Onde e Calore - Dipartimento di Matematica

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria
Ora dobbiamo soddisfare le condizioni iniziali della soluzione. Poiché u(0, t) = 0 e ut (0, t) = 0
per ogni t ≥ 0, ne segue che f(0) = 0 = g(0). Estendiamo la funzione f(x) in modo dispari a
tutto R definendo
f(x) 0 ≤ x ≤ L
F (x) =
(1.16)
− f(−x) − L ≤ x ≤ 0
Essendo dispari, il suo sviluppo di Fourier sarà fatto da soli seni per cui
F (x) =
+∞
k=1
+∞
fk sin |λk |x =
L’uguaglianza u(x, 0) = f(x) ci dà
u(x, 0) =
+∞
k=1
k=1
A k sin |λ|x =
fk sin kπ
L x, f L
2
k = f(x) sin
L 0
πk
L xdx (1.17)
+∞
k=1
La stessa cosa facciamo per la funzione g(x) ossia definiamo
e quindi
u t (x, 0) =
+∞
k=1
Alla fine la soluzione è
u(x, t) =
G(x) =
g(x) 0 ≤ x ≤ L
Bkc |λk | sin +∞
|λ|x =
+∞
k=1
Supponiamo che g(x) ≡ 0. Abbiamo
u(x, t) =
+∞
k=1
f k sin kπ
L x =⇒ A k = f k (1.18)
− g(−x) − L ≤ x ≤ 0
k=1
gk sin kπ
L x =⇒ gk = B ckπ
k
L
(1.19)
(1.20)
gk = 2
L
g(x) sin
L 0
πk
L xdx (1.21)
L
fk cos(c |λk |t) + gk ckπ sin(c
|λk |t) sin |λk |x (1.22)
f k
2
+∞
k=1
sin
fk cos(c |λk |t) sin |λk |x =
πk
(x + ct)
L
1
(f(x + ct) + f(x − ct)
2
πk
+ sin (x − ct) =
L
(1.23)
e come si vede l’effetto è quello di due onde viaggianti, quella col segno meno verso destra e
quella col segno più verso sinistra.
21/novembre/2010; esclusivamente per uso personale, è vietata ogni forma di commercializzazione 4