Onde e Calore - Dipartimento di Matematica

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria
converge per ogni a > 0, e converge uniformemente per ogni a ≥ a > 0, possiamo dire che la
nostra serie
∞
un (x, t)
n=1
converge uniformemente fintantoché t ≥ t > 0. Quindi converge pure la serie che definisce
u(x, t). Faccio notare come della funzione ϕ(x) abbiamo assunto solo la limitatezza e che tutte
le affermazioni sulla convergenza sono valide per t ≥ t > 0. Se vogliamo che anche per t = 0 la
serie converga allora dobbiamo enunciare il teorema
Convergenza per t = 0. Se ϕ(x) è continua e ϕ(0) = ϕ(L) = 0 ed inoltre ϕ(x) è derivabile a
tratti con derivata continua laddove esiste, allora la serie
+∞
n=1
Bn (0)e −c2λnt πn
sin
L x, Bn (0) = ϕ L
2
n = ϕ(x) sin
L 0
πn
L xdx
converge e definisce una funzione continua per t ≥ 0.
Dimostrazione Le condizioni su ϕ(x) sono sufficienti a far si che la sua serie di Fourier di ϕ(x)
converga assolutamente ossia
|
+∞
n=1
+∞
n=1
|ϕ n | < +∞. Ciò implica che anche la serie
B n (0)e −c2 λnt sin πn
L
x| ≤ |
converge definendo una funzione continua per ogni t ≥ 0
+∞
n=1
B n (0)| < +∞
Soluzione della non omogenea e condizioni al bordo nulle
Dia data la equazione
Scriviamo la soluzione come u(x, t) =
L
2
L 0
u t − c 2 u xx = f(x, t) 0 < x < L, 0 < t > 0
u(x, 0) = 0, u(0, t) = u(L, t) = 0
+∞
n=1
f(y, t) sin πn
ydy. Sostituendo nella equazione si ha
L
+∞
n=1
La (6.3) è vera se tutti i suoi coefficienti sono nulli ossia
un (x, t) sin πk
+∞
x e f(x, t) = fn (t) sin
L
n=1
πk
L x, fn (t) =
sin πn
L x
2 2
π n
L2 c2un + u ′
(t) − fn (t) = 0 (6.3)
π 2 n 2
L 2 c2 u n + u ′ (t) − f n (t) = 0 (6.4)
21/novembre/2010; esclusivamente per uso personale, è vietata ogni forma di commercializzazione 13