Fluidodinamica delle Macchine - Dipartimento di Energetica ...

UNIVERSITA’ DI FIRENZE 

Facoltà di Ingegneria 

Lucidi del corso di 

Dipartimento di Energetica – “S.Stecco” 

Fluidodinamica delle Macchine 

Capitolo 4: Flussi viscosi 

Stato Limite 

2010 Fluidodinamica delle Macchine 1



Flussi Viscosi 


• Esempio della Perturbazione singolare 

•Stato Limite Incomprimibile su lastra piana 

•Stato Limite Incomprimibile :Soluzioni Simili 

•Strato Limite in Flussi Interni : equilibrio 

•Soluzioni Approssimate : equazioni Integrali 

•Stato Limite Comprimibile: Modello del Crocco 

•Stato Limite Comprimibile: Analogia termica 

•Stato Limite Transizione 

•Stato Limite Transizione - Separazione 

•Turbolenza e Strato Limite 

•Turbolenza: Modellistica 




Flussi –Viscosi Viscosi- PERTURBAZIONE SINGOLARE 


Perché è Possibile che anche se la viscosità è tendente a zero essa debba non essere 

trascurata in alcune zone del Flusso. 

Lo evidenziamo con una equazione Modello 

La equazione Modello di Navier Stokes 

Soluzioni x epsi variabile 

2 

d u 

ε 2 

dx 

u( 

x) 

= 

+ 

du 

dx 

= 0; 

ε > 0 

[ 1− 

exp( −x 

/ ε )] 

[ 1− 

exp( −1/ 

ε )] 

⎧u( 

0) 

= 0 

⎨ 

⎩u( 

1) 

= 1 

Valutiamo il Passaggio al Limite 

ε0, che corrisponde al passaggio 

da N-S a Eulero 

2010 Fluidodinamica delle Macchine 3 

1,2000 

1,0000 

0,8000 

0,6000 

0,4000 

0,2000 

0,0000 

0,00 0,16 0,32 0,48 0,64 0,80 0,96 

X 

"0,05" 

0,1 

0,2 

0,5



Flussi –Viscosi Viscosi- PERTURBAZIONE SINGOLARE 

du 

{ Soluzione dell’Eq. Di Eulero = 0 ; u( 

1) 

= 1 

dx 


La soluzione N-S tende a quella di Eulero; ma non in Modo 

Uniforme; Analizziamo in prossimità di Zero x = λ ⋅ε 

−λ 

du 1/ 

ε 

= ( 1− 

e ) ; lim = 

ε →0 

− 

dx x= 

0 

( 1− 

e 

limu( x) 

ε →0 

1 

ε 

U può assumere qualunque valore fra zero ed 1 

Si può concludere che anche con Re(1/ε) Re(1/ ) 

Esistono regioni in cui le derivate vanno 


) 

→ 

→ ∞ 

→ ∞ 

∞

∂u 

∂x 

du 

ρ 

dt 



Flussi –Viscosi Viscosi- STRATO LIMITE (Eq ( Eq. . Prandtl) Prandtl 

Flusso Incomprimibile su lastra piana 

∂ v 

+ = 0 

∂y 

U e 

i 


2 2 

∂u 

∂u 

1 ∂p 

μ ⎛ ∂ u ∂ u ⎞ 

u + v = − + ⎜ + ⎟ 

2 2 

∂p 

∂x 

∂y 

ρ ∂x 

ρ ⎝ ∂x 

∂y 

⎠ 

= − + υΔui 

= 0 ⇒ 

∂x 

2 2 

i 

∂ v ∂ v 1 ∂p 

μ ⎛ ∂ v ∂ v ⎞ 

u + v = − + ⎜ + ⎟ 

2 2 

∂x 

∂y 

ρ ∂y 

ρ ⎝ ∂x 

∂y 

⎠ 

y 

L 

δ 


x 

ν 

= 

μ 

ρ




Analisi Ordine di Grandezza dei Termini 

∂u 

∂ v 

+ = 0 

∂x 

∂y 

2 2 

∂u 

∂u 

1 ∂p 

⎛ ∂ u ∂ u ⎞ 

u + v = − + υ ⎜ + ⎟ 

2 2 

∂x 

∂y 

ρ ∂x 

⎝ ∂x 

∂y 

⎠ 

2 2 

∂v 

∂v 

1 ∂p 

⎛ ∂ v ∂ v ⎞ 

u + v = − + υ ⎜ + ⎟ 

2 2 

∂x 

∂y 

ρ ∂y 

⎝ ∂x 

∂y 

⎠ 

∂u 

U 

v = −∫ 

dy ≡ 

∂x 

L 

⋅δ 

∂f 

∂x 

∂f 




Analisi Ordine di Grandezza dei Termini: Eq.in Eq.in 

X 

∂u 

∂v 

+ = 0 

∂x 

∂y 

2 2 

∂u 

∂u 

1 ∂p 

⎛ ∂ u ∂ u ⎞ 

u + v = − + υ ⎜ + ⎟ 

2 2 

∂x 

∂y 

ρ ∂x 

⎝ ∂x 

∂y 

⎠ 

2 2 

∂v 

∂v 

1 ∂p 

⎛ ∂ v ∂ v ⎞ 

u + v = − + υ ⎜ + ⎟ 

2 2 

∂x 

∂y 

ρ ∂y 

⎝ ∂x 

∂y 

⎠ 

Per Non Ricadere nelle 

Eq.di Eulero = 

∂u 

u 

∂x 

∂u 

v 

∂y 


U 

≡ 

L 

U 

≡ 

L 

2 ⎛ ∂ u ⎞ U 

υ ⎜ ≡υ 

2 

x ⎟ 

⎝ ∂ ⎠ L 

2 ⎛ ∂ u ⎞ U 

υ ⎜ ≡υ 

2 

2 

y ⎟ 

⎝ ∂ ⎠ δ 

2 

2 

⎡ ⎛ ∂ u ⎞ U ⎤ ⎡ ∂u 

U ⎤ 2 L ⋅υ 

⎢υ 

⎜ ≡υ 

⎥ = ⎢u 

≡ ⎥ ⇒ δ = 

⎣ y ⎟ 2 

2 

⎝ ∂ ⎠ δ ⎦ ⎣ ∂x 

L ⎦ U 


2 

2 

2





X 

⎡ 2 L ⋅υ 

⎤ ⎡δ 

⎤ υ ⎡δ 

⎤ 

⎢δ 

= 

⎥ 

⇒ 

⎢ ⎥ 

= ; ⇒ 

⎢ ⎥ 

= 

⎣ U ⎦ ⎣ L⎦ 

U ⋅ L ⎣ L⎦ 

2 

2 

∂u 

∂u 

1 ∂p 

⎛ ∂ u ⎞ 

u + v = − + υ ⎜ 

⎟ 2 

∂x 

∂y 

ρ ∂x 

⎝ ∂y 

⎠ 



1 

Re 

Ci consente di quantificare il δ 

Equazione in X





y 

∂v 

∂v 

1 ∂p 

⎛ ∂ 

u + v = − + ν ⎜ 

∂x 

∂y 

ρ ∂y 

⎝ ∂y 

2 v 

2 ⎛ ∂ v ⎞ ⎡ U ⋅ ⎤ 

υ ⎜ 2 

y ⎟ ≡ 

⎢υ 

⋅ 

δ L⎥ 

⎝ ∂ ⎠ ⎣ ⋅ ⎦ 

2 

2 

⎡ U ⋅ ⎤ ⎡U 

⋅δ 

⋅v 

⎤ U ⋅δ 

⎛ 

⎢υ 

⋅ = ⎢ υ = ⋅ 

2 ⎥ 2 ⎜ 

δ L⎥ 

⎣ ⋅ ⎦ ⎣ L ⋅δ 

⋅U 

⎦ L ⎝ 

2 

2 ⎛ ∂ v ⎞ U ⋅δ 

υ ⎜ ≡ 2 

2 

y ⎟ 

⎝ ∂ ⎠ L 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Ricordando che 

υ 

L ⋅ 

2 

U ⋅δ 


⎡ L ⋅υ 

⎤ 

⎢δ 

= ⎥ 

⎣ U ⎦ 

2 

U 

v ≡ ⋅δ 

L 

2 

∂v 

U δ 

u ≡ 2 

∂x 

L 

2 

∂v 

U δ 

v ≡ 2 

∂y 

L 

2 ⎛ ∂ v ⎞ U 

υ ⎜ ≡υ 

y ⎟ 2 

⎝ ∂ ⎠ δL 


⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 1 

Ordini di grandezza





y 

⎛ ∂v 

∂v 

⎞ 1 ∂p 

⎛ ∂ 

⎜u 

+ v ⎟ = − + ν ⎜ 

⎝ ∂x 

∂y 

⎠ ρ ∂y 

⎝ ∂y 

2 

2 

U ⋅δ 

1 ∂p 

U ⋅δ 

= + 

2 

2 

L 

1 ∂p 

ρ ∂y 

Δp 

ρ ⋅U 

y 

2 

ρ ∂y 

2 

U ⋅δ 

≡ ⇒ Δp 

2 

L 

2 

δ 

= 2 

L 

L 




Le nuove Equazioni risultano : 

Equazioni paraboliche in x 

B.C.= 

u(y) in ingresso 

ue(x) per x grande 

u(y=0) =0; v(y=0)=0 

Nessun segnale risale da valle 

U e 

y 

u e (x) 

L 

∂u 

∂x 

∂u 

u + 

∂x 

1 ∂p 

ρ ∂y 

δ 

∂v 

+ 

∂y 



≅ 

v 

= 

0 

0 

∂u 

∂y 

1 dpe 

= − 

ρ dx 

→ 

p 

e 

( x) 

2 ⎛ ∂ u ⎞ 

+ υ ⎜ 2 

y ⎟ 

⎝ ∂ ⎠ 

x




Soluzioni Simili : 

È possibile che esistano soluzioni di flusso u(y) simili , 

ovvero tali che : 

u( 

x 

SI se 

Esiste se : 

1, 

η) 

u( 

x2, 

η) 

= = f ( η) 

m 

u ( x ) u ( x ) 

u ( x) 

= C ⋅ x 

e 

η = 

1 

y 

g( 

x) 

U e 

e 

2 

y 

u e (x) 

L 

δ 



e 

x




Flussi –Viscosi Viscosi- STRATO LIMITE (Eq ( Eq. . Prandtl) Prandtl u e( 

x) 

= U 

Soluzioni Simili :La soluzione sulla lastra piana –Blasius Blasius 

u( 

x1, 

η) 

u ( x ) 

e 

η = 

1 

= 

y 

g( 

x) 

u( 

x2, 

η) 

u ( x ) 

e 

2 

= 

η = 

f ( η) 

y 

; g( 

x) 

= δ = 

g( 

x) 

2 

3 

d f d f 

f 

( η) 

+ 2 2 

3 

dη 

dη 

u( 

x1, 

η) 

u 

υ ⋅ x 

u 

ue 

υ ⋅ x 


e 

e 

= 

u( 

x2, 

η) 

u 

e 

⇒η 

= 

= 

y ⋅ 

f 

= 

0 

( η) 

e





x) 

= U 


v(x, y) 

v(x, y) 

v(x, ∞) 

= 

= 

= 

− 

∂u 

∂x 

u 

y 

∫ 

0 

e 

∂u 

dy = 

∂x 

e 

y 

∫ 

0 

* 

∂δ 

∂x 

∂ 

∂x 

e 

* 

+ ( δ 

y 

∫ 

0 

− 

( u 

u( 

y) 

( 1− 

) dy − 

u 

due 

y) 

dx 

due 

y 

dx 

* 

∂δ 

∂x 


e 

− u( 

y)) 

dy − 

≈ 

u 

e 

= 

due 

y 

dx 

* 

∂δ 

u 

∂x 

e 

due 

− y 

dx 

e





x) 

= U 



v 

∞ 

( x) 

= 

0. 

8604 

⋅u 

∞ 

⋅ 

e 

υ 

xu 

∞



Flussi –Viscosi Viscosi- STRATO LIMITE 

(Eq Eq. . Prandtl) Prandtl 

Soluzioni Simili: 

La soluzione sulla lastra piana –Blasius Blasius 

u ( 

x) 

= U 

e 

e 

η = 5 ⇒ 0. 

991 = 

u ( η) 

Convenzionalmente δ = alla distanza 

a cui u(y) = 99% della Velocità Ue 



U e





x) 

= U 


⋅ μ ⋅u 


D 

1 

2 

τ 

w 

= 

C 

1 

2 

D 

C 

⋅u 

D 

2 

e 

∂u 

= μ 

∂y 

0. 

33206 

C = 

D 

⋅u 

2 

e 

⋅ S 

⋅ x ⋅ 2 = 2⋅τ 

⋅ x 

y= 

0 

= 

e 

⇒ 

ue 

xυ 

1. 

328 

uex υ 

w 

e




Dopo la lastra , ovvero la scia della Lastra Piana 

Le Eq. dello S.L. si applicano anche a regioni di forte shear 

non dovute alla parete solida :esempio classico la Scia a 

valle della lastra: 

Le Eq. dello S.L. si applicano, con alcune approssimazioni ; Le 

soluzioni sono state trovate con tecniche simili a quelle di Blasius . 





Dopo la lastra , ovvero la scia della Lastra Piana 

La evoluzione della distribuzione 

(Goldstain) a valle: 

u 

u 

∞ 

= 

−1/ 

2 

0. 664 

2 

⎛ x ⎞ 

⎜ ⎟ 

π ⎝ l ⎠ 

La soluzione asintotica 

a grande distanza 

u 

1m 

( erf 

u y) 

= exp 

( y = 

0) 

di Gaus) 

⋅exp 

( −1/ 

4⋅η 

) 

( 2 

( −1/ 

4⋅η 

) 

: η = 

y 

u∞ 

ν ⋅ x 






x) 

= U 

Soluzioni Simili :La soluzione su schiera – validità validit generale su 

superfici curve 

Le equazioni di Prandtl valgono anche 

sul Superfici curve (x= ascissa Curvilinea) purchè: 

Ricorda che : 

∂p ρ 

⋅V 

= 

∂n 

Rc 

2 

in prima approssimazione 

0 


δ 

R c 

e 





Flusso Incomprimibile : Parametri di Strato Limite 

Difetto di 

* 

δ 

= 

* 

δ 

∞ 

∫ 

0 

massa 

= 

u( 

y) 

[ 1− 

] dy 

u 

e 

∞ 

ρ [ u 

∫ 

0 

e 

− u( 

y)] 

dy ⇒ ρ ⋅u 

* 

⋅δ 

Rappresenta lo spostamento da dare alla parete per 

ottenere la stessa riduzione di portata , che si ha 

con lo S.L. , con un flusso non viscoso 

Spessore di spostamento, 

spostamento 

Displacement thickness 


e 

[ ] * 

ρ ⋅u 

⋅ 

Difetto di massa ⇒ e δ




δ 


* * 

2 

u ( y) 

[ 1− 

] dy = 

2 

u 

Ricordando la 

ρ ⋅u 

= 

2 

e 

∞ 

∫ 

0 

⋅δ 

* * 

Quantità 

e 

= ρ ⋅u 

di 

moto 

definizione 

2 

e 

* 

⋅δ 

+ 

∞ 

∫ 

0 

* 

di δ 

⎛ 

⎜ 

⎜[ 

1− 

⎝ 



Spessore di quantità quantit di Moto 

Momentum thickness 

⎛ u( 

y) 

u( 

y) 

u( 

y) 

⎞ 

⎜ 

⎜[ 

1− 

] + [ 1− 

] ⋅( 

) 

⎟ 

⎟dy 

⎝ ue 

ue 

ue 

⎠ 

∞ 

∫ 

0 

= ρ [ u 

* 

⋅( 

δ + δ ) 


∞ 

∫ 

0 

u 

u 

e 

si 

2 

e 

ha 

u 

] ⋅( 

u 

− u 

e 

: 

2 

( y)] 


⎞ 

) 

⎟ 

⎟dy 

= ρ ⋅u 

⎠ 

2 

e 

2 

e 

⋅δ 

∞ 

⎛ u u ⎞ 

: δ = ∫ ⎜ − ⋅ 

⎟ 

2 [ 1 ] ( ) dy 

0 ⎝ ue 

ue 

⎠ 

* * 

2







δ 

* * * 

Energia 

Ricordando la 

ρ ⋅u 

= 

3 

e 

∞ 

∫ 

0 

⋅δ 

u 

[ 1− 

u 

* * * 

3 

3 

e 

] dy = 

= ρ ⋅u 

⎛ 

⎜ 

⎜[ 

1− 

⎝ 

definizione 

3 

e 

Spessore di Energia 

= ρ [ u 

0 

0 

* 

⋅δ 

+ 

Energy-Dissipation Energy Dissipation thickness 

∞ 

∫ 

∞ 

∫ 

∞ 

∫ 

0 

3 

e 

− u 

u 

u 

e 

3 

] + 

* 

di δ 

( y)] 


∞ 

⎛ u 

∫ 

2 ⎞ u 

: δ = 

⎜ − 

⎟ 

3 1 ( ) dy 

0 ⎝ ue 

⎠ ue 

* 

⋅( 

δ + δ ) 


[ 1 

si 

⎛ u 

⎜ 

⎜[ 

1− 

( 

⎝ ue 

− 

) 

ha 

2 

u 

u 

2 

2 

e 

: 

u 

] ⋅( 

u 

u 

] ⋅( 

u 

e 

e 

3 

e 

⋅δ 

⎞ 

) 

⎟ 

⎟dy 

⎠ 

* * * 

⎞ 

) 

⎟ 

⎟dy 

= ρ ⋅u 

⎠ 

2 

e 

3




Flusso Comprimibile : Parametri di Strato Limite 

Spessore di spostamento, 

spostamento 

Displacement thickness 

Spessore di quantità quantit di Moto 

Momentum thickness 

Spessore di Energia 

Energy-Dissipation Energy Dissipation thickness 


∞ 

⎛ uρ 

* 

⎞ 

: δ 

= ∫ ⎜ 

⎜1− 

( ) 

⎟ 

⎟dy 

0 ⎝ ueρ 

e ⎠ 

∞ 

⎛ u uρ 

⎞ 

: δ = ∫ ⎜ − ⋅ 

⎟ 

2 [ 1 ] ( ) dy 

0 ⎝ ue 

ueρ 

e ⎠ 


δ 

3 

= 

∞ 

∫ 

0 

⎛ u ⎞ uρ 

2 

⎜ 

⎜1− 

[ ] 

⎟ 

⎟( 

) dy 

⎝ ue 

⎠ ueρ 

e





Flusso Incomprimibile Equazione Integrale: Bilancio massa 

ρ ⋅u 

* 

⋅( 

h −δ 

) 

dx 

[ ] [ ] [ ] * 

* 

e 

ρ ⋅ ⋅( 

h −δ 

) − ρ ⋅u 

⋅( 

h −δ 

) − 

⋅Δx 

− [ ρ ⋅v 

⋅Δx] 

= 0 

ue e 

e 

[ ] [ ] [ ] * * 

ρ ⋅ue 

⋅( 

h −δ 

) d ρ ⋅ue 

d ρ ⋅ue 

⋅δ 

= −h 

⋅ + 

= [ ⋅v 

] 

d 

− ρ 

dx 

dx dx 

U e 

y 

2 * 

ρ ⋅ ⋅[ 

h −δ 

] 

u e 

τ w 

ρv e 


d 

x 

e





Flusso Incomprimibile Equazione Integrale: Bilancio Q.M 

[ ρ ⋅u 

⋅( 

h −δ 

−δ 

) ] − [ ρ ⋅u 

⋅( 

h −δ 

−δ 

) ] 

2 

* 

2 

* 

− 

d 

U e 

e 

[ ] 2 

* 

ρ ⋅ue 

⋅( 

h −δ 

−δ 

2) 

⋅Δx 

− [ ρ ⋅v 

⋅u 

] Δx 

= F 

y 

dx 

2 

2 

* 

ρ ⋅ ⋅ h − ( δ + δ )] 

u e 

τ w 

e 

[ 2 

ρu e v e 


e 

[ ] [ ] [ ] 2 * 

* 

ue 

⋅( 

h −δ 

−δ 

⎡ d ue 

d u ⎤ 

2) 

e ⋅δ 

⋅ ρ ⋅Δx 

+ h⋅ 

− ⋅u 

⋅ ⋅Δx 

= F 

d 

− ⎢ 

⎥ e ρ 

dx 

⎣ dx dx ⎦ 

e 

2 

+ 

x

− 

d 






[ ⋅u 

⋅( 

h − − ) ] ⎡ d[ 

⋅u 

] d[ 

⋅u 

⋅ ] 

2 * 

* 

ρ δ δ 

ρ ρ δ 

e 

= −Δx 

⋅τ 

w 

dx 

+ ( p 

e 

⋅h) 

− 

Eulero –non viscoso 

2 

( p 

⋅Δx 

+ ⎢h 

⋅u 

⎣ 

e 

⋅h) 

+ 

d( 

pe 

⋅h) 

Δx 

dx 


e 

⋅ 

dx 

e 

− 

⎡ 

⎢u 

⎣ 

e 

e 

dx 

du 

⋅ ρ 

dx 

e 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⋅u 

e 

⎤ 

⎥Δx 

= 

⎦ 

dpe 

= − 

dx 

[ ⋅u 

⋅h] 

d[ 

⋅u 

⋅ + ] ⎡ d[ 

⋅u 

] d[ 

⋅u 

⋅ ] 

2 

2 * 

* 

ρ 

ρ ( δ δ ) ρ ρ δ 

d 

− 

= 

e 

dx 

+ e 

dx 

2 + ⎢h 

⋅ue 

⋅ 

⎣ dx 

e − e 

dx 

⋅ue 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

=






[ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 * 

* 

u ( 2) 

⎤ ⎡ 

⎤⎫ 

e d ue 

⋅ δ δ 

d ue 

d ρ ⋅ue 

⋅δ 

+ 

+ h⋅ 

u ⋅ − ⋅u 

⋅ ρ ⋅Δ 

= .. 

⎧⎡ 

d 

+ 

⎨⎢− 

h⋅ ⎥ ⎢ e 

e ⎥⎬ 

x 

⎩⎣ 

dx dx ⎦ ⎣ dx dx ⎦⎭ 

⎧⎡ 

⎨⎢− 

2⋅ 

h⋅ 

u 

⎩⎣ 

⎧⎡d 

+ ⎨⎢ 

⎩⎣ 

e 

[ u ] ⎤ d[ 

u ] 

d e ⋅ 

dx 

[ ] [ ] 2 * 

* 

ue 

⋅( 

δ + δ d u ⎤⎫ 

2) 

e ⋅δ 

⎡ dpe 

⎤ 

ρ τ ⋅Δx 

dx 

⎥ 

⎦ 

⎡ 

+ ⎢h 

⋅u 

⎣ 

− 

Eulero –non viscoso 

e 

dx 

⋅ 

dx 

e 

⋅u 

⎤⎫ 

⎥⎬⋅ 

ρ ⋅Δx 

+ 

⎦⎭ 

e 

⎥⎬⋅ 

⎦⎭ 

⋅Δx 

= ⎢ 

⎣ 

− h⋅ 

du 

⋅ ρ 

dx 


w 

⎡ 

⎢u 

⎣ 

e 

dx 

⎥ 

⎦ 

e 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

dpe 

= − 

dx

⎧⎡d 

⎨⎢ 

⎩⎣ 

⎧⎡d 

⎨⎢ 

⎩⎣ 

⎧⎡d 

⎨⎢ 

⎩⎣ 






[ ] [ ] 2 * 

* 

ue 

⋅( 

δ + δ d u ⎤⎫ 

2) 

e ⋅δ 

− ⋅u 

⋅ ρ ⋅Δx 

= [ τ ] ⋅Δx 

dx 

dx 

e 

⎥⎬ 

⎦⎭ 

[ u ⋅ ] d[ 

u ⋅δ 

] d[ 

u ⋅δ 

] 

2 

2 * 

* 

δ ⎤⎫ 

e 2 e 

e 

τ w 

+ − ⋅ue 

⎥⎬ 

= 

dx dx dx ⎦⎭ 

ρ 

[ u ⋅ ] 2 

* 

* 

e δ due 

dδ 

due 

dδ 

⎤⎫ 

2 

* 2 

* 

2 τ w 

+ 2ue 

⋅δ 

+ ue 

⋅ − ue 

⋅δ 

⋅ − ue 

⋅ ⎥⎬ 

= 

dx dx dx dx dx ⎦⎭ 

ρ 

⎧⎡d 

⎨⎢ 

⎩⎣ 

[ u ] 2 

e ⋅ δ du ⎤⎫ 

2 * 

e τ w 

+ δ ⋅ue 

⋅ ⎥⎬ 

= 

dx 

dx ⎦⎭ 

ρ 


w

U e 




Flusso Incomprimibile Equazione Integrale 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

d 

y 

( 

2 

⋅ u * 

τ w 

du 


δ ) 

τ 

2 e + δ e u = w 

e 

dx dx ρ 

2 

* 

ρ ⋅ ⋅ h − ( δ + δ )] 

u e 

[ 2 

ρu e v e 


x 

⎤ 

⎥ 

⎦

U e 





Flusso Incomprimibile Equazione Integrale di von Karman 

⎡ d δ du ⎤ 

2 ( 2) 

* e τ w 

⎢u 

e + ( 2δ 

2 + δ ) ue 

⎥ = 

⎣ dx 

dx ⎦ ρ 

y 

2 

* 

ρ ⋅ ⋅ h − ( δ + δ )] 

u e 

[ 2 

τ w 

⎡ d δ du ⎤ 

2 ( 2) 

e τ w 

⎢u 

e + δ 2( 

2 + H12) 

ue 

⎥ = 

⎣ dx 

dx ⎦ ρ 

ρu e v e 

H 12 

12= = H12 

= Shape factor 


* 

δ 

δ 

x 

2



Flussi –Viscosi Viscosi- STRATO LIMITE 


Flusso Incomprimibile Equazione Integrale di Rotta 

Con analoghe considerazioni e bilanci di energia si può ottenere 

: l’Equazione integrale dell’Energia: 

H 

32 

= 

δ3 

δ 

2 

⎡ ( δ ⋅u 

⎢ 

⎣ dx 

H32= 32= 

EnergyShape factor 

τ ∂u 

dy 

ρ ∂y 

3 ∞ 

∞ 

d 3 e ) 

∂u 

= ∫ = ∫ 

2 

2 2υ 

( ) 

∂y 

0 

0 


⎤ 

⎥ 

⎦ 

dy

U e 





Flusso Comprimibile Equazione Integrale di Q.Moto 

⎡d 

( δ 2 u 

⎢ 

⎣ dx 

) 

2 

⋅ ( ) 

e * 

2 e 

+ δ −δ 

2 ⋅ M e ue 

y 

2 

* 

ρ ⋅ ⋅ h − ( δ + δ )] 

u e 

⎡d 

( δ ) 

⎢ 

⎣ dx 

[ 2 

τ w 

du 

dx 

+ 

− M 

2 2 

( 2 12 e ) 


+ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

H 

ρu e v e 

τ w = 

ρ 

e 

δ 2 

u 

e 

due 

dx 

x 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

= 

τ w 

ρ ⋅u 

e 

2 

e

⎛ 

ρ⎜ 

⎝ 

⎛ 

ρ⎜ 

⎝ 




STRATO LIMITE: Flusso Comprimibile Equazione 

dell’Energia 

dell Energia ΔT 

⎛ 2 γ −1⎞ 

Se il flusso è comprimibile dobbiamo anche considerare 

l’Eq.Energia Eq.Energia, , 

dh ⎞ 

⎟ 

dt ⎠ 

⋅c 

= 

dp 

dt 

∂T 

∂x 

+ 

φ + 

+ v ⋅c 

u p 

p 

∂ 

∂x 

∂T 

∂y 

i 

T 

⎡ 

⎢k 

⎣ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

≡ ⎜ M 

⎝ 

dT 

dx 

i 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⋅ 

2 

⎟ 

⎠ 

In 2D 

⎛ 

φ = 

⎜ 

⎜τ 

i, 

⎝ 

∂u 

⋅ 

∂x 

∂p 

∂p 

∂ ⎛ ∂T 

⎞ 

= u + v + φ + k⎜ 

⎟ + 

∂x 

∂y 

∂x 

⎝ ∂x 

⎠ 

∂u 

∂u 

∂v 

φ = τ xx + τ xy + τ yx + τ 

∂x 

∂y 

∂x 

⎛ ∂T 

k⎜ 

⎝ ∂y 


k 

k 

i 

yy 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

∂ 

∂y 

∂v 

∂y 

⎞ 

⎟ 

⎠




STRATO LIMITE: Flusso Comprimibile Equazione dell’Energia dell Energia : 

Eq.Energia, Eq.Energia, 

semplificata per gli OdG dello S.L. : 

……………………………………………... 

……………………………………………...Pressione 

Pressione e Temperatura 

⎛ ∂T 

∂T 

⎞ ∂p 

∂p 

ρ⎜u ⋅c 

p + v⋅ 

c p ⎟ = u + v + φ + 

⎝ ∂x 

∂y 

⎠ ∂x 

∂y 

⎛ ∂T 

k⎜ 

⎝ ∂x 

⎛ ∂T 

k⎜ 

⎝ ∂y 


∂ 

∂x 

2 

⎛ ∂T 

∂T 

⎞ ∂p 

⎛ ∂ ⎞ 

e T 

ρ⎜u 

⋅c + ⋅ ⎟ = + + ⎜ 

⎟ 

p v c p u φ k 2 

⎝ ∂x 

∂y 

⎠ ∂x 

⎝ ∂y 

⎠ 

⎛ 

≅ ⎜ 

⎜c 

⎝ 

h0 p 

⋅T 

+ 

u 

2 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

+ 

∂ 

∂y 

⎞ 

⎟ 

⎠







………………………………………….. 

…………………………………………..Funzione 

Funzione Dissipazione φφ 

∂u 

∂u 

∂v 

φ = τ xx + τ xy + τ yx + τ 

∂x 

∂y 

∂x 

φ 

= τ 

xy 

∂u 

∂y 

2 

⎛ ∂u 

⎞ 

= μ ⋅⎜ 

⎟ 

⎝ ∂y 

⎠ 

yy 

∂v 

∂y 

⎡4 

∂u 

2 ∂v 

⎤ U 

τ xx = μ ⋅ ⎢ ( ) − ⋅ 

3 x 3 y 

⎥ ≅ μ ⋅ 

⎣ ∂ ∂ ⎦ L 

⎡∂u 

⎤ U 

τ xy = τ yx = μ ⋅ ⎢ 

y 

⎥ ≅ μ ⋅ 

⎣∂ 

⎦ δ 

⎡4 

∂v 

2 ∂u 

⎤ U 

τ yy = μ ⋅ ⎢ ( ) − ⋅ ≅ ⋅ 

3 y 3 x 

⎥ μ 

⎣ ∂ ∂ ⎦ L 

∂v 

U 

≅ δ ⋅ 2 

∂x 

L 








⎛ 

⎜u 

⎝ 

c 

∂T 

∂x 

+ v⋅ 

c 

∂T 

⎞ u ∂pe 

⎛ ∂u 

⎞ 

⎟ = + ν ⎜ ⎟ 

∂y 

⎠ ρ ∂x 

⎝ ∂y 

⎠ 

2 

k ⎛ ∂ T ⎞ 

+ ⎜ 

⎟ 

ρ ⎝ ∂y 

⎠ 

⋅ p 

p 

2 

L’Eq. di moto x u 

2 

⎛ ∂u 

∂u 

⎞ u dp ⎛ ⎞ 

e ∂ u 

u ⋅⎜ 

u + v ⎟ = − + u ⋅ν 

⎜ 

⎟ 2 

⎝ ∂x 

∂y 

⎠ ρ dx ⎝ ∂y 

⎠ 

2 

2 

⎛ 

⎞ 

⎜ ∂ u ∂ u 

2 

2 ⎟ 

⎛ ∂ ⎞ 

⎜ + v 2 u dpe 

u 

u 

⎟ = − + u ⋅ν 

⎜ 

⎟ 2 

⎜ ∂x 

∂y 

⎟ ρ dx ⎝ ∂y 

⎠ 

⎝ 

⎠ 

2 

⎛ 

≅ ⎜ 

⎜c 

⎝ 

h0 p 


⋅T 

+ 

u 

2 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠







2 

⎛ ∂T 

∂T 

⎞ u ∂p 

⎞ ⎛ ∂ ⎞ 

e ⎛ ∂u 

k T 

⎜u 

⋅c + ⋅ ⎟ = + ⎜ ⎟ + ⎜ 

⎟ 

p v c p 

ν 

2 

⎝ ∂x 

∂y 

⎠ ρ ∂x 

⎝ ∂y 

⎠ ρ ⎝ ∂y 

⎠ 

2 

2 

⎛ 

⎞ 

⎜ ∂ u ∂ u 

2 

2 ⎟ 

⎛ ∂ ⎞ 

⎜ + 2 u dpe 

u 

u v ⎟ = − + u ⋅ν 

⎜ 

⎟ 2 

⎜ ∂x 

∂y 

⎟ ρ dx ⎝ ∂y 

⎠ 

⎝ 

⎠ 

⎛ ∂h 

⎜u 

⎝ ∂x 

+ 

0 v 

∂h 

∂y 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

+ 

= 

⎡⎛ 

∂u 

⎞ 

= ν ⎢⎜ 

⎟ 

⎢⎣ 

⎝ ∂y 

⎠ 

2 

2 ⎤ 

2 

∂ u k ⎛ ∂ T ⎞ 

+ u ⎥ + ⎜ 

⎟ 

2 

2 

∂y 

⎥ ρ ⎝ ∂y 

⎦ ⎠ 

2 

⎛ 

≅ ⎜ 

⎜c 

⎝ 

h0 p 


⋅T 

+ 

u 

2 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠







⎛ ∂h 

⎜u 

⎝ ∂x 

+ 

0 v 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

u 

∂h 

∂y 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

∂h 

∂x 

0 

⎡⎛ 

∂u 

⎞ 

= ν ⎢⎜ 

⎟ 

⎢⎣ 

⎝ ∂y 

⎠ 

+ 

v 

2 

∂h 

∂y 

2 ⎤ 

2 

∂ u k ⎛ ∂ T ⎞ 

+ u ⎥ + ⎜ 

⎟ 

2 

2 

∂y 

⎥ ρ ⎝ ∂y 

⎦ ⎠ 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

∂ 

= ν 

∂y 

2 

y ∂y 

∂y 

∂ 


2 

∂ 

∂ 

2 

2 

⎛ u 

⎜ 

⎝ 2 

2 

2 

⎛ u ⎞ ∂u 

∂u 

∂ u 

⎜ = + u 2 

2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

y 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

+ 

2 

k ⎛ ∂ T 

⎜ 2 

ρ ⎝ ∂y 

⎞ 

⎟ 

⎠







⎡ 2 2 

2 

∂ ⎛ u ⎞ k ⎛ ∂ c pT 

ν ⎢ 

⎜ 

⎜ 

⎟ + 

2 

⎜ 2 

⎢⎣ 

∂y 

⎝ 2 ⎠ c p ⋅νρ 

⎝ ∂y 

⎡ 2 2 

2 

∂ ⎛ u ⎞ k ⎛ ∂ ( c 

= ν ⎢ + ⎜ 

⎜ 

⎟ 2 

⎜ 

⎢⎣ 

∂y 

⎝ 2 ⎠ c p ⋅ μ ⎝ 

⎡ 

ν ⎢ 

⎣ 

1 

Pr 

⎛ ∂h 

⎜u 

⎝ ∂x 

2 ⎛ ∂ h 

⎜ 2 

⎝ ∂y 

0 

0 

∂h 

+ v 

∂y 

⎞ 

⎟ + 

⎠ 

( 1 

0 

− 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

∂ 

= ν 

∂y 

1 

Pr 

2 

2 

2 

∂ 

) 

∂y 

2 

⎛ u 

⎜ 

⎝ 2 

p 

2 

⎞⎤ 

⎟ 

⎥ 

⎠⎥⎦ 

T + u 

2 

∂y 

⎛ u 

⎜ 

⎝ 2 

2 

2 ⎞ k ⎛ ∂ T ⎞ 

⎟ + ⎜ 

⎟ 2 

⎠ ρ ⎝ ∂y 

⎠ 

= 

⎞⎤ 

⎟ 

⎟⎥ 

⎠⎦ 

2 

= 

k ∂ 

⋅ μ ∂y 

2 

k ⎡⎛ 

∂ h 

⎢ ⎜ 2 

⋅ ρ ⎣⎝ 

∂y 

⎛ u 

⎜ 

⎝ 2 

2 

⎞ ∂ 

⎟ + (Pr−1) 

⎠ ∂y 

⎛ u 

⎜ 

⎝ 2 


/ 2) 

c 

p 

⎞ 

⎟ − 

⎟ 

⎠ c 

p 

0 

2 

2 

2 

⎞⎤ 

⎟ 

⎟⎥ 

⎠⎥⎦ 

2 

2 

⎞⎤ 

⎟ 

⎟⎥ 

⎠⎦







⎛ ∂h 

⎜u 

⎝ ∂x 

+ 

0 v 

∂h 

∂y 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎡⎛ 

∂u 

⎞ 

= ν ⎢⎜ 

⎟ 

⎢⎣ 

⎝ ∂y 

⎠ 

2 

2 ⎤ 

2 

∂ u k ⎛ ∂ T ⎞ 

+ u ⎥ + ⎜ 

⎟ 

2 

2 

∂y 

⎥ ρ ⎝ ∂y 

⎦ ⎠ 

2 

⎛ ∂T 

∂T 

⎞ u ∂p 

⎞ ⎛ ∂ ⎞ 

e ⎛ ∂u 

k T 

⎜u 

⋅c + ⋅ ⎟ = + ⎜ ⎟ + ⎜ 

⎟ 

p v c p 

ν 

2 

⎝ ∂x 

∂y 

⎠ ρ ∂x 

⎝ ∂y 

⎠ ρ ⎝ ∂y 

⎠ 

Condizioni al contorno 

T ( y = 

0) 

0) 

= T 

w 

T ( y → ∞) 

= T 

T ( x = 

e 

= T ( y) 

- - - - - - 

⎛ ∂T 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ ∂y 

⎠ 

assegnato 

y= 

0 

= 


2 

noto






semplificata per gli OdG dello S.L. Gas delCrocco: delCrocco: 

⎛ ∂h 

⎜u 

+ 

⎝ ∂x 

0 v 

Energia 

Moto 

2 ⎡ 

2 ⎤ 

2 

∂h 

⎛ ∂ ⎞ 

0 ⎞ ⎛ ∂u 

⎞ ∂ u k T 

⎟ = ν ⎢⎜ 

⎟ + u ⎥ + ⎜ 

⎟ 

2 

2 

∂y 

⎠ ⎢ ∂ ⎥ ⎝ ∂ 

⎣⎝ 

∂y 

⎠ y ρ y 

⎦ ⎠ 

⎛ ∂h 

⎜u 

⎝ ∂x 

0 

∂h 

+ v 

∂y 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎛ ∂h 

⎜u 

⎝ ∂x 

2 

2 

k ⎡⎛ 

∂ h ⎞ 0 ∂ 

= ⎢ ⎜ 

⎟ + (Pr−1) 

2 

c p ⋅ ρ ⎣⎝ 

∂y 

⎠ ∂y 

+ 

0 v 

Pr= 1 

∂h 

∂y 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

⎛ ∂T 

∂T 

⎞ u ∂p 

⎞ ⎛ ∂ ⎞ 

e ⎛ ∂u 

k T 

⎜u 

⋅c p + v ⋅c 

p ⎟ = + ν ⎜ ⎟ + ⎜ 

⎟ 2 

⎝ ∂x 

∂y 

⎠ ρ ∂x 

⎝ ∂y 

⎠ ρ ⎝ ∂y 

⎠ 

2 

k ⎡⎛ 

∂ h ⎞⎤ 

0 

= ⎢ ⎜ 

⎟ 2 ⎥ 

cp 

⋅ ρ ⎣⎝ 

∂y 

⎠⎦ 


2 

⎛ u 

⎜ 

⎝ 2 

2 

∂u 

∂u 

1 dp ⎛ ∂ ⎞ 

e u 

u + v = − + υ ⎜ 

⎟ 2 

∂x 

∂y 

ρ dx ⎝ ∂y 

⎠ 

2 

⎞⎤ 

⎟ 

⎟⎥ 

⎠⎦ 

2







Moto su Lastra 

Energia 

⎛ ∂h 

⎜u 

⎝ ∂x 

+ 

0 v 

Pr= 1 

2 

∂u 

∂u 

1 dp ⎛ ∂ ⎞ 

e u 

u + v = − + υ ⎜ 

⎟ 2 

∂x 

∂y 


⎠ 

h 

0 

= 

a 

1 

∂h 

∂y 

0 

⋅u 

+ a 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

k ⎡⎛ 

∂ h ⎞⎤ 

0 

= ⎢ ⎜ 

⎟ 2 ⎥ 

cp 

⋅ ρ ⎣⎝ 

∂y 

⎠⎦ 

⇒T 

2 

u 

= − 

2⋅ 

c 

Sono Simili 


p 

+ b 

1 

⋅u 

+ b 

2







⎛ ∂T 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ ∂y 

⎠ 

∂T 

∂y 

y= 

0 

= 

T ( y → ∞) 

= T 

T 

e 

= 0 ⇒ 

22 

e 

u 

= − 

2⋅ 

c 

p 

0 

e 

∂T 

∂u 

u 

⋅ 0 = − 

∂u 

∂y 

c 

+ b 

2 

⇒ b 

2 

= T 

e 

p 

Pr= 1 ; Parete Adiabatica 

∂u 

∂u 

+ b1 

⋅ ⇒ b1 

= 0 

∂y 

∂y 

2 

ue 

+ 

2⋅ 

c 

p 








2 

u e 

T = 

T e + ( 1 − 

2 ⋅ c 

p 

u 

u 

2 

2 

e 

) 









2 

u e 

T = 

T e + ( 1 − 

2 ⋅ c 

p 

u 

u 

2 

2 

e 

) 









T 

T 

w 

e 

= 

υ 

υ 

w 

e 

η = 


y 

⋅ 

η = 

u e 

υ ⋅ 

e 

y 


⋅ 

x 

u 

υ 

Si può concludere che il maggior spessore delo S.L. col Mach dipende dall’aumento del 

volume dovuto alla variazione di densità con la temperatura 

w 

e 

⋅ 

x







Coefficiente di Attrito per vari ω 



μ 

μ 

0 

= 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

T 

T 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

ω







T ( y = 

0) 

= T 

w 

T ( y → ∞) 

= T 

e 

u ( 0) 

T ( 0) 

= T 

T 

e 

= Tw 

⇒ 

2 

− 

2⋅ 

cp 

+ b1 

⋅u( 

0) 

+ b2 

⇒ b2 

2 

ue 

= − 

2⋅ 

c 

p 

+ b 

1 

⋅u 

e 

+ T 

w 

⇒ b 

Pr= 1 ; Parete a Temperatura data Tw 

1 

( Te 

−T 

= 

u 

e 


w 

w 

) ue 

+ 

2⋅ 

c 

p







( Te 

−Tw 

) ue 

b = + ; b2 

= T 

u 2⋅ 

c 

1 w 

e 

p 

T 

T 

e 

T 

u 


u 

2 

e 

T( y) 

= Tw 

+ ( Te 

−Tw 

) + 

⋅ 

ue 

c ⎜ 

⎜1 

p u ⎟ 

2⋅ 

e 

⎛ T 

⎜ − 

⎝ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎛ γ 

−1 

M 

⎛ 

⎜ − 

⎝ 

w 

w 

2 

= + 

e 

Te 

u ⎜ 

1 + ⎜ ⎟⋅ 

e T ⎟ 

⎜ 

1 

e ⎝ 2 ⎠ 

⎞ 


u 

u 

e 

u 

⎞ 

⎟ 

⎟⋅ 

⎠ 

⎛ 

− 

⎝ 

u 

u 

e 

u 

⎞ 

⎠ 

u 

u 

e







Il Flusso a parete è: 

u 

T 

e 

e 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

∂T 

⎞ 

⎟ 

∂u 

⎠ 

w 

⎛ T 

= 

⎜ 

⎜1− 

⎝ T 

∂T 

∂y 

y= 

0 

⎛ 

⎜ 

u 

+ 

⎜ 

⎝ 2⋅ 

c 

u ⎛ ⎞ 

e ⎛ T ⎞ Tw 

⎛ γ −1 

⎜ ⎟ = 

⎜ 

⎜1− 

⎟ + ⎜ Me 

Te 

⎝ ∂u 

⎠w 

⎝ Te 

⎠ ⎝ 2 

w 

e 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

∂ 2 


= q ⇒ 

2 

e 

p 

⋅T 

e 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

∂T 

∂u 

⋅ = ? 

∂u 

∂y 

> 0 ⇒ q > 0 


∂u 

; 

∂y 

se 

∂T 

∂u 

0 

> 0







Il Flusso a parete è: 

> 0 

se 

⎛ 2 

u ⎞ 

⎜ e ⎟ > w − 

⎜ c ⎟ 

⎝ 2⋅ 

p ⎠ 

( T T ) 

q e 

⎛ γ 

−1 

2 ⎞ ⎛T 

⎞ ⎛ ⎞ 

0 Tw 

q > 0 se ⎜ M ⎟ = 

⎜ −1 

⎟ > 

⎜ −1 

⎟ 

e 

⎝ 2 ⎠ ⎝ Te 

⎠ ⎝ Te 

⎠ 







Scambio Termico: Pr=0.7 , ω=1 , γ=1.4 T w =T e 





STRATO LIMITE: Analogia Termica- Termica Reynolds (1874) 

∂u 

∂x 

∂u 

u 

∂x 

⎛ 

⎜u 

⋅c 

⎝ 

∂v 

+ 

∂y 

+ 

p 

= 

∂u 

v 

∂y 

∂T 

∂x 

0 

= 

− 

+ v⋅ 

c 

1 dp 

ρ dx 

p 

∂T 

∂y 

e 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 ⎛ ∂ u ⎞ 

+ υ ⎜ 

⎟ 2 

⎝ ∂y 

⎠ 

= 

u ∂p 

ρ ∂x 

e 

⎛ ∂u 

+ ν ⎜ 

⎝ ∂y 


2 

k ⎛ ∂ T ⎞ 

+ ⎜ 

⎟ 2 

ρ ⎝ ∂y 

⎠ 

Si può assumere che le stesse anaologie dell S.L. su lastra piana 

valgano,se si trascura la dissipazione termica : 


u 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

u e 

e 

⎛ x y ⎞ 

= f1⎜ 

, Re ⎟ ; Re = 

⎝ l l ⎠ 

u ⋅l 

ν




Si può assumere che le stesse anaologie dell S.L. su lastra piana 

valgano,se si trascura la dissipazione termica : 

T 

T 

w 

−Te 

−T 

e 

= 

∂T 

q = − k 

∂y 

f 

3 

y= 

0 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

= 

x 

l 

q⋅ 

l 

N = = 

k( 

T −T 

) 

w 

e 

, 

k 

l 

f 

3 

y 

l 

u 

⋅( 

T 

w 

Re, 

⎛ x ⎞ 

⎜ , Pr⎟ 

⎝ l ⎠ 

Pr 

−T 

) ⋅ f 

e 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

3 

Re 

; 


u e 

u ⋅l 

ν 


u 

⎛ x ⎞ 

⎜ , Pr⎟ 

⎝ l ⎠ 

e 

⎛ x y ⎞ 

= f1⎜ 

, Re ⎟ ; Re = 

⎝ l l ⎠ 

Re, 

u ⋅l 

ν 

u ⎛ x y ⎞ 

e 

Re = f2 

⎜ , Re ⎟ ; Re = 

e ⎝ l l ⎠




∂T 

q = − k 

∂y 

y= 

0 

= 

q⋅ 

l 

N = = 

k( 

T −T 

) 

w 

e 

k 

l 

f 

3 

⋅( 

T 

w 

⎛ x ⎞ 

⎜ , Pr⎟ 

⎝ l ⎠ 

−T 

) ⋅ f 

e 

3 

Re 

⎛ x ⎞ 

⎜ , Pr⎟ 

⎝ l ⎠ 

1 ⎛ x ⎞ 

= ⋅C 

⋅Re⋅ 

f ⎜ , Pr⎟ 

2 ⎝ l ⎠ 

N f 


Questa Rappresenta la Forma generale dell’Analogia di Reynolds , valida 

per tutti gli S.L. Laminari 


Re, 

τ 

w 

C 

f 

∂u 

= μ 

∂y 

= 

1/ 

y= 

0 

τ w 

2ρ 

⋅u 

= 

2 

e 

= 

μ ⋅ue 

l 

1 

Re 

f 

Re 

1 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⋅ 

f 

x ⎞ 

⎟ 

l ⎠ 

1 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

x ⎞ 

⎟ 

l ⎠




Flussi Viscosi: Il Comporetamento dello S.L. nei 

confronti dei gradienti di Pressione: Eq. Per y=0 

∂ 

∂ 

u 

u 

x 

∂ 

∂ 

+ 

u 

x 

∂ 

∂ 

+ 

v 

y 

1 dp ⎛ 

e > 0 ⇒ υ ⎜ 

ρ dx ⎝ 

1 dp ⎛ 

e < 0 ⇒ υ ⎜ 

ρ dx ⎝ 

v 

= 

2 

∂ u 

2 

∂y 

2 

∂ u 

2 

∂y 

∂ 

∂ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

0 

u 

y 

> 

< 

0 

0 

= 

− 

1 

ρ 

dp 

dx 

Esiste Flesso 

Convesso 

⎛ 

e + υ ⎜ 

⎝ 


∂ 

∂ 

2 

u 

2 

y 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

1 dp ⎛ 

e ∂ u 

= + υ ⎜ 2 


⎞ 

⎟ 

⎠

u 






1 dp ⎛ 

e > 0 ⇒ υ ⎜ 

ρ dx ⎝ 

1 dp ⎛ 

e < 0 ⇒ υ ⎜ 

ρ dx ⎝ 

2 

∂ u 

2 

∂y 

2 

∂ u 

2 

∂y 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

> 

< 

0 

0 

y 

Esiste Flesso 

Convesso 

⎛ ∂ u ⎞ 

⎜ 

⎟ 

⎝ ∂y 

⎠ 


y






⎛ ∂u 

y → ∞ ⇒ υ 

⎜ 

⎝ ∂y 

1 dp ⎛ 

e > 0 ⇒ υ ⎜ 

ρ dx ⎝ 

1 dp ⎛ 

e < 0 ⇒ υ ⎜ 

ρ dx ⎝ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 

2 

∂ u 

2 

∂y 

2 

∂ u 

2 

∂y 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

< 

> 

0 

0 

Esiste Flesso 

Convesso 

⎛ ∂ u ⎞ 

⎜ 

⎟ 

⎝ ∂y 

⎠ 

⎛ ∂u 

⎞ 

Se y = 0 ⇒ υ ⎜ ⎟ = 0 

si ha separazione 

⎝ ∂y 

⎠ 

τ = 0 


y



Flussi Viscosi:Turbolenza 


“Il flusso dominato dai termini inerziali >>> di quelli viscosi (Re Grande) 

esibisce un comportamento instabile ;ovvero il moto non si mantiene, in un 

punto, costante nel tempo ancorchè le condizioni al Contorno siano stabili. 

•Esiste la teoria della stabilità di Tollmien-Schlichting che da ragione di 

questo fenomeno; anche le Eq.di N-S mostrano la nascita di quello che si 

chiama “Caos deterministico” 


• 




Flussi Viscosi: Come si può passare dal Flusso laminare 

a quello turbolento ? Sono possibili Tre Tipi di Transizione- 

•“Natural Natural transition”, transition ovvero di Tollmien-Schlichting(79) 

•Amplificazione di piccole perturbazioni mattarverso 

vari stadi di instabilità fino al “Fully Turbulent” 

•“Bypass Bypass Transition”, Transition ovvero di Morkovin(69) 

•Causata da larghi disturbi nel flusso esterno allo 

strato limite- Tipico delle turbomacchine 

•“Separated Separated-flow flow” 

•Causata da bolle di separazione nello S.L. laminare 




Flussi Viscosi:Transizione 

⎛uδ 

⎞ 

⎜ 

⎝ υ 

2 

⎟⎠ 

t 


⎛ υ 

⎞⎛du⎞ 

⎜ 2 ⎟ 

⎟⎜ 

⎟ 

⎝ut 

⎠⎝ 

dx⎠ 


t



Flussi Turbolenti: Approccio alla Reynolds 


•Si ipotizza che tutte le grandezze siano esprimibili come :un valor medio 

più una parte fluttuante, per le componenti di Velocità sia : 

T 

1 

: u j = ∫ u j ( xi, 

t) 

dt ⇒ u j ( xi, 

t) 

= u j ( xi 

) + u j '( 

xi, 

t) 

T 

0 

•Sostituendo nelle E.Q di N-S ed operando la media, e ricordando le 

prerogative della media : 

f 

⋅ f ' = 0; 

f '⋅ 

f ' ≠ 0 e simili 

•Si hanno le E.Q mediate alla Reynolds che fanno apparire dei nuovi 

termini: 

•il Tensore Turbolento: 





•Appare il Tensore Turbolento: 


•Le E.Q mediate alla Reynolds sono ora Le nuove equazioni 

∂u 

∂x 

u 

k 

i 

i 

= 

∂u 

∂x 

i 

k 

0 

1 ∂p 

μ ⎛ ∂ 

= − + ⎜ 

ρ ∂x 

⎜ 

i ρ ⎝ ∂ 

u 

2 

i 

2 

xi 

⎞ 1 ∂τ 

⎟ 

+ 

⎠ ρ ∂xk 


τ 

k 

i , k 

= 

= 

1 

2 

i, 

k 

− ρ ⋅ 

∑ 

(u' 

j 

'⋅u 

u i k 

) 

2 

'





•Tutto lo studio delle Turbolenza si focalizza sulla ricerca di strumenti di valutazione del 

tensore di Reynolds: 

•Ipotesi alla Bousinesque : 

τ 

i , k 

= 

⎡⎛ 

∂u 

i 

− ρ ⋅ u ⋅ = ⋅ ⎢ ⎜ 

i ' u k ' μ t 

⎣⎝ 

∂x 

k 

• Quindi Ricerca del calcolo di mt •Modelli Algebrici: 

•Modelli senza trasporto delle quantità turbolente, solo distanze dalla parete , 

•(Chiusure al 1° Ordine) 

•Modelli ad una/due eq.;Trasporto delle quantità turbolente (k-e), (k-w), 

•(Chiusure al 2° Ordine- No BQ) 

•Modelli – Trasporto del tensore 

•Modelli con Medie spaziali: L.E.S. 

• Direct Numerica Simulation (DNS) 


+ 

∂u 

∂x 

k 

i 

⎞⎤ 

⎟ 

⎟⎥ 

⎠⎦



Flussi Turbolenti: Esempi di soluzione 






Lo Strato Limite Turbolento: Confronti di Profili di 

Velocità

Fluidodinamica delle Macchine - Dipartimento di Energetica ...

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