Onde e Calore - Dipartimento di Matematica

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria
Se invece g(x) ≡ 0 si ha
u(x, t) = 1
+∞
ckπ
(f(x + ct) + f(x − ct) + gk cos
2 L
k=1
πk
L (x + ct) − cos L
(x − ct) =
πk
= 1
x+ct
1
(f(x + ct) + f(x − ct) + g(y)dy
2 2 x−ct
(1.24)
2. Esistenza della soluzione per l’equazione non omogenea e condizioni al bordo
nulle
L’equazione è
Abbiamo
f(x, t) =
ϕ(x, t) =
ψ(x, t) =
Sostituendo in (2.1) si ha
da cui
u tt − c 2 u xx = f(x, t), 0 < x < L, t > 0
u(x, 0) = ϕ(x), u t (x, 0) = ψ(x), 0 ≤ x ≤ L
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t ≥ 0
+∞
n=1
+∞
n=1
+∞
n=1
+∞
n=1
fn (t) sin πn
L x, f L
2
n (t) =
L 0
ϕn (t) sin πn
L x, ϕ L
2
n (t) =
L 0
ψn (t) sin πn
L x, ψ L
2
n (t) =
L 0
Una volta ottenuta u n (t) si passa alle condizioni iniziali
u(x, 0) = ϕ(x) =
u t (x, 0) = ϕ(x) =
sin πn
xf(x, t)dx
L
sin πn
xϕ(x, t)dx
L
sin πn
xψ(x, t)dx
L
(2.1)
sin πn
L x −c 2 λ 2 n u n (t) − u′′ (t) + f n (t) = 0 (2.2)
+∞
k=1
+∞
k=1
c 2 λ 2
n u n (t) + u′′ (t) = f n (t) (2.3)
un (0) sin πn
+∞
x = ϕn sin
L
k=1
πn
L x =⇒ un (0) = ϕn u ′
n
+∞ πn
(0) sin x =
L
k=1
ψn sin πn
x =⇒ u′ n
L (0) = ψn Esistenza della soluzione per l’equazione non omogenea e condizioni al bordo generiche
21/novembre/2010; esclusivamente per uso personale, è vietata ogni forma di commercializzazione 5