Cap 2.1 Flussi Comprimibili Termodinamica - Dipartimento di ...

UNIVERSITA’ DI FIRENZE 

Facoltà di Ingegneria 

Fig 1a 

Fig 1B 

Moti 1D Comprimibili- Termodinamica 1 

Dipartimento di Energetica - S.Stecco 

Moto Moto Monodimensionale in in Condotti Condotti 

Fluido Comprimibile - Teoria 

Fig. 1A 

Fluidodinamica



Modello di Fluido 

Incomprimibile 

Modello di Fluido 

Comprimibile 



Il modello di fluido incomprimibile e con viscosità nulla è 

molto semplificato ma, comunque risulta sufficiente alla 

descrizione di molti fenomeni di esperienza comune ed in 

molte applicazioni tecniche. 

D’altra parte la comprimibilità è una caratteristica del 

fluido che assume importanza fondamentale (tale da 

rendere inadeguato il modello di fluido comprimibile) in 

molte delle applicazioni ingegneristiche della 

fluidodinamica. 

Esempi 

•flussi ad alta velocità 

• Il flusso nelle palettature delle turbomacchine 

(Turbine/Compressori) 

• Applicazioni Aeronautiche dove la velocità di volo sono 

tali da rendere importante la comprimibilità del fluido 






L’attendibilità e quindi il dominio di applicazione dell’uno o dell’altro modello 

dipende: 

- in primo luogo dal tipo di fluido riguardo al suo modulo di Comprimibilità E già 

visto: 

dρ 

E ρ dp 

⋅ 

1 

= 1 

Per i liquidi E è molto grande valori dell’ordine di 109 e si può assumere come 

equazione di stato del fluido: ρ = cost 

Vapori e gas sono molto più comprimibili ed E presenta valori dell’ordine di 105 per 

cui si deve assumere una equazione di stato che leghi pressione e densità. 

Generalmente si considera il gas come ideale data la semplicità ed il notevole campo 

di validità di questa ipotesi per cui : p = ρRT 

- 

in secondo luogo dalla velocità 

del flusso 






La trattazione successiva riguarderà un approccio semplificato per lo studio dei flussi 

comprimibili secondo le seguenti IPOTESI : 

∂ 

• Stazionarietà = 0 

∂ t 

• Flusso Monodimensionale Le proprietà del flusso (p, ρ, u ) si considerano 

costanti su una stessa sezione definita dalla coordinata di riferimento x 

• Comportamento del fluido come Gas Ideale 




Equazione dei 


Alcuni Remind su Gas Perfetti 

p = ρRT 


La costante R e quella del gas definita come il rapporto fra la costante universale dei 

gas Ru=8314.3 J/(Kmol °K) e la massa molecolare del gas : 

R = 

Energia Interna 

Per un gas ideale l’energia interna, e, è funzione della 

sola temperatura : 

c 

v 

⎛ ∂e 

⎞ de 

= ⎜ ⎟ = 

e2 

− e1 

= ∫ cvdT 

⎝ ∂T 

⎠ dT 

T1 

v 

Assumendo cv costante (tale assunzione resta valida per moderate variazioni di 

temperatura; per un gas reale cv=f(T)) si può facilmente calcolare la variazione di 

energia interna associata al flusso di un gas ideale fra le sezioni 1 e 2: 

T 

2 

2 

1 

(1) 

(2) 

( T T ) 

e − e = cv 

− 

2 

Fluidodinamica 

1 

R 

M 

u



Entalpia 



Considerando le relazioni di stato e dell’energia interna per un gas ideale anche l’entalpia 

risulta funzione della sola temperatura ed analogamente si hanno: 

(3) 

c 

p 

h = e + 

2 

⎛ ∂h 

⎞ dh 

= ⎜ ⎟ = 

h2 

− h1 

= ∫ c pdT 

⎝ ∂T 

⎠ dT 

T 

Posto c p 

p 

p 

ρ 

costante (per un gas reale c p 

Relazioni utili per la determinazione dei calori specifici c v, c p 

T 

1 

=f(T)) : h − h = c p ( T −T 

) 

Si ottengono sostituendo la definizione di gas ideale in quella dell’entalpia, 

differenziando e sostituendo le 1 e 2 : 

R γ 

R 

c 

c p − c v = R ; c p = ; c v = ; γ = 

γ − 1 

γ − 1 c 

: 

2 

h = 

e + 

1 

p 

v 

2 


RT 

(4) 

1

Entropia 





Per flussi comprimibili le variazioni di entropia sono importanti. Considerando l’equazioni 

combinate del I & II principio per un gas ideale scritto in forma di equazione T ds 

(Eq, di Gibs) : 

Tds dh − 

dp 

ρ 

Utilizzando le relazioni 1,3 e 4 si ha: 

Ed analogamente : 

= (5) 

T 

2 

s2 −s1 

= cv 

ln − 

T1 

T 

2 

s2 − s1 

= cp 

ln − 

T1 

ρ2 

Rln 

ρ 

1 

p 

Rln 

p 

Le ultime due relazioni consentono di calcolare la variazione di entropia per la 

trasformazione subita da un gas ideale che fluisce da una sezione 1 ad una sezione 2 

con calori specifici cv, cp costanti. 

2 

1 




Se il flusso è 

adiabatico e senza attriti (ovvero reversibile e cioè 



= 0 ; s 2 − s 1 

isoentropico) vale: 

Ed utilizzando equazione di stato del gas ideale si può scrivere nelle seguenti forme 

equivalenti: 

ds 

Per cui ponendo ds=0 nella (5) ed utilizzando le relazioni dei calori specifici per un gas 

ideale si ottiene la legge per le trasformazioni isoentropiche : 

⎛ T 

⎜ 

⎝ T 

2 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

p 

γ 

ρ 

γ 

γ −1 

= 

cos 

γ 

⎛ ρ ⎞ 2 = ⎜ 

⎟ 

⎝ ρ1 

⎠ 

t 

⎛ p 

= ⎜ 

⎝ p 

2 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 

0 

(6) 






Esempio 2.1 In un condotto rettilineo a sezione circolare costante, diametro 0.1 m, 

scorre aria. I valori temperatura uniformi alla sezione 1 e 2 valgono: 

T1=300 K, p1=689 kPa; T2=250 K °C, p2=127 kPa. Calcolare: la 

variazione di energia interna, di entalpia, di densità e di entropia fra le 

sezioni 1 e 2 di figura. 

Soluzione 

Assumendo l’aria un gas ideale si ha: 

Energia interna 

Entalpia 

cp v 

( T T ) ( ) kJ 

2 − 1 = −717. 

5 300 − 250 = −35. 

kg 

e − e = cv 

87 

2 

° 

= γc 

= 1. 

4⋅717. 

5 = 1004. 

5J 

/ kg K 

1 

R 287 

= = = 717 . 5 

γ − 1 1 . 4 − 1 

J 

kg 

c v ° 

( T T ) ( ) kJ 

2 − 1 = −1004. 

5 300 − 250 = −50. 

kg 

h − 

h = c p 52 

2 

1 


K

Densità 



p2 

ρ2 

− ρ1 

= 

RT 


2 

p1 

− 

RT 

Quindi la variazione di densità e molto importante 

infatti: 

Δρ 

Entropia 

ρ − ρ 

ρ 

1 2 

( % ) = ⋅100 

= 6. 

22 / 8⋅100 

= 78% 

1 

1 

= 

( 1. 

77 − 8) 

= −6. 

22 3 

T2 

p2 

− s1 

= c ln − R ln = 301J 

/ kg 

T p 

s2 p 

1 

1 

° 


K 

kg 

m 






Velocità del Suono e Numero di Mach 

Il numero di Mach è definito come il rapporto fra il valore locale della velocità del flusso 

e il valore locale della velocità del suono: 

u 

Per chiarire il concetto di velocità del suono si 

consideri la seguente figura, che rappresenta lo 

schema del moto di un’onda di pressione e la 

linea tratteggiata il volume di controllo che al 

contiene: 

M = 

Il fluido fermo attraversato dall’onda di pressione cambia le sue proprietà di una quantità 

infinitesima come riportato in figura; la velocità c, della perturbazione si considera 

costante. Considerando un osservatore in moto con il volume di controllo rappresentato 

in figura si può scrivere: 

• Equazione di Continuità 

• Equazione della quantità 

di Moto 

( ρ + δρ) 

A( 

c u) 

ρAc = 

−δ 

( c −δu 

)( ρ + δρ)( 

c −δu 

) A = pA − ( p p)A 

− cρ cA + 

+ δ 

c 

ρδu = cδρ 

δp 

ρδ u = 

c 


− cρc 

− cρc 

2 

2 

+ 

+ 





Velocità del Suono e Numero di Mach 

( c −δu 

)( ρ + δρ)( 

c −δu 

) = p − ( p + δp) 

( )( 2 

2 

ρ + δρ c − 2cδu 

+ δu 

) 

2 

− 2cρδu 

+ c δρ = −δp 

Ma dalla Equazione di Continuità 

= −cρc 

δp 

⇒ + cδρ 

= 2ρδu 

c 

2 

ρδu = cδρ 

δp 

+ cδρ 

= 2ρδu 

c 

δp 

⇒ + cδρ 

= 2cδρ 

c 

δp 

= cδρ 

c 

2 δp 

c = 

δρ 

+ cρc 

= −δp 

Combinate insieme danno il valore della velocità 

della perturbazione: 

2 

− 2cρδu 

+ δρc 

c = 

2 

δ p 

δρ 






Usualmente questa velocità detta del suono viene indicata con a: 

⎛ ∂ p ⎞ 

Nelle ipotesi di fenomeno isoentropico il δp→∂p e quindi : a = ⎜ ⎟ 

⎝ ∂ ρ ⎠ s 

Inoltre poiché trattiamo un gas ideale vale la legge (5) per le trasformazioni isoentropiche 

e perciò: 

∂ p ⎞ 

γ − 1 p γ − 1 

= Cost ⋅ γ ⋅ ρ = γρ = γ RT 

γ 

ρ 

ρ 

In definitiva per un gas ideale : 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

∂ 

F 

F 

⎟ 

⎠ 

s 

a = 

γRT 

(7) 

Riprendendo la definizione del modulo di elasticità data all’inizio si ha : a = 

E 

ρ 

Il numero di Mach rappresenta la radice quadrata del rapporto fra fra 

le forze d’inerzia d inerzia e le 

forze elastiche valutando così cos l’importanza importanza degli effetti della comprimibilità, comprimibilit , infatti : 

ρ L 

Esempio 2.2 Calcolo della velocità 

u 

ρ u 

3 

i 

e 

= 

ma 

2 

EL 

= τ 

2 

EL 

= τ 

E 

= 

2 

u 

E 

= 

L 

ρ 

M 

2 

del suono per l’aria alla temperatura di 0 °C 

a = γRT 

= 1 . 4 ⋅ 287 ⋅ 273 = 331m 

/ 

s 


• 

• 

• 

• 




Significato fisico della velocità 


del suono 

La velocità del suono rappresenta la velocità alla quale si propagano le 

perturbazioni in un mezzo, liquido, gassoso, o solido che sia. La definizione data 

e la relativa espressione è valida del per un gas perfetto, ma è teoricamente 

estendibile ad ogni caso. 

Se un campo di moto, od un fluido in quiete, è perturbato, il sistema risentirà 

della perturbazione non istantaneamente dappertutto, ma sarà necessario attendere 

un certo tempo affinché la perturbazione raggiunga tutti i punti del dominio ad 

una distanza L. 

Per percorrere la distanza L il segnale impiega un tempo t=L/a 

Supponiamo una sorgente emettitrice in moto con velovcità V 




La discussione sulla base della figura a destra 

suggerisce la seguente distinzione fra le diverse 

situazioni di flusso: 

a) Assenza di Flusso: la perturbazione raggiunge 

uniformemente tutto lo spazio 

b) 

c) 

d) 

Esempi 

Flussi subsonici : V < a nei moti subsonici la 

propagazione delle perturbazioni avviene sia 

verso monte che verso valle. 

Flussi Sonici : V= a, esiste un fronte che separa 

zona del silenzio e zona interessata dalla 

perturbazione 

Flussi supersonici : V > a in essi informazioni 

(perturbazioni di pressione) non possono risalire a 

monte.Zona del silenzio caratterizzata da un 

a 1 

angolo ALFA : sin α 

= = 

u M 






In considerazione del rapporto fra la velocità 

Numero di Mach 


: 

M = 

u 

a 

Il Numero di Mach 


del flusso e la locale velocità del suono detto 

si possono definire le seguenti categorie di flussi, anche in considerazione del fatto che 

esso rappresenta anche il rapporto fra la velocità del flusso e la deformabilità del fluido : 

E 

• Flussi incomprimibili : M < 0.3 

a = 

ρ 

• Flussi comprimibili subsonici : 0.3 < M< 1 nei moti subsonici la propagazione delle 

perturbazioni avviene sia verso monte che verso valle. 

• Flussi comprimibili supersonici : M > 1 in essi informazioni (perturbazioni di 

pressione) non possono risalire a monte. 

• Inoltre altre due categorie sono comunemente considerate quelle dei flussi transonici 

0.9





I moderni aerei sia per aviazione civile che militare sono spinti ad motori a reazione con 

turbina a gas e molti modelli volano in regimi di moto transonico. 

Un esempio di moto ipersonico è 

Esempio 2.3 

Soluzione 

−1 

z 

α = tan = tan 

x 

−1 

sin α = 0. 

667 ⇒ 

dato dal rientro nell’atmosfera di uno Space Shuttle 

Un aereo vola alla quota di 1000 m ed a Mach 1.5. Calcolare il tempo 

che trascorre fra il momento in cui l’aereo passa sulla verticale relativa 

ad un osservatore a terra ed il momento in cui l’osservatore stesso sente 

il rumore dell’aereo. T=20 °C 

−1 

1000 

; 

V ⋅ t 

α = 42 

0 

sin 

−1 

1000 

tanα = . 8944 ⇒ x = = 1118. 

m = V ⋅t 

. 8944 

α = 

1 

M 

= 

1 

1. 

5 

V = M ⋅a 

= 1 . 5⋅ 

1. 

4⋅ 

287⋅ 

293 = 1.5⋅ 

343 ⇒ V = 515m 

/ s 

1118 

x 

= 1118 . m = V ⋅t 

⇒ t = = 

515 

2. 

17sec 





Stati di Ristagno (o di Arresto) 


Per il I principio della Termodinamica in assenza di scambi di calore e di lavoro e con 

variazioni di energia potenziale nulla si vede come l’entalpia totale h0 coincide con il 

valore dell’entalpia che avrebbe il fluido se fosse arrestato con un processo adiabatico. 

2 

u 

Entalpia di ristagno : h 0 = h + 

2 

2 

u 

Temperatura totale : Dalla precedente si ha che T0 

= T + 

2c 

e tenendo conto 

p 

T 

della (7) e della seconda delle (4) si ottiene: 

0 γ − 1 2 

= 1 + M 

T 2 

per cui il rapporto fra temperatura totale e statica è funzione del numero di Mach e del 

rapporto γ dei calori specifici. 

Pressione di Ristagno : valore della pressione cui il fluido si porterebbe se a partire dalle 

condizioni locali fosse portato con un processo isoentropico fino allo stato di velocità 

nulla. Quindi considerando la (6) e la precedente si ha: 


p 

p 

0 



⎛ γ − 1 

= ⎜1 

+ M 

⎝ 2 


2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

γ 

γ −1 

Rappresentazione su un diagramma T - s di 

Temperatura e pressione di ristagno e statiche: 

Analogamente per la Densità di Ristagno : 

ρ 0 ⎛ γ − 1 

= ⎜1 

+ M 

ρ ⎝ 2 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 

γ −1 


Pressione di Ristagno : valore della pressione cui il fluido si porterebbe se a partire dalle 

condizioni locali fosse portato con un processo isoentropico fino allo stato di velocità 

nulla. Quindi considerando la (6) e la precedente si ha: 

NOTA : si ricordi che: 

Temperatura di Ristagno : Trasformazioni Adiabatiche 

Pressione/Densità Pressione/Densit di Ristagno : Trasformazioni Isoentropiche 






Temperatura di Ristagno : Trasformazioni Adiabatiche 

Pressione di Ristagno : Trasformazioni Isoentropiche 

La pressione 

totale 

T 2 

è 

sensore 

2 

2 

s2 − s1 

= cp 

ln − Rln 

= cp 

T1 

p1 

Δs 

p 

= −ln 

R p 

p 2 

dell’Entropia 

p 02 

02 

01 

T 

Δp 

≅ 

p 

0 

01 

p 

T 

ln 

T 

0 

02 

01 

p 

− Rln 

p 

Δp 

= p − 

01 

p 

02 

01 

02 






Se gli stati di ristagno sono quelli corrispondenti al valore nullo del numero di Mach a 

valori unitari dello stesso corrispondono i cosiddetti stati critici. 

Per cui ponendo M = 1 nelle precedenti si ha ( a lato si riportano i valori del rapporto 

valori totali e critici per l’aria γ=1.4) : 

p 

p 

T 

T 

∗ 

0 

0 

∗ 

γ /( γ −1 

) 

⎛ 2 ⎞ ⎛ p 

= ⎜ ⎟ 

1 

⎜ 

⎝ γ + ⎠ ⎝ p 

= 

⎛ 2 ⎞ ⎛ T 

⎜ ⎟ 

1 ⎜ 

⎝ γ + ⎠ ⎝ T 

Stati di Ristagno o Totali 

Stati Critici 

0 

∗ 

∗ 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

γ = 1 . 4 

γ = 1 

. 4 

= 

= 

0 . 528 

0 

ρ 

ρ 

. 833 

∗ 

0 

= 

⎛ 2 

⎜ 

⎝ γ + 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 

γ − 1 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

ρ 

ρ 

∗ 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

γ = 1 

. 4 

= 


0 . 634




Tabelle relazioni isentropiche 





Moto Monodimensionale - Comprimibile 

Un flusso si può considerare monodimensionale quando: 

• è 

• è 

possibile identificare una componente di moto principale; 

possibile, con buona approssimazione definire quantità 



medie sulla sezione ; 

• Le disuniformità trasversali sono modeste rispetto al moto principale ( Raggi di 

curvatura asse condotto grandi rispetto diametro condotto); 

•Si considerino allora le tre Eq. Di Bilancio viste per Incomprimibile che si modificano 

per considerare che ρ non è Costante : 

Bilancio Massa: 

Bilancio di Quantità di Moto 

Bilancio di Energia 





Il bilancio di massa 


Ripetendo le considerazioni fatte nel caso incomprimibile per la sezione infinitesima 

di condotto di lunghezza ds, si ha che la conservazione della massa stabilisce: per un 

sistema aperto, in condizioni stazionarie in un intervallo di tempo unitario la massa 

entrante nella sezione s dovrà essere uguale a quella uscente dalla sezione s+ds. 

U 

U+dU 

( ρAU 

) s = ( ρAU 

) s+ 

ds 

( ρAU 

) = ( ρAU 

) 

∂ 

s+ 

ds 

( ρAU 

) 

∂s 

s 

+ 

∂ 

( ρAU 

) 

ds 

∂s 

= 0 ⇒ ρAU 

= cost 

Nel caso di flusso comprimibile, essendo la densità può variare qiondi l’espressione 

non può essere semplificata. Se poi il condotto è anche a sezione è costante si ha 

ρU=cost 

NOTA: La costante è 

spesso l’incognita 

s 

(1) 





Il bilancio di quantità di moto (1) 


Consideriamo come volume di controllo una sezione infinitesima di condotto di 

lunghezza ds. Per la seconda legge della dinamica e in condizioni di moto 

permanente la risultante delle forze esterne agenti sul volume di controllo dovrà 

essere uguale alla variazione della quantità di moto. 

Consideriamo quindi tutte le forze esterne agenti sul vol. di controllo: 

vU 

1 

τ 

τ 

ρgdV 

2 

θ 

U+dU 

s 

Azioni di pressione sulle sup. 1 e 2 

dF 

1 

= 

( pA) 

− ( pA) 

= ( pA) 

− ( pA) 

1 

2 

1 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 

d 

+ 

ds 

( pA) 

⎤ d( 

pA) 

ds = − ds 

Azioni di pressione sulle sup. laterali (in dir. s) 

⎛ dp ⎞ 

dA 

dF 2 = ⎜ p + ⎟dA 

= pdA = p ds 

⎝ 2 ⎠ 

ds 

Azioni di attrito sulle sup. laterali 

= −τ 

⋅ S = −τ 

⋅ C ds = − 

( ) ( ) Dds 

dF3 l 

l 

Sl= superfice laterale del volume di controllo= 

D = Sforzo di taglio risultante 

1 

⎥ 

⎦ 


ds 

Cl(perimetro)ds 1






Forza peso (proiezione lungo s) 

⎛ dA ⎞ 

⎛ dA ⎞ 

dz 

dF4 = −ρgdV 

sin( θ ) = −ρg⎜ 

A + ⎟ds 

⋅sin( 

θ ) = −ρg⎜ 

A + ⎟dz 

= −ρgAdz 

= −ρgA 

⎝ 2 ⎠ 

⎝ 2 ⎠ 

ds 

Variazione QdM 

ΔQdM 

= 

ΔQdM 

= 

dU 

ds 

dU 

ds 

( ρ AU ) U − ( ρAU 

) U = ( ρAU 

) ⎜U 

+ ds −U 

⎟ = ( ρAU 

) ds 

2 

1 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 

2 

( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ρ AU U − ρAU 

U = ⎜ ρAU 

+ ds − ρAU 

⎟ = ds 

2 

1 

Bilancio di quantità di moto 

2 ( ρAU 

) dU 

ds = ( AU ) ds = dF1 

+ dF2 

+ dF3 

dF4 

d 

ΔQdM = 

ρ 

+ 

ds 

ds 

1 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 

d 

1 

1 

ρAU 

ds 

2 

1 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 

d 

ρAU 

ds 

2 

1 


ds



Variazione QdM 

d 

( 2 

ρAU 

) ds = ( ρAU 

) 

ds 

1 



dU 

ds 

1 

ds 

dA p+ 

ρ 

2 

( U ) 

ds 

( pA) 

d 

= − 

ds 

1 

ds + 


p 

dA 

ds 

ds − Dds − ρgA 

dz dA 

= −gρ 

⋅ A + p −D 

ds ds 

dz 

ds 

ds 







Semplificando, tenuto conto della Continuità e dividendo tutto per ρA 

dU dz 1 dp 

U ⋅ = −g 

⋅ − ⋅ − D/( 

ρA) 

ds ds ρ ds 

U 

2g 

2 

2 

2 

U1 

− 

2g 

+ 

( z2 

− z1) 

+ ∫ = −∫ 

2 

1 

dp 

ρg 

Integrando fra due sezioni, diviso x g 

2 

1 

D 

ρgA 

Si noti che ora l’integrale di non è automatico ma dipende dal legame p e ρ. 

La forma più utile nel comprimibile, trascurando la quota è: 

2 

dA( 

ρu 

+ p) 

dA 

= p − D 

ds ds 

ds 

(2) 






Il bilancio di Energia (1) 

Consideriamo come volume di controllo una sezione infinitesima di condotto di 

lunghezza ds. Per la prima legge della termodinamica e in condizioni di moto 

permanente il flusso di energia interna dovrà uguagliare il calore scambiato ed il 

lavoro fatto sul siatema: Si noti che le forze di attrito non compiono lavoro 

agendo su pareti fisse, pertanto ler uniche forze che compiono lavoro 

sono le pressioni in/out 

vU 

1 

τ 

τ 

ρgdV 

2 

θ 

U+dU 

s 

Energia del sistema Sotto forma di 

Energia Interna = e 

Cinetica U2 /2; 

Potenziale gz 

(U2 /2 +e+gz) 1 -(U2 /2 +e+gz) 2 

Lavoro delle pressioni 

dL p 

⎛ d( 

pdV ) ⎞ ⎛ d( 

pdV ) ⎞ 

= ( pdV ) 1 − ⎜( 

pdV ) 1 + ds⎟ 

= −⎜ 

⎟ds ⎝ 

ds ⎠ ⎝ ds ⎠ 




•Bilancio di Energia (2) 

•Variazione dell’Energia nell’Unità di tempo 

2 

d ( e + U / 2 + 

( UAρ 

) 

ds 

gz ) 

•Lavoro forze pressione per unità 

dW 

p 


di tempo 


•Bilancio Energia: Ripetendo esattamente le considerazioni del caso incomprimibile per la 1 

legge della termodinamica e detto δ 

Q il calore scambiato nell’unità di tempio si ha: 

•si ha la forma differenziale : 

ds 

dLp 

⎛ d( 

p / ρ) 

⎞ 

= = −⎜ 

( ρUA) 

⎟ds dt ⎝ ds ⎠ 

• 

• 

d E = δ Q+ 

= 

• 

dW 

d 

p 

• 

E 

2 

d ( e + p / ρ + U / 2 + gz ) 

= 

ds 

d q 

ds 




•Bilancio Energia (3): 

•Si noti che q è il calore scambiato per unità 


di massa 


•La Presenza di dispositivi per la cessione/estrazione di Energia; Il procedimento Rimane valido: 

ma si aggiunge un termine rappresentativo : ovvero il Δh; nella formulazione Integrata: 

2 

( e + p / ρ + u / 2 + gz ) = ( e + p / ρ + u 

( h + 

u 

2 

/ 

•Se il calore scambiato è fornito in potenza termica per unità di lunghezza: si ricordi 

che Δq dovrà 

2 

+ 

gz ) 

2 

essere calcolato : 

2 

= ( h + u 

2 

/ 

2 

+ 

gz ) 

⎛ dQ& 

⎞ 

Δq 

= ⎜ Δs 

/( ρuA) 

ds ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 

2 

/ 

2 

+ 

+ Δq 

+ Δh 

gz ) 

p / T 

1 

+ Δq 

+ Δh 

dQ ds 

& 

p / T 




•Bilancio di Energia (4) 



•Una interessante formulazione nel caso Adiabatico :q=0 , e trascurando le quote è: 

d ( e + p / ρ + U 

ds 

h 

= 

c 

p 

⋅T 

; 

a 

2 

2 

/ 

= γ ⋅ R ⋅T 

2) 

2 

; 

= 

h 

= 

0 

c 

p 

2 

2 

a 

⋅ 

γ ⋅ R 

= a 

2 

0 

a 

u a 

+ = 

( γ −1) 2 ( γ − 

2 

⋅ 

1) 

c 

p 

γ ⋅ R 

2 

u 

h + = 

2 

= 

2 

a 

γ −1 

h 

0 






•Considerazioni sulla effetto di quota nei fluidi comprimibile a bassa densità , rispetto ai 

cosidetti fluidi pesanti 

•Si consideri un flusso ad area costante senza attrito con dislivello di Z 

a) 

b) 

( ρu) 

= Costante 

2 

2 

( ρu 

+ p + gzρ) 

= ( ρu 

+ p 

) 

0 

2 

2 

( h+ u / 2+ 

gz) 

= K1 

e + p / ρ + U / 2 + gz = K1 

ρ 

2 

2 

e + p + ρu 

/ 2 + ρgz 

= ( ρu 

/ 2 + p 

Sottrando alla (a) la (b) si ha 

2 

ρ u / 2 − ρ ⋅ e = ( ρu 

2 

/ 

2) 

0 

ERRATA DA RIVEDERE 

) 

0 








•Si consideri un flusso ad area costante senza attrito con dislivello di 10 m 

2 

ρ u / 2 − ρ ⋅ e = ( ρu 

2ρe 

+ 

2c 

v 

( T 

p 

− 

− T 

0 

p 

0 

+ ρgz 

2 

) + R( 

T − 

= 

/ 

2) 

0 

( Tρ 

) 

ρ 

) 

≈ 

ρ 

( p − p0 

) 

0 ⇒ 2e 

+ 

ρ 

0 

2c 

2 

2 

e + p + ρu 

/ 2 + ρgz 

= ρu 

/ 2 − ρ ⋅ e + p0 

v 

( T 

− T 

0 

+ 

gz 

= 

0 

) + R( 

T − T 

2 0 

cv ( T − T0 

) + ( c p − cv 

) ⋅ ( T − T0 

) = ( c p + cv 

)( T − T ) = 

( T − T0 

) 

= 


− 

( c 

p 

gz 

+ c 

v 

) 

= 

− 

c 

v 

gz 

( γ + 

1) 

0 

) 

= 

− gz 

− gz 




•Introducendo valori reali: 

Δz 

Δz 

•Le corrispondenti variazioni di Densità/Pressione sarebbero : 

•Per 

•Per 

= 10 

= 100 

Δz 

= 10 m 

Δz 

= 100 m 

m 

m 

T 

T 

; ( T 

; ( T 

ΔΔz =10 m → ΔΔ p ≈63,30 Pa ≈ 

ΔΔz =100 m → ΔΔ p ≈663, Pa ≈ 

•Effetti sulle velocità 

0 

T 

; 

T 

− T 

R 

) = − 

trascurabili per velocità 


0 

− T 

0 

= 0, 

99981 ⇒ 

0 

) 

= 0, 

9981 ⇒ 

= − 

p 

p 

0 

p 

p 

0 


= 287 . c = 717 . 5 c = 1004 . 5 ( γ + 1) 

= 

717 . 5 

98. 

1 

⋅ 

717 . 5 

981 

⋅ 

= 0, 

9993 ⇒ 

= 0, 

9934 ⇒ 

v 

( 2. 

4) 

( 2. 

4) 

ρ 

ρ 

0 

ρ 

ρ 


0 

= 

= 

= 

= − 

0, 

57 

6 mm H2O → ΔΔρρ /ρρ≈0,047% 

66 mm H2O →Δρ Δρ /ρρ ≈ 

p 

−0, 

057 K 

0, 

9995 

0, 

9953 

K 

0 

0 

⇒ 

⇒ 

T 

T 

0 

T 

T 

0 

= 

= 

0,47% 

0, 

99981 

0, 

9981 

2. 

4 

anche basse e comunque non legate alle velocita iniziali 




•Introducendo valori reali: 

Δz 

= 10 m 

Δz 

= 100 m 

•Le corrispondenti variazioni di Densità/Pressione sarebbero : 

•Per 

•Per 

T 

T 

T 

; 

T 

2 

0, 

99981 

0, 

9981 

ΔΔz =10 m → ΔΔ p ≈63,30 Pa ≈ 

ΔΔz =100 m → ΔΔ p ≈663, Pa ≈ 

•Effetti sulle velocità 

0 

= 

0 

= 

⇒ 

⇒ 

p 

p 

trascurabili per velocità 


0 

p 

p 

0 

= 

= 

0, 

9993 

0, 

9934 

⇒ 

⇒ 

ρ 

= 

ρ 

0 

ρ 

ρ 

0 

= 

0, 

9995 

0, 

9953 

( ρu 

+ p + gzρ) 

= ( ρu 

+ p) 


2 


6 mm H2O → ΔΔρρ /ρρ≈0,047% 

0 

66 mm H2O →Δρ Δρ /ρρ ≈ 

0,47% 

anche basse e comunque non legate alle velocita iniziali 








•Si consideri un flusso ad area costante senza attrito con dislivello di 10 m 

a) 

b) 

( ρu) 

= Costante 

2 

2 

( ρu 

+ p + gzρ) 

= ( ρu 

+ p 

) 

0 

2 

2 

( h+ u / 2+ 

gz) 

= K1 

e + p / ρ + U / 2 + gz = K1 

ρ 

2 

2 

e + p + ρu 

/ 2 + ρgz 

= ( ρu 

/ 2 + p 

Sottrando alla (a) la (b) assunte le costanti nulle a z=0 si ha 

2 

ρ u / 2 − ρ ⋅ e = ( ρu 

•Per 


2 

/ 

2) 

ΔΔz =10 m → ΔΔ p ≈100,0 Pa ≈ 

0 

) 

0 

10 mm H2O → ΔΔU ≈13 m/s→ ΔΔT ≈0,09 C° 






•Considerazioni sulla effetto di quota nei fluidi comprimibile a bassa densità,con variazioni 

significative di temperatura (Effetto Camino) 

•Si consideri un condotto ad area costante con attrito con dislivello di H m, come in figura , e si 

suppongano costanti le temperature dei fluidi fuori e dentro il condotto. 

T 0 

H 

P 0 

T 1 

u 1 

Sezione 

Sezione 

0 

1 




•Consideriamo l’equazione del QdM fra sezione 0 ed 1 nel Condotto 

ρ ( u 

1 

2 

p1 

ρ1 

= 

RT 

•Per 

+ p/ 

ρ ) 

1 

1 

p 

1 

0 

= 

= ρ 

ΔΔz =10 m → ΔΔ p ≈100,0 Pa ≈ 


p 

0 

1 

( 2 

2 

( u + p/ 

ρ + gz) 

+ ku ) 

u 

− ρ 

2 

2 

1 

Q& 

1 


P 0 

u 1 p 1 

Q & 

10 mm H2O → ΔΔU ≈13 m/s→ ΔΔT ≈0,09 C° 




2 

d ( h + u / 2) 

= 

ds 

dq 

ds 



•Poiché spesso le variazioni di quota sono modeste , il termine gz:viene gz trascurato nelle 

equazioni: 

d( ρAu) = 0 

( ρAu) 

= Costante 

ds 

2 

dA( 

ρu 

+ p) 

dA 

= p − D 

ds ds 

No Attrito 

Area Costante 

No Scambio Scambio Termico Termico 

( ρu 

2 

( h+u 

+ p) 

= I = Costante 

2 

/ 2) 

= Costante 

2 2 2 

a u a0 

+ = 

( γ −1) 2 ( γ −1)

Cap 2.1 Flussi Comprimibili Termodinamica - Dipartimento di ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?