Onde e Calore - Dipartimento di Matematica
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Paolo Perfetti, <strong>Dipartimento</strong> <strong>di</strong> matematica, II Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> Roma, facoltà <strong>di</strong> Ingegneria<br />
Una volta trovato u n (t) la soluzione è<br />
e la con<strong>di</strong>zione inziale <strong>di</strong>venta<br />
u(x, t) =<br />
+∞<br />
n=1<br />
+∞<br />
n=1<br />
un (t) sin πn<br />
x (6.5)<br />
L<br />
un (0) sin πn<br />
x = 0<br />
L<br />
che può verificarsi solo se u n (0) = 0. Da ciò segue che l’equazione (6.4) è risolta da<br />
per cui la (6.3) <strong>di</strong>venta<br />
u(x, t) =<br />
u n (t) =<br />
+∞<br />
n=1<br />
t<br />
Usando l’espansione <strong>di</strong> Fourier <strong>di</strong> f(x, t) abbiamo<br />
u(x, t) =<br />
t L<br />
0<br />
=<br />
<br />
2<br />
L<br />
+∞<br />
n=1<br />
0<br />
e −c2 λ 2<br />
n (t−τ) f n (τ)dτ<br />
sin πn<br />
L x<br />
t<br />
e<br />
0<br />
−c2λ 2<br />
n (t−τ) <br />
fn (τ)dτ<br />
e −c2 λ 2<br />
t L<br />
.<br />
= G(x, z, t − τ)f(z, τ)dzdτ<br />
0 0<br />
n (t−τ) sin πn<br />
G(x, z, t − τ) = 2<br />
+∞<br />
e<br />
L<br />
n=1<br />
−c2λ 2<br />
L<br />
n (t−τ) sin πn<br />
πn<br />
x sin<br />
L z<br />
<br />
f(z, t)dzdt . =<br />
L<br />
x sin πn<br />
L z<br />
21/novembre/2010; esclusivamente per uso personale, è vietata ogni forma <strong>di</strong> commercializzazione 14
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