Onde e Calore - Dipartimento di Matematica

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria
3. Soluzione della equazione per disomogeneità stazionarie
e condizioni al bordo costanti
Abbiamo la equazione
u tt − c 2 u xx = f(x), u(x, 0) = ϕ(x), u t (x, 0) = ψ(x), 0 ≤ x ≤ L
u(0, t) = µ 1 , u(L, t) = µ 2 , t ≥ 0
µ 1 e µ 2 costanti. Decomponiamo la soluzione come u(x, t) = U(x) + V (x, t) ed otteniamo
da cui
u tt − c 2 u xx = −c 2 U xx + V tt − c 2 V xx
⎧
⎪⎨
Vtt − c
⎪⎩
2 Vxx = f(x, t) + c 2 Uxx , 0 < x < L
V (x, 0) = ϕ(x) − U(x, 0) . = ϕ(x), Vt (x, 0) = ψ(x) . = ψ(x), 0 ≤ x ≤ L
V (0, t) = µ 1 − U(0), V (L, t) = µ 2 − U(L), t ≥ 0
Risolviamo a questo punto i due problemi
(3.1)
(3.2)
(3.3)
c 2 U xx = −f(x), U(0) = µ 1 , U(L) = µ 2 (3.4)
⎧
⎪⎨
Vtt − c
⎪⎩
2 Vxx = 0, 0 < x < L
V (x, 0) = ϕ(x) − U(x), Vt (x, 0) = ψ(x),
V (0, t) = V (L, t) = 0, t ≥ 0
0 ≤ x ≤ L
La soluzione di (32) è immediata. La soluzione di c 2 U xx = −f(x) è data da
e poi le condizioni al bordo conducono a
(3.5)
U(x) = a + bx − 1
c2 x x1
dx1 dx2f(x2 ) (3.6)
0 0
U(x) = µ 1 + µ 2 − µ 1
x + (
L
x 1
− 1)
L c2 x x1
dx1 dx2f(x2 ) (3.7)
0 0
21/novembre/2010; esclusivamente per uso personale, è vietata ogni forma di commercializzazione 7