Compendio di relatività - Liceo Scientifico Galilei

Se l'avessi saputo,
avrei fatto l'orologiaio.
SI RINGRAZIANO PER LA COLLABORAZIONE I DOCENTI:
Maria Pia Turco
Francesco De Sabata
Tiziana Lomonaco
Cristina Dean
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LA RELATIVITÀ
DALLA FORMULAZIONE DI EINSTEIN ALLE ESTREME APPLICAZIONI IN ASTROFISICA
SOMMARIO
PAG.
§0. SOMMARIO 2
§1. INTRODUZIONE 3
§2. TEORIA DELLA RELATIVITÀ 4
§2.1. La relatività galileiana - Invarianza della velocità della luce 4
§2.2. Esperimento di Michelson & Morley 5
§2.3. Le trasformazioni di Lorentz 5
§2.4. La relatività einsteiniana 7
§2.5. Critica al concetto di contemporaneità 8
§2.6. Conseguenze relativistiche 8
§2.7. Lo spazio-tempo 9
§2.8. Equivalenza massa-energia 10
§2.9. Cenni di relatività generale 10
§3. ASTROFISICA 12
§3.1. Nascita, evoluzione e morte di una stella 12
§3.2. Diagramma di Hertzsprung-Russell 12
§3.3. Evoluzione stellare in base alla massa 13
§3.3.1. Nane bianche 13
§3.3.2. Novæ 13
§3.3.3. Pulsar 13
§3.3.4. Black holes 14
§3.3.4.1. L'imprigionamento della luce 14
§3.3.4.2. Dentro i black holes 15
§3.3.4.3. La discesa nel Mælström 15
§4. Conclusioni 16
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INTRODUZIONE
Nel XIX secolo i sorprendenti risultati del progresso tecnico determinarono una fede illimitata nei procedimenti
scientifici ed una insoddisfazione per la filosofia romantica. La filosofia doveva solo fornire i principi del metodo,
soprattutto per ciò che riguarda individui e società nel loro processo evolutivo. A partire dall’Illuminismo, passando
attraverso Romanticismo e Positivismo, la cultura scientifica giunse fino al Materialismo storico con la convinzione
sempre più salda di poter comprendere l’uomo, il mondo in cui vive ed il suo sviluppo storico, racchiudendoli in una
visione ottimistica e deterministica, dettata dalle semplici leggi fisiche che la caratterizzano.
Tuttavia nell’ultimo decennio dell’800 e nei primi del ‘900 la scienza abbandona l’illimitata fiducia nelle leggi e
negli schemi in cui si era illusa di poter racchiudere, mediante sintesi definitive, l’infinita ricchezza dell’Universo.
La scoperta delle geometrie non-euclidee, la fisica atomica di Planck, la teoria matematica della relatività di
Einstein, le esplorazioni sulla vita psichica inconscia di Freud, portano ad una radicale revisione critica dei modelli
del sapere fino ad allora validi. Tra le scienze che per prime misero in crisi le basi stesse su cui si fondavano, vi si
deve senz’altro annoverare la fisica, grazie all’opera di due grandi scienziati:
Max Planck (1858-1947) ed Albert Einstein (1879-1955).
Il primo di essi è da molti considerato il “padre della fisica moderna”, grazie agli
studi sull’energia; con essi le conoscenze della materia e dell’estensione vennero
rivoluzionate ed i limiti della rappresentazione umana della realtà esterna vennero
messi in luce; le sue teorie aprirono la strada a tutti i successivi sviluppi della fisica
quantistica. Le idee fondamentali della teoria dei quanti ricevettero un’importante
convalida nell’interpretazione di Einstein.
La teoria della relatività è stata definita da Einstein, nella forma che fu detta della
“relatività speciale”, nel 1905, per risolvere l’apparente contraddizione alla quale si
era giunti nello studio dell’elettrodinamica dei corpi in movimento, contraddizione
derivante dalla impossibilità di rilevare sperimentalmente alcuna differenza nella
velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche da parte di un osservatore in
moto rispetto all’ipotetico mezzo, l’etere, sede della propagazione delle onde stesse.
Il fallimento degli esperimenti volti a questo scopo ebbe da Einstein la seguente
spiegazione: l’esistenza dell’etere non può essere rivelata, in quanto ogni movimento è relativo e si misura rispetto
a qualche cosa che è a sua volta in movimento. Come con esperimenti compiuti entro una nave non si può stabilire
se la nave si muove rispetto all’acqua, così non si può misurare la variazione della velocità della luce facendo
ricorso ad un campione di misura che comporta proprio quella variazione; e poiché non abbiamo modo di sottrarci
a tale riferimento, dobbiamo concludere che la velocità della luce è sempre la stessa rispetto ad un osservatore
qualunque. Il maggior merito della teoria della relatività sta proprio nell’aver introdotto nella scienza il concetto di
“relatività” -la nozione che non esiste alcun movimento assoluto nell'universo, solo movimenti relativi- soppiantando
la meccanica tradizionale di Isaac Newton. La teoria di Einstein, da questo punto di vista, si muove nella stessa
direzione della critica mossa da Mach al valore assoluto
dei concetti e delle leggi scientifiche.
Nel 1915 Einstein pubblicò una teoria di portata più
generale, chiamata appunto “relatività generale”, nella
quale vengono approfondite le proprietà dei corpi in
moto accelerato qualsiasi, giungendo a ricondurre ad
un’unica spiegazione le proprietà inerziali e le proprietà
gravitazionali della materia. Einstein mostrò che noi
non stiamo nel piatto spazio euclideo e nell'uniforme
ed assoluto tempo dell'esperienza quotidiana, ma in un
altro sistema: lo spazio-tempo curvo.
Le teorie di Albert Einstein, non solo i lavori sulla
Albert Einstein
Max Planck
relatività ma anche le spiegazioni dell’effetto
fotoelettrico (premiate con il Nobel) e dei moti
browniani, hanno innescato un'importante rivoluzione
in fisica ed in astronomia nel corso del ventesimo secolo. Esse giocarono un ruolo importantissimo in fisica: portarono
infatti all'era nucleare, con i suoi potenziali positivi e negativi, resero possibile la conoscenza del microcosmo delle
particelle elementari e delle loro interazioni; hanno altresì rivoluzionato il nostro punto di vista sul cosmo con le sue
previsioni di fenomeni astronomici apparentemente bizzarri, come il Big Bang, stelle di neutroni, le onde gravitazionali
ed i Black Holes. Alla base delle teorie sulla relatività, argomento che si intende trattare in questa sede, sta il
principio di relatività einsteniano, estensione ai fenomeni fisici di qualsiasi tipo del principio di relatività galileiano,
fondamento basilare della meccanica classica: bisogna perciò partire da una analisi del principio da lui formulato
per una corretta comprensione del significato delle teorie relativistiche.
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TEORIA DELLA RELATIVITÀ
LA RELATIVITÀ GALILEIANA - INVARIANZA DELLA VELOCITÀ DELLA LUCE
La meccanica classica definisce sistemi inerziali quei riferimenti in cui vale rigorosamente il principio
di inerzia, cioè nei quali i corpi non soggetti a forze perseverano nel loro stato di quiete o di moto
rettilineo uniforme. Ciò che stabilisce il primo principio della meccanica non vale per i sistemi di
riferimento solidali con la Terra, a causa dell’accelerazione dovuta al suo moto di rotazione e
rivoluzione. Nei sistemi inerziali un osservatore non può stabilire, con un esperimento di meccanica,
se sia fermo o si stia muovendo di moto rettilineo ed uniforme, rispetto ad
un altro sistema inerziale.
In questi, secondo la meccanica newtoniana, il tempo è un concetto assoluto,
un’entità cioè che scorre uniformemente ed indipendentemente dal sistema
di riferimento.
Le leggi di trasformazione, note come trasformazioni di Galileo, descrivono
le relazioni tra le dimensioni spazio-temporali di due sistemi di riferimento
S e S’ che si muovono lungo la sola direzione x, con una velocità v uniforme,
l’uno rispetto all’altro:
x’ = x-vt
y’ = y
z’ = z
t’ = t
Come già detto, il tempo è assoluto, cioè è possibile sicronizzare due orologi nei due riferimenti,
indipendentemente dalla velocità relativa dei due sistemi.
Ciò fu messo in discussione per la prima volta con lo studio dei fenomeni elettrici e magnetici, nella
prima parte del secolo scorso. Nel 1873 l’elettromagnetismo trovò l’elaborazione più evoluta nella
teoria di J.K. Maxwell, che prevedeva l’esistenza di onde elettromagnetiche, la cui velocità di
propagazione è elevatissima ma ben definita, uguale a quella della luce (c=3x108 Galileo Galilei
m/s).
Maxwell propose che la luce stessa doveva essere un’onda elettromagnetica, o meglio la risposta
visiva ad una radiazione elettromagnetica la cui lunghezza d’onda è compresa fra 0,4 e 0,7 micron;
ciò fu confermato nel 1887 da H.R. Hertz.
L’inatteso comportamento dei fenomeni elettromagnetici passando da un sistema di riferimento ad
un secondo in moto traslatorio uniforme rispetto al primo, violava il principio di relatività galileiana.
Infatti, secondo quest’ultimo la velocità c, come ogni velocità, dovrebbe trasformarsi in:
c’ = c-v’ .
L’osservatore, misurandola e trovando un valore diverso da c, potrà stabilire di muoversi con velocità
v’ rispetto all’altro riferimento. Questo sarà quindi il sistema di riferimento assoluto, l’unico in cui la
luce ha velocità c. Ma questa tesi fu confutata dall’esperienza di Michelson e Morley, i quali trovarono
che la velocità della luce è indipendente dalla velocità della sorgente o di chi la misura.
L’ESPERIMENTO DI MICHELSON E MORLEY
Attorno al 1890 due fisici americani Albert Michelson ed Edward Morley, tentarono di dimostrare
l'esistenza dell'etere e decisero di verificare l’ipotesi della misurabilità del moto della Terra usando la
velocità della luce come riferimento tramite un esperimento.
Si era ipotizzata l'esistenza dell'etere in linea teorica, in quanto non si poteva ammettere che la luce
si propagasse nell’universo attraversando il vuoto: l’etere sarebbe stato il mezzo attraverso il quale
la luce viaggiava, la sostanza esistente ovunque si propagassero onde luminose; esso serviva, per
così dire, a “portare” le onde luminose, così come l’acqua “porta” l’onda che in essa si propaga.
La scoperta della natura elettromagnetica delle onde luminose compiuta da Maxwell ed Hertz aveva
4

anche maggiormente rafforzata la convinzione dell’esistenza dell’etere giacché anche i campi elettrici
e magnetici dovevano pure propagarsi in qualche sostanza, e non già nel vuoto. L’etere doveva
essere l’unica cosa fissa e priva di movimento, come lo sfondo rigido di tutti i movimenti dei corpi
celesti; si volle allora stabilire il modo in cui si possa misurare il movimento dei corpi rispetto all’etere.
L’esperimento si basava su un’ipotesi ben precisa: quando un raggio di luce viene separato in due
fasci fatti viaggiare in direzioni opposte, tali fasci si devono muovere ad deu velocità relativa diverse
rispetto all’etere, inteso quindi come l’unico sistema di riferimento in cui la luce viaggia ad una
velocità c.
In una direzione si aspettavano di rilevare che la luce viaggiava ad una velocità:
c’ = c+v t ;
mentre in direzione opposta:
c’’ = c-v t .
Il risultato dell’esperimento, invece, fu totalmente
sorprendente: non solo sfidava il senso comune, ma
metteva anche in crisi la concezione newtoniana del
moto e della gravità. La sorpresa sta nel fatto che i
raggi luminosi ovunque si osservassero, viaggiavano
solo alla velocità della luce.
Questa esperienza è stata ripetuta parecchie volte con
risultati sempre identici, il che ha portato gli studiosi
a concludere che la velocità della luce non è solo molto
importante, è fondamentale: è una costante fisica
assoluta.
Le due sole soluzioni possibili al problema furono: o
la Terra è ferma nell’Universo, il che è falso, dato che
l’osservazione della parallasse stellare prova che la
Terra gira attorno al Sole, oppure i fondamenti della dinamica newtoniana sono errati, perciò è
impossibile misurare il moto assoluto della Terra nello spazio.
Hendrik Antoon Lorentz
LE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
Data l’inadeguatezza delle trasformazioni newtoniane, si dovettero
trovare leggi fisiche che rimanessero invariate passando da un sistema
inerziale ad un altro. Ciò, applicato alle equazioni di Maxwell, vale purché
le trasformazioni galileiane vengano sostitutite da altre:
x vt
x
v
c
y y
z z
t x
t
v
⎧ '+ '
⎪ =
2
⎪ 1−
2
⎪
⎪ = '
⎪
⎨ = '
⎪
⎪ '+ ' 2
⎪ =
c
2 ⎪ v
−
⎩
⎪ 1 2
c
L’esperimento di Michelson e Morley
x vt
x
v
c
y y
z z
t x
t
v
⎧ −
⎪ '=
2
⎪ 1−
2
⎪
⎪ '=
⎪
⎨ '=
⎪
⎪ − 2
⎪ '=
c
2 ⎪ v
−
⎩
⎪ 1 2
c
Queste furono scritte da H.A. Lorentz nel 1895 e risultano essere identiche nel caso in cui si scambino
i ruoli dei due sistemi di riferimento. Ciò verrà definito da Einstein nel principio di relatività che
5

stabilisce l’invarianza delle leggi della fisica in diversi sistemi inerziali.
Lorentz ha introdotto i due seguenti parametri, che compaiono sempre nelle formule relativistiche.
Il primo è il rapporto tra la velocità v del sistema e quella della luce
Il secondo è:
γ =
β= ν/c
1
1−
β
Come si vede dalle formule e dal grafico, grande importanza
ricopre il rapporto v 2 / c 2 , che per v

LA RELATIVITÀ EINSTENIANA
La teoria della relatività ristretta consta di due principi fondamentali, enunciati
entrambi da Einstein nel 1905, che, insieme, portano alla famosa equazione
E=mc 2 , dove E, m, c rappresentano rispettivamente l’energia, la massa e la
velocità della luce.
Il primo principio della relatività afferma che le leggi fondamentali della fisica
sono uguali ovunque e per qualunque osservatore, indipendentemente da
dove si trovi o dalla velocità costante alla quale eventualmente si muova.
Ne è corollario il fatto che la velocità della luce deve essere la stessa in ogni
sistema inerziale (poiché la misurazione di c è un esperimento scientifico),
indipendentemente dalla velocità della sua sorgente o dell'osservatore.
Il secondo principio della relatività postula che esiste una quarta dimensione,
il tempo, completamente equivalente alle tre solite dimensioni spaziali.
La posizione di un oggetto è normalmente definibile tramite tre dimensioni spaziali, avanti o indietro,
su o giù, dentro o fuori.
Tre dimensioni bastano a descrivere la posizione di un oggetto nello spazio. Ma occorre una quarta
dimensione, il tempo, per descrivere quando, passato o futuro, un oggetto esiste nello spazio.
Aggiungendo il tempo alla tre dimensioni spaziali, Einstein riuscì a completare le manchevolezze
della concezione Newtoniana dell'Universo; ma, quel che più conta, riuscì a giustificare i risultati
dell'esperienza di Michelson e Morley, ipotizzando che il valore numerico della velocità della luce sia
un numero costante assoluto, in qualunque istante, per ogni osservatore, indipendentemente da
come, dove e quando se ne effettui la misurazione.
Spazio e tempo, in effetti sono così strettamente interconnessi nella concezione dell'Universo
di Einstein che egli esortò a considerare queste due quantità non come spazio e tempo ma come una
singola entità: lo spazio-tempo.
Altr ove
Futuro
Altr ove
indietro avanti
Passato
Diagramma spazio-tempo generale
Albert Einstein
La rappresentazione grafica di una superficie quadridimensionale
pone notevoli problemi non solo di ordine tecnico, ma anche di
interpretazione mentale. Per rendersi conto di come si possa
unificare il concetto di tempo con quello di spazio, bisogna
trascurare due dimensioni spaziali. Lo schema a sinistra mostra
un sistema di riferimento spazio-temporale di questo tipo, in cui
il tempo è riportato sull’asse verticale e lo spazio su quello
orizzontale. L’origine del diagramma, il punto di intersezione
degli assi, rappresenta qui nello spazio ed ora nel tempo. Ad un
intervallo di 300000 Km di spazio ne corrisponde uno di un
secondo di tempo. Quindi la velocità della luce è rappresentata
da una linea inclinata di 45°, mentre gli eventi della nostra
esperienza (che avvengono a velocità infinitesimali rispetto a c)
sono linee vicinissime all’asse verticale del tempo. Questo diagramma è diviso in quattro coni; le due
sezioni scure vengono definite altrove, in quanto non possono essere esplorate da alcuna particella:
sarebbe infatti necessaria una velocità maggiore di c; le due sezioni chiare, invece, rappresentano i
due coni all’interno dei quali sono comprese tutte le rette che rappresentano spostamenti a velocità
minore di c; i tracciati possibili devono essere compresi nei coni delimitati dalle linee a 45°.
Ciò implica che, nel cono in cui ci troviamo, un evento non può non solo andare indietro nel tempo
ma nemmeno rimanere in un tempo fisso.
Essenzialmente tutte le leggi e le conseguenze della relatività speciale derivano da questi concetti.
La prima importante conseguenza è la relatività del concetto di simultaneità, di cui parleremo nel
seguente paragrafo.
7

CRITICA AL CONCETTO DI CONTEMPORANEITÀ
Osservando le trasformazioni di Lorentz si vede dalla prima di esse che la distanza lungo l'asse x'
dell'evento considerato dipende non solo dalla distanza lungo l'asse x di questo evento dall'origine,
ma anche dall’istante in cui esso avviene. Analogamente dice che l'istante in cui un evento ha luogo
in un sistema S’ dipende non solo dall'istante in cui esso avviene in S, ma anche dalla sua posizione.
Così due eventi che accadano in luoghi diversi e che appaiano contemporanei ad un osservatore in S,
non appariranno contemporanei ad un osservatore in S’. La contemporaneità dei due eventi non è
più, quindi, un concetto assoluto, bensì dipende dal sistema di riferimento.
CONSEGUENZE RELATIVISTICHE
Dall'osservazione del fattore relativistico γ appare chiaro che a basse velocità un oggetto si comporta
secondo il senso comune e non contraddice le leggi della meccanica classica. Ma una volta che γ si
allontana dall'unità si verificano eventi molto bizzarri. Immaginiamo un aeroplano che ci passi davanti
a bassa velocità; supponendo di poter misurare le sue caratteristiche fisiche, constateremo che i
nostri parametri coincideranno con quelli rilevati dai passeggeri a bordo. Se invece esso ci passasse
davanti ad velocità una prossima a c, γ aumenterebbe. Di conseguenza le due misure non
concorderebbero più e per noi ne risulterebbe un'aeroplano più piccolo. Quanto più è alta la velocità
del velivolo, tanto maggiore risulterà l'entità del suo accorciamento. L'andamento della contrazione,
in funzione della velocità è rappresentato dal grafico che segue.
L'aspetto più interessante di questo strano effetto è che esso è relativo: i passeggeri a bordo
dell'aeroplano, non rileverebbero alcun mutamento, indipendentemente dalla velocità del velivolo.
Questo perché i passeggeri si trovano nel proprio sistema di riferimento, cioè hanno una velocità
nulla rispetto al sistema di riferimento dell'aeroplano. Pertanto gli oggetti contenuti nella cabina
hanno rispetto ai passeggeri γ =1. Ma, guardando fuori dai finestrini, essi si rendono conto del loro
moto rispetto all'osservatore sulla Terra. Perciò tra i due sistemi di riferimento γ è diverso da 1. In
0
altre parole osservando dall'aeroplano noi che siamo fermi, rileveremmo che tutti gli oggetti sono
più piccoli nel senso del moto. Nasce quindi spontanea un'altra domanda: gli oggetti si accorciano
sull'aeroplano o sulla Terra? La ragione è di entrambi, infatti le bizzarre conseguenze della teoria
della relatività, valgono per entrambi, secondo il principio di equivalenza di Einstein.
La lunghezza non è l'unico parametro fisico a subire variazioni a velocità altissime: γ ha effetti anche
m=γ m sulla massa. Se potessimo misurare la massa dell'aereo verificheremo
0
sperimentalmente un aumento di essa e degli oggetti a bordo. Questo
aumento è rappresentato dal grafico a lato.
Come la lunghezza, anche la massa rimane immutata per i passeggeri a
m0 bordo dell'aeroplano: misurata da loro non sarà aumentata neppure la
massa di ogni persona a bordo. Questo perché rispetto all’aeroplano,
i passeggeri hanno γ =1.
8

Infine il fattore relativistico ha effetto anche sul tempo. Ad esempio se
potessimo osservare un orologio a bordo dell'aeroplano constateremmo
che il suo funzionamento è più lento del normale. Nel caso ipotetico di
un aeroplano la cui v sia uguale a c, l'orologio a bordo, rispetto a noi
sarebbe fermo: per noi il tempo all'interno dell'aereo si sarebbe arrestato
(vedi schema).
LO SPAZIO-TEMPO
Nell'Universo di Galileo e di Newton lo spazio ed il tempo sono indipendenti l'uno dall'altro.
Il primo ha tre dimensioni, ovvero tre coordinate individuano un qualsiasi punto dello spazio, ed è
misurato dalla geometria euclidea. La distanza tra due punti è indipendente dall'osservatore che la
misura.
Il tempo, al contrario, è misurato da un unico numero, ma si distingue dalle dimensioni spaziali per
il fatto che esso scorre sempre nella stessa direzione: dal passato verso il futuro. Questa successione
irreversibile degli eventi è detta causalità, poiché la causa precede sempre l'effetto.
Due secoli più tardi, la struttura galileo-newtoniana svanisce di
fronte ad una nuova struttura a quattro dimensioni, lo
spazio-tempo di Minkowski. Un punto nello spazio-tempo è in
realtà un evento individuato dalle sue tre coordinate spaziali e da
quella temporale.
Una rappresentazione dello spazio-tempo è quella dei coni-luce.
Immaginiamo un punto nello spazio che emetta un lampo di luce;
nel vuoto il fronte dell'onda luminosa è una sfera perfetta centrata
nel punto di emissione, il cui raggio cresce, al passare del tempo,
alla velocità della luce. Se sopprimiamo una delle dimensioni
spaziali (vedi §2.4.), la sfera luminosa che si espande nel tempo
diventa un cono, il cui vertice rappresenta il luogo e l'istante (cioè
l'evento) in cui il lampo luminoso è emesso, mentre il cono
descrive la storia del lampo stesso.
Il postulato fondamentale della relatività ristretta
impone che nessuna particella materiale possa
superare la velocità c. Ciò significa che sul
diagramma dello spazio-tempo una qualsiasi
particella materiale descrive una linea d'universo
(nome della traiettoria nello spazio-tempo) situata
all'interno del cono-luce e che, al limite, le linee
di universo dei fotoni si trovano esattamente sulla
superficie del cono. La relatività ristretta non
impone tuttavia alcuna restrizione alle linee
d'universo situate nell'Altrove. Le ipotetiche
particelle, chiamate tachioni, che percorrono
l'Altrove a velocità sempre superiori a c,
potrebbero esistere, ma non interagirebbero mai
con la materia del nostro Universo.
t 0
t=γ t 0
9

L'EQUIVALENZA MASSA-ENERGIA
Tenendo conto che le leggi enunciate da Newton non erano più valide per tutti i casi della fisica,
Einstein arrivò a formulare una nuova espressione dell'energia cinetica che comprendesse, come
caso particolare, quella tradizionale. Partendo dall'equazione fondamentale della dinamica ed indicando
con m la massa a riposo:
0
dp
F = m0a =
dt
al posto di questa ne formulò un'altra, con p e t variabili, che comprendesse come caso particolare:
F m dv = 0 dt
Applicando le trasformazioni di Lorentz si ha:
F =
d
dt
⎡
mv 0
⎢
⎣
1−
v c
⎤
⎥ = γ ma
⎦
2 2 0
Ciò che appare subito evidente è che la massa non è più costante, ma è variabile in funzione della
velocità, secondo la formula:
m m
= 0
2 2 1−
v c
Le due grandezze sono pressoché coincidenti nel campo delle piccole velocità, ma differiscono
notevolmente quando v tende a c.
Per l'energia cinetica, in luogo della classica espressione
E=(mv 2 )/2
occorre sostituire l'espressione meno semplice
2
mc
2
E = = mc γ
2
1− β
Come è chiaro anche qui alle basse velocità β tende a zero. In questo caso l'energia viene chiamata
energia a riposo e vale
E = mc 0 2
Un ascensore privo di
finestrini che acceleri
nello spazio vuoto in
assenza di gravità è ...
CENNI DI RELATIVITÀ GENERALE
Tutte le controintuitive alterazioni delle leggi fisiche descritte
finora derivano direttamente dalla teoria della relatività ristretta.
Si chiama ristretta perché, in tutti i casi esaminati, la velocità tra
i sistemi di riferimento era assunta costante.
Nel 1915 Einstein pubblicò la versione definitiva dei suoi studi,
dove non sussisteva più alcuna restrizione: la relatività generale
si poteva applicare ad ogni tipo di moto, uniforme o accelerato,
e manteneva inalterati i due principi fondamentali della relatività
ristretta, il principio di equivalenza (le leggi fisiche sono identiche
indipendentemente dal moto degli osservatori) e lo spazio-tempo.
Il principio di equivalenza e le sue conferme sperimentali rivelano
che lo spazio tempo è curvato dalla presenza di materia, ma gli
esperimenti non indicano il grado di curvatura da essa prodotto.
Per determinarla, si necessita di una specifica teoria metrica della
gravità, nota come relatività generale, che fornisce una serie di
... indistinguibile da un
ascensore fermo in
presenza di gravità.
10
10

equazioni che permettono il computo della curvatura dello spazio-tempo, data una
quantità di materia. Sono queste le 10 equazioni di campo di Einstein. Altre furono
proposte da C.H. Brans e R. Dicke. Un importante dubbio è se la teoria della relatività
generale sia la corretta teoria della gravità.
L'unico modo per dare risposta a questa domanda è attraverso gli esperimenti. Nel
corso degli anni gli studiosi hanno messo a punto vari test per la verifica della teoria
della relatività generale; i più importanti sono tre, proposti da Einstein: il red shift
gravitazionale, la deflessione dei raggi luminosi e lo spostamento del perielio di
Mercurio.
Il “red shift” gravitazionale (o spostamento verso il rosso), a cui sono soggette le
radiazioni emesse dagli oggetti celesti è stato verificato sperimentalmente. I fotoni
emessi alla base di una torre, quando raggiungono il rivelatore in cima ad essa, hanno
lunghezza d'onda più vicina al rosso (fig.1), in quanto la curvatura dello spaziotempo
provocata dalla massa della Terra è leggermente maggiore alla base che in
cima, ne risulta una piccola variazione di frequenza della radiazione. Tale valore è
totalmente e direttamente controllabile, a differenza degli esperimenti astronomici.
Il valore rilevato concorda esattamente con quello previsto in base alla relatività
generale.
Le radiazioni emesse dalle
stelle, raggiungono la Terra
seguendo un percorso
rettilineo, se non passano
vicino al Sole. Quando
invece transitano nelle
vicinanze della nostra stella,
che ha massa elevata, le
radiazioni vengono deviate.
La teoria di Einstein prevede
che le traiettorie di raggio di
luce, o qualunque altro tipo
Fig. 2
di radiazione, si incurvi
quando attraversa lo spazio-tempo curvo
circostante un oggetto massiccio. In condizioni normali è impossibile osservare la deviazione della
luce stellare che sfiora il Sole, per cui dal 1919 ogni eclisse solare ha costituito un esperimento sulla
relatività. In anni recenti, poi, sono state analizzate anche le sorgenti radio cosmiche, le cui radiazioni
sfiorino il Sole. I risultati di tutti questi esperimenti confermano invariabilmente le previsioni della
relatività. In figura 2 la deflessione è volutamente esagerata.
L’ultimo test riguarda la precessione delle orbite dei pianeti.
Quella di Mercurio è maggiore di tutto il sistema solare, poiché
Mercurio è il pianeta più interno e quindi il più influenzato
dalla curvatura spazio-temporale del Sole (in figura 3 le
proporzioni sono enormemente esagerate). La teoria della
gravità di Newton non riusciva a spiegare completamente
questo fenomeno e ciò contribuì a dimostrare la sua inesattezza.
Facendo uso della propria teoria della relatività, Einstein fu in
grado di spiegare matematicamente e con precisione la
peculiarità dell’orbita di Mercurio.
Queste tre prove furono fondamentali per l’affermarsi di questa
nuova e strabiliante teoria.
Fig. 3
Fig. 1
11
11

ASTROFISICA
Il Sole è l'unica stella della quale possiamo osservare la superficie, ma le conoscenze già acquisite
sull'universo al di fuori del sistema solare sono ugualmente molto numerose: anzi, si può dire, ad
esempio, che ne sappiamo di più sulle stelle che su Plutone, il pianeta più esterno del sistema solare.
Tutto questo è possibile perché le stelle, ed anche i gas interstellari, irradiano energia nello spazio in
tutte le direzioni; analizzando tali radiazioni, è possibile decifrare le informazioni che esse nascondono:
è quello che sono riusciti a fare gli astronomi, che hanno messo a punto metodi e tecniche di ricerca
veramente efficaci.
NASCITA, EVOLUZIONE E MORTE DI UNA STELLA
La formazione di una stella prende avvio all'interno delle nebulose, ammassi di fine materia interstellare,
formate di polveri e gas freddi (soprattutto H ed He); al loro interno possono innestarsi moti turbolenti
2
dovuti a fenomeni contingenti (p.es. l'esplosione di una stella vicina), provocando un avvicinamento
ed un inizio di aggregazione tra i corpuscoli della nube. Proseguendo l'addensamento e la contrazione
aumenta l'energia cinetica, e di conseguenza la temperatura, del corpo gassoso, che prende il nome
di protostella. Per la forza di gravità la contrazione prosegue finché il nucleo della protostella non
raggiunge temperature dell'ordine di 15 milioni di K, sufficienti a far innescare il processo di fusione
termonucleare dell'idrogeno in elio. L'energia termica liberata dalla fusione nel nucleo compensa la
forza gravitazionale, giungendo così ad una fase di stabilità, durante la quale la stella adulta si trova
sulla sequenza principale del diagramma di H-R (cfr. §3.2.).
Quando l'idrogeno è prossimo all'esaurimento, la forza di gravità non è più bilanciata dall'energia
termica; il materiale soprastante, non più sostenuto dal basso, torna a cadere verso il centro.
La temperatura al suo interno sale fino a valori abbastanza alto da innescare le reazioni termonucleari.
Viene così prodotta energia in un “guscio” interno che circonda la zona centrale (nucleo), dove
l’idrogeno incombusto si trasforma in elio. L’energia così prodotta “spinge via” l’involucro gassoso
esterno che si espande enormemente e si raffredda: si ha la gigante rossa.
Se la massa iniziale della stella è sufficientemente elevata, si innescano altre reazioni termonucleari
che producono nuovi elementi chimici; quando
l’idrogeno tende ad esaurirsi, l’elio si trasforma in
carbonio; successivamente si formano elementi
sempre più complessi. Tuttavia neppure le stelle di
dimensioni molto elevate riescono a mantenere
indefinitamente le fusioni nucleari perché, giunti
alla produzione del ferro la catena si interrompe:
dal ferro in poi la fusione può essere ottenuta solo
fornendo energia. Questa fase segna l’arresto
definitivo della produzione di energia
termonucleare all’interno della stella: è la fine. Il
Sequenza principale
materiale collassa rapidamente, liberando energia
gravitazionale in quantità tale da far esplodere la
stella.
DIAGRAMMA DI HERTZSPRUNG-RUSSELL
All'inizio di questo secolo gli astronomi Ejnar Hertzsprung e Henry Russell riportarono in un
diagramma la relazione fra la luminosità e la temperatura superficiale delle stelle. La disposizione dei
punti sul diagramma riflette le grandi linee dell'evoluzione stellare; le stelle sono in gran parte
raggruppate sotto una stretta banda, detta Sequenza Principale. Questo stato corrisponde alla fase
12 12
12

stabile di combustione dell'idrogeno nel nucleo della stella. Un altro gruppo di stelle si estende
orizzontalmente sopra la Sequenza Principale, ed è costituito di giganti e supergiganti rosse. Infine,
occupano la regione situata al di sotto della Sequenza Principale delle nane bianche.
EVOLUZIONE STELLARE IN BASE ALLA MASSA
La massa di una stella ne condiziona il cammino dopo lo stadio di gigante rossa, indirizzandola verso
lo stadio di nana bianca, nova, pulsar o buco nero.
NANE BIANCHE
Se la massa iniziale è di poco inferiore a quella del sole, la stella
collassa per gravità fino a divenire un corpo delle dimensioni
della Terra, con densità di milioni di g/cm 3 , e la materia che la
compone si presenta in uno “stato degenere”; concentrata in
una superficie talmente ridotta, la temperatura diviene così
elevata che la stella è letteralmente scaldata al calor bianco: si
stima superare i dieci milioni di gradi. Queste due caratteristiche,
piccolissime dimensioni e temperatura superficiale elevata, le
valgono il nome di nana bianca. E’ stato calcolato che possono
vivere più di 2000 miliardi di anni in questo stato. Ma anche
esse sono destinate a raffreddarsi lentamente ed a divenire corpi
oscuri di materia inerte (nane nere).
NOVÆ
Stelle con massa iniziale prossima o di poco maggiore a quella
del Sole (tra 0.8 e 8 volte), finiscono ugualmente come nane
bianche, attraversando, però, prima una fase particolare. Durante
lo stadio di giganti rosse, espellono i loro strati più esterni che
trascinati dal vento stellare danno origine a nubi sferiche di gas in espansione dette nebulose
planetarie. Con la perdita dell'involucro esterno la stella si trasforma in un nucleo rovente, che si
contrae e si riscalda ulteriormente, la cui radiazione provoca la luminosità della nebulosa planetaria
per un fenomeno di fluorescenza. Dopo alcune migliaia di anni la fusione si esaurisce, la stella inizia
a raffreddarsi, perde luminosità e diventa una nana bianca.
In alcuni casi si osservano improvvise esplosioni stellari, caratterizzate da un rapidissimo aumento di
luminosità (fino a 150 000 volte): tali stelle sono dette novæ e si ritiene che si manifestino in un
sistema binario, costituito da una gigante rossa molto vicina ad una nana bianca calda. La nana
bianca attrarrebbe gas ricco di idrogeno strappandolo alla gigante rossa; tale materia viene riscaldata
nel processo di avvicinamento tanto da giungere un valore prossimo al milione di gradi, sì da innescare
una violenta reazione termonucleare. La nana bianca torna poi allo stato di riposo accumulando gas
fino ad una nuova esplosione.
PULSAR
Se la massa della stella supera di almeno una decina di volte quella del Sole la teoria dell'evoluzione
stellare indica che all'esaurirsi del combustibile nucleare, il collasso gravitazionale sarebbe così grande
da provocare un'immane esplosione che disperde gran parte della stella nello spazio; tali stelle sono
dette supernovæ. Il materiale residuo collassa per gravità ma la sua massa è ancora così grande che
la contrazione fa assumere alla materia una densità fino ad un valore critico di 10 14 g/cm 3 . Basti
pensare che 100 000 tonnellate di materia starebbero in un ditale da cucito! In queste condizioni la
materia subisce un'ulteriore trasformazione: grazie ad un decadimento β inverso, un protone ed un
13 13
13

elettrone reagiscono e formano un neutrone ed un neutrino. La stella raggiunge un diametro di soli
20~30 Km. Questa stella di neutroni è difficilmente individuabile per via ottica, ma è stata scoperta
nel 1967 da Jocelyn Bell a causa delle sue caratteristiche emissioni di radiazioni; poiché il suo campo
magnetico è molto forte e la velocità di rotazione aumenta moltissimo a causa della contrazione
(fino a decine di giri al secondo), l'energia che essa diffonde nello spazio (onde radio, luce, raggi X
e γ) appare a chi la osserva come una rapida pulsazione ritmica. Questi oggetti sono chiamati pulsar.
BLACK HOLES
“... Buchi neri, è un soprannome denigratorio, dettato dall’invidia: sono tutto il contrario di buchi,
non c’è nulla di più pieno e pesante e denso e compatto, con una ostinazione nel reggere la gravità
che portano in sé, come stringendo i pugni, serrando i denti, inarcando la gobba ... ”
(M. Calvani - M. Capaccioli).
Anche se con le stelle di neutroni la densità sembra aver raggiunto i suoi limiti, esistono altri corpi,
di massa originaria pari a qualche decina di volte quella del Sole, che dopo la fase di supernova,
subisce un collasso gravitazionale, cui nessuna forza può far fronte; questi corpi sono detti black holes
(buchi neri), che si presentano come vortici in grado di attrarre entro di sé qualunque corpo o
particella, comprese le radiazioni, anche quelle luminose.
Il termine black holes venne utilizzato per la prima volta il 29 dicembre 1967, durante una conferenza
data a New York da John Archibald Wheeler. La definizione elementare di buco nero è la seguente:
una regione dello spazio-tempo all’interno della quale il
campo gravitazionale è tanto intenso da impedire alla
materia ed alla radiazione di sfuggire. Poiché un campo
gravitazionale intenso significa anche dire elevata
concentrazione di materia, per “fabbricare” un buco nero,
Quando le dimensioni della stella sono
inferiori a R , essa è ormai un Black Hole
bisogna quindi che una certa massa sia racchiusa entro un
certo volume critico, le cui dimensioni sono date, nel caso
sferico, dal raggio di Schwarzschild:
ℜ= 2 2
MG0
2
c
L'IMPRIGIONAMENTO DELLA LUCE
Supponiamo che una stella perfettamente sferica ed immersa nel vuoto, collassi senza alcuna
distorsione al di sotto del proprio raggio di Schwarzschild e la sua calda superficie emetta radiazione.
Ora esamineremo il progressivo imprigionamento della luce e la transizione verso lo stato di buco
nero. In figura sono rappresentati quattro
episodi del collasso gravitazionale di una
stella che trattiene sempre più la luce.
Prima del collasso (a), la massa della stella
occupa un volume molto maggiore di
quello delimitato dal raggio di
Schwarzschild. Secondo la teoria della
relatività generale, il suo campo
gravitazionale influenza solo leggermente
lo spazio-tempo e la luce emessa in un
punto della superficie della stella può
sfuggire in linea retta in qualsiasi direzione.
Poi la stella collassa (b) e, mano a mano
che il raggio della stella si avvicina a R, la
curvatura dello spazio tempo si accentua Le quattro fasi dell’imprigionamento della luce
14
14

e le traiettorie dei raggi luminosi sono deviate dalla linea retta. Quando il raggio della stella raggiunge
il valore 1,5 R, i segnali luminosi emessi tangenzialmente ricadono sulla superficie come il getto di
una fontana. Man mano che il collasso prosegue, sempre meno raggi luminosi riescono ad evadere
ed il cono di scappamento della luce (porzione di spazio-tempo entro il quale risiedono i raggi
luminosi in grado di sfuggire dalla stella) si assottiglia (c). Quando la stella raggiunge la dimensione
critica R, tutti i raggi luminosi sono imprigionati, anche quelli che vengono emessi radialmente.
Il cono di scappamento si è completamente chiuso e la sfera fotonica è scomparsa: è così nato il buco
nero (d).
DENTRO I BLACK HOLES
A differenza di nane bianche e stelle di neutroni, in cui il collasso gravitazionale è interrotto dalla
resistenza interna della materia, una volta varcato il raggio di Schwarzschild niente può arrestare il
collasso gravitazionale del buco nero. La massa è teoricamente concentrata nel suo centro, nella
cosiddetta singolarità (concetto molto complesso, non ancora risolto completamente dalla fisica
moderna, che ci limitiamo solo a nominare).
L'interno di un buco nero viene talvolta assimilato
ad un mondo alla rovescia e trae origine dalla
seguente analogia. Nella regione esterna al buco
nero è possibile spostarsi nello spazio in una
direzione qualsiasi, mentre il tempo scorre in una
sola direzione (causalità §2.7.). All'interno del
black hole i ruoli sono invertiti: la coordinata che
indicava il tempo diviene del tipo spaziale, mentre
quella che descrive la distanza dal centro del buco
diviene direttiva (come il tempo cui siamo
abituati). La materia perciò è condannata a vedere
Le traiettorie possibili vicino ad un Black Hole
la sua coordinata di distanza sempre diminuire,
così come nello spazio-tempo gli eventi sono
trascinati verso tempi sempre crescenti.
Fra il momento in cui un corpo precipita in caduta libera verso un buco nero ed il momento in cui
esso raggiunge la singolarità centrale trascorre un intervallo di tempo proprio ben definito. Tuttavia,
l'avvicinamento al buco nero visto da un osservatore esterno implica un tempo apparente infinito:
l'attraversamento dell'orizzonte degli eventi (limite del buco nero) per lui non si verifica mai.
LA DISCESA NEL MÆLSTRÖM
Osservando un vortice, sia che si tratti del semplice
mulinello d'acqua che si forma allo scarico della vasca
da bagno, sia che dei giganteschi Mælström prodotti
dalle correnti marine, è possibile notare la loro analogia
coi buchi neri. In un vortice l'acqua è trascinata in un
movimento a spirale scomponibile in un moto
circolare con velocità tangenziale, ed in un moto
traslatorio con velocità radiale.
Immaginiamo una nave a motore, la cui velocità
massima sia 25 Km/h; può evidentemente muoversi
secondo il volere del pilota, lontano dal vortice; ma
avvicinandosi ad esso arriverà ad un punto in cui la
velocità circolare della corrente marina sarà uguale a
25 Km/h (limite L). In questo momento critico la nave
L
rotte possibili
Le traiettorie possibili dentro un Black Hole
M
15 15
15

non è più capace di mantenere la direzione voluta dal pilota, neppure facendo girare il motore a tutta
forza. Le sue possibilità di navigazione si riducono mano a mano che si sprofonda, ma può ancora
uscirne navigando lungo una rotta a spirale uscente. Oltre un certo limite M, la velocità radiale
raggiunge i 25 Km/h: a questo punto le rotte possibili si immergono talmente nelle fauci che la nave
viene inghiottita dal Mælström e distrutta.
L'analogia col black hole è chiarissima: il centro del vortice è il buco nero, la superficie del mare
scavata dal vortice è lo spazio tempo incurvato dalla gravitazione, e la nave è un veicolo spaziale o
una particella la cui velocità massima è c.
Il limite L viene denominato limite statico. Il limite M oltre il quale la nave viene inesorabilmente
inghiottita è l'orizzonte degli eventi, il vero e proprio confine del buco nero. La regione tra i due è
stata definita da John Wheeler ergosfera, poiché teoricamente è possibile sfruttarne alcune proprietà
per estrarre energia di rotazione.
CONCLUSIONI
Da quando il telescopio spaziale Hubble è entrato in orbita, ci capita sempre più spesso di rimanere
increduli di fronte a quegli “esotici” oggetti che ci vengono esposti in rassegna. Volendo approfondire
la natura ed il funzionamento dei corpi celesti, pur rimanendo entro i nostri limiti di studenti liceali,
abbiamo deciso di inoltrarci nello sconfinato campo dell’astrofisica, pur ricordando le celebri parole
di Dante. L’elemento più importante che ci ha spinti a compilare questo compendio è la sensazione
di infinità e di ignoto che infonde l’osservazione dell’Universo.
Volendo qui terminare e non dilungarci maggiormente, vorremmo ricordare una frase che ha
caratterizzato lo spirito di questo lavoro:
“L’eternità è lunga... soprattutto verso la fine” (Woody Allen).
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