolo<br />
aumentare fino al 30%. Dalla Figura 4.38 però possiamo notare<br />
come l’infittimento della mesh lascia inalterato il massimo valore<br />
del Cm , e mo<strong>di</strong>fica sensibilmente la curva solo nell’intervallo<br />
da θ = 95 ◦ a θ = 160 ◦ invalidando i risultati nell’intervallo che<br />
stiamo analizzando.
Circolazione a<strong>di</strong>mensionale<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 74<br />
(a) Mesh <strong>di</strong> riferimento (b) mesh <strong>di</strong>mezzata<br />
(c) time-step <strong>di</strong>mezzato (d) mesh e time-step <strong>di</strong>mezzati<br />
Figura 4.37: Effetto dell’infittimento della mesh<br />
Risultati sperimentali<br />
DES riferimento<br />
mesh <strong>di</strong>mezzata<br />
time-step <strong>di</strong>mezzato<br />
mesh e time-step <strong>di</strong>mezzato<br />
0<br />
85 90 95 100<br />
Azimut θ [˚]<br />
105 110 115<br />
Coefficiente <strong>di</strong> Momento<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
-0.2<br />
-0.4<br />
DES riferimento<br />
mesh <strong>di</strong>mezzata<br />
time-step <strong>di</strong>mezzato<br />
mesh e time-step <strong>di</strong>mezzati<br />
0 50 100 150 200 250 300 350<br />
Azimut θ [˚]<br />
Figura 4.38: Confronti della circolazione e del coefficiente <strong>di</strong> momento<br />
Considerazioni finali<br />
Il confronto della vorticità nell’area del rotore si è rivelato un<br />
metodo efficace per validare il co<strong>di</strong>ce numerico dei profili in<br />
stallo <strong>di</strong>namico <strong>di</strong> <strong>una</strong> <strong>turbina</strong> Darrieus, in quanto si descrive<br />
<strong>di</strong>rettamente il comportamento del flusso, piuttosto che il suo<br />
effetto secondario in termini <strong>di</strong> integrale <strong>di</strong> forza aero<strong>di</strong>namica che<br />
agisce sul profilo. I risultati ottenuti mostrano come il modello
4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 75<br />
<strong>di</strong> turbolenza <strong>ad</strong>ottato influenza fortemente la descrizione dello<br />
stallo <strong>di</strong>namico. Tra i modelli usati, la Detached Eddy Simulation<br />
ha fornito i risultati più vicini a quelli sperimentali. Il modello<br />
DES non solo è stato in gr<strong>ad</strong>o <strong>di</strong> pre<strong>di</strong>re la generazione <strong>di</strong> vorticità<br />
e la sua convezione, ma ha <strong>di</strong>mostrato anche <strong>una</strong> buona<br />
robustezza all’infittimento della griglia temporale. Inoltre con<br />
queste simulazioni è stata provata l’utilità dei dati sperimentali<br />
sul campo <strong>di</strong> velocità acquisiti con tecnica PIV per la validazione.<br />
Il coefficiente <strong>di</strong> momento per due giri consecutivi ha riportato,<br />
per valori <strong>di</strong> θ compresi tra 250 ◦ e 330 ◦ , valori leggermenti<br />
<strong>di</strong>versi a causa dell’interazione pala-vortice nella zona sottovento.<br />
Questo vuol <strong>di</strong>re che il trasporto della vorticità deve essere<br />
modellizzato correttamente dentro tutto il rotore della <strong>turbina</strong>,<br />
quin<strong>di</strong> per evitare <strong>una</strong> eccessiva <strong>di</strong>ssipazione <strong>numerica</strong> bisogna<br />
infittire la mesh non solo nelle vicinanze della pala ma in tutta<br />
l’area del rotore.
5 P R E S TA Z I O N I D E L L A G I A M P T U R -<br />
B I N A<br />
Per stu<strong>di</strong>are le prestazioni della GiampTurbina è stato usato il<br />
modulo aggiuntivo Six Degree Of Freedom (6-DOF). Il modello<br />
6-DOF viene usato per simulazioni instazionarie <strong>di</strong> un corpo con<br />
6 gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà, nel nostro caso l’unico gr<strong>ad</strong>o <strong>di</strong> libertà è la<br />
rotazione intorno all’<strong>asse</strong> <strong>verticale</strong>. Il solutore 6-DOF calcola le<br />
forze e i momenti generati dal flusso sul corpo rigido, la pressione<br />
e le forze viscose vengono integrate su tutta la superficie del<br />
corpo rigido e possono essere aggiunte forze e momenti esterni.<br />
Le forze e i momenti che agiscono sul corpo vengono usate per<br />
calcolare con le equazioni car<strong>di</strong>nali la traslazione del centro <strong>di</strong><br />
massa, la velocità angolare e l’<strong>asse</strong>tto del corpo. Di conseguenza<br />
il solutore 6-DOF muove i vertici della mesh in accordo con i<br />
risultati <strong>di</strong> spostamento così calcolati.<br />
In particolare il modello <strong>ad</strong>ottato (6-DOF Embedded Motion Model)<br />
calcola il movimento <strong>di</strong> un oggetto mobile dentro <strong>una</strong> sfera<br />
(nel nostro caso un cilindro). La simulazione include un’interfaccia<br />
scorrevole interna tra il cilindro e il resto della mesh, permettendo<br />
la rotazione del cilindro (Figura 5.1). Questo approccio<br />
è utilizzato quando si hanno gran<strong>di</strong> angoli <strong>di</strong> rotazione, infatti<br />
si può infittire la mesh solo dentro l’area del cilindro mobile<br />
evitando <strong>di</strong> infittire tutta la mesh appesantendo i calcoli.<br />
Per ridurre i tempi <strong>di</strong> calcolo è stato scelto <strong>di</strong> valutare le prestazioni<br />
non <strong>di</strong> tutta la <strong>turbina</strong>, ma solo <strong>di</strong> <strong>una</strong> sezione. Inoltre<br />
sempre per ridurre il tempo <strong>di</strong> calcolo è stato trovato un compromesso<br />
tra il numero delle iterazioni per ogni time-step e il valore<br />
dei residui, che è stato sempre mantenuto inferiore a 10 −2 .<br />
Il <strong>di</strong>ametro della <strong>turbina</strong> e la corda dei profili sono stati lasciati<br />
inalterati rispetto alle simulazioni <strong>di</strong> validazione. In particolare il<br />
modello utilizzato ha le seguenti caratteristiche<br />
GEOMETRIA<br />
MASSA<br />
• Altezza del rotore H = 15 cm;<br />
• Diametro della <strong>turbina</strong> D = 40 cm;<br />
• 4 pale con profili NACA0015 <strong>di</strong> corda c = 5 cm;<br />
76
PRESTAZIONI DELLA GIAMPTURBINA 77<br />
• Per calcolare le caratteristiche, si ipotizza che la <strong>turbina</strong><br />
sia realizzata in alluminio (ρ Al = 2700 Kg/m 3 ). Per<br />
contenere il peso è stato pensato <strong>di</strong> rendere cavi i<br />
profili e gli assi, questa scelta è giustificata anche dal<br />
fatto che profili e assi dovranno contenere le vele e il<br />
meccanismo <strong>di</strong> avvolgimento. Con questa geometria<br />
la massa della sezione <strong>di</strong> <strong>turbina</strong> è m = 0, 3212 Kg;<br />
• Il momento d’inerzia della <strong>turbina</strong> è pari a Iz = 0, 01 Kg ·<br />
m 2 .<br />
• L’unica resistenza alla rotazione è data dall’inerzia<br />
della <strong>turbina</strong>. In questo stu<strong>di</strong>o preliminare è stata fatta<br />
solo un’analisi aero<strong>di</strong>namica, infatti si è trascurata la<br />
massa aggiuntiva del sistema <strong>di</strong> controllo per muovere<br />
la vela e sono stati trascurati i momenti resistenti del<br />
generatore elettrico e della trasmissione.<br />
Figura 5.1: Sezione <strong>di</strong> GiampTurbina: il cilindro verde racchiude la<br />
porzione <strong>di</strong> mesh solidale alla <strong>turbina</strong><br />
DOMINIO FLUIDO<br />
• Il dominio ha la stessa larghezza delle simulazioni<br />
<strong>di</strong> validazione (1, 25 m) (4.3.1) ed è lungo 4, 4 m. In<br />
particolare si estende per 3 <strong>di</strong>ametri avanti al rotore<br />
e 7 <strong>di</strong>ametri <strong>di</strong>etro (Figura 5.2): la scelta <strong>di</strong> ridurre la<br />
lunghezza il dominio <strong>di</strong> calcolo è stata imposta dalla<br />
necessità <strong>di</strong> limitare i tempi <strong>di</strong> calcolo (a <strong>di</strong>fferenza<br />
delle simulazioni <strong>di</strong> validazioni ora le simulazioni<br />
sono in 3D), mantenendo un’accuratezza accettabile<br />
dei risultati numerici.
5.1 AVVIO IN CONFIGURAZIONE SAVONIUS 78<br />
• Il cilindro rotante <strong>di</strong> fluido che contiene la <strong>turbina</strong><br />
ha la mesh solidale con essa e un <strong>di</strong>ametro pari a<br />
Di = 0, 46 m<br />
• la faccia superiore e inferiore del dominio sono state<br />
considerate come superfici <strong>di</strong> simmetria, quin<strong>di</strong> vengono<br />
trascurati gli effetti tri<strong>di</strong>mensionali del flusso<br />
in corrispondenza delle estremità superiori e inferiori<br />
della <strong>turbina</strong>.<br />
Figura 5.2: Dominio <strong>di</strong> calcolo per le simulazioni della GiampTurbina<br />
5.1 AVVIO IN CONFIGURAZIONE SAVONIUS<br />
Il primo passo da fare per valutare le prestazioni della GiampTurbina<br />
è stu<strong>di</strong>are qual’è la coppia e la massima velocità raggiunta<br />
in configurazione <strong>di</strong> avvio.<br />
In particolare si vuole vedere quali sono la massima coppia,<br />
potenza e velocità raggiunta con un vento d’ingresso <strong>di</strong> 10 m/s.<br />
Inoltre si vuole vedere dopo quanto tempo, partendo da velocità<br />
angolare nulla, la <strong>turbina</strong> raggiunge questi valori.<br />
La <strong>di</strong>scretizzazione del dominio è rappresentata in Figura 5.3 Caratteristiche della<br />
e 5.4. In Tabella 5.1 sono riportate le <strong>di</strong>mensioni delle celle. Il mesh<br />
controllo volumetrico delle <strong>di</strong>mensioni <strong>di</strong> cella è stato realizzato<br />
tramite la creazione <strong>di</strong> volumi ideali (Figura 5.5) dove all’interno<br />
sono stati posti i profili e gli assi, in particolare la regione Rotante<br />
è stata posta all’interno <strong>di</strong> Cylinder 1 e i profili all’interno <strong>di</strong> Brick<br />
1-5.
5.1 AVVIO IN CONFIGURAZIONE SAVONIUS 79<br />
Regioni → Fluido Rotante<br />
Rotore Profili e Assi<br />
∆x (m) 0, 01-0, 1 0, 007 0, 004<br />
n. celle 29002 463956<br />
celle totali 492958<br />
Contorni → inlet lati outlet assi profili vele<br />
facce 51 370 51 1022 43081 11918<br />
spessore celle qu<strong>ad</strong>rilatere (m) 5 · 10 −4<br />
Tabella 5.1: Caratteristiche della mesh <strong>di</strong> avvio<br />
Figura 5.3: Mesh avvio (sezione orizzontale)<br />
Figura 5.4: Mesh avvio (sezione <strong>verticale</strong>)
5.1 AVVIO IN CONFIGURAZIONE SAVONIUS 80<br />
Figura 5.5: Volumi ideali per il controllo volumetrico della mesh<br />
Considerando le simulazioni numeriche e i relativi risultati<br />
ottenuti da Di Paolo (2007), è stato <strong>ad</strong>ottato per la configurazione<br />
d’avvio il modello <strong>di</strong> turbolenza Standard k-ε.<br />
Per quanto riguarda la scelta del time-step, dal punto <strong>di</strong> vista Time-step<br />
numerico vale l’in<strong>di</strong>cazione riportata nelle sezioni precedenti che<br />
prevede un valore limite per il numero <strong>di</strong> Courant nel campo<br />
pari a circa 10. Tuttavia nel caso in esame, la modellizzazione<br />
6-DOF introduce un ulteriore vincolo sulla scelta del time-step:<br />
al fine <strong>di</strong> produrre soluzioni in<strong>di</strong>pendenti dalla <strong>di</strong>mensione del<br />
time-step quest’ultimo deve risultare sufficientemente piccolo e<br />
tale da garantire che in un singolo passo temporale l’interfaccia<br />
ruoti per <strong>una</strong> <strong>di</strong>stanza inferiore della <strong>di</strong>mensione caratteristica <strong>di</strong><br />
cella locale. Nel nostro caso la <strong>di</strong>mensione caratteristica <strong>di</strong> cella<br />
(L) in corrispondenza dell’interfaccia è <strong>di</strong> L = 0, 007 m mentre la<br />
<strong>di</strong>stanza dall’<strong>asse</strong> <strong>di</strong> rotazione dell’interfaccia è <strong>di</strong> Ri = 0, 23 m.<br />
Al fine <strong>di</strong> garantire la proprietà sopra citata, il time step limite,<br />
ovvero quello per il quale durante un singolo passo temporale la<br />
mesh si muove <strong>di</strong> <strong>una</strong> <strong>di</strong>stanza pari esattamente alla <strong>di</strong>mensione<br />
locale <strong>di</strong> cella, può essere calcolato come<br />
∆t = ∆θ<br />
ω<br />
= L<br />
Riω<br />
Poiché la velocità angolare varierà da zero fino <strong>ad</strong> un valore<br />
incognito, scegliamo un time-step iniziale <strong>di</strong> ∆t = 0, 0005 s che ci<br />
assicura la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> sicurezza sopra citata fino a velocità an-
5.1 AVVIO IN CONFIGURAZIONE SAVONIUS 81<br />
golari <strong>di</strong> 60 r<strong>ad</strong>/s. Se la velocità supera questo valore è possibile<br />
ridurre il time-step durante la simulazione.<br />
I risultati numerici ottenuti per questa simulazione sono ripor- Risultati<br />
tati in Figura 5.6, da questi grafici è possibile riportare le seguenti<br />
conclusioni:<br />
• Il tempo necessario affinche si stabilizzi l’andamento perio<strong>di</strong>co<br />
della coppia e <strong>di</strong> conseguenza dell’accelerazione<br />
e della potenza è <strong>di</strong> circa 1 s. In questo transitorio il momento<br />
totale sviluppato dalla <strong>turbina</strong> si mantiene sempre<br />
maggiore <strong>di</strong> zero.<br />
• Dopo questo transitorio, i momenti delle due vele risultano<br />
ovviamente sfasati <strong>di</strong> 180 ◦ , e si hanno due attraversamenti<br />
dello zero. Il momento positivo risulta maggiore in valore<br />
assoluto <strong>di</strong> quello negativo per 50 ◦ < θ < 180 ◦ , quin<strong>di</strong> per<br />
0 ◦ < θ < 50 ◦ il momento risultante è negativo. Questo<br />
genera delle accelerazioni negative che nell’intervallo 0 ◦ <<br />
θ < 50 ◦ frenano la <strong>turbina</strong>. In particolare a θ = 25 ◦ il<br />
momento è minimo;<br />
• Notiamo (Figura 5.7) come i profili liberi generano momento<br />
massimo per posizioni angolari <strong>di</strong> θ = 160 ◦ + k · 180 ◦ . Si<br />
potrebbe pensare <strong>di</strong> sfasare i profili liberi spostandoli <strong>di</strong> 45 ◦<br />
verso le vele per contrastare il momento negativo <strong>di</strong> quest’ultime<br />
nell’intervallo 0 ◦ < θ < 50 ◦ , riducendo l’ampiezza<br />
delle oscillazioni che potrebbero danneggiare la struttura;<br />
• La velocità angolare ha un andamento crescente e tende<br />
asintoticamente al valore ω = 70 r<strong>ad</strong>/s, con oscillazioni<br />
legate all’accelerazione e in particolare con due oscillazioni<br />
per ogni giro della <strong>turbina</strong>;<br />
• La potenza, essendo funzione della coppia, risulta negativa<br />
negli stessi intervalli in cui il momento è negativo. La potenza<br />
me<strong>di</strong>a, calcolata dopo il primo secondo <strong>di</strong> transitorio<br />
è pari a P = 11 W. Considerando che la potenza <strong>di</strong>sponibile<br />
del vento è data da<br />
Pw = 1<br />
2 ρV3 ∞A = 0, 5 · 1, 184 · 10 3 · 0, 4 · 0, 15 = 35, 52 W<br />
in fase <strong>di</strong> avvio, la GiampTurbina ha un ren<strong>di</strong>mento massimo<br />
del 30%.<br />
In Figura 5.8 sono mostrate le streamlines e l’andamento <strong>di</strong> Streamlines e<br />
vorticità<br />
pressione sulle varie parti della <strong>turbina</strong>. Le zone rosse sono<br />
quelle dove la pressione è maggiore, e notiamo come il profilo
5.1 AVVIO IN CONFIGURAZIONE SAVONIUS 82<br />
posteriore messo in ombra dalle vele savonius abbia un colore più<br />
chiaro. Nella figura si vede nettamente anche la zona <strong>di</strong> ricircolo<br />
<strong>di</strong>etro la vela che avanza in <strong>di</strong>rezione del flusso.<br />
In Figura 5.9 sono mostrate le superfici <strong>di</strong> isovorticità rilasciate<br />
dalla <strong>turbina</strong> in fase <strong>di</strong> avvio. Si può notare come, poiché la<br />
velocità angolare sia ancora bassa, la vorticità generata dal profilo<br />
anteriore viene trasportata dal flusso più velocemente <strong>di</strong> quanto<br />
si sposta il profilo stesso.<br />
Figura 5.8: Streamlines e pressione in configurazione <strong>di</strong> avvio
5.2 CONFIGURAZIONE DARRIEUS A REGIME 83<br />
Figura 5.9: Superfici <strong>di</strong> isovorticità e turbulent viscosity ratio in avvio<br />
5.2 CONFIGURAZIONE DARRIEUS A REGIME<br />
Abbiamo visto come con un vento <strong>di</strong> 10 m/s la massima velocità<br />
angolare raggiungibile in configurazione Savonius sia <strong>di</strong> 70 r<strong>ad</strong>/s.<br />
A questo punto un automatismo dovrebbe far arrotolare le vele intorno<br />
ai propri assi per permettere alla <strong>turbina</strong> in configurazione<br />
Darrieus <strong>di</strong> aumentare il numero <strong>di</strong> giri e quin<strong>di</strong> generare più potenza.<br />
Con questa simulazione si vuole stabilire se, trascurando i<br />
transitori <strong>di</strong> avvolgimento delle vele, la <strong>turbina</strong> in configurazione<br />
Darrieus con velocità angolare iniziale <strong>di</strong> 70 r<strong>ad</strong>/s e velocità del<br />
vento in ingresso V∞ = 10 m/s è in gr<strong>ad</strong>o <strong>di</strong> aumentare ulteriormente<br />
la propria velocità angolare, in che modo e in quanto<br />
tempo.<br />
La <strong>di</strong>fferenza con la precedente geometria <strong>di</strong>scretizzata è sola- Caratteristiche della<br />
mente la mancanza delle vele. Si riportano <strong>di</strong> seguito le <strong>di</strong>men- mesh<br />
sioni <strong>di</strong> cella e le immagini della mesh a regime.
5.2 CONFIGURAZIONE DARRIEUS A REGIME 84<br />
Regioni → Fluido Rotante<br />
Rotore Profili e Assi<br />
∆x (m) 0, 01-0, 1 0, 008 0, 004<br />
n. celle 40222 485411<br />
celle totali 525633<br />
Contorni → inlet lati outlet assi profili<br />
facce 51 370 51 1057 42307<br />
spessore celle qu<strong>ad</strong>rilatere 5 · 10 −4 m<br />
Tabella 5.2: Caratteristiche della mesh della configurazione a regime<br />
Figura 5.10: Mesh regime<br />
Figura 5.11: Mesh regime (sezione orizzontale)<br />
Figura 5.12: Mesh regime (sezione <strong>verticale</strong>)
5.2 CONFIGURAZIONE DARRIEUS A REGIME 85<br />
Figura 5.13: Volumi ideali per il controllo volumetrico della mesh<br />
Il modello <strong>di</strong> turbolenza <strong>ad</strong>ottato è stato il DES, in accordo con<br />
la procedura <strong>di</strong> validazione.<br />
Facendo le stesse considerazioni per la geometria d’avvio e pre- Time-step<br />
vedendo velocità angolari maggiori <strong>di</strong> 70 r<strong>ad</strong>/s è stato impostato<br />
un time-step ∆t = 2 · 10 −4 s.<br />
In Figura 5.14 sono riportati i risultati numerici della simula- Risultati<br />
zione, dai quali è possibile fare le seguenti considerazioni<br />
• Notiamo subito come dopo un breve transitorio <strong>di</strong> meno<br />
<strong>di</strong> 0, 1 s il momento sia sempre maggiore <strong>di</strong> zero, <strong>di</strong> conseguenza<br />
anche la potenza erogata è sempre positiva. La<br />
potenza me<strong>di</strong>a calcolata fin’ora è uguale a 4, 5 W, ma c’è da<br />
considerare che la velocità sta ancora crescendo (la presente<br />
simulazione è ancora in corso) e non è arrivata a <strong>una</strong> velocità<br />
stazionaria (dalla teoria dei filetti flui<strong>di</strong>, la massima<br />
potenza raggiungibile dalla <strong>turbina</strong> con questa geometria è<br />
superiore ai 15 W);<br />
• L’andamento della velocità, come ci saremmo aspettati, è<br />
legato alle oscillazioni dell’accelerazione (4 oscillazioni per<br />
ogni giro) e mostra un andamento crescente. Il gra<strong>di</strong>ente<br />
risulta minore della fase <strong>di</strong> avvio, cioè la <strong>turbina</strong> accelera<br />
più lentamente della fase <strong>di</strong> avvio.
[r<strong>ad</strong>/s]<br />
[W]<br />
[N*m]<br />
[r<strong>ad</strong>/s 2 ]<br />
θ [ o ]<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
0.2<br />
0.1<br />
0<br />
10<br />
5<br />
0<br />
72<br />
71.5<br />
71<br />
70.5<br />
70<br />
360<br />
180<br />
0<br />
Momento<br />
Azimut<br />
Velocità angolare<br />
5.2 CONFIGURAZIONE DARRIEUS A REGIME 86<br />
Potenza istantanea<br />
Accelerazione angolare<br />
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5<br />
Tempo [s]<br />
Figura 5.14: Risultati numerici in configurazione a regime per V∞ =<br />
10 m/s<br />
In Figura 5.15 sono mostrate le streamlines e la <strong>di</strong>stribuzione Streamlines e<br />
vorticità<br />
<strong>di</strong> pressione sulle pale della <strong>turbina</strong>. Rispetto alla configurazione<br />
<strong>di</strong> avvio le streamlines appaiono più or<strong>di</strong>nate, poiché la turbolenza<br />
generata è minore, questo da un’idea anche <strong>di</strong> perché la<br />
configurazione Darrieus sia più efficiente: l’energia cinetica del<br />
flusso non alimenta la turbolenza, ma viene trasferita alle pale<br />
per aumentare la loro velocità. In questa figura ve<strong>di</strong>amo anche<br />
quale dei 4 profili è maggiormente spingente in questo istante: il<br />
profilo in basso a sinistra, più rosso, quin<strong>di</strong> più portante.<br />
In Figura 5.16 sono mostrate le superfici <strong>di</strong> isovorticità rilasciate<br />
dai profili della <strong>turbina</strong> a regime. Notiamo come i vortici generati
5.3 SIMULAZIONI A DIFFERENTI VELOCITÀ DEL VENTO 87<br />
siano gli stessi già stu<strong>di</strong>ati nella fase <strong>di</strong> validazione.<br />
Da un confronto tra le due configurazioni, notiamo subito come<br />
la coppia <strong>di</strong> spunto della configurazione <strong>di</strong> avvio (picchi <strong>di</strong><br />
50 r<strong>ad</strong>/s 2 ) sia maggiore della coppia a regime ma l’accelerazione<br />
me<strong>di</strong>a ha un andamento decrescente con la velocità (si hanno<br />
picchi <strong>di</strong> accelerazione negativa, crescenti con la velocità). Al<br />
contrario la configurazione a regime ha picchi <strong>di</strong> accelerazione<br />
assai più modesti (10 r<strong>ad</strong>/s 2 ) della configurazione Savonius, ma<br />
l’accelerazione me<strong>di</strong>a non decresce con la velocità. Ci aspettiamo<br />
quin<strong>di</strong> <strong>una</strong> maggiore generazione <strong>di</strong> potenza legata <strong>ad</strong> un più<br />
alto numero <strong>di</strong> giri raggiungibile dalla <strong>turbina</strong>. Purtroppo da<br />
queste prime simulazioni preliminari non è stato possibile valutare<br />
la velocità massima raggiungibile a regime. Questo perché<br />
aumentando la velocità <strong>di</strong> rotazione, va ridotto il time-step per i<br />
motivi già citati e si avrebbero tempi <strong>di</strong> calcolo esageratamente<br />
lunghi da eseguire con un singolo calcolatore.<br />
5.3 SIMULAZIONI A DIFFERENTI VELOCITÀ DEL<br />
VENTO<br />
Le stesse simulazioni sono state effettute con velocità del vento<br />
pari a V∞ = 5 m/s. Si riportano <strong>di</strong> seguito i risultati ottenuti.<br />
[N*m]<br />
θ [ o ]<br />
[W]<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
0.2<br />
0.1<br />
0<br />
-0.1<br />
360<br />
180<br />
Azimut<br />
Potenza istantanea<br />
Momento vela 1<br />
Momento vela 2<br />
Momento profili liberi<br />
Momento totale<br />
0<br />
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3<br />
Tempo [s]<br />
Figura 5.17: Momenti in configurazione <strong>di</strong> avvio per V∞ = 5 m/s
[N*m]<br />
θ [ o ]<br />
[W]<br />
[r<strong>ad</strong>/s 2 ]<br />
[r<strong>ad</strong>/s]<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0<br />
-0.1<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
-5<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
360<br />
180<br />
5.3 SIMULAZIONI A DIFFERENTI VELOCITÀ DEL VENTO 88<br />
Azimut<br />
Potenza istantanea<br />
Momento vela 1<br />
Momento vela 2<br />
Momento profili liberi<br />
Momento totale<br />
Accelerazione angolare<br />
Velocità angolare<br />
0<br />
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5<br />
Tempo [s]<br />
Figura 5.18: Risultati numerici in configurazione <strong>di</strong> avvio per V∞ =<br />
5 m/s<br />
Il comportamento in fase <strong>di</strong> avvio è lo stesso del caso precedente:<br />
la velocità mostra un andamento crescente nei primi istanti <strong>di</strong><br />
avviamento e raggiunge un valore asintotico, in questo caso pari<br />
a ω = 30 r<strong>ad</strong>/s. La potenza me<strong>di</strong>a in configurazione <strong>di</strong> avvio<br />
risulta pari a 2 W, invece in configurazione a regime, la potenza<br />
me<strong>di</strong>a è quasi nulla, questo perché l’accelerazione me<strong>di</strong>a è molto<br />
bassa ( ˙ω = 1, 5 r<strong>ad</strong>/s 2 ). Dai valori a regime si può concludere<br />
che il valore <strong>di</strong> velocità del vento V∞ = 5 m/s può essere preso<br />
come limite inferiore per l’avvolgimento della <strong>turbina</strong>: sotto questa<br />
velocità la <strong>turbina</strong> deve rimanere in configurazione d’avvio<br />
per poter sfruttare al massimo le b<strong>asse</strong> velocità del vento.
[r<strong>ad</strong>/s]<br />
[W]<br />
[N*m]<br />
[r<strong>ad</strong>/s 2 ]<br />
θ [ o ]<br />
0.5<br />
0<br />
-0.5<br />
0.03<br />
0.02<br />
0.01<br />
0<br />
-0.01<br />
-0.02<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
-0.5<br />
-1<br />
30.05<br />
30<br />
360<br />
180<br />
0<br />
5.3 SIMULAZIONI A DIFFERENTI VELOCITÀ DEL VENTO 89<br />
Momento<br />
Azimut<br />
Potenza istantanea<br />
Accelerazione angolare<br />
Velocità angolare<br />
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6<br />
Tempo [s]<br />
Figura 5.19: Risultati numerici in configurazione a regime per V∞ =<br />
5 m/s<br />
Si riportano i risultati <strong>di</strong> un’ulteriore simulazione in configurazione<br />
d’avvio con vento a V∞ = 2 m/s (Figura 5.20). In queste<br />
con<strong>di</strong>zioni la potenza specifica del vento è assai ridotta<br />
˜Pw = 1<br />
2 ρV3 ∞ = 4, 7 W/m 2<br />
e la potenza che si può sfruttare è praticamente nulla. Con<br />
questa simulazione si voleva piuttosto mostrare come, anche a<br />
velocità del vento estremamente b<strong>asse</strong>, la configurazione Savonius<br />
è ancora in gr<strong>ad</strong>o <strong>di</strong> avviarsi, seppur molto lentamente. Questa<br />
caratteristica conferma la proprietà della GiampTurbina <strong>di</strong> essere
5.3 SIMULAZIONI A DIFFERENTI VELOCITÀ DEL VENTO 90<br />
<strong>ad</strong>atta <strong>ad</strong> un uso “domestico”, potendo operare in un vasto range<br />
<strong>di</strong> velocità del vento.<br />
[W]<br />
[N*m]<br />
θ [ o ]<br />
[r<strong>ad</strong>/s 2 ]<br />
[r<strong>ad</strong>/s]<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
0.03<br />
0.02<br />
0.01<br />
0<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
180<br />
Momento totale<br />
Azimut<br />
Potenza istantanea<br />
Accelerazione angolare<br />
Velocità angolare<br />
0<br />
0 0.5 1 1.5 2<br />
Tempo [s]<br />
Figura 5.20: Risultati numerici in configurazione d’avvio per V∞ =<br />
2 m/s
[W]<br />
[N*m]<br />
[r<strong>ad</strong>/s 2 ]<br />
[r<strong>ad</strong>/s]<br />
θ [ o ]<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
-10<br />
0.8<br />
0.4<br />
0<br />
-0.4<br />
-0.8<br />
50<br />
30<br />
10<br />
-10<br />
70<br />
50<br />
30<br />
10<br />
360<br />
180<br />
5.3 SIMULAZIONI A DIFFERENTI VELOCITÀ DEL VENTO 91<br />
Azimut<br />
Potenza istantanea<br />
Momento vela 1<br />
Momento vela 2<br />
Momento profili liberi<br />
Momento totale<br />
Accelerazione angolare<br />
Velocità angolare<br />
0<br />
0 0.5 1 1.5 2<br />
Tempo [s]<br />
Figura 5.6: Risultati numerici in configurazione <strong>di</strong> avvio per<br />
V∞ = 10 m/s
[W]<br />
[N*m]<br />
θ [ o ]<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
-10<br />
0.8<br />
0.4<br />
0<br />
-0.4<br />
-0.8<br />
360<br />
180<br />
5.3 SIMULAZIONI A DIFFERENTI VELOCITÀ DEL VENTO 92<br />
Azimut<br />
Potenza istantanea<br />
Momento vela 1<br />
Momento vela 2<br />
Momento profili liberi<br />
Momento totale<br />
0<br />
1.98 2.02 2.06 2.1 2.14 2.18 2.22 2.26<br />
Tempo [s]<br />
Figura 5.7: Momenti in configurazione <strong>di</strong> avvio per V∞ = 10 m/s<br />
Figura 5.15: Streamlines e pressione in configurazione a regime
5.3 SIMULAZIONI A DIFFERENTI VELOCITÀ DEL VENTO 93<br />
Figura 5.16: Superfici <strong>di</strong> isovorticità e turbulent viscosity ratio a regime
6 C O N C L U S I O N I<br />
I risultati numerici ottenuti con queste prime simulazioni preliminari<br />
sono confortanti e confermano che <strong>una</strong> Savonius avvolgibile<br />
può essere <strong>una</strong> buona soluzione per avviare <strong>una</strong> Darrieus. Ovviamente<br />
sono necessarie altre simulazioni per affinare i risultati,<br />
in particolare sarebbe positivo poter simulare tutto il flusso tri<strong>di</strong>mensionale<br />
e non solo <strong>una</strong> sezione <strong>di</strong> flusso intorno alla <strong>turbina</strong>.<br />
Per <strong>una</strong> simulazione della <strong>turbina</strong> completa è necessario però Tempi <strong>di</strong> calcolo<br />
un cluster <strong>di</strong> processori, in quanto le simulazioni effettuate per<br />
questa tesi sono il risultato <strong>di</strong> un compromesso tra accuratezza<br />
dei risultati (i residui sono stati mantenuti inferiori a 10 −2 , ma<br />
è consigliabile un valore minore) e tempi <strong>di</strong> calcolo ragionevoli.<br />
Per riportare un esempio, nella simulazione in configurazione<br />
<strong>di</strong> avvio a V∞ = 10 m/s il time-step era pari a ∆t = 5 · 10 −4 s,<br />
per ogni time-step sono state impostate 6 iterazioni per avere<br />
residui inferiori a 10 −2 , per ogni iterazione il tempo <strong>di</strong> calcolo<br />
con un processore a 2, 5 GHz è stato <strong>di</strong> circa ti = 60 s (oltre alle<br />
equazioni <strong>di</strong> Navier-Stokes e ai modelli <strong>di</strong> turbolenza, andavano<br />
risolte anche le equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>di</strong>scretizzate del corpo rigido).<br />
Quin<strong>di</strong> per simulare un secondo <strong>di</strong> flusso e <strong>di</strong> movimento della<br />
<strong>turbina</strong>, il tempo <strong>di</strong> calcolo è stato pari a<br />
ti · i · 1<br />
1<br />
= 60 · 6 ·<br />
∆t 0, 0005 = 720 · 103s ≈ 8, 3 giorni<br />
Questo valore giustifica la necessità <strong>di</strong> far lavorare più processori<br />
in parallelo.<br />
Inoltre le simulazioni con la geometria completa permetterebbero<br />
<strong>di</strong> stu<strong>di</strong>are l’ottimizzazione del design della <strong>turbina</strong>, infatti<br />
si potrebbero valutare le seguenti mo<strong>di</strong>fiche<br />
• valutare se esiste un rapporto tra <strong>di</strong>ametro della Savonius e<br />
<strong>di</strong>ametro della Darrieus che ottimizza le prestazioni.<br />
• trovare il miglior rapporto tra altezza e <strong>di</strong>ametro (H/D)<br />
e tra corda del profilo e <strong>di</strong>ametro della <strong>turbina</strong> (c/D), e<br />
valutare se cambiando tipo <strong>di</strong> profilo, con <strong>di</strong>verso spessore<br />
e curvatura le prestazioni migliorano.<br />
• valutare se esiste un migliore posizionamento relativo delle<br />
pale. In questo stu<strong>di</strong>o le pale sono equispaziate (∆θ = 90 ◦ ),<br />
94
CONCLUSIONI 95<br />
ma dai risultati numerici in configurazione <strong>di</strong> avvio (5.1) si<br />
vede che per ridurre l’ampiezza <strong>di</strong> oscillazione della coppia<br />
si potrebbero sfasare i profili <strong>di</strong> 45 ◦ .<br />
Si dovrebbe valutare a questo punto se il posizionamento relativo<br />
dei profili non mo<strong>di</strong>fica eccessivamente le loro prestazioni rispetto<br />
alla con<strong>di</strong>zione in cui operano a <strong>di</strong>stanze maggiori. A titolo<br />
d’esempio si riporta il risultato <strong>di</strong> <strong>una</strong> simulazione <strong>numerica</strong><br />
con la geometria <strong>di</strong> validazione (4.3.1) in cui è stato aggiunto un<br />
profilo a <strong>di</strong>stanza ∆θ = 180 ◦ . Con questa simulazione si voleva<br />
vedere se c’era qualche effetto <strong>di</strong> interferenza aero<strong>di</strong>namica<br />
rispetto al caso con <strong>una</strong> singola pala. Nel grafico sono riportati,<br />
per ogni simulazione, i valori <strong>di</strong> due rotazioni successive, la<br />
velocità d’ingresso è <strong>di</strong> V∞ = 7, 5 m/s e λ = 3, 5. Si può vedere<br />
chiaramente come il Cm istantaneo massimo si riduce e aumenta<br />
quello negativo. Andrebbe effettuato uno stu<strong>di</strong>o più approfon<strong>di</strong>to<br />
per ridurre al massimo questi effetti legati all’interferenza<br />
aero<strong>di</strong>namica.<br />
Coefficiente <strong>di</strong> Momento<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
-0.2<br />
-0.4<br />
Tsr=3,5 - Re=70000 due pale<br />
Tsr=3,5 - Re=70000 <strong>una</strong> pala<br />
0 50 100 150 200 250 300 350<br />
Azimut θ [Ê]<br />
Figura 6.1: Effetto sulla coppia dell’interferenza aero<strong>di</strong>namica fra<br />
profili<br />
• Si è visto come tutte le grandezze derivate dalla coppia<br />
(accelerazione, velocità, potenza) hanno un andamento perio<strong>di</strong>co:<br />
la frequenza è legata alla velocità <strong>di</strong> rotazione e il<br />
valore istantaneo alla posizione angolare della pala. Queste<br />
oscillazioni inducono fatica sulle strutture e andrebbero evitate:<br />
per far questo si può pensare <strong>di</strong> sfasare ogni sezione <strong>di</strong><br />
un certo ∆θ, in modo che sommando grandezze con stessa<br />
frequenza ma <strong>di</strong>versa fase si ottiene un valore costante e<br />
in<strong>di</strong>pendente dalla fase. Sfasando le pale in modo continuo<br />
si otterrebbero delle pale elicoidali (Figura 6.2). Una<br />
simulazione 3D della <strong>turbina</strong> completa permetterebbe <strong>di</strong>
CONCLUSIONI 96<br />
valutare gli effetti tri<strong>di</strong>mensionali del flusso legati a questa<br />
particolare geometria.<br />
(giampelix.u3d)<br />
Figura 6.2: GiampTurbina con profili elicoidali<br />
• Tutte le simulazioni sono state effettuate mantenendo costante<br />
la velocità del vento in ingresso. Questa è un’ipotesi<br />
piuttosto grossolana, poiché il vento ha la caratteristica <strong>di</strong><br />
essere incostante. Altre simulazioni andrebbero fatte impostando<br />
la con<strong>di</strong>zione al contorno sulla velocità variabile<br />
nel tempo (time-varying boundary con<strong>di</strong>tions) nella sezioni <strong>di</strong><br />
ingresso, per vedere qual’è la risposta della <strong>turbina</strong> alla<br />
variazione della velocità del vento.<br />
• Infine sarebbe necessario costruire un prototipo della Giamp-<br />
Turbina da provare in galleria del vento. Un riscontro dei<br />
risultati numerici nelle prove sperimentali fornirebbe la definitiva<br />
conferma della vali<strong>di</strong>tà delle ipotesi e dei modelli<br />
matematici usati nelle simulazioni.
B I B L I O G R A F I A<br />
(2008), Star-ccm+ version 4.02.007 - user guide, CD-<strong>ad</strong>apco.<br />
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97
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