Onde e Calore - Dipartimento di Matematica

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Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria 9. Esempio 2 Risolvere l’equazione: u tt − u xx = sin t, 0 < x < π, t > 0 u(x, 0) = 0, u t (x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ π u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, t ≥ 0 È una equazione non omogenea con condizioni al bordo nulle per cui la soluzione si scrive seguendo (2.2) (2.3) da cui, tenendo conto che in questo caso ϕ(x) = ψ(x) = 0 e che f(x, t) = sin t +∞ k=1 (9.6) (u ′′ k + k2uk ) sin kx = 1 · sin t (9.7) per cui dobbiamo trovare la serie di Fourier della funzione che vale 1 se 0 < x < π e −1 se −π < x < 0. I coefficienti sono pari a π 2 sin kx dx = − π 0 2 kπ e quindi (9.7) diventa Ne segue +∞ k=1 (u ′′ cos kx π x=0 = − 2 kπ ((−1)k − 1) = k + k2 +∞ uk ) sin kx = ck sin kx sin t, ck = k=1 ⎧ ⎨ 0 k pari ⎩ 4 kπ ⎧ ⎨ 0 k pari ⎩ 4 kπ k dispari k dispari u ′′ k + k2 u k = 0, k pari, u ′′ k + k2 u k = c k sin t k dispari u ′′ k + k2 u k = 0 =⇒ u k (t) = a k cos kt + b k sin kt u ′′ k + k2uk = ck sin t =⇒ uk (t) = ak cos kt + bk sin kt + ck k2 sin t k = 1 − 1 u ′′ 1 + u1 = c1 sin t =⇒ u1 (t) = a1 cos t + b1 sin t − c1 t cos t k = 1 2 Notare che per k = 1 nasce una risonanza. La condizione u(x, 0) = 0 implica +∞ k=1 mentre u t (x, 0) = 0 dà ossia u k (0) sin kx = +∞ k=1 +∞ ak sin kx = 0 =⇒ ak = 0 k=1 u ′ k (0) sin kx = 0 =⇒ u′ k = 0 kb k + c k k 2 − 1 = 0, k = 1, b 1 − c 1 2 = 0, b k ck = − k(k2 − 1) , b1 = c1 /2 21/novembre/2010; esclusivamente per uso personale, è vietata ogni forma di commercializzazione 18 (9.8)
Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria Dalla successione {b k } si costruisce u(x, t) ed a causa della risonanza la soluzione non è limitata per t → +∞. 9. Esempio 3 Risolvere l’equazione: u t − u xx = sin x, 0 < x < π, t > 0 u(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ π u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, t ≥ 0 Come al solito la soluzione è espressa come u(x, t) = +∞ k=1 u ′ k + k2 u k ) sin kx = sin x =⇒ u k (t) = u k (0)e −k2 t , u1 (t) = u 1 (0)e −t + 1. u(x, 0) = (1 + u 1 (0)) sin x + Alla fine abbiamo +∞ k=1 u k (t) sin kx da cui u ′ k + k2 u k = 0 k = 1, u ′ 1 + u1 = 1 u(x, t) = (1 + u1 (0)e −t +∞ ) sin x + uk (0)e −k2t sin kx +∞ k=1 k=1 u k (0) sin kx = 0 =⇒ u 1 (0) = −1, u k (0) = 0, k = 1 u(x, t) = (1 − e −t ) sin x−−−−→ t→+∞ sin x 21/novembre/2010; esclusivamente per uso personale, è vietata ogni forma di commercializzazione 19 (9.9)
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