Cenni di TEORIA DEI NUMERI - Liceo Scientifico XXV Aprile

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07−senza−parole.nb 3 gImport"homemichelemathnumbtquadratifibo2.jpg"; Showg; La somma dei quadrati dei numeri di Fibonacci da 1 fino ad n e’ uguale al prodotto dell’ ultimo per il successivo : Fn Fn1
08−decompo.nb 1 Decomposizioni folli: somme e prodotti infiniti Somme e prodotti di infiniti termini Quello delle somme (serie, simbolo: k0 Ak ) di infiniti termini e dei prodotti di infiniti fattori (produttorie, simbolo: k0 Bk) e’ un argomento molto affascinante e ha storicamente rappresentato i primi tentativi di approccio all’"infinito" in Matematica. Nel seguito, te ne presento qualche esempio, condotto in maniera naive, cioe’ senza riguardi alle questioni relative alla convergenza. Una classica serie per Π (sviluppo dell’arctan) Ponendo zx 2 nella onnipresente serie geometrica 1 1z 1zz2 z3 ... , si ottiene il seguente sviluppo a segni alterni. 1 1x 2 1x2 x 4 x 6 .... Dall’ Analisi, si sa che l’integrale di arctanxx x3 3 x5 5 x7 ... 7 k0 1 1x 2 e’ proprio arctan(x), per cui, integrando i due membri, avremmo: 1 k x2k1 2k1 Ponendo x=1 e ricordando che arctan1 Π , si ha che sommando gli inversi di tutti i numeri dispari, ma a segno alterno, 4 si ottiene Π/4: La formula di Wallis per Π Π 1 4 1 3 1 5 1 7 1 .... 9 E se provassimo ad applicare il teorema della decomposizione polinomiale (uno zero, un fattore) a funzioni che non siano polinomi? La funzione sin(x), ad esempio, ha, oltre x=0, anche gli zeri positivi nΠ e gli zeri negativi −nΠ, con n=1,2,3 ... Uhm. Ma se ad ogni zero devo associare un fattore, qui abbiamo a che fare con infiniti fattori, quali x, 1 x ), 1 Π x ), Π 1 x x ), 1 ), etc. Associandoli a coppie (il positivo col negativo) e lasciando fuori il solo x=0, arriveremmo ad una 2Π 2Π decomposizione del tipo: sin x x x2 1 Π2 x2 1 4Π 2 x2 1 9Π 2 x2 1 16Π 2 ... Qualunque cosa essa significhi, deve valere per ogni x; ad esempio, deve valere per x Π . Sostituendo questo valore nella 2 relazione precedente e riarrangiando un po’ i termini, troviamo la celebre Identita’ di Wallis: Π 2 224262 .... 325272 ....
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