Analisi numerica di una turbina eolica ad asse verticale - Atomino FVG

3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 31
dove f è la forza di volume che si esercita per unità di massa e
T è il tensore degli sforzi. Tale tensore permette di descrivere gli
sforzi attorno ad un punto nelle varie direzioni possibili: esso è
un tensore a nove componenti scalari (a tre componenti vettoriali
rispetto alle tre direzioni degli assi coordinati prescelti). Va sottolineato
che T è un tensore simmetrico per cui Tij = Tji, cosicché
le nove componenti si riducono a sei quantità indipendenti.
Occorre ora esprimere il principio di conservazione della quantità
di moto per un volume che non varia nel tempo, cioè un
volume fisso nello spazio (formulazione Euleriana). Ciò può essere
semplicemente realizzato esprimendo le derivate temporali degli
integrali sul volume materiale V(t) mediante il teorema del
trasporto di Reynolds. Trasformiamo così il primo membro e il
secondo termine del secondo membro della 3.11 in modo che vi
appaiano soltanto integrali di volume, come è il primo termine a
secondo membro.
Se poi applichiamo il teorema della divergenza
ˆ
ˆ
T · ndS = divTdV
V
S
all’integrale superficiale avremo
ˆ
ρ du
− ρf − ∇ · T dV = 0
dt
(3.11)
Dovendo valere la 3.11 per qualsiasi volume di integrazione,
l’integrando deve essere identicamente nullo, quindi
ρ du
dt
V
= ρf + ∇ · T
Passando dall’espressione vettoriale a quella delle componenti
ed introducendo la simbologia della somma introdotta da Einstein,
o notazione indiciale 1
ρ dui
dt = ρfi + ∂
Tij
∂xj
(3.12)
dove ui è la componente i-esima della velocità istantanea, ρ è la
densità, Tij è il tensore degli sforzi e fi è la componente i-esima
della forza di volume per unità di massa.
Dalle ipotesi fatte il fluido è di tipo Newtoniano e a comporta- Fluido Newtoniano
mento isotropo. Per i fluidi Newtoniani le componenti del tensore
degli sforzi sono funzioni lineari delle componenti delle velocità
1 In ogni prodotto, l’indice ripetuto implica una somma rispetto allo stesso indice
per i valori 1, 2, 3. Quello non ripetuto può assumere uno qualsiasi dei valori
1, 2, 3.