Moto Monodimensionale di Fluidi Comprimibili – Area Costante

UNIVERSITA’ DI FIRENZE 

Facoltà di Ingegneria 

Moti 1D Comprimibili-Area Costante 1 

Dipartimento di Energetica -S.Stecco 

Moto Monodimensionaledi 

Fluidi Comprimibili – Area Costante 

Fluidodinamica





Flussi in condotti a sezione costante: Indice argomenti 

Equazioni di riferimento 

Concetto di Temperatura e pressione totali 

Moti isetropici comprimibili 

Condizioni di flusso e moti possibili in regime comprimibile 

Urti retti e fenomeni di comprimibilità in regime supersonico 




Ipotesi: 



Equazioni moti comprimibili monodimensionali 

a. moto stazionario 

b. condotto a sezione costante 

c. flusso 1D 

d. gas perfetto 

Bilancio di massa: 

ρ uA = ( ρ+ 

dρ)( 

u+ 

du)A 

( ρdu 

+ udρ) 

A = 0 

14243 

4 

ter mini 

primo ordine 

u,p, 

ρ 

dx , P= 

u + du, 

p+ 

dp, 

ρ+ 

dρ 

perimetro 

d ( ρ u) 

= 0 ρu= 

m= 

costante 

Bilancio q. di moto: 

P 

ρuA( u + du −u) 

= pA −( 

p + dp) 

A −τwallPdx 

ρu 

⋅ du = −dp 

− τwall 

dx 

A 

⎛ u 

d 

⎜ p + ρ 

⎝ 2 

2 

⎞ τ 

⎟ = − dx 

⎠ A 

Q 

τwall 




Bilancio di energia: 

⎛ 

ρuA⎜ 

⎜ 

h + dh + 

⎝ 

Posto 

Q 

q ⋅ dx = ⋅ dx 

ρuA 

si ricava al primo ordine 

Relazioni Gas perfetti: 




( u + du) 

2 

2 

2 

u 

− h − 

2 

p = ρRT, 

e= 

c T, 

h= 

c T, 

c 

v 

p 

p 

⎞ 

⎟ 

= Q ⋅ dx 

⎠ 

⎛ u 

d 

⎜ 

⎜h 

+ 

⎝ 2 

γR 

= , c 

γ − 1 

v 

2 

⎞ 

⎟ = q ⋅ dx 

⎠ 

R 

= , e= 

γ − 1 γ 

Dove Q è il calore scambiato 

per unità di lunghezza 

Dove q è il calore scambiato 

per unità di lunghezza ed unità di portata 

a 

2 

, h= 

a 

2 

( γ − 1) 

γ − 1 




Bilancio di energia: caso adiabatico 




2 

u 

u 

h + = cos tante 

= h 

T + = T 

0 

0 

2 

2c 

p 

h0 e T0 sono l’entalpia e la temperatura totali del gas e rappresentano le 

condizioni di energia e temperatura che raggiunge il fluido quando dalla 

condizione di moto attuale venga arrestato (u=0) mediante una 

trasformazione adiabatica. In assenza di scambi di energia con l’esterno, i 

valori di entalpia e temperatura totali h0 e T0 rappresentano il contenuto 

di energia massima contenuto al fluido in moto. 

Utilizzando le relazioni dei gas perfetti, l’equazione dell’energia si riscrive 

in modo equivalente: 

2 

2 

2 

a u a 

2 2 2 

0 + = 

se si considera 

a* 

a* 

a0 

+ = 

γ−1 2 γ−1 

la condizione u=a γ−1 

2 γ−1 

2 







La quantità a* rappresenta la velocità critica ovvero la velocità del gas 

nella condizione critica di Mach=1 ovvero nella condizione di moto sonico. 

Assegnata T0 o h0 (ovvero la condizione totale) la velocità critica è 

univocamente determinata e non dipende dalla trasformazione purché 

questa sia adiabatica: 

2 

2 

a u 

+ 

−1 

2 

2 

a0 

= 

γ−1 

2 

a* 2 

a0 

2 

= 

γ+ 

1 

2 2 

γ γ −1 2a 

a ( γ −1) 

1 

+ 

u 

2 

= 

a 

2 

0 

h T γ 

−1 

= = 1+ 

h T 2 

0 0 

M 

2 

2 

−1u 

a 

1 + = 2 

2 a a 

γ 

2 

0 

2 






Equazioni moti comprimibili: Stati di Ristagno (o di Arresto) 

Per il I principio della Termodinamica in assenza di scambi di calore e di lavoro e con 

variazioni di energia potenziale nulla si vede come l’entalpia totale h0 coincide con il valore 

dell’entalpia che avrebbe il fluido se fosse arrestato con un processo adiabatico. 

2 

u 

Entalpia di ristagno : h0 

= h + 

2 

2 

Temperatura totale : Dalla precedente si ha che T 0 = T + u 

conto della definizione di entalpia e dei calori specifici si ottiene: 

2cp 

etenendo 

T0 γ −1 

= 1+ M 

T 2 

per cui il rapporto fra temperatura totale e statica è funzione del numero di Mach e del 

rapporto g dei calori specifici. 

Pressione di Ristagno : valore della pressione cui il fluido si porterebbe se a partire dalle 

condizioni locali fosse portato con un processo iso-entropico fino allo stato di velocità 

nulla. Quindi considerando le relazioni iso-entropiche e la precedente espressione della 

temperatura totale si ha: 

2 




p 

p 

⎛ γ −1 

= ⎜1+ 

⎝ 2 

0 M 

γ 

γ −1 


2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Analogamente la 

Densità di Ristagno : 

Rappresentazione su un diagramma T - s di 

Temperatura e pressione di ristagno e statiche: 

Se gli stati di ristagno sono quelli corrispondenti al valore nullo 

del numero di Mach a valori unitari dello stesso corrispondono i 

cosiddetti stati critici. Per cui ponendo M = 1 nelle precedenti 

si ha ( a lato si riportano i valori del rapporto valori totali e critici 

per l’aria K=1.4) : 

p 

p 

T 

T 

0 

∗ 

0 

∗ 

γ /( γ −1 

) 

⎛ 2 ⎞ ⎛ p 

= ⎜ ⎟ 

1 

⎜ 

⎝ γ + ⎠ ⎝ p 

= 

⎛ 2 ⎞ ⎛ T 

⎜ ⎟ 

1 ⎜ 

⎝ γ + ⎠ ⎝ T 

0 

∗ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

∗ 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

γ = 1 

γ = 1 . 4 

. 4 

= 

= 

0 . 528 

0 . 833 

0 

⎛ 2 

⎜ 

⎝ γ + 


Equazioni moti comprimibili: Stati di Ristagno (o di Arresto) 

ρ 

ρ 

∗ 

= 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

ρ ⎛ γ −1 

= ⎜1+ 

ρ ⎝ 2 

1 

γ − 1 

0 M 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

ρ 

ρ 

∗ 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

γ = 1 

. 4 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 

1 

γ −1 

0 . 634 





Tabelle relazioni isentropiche 


Nell’ambito di validità delle ipotesi sopra fatte e per le quali To si conserva, la pressione 

totale rimane costante se il moto è reversibile e quindi privo di perdite. La pressione 

totale misura quindi il grado di irreversibilità ovvero l’entità delle perdite e costituisce 

una misura equivalente all’entropia. Ricordando la definizione di questa si osserva 

infatti: 

2 

s2−s1 = cpln 

− 

T1 

Essendo gli stati 1 e 2 separati 

Da 01 e 02 da una trasformazione 

Isentropica si ha: 

E quindi 

T 

T 

Rln 

02 

∆s1−2 = ∆s01−02 

= cp 

ln − 

T01 

∆s1−2 R 

p 

= −ln 

p 

p 

p 

2 

1 

Rln 

02 

01 

p 

p 

02 

01 




Moti 1D Comprimibili-Area Costante 

10 


Ellisse di Prandtl per moti adiabatici velocità massima 

L’equazione dell’energia può essere rielaborata come segue: 

2 

γ −1 

2 

γ −1 

2 

2 

2 

u + a = a0 

= 

u 

max 

dove si mette in risalto l’esistenza di una 

velocità massima possibile del moto. 

Utilizzando la definizione della velocità massima dalla precedente si ottiene: 

Ma poiché 

u 

2 

u 

2 

max 

u 

a 

+ 2 

u 

2 

max 

u 

u 

2 

2 

max 

2 

= 1 

γ −1 

2 

= a 

γ −1 

a 

+ 

a 

2 

= 1 

Si ottiene: 2 2 

“ellisse di Prandtl” 

max 

0 

2 

0 





11 


Ellisse di Prandtl per moti adiabatici velocità massima 

a 

M=0 

a0 M=1 M>1 

MM=∞ 

u 

= 

a 

M 

M 

0.0 – 0.3……………INCOMPRIMIBILE 

0.3 – 0.8……………SUBSONICO 

0.8 – 1.2……………TRANSONICO 

1.2 – 5.0……………SUPERSONICO 

> 5.0……………….IPERSONICO 

La velocità massima si raggiunge per M=infinito. Per u=0 si ha M=0. La u max 

dipende non può essere qualsiasi ma dipende dalle condizioni totali. 

Si osservi come M può tendere effettivamente ad un valore infinito, ma comunque 

la velocità massima u risulta finita. 

Dato che M=u/a => allora per M=infinito significa che a=0. 





12 

Legame pressione totale/statica 


Per un gas comprimibile in moto monodimensionale adiabatico reversibile si verifica che 

la pressione totale è definita come: 

p 

p 

⎛ γ − 1 

= ⎜ + 

⎝ 2 

0 1 M 

Si vuole comprendere che legame esista con la definizione già ampiamente utilizzata 

nel teorema di Bernoulli. 

1 2 

p0 = p + ρ ⋅ u 

2 

Si considera che dall’equazione dei gas comprimibili si può scrivere: 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

γ 

γ −1 

2 

p0 

M 

= f 

0 

0 

0 + 

p 

2 

( M ) ≈ f ( M ) + f ′ ( M ) M + f ′ 

( M ) ... 

f 

′ 

( M ) 

= γM 

⎛ γ − 1 

⎜ 1 + M 

⎝ 2 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 

γ −1 




f 

f 

( M ) 


13 

f 

′ 

( M ) 0 = 1 

( M ) 0 = 0 

( M ) = γ 

′ 

f ′ 

0 

γ 

ρ 

p 

a 2 = 

Legame pressione totale/statica 

⎛ γ − 1 

= γ ⎜ 1 + M 

⎝ 2 

p 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 


1 

γ −1 

2 γ 

+ γM 

u 

≈ 1 + γ 

a 

1 

2 

⎛ 

⎜ 1 + 

⎝ 

2 

p0 4 

+ o( 

M 

2 

p 

0 

1 

= p + ρu 

2 

2 

+ 

o( 

M 

− 1 

M 

2 

4 

) 

) 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

−γ 

+ 1 

γ −1 

L’equazione dimostra che nel limite di basso Mach, includendo quindi il regime 

di moto incomprimibile, l’equazione dei flussi comprimibile restituisce quella già 

utilizzata nello studio dei liquidi. Le due espressioni quindi sono coerenti 

essendo la definizione comprimibile più generale. In pratica si vede che per 

M



a) Continuità……………………… 

c) Bilancio energia………………. 


14 

Moti 1D a sezione costante 

Ipotesi: moto stazionario, sezione costante, gas perfetto 

b) Bilancio q. di moto……………. ( 

dx 

p 

d 

dx 


( ρu 

) 

= 

d 2 τ 

+ 

0 

dI 

ρu ) = = − 

dx 

2 

d ⎛ u ⎞ dh0 

⎜h 

+ ⎟ = = q 

dx ⎝ 2 ⎠ dx 

ρu = cost = m& 

Iperbole nel piano (ρ-u) 

2 

p + ρu = p + m& 

⋅ u = cost = I Retta nel piano (ρ-u) 

A 





15 


ρRT 

essendo 

⎛ 

ρR 

⎜ 

T 

⎝ 

+ m& 

⋅ u = 

0 

− 

u 

2c 

2 

p 

I 

h 

0 

= 

c 

p 

T 

0 

⎞ 

⎟ 

+ m& 

⋅ u = 

⎠ 

= 

I 


Ricordando che per un gas perfetto p = ρRT 

si ha 

c 

p 

T 

2 

u 

+ 

2 

E quindi utilizzando le relazioni dei gas perfetti tra il calore specifico e 

ricordando la conservazione della massa: 

γ − 1 

ρRT0 

− m& 

⋅ u ⋅ + m& 

⋅u= 

I 

2γ 

Retta nel piano (ρ-u) 

⎛ γ −1⎞ 

ρRT 

u m m I 

{ 0 + ⋅⎜& 

− & ⋅ ⎟ = 

Che intercetta l’asse u=0 per 

2 

cos t ⎝ γ 

14 

4 2443⎠ 

I γI 

γI 

ρ = 

= = 2 

RT γRT 

a 

cos t 

0 

0 

0 




h 

p 

h 

o 

0 

ρ h 

= 


16 

h 

c 

c 

R 

T 

γ 

, 

γ − 1 

p 

ρ R 

2 γ ⎛ I 

= I − ρ u ⇒ h0 

= ⎜ − u 

γ − 1 ⎝ ρ 

γ I 2 γ + 1 

= − u 

γ − 1 ρ 2( 

γ − 1 ) 

0 

2 

u 

+ 

2 

essendo 

cos t 

= 


p 

p 

2 

u 

+ 

2 

= 

γ γ + 1 

= I − m& 

⋅ u 

γ − 1 2( 

γ − 1 ) 

12 

3 142 

43 

cos t 

= 

c 

p 

e 

2 

u 

+ 

2 

quindi 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

u 

+ 

2 


L’equazione dell’energia con le medesime assunzioni si riscrive come segue: 

= 

2 

γ p u 

⋅ + 

γ − 1 ρ 2 

Retta nel piano (ρ-u) 

Che intercetta l’asse u=0 per 

γ 

ρ 

= 

γ − 1 

I 

h 

0 

γ I 

= 

γ − 1 c T 

p 

0 

= 

I 

RT 

0 


ρ 




17 


Moti 1D a sezione costante: soluzione grafica 

ρu 

= cost = m& 

⎡γ ⋅ I 

⎢ 2 

⎣ a 0 

u 

ρ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

I è l’impulso del fluido e varia solo se esistono forze di attrito che si oppongono 

al moto. In presenza di τ l’impulso diminuisce e le rette che rappresentano 

l’equazione di bilancio della q. di moto traslano come indicato. Gli attriti 

modificano quindi l’intercetta con l’asse u=0 riducendo l’impulso disponibile I. 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

( γ + 1) 

2 ⋅ a 

τ ⎡γ ⋅ I ⎤ ⎡( 

γ + 1 ) ⋅ m& 

⎤ 

⎢ 

⋅ u 

2 

2 

a 

⎥ − ⎢ 

0 2 a 

⎥ 

⎣ ⎦ ⎣ ⋅ 0 ⎦ 

2 

0 

u 

⋅ 

m 

ρ = 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

pendenza 

Intercetta asse u 




ρ 


18 


Moti 1D a sezione costante: soluzione grafica 

q>0 

ρh 

0 

γ γ + 1 

= I − m& 

⋅u 

γ − 1 2( 

γ − 1) 

12 

3 14243 

cost 

u 

H0 è l’energia totale e varia solo se esiste uno scambio di calore del flusso con 

l’esterno. Al variare di h0 e quindi in presenza di scambio termico la retta che 

rappresenta l’equazione dell’energia cambia pendenza. Il valore di h0 regola 

infatti il coefficiente angolare di detta retta. L’intercetta con l’asse u dipende 

solamente dalla portata e rimane quindi costante. 

cost 

Coefficiente angolare 

della retta 

Intercetta per u=0 

dρ 

m& 

γ + 1 

= − 

du h 2( 

γ − 1) 

u 

0 

I 2γ 

= ⋅ 

m& 

γ + 1 





19 


Efflussi in Condotti a sezione Costante-con Attrito 

Combinando con Portata costante si ha 

⎡ γγ 

⋅ I 

⎢ 2 

⎣ a 0 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

ρ 

ρ 

V 

V 

ρ 

ρ 

⎡ γ ⋅ I ⎤ ⎡ (γ + 1) 

⋅ m 

ρ = ⎢ − 2 

a 

⎥ ⎢ 

2 

⎣ 0 ⎦ ⎣ 2 ⋅ a 0 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⋅V 

V 

V 


⎡ γ ⋅ I 

⎢ 2 

⎣ a 0 

⎤ 

⎥ 

⎦ 



ρ 

ρ 


20 


Efflussi in Condotti a sezione Costante Scambio Termico 

Combinando con Portata costante si ha 

V 

V 

ρ 

ρ 

⎡ γ ⋅ I ⎤ ⎡ (γ + 1) 

⋅ m 

ρ = ⎢ − 2 

a 

⎥ ⎢ 

2 

⎣ 0 ⎦ ⎣ 2 ⋅ a 0 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⋅V 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

( γ + 1) 

2 ⋅ a 

2 

0 

⋅ 

m 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

V 

V 





21 

Gli Urti Retti 


L’urto normale è un fenomeno che si manifesta nei flussi supersonici. Un urto 

retto implica una improvvisa variazione delle caratteristiche e regime di flusso. 

Tale variazioni avviene con una dimensione traversale al moto infinitesima e si 

presenta come una discontinuità della soluzione. Le caratteristiche dell’urto sono: 

•decelerazione da velocità supersonica a velocità subsonica 

•aumento di pressione 

•aumento di entropia 

Per sviluppare le equazioni che descrivono questo fenomeno si deve considerare 

un volume di controllo infinitesimo che contiene la sezione dell’urto (si veda 

figura) e si applicano le relazioni di conservazione di massa, quantità di moto ed 

energia. 

Le onde d’urto, pur essendo un fenomeno non isentropico, sono una soluzione 

prevista dalle equazioni della fluidodinamica anche nel caso di modello non 

viscoso. 





22 

Equazioni degli Urti Retti 


Si considera un volume di controllo che contiene una regione di fluido come 

indicato in figura. Nell’ipotesi di moto 1D, stazionario e non viscoso (ipotesi 

utile ma non necessaria per l’esistenza degli urti) le equazioni di bilancio 

diventano: 

ρ = ρ 

p 

h 

1 

1 

1 

u 

1 

+ ρ u 

+ 

1 

2 

1 

u 

2 

1 

2 

2 

1 

u 

2 

= 

= h 

p 

2 

2 

+ 

+ ρ u 

1 

2 

u 

Dividendo l’equazione di q.di m. per ρ 1u1 

e ρ2u2 

u 

1 

− u 

2 

p2 

= 

ρ u 

2 

2 

p1 

− 

ρ u 

1 

2 

2 

2 

1 

2 

2 

a2 

= 

γu 

2 

a1 

− 

γu 

Dall’equazione dell’energia si ha: 

2 2 2 2 

1 a1 

u2 

a2 

1 γ + 1 2 

+ 

= + = a* 

u 

2 

γ − 1 

2 

γ − 1 

1 

2 γ − 1 





23 

a 

γ + 1 

2 


γ − 1 

2 

2 

2 

2 2 

2 

1 = a* 

− u1 

, a2 

= a* 


Si sostituisce nell’equazione modificata di bilancio di q. di m. l’equazione 

dell’energia riscritta nella forma 

u 

Si ottiene quindi 

γ + 1 

2 

γ − 1 

− u 

2 

2 

2 

p2 

p1 

a2 

a1 

γ + 1 a* 

γ − 1 γ + 1 a* 

γ − 1 

1 − u2 

= − = − 

u1 

− u2 

= − u2 

− + u1 

ρ2u2 

ρ1u1 

γu2 

γu1 

2γ 

u2 

2γ 

2γ 

u1 

2γ 

γ−1 

γ+ 

1 ⎛ 1 

u 1−u2 

= 1 2 

* 

2γ 

2γ 

⎝u2 

1 

u 

2 

( u −u 

) + a ⎜ − ⎟ 

⎛u −u 

⎝ u1u2 

γ+ 

1 

2γ 

1 2 

2 

( −u 

)( 2γ−γ+ 

1) 

= ( γ+ 

1) 

⎜ ⎟+ 

a ⎜ − ⎟ 

u 1 2 

* 

2 

* 

a 

u1 − u2 

= 1− 

u u 

1 

2 

⎞ 

⎠ 

( u u ) 

2 

1 

⎞ 

⎠ 

⎛ 1 

⎝u2 

2 

2 

1 

u 

1 

⎞ 

⎠ 





24 



Gli stati 1 e 2 sono tra loro collegati dalla relazione precedente. La 

soluzione banale corrisponde a u 1 = u2 

Tale soluzione corrisponde al moto indisturbato che prosegue inalterato (si 

ricordino le approssimazioni di area costante, attrito nullo e assenza di 

scambio termico). 

Esiste tuttavia una soluzione non banale per cui u1 ≠ u2 

, e tale per cui gli 

stati 1 e 2 corrispondono a due condizioni differenti di moto: 

2 

u 1 ⋅u2 

= a* 

Dalla definizione di Mach critico si ricava che 

M 

* * 

ovvero relazione di Prandtl-Meyer 

2 

* 

= 

u 

a 

2 

2 

* 

= 

u 

a 

2 

2 

M1 ⋅ M 2 = 1 

a 

⋅ 

a 

2 

2 

o 

a 

⋅ 

a 

E quindi dalla relazione di Prandtl-Meyer si ottiene una relazione tra i Mach 

di monte e valle. 

2 

o 

2 

* 

2 γ + 1 

M 

= 2 

γ − 1 

1+ 

M 

2 

2 





25 



La relazione tra i mach si può diagrammare osservando che: 

1. M = 0 => M* = 0 

2. M = 1 => M* = 1 

3. M ->∞ => M*= sqrt[(γ+1)/(γ-1)] ~ 2.45 

M 

* 

M = 

* 

1 

M = 1 

M 

* ≈ 

M 2. 

45 




In particolare si verifica che 


26 



E quindi la M1 ⋅ M 2 = 1 dimostra che sono possibili due soluzioni 

corrispondenti la prima al passaggio da un regime supersonico ad uno 

subsonico e la seconda da un regime subsonico ad uno supersonico. 

Il legame tra i Mach risulta infine: 

M 

noto il Mach di monte esiste un valore 

preciso di Mach per la condizione di valle. 

Per ricavare le altre relazioni si rielabora l’espressione 

Quindi utilizzando la continuità: 

* 

M 1 ⇒ M > 1 mentre M < 1 ⇒ M < 1 

* 

γ − 1 2 

1+ 

M1 

= 2 

2 γ 1 

γM1 

− 

2 

2 

2 − 

> * 

* 

ρ 

ρ 

2 

1 

u 

= 

u 

1 

2 

= 

2 ( γ + 1) 

M1 

2 ( γ − 1) 

M + 2 

1 

u 

u 

2 

1 u1 

⋅u1 

u1 

2 

= = = M 2 * 1 

2 u2 

⋅u1 

a* 





27 



Utilizzando l’equazione di bilancio della quantità di moto: 

e quindi 

Ricordando che a = γ p / ρ si ricava l’intensità dell’onda d’urto 

La temperatura totale si conserva e quindi: 

T 

T 

2 

1 

T 

= 

T 

2 

o 

T 

⋅ 

T 

o 

1 

γ − 1 

1+ 

M 

= 2 

γ − 1 

1+ 

M 

2 

2 

1 

1 

2 

1 

2 

2 

da cui, ricavando M2 

2 

1 

1 

( u u ) 

p − p = ρ u − ρ u = ρ u − 

2 

1 

2 

2 

p 

2 

− p 

p 

1 

1 

2 

1 

ρu 

= 

p 

1 

⎛ u 

⎜1 

− 

⎝ u 

2 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 

( M 1) 

p2 − p1 

∆p 

2γ 

2 

= = 

1 − 

p1 

p1 

γ + 1 

2 

T2 2( 

γ − 1) 

γM1 

+ 1 2 

= 

1+ 

( M1 

− 1) 

2 

T ( γ + 1) 

M 

1 

2 

1 





28 

Realizzabilità e Urti Retti 

1 

TdS = dh − dp 

ρ 


Le soluzioni ammissibili e non banali della relazione di Prandtl-Meyer sono 

di duplice natura in termini di regime di flusso. Per verificare se sono 

entrambe ammissibili si deve considerare la variazione di entropia: 

e quindi 

1 γR 

1 

TdS = cpdT 

− dp = dT − dp 

ρ γ − 1 ρ 

Integrando la relazione e ricordando che l’entalpia totale si conserva si 

ottiene: 

⎛ γ 

γ ⎞ 

∆S 

⎛T 

= log⎜ 

R ⎝ T 

2 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

γ 

γ−1 

⎛ p 

− log⎜ 

⎝ p 

2 

1 

⎜ ⎛ T2 

⎜ ⎜ 

⎞ 

⎜ ⎝To 

⎟ = log 

⎠ ⎜ 

⎜ 

⎝ 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

∆S 

⎛ p 

= −log⎜ 

R ⎝ p 

γ−1 

o2 

o1 

dS 

⎛To 

⋅⎜ 

⎝ T 

p2 

p 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 

1 

1 

γR 

dT 1 dp 

= − 

γ − 1 T ρ T 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

γ−1 

⎟ ⎛ p 

⎟ ⎜ 

⎟ = ⎜ p 

log 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎝ 

⎠ 

2 

o2 

p 

⋅ 

p 

p2 

p 

1 

01 

1 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 





29 



L’entropia varia tra i due stati in funzione della variazione della pressione 

totale, stante il fatto che la temperatura totale rimane invariata. Attraverso 

l’urto si può quindi esprimere la variazione di entropia tramite il solo Mach 

di monte con le relazioni ricavate: 

p 

p 

o2 

o1 

= 

Si verifica che: 

po2 

p2 

p1 

⋅ ⋅ 

{ 

p2 

{ 

p1 

p 

{ o1 

funzione di M 2 e 

qundi dalle 

relazioni 

deg li urti di M 

M 

M 

1 

1 

1 

∆S 

= 

R 

dipende 

dall'int 

ensità 

dell'urto 

( 1) 

M f 

funzione 

del Mach 

dim onteM 

1 

> 1 ⇒ po2 

< po1 

⇒ ∆S 

> 0 Unica soluzione soluzione possibile 

< 1 ⇒ p 

< 0 

o2 

o1 

∆S 

R 

Fluidodinamica 

M




30 



Esempi di urti retti si trovano 

comunemente in regime di flusso 

supersonico. Infatti in tale condizione per 

M>1 le informazioni di pressione non 

possono propagarsi da valle contro la 

direzione del moto. Un flusso supersonico 

non può avvertire la presenza di oggetti o 

la pressione esistente a valle. Pertanto il 

moto a M>1 non è detto che possa 

sempre soddisfare le condizioni al 

contorno di valle con la condizione di 

flusso isentropico. Il moto quindi è 

costretto a cambiare regime attraverso 

una soluzione discontinua e non 

isentropica: l’onda d’urto. 

A valle dell’urto retto il regime di flusso è 

subsonico consente al moto fluido di 

adeguarsi alle reali condizioni di pressione 

imposte. 


p 



2 

2 ∂p 

γp 

da 

a = γRT 

= = ⇒ 2 

∂ρ 

s ρ a 


31 

Perché si formano gli Urti Retti 

= 

dp 

p 

2 

da 

2 

a 

= 

dρ 

− 

ρ 

dp 

p 

1 

− 

γ 

dp 

p 

x 

p 

ρ γ − 

γ − 1 dp 

= 

γ p 


= cost 

⇒ 

dp 

p 

dρ 

dρ 

1 dp 

− γ = 0 ⇒ = 

ρ ρ γ p 

I differenziale di p e a hanno lo stesso segno. Si verifica quindi che le particelle 

di fluido a pressione maggiore hanno una velocità di propagazione nel mezzo 

maggiore. Se le differenze di pressione sono sensibili tale effetto si manifesta 

apprezzabilmente rendendo i gradienti sempre più ripidi fino alla condizione 

limite rappresentata dall’onda d’urto. 





32 

Tabelle per gli Urti Retti 






33 


Esempio 2.7 Una sonda di pressione totale è inserita in un flusso di aria supersonico. 

Un urto normale si forma appena a monte della presa di pressionecome 

illustrato in figura. La sonda misura una pressione totale di413.7kPa, la 

temperatura totale alla testa della sonda è pari a 555K e la pressione 

statica a monte dell’urto pari 82.7 kPa. Si determini il Mach e la 

Velocità del flusso. 

Soluzione 

Nelle ipotesi di flusso isoentropico eccetto 

attraverso l’urto e trattando lo stesso come 

normale, si ha formula chiamata del tubo di 

Rayleigh-Pitot: 

2 k ( k − 1 ) 

{ [ ( k + 1) 

/ 2 ] Ma x } 

2 

[ 2 k / ( k + 1) 

] Ma − [ ( k − 1)( 

k + 1) 

] 

p 0, 

y 

0 , y 

= = 5 Max 

= 1. 

87 

k 

p 

x 

{ } 1 

x 

( ) 1 − 

p 

p 

x 





34 


0 

Per quanto riguarda la temperatura si ha: = T = 555 Ke 

per il 

flusso a monte dell’urto si ha: 

e quindi : 

T 

T 

Vx = 

Maxcx 

x 

0, 

x 

T 0 x 0 y 

= 0 . 58845 T = 327 

x 

= 1 . 87 1. 

4⋅ 

287⋅ 

327 = 678m 

/ s 

0 

K

Moto Monodimensionale di Fluidi Comprimibili – Area Costante

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