Disequazioni Esponenziali e Logaritmiche - Francesco Zumbo

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24 14. ESEMPI SVOLTI DI DISEQUAZIONI ESPONENZIALI 14.1. Esempio N1. Risolviamo la seguente disequazione : (14.1) 3x · 21+x > 3 · 2x−1 6 x 3 x−1 utilizziamo le proprietá delle potenze per scrivere in diversa forma sia il primo che il secondo membro (14.2) 3 x−1 · 2 1+x−x+1 > 2 x · 3 x 3 x−1 (14.3) 3 x−1 · 2 2 > √ 2 x · 3 x−x+1 (14.4) 3 x−1 · 2 2 > √ 2 x · 3 essendo entrambi i membri sempre positivi ∀x eleviamo al quadrato al fine di eliminare la radice quadrata (14.5) 3 2x−2 · 2 4 > 2 x · 3 dividiamo per 3 ·2 4 in modo da ottenere al primo membro la base 3 e al secondo la base 2 (14.6) cioé 32x−2 · 24 3 · 24 > 2x · 3 3 · 24 (14.7) 3 2x−3 > 2 x−4 a questo punto,come raccomandato nei paragrafi precedenti, applichiamo la funzione logaritmica ad ambo i membri. É conveniente applicare lg 3 oppure lg 2.
Applichiamo ad ambo i membri lg 3 e visto che la base 3 é ovviamente > 1 il senso della disequazione (14.7) rimane inalterato. (14.8) lg 3 3 2x−3 > lg 3 2 x−4 per la proprietá del logaritmo di una potenza si ha (14.9) (2x − 3) lg 3 3 > (x − 4) lg 3 2 e sapendo che lg 3 3 = 1, si ottiene (14.10) 2x − 3 > (x − 4) lg 3 2 moltiplichiamo (14.11) 2x − 3 > x lg 3 2 − 4 lg 3 2 portiamo le quantitá in x al primo membro e le costanti al secondo membro (14.12) 2x − x lg 3 2 > 3 − 4 lg 3 2 mettiamo la x in evidenza (14.13) x (2 − lg 3 2) > 3 − 4 lg 3 2 da cui (14.14) x > 3 − 4 lg 3 2 2 − lg 3 2 cioé (14.15) x > 3 − lg 3 2 4 2 − lg 3 2 25
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