Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...
Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...
Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong>:<br />
<strong>Appunti</strong> <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> <strong>Teorica</strong><br />
a cura <strong>di</strong> S. Esposito e E. Recami
(Riproduzione vietata)
In<strong>di</strong>ce<br />
Prefazione vii<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927 1<br />
1.1 Potenziale elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br />
1.2 Potenziale ritardato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.3 Energia mutua <strong>di</strong> due <strong>di</strong>stribuzioni <strong>di</strong> masse elettriche o<br />
magnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.4 Effetto pellicolare in condutture elettriche cilindriche<br />
omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.5 Teoria termo<strong>di</strong>namica delle pile termoelettriche . . . . . . 10<br />
1.6 Energia <strong>di</strong> un conduttore isolato . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.7 Attrazione <strong>di</strong> masse lontane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.8 Formulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
1.9 Linee elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
1.10 Densità <strong>di</strong> una <strong>di</strong>stribuzione sferica . . . . . . . . . . . . . 19<br />
1.11 Skineffect elettrico limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
1.12 Skineffect elettrico limite per sezioni particolari. In<strong>di</strong>cazioni<br />
per sezioni qualunque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
1.12.1 Sezioni ellittiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
1.12.2 Influenza delle irregolarità del contorno . . . . . . . 26<br />
1.13 Per<strong>di</strong>te per isteresi nei conduttori magnetici in regime <strong>di</strong><br />
effetto pellicolare limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
1.14 Campo prodotto nel suo piano da una <strong>di</strong>stribuzione lineare<br />
omogenea circolare <strong>di</strong> masse newtoniane . . . . . . . . . . . 30<br />
1.15 Campo prodotto nel suo piano da una corrente circolare . . 31<br />
1.16 Effetto pellicolare debole in conduttori a sezione ellittica<br />
aventi la stessa permeabilità del mezzo . . . . . . . . . . . 31<br />
1.17 Scariche oscillanti nei condensatori . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
1.18 Autoinduzione <strong>di</strong> una bobina <strong>di</strong> grande lunghezza ad asse<br />
rettilineo e sezione circolare e a parecchi strati . . . . . . . 35<br />
i
1.19 Energia <strong>di</strong> una <strong>di</strong>stribuzione circolare uniforme <strong>di</strong> masse<br />
elettriche o magnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
1.20 Autoinduzione <strong>di</strong> una bobina ad asse rettilineo e <strong>di</strong> limitata<br />
lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
1.21 Distanze me<strong>di</strong>e <strong>di</strong> elementi <strong>di</strong> volume o superficiali o lineari 40<br />
1.22 Somma <strong>di</strong> alcune serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
1.23 Autoinduzione <strong>di</strong> una bobina rettilinea <strong>di</strong> lunghezza limitata<br />
a sezione circolare e avvolgimento <strong>di</strong> piccolo spessore . 43<br />
1.24 Variazione del coefficiente <strong>di</strong> autoinduzione in seguito all’effetto<br />
pellicolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
1.25 Errore me<strong>di</strong>o nella determinazione della probabilità <strong>di</strong> un<br />
evento me<strong>di</strong>ante un numero finito <strong>di</strong> prove . . . . . . . . . 48<br />
1.26 Squilibrio <strong>di</strong> un sistema trifase puro . . . . . . . . . . . . . 49<br />
1.27 Tavola per il calcolo della funzione x! . . . . . . . . . . . . 50<br />
1.28 Influenza <strong>di</strong> un campo magnetico sul punto <strong>di</strong> fusione . . . 52<br />
1.29 Calore specifico <strong>di</strong> un oscillatore . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
1.30 Se i figli dei medesimi genitori tendano ad appartenere allo<br />
stesso sesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
1.31 Propagazione del calore posto in una sezione <strong>di</strong> una sbarra<br />
indefinita, <strong>di</strong> cui un’altra sezione è tenuta a zero.<br />
Similitu<strong>di</strong>ne dei grilli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
1.32 Combinazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
1.33 Energia e calore specifico del rotatore . . . . . . . . . . . . 61<br />
1.34 Attrazione dell’ellissoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />
1.35 Casi particolari: ellissoide con un asse molto allungato;<br />
ellissoide rotondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
1.36 Equilibrio <strong>di</strong> un liquido rotante . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
1.37 Alcuni integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76<br />
1.38 Propagazione del calore in un mezzo isotropo e omogeneo . 78<br />
1.38.1 Propagazione in una <strong>di</strong>mensione . . . . . . . . . . . 78<br />
1.39 Trasformazioni conformi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br />
1.40 Meccanica ondulatoria del punto materiale in un campo<br />
conservativo. Variazione <strong>degli</strong> autovalori . . . . . . . . . . 85<br />
1.41 Massa elettromagnetica dell’elettrone . . . . . . . . . . . . 86<br />
1.42 Polinomi <strong>di</strong> Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90<br />
1.43 ∆ in coor<strong>di</strong>nate sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<br />
ii
Volumetto 2: 23 aprile 1928 93<br />
2.1 ∆ in coor<strong>di</strong>nate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
2.2 Sviluppo <strong>di</strong> una funzione armonica nel piano . . . . . . . . 93<br />
2.3 Quantizzazione dell’oscillatore lineare armonico . . . . . . . 95<br />
2.4 Riduzione a <strong>di</strong>agonale <strong>di</strong> una matrice . . . . . . . . . . . . 99<br />
2.6 Quantizzazione ondulatoria <strong>di</strong> un punto attratto con forza<br />
costante verso una parete perfettamente elastica . . . . . . 102<br />
2.7 Hamiltoniana relativista per il movimento <strong>di</strong> un elettrone . 106<br />
2.8 Funzione <strong>di</strong> Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
2.9 Il potenziale infratomico senza statistica . . . . . . . . . . . 115<br />
2.10 Applicazione del potenziale <strong>di</strong> Fermi . . . . . . . . . . . . . 118<br />
2.11 Curva statistica dei termini fondamentali negli atomi neutri 122<br />
2.12 Quinte potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123<br />
2.13 Molecola biatomica a nuclei uguali . . . . . . . . . . . . . . 124<br />
2.14 Seste potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125<br />
2.15 Settime potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127<br />
2.16 Potenziale nell’atomo in seconda approssimazione . . . . . 128<br />
2.17 Polarizzabilità dell’atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129<br />
2.18 Sviluppi e integrali <strong>di</strong> Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 130<br />
2.19 Corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132<br />
2.20 Teoria dell’irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133<br />
2.21 Momento <strong>di</strong> inerzia della Terra . . . . . . . . . . . . . . . . 140<br />
2.22 Teoria dell’irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144<br />
2.23 Sulle matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146<br />
2.24 Teoria dell’irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149<br />
2.25 Moto kepleriano piano perturbato . . . . . . . . . . . . . . 151<br />
2.26 Teoria dell’irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158<br />
2.27 Integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161<br />
2.28 Sviluppi in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162<br />
2.29 Teoria dell’irraggiamento: <strong>di</strong>ffusione dell’elettrone libero . . 164<br />
2.30 Onde <strong>di</strong> De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168<br />
2.31 e 2 hc ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169<br />
2.32 L’equazione y ′′ + P y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171<br />
2.33 Indeterminazione del potenziale vettore e scalare . . . . . . 175<br />
2.34 Sulla ionizzazione spontanea <strong>di</strong> un atomo <strong>di</strong> idrogeno posto<br />
in una regione a potenziale elevato . . . . . . . . . . . . . . 177<br />
2.35 Urto <strong>di</strong> una particella α contro un nucleo ra<strong>di</strong>oattivo . . . 194<br />
2.36 Potenziale ritardato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207<br />
iii
2.37 L’equazione y ′′ = xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208<br />
2.38 Degenerazione <strong>di</strong> risonanza con più elettroni . . . . . . . . 210<br />
2.39 Formole varie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211<br />
2.39.1 Formole <strong>di</strong> Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211<br />
2.39.2 Valor massimo <strong>di</strong> variabili casuali . . . . . . . . . . 212<br />
2.39.3 Coefficienti binomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . 215<br />
2.39.4 Coefficienti dello sviluppo <strong>di</strong> 1/(1 − x) n . . . . . . 217<br />
2.39.5 Relazione tra i coefficienti binomiali . . . . . . . . . 217<br />
2.39.6 Valori me<strong>di</strong> <strong>di</strong> r n tra superfici sferiche concentriche 218<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929 227<br />
3.1 Somma <strong>di</strong> alcune serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227<br />
3.2 L’equazione H = r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229<br />
3.3 Equilibrio <strong>di</strong> una massa liquida eterogenea in rotazione<br />
(Problema <strong>di</strong> Clairaut) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235<br />
3.4 Determinazione <strong>di</strong> una funzione quando sono noti i momenti 251<br />
3.5<br />
3.6<br />
Curve <strong>di</strong> probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
π/2<br />
sin kx<br />
L’integrale definito<br />
dx . . . . . . . . . . . . . .<br />
sin x<br />
260<br />
262<br />
3.7 Prodotti infiniti<br />
0<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266<br />
3.8 Polinomi e numeri <strong>di</strong> Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 267<br />
3.9 Parentesi <strong>di</strong> Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269<br />
3.10 Grandezze fisiche elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . 275<br />
3.11 Curva del cane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276<br />
3.12 Potenziale statistico nelle molecole . . . . . . . . . . . . . . 279<br />
3.13 Gruppo delle trasformazioni unitarie in due variabili . . . . 282<br />
3.14 Relazioni <strong>di</strong> scambio fra trasformazioni infinitesime nelle<br />
rappresentazioni <strong>di</strong> gruppi continui . . . . . . . . . . . . . . 293<br />
3.15 Formole empiriche per l’energia <strong>di</strong> atomi con due elettroni 296<br />
3.16 Gruppo delle rotazioni O(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 300<br />
3.17 Gruppo <strong>di</strong> Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306<br />
3.18 Matrici <strong>di</strong> Dirac e gruppo <strong>di</strong> Lorentz . . . . . . . . . . . . . 309<br />
3.19 Elettrone rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318<br />
3.20 Caratteri della Dj e riduzione <strong>di</strong> Dj×D ′ j . . . . . . . . . . 330<br />
3.21 Regole <strong>di</strong> selezione e <strong>di</strong> intensità in campo centrale . . . . . 333<br />
3.22 Effetto Zeeman anomalo (secondo la teoria <strong>di</strong> Dirac) . . . . 339<br />
3.23 Sistemi completi <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali del primo or<strong>di</strong>ne 345<br />
iv
Volumetto 4: 24 aprile 1930 351<br />
4.1 Relazione fra suscettibilità e momento elettrico variabile<br />
nello stato fondamentale <strong>di</strong> un atomo . . . . . . . . . . . . 351<br />
4.2 Probabilità <strong>di</strong> ionizzazione <strong>di</strong> un atomo <strong>di</strong> idrogeno in campo<br />
elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354<br />
4.3 Sviluppo <strong>di</strong> un polinomio in −1 ≤ x ≤ 1 secondo i polinomi<br />
<strong>di</strong> Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361<br />
4.4 Regole <strong>di</strong> moltiplicazione dei polinomi <strong>di</strong> Legendre . . . . . 362<br />
4.5 Funzione <strong>di</strong> Green per l’equazione <strong>di</strong>fferenziale<br />
y ′′ + (2/x − 1) y + φ(x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363<br />
4.6 Su uno sviluppo in serie del logaritmo integrale . . . . . . . 366<br />
4.7 Caratteri primitivi del gruppo delle permutazioni <strong>di</strong> f oggetti369<br />
4.8 Sviluppo dell’onda piana secondo le funzioni sferiche . . . . 374<br />
4.9 Formola <strong>di</strong> Rutherford dedotta con la meccanica classica . 377<br />
4.10 La formola <strong>di</strong> Rutherford come prima approssimazione del<br />
metodo <strong>di</strong> Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381<br />
4.11 L’equazione <strong>di</strong> Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385<br />
4.12 Forze <strong>di</strong> polarizzazione fra atomi <strong>di</strong> idrogeno . . . . . . . . 387<br />
4.13 Rappresentazione integrale delle funzioni <strong>di</strong> Bessel . . . . . 389<br />
4.14 Simmetria cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392<br />
4.15 Formole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396<br />
4.16 Onde piane secondo la teoria <strong>di</strong> Dirac . . . . . . . . . . . . 398<br />
4.17 Operatori impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408<br />
4.18 Rappresentazione integrale delle autofunzioni dell’idrogeno 411<br />
4.19 Deviazione <strong>di</strong> un raggio α dovuta a un nucleo pesante<br />
(meccanica classica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413<br />
4.20 Diffusione dovuta a un centro a/r − b/r 2<br />
. . . . . . . . . . 414<br />
4.21 Il sistema <strong>di</strong> funzioni ortogonali definito da y ′′<br />
a = (x − a)ya 416<br />
4.22 Sviluppi in integrali <strong>di</strong> Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 419<br />
4.23 Integrali circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421<br />
4.24 Frequenze d’oscillazione dell’ammoniaca . . . . . . . . . . . 422<br />
4.25 Funzioni sferiche con spin (s = 1) . . . . . . . . . . . . . . 425<br />
4.26 Diffusione <strong>di</strong> elettroni veloci (metodo <strong>di</strong> Born relativistico) 438<br />
4.27 Grandezze atomiche <strong>di</strong> uso frequente . . . . . . . . . . . . 444<br />
4.28 Stati quasi-stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445<br />
4.29 Funzioni sferiche con spin (II) . . . . . . . . . . . . . . . . 459<br />
v
Volumetto 5 461<br />
5.1 Rappresentazioni del gruppo <strong>di</strong> Lorentz . . . . . . . . . . . 461<br />
5.2 Urto fra protoni e neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467<br />
5.3 Zeri delle funzioni <strong>di</strong> Bessel d’or<strong>di</strong>ne mezzo . . . . . . . . . 470<br />
5.4 Statistica e termo<strong>di</strong>namica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470<br />
5.4.1 Entropia <strong>di</strong> un sistema in equilibrio termico . . . . 470<br />
5.4.2 Gas perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471<br />
5.4.3 Gas monoatomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472<br />
5.4.4 Gas biatomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473<br />
5.4.5 Formole numeriche per l’entropia dei gas . . . . . . 475<br />
5.4.6 Energia libera dei gas biatomici . . . . . . . . . . . 477<br />
5.5 Polinomi <strong>di</strong> uso frequente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477<br />
5.5.1 Polinomi <strong>di</strong> Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 477<br />
5.6 Trasformazioni <strong>di</strong> spinori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478<br />
5.7 Funzioni sferiche con spin s = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . 484<br />
5.8 Rappresentazioni unitarie in infinite <strong>di</strong>mensioni del gruppo<br />
<strong>di</strong> Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489<br />
5.9 L’equazione ( + λ)A = p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494<br />
5.10 Formole varie relative ad autofunzioni atomiche . . . . . . 499<br />
5.11 Teoria classica della ra<strong>di</strong>azione <strong>di</strong> multipolo . . . . . . . . . 501<br />
5.12 Autofunzioni dell’idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511<br />
In<strong>di</strong>ce analitico 515<br />
vi
Prefazione<br />
Introduzione storico-biografica<br />
La fama <strong>di</strong> <strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong> può solidamente appoggiarsi a molte testimonianze<br />
come la seguente, dovuta alla memore penna <strong>di</strong> Giuseppe Cocconi.<br />
Invitato da Edoardo Amal<strong>di</strong>, dal CERN gli scrive (18 luglio 1965):<br />
Prefazione<br />
i geni, come Galileo e Newton. Ebbene, <strong>Ettore</strong> era uno <strong>di</strong> quelli.<br />
<strong>Majorana</strong> aveva quel che nessun altro mondo ha...”>>.<br />
Enrico Fermi [uno dei maggiori fisici della nostra epoca; per quello<br />
che ha fatto nel 1942 a Chicago, con la costruzione della prima “pila atomica”,<br />
il suo nome <strong>di</strong>verrà forse leggendario come quello <strong>di</strong> Prometeo...]<br />
si espresse in maniera per lui insolita anche in un’altra occasione, il 27<br />
luglio 1938 (dopo la scomparsa <strong>di</strong> <strong>Majorana</strong>, avvenuta il sabato 26 marzo<br />
1938), scrivendo da Roma al primo ministro Mussolini onde chiedere una<br />
intensificazione delle ricerche <strong>di</strong> <strong>Ettore</strong>:<br />
>.<br />
E un testimone <strong>di</strong>retto, Bruno Pontecorvo, aggiunge: <br />
<strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong> scomparve piuttosto misteriosamente il 26 marzo<br />
1938, e non fu mai più ritrovato. Il mito della sua “scomparsa” ha contribuito<br />
a null’altro che alla notorietà che gli spettava, per essere egli un<br />
genio e un genio molto avanzato rispetto ai suoi tempi.<br />
Il presente volume, in traduzione, ha prima visto la luce in lingua<br />
inglese per i tipi della Kluwer Academic Press, e sotto lo stimolo, in particolare,<br />
del <strong>di</strong>rettore della rivista “Foundations of Physics” (A. van der<br />
Merwe). Ora esce nella versione originale, scritta da <strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong> in<br />
lingua italiana.<br />
In questo libro appare finalmente una prima parte <strong>degli</strong> appunti<br />
lasciati ine<strong>di</strong>ti dal Nostro: e, precisamente, i quaderni (noti come i Volumetti),<br />
che comprendono i suoi appunti <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>o redatti in Roma tra il<br />
1927, anno in cui abbandonò gli stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> Ingegneria per passare a quelli <strong>di</strong><br />
<strong>Fisica</strong>, e il 1931-2. Si potrà verificare come tali manoscritti siano un modello<br />
non solo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne, <strong>di</strong>visi come erano (e sono) in argomenti e persino<br />
viii
Prefazione<br />
muniti <strong>di</strong> in<strong>di</strong>ci, ma anche <strong>di</strong> originalità, scelta dell’essenziale, e sinteticità;<br />
tanto che essi potrebbero venire riguardati, da un lato, come un eccellente<br />
complemento —dopo oltre settanta anni— <strong>di</strong> un testo moderno <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong><br />
teorica, e, dall’altro, come una miniera <strong>di</strong> nuovi spunti e idee teoriche, in<br />
fisica e matematica, stimolanti e utili anche per la ricerca scientifica contemporanea.<br />
Un futuro secondo volume pubblicherà almeno una frazione<br />
<strong>di</strong> altri manoscritti ine<strong>di</strong>ti, ancora più tecnici, ma ancora più ricchi <strong>di</strong><br />
spunti scientifici originali: i cosiddetti Quaderni, contenenti le note scritte<br />
da <strong>Majorana</strong> durante le sue ricerche scientifiche.<br />
Ricor<strong>di</strong>amo che <strong>Majorana</strong>, passato a <strong>Fisica</strong> alla fine del ’27, si laureò<br />
con Fermi il 6 luglio 1929, e continuò a collaborare col famoso gruppo <strong>di</strong><br />
Enrico Fermi e Franco Rasetti (nato per volontà e attiva opera <strong>di</strong> Orso<br />
Mario Corbino): i cui fisici teorici —in or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> ingresso nel gruppo—<br />
furono <strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong>, Gian Carlo Wick, Giulio Racah, Giovanni Gentile<br />
jr., Ugo Fano, Bruno Ferretti, e Piero Cal<strong>di</strong>rola. Membri del sottogruppo<br />
sperimentale furono Emilio Segré, Edoardo Amal<strong>di</strong>, Bruno Pontecorvo,<br />
Eugenio Fubini, Mario Ageno, Giuseppe Cocconi, oltre all’ottimo chimico<br />
Oscar D’Agostino. Successivamente, <strong>Majorana</strong> conseguí la Libera Docenza<br />
in <strong>Fisica</strong> teorica il 12 novembre 1932; trascorse circa sei mesi a Lipsia con<br />
Werner Heisenberg durante il 1933; e quin<strong>di</strong>, per ragioni ignote, interruppe<br />
la sua frequentazione del gruppo dei “ragazzi <strong>di</strong> via Panisperna”. Smise<br />
perfino <strong>di</strong> pubblicare i risultati delle proprie ricerche (che già in precedenza<br />
aveva drasticamente selezionato basandosi sul suo eccezionale spirito critico<br />
e amore per il rigore e le vere innovazioni); a parte l’articolo “Teoria simmetrica<br />
dell’elettrone e del positrone,” già pronto fin dal 1933, e che, stimolato<br />
dai suoi colleghi, <strong>Majorana</strong> tirò fuori da un cassetto e pubblicò in occasione<br />
del Concorso nazionale del 1937 a tre posti <strong>di</strong> professore or<strong>di</strong>nario <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong><br />
teorica.<br />
In relazione a quest’ultimo punto, ricor<strong>di</strong>amo che nel 1937 i concorrenti<br />
furono numerosi, e molti <strong>di</strong> essi <strong>di</strong> elevato valore; soprattutto quattro:<br />
<strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong>, Giulio Racah (ebreo, che successivamente passerà da<br />
Firenze in Israele fondandovi la <strong>Fisica</strong> teorica), GianCarlo Wick (<strong>di</strong> madre<br />
torinese e nota antifascista), e Giovanni Gentile jr. (figlio dell’omonimo<br />
filosofo, già ministro —come si <strong>di</strong>rebbe ora— della Pubblica Istruzione,<br />
e ideatore delle “parastatistiche” in meccanica quantica). La commissione<br />
giu<strong>di</strong>catrice era costituita da: Enrico Fermi (presidente), Antonio<br />
Carrelli, Orazio Lazzarino, Enrico Persico e Giovanni Polvani. Su raccomandazione<br />
della commissione giu<strong>di</strong>cante, il ministro dell’Educazione<br />
ix
Prefazione<br />
Nazionale Giuseppe Bottai nominò il <strong>Majorana</strong> professore <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> teorica<br />
all’<strong>Università</strong> <strong>di</strong> Napoli per la sua “grande e meritata fama”, al <strong>di</strong> fuori<br />
del Concorso stesso. La Commissione, invero, aveva <strong>di</strong>chiarato per iscritto<br />
al Ministro <strong>di</strong> esitare ad applicare a lui le normali procedure concorsuali;<br />
allegando il seguente giu<strong>di</strong>zio:<br />
.<br />
Uno dei lavori piú importanti <strong>di</strong> <strong>Ettore</strong>, quello in cui introduce la<br />
sua “equazione a infinite componenti” (<strong>di</strong> cui <strong>di</strong>ciamo in seguito), non è<br />
menzionato: ancora non era stato capito. È interessante notare, però,<br />
che viene dato giusto rilievo alla sua teoria simmetrica per l’elettrone e<br />
l’anti-elettrone (oggi in auge, per la sua applicazione a neutrini e antineutrini);<br />
e a causa della capacità <strong>di</strong> eliminare l’ipotesi cosiddetta “del mare<br />
<strong>di</strong> Dirac” [P.A.M. Dirac, premio Nobel 1933]: ipotesi che viene definita<br />
“estremamente artificiosa e insod<strong>di</strong>sfacente”, nonostante che essa dai piú<br />
sia sempre stata accettata in maniera acritica.<br />
I dettagli del primo incontro <strong>di</strong> <strong>Majorana</strong> con Fermi ci illuminano<br />
circa alcuni aspetti, scientifici e no, <strong>di</strong> <strong>Ettore</strong>. Essi sono noti da quando li<br />
ha narrati Segré; ma vale la pena <strong>di</strong> rileggerli con attenzione:
Prefazione<br />
sua abituale energia in una settimana <strong>di</strong> assiduo lavoro calcolò la soluzione<br />
con una piccola calcolatrice a mano. <strong>Majorana</strong>, che era entrato da poco<br />
in Istituto e che era sempre molto scettico, decise che probabilmente la<br />
soluzione numerica <strong>di</strong> Fermi era sbagliata e che sarebbe stato meglio verificarla.<br />
Andò a casa, trasformò durante la serata e la notte l’equazione<br />
originale <strong>di</strong> Fermi in una equazione del tipo <strong>di</strong> Riccati e la risolse senza<br />
l’aiuto <strong>di</strong> nessuna calcolatrice, servendosi della sua straor<strong>di</strong>naria attitu<strong>di</strong>ne<br />
al calcolo numerico... Quando il mattino dopo tornò in Istituto confrontò<br />
con aria scettica il pezzetto <strong>di</strong> carta, su cui aveva riportato i dati ottenuti,<br />
col quaderno <strong>di</strong> Fermi, e quando trovò che i risultati coincidevano esattamente<br />
non poté nascondere la sua meraviglia>>.<br />
Abbiamo indugiato sul precedente aneddoto dato che le pagine con la<br />
soluzione in forma chiusa trovata dal <strong>Majorana</strong> per l’equazione <strong>di</strong>fferenziale<br />
<strong>di</strong> Fermi —equazione che Fermi, ripetiamolo, non era riuscito a risolvere<br />
analiticamente— sono state da noi alfine scoperte proprio nei Volumetti (e<br />
tra altri fogli sparsi): si è così potuto recentemente mostrare che <strong>Majorana</strong><br />
seguì in realtà due in<strong>di</strong>pendenti meto<strong>di</strong> (molto originali) per giungere ai<br />
medesimi risultati, uno dei quali lo condusse ad una equazione <strong>di</strong> Abel,<br />
piuttosto che <strong>di</strong> Riccati. Il secondo cammino costituisce una novità anche<br />
per la Matematica attuale. La comprensione dettagliata <strong>di</strong> quanto fatto<br />
da <strong>Majorana</strong> in quelle poche ore ha richiesto a uno <strong>di</strong> noi circa due mesi<br />
<strong>di</strong> intensa applicazione...<br />
Gli articoli pubblicati da <strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong><br />
<strong>Ettore</strong> scrisse pochi articoli scientifici: nove; oltre allo scritto semi-<strong>di</strong>vulgativo<br />
“Il valore delle leggi statistiche nella fisica e nelle scienze sociali”,<br />
pubblicato postumo su Scientia (Vol.36 (1942) p.55) a cura <strong>di</strong> G. Gentile<br />
jr.. Si ricor<strong>di</strong> che <strong>Majorana</strong> passò da Ingegneria a <strong>Fisica</strong> alla fine del 1927<br />
o agli inizi del 1928 (anno in cui pubblicò già un articolo, il primo: scritto<br />
insieme con l’amico Gentile), e poi si de<strong>di</strong>cò alla ricerca scientifica in <strong>Fisica</strong><br />
teorica solo per pochissimi anni. Ciononostante, anche i soli lavori da lui<br />
pubblicati sono una miniera <strong>di</strong> idee e tecniche <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> teorica che rimane<br />
tuttora parzialmente inesplorata.<br />
xi
Prefazione<br />
Elenchiamo i suoi nove articoli pubblicati: 1<br />
(1) “Sullo sdoppiamento dei termini Roentgen ottici a causa dell’elettrone<br />
rotante e sulla intensità delle righe del Cesio,” in collaborazione<br />
con Giovanni Gentile jr., Ren<strong>di</strong>conti dell’Accademia dei Lincei Vol.8<br />
(1928) pp.229-233.<br />
(2) “Sulla formazione dello ione molecolare <strong>di</strong> He,” Il Nuovo Cimento<br />
Vol.8 (1931) pp.22-28.<br />
(3) “I presunti termini anomali dell’Elio,” Il Nuovo Cimento Vol.8 (1931)<br />
pp.78-83.<br />
(4) “Reazione pseudopolare fra atomi <strong>di</strong> Idrogeno,” Ren<strong>di</strong>conti dell’Accademia<br />
dei Lincei Vol.13 (1931) pp.58-61.<br />
(5) “Teoria dei tripletti P’ incompleti,” Il Nuovo Cimento Vol.8 (1931)<br />
pp.107-113.<br />
(6) “Atomi orientati in campo magnetico variabile,” Il Nuovo Cimento<br />
Vol.9 (1932) pp.43-50.<br />
(7) “Teoria relativistica <strong>di</strong> particelle con momento intrinseco arbitrario,”<br />
Il Nuovo Cimento Vol.9 (1932) pp.335-344.<br />
(8) “ Über <strong>di</strong>e Kerntheorie,” Zeitschrift für Physik Vol.82 (1933) pp.137-<br />
145; “Sulla teoria dei nuclei,” La Ricerca Scientifica Vol.4 (1933)<br />
pp.559-565.<br />
(9) “Teoria simmetrica dell’elettrone e del positrone,” Il Nuovo Cimento<br />
Vol.14 (1937) pp.171-184.<br />
1 Nell’elenco che segue non è inclusa la comunicazione <strong>di</strong> <strong>Majorana</strong> alla XXII<br />
Adunanza Generale della Società Italiana <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong>, pubblicata su Il Nuovo Cimento<br />
Vol.6 (1929) pp.XIV-XVI e dal titolo “Ricerca <strong>di</strong> un’espressione generale<br />
delle correzioni <strong>di</strong> Rydberg, valevole per atomi neutri o ionizzati positivamente”.<br />
Detta comunicazione, <strong>di</strong> recente messa in evidenza da F. Guerra e N. Robotti,<br />
non fu intesa dal <strong>Majorana</strong> come una “pubblicazione”: infatti, egli non <strong>di</strong>ede<br />
alle stampe nulla del molto e interessantissimo materiale da lui lasciato in forma<br />
manoscritta, il quale materiale (oltre che in importanti pagine sparse) appare nel<br />
paragrafo 2.16 del Volumetto 2 riprodotto in quest’opera. Ivi il lettore interessato<br />
troverà il ricco testo originale sul quale si basò la relazione scientifica del<br />
<strong>Majorana</strong> (si veda S. Esposito, preprint arXiv:physics/0512259).<br />
xii
Prefazione<br />
I primi articoli, redatti tra il 1928 e il 1931, riguardano problemi <strong>di</strong><br />
<strong>Fisica</strong> atomica e molecolare: per lo piú questioni <strong>di</strong> spettroscopia atomica<br />
o <strong>di</strong> legame chimico (sempre, s’intende, nell’ambito della meccanica quantistica).<br />
Come scrive E. Amal<strong>di</strong>, un esame approfon<strong>di</strong>to <strong>di</strong> questi lavori lascia<br />
colpiti per la loro alta classe: essi rivelano sia una profonda conoscenza dei<br />
dati sperimentali, anche nei piú minuti dettagli, sia una <strong>di</strong>sinvoltura non<br />
comune, soprattutto a quell’epoca, nello sfruttare le proprietà <strong>di</strong> simmetria<br />
<strong>degli</strong> “stati quantistici” per semplificare qualitativamente i problemi e per<br />
scegliere la via piú opportuna per la risoluzione quantitativa. Tra questi<br />
primi articoli ne scegliamo uno solo:<br />
“Atomi orientati in campo magnetico variabile” apparso sulla ri-<br />
vista Il Nuovo Cimento.<br />
È l’articolo, famoso tra i fisici atomici, in cui<br />
viene introdotto l’effetto ora noto come Effetto <strong>Majorana</strong>-Brossel. In esso<br />
<strong>Ettore</strong> prevede e calcola la mo<strong>di</strong>ficazione della forma delle righe spettrali<br />
dovuta a un campo magnetico oscillante; e ciò in connessione a un esperimento<br />
tentato a Firenze qualche anno prima (benché senza successo) da<br />
G. Bernar<strong>di</strong>ni ed E. Fermi. Questo lavoro è rimasto anche un classico<br />
della trattazione dei processi <strong>di</strong> ribaltamento “non a<strong>di</strong>abatico” dello spin<br />
(o “spin-flip”). I suoi risultati —una volta estesi, come suggerito dallo<br />
stesso <strong>Majorana</strong>, da Rabi nel 1937 e quin<strong>di</strong>, nel 1945, da Bloch e Rabi<br />
(i quali, entrambi premi Nobel [Rabi: 1944; Bloch: 1952], contribuirono<br />
a <strong>di</strong>ffondere quanto trovato da <strong>Ettore</strong> tre<strong>di</strong>ci anni prima)— hanno costituito<br />
la base teorica del metodo sperimentale usato per ribaltare anche<br />
lo spin dei neutroni con un campo a ra<strong>di</strong>ofrequenza: metodo impiegato<br />
ancor oggi, ad esempio, in tutti gli spettrometri a neutroni polarizzati. In<br />
questo articolo viene introdotta anche la cosiddetta “Sfera <strong>di</strong> <strong>Majorana</strong>”<br />
(per rappresentare spinori me<strong>di</strong>ante insiemi <strong>di</strong> punti <strong>di</strong> una superficie sferica),<br />
<strong>di</strong> cui ha parlato entusiasticamente —per esempio— Roger Penrose<br />
nei suoi ultimi libri semi-<strong>di</strong>vulgativi (si vedano in Bibliografia le citazioni<br />
<strong>di</strong> Penrose e Zimba & Penrose, e quelle piú recenti <strong>di</strong> C. Leonar<strong>di</strong> et al.).<br />
Gli ultimi tre articoli <strong>di</strong> <strong>Ettore</strong> sono tutti <strong>di</strong> tale importanza che<br />
nessuno <strong>di</strong> essi può restare senza commento.<br />
L’equazione a infinite componenti<br />
L’articolo “Teoria relativistica <strong>di</strong> particelle con momento intrinseco arbitrario”<br />
è il tipico esempio <strong>di</strong> lavoro che precorre talmente i tempi da venire<br />
compreso e valutato a fondo solo molti anni dopo.<br />
xiii
Prefazione<br />
A quel tempo era opinione comune che si potessero scrivere equazioni<br />
quantistiche compatibili con la Relatività (cioè “relativisticamente invarianti”)<br />
solo nel caso <strong>di</strong> particelle a spin zero o un mezzo. Convinto<br />
del contrario, <strong>Ettore</strong> comincia a costruire opportune equazioni quantorelativistiche<br />
per i successivi valori possibili dello spin (uno, tre mezzi,<br />
ecc.), arrivando a dare le regole anche per la costruzione <strong>di</strong> tale equazione<br />
per un valore generico dello spin; finché scopre che si può scrivere un’unica<br />
equazione rappresentante una serie infinita <strong>di</strong> casi, cioè un’intera famiglia<br />
infinita <strong>di</strong> particelle a spin qualsiasi (si ricor<strong>di</strong> che allora le particelle note<br />
—che ora sono centinaia— si contavano sulle <strong>di</strong>ta <strong>di</strong> una mano!). Tralascia<br />
allora tutti i singoli casi stu<strong>di</strong>ati —senza piú pubblicarli— e si de<strong>di</strong>ca solo<br />
a queste equazioni “a infinite componenti”, senza trascurare l’osservazione<br />
che esse possono descrivere non solo particelle or<strong>di</strong>narie ma anche tachioni.<br />
Per realizzare questo programma, <strong>Majorana</strong> ricorre per la prima<br />
volta —inventandole— alle rappresentazioni unitarie del Gruppo <strong>di</strong> Lorentz<br />
a infinite <strong>di</strong>mensioni: rappresentazioni riscoperte da Eugene Wigner (premio<br />
Nobel 1963) in lavori del 1939 e 1948. Per comprendere l’importanza<br />
<strong>di</strong> quest’ultimo aspetto, rifacciamoci a quanto <strong>Ettore</strong> stesso —pur tanto<br />
schivo— riferisce a suo padre da Lipsia il 18 febbraio 1933: .<br />
Questa teoria è stata reinventata da matematici sovietici (in particolare<br />
Gelfand e collaboratori) in una serie <strong>di</strong> articoli del 1948-1958, e<br />
finalmente applicata dai fisici in anni ancora piú tar<strong>di</strong>. L’articolo iniziale<br />
<strong>di</strong> <strong>Ettore</strong>, anzi, rimarrà in ombra per ben 34 anni, cioè fino a quando<br />
Amal<strong>di</strong> lo traduce e segnala al fisico americano D.Fradkin, il quale a sua<br />
volta strabilia i teorici delle alte energie rendendo finalmente <strong>di</strong> pubblico<br />
dominio, nel 1966 [D. Fradkin: American Journal of Physics Vol.34 (1966)<br />
p.314], quanto compiuto da <strong>Majorana</strong> tanti anni prima. Dalla data del<br />
1966, la fama <strong>di</strong> <strong>Ettore</strong> comincia a crescere costantemente anche tra i fisici<br />
delle particelle fondamentali.<br />
Le forze <strong>di</strong> scambio<br />
Non appena, al sorgere del 1932, giunge a Roma notizia <strong>degli</strong> esperimenti<br />
dei Joliot-Curie [premi Nobel 1935 per la chimica], <strong>Ettore</strong> comprende che<br />
xiv
Prefazione<br />
essi avevano scoperto il “protone neutro” senza accorgersene. Prima ancora,<br />
quin<strong>di</strong>, che ci fosse l’annuncio ufficiale della scoperta del neutrone,<br />
effettuata poco dopo da Chadwick [premio Nobel 1935 per la <strong>Fisica</strong>], <strong>Majorana</strong><br />
è in grado <strong>di</strong> spiegare la struttura e la stabilità dei nuclei atomici<br />
me<strong>di</strong>ante protoni e neutroni. <strong>Ettore</strong> precorse cosí anche il lavoro pionieristico<br />
<strong>di</strong> D. Ivanenko. Ma non volle pubblicarne nulla, né permise a Fermi<br />
<strong>di</strong> parlarne a Parigi agli inizi <strong>di</strong> luglio: ciò è narrato da Segré e da Amal<strong>di</strong>.<br />
I suoi colleghi ricordano che già prima <strong>di</strong> Pasqua era giunto alle conclusioni<br />
piú importanti della sua teoria: che protoni e neutroni fossero legati<br />
da forze quantistiche originate semplicemente dalla loro in<strong>di</strong>stinguibilità;<br />
cioè da “forze <strong>di</strong> scambio” delle rispettive posizioni spaziali (e non anche<br />
<strong>degli</strong> spin, come invece farà Heisenberg), cosí da ottenere la particella alfa<br />
(e non il deutone) quale sistema saturato rispetto alla energia <strong>di</strong> legame.<br />
Solo dopo che Heisenberg pubblica il proprio articolo sullo stesso<br />
argomento, Fermi riesce a indurre <strong>Majorana</strong> a recarsi a Lipsia presso il<br />
grande collega. E, finalmente, Heisenberg sa convincere <strong>Ettore</strong> a pubblicare<br />
(anche se tanto in ritardo) i propri risultati: “ Über <strong>di</strong>e Kerntheorie”, lavoro<br />
apparso il 3 marzo 1933 sulla rivista Zeitschrift für Physik.<br />
Le forze “<strong>di</strong> scambio” nucleari furono chiamate forze <strong>di</strong> Heisenberg-<br />
<strong>Majorana</strong>. <strong>Ettore</strong> ne parla al padre, con grande modestia, nella stessa<br />
lettera prima citata (del 18.2.1933): . Sempre su questo lavoro scrive pochi giorni<br />
dopo, il 22 febbraio, alla madre: .<br />
Probabilmente la pubblicazione sulla stabilità dei nuclei venne subito<br />
riconosciuta dalla comunità scientifica (in particolare dai fisici nucleari)<br />
—evento raro, come sappiamo, per gli scritti <strong>di</strong> <strong>Ettore</strong>— anche grazie a<br />
questa opportuna “propaganda” fattane da Heisenberg, che proprio pochi<br />
mesi dopo riceverà il premio Nobel.<br />
L’avversione a pubblicare le proprie scoperte, quando esse fossero<br />
risultate, all’esame del suo senso ipercritico, <strong>di</strong> carattere non abbastanza<br />
generale o espresse in forma matematica non abbastanza stringente ed<br />
elegante, <strong>di</strong>venne per <strong>Ettore</strong> anche motivo <strong>di</strong> vezzo. Racconta Amal<strong>di</strong>:<br />
Prefazione<br />
incidentalmente <strong>di</strong> aver fatto durante la sera precedente il calcolo o la<br />
teoria <strong>di</strong> un fenomeno non chiaro che era caduto sotto l’attenzione sua o <strong>di</strong><br />
qualcuno <strong>di</strong> noi in quei giorni. Nella <strong>di</strong>scussione che seguiva, sempre molto<br />
laconica da parte sua, <strong>Ettore</strong> a un certo punto tirava fuori dalla tasca il<br />
pacchetto delle sigarette Macedonia (era un fumatore accanito) sul quale<br />
erano scritte, in una calligrafia minuta ma or<strong>di</strong>nata, le formule principali<br />
della sua teoria o una tabella <strong>di</strong> risultati numerici. Copiava sulla lavagna<br />
parte dei risultati, quel tanto che era necessario per chiarire il problema,<br />
e poi, finita la <strong>di</strong>scussione e fumata l’ultima sigaretta, accartocciava il<br />
pacchetto nella mano e lo buttava nel cestino>>.<br />
Estremamente interessanti sono pure due altri passi <strong>di</strong> lettera. Il<br />
14.2.1933, sempre da Lipsia, <strong>Majorana</strong> racconta alla madre: >. Il lavoro “già pronto”<br />
è naturalmente quello sulle forze nucleari <strong>di</strong> cui si sta parlando; il quale,<br />
però, rimase l’unico in lingua tedesca.<br />
Ancora, nella lettera del 18 febbraio <strong>di</strong>chiara al padre: >.<br />
In realtà <strong>Ettore</strong> non pubblicò piú nulla, né in Germania, né al rientro<br />
in Italia, a parte l’articolo (del 1937) <strong>di</strong> cui stiamo per <strong>di</strong>re. Di notevole<br />
importanza è quin<strong>di</strong> sapere che <strong>Ettore</strong> stesse scrivendo altri lavori: in<br />
particolare, che stesse estendendo il suo articolo sulla equazione a infinite<br />
componenti.<br />
Il neutrino <strong>di</strong> <strong>Majorana</strong><br />
Dai manoscritti ritrovati pare, come si è detto, che <strong>Majorana</strong> formulasse<br />
in quegli stessi anni (1932-33) le linee essenziali anche della sua teoria<br />
simmetrica per l’elettrone e l’anti-elettrone: che le formulasse, cioè, non appena<br />
si <strong>di</strong>ffuse la notizia della scoperta dell’anti-elettrone, o “positrone”.<br />
Anche se <strong>Ettore</strong> pubblica tale teoria solo molto piú tar<strong>di</strong>, accingendosi<br />
a partecipare al Concorso a cattedra <strong>di</strong> cui sappiamo. La “Teoria simmetrica<br />
dell’elettrone e del positrone” viene inizialmente notata quasi esclusivamente<br />
per aver introdotto la famosa rappresentazione <strong>di</strong> <strong>Majorana</strong><br />
xvi
Prefazione<br />
delle “matrici <strong>di</strong> Dirac” in forma reale 2 . Conseguenza <strong>di</strong> tale teoria è che<br />
un “fermione” neutro debba coincidere con la propria antiparticella: ed<br />
<strong>Ettore</strong> suggerisce che i neutrini possano essere particelle <strong>di</strong> questo tipo.<br />
<strong>Ettore</strong> ci teneva molto a questa sua elaborazione teorica; ciò è testimoniato<br />
da Carrelli, che ne <strong>di</strong>scusse con <strong>Ettore</strong> durante il breve periodo <strong>di</strong><br />
lezioni a Napoli.<br />
Come per altri scritti <strong>di</strong> <strong>Majorana</strong>, anche questo articolo ha cominciato<br />
ad avere fortuna solo vent’anni dopo, a partire dal 1957. Dopo <strong>di</strong> che<br />
ha goduto <strong>di</strong> fama via via crescente tra i fisici delle particelle relativistiche e<br />
delle teorie <strong>di</strong> campo 3 . Ora sono <strong>di</strong> gran moda espressioni come “spinori <strong>di</strong><br />
<strong>Majorana</strong>”, “massa <strong>di</strong> <strong>Majorana</strong>”, “neutrini <strong>di</strong> <strong>Majorana</strong>” (e perfino “majoroni”).<br />
Le pubblicazioni <strong>di</strong> <strong>Majorana</strong> (ancora poco note, nonostante<br />
tutto) sono per la <strong>Fisica</strong>, lo si è detto, una continua fonte <strong>di</strong> ispirazione.<br />
Recentemente, ad esempio, Carlo Becchi ha osservato come nelle prime<br />
pagine <strong>di</strong> questo scritto si trovi una formulazione estremamente chiara del<br />
principio d’azione quantistico, che in anni successivi, attraverso i lavori <strong>di</strong><br />
Schwinger e Symanzik, ha portato agli sviluppi recenti piú importanti della<br />
teoria dei campi quanto-relativistici.<br />
I manoscritti ine<strong>di</strong>ti <strong>di</strong> <strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong><br />
Ma <strong>Ettore</strong> ci ha lasciato anche molti manoscritti scientifici ine<strong>di</strong>ti, pure<br />
depositati presso la “Domus Galilaeana” <strong>di</strong> cui è stato redatto un catalogo<br />
in collaborazione con M. Baldo e R. Mignani. L’analisi <strong>di</strong> questi manoscritti<br />
permette <strong>di</strong> rilevare: (i) come <strong>Ettore</strong> fosse estremamente <strong>di</strong>ligente<br />
e preciso nel lavoro. Tutte le sue scoperte risultano precedute da una indefessa<br />
serie <strong>di</strong> calcoli, fatti e rifatti: anche per i piú dotati, naturalmente,<br />
la scienza non può essere solo un semplice gioco <strong>di</strong> intuizioni, come invece<br />
2 Si noti, però, che l’algebra IR(4) IR3,1 cosí introdotta da <strong>Majorana</strong> è del<br />
tutto <strong>di</strong>versa dall’algebra CI (4) IR4,1 introdotta da Dirac. Osserviamo, en<br />
passant, che l’algebra <strong>di</strong> <strong>Majorana</strong> è una delle due algebre associabili in maniera<br />
naturale allo spazio <strong>di</strong> Minkowski (la seconda essendo IR1,3 IH(2), ove IH(2) è<br />
l’algebra delle matrici quaternioniche 2 × 2).<br />
3 Nel 1981, ad esempio, una rivista giapponese <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> ha ripubblicato in<br />
lingua inglese (con traduzione a cura <strong>di</strong> Luciano Maiani) questo articolo <strong>di</strong> circa<br />
quarantacinque anni prima.<br />
xvii
Prefazione<br />
la leggenda aveva voluto farci credere; (ii) che, fra il materiale ine<strong>di</strong>to,<br />
parecchi spunti hanno ancora un interesse scientifico attuale: alcune centinaia<br />
<strong>di</strong> pagine possono essere utili in maniera significativa per la ricerca<br />
contemporanea; ma solo poche pagine sono state da noi finora interpretate<br />
e pubblicate; (iii) che tutto il materiale noto sembra scritto entro il 1933;<br />
(iv) che quasi nulla ci è noto <strong>di</strong> ciò che egli fece negli anni a seguire (1934–<br />
1937). A parte una lunga serie <strong>di</strong> 34 lettere <strong>di</strong> risposta, scritte da <strong>Ettore</strong><br />
in quegli anni (precisamente dal 17.3.31 fino al 16.11.37) allo zio Quirino,<br />
il quale lo sollecitava a fornire una spiegazione teorica dei risultati dei propri<br />
esperimenti. Queste lettere sono <strong>di</strong> carattere essenzialmente tecnico<br />
(lo zio Quirino era un fisico sperimentale <strong>di</strong> gran<strong>di</strong>ssima abilità, che aveva<br />
occupato anche il ruolo <strong>di</strong> presidente della Società Italiana <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong>) e<br />
mostrano in tal modo che pure negli ultimi anni <strong>Ettore</strong> ben sapeva tornare<br />
alla <strong>Fisica</strong>, sempre con le sue doti <strong>di</strong> eccelso teorico.<br />
Invero la sorella Maria ricordava che anche in quegli anni <strong>Ettore</strong> —il<br />
quale aveva <strong>di</strong>radato sempre piú le sue visite all’Istituto, a cominciare dalla<br />
fine del 1933, cioè dal suo rientro da Lipsia— continuò a stu<strong>di</strong>are e lavorare<br />
a casa parecchie ore al giorno; e la notte. Si <strong>di</strong>ede <strong>Ettore</strong> solo a stu<strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
letteratura e filosofia (amava particolarmente Pirandello, Schopenhauer e<br />
Shakespeare), o <strong>di</strong> “teoria dei giochi” e strategia navale (sua passione fin<br />
dall’infanzia), nonché <strong>di</strong> economia, <strong>di</strong> politica e infine <strong>di</strong> me<strong>di</strong>cina; oppure<br />
continuò a de<strong>di</strong>carsi anche alla <strong>Fisica</strong>? Dalla lettera a Quirino del 16.1.1936<br />
ci viene una risposta; perché veniamo a sapere che <strong>Ettore</strong> si occupava “da<br />
qualche tempo <strong>di</strong> elettro<strong>di</strong>namica quantistica”. Conoscendo la modestia<br />
<strong>di</strong> <strong>Ettore</strong> nell’esprimersi, ciò significa che durante l’anno 1935 <strong>Majorana</strong> si<br />
era de<strong>di</strong>cato a fondo a ricerche originali nel settore —per lo meno— della<br />
elettro<strong>di</strong>namica quantistica. E ancora nel 1938, a Napoli, Carrelli avrà<br />
l’impressione che <strong>Ettore</strong> stesse lavorando a qualcosa <strong>di</strong> rilevante, <strong>di</strong> cui non<br />
voleva parlare. Ma lumi ancora più importanti ci sono giunti dalle lettere<br />
inviate, da Lipsia, ai propri genitori, lettere che abbiamo sopra citate, e,<br />
sempre da Lipsia, al C.N.R.: delle quali <strong>di</strong>remo.<br />
Non possiamo <strong>di</strong>menticare, poi, gli appunti autografi <strong>di</strong> lezione redatti<br />
da <strong>Majorana</strong> nei primi mesi del 1938 a beneficio dei propri studenti<br />
dell’<strong>Università</strong> <strong>di</strong> Napoli. Gli appunti per le lezioni da lui tenute prima<br />
della scomparsa fu consegnata dal <strong>Majorana</strong>, entro una cartelletta, il giorno<br />
prima <strong>di</strong> scomparire, all’allieva Gilda Senatore e (essendone interme<strong>di</strong>ari<br />
Cennamo, Carrelli e Amal<strong>di</strong>) finirono nelle mani <strong>di</strong> G. Bernar<strong>di</strong>ni, probabilmente<br />
soltanto in parte, e quin<strong>di</strong> negli archivi della “Domus Galilaeana”.<br />
xviii
Prefazione<br />
La parte cosí sopravvissuta (relativa a <strong>di</strong>eci lezioni) fu pubblicata per interessamento<br />
<strong>di</strong> G. Gialanella e soprattutto B. Preziosi, in un volume contenente<br />
anche gli appunti per la prolusione al corso —la lezione inaugurale—<br />
rinvenuti da Recami. Recentissimamente S. Esposito, in collaborazione con<br />
A. Drago, ha scoperto gli appunti delle restanti sei lezioni: e quin<strong>di</strong> l’intera<br />
serie è ora pubblicamente <strong>di</strong>sponibile.<br />
Esistono altri manoscritti <strong>di</strong> <strong>Majorana</strong>?<br />
Tornando alla lettera del 18 febbraio al padre, in essa abbiamo trovato<br />
la notizia molto interessante che <strong>Ettore</strong> stava per pubblicare in tedesco,<br />
estendendolo, l’ultimo suo articolo apparso sul “Nuovo Cimento”. Come<br />
sappiamo, questo progetto non verrà poi realizzato; ma è importante ricordare<br />
ancora una volta come <strong>Ettore</strong> avesse in mente <strong>di</strong> generalizzare<br />
il lavoro in cui aveva introdotto la sua equazione a infinite componenti.<br />
Anzi, la questione <strong>di</strong>viene del massimo rilievo quando si leggano le lettere<br />
inviate in quel periodo al Consiglio Nazionale delle Ricerche (ritrovate<br />
presso gli archivi del C.N.R., e a noi pervenute attraverso la cortesia <strong>di</strong><br />
G.Fioravanti e soprattutto del collega M.De Maria). Nella prima (21.1.33)<br />
<strong>Ettore</strong> specifica: . Nella seconda (3.3.33) <strong>di</strong>chiara ad<strong>di</strong>rittura,<br />
riferendosi al medesimo lavoro: . Se ricor<strong>di</strong>amo che l’articolo qui considerato come “notizia<br />
sommaria” <strong>di</strong> una nuova teoria era già <strong>di</strong> altissimo livello, si comprende<br />
come sarebbe <strong>di</strong> enorme interesse scoprire una copia della teoria completa:<br />
la quale nel marzo 1933 aveva già assunto la forma <strong>di</strong> un manoscritto compiuto,<br />
forse già dattiloscritto in lingua tedesca. Ma <strong>Ettore</strong>, ripetiamo, non<br />
ne fece piú nulla. Non <strong>di</strong>mentichiamo poi la citata lettera a Quirino del<br />
16.1.1936, la quale ci ha rivelato che successivamente <strong>Ettore</strong> continuò a<br />
lavorare in <strong>Fisica</strong> teorica, occupandosi a fondo —per lo meno— <strong>di</strong> elettro<strong>di</strong>namica<br />
quantistica. Dove sono finiti gli appunti, gli scritti, gli articoli<br />
xix
Prefazione<br />
relativi a tutta questa attività?<br />
Come abbiamo già segnalato, il giorno prima <strong>di</strong> salpare da Napoli<br />
(e successivamente sparire), <strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong> consegnò alla propria studentessa<br />
Gilda Senatore una cartelletta <strong>di</strong> carte scientifiche: contenente,<br />
tra l’altro, gli appunti <strong>di</strong> lezione manoscritti dal <strong>Majorana</strong> per i suoi allievi;<br />
affinché lei la conservasse. Tutto ciò lo si è saputo in seguito ad una approfon<strong>di</strong>ta<br />
ricerca effettuata nel 1990 da Bruno Russo, e successivamente<br />
confermata a voce dalla stessa Prof.ssa Senatore a chi scrive, nonché a<br />
Bruno Preziosi.<br />
La cartelletta conteneva (oltre alle “lezioni”) delle note incomplete,<br />
<strong>degli</strong> scritti conclusi, e articoli. Si hanno ragioni per credere che tale cartelletta<br />
contenesse almeno alcuni dei risultati del lavoro svolto da <strong>Majorana</strong>,<br />
in isolamento, tra la fine del 1933 e il 1938. Tali risultati sarebbero <strong>di</strong><br />
straor<strong>di</strong>naria importanza, come sappiamo, per la stessa <strong>Fisica</strong> teorica contemporanea,<br />
più ancora che per la storia della <strong>Fisica</strong>. Ma avvenne che la<br />
Sig.na Senatore parlò confidenzialmente dei manoscritti avuti in pegno da<br />
<strong>Majorana</strong> a Francesco Cennamo, assistente del <strong>di</strong>rettore Antonio Carrelli,<br />
quando questi <strong>di</strong>venne suo marito. Il dottor Cennamo, <strong>di</strong> propria iniziativa,<br />
li mostrò a Carrelli, che li sequestrò. E, per quanto a noi ora consta,<br />
essi si persero.<br />
Molte altre idee <strong>di</strong> <strong>Ettore</strong>, quando non restarono nella sua mente,<br />
hanno lasciato traccia nella memoria dei colleghi. Una delle testimonianze<br />
piú interessanti che abbiamo raccolto è <strong>di</strong> GianCarlo Wick. Da Pisa il 16<br />
ottobre 1978 scrive a Recami: .<br />
xx
Questo volume<br />
Prefazione<br />
Nel presente libro riproduciamo (per la prima volta in originale) i cinque<br />
quaderni, accuratamente redatti e bene organizzati dal <strong>Majorana</strong>, noti<br />
come “Volumetti”. Scritti in Roma tra il 1927 e il 1931-2 (iniziati, quin<strong>di</strong>,<br />
prima ancora che <strong>Majorana</strong> passasse da Ingegneria a <strong>Fisica</strong>), essi sono attualmente<br />
depositati presso la citata Domus Galilaeana <strong>di</strong> Pisa. Ciascuno<br />
<strong>di</strong> essi, del formato <strong>di</strong> approssimativamente 11 cm × 18 cm, consta <strong>di</strong><br />
circa 100−150 pagine, or<strong>di</strong>natamente numerate. Ogni Volumetto contiene<br />
al suo inizio un in<strong>di</strong>ce, che venne via via composto dal suo autore man<br />
mano che un particolare argomento risultava esaurito; e una data, eccetto<br />
per l’ultimo, e minore, Volumetto, il quale non reca data, probabilmente<br />
perché non fu mai completato. Vi sono motivi per ritenere che la data riportata<br />
da <strong>Majorana</strong> su ciascun Volumetto non corrisponda, precisamente,<br />
né alla data <strong>di</strong> inizio della stesura né a quella <strong>di</strong> chiusura, in quanto vi sono<br />
molte in<strong>di</strong>cazioni sia in un senso (mancanza della data nel Volumetto V,<br />
ecc.) che nell’altro (riferimenti bibliografici ad articoli pubblicati dopo la<br />
data del Volumetto in cui compare, ecc.). <strong>Majorana</strong>, infatti, probabilmente<br />
cominciava ad utilizzare un nuovo quaderno già prima che il precedente<br />
fosse completato, ritornando su quest’ultimo successivamente. In tal caso<br />
la data riportata sugli originali sarebbe solo in<strong>di</strong>cativa del periodo in cui<br />
l’autore ha annotato i suoi stu<strong>di</strong>.<br />
Varie pagine bianche numerate appaiono nei manoscritti originali,<br />
in alcuni casi tra la fine <strong>di</strong> un capitolo e l’inizio del successivo: qui abbiamo<br />
tralasciato tali pagine bianche.<br />
Verosimilmente, <strong>Majorana</strong> affrontò i vari argomenti seguendo idee<br />
e risultati ben definiti, quali nascevano dai suoi stu<strong>di</strong>. Ogni Volumetto fu<br />
scritto durante il periodo <strong>di</strong> circa un anno, cominciando dagli anni in cui<br />
stava portando a termine i propri stu<strong>di</strong> presso l’<strong>Università</strong> <strong>di</strong> Roma. Pertanto<br />
il contenuto passa da questioni tipiche <strong>degli</strong> usuali corsi accademici a<br />
problemi <strong>di</strong> ricerca <strong>di</strong> frontiera. Nonostante questa variabilità <strong>di</strong> livello (che<br />
risulta evidente esaminando i vari Volumetti, o anche all’interno dello stesso<br />
Volumetto), lo stile scientifico non è mai comune. Quale esempio, citiamo<br />
lo stu<strong>di</strong>o da parte del <strong>Majorana</strong> del cambiamento del punto <strong>di</strong> fusione <strong>di</strong><br />
una sostanza quando essa viene immersa in un campo magnetico, o, ancora<br />
più interessante, l’esame della propagazione del calore da lui effettuato usando<br />
una “similitu<strong>di</strong>ne dei grilli”. Sempre degno <strong>di</strong> nota è il suo modo<br />
<strong>di</strong> trattare questioni <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> a lui contemporanea in maniera lucida ed<br />
xxi
Prefazione<br />
originale: come nei casi della spiegazione, proposta da Fermi, della massa<br />
<strong>di</strong> origine elettromagnetica <strong>degli</strong> elettroni; dell’equazione <strong>di</strong> Dirac e sue applicazioni;<br />
e del gruppo <strong>di</strong> Lorentz; con ciò rivelando a volte la letteratura<br />
scientifica da lui preferita. In quanto alle ricerche <strong>di</strong> frontiera, citiamo<br />
qui solo due esempi illuminanti: lo stu<strong>di</strong>o <strong>degli</strong> stati quasi-stazionari, che<br />
anticipa la teoria <strong>di</strong> Ugo Fano <strong>di</strong> circa 20 anni; e la teoria dell’atomo <strong>di</strong><br />
Fermi, sviluppata attraverso soluzioni analitiche dell’equazione <strong>di</strong> Thomas-<br />
Fermi con le sue opportune con<strong>di</strong>zioni al contorno, in termini <strong>di</strong> semplici<br />
quadrature: tecniche del tutto nuove e sconosciute.<br />
Nel riprodurre questi Volumetti ci siamo attenuti per quanto possibile<br />
all’originale, tranne nei pochissimi casi in cui le notazioni usate da<br />
<strong>Majorana</strong> potevano non risultare abbastanza chiare. Abbiamo perciò sostituito<br />
il ricorrente simbolo della costante <strong>di</strong> Planck, h, con il più comune<br />
2π, eccetto quando si tratti <strong>di</strong> risultati della vecchia teoria quantistica.<br />
Tutte le variazioni sono messe in evidenza da note a piè pagina. Abbiamo<br />
poi introdotto delle note ogni qual volta l’interpretazione dei proce<strong>di</strong>menti<br />
seguiti, o il significato <strong>di</strong> qualche brano, richiedevano delle aggiunte esplicative.<br />
Le poche note a piè pagina che appaiono sul manoscritto originale<br />
sono state identificate facendole precedere dal simbolo ∗ .<br />
Il notevole sforzo fatto nel mettere in forma elettronica e controllare<br />
tutte le equazioni e le Tabelle <strong>di</strong> numeri è stato motivato dal nostro desiderio<br />
<strong>di</strong> facilitare per quanto possibile la lettura dei Volumetti <strong>di</strong> <strong>Majorana</strong>,<br />
con la speranza <strong>di</strong> rendere accessibile la loro ricchezza intellettuale al più<br />
vasto pubblico <strong>di</strong> lettori.<br />
Le figure che qui appaiono sono state riprodotte senza l’uso <strong>di</strong> strumenti<br />
fotografici o scansioni <strong>di</strong>gitali, ma sono del tutto fedeli ai <strong>di</strong>segni<br />
originali. Lo stesso vale per le Tabelle con risultati numerici, le quali sono<br />
state riprodotte a prescindere dall’originale: ovvero, sono state controllate<br />
rifacendo tutti i calcoli sulla base dei meto<strong>di</strong> adottati dall’autore. Svariate<br />
Tabelle presentavano delle lacune, rivelando che l’autore aveva tralasciato<br />
<strong>di</strong> calcolarle integralmente: in tali casi le abbiamo completate. Altre<br />
piccole mo<strong>di</strong>fiche, relative soprattutto alla correzione <strong>di</strong> sviste, vengono<br />
in<strong>di</strong>cate con una nota.<br />
Aggiungiamo nel seguito una breve Bibliografia. Lungi dall’essere<br />
completa, essa correda solo gli argomenti toccati in questa Prefazione.<br />
xxii
Ringraziamenti<br />
Prefazione<br />
I curatori <strong>di</strong> quest’opera desiderano ringraziare esplicitamente Alwyn van<br />
der Merwe ed <strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong> Jr, senza il cui indefesso aiuto questo libro<br />
non avrebbe visto la luce, e Roberto Battiston per il costante interessamento.<br />
Sono poi riconoscenti alla famiglia <strong>Majorana</strong> (nelle persone <strong>di</strong><br />
Fabio e Pietro <strong>Majorana</strong>, e della signora Nunni Cirino, ripettivamente figli<br />
e vedova dell’Ing. Luciano, fratello del <strong>Majorana</strong>) per la affettuosa collaborazione.<br />
Per la cortese <strong>di</strong>sponibilità, essi ringraziano inoltre l’attuale<br />
presidente della Società Italiana <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong>, Franco Bassani, e vari colleghi<br />
(in particolare D. Ahluwalia, A. De Gregorio ed E. Giannetto) per stimolanti<br />
<strong>di</strong>scussioni.<br />
Il materiale autografo originale su cui si basa la presente e<strong>di</strong>zione è attualmente<br />
conservato presso la Domus Galilaeana <strong>di</strong> Pisa; si ringraziano C.<br />
Segnini, già curatore della Domus, così come i precedenti responsabili della<br />
stessa Istituzione. La preparazione <strong>di</strong> tale volume è stata in parte finanziata<br />
da due COFIN del MURST, grazie alla sollecitu<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> E. Recami,<br />
e in parte dal Dipartimento <strong>di</strong> Scienze Fisiche dell’<strong>Università</strong> <strong>di</strong> Napoli<br />
“Federico II”, per il gentile interessamento <strong>di</strong> A. Drago, B. Preziosi, M.<br />
Romano e M. La Commara.<br />
Per la realizzazione tecnica <strong>di</strong> quest’opera i curatori hanno molto beneficiato<br />
dell’aiuto <strong>di</strong> G. Celentano, R. De Risi, R. A. De Stefano, C. Grosso e<br />
L. Scarpone, a cui va la nostra sentita gratitu<strong>di</strong>ne; unitamente a Federico<br />
e Lorenzo Enriques e allo Staff della casa e<strong>di</strong>trice Zanichelli per il loro<br />
interessamento e la fattiva collaborazione.<br />
xxiii<br />
S. Esposito<br />
E. Recami
Bibliografia<br />
Prefazione<br />
[1] Il testo inglese della presente opera si trova in <strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong> -<br />
Notes on Theoretical Physics, a cura <strong>di</strong> S. Esposito, E. <strong>Majorana</strong><br />
Jr., A. van der Merwe, e E. Recami (Kluwer Academic Publishers;<br />
Dordrecht, Boston and London, 2003).<br />
[2] I documenti usati in questa Prefazione si possono trovare (insieme<br />
con l’intera documentazione biografica riguardante E. <strong>Majorana</strong>, scoperta<br />
o raccolta in 5 o 6 lustri da E. Recami) nel libro E. Recami: Il<br />
caso <strong>Majorana</strong>: Epistolario, Documenti, Testimonianze, 2a e<strong>di</strong>zione<br />
(Mondadori; Milano, 1991), pp.230; e in particolare nella sua 4a e<strong>di</strong>zione<br />
(Di Renzo; Roma, 2002), pp.273.<br />
Vedere anche E. Recami: “I nuovi documenti sulla scomparsa <strong>di</strong><br />
E. <strong>Majorana</strong>”, in Scientia Vol.110 (1975) p.577; in La Stampa<br />
(Torino), 1 giugno e 29 giugno 1975; in Corriere della Sera (Milano),<br />
19 ottobre 1982 e 13 <strong>di</strong>cembre 1983; “Ricordo <strong>di</strong> <strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong><br />
a sessant’anni dalla sua scomparsa: L’opera scientifica e<strong>di</strong>ta<br />
e ine<strong>di</strong>ta”, in Quaderni <strong>di</strong> Storia della <strong>Fisica</strong>, Vol.5 (1999), p.19;<br />
e inoltre AA.VV.: Scienziati e tecnologi contemporanei: Enciclope<strong>di</strong>a<br />
Biografica, 3 volumi, a cura <strong>di</strong> E. Macorini (Milano, 1974); M.<br />
Farinella: in L’Ora (Palermo), 22 e 23 luglio 1975; G.C. Graziosi:<br />
“Le lettere del mistero <strong>Majorana</strong>”, in Domenica del Corriere (Milano),<br />
28 novembre 1972; S. Ponz de Leon: “Speciale News: <strong>Majorana</strong>”,<br />
trasmesso il 30.9.1987 (Canale Cinque); B. Russo: “<strong>Ettore</strong><br />
<strong>Majorana</strong> – Un giorno <strong>di</strong> marzo”, programma televisivo trasmesso<br />
il 18.12.90 (Rai Tre – Sicilia), e il libro col medesimo titolo (Flaccovio;<br />
Palermo, 1997); F. e D. Dubini: “La scomparsa <strong>di</strong> <strong>Ettore</strong><br />
<strong>Majorana</strong>”, programma televisivo trasmesso nel 1987 (TV svizzera).<br />
[3] Le prime opere biografiche su <strong>Majorana</strong> sono le seguenti:<br />
E. Amal<strong>di</strong>, La Vita e l’Opera <strong>di</strong> E. <strong>Majorana</strong> (Accademia dei Lincei;<br />
Roma, 1966); “<strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong>: Man and scientist,” in Strong and<br />
Weak Interactions. Present problems, a cura <strong>di</strong> A. Zichichi (Academic<br />
Press; New York, 1966); “Ricordo <strong>di</strong> <strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong>”, in<br />
Giornale <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> Vol.9 (1968) p.300; E. Amal<strong>di</strong>: “From the <strong>di</strong>scovery<br />
of the neutron to the <strong>di</strong>scovery of nuclear fission”, in Physics<br />
Reports Vol.111 (1984) p.1; E. Amal<strong>di</strong>: in Il Nuovo Saggiatore Vol.4<br />
(1988) p.13.<br />
Vedere anche B.Pontecorvo: Fermi e la fisica moderna (E<strong>di</strong>tori Ri-<br />
xxiv
Prefazione<br />
uniti; Roma, 1972); e in Procee<strong>di</strong>ngs of the International Conference<br />
on the History of Particle Physics, Paris, July 1982, Physique<br />
Vol.43 (1982); G.Enriques: Via D’Azeglio 57 (Zanichelli; Bologna,<br />
1971); E.Segré: Enrico Fermi, Fisico (Zanichelli; Bologna, 1971); e<br />
Autobiografia <strong>di</strong> un Fisico (Il Mulino; Roma, 1995).<br />
[4] La riproduzione <strong>degli</strong> originali delle lezioni svolte a Napoli da E. <strong>Majorana</strong><br />
sono pubblicate in <strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong> – Lezioni all’<strong>Università</strong> <strong>di</strong><br />
Napoli, a cura <strong>di</strong> B. Preziosi (Bibliopolis; Napoli, 1987). L’e<strong>di</strong>zione<br />
critica completa è invece in <strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong> – Lezioni <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> <strong>Teorica</strong>,<br />
a cura <strong>di</strong> S. Esposito (Bibliopolis; Napoli, 2006).<br />
Vedere anche S. Esposito: “Il corso <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> teorica <strong>di</strong> <strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong>:<br />
il ritrovamento del Documento Moreno”, in Il Nuovo Saggiatore,<br />
Vol.21 (2005) p.21.<br />
[5] Il catalogo dei manoscritti scientifici ine<strong>di</strong>ti <strong>di</strong> <strong>Majorana</strong> si trova<br />
in M. Baldo, R. Mignani, e E. Recami, “Catalogo dei manoscritti<br />
scientifici ine<strong>di</strong>ti <strong>di</strong> E. <strong>Majorana</strong>,” in <strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong> – Lezioni<br />
all’<strong>Università</strong> <strong>di</strong> Napoli, loc. cit.; e E. Recami, “<strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong>:<br />
L’opera e<strong>di</strong>ta ed ine<strong>di</strong>ta,” loc. cit..<br />
[6] Alcuni lavori originati da intuizioni <strong>di</strong> <strong>Majorana</strong> sono i seguenti:<br />
R. Mignani, M. Baldo e E. Recami: “About a Dirac–like equation for<br />
the photon, accor<strong>di</strong>ng to <strong>Ettore</strong> <strong>Majorana</strong>”, in Lettere al Nuovo Cimento<br />
Vol.11 (1974) p.568 [interessante pure ai fini <strong>di</strong> una possibile<br />
interpretazione fisica della funzione d’onda del fotone]. Vedere anche<br />
S. Esposito: “Covariant <strong>Majorana</strong> formulation of Electrodynamics”,<br />
in Foundation of Physics Vol.28 (1998) p.231; e E. Giannetto:<br />
“Su alcuni manoscritti ine<strong>di</strong>ti <strong>di</strong> E.<strong>Majorana</strong>”, in Atti IX Congresso<br />
Naz.le <strong>di</strong> Storia della <strong>Fisica</strong>, a cura <strong>di</strong> F. Bevilacqua (Milano, 1988)<br />
p.173.<br />
S. Esposito: “<strong>Majorana</strong> solution of the Thomas-Fermi equation”,<br />
in American Journal of Physics Vol.70 (2002) p.852; “<strong>Majorana</strong><br />
transformation for <strong>di</strong>fferential equations”, in International Journal<br />
of Theoretical Physics Vol.41 (2002) p.2417; E. Di Grezia e S. Esposito:<br />
“Fermi, <strong>Majorana</strong> and the statistical model of atoms”, in<br />
Foundation of Physics Vol.34 (2004) p.1431.<br />
R.Penrose, “Newton, quantum theory and reality,” in 300 Years of<br />
Gravitation, S. W. Hawking and W. Israel eds. (University Press;<br />
Cambridge, 1987); J. Zimba e R. Penrose, “On Bell Non-Locality<br />
xxv
Prefazione<br />
Without Probabilities: More Curious Geometry”, in Stu<strong>di</strong>es in the<br />
History and Philosophy of Modern Physics Vol.24 (1993) p.697; R.<br />
Penrose: Ombre della Mente (Rizzoli; Milano, 1996), pp.338–343<br />
e 371–375; e i successivi stu<strong>di</strong>, svolti a Palermo, C. Leonar<strong>di</strong>, F.<br />
Lillo, A. Vaglica e G. Vetri: “ Quantum visibility, phase-<strong>di</strong>fference<br />
operators, and the <strong>Majorana</strong> Sphere” (Dipartimento <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong>, <strong>Università</strong><br />
<strong>di</strong> Palermo; 1998); “<strong>Majorana</strong> and Fano alternatives to the<br />
Hilbert space”, in Mysteries, Puzzles, and Paradoxes in Quantum<br />
Mechanics, a cura <strong>di</strong> R.Bonifacio (A.I.P.; Woodbury, N.Y., 1999),<br />
p.312; F.Lillo: “Aspetti fondamentali nell’interferometria a uno e<br />
due fotoni”, Tesi <strong>di</strong> Dottorato (Dipartimento <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong>, <strong>Università</strong> <strong>di</strong><br />
Palermo, 1998).<br />
xxvi
VOLUMETTO<br />
1 8 marzo 1927<br />
1.1 Potenziale elettrico<br />
E = − grad V, ∆ V = − 4πρ.<br />
Il potenziale in un punto O dello spazio S limitato dalla superficie σ è dato<br />
dalla<br />
VO =<br />
<br />
k V dσ +<br />
σ<br />
<br />
1<br />
ρ − U dS<br />
S r<br />
(1.1)<br />
essendo r la <strong>di</strong>stanza da P , k la densità della <strong>di</strong>stribuzione superficiale<br />
equivalente per gli effetti esterni alla massa 1 concentrata in P , U il potenziale<br />
che compete a detta <strong>di</strong>stribuzione. Ovvero<br />
<br />
VO = k V dσ + 1<br />
<br />
U ∆ V dS −<br />
4π<br />
1<br />
4π<br />
<br />
∆ V<br />
r<br />
dS (1.2)<br />
σ<br />
ed essendo in S:<br />
sarà: 1<br />
VO =<br />
S<br />
U ∆ V = <strong>di</strong>v (U grad V − V grad U) , (1.3)<br />
<br />
k V dσ +<br />
σ<br />
1<br />
4π<br />
<br />
− 1<br />
4π<br />
<br />
V<br />
<br />
∂U<br />
∂n<br />
σ<br />
σ<br />
i<br />
U ∂V<br />
∂n dσ<br />
dσ − 1<br />
4π<br />
<br />
S<br />
S<br />
∆ V<br />
r<br />
dS , (1.4)<br />
ma sulla superficie abbiamo:<br />
U = 1<br />
<br />
∂U<br />
∂n<br />
=<br />
,<br />
r<br />
− Eni = − Ene + 4πk = −<br />
(1.5)<br />
1<br />
r2 cos ϕ + 4πk , (1.6)<br />
i<br />
1 L’Autore usa i pe<strong>di</strong>ci i ed e per in<strong>di</strong>care le regioni interne ed esterne ad una<br />
data superficie. Invece con n viene in<strong>di</strong>cata la componente <strong>di</strong> un dato vettore<br />
lungo la normale esterna n a tale superficie.<br />
1
e sostituendo:<br />
VO = 1<br />
4π<br />
<br />
σ<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
O<br />
σ<br />
r<br />
S<br />
P<br />
<br />
V cos ϕ + r ∂V<br />
<br />
dσ 1<br />
−<br />
∂n r2 4π<br />
<br />
φ<br />
S<br />
∆ V<br />
r<br />
n<br />
dS. (1.7)<br />
formola valevole per una funzione arbitraria V , perché può sempre trovarsi<br />
una <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> masse che abbia nello spazio S il potenziale V .<br />
Se in S non esistono masse:<br />
VO = 1<br />
4π<br />
Dimostriamo <strong>di</strong>rettamente la (1.7). Poniamo:<br />
V ′ O = 1<br />
4π<br />
<br />
σ<br />
<br />
σ<br />
<br />
V cos ϕ + r ∂V<br />
<br />
dσ<br />
. (1.8)<br />
∂n r2 <br />
V cos ϕ + r ∂V<br />
<br />
dσ 1<br />
−<br />
∂n r2 4π<br />
<br />
S<br />
∆ V<br />
r<br />
dS. (1.9)<br />
Supponiamo che la superficie σ subisca una variazione infinitesima mantenendosi<br />
omotetica con se stessa, con centro <strong>di</strong> omotetia O. I campi <strong>di</strong><br />
integrazione S e σ si trasformano in quelli prossimi σ ′ e S ′ . Se facciamo<br />
corrispondere me<strong>di</strong>ante la relazione <strong>di</strong> omotetia gli elementi dei primi a<br />
quelli dei secon<strong>di</strong>, è facile valutare le variazioni dei due integrali. In effetti<br />
2
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
se 1+dα è il rapporto d’omotetia risultano facilmente le seguenti variazioni<br />
relative al passaggio da un elemento al corrispondente:<br />
onde avremo:<br />
<br />
δV ′<br />
0 = dα<br />
4π<br />
δV = dα · (P − O) × grad V (1.10)<br />
δ cos ϕ = 0 (1.11)<br />
δr = dα · r (1.12)<br />
δ dσ<br />
r2 = 0 (1.13)<br />
δ∆ V = dα · (P − O) × grad ∆ V (1.14)<br />
δ ∂V<br />
∂n<br />
=<br />
∂<br />
∂V<br />
(P − O) × grad V · dα − dα<br />
∂n ∂n<br />
(1.15)<br />
δ dS<br />
r<br />
= 2 dα dS<br />
r<br />
(1.16)<br />
− dα<br />
4π<br />
σ<br />
<br />
(P − O) × grad V cos ϕ + r ∂<br />
∂n<br />
<br />
S<br />
(P − O) × grad ∆ V<br />
r<br />
+ 2<br />
∆ V<br />
r<br />
<br />
dσ<br />
(P − O) × grad V<br />
r2 <br />
dS. (1.17)<br />
L’integrale <strong>di</strong> superficie può considerarsi come il flusso uscente attraverso<br />
σ del vettore<br />
M = (P − O) × grad V<br />
(P − O)<br />
r 3<br />
+ 1<br />
grad ((P − O) × grad V ) , (1.18)<br />
r<br />
il quale è infinito in O, ma solo del primo or<strong>di</strong>ne, <strong>di</strong> modo che detto integrale<br />
<strong>di</strong> superficie può trasformarsi nell’integrale <strong>di</strong> volume:<br />
Ma, come è agevole verificare, si ha:<br />
<strong>di</strong>v M =<br />
sicché avremo δV ′<br />
0 = 0.<br />
<br />
S<br />
<strong>di</strong>v M dS.<br />
(P − O) × grad ∆ V<br />
r<br />
3<br />
+ 2<br />
∆ V<br />
r<br />
, (1.19)
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
Se la superficie σ, deformandosi con continuità nel modo anzidetto,<br />
<strong>di</strong>viene infinitesima intorno a O, l’integrale <strong>di</strong> volume della (1.9) tende a<br />
zero e quello <strong>di</strong> superficie tende a 4πVO. Sarà perciò:<br />
1.2 Potenziale ritardato<br />
V ′ O = VO c.d.d. (1.20)<br />
Sia H una funzione dello spazio e del tempo e obbe<strong>di</strong>sca all’equazione<br />
<strong>di</strong>fferenziale<br />
∆ H = 1<br />
c2 ∂ 2 H<br />
.<br />
∂t2 (1.21)<br />
Sia O un punto, r la <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> P da O, m una funzione <strong>di</strong> P e <strong>di</strong> t,<br />
porremo<br />
<br />
m (P, t) = m P, t − r<br />
<br />
.<br />
c<br />
(1.22)<br />
Consideriamo la funzione<br />
<br />
H1(P, t) = H P, t − r<br />
<br />
.<br />
c<br />
(1.23)<br />
È facile trovare l’equazione <strong>di</strong>fferenziale a cui sod<strong>di</strong>sfa HO:<br />
∆ H1 = − 2 ∂<br />
c<br />
2 H1<br />
∂r∂t<br />
− 2<br />
rc<br />
∂H1<br />
. (1.24)<br />
∂t<br />
Se il punto O appartiene allo spazio S limitato dalla superficie σ applicando<br />
la (1.7) e notando che in O si ha H O 1 = HO, si trova:<br />
HO = 1<br />
4π<br />
<br />
+ 1<br />
4π<br />
σ<br />
<br />
<br />
S<br />
H1 cos ϕ + r ∂H1<br />
∂n<br />
<br />
2 ∂<br />
rc<br />
2 H1<br />
∂r∂t<br />
+ 2<br />
r 2 c<br />
dσ<br />
r 2<br />
<br />
∂H1<br />
dS. (1.25)<br />
∂t<br />
Scomponiamo il volume S in coni elementari <strong>di</strong> vertice O. L’elemento <strong>di</strong><br />
volume <strong>di</strong> un cono <strong>di</strong> apertura dω compreso tra due sfere <strong>di</strong> centro O e <strong>di</strong><br />
4
0<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
raggi r e r + dr vale: dω r 2 dr e quin<strong>di</strong> l’integrale esteso al volume del cono<br />
sarà dato da<br />
r <br />
2 ∂H1<br />
dω<br />
c ∂t + r ∂2 <br />
H1<br />
dr = dω<br />
∂r∂t<br />
2r ∂H1<br />
, (1.26)<br />
c ∂t<br />
nell’ultimo membro della quale ∂H1/∂r va calcolato nella base su σ del<br />
cono; se dσ è l’area <strong>di</strong> questa base, ϕ l’angolo che l’asse del cono forma con<br />
la normale esterna, sarà:<br />
dω 2r<br />
c<br />
∂H1<br />
∂t<br />
2 ∂H1<br />
=<br />
rc ∂t<br />
cos ϕ dσ, (1.27)<br />
e l’integrale esteso a tutto lo spazio S si trasforma nell’integrale <strong>di</strong> superficie<br />
<br />
2 ∂H1<br />
rc ∂t<br />
cos ϕ dσ. (1.28)<br />
Sostituendo abbiamo dunque:<br />
HO = 1<br />
4π<br />
<br />
H1 cos ϕ + r ∂H1<br />
∂n<br />
e notando che:<br />
abbiamo:<br />
HO = 1<br />
4π<br />
σ<br />
<br />
σ<br />
σ<br />
+ cos ϕ 2r<br />
c<br />
<br />
∂H1 dσ<br />
; (1.29)<br />
∂t r2 H1 = H (1.30)<br />
∂H1<br />
∂n<br />
∂H1<br />
∂t<br />
∂H<br />
=<br />
∂n<br />
= ∂H<br />
∂t<br />
<br />
H cos ϕ + r ∂H<br />
∂n<br />
r ∂H<br />
− cos ϕ<br />
c ∂t<br />
+ r cos ϕ<br />
c<br />
Ponendo:<br />
<br />
m (P, t) = m P, t + r<br />
<br />
c<br />
e<br />
<br />
H2(P, t) = H P, t + r<br />
<br />
c<br />
l’equazione <strong>di</strong>fferenziale a cui sod<strong>di</strong>sfa H2 sarà:<br />
∆ H2 = 2 ∂<br />
c<br />
2 H2<br />
∂r∂t<br />
5<br />
+ 2<br />
rc<br />
(1.31)<br />
(1.32)<br />
<br />
∂H dσ<br />
. (1.33)<br />
∂t r2 (1.34)<br />
(1.35)<br />
∂H2<br />
. (1.36)<br />
∂t
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
e con un calcolo perfettamente analogo al precedente troviamo:<br />
HO = 1<br />
4π<br />
<br />
H cos ϕ + r ∂H<br />
<br />
r cos ϕ ∂H dσ<br />
− .<br />
∂n c ∂t r2 (1.37)<br />
σ<br />
1.3 Energia mutua <strong>di</strong> due <strong>di</strong>stribuzioni <strong>di</strong><br />
masse elettriche o magnetiche<br />
Siano date due <strong>di</strong>stribuzioni <strong>di</strong> masse elettriche o magnetiche in regioni<br />
<strong>di</strong>stinte dello spazio. Limitiamo me<strong>di</strong>ante una superficie chiusa σ (unica o<br />
no) uno spazio S che comprenda tutte le masse della prima <strong>di</strong>stribuzione e<br />
nessuna <strong>di</strong> quelle della seconda. Se V è il potenziale del campo E prodotto<br />
dalla prima <strong>di</strong>stribuzione, V ′ il potenziale del campo E ′ prodotto dalla<br />
seconda, e la prima <strong>di</strong>stribuzione è composta dalle masse m1, m2, . . . , mn<br />
poste nei punti P1, P2, . . . , Pn, sarà, con notazione <strong>di</strong> cui è chiaro il signi-<br />
ficato:<br />
ovvero, applicando la (1.8),<br />
U = 1<br />
4π<br />
<br />
V ′<br />
n<br />
σ<br />
1<br />
U =<br />
mi<br />
r 2 i<br />
n<br />
1<br />
mi V ′<br />
i , (1.38)<br />
cos ϕi + E ′ n<br />
n<br />
1<br />
mi<br />
ri<br />
<br />
dσ, (1.39)<br />
in cui E ′ n la componente <strong>di</strong> E ′ secondo la normale interna <strong>di</strong> σ. Ora<br />
abbiamo:<br />
n<br />
1<br />
mi<br />
r 2 i<br />
cos ϕi = En, (1.40)<br />
n<br />
1<br />
mi<br />
ri<br />
= V, (1.41)<br />
essendo, nella prima <strong>di</strong> queste formole, En la componente secondo la normale<br />
esterna a σ <strong>di</strong> En. Sostituendo troviamo la formola notevole:<br />
U = 1<br />
<br />
<br />
En V<br />
4π<br />
′ + E ′ n V dσ. (1.42)<br />
σ<br />
6
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
1.4 Effetto pellicolare in condutture elettriche<br />
cilindriche omogenee<br />
Supposta la sezione circolare e <strong>di</strong> piccole <strong>di</strong>mensioni rispetto alla lunghezza<br />
del conduttore, potremo considerare il potenziale uguale in tutti i punti <strong>di</strong><br />
una medesima sezione e la densità <strong>di</strong> corrente funzione della sola <strong>di</strong>stanza<br />
a dall’asse. Se I = I1 + iI2 è il complesso 2 che rappresenta l’intensità<br />
della corrente attraverso un cerchio coassiale con la sezione e <strong>di</strong> raggio a,<br />
D = D1+iD2 la densità <strong>di</strong> corrente a <strong>di</strong>stanza a dall’asse, µ la permeabilità<br />
magnetica del conduttore, A il raggio della sezione, ρ la resistività elettrica,<br />
le forze contro elettromotrici 3 dovute all’effetto ohmico 4 e alla variazione<br />
dell’induzione dentro la conduttura, saranno per unità <strong>di</strong> lunghezza, lungo<br />
una linea <strong>di</strong> corrente a <strong>di</strong>stanza a dall’asse, rispettivamente<br />
D ρ (1.43)<br />
e<br />
A<br />
I<br />
2 µ ω i dx, (1.44)<br />
a x<br />
e poiché tutte le altre forze elettromotrici sono uguali per tutte le linee <strong>di</strong><br />
corrente conclu<strong>di</strong>amo che<br />
D ρ + 2 µ ω i<br />
A<br />
a<br />
(I/x) dx = cost. (1.45)<br />
cioè, <strong>di</strong>fferenziando:<br />
ρ dD = 2 µ ω i I<br />
da. (1.46)<br />
a<br />
In<strong>di</strong>cando con I l’area del cerchio <strong>di</strong> raggio a, I e D come funzioni <strong>di</strong> s, e<br />
tenendo conto delle uguaglianze<br />
2 da<br />
a<br />
D = dI<br />
, (1.47)<br />
ds<br />
ds<br />
= , (1.48)<br />
s<br />
2L’Autore considera qui un conduttore in cui scorre una corrente alternata <strong>di</strong><br />
frequenza ω.<br />
3Cioè le forze che bloccano il flusso <strong>di</strong> corrente.<br />
4Tale effetto è meglio noto come effetto Joule.<br />
7
potremo scrivere:<br />
cioè<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
ρ d dI<br />
ds<br />
I<br />
= µ ω i ds, (1.49)<br />
s<br />
d 2 I µ ω i<br />
=<br />
ds2 ρ<br />
I<br />
. (1.50)<br />
s<br />
Poniamo<br />
µ ω<br />
p = s, (1.51)<br />
ρ<br />
sostituendo abbiamo:<br />
d 2 I I<br />
= i . (1.52)<br />
dp2 p<br />
Come risulta chiaramente da questa relazione, p non <strong>di</strong>pende dalle unità<br />
fondamentali del sistema elettromagnetico. Perciò, per brevità <strong>di</strong> calcolo,<br />
data la proporzionalità fra p e s, supporremo per un momento <strong>di</strong> scegliere<br />
l’unità <strong>di</strong> lunghezza in guisa che p = s, senza che per questo la p venga<br />
alterata. Tenuto conto che per p = 0 si ha I = 0, è facile integrare per<br />
serie la (1.52). Si trova, ricordando che I = I1 + iI2.<br />
<br />
I1 = m p − 1<br />
2! 2 ·3 p3 + 1<br />
4! 2 ·5 p5 − 1<br />
6! 2 ·7 p7 <br />
+ . . . , (1.53)<br />
<br />
1<br />
I2 = m<br />
2 p2 − 1<br />
3! 2 ·4 p4 + 1<br />
5! 2 ·6 p6 − 1<br />
7! 2 ·8 p8 <br />
+ . . . , (1.54)<br />
in cui m è una costante che possiamo supporre reale se spostiamo convenientemente<br />
l’origine dei tempi. Derivando rispetto a p, abbiamo, essendo<br />
per la convenzione fatta p = s<br />
D1 = m<br />
D2 = m<br />
<br />
1 − 1<br />
2! 2 p2 + 1<br />
4! 2 p4 − 1<br />
6! 2 p6 <br />
+ . . . , (1.55)<br />
<br />
p − 1<br />
3! 2 p3 + 1<br />
5! 2 p7 − 1<br />
7! 2 p9 <br />
+ . . . . (1.56)<br />
Il calore svolto per effetto ohmico lungo un tratto ℓ del conduttore sarà in<br />
me<strong>di</strong>o nell’unità <strong>di</strong> tempo<br />
Q1 = 1<br />
2 m2 <br />
p <br />
ρ ℓ 1 − 1<br />
2! 2 p2 2 + . . .<br />
+<br />
0<br />
<br />
p − 1<br />
3! 2 p3 <br />
2<br />
+ . . .<br />
8<br />
dp. (1.57)
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
Invece il calore che si svolgerebbe se la corrente fosse <strong>di</strong>stribuita uniformemente,<br />
è dato da<br />
Q = 1<br />
2 m2ρ 1<br />
p −<br />
p<br />
1<br />
2! 2 ·3 p3 2 + . . .<br />
<br />
1<br />
+<br />
2 p2 − 1<br />
3! 2 ·4 p4 <br />
2<br />
+ . . . . (1.58)<br />
Chiamando r1 la resistenza apparente del conduttore con corrente alternata,<br />
r la resistenza a corrente continua, risulta:<br />
r1 Q1<br />
=<br />
r Q =<br />
<br />
p <br />
1 −<br />
0<br />
1<br />
2! 2 p2 2 <br />
+ . . . + p − 1<br />
3! 2 p3 <br />
2<br />
+ . . . dp<br />
1<br />
p −<br />
p<br />
1<br />
2! 2 ·3 p3 2 <br />
1<br />
+ . . . +<br />
2 p2 − 1<br />
3! 2 ·4 p4 .<br />
2<br />
+ . . .<br />
(1.59)<br />
Il numeratore e il denominatore dell’ultimo membro possono svilupparsi in<br />
serie secondo le potenze <strong>di</strong> p. Eseguiti gli sviluppi si trova, <strong>di</strong>videndo per<br />
p,<br />
r1<br />
r =<br />
1 + 1<br />
3! p2 + 1<br />
2! 2 ·5! p4 + 1<br />
3! 2 ·7! p6 + 1<br />
1 + 1<br />
2!·3! p2 +<br />
1<br />
2!·3!·5! p4 +<br />
1<br />
3!·4!·7! p6 +<br />
4! 2 ·9! p8 + . . .<br />
1<br />
4!·5!·9! p8 + . . .<br />
, (1.60)<br />
in cui, liberandoci dai vincoli imposti sulle unità <strong>di</strong> misura, p = µωs/ρ =<br />
µℓω/r ovvero, prendendo per unità <strong>di</strong> resistenza l’ohm e per unità <strong>di</strong><br />
lunghezza il metro:<br />
p =<br />
µ ω ℓ<br />
10 7 R<br />
= 2πf µ ℓ<br />
10 7 R .<br />
Diamo alcuni valori <strong>di</strong> R1/R in corrispondenza a dati valori <strong>di</strong> p: 5<br />
5 Si osservi che l’Autore usa l’equazione (1.60) per ottenere i valori nella<br />
seguente tabella fino a p = 6, mentre per completare la tabella egli utilizza lo<br />
sviluppo contenuto nell’equazione (1.62).<br />
9
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
[t]<br />
p r1/r<br />
1 1.0782<br />
2 1.2646<br />
3 1.4789<br />
4 1.6779<br />
6 2.0067<br />
10 2.5069<br />
24 3.7274<br />
60 5.7357<br />
100 7.3277<br />
Per piccoli valori <strong>di</strong> p (p < 1) può adoperarsi la formola:<br />
mentre per valori elevati può servire l’altra<br />
r1<br />
r<br />
r1<br />
r =<br />
= 1 + 1<br />
12 p2 − 1<br />
180 p4 , (1.61)<br />
<br />
1 1<br />
p +<br />
2 4<br />
+ 3<br />
64<br />
<br />
1<br />
2 p<br />
−1 (1.62)<br />
o l’altra più semplice<br />
r1<br />
r =<br />
<br />
1 1<br />
p + , (1.63)<br />
2 4<br />
la prima delle quali dà risultati pressoché esatti (errore relativo < 0.0001)<br />
per p > 10.<br />
1.5 Teoria termo<strong>di</strong>namica delle pile<br />
termoelettriche<br />
Supponiamo che alla quantità 1 <strong>di</strong> elettricità 6 sia connessa una certa entropia<br />
S, funzione della natura e della temperatura del conduttore. Se<br />
6 Ossia la quantità <strong>di</strong> carica elettrica (che fluisce in un conduttore) corrispondente<br />
alla unità <strong>di</strong> misura scelta.<br />
10
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
la quantità q <strong>di</strong> elettricità percorre un elemento conduttore, la sua entropia<br />
passerà da qS a q(S + dS), essendo dS finito o infinitesimo secondo<br />
che gli estremi dell’elemento siano o no <strong>di</strong> natura <strong>di</strong>versa. Se prescin<strong>di</strong>amo<br />
dall’effetto Ohm, che potrà valutarsi a parte, dobbiamo considerare<br />
come reversibile il movimento dell’elettricità; allora all’incremento <strong>di</strong> entropia<br />
qdS deve corrispondere un assorbimento <strong>di</strong> calore qT dS, così dove<br />
la natura del conduttore varia, come quando varia soltanto la sua temperatura<br />
(effetto Thomson). Se la quantità q <strong>di</strong> elettricità percorre un circuito<br />
chiuso la quantità totale <strong>di</strong> calore assorbito sarà:<br />
<br />
q T dS,<br />
in cui l’integrale esteso a tutto il circuito sarà in generale <strong>di</strong>verso da zero,<br />
purché la temperatura non sia uguale in tutti gli elementi conduttori e vari<br />
inoltre almeno in due punti la loro natura. Se E è l’equivalente meccanico<br />
del calore dovrà allora manifestarsi nel circuito, per la conservazione<br />
dell’energia, una forza elettromotrice e data da:<br />
<br />
e = E T dS. (1.64)<br />
Seguono facilmente le leggi fondamentali della pila termoelettrica.<br />
1.6 Energia <strong>di</strong> un conduttore isolato<br />
Sia σ una superficie conduttrice carica della massa elettrica 1, k la densità<br />
superficiale dell’elettricità, ɛ l’energia del sistema, V il potenziale del<br />
conduttore. Supponiamo che σ si deformi e sia σ1 la deformata e, analogamente,<br />
k1 la densità della nuova <strong>di</strong>stribuzione, ɛ1 l’energia e V1 il potenziale.<br />
In<strong>di</strong>chiamo con ɛm l’energia mutata delle due <strong>di</strong>stribuzioni e con ɛ(k − k1)<br />
l’energia totale dell’insieme della prima <strong>di</strong>stribuzione e della seconda cambiata<br />
<strong>di</strong> segno. Avremo evidentemente:<br />
ɛ(k − k1) = ɛ + ɛ1 − ɛm. (1.65)<br />
Supponiamo che σ1 sia tutta esterna a σ; il potenziale del campo prodotto<br />
dalla <strong>di</strong>stribuzione k1 sarà in tutti i punti <strong>di</strong> σ uguale a V1, avremo quin<strong>di</strong>:<br />
11
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
ɛm = V1, e poiché ɛ1 = V1/2, ɛm = 2ɛ1. Sostituendo ricaviamo:<br />
ɛ − ɛ1 = ɛ(k − k1). (1.66)<br />
Se supponiamo che σ1 <strong>di</strong>fferisca infinitamente poco da σ, il campo prodotto<br />
dalla <strong>di</strong>fferenza delle due <strong>di</strong>stribuzioni sarà nullo all’interno <strong>di</strong> σ, finito tra<br />
σ e σ1, e infinitesimo fuori <strong>di</strong> σ1. Anche l’energia <strong>di</strong> detto campo sarà, per<br />
unità <strong>di</strong> volume, nulla dentro σ, finita tra σ e σ1, e infinitesima del secondo<br />
or<strong>di</strong>ne fuori <strong>di</strong> σ1, e poiché lo spazio compreso tra σ e σ1 è infinitesimo<br />
del primo or<strong>di</strong>ne, trascurando gli infinitesimi <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore al primo,<br />
dovremo tener conto solo dell’energia <strong>di</strong> volume contenuta fra σ e σ1. Ma in<br />
questa regione il campo prodotto della seconda <strong>di</strong>stribuzione è nullo, sicché<br />
possiamo <strong>di</strong>re che per una variazione infinitesima <strong>di</strong> σ, purché la superficie<br />
variata sia tutta esterna a σ, la <strong>di</strong>minuzione <strong>di</strong> energia elettrostatica è<br />
uguale all’energia primitivamente contenuta nello spazio compreso fra σ e la<br />
nuova superficie. Possiamo dare a questa proposizione un’altra forma. Sia<br />
dσ un elemento <strong>di</strong> σ; l’elemento <strong>di</strong> volume compreso fra σ, σ1, e le normali<br />
al contorno <strong>di</strong> dσ vale dσ·dα, essendo dα la <strong>di</strong>stanza fra σ e σ1, l’intensità<br />
del campo nell’interno <strong>di</strong> detto elemento è, a meno <strong>di</strong> infinitesimi, 4πk = F ,<br />
perciò l’energia contenuta in detti elemento <strong>di</strong> volume vale F (k/2)dσdα,<br />
ma kdσ è la massa dm <strong>di</strong>stribuita su dσ onde F (k/2)dσdα = (dm/2)F dα<br />
e integrando in tutto lo spazio fra σ e σ1,<br />
ɛ − ɛ1 = − δɛ = 1<br />
<br />
2<br />
o anche, poiché ɛ = 1<br />
2 V e ɛ1 = 1<br />
2 V1,<br />
V − V1 = − δV =<br />
<br />
F·δα dm : (1.67)<br />
F·δα dm. (1.68)<br />
È assai facile constatare che questa formola vale anche senza la restrizione<br />
che σ1 sia tutta esterna a σ, purché si intenda sempre per F la forza<br />
esternamente a σ e si assuma dα positiva o negativa secondo che σ1 è<br />
localmente esterna o interna a σ.<br />
12
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
1.7 Attrazione <strong>di</strong> masse lontane<br />
Sia dato un sistema <strong>di</strong> masse attiranti m1, m2, . . . , mn poste nei punti<br />
P1, P2, . . . , Pn,. Sia O il baricentro del sistema, m la sua massa totale.<br />
Fissiamo un sistema <strong>di</strong> assi cartesiani con l’origine in 0; il potenziale in un<br />
punto P <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate x, y, z sarà<br />
V =<br />
=<br />
n<br />
i=1<br />
n<br />
i=1<br />
mi<br />
mi<br />
(x − xi) 2 + (y − yi) 2 + (z − zi) 2 −1/2<br />
2 2 2 2<br />
x + y + z − 2(xxi + yyi + zzi) + xi + y 2 i + z 2−1/2 i .<br />
Se in<strong>di</strong>chiamo con r la <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> P da O e con α, β, γ i coseni <strong>di</strong> <strong>di</strong>rezione<br />
della retta OP , avremo:<br />
V =<br />
n<br />
i=1<br />
= 1<br />
r<br />
2 2<br />
mi r − 2r(αxi + βyi + γzi) + xi + y 2 i + z 2−1/2 i<br />
n<br />
i=1<br />
2<br />
mi 1 − (2/r)(αxi + βyi + γzi) − (xi + y 2 i + z 2 i )/r 2−1/2 .<br />
Se r è infinitamente grande la quantità sotto ra<strong>di</strong>ce <strong>di</strong>fferisce dall’unità<br />
per un infinitesimo dello stesso or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 1/r; sviluppando secondo questo<br />
infinitesimo e trascurando sotto il segno <strong>di</strong> sommatorio gli infinitesimi<br />
d’or<strong>di</strong>ne uguale o superiore al terzo, avremo, poiché tutto il sommatorio<br />
va moltiplicato per 1/r, a meno <strong>di</strong> infinitesimi del quarto or<strong>di</strong>ne:<br />
V = 1<br />
r<br />
n<br />
i=1<br />
+ 1<br />
r 3<br />
mi + 1<br />
r2 n<br />
mi(αxi + βyi + γzi)<br />
i=1<br />
n<br />
<br />
3<br />
mi<br />
2 (αxi + βyi + γzi)2 − 1 2<br />
xi + y<br />
2<br />
2 i + z 2 i<br />
<br />
,<br />
i=1<br />
e trasformando l’ultimo termine e notando che <br />
i mi = m e <br />
<br />
i<br />
miyi = i<br />
mizi = 0, avremo:<br />
V = m<br />
r<br />
+ 1<br />
r 3<br />
n<br />
i=1<br />
mi<br />
2<br />
xi + y 2 i + z 2 i<br />
13<br />
i mixi =
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
− 3<br />
<br />
2<br />
α 2 (y 2 i + z 2 <br />
i ) + . . . − 2αβxiyi − . . . ,<br />
cioè, in<strong>di</strong>cando con Ip il momento <strong>di</strong> inerzia polare rispetto al baricentro<br />
del sistema <strong>di</strong> masse e con I il momento <strong>di</strong> inerzia dello stesso sistema<br />
rispetto alla retta OP ,<br />
V = m<br />
r<br />
+ 1<br />
r 3<br />
<br />
Ip − 3<br />
2 I<br />
<br />
+ infinitesimi del IV or<strong>di</strong>ne, (1.69)<br />
onde il potenziale in punti lontani <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> masse attiranti con la<br />
legge <strong>di</strong> Newton è determinato, a meno <strong>di</strong> infinitesimi del quarto or<strong>di</strong>ne,<br />
dalla massa e dal nocciolo centrale d’inerzia del sistema.<br />
Poiché, come risulta dalla (1.69), a meno <strong>di</strong> un infinitesimo del terzo or<strong>di</strong>ne<br />
si ha V/m = 1/r, noi potremo, nel termine Ip − 3<br />
2 I<br />
r3 che figura nella (1.69)<br />
stessa, sostituire a 1/r il valore approssimato V/m. Risolvendo rispetto a<br />
1/r, abbiamo allora, sempre a meno <strong>di</strong> un infinitesimo del quarto or<strong>di</strong>ne<br />
1<br />
r<br />
= V<br />
m<br />
− V 3<br />
m 4<br />
<br />
Ip − 3<br />
2 I<br />
<br />
, (1.70)<br />
e prendendo gli inversi dei due membri avremo a meno <strong>di</strong> infinitesimi del<br />
secondo or<strong>di</strong>ne<br />
r = m<br />
V<br />
+<br />
V<br />
m2 <br />
Ip − 3<br />
2 I<br />
<br />
. (1.71)<br />
Poiché si può sempre trovare un omeoide che abbia la stessa massa e lo<br />
stesso nocciolo centrale d’inerzia del sistema dato, conclu<strong>di</strong>amo che le superficie<br />
equipotenziali a <strong>di</strong>stanza infinitamente grande del campo prodotto<br />
da una <strong>di</strong>stribuzione qualsiasi <strong>di</strong> masse sono, a meno <strong>di</strong> infinitesimi del<br />
secondo or<strong>di</strong>ne, ellissi omofocali aventi per assi gli assi principali d’inerzia<br />
della <strong>di</strong>stribuzione stessa; mentre, a meno <strong>di</strong> infinitesimi del primo or<strong>di</strong>ne,<br />
sono sfere aventi per centro il suo baricentro.<br />
14
1.8 Formulario<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
(S, volume limitato dalla superficie σ)<br />
(1) <strong>di</strong>v (m F) = m <strong>di</strong>v F + grad m × F<br />
(2) <strong>di</strong>v E ∧ F = rot E × F − E × rot F<br />
(3) grad (m n) = m grad n + n grad m<br />
(4) ∆ (m n) = m ∆ n + 2 grad m · grad n + n ∆ m<br />
(5) rot rot E = − ∆ E + grad <strong>di</strong>v E<br />
(6)<br />
(7)<br />
(8)<br />
(9)<br />
(10)<br />
<br />
σ<br />
<br />
σ<br />
q n dσ =<br />
<br />
σ<br />
m En dσ =<br />
<br />
<br />
S<br />
σ<br />
<br />
σ<br />
En dσ =<br />
<br />
S<br />
<br />
n × F dσ =<br />
p n dσ =<br />
∂q i<br />
∂x<br />
S<br />
<strong>di</strong>v E dS 7<br />
(m <strong>di</strong>v E + grad m · E) dS,<br />
<br />
+ ∂q j<br />
∂y<br />
S<br />
<br />
S<br />
rot F dS<br />
grad p dS<br />
(11) rot m F = m rot F + grad m × F,<br />
<br />
∂q k<br />
+ dS, [q, omografia],<br />
∂z<br />
8<br />
7En in<strong>di</strong>ca la componente del vettore E lungo la normale esterna n alla superficie<br />
σ.<br />
8i, j, k sono i versori lungo gli assi coor<strong>di</strong>nati x, y, z.<br />
15
(12)<br />
<br />
(13)<br />
(14)<br />
σ<br />
(P − O) ∧ q n dσ =<br />
<br />
σ<br />
<br />
σ<br />
E En dσ =<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
<br />
S<br />
<br />
S<br />
dS,<br />
<br />
E En − 1<br />
2 E2 <br />
n dσ =<br />
(15) Sia U1 = U1(x1, x2, x3) e<br />
<br />
<br />
∂q i<br />
(P − O) ∧<br />
∂x<br />
+ ∂q j<br />
∂y<br />
<br />
∂q k<br />
+<br />
∂z<br />
<br />
E <strong>di</strong>v E − E ∧ rot E + 1<br />
<br />
grad E2 dS<br />
2<br />
<br />
S<br />
(E <strong>di</strong>v E − E × rot E) dS.<br />
x1 = x1(x, y, z), x2 = x2(x, y, z), x3 = x3(x, y, z); (1.72)<br />
posto U(x, y, z) = U1(x1, x2, x3), si deduce<br />
∆ U = ∂2 U1<br />
∂x 2 1<br />
|grad x1| 2 + . . . + ∂2U1 · 2 grad x1 × grad y1 + . . .<br />
∂x1∂y1<br />
+ ∂U1<br />
∆ x1 +<br />
∂x1<br />
∂U1<br />
∆ y1 +<br />
∂y1<br />
∂U1<br />
∆ z1. (1.73)<br />
∂x3<br />
formole analoghe valgono per trasformazioni in spazi con un numero qualunque<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni, ed anche fra spazi a un numero <strong>di</strong>fferente <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni<br />
purché la (1.72 abbia senso univoco.<br />
1.9 Linee elettriche<br />
Siano r, L, C, g rispettivamente la resistenza, l’autoinduzione, la capacità<br />
e la <strong>di</strong>spersione per unità <strong>di</strong> lunghezza. Supponiamo queste quattro<br />
grandezze costanti. Se la linea è percorsa da correnti <strong>di</strong> frequenza ω/2π,<br />
in<strong>di</strong>cando con V e i rispettivamente il potenziale e l’intensità <strong>di</strong> corrente<br />
16
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
(complessi) e con x la <strong>di</strong>stanza dall’origine, le espressioni generali <strong>di</strong> V e i<br />
sono: 9<br />
V = A cosip(px) + B sinip(px), (1.74)<br />
i = − A q sinip(px) − B q cosip(px) (1.75)<br />
nelle quali A e B sono costanti arbitrarie, mentre si è posto:<br />
p = r + Lωj g + Cωj, q = g + Cωj/ r + Lωj.<br />
Sia ℓ la lunghezza della linea, V0, V1 e i0, i1, rispettivamente, i valori <strong>di</strong> V<br />
e <strong>di</strong> i per x = 0 e per x = ℓ. Supponiamo inoltre dato V0 e chiusa la linea<br />
su una resistenza (complessa) R.<br />
Ponendo nella (1.74) x = 0, si ricava:<br />
V0 = A; (1.76)<br />
ponendo invece nelle (1.74), (1.75), x = ℓ, e sostituendo ad A il valore<br />
trovato abbiamo rispettivamente:<br />
V1 = V0 cosip(pℓ) + B sinip(pℓ), (1.77)<br />
i = − V0 q sinip(pℓ) − B q cosip(pℓ) (1.78)<br />
e dovendo essere, per le ipotesi fatte, V1 = Ri1,<br />
V0 cosip(pℓ) + B sinip(pℓ) + V0 R q sinip(pℓ) + B R q cosip(pℓ) = 0,<br />
(1.79)<br />
cioè:<br />
B = − V0<br />
cosip(pℓ) + Rq sinip(pℓ)<br />
. (1.80)<br />
sinip(pℓ) + Rq cosip(pℓ)<br />
Sostituendo nelle (1.74) e (1.75) e dando a x valori opportuni si trovano<br />
facilmente le espressioni:<br />
i0 = V0 q cosip(pℓ) + Rq sinip(pℓ)<br />
,<br />
sinip(pℓ) + Rq cosip(pℓ)<br />
(1.81)<br />
V1 =<br />
V0 R q<br />
,<br />
sinip(pℓ) + Rq cosip(pℓ)<br />
(1.82)<br />
i1 =<br />
V0 q<br />
.<br />
sinip(pℓ) + Rq cosip(pℓ)<br />
(1.83)<br />
9 Per evitare confusioni, l’Autore in<strong>di</strong>ca l’unità immaginaria √ −1 con j; i pe<strong>di</strong>ci<br />
ip servono invece ad in<strong>di</strong>care le funzioni iperboliche sinh e cosh.<br />
17
In particolare se R = ∞ si ha:<br />
e se R = 0:<br />
se r = g = 0:<br />
i0 = V0<br />
V1 =<br />
se r = g = 0 e R = ∞:<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
i0 = V0 q sinip(pℓ)<br />
cosip(pℓ)<br />
V1 =<br />
V0<br />
cosip(pℓ)<br />
(1.84)<br />
(1.85)<br />
i1 = 0; (1.86)<br />
i0 = V0 q cosip(pℓ)<br />
sinip(pℓ)<br />
(1.87)<br />
V1 = 0 (1.88)<br />
i1 =<br />
V0 q<br />
;<br />
sinip(pℓ)<br />
(1.89)<br />
cos<br />
C/L √ LCωℓ + jR C/L sin √ LCωℓ<br />
R C/L cos √ LCωℓ + j sin √ , (1.90)<br />
LCωℓ<br />
V0 R C/L<br />
R C/L cos √ LCωℓ + j sin √ ; (1.91)<br />
LCωℓ<br />
sin<br />
i0 = V0 C/L j √ LCωℓ<br />
cos √ LCωℓ<br />
√<br />
= V0 C/L j tan LCωℓ, (1.92)<br />
V1 =<br />
V0<br />
cos √ ,<br />
LCωℓ<br />
(1.93)<br />
i1 = 0; (1.94)<br />
se r = g = R = 0:<br />
i0 =<br />
<br />
C<br />
− V0<br />
L j<br />
1<br />
tan √ ,<br />
LCωℓ<br />
(1.95)<br />
V1<br />
i1<br />
=<br />
=<br />
0,<br />
<br />
C<br />
− V0<br />
L<br />
(1.96)<br />
j<br />
1<br />
sin √ .<br />
LCωℓ<br />
(1.97)<br />
18
[ ] 10<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
1.10 Densità <strong>di</strong> una <strong>di</strong>stribuzione sferica<br />
Si abbia una <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> masse newtoniane su una superficie sferica<br />
con densità variabile K. Detti V0 e K0 rispettivamente il potenziale e la<br />
densità nel punto O, V il potenziale nel punto generico P , d la <strong>di</strong>stanza<br />
fra P0 e P , e r il raggio della sfera, vale la relazione:<br />
K0 = 1<br />
<br />
V0<br />
4π r +<br />
<br />
V0 − V<br />
πd3 dσ<br />
<br />
, (1.98)<br />
10Nel manoscritto originale è qui riportato un inserto il cui contenuto è il<br />
seguente:<br />
“Se Z è l’impedenza della linea, Y l’ammettenza in derivazione, V0 e i0 il potenziale<br />
e la corrente in arrivo, V1 e i1 quelli in partenza, si ha:<br />
<br />
√ Z<br />
V1 = V0 cosip Y Z + i0<br />
Y sinip<br />
√<br />
Y Z,<br />
<br />
√ Y<br />
ii = i0 cosip Y Z + V0<br />
Z sinip<br />
√<br />
Y Z.<br />
Sviluppando in serie i primi termini sono:<br />
aV1<br />
ii<br />
=<br />
=<br />
<br />
Y Z<br />
V0 1 + + i0 Z<br />
2<br />
<br />
Y Z<br />
i0 1 + + V0 Y<br />
2<br />
Il metodo del T darebbe:<br />
e quello del Π<br />
V1 = V0<br />
ii = i0<br />
V1 = V0<br />
ii = i0<br />
<br />
1 +<br />
<br />
1 +<br />
<br />
1 +<br />
<br />
1 +<br />
σ<br />
<br />
1 +<br />
<br />
1 +<br />
<br />
Y Z<br />
+ i0 Z 1 +<br />
2<br />
<br />
Y Z<br />
+ V0 Y,<br />
2<br />
<br />
Y Z<br />
+ i0 Z,<br />
2<br />
<br />
Y Z<br />
+ V0 Y 1 +<br />
2<br />
19<br />
<br />
Y Z<br />
,<br />
6<br />
Y Z<br />
6<br />
<br />
.<br />
<br />
Y Z<br />
,<br />
4<br />
<br />
Y Z<br />
.<br />
4
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
nella quale l’integrale va esteso a tutta la superficie sferica.<br />
1.11 Skineffect elettrico limite<br />
Si abbia un conduttore a sezione costante (<strong>di</strong> forma qualunque) percorso<br />
da corrente alternata. Crescendo indefinitamente la frequenza la corrente<br />
tende a scorrere quasi esclusivamente in uno strato superficiale del conduttore<br />
sempre più sottile. Al limite potremo ritenere il fenomeno della<br />
corrente come puramente superficiale e potremo considerare la densità lineare<br />
<strong>di</strong> corrente che sarà l’intensità della corrente che attraversa l’unità<br />
<strong>di</strong> lunghezza del contorno della sezione. Per una data intensità totale <strong>di</strong><br />
corrente, al limite sarà nulla la densità superficiale <strong>di</strong> corrente all’interno<br />
del conduttore e sarà quin<strong>di</strong>, manifestamente, anche nullo il campo magnetico.<br />
Ora il campo magnetico all’interno del conduttore è dovuto alla<br />
corrente che scorre in superficie e alla magnetizzazione del conduttore, se<br />
questo è magnetico, nel sottile strato superficiale percorso da corrente. Il<br />
secondo contributo tende a zero perché tende a zero il volume dello strato<br />
superficiale mentre non cresce oltre ogni limite l’intensità <strong>di</strong> magnetizzazione.<br />
Segue che al limite è nullo, all’interno del conduttore, il campo<br />
prodotto dalla corrente. Scomponiamo la corrente che attraversa ogni elemento<br />
del contorno in due componenti, l’una <strong>di</strong> fase O e l’altra <strong>di</strong> fase π/2.<br />
Dovrà annullarsi, all’interno del conduttore, sia il campo dovuto alle sole<br />
prime componenti, sia quello dovuto alle sole seconde. Alle correnti elementari<br />
<strong>di</strong> egual fase possiamo sostituire correnti elementari continue della<br />
stessa intensità efficace; il campo dovuto a queste sarà uguale al campo<br />
efficace prodotto da quelle. Ora è noto che il campo magnetico dovuto a<br />
più correnti continue rettilinee e parallele è ortogonale e numericamente<br />
uguale al campo elettrico prodotto da altrettante <strong>di</strong>stribuzioni lineari <strong>di</strong><br />
elettricità con gli assi coincidenti con gli assi delle correnti e le densità lineari<br />
rispettivamente uguali, in valore numerico, alle intensità <strong>di</strong> correnti.<br />
Nel nostro caso, sostituendo alle correnti elementari che attraversano il<br />
perimetro della sezione siffatte <strong>di</strong>stribuzioni lineari <strong>di</strong> elettricità, veniamo<br />
ad avere una <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> elettricità su tutta la superficie del conduttore<br />
e la densità superficiale <strong>di</strong> detta <strong>di</strong>stribuzione è numericamente uguale<br />
20
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
alla densità lineare <strong>di</strong> corrente. Ma tale <strong>di</strong>stribuzione deve produrre campo<br />
nullo all’interno onde essa è quella che si produrrebbe naturalmente supposto<br />
il conduttore isolato e carico. Ma tale <strong>di</strong>stribuzione è perfettamente<br />
determinata a meno <strong>di</strong> un fattore costante e poiché alle densità superficiali<br />
<strong>di</strong> essa sono proporzionali le densità lineari delle correnti <strong>di</strong> fase zero, come,<br />
naturalmente, quelle <strong>di</strong> fase π/2, riassumendo si conclude<br />
(1) Le correnti elementari che scorrono alla superficie del conduttore<br />
hanno tutte la stessa fase.<br />
(2) La densità lineare <strong>di</strong> tali correnti è proporzionale alla densità superficiale,<br />
calcolata negli elementi <strong>di</strong> superficie su cui esse scorrono, <strong>di</strong><br />
una certa <strong>di</strong>stribuzione superficiale <strong>di</strong> elettricità che è precisamente<br />
quella che si produrrebbe nel conduttore isolato e carico.<br />
Ve<strong>di</strong>amo ora come varia con la profon<strong>di</strong>tà la densità superficiale della<br />
corrente entro il sottile strato conduttore; poiché questo è infinitesimo<br />
potremo, entro una regione indefinitamente estesa rispetto al suo spessore,<br />
considerare come piena la superficie del conduttore e ritenere funzioni della<br />
sola profon<strong>di</strong>tà la densità <strong>di</strong> corrente e il campo. Fissiamo un sistema <strong>di</strong><br />
assi cartesiani destrorso con l’origine in un punto della superficie, l’asse<br />
x nella <strong>di</strong>rezione della corrente e l’asse z volto verso la normale interna.<br />
È chiaro che, a meno <strong>di</strong> infinitesimi la <strong>di</strong>rezione (non necessariamente il<br />
verso) del campo magnetico sarà quella dell’asse y. Detta u la densità <strong>di</strong><br />
corrente (complessa) H il campo magnetico (complesso), ρ la resistività<br />
elettrica, le equazioni <strong>di</strong> Maxwell, trascurate le correnti <strong>di</strong> spostamento<br />
che non hanno alcuna importanza, <strong>di</strong>vengono:<br />
∂H<br />
∂z<br />
∂u<br />
∂z<br />
= − 4π u, (1.99)<br />
= − µ ω j<br />
ρ<br />
supposta la permeabilità costante si ottiene l’equazione:<br />
la cui soluzione generale è:<br />
H; (1.100)<br />
∂ 2 u 4π µ ω j<br />
= u (1.101)<br />
∂z2 ρ<br />
√<br />
2πµω/ρ (1+j) z −<br />
u = a e<br />
+ b e √ 2πµω/ρ (1+j) z<br />
; (1.102)<br />
21
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
ma il primo termine deve essere nullo perché tende all’infinito con z.<br />
Avremo quin<strong>di</strong>:<br />
u = u0 e −√ 2πµω/ρ (1+j) z . (1.103)<br />
Questa è l’equazione in termini simbolici <strong>di</strong> un’onda smorzata procedente<br />
dall’esterno verso l’interno; la costante <strong>di</strong> attenuazione è uguale alla costante<br />
<strong>di</strong> spostamento, analogamente a quando avviene nelle onde <strong>di</strong> propagazione<br />
del calore, e vale 2πµω/ρ = 2π µf/ρ. La lunghezza d’onda sarà:<br />
λ =<br />
La velocità <strong>di</strong> propagazione:<br />
e la densità lineare <strong>di</strong> corrente:<br />
d =<br />
=<br />
2πρ<br />
µω =<br />
v = f λ =<br />
∞<br />
0<br />
1<br />
2π<br />
u dr =<br />
ρ<br />
2µ f<br />
<br />
<br />
ρ<br />
. (1.104)<br />
µ f<br />
ρ<br />
4π µ ω<br />
u0<br />
√ δ =<br />
ρ f<br />
µ ; (1.105)<br />
u0<br />
√ δ<br />
λ<br />
2π √ 2<br />
(1.106)<br />
u0<br />
√ δ . (1.107)<br />
Segue che la fase <strong>di</strong> tutta la corrente è in ritardo <strong>di</strong> 45 o rispetto a quella<br />
della corrente che scorre nello strato imme<strong>di</strong>atamente prossimo alla superficie<br />
del conduttore. Il calore che si sviluppa per effetto Joule nell’unità <strong>di</strong><br />
tempo e nell’unità <strong>di</strong> superficie del conduttore sarà, in unità meccaniche e<br />
in<strong>di</strong>cando con |u0| il modulo del complesso u0:<br />
q =<br />
∞<br />
0<br />
= ρ |u 2 0| 1<br />
4π<br />
ρ |u| 2 dz = |u0| 2<br />
ρ<br />
µ f = |u2 0|<br />
∞<br />
0<br />
ρ e −4π<br />
<br />
µ<br />
f ρz dz<br />
ρ λ<br />
. (1.108)<br />
4π<br />
Si <strong>di</strong>ca strato equivalente uno strato <strong>di</strong> spessore s tale che se la corrente<br />
circolasse in esso con densità uniforme a qualunque profon<strong>di</strong>tà si svilupperebbe<br />
la stessa quantità <strong>di</strong> calore. Avremo:<br />
ρ |d2 |<br />
s = ρ |u20| λ<br />
; (1.109)<br />
4π<br />
22
da cui per la (1.107) si deduce<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
s = λ<br />
2π<br />
<br />
1 ρ<br />
= . (1.110)<br />
2π µ f<br />
Agli effetti della resistenza ohmica si può quin<strong>di</strong> ritenere che la corrente<br />
fluisca entro lo strato equivalente con densità in<strong>di</strong>pendente dalla profon<strong>di</strong>tà,<br />
ma variabile da un punto all’altro del contorno del conduttore. È<br />
quin<strong>di</strong> errato il calcolare la resistenza per unità <strong>di</strong> lunghezza del conduttore<br />
<strong>di</strong>videndo la resistività per l’area della sezione dell’intero strato equivalente.<br />
Tale calcolo è esatto solo per la sezione circolare; in tutti gli altri<br />
casi dà per la resistenza valori inferiori al vero.<br />
Consideriamo ora appunto, una sezione circolare; se r è il suo raggio,<br />
la sezione equivalente ha la forma <strong>di</strong> una corona circolare <strong>di</strong> raggio esterno<br />
r e spessore s. La sua area sarà 2πrs − πs 2 ; osserviamo però che s è infinitesimo<br />
ed è stato determinato in prima approssimazione, cioè a meno <strong>di</strong><br />
infinitesimi del secondo or<strong>di</strong>ne, onde per provare la leggittimità del secondo<br />
termine nell’espressione ora scritta ove si intenda <strong>di</strong> attribuire a s il valore<br />
dato dalla (1.110) bisogna ricorrere ad altra via. Precisamente chiamando<br />
A l’area della sezione equivalente risulta dalla (1.63) a meno <strong>di</strong> infinitesimi:<br />
πr 2<br />
A =<br />
<br />
1 1<br />
p +<br />
2 4 =<br />
<br />
µ ω<br />
2ρ πr2 + 1<br />
4<br />
= πr<br />
<br />
µ f<br />
ρ<br />
+ 1<br />
4<br />
(1.111)<br />
e moltiplicando per A che è infinitesimo <strong>di</strong> primo or<strong>di</strong>ne e <strong>di</strong>videndo per<br />
il secondo membro che è infinito del primo or<strong>di</strong>ne, risulta a meno <strong>di</strong> in-<br />
finitesimi del terzo or<strong>di</strong>ne:<br />
A =<br />
πr 2<br />
<br />
µf 1<br />
πr +<br />
ρ 4<br />
<br />
ρ<br />
= r<br />
µ f<br />
1<br />
1 + 1<br />
<br />
ρ<br />
4πr µf<br />
=<br />
<br />
ρ<br />
r −<br />
µ f<br />
1 ρ<br />
,<br />
4π µf<br />
(1.112)<br />
e finalmente ricordando la (1.110)<br />
A = 2π r s − πs 2 <br />
= 2π r − s<br />
<br />
2<br />
come ci eravamo proposti <strong>di</strong> <strong>di</strong>mostrare.<br />
23<br />
s, (1.113)
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
Passiamo ora alle sezioni <strong>di</strong> forma qualunque. Il proce<strong>di</strong>mento che<br />
seguiremo sarà quello <strong>di</strong> ricondurre tali sezioni a sezioni circolari equivalenti<br />
per ciò che riguarda la resistenza nel caso <strong>di</strong> un effetto pellicolare<br />
infinitamente pronunziato; notiamo una volta per sempre che prendendo la<br />
frequenza all’infinito, tale equivalenza ha luogo in generale solo per la prima<br />
approssimazione; onde trovato il raggio del cerchio equivalente e calcolata<br />
la sezione dello strato equivalente me<strong>di</strong>ante la (1.113), si commette un<br />
errore che è infinitesimo del secondo or<strong>di</strong>ne e non del terzo come la forma<br />
della (1.113) parrebbe in<strong>di</strong>care; ma benché l’errore che si commette nel<br />
calcolo <strong>di</strong> A con la (1.113) è dello stesso or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza del termine<br />
−πs 2 , conviene tuttavia tener conto <strong>di</strong> tale termine, anziché trascurarlo,<br />
perché si ottiene in generale un’approssimazione migliore.<br />
Se d è la densità lineare <strong>di</strong> corrente il calore sviluppato nell’unità <strong>di</strong><br />
tempo per unità <strong>di</strong> lunghezza del conduttore e per ogni elemento dℓ del<br />
contorno sarà, a meno <strong>di</strong> un fattore costante, d 2 dℓ, e il calore complessivo<br />
per unità <strong>di</strong> lunghezza e <strong>di</strong> tempo:<br />
<br />
Q = c<br />
L’intensità totale <strong>di</strong> corrente sarà:<br />
i =<br />
<br />
d 2 dℓ. (1.114)<br />
d dℓ. (1.115)<br />
Sostituendo alla sezione data il cerchio equivalente <strong>di</strong> perimetro p avremo:<br />
donde<br />
Si deduce in ogni caso:<br />
p =<br />
Q = c 1<br />
<br />
p<br />
<br />
2 <br />
d dℓ<br />
2 d dℓ , (1.116)<br />
d 2 dℓ . (1.117)<br />
p ≤ ℓ. (1.118)<br />
24
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
1.12 Skineffect elettrico limite per sezioni<br />
particolari. In<strong>di</strong>cazioni per sezioni<br />
qualunque.<br />
1.12.1 Sezioni ellittiche<br />
d è notoriamente proporzionale alla proiezione del raggio vettore sulla normale;<br />
per un’ellisse <strong>di</strong> semiassi a e b avremo nel punto generico (a cos t,<br />
b sin t), essendo c una costante<br />
d =<br />
dℓ =<br />
c<br />
a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t , (1.119)<br />
<br />
a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt. (1.120)<br />
Chiamando r il raggio del cerchio equivalente e sostituendo nella (1.117)<br />
abbiamo<br />
p = 2πr = 4π 2<br />
−1 2π<br />
dt<br />
, (1.121)<br />
0 a2 2 sin t + b2 cos2 t<br />
cioè, limitando l’integrale a un quarto dell’ellisse:<br />
r = π<br />
2π<br />
2 0<br />
Riportiamo alcuni valori <strong>di</strong> r:<br />
−1 dt<br />
. (1.122)<br />
a2 2 sin t + b2 cos2 t<br />
25
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
a b r rA rp<br />
1 0.9 0.949 0.949 0.951<br />
1 0.8 0.897 0.894 0.903<br />
1 0.7 0.843 0.837 0.857<br />
1 0.6 0.787 0.775 0.813<br />
1 0.5 0.728 0.707 0.771<br />
1 0.4 0.666 0.632 0.733<br />
1 0.3 0.598 0.548 0.698<br />
1 0.2 0.520 0.447 0.669<br />
1 0.1 0.425 0.316 0.647<br />
1 0 0 0 0.637<br />
Emerge dal quadro qui sopra che il cerchio equivalente è sempre più prossimo<br />
a quello <strong>di</strong> ugual area che a quello <strong>di</strong> ugual perimetro, benché il<br />
rapporto tra esso e il cerchio <strong>di</strong> uguale area sia infinito per eccentricità<br />
infinite; tuttavia per b/a = 0.1 tale rapporto (rapporto dei raggi) non<br />
giunge ancora a 1.35. Appare quin<strong>di</strong> errato il suggerimento dato da alcuni<br />
autori <strong>di</strong> sostituire per approssimazione a una sezione irregolare il cerchio <strong>di</strong><br />
ugual perimetro anziché quello <strong>di</strong> uguale area; e ciò anche per l’osservazione<br />
che segue.<br />
1.12.2 Influenza delle irregolarità del contorno<br />
Supponiamo che a una sezione a contorno regolare (cioè con il raggio <strong>di</strong><br />
curvatura del contorno mai troppo piccolo rispetto alle <strong>di</strong>mensioni della<br />
sezione) se ne sostituisca un’altra quasi sovrapponibile alla prima, ma con<br />
il contorno ondulato.<br />
È chiaro che l’area della sezione non sarà sensibil-<br />
mente cambiata, mentre il perimetro può essere accresciuto sensibilmente;<br />
si tratta <strong>di</strong> vedere in che senso vari la resistenza apparente in regime <strong>di</strong><br />
skineffect infinito.<br />
Per necessità <strong>di</strong> calcolo supponiamo le ondulazioni infinitamente piccole.<br />
Consideriamo un piccolo tratto del contorno della prima sezione<br />
parecchie volte più lungo <strong>di</strong> ciascuna ondulazione, nella seconda sezione<br />
corrisponde ad esso un tratto ondulato. Supponiamo <strong>di</strong> caricare il conduttore<br />
con la quantità <strong>di</strong> elettricità q per ogni unità <strong>di</strong> lunghezza; il perimetro<br />
26
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
del cerchio equivalente vale, essendo d la densità dell’elettricità (cfr. la<br />
(1.117)):<br />
p = q 2<br />
<br />
d 2 −1 dℓ , (1.123)<br />
ma d 2 dℓ non è altro, a meno del fattore 2π, che il valore numerico dello<br />
sforzo elettrostatico che si esercita sull’elemento d’onda 11 dℓ·û; ora è chiaro<br />
che sostituendo al contorno regolare il contorno ondulato la <strong>di</strong>stribuzione<br />
dell’elettricità non varia sensibilmente purché si considerino tratti del contorno<br />
comprendenti molte ondulazioni; segue (fig) che nel tratto quasi piano<br />
ABC relativo alla prima sezione, e nel tratto ondulato ABC ′ si esercita<br />
press’a poco lo stesso sforzo elettrostatico; ma mentre nel primo caso tale<br />
sforzo deriva dalla composizione <strong>di</strong> sforzi elementari quasi paralleli, nel<br />
secondo caso deriva dalla composizione <strong>di</strong> sforzi <strong>di</strong> <strong>di</strong>rezione variabile.<br />
A<br />
C C’<br />
B<br />
Segue che la somma aritmetica <strong>degli</strong> sforzi è maggiore nel secondo caso.<br />
11 Con û viene in<strong>di</strong>cata una generica <strong>di</strong>rezione che parte da un punto del bordo.<br />
27
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
Si conclude per la (1.123) che passando dal contorno regolare al contorno<br />
ondulato il perimetro della sezione aumenta, mentre il raggio del cerchio<br />
equivalente <strong>di</strong>minuisce. Combinando tale risultato con quelli ottenuti intorno<br />
alle sezioni ellittiche si conclude intuitivamente che per una sezione<br />
sensibilmente allungata e un po’ irregolare come quella <strong>di</strong> una rotaia il<br />
raggio del cerchio equivalente è solo lievemente maggiore <strong>di</strong> quello del cerchio<br />
<strong>di</strong> uguale area, mentre è sensibilmente minore <strong>di</strong> quello del cerchio <strong>di</strong><br />
uguale perimetro.<br />
1.13 Per<strong>di</strong>te per isteresi nei conduttori<br />
magnetici in regime <strong>di</strong> effetto<br />
pellicolare limite<br />
Per trovare le formole (v. §11) relative all’effetto pellicolare limite abbiamo<br />
supposto costante il coefficiente <strong>di</strong> permeabilità e trascurata l’influenza<br />
dell’isteresi; ma <strong>di</strong> tale influenza si può sommariamente tenere conto ritenendo<br />
che essa si manifesti essenzialmente me<strong>di</strong>ante un ritardo <strong>di</strong> fase α<br />
dell’ondulazione rispetto al campo magnetico. Con le notazioni simboliche<br />
µ, rapporto tra grandezze alternate <strong>di</strong> fase <strong>di</strong>versa, sarà immaginario e<br />
avrà per argomento −α, quantità che per necessaria semplicità <strong>di</strong> calcolo<br />
riterremo costante. Poniamo µ sotto la forma<br />
µ = µ0 e −iα . (1.124)<br />
Tutte le formole in notazioni simboliche <strong>di</strong> (§11) saranno valide purché si<br />
intenda µ come complesso. Sostituendo poi a µ la sua espressione data<br />
dalla (1.124), le formole (1.103) e (1.106) <strong>di</strong>vengono rispettivamente:<br />
e<br />
u = u0 exp{−2π µ0f/ρ [cos(45 o − α/2) + j sin(45 o − α/2)] z} (1.125)<br />
d = u0<br />
<br />
ρ<br />
2π 2µ0 f<br />
<br />
cos 45 o − α<br />
<br />
2<br />
<br />
− j sin<br />
45 o − α<br />
2<br />
<br />
. (1.126)<br />
Segue che il ritardo della corrente sul campo elettrico alla superficie del<br />
conduttore vale 45 o − α/2. Alle (1.104), (1.105), e (1.110) andranno sosti-<br />
28
tuite le altre:<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
λ =<br />
<br />
ρ<br />
2µ0 f<br />
1<br />
sin(45o <br />
− α/2)<br />
(1.127)<br />
v =<br />
ρ f 1<br />
2µ0 sin(45o q1 =<br />
− α/2)<br />
|u0|<br />
(1.128)<br />
2 <br />
1 −ρ ρ<br />
4π 2µ0 f cos(45o s1 =<br />
− α/2)<br />
(1.129)<br />
cos(45o <br />
− α/2) ρ<br />
.<br />
π 2µ0 f<br />
(1.130)<br />
Segue dalla (1.127) che la lunghezza d’onda aumenta e dalla (1.130) che<br />
le per<strong>di</strong>te per effetto Joule <strong>di</strong>minuiscono in conseguenza dell’isteresi. Ma<br />
q1 nella (1.129) è il calore perduto per solo effetto Joule e s1 nella (1.130)<br />
non è lo spessore dello strato equivalente che per ciò che riguarda l’effetto<br />
Joule; chiameremo al contrario q la quantità totale <strong>di</strong> energia perduta e s<br />
lo spessore dello strato equivalente vero, cioè tenuto conto delle per<strong>di</strong>te per<br />
isteresi. La quantità <strong>di</strong> energia che nell’unità <strong>di</strong> tempo attraversa l’unità<br />
<strong>di</strong> superficie del conduttore per trasformarsi in calore, vale per il teorema<br />
<strong>di</strong> Poynting:<br />
E H<br />
q = cos ϕ (1.131)<br />
4π<br />
nella quale E è il valore efficace del campo elettrico alla superficie del<br />
conduttore, H il valore efficace del campo magnetico e ϕ la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong><br />
fase tra campo elettrico e magnetico. Nel nostro caso avremo:<br />
e quin<strong>di</strong>:<br />
q =<br />
s =<br />
E = |u0| ρ (1.132)<br />
H = 4π |d| = 2 u0<br />
ϕ = 45 o − α<br />
2<br />
ρ |u0| 2<br />
2π<br />
<br />
ρ<br />
2µ0 f cos<br />
<br />
1<br />
2π cos(45 o − α/2)<br />
29<br />
ρ<br />
2µ0 f<br />
(1.133)<br />
(1.134)<br />
45 o − α<br />
<br />
(1.135)<br />
2<br />
<br />
ρ<br />
. (1.136)<br />
2µ0 f
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
Chiamando q2 il calore sviluppato per la sola isteresi abbiamo:<br />
q2 = q − q1 =<br />
q2<br />
q1<br />
ρ |u0| 2<br />
4π<br />
ρ<br />
2µ0 f<br />
sin α<br />
cos(45 o − α/2)<br />
(1.137)<br />
= sin α. (1.138)<br />
Chiamando poi q0 il calore che si svilupperebbe in assenza <strong>di</strong> isteresi<br />
per un medesimo valore della corrente, ciò che è lo stesso come <strong>di</strong>mostra<br />
la (1.126), per un medesimo valore <strong>di</strong> |u0|, abbiamo:<br />
q0 = ρ |u0| 2 <br />
1 ρ<br />
4π µ0 f<br />
(1.139)<br />
q<br />
q0<br />
= cos α α<br />
+ sin<br />
2 2<br />
(1.140)<br />
q0 − q1<br />
= sin α/2 + cos α/2 − 1<br />
.<br />
sin α<br />
(1.141)<br />
q2<br />
Si rileva da quest’ultima equazione che la per<strong>di</strong>ta per isteresi è, nel caso<br />
<strong>di</strong> isteresi debole, compensata per metà dalla <strong>di</strong>minuzione <strong>di</strong> per<strong>di</strong>ta per<br />
effetto Joule; nel caso <strong>di</strong> isteresi forte tale compenso è, relativamente, un<br />
po’ minore. Si rileva dalla (1.138) che il rapporto fra per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> isteresi e<br />
per<strong>di</strong>ta per effetto Joule è in<strong>di</strong>pendente dalla frequenza.<br />
Se su una retta si segnano i punti O, Q0, Q1, e Q, essendo OQ 0 = q0,<br />
OQ 1 = q1, OQ = q, si ottiene un gruppo armonico.<br />
1.14 Campo prodotto nel suo piano da<br />
una <strong>di</strong>stribuzione lineare omogenea<br />
circolare <strong>di</strong> masse newtoniane<br />
Sia r il raggio del cerchio sulla cui circonferenza sono <strong>di</strong>stribuite le masse,<br />
K la densità lineare della <strong>di</strong>stribuzione. Detta x la <strong>di</strong>stanza dall’asse, il<br />
campo vale nei punti interni:<br />
E = 2πK<br />
r<br />
<br />
1 x<br />
·<br />
2 r<br />
+ 1<br />
2<br />
· 9<br />
8<br />
<br />
x3 1 9 25 x5<br />
· + · · · + . . . ; (1.142)<br />
r3 2 8 24 r5 30
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
nei punti esterni:<br />
E = 2πK<br />
r<br />
<br />
2<br />
r 3 r4 3 15 r6 3 15 35 r8<br />
+ · + · · + · · · + . . . .<br />
x2 4 x4 4 16 x6 4 16 36 x8 (1.143)<br />
In entrambe le serie, che sono sempre convergenti, i coefficienti a dei termini<br />
a(x/r) ±n tendono, per n → ∞, a 2/π.<br />
1.15 Campo prodotto nel suo piano da<br />
una corrente circolare<br />
Sia i l’intensità della corrente, r il raggio del cerchio. Detta x la <strong>di</strong>stanza<br />
dall’asse, il campo vale nei punti interni:<br />
H = 2πi<br />
<br />
1 +<br />
r<br />
3<br />
<br />
x2 3 15 x4 3 15 35 x6<br />
· + · · + · · · + . . . , (1.144)<br />
4 r2 4 16 r4 4 16 36 r6 e nei punti esterni:<br />
H = − 2πi<br />
<br />
1 r3 1 9 r5 1 9 25 r7 1 9 25 49 r9<br />
· + · · + · · · + · · · · + . . . .<br />
r 2 x3 2 8 x5 2 8 24 x7 2 8 24 48 x9 (1.145)<br />
Queste formole si deducono facilmente da quelle del n. precedente.<br />
1.16 Effetto pellicolare debole in<br />
conduttori a sezione ellittica aventi<br />
la stessa permeabilità del mezzo<br />
La resistenza apparente in un conduttore a corrente alternata può porsi in<br />
generale nel caso <strong>di</strong> skineffect debole, sotto la forma<br />
2<br />
1 + c p , (1.146)<br />
Ra = Rc<br />
31
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
dove Rc è la resistenza a corrente alternata e si è posto inoltre p = µω/ρ,<br />
essendo µ la permeabilità del conduttore e ρ la sua resistenza per unità<br />
<strong>di</strong> lunghezza; c è un coefficiente che <strong>di</strong>pende dalla forma della sezione e<br />
dalla permeabilità del conduttore e del mezzo. Per conduttori a sezione<br />
circolare si ha sempre c= 1/12. Quando mezzo e conduttore hanno la<br />
stessa permeabilità, c <strong>di</strong>viene un coefficiente <strong>di</strong> forma. Esso si calcola<br />
in ogni caso ritenendo che la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> forza elettromotrice fra due<br />
linee <strong>di</strong> corrente, dovuta alle variazioni <strong>di</strong> flusso all’interno del conduttore,<br />
sia, in prima approssimazione, uguale a quella che si avrebbe nel caso<br />
<strong>di</strong> una <strong>di</strong>stribuzione uniforme della corrente. Se la sezione è ellittica, e<br />
il conduttore e il mezzo sono egualmente permeabili, la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> forza<br />
elettromotrice fra linea <strong>di</strong> corrente centrale e quella che attraversa la sezione<br />
nel punto (x, y) vale, se x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 è l’equazione della sezione:<br />
<br />
b<br />
E = 2π µ ω u<br />
a + b x2 + a<br />
a + b y2<br />
<br />
, (1.147)<br />
essendo u la densità <strong>di</strong> corrente, ed è spostata <strong>di</strong> 90 o rispetto alla corrente.<br />
È allora facile calcolare il coefficiente c. Si trova:<br />
ovvero, ponendo k = b/a,<br />
c = 3a2 − 2ab + b 2<br />
12(a + b) 2 , (1.148)<br />
c =<br />
3 − 2k + 3k2<br />
. (1.149)<br />
12(1 + k) 2<br />
Riportiamo nella tabella il valore <strong>di</strong> c per <strong>di</strong>versi valori <strong>di</strong> k.<br />
k c (c(ki) − c(ki−1))×10 4<br />
1.00 0.0833<br />
0.90 0.0838 5<br />
0.80 0.0854 16<br />
0.70 0.0885 31<br />
0.60 0.09375 52<br />
0.50 0.1019 82<br />
0.40 0.1139 120<br />
0.30 0.1317 178<br />
0.20 0.1574 257<br />
0.10 0.1949 375<br />
0.00 0.2500 551<br />
32
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
1.17 Scariche oscillanti nei condensatori<br />
Chiudendo un condensatore <strong>di</strong> capacità C, carico della quantità <strong>di</strong> elettricità<br />
Q su un circuito <strong>di</strong> resistenza R e autoinduzione L, ha luogo, se la<br />
resistenza non è troppo grande, una scarica oscillante. Detto T il periodo<br />
dell’oscillazione, t il tempo in capo al quale la corrente raggiunge il suo<br />
valore massimo imax, k il rapporto tra l’intensità <strong>di</strong> corrente al tempo t<br />
e quella al tempo t − T , si hanno per queste grandezze, al variare <strong>di</strong> r, i<br />
seguenti valori:<br />
<br />
4L<br />
R/<br />
C<br />
T<br />
2π √ LC<br />
t<br />
2π √ LC<br />
t<br />
T<br />
imax/ Q<br />
√<br />
LC<br />
k<br />
0 1.000 0.2500 0.2500 1.000 1.000<br />
0.1 1.005 0.2352 0.2341 0.863 0.532<br />
0.2 1.021 0.2224 0.2180 0.756 0.277<br />
0.3 1.048 0.2112 0.2015 0.672 0.139<br />
0.4 1.091 0.2013 0.1845 0.603 0.064<br />
0.5 1.155 0.1925 0.1667 0.546 0.027<br />
0.6 1.250 0.1845 0.1476 0.499 0.0090<br />
0.7 1.400 0.1773 0.1266 0.459 0.0021<br />
0.8 1.667 0.1707 0.1024 0.424 0.00023<br />
0.9 2.294 0.1647 0.0718 0.394 0.000002<br />
1 ∞ 0.1592 0.0000 0.368 0.000<br />
2 0.1210 0.218<br />
10 0.0479 0.049<br />
100 0.0084 0.005<br />
Posto R1 = Ri/ 4L/C, valgono le seguenti formole:<br />
(a) Per R1 < 1:<br />
T = 2π√LC <br />
2 1 − R1 √<br />
LC<br />
t = <br />
2 1 − R1 t<br />
T<br />
= arccos R1<br />
2π<br />
arccos R1<br />
33<br />
(1.150)<br />
(1.151)<br />
(1.152)
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
imax =<br />
<br />
Q<br />
√ exp −<br />
LC Rt<br />
<br />
=<br />
2L<br />
Q<br />
=<br />
<br />
<br />
arccos R1<br />
√ exp −R1 <br />
LC 2 1 − R1 <br />
Q<br />
√ exp −<br />
LC RT<br />
<br />
arccos R1<br />
=<br />
2L 2π<br />
Q<br />
<br />
√ exp −<br />
LC tR1<br />
<br />
√<br />
LC<br />
k =<br />
<br />
T R1<br />
exp − √<br />
LC<br />
<br />
= exp −<br />
(1.153)<br />
R12π<br />
<br />
.<br />
2 1 − R1 (1.154)<br />
(b) Per R1 > 1:<br />
t = √ LC<br />
imax =<br />
=<br />
(c) Per R1 gran<strong>di</strong>ssimo:<br />
Q<br />
√ LC<br />
Q<br />
√ LC exp<br />
<br />
log R1 + R2 <br />
1 − 1<br />
<br />
2 R1 − 1<br />
R1<br />
(1.155)<br />
<br />
R1 + R2 − <br />
2<br />
1 − 1 R1 − 1<br />
<br />
t − R1<br />
√ . (1.156)<br />
LC<br />
t = √ log 2R1<br />
LC =<br />
R1<br />
2L<br />
log 2R1 (1.157)<br />
r<br />
<br />
Q 1 log 2R1 − 1/2<br />
imax = √ −<br />
LC 2R1 4R3 <br />
. (1.158)<br />
1<br />
34
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
1.18 Autoinduzione <strong>di</strong> una bobina <strong>di</strong><br />
grande lunghezza ad asse rettilineo<br />
e sezione circolare e a parecchi strati<br />
Eguagliando a (1/2)Li 2 l’energia elettromagnetica del sistema quando la<br />
bobina è percorsa dalla corrente i si ottiene:<br />
L = 4π 2 n 2 <br />
1<br />
ℓ<br />
2 r2 1 + 1<br />
3 r1 r2 + 1<br />
6 r2 <br />
2 , (1.159)<br />
essendo n il numero <strong>di</strong> spire per cm, ℓ la lunghezza della bobina, r1 il suo<br />
raggio interno, r2 quello esterno. Questa formola può anche scriversi:<br />
dove si è posto<br />
L = 4π n 2 ℓ S, (1.160)<br />
S = 3S1 + 2 √ S1S2 + S2<br />
, (1.161)<br />
8<br />
essendo S1 e S2 rispettivamente la sezione interna ed esterna della bobina.<br />
Se la <strong>di</strong>fferenza relativa tra S2 e S1 non è molto grande si può porre approssimativamente:<br />
S = 1<br />
(2S1 + S2). (1.162)<br />
3<br />
La (1.160) vale naturalmente per sezioni anche <strong>di</strong>verse dalla circolare,<br />
purché gli strati <strong>di</strong> spire si succedano uniformemente ed abbiano sezioni<br />
omotetiche.<br />
35
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
1.19 Energia <strong>di</strong> una <strong>di</strong>stribuzione<br />
circolare uniforme <strong>di</strong> masse<br />
elettriche o magnetiche<br />
Detto R il raggio del cerchio α su cui sono <strong>di</strong>stribuite le masse, ρ la densità<br />
e Q la massa totale della <strong>di</strong>stribuzione, si calcola imme<strong>di</strong>atamente il<br />
potenziale nel centro del cerchio:<br />
V0 = 2π R ρ = 2<br />
Q. (1.163)<br />
R<br />
Fissato un sistema d’assi Oxyz con l’origine nel centro del nostro cerchio<br />
e l’asse z normale ad esso, vale per le componenti in un punto generico<br />
Ex, Ey, Ez del campo fuori della <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> masse l’equazione:<br />
∂Ex<br />
∂x<br />
+ ∂Ey<br />
∂y<br />
+ ∂Ez<br />
∂z<br />
= 0. (1.164)<br />
Tale equazione non è più valida nei punti del cerchio su cui sono <strong>di</strong>stribuite<br />
le masse, nei quali ∂Ez/∂z è infinito; tuttavia potremo continuare a ritenerla<br />
valida anche in tali punti a patto <strong>di</strong> sostituire a ∂Ez/∂z in uno generico<br />
<strong>di</strong> questi punti il limite dei valori che tale quantità assume nella regione<br />
infinitamente prossima esterna al piano xy. Ora abbiamo in generale:<br />
Ez = ρ ω, (1.165)<br />
essendo ω l’angolo solido sotto cui si vede da un punto generico il cerchio<br />
α; e quin<strong>di</strong><br />
∂Ez ∂ω<br />
= ρ . (1.166)<br />
∂z ∂z<br />
Si rivela da tale espressione che ∂Er/∂r è numericamente uguale, salvo il<br />
segno, alla componente Hz del campo magnetico prodotto da una corrente<br />
<strong>di</strong> intensità ρ che percorra il contorno del cerchio α. È nota l’espressione<br />
<strong>di</strong> tale componente nel piano xy, me<strong>di</strong>ante sviluppi in serie (ve<strong>di</strong> paragrafo<br />
1.15). Sostituendo nella (1.166), si ricava per i punti interni ad α<br />
∂Ez<br />
∂z<br />
= − 2πρ<br />
R<br />
<br />
1 + 3 r2<br />
·<br />
4 R<br />
essendo r la <strong>di</strong>stanza dal centro.<br />
<br />
3 15 r4 3 15 35 r6<br />
+ · · + · · · + . . . , (1.167)<br />
2 4 16 R4 4 16 36 R6 36
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
La componente Er del campo secondo il piano xy è <strong>di</strong>retta ra<strong>di</strong>almente<br />
e <strong>di</strong>pende, nel piano xy, dalla sola r. Avremo<br />
Ex = x<br />
Er, (1.168)<br />
r<br />
Ey = y<br />
Er. (1.169)<br />
r<br />
Derivando e sostituendo nell’equazione <strong>di</strong> Laplace 12 si ricava<br />
Er<br />
r<br />
∂Er<br />
+<br />
∂r<br />
<br />
2πρ<br />
= 1 +<br />
R<br />
3<br />
<br />
r2 3 15 r4 3 15 35 r6<br />
· + · · + · · · + . . . .<br />
4 R2 4 16 R4 4 16 36 R6 (1.170)<br />
Questa equazione permette <strong>di</strong> sviluppare in serie Er secondo le potenze <strong>di</strong><br />
r. Si ottiene:<br />
Er = πρ<br />
<br />
r +<br />
R<br />
1<br />
<br />
3 r3 1 3 15 r5 1 3 15 35 r7<br />
· · + · · · + · · · · + . . . .<br />
2 4 R2 3 4 16 R4 4 4 16 36 R6 (1.171)<br />
Il potenziale alla <strong>di</strong>stanza r dal centro sarà:<br />
r<br />
V = V0 − Er dr<br />
=<br />
0<br />
Q<br />
<br />
2 −<br />
R<br />
1 r2 1 1 3 r4 1 1 3 15 r6<br />
· − · · · − · · · ·<br />
2 R2 2 22 4 R4 2 32 4 16 R6 − 1<br />
=<br />
<br />
1 3 15 35 r8<br />
· · · · · + . . .<br />
2 42 4 16 36 R8 Q<br />
<br />
2 −<br />
R<br />
1<br />
2 ·<br />
2<br />
r 1 3 r4 1 3 15 r6<br />
+ · · + · · ·<br />
R2 4 4 R4 9 4 16 R6 + 1<br />
<br />
3 15 35 r8<br />
· · · · + . . .<br />
16 4 16 36 R8 = Q<br />
R<br />
2<br />
π<br />
π<br />
Il potenziale VR alla periferia risulta:<br />
VR = Q<br />
<br />
2 −<br />
R<br />
1<br />
<br />
4 −<br />
2<br />
8<br />
<br />
π<br />
0<br />
1 + (r/R) cos α<br />
1 + 2(r/R) cos α + (r 2 /R 2 ) dα. (1.172)<br />
= Q<br />
R<br />
12 O, più precisamente, nella prima equazione <strong>di</strong> Maxwell.<br />
37<br />
4<br />
π<br />
Q<br />
= 1.2732 . (1.173)<br />
R
Il potenziale me<strong>di</strong>o Vm sarà:<br />
Vm =<br />
R<br />
0<br />
= Q<br />
R<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
R<br />
V r dr/<br />
<br />
2 − 1<br />
2 ·<br />
0<br />
r dr<br />
<br />
1 1 3 1<br />
+ · +<br />
1·2 4·3 4 9·4<br />
3 15<br />
· · + . . .<br />
4 16<br />
1<br />
+<br />
n2 3 15 35 63<br />
· · · ·<br />
(n − 1) 4 16 36 64 ·s 4(n − 1)2 − 1<br />
4(n − 1) 2<br />
=<br />
<br />
·s + . . .<br />
Q<br />
<br />
2 −<br />
R<br />
1<br />
<br />
4 −<br />
2<br />
32<br />
<br />
=<br />
3π<br />
Q 16 16<br />
= R ρ<br />
R 3π 3<br />
= 4<br />
3 VR = 1.69765 Q<br />
.<br />
R<br />
(1.174)<br />
L’energia della <strong>di</strong>stribuzione sarà dunque:<br />
E = 1<br />
2 Q Vm = Q2<br />
R<br />
8<br />
3π<br />
Q2<br />
= 0.84883 . (1.175)<br />
R<br />
È interessante notare, a titolo <strong>di</strong> confronto, che la quantità <strong>di</strong> elettricità<br />
Q, <strong>di</strong>stribuita su una lamina conduttrice circolare <strong>di</strong> raggio R, assumerebbe,<br />
in assenza <strong>di</strong> altri conduttori, il potenziale (π/2)Q/R. Segue<br />
che l’energia inerente alla <strong>di</strong>stribuzione uniforme sta all’energia inerente<br />
alla <strong>di</strong>stribuzione a cui corrisponde il minimo <strong>di</strong> energia nel rapporto<br />
Vm<br />
πQ/2R<br />
= 16/3π<br />
π/2<br />
32<br />
= = 1.08076. (1.176)<br />
3π2 1.20 Autoinduzione <strong>di</strong> una bobina ad asse<br />
rettilineo e <strong>di</strong> limitata lunghezza<br />
Qualunque sia la forma della sezione e lo spessore dell’avvolgimento, se la<br />
bobina fosse <strong>di</strong> lunghezza infinita il campo in un punto generico P avrebbe<br />
la <strong>di</strong>rezione della bobina e il valore 4πni, essendo i l’intensità della corrente<br />
e n il numero <strong>di</strong> spire esterne a P per ogni unità <strong>di</strong> lunghezza. Se invece<br />
38
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
la bobina è <strong>di</strong> lunghezza limitata, al campo suddetto va aggiunto quello<br />
dovuto a due <strong>di</strong>stribuzioni superficiali <strong>di</strong> masse magnetiche, σ1 e σ2, poste<br />
rispettivamente sulla sezione esterna anteriore e posteriore della bobina e<br />
<strong>di</strong> densità superficiale rispettivamente ni e −ni. Supponiamo che la bobina<br />
sia percorsa dalla corrente unitaria. Le <strong>di</strong>stribuzioni σ1 e σ2 avranno la<br />
densità n e −n. Fissato un sistema d’assi con l’asse delle x nella <strong>di</strong>rezione<br />
della bobina e chiamate H ′ x, H ′ y, H ′ z le componenti del campo dovuto alle<br />
<strong>di</strong>stribuzioni σ1 e σ2, le componenti del campo complessivo saranno in un<br />
punto qualunque dello spazio:<br />
L’energia totale del sistema sarà<br />
ɛ = 1<br />
8π<br />
<br />
Hx = 4π n + H ′ x<br />
Hy = H ′ y (1.177)<br />
Hz = H ′ z<br />
(H 2 x + H 2 y + H 2 z ) dV, (1.178)<br />
essendo l’integrale esteso a tutto lo spazio. Ma poiché la corrente è unitaria<br />
avremo:<br />
ɛ = 1<br />
e quin<strong>di</strong><br />
L<br />
2<br />
(1.179)<br />
L = 1<br />
4π<br />
<br />
(H 2 x + H 2 y + H 2 z ) dV<br />
=<br />
<br />
4π n 2 dV + 1<br />
4π<br />
<br />
(H ′2<br />
x + H ′2<br />
y + H ′2<br />
z ) dV +<br />
<br />
2n H ′ x dV.<br />
(1.180)<br />
Il primo termine del secondo membro è l’autoinduzione L1 che competerebbe<br />
alla bobina se le sue <strong>di</strong>mensioni trasversali fossero trascurabili <strong>di</strong><br />
fronte alla sua lunghezza, o meglio se il flusso che attraversa ogni spira fosse<br />
uguale a quello che l’attraverserebbe nel caso <strong>di</strong> una bobina infinitamente<br />
lunga. Il secondo termine è il doppio dell’energia propria ɛ ′ che spetta<br />
all’insieme della <strong>di</strong>stribuzione σ1 e σ2.<br />
Quanto al terzo termine osserviamo che n deve ritenersi nullo non solo<br />
fuori della bobina, ma anche al <strong>di</strong> là della sezioni estreme. La funzione<br />
integranda è quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>versa da zero solo in un tronco <strong>di</strong> cilindro che ha per<br />
39
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
basi le sezioni estreme della bobina. Integrando prima rispetto x e detta ℓ<br />
la lunghezza della bobina e S la sua sezione avremo<br />
<br />
2n H ′ a+ℓ<br />
x dV = dy dz 2n H ′ x dx, (1.181)<br />
S<br />
essendo a l’ascissa della faccia negativa della bobina. Ora a+ℓ<br />
a<br />
H′ xdx non è<br />
che la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale magnetico, dovuta alle sole <strong>di</strong>stribuzioni σ1<br />
e σ2, fra due punti corrispondenti nelle sezioni estreme della bobina. Ma,<br />
poiché, per regioni <strong>di</strong> simmetria, se E è il potenziale magnetico dovuto<br />
alle <strong>di</strong>stribuzioni σ1 e σ2 in un punto della faccia positiva, il potenziale nel<br />
punto corrispondente della faccia negativa sarà −E, avremo, badando ai<br />
segni <br />
2n H ′ <br />
x dV = − 4n E dy dz. (1.182)<br />
S<br />
ed essendo ovviamente <br />
S nEdydz = ɛ′ , sostituendo nella (1.180) si ha<br />
L = L1 + 2ɛ ′ − 4ɛ ′ = L1 − 2ɛ ′ , e ponendo<br />
sarà<br />
L = K L1<br />
a<br />
(1.183)<br />
K = 1 − 2ɛ′<br />
. (1.184)<br />
1.21 Distanze me<strong>di</strong>e <strong>di</strong> elementi <strong>di</strong><br />
volume o superficiali o lineari<br />
(Si veda il paragrafo 2.39.6.)<br />
(1) Me<strong>di</strong>a armonica delle <strong>di</strong>stanze tra volume <strong>di</strong> una sfera <strong>di</strong> raggio R:<br />
L1<br />
dm = 5<br />
R = 0.8333 R. (1.185)<br />
6<br />
(2) Me<strong>di</strong>a armonica delle <strong>di</strong>stanze fra gli elementi <strong>di</strong> superficie <strong>di</strong> un<br />
cerchio <strong>di</strong> raggio R:<br />
dm = 3π<br />
R = 0.58905 R. (1.186)<br />
16<br />
40
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
(3) Me<strong>di</strong>a geometrica delle <strong>di</strong>stanze fra gli elementi <strong>di</strong> superficie <strong>di</strong> un<br />
cerchio <strong>di</strong> raggio R:<br />
dm = R e −1/4 = 0.7788 R. (1.187)<br />
(4) Distanza me<strong>di</strong>a geometrica fra gli elementi <strong>di</strong> segmento rettilineo<br />
lungo a:<br />
dm = R e −3/2 = 0.2231 a. (1.188)<br />
(5) Me<strong>di</strong>a aritmetica delle <strong>di</strong>stanze fra gli elementi <strong>di</strong> superficie <strong>di</strong> un<br />
cerchio <strong>di</strong> raggio R:<br />
dm = 128<br />
R = 0.9054 R. (1.189)<br />
45π<br />
(6) Ra<strong>di</strong>ce quadrata della me<strong>di</strong>a dei quadrati delle <strong>di</strong>stanze fra gli elementi<br />
<strong>di</strong> superficie <strong>di</strong> un cerchio <strong>di</strong> raggio R:<br />
dm = R. (1.190)<br />
(7) Ra<strong>di</strong>ce n-esima della me<strong>di</strong>a delle potenze n-esime delle <strong>di</strong>stanze fra<br />
gli elementi <strong>di</strong> superficie <strong>di</strong> un cerchio <strong>di</strong> raggio R:<br />
se n è pari<br />
dm = 2R n<br />
<br />
16 1·3·5··s·(n + 1)<br />
,<br />
(n + 2)(n + 4) 2·4·6··s·(n + 2)<br />
(1.191)<br />
se n è <strong>di</strong>spari<br />
dm = 2R n<br />
<br />
32 2·4·6··s·(n + 1)<br />
.<br />
π(n + 2)(n + 4) 3·5·7··s·(n + 2)<br />
(1.192)<br />
1.22 Somma <strong>di</strong> alcune serie<br />
(Si vedano i paragrafi 2.28 del 2 ◦ vol.; e 3.1 del 3 ◦ vol.)<br />
41
(1)<br />
(2) 1 + 1 3<br />
·<br />
4 4<br />
(3)<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
<br />
1 − 2<br />
<br />
+<br />
π<br />
1<br />
<br />
3 2<br />
− +<br />
2 4 π<br />
1<br />
<br />
3 15 2<br />
− + . . .<br />
3 4 16 π<br />
= 4 log 2 − 2<br />
π/2<br />
1 3·15 1 3·15·35 1 3·15·35·63<br />
+ · + · + · + . . .<br />
9 4·16 16 4·16·36 25 4·16·36·64<br />
= 4 − 8<br />
π<br />
1 1 1 1 3 1 1 3·15 1 1 3·15·35<br />
· + · · + · · + · · + . . .<br />
2 12 3 22 4 4 32 4·16 5 42 4·16·36<br />
= 4 − 32<br />
3π<br />
(1.193)<br />
(1.194)<br />
(1.195)<br />
(4) 1 + 1 1 π2<br />
+ + . . . = = 1.64493407<br />
4 9 6<br />
(1.196)<br />
(5) 1 + 1 1 1<br />
+ +<br />
8 27 64 . . . = (1.197)<br />
(6) 1 + 1 1 1<br />
π4<br />
+ + + . . . =<br />
16 81 256 90<br />
(7) 1 + x + x 2 + . . . =<br />
1<br />
(8) x + 2x 2 + 3x 3 + . . . =<br />
(9) x + 4x 2 + 9x 3 + 16x 4 + . . . =<br />
1 − x<br />
x<br />
(1 − x) 2<br />
x(1 + x)<br />
(1 − x) 3<br />
(10) x + 8x 2 + 27x 3 + 64x 4 + . . . = x(1 + 4x + x2 )<br />
(1 − x) 4<br />
(11) sin x + 1 1<br />
sin 3x +<br />
3 5<br />
(12) sin x + 1 1<br />
sin 2x +<br />
2 3<br />
π<br />
sin 5x + . . . = , 0 < x < π<br />
4<br />
π − x<br />
sin 3x + . . . = , 0 < x < 2π<br />
2<br />
42<br />
(1.198)<br />
(1.199)<br />
(1.200)<br />
(1.201)<br />
(1.202)<br />
(1.203)<br />
(1.204)
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
(13) cos x + cos 2x + cos 3x + . . . + cos nx<br />
(14)<br />
= sin (n + 1/2) x<br />
2 sin x/2<br />
sin 2 x<br />
1 + sin2 2x<br />
+<br />
4<br />
sin2 3x<br />
+ . . . = x<br />
9<br />
(15) sin 2 x + sin2 3x<br />
9<br />
(16)<br />
cos x<br />
1<br />
+ cos 2x<br />
4<br />
− 1<br />
2<br />
(1.205)<br />
π − x<br />
, 0 < x < π (1.206)<br />
2<br />
+ sin2 5x<br />
25 + sin2 7x π<br />
+ . . . =<br />
49 4 x,<br />
+ cos 3x<br />
9<br />
0 < x < π/2 (1.207)<br />
1<br />
+ . . . =<br />
4 x2 − π 1<br />
x +<br />
2 6 π2 ,<br />
0 < x < 2π. (1.208)<br />
1.23 Autoinduzione <strong>di</strong> una bobina<br />
rettilinea <strong>di</strong> lunghezza limitata a<br />
sezione circolare e avvolgimento <strong>di</strong><br />
piccolo spessore<br />
(Questo paragrafo è la continuazione del numero 1.20.)<br />
Se N è il numero delle spire, ℓ la lunghezza della bobina, d il suo <strong>di</strong>ametro,<br />
il coefficiente <strong>di</strong> autoinduzione può porsi sotto la forma:<br />
L = K π 2 d 2 N 2<br />
ℓ<br />
, (1.209)<br />
essendo K un coefficiente numerico minore <strong>di</strong> uno e tanto più prossimo<br />
all’unità quanto più è piccolo il rapporto d/ℓ. Il coefficiente K può essere<br />
43
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
calcolato in base all’espressione data nel paragrafo 1.20. Per d/ℓ ≤ 1, vale<br />
lo sviluppo in serie<br />
K = 1 − 4 d<br />
3π ℓ<br />
− 35<br />
16384<br />
±<br />
1<br />
+<br />
8<br />
8 d<br />
ℓ<br />
1<br />
(n + 1)(2n − 1)<br />
2 d<br />
−<br />
ℓ<br />
1<br />
<br />
d<br />
64 ℓ<br />
+ 147<br />
<br />
d<br />
131072<br />
ℓ<br />
10<br />
4<br />
1·3·5·s(2n − 1)<br />
2·4·6·s2n<br />
+ 5<br />
1024<br />
+ . . .<br />
6 d<br />
ℓ<br />
2 2n d<br />
∓ . . . . (1.210)<br />
ℓ<br />
Se invece si pone: p = d 2 /(ℓ 2 + d 2 ) vale in ogni caso lo sviluppo in serie:<br />
K = 1 − 4 d<br />
3π ℓ<br />
1 7<br />
+ p +<br />
8 64 p2 + 101<br />
1024 p3 + 1485<br />
16384 p4<br />
+ 11059<br />
131072 p5 + 83139<br />
1048576 p6 + . . . . (1.211)<br />
Se si chiama genericamente bnp n il termine in p n <strong>di</strong> questa serie e an(d/ℓ) 2n<br />
il termine in (d/ℓ) 2n nella serie scritta in (1.210) vale la relazione:<br />
bn = a1 − n a2 +<br />
Al limite n → ∞ si ha:<br />
n(n − 1)<br />
2<br />
a3 −<br />
n(n − 1)(n − 2)<br />
3!<br />
bn − 4/3π<br />
lim<br />
n→∞<br />
√ πn<br />
bn<br />
Con sette decimali i primi termini dello sviluppo sono:<br />
a4 + . . . ± n an−1 ∓ an.<br />
(1.212)<br />
= 0. (1.213)<br />
K = 1 − 0.4244132 d/ℓ + 0.125 p + 0.109375 p 2 + 0.0986328 p 3<br />
+ 0.0906372 p 4 + 0.0843735 p 5 + 0.0792875 p 6 + . . . . (1.214)<br />
Per d/ℓ gran<strong>di</strong>ssimo si può usare la formola approssimata:<br />
K =<br />
2<br />
<br />
log 4<br />
π d/ℓ<br />
d<br />
<br />
−<br />
ℓ<br />
1<br />
<br />
2<br />
=<br />
2<br />
<br />
log π<br />
π d/ℓ<br />
d<br />
<br />
− 0.258 . (1.215)<br />
ℓ<br />
44
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
che si deduce facilmente dalla nota espressione del coefficiente d’autoinduzione<br />
per una spira circolare. Nella tabella 13 sono riportati i valori <strong>di</strong> K<br />
per d/ℓ ≤ 10.<br />
d/ℓ K<br />
0.1 0.9588<br />
0.2 0.9201<br />
0.3 0.8838<br />
0.4 0.8499<br />
0.5 0.8181<br />
0.6 0.7885<br />
0.7 0.7609<br />
0.8 0.7351<br />
0.9 0.7110<br />
1 0.6884<br />
Tornano utili le seguenti formole approssimate da usarsi successivamente<br />
al crescere <strong>di</strong> d/ell:<br />
K = 1 − 4 d<br />
3π ℓ +<br />
K = 1 − 4 d<br />
3π ℓ +<br />
p<br />
8 − 7p ,<br />
48p − 29p 2<br />
.<br />
384 − 568p + 194p2 Se d/ℓ supera alcune unità la serie (1.214) converge assai lentamente ed<br />
è inoltre laborioso il calcolo dei coefficienti. Conviene in tal caso usare il<br />
seguente sviluppo: 14<br />
K =<br />
<br />
± 1·3·(2n − 1)<br />
1 + d2<br />
<br />
d 4 1<br />
− +<br />
4ℓ2 ℓ 3π 2·4 c1 − 1·3<br />
2·4·6 c2 + . . .<br />
2·4·s(2n + 2) cn<br />
<br />
∓ . . . , (1.216)<br />
13 Nel manoscritto originale questa tabella contiene 40 righe (da d/ℓ = 0.1 a<br />
d/ℓ = 10) ma solo per le prime 10 sono riportati i corrispondenti valori <strong>di</strong> K.<br />
Qui preferiamo non includere i restanti valori nella tabella, poiché non è chiaro<br />
quale formula l’Autore avrebbe usato per calcolare K per d/ℓ più grande <strong>di</strong> uno.<br />
Probabilmente i valori riportati sono stati ottenuti dalla (1.210) con n = 10.<br />
14 Si noti che l’Autore sta <strong>di</strong> nuovo usando uno sviluppo in serie <strong>di</strong> Taylor,<br />
sebbene <strong>di</strong> un particolare tipo, come può essere dedotto dall’espressione per cn.<br />
45
dove si è posto<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
cn = 1<br />
(2n)!<br />
d 2n√ 1 + x 2<br />
dx 2n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x= 2ℓ<br />
d<br />
Calcolando i primi termini si ottiene<br />
K =<br />
<br />
1 + (d/2ℓ) 2 − d<br />
<br />
4 1 1<br />
+<br />
ℓ 3π 16<br />
2<br />
1 + (2ℓ/d) 3/2 + 1 1 − 4 (2ℓ/d)<br />
128<br />
2<br />
2<br />
1 + (2ℓ/d) 7/2 5 1 − 12 (2ℓ/d)<br />
+<br />
2048<br />
2 + 8 (2ℓ/d) 4<br />
2<br />
1 + (2ℓ/d) 11/2 + 7 5 − 120 (2ℓ/d)<br />
32768<br />
2 + 240 (2ℓ/d) 4 − 64 (2ℓ/d) 6<br />
2<br />
1 + (2ℓ/d) + . . .<br />
15/2<br />
(1.217)<br />
1.24 Variazione del coefficiente <strong>di</strong><br />
autoinduzione in seguito all’effetto<br />
pellicolare<br />
L’autoinduzione <strong>di</strong> una conduttura elettrica a sezione circolare si può<br />
<strong>di</strong>videre in due parti; l’una, generalmente più importante, è dovuta al<br />
flusso che circola esternamente al conduttore e non <strong>di</strong>pende dalla frequenza,<br />
l’altra è dovuta alle linee <strong>di</strong> induzione che si chiudono entro il conduttore e<br />
<strong>di</strong>pende dall’entità dell’effetto pellicolare e quin<strong>di</strong>, per un dato conduttore,<br />
dalla frequenza. Detta ℓ per unità <strong>di</strong> lunghezza questa seconda parte del<br />
coefficiente d’autoinduzione, si ha notoriamente allorché è trascurabile lo<br />
skineffect:<br />
ℓ = 1<br />
µ. (1.218)<br />
2<br />
In generale se E è, in simboli complessi, il campo elettrico alla superficie<br />
del conduttore (campo totale dovuto alla caduta <strong>di</strong> tensione e alle variazioni<br />
del flusso esterno), R1 la resistenza a corrente alternata dell’unità <strong>di</strong><br />
lunghezza del conduttore, ω la frequenza angolare, i = a + bj la corrente<br />
46<br />
<br />
.
totale avremo: 15<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
E = (a + b j) (R1 + ℓ ω j) . (1.219)<br />
Ponendo p = µωS/ρ (S sezione del conduttore, ρ resistività) ovvero in<br />
unità pratiche:<br />
p =<br />
µ ω<br />
10 10 ,<br />
R<br />
(1.220)<br />
essendo R la resistenza in ohm a corrente continua per Km <strong>di</strong> conduttore<br />
si avrà (ve<strong>di</strong> paragrafo 1.4):<br />
a =<br />
<br />
m p − 1<br />
2! 2 ·3 p3 + 1<br />
4! 2 ·5 p5 − 1<br />
6! 2 ·7 p7 b =<br />
<br />
+ . . . ,<br />
<br />
1<br />
m<br />
2<br />
(1.221)<br />
p2 − 1<br />
3! 2 ·4 p4 + 1<br />
5! 2 ·6 p6 − 1<br />
7! 2 ·8 p8 <br />
+ . . . . (1.222)<br />
Quanto a E esso si ottiene dalla densità <strong>di</strong> corrente in superficie moltiplicando<br />
per ρ; ma nelle unità <strong>di</strong> misura usate nel paragrafo 1.4, abbiamo<br />
ρ = µω, e così si ottiene:<br />
E =<br />
<br />
m µ ω 1 − p2<br />
2!<br />
<br />
+ m µ ω j p − p3<br />
3!<br />
4!<br />
p4 p6<br />
+ − 2 2<br />
<br />
+ . . .<br />
6! 2<br />
<br />
+ . . . . (1.223)<br />
5! 7! 2<br />
p5 p7<br />
+ − 2 2<br />
Eliminando R1 nella (1.219), essendo già nota (ve<strong>di</strong> paragrafo 1.4) la sua<br />
espressione, e posto E = u + vj si ottiene:<br />
da cui si può ricavare:<br />
ℓ = µ<br />
2<br />
ℓ ω =<br />
a v − b u<br />
a2 , (1.224)<br />
+ b2 1 + p2<br />
2! 2 p4<br />
+<br />
·3! 3! 2 p6<br />
+<br />
·5! 4! 2 p8<br />
+<br />
·7! 5! 2 + . . .<br />
·9!<br />
1 + p2<br />
. (1.225)<br />
p4 p6 p8<br />
+ + + + . . .<br />
2!3! 2!3!5! 3!4!7! 4!5!9!<br />
In base a questa formola e a quella analoga del paragrafo 1.4 si sono calcolati<br />
i seguenti valori <strong>di</strong> R1/R e ℓ/µ in funzione <strong>di</strong> p: 16 nella tabella<br />
15 L’Autore sta usando la nozione elettrotecnica j per l’unità immaginaria.<br />
16 Nel testo originale i valori <strong>di</strong> questa tabella corrispondenti a p = 4.5 ÷ 100<br />
mancano. Inoltre, alcuni valori <strong>di</strong> R1/R <strong>di</strong>fferiscono leggermente da quelli qui<br />
riportati, che sono stati ottenuti secondo quanto in<strong>di</strong>cato nel testo.<br />
47
p R1/R ℓ/µ<br />
0.1 1.0008 0.4998<br />
0.2 1.0033 0.4992<br />
0.3 1.0075 0.4981<br />
0.4 1.0132 0.4967<br />
0.5 1.0205 0.4949<br />
0.6 1.0293 0.4927<br />
0.7 1.0395 0.4901<br />
0.8 1.0512 0.4873<br />
0.9 1.0641 0.4841<br />
1.0 1.0782 0.4806<br />
1.1 1.0934 0.4768<br />
1.2 1.1096 0.4728<br />
1.3 1.1267 0.4686<br />
1.4 1.1447 0.4642<br />
1.5 1.1634 0.4597<br />
1.6 1.1827 0.4550<br />
1.7 1.2026 0.4501<br />
1.8 1.2229 0.4452<br />
1.9 1.2436 0.4403<br />
2.0 1.2646 0.4352<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
p R1/R ℓ/µ<br />
2.5 1.372 0.4100<br />
3 1.479 0.3857<br />
3.5 1.581 0.3633<br />
4 1.678 0.3432<br />
4.5 1.768 0.3253<br />
5 1.853 0.3096<br />
6 2.007 0.2836<br />
7 2.146 0.2630<br />
8 2.274 0.2464<br />
9 2.394 0.2326<br />
10 2.507 0.2210<br />
15 3.005 0.1814<br />
20 3.427 0.1582<br />
25 3.799 0.1430<br />
30 4.135 0.1327<br />
40 4.732 0.1203<br />
50 5.256 0.1135<br />
60 5.736 0.1096<br />
80 6.537 0.1055<br />
100 7.328 0.1036<br />
1.25 Errore me<strong>di</strong>o nella determinazione<br />
della probabilità <strong>di</strong> un evento<br />
me<strong>di</strong>ante un numero finito <strong>di</strong> prove<br />
Sia p la probabilità <strong>di</strong> un evento; se in una serie <strong>di</strong> n prove esso ha avuto<br />
luogo m volte assumendo come valore approssimato <strong>di</strong> p il rapporto m/n,<br />
si commette un errore e definito dalla relazione<br />
p = m<br />
+ e (1.226)<br />
n<br />
<strong>di</strong> cui si tratta <strong>di</strong> valutare il valore me<strong>di</strong>o quadratico. Sia X una quantità<br />
relativa a ogni prova e ad essa si attribuisca il valore 1 − p quando ha luogo<br />
48
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
l’evento e il valore −p quando l’evento non ha luogo. Il valore me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> X è<br />
nullo, e il valore me<strong>di</strong>o del suo quadrato sarà p(1−p) 2 +p 2 (1−p) = p(1−p).<br />
Considerando una serie <strong>di</strong> n prove la somma <br />
i Xi delle X relative ad esse<br />
avrà per valore me<strong>di</strong>o quadratico np(1 − p). Ma se l’evento ha avuto<br />
luogo m volte sarà:<br />
<br />
Xi = m (1 − p) − (n − m) p = m − n p = − n e. (1.227)<br />
i<br />
Si deduce che il valore me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> e sarà p(1 − p)/n, cioè secondo le notazioni<br />
usuali,<br />
p = m<br />
n ±<br />
<br />
p(1 − p)<br />
. (1.228)<br />
n<br />
Se p è incognita e se ne conosce solo l’espressione approssimata m/n e<br />
si è inoltre certi che la <strong>di</strong>fferenza tra p e m/n sia così piccola che, sostituendo<br />
nell’espressione dell’errore al primo <strong>di</strong> questi valori il secondo, tale<br />
espressione non cambi sensibilmente si potrà scrivere approssimativamente:<br />
p = m<br />
<br />
1 m(n − m)<br />
± . (1.229)<br />
n n n<br />
Se n è molto grande rispetto a m si avrà approssimativamente:<br />
√<br />
m<br />
p = m<br />
n ±<br />
n<br />
<br />
m<br />
n piccolo<br />
<br />
. (1.230)<br />
Moltiplicando per n le precedenti relazioni esse <strong>di</strong>ventano<br />
n p<br />
n p<br />
=<br />
=<br />
<br />
m(n − m)<br />
m ±<br />
,<br />
n<br />
m ±<br />
(1.231)<br />
√ <br />
m<br />
m<br />
n piccolo<br />
<br />
. (1.232)<br />
1.26 Squilibrio <strong>di</strong> un sistema trifase puro<br />
Siano V1, V2,V3 i valori intensivi <strong>di</strong> tre grandezze alternative costituenti un<br />
sistema trifase puro, <strong>di</strong>retto, non equilibrato. Tale sistema può decomporsi<br />
49
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
nella somma <strong>di</strong> altri due sistemi equilibrati, l’uno, <strong>di</strong>retto, <strong>di</strong> intensità A,<br />
l’altro, inverso, <strong>di</strong> intensità B. Qualora lo squilibrio non sia eccessivo, A e<br />
B possono calcolarsi con le seguenti formole approssimate:<br />
A = (1/3) (V1 + V2 + V3) (1.233)<br />
B = (2/3) [(V1 − A) 2 + (V2 − A) 2 + (V3 − A) 2 ]. (1.234)<br />
1.27 Tavola per il calcolo della funzione<br />
x! 17<br />
x x!<br />
0 1.0000<br />
0.05 0.9735<br />
0.1 0.9514<br />
0.15 0.9330<br />
0.2 0.9182<br />
0.25 0.9064<br />
0.3 0.8975<br />
0.35 0.8911<br />
0.4 0.8873<br />
0.45 0.8857<br />
0.5 0.8862<br />
x x!<br />
0.55 0.8889<br />
0.6 0.8935<br />
0.65 0.9001<br />
0.7 0.9086<br />
0.75 0.9191<br />
0.8 0.9314<br />
0.85 0.9456<br />
0.9 0.9618<br />
0.95 0.9799<br />
1 1.0000<br />
17 Non è chiaro come l’Autore ottenga i valori nella tabella, poiché in questa<br />
sezione egli considera solo il limite per grande x della funzione x!. Probabilmente,<br />
alcuni valori sono stati derivati dalla formula<br />
x! (1 − x)! =<br />
π x (1 − x)<br />
sin π x ,<br />
che appare vicino a questa tabella nel manoscritto originale.<br />
50
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
La <strong>di</strong>fferenza log n! − n(log n − 1) − (1/2) log n tende per n = ∞ ad un<br />
limite finito ciò significa che per n gran<strong>di</strong>ssimo può porsi: 18<br />
n! = √ C n<br />
<br />
n<br />
n . (1.235)<br />
e<br />
Determiniamo C. Sia x la probabilità che in 2n prove un evento <strong>di</strong> probabilità<br />
1/2 abbia luogo t volte. Per 2n gran<strong>di</strong>ssimo possiamo rappresentare<br />
la funzione x = x(t) con una curva <strong>degli</strong> errori; questa si determina<br />
badando che l’area da essa compresa vale 1, che il valore me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> t è n e<br />
che il quadrato me<strong>di</strong>o dello spostamento <strong>di</strong> t da n deve essere n/2 (ve<strong>di</strong><br />
paragrafo 1.25). Si trova:<br />
x =<br />
x0 = 1<br />
2 2n<br />
1<br />
<br />
√ exp −<br />
π n<br />
<br />
(t − n)2<br />
. (1.236)<br />
n<br />
L’or<strong>di</strong>nata massima vale: x0 = 1/ √ πn. Possiamo determinare x0 <strong>di</strong>rettamente<br />
con la teoria delle combinazioni:<br />
<br />
2n<br />
=<br />
n<br />
(2n)!<br />
22n . (1.237)<br />
(n!) 2<br />
Sostituendo ai potenziali l’espressione (1.235) e confrontando con (1.236),<br />
si ha C = 2π; e quin<strong>di</strong>, al limite:<br />
n! = √ <br />
n<br />
n 2π n . (1.238)<br />
e<br />
Per n grande si avrà anche:<br />
18 Qui e è il numero <strong>di</strong> Nepero.<br />
2 2n (n!) 2<br />
(2n)! = √ π n. (1.239)<br />
51
p<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
N<br />
1 2<br />
S<br />
L<br />
S<br />
h<br />
L<br />
S<br />
p+dp<br />
1.28 Influenza <strong>di</strong> un campo magnetico sul<br />
punto <strong>di</strong> fusione<br />
Si consideri il sistema in equilibrio rappresentato in figura. Se, con un<br />
mezzo qualunque, si trasporta l’unità <strong>di</strong> volume <strong>di</strong> solido dal recipiente 2<br />
al recipiente 1 <strong>di</strong>sponendolo in strati sottili alla superficie <strong>di</strong> separazione<br />
fra solido e liquido, bisogna compiere, per vincere la gravità, un lavoro<br />
L1 = h (γ1 − γ2) (1.240)<br />
essendo γ1 e γ2 i pesi specifici rispettivamente del solido e del liquido. Se<br />
si suppone, per un momento, che il solido sia magnetico e il liquido no,<br />
si trova facilmente che il campo magnetico compie sull’unità <strong>di</strong> volume <strong>di</strong><br />
solido nell’accennato trasporto un lavoro che si calcola facilmente:<br />
L2 = H2<br />
8π<br />
µ1 − 1<br />
, (1.241)<br />
essendo µ1 la permeabilità del solido. Ad escludere la possibilità <strong>di</strong> moto<br />
perpetuo è necessario che sia:<br />
52<br />
µ1
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
L1 = L2, (1.242)<br />
da cui si ricava<br />
h = H2 µ1 − 1 1<br />
. (1.243)<br />
8π µ1 γ1 − γ2<br />
e poiché il liquido si è supposto non magnetico e la <strong>di</strong>stribuzione delle<br />
pressioni nel suo interno è quin<strong>di</strong> idrostatica, si ricava (v. fig.)<br />
∆p = h γ2 = H2<br />
8π<br />
e mettendo in evidenza i volumi specifici:<br />
∆p = H2<br />
8π<br />
µ1 − 1<br />
µ1<br />
µ1 − 1<br />
µ1<br />
V1<br />
V2 − V1<br />
γ2<br />
γ1 − γ2<br />
, (1.244)<br />
. (1.245)<br />
Detta T la temperatura <strong>di</strong> fusione fuori dall’azione del campo magnetico<br />
alla pressione p, e T + ∆T la temperatura <strong>di</strong> fusione alla stessa pressione,<br />
ma sotto l’azione del campo magnetico, si trova dunque che T +δT è uguale<br />
alla temperatura <strong>di</strong> fusione, in con<strong>di</strong>zioni or<strong>di</strong>narie e alla pressione p + ∆p.<br />
Ma per la formola <strong>di</strong> Clapeyron<br />
∆T =<br />
T<br />
ρ<br />
Sostituendo nella (1.245) si ottiene<br />
∆T =<br />
<br />
T H2<br />
8π<br />
(V2 − V1)∆p, (1.246)<br />
µ1 − 1<br />
µ1<br />
V1<br />
. (1.247)<br />
ρ<br />
Le formole (1.244) e (1.247) si completano ovviamente nel caso che il liquido<br />
abbia permeabilità qualunque µ2:<br />
∆p = H2<br />
<br />
µ1 − 1 γ2<br />
+<br />
8π µ1 γ1 − γ2<br />
µ2 − 1<br />
<br />
γ1<br />
(1.248)<br />
µ2 γ2 − γ1<br />
∆T = T H2<br />
<br />
µ1 − 1 V1<br />
8π µ1 ρ − µ2<br />
<br />
− 1 V2<br />
. (1.249)<br />
µ2 ρ<br />
Se µ1 = µ2 = µ, si ottiene<br />
∆p = − H2<br />
8π<br />
∆T =<br />
T H2<br />
8π<br />
53<br />
µ − 1<br />
µ<br />
µ − 1<br />
µ<br />
(1.250)<br />
V1 − V2<br />
. (1.251)<br />
ρ
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
In questo caso le superfici <strong>di</strong> separazione fra solido e liquido, nei due casi<br />
rappresentati in figura sarebbero allo stesso livello, ma non essendo idrostatica<br />
la <strong>di</strong>stribuzione delle pressioni a causa della magnetizzazione del<br />
liquido, si avrebbe ∆p = 0.<br />
Formole analoghe valgono se al campo magnetico si sostituisce un<br />
campo elettrico o al contatto solido-liquido quello liquido-vapore o solidovapore.<br />
1.29 Calore specifico <strong>di</strong> un oscillatore<br />
L’energia me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> un oscillatore <strong>di</strong> frequenza ν vale a temperatura T :<br />
ɛ =<br />
hν<br />
e hν/kT , (1.252)<br />
− 1<br />
essendo h il quanto d’azione e 19 k = R/N la costante <strong>di</strong> Boltzmann.<br />
Derivando rispetto alla temperatura posto per brevità p = hν/kT = T0/T ,<br />
si ottiene la seguente espressione del calore specifico:<br />
c = dɛ<br />
dT = kp2 e p<br />
(ep <br />
= k<br />
− 1) 2<br />
p<br />
e p/2 − e −p/2<br />
2<br />
. (1.253)<br />
Il rapporto c/k, sempre minore <strong>di</strong> 1, è dato nella tabella in funzione <strong>di</strong> p<br />
20 . Per T gran<strong>di</strong>ssimo, la (1.252) <strong>di</strong>venta:<br />
19In questo paragrafo aderiamo all’uso dell’Autore <strong>di</strong> h, piuttosto che riscriverla<br />
in termini <strong>di</strong> .<br />
20Nel manoscritto originale, questa tabella è quasi completamente vuota. A<br />
parte i valori nelle prime due colonne (che sono valori iniziali <strong>di</strong> riferimento),<br />
l’autore scrive solo il primo e l’ultimo valore nella terza colonna e il primo valore<br />
nella quarta colonna.<br />
54
1<br />
p<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
T<br />
=<br />
T0<br />
p = T0<br />
0<br />
T<br />
∞<br />
c<br />
k<br />
0<br />
ɛ<br />
kT<br />
0.0000<br />
ɛ<br />
kT0<br />
0.0000<br />
kT − ɛ<br />
kT0<br />
0.0000<br />
0.2 5 0.1707 0.0338 0.0068 0.1932<br />
0.4 2.5 0.6089 0.2236 0.0894 0.3106<br />
0.6 1.67 0.7967 0.3873 0.2319 0.3669<br />
0.8 1.75 0.8794 0.5019 0.4016 0.3984<br />
1 1 0.9207 0.5820 0.5820 0.4180<br />
1.2 0.83 0.9445 0.6417 0.7732 0.4316<br />
1.4 0.71 0.9590 0.6867 0.9671 0.4413<br />
1.6 0.625 0.9681 0.7198 1.1517 0.4483<br />
1.8 0.556 0.9746 0.7476 1.3447 0.4539<br />
2 0.500 0.9794 0.7707 1.5415 0.4585<br />
2.5 0.400 0.9868 0.8133 2.0332 0.4668<br />
3 0.333 0.9908 0.8427 2.5307 0.4723<br />
4 0.250 0.9948 0.8802 3.5208 0.4792<br />
5 0.200 0.9967 0.9033 4.5167 0.4833<br />
10 0.100 0.9992 0.9508 9.5083 0.4917<br />
∞ 0 1 1 ∞ 0.5000<br />
ɛ = kT − 1<br />
<br />
hν = k T −<br />
2 1<br />
2 T0<br />
<br />
,<br />
essendo T0 = hν/k cioè la temperatura per cui l’energia me<strong>di</strong>a, calcolata<br />
con la meccanica classica, coincide con quella del più basso livello energetico<br />
quantistico.<br />
55
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
1.30 Se i figli dei medesimi genitori<br />
tendano ad appartenere allo stesso<br />
sesso<br />
La probabilità a priori che in una determinata regione un nascituro sia<br />
maschio può porsi sotto la forma:<br />
W = 1<br />
+ α,<br />
2<br />
(1.254)<br />
essendo α in generale positivo. La probabilità invece che da determinati<br />
genitori nasca un figlio maschio può essere <strong>di</strong>versa da W , la porremo sotto<br />
la forma<br />
W1 = W + β = 1<br />
+ α + β. (1.255)<br />
Il valor me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> β è nullo, mentre il suo valor me<strong>di</strong>o quadratico fornisce<br />
una misura della tendenza a procreare figli dello stesso sesso. In<strong>di</strong>cando<br />
con β tale valor me<strong>di</strong>o la (1.255) può scriversi secondo notazioni usuali:<br />
2<br />
W1 = W ± β = 1<br />
2<br />
+ α ± β. (1.256)<br />
Per determinare β me<strong>di</strong>ante rilievi statistici la via più semplice è la seguente:<br />
Si consideri una determinata coppia <strong>di</strong> genitori che abbia dati alla luce n<br />
figli. In<strong>di</strong>cando con ℓ il numero dei maschi e con m quello delle femmine si<br />
calcola facilmente il valore probabile dell’espressione 21 <strong>di</strong> (ℓ − m) 2 (si veda<br />
il paragrafo 1.25)<br />
valoreprob. <strong>di</strong> (ℓ − m) 2 = n + 4(α + β) 2 (n 2 − n). (1.257)<br />
Se scriviamo la stessa espressione per un gran numero <strong>di</strong> famiglie, e sommiamo<br />
membro a membro, alla somma dei valori probabili <strong>di</strong> (ℓ − m) 2<br />
possiamo, con errore relativo tendente a zero, restituire la somma dei valori<br />
effettivi <strong>di</strong> (ℓ − m) 2 ; allora otteniamo:<br />
(ℓ − m) 2 = n + 4 (α + β) 2 (n 2 − n) (1.258)<br />
= n + 4 α 2 (n 2 − n) + 4 β 2 (n 2 − n)<br />
+ 8 α β (n 2 − n). (1.259)<br />
21 Cioè n per la probabilità che l’evento accada.<br />
56
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
Poiché si è supposto implicitamente che β abbia valore me<strong>di</strong>o nullo qualunque<br />
sia n, il valore me<strong>di</strong>o dell’ultimo termine del secondo membro della (1.259)<br />
sarà nullo; potremo quin<strong>di</strong> al limite trascurarlo e scrivere:<br />
(ℓ − m) 2 = n + 4 α 2 (n 2 − n) + 4 β 2 (n 2 − n) (1.260)<br />
o anche, poiché si suppone sempre che β sia in<strong>di</strong>pendente da n,<br />
(ℓ − m) 2 = n + 4 (α 2 + β 2 ) (n 2 − n). (1.261)<br />
α può essere noto per più estesi rilievi statistici, e in tal caso si determina<br />
β me<strong>di</strong>ante la (1.261):<br />
(ℓ <br />
− m) 2 − n<br />
β =<br />
4 (n2 − α<br />
− n)<br />
2 . (1.262)<br />
Se α non è noto si può calcolare approssimativamente con la formola:<br />
α =<br />
<br />
ℓ<br />
−<br />
n 1<br />
;<br />
2<br />
(1.263)<br />
sostituendo nella (1.262) si ha<br />
β 2 =<br />
(ℓ − m) 2 − n<br />
4 (n 2 − n)<br />
<br />
ℓ<br />
− −<br />
n 1<br />
2 . (1.264)<br />
2<br />
a cui, a rigore, deve sostituirsi un’espressione più approssimata, ma più<br />
complicata, ottenuta tenendo conto che α nella (1.263) è determinato con<br />
un errore me<strong>di</strong>o prossimo a 1/2 n (ve<strong>di</strong> paragrafo 1.25):<br />
β 2 =<br />
(ℓ − m) 2 − n<br />
4 (n 2 − n)<br />
<br />
ℓ<br />
− −<br />
n 1<br />
2<br />
57<br />
2<br />
+<br />
1<br />
4 . (1.265)<br />
n
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
O<br />
l<br />
1.31 Propagazione del calore posto in una<br />
sezione <strong>di</strong> una sbarra indefinita, <strong>di</strong><br />
cui un’altra sezione è tenuta a zero.<br />
Similitu<strong>di</strong>ne dei grilli.<br />
Si supponga che N in<strong>di</strong>vidui siano inizialmente concentrati nel punto O<br />
della retta x e che ognuno <strong>di</strong> essi ad intervalli <strong>di</strong> tempo infinitesimi dt<br />
salti, con pari probabilità a destra o a sinistra, <strong>di</strong> un intervallo dx in<br />
modo che sia finito il rapporto dx 2 /dt = µ 2 . Si supponga ancora che a<br />
una <strong>di</strong>stanza ℓ a destra <strong>di</strong> O esista un trabocchetto mortale. Si tratta <strong>di</strong><br />
determinare quale sarà al tempo t e nel punto <strong>di</strong> ascisse x la densità lineare<br />
dei sopravviventi U(x, t). Si osservi che se non esistesse il trabocchetto si<br />
avrebbe una densità, che per <strong>di</strong>stinguere da quella vera chiameremo U0,<br />
data dall’espressione:<br />
U0(x, t) =<br />
P<br />
N<br />
µ √ 2πt e−x2 /2µ 2 t . (1.266)<br />
Si osservi inoltre che gli in<strong>di</strong>vidui che in P vengono a mancare possiamo<br />
considerarli vivi e saltellanti anche dopo la morte purché, a partire da<br />
questo istante, si leghi in<strong>di</strong>ssolubilmente a ognuno <strong>di</strong> essi un altro in<strong>di</strong>viduo<br />
affetto da segno negativo. Allora per avere la densità vera U, basterà<br />
sottrarre a U0 la densità U1 <strong>degli</strong> in<strong>di</strong>vidui negativi. Questa si calcola<br />
facilmente; basta osservare che per x > ℓ si ha evidentemente:<br />
e, per ragioni <strong>di</strong> simmetria, se x < ℓ:<br />
U1(x, t) = U0(x, t) (1.267)<br />
U1(x, t) = U1(2ℓ − x, t) = U0(2ℓ − x, t) (1.268)<br />
58<br />
x
e quin<strong>di</strong>:<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
U(x, t) = U0(x, t) − U0(2ℓ − x, t)<br />
=<br />
N<br />
µ √ 2πt<br />
e per gran<strong>di</strong> valori <strong>di</strong> t si può scrivere:<br />
U(x, t) =<br />
<br />
e −x2 /2µ 2 t − e −(2ℓ − x) 2 /2µ 2 t <br />
; (1.269)<br />
2N ℓ(ℓ − x)<br />
µ 3 t √ 2πt e−(ℓ − x)2 /2µ 2 t e −ℓ 2 /2µ 2 t<br />
da cui si deduce per un dato valore <strong>di</strong> t:<br />
Umax = U(ℓ − µ √ t, t) =<br />
e il numero dei sopravviventi, sempre per t grande<br />
Nv =<br />
(1.270)<br />
2N ℓ e−1/2<br />
µ 2 t √ 2π e−ℓ2 /2µ 2 t , (1.271)<br />
2N ℓ<br />
µ √ 2πt e−ℓ2 /2µ 2 t . (1.272)<br />
Se se ne prende il momento rispetto a P si trova:<br />
<br />
(ℓ − x) dNv = N ℓ, (1.273)<br />
cioè il baricentro dei vivi e dei morti, supposti questi concentrati in P , resta<br />
fisso in 0 come era evidente a priori. La curva dei soppravviventi presenta<br />
in un primo tempo un flusso fra 0 e P che si sposta continuamente verso<br />
destra e scompare nell’istante t = ℓ 2 /3µ 2 ; in tale istante, in cui ha luogo<br />
la mortalità massima, sono morti N/12 in<strong>di</strong>vidui.<br />
La U0 obbe<strong>di</strong>sce all’equazione <strong>di</strong>fferenziale:<br />
∂U0<br />
∂t<br />
= µ2<br />
2<br />
∂ 2 U0<br />
∂x 2<br />
(1.274)<br />
e quin<strong>di</strong> è atta a rappresentare come si <strong>di</strong>stribuisce una certa quantità <strong>di</strong><br />
calore Q = N posta in una sezione <strong>di</strong> una sbarra indefinita, purché si ponga<br />
µ 2 = 2c<br />
, (1.275)<br />
γ δ<br />
c coefficiente <strong>di</strong> trasmissione, γ calore specifico, δ la densità. Si noti che<br />
µ 2 , dato dalla (1.275), rappresenta il quadrato me<strong>di</strong>o dello spostamento del<br />
59
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
calore nell’unità <strong>di</strong> tempo e in ogni <strong>di</strong>rezione. Il quadrato dello spostamento<br />
totale nello spazio sarà, nell’unità <strong>di</strong> tempo: 3µ 2 = 6c/γδ.<br />
1.32 Combinazioni<br />
(Si veda il paragrafo 2.39.5.)<br />
La somma delle probabilità che un evento <strong>di</strong> probabilità 1/2 abbia luogo<br />
n volte in n prove, o in n + 1 prove o in n + 2 prove o. . . , o in 2n prove<br />
vale 1. In simboli:<br />
Infatti:<br />
e poichè:<br />
risulta:<br />
n+1 <br />
r=0<br />
n+2 <br />
r=1<br />
n+1 <br />
r=0<br />
1<br />
2 n+1+r<br />
= 1<br />
n+1 <br />
2<br />
r=0<br />
= 1<br />
2<br />
1<br />
2 2n+2<br />
n<br />
r=0<br />
+ 1<br />
n+2 <br />
2<br />
r=1<br />
n<br />
r=0<br />
1<br />
2 n+r<br />
n + 1 + r<br />
n + 1<br />
n + r<br />
n<br />
<br />
<br />
= 1. (1.276)<br />
1<br />
2n+r <br />
n + r<br />
+<br />
n<br />
1<br />
n+1 1<br />
2 2<br />
r=1<br />
n+r<br />
<br />
n + r<br />
n + 1<br />
1<br />
2<br />
<br />
n+r<br />
<br />
n + r<br />
+<br />
n<br />
1<br />
22n+2 <br />
2n + 1<br />
n<br />
1<br />
2n+r <br />
n + r<br />
n + 1<br />
<br />
−<br />
1<br />
22n+3 <br />
2n + 2<br />
n + 1<br />
<br />
;<br />
<br />
2n + 1<br />
n<br />
<br />
1<br />
2n+r <br />
n + r<br />
<br />
n + 1<br />
1<br />
2 n+1+r<br />
n + 1 + r<br />
n + 1<br />
=<br />
=<br />
<br />
=<br />
1<br />
2 2n+3<br />
n+1 <br />
r=0<br />
60<br />
n<br />
r=0<br />
<br />
2n + 2<br />
,<br />
n + 1<br />
<br />
n + 1 + r<br />
n + 1<br />
1<br />
2 n+1+r<br />
1<br />
2 n+r<br />
n + r<br />
n<br />
<br />
,<br />
<br />
; (1.277)
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
cioè, se la (1.276) vale per n = k, vale anche per n = k + 1; e poiché essa<br />
vale per n = 1, varrà qualunque sia n.<br />
Analogamente si <strong>di</strong>mostra la relazione:<br />
∞<br />
r=0<br />
1<br />
2 n+r<br />
n + r<br />
n<br />
<br />
= 2. (1.278)<br />
1.33 Energia e calore specifico del<br />
rotatore<br />
Sia I il momento d’inerzia del rotatore; le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> Sommerfeld impongono<br />
22<br />
e quin<strong>di</strong> 23<br />
I ω = nh<br />
, (n = 0, 1, . . .), (1.279)<br />
2π<br />
ɛ = 1<br />
2 I ω2 = n2 h 2<br />
8π 2 I<br />
ν = ω<br />
2π<br />
= nhν<br />
2<br />
(1.280)<br />
nh<br />
=<br />
4π2 . (1.281)<br />
I<br />
L’energia me<strong>di</strong>a sarà alla temperatura T , per la legge <strong>di</strong> Boltzmann<br />
ɛ =<br />
∞<br />
n=0<br />
n 2 h 2<br />
8π2I exp<br />
<br />
− n2h 2<br />
8π2IkT ∞<br />
<br />
exp − n2h 2<br />
8π2 <br />
IkT<br />
n=0<br />
<br />
=<br />
∞ hν0<br />
2<br />
n=0<br />
n2 <br />
exp − hν0<br />
2kT n2<br />
<br />
∞<br />
<br />
exp − hν0<br />
2kT n2<br />
<br />
n=0<br />
essendo ν0 = h/4π 2 I la frequenza fondamentale. Si ponga:<br />
p = 1 hν0<br />
2 kT =<br />
h 2<br />
8π 2 IkT ;<br />
(1.282)<br />
22In questo paragrafo aderiamo all’uso dell’Autore <strong>di</strong> h, piuttosto che riscriverla<br />
in termini <strong>di</strong> .<br />
23Qui ɛ e ν sono l’energia e la frequenza del rotatore, mentre ω è la sua frequenza<br />
angolare.<br />
61
isulta<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
ɛ = kT<br />
∞<br />
n=0<br />
pn 2 e −pn2<br />
Naturalmente se p → 0, T → ∞, si ricava:<br />
<br />
∞<br />
e −pn2<br />
. (1.283)<br />
n=0<br />
1<br />
lim ɛ = kT. (1.284)<br />
p→0 2<br />
Derivando la (1.283) rispetto a T , tenuto conto che dp/dT = −p/T , si<br />
ottiene il calore specifico:<br />
c = dɛ<br />
dT<br />
⎡ ∞<br />
⎢<br />
= k p2 ⎢ n=0<br />
⎢ ∞<br />
⎣<br />
e −pn2<br />
n=0<br />
n 4 e −pn2<br />
⎛ ∞<br />
⎜<br />
− ⎜ n=0<br />
⎜ ∞<br />
⎝<br />
e −pn2<br />
n=0<br />
n 2 e −pn2<br />
⎞2⎤<br />
⎟ ⎥<br />
⎟ ⎥<br />
⎟ ⎥<br />
⎟ ⎥ . (1.285)<br />
⎠ ⎦<br />
Detta T0 la temperatura per cui l’energia del primo stato quantico con<br />
energia <strong>di</strong>versa da zero è uguale all’energia me<strong>di</strong>a calcolata con la teoria<br />
classica, avremo:<br />
T0 = 1 hν0 h2<br />
=<br />
2 k 8π2Ik (1.286)<br />
p = T0<br />
. (1.287)<br />
T<br />
Nella tabella sono riportati il calore specifico e l’energia me<strong>di</strong>a a <strong>di</strong>verse<br />
temperature. 24<br />
24 Nel manoscritto originale, i valori nella terza e quarta colonna mancano.<br />
62
1 T<br />
=<br />
p T0<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
<br />
1<br />
ɛ<br />
1<br />
2 k<br />
p = T0<br />
T<br />
kT<br />
2<br />
c<br />
0.2 5.00 1.3375 1.1118<br />
0.4 2.50 1.5548 1.1235<br />
0.6 1.67 1.7763 1.0867<br />
0.8 1.25 2.0182 0.9955<br />
1.0 1.00 2.2896 0.8525<br />
1.2 0.83 2.5927 0.6829<br />
1.4 0.71 2.9244 0.5169<br />
1.6 0.62 3.2784 0.3740<br />
1.8 0.56 3.6486 0.2613<br />
2.0 0.50 4.0297 0.1776<br />
3.0 0.33 6.0022 0.0200<br />
4.0 0.25 8.0001 0.0018<br />
1.34 Attrazione dell’ellissoide<br />
Si consideri sull’ellissoide:<br />
x 2<br />
a<br />
b<br />
y2 z2<br />
+ + 2 2<br />
= 1 (1.288)<br />
c2 una <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> masse omeoi<strong>di</strong>ca, cioè tale che la densità superficiale σ<br />
sia in ogni punto proporzionale alla proiezione del raggio vettore che parte<br />
dal centro dell’ellissoide sulla normale alla superficie:<br />
<br />
σ = ρ x2 /a4 + y2 /b4 + z2 /c4 . (1.289)<br />
La massa totale m si calcola facilmente. In effetti la nostra <strong>di</strong>stribuzione<br />
può considerarsi come il limite per α → 0 <strong>di</strong> una <strong>di</strong>stribuzione spaziale<br />
uniforme <strong>di</strong> densità cubica ρ/α occupante lo spazio compreso fra l’ellissoide<br />
<strong>di</strong> semiassi a, b, c e quello <strong>di</strong> semiassi a(1+α), b(1+α), c(1+α). Avremo<br />
quin<strong>di</strong>:<br />
m = lim<br />
α→0<br />
ρ 4<br />
α 3 π a b c (1 + α) 3 − 1 = 4π a b c ρ. (1.290)<br />
63
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
L’ellissoide in (1.288) è notoriamente equipotenziale, quin<strong>di</strong> il campo è<br />
nullo nel suo interno, mentre all’esterno e in prossimità della superficie è<br />
normale a questa e vale, se K è il coefficiente della formola <strong>di</strong> Newton:<br />
F = 4π σ K = 4π K ρ x 2 /a 4 + y 2 /b 4 + z 2 /c 4 −1/2 , (1.291)<br />
e mettendo in evidenza la massa totale: 25<br />
F = mK 2 2 2 2 2 2<br />
x /a + y /b + z /c<br />
abc<br />
−1/2 . (1.292)<br />
In particolare, agli estremi <strong>degli</strong> assi <strong>di</strong> simmetria la forza sarà rispettivamente:<br />
Fa = mK<br />
b c , Fb = mK mK<br />
, Fc = , (1.293)<br />
c a a b<br />
Costruiamo la superficie equipotenziale infinitamente prossima al nostro<br />
ellissoide; per far ciò basterà prendere sulla normale esterna ad ogni<br />
punto P0(x0, y0, z0) un punto P <strong>di</strong>stante dal primo <strong>di</strong> un segmento<br />
ds = − dU<br />
<br />
a b c x2 y2 z2<br />
= − dU + + .<br />
F mK a2 b2 c2 Le coor<strong>di</strong>nate del punto P saranno<br />
Ovvero ponendo<br />
e<br />
x =<br />
a b c<br />
x0 + (− dU)<br />
mK<br />
y =<br />
a b c<br />
y0 + (− dU)<br />
mK<br />
z =<br />
a b c<br />
z0 + (− dU)<br />
mK<br />
x0<br />
a 2<br />
y0<br />
b 2<br />
z0<br />
.<br />
c2 (1.294)<br />
a b c<br />
dt = − 2 dU, (1.295)<br />
mK<br />
x = x0 + 1 x0<br />
dt<br />
2 a2 y = y0 + 1 y0<br />
dt<br />
2 b2 (1.296)<br />
z = z0 + 1 z0<br />
dt;<br />
2 c2 25 Si noti che F è il campo della forza gravitazionale collegato al potenziale<br />
gravitazionale U (si veda più avanti). L’equazione (1.291) è allora una relazione<br />
analoga al teorema <strong>di</strong> Coulomb per il campo elettrostatico in prossimità <strong>di</strong> un<br />
conduttore.<br />
64
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
cioè a meno <strong>di</strong> infinitesimi <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore:<br />
x<br />
√<br />
a2 + dt<br />
= x0<br />
a<br />
y<br />
√<br />
b2 + dt<br />
= y0<br />
z<br />
√ c 2 + dt = z0<br />
c .<br />
b<br />
(1.297)<br />
Quadrando e sommando si ottiene l’espressione della superficie equipotenziale<br />
infinitamente prossima:<br />
x 2<br />
a 2 + dt +<br />
y2<br />
b 2 + dt +<br />
z2<br />
c 2 + dt<br />
= 1 (1.298)<br />
che è anch’essa un ellissoide, con un errore infinitesimo d’or<strong>di</strong>ne superiore<br />
al primo. Alla nuova superficie equipotenziale sono applicabili le considerazioni<br />
svolte sulla prima. E così si trova che a meno <strong>di</strong> un altro errore<br />
infinitesimo d’or<strong>di</strong>ne maggiore del primo, la superficie<br />
x 2<br />
a 2 + 2dt +<br />
y 2<br />
b 2 + 2dt +<br />
z 2<br />
c 2 + 2dt<br />
= 1 (1.299)<br />
è anch’essa equipotenziale. In generale a meno <strong>di</strong> n errori infinitesimi<br />
d’or<strong>di</strong>ne superiore al primo, la superficie<br />
x 2<br />
a 2 + ndt +<br />
y 2<br />
b 2 + ndt +<br />
z 2<br />
c 2 + ndt<br />
= 1 (1.300)<br />
sarà equipotenziale. Ciò vuol <strong>di</strong>re che il rapporto fra errore e n dt permane<br />
infinitesimo qualunque sia n dt. Facendo tendere n all’infinito in modo che<br />
n dt = t sia finito sarà equipotenziale, rigorosamente, la superficie<br />
x 2<br />
a 2 + t<br />
+ y2<br />
b 2 + t<br />
+ z2<br />
c 2 + t<br />
= 1 (1.301)<br />
sarà equipotenziale. È questa l’espressione generale delle superfici equipotenziali<br />
esterne all’omeoide; t può assumere qualunque valore positivo. 26<br />
26∗ Di ciò potrebbe aversi la riprova formale mostrando che è possibile costruire<br />
una funzione U = U(t) del posto, attraverso t, che obbe<strong>di</strong>sca all’equazione <strong>di</strong><br />
Laplace ∆ U = 0 e si annulli per t = ∞.<br />
65
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
Dalle (1.297) si ricava l’espressione generale delle linee <strong>di</strong> forza:<br />
x = α √ a 2 + t<br />
y = β √ b 2 + t (1.302)<br />
z = γ √ c 2 + t<br />
(α 2 +β 2 +γ 2 = 1). Le costanti α, β, γ sono evidentemente i coseni <strong>di</strong>rettori<br />
<strong>degli</strong> asintoti delle linee <strong>di</strong> forza, i quali sono rette passanti per il centro<br />
dell’ellissoide.<br />
Per calcolare il potenziale U = U(t) sull’ellissoide in (1.301), si osservi<br />
che dalla (1.295) si deduce in generale la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale fra due<br />
superfici equipotenziali infinitamente vicine. Integrando tra t = ∞ e t = t0,<br />
si ottiene:<br />
U(t0) = mK<br />
2<br />
∞<br />
t0<br />
dt<br />
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t) . (1.303)<br />
In particolare, sull’ellissoide in (1.288) il potenziale sarà<br />
U(0) = mK<br />
2<br />
∞<br />
0<br />
dt<br />
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t) . (1.304)<br />
Poiché agli effetti esterni dell’ellissoide si può sostituire alla <strong>di</strong>stribuzione<br />
omeoi<strong>di</strong>ca, <strong>di</strong> massa totale m, sull’ellissoide x2 y2 z2<br />
+ + = 1, un’altra<br />
a2 b2 c2 <strong>di</strong>stribuzione omeoi<strong>di</strong>ca <strong>di</strong> pari massa, posta su un ellissoide omofocale, si<br />
può estendere ai punti esterni l’espressione (1.292) del campo:<br />
F =<br />
mK<br />
<br />
(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)<br />
1<br />
× . (1.305)<br />
x2 /(a2 + t) 2 + y2 /(b2 + t) 2 + z2 /(c2 + t) 2<br />
Dalla (1.304) si deduce imme<strong>di</strong>atamente la capacità dell’ellissoide; essa vale<br />
nel moto:<br />
C = 2<br />
∞<br />
−1 dt<br />
.<br />
(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)<br />
(1.306)<br />
Si consideri ora l’ellissoide piano<br />
0<br />
x 2<br />
a<br />
b<br />
y2 z2<br />
+ + 2 2<br />
66<br />
< 1<br />
c2
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
<strong>di</strong> densità cubica uniforme ρ. La forza nel suo interno è funzione lineare<br />
delle coor<strong>di</strong>nate e le sue componenti secondo gli assi x, y,z valgono rispettivamente:<br />
− L x, − M y, − N z; L + M + N = 4π K ρ. (1.307)<br />
In particolare all’estremo del semiasse a, la forza, tutta <strong>di</strong>retta secondo la<br />
normale interna, vale in valore assoluto La. Per calcolare L scomponiamo<br />
il nostro ellissoide in omeoi<strong>di</strong> me<strong>di</strong>ante una serie <strong>di</strong> infinite superfici<br />
ellissoi<strong>di</strong>che e omotetiche che obbe<strong>di</strong>scono all’equazione:<br />
x 2<br />
p2 y2<br />
+<br />
a2 p2 z2<br />
+<br />
b2 p2c 2 = 1, (1.308)<br />
potendo p variare tra 0 e 1. L’omeoide compreso fra i due ellissoi<strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
semiassi, rispettivamente, pa, pb, pc e (p + dp)a, (p + dp)b, (p + dp)c, ha la<br />
massa:<br />
dm = 4π a b c p 2 ρ dp. (1.309)<br />
La forza da esso esercitata sull’unità <strong>di</strong> massa posta nel punto (a, 0, 0) è<br />
<strong>di</strong>retta secondo l’asse x e vale, salvo il segno:<br />
ovvero ponendo<br />
e quin<strong>di</strong><br />
dF =<br />
=<br />
t =<br />
dF =<br />
K dm<br />
[a 2 + p 2 (b 2 − a 2 )] [a 2 + p 2 (c 2 − a 2 )]<br />
4π a b c ρ K p 2 dp<br />
[a 2 + p 2 (b 2 − a 2 )] [a 2 + p 2 (c 2 − a 2 )] ; (1.310)<br />
p =<br />
dF = − 4π a 2 b c K ρ dt ∂<br />
∂a 2<br />
a<br />
√ a 2 + t<br />
(1.311)<br />
2 a<br />
(1 − p<br />
p<br />
2 ) (1.312)<br />
4π a 2 b c K ρ dt<br />
2 ( √ a 2 + t) (a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t)<br />
(1.313)<br />
1<br />
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t) . (1.314)<br />
67
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
Per comprendere tutti gli omeoi<strong>di</strong> in cui si è <strong>di</strong>viso l’ellissoide bisogna far<br />
variare p fra 0 e 1, o t fra 0 e ∞; si ottiene così l’espressione della forza<br />
totale:<br />
cioè:<br />
L a = − 4π a 2 b c K ρ ∂<br />
∂a 2<br />
L = − 4π a b c K ρ ∂<br />
∂a 2<br />
∞<br />
0<br />
∞<br />
0<br />
dt<br />
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t)<br />
dt<br />
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t)<br />
(1.315)<br />
(1.316)<br />
e analoghe relazioni per M e N. Così risulta completamente determinata<br />
la forza all’interno e sulla superficie dell’ellissoide:<br />
F = − L x i − M y j − N z k . (1.317)<br />
Per avere la forza nei punti esterni si osservi che se m è la massa<br />
dell’ellissoide, l’equazione (1.316) può porsi sotto la forma:<br />
L = − 3K m ∂<br />
∂a 2<br />
∞<br />
0<br />
dt<br />
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t) , (1.318)<br />
e analogamente per M e N. Si verifica inoltre imme<strong>di</strong>atamente, me<strong>di</strong>ante<br />
la scomposizione in omeoi<strong>di</strong>, che un ellissoide omogeneo equivale, per gli<br />
effetti esterni, a un qualunque altro ellissoide omofocale al primo e <strong>di</strong> pari<br />
massa totale. Dato quin<strong>di</strong> un punto esterno P (x, y, z) e determinato t in<br />
modo che sia:<br />
x 2<br />
a2 y2<br />
+<br />
+ t b2 z2<br />
+<br />
+ t c2 = 1; (1.319)<br />
+ t<br />
la forza agente sull’unità <strong>di</strong> massa posta in P sarà:<br />
essendo<br />
F = − L(t) i x − M(t) j y − N(t) k z, (1.320)<br />
L(t) = − 4π a b c K ρ ∂<br />
∂a 2<br />
∞<br />
t<br />
dt<br />
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t) . (1.321)<br />
In particolare, per t = 0, cioè sulla superficie dell’ellissoide, si ritrova<br />
l’espressione (1.316) per L, e le altre analoghe per M e N.<br />
68
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
1.35 Casi particolari: ellissoide con un<br />
asse molto allungato; ellissoide<br />
rotondo<br />
I. – Supponiamo a, b ≪ c. L’espressione:<br />
se si pone<br />
<strong>di</strong>venta:<br />
∞<br />
0<br />
∞<br />
0<br />
dt<br />
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t)<br />
t1 = 1<br />
<br />
t +<br />
2<br />
(a2 + t)(b2 <br />
+ t) − a b<br />
dt1<br />
2 <br />
(1/4)(a + b) + t1 (c2 + t1)<br />
(1.322)<br />
(1.323)<br />
<br />
c2 + t1<br />
. (1.324)<br />
c2 + t<br />
Ora la <strong>di</strong>fferenza tra t e t1 è dell’or<strong>di</strong>ne a 2 o b 2 e, poiché c è molto maggiore<br />
<strong>di</strong> a o <strong>di</strong> b, il fattore (c2 + t1)/(c2 + t) che sta sotto il segno integrale al<br />
secondo membro è sempre molto prossimo all’unità. Tenuto conto che gli<br />
altri fattori sono <strong>di</strong> segno costante, al limite, per c gran<strong>di</strong>ssimo, si potrà<br />
scrivere<br />
∞<br />
0<br />
=<br />
dt<br />
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t) =<br />
∞<br />
0<br />
dt1<br />
2 <br />
(1/4)(a + b) + t1 (c2 + t1)<br />
2<br />
<br />
c2 − (1/4)(a + b) 2 log c + c2 − (1/4)(a + b) 2<br />
, (1.325)<br />
(1/2)(a + b)<br />
ovvero, poiché il proce<strong>di</strong>mento seguito vale solo per formole limiti <strong>di</strong> prima<br />
approssimazione:<br />
∞<br />
0<br />
dt<br />
=<br />
(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t) 2<br />
c log<br />
Il potenziale dell’omeoide <strong>di</strong> massa m sarà:<br />
U0 =<br />
m K<br />
c<br />
69<br />
log<br />
4c<br />
a + b<br />
4c<br />
. (1.326)<br />
a + b<br />
(1.327)
e la capacità dell’ellissoide:<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
C =<br />
c<br />
. (1.328)<br />
log [4c/(a + b)]<br />
Le costanti L, M, N per l’attrazione all’interno dell’ellissoide pieno e le<br />
funzioni L(t), M(t), N(t) per l’attrazione nei punti esterni, posti a una<br />
<strong>di</strong>stanza dall’ellissoide piccola rispetto al semiasse c, risultano in prima<br />
approssimazione:<br />
b<br />
L = 4π K ρ<br />
a + b<br />
a<br />
M = 4π K ρ<br />
a + b<br />
a b<br />
N = 4π K ρ<br />
c2 <br />
4c<br />
log<br />
a + b<br />
L(t) = 4π K ρ<br />
M(t) = 4π K ρ<br />
N(t) = 4π K ρ<br />
<br />
− 1<br />
a<br />
b<br />
√ √ √<br />
a2 + t a2 + t + b2 + t<br />
b<br />
√ b 2 + t<br />
a b<br />
c 2<br />
<br />
log<br />
a<br />
√ a 2 + t + √ b 2 + t<br />
<br />
4c<br />
√ √ − 1 .<br />
a2 + t + b2 + t<br />
II. – Si supponga ora a = b, e c arbitrario. Avremo<br />
∞<br />
∞<br />
(1.329)<br />
(1.330)<br />
dt<br />
dt<br />
=<br />
0 (a2 + t)(b2 + t)(c2 + t) 0 (a2 + t) (c2 + t)<br />
⎧<br />
2<br />
⎪⎨<br />
√<br />
c2 − a2 =<br />
⎪⎩<br />
log c + √ c2 − a2 , (c > a)<br />
a<br />
(1.331)<br />
2<br />
c<br />
√ arccos , (c < a)<br />
a2 − c2 a<br />
Ovvero, mettendo in evidenza l’eccentricità dell’ellisse meri<strong>di</strong>ana:<br />
∞<br />
0<br />
dt<br />
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t) =<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
70<br />
1<br />
c e<br />
1 + e<br />
log , (c > a)<br />
1 − e<br />
2<br />
arcsin e, (c < a)<br />
a e<br />
(1.332)
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
Il potenziale dell’omeoide <strong>di</strong> massa m e la capacità elettrostatica dell’ellissoide<br />
risultano rispettivamente:<br />
⎧<br />
m K 1 + e<br />
⎪⎨<br />
log , (c > a)<br />
2 c e 1 − e<br />
U0 =<br />
(1.333)<br />
⎪⎩<br />
m K<br />
arcsin e, (c < a)<br />
a e<br />
e<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
c<br />
2e<br />
, c > a<br />
log (1 + e)/(1 − e)<br />
C =<br />
⎪⎩ e<br />
a ,<br />
arcsin e<br />
c < a<br />
(1.334)<br />
Le costanti L, M, N [e le funzioni L(t), M(t), N(t)] <strong>di</strong>ventano nel caso <strong>degli</strong><br />
ellissoi<strong>di</strong> roton<strong>di</strong>:<br />
se c > a:<br />
L =<br />
2π K ρ<br />
M =<br />
e2 N =<br />
<br />
<br />
1 − e2 1 + e<br />
1 − log<br />
2e 1 − e<br />
1 − e2<br />
e2 <br />
1 1 + e<br />
log − 1 4π K ρ<br />
2e 1 − e<br />
(1.335)<br />
e se c < a:<br />
L =<br />
√<br />
1 − e2 M = 2π K ρ<br />
e2 <br />
arcsin e<br />
−<br />
e<br />
√ 1 − e2 N =<br />
<br />
4π K ρ<br />
e2 <br />
<br />
arcsin e √<br />
1 − 1 − e2 .<br />
e<br />
(1.336)<br />
Le funzioni L(t), M(t), N(t) in un punto esterno P si calcolano sostituendo<br />
nelle espressioni precedenti i valori <strong>di</strong> ρ e <strong>di</strong> e, corrispondenti all’ellissoide<br />
omotetico <strong>di</strong> massa pari a quello dato e passante per P .<br />
71
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
1.36 Equilibrio <strong>di</strong> un liquido rotante<br />
Un liquido rotante può assumere come posizione <strong>di</strong> equilibrio la forma <strong>di</strong><br />
un ellissoide <strong>di</strong> rivoluzione. Perché l’ellissoide liquido <strong>di</strong> equazione:<br />
x 2 + y 2<br />
a 2<br />
+ z2<br />
= 1 (1.337)<br />
c2 rotante con velocità angolare ω intorno all’asse z sia in equilibrio è necessario<br />
che in tutti i punti della superficie sia costante la somma del potenziale<br />
d’attrazione e <strong>di</strong> quello della forza centrifuga; cioè che in tutti i punti della<br />
superficie si abbia:<br />
e anche:<br />
1<br />
2 ω2 x 2 + y 2 − 1<br />
2 L x 2 + y 2 − 1<br />
2 N z2 = costante, (1.338)<br />
L − ω 2 x 2 + y 2 + N z 2 = costante. (1.339)<br />
per il che deve sussistere l’eguaglianza:<br />
L − ω 2<br />
N<br />
= c2<br />
a 2 = 1 − e2 , (1.340)<br />
essendo e l’eccentricità della sezione meri<strong>di</strong>ana. Sostituendo a L e N i loro<br />
valori dalle equazioni (1.336), si ricava:<br />
essendosi posto:<br />
In seguito porremo:<br />
ɛ = (3 − 2e2 ) √ 1 − e 2 arcsin e − 3e + 3e 3<br />
e 3 , (1.341)<br />
ɛ =<br />
ω 2<br />
2π K ρ<br />
η = 3<br />
ɛ =<br />
2<br />
2ω2<br />
= . (1.342)<br />
4π K ρ<br />
ω 2<br />
(4/3) π K ρ<br />
(1.343)<br />
s = 1 − √ 1 − e 2 ; (1.344)<br />
s è lo schiacciamento; ɛ è il rapporto fra la <strong>di</strong>vergenza del campo delle forze<br />
<strong>di</strong> trascinamento e la convergenza, entro l’ellissoide materiale, del campo <strong>di</strong><br />
gravitazione; η = (3/2)ɛ è il rapporto fra la forza centrifuga che si esercita<br />
72
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
su una massa m posta a <strong>di</strong>stanza r dall’asse <strong>di</strong> rotazione e la forza <strong>di</strong><br />
attrazione che si eserciterebbe sulla stessa massa posta sulla superficie <strong>di</strong><br />
una sfera <strong>di</strong> raggio r e <strong>di</strong> densità ρ. Il dato del problema è in generale ɛ<br />
(o η). L’equazione (1.341) mostra che a ogni valore <strong>di</strong> e corrisponde un<br />
solo valore <strong>di</strong> ɛ; al contrario a un dato valore <strong>di</strong> ɛ purché inferiore a un<br />
certo limite, corrispondono 2 valori <strong>di</strong> e, sono cioè possibili 2 posizioni <strong>di</strong><br />
equilibrio <strong>di</strong> cui una, a modesto schiacciamento, è stabile, l’altra a forte<br />
schiacciamento è probabilmente instabile. Aumentando ɛ le due soluzioni<br />
vanno riavvicinandosi, finché per un certo valore <strong>di</strong> ɛ coincidono. Al <strong>di</strong><br />
sopra <strong>di</strong> questo limite, cioè, per una data densità, al <strong>di</strong> sopra <strong>di</strong> una certa<br />
velocità angolare, l’equilibrio non è più possibile. Per piccoli schiacciamenti<br />
si ha:<br />
s = 1<br />
2 e2 = 15 5<br />
ɛ = η. (1.345)<br />
8 4<br />
Nella tabella 27 sono riportati in funzione dello schiacciamento i valori<br />
<strong>di</strong> ɛ, η e <strong>di</strong> 1000/ρT 2 , essendo ρ la densità rispetto all’acqua e T il periodo<br />
in ore; per il calcolo <strong>di</strong> tale espressione si è ritenuto K= 1/(1.5×10 7 )<br />
(c.g.s.), <strong>di</strong> modo che 1000/ρT 2 = (432/π)ɛ = 137.51ɛ.<br />
27 Nel manoscritto originale sono riportati i soli valori <strong>di</strong> s (prima colonna). I<br />
valori corrispondenti per le rimanenti colonne sono stati calcolati dalle equazioni<br />
(1.341), (1.343) e (1.342).<br />
73
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
s ɛ η<br />
1000<br />
ρT 2<br />
0.01 0.005322 0.07983 0.7318<br />
0.02 0.01062 0.01593 1.450<br />
0.03 0.01589 0.02384 2.185<br />
0.04 0.02114 0.03171 2.907<br />
0.05 0.02636 0.03954 3.625<br />
0.06 0.03155 0.04733 4.339<br />
0.07 0.03672 0.05508 5.049<br />
0.08 0.04185 0.06278 5.755<br />
0.09 0.04696 0.07043 6.457<br />
0.10 0.05203 0.07804 7.154<br />
0.11 0.05706 0.08569 7.847<br />
0.12 0.06207 0.09310 8.535<br />
0.13 0.06703 0.1005 9.218<br />
0.14 0.07196 0.1079 9.896<br />
0.15 0.07685 0.1153 10.57<br />
0.16 0.08170 0.1223 11.24<br />
0.17 0.08651 0.1298 11.90<br />
0.18 0.09128 0.1369 12.55<br />
0.19 0.09600 0.1440 13.20<br />
0.20 0.1007 0.1510 13.84<br />
0.21 0.1053 0.1580 14.48<br />
0.22 0.1099 0.1648 15.11<br />
0.23 0.1144 0.1716 15.73<br />
0.24 0.1189 0.1783 16.35<br />
0.25 0.1233 0.1850 16.96<br />
0.26 0.1277 0.1915 17.56<br />
0.27 0.1320 0.1980 18.15<br />
0.28 0.1362 0.2043 18.73<br />
0.29 0.1404 0.2106 19.31<br />
0.30 0.1445 0.2168 13.87<br />
0.31 0.1486 0.2228 20.43<br />
0.32 0.1525 0.2288 20.98<br />
0.33 0.1564 0.2347 21.51<br />
0.34 0.1603 0.2404 22.04<br />
0.35 0.1640 0.2461 22.56<br />
0.36 0.1677 0.2516 23.06<br />
74
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
s ɛ η<br />
1000<br />
ρT 2<br />
0.37 0.1713 0.2570 23.56<br />
0.38 0.1748 0.2622 24.04<br />
0.39 0.1782 0.2674 24.51<br />
0.40 0.1816 0.2724 24.97<br />
0.41 0.1848 0.2772 25.41<br />
0.42 0.1880 0.2819 25.85<br />
0.43 0.1910 0.2865 26.26<br />
0.44 0.1939 0.2909 26.67<br />
0.45 0.1968 0.2952 27.06<br />
0.46 0.1995 0.2992 27.43<br />
0.47 0.2021 0.3031 27.79<br />
0.48 0.2046 0.3069 28.13<br />
0.49 0.2067 0.3104 28.46<br />
0.50 0.2092 0.3138 28.77<br />
0.51 0.2113 0.3170 29.06<br />
0.52 0.2133 0.3199 29.33<br />
0.53 0.2151 0.3227 29.58<br />
0.54 0.2168 0.3252 29.81<br />
0.55 0.2184 0.3275 30.03<br />
0.56 0.2197 0.3296 30.22<br />
0.57 0.2210 0.3315 30.39<br />
0.58 0.2220 0.3330 30.53<br />
0.59 0.2229 0.3344 30.65<br />
0.60 0.2236 0.3354 30.75<br />
0.61 0.2242 0.3362 30.83<br />
0.62 0.2245 0.3367 30.87<br />
0.63 0.2247 0.3370 30.89<br />
0.64 0.2246 0.3369 30.89<br />
0.65 0.2243 0.3365 30.85<br />
0.70 0.2196 0.3294 30.20<br />
0.75 0.2084 0.3126 28.66<br />
0.80 0.1895 0.2842 26.06<br />
0.85 0.1613 0.2419 22.18<br />
0.90 0.1220 0.1830 16.77<br />
0.95 0.06919 0.1038 9.514<br />
1.00 0.0000 0.0000 0.0000<br />
75
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
Il massimo valore 28 <strong>di</strong> ɛ si ha per s = 0.6 ed è ɛmax = 0.224. Per il calcolo<br />
<strong>di</strong> ɛ vale lo sviluppo:<br />
<br />
8 44<br />
ɛ = (1 − s) s +<br />
15 105 s2 + 4<br />
15 s3 + 32·17<br />
5·7·9·11 s4 +<br />
800<br />
7·9·11·13 s5<br />
736<br />
+<br />
3·5·7·11·13 s6 + . . . + kns n <br />
+ . . . , (1.346)<br />
essendo kn =<br />
1.37 Alcuni integali definiti<br />
(Ve<strong>di</strong> paragrafo 2.27.)<br />
(1)<br />
(2)<br />
(3)<br />
(4)<br />
(5)<br />
(6)<br />
(7)<br />
π<br />
0<br />
∞<br />
0<br />
n(3n + 5) n!<br />
. (1.347)<br />
1·3·5·7·s(2n + 3)<br />
1<br />
r sin nr e−k2 r 2<br />
dr = √ π<br />
+∞<br />
−∞<br />
π<br />
0<br />
cos nr e −k2r 2<br />
dr =<br />
π<br />
0 π<br />
0<br />
π<br />
0<br />
n/2k<br />
0<br />
= π<br />
2 θ<br />
<br />
n<br />
2k<br />
e −x2<br />
dx<br />
29<br />
√ π<br />
k e−n2 /4k 2 30<br />
(1.348)<br />
(1.349)<br />
x sin x dx = π. (1.350)<br />
x 2 sin x dx = π 2 − 2·2 (1.351)<br />
x 3 sin x dx = π 3 − 6π (1.352)<br />
x 4 sin x dx = π 4 − 12π 2 + 2·24 (1.353)<br />
x 2n+1 sin x dx = (−1) n <br />
(2n+1)! π − π3<br />
<br />
π2n+1<br />
+ . . . ±<br />
3! (2n + 1)!<br />
(1.354)<br />
28Più precisamente, il massimo si raggiunge a s = 0.632, corrispondente a<br />
ɛmax = 0.22467.<br />
30∗ Si noti che la quantità k al secondo membro è positiva.<br />
76
(8)<br />
π<br />
0<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
x 2n sin x dx = (−1) n <br />
(2n)! 1·1 − π2<br />
<br />
π4 π2n<br />
+ − . . . ± .<br />
2! 4! (2n)!<br />
(1.355)<br />
n intero ≥ 0 [e (−1) 0 = 1]<br />
(9) Tenendo conto <strong>degli</strong> sviluppi in serie che danno sin π e cos π, la (1.354)<br />
e (1.355) si possono raccogliere in un’unica espressione:<br />
π<br />
x<br />
0<br />
n sin x dx = n!π n<br />
π 2<br />
(n + 2)! −<br />
π4<br />
(n + 4)! +<br />
π6<br />
− . . .<br />
(n + 6)!<br />
(1.356)<br />
che vale probabilmente per n > −1, anche non intero. Per n gran<strong>di</strong>ssimo<br />
si ricava in prima approssimazione:<br />
(10)<br />
(11)<br />
+∞<br />
−∞<br />
si veda la (1.198).<br />
(12)<br />
π<br />
0<br />
+∞<br />
−∞<br />
+∞<br />
0<br />
x n sin x dx =<br />
e −x2<br />
e −kx2<br />
x 3 dx<br />
e x − 1 =<br />
π n+2<br />
(n + 1)(n + 2)<br />
<br />
,<br />
(1.357)<br />
cos nx dx = e −n2 /4 √ π (1.358)<br />
cos nx dx = e −n2 <br />
/4k π<br />
k<br />
∞<br />
+∞<br />
x<br />
k=1 −∞<br />
3 e −kx dx<br />
<br />
= 6 1 + 1<br />
<br />
1<br />
+ + . . .<br />
24 34 +∞<br />
−∞<br />
= π4<br />
15<br />
(1.359)<br />
(1.360)<br />
sin 2 kx<br />
x 2 dx = k π. (1.361)<br />
77
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
1.38 Propagazione del calore in un mezzo<br />
isotropo e omogeneo<br />
Sia c il coefficiente <strong>di</strong> trasmissione, γ il calore specifico, δ la densità; il<br />
quadrato me<strong>di</strong>o dello spostamento del calore (si veda la (1.275)) in una<br />
data <strong>di</strong>rezione e nell’unità <strong>di</strong> tempo, vale:<br />
µ 2 = 2c<br />
γ δ<br />
(1.362)<br />
e l’equazione <strong>di</strong>fferenziale a cui obbe<strong>di</strong>sce la temperatura si può scrivere:<br />
∂T 1<br />
=<br />
∂τ 2 µ2 ∆ T. (1.363)<br />
Per trovare la <strong>di</strong>stribuzione delle temperature gioverà, a seconda dei dati<br />
del problema, o valersi del metodo delle sorgenti o ricorrere a soluzioni<br />
particolari che danno la temperatura come prodotto <strong>di</strong> una funzione del<br />
tempo per una funzione del posto. Esaminiamo quantitativamente la<br />
propagazione secondo una, secondo due, o secondo tutte e tre le <strong>di</strong>mensioni.<br />
31<br />
1.38.1 Propagazione in una <strong>di</strong>mensione<br />
Metodo delle sorgenti. La quantità dQ <strong>di</strong> calore posta nella sezione<br />
<strong>di</strong> ascissa x0 <strong>di</strong> una sbarra indefinita <strong>di</strong> sezione unitaria, si <strong>di</strong>stribuisce,<br />
per l’equazione (1.362), in guisa che la densità cubica <strong>di</strong> calore, un punto<br />
d’ascissa x sia al tempo τ:<br />
ρ(x, τ) =<br />
dQ<br />
µ √ 2πτ exp<br />
<br />
(x − x0)2<br />
−<br />
2µ 2 <br />
. (1.364)<br />
τ<br />
Se T0 è la temperatura nell’istante iniziale e nel punto x0, fra le sezioni x0<br />
e x0 + dx0 si trova accumulata la quantità <strong>di</strong> calore T0dx0γδ. Sostituendo<br />
questa espressione a dQ nell’equazione (1.364) e integrando, è possibile<br />
31 In realtà, nel manoscritto originale è stu<strong>di</strong>ato solo il caso uni<strong>di</strong>mensionale.<br />
78
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
ottenere la densità del calore e, <strong>di</strong>videndo per γδ, la temperatura in un<br />
punto qualsiasi e in un istante qualsiasi:<br />
+∞<br />
T0<br />
T (x, τ) =<br />
µ √ 2πτ exp<br />
<br />
2<br />
(x − x0)<br />
−<br />
2µ 2 <br />
dx0. (1.365)<br />
τ<br />
−∞<br />
Se la sbarra non fosse indefinita, bisognerebbe badare alle con<strong>di</strong>zioni ai<br />
limiti. In alcuni casi il problema si riconduce facilmente a quello della<br />
sbarra indefinita. Facciamo un esempio:<br />
Sia una sbarra limitata fra le sezioni S1 e S2 <strong>di</strong> ascisse x1 e x2, essendo<br />
x1 < x2; sia T0(x0) la temperatura iniziale nel punto x0, essendo x1 <<br />
x0 < x2, e si ponga la con<strong>di</strong>zione che le temperature T1 e T2 delle sezioni<br />
estreme siano costanti. Si vuol determinare dopo un tempo qualsiasi τ<br />
la temperatura T (x, τ) in un punto qualunque x compreso tra x1 e x2.<br />
Per far ciò, si approfitti della linearità delle espressioni che reggono la<br />
propagazione del calore, decomponendo la <strong>di</strong>stribuzione delle temperature,<br />
in un istante qualsiasi, nella somma <strong>di</strong> altre due <strong>di</strong> cui una rappresenti<br />
quella <strong>di</strong>stribuzione permanente nel tempo che è compatibile con le sole<br />
con<strong>di</strong>zioni ai limiti; si ponga cioè :<br />
T (x, τ) = T1 +<br />
x − x1<br />
x2 − x1<br />
T0(x0) = T1 + x0 − x1<br />
x2 − x1<br />
(T2 − T1) + T ′ (x, τ) (1.366)<br />
(T2 − T1) + T ′ 0(x0). (1.367)<br />
Il problema è così ridotto alla determinazione della temperatura nei punti<br />
<strong>di</strong> una sbarra <strong>di</strong> cui gli estremi sono tenuti a zero, essendo date le con<strong>di</strong>zioni<br />
iniziali. Per determinare T ′ (x, τ), si consideri una sbarra indefinita e sia T ′ 0<br />
la temperatura iniziale nel punto x0; la T ′ 0, qualunque sia la sua espressione<br />
analitica, deve intendersi definita, per ora soltanto per x0 compreso x1 e<br />
x2. Se x1 < x0 < x2 e n è pari, porremo:<br />
e se n è <strong>di</strong>spari<br />
T ′ 0[x0 + n(x2 − x1)] = T ′ 0(x0), (1.368)<br />
T ′ 0[x0 + n(x2 − x1)] = − T ′ 0 (x1 + x2 − x0) . (1.369)<br />
La temperatura iniziale resta così definita per tutte le sezioni della sbarra,<br />
salvo che per un numero <strong>di</strong>screto <strong>di</strong> esse, ciò che non porta ostacolo alla<br />
soluzione del problema. Si osservi che la temperatura iniziale assume valori<br />
79
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
opposti per coppie <strong>di</strong> punti simmetrici rispetto alla sezione S1 o alla sezione<br />
S2 e quin<strong>di</strong> la temperatura <strong>di</strong> tali sezioni sarà costantemente nulla. Segue<br />
che la <strong>di</strong>stribuzione delle temperature nella barra indefinita è per i punti<br />
compresi fra x1 e x2, proprio la T ′ (x, τ) che cerchiamo. Ora dall’equazione<br />
(1.365), si ricava:<br />
T ′ +∞<br />
T<br />
(x, τ) =<br />
′ 0<br />
µ √ 2πτ exp<br />
<br />
(x − x0)2<br />
−<br />
2µ 2 <br />
dx0; (1.370)<br />
τ<br />
−∞<br />
il problema è quin<strong>di</strong> risolto.<br />
Soluzioni particolari. Ponendo T (x, τ) = X(x)Y (τ), si ricava:<br />
1<br />
Y<br />
dY<br />
dτ<br />
= µ2<br />
2<br />
si deducono le soluzioni particolari:<br />
T = A e −c1τ sin<br />
che, per λ < 0, si può anche scrivere:<br />
1<br />
X<br />
d 2 Y<br />
= λ; (1.371)<br />
dx2 √ 2c1<br />
µ x − c2<br />
<br />
(1.372)<br />
T = A e −ω2 µ 2 τ/2<br />
sin (ω x − c) (1.373)<br />
<br />
ω τ −<br />
√<br />
ω<br />
µ x + c<br />
<br />
. (1.374)<br />
T = A e −√ ωx/µ sin<br />
Le soluzioni nelle equazioni (1.373) e (1.374) sono casi particolari delle<br />
seguente, da cui si deducono ponendo rispettivamente α = 0 e α = β:<br />
T = A e (α2−β 2 <br />
)τ/2 −αx/µ<br />
e sin α β τ − β<br />
µ x + c<br />
<br />
. (1.375)<br />
L’equazione (1.375) rappresenta nello spazio x, τ, T una superficie. Segandola<br />
con piani paralleli a T si ottengono in generale delle sinusoi<strong>di</strong> smorzate,<br />
salvo che per i piani paralleli a<br />
α β τ − β<br />
µ x = 0,<br />
che danno come sezioni delle curve esponenziali, e per i piani paralleli a<br />
τ<br />
2 (α2 − β 2 ) τ − α<br />
µ x = 0,<br />
80
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
che forniscono sezioni sinusoidali. La particolarità geometrica delle soluzioni<br />
(1.373) e (1.374) sta in ciò, che la (1.373) presenta le sezioni sinusoidali<br />
parallelamente al piano τ = 0 e la (1.374) parallelamente al piano x = 0.<br />
Il problema del raffreddamento <strong>di</strong> una sbarra limitata <strong>di</strong> cui gli estremi<br />
sono tenuti a zero, che abbiamo risolto più su con il metodo delle sorgenti,<br />
può ben risolversi anche con soluzioni del tipo (1.373). Basta decomporre<br />
la T ′ 0 secondo le autofunzioni della forma (1.373), in cui si ponga τ = 0,<br />
relative all’intervallo x1 − x2, cioè secondo sinusoi<strong>di</strong> che si annullano per<br />
x = x1 e x = x2 ed hanno per periodo: 2(x2 − x1)/1, 2(x2 − x1)/2,<br />
2(x2 − x1)/3, 2(x2 − x1)/4, etc. Se lo sviluppo <strong>di</strong> T ′ 0 è il seguente:<br />
x − x1<br />
T ′ 0 = A1 sin π<br />
x2 − x1<br />
+ A2 sin 2π<br />
x − x1<br />
x2 − x1<br />
si avrà evidentemente<br />
T ′ (x, τ) =<br />
<br />
A1 exp − π2 µ 2 τ<br />
2(x2 − x1) 2<br />
<br />
x − x1<br />
sin π<br />
x2 − x1<br />
<br />
+ A2 exp − 4π2 µ 2 τ<br />
2(x2 − x1) 2<br />
<br />
x − x1<br />
sin 2π<br />
+ . . . , (1.376)<br />
x2 − x1<br />
1.39 Trasformazioni conformi<br />
Sia<br />
x ′ 1 = x ′ 1(x1, . . . , xr, . . . , xn)<br />
. . .<br />
+ . . . . (1.377)<br />
x ′ r = x ′ r(x1, . . . , xr, . . . , xn) (1.378)<br />
. . .<br />
una trasformazione tale che<br />
<br />
<br />
i<br />
x ′ n = x ′ n(x1, . . . , xr, . . . , xn)<br />
dx ′2<br />
i<br />
i<br />
dx 2 i = f(x1, . . . , xn). (1.379)<br />
81
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
Tale con<strong>di</strong>zione si può esprimere analiticamente scrivendo che i gra<strong>di</strong>enti<br />
delle x ′ hanno nello stesso punto lo stesso valore assoluto e che i prodotti<br />
scalari <strong>di</strong> tali gra<strong>di</strong>enti, presi due a due, sono nulli; cioè:<br />
grad x ′ i × grad x ′ ⎧<br />
⎨ f(x1, . . . , xn), se i = j<br />
j = m =<br />
(1.380)<br />
⎩<br />
0, se i = j<br />
Poniamo<br />
∂ 2 x ′ i<br />
∂xr∂xs<br />
= k(i, r, s).<br />
Il teorema sulla simmetria delle derivate miste 32 , la con<strong>di</strong>zione che le<br />
derivate dei valori assoluti dei gra<strong>di</strong>enti delle x ′ , rispetto alla stessa variabile,<br />
siano tutte uguali tra loro e la con<strong>di</strong>zione che tutte le derivate <strong>di</strong><br />
tali prodotti scalari siano nulle importano le uguaglianze (purchè si scelgano<br />
gli assi delle x paralleli ai gra<strong>di</strong>enti delle x ′ ):<br />
Poniamo<br />
k(i, r, s) = k(i, s, r)<br />
k(i1, i1, s) = k(i2, i2, s) (1.381)<br />
k(i, r, s) = − k(r, i, s), se i = r.<br />
pr = ∂2x ′ r<br />
∂x2 .<br />
r<br />
È facile allora mostrare che tutte le derivate <strong>di</strong> x ′ possono esprimersi in<br />
funzione delle pr. Infatti, dalla (1.381) si supponga<br />
(a) i, r, s tutti <strong>di</strong>versi<br />
dalle (1.381) si deduce:<br />
(b) se r = i<br />
k(i, r, s) = k(i, s, r) = − k(s, i, r) = − k(s, r, i)<br />
32 Cioè il teorema <strong>di</strong> Schwarz.<br />
= k(r, s, i) = k(r, i, s) = − k(i, r, s) = 0 ;<br />
k(i, i, s) = k(s, s, s) = ∂2 x ′ s<br />
∂x 2 s<br />
82<br />
(1.382)<br />
= ps ; (1.383)
(c) se s = i<br />
(d) se r = s = i<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
k(i, r, i) = k(i, i, r) = pr ; (1.384)<br />
k(i, r, r) = − k(r, i, r) = − pi. (1.385)<br />
Si può verificare che qualunque siano le n quantità p1, p2, . . ., pn, le k(i, r, s)<br />
date dalle (1.382), (1.383), (1.384) e (1.385) sod<strong>di</strong>sfano l’equazione (1.381).<br />
Se si pone nel posto r, s <strong>di</strong> una matrice la derivata k(i, r, s), si possono<br />
costruire n matrici coor<strong>di</strong>nate alle n x ′ . Esse hanno la forma seguente 33 :<br />
∂ 2 x ′ 1<br />
∂xr∂xs<br />
∂ 2 x ′ i<br />
Si ricava:<br />
∂xr∂xs<br />
<br />
<br />
=<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
p1 p2 . . . pn−1 pn<br />
p2 −p1 . . . 0 0<br />
. . .<br />
pn−1 0 . . . −p1 0<br />
pn 0 . . . 0 −p1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
−pi 0 0 . . . p1 . . . 0 0<br />
0 −pi 0 . . . p2 . . . 0 0<br />
0 0 −pi p3 0 0<br />
. . .<br />
p1 p2 p3 . . . pi . . . pk 0<br />
. . .<br />
0 0 0 . . . pk . . . pi 0<br />
. . .<br />
0 0 0 . . . pn . . . 0 −pi<br />
⎞<br />
⎟ .<br />
⎟<br />
⎠<br />
∆ x ′ i = − (n − 2) pi. (1.386)<br />
Segue che le x ′ non sono in generale funzioni armoniche; perché fossero tali<br />
occorrerebbe che fosse o n = 2 oppure che le p fossero costantemente nulle<br />
in modo che la (1.378) rappresentasse una semplice similitu<strong>di</strong>ne.<br />
33 La generica matrice in<strong>di</strong>cata con i è quella la cui i-esima riga o colonna è data<br />
da (p1, p2, p3, . . . , pn), mentre gli elementi sulla <strong>di</strong>agonale sono uguali a −pi.<br />
83
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
Se n = 2, le x ′ sono sempre funzioni armoniche. Allora se U ′ (x ′ , y ′ )<br />
è una funzione armonica, ponendo U(x, y) = U ′ (x ′ , y ′ ), si deduce dalla<br />
(1.380), (1.386) (1.73) che anche U(x, y) è una funzione armonica. La<br />
trasformazione del piano xy nel piano x ′ y ′ <strong>di</strong>cesi trasformazione conforme<br />
<strong>di</strong> un piano su un piano. Tale trasformazione conserva la forma delle figure<br />
infinitesime; essa può invertire o no il senso <strong>di</strong> rotazione. Per avere una<br />
trasformazione conforme basta porre:<br />
oppure<br />
x ′ + i y ′ = f(x + iy) (1.387)<br />
x ′ − i y ′ = f(x + iy), (1.388)<br />
essendo f(x + iy) una funzione analitica qualunque; nel primo caso il senso<br />
<strong>di</strong> rotazione è conservato, nel secondo caso viene invertito.<br />
Dalle considerazioni analitiche svolte più sopra può aversi un’interessante<br />
conferma sintetica. Si consideri la trasformazione conforme (1.378)<br />
che a un punto dello spazio S a n <strong>di</strong>mensioni fa corrispondere un punto<br />
dello spazio S ′ . La con<strong>di</strong>zione (1.379) stabilisce che figure infinitesime corrispondenti<br />
sono simili e dà il rapporto <strong>di</strong> similitu<strong>di</strong>ne k = f(x1, . . . , xn),<br />
in generale variabile da un punto a punto. Sia U una funzione delle x e<br />
poniamo:<br />
U ′ (x ′ 1, . . . , x ′ n) = U(x1, . . . , xn). (1.389)<br />
Il flusso del gra<strong>di</strong>ente <strong>di</strong> U attraverso un elemento <strong>di</strong> superficie dS può<br />
essere scritto<br />
dϕ = |grad U| dS cos α, (1.390)<br />
e il flusso <strong>di</strong> grad U ′ attraverso l’elemento corrispondente:<br />
dϕ ′ = grad U ′ dS ′ cos α ′ . (1.391)<br />
ma essendo la trasformazione conforme, abbiamo evidentemente:<br />
e quin<strong>di</strong><br />
<br />
′<br />
grad U 1<br />
=<br />
k<br />
|grad U| (1.392)<br />
ds ′ = k n−1 dS (1.393)<br />
dϕ ′ = k n−2 dϕ. (1.394)<br />
Segue che se n = 2 e il flusso <strong>di</strong> U attraverso una superficie chiusa è nullo,<br />
sarà nullo del pari il flusso <strong>di</strong> U ′ attraverso ogni superficie chiusa, cioè le<br />
trasformazioni conformi <strong>di</strong> un piano su un piano conservano l’armonicità<br />
84
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
delle funzioni armoniche. Se n è <strong>di</strong>verso da 2, l’armonicità non è necessariamente<br />
conservata, salvo il caso che K sia costante. Ma in tal caso la<br />
trasformazione conforme si riduce a una semplice similitu<strong>di</strong>ne.<br />
1.40 Meccanica ondulatoria del punto<br />
materiale in un campo conservativo.<br />
Variazione <strong>degli</strong> autovalori<br />
Sia E un autovalore dell’equazione: 34<br />
∆ ψ + 8π2 m<br />
h 2 (E − U) ψ = 0. (1.395)<br />
Diamo a U una variazione δU perché la (1.395) ammetta una soluzione<br />
finita e monodroma, E dovrà subire una variazione δE. Poniamo ψ1 =<br />
ψ (1 + α) la soluzione della (1.395) variata. Sostituendo nella (1.395), si<br />
ricava l’equazione a cui deve sod<strong>di</strong>sfare α:<br />
ψ ∆ α + 2 grad ψ × grad α + 8π2 m<br />
h 2 (δE − δU) ψ = 0 (1.396)<br />
e moltiplicando per ψ: 35<br />
<strong>di</strong>v ψ 2 grad α + 8π2 m<br />
h 2 (δE − δU) ψ 2 = 0. (1.397)<br />
Poiché ψ 2 grad α è in generale infinitesimo d’or<strong>di</strong>ne superiore al secondo,<br />
integrando in tutto lo spazio S si ricava<br />
<br />
(δE − δU) ψ 2 dS = 0, (1.398)<br />
34 Nel manoscritto originale si usa la vecchia notazione h/2π, mentre qui denotiamo<br />
la stessa quantità con .<br />
35 Si noti che se ψ è complesso, si deve moltiplicare per ψ ∗ , per cui ψ 2 deve<br />
essere sostituito con |ψ| 2 .<br />
85
cioè,<br />
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
δE =<br />
<br />
ψ 2 <br />
δU dS<br />
ψ 2 dS . (1.399)<br />
1.41 Massa elettromagnetica dell’elettrone<br />
Supponiamo 36 la carica e <strong>di</strong>stribuita su una sfera <strong>di</strong> raggio a. Ammettendo<br />
la contrazione <strong>di</strong> Lorentz nella <strong>di</strong>rezione del movimento si ottengono le<br />
seguenti espressioni dell’energia elettrica e dell’energia magnetica:<br />
In riposo risulta:<br />
Es = e2<br />
6a<br />
Em =<br />
<br />
e 2<br />
3ac 2<br />
Eem = Es + Em = e2<br />
6a<br />
2<br />
1 − v 2 /c 2 + 1 − v 2 /c 2<br />
<br />
(1.400)<br />
v 2<br />
, (1.401)<br />
1 − v2 /c2 <br />
2 1 + v2 /c 2<br />
<br />
1 − v2 /c2 + 1 − v2 /c2 <br />
E 0 s0<br />
= e2<br />
2a<br />
La quantità <strong>di</strong> movimento elettromagnetico risulta:<br />
(1.402)<br />
(1.403)<br />
Em0 = 0 (1.404)<br />
E0 em = e2<br />
. (1.405)<br />
2a<br />
Q = 2 2e2<br />
Em =<br />
v 3ac2 v<br />
, (1.406)<br />
1 − v2 /c2 36 È interessante leggere su questo argomento, per esempio, l’articolo <strong>di</strong> E.<br />
Fermi, “Correzione <strong>di</strong> una contrad<strong>di</strong>zione tra la teoria elettro<strong>di</strong>namica e quella<br />
relativistica delle masse elettromagnetiche”, Nota Interna della Scuola Normale<br />
Superiore <strong>di</strong> Pisa (1924). Per altri articoli scritti dai membri del gruppo <strong>di</strong> Fermi<br />
si veda, per esempio, P. Cal<strong>di</strong>rola, Nuovo Cimento A 4, 497 (1979).<br />
86
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
e se si ammette che il sostegno della carica elettrica non abbia coefficiente<br />
<strong>di</strong> inerzia, la massa dell’elettrone sarà: 37<br />
m = 2<br />
3<br />
e 2<br />
ac 2<br />
1<br />
1 − v 2 /c 2 =<br />
essendo m0 la massa <strong>di</strong> quiete che vale dunque:<br />
m0 = 2<br />
3<br />
m0<br />
, (1.407)<br />
1 − v2 /c2 e 2<br />
4 Eem<br />
= . (1.408)<br />
ac2 3 c2 L’equivalenza, a meno del fattore c 2 , fra massa ed energia porta a concludere<br />
che nell’ipotesi fatta che il sostegno abbia inerzia nulla, esso deve<br />
possedere un’energia in quiete: 38<br />
e in movimento:<br />
E ′ 0 = 1<br />
3<br />
E ′ = mc 2 − Eem = 2 e<br />
3<br />
2<br />
a<br />
− e2<br />
6a<br />
e2<br />
Eem = , (1.409)<br />
6a<br />
1<br />
1 − v 2 /c 2<br />
<br />
2 1 + v2 /c 2<br />
<br />
1 − v2 /c2 + 1 − v2 /c2 = e2 <br />
1 − v2 /c2 ′<br />
= E 0 1 − v2 /c2 (1.410)<br />
6a<br />
cioè, l’energia propria è proporzionale al suo volume. 39<br />
Ammettere che il nucleo dell’elettrone possiede questa energia non è in<br />
contrad<strong>di</strong>zione con l’ipotesi ammessa che il suo coefficiente <strong>di</strong> inerzia sia<br />
nullo; infatti esso si trova in uno stato <strong>di</strong> tensione che fa equilibrio alla<br />
tensione della carica elettromagnetica, la quale per azione del campo elettromagnetico<br />
tenderebbe a <strong>di</strong>sperdersi; questo importa che quella parte<br />
della carica che si trova più innanzi, nel senso del movimento, risente<br />
37 Cioè, l’intera massa dell’elettrone è <strong>di</strong> natura elettromagnetica.<br />
38 L’Autore considera l’energia totale E <strong>di</strong> un elettrone come formata da due<br />
termini: quello elettromagnetico, Eem, e quello <strong>di</strong> auto-energia, E ′ : E = Eem +<br />
E ′ . L’energia E ′ è ottenuta considerando che E = mc 2 .<br />
39 L’energia propria corrisponde all’energia del “nucleo” dell’elettrone, che viene<br />
così ad essere proporzionale al volume del nucleo stesso.<br />
87
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
un’azione frenante da parte del sostegno, mentre quella parte della carica<br />
che si trova più in<strong>di</strong>etro viene accelerata per azione del sostegno. Segue<br />
che attraverso il nucleo ha luogo un flusso <strong>di</strong> energia in senso opposto al<br />
movimento dell’elettrone, la cui quantità <strong>di</strong> moto deve essere uguale e op-<br />
posta a quella dell’energia.<br />
È mobile con la stessa velocità dell’elettrone.<br />
Di ciò potrebbe del resto aversi una verifica <strong>di</strong>retta, supponendo che il vincolo<br />
sia costituito in un modo qualunque, per esempio, me<strong>di</strong>ante fili che<br />
tengono le cariche <strong>di</strong>stribuite su una superficie sferica a una <strong>di</strong>stanza fissa<br />
del centro; in tal caso basta calcolare la tensione del filo e moltiplicarla<br />
per la velocità dell’elettrone nel senso del filo stesso per avere il flusso <strong>di</strong><br />
energia attraverso ad ogni sezione; <strong>di</strong>videndo per E ′ si ha la quantità <strong>di</strong><br />
moto per ogni unità <strong>di</strong> lunghezza. Basta allora sommare vettorialmente le<br />
quantità <strong>di</strong> moto inerenti ai singoli fili (la quantità <strong>di</strong> moto elementare in<br />
ogni filo ha la <strong>di</strong>rezione del filo stesso), per ottenere la quantità <strong>di</strong> moto<br />
totale inerente al flusso <strong>di</strong> energia attraverso il nucleo.<br />
Ma ad un’altra considerazione si presta la (1.410): essa mostra infatti<br />
che l’energia del sostegno <strong>di</strong>minuisce con la velocità e si annulla per velocità<br />
prossime a quelle della luce. Sorge allora il problema del bilancio<br />
energetico del nucleo stesso. Si riconosce facilmente che la <strong>di</strong>ssipazione<br />
dell’energia nucleare con l’aumento della velocità è dovuta alla contrazione<br />
dell’elettrone nel senso del movimento. Divi<strong>di</strong>amo infatti l’elettrone in due<br />
parti me<strong>di</strong>ante un piano yz passante per il centro in cui poniamo l’origine<br />
<strong>degli</strong> assi e normale al senso del movimento. Le cariche <strong>di</strong>stribuite in ognuno<br />
dei due elementi <strong>di</strong> superficie della sfera che si proiettino in tale piano<br />
nell’elemento dy dz valgono:<br />
de = dy dz<br />
a<br />
a 2 − y 2 − z 2<br />
e<br />
=<br />
4πa2 e dy dz<br />
4πa a2 − y2 . (1.411)<br />
− z2 Ora possiamo immaginare che il nucleo sia costituito da fili longitu<strong>di</strong>nali<br />
che rilegano a due a due le cariche elementari simmetriche rispetto al piano<br />
yz ed equilibrano le azioni che esse subiscono da parte delle componenti del<br />
campo elettrico secondo la <strong>di</strong>rezione del movimento, e da fili traversali che<br />
equilibrano le azioni del campo elettrico trasverso e quelle del campo magnetico<br />
sull’elettricità in moto che risultano anche esse normali alla <strong>di</strong>rezione<br />
del movimento. La tensione del filo che lega i due elementi considerati più<br />
sopra è:<br />
dt = 1<br />
2<br />
e<br />
a2 <br />
a2 − y2 − z2 a<br />
88<br />
de = e2<br />
dy dz, (1.412)<br />
8πa4
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
in<strong>di</strong>pendente dalla velocità, e la lunghezza del filo:<br />
ℓ = 2 a 2 − y 2 − z 2 1 − v 2 /c 2 . (1.413)<br />
Se la velocità dell’elettrone aumenta <strong>di</strong> dv, senza cambiare <strong>di</strong>rezione, i<br />
fili trasversali restano <strong>di</strong> lunghezza immutata e quin<strong>di</strong> la loro energia non<br />
subisce variazioni; al contrario i fili longitu<strong>di</strong>nali si accorciano e la variazione<br />
<strong>di</strong> energia dα <strong>di</strong> uno <strong>di</strong> essi si ottiene moltiplicandone la tensione<br />
per la variazione della lunghezza:<br />
d (dα) = dt dℓ = − 2e2<br />
8πa 4 dy dz a 2 − y 2 − z 2<br />
(v/c 2 ) dv<br />
1 − v 2 /c 2<br />
= − e2 v a2 − y2 − z2 4πa 4 c 2 1 − v2 dy dz dv, (1.414)<br />
/c2 e integrando prima rispetto y e z, e notando che<br />
<br />
dα = E ′ , (1.415)<br />
si ottiene<br />
yz<br />
dE ′ e<br />
= −<br />
2 v<br />
6a c 2 1 − v2 dv. (1.416)<br />
/c2 Allo stesso risultato si giunge <strong>di</strong>fferenziando la (1.410), ciò che prova che<br />
la <strong>di</strong>ssipazione dell’energia del sostegno è effettivamente dovuta alla contrazione<br />
<strong>di</strong> Lorentz. La porzione dell’energia totale concentrata nel nucleo<br />
vale:<br />
E ′ <br />
1<br />
= 1 −<br />
mc2 4<br />
v2<br />
c2 <br />
,<br />
Essa è dunque 1/4 per piccole velocità. Al crescere della velocità <strong>di</strong>minuisce<br />
per doppia ragione, ciò per la <strong>di</strong>minuzione <strong>di</strong> energia concentrata e per<br />
l’aumento <strong>di</strong> energia elettromagnetica, finché alla velocità limite della luce<br />
tutta l’energia dell’elettrone ha la forma elettromagnetica.<br />
89
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
1.42 Polinomi <strong>di</strong> Legendre<br />
I polinomi <strong>di</strong> Legendre sono definiti dalla relazione:<br />
Pn = 1<br />
2n d<br />
n!<br />
n (x 2 − 1) n<br />
dxn Essi sod<strong>di</strong>sfanno alle relazioni<br />
1<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
0 , per m = n<br />
Inoltre,<br />
Pm Pn dx =<br />
−1<br />
⎪⎩<br />
2<br />
, per m = n<br />
2n + 1<br />
(1.417)<br />
. (1.418)<br />
Pn(1) = 1 , Pn(−1) = (−1) n . (1.419)<br />
I primi <strong>di</strong> tali polinomi hanno l’espressione:<br />
P0 = 1<br />
P1 = x<br />
P2 = 3<br />
2 x2 − 1<br />
2<br />
P3 = 5<br />
2 x3 − 3<br />
2 x<br />
P4 = 35<br />
8 x4 − 15<br />
4 x2 + 3<br />
8<br />
P5 = 63<br />
8 x5 − 35<br />
4 x3 + 15<br />
8 x<br />
P6 = 231<br />
16 x6 − 315<br />
16 x4 + 105<br />
16 x2 − 5<br />
16<br />
P7 = 429<br />
16 x7 − 693<br />
16 x5 + 315<br />
16 x3 − 35<br />
16 x<br />
90<br />
1<br />
P<br />
−1<br />
2 n dx = 2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
5<br />
2<br />
7<br />
2<br />
9<br />
2<br />
11<br />
2<br />
13<br />
2<br />
15
Volumetto 1: 8 marzo 1927<br />
1.43 ∆ in coor<strong>di</strong>nate sferiche<br />
Sia V una funzione <strong>di</strong> x, y, z, attraverso r, θ, ϕ, essendo:<br />
Poiché valgono le relazioni:<br />
r = x 2 + y 2 + z 2<br />
θ = arccos z/r (1.420)<br />
ϕ = arctan y/r.<br />
|grad r| = 1, |grad θ| = 1<br />
, |grad ϕ| =<br />
r<br />
1<br />
r sin θ<br />
grad r × grad θ = grad θ × grad ϕ = grad ϕ × grad r = 0<br />
si deduce dalla (1.73):<br />
∆ V = ∂2V 2 ∂V<br />
+<br />
∂r2 r ∂r<br />
(1.421)<br />
(1.422)<br />
∆ r = 2<br />
cot θ<br />
, ∆ θ = r r2 , ∆ ϕ = 0 (1.423)<br />
+ 1<br />
r 2<br />
<br />
1<br />
sin2 ∂<br />
θ<br />
2 V<br />
∂ϕ2 + ∂2V ∂V<br />
+<br />
∂θ2 ∂θ<br />
91<br />
<br />
cot θ . (1.424)
VOLUMETTO<br />
2 23 aprile 1928<br />
2.1 ∆ in coor<strong>di</strong>nate polari<br />
Sia V una funzione <strong>di</strong> x e y attraverso r e ϕ ossia:<br />
Poiché:<br />
allora, dalla (1.73):<br />
r = x2 + y2 (2.1)<br />
ϕ = arctan y<br />
.<br />
x<br />
(2.2)<br />
|grad r| = 1 , |grad ϕ| = 1<br />
r<br />
(2.3)<br />
grad r × grad ϕ = 0 (2.4)<br />
∆ 2 r = 1<br />
r , ∆2 ϕ = 0, (2.5)<br />
∆ 2 V = ∂2V 1 ∂V<br />
+<br />
∂z2 r ∂r<br />
+ 1<br />
r 2<br />
∂ 2 V<br />
. (2.6)<br />
∂ϕ2 2.2 Sviluppo <strong>di</strong> una funzione armonica nel<br />
piano<br />
Supponiamo <strong>di</strong> sviluppare in serie una funzione armonica V intorno al<br />
punto O(0, 0). Avremo:<br />
V = P0 + P1 + P2 + P3 + . . . + Pn + . . . , (2.7)<br />
93
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
essendo Pn un polinomio intero omogeneo <strong>di</strong> grado n in x e y. Poiché<br />
∆ 2 V = 0, si ricava:<br />
∆ 2 Pn = 0, (2.8)<br />
cioè Pn è una funzione armonica. Ora Pn ha n+1 coefficienti, mentre ∆ 2 Pn<br />
che è un polinomio <strong>di</strong> grado n − 2, ne ha n − 1, legati da relazioni lineari<br />
a quelli <strong>di</strong> Pn e che devono annullarsi; segue che solo due dei coefficienti<br />
<strong>di</strong> Pn possono essere scelti in modo arbitrario, salvo P0 che è una costante<br />
arbitraria. L’espressione più generale <strong>di</strong> Pn è dunque<br />
Pn = an P ′ n + bn P ′′<br />
n , (2.9)<br />
essendo P ′ n e P ′′<br />
n due polinomi noti, interi ed omogenei <strong>di</strong> grado n. Ora<br />
possiamo porre<br />
e quin<strong>di</strong><br />
Pn = r n µn(ϕ), P ′ n = r n µ ′ n(ϕ), P ′′<br />
n = r n µ ′′ n(ϕ) (2.10)<br />
µn(ϕ) = an µ ′ n(ϕ) + bn µ ′′ n(ϕ). (2.11)<br />
Ora nella scelta <strong>di</strong> P ′ n e P ′′<br />
n esiste sufficiente arbitrarietà per supporre che<br />
µ ′ n e µ ′′ n siano ortogonali nell’intervallo (0, 2π); è facile allora che le µ ′ e le<br />
µ ′′ formino un sistema ortogonale. Basterà provare che se m = n, si ha<br />
sempre<br />
2π<br />
µm µn dϕ = 0, m = n. (2.12)<br />
0<br />
Per far ciò, consideriamo il flusso uscente attraverso un cerchio <strong>di</strong> raggio r<br />
del vettore<br />
r m µm grad r n µn − r n µn grad r m µm. (2.13)<br />
Ora dalla (2.10), segue:<br />
∂<br />
∂r rm µm = m r m−1 µm<br />
∂<br />
∂r rn µn = n r n−1 µn.<br />
Così il flusso uscente è dato dall’espressione<br />
F = (n − m) r n+m−1<br />
2π<br />
94<br />
0<br />
(2.14)<br />
µm µn dϕ. (2.15)
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
D’altronde la <strong>di</strong>vergenza del vettore in (2.13) vale:<br />
da cui segue la (2.12).<br />
<strong>di</strong>v (r m µm grad r n µn − r n µn grad r m µm)<br />
= r m µm ∆ 2 r n µn − r n µn ∆ 2 r m µm = 0, (2.16)<br />
2.3 Quantizzazione dell’oscillatore lineare<br />
armonico<br />
Se m è la massa dell’oscillatore e −Kq la forza attrattiva, l’Hamiltoniana<br />
si può scrivere:<br />
H(q, p) = 1<br />
2 K q2 + p2<br />
e la frequenza dell’oscillatore sarà:<br />
= E<br />
2m<br />
(2.17)<br />
ν = 1<br />
<br />
K<br />
.<br />
2π m<br />
(2.18)<br />
Le matrici <strong>di</strong> p e q, e delle loro funzioni, oltre alle regole <strong>di</strong> somma e<br />
prodotto sod<strong>di</strong>sfanno alle con<strong>di</strong>zioni:<br />
(a) regola <strong>di</strong> derivazione rispetto al tempo: ˙ Mrs = (i/) (Er − Es) Mrs;<br />
(b) p q − q p = /i;<br />
(c) H deve avere i suoi elementi <strong>di</strong>agonali: (E1, E2, . . .);<br />
(d) le matrici devono essere Hermitiane.<br />
Da tali con<strong>di</strong>zioni segue che sono sod<strong>di</strong>sfatte le equazioni <strong>di</strong> Hamilton:<br />
˙q = ∂H<br />
∂p<br />
(2.19)<br />
˙p = − ∂H<br />
. (2.20)<br />
∂q<br />
95
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
La con<strong>di</strong>zione (a) combinata con le altre si può anche scrivere<br />
˙M = i<br />
(H M − M H) . (2.21)<br />
<br />
Nel nostro caso le equazioni (2.19) e (2.20) <strong>di</strong>ventano:<br />
m ˙q = p (2.22)<br />
˙p = − K q. (2.23)<br />
Dalla (2.22), segue che tra gli elementi <strong>di</strong> p e q passa la relazione<br />
Inoltre, poiché<br />
prs = qrs<br />
im<br />
(Er − Es) . (2.24)<br />
m ¨q + K q = 0, (2.25)<br />
si ricava: <br />
K − m<br />
2 (Er − Es) 2<br />
qrs = 0. (2.26)<br />
Segue che qrs può essere <strong>di</strong>verso da zero soltanto se<br />
cioè se<br />
K = m<br />
2 (Er − Es) 2 , (2.27)<br />
Er − Es = ± hν. (2.28)<br />
Calcoliamo ora l’elemento (r, r) della matrice pq −qp. Per la con<strong>di</strong>zione<br />
(b) abbiamo:<br />
<br />
= (prα qαr − qrα pαr) ,<br />
2πi<br />
(2.29)<br />
o, per la (2.24):<br />
cioè<br />
<br />
2πi<br />
= <br />
α<br />
<br />
α<br />
α<br />
(Er − Eα) im<br />
(qrα qαr + qαr qrα) . (2.30)<br />
(Eα − Er) |qrs| 2 = 2<br />
2π2 . (2.31)<br />
m<br />
96
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Tutti i termini della sommatoria si annullano, salvo al più due per i quali<br />
si abbia rispettivamente:<br />
Eα = Er + hν (2.32)<br />
Eα = Er − hν. (2.33)<br />
Segue che se esiste un autovalore Er deve almeno esistere uno dei due<br />
autovalori Er − hν e Er + hν. Ora a causa della forma <strong>di</strong> H esiste almeno<br />
un autovalore E0 tale che non esista l’autovalore E0 − hν. Esiste quin<strong>di</strong><br />
anche l’autovalore E1 = E0 + hν. Allora, ponendo r = 0 nella (2.31), si<br />
ricava:<br />
h ν |q01| 2 = 2<br />
2π2 , (2.34)<br />
m<br />
cioè<br />
|q01| 2 <br />
=<br />
4π2 . (2.35)<br />
mν<br />
Ponendo r = 1 nella (2.31) si trova che deve esistere anche l’autovalore<br />
E2 = E1 + hν = E0 + 2hν, e si ricava:<br />
|q12| 2 =<br />
2<br />
4π2 . (2.36)<br />
mν<br />
Me<strong>di</strong>ante l’uso ripetuto della (2.31) per induzione si prova che esiste l’autovalore<br />
E0 + nhν, essendo n un intero qualsiasi, e si trova inoltre:<br />
|qn−1,n| 2 = n<br />
. (2.37)<br />
4πmν<br />
Segue che la matrice q e, per la (2.24), anche quella della p, hanno tutti<br />
i termini nulli ad eccezione <strong>di</strong> quelli contigui agli elementi della <strong>di</strong>agonale<br />
principale. Essendo ormai note le matrici <strong>di</strong> q e, per la (refv2-3-8), <strong>di</strong> p,<br />
salvo una indeterminazione inessenziale, uguale ed opposta all’argomento<br />
dei complessi coniugati qrs e qsr, prs e psr, possimao costruire la matrice<br />
<strong>di</strong> H e verificare che la con<strong>di</strong>zione (c) è sod<strong>di</strong>sfatta e nello stesso tempo<br />
determinare E0. Per la (2.17) abbiamo:<br />
Hrs = 1 <br />
K qrα qαs +<br />
2<br />
α<br />
1 <br />
prα pαs, (2.38)<br />
2m<br />
α<br />
ovvero, per la (2.24):<br />
Hrs = <br />
<br />
1<br />
K +<br />
2<br />
m<br />
22 (Er<br />
<br />
− Eα) (Es − Eα)<br />
α<br />
97<br />
qrα qαs. (2.39)
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Tutti i termini della sommatoria sono nulli salvo al più quelli per cui α<br />
<strong>di</strong>fferisce <strong>di</strong> un’unità tanto da r che da s. Perché α possa assumere un tale<br />
valore bisogna che abbia luogo uno dei tre casi:<br />
(I) r = s + 2<br />
(II) r = s = n<br />
(III) r = s − 2.<br />
(2.40)<br />
Nel caso I la sommatoria si riduce a un termine che si ottiene ponendo<br />
α = s + 1. Si trova:<br />
<br />
1 m<br />
Hs+2,s = K +<br />
2 22 (Es+2<br />
<br />
− Es+1)(Es − Es+1) qs+2,s+1 qs+1,s<br />
<br />
1<br />
=<br />
2 K − 2π2 ν 2 <br />
m qs+2,s+1 qs+1s = 0. (2.41)<br />
Analogamente nel caso III, e quin<strong>di</strong> la matrice è <strong>di</strong>agonale. Nel caso II<br />
sono <strong>di</strong>versi da zero due termini della sommatoria che si ottengono ponendo<br />
α = r − 1 = s − 1 = n − 1 oppure α = r + 1 = s + 1 = n + 1. Si trova allora:<br />
<br />
1 m<br />
Hn = En = K +<br />
2 22 (En − En−1) 2<br />
<br />
qn,n−1 qn−1,n<br />
<br />
1 m<br />
+ K +<br />
2 22 (En − En+1) 2<br />
<br />
qn,n+1 qn+1,n. (2.42)<br />
cioè, poiché per le equazioni (2.36) e (2.37):<br />
si ricava<br />
(En − En−1) 2 = (En − En+1) 2 = h 2 ν 2<br />
qn−1,n qn,n−1 = |qn−1,n| 2 = n<br />
qn,n+1 qn+1,n = |qn,n+1| 2 =<br />
En =<br />
(2.43)<br />
4πmν<br />
(2.44)<br />
(n + 1)<br />
,<br />
4πmν<br />
(2.45)<br />
<br />
1<br />
2 K + 2π2 m ν 2<br />
<br />
n<br />
4πmν<br />
<br />
1<br />
+<br />
2 K + 2π2 m ν 2<br />
<br />
(n + 1)<br />
; (2.46)<br />
4πmν<br />
98
ed essendo<br />
si ricava:<br />
En =<br />
K<br />
8π 2 mν<br />
In particolare:<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
1<br />
2 K + 2π2 m ν = K,<br />
(2 n + 1) h = ν<br />
2<br />
(2 n + 1) h = h ν<br />
<br />
n + 1<br />
<br />
. (2.47)<br />
2<br />
E0 = 1<br />
h ν. (2.48)<br />
2<br />
2.4 Riduzione a <strong>di</strong>agonale <strong>di</strong> una matrice<br />
Sia H una matrice qualunque Hermitiana; S una matrice tale che si abbia<br />
essendo S −1 definita dalla relazione<br />
La con<strong>di</strong>zione (2.49) si può allora scrivere:<br />
<br />
Sri S −1<br />
is = δrs o <br />
dove 40<br />
i<br />
δrs =<br />
S S −1 = 1, (2.49)<br />
S −1<br />
rs = S ∗ sr. (2.50)<br />
1, r = s<br />
0, r = s.<br />
La matrice SHS −1 è la trasformata <strong>di</strong> H. Avremo<br />
−1<br />
S H S <br />
=<br />
−1<br />
H S <br />
=<br />
rs<br />
i<br />
Sri<br />
= <br />
i<br />
k<br />
i<br />
is<br />
Sri S ∗ si = δrs, (2.51)<br />
i<br />
Sri<br />
<br />
k<br />
Hik S −1<br />
ks<br />
Hik Sri S ∗ sk; (2.52)<br />
40 Nel manoscritto originale la definizione del simbolo <strong>di</strong> Kronecker è data<br />
dall’equazione (2.53).<br />
99
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
e poiché la matrice W = SHS −1 deve essere <strong>di</strong>agonale, avremo:<br />
<br />
i<br />
k<br />
Hik Sri S ∗ sk = Er δrs. (2.53)<br />
Ponendo a posto <strong>di</strong> r e s rispettivamente m e l e moltiplicando per Sln si<br />
ricava: <br />
e sommando rispetto a l:<br />
<br />
i<br />
i<br />
k<br />
k<br />
Il primo membro si può anche scrivere:<br />
<br />
Hik Smi S ∗ lk Sln = <br />
i<br />
k<br />
l<br />
= <br />
i<br />
= <br />
i<br />
k<br />
Hik Smi S ∗ lk Sln = Em Sln δml; (2.54)<br />
l<br />
Hik Smi<br />
Smi Hin,<br />
e l’equazione (2.55) <strong>di</strong>venta<br />
<br />
i<br />
Hik Smi S ∗ lk Sln = Em Smn. (2.55)<br />
<br />
Skl S ∗ nl = <br />
l<br />
i<br />
i<br />
k<br />
Hik Smi<br />
k<br />
<br />
l<br />
Hik Smi δkn<br />
S ∗ lk Sln<br />
Smi Hin = Em δmn, (2.56)<br />
cioè <br />
Smi (Hin − δin Em) = 0. (2.57)<br />
i<br />
Alla formola (2.56), e quin<strong>di</strong> alla (2.57), si giungerà rapidamente sfruttando<br />
la proprietà associativa del prodotto <strong>di</strong> matrici. Per <strong>di</strong>mostrare tale<br />
proprietà basterà provare che essendo a, b, e c tre matrici qualunque si ha<br />
Infatti,<br />
(a b) c = a b c. (2.58)<br />
[(a b] c) rs = <br />
(a b) ri<br />
cis = <br />
i<br />
= <br />
ark<br />
i<br />
k<br />
ark bki cis<br />
<br />
bki cis = <br />
ark (b c) ks<br />
k i<br />
k<br />
= [a (b c)] rs = (a b c) rs ; c.d.d.<br />
100
Dalla relazione<br />
si ricava allora<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
S H S −1 = W, (2.59)<br />
W S = S H S −1 S = S H S −1 S = S H, (2.60)<br />
da cui <strong>di</strong>scende imme<strong>di</strong>atamente l’equazione (2.56).<br />
Se la matrice è finita e comprende solo N righe e colonne, variando nella<br />
(2.57) l’in<strong>di</strong>ce n da 1 a N, si ottengono N equazioni lineari ed omogenee<br />
tra gli N elementi della riga n-esima <strong>di</strong> S e poiché gli Smn non possono<br />
essere tutti nulli, a causa della (2.51), dovrà essere nullo il determinante<br />
dei coefficienti <strong>di</strong> tali equazioni omogenee. Dovrà cioè aversi:<br />
⎛<br />
H11 − Em H12 H13 . . . H1N<br />
⎜ H21 H22 ⎜<br />
− Em H23 . . . H2N<br />
det ⎜ H31 H32 H33 ⎜<br />
− Em . . . H3N<br />
⎝ . . .<br />
HN1 HN2 HN3 . . . HNN − Em<br />
(2.61)<br />
Segue che la matrice W non può contenere in <strong>di</strong>agonale che le ra<strong>di</strong>ci della<br />
(2.61). Se le ra<strong>di</strong>ci sono <strong>di</strong>stinte si può formare la W con tutte le E<br />
in <strong>di</strong>agonale. La S si può allora costruire me<strong>di</strong>ante la (2.57). Infatti,<br />
risolvendo l’accennato sistema <strong>di</strong> equazioni lineari si determinano, a meno<br />
<strong>di</strong> un fattore costante, gli elementi della riga n <strong>di</strong> S; il fattore costante<br />
viene poi fornito dalla normalizzazione imposta dalla (2.51). Si possono<br />
così trovare tutte le righe <strong>di</strong> S, ognuna delle quali è coor<strong>di</strong>nata a una delle<br />
ra<strong>di</strong>ci della (2.61). Si <strong>di</strong>mostra allora che la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> ortogonalità fra<br />
le righe <strong>di</strong> S richiesta dalla (2.51), è automaticamente sod<strong>di</strong>sfatta purché<br />
H sia Hermitiana. Se q ra<strong>di</strong>ci coincidono si può in infiniti mo<strong>di</strong> costruire<br />
q righe <strong>di</strong> S coor<strong>di</strong>nate alle q ra<strong>di</strong>ci coincidenti. 41<br />
⎞<br />
⎟ = 0<br />
⎠<br />
41 Nel manoscritto originale, dopo questo paragrafo, l’Autore progettò <strong>di</strong> scrivere<br />
un paragrafo sui polinomi <strong>di</strong> Laguerre. Tuttavia, tale nuovo paragrafo non<br />
venne mai scritto.<br />
101
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
2.6 Quantizzazione ondulatoria <strong>di</strong> un<br />
punto attratto con forza costante<br />
verso una parete perfettamente<br />
elastica<br />
Consideriamo il movimento in una sola <strong>di</strong>rezione, normale alla superficie<br />
elastica. Se x è la <strong>di</strong>stanza dalla parete e g l’accelerazione a cui è soggetto<br />
il punto, l’energia potenziale si può scrivere:<br />
U =<br />
e l’equazione <strong>di</strong> Schrö<strong>di</strong>nger<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
m g x, x > 0<br />
∞, x < 0<br />
d 2 ψ 2m<br />
+ (E − m g x) ψ = 0, x > 0<br />
dx2 2 ψ = 0, x ≤ 0<br />
(2.62)<br />
. (2.63)<br />
Supponiamo che ψ sia una soluzione <strong>di</strong> tale equazione corrispondente all’autovalore<br />
E. Posto:<br />
x1 = (m g x − E) 3 2/(m 2 g 2 ). (2.64)<br />
La (2.63) <strong>di</strong>venta, se si considera ψ come funzione <strong>di</strong> x1:<br />
dove 42<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
d 2 ψ<br />
dx 2 1<br />
= x1 ψ<br />
ψ(x1 = α) = 0<br />
α = − E 3 2/(m 2 g 2 ).<br />
(2.65)<br />
La funzione ψ deve inoltre essere regolare e finita per α < x1; ma questa<br />
con<strong>di</strong>zione determina completamente, come vedremo, a meno <strong>di</strong> una costante<br />
<strong>di</strong> proporzionalità la ψ come funzione <strong>di</strong> x1. Se F (x1) è una tale<br />
42 La seconda equazione (2.65) corrisponde a ψ(x = 0) = 0; ovviamente, la<br />
funzione d’onda si annulla anche per x < 0 o x1 < α.<br />
102
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
funzione, la seconda parte delle con<strong>di</strong>zioni (2.65) si esprime <strong>di</strong>cendo che α<br />
è uno zero della funzione ψ. Se dunque α è uno qualunque <strong>di</strong> tali zeri, si<br />
ottengono tutti i possibili livelli energetici dalla relazione:<br />
E = − α 3 m 2 g 2 /2. (2.66)<br />
Possiamo anche calcolare il modulo <strong>di</strong> perio<strong>di</strong>cità dell’azione relativa<br />
al modello puntiforme, che in<strong>di</strong>cheremo semplicemente con S. Ciò servirà<br />
a confrontare i risultati della meccanica ondulatoria con quelli a cui con-<br />
ducono le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> Sommerfeld. Avremo<br />
S = 2<br />
E/mg<br />
0<br />
m<br />
<br />
2<br />
4<br />
(E − mgx) dx =<br />
m 3g<br />
Ovvero, eliminando E me<strong>di</strong>ante la (2.66):<br />
mentre le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> Sommerfeld darebbero:<br />
S<br />
h<br />
2<br />
m E3/2 . (2.67)<br />
= 2<br />
3π (−α)3/2 , (2.68)<br />
S/h = n, (2.69)<br />
(n intero positivo o nullo).<br />
Ve<strong>di</strong>amo ora <strong>di</strong> costruire effettivamente la funzione F (x) = y. Due<br />
soluzioni particolari della (2.65) sono (ve<strong>di</strong> paragrafo 2.32):<br />
M = 1 + 1<br />
2·3 x3 +<br />
N = x + 1<br />
3·4 x4 +<br />
1<br />
2·3·5·6 x6 +<br />
1<br />
3·4·6·7 x7 +<br />
1<br />
2·3·5·6·8·9 x9 + . . .<br />
1<br />
3·4·6·7·9·10 x10 + . . .<br />
(2.70)<br />
La soluzione generale è una combinazione <strong>di</strong> M e <strong>di</strong> N e poiché M ed N<br />
tendono all’infinito per x → ∞, dovrà essere, a meno <strong>di</strong> un fattore costante:<br />
y = M − λ N, (2.71)<br />
essendo<br />
M<br />
λ = lim . (2.72)<br />
x→∞ N<br />
Che λ sia finito lo proveremo tra poco; che poi y tenda effettivamente a<br />
zero per x → ∞, e con sufficiente rapi<strong>di</strong>tà, si <strong>di</strong>mostra nel modo seguente.<br />
Poniamo una soluzione qualunque della (2.65) sotto la forma:<br />
y = e u . (2.73)<br />
103
Avremo<br />
e al limite per x gran<strong>di</strong>ssimo,<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
u ′′ + u ′2 = x (2.74)<br />
u ′ = ± √ x. (2.75)<br />
Il segno superiore corrisponde a soluzioni infinite d’or<strong>di</strong>ne infinitamente<br />
grande, mentre il segno inferiore corrisponde a soluzioni infinitesime d’or<strong>di</strong>ne<br />
infinitamente grande. Ora si constata facilmente che lo sviluppo <strong>di</strong> u<br />
secondo le potenze <strong>di</strong>scendenti <strong>di</strong> √ x è identico, a meno <strong>di</strong> una costante<br />
ad<strong>di</strong>tiva, per tutte le y che tendono all’infinito; segue che il limite del<br />
rapporto tra due soluzioni che tendono all’infinito è una costante <strong>di</strong>versa<br />
da zero. Ma se y ha la forma (2.71) abbiamo:<br />
lim<br />
x→∞<br />
y<br />
M<br />
= lim y → ∞ = M − λN<br />
M<br />
= 0, (2.76)<br />
e y tende quin<strong>di</strong> a zero d’or<strong>di</strong>ne infinitamente grande. Per determinare λ<br />
cominciamo a porre:<br />
ϕ(0) = 1; ϕ(3) = 1<br />
; ϕ(3n) =<br />
2·3<br />
Allora avremo<br />
1<br />
. (2.77)<br />
2·3·5·6·s(3n − 1)·(3n)<br />
M = ϕ(0) + ϕ(3) x 3 + ϕ(6) x 6 + ϕ(9) x 9 . . . (2.78)<br />
Possiamo definire ϕ(x) per ogni x > −2 valendoci dell’equazione funzionale:<br />
ϕ(x + 3) =<br />
ϕ(x)<br />
(x + 2)(x + 3)<br />
(2.79)<br />
e stabilendo <strong>di</strong> calcolare ϕ(x) al limite per x gran<strong>di</strong>ssimo me<strong>di</strong>ante interpolazione<br />
lineare logaritmica fra ϕ(3n) e ϕ(3n + 3) essendo 3n < x < 3n + 3.<br />
Al limite avremo evidentemente:<br />
o più generalmente<br />
x 2/3 ϕ(x + 1)<br />
ϕ(x)<br />
lim x2α/3 ϕ(x + α)<br />
ϕ(x)<br />
104<br />
= 1 (2.80)<br />
= 1, (2.81)
da cui si deduce facilmente:<br />
lim<br />
x→∞<br />
(α > −2).<br />
In particolare,<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
ϕ(0) + ϕ(3)x 3 + ϕ(6)x 6 + ϕ(9)x 9 + . . .<br />
ϕ(α)x α + ϕ(α + 3)x α+3 + ϕ(α + 6)x α+6 + . . .<br />
lim<br />
x→∞<br />
= lim<br />
x→∞<br />
ϕ(0) + ϕ(3)x 3 + ϕ(6)x 6 + ϕ(9)x 9 + . . .<br />
ϕ(1)x + ϕ(4)x4 + ϕ(7)x7 + ϕ(10)x10 + . . .<br />
M<br />
ϕ(1) N<br />
= 1 (2.82)<br />
= 1, (2.83)<br />
da cui λ = ϕ(1). Sotto forma <strong>di</strong> prodotto infinito [ve<strong>di</strong> la voce (3) nel<br />
paragrafo 3.7]:<br />
da cui si ricava<br />
Abbiamo dunque<br />
λ 3 = [ϕ(1)] 3 = 1<br />
2 · 42 ·7<br />
5 3 · 72 ·10<br />
8 3 · 102 ·13<br />
11 3 · 132 ·16<br />
14 3 ·s, (2.84)<br />
λ = ϕ(1) = 3√ 3 Γ(2/3)<br />
Γ(1/3) =<br />
3√ 3<br />
2<br />
(2/3)!<br />
(1/3)!<br />
= 0.729. (2.85)<br />
F (x) = ϕ(0) − ϕ(1) x + ϕ(3) x 3 − ϕ(4) x 4 + ϕ(6) x 6 − ϕ(7) x 7 + . . .<br />
(2.86)<br />
Per x > 0 si ha sempre F (x) > 0; F ′ (x) < 0; F ′′ (x) > 0. Per x < 0 F si<br />
annulla infinite volte. Badando all’equazione <strong>di</strong>fferenziale <strong>di</strong> F , si <strong>di</strong>mostra<br />
ovviamente che se αn e αn+1 sono due zeri consecutivi con αn > αn+1 vale<br />
la relazione<br />
Segue:<br />
αn − αn+1 = π √ ξ , essendo αn+1 < − ξ < αn. (2.87)<br />
Sn+1 − Sn<br />
h<br />
=<br />
<br />
Per gran<strong>di</strong> numeri quantici si avrà:<br />
ξ1<br />
, essendo αn+1 < − ξ1 < αn. (2.88)<br />
ξ<br />
(Sn+1 − Sn) /h = 1, (2.89)<br />
105
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
in accordo con le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> Sommerfeld. Il primo zero <strong>di</strong> F si ha per 43<br />
a cui corrisponde: 44<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
S1 0.76 h<br />
λ = 3√ <br />
2<br />
Γ<br />
3<br />
3 =<br />
1<br />
Γ<br />
3<br />
− α1 2.33 (2.90)<br />
3√ 3<br />
2<br />
2<br />
3 !<br />
1<br />
3 !<br />
= 0.729<br />
2.7 Hamiltoniana relativista per il<br />
movimento <strong>di</strong> un elettrone<br />
(2.91)<br />
Sia ϕ il potenziale scalare e Vx, Vy, Vz le componenti del potenziale vettore.<br />
Posto<br />
C0 = ϕ, C1 = − i Vx, C2 = − i Vy, C3 = − i Vz,<br />
x0 = i c t, x1 = x, x2 = y, x3 = z,<br />
ds 2 = <br />
i dx2 i ,<br />
e consideriamo nello spazio-tempo l’azione 45 :<br />
cP<br />
i =<br />
<br />
mc 2 <br />
ds + e<br />
Ci dxi. (2.92)<br />
Avremo:<br />
<br />
cP<br />
δ<br />
i<br />
=<br />
<br />
mc 2 ˙xi dδxi<br />
<br />
+ e Ci dδxi<br />
<br />
+ e<br />
∂Ci<br />
δxj dxi,<br />
∂xj<br />
(2.93)<br />
43 Un calcolo più preciso fornisce −α1 2.33811.<br />
44 In realtà il calcolo accurato dà un valore <strong>di</strong> S1 7.49 h.<br />
45 In questo paragrafo, l’Autore ha adottato la convenzione <strong>di</strong> somma sugli in<strong>di</strong>ci<br />
ripetuti.<br />
106
cioè:<br />
δ<br />
<br />
cP<br />
i<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
= mc 2 b ˙xi + e Ci δxi<br />
a −<br />
<br />
mc 2 ¨xi δxi ds<br />
<br />
∂Ci<br />
∂Ci<br />
− e δxi ˙xj ds + e δxj ˙xi ds. (2.94)<br />
∂xj<br />
∂xj<br />
La con<strong>di</strong>zione perché P sia stazionaria è:<br />
mc 2 ¨xi<br />
<br />
∂Cj<br />
= e<br />
∂xi<br />
− ∂Ci<br />
<br />
˙xj,<br />
∂xj<br />
(2.95)<br />
che si scinde nelle quattro equazioni:<br />
d mc<br />
dt<br />
2<br />
<br />
1 − v2 /c2 d m dx/dt<br />
<br />
dt 1 − v2 /c2 d m dy/dt<br />
<br />
dt 1 − v2 /c2 d m dz/dt<br />
<br />
dt 1 − v2 /c2 = − e<br />
c<br />
− e<br />
= − e ∂ϕ<br />
∂x<br />
− e dz<br />
c dt<br />
= − e ∂ϕ<br />
∂y<br />
∂Cx<br />
∂t<br />
<br />
∂ϕ ∂x<br />
∂x ∂t<br />
∂x<br />
∂t<br />
+ ∂Cy<br />
∂t<br />
+ ∂ϕ<br />
∂y<br />
e ∂Cx<br />
−<br />
c ∂t<br />
∂Cx<br />
∂z<br />
e ∂Cy<br />
−<br />
c ∂t<br />
− e<br />
<br />
dx ∂Cy<br />
c dt ∂x<br />
= − e ∂ϕ<br />
∂z<br />
− e dy<br />
c dt<br />
e ∂Cz<br />
−<br />
c ∂t<br />
∂Cz<br />
∂y<br />
∂y<br />
∂t<br />
∂y<br />
∂t<br />
e dy<br />
+<br />
c dt<br />
<br />
∂Cz<br />
−<br />
∂x<br />
e dz<br />
+<br />
c dt<br />
<br />
∂Cx<br />
−<br />
∂y<br />
+ ∂ϕ<br />
∂z<br />
+ ∂Cz<br />
∂t<br />
∂Cy<br />
∂x<br />
∂Cz<br />
∂y<br />
<br />
∂z<br />
∂t<br />
<br />
e dx ∂Cx<br />
+<br />
c dt ∂z<br />
<br />
∂Cy<br />
− ,<br />
∂z<br />
<br />
∂z<br />
∂t<br />
<br />
∂Cx<br />
−<br />
∂y<br />
<br />
∂Cy<br />
−<br />
∂z<br />
<br />
∂Cz<br />
−<br />
∂x<br />
che sono appunto le equazioni del movimento dell’elettrone. Data una superficie<br />
qualunque (che può anche ridursi a un punto), l’azione P calcolata<br />
107
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
su una linea che termina in un punto determinato e parte da un punto<br />
della superficie tale che la δP al limite inferiore sia stazionaria, è una funzione<br />
del posto. Spostando il limite superiore <strong>di</strong> un vettore <strong>di</strong> un vettore<br />
infinitesimo (dx0, dx1, dx2, dx3), la variazione <strong>di</strong> P essendo stazionaria<br />
per limiti fissi e stazionaria al limite inferiore, si riduce alla variazione al<br />
limite superiore; cioè, per la (2.94)) si riduce a:<br />
d (cP/i) = mc 2 <br />
˙xi + e Ci dxi, (2.96)<br />
cioè:<br />
dP = −<br />
+<br />
+<br />
mc 2<br />
<br />
dt − e ϕ dt +<br />
1 − v2 /c2 <br />
<br />
m<br />
1 − v 2 /c 2<br />
m<br />
1 − v 2 /c 2<br />
dy<br />
dt<br />
dz<br />
dt<br />
e<br />
−<br />
c Cy<br />
<br />
dy<br />
− e<br />
c Cz<br />
<br />
m<br />
1 − v 2 /c 2<br />
dx<br />
dt<br />
e<br />
−<br />
c Cx<br />
<br />
dx<br />
dz. (2.97)<br />
Definiamo come momenti coniugati a t, x, y, z le espressioni<br />
pt = −<br />
px =<br />
py =<br />
pz =<br />
Dalla (2.97) segue allora che<br />
∂P<br />
∂t<br />
= − W = pt,<br />
mc 2<br />
1 − v 2 /c 2<br />
m dx<br />
<br />
1 − v2 /c2 dt<br />
m dy<br />
<br />
1 − v2 /c2 dt<br />
m dz<br />
<br />
1 − v2 /c2 dt<br />
∂P<br />
∂x<br />
= px,<br />
∂P<br />
∂y<br />
− e ϕ = − W<br />
+ e<br />
c Cx<br />
+ e<br />
c Cy<br />
+ e<br />
c Cz.<br />
= py,<br />
I quattro momenti (2.98) sono legati dalla relazione:<br />
−<br />
W<br />
c<br />
− e<br />
c ϕ<br />
2<br />
+<br />
<br />
px − e<br />
c Cx<br />
2 108<br />
(2.98)<br />
∂P<br />
∂z = pz. (2.99)
+<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
<br />
py − e<br />
c Cy<br />
2 <br />
+ pz − e<br />
c Cz<br />
2 + m 2 c 2 = 0. (2.100)<br />
La (2.100) può considerarsi, a meno del fattore 1/2m, come la Hamiltoniana<br />
del sistema. Infatti, detto τ il tempo proprio, si ha, se M è il primo<br />
membro della (2.100) <strong>di</strong>viso per 1/2m,<br />
∂M<br />
∂pt<br />
∂M<br />
∂px<br />
∂M<br />
∂py<br />
∂M<br />
∂t<br />
∂M<br />
∂x<br />
= − ∂M<br />
∂W =<br />
=<br />
= ˙y,<br />
=<br />
= e<br />
c<br />
1 dx<br />
<br />
1 − v2 /c2 dt<br />
∂M<br />
∂pz<br />
e ∂ϕ<br />
<br />
1 − v2 /c2 ∂t<br />
− e<br />
c<br />
1<br />
1 − v 2 /c 2<br />
= dx<br />
dτ<br />
= dt<br />
dτ = ˙t (2.101)<br />
= ˙x (2.102)<br />
= ˙z (2.103)<br />
− e<br />
c<br />
1 dCy<br />
<br />
1 − v2 /c2 dt<br />
1<br />
1 − v 2 /c 2<br />
− ∂ϕ dx<br />
∂x dt<br />
= e dϕ<br />
dτ<br />
=<br />
=<br />
+ d<br />
dτ<br />
− ∂ϕ<br />
∂y<br />
e ∂ϕ<br />
<br />
1 − v2 /c2 ∂x<br />
− e<br />
c<br />
1<br />
1 − v 2 /c 2<br />
dϕ<br />
dt<br />
1 dCx dx<br />
<br />
1 − v2 /c2 dt dt<br />
dy e 1 dCz dz<br />
− <br />
dt c 1 − v2 /c2 dt dt<br />
<br />
1 dCx dx dCy dy dCz<br />
− + +<br />
c dt dt dt dt dt<br />
<br />
dy ∂ϕ dz<br />
−<br />
dt ∂z dt<br />
mc 2<br />
1 − v 2 /c 2<br />
∂Cx<br />
∂x<br />
<br />
dz<br />
dt<br />
= dW<br />
dτ = ˙ W = − ˙pt (2.104)<br />
dx<br />
dt<br />
+ ∂Cy<br />
∂x<br />
dy<br />
dt<br />
+ ∂Cz<br />
∂x<br />
<br />
dz<br />
dt<br />
e ∂ϕ e 1 ∂Cx<br />
+ <br />
1 − v2 /c2 ∂x c 1 − v2 /c2 ∂t<br />
− e<br />
<br />
1 dy ∂Cy ∂Cx<br />
−<br />
c 1 − v2 /c2 dt ∂x ∂y<br />
+ e<br />
<br />
1 dz ∂Cx ∂Cz<br />
− −<br />
c 1 − v2 /c2 dt ∂z ∂x<br />
e 1 dCx<br />
<br />
c 1 − v2 /c2 dt<br />
109
= −<br />
= − dpx<br />
dτ<br />
e<br />
1 − v 2 /c 2<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
<br />
d<br />
dt<br />
m<br />
1 − v 2 /c 2<br />
dx<br />
dt<br />
e<br />
+<br />
c Cx<br />
<br />
= − ˙px, (2.105)<br />
e analogamente per y e z.<br />
In tutto ciò che precede si è attribuito a e il suo valore algebrico; specificando<br />
che si tratta <strong>di</strong> elettroni negativi e in<strong>di</strong>cando ora con e il valore<br />
assoluto della carica, le equazioni (2.98) e (2.100) <strong>di</strong>ventano<br />
pt = −<br />
px =<br />
py =<br />
pz =<br />
mc 2<br />
1 − v 2 /c 2<br />
m dx<br />
<br />
1 − v2 /c2 dt<br />
m dy<br />
<br />
1 − v2 /c2 dt<br />
m dz<br />
<br />
1 − v2 /c2 dt<br />
<br />
W e<br />
− +<br />
c c ϕ<br />
2 <br />
+ px + e<br />
<br />
+ pz + e<br />
c Cz<br />
2 + e ϕ = − W<br />
− e<br />
c Cx<br />
− e<br />
c Cy<br />
− e<br />
c Cz;<br />
c Cx<br />
2<br />
+<br />
<br />
py + e<br />
c Cy<br />
2 (2.106)<br />
+ m 2 c 2 = 0. (2.107)<br />
110
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
2.8 Funzione <strong>di</strong> Fermi 7<br />
x ϕ(x) −ϕ ′ (x)<br />
0 1 1.58<br />
0.05 0.936 1.15<br />
0.1 0.882 0.995<br />
0.2 0.793 0.79<br />
0.3 0.721 0.66<br />
0.4 0.660 0.56<br />
0.5 0.607 0.49<br />
0.6 0.561 0.43<br />
0.7 0.521 0.38<br />
0.8 0.486 0.34<br />
0.9 0.453 0.31<br />
1 0.424 0.29<br />
x ϕ(x)<br />
1.1 0.398<br />
1.2 0.374<br />
1.3 0.353<br />
1.4 0.333<br />
1.5 0.315<br />
2 0.243<br />
2.5 0.193<br />
3 0.157<br />
3.5 0.129<br />
4 0.108<br />
5 0.079<br />
6 0.059<br />
7 0.046<br />
8 0.036<br />
x ϕ(x)<br />
9 0.029<br />
10 0.024<br />
12 0.017<br />
14 0.012<br />
16 0.009<br />
18 0.007<br />
20 0.0056<br />
25 0.0034<br />
30 0.0022<br />
40 0.0011<br />
50 0.0006<br />
60 0.0004<br />
80 0.0002<br />
100 0.0001<br />
ϕ ′′ = ϕ3/2<br />
√ x , ϕ(0) = 1, ϕ(∞) = 0. (2.108)<br />
7 L’argomento <strong>di</strong> questo paragrafo è più comunemente noto come la funzione<br />
<strong>di</strong> Thomas-Fermi. L’Autore qui si riferisce a E. Fermi, Z. Phys. 48 (1928) 73.<br />
Come <strong>Majorana</strong> ottenga i valori numerici della funzione <strong>di</strong> Thomas-Fermi riportati<br />
nella tabella che segue non è chiaro; tuttavia essi risultano molto precisi.<br />
111
Posto: 8<br />
si trova:<br />
du<br />
dt =<br />
Se invece si pone 9<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
t = 1 − 1 <br />
x3 ϕ (2.109)<br />
12<br />
<br />
ϕ = exp<br />
<br />
u(t) dt<br />
16<br />
3(1 − t) +<br />
<br />
<br />
1<br />
8 +<br />
u<br />
3(1 − t)<br />
<br />
7<br />
+ − 4t u<br />
3 2 − 2<br />
t(1 − t) u3<br />
3<br />
(2.110)<br />
(2.111)<br />
u(0) = ∞<br />
t <br />
(2.112)<br />
ϕ = exp u(t) dt . (2.113)<br />
1<br />
t = 144 −1/6 x 1/2 ϕ 1/6<br />
(2.114)<br />
8L’Autore cerca una soluzione parametrica dell’equazione <strong>di</strong> Thomas-Fermi<br />
nella forma<br />
x = x(t), ϕ = ϕ(t),<br />
dove t è un parametro. A questo punto, esegue il cambio <strong>di</strong> variabili rappresentato<br />
dalle equazioni (2.109) e (2.110). Schematicamente, il metodo è allora<br />
il seguente: Si considerino x e ϕ come funzioni <strong>di</strong> t, date rispettivamente dalle<br />
equazioni (2.109) e (2.110) (in maniera implicita). Successivamente, si calcolino<br />
da esse le loro derivate prime e seconde rispetto a t, e si sostituiscano i risultati<br />
nell’equazione <strong>di</strong> Thomas-Fermi (2.108); si noti che questa equazione contiene<br />
derivate <strong>di</strong> ϕ rispetto a x. Il risultato è un’equazione <strong>di</strong>fferenziale del primo-or<strong>di</strong>ne<br />
(del tipo <strong>di</strong> Abel) per la funzione incognita u(t), cioè la (2.111). Le con<strong>di</strong>zioni ai<br />
limiti (2.108) sono infine prese in considerazione nelle equazioni (2.112) e (2.113).<br />
9Nel seguito <strong>di</strong> questo paragrafo vengono considerate solo le sostituzioni in<br />
(2.114) e (2.115). Si noti che il metodo usato qui dall’Autore è alquanto <strong>di</strong>fferente<br />
da quello precedente, sebbene sia molto simile. L’Autore considera la descrizione<br />
parametrica <strong>di</strong> x e ϕ:<br />
x = x(t), ϕ = ϕ(x(t))<br />
(si noti che ora ϕ <strong>di</strong>pende da t solo tramite x). Quin<strong>di</strong> il problema viene riformulato<br />
in termini <strong>di</strong> t e u(t) usando le equazioni (2.114) e (2.115). La procedura<br />
adottata è la seguente: si calcola la derivata rispetto a t dell’equazione (2.115)<br />
[considerando ϕ = ϕ(x(t))] e si sostituisce in essa l’equazione <strong>di</strong> Thomas-Fermi<br />
112
vale la seguente relazione:<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
u = − 3 16/3 ϕ −4/3 ϕ ′<br />
(2.115)<br />
du<br />
dt = 8 tu2 − 1<br />
1 − t2 . (2.116)<br />
u<br />
Per x = 0, si ha: t = 0, u(0) = − 3 16/3 ϕ ′ 0.<br />
Per x = ∞, dallo sviluppo asintotico <strong>di</strong> ϕ si trova u = 1, t = 1. Il<br />
tratto della u corrispondente alla ϕ è limitato fra i punti <strong>di</strong> ascissa t = 0 e<br />
t = 1. Questo tratto può essere ottenuto da uno sviluppo in serie sempre<br />
convergente a partire dall’estremo <strong>di</strong> destra. Precisamente posto t1 = 1−t,<br />
si ha: 10<br />
u = a0 + a1 t1 + a2 t 2 1 + a3 t 3 1 + . . . (2.117)<br />
(2.108). Allora dall’equazione (2.114) si ottiene x (e la sua derivata rispetto t), la<br />
quale viene sostituita nella relazione appena ottenuta. Il risultato è un’equazione<br />
<strong>di</strong>fferenziale del primo-or<strong>di</strong>ne per u(t) (con le con<strong>di</strong>zioni ai limiti riportate nel<br />
testo), che viene risolta me<strong>di</strong>ante uno sviluppo in serie (ve<strong>di</strong> sotto). Una volta<br />
ottenuta u(t), l’Autore non deduce l’espressione per la funzione <strong>di</strong> Thomas-Fermi<br />
ϕ dalle equazioni (2.114) e (2.115), ma <strong>di</strong> nuovo cerca una soluzione parametrica<br />
del tipo<br />
ponendo<br />
x = x(t), ϕ = ϕ(t),<br />
<br />
ϕ(t) = exp<br />
<br />
w(t)dt ,<br />
in cui w(t) è una funzione che può essere espressa in termini <strong>di</strong> u(t) sostituendo<br />
l’espressione <strong>di</strong> sopra per ϕ(t) nelle equazioni (2.114) e (2.115). Il risultato finale<br />
è espresso dalle equazioni (2.120) e (2.121), dove si tiene conto anche delle<br />
con<strong>di</strong>zioni ai limiti.<br />
10 Nel manoscritto originale gli esponenti della variabile t1 vengono <strong>di</strong>menticati.<br />
113
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
in cui a0 = 1, a1 = 9 − √ 73, e gli altri coefficienti si calcolano con la<br />
relazione ricorrente lineare nell’ultimo: 11<br />
m<br />
n=0<br />
1<br />
[(m − n + 1) am−n+1 (δn − (an − 2 an−1 + an−2))<br />
2<br />
+ (n + 1) an+1 (δm−n − (am−n − 2 am−n−1 + am−n−2))<br />
+16 am−n an − 8 (am−n an−1 + an am−n − 1)] = 0. (2.118)<br />
I primi coefficienti valgono: 12<br />
a0 1.000000, a1 0.455996 (3),<br />
a2 0.304455, a3 0.222180 [796],<br />
a4 0.168212 (4), a5 0.129804,<br />
a6 0.101300, a7 0.0796351,<br />
a8 0.0629230, a9 0.0499053,<br />
a10 0.0396962.<br />
Se nello sviluppo (2.117) si pone t1 = 1 si ricava per la (2.115):<br />
− ϕ ′ 0 =<br />
1/3 3<br />
(1 + a1 + a2 + . . .) . (2.119)<br />
16<br />
La serie <strong>di</strong> destra è a termini positivi e a convergenza geometrica; il rapporto<br />
<strong>di</strong> un termine e il precedente tende a circa 4/5.<br />
11 L’Autore ha risolto per serie la (2.116); sostituendo (2.117) nella (2.116), si<br />
ottiene una relazione iterativa per i coefficienti a1, a2, a3, . . . (il primo coefficiente<br />
a0 è dato dalla con<strong>di</strong>zione al limite per x = 0). Usando questa procedura, si<br />
ottiene la relazione iterativa riportata nella (2.118). Stranamente, questa risulta<br />
<strong>di</strong>versa da quella riportata nel manoscritto originale, ossia:<br />
a1(an − 2an−1 + an−2) + 2a2(an−1 − 2an−2 + an−3)<br />
+3a3(an−2 − 2an−3 + an−4) + . . . + nan(a1 − 2a0)<br />
+8(a0an + a1an−1 + . . . + ana0)<br />
−8(a0an−1 + a1an−2 + . . . + an−1a0) = 0.<br />
Tuttavia, la restante <strong>di</strong>scussione e i risultati presenti nel manoscritto sono tutti<br />
corretti; ciò potrebbe in<strong>di</strong>care che l’eventuale errore <strong>di</strong> scrittura sia stato causato<br />
semplicemente da una svista. Si noti pure che, come affermato dall’autore, le<br />
equazioni che determinano i coefficienti a2, a3, . . . sono lineari; mentre l’equazione<br />
per a1 è quadratica, e si deve scegliere la soluzione più piccola, cioè, a1 = 9− √ 73.<br />
12 Nel manoscritto originale vengono riportati solo i primi cinque coefficienti.<br />
114
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Dalla u si passa all’equazione parametrica della ϕ con sole quadrature.<br />
Si trova:<br />
t<br />
6ut<br />
ϕ = exp −<br />
0 1 − t2u dt<br />
<br />
(2.120)<br />
x = t 2<br />
1/3 144<br />
. (2.121)<br />
ϕ<br />
Gli altri coefficienti dello sviluppo sono: 13<br />
a11 0.0396962, a12 0.0252838,<br />
a13 0.0202322, a14 0.0162136,<br />
a15 0.0130101, a16 0.0104518,<br />
a17 0.00840558, a18 0.00676660,<br />
a19 0.00545216, a20 0.00439678.<br />
2.9 Il potenziale infratomico senza<br />
statistica<br />
A una soluzione <strong>di</strong> prima approssimazione del problema della <strong>di</strong>stribuzione<br />
<strong>degli</strong> elettroni negli atomi pesanti, si può giungere nel modo seguente: Si<br />
prescinda dalle inversioni del sistema perio<strong>di</strong>co e si supponga che tutte le<br />
orbite siano circolari; allora si avranno per il principio <strong>di</strong> Pauli 2 elettroni<br />
in orbita circolare <strong>di</strong> quanto 1, 8 elettroni in orbita <strong>di</strong> quanto 2 . . . 2n 2<br />
elettroni in orbita <strong>di</strong> quanto n. Se Z è il numero atomico sarà:<br />
Z =<br />
n<br />
2n 2<br />
e limitandoci al caso limite <strong>di</strong> Z gran<strong>di</strong>ssimo,<br />
1<br />
(2.122)<br />
Z = 2<br />
3 n3 . (2.123)<br />
13 Nel manoscritto originali mancano i valori numerici <strong>di</strong> tutti questi coefficienti.<br />
115
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Il p-esimo elettrone si troverà in un’orbita <strong>di</strong> quanto<br />
Q = 3 3p/2; (2.124)<br />
e poiché su esso agisce la carica efficace Z − p la sua <strong>di</strong>stanza dal nucleo<br />
sarà:<br />
r = 2 (3p/2) 2/3<br />
m e2 . (2.125)<br />
(Z − p)<br />
Ovvero se si pone:<br />
essendo 14<br />
e come è noto:<br />
e inoltre<br />
si ricava:<br />
Infatti,<br />
Se si pone 15<br />
e quin<strong>di</strong><br />
x1 = r<br />
µ1<br />
= 1 r<br />
2 µ<br />
µ1 = 2 (3/2) 2/3<br />
m e 2 Z 1/3<br />
µ =<br />
<br />
π<br />
2/3 2<br />
<br />
6.93×10−9 Z −1/3<br />
x<br />
, (2.126)<br />
1.480<br />
(2.127)<br />
(3π)2/3 2<br />
2 7/3 m e 2 Z 1/3 4.7×10−9 Z −1/3 , (2.128)<br />
V1 = Ze<br />
r<br />
ϕ1, (2.129)<br />
x1 = (1 − ϕ1 + xϕ ′ 1) 2/3<br />
. (2.130)<br />
Z − p<br />
Z<br />
ϕ1 − xϕ ′ 1<br />
= ϕ1 − x ϕ ′ 1. (2.131)<br />
t = ϕ1 − x ϕ ′ 1<br />
x1 =<br />
(2.132)<br />
(1 − t)2/3<br />
, (2.133)<br />
t<br />
14 Il valore numerico riportato nel manoscritto originale è leggermente <strong>di</strong>fferente:<br />
6.96×10 −9 . Come già detto, qui vengono riscritte tutte le equazioni in termini<br />
della costante ridotta <strong>di</strong> Planck , invece <strong>di</strong> usare h.<br />
15 Qui l’Autore ha applicato lo stesso metodo usato nella sezione precedente<br />
(un cambio <strong>di</strong> variabile) per trovare la funzione ϕ1 (una variante <strong>di</strong> quella <strong>di</strong><br />
Thomas-Fermi).<br />
116
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
si avrà, tenuto conto che ϕ1(∞) = 0, 16<br />
ϕ1 = − x1<br />
x1<br />
ed eseguendo l’integrazione:<br />
ϕ1 = 9<br />
<br />
1 − (1 − t)<br />
4t<br />
2/3<br />
− 3<br />
2<br />
che insieme con l’altra:<br />
x = 2<br />
∞<br />
t<br />
dx (2.134)<br />
x2 t<br />
+ , (2.135)<br />
4<br />
2/3 2/3<br />
2 (1 − t)<br />
, (2.136)<br />
π t<br />
fornisce l’equazione parametrica della ϕ1 nelle unità introdotte da Fermi.<br />
È interessante il confronto con la ϕ <strong>di</strong> Fermi (ve<strong>di</strong> tabella). 17<br />
x ϕ ϕ1<br />
0 1 1<br />
0.1 0.883 0.883<br />
0.2 0.793 0.793<br />
0.3 0.722 0.721<br />
0.4 0.660 0.660<br />
0.5 0.607 0.608<br />
0.6 0.562 0.564<br />
0.7 0.521 0.525<br />
0.8 0.486 0.491<br />
0.9 0.453 0.462<br />
1 0.424 0.435<br />
2 0.243 0.276<br />
Si deduce da tale confronto che il nostro metodo approssimativo dà per la<br />
densità <strong>degli</strong> elettroni in prossimità del nucleo un valore <strong>di</strong> circa un sesto<br />
16 Infatti si noti che<br />
− t ϕ1<br />
= −<br />
x2 x2 + ϕ′ 1<br />
x<br />
d ϕ1<br />
=<br />
dx x .<br />
17 Nel manoscritto originale mancano i valori numerici corrispondenti a x =<br />
0.2, 0.4, 0.5, 0.7, 0.8, 0.9. Si noti che alcuni valori numerici per ϕ sono leggermente<br />
<strong>di</strong>fferenti da quelli riportati nella tabella del paragrafo precedente.<br />
117
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
minore del vero e per il potenziale delle sole cariche negative in vicinanza<br />
del nucleo un valore minore del vero per circa il 4%. Ancora il potenziale<br />
che abbiamo determinato in via approssimativa è presso che esattamente<br />
utilizzabile per le serie K e L e con lieve errore anche con la serie M.<br />
Esso dà invece in<strong>di</strong>cazioni errate per le regioni più esterne dell’atomo. La<br />
causa è duplice: si sono trascurate le inversioni del sistema perio<strong>di</strong>co e si<br />
sono sostituite con orbite circolari le orbite allungate che nel caso <strong>di</strong> campi<br />
fortemente non coulombiani, quali si hanno nelle zone meno profonde, sono,<br />
a parità <strong>di</strong> quanti totali, essere più interne <strong>di</strong> quelle circolari.<br />
Sviluppo della ϕ e della ϕ1:<br />
ϕ = 1 − 1.58 x + 4<br />
3 x3/2 + . . . , (2.137)<br />
ϕ1 = 1 − 1.52 x + 1.11 x 3/2 + . . . . (2.138)<br />
2.10 Applicazione del potenziale <strong>di</strong> Fermi<br />
In un atomo pesante, se si assume come unità <strong>di</strong> carica quella del nucleo e<br />
come unità <strong>di</strong> 1/µ essendo al solito<br />
µ =<br />
il potenziale alla <strong>di</strong>stanza x vale:<br />
(3π)2/3 2<br />
2 7/3 m e 2 Z 1/3 = 4.7×10−9 Z −1/3 , (2.139)<br />
V = ϕ<br />
x<br />
(2.140)<br />
e il campo:<br />
ϕ − xϕ′<br />
E =<br />
x2 . (2.141)<br />
Ciò significa che oltre la <strong>di</strong>stanza x esiste una carica negativa ϕ − xϕ ′ .<br />
Ve<strong>di</strong>amo ora come si possa calcolare statisticamente l’energia potenziale<br />
cinetica dell’atomo. Cominciamo prima a stabilire una relazione fra<br />
la tendenza iniziale della ϕ e l’energia totale; ciò servirà <strong>di</strong> verifica al calcolo<br />
118
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
<strong>di</strong>retto dell’energia potenziale cinetica. Dall’espressione <strong>di</strong> µ, si ricava che<br />
l’energia dell’atomo è proporzionale alla potenza 7/3 del numero atomico:<br />
ɛ = K Z 7/3 . (2.142)<br />
Se dal numero atomico Z, passiamo al numero α = log Z il <strong>di</strong>fferenziale <strong>di</strong><br />
energia sarà:<br />
dɛ = 7<br />
ɛ dα. (2.143)<br />
Possiamo immaginare <strong>di</strong> compiere tale passaggio aggiungendo al nucleo<br />
una carica positiva Ze dα e aumentando il numero <strong>degli</strong> elettroni <strong>di</strong> Z dα.<br />
Nelle nostre unità perché Ze = 1 basterà supporre <strong>di</strong> portare nel nucleo una<br />
carica dα, e <strong>di</strong> aggiungere all’esterno tanti elettroni da formare un’uguale<br />
carica negativa. Se si suppone come è verosimile che i numeri quantici <strong>degli</strong><br />
elettroni preesistenti non vengano alterati 18 (non basta a ciò il principio<br />
delle a<strong>di</strong>abatiche) e si bada che la variazione dell’energia per introduzione<br />
<strong>di</strong> nuovi elettroni nella regione più esterna è infinitesima del secondo or<strong>di</strong>ne,<br />
la conservazione <strong>di</strong> energia si scriverà:<br />
3<br />
dɛ = V ′<br />
0 dα, (2.144)<br />
in cui V ′<br />
0 è il potenziale del nucleo dovuto alle sole cariche elettroniche.<br />
Ora la densità lineare delle cariche negative alla <strong>di</strong>stanza x è xϕ ′′ e quin<strong>di</strong>:<br />
V ′<br />
0 =<br />
∞<br />
Dalle equazioni (2.143), (2.144), e (2.145) si deduce:<br />
0<br />
1<br />
x x ϕ′′ dx = ϕ ′ 0. (2.145)<br />
ɛ = 3<br />
7 ϕ′ 0. (2.146)<br />
Il calcolo dell’energia potenziale è imme<strong>di</strong>ato; supposto <strong>di</strong> portare gli<br />
elettroni all’infinito con flusso costante da ogni punto e proporzionale alla<br />
densità iniziale, il potenziale alla <strong>di</strong>stanza x varierà linearmente dal valore<br />
ϕ/x al valore 1/x. L’energia potenziale è quin<strong>di</strong>:<br />
U = −<br />
∞<br />
0<br />
1 + ϕ<br />
2x xϕ′′ dx = ϕ ′ 0 + 1<br />
2<br />
∞<br />
0<br />
ϕ ′2 dx. (2.147)<br />
18∗ Anche se questa ipotesi non fosse esatta, le conclusioni che abbiamo dedotto<br />
da essa sarebbero ancora valide perché, in ogni caso, le variazioni <strong>di</strong> energia<br />
sarebbero del secondo or<strong>di</strong>ne.<br />
119
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Se invece vogliamo considerare la somma dell’energia potenziale dei singoli<br />
elettroni avremo:<br />
∞<br />
ϕ<br />
U1 = −<br />
0 x xϕ′′ dx = ϕ ′ ∞<br />
0 + ϕ<br />
0<br />
′2 dx. (2.148)<br />
Meno semplice è il calcolo dell’energia cinetica; esso si fonda sul fatto<br />
che benché in un gas perfetto non si possa parlare <strong>di</strong> pressioni si può<br />
tuttavia considerare una fittizia omografia <strong>degli</strong> sforzi formalmente identica<br />
a quella dei flui<strong>di</strong> or<strong>di</strong>nari. Poiché tale omografia deve avere un asse <strong>di</strong><br />
simmetria secondo la <strong>di</strong>rezione ra<strong>di</strong>ale dovremo limitarci a considerare una<br />
pressione ra<strong>di</strong>ale p ′ ed una pressione trasversale p ′′ . Le equazioni della<br />
statica si riducono allora all’espressione:<br />
4π<br />
<br />
x 2 dp ′<br />
dx + 2x p ′ − p ′′<br />
= − ϕϕ′′<br />
x + ϕ′ ϕ ′′ . (2.149)<br />
In<strong>di</strong>cando con t ′ l’energia cinetica dovuta alla velocità ra<strong>di</strong>ale e con t ′′<br />
quella dovuta alla velocità trasversa, valgono le relazioni:<br />
p ′ = 2T ′<br />
(2.150)<br />
p ′′ = T ′′ . (2.151)<br />
Allora la (2.149), moltiplicandone i due membri per x/2, dà:<br />
4π<br />
<br />
x 3 dt ′<br />
dx + 2x2 t ′ − x 2 t ′′<br />
<br />
= 1<br />
2 (− ϕϕ′′ + x ϕ ′ ϕ ′′ ); (2.152)<br />
moltiplicando per dx e integrando tra 0 e ∞, si ricava l’espressione dell’energia<br />
cinetica:<br />
T =<br />
∞<br />
0<br />
4π t ′ + t ′′ dx = − 1<br />
2 ϕ′ 0 − 1<br />
∞<br />
ϕ<br />
4 0<br />
′2 dx. (2.153)<br />
Dalle equazioni (2.147) e (2.153) si deduce:<br />
T<br />
U<br />
ɛ = T + U = 1<br />
2 ϕ′ 0 + 1<br />
∞<br />
4 0<br />
ϕ ′2 dx (2.154)<br />
1<br />
= − . (2.155)<br />
2<br />
120
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Confrontando la (2.146) con la (2.154) si deduce: 19<br />
∞<br />
0<br />
ϕ ′2 dx = − 2<br />
7 ϕ′ 0. (2.156)<br />
Le equazioni (2.147), (2.148), e (2.153) assumono quin<strong>di</strong> la forma semplicissima:<br />
U = 6<br />
7 ϕ′ 0<br />
U1 = 5<br />
7 ϕ′ 0<br />
T = − 3<br />
T<br />
U<br />
T<br />
U1<br />
= − 1<br />
2<br />
7 ϕ′ 0<br />
(2.157)<br />
(2.158)<br />
(2.159)<br />
(2.160)<br />
= − 3<br />
. (2.161)<br />
5<br />
La somma delle energie <strong>di</strong> tutti gli elettroni considerati separatamente, che<br />
in<strong>di</strong>cheremo con ɛ1 = T + U1, vale i 2/3 dell’energia totale dell’atomo:<br />
ɛ = 3<br />
7 ϕ′ 0, ɛ = 2<br />
7 ϕ′ 0; (2.162)<br />
e passando dalle nostre unità convenzionali a quelle or<strong>di</strong>narie ed esprimendo<br />
l’energia in unità <strong>di</strong> Rydberg (2.15×10 −11 erg):<br />
ɛ =<br />
ɛ1 =<br />
48 ϕ ′ 0<br />
7 (6π) 2/3 Z7/3 − 1.53 Z 7/3<br />
(2.163)<br />
32 ϕ ′ 0<br />
7 (6π) 2/3 Z7/3 − 1.02 Z 7/3 . (2.164)<br />
Il confronto <strong>di</strong> quest’ultima relazione con l’esperienza mostra che essa dà, in<br />
valore assoluto, valori un po’ superiori al vero. Ciò <strong>di</strong>pende dal fatto che la<br />
19 Il manoscritto originale contiene, a questo punto, il seguente paragrafo: “Non<br />
ho potuto <strong>di</strong>mostrare <strong>di</strong>rettamente questa relazione con metodo matematico.<br />
Comunque, ho <strong>di</strong>rettamente verificato che è corretta entro un’approssimazione<br />
dell’1%. Le formole che seguono sono esatte se la (2.156) è esatta; altrimenti<br />
sono soltanto approssimate.” Questo paragrafo è stato successivamente cancellato,<br />
mentre appare la scritta “<strong>di</strong>mostrata”.<br />
121
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
statistica dà in prossimità del nucleo una densità infinita, mentre in realtà<br />
per Z finito si ha una densità finita. Per gli elementi meno pesanti <strong>di</strong> cui si<br />
conoscono dati sperimentali, l’errore equivale circa al termine fondamentale<br />
<strong>di</strong> uno <strong>degli</strong> elettroni più profon<strong>di</strong>. Per gli elementi più pesanti l’errore<br />
relativo è notevolmente minore anche per effetto della correzione relativista<br />
che agisce in senso opposto.<br />
2.11 Curva statistica dei termini<br />
fondamentali negli atomi neutri<br />
Assunte al solito come unità <strong>di</strong> lunghezza µ e come unità <strong>di</strong> carica quella<br />
del nucleo, il numero <strong>degli</strong> elettroni compresi fra la <strong>di</strong>stanza x e x + dx dal<br />
nucleo vale:<br />
Z x ϕ ′′ dx, (2.165)<br />
e l’energia potenziale <strong>di</strong> uno <strong>di</strong> essi:<br />
U = − 1<br />
Z<br />
ϕ<br />
. (2.166)<br />
x<br />
Degli elettroni (2.165) hanno un’energia cinetica T < −kU (k < 1), un<br />
numero:<br />
Z x ϕ ′′ k 3/2 dx (2.167)<br />
Segue che gli elettroni il cui termine è minore <strong>di</strong> T sono:<br />
nT =<br />
∞<br />
e posto: α = nT /Z:<br />
0<br />
α =<br />
=<br />
Z x ϕ ′′<br />
∞<br />
0<br />
∞<br />
0<br />
<br />
1 − x<br />
ϕ y<br />
3/2 dx, y = T<br />
Z<br />
(2.168)<br />
x ϕ ′′<br />
<br />
1 − x<br />
ϕ y<br />
3/2 dx<br />
√ 3/2 −1<br />
x (ϕ − x y) dx = F (y) (2.169)<br />
y = F (α). (2.170)<br />
122
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
E poiché T = Zy è manifestamente il termine del (Zα)-esimo elettrone, si<br />
ricava l’espressione generale del termine dell’ennesimo elettrone, supposto<br />
<strong>di</strong> or<strong>di</strong>nare gli elettroni secondo i termini decrescenti:<br />
T = Z F (α), con α = n/Z; (2.171)<br />
e passando alle unità or<strong>di</strong>narie, esprimendo cioè i termini in unità <strong>di</strong> Rydberg:<br />
T =<br />
16<br />
(6π) 2/3 Z4/3 F (α) = 2.2590 Z 4/3 F (α). (2.172)<br />
α F (α) α F (α) α F (α) α F (α)<br />
0.02 0.018 0.07 0.20<br />
0.04 0.020 0.08 0.25<br />
0.06 0.025 0.09 0.30<br />
0.08 0.030 0.10 0.35<br />
0.10 0.035 0.12 0.40<br />
0.12 0.040 0.14 0.45<br />
0.14 0.050 0.16 0.50<br />
0.16 0.060 0.18 0.55<br />
2.12 Quinte potenze 20<br />
x x 5<br />
3.1 286.29<br />
3.2 335.54<br />
3.3 391.35<br />
3.4 454.35<br />
3.5 525.22<br />
3.6 604.66<br />
3.7 693.44<br />
3.8 792.35<br />
3.9 902.24<br />
4.0 1024.<br />
x x 5<br />
4.1 1158.56<br />
4.2 1306.91<br />
4.3 1470.08<br />
4.4 1649.16<br />
4.5 1845.28<br />
4.6 2059.63<br />
4.7 2293.45<br />
4.8 2548.04<br />
4.9 2824.75<br />
5.0 3125.<br />
x x 5<br />
5.1 3450.25<br />
5.2 3802.04<br />
5.3 4181.95<br />
5.4 4591.65<br />
5.5 5032.84<br />
5.6 5507.32<br />
5.7 6016.92<br />
5.8 6563.57<br />
5.9 7149.24<br />
6.0 7776.<br />
20 Nel manoscritto originale mancano i numeri alla quinta potenza con seconda<br />
cifra <strong>di</strong>spari, così come quelli da 8.5 a 10.0.<br />
123
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
x x 5<br />
6.1 8445.96<br />
6.2 9161.33<br />
6.3 9924.36<br />
6.4 10737.42<br />
6.5 11602.91<br />
6.6 12523.33<br />
6.7 13501.25<br />
6.8 14539.34<br />
6.9 15640.31<br />
7.0 16807.<br />
x x 5<br />
8.1 34867.84<br />
8.2 37073.98<br />
8.3 39390.41<br />
8.4 41821.19<br />
8.5 44370.53<br />
8.6 47042.70<br />
8.7 49842.09<br />
8.8 52773.19<br />
8.9 55840.59<br />
9.0 59049.<br />
x x 5<br />
7.1 18042.29<br />
7.2 19349.18<br />
7.3 20730.72<br />
7.4 22190.07<br />
7.5 23730.47<br />
7.6 25355.25<br />
7.7 27067.84<br />
7.8 28871.74<br />
7.9 30770.56<br />
8.0 32768.<br />
x x 5<br />
9.1 62403.21<br />
9.2 65908.15<br />
9.3 69568.84<br />
9.4 73390.40<br />
9.5 77378.09<br />
9.6 81537.27<br />
9.7 85873.40<br />
9.8 90392.08<br />
9.9 95099.00<br />
10. 100000<br />
2.13 Molecola biatomica a nuclei uguali<br />
Sia xy una sezione meri<strong>di</strong>ana, x l’asse della molecola, y, la traccia dell’equatore.<br />
Siano ancora V1 e V2 i potenziali che sarebbero dovuti rispettivamente<br />
a ciascuno dei due atomi se fossero isolati. Posto il potenziale effettivo sotto<br />
la forma<br />
V = V1 + V2 − α 2V1V2<br />
, (2.173)<br />
α deve obbe<strong>di</strong>re all’equazione<br />
V1 + V2<br />
∆2 V = V 3/2 , (2.174)<br />
124
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
trascurando la costante <strong>di</strong> proporzionalità a causa <strong>di</strong> una conveniente scelta<br />
delle unità. Supposto per approssimazione che il valore <strong>di</strong> α <strong>di</strong>penda solo<br />
dalla <strong>di</strong>stanza dal centro della molecola e volendo che la Eq. (2.174) si<br />
sod<strong>di</strong>sfatta sul piano equatoriale, si trae l’equazione <strong>di</strong>fferenziale<br />
in cui:<br />
V 3/2 = ∆2 V, (2.175)<br />
V = (2 − α) V1, (2.176)<br />
<br />
<br />
2V1V2<br />
∆2 V = 2 ∆2 V1 −<br />
α<br />
− 2<br />
V1<br />
y<br />
∆2<br />
V1 + V2<br />
+ ∂V1<br />
∂y<br />
dα<br />
dy<br />
− V1<br />
d 2 α<br />
. (2.177)<br />
dy2 Le costanti si determinano in modo che α(0) sia finito e sia anche finito (e<br />
precisamente uguale a 1) il limite <strong>di</strong> α per y = ∞.<br />
L’ipotesi che α <strong>di</strong>penda solo dalla <strong>di</strong>stanza dal centro della molecola è<br />
però eccessivamente lontana dal vero.<br />
2.14 Seste potenze 21<br />
x x 6<br />
1.1 1.8<br />
1.2 3.<br />
1.3 4.8<br />
1.4 7.5<br />
1.5 11.4<br />
1.6 16.8<br />
1.7 24.1<br />
1.8 34.<br />
1.9 47.<br />
2. 64.<br />
x x 6<br />
2.1 85.8<br />
2.2 113.4<br />
2.3 148.<br />
2.4 191.1<br />
2.5 244.1<br />
2.6 308.9<br />
2.7 387.4<br />
2.8 481.9<br />
2.9 594.8<br />
3. 729.<br />
x x 6<br />
3.1 887.5<br />
3.2 1073.7<br />
3.3 1291.5<br />
3.4 1544.8<br />
3.5 1838.3<br />
3.6 2176.8<br />
3.7 2565.7<br />
3.8 3010.9<br />
3.9 3518.7<br />
4. 4096.<br />
21 Nel manoscritto originale mancano i numeri alla sesta potenza con seconda<br />
cifra <strong>di</strong>spari, così come quelli da 1.1 a 2.9 e da 8.5 a 10.0.<br />
125
x x 6<br />
4.1 4750.1<br />
4.2 5489.<br />
4.3 6321.4<br />
4.4 7256.3<br />
4.5 8303.8<br />
4.6 9474.3<br />
4.7 10779.2<br />
4.8 12230.6<br />
4.9 13841.3<br />
5. 15625.<br />
x x 6<br />
7.1 128100.3<br />
7.2 139314.1<br />
7.3 151334.2<br />
7.4 164206.5<br />
7.5 177978.5<br />
7.6 192699.9<br />
7.7 208422.4<br />
7.8 225199.6<br />
7.9 243087.5<br />
8. 262144.<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
x x 6<br />
5.1 17596.3<br />
5.2 19770.6<br />
5.3 22164.4<br />
5.4 24794.9<br />
5.5 27680.6<br />
5.6 30841.<br />
5.7 34296.4<br />
5.8 38068.7<br />
5.9 42180.5<br />
6. 46656.<br />
x x 6<br />
8.1 282429.5<br />
8.2 304006.7<br />
8.3 326940.4<br />
8.4 351298.<br />
8.5 377149.5<br />
8.6 404567.2<br />
8.7 433626.2<br />
8.8 464404.1<br />
8.9 496981.3<br />
9. 531441.<br />
126<br />
x x 6<br />
6.1 51520.4<br />
6.2 56800.2<br />
6.3 62523.5<br />
6.4 68719.5<br />
6.5 75418.9<br />
6.6 82654.<br />
6.7 90458.4<br />
6.8 98867.5<br />
6.9 107918.2<br />
7. 117649.<br />
x x 6<br />
9.1 567869.3<br />
9.2 606355.<br />
9.3 646990.2<br />
9.4 689869.8<br />
9.5 735091.9<br />
9.6 782757.8<br />
9.7 832972.<br />
9.8 885842.4<br />
9.9 941480.1<br />
10. 1000000
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
2.15 Settime potenze 22<br />
x x 7<br />
1.1 1.9<br />
1.2 3.6<br />
1.3 6.3<br />
1.4 10.5<br />
1.5 17.1<br />
1.6 26.8<br />
1.7 41.<br />
1.8 61.2<br />
1.9 89.4<br />
2. 128.<br />
x x 7<br />
4.1 19475.4<br />
4.2 23053.9<br />
4.3 27181.9<br />
4.4 31927.8<br />
4.5 37366.9<br />
4.6 43581.8<br />
4.7 50662.3<br />
4.8 58706.8<br />
4.9 67822.3<br />
5. 78125.<br />
x x 7<br />
2.1 180.1<br />
2.2 249.4<br />
2.3 340.5<br />
2.4 458.6<br />
2.5 610.4<br />
2.6 803.2<br />
2.7 1046.<br />
2.8 1349.3<br />
2.9 1725.<br />
3. 2187.<br />
x x 7<br />
5.1 89741.1<br />
5.2 102807.2<br />
5.3 117471.1<br />
5.4 133892.5<br />
5.5 152243.5<br />
5.6 172709.5<br />
5.7 195489.7<br />
5.8 220798.4<br />
5.9 248865.1<br />
6. 279936.<br />
x x 7<br />
3.1 2751.3<br />
3.2 3436.<br />
3.3 4261.8<br />
3.4 5252.3<br />
3.5 6433.9<br />
3.6 7836.4<br />
3.7 9493.2<br />
3.8 11441.6<br />
3.9 13723.1<br />
4. 16384.<br />
x x 7<br />
6.1 314274.3<br />
6.2 352161.5<br />
6.3 393898.1<br />
6.4 439804.7<br />
6.5 490222.8<br />
6.6 545516.1<br />
6.7 606071.2<br />
6.8 672298.9<br />
6.9 744635.3<br />
7. 823543.<br />
22 Nel manoscritto originale mancano i numeri alla settima potenza con seconda<br />
cifra <strong>di</strong>spari, così come quelli da 1.1 a 2.9 e da 8.5 a 10.0.<br />
127
x x 7<br />
7.1 909512.<br />
7.2 1003061.3<br />
7.3 1104739.9<br />
7.4 1215128.<br />
7.5 1334838.9<br />
7.6 1464519.5<br />
7.7 1604852.3<br />
7.8 1756556.9<br />
7.9 1920390.9<br />
8. 2097152.<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
x x 7<br />
8.1 2287679.2<br />
8.2 2492854.7<br />
8.3 2713605.1<br />
8.4 2950903.5<br />
8.5 3205770.9<br />
8.6 3479278.2<br />
8.7 3772547.9<br />
8.8 4086756.<br />
8.9 4423133.5<br />
9. 4782969.<br />
x x 7<br />
9.1 5167610.2<br />
9.2 5578466.<br />
9.3 6017008.7<br />
9.4 6484775.9<br />
9.5 6983373.<br />
9.6 7514474.8<br />
9.7 8079828.4<br />
9.8 8681255.3<br />
9.9 9320653.5<br />
10. 10000000<br />
2.16 Potenziale nell’atomo in seconda<br />
approssimazione<br />
Dalla relazione statistica fra potenziale efficace e densità 23<br />
ρ = K (V − C) 3/2<br />
dall’equazione <strong>di</strong> Poisson a cui obbe<strong>di</strong>sce il potenziale locale: :<br />
(2.178)<br />
∆ 2 2 V0 = − 4π ρ, (2.179)<br />
e dalla relazione approssimativamente verificata, nel caso dell’atomo Z ionizzato<br />
n volte:<br />
Z − n − 1<br />
∆2 V =<br />
Z − n grad 2 V0 (2.180)<br />
si deduce eliminando la (2.179):<br />
∆2 V = − 4π ρ<br />
Z − n − 1<br />
Z − n<br />
(2.181)<br />
e il potenziale nell’interno dello ione:<br />
V = Ze<br />
r ϕ<br />
<br />
r<br />
+ C,<br />
µ<br />
(2.182)<br />
23 Qui C è una costante <strong>di</strong> integrazione; ve<strong>di</strong> nel seguito.<br />
128
essendo:<br />
− x0 ϕ ′ (x0) =<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
µ = 0.47 Z −1/3<br />
2/3 Z − n<br />
o<br />
A (2.183)<br />
Z − n − 1<br />
ϕ ′′ = ϕ3/2<br />
√ x , ϕ(0) = 1 (2.184)<br />
C =<br />
n + 1<br />
,<br />
2<br />
ϕ(x0) = 0 (2.185)<br />
(n + 1)e<br />
.<br />
µx0<br />
(2.186)<br />
2.17 Polarizzabilità dell’atomo<br />
Il potenziale all’interno <strong>di</strong> un atomo in prima approssimazione o in seconda<br />
(come mostrato nella sezione precedente) sod<strong>di</strong>sfa a un’equazione del tipo:<br />
∆2 V = K (V − C) 3/2 . (2.187)<br />
Poniamo l’atomo in un campo debole E. A causa della <strong>di</strong>pendenza reciproca<br />
tra le variazioni delle grandezze atomiche e il campo, 24 finché questo<br />
è debole, si deduce:<br />
δV = − f(r) E r cos(r·E) (2.188)<br />
δC = 0. (2.189)<br />
Supponiamo il campo −E <strong>di</strong>retto secondo l’asse x. Avremo:<br />
V1 = V + E x f(r) (2.190)<br />
<br />
xf ′′ (r) + 3 x<br />
r f ′ <br />
(r) (2.191)<br />
grad 2 V1 = grad 2 V + E<br />
(V1 − C) = (V − C) + E x f(r) (2.192)<br />
(V1 − C) 3/2 = (V − C) 3/2 + 3<br />
2 (V − C)1/2 E x f(r) + . . . (2.193)<br />
24 Il manoscritto originale è alterato, per cui la nostra interpretazione è solo<br />
plausibile.<br />
129
posto:<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
f ′′ (r) + 3 1<br />
r f ′ (r) = 3<br />
2 K (V − C)1/2 f(r) (2.194)<br />
r 3/2 f ′′ (r) + 3 r 1/2 f ′ (r) = 3<br />
2 K (V − C)1/2 r 3/2 f(r) (2.195)<br />
e la (2.190) <strong>di</strong>venta:<br />
y = r 3/2 f(r), f(r) = y<br />
r3/2 (2.196)<br />
y ′′ = 3<br />
<br />
K<br />
2<br />
√ V − C + 1<br />
2r2 <br />
y (2.197)<br />
V1 = V + x<br />
y E.<br />
r3/2 (2.198)<br />
La con<strong>di</strong>zione che sia finito f(0) permette <strong>di</strong> ottenere f o y a meno <strong>di</strong> un<br />
fattore costante. Questo si determina esprimendo che il valore me<strong>di</strong>o <strong>di</strong><br />
−∂V/∂x sulla superficie dello ione è uguale a −E, cioè, al campo esterno.<br />
Tale con<strong>di</strong>zione si scrive:<br />
f(r0) + 1<br />
3 r0 f ′ (r0) = 1.<br />
Il momento elettrico dello ione vale:<br />
(2.199)<br />
M = E r 3 0 (1 − f(r0)) . (2.200)<br />
2.18 Sviluppi e integrali <strong>di</strong> Fourier<br />
(1) Per x > 0, abbiamo<br />
e −kx =<br />
=<br />
=<br />
=<br />
∞<br />
4k<br />
0 k2 cos(2πνx) dν<br />
+ 4πν 2<br />
∞<br />
8πν<br />
0 k2 sin(2πνx) dν<br />
+ 4πν 2<br />
∞<br />
2k<br />
−∞ k2 + 4πν 2 e2πνix dν<br />
∞<br />
1 8πν<br />
−∞ 2i k2 + 4πν 2 e2πνix dν;<br />
130
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
invece, per x < 0, i quattro integrali valgono rispettivamente: e +kx ,<br />
−e +kx , e +kx , −e +kx .<br />
Ancora, per x > −α:<br />
e −kx = e kα<br />
∞<br />
= e kα<br />
−∞<br />
∞<br />
−∞<br />
2k<br />
k 2 + 4πν 2 e2πνi(x+α) dν<br />
1<br />
2i<br />
8πν<br />
k 2 + 4πν 2 e2πνi(x+α) dν, etc.<br />
facendo tendere α → ∞ si ricaccia sempre più in<strong>di</strong>etro la <strong>di</strong>scontinuità<br />
nel punto x = −α.<br />
(2) Abbiamo:<br />
(3) Abbiamo:<br />
1<br />
π<br />
∞<br />
−∞<br />
e −kx2<br />
e −x2<br />
<br />
π<br />
= 2<br />
k<br />
= 2 √ π<br />
=<br />
1<br />
√ π<br />
sin[2π(ν − ν0)a]<br />
ν − ν0<br />
∞<br />
0<br />
∞<br />
e −π2 ν 2 /k cos(2πνx) dν<br />
e −π2ν 2<br />
cos(2πνx) dν<br />
0<br />
∞<br />
e<br />
0<br />
−w2 /4<br />
cos(wx) dw.<br />
e 2πνix dν =<br />
∞ <br />
1 sin[2π(ν − ν0)a]<br />
+<br />
π −∞ ν − ν0<br />
sin[2π(ν + ν0)a]<br />
<br />
cos(2πν0x), x<br />
=<br />
2 < a 2<br />
0, x 2 > a 2<br />
∞ <br />
1 sin[2π(ν − ν0)a]<br />
−<br />
π −∞ ν − ν0<br />
<br />
sin(2πν0x), x<br />
=<br />
2 < a 2<br />
0, x 2 > a 2<br />
131<br />
e 2πν0ix , x 2 < a 2<br />
0, x 2 > a 2<br />
<br />
cos(2πνx) dν<br />
ν + ν0<br />
<br />
sin[2π(ν + ν0)a]<br />
sin(2πνx) dν<br />
ν + ν0
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Se a = k/2ν0, essendo k intero, gli integrali <strong>di</strong>ventano<br />
(−1) k 1<br />
π<br />
(−1) k 1<br />
π<br />
(−1) k 1<br />
π<br />
2.19 Corpo nero<br />
∞<br />
−∞<br />
∞<br />
−∞<br />
∞<br />
−∞<br />
sin(kπν/ν0)<br />
ν − ν0<br />
2ν0 sin(kπν/ν0)<br />
ν2 − ν2 0<br />
2ν0 sin(kπν/ν0)<br />
ν2 − ν2 0<br />
e 2πνix dν<br />
cos(2πνx) dν<br />
sin(2πνx) dν.<br />
Sia E l’energia emessa per cm 2 e per unità <strong>di</strong> tempo, e Eν e Eλ la stessa<br />
energia per unità <strong>di</strong> frequenza o <strong>di</strong> lunghezza d’onda. Si ha 25<br />
dove<br />
E(T ) =<br />
∞<br />
0<br />
Eν = 2πhν3<br />
c 2<br />
Eλ = 2πc2 h<br />
λ 5<br />
Allora 26 (si veda la (1.360)):<br />
E(T ) =<br />
∞<br />
0<br />
2πhν 3<br />
c 2<br />
Eν(ν, T ) dν =<br />
∞<br />
0<br />
Eλ(λ, T ) dλ (2.201)<br />
1<br />
ehν/kT − 1<br />
(2.202)<br />
1<br />
ehc/λkT ,<br />
− 1<br />
(2.203)<br />
Eλ = c<br />
Eν (2.204)<br />
λ2 Eν = c<br />
ν2 Eλ. (2.205)<br />
dν<br />
e hν/kT − 1<br />
25In questo paragrafo aderiamo all’uso dell’Autore <strong>di</strong> h, piuttosto che riscriverla<br />
in termini <strong>di</strong> .<br />
26Il valore numerico riportato nel manoscritto originale è leggermente <strong>di</strong>fferente<br />
(5.55) da quello qui riportato (5.67).<br />
132
= 2πk4 T 4<br />
c 2 h 3<br />
= 2πk4 T 4<br />
c 2 h 3<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
∞<br />
0<br />
π 4<br />
15<br />
1<br />
e hν/kT − 1<br />
= 2<br />
15<br />
5.67 × 10 −5 T 4 erg<br />
Energia per unità <strong>di</strong> volume:<br />
E ′ = 4 8<br />
E =<br />
c 15<br />
π 5<br />
c 2 h 3 k4 T 4<br />
3 hν<br />
d<br />
kT<br />
<br />
hν<br />
kT<br />
cm2s = 5.67 × 10−12 T 4 W<br />
cm<br />
2 . (2.206)<br />
π 5<br />
c 3 h 3 k4 T 4 . (2.207)<br />
Pressione <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>azione (nel caso <strong>di</strong> equilibrio termico con l’ambiente; se<br />
il corpo non si trova circondato da altri corpi neri allo zero assoluto o in<br />
generale in uno spazio libero da altre ra<strong>di</strong>azioni, <strong>di</strong>videre per 2) 27<br />
p = 1<br />
3 E′ = 4 E<br />
3 c<br />
= 8<br />
45<br />
π 5<br />
c3h3 k4T 4 2.52 × 10 −15 T 4 erg<br />
. (2.208)<br />
cm3 2.20 Teoria dell’irraggiamento<br />
In uno spazio Ω chiuso da pareti riflettenti la ra<strong>di</strong>azione esistente si può<br />
scomporre secondo le frequenze caratteristiche. Il numero <strong>di</strong> tali frequenze<br />
comprese fra ν e ν + dν è, tenendo conto che la ra<strong>di</strong>azione <strong>di</strong> una determinata<br />
frequenza si può decomporre in due componenti polarizzate rettilinearmente<br />
dN = Ω 8πν2<br />
dν. (2.209)<br />
c3 Ciò significa che la densità delle onde nello spazio (volumi × frequenze orientate)<br />
vale 2/c 3 . Considerando un’onda stazionaria come rappresentante<br />
un possibile stato stazionario <strong>di</strong> un quanto <strong>di</strong> luce, si ha in<strong>di</strong>cando con E<br />
27 Il valore numerico riportato nel manoscritto originale (2.47) è leggermente<br />
<strong>di</strong>fferente da quello qui riportato (2.52).<br />
133
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
l’energia del quanto, <strong>di</strong> modo che E = hν: 28<br />
dN = Ω 8πE2<br />
c3 dE. (2.210)<br />
h3 D’altra parte, se α1, α2, α3 sono i coseni <strong>di</strong> <strong>di</strong>rezione della traiettoria del<br />
quanto, si ha:<br />
px = E<br />
c cos α1, py = E<br />
c cos α2, pz = E<br />
c cos α3, (2.211)<br />
e quin<strong>di</strong>:<br />
dN = 8πΩ<br />
h3 (p2x + p 2 y + p 2 <br />
z) d p2 x + p2 y + p2 z, (2.212)<br />
cioè la densità <strong>degli</strong> stati stazionari nello spazio delle fasi è, per il gas <strong>di</strong><br />
quanti <strong>di</strong> luce 2/h 3 , esattamente come per un gas <strong>di</strong> elettroni. L’analogia<br />
non va più oltre perché il primo obbe<strong>di</strong>sce alla statistica <strong>di</strong> Einstein, il<br />
secondo a quella <strong>di</strong> Fermi. Sia:<br />
C = C0 sin (2πνt − α) A (2.213)<br />
in cui A è un vettore unitario, C0 una funzione del posto, e α una costante,<br />
il potenziale vettore relativo a una particolare frequenza. Avremo<br />
C = u A, con u = C0 sin (2πνt − α) , (2.214)<br />
In<strong>di</strong>cheremo con u e C0 i valori quadratici me<strong>di</strong> <strong>di</strong> tali grandezza nel volume<br />
Ω. Avremo:<br />
u = C0 sin (2πνt − α) . (2.215)<br />
L’energia totale del campo elettrico al tempo t è:<br />
We = Ω 4π<br />
8π<br />
2 ν 2<br />
c2 C20<br />
cos 2 (2πνt − α) = Ω<br />
8π<br />
e quin<strong>di</strong> l’energia magnetica:<br />
u ′2<br />
, (2.216)<br />
c2 Wm = Ω 4π<br />
8π<br />
2 ν 2<br />
c2 C20<br />
sin 2 (2πνt − α) = Ω 4π<br />
8π<br />
2 ν 2<br />
c2 u 2 . (2.217)<br />
28 In questo paragrafo aderiamo all’uso dell’Autore <strong>di</strong> h, piuttosto che riscriverla<br />
in termini <strong>di</strong> .<br />
134
L’energia totale <strong>di</strong>venta:<br />
Poniamo:<br />
si ricava:<br />
e ponendo:<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
W = Ω<br />
8πc 2<br />
q = u<br />
4π 2 ν 2 u 2 + u ′2 . (2.218)<br />
<br />
Ω u Ω<br />
= ; (2.219)<br />
4πc2 2c π<br />
W = π 2 ν 2 q 2 + 1<br />
2 ˙q2<br />
(2.220)<br />
p = ∂W<br />
∂q<br />
= ˙q, (2.221)<br />
troviamo<br />
W = 1 2 2 2 2<br />
p + 4π ν q<br />
2<br />
. (2.222)<br />
che può considerarsi come l’Hamiltoniana del sistema.<br />
Ponendo:<br />
Hs = 1 2<br />
ps + 4π<br />
2<br />
2 ν 2 q 2 s ,<br />
in cui l’in<strong>di</strong>ce s = 1, 2, 3, . . . numera tutte le possibili onde stazionarie, e<br />
H0 = W0 essendo la Hamiltoniana <strong>di</strong> un atomo posto entro Ω, la Hamiltoniana<br />
complessiva trascurando l’interazione sarà:<br />
∞<br />
H = Hs = W. (2.223)<br />
s=0<br />
Possiamo invece intendere che in H0 sia compresa l’interazione; per<br />
evitare confusione poniamo: H ′ 0 = H0 + interazione. La forma da dare<br />
a H ′ 0 in prima approssimazione, e quando si consideri un solo elettrone<br />
luminoso, si deduce dall’Hamiltoniana relativistica dell’elettrone 29 (si veda<br />
il paragrafo 2.6):<br />
W0 = −e ϕ + 1<br />
2m p2i + e<br />
e<br />
pi Ci = H0 + pi Ci. (2.224)<br />
mc mc<br />
È in<strong>di</strong>fferente porre pi Ci o Ci pi perché: pi Ci − Ci pi = (h/2πi)<strong>di</strong>v C = 0,<br />
essendo ϕ (potenziale interno all’atomo) costante e quin<strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>v C = − 1 ∂ϕ<br />
c ∂t<br />
= 0.<br />
29 Ovviamente, l’Autore ha assunto qui H ′ 0 = W0.<br />
135
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
L’Hamiltoniana totale, tenuto conto dell’interazione, <strong>di</strong>venta:<br />
W =<br />
∞<br />
Hs +<br />
∞ e<br />
mc pi Ci. (2.225)<br />
s=0<br />
Supponiamo che all’origine dei tempi lo spazio Ω sia libero da ra<strong>di</strong>azione;<br />
l’elettrone descriverà, classicamente, un movimento smorzato. Possiamo<br />
ritenere in prima approssimazione che il suo movimento sia perio<strong>di</strong>co; formalmente<br />
basta introdurre nell’Hamiltoniana dei piccoli termini correttivi<br />
<strong>di</strong>pendenti solo dal tempo e dalle p e q dell’elettrone. Scomponiamo in<br />
armoniche il suo movimento e consideriamone una, <strong>di</strong>retta secondo l’asse<br />
x. Nello sviluppo <strong>di</strong> px , <strong>di</strong> frequenza ν0, comparirà un termine:<br />
i=1<br />
p0x = p0 sin (2π ν0 t + β) . (2.226)<br />
Tralasciando le altre armoniche e fissando l’attenzione sull’oscillatore elettromagnetico<br />
s, l’Hamiltoniana si può scrivere:<br />
W = 1 2<br />
ps + 4π<br />
2<br />
2 ν 2 s q 2 s +<br />
e<br />
mc Cs x p0x<br />
+ termini in<strong>di</strong>pendenti da qs e ps. (2.227)<br />
C s x è la componente del potenziale vettore secondo potenziale!vettore x, e<br />
sarà in un determinato punto dello spazio proporzionale a qs. Poniamo:<br />
C x s = b x s qs. (2.228)<br />
In generale, bs è funzione del posto. Ritenendo che le oscillazioni dell’elettrone<br />
siano <strong>di</strong> piccola ampiezza rispetto alle lunghezze d’onda emesse,<br />
si può supporre bs costante e uguale al valore che essa assume nel centro<br />
dell’atomo. Il valore me<strong>di</strong>o del suo quadrato vale statisticamente, cioè<br />
quando se ne prenda la me<strong>di</strong>a per molte frequenze vicine: 30<br />
b x2<br />
s<br />
= 1 u<br />
3<br />
2 s<br />
q2 s<br />
= 4<br />
3<br />
πc 2<br />
. (2.229)<br />
Ω<br />
Sostituendo nella (2.227) le equazioni (2.228) e (2.226):<br />
W = 1 2<br />
ps + 4π<br />
2<br />
2 ν 2 s q 2 s +<br />
e<br />
mc bsx p0 sin (2πν0t + β) qs<br />
+ terminiin<strong>di</strong>pendenti da qs e ps. (2.230)<br />
30 La seguente formula è ottenuta me<strong>di</strong>ando il quadrato della (2.228) e usando<br />
le equazioni (2.215) e (2.219). Si noti che nel manoscritto originale manca<br />
l’esponente 2 della us.<br />
136
Si deduce:<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
˙qs = ps (2.231)<br />
˙ps = − 4π 2 ν 2 s qs − e<br />
mc bs x p0 sin (2πν0t + β) (2.232)<br />
¨qs + 4π 2 ν 2 s qs = − e<br />
mc bs x p0 sin (2πν0t + β) , (2.233)<br />
il cui integrale generale è:<br />
qs = As sin 2πνst + Bs cos 2πνst<br />
− e<br />
mc<br />
b s x p0 sin (2πν0t + β)<br />
4π2 (ν2 s − ν2 . (2.234)<br />
0)<br />
Supponiamo per semplicità β = 0 e imponiamo la con<strong>di</strong>zione che all’origine<br />
dei tempi non esistano ra<strong>di</strong>azioni:<br />
qs(0) = ˙qs(0) = 0. (2.235)<br />
Ciò equivale a contare i tempi dall’istante −β/2πν0 e a supporre che in<br />
tale istante lo spazio Ω sia vuoto. Ponendo t1 = t + (β/2πν0) e scrivendo<br />
nuovamente t al posto <strong>di</strong> t1 la (2.234) <strong>di</strong>viene:<br />
qs = As sin 2πνst + Bs cos 2πνst<br />
− e<br />
mc<br />
b s x p0 sin 2πν0t<br />
4π2 (ν2 s − ν2 , (2.236)<br />
0)<br />
ed è rispetto alla nuova variabile in<strong>di</strong>pendente che devono essere sod<strong>di</strong>sfatte<br />
le (2.235). Si deduce<br />
Bs = 0, As = ν0<br />
qs =<br />
=<br />
=<br />
e<br />
mc<br />
e b<br />
mc<br />
s x p0 sin 2πν0t<br />
4π2 (ν2 s − ν2 0)<br />
e b<br />
mc<br />
s x p0 sin 2πν0t<br />
4π2 (ν2 s − ν2 0)<br />
− νs − ν0<br />
νs<br />
e b<br />
mc<br />
s x p0 sin 2πν0t<br />
4π2 (ν2 s − ν2 0)<br />
− νs − ν0<br />
νs<br />
b s x p0<br />
νs 4π2 (ν2 s − ν2 ,<br />
<br />
0)<br />
<br />
ν0<br />
sin 2πνst − sin 2πν0t<br />
νs<br />
<br />
sin 2πνst − sin 2πν0t<br />
<br />
(2.237)<br />
sin 2πνst<br />
<br />
2 cos 2π νs + ν0<br />
t sin 2π νs − ν0<br />
t<br />
2<br />
<br />
2<br />
sin 2πνst . (2.238)<br />
137
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Se Ws in<strong>di</strong>ca l’energia accumulata al tempo t nell’oscillatore s l’energia<br />
totale accumulata sarà:<br />
<br />
Ws =<br />
νs=M<br />
Ws dN = 8π<br />
c3 M<br />
Ws ν 2 Ω dνs. (2.239)<br />
s<br />
νs=0<br />
L’integrale va esteso fino a un limite arbitrario ma finito perché nel dedurre<br />
le formole precedenti abbiamo ammesso a priori che le lunghezze<br />
d’onda eccitate siano <strong>di</strong> grande lunghezza d’onda rispetto all’ampiezza<br />
dell’oscillazione dell’elettrone; è quin<strong>di</strong> da escludere che le frequenze pos-<br />
sano superare qualunque limite. Ora <br />
s<br />
Ws tende a crescere linearmente<br />
col tempo e quin<strong>di</strong> a superare qualunque limite; d’altra parte ogni Ws ha<br />
un massimo come si deduce dalla (2.238), ciò che non è in contrad<strong>di</strong>zione<br />
con quanto si è detto, perché se nell’integrale nella (2.239) si sostituiscono<br />
alle Ws i loro valori massimi, l’integrale <strong>di</strong>viene <strong>di</strong>vergente; rimane invece<br />
convergente se dal campo <strong>di</strong> integrazione si toglie un piccolo intervallo contenente<br />
ν0. Segue che dopo un tempo abbastanza lungo la massima parte<br />
della ra<strong>di</strong>azione emessa sarà concentrata in un intervallo <strong>di</strong> frequenze contenenti<br />
ν0 piccolo quanto si vuole. Le frequenze νs che interessano <strong>di</strong>fferiscono<br />
dunque poco da ν0, così che nella (2.238) sostituiremo a (νs + ν0)/2, ν0. 31<br />
Avremo:<br />
qs =<br />
e b<br />
mc<br />
2 sp0<br />
8π2ν0(νs − ν0)<br />
<br />
× 2 sin π(νs − ν0)t cos 2πν0t − νs − ν0<br />
0<br />
ν0<br />
<br />
sin 2πν0t . (2.245)<br />
L’ultimo termine è trascurabile poiché, come si vedrà, fissato t grande, il<br />
campo <strong>di</strong> frequenze in cui la ra<strong>di</strong>azione ha un valore sensibile è dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong><br />
1/t e quin<strong>di</strong> il primo termine in parentesi è dell’or<strong>di</strong>ne dell’unità in generale,<br />
mentre il secondo è piccolo quanto si vuole allorché t tende all’infinito.<br />
Segue al limite:<br />
qs =<br />
e<br />
mc<br />
b x s p0<br />
4π2 sin π(νs − ν0)t<br />
cos 2πν0t (2.246)<br />
ν0 νs − ν0<br />
31Il manoscritto originale continua come segue: “Possiamo anche sostituire<br />
sin 2π(νs − ν0)/2 con 2π(νs − ν0)/2. Avremo<br />
qs = e bsp0<br />
mc 4π2 (ν2 s − ν2 0 )<br />
<br />
2π(νs − ν0)t cos 2πν0t − νs − ν0<br />
ν0<br />
<br />
sin 2πν0 .<br />
(2.240)<br />
138
ps = − 2πν0<br />
Ws = 1<br />
2<br />
Ws =<br />
= 2π 2 ν 2 0<br />
=<br />
=<br />
<br />
= 4<br />
3<br />
Ω<br />
πc 3<br />
Ω<br />
πc 3<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
e b<br />
mc<br />
x s p0<br />
4π2ν0 2<br />
ps + 4π 2 ν 2 s q 2 s<br />
2π 2 ν 2 0<br />
e 2<br />
m 2 c 2<br />
e 2<br />
m 2 c 2<br />
sin π(νs − ν0)t<br />
sin 2πν0t (2.247)<br />
<br />
b x2<br />
s p 2 0<br />
16π 4 ν 2 0<br />
e 2 ν 2 0<br />
m2c2 p20 bx2 s<br />
b x2<br />
s p 2 0<br />
16π 4 ν 2 0<br />
e 2 ν 2 0<br />
m2c2 p2 4 πc<br />
0<br />
3<br />
2<br />
Ω π2t Per il moto dell’elettrone abbiamo:<br />
νs − ν0<br />
sin 2 π(νs − ν0)t<br />
(νs − ν0) 2 , (2.248)<br />
sin 2 π(νs − ν0)t<br />
(νs − ν0) 2<br />
2 2<br />
sin π(νs − ν0)<br />
(νs − ν0) 2<br />
dνs<br />
8πν 2 0<br />
Ω dνs<br />
c3 e 2 ν 2 0<br />
m 2 c 3 π2 p 2 0 t. (2.249)<br />
px = ˙x m, (2.250)<br />
p 2 x<br />
=<br />
m 2<br />
4π 2 ν 2 0<br />
¨x 2 (2.251)<br />
Possiamo supporre ν0t grande, cioè considerare un tempo lungo rispetto al periodo<br />
dell’oscillazione; allora il secondo termine nella parentesi <strong>di</strong> destra è trascurabile<br />
e otteniamo:<br />
qs =<br />
ps =<br />
e<br />
mc<br />
e<br />
mc<br />
bsp0t<br />
2π(νs − ν0) cos 2πν0t (2.241)<br />
bsp0t<br />
2π(νs − ν0)<br />
<br />
− 2πν0 sin 2πν0t +<br />
cos 2πν0t<br />
t<br />
Trascurando l’ultimo termine nell’espressione <strong>di</strong> ps per t grande,<br />
e quin<strong>di</strong><br />
ps = − 2πν0<br />
e<br />
mc<br />
bsp0t<br />
Ws = 1 2<br />
ps + 4π<br />
2<br />
2 ν 2 s q2 2 2<br />
s = 2π νs <br />
. (2.242)<br />
2π(νs − ν0) sin 2πν0t; (2.243)<br />
e 2<br />
m 2 c 2<br />
b 2 s p2 0 t2<br />
4π2 (ν2 s − ν2 . (2.244)<br />
0 )<br />
Comunque, le espressioni precedenti non valgono quando la quantità (νs − ν0)t è<br />
grande, poiché si è sostituito sin π(νs − ν0)t con π(νs − ν0)t.”<br />
Tuttavia, questa parte è stata cancellata dall’Autore.<br />
139
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
e quin<strong>di</strong>:<br />
<br />
Ws = 2<br />
3<br />
e l’energia irra<strong>di</strong>ata nell’unità <strong>di</strong> tempo:<br />
p 2 0 = 2 p2 x = m2<br />
2π2ν 2 ¨x<br />
0<br />
2 (2.252)<br />
E = ˙ Ws = 2<br />
3<br />
in accordo con la formola <strong>di</strong> Balmer. .<br />
e 2 ¨x 2<br />
c 3 t (2.253)<br />
e 2 ¨x 2<br />
, (2.254)<br />
c3 2.21 Momento <strong>di</strong> inerzia della Terra<br />
Se m è la massa della terra, misurata in tali unità che il coefficiente della<br />
formola <strong>di</strong> Newton risulti uguale a 1, Ip il momento <strong>di</strong> inerzia polare, Ie<br />
quello equatoriale, il potenziale della forza <strong>di</strong> gravità in un punto esterno<br />
<strong>di</strong>stante R dal centro O della terra, e tale che il raggio vettore R formi un<br />
angolo θ con l’equatore, vale (si veda il paragrafo 1.7):<br />
V = m<br />
R<br />
+ 1<br />
R 3<br />
<br />
I0 − 3<br />
2 Iθ<br />
<br />
, (2.255)<br />
dove I0 è il momento centrale <strong>di</strong> inerzia e Iθ il momento <strong>di</strong> inerzia rispetto<br />
ad un asse che forma un angolo θ con l’equatore. Poiché:<br />
segue:<br />
I0 = Ie + 1<br />
Ip<br />
2<br />
3 1<br />
= Ie + (Ip − Ie) ,<br />
2 2<br />
(2.256)<br />
Iθ = Ie cos 2 θ + Ip sin 2 θ = Ie + (Ip − Ie) sin 2 θ, (2.257)<br />
V = m<br />
R<br />
<br />
1<br />
1<br />
+ (Ip − Ie)<br />
R3 2<br />
3<br />
−<br />
2 sin2 <br />
θ . (2.258)<br />
Per calcolare Ip e Ie esprimiamo che il potenziale sulla superficie terrestre,<br />
tenendo conto della forza centrifuga, è lo stesso al polo e all’equatore. Se<br />
140
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
re e rp sono il raggio equatoriale e polare il potenziale all’equatore e al polo<br />
vale rispettivamente in prima approssimazione:<br />
Ve = m<br />
re<br />
Vp = m<br />
rp<br />
+ 1 Ip − Ie<br />
2 r3 −<br />
Ip − Ie<br />
r 3<br />
+ β m<br />
2 r<br />
(2.259)<br />
(2.260)<br />
in cui r che figura nei termini correttivi è il raggio me<strong>di</strong>o della terra che<br />
si è sostituito a re, rp o a valori prossimi a questi, poiché per la prima<br />
approssimazione è in<strong>di</strong>fferente. Uguagliando Ve e Vp e ponendo ancora<br />
approssimativamente:<br />
1<br />
rp<br />
− 1<br />
re<br />
= s<br />
,<br />
r<br />
(2.261)<br />
dove s è lo schiacciamento della terra, si trae:<br />
<br />
m<br />
s −<br />
r<br />
β<br />
<br />
2<br />
= 3 Ip − Ie<br />
2 r3 Ip − Ie =<br />
(2.262)<br />
2<br />
<br />
s −<br />
3<br />
β<br />
<br />
mr<br />
2<br />
2 , (2.263)<br />
e ponendo s = 1/297 e β = 1/289 si trova:<br />
sostituendo nella (2.258) si ricava:<br />
V = m<br />
R<br />
Ip − Ie = 1<br />
916 mr2 ; (2.264)<br />
+ 1<br />
R 3<br />
1<br />
916 mr2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
−<br />
2 sin2 <br />
θ . (2.265)<br />
Su un corpo celeste <strong>di</strong> massa M il potenziale della forza sarà:<br />
F = M V = Mm<br />
R<br />
M<br />
+<br />
R3 <br />
1<br />
916 mr2<br />
<br />
1 3<br />
−<br />
2 2 sin2 <br />
θ . (2.266)<br />
Esisterà allora una componente della forza normale al raggio vettore <strong>di</strong><br />
intensità:<br />
F = − 3<br />
916<br />
e la terra sarà sottoposta a una coppia raddrizzante:<br />
Mmr 2<br />
R 4 sin θ cos θ, (2.267)<br />
C = 3 Mmr<br />
916<br />
2<br />
R3 sin θ cos θ. (2.268)<br />
141
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Questa coppia tende a spostare l’asse terrestre sul meri<strong>di</strong>ano celeste in cui<br />
si trova l’astro perturbante. Se questo è il sole, tenderà ad avvicinare,<br />
nei solstizi, l’asse terrestre al polo dell’eclittica. In altri perio<strong>di</strong> dell’anno<br />
il meri<strong>di</strong>ano in cui è contenuta la coppia farà invece un certo angolo con<br />
il meri<strong>di</strong>ano normale all’eclittica. Detto ɛ tale angolo fra meri<strong>di</strong>ano in<br />
cui è contenuto l’astro e meri<strong>di</strong>ano normale all’eclittica, e detti α e β<br />
rispettivamente l’inclinazione dell’asse terrestre e l’arco <strong>di</strong> eclittica percorso<br />
dal sole dopo l’equinozio <strong>di</strong> primavera, avremo:<br />
ɛ = 90 + ϕ, (2.269)<br />
dove ϕ è la longitu<strong>di</strong>ne misurata come si usa a partire dal meri<strong>di</strong>ano normale<br />
a quello che contiene il polo dell’eclittica, dal meri<strong>di</strong>ano cioè in cui si<br />
trova il sole all’equinozio, e:<br />
tan ϕ = tan β cos α. (2.270)<br />
Assimilando la terra a un giroscopio, il suo asse si sposta approssimativamente<br />
in ogni istante normalmente al meri<strong>di</strong>ano che contiene l’astro,<br />
con una velocità angolare: :<br />
η = C<br />
, (2.271)<br />
Ipω<br />
essendo ω la velocità angolare della terra. La componente normale al<br />
meri<strong>di</strong>ano che contiene il polo dell’eclittica vale:<br />
η1 =<br />
η2 =<br />
C<br />
Ipω<br />
C<br />
Ipω<br />
cos ɛ = − C<br />
Ipω<br />
sin ɛ = C<br />
Ipω<br />
sin ϕ = C<br />
Ipω<br />
cos ϕ = C<br />
Ipω<br />
tan β cos α<br />
1 + tan 2 β cos 2 α (2.272)<br />
1<br />
1 + tan 2 β cos 2 α . (2.273)<br />
Sostituendo a C la sua espressione (2.268) e ricordando che: sin θ =<br />
sin α sin β, troviamo<br />
η1 =<br />
η2 =<br />
3 Mmr<br />
916<br />
2<br />
R3Ipω sin α cos α tan β sin β1 − sin2 α sin2 β<br />
<br />
2 1 + tan β cos2 α<br />
(2.274)<br />
3 Mmr<br />
916<br />
2<br />
R3Ipω sin α sin β1 − sin2 α sin2 β<br />
. (2.275)<br />
2 1 + tan β cos2 α<br />
142
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Se si trascura l’eccentricità dell’orbita il valore <strong>di</strong> η2 è nullo, perché<br />
scambiando β in −β, η2 cambia segno.<br />
Considerando α infinitamente piccolo le formole precedenti <strong>di</strong>ventano:<br />
ϕ = β (2.276)<br />
θ = α sin β (2.277)<br />
η =<br />
η1 =<br />
η2 =<br />
3 Mmr<br />
916<br />
2<br />
R3 α sin β (2.278)<br />
Ipω<br />
3 Mmr<br />
916<br />
2<br />
R3Ipω α sin2 β (2.279)<br />
3 Mmr<br />
916<br />
2<br />
R3 α sin β cos β. (2.280)<br />
Ipω<br />
Ritenendo l’orbita circolare, il valore me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> η1 e η2 è<br />
η1 = 1 3 Mmr<br />
2 916<br />
2<br />
R3 α<br />
Ipω<br />
(2.281)<br />
η2 = 0. (2.282)<br />
L’asse terrestre ruota intorno all’asse dell’eclittica con velocità angolare<br />
n = η 1 / sin α ovvero, poiché si suppone α piccolo:<br />
n = η 1<br />
α<br />
1 3 Mmr<br />
=<br />
2 916<br />
2<br />
R3Ipω 3 M<br />
=<br />
2 R3ω Ip − Ie<br />
Aggiungendo l’effetto della luna e trascurando la nutazione:<br />
n = 3 Ip − Ie<br />
2 Ip<br />
<br />
M<br />
R3 +<br />
ω<br />
′<br />
M<br />
R ′3 <br />
ω<br />
da cui<br />
Misurando il tempo in anni/2π:<br />
Segue:<br />
M<br />
R<br />
3 = 1, M ′<br />
Ip<br />
. (2.283)<br />
(2.284)<br />
Ip = 3<br />
2 (Ip<br />
′<br />
M M<br />
− Ie) +<br />
R3 R ′3<br />
<br />
1 1<br />
. (2.285)<br />
n ω<br />
=∼ 2.25,<br />
R ′3<br />
1<br />
=∼ 25800, ω = 366. (2.286)<br />
n<br />
Ip 344 (Ip − Ie) (2.287)<br />
143
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
e, poiché, come si è visto, Ip − Ie = mr 2 /916:<br />
Ip = 344<br />
916 m r2 = 0.375 m r 2 , (2.288)<br />
valore troppo alto, in quanto Ip/(Ip − Ie) = 305.<br />
2.22 Teoria dell’irraggiamento<br />
Ripren<strong>di</strong>amo l’Hamiltoniana<br />
<br />
i<br />
· ∂q<br />
∂r = H0 +<br />
∞<br />
s=1<br />
<br />
1<br />
2 p2s + 2π 2 ν 2 s q 2 <br />
s +<br />
∞<br />
s=1<br />
e<br />
mc p × ·bs qs, (2.289)<br />
Essendo bs un vettore 32 funzione del posto e tale che il valore me<strong>di</strong>o<br />
|bs| 2 = 4πc2<br />
. (2.290)<br />
Ω<br />
In<strong>di</strong>cando con ψn l’autofunzione relativa allo stato stazionario ennesimo<br />
dell’atomo imperturbato, con ψ rs<br />
s quella relativa allo stato erresimo dell’oscillatore<br />
s imperturbato, l’autofunzione relativa all’intero sistema sarà, trascurando<br />
l’interazione:<br />
ψ =<br />
<br />
an,r1,r2,r3,r4,...ri... ψn ψ r1<br />
1 ψ r2<br />
2 . . . ψ ri r . . . , (2.291)<br />
n,r1,r2,...<br />
con le a costanti. A causa dell’interazione le a saranno funzioni del tempo,<br />
e obbe<strong>di</strong>ranno alle equazioni <strong>di</strong>fferenziali:<br />
<br />
i ˙an,r1,r2,... = a n ′ ,r ′ 1 ,r ′ 2 ,... A n,r1,r2,...,n ′ ,r ′ 1 ,r′ 2 ,..., (2.292)<br />
32 Si noti che qui l’Autore sta considerando una sorta <strong>di</strong> generalizzazione <strong>di</strong> ciò<br />
che è stato fatto nel paragrafo 2.19. Il potenziale vettore è scritto come C = bq,<br />
trattando q come una quantità scalare (in un certo senso).<br />
144
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
essendo A la matrice dell’interazione. Si ricava imme<strong>di</strong>atamente che possono<br />
essere <strong>di</strong>versi da zero solo quei termini che corrispondono alla variazione<br />
dello stato dell’atomo e alla variazione <strong>di</strong> un’unità del numero quantico<br />
<strong>di</strong> uno <strong>degli</strong> oscillatori. Per r ′ s = rs±1 avremo:<br />
=<br />
An,r1,r2,...rs...,n ′ ,r1,r2,...r ′ s ...<br />
nn ′ + b z sη z nn ′<br />
<br />
e<br />
c 2πi (νn − νn ′) b x s η x nn ′ + bysη y<br />
<br />
(rs + 1/2 ± 1/2)<br />
×<br />
exp {2πi(νn − νn<br />
4πνs<br />
′±νs)t}, (2.293)<br />
essendo ηx, ηy, ηz le matrici <strong>di</strong> polarizzazione secondo x, y, z dell’atomo<br />
imperturbato; νn i termini dell’atomo, cioè νn = En/h, ed essendosi inoltre<br />
supposto bs costante.<br />
Supponiamo inizialmente l’atomo nello stato n, e gli oscillatori a livello<br />
zero. Basterà supporre tutte lea nulle ad eccezione <strong>di</strong>:<br />
Per un tempo abbastanza breve avremo:<br />
˙an ′ ,0,...,0,1,0,... = i<br />
an,0,0,0,... = 1. (2.294)<br />
An ′ ,0,...,0,1,0,...,n,0,...,0,...<br />
= − e 2π<br />
c νnn ′ bs·η<br />
<br />
<br />
nn ′<br />
essendosi posto νnn ′ = νn ′ − νn. E quin<strong>di</strong>:<br />
an ′ ,0,...,0,1,0,... = e<br />
c<br />
cosicché:<br />
|an ′ ,0,...,0,1,0,...| 2 = e2<br />
c 2<br />
i<br />
νnn ′ bs·η nn ′<br />
= e2<br />
c 2<br />
exp {2πi(νnn<br />
4πνs<br />
′ − νs)t}, (2.295)<br />
<br />
4πνs<br />
1<br />
2 ν2 nn ′ |bs·ηnn ′| 2<br />
<br />
<br />
4πνs<br />
ν 2 nn ′<br />
πνs<br />
Poiché il valore me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> |bs·η nn ′| 2 è<br />
e 2πi(ν nn ′ −νs)t − 1<br />
νnn ′ − νs<br />
, (2.296)<br />
4 sin 2 π(νnn ′ − νs)t<br />
(νnn ′ − νs) 2<br />
|bs·ηnn ′| 2 sin 2 π(νnn ′ − νs)t<br />
(νnn ′ − νs)2 . (2.297)<br />
|bs·ηnn ′| 2 = 4 πc<br />
3<br />
2<br />
Ω |η|2<br />
145<br />
(2.298)
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
e il valore <strong>di</strong> νs è prossimo a νnn ′, la probabilità <strong>di</strong> trovare l’atomo nello<br />
stato n ′ sarà<br />
P = 4 e<br />
3<br />
2<br />
c2 πc 2<br />
Ω |η|2 νnn ′<br />
= 64<br />
3<br />
2π 5<br />
<br />
1<br />
2<br />
8πνnn ′Ω<br />
π c3 sin 2 π(νnn ′ − νs)t<br />
dνs<br />
(νnn ′ − νs) 2<br />
e 2 |η| 2 ν 3 nn ′<br />
c 3 t, (2.299)<br />
e la mortalità dovuta al passaggio n → n ′ è: 33<br />
dP<br />
dt = 64π4e 2 ν 3 nn ′|η|2<br />
3hc3 2.23 Sulle matrici<br />
= 16π4 e 2 ν 4 nn ′|2η|2<br />
3c 3<br />
1<br />
hνnn ′<br />
. (2.300)<br />
Una grandezza fisica A si può misurare con un operatore lineare che trasforma<br />
vettori in vettori, in uno spazio a infinite <strong>di</strong>mensioni. Immaginiamo <strong>di</strong> fissare<br />
un sistema d’assi arbitrario e in<strong>di</strong>chiamo con ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ n , . . . vettori<br />
unitari <strong>di</strong>retti secondo tali assi. Essi possono essere anche complessi.<br />
In questo caso scriveremo le relazioni <strong>di</strong> ortonormalità:<br />
ψ i ·ψ ∗<br />
k = δik. (2.301)<br />
All’operatore A si può associare una matrice Ars, che <strong>di</strong>pende però dalla<br />
scelta fatta <strong>degli</strong> assi coor<strong>di</strong>nati. I suoi elementi 34 sono definiti dalla relazione:<br />
35<br />
A ψ s = Ars ψ r . (2.304)<br />
33Nell’ultima formula abbiamo reintrodotto la costante <strong>di</strong> Planck h, come nel<br />
manoscritto originale.<br />
34Si noti che l’Autore in<strong>di</strong>ca con lo stesso simbolo l’operatore e la sua matrice<br />
rappresentativa. Comunque, ogni confusione è evitata notando che una matrice<br />
ha sempre due in<strong>di</strong>ci che in<strong>di</strong>cano esplicitamente la riga e la colonna.<br />
35∗ Si deduce la regola <strong>di</strong> moltiplicazione:<br />
cioè:<br />
A B ψ s = A Brs ψ r = Atr Brs ψ t , (2.302)<br />
(A B) ts = Atr Brs. (2.303)<br />
146
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Assumiamo un nuovo sistema <strong>di</strong> assi e siano χ 1 , χ 2 , . . . , χ n , . . . i vettori<br />
unitari <strong>di</strong>retti secondo i nuovi assi. L’operatore S che fa passare dai vettori<br />
ψ ai vettori χ, si riduce ad una rotazione nel caso <strong>di</strong> assi reali. La sua<br />
matrice è definita dalla relazione:<br />
χ k = Sik ψ i (2.305)<br />
e, per la (2.301), che vale anche quando a ψ si sostituisce χ:<br />
Se S −1 è l’operatore inverso <strong>di</strong> S, avremo:<br />
e, sostituendo nella (2.305):<br />
Allora<br />
Sik S ∗ il = δkl. (2.306)<br />
ψ j = S −1<br />
kj χ k (2.307)<br />
χ k = Sik S −1<br />
li χ l . (2.308)<br />
Sik S −1<br />
li = δkl, (2.309)<br />
relazioni che sono sod<strong>di</strong>sfatte se:<br />
Infatti, in tal caso,<br />
S −1<br />
rs = S ∗ sr. (2.310)<br />
Sik S −1<br />
li = Sik S ∗ il. (2.311)<br />
L’equazione (2.309) si deduce imme<strong>di</strong>atamente dalla relazione<br />
che si può scrivere appunto:<br />
Dalla con<strong>di</strong>zione (2.312), segue che<br />
S −1 S = 1, (2.312)<br />
S −1<br />
li Sik = Sik S −1<br />
li = δkl. (2.313)<br />
Ski S −1<br />
il = Ski S ∗ li = δkl, (2.314)<br />
equazione analoga alla (2.306) ma riferita alle righe anziché alle colonne.<br />
Ripren<strong>di</strong>amo la (2.304) e sostituiamo ai vettori ψ le loro espressioni<br />
date dalla (2.307):<br />
A S −1<br />
rs χ r = Ars S −1<br />
ir χ i ; (2.315)<br />
147
e ponendo 36<br />
cioè:<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
A χ s = A ′ rs χ r (2.316)<br />
A ′ ir S −1<br />
rs χ i = Ars S −1<br />
ir χ i , (2.317)<br />
A ′ ir S −1<br />
rs = S −1<br />
ir Ars (2.318)<br />
A ′ ir S −1<br />
rs Ssj = S −1<br />
ir Ars Ssj (2.319)<br />
A ′ ij = S −1<br />
ir Ars Ssj. (2.320)<br />
Analogamente, sostituendo la (2.305) nella (2.316), si troverebbe:<br />
A Srs ψ r = A ′ rs Sir ψ i (2.321)<br />
Air Srs ψ i = A ′ rs Sir ψ i (2.322)<br />
Air Srs = Sir A ′ rs (2.323)<br />
Aij = Sir A ′ rs Ssj. (2.324)<br />
Formole simmetriche a quelle scritte più sopra e che da quelle si deducono<br />
imme<strong>di</strong>atamente; segue ad esempio dalla (2.320):<br />
Sai A ′ ij S −1<br />
jb = Sai S −1<br />
ir Ars Ssj S −1<br />
jb<br />
(2.325)<br />
Ars = Sai A ′ ij S −1<br />
jb , (2.326)<br />
identica alla (2.324).<br />
In<strong>di</strong>cando con [A] e con [A ′ ] le matrici corrispondenti all’operatore A<br />
nei due sistemi <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate, e con [S] e [S −1 ] le matrici <strong>di</strong> elementi Srs e<br />
S −1<br />
rs , avremo:<br />
[A] [S] = [S] [A ′ ] (2.327)<br />
A ′ = [S −1 ] [A] [S]. (2.328)<br />
Abbiamo supposto prima che S sia l’operatore che trasforma i vettori ψ<br />
nei vettori χ, abbiamo cioè immaginato <strong>di</strong> poter scrivere:<br />
χ i = S ψ i . (2.329)<br />
36 Si osservi che la (2.316) definisce la matrice (A ′ rs ) che rappresenta l’operatore<br />
A nella base {χ}.<br />
148
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Ciò richiede che i vettori χ e ψ siano numerati con lo stesso sistema <strong>di</strong><br />
in<strong>di</strong>ci; ma una tale limitazione non è necessaria. Possiamo perciò coor<strong>di</strong>nare<br />
la matrice [S] non già a un operatore ma a una semplice funzione<br />
Srs <strong>di</strong> due variabili, gli in<strong>di</strong>ci r e s dei vettori ψ r e χ s, la quale sod<strong>di</strong>sfi<br />
alle con<strong>di</strong>zioni:<br />
χ s = Srs ψ r . (2.330)<br />
2.24 Teoria dell’irraggiamento<br />
Supponiamo ancora l’atomo inizialmente nello stato n e gli oscillatori a<br />
riposo. Se esiste un solo stato n ′ più profondo <strong>di</strong> n potremo in prima approssimazione<br />
prescindere dall’esistenza <strong>di</strong> altri stati stazionari dell’atomo.<br />
Facendo poi tendere all’infinito il volume che racchiude il nostro atomo, la<br />
probabilità <strong>di</strong> trovare eccitata una singola frequenza νs tende a zero; cioè<br />
possiamo supporre quasi tutti gli oscillatori a riposo per tutta la durata<br />
dell’emissione. 37 Avremo per la (2.293):<br />
˙an ′ ,0,...0,1,0... = − e 2π<br />
c<br />
<br />
<br />
×<br />
4πνs<br />
˙an,0,...0,0,0... = e<br />
c<br />
s<br />
<br />
<br />
×<br />
4πνs<br />
νnn ′ bs·η n ′ n<br />
e 2πi(ν nn ′ −νs)t an,0,...0,0,0...<br />
2π<br />
νnn ′ bs·η nn ′<br />
(2.331)<br />
e −2πi(ν nn ′ −νs)t an ′ ,0,...0,1,0.... (2.332)<br />
Possiamo supporre η nn ′ reale e quin<strong>di</strong> η nn ′ = η n ′ n . Vedremo <strong>di</strong> sod<strong>di</strong>sfare<br />
a queste equazioni ponendo: an,0,...0,0,0... = exp{−γt/2}. Avremo:<br />
˙an ′ ,0,...0,1,0... = − e 2π<br />
c νnn ′ bs·ηnn ′<br />
37∗ Più precisamente, esclu<strong>di</strong>amo quegli stati quantici che corrispondono a due<br />
o più oscillatori eccitati.<br />
149
e quin<strong>di</strong>:<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
<br />
<br />
×<br />
4πνs<br />
an ′ ,0,...0,1,0... = − e 2π<br />
c<br />
<br />
<br />
×<br />
4πνs<br />
˙an,0,...0,0,0... = − <br />
s<br />
e 2πi(ν nn ′ −νs)t e −γt/2<br />
νnn ′ bs·η nn ′<br />
e 2<br />
c 2<br />
e 2πi(ν nn ′ −νs−γ/2)t − 1<br />
2πi(νnn ′ − νs) − γ/2<br />
4π 2<br />
2<br />
<br />
ν<br />
4πνs<br />
2 nn ′ |bs·ηnn ′| 2<br />
(2.333)<br />
(2.334)<br />
× e−γt/2 − e 2πi(νnn ′ −νs)t<br />
2πi(νnn ′ − νs) − γ/2 e−γt/2 . (2.335)<br />
Supponendo al solito che νs sia prossimo a νnn ′ e che la (2.298) valga, e<br />
trasformando al limite la somma in un integrale:<br />
e poiché<br />
si ricava:<br />
× 8πν2 nn ′<br />
c 3<br />
4π 2<br />
<br />
4 πc 2<br />
˙an,0,...0,0,0... = − e2<br />
c2 2 ν<br />
4πνs<br />
2 nn ′ |ηnn ′|2<br />
3 Ω<br />
−γt/2 2πi(ν<br />
e − e nn ′ −νs)t<br />
Ω e−γt/2<br />
= − 32π3e 2 ν 3 nn ′|ηnn ′|2<br />
3c3 e −γt/2<br />
dνs<br />
2πi(νnn ′ − νs) − γ/2<br />
e −γt/2 − e 2πi(ν nn ′ −νs)t<br />
˙an,0,...0,0,0... = − γ<br />
2 e−γt/2 ,<br />
γ<br />
2 = 32π3e 2 ν 3 nn ′|ηnn ′|2<br />
3c3 −γt/2 2πi(ν<br />
e − e nn ′ −νs)t<br />
2πi(νnn ′ − νs) − γ/2 dνs; (2.336)<br />
2πi(νnn ′ − νs) − γ/2 dνs. (2.337)<br />
Basta <strong>di</strong>mostrare che l’integrale <strong>di</strong> destra è uguale a 1/2, e così 38<br />
γ = 32π3e 2 ν 3 nn ′|ηnn ′|2<br />
3c3 . (2.338)<br />
38 Nel manoscritto originale questo paragrafo si chiude con un accenno <strong>di</strong> calcolo<br />
<strong>di</strong> questo risultato (l’esponenziale complesso è sviluppato in termini delle funzioni<br />
trigonometriche). Qui riporteremo solo la seguente parole: “La parte immaginaria<br />
dell’integrale è indeterminata ma a noi interessa solo la parte reale <strong>di</strong> γ, poiché<br />
essa sola entra nell’espressione <strong>di</strong> |an| 2 , che ha solo significato fisico”.<br />
150
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
2.25 Moto kepleriano piano perturbato<br />
Sia un punto <strong>di</strong> massa 1 attratto con forza M/r 2 verso un centro fisso O.<br />
L’equazione della traiettoria è:<br />
r =<br />
essendo k, e e α costanti. Infatti, se si pone:<br />
k = r2V 2<br />
t<br />
M<br />
e =<br />
kVr<br />
α = θ − arctan<br />
(k − r)Vt<br />
= θ − arcsin k Vr<br />
re Vt<br />
k<br />
, (2.339)<br />
1 + e cos(θ − α)<br />
<br />
(k − r) 2 2 Vt + k2V 2<br />
r<br />
kM<br />
= θ − arccos<br />
k − r<br />
re ,<br />
(2.340)<br />
essendo Vr e Vt le velocità, ra<strong>di</strong>ale e trasversa, e si sostituisce in (2.339)<br />
questa risulta identicamente sod<strong>di</strong>sfatta; inoltre le k, e, α date dalla (2.340)<br />
sono costanti. Infatti:<br />
r 4 ˙ θ 2<br />
˙k = d<br />
dt M = 2R3θ˙ M<br />
˙e = 1<br />
<br />
− k<br />
e<br />
˙r<br />
r2 <br />
k<br />
− 1<br />
r<br />
=<br />
k ˙r<br />
eM<br />
˙α = ˙ θ −<br />
<br />
¨r − r ˙ θ 2 + M<br />
r2 <br />
r e Vt<br />
k ˙r<br />
<br />
2 ˙r ˙ θ + r¨ <br />
θ<br />
+ k<br />
M<br />
= k ˙r<br />
k ˙r<br />
er2 = ˙ θ − Vt<br />
r<br />
<br />
˙r ¨r<br />
eM<br />
= 0.<br />
Si deducono l’espressione del semiasse maggiore:<br />
a =<br />
=<br />
k<br />
=<br />
1 − e2 = 2r3 ˙ θ<br />
M<br />
<br />
ar + M<br />
r 2<br />
k 2 M<br />
kM − (k − r) 2V 2<br />
t − k2V 2<br />
r<br />
k 2 M<br />
kM − k 2 V 2 + 2krV 2<br />
t − kM =<br />
151<br />
at = 0<br />
<br />
= 0<br />
M<br />
2M/r − V 2<br />
(2.341)
=<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
r<br />
2 − rV 2 /M =<br />
r<br />
2 − V 2 /V 2<br />
0<br />
= r<br />
V 2<br />
0<br />
2V 2 , (2.342)<br />
0 − V 2<br />
in cui V = V 2<br />
r + V 2<br />
t è la velocità totale e V0 = M/r è la velocità<br />
corrispondente al moto circolare. Il semiasse minore sarà:<br />
b =<br />
=<br />
k<br />
√ 1 − e 2 = √ k a =<br />
rVt<br />
2M/r − V 2<br />
= r<br />
r 3/2 Vt<br />
√ M 2 − rV 2 /M<br />
Vt<br />
. (2.343)<br />
2 2V0 − V 2<br />
Il raggio k normale all’asse maggiore si potrà anche scrivere:<br />
k = r2V 2<br />
t<br />
M<br />
2<br />
Vt = r<br />
La <strong>di</strong>stanza del secondo fuoco dal punto mobile sarà:<br />
r ′ = 2a − r = r2 V 2 /M<br />
2 − rV 2 /M<br />
e il periodo <strong>di</strong> rivoluzione:<br />
T = 2πab<br />
rVt<br />
=<br />
2πM<br />
2M/r − V 2 3/2<br />
V 2 . (2.344)<br />
0<br />
= r<br />
V 2<br />
2V 2 , (2.345)<br />
0 − V 2<br />
= 2π<br />
√ M a 3/2 . (2.346)<br />
Supponiamo ora che al campo newtoniano si sovrapponga un altro<br />
campo arbitrario, e siano χr e χt le componenti ra<strong>di</strong>ale e trasversa della<br />
forza aggiunta. La (2.339) sarà ancora valida intendendo che k, e, α non<br />
siano costanti. Esse sono funzioni variabili che <strong>di</strong>pendono da r, θ, Vr e Vt,<br />
e sono definite dalle equazioni (2.340). Avremo evidentemente:<br />
˙k = ∂k<br />
χr +<br />
∂Vr<br />
∂k<br />
χt = 2<br />
∂Vt<br />
r2Vt χt<br />
M<br />
χt<br />
= 2k<br />
Vt<br />
(2.347)<br />
˙e = ∂e<br />
χr +<br />
∂Vr<br />
∂e<br />
=<br />
χt<br />
∂Vt<br />
<br />
k − r 2<br />
2 Vt +<br />
eM k<br />
<br />
2 χt<br />
Vr eM Vt<br />
+ k<br />
Vrχr<br />
eM<br />
(2.348)<br />
˙α =<br />
k + r<br />
e2 k − r<br />
Vr χt −<br />
M e2 Vt χr,<br />
M<br />
(2.349)<br />
˙a = 2<br />
M a2 (Vr χr + Vt χt) . (2.350)<br />
152
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Supponiamo dati χr e χt in funzione <strong>di</strong> r, θ e t; a causa della (2.339)<br />
potremo esprimerli in funzione <strong>di</strong> k, e, α, θ e t. Anche Vr e Vt si possono<br />
esprimere me<strong>di</strong>ante le stesse lettere:<br />
Vt =<br />
Vr = Vt<br />
√<br />
kM<br />
= Vt(k, e, α, θ) (2.351)<br />
r<br />
re<br />
M sin (θ − α) = Vr(k, e, α, θ). (2.352)<br />
Sostituendo nelle tre equazioni in<strong>di</strong>pendenti (2.347), (2.348), (2.349) [la<br />
(2.350) deriva naturalmente dalle precedenti], si trova:<br />
˙k = ˙ k(k, e, α, θ, t) (2.353)<br />
˙e = ˙e(k, e, α, θ, t) (2.354)<br />
˙α = ˙α(k, e, α, θ, t). (2.355)<br />
Occorre quin<strong>di</strong> un’altra equazione per determinare il moto. Questa è fornita<br />
dalla prima delle equazioni (2.340):<br />
˙θ =<br />
√ kM<br />
r 2 = ˙ θ(k, e, α, θ). (2.356)<br />
Dati i valori iniziali all’istante t0 delle quattro variabili: k0, e0, α0, θ0 le<br />
equazioni (2.353)-(2.356) permettono <strong>di</strong> calcolarne i valori a un istante<br />
qualunque. Se la perturbazione è piccola il problema si risolve per successive<br />
approssimazioni. In<strong>di</strong>cando con θ ′ il valore che assumerebbe θ in un<br />
istante generico e in assenza <strong>di</strong> perturbazioni, quali risulta dall’equazione<br />
del tempo <strong>di</strong> Keplero, avremo in approssimazione zero:<br />
θ = θ ′ , k = k0, e = e0, α = α0. (2.357)<br />
In prima approssimazione: k = k1, e = e1, α = α1, θ = θ1, essendo:<br />
∞<br />
k1 = k0 +<br />
t0<br />
∞<br />
e1 = e0 +<br />
t0<br />
∞<br />
α1 = α0 +<br />
t0<br />
153<br />
˙k(k0, e0, α0, θ ′ , t) dt<br />
˙e(k0, e0, α0, θ ′ , t) dt (2.358)<br />
˙α(k0, e0, α0, θ ′ , t) dt.
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Per θ non si può scrivere una formola analoga, perché nell’espressione<br />
esatta:<br />
∞<br />
θ = θ0 + ˙θ(k, e, α, θ, t) dt (2.359)<br />
t0<br />
i due termini del secondo membro sono dello stesso or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza,<br />
cosicché ponendo a destra un valore approssimato per θ, non se ne ottiene<br />
uno più approssimato a sinistra. Si può pensare <strong>di</strong> trasformare la (2.356).<br />
Per ciò osserviamo che la forma <strong>di</strong> ˙ θ(k, e, α, θ) non <strong>di</strong>pende dalle forze<br />
perturbative ed è quin<strong>di</strong> la stessa che si avrebbe in assenza <strong>di</strong> perturbazioni;<br />
avremo quin<strong>di</strong> evidentemente:<br />
e posto:<br />
avremo:<br />
˙θ ′ = ˙ θ(k0, e0, α0, θ ′ ); (2.360)<br />
θ = θ ′ + γ, (2.361)<br />
˙γ = ˙ θ(k, e, α, θ) − ˙ θ(k0, e0, α0, θ ′ )<br />
= ˙ θ(k, e, α, θ) − ˙ θ ′ = ˙γ(k, e, α, θ, t). (2.362)<br />
In luogo della (2.356) si utilizzerebbe dunque l’altra:<br />
˙θ = ˙ θ ′ + ˙γ(k, e, α, θ, t), (2.363)<br />
ma neanche questa si presta al calcolo per successive approssimazioni,<br />
perché ponendo in ˙γ(k, e, α, θ, t) un valore approssimato per θ, non si ottiene<br />
un valore approssimato per ˙γ e ciò perché ˙γ non si annulla, in assenza<br />
<strong>di</strong> forze perturbanti, se non ponendo per θ il suo valore esatto θ ′ .<br />
Per calcolare θ1 occorre invece ricavarlo dall’espressione 39<br />
in cui si porrà<br />
t = t0 +<br />
2π<br />
θ0<br />
dθ1<br />
˙θ(k ′ 1, e ′ 1, α ′ , (2.364)<br />
1, θ1)<br />
k ′ 1 = k1[θ ′ (θa)], e ′ 1 = e1[θ ′ (θa)], α ′ 1 = α1[θ ′ (θa)], (2.365)<br />
39 Nel manoscritto originale il limite superiore dell’integrale non è esplicitamente<br />
dato.<br />
154
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
essendo θ ′ = θ ′ (t), t = θ ′ (θ ′ ), k1 = k1(r), . . . ecc. In generale per l’appros-<br />
simazione n (n > 1) valgono le formole:<br />
essendo<br />
k ′ n = kn<br />
∞<br />
kn = k0 + ˙k (kn−1, en−1, αn−1, θn−1, t) dt<br />
t0<br />
∞<br />
en = e0 + ˙e (kn−1, en−1, αn−1, θn−1, t) dt<br />
t0<br />
∞<br />
αn = α0 + ˙α (kn−1, en−1, αn−1, θn−1, t) dt<br />
t0<br />
t = t0 +<br />
2π<br />
θ0<br />
dθn<br />
˙θ(k ′ n, e ′ n, α ′ n, θn) ,<br />
(2.366)<br />
′ ′ <br />
θn−1(θn) , e n = en θn−1(θn) , α n = αn θn−1(θn)<br />
kn = kn(t), en = en(t), αn = αn(t).<br />
L’ultima delle equazioni (2.366) è giustificata dal fatto che conoscendo<br />
k, e, α in funzione <strong>di</strong> t e in approssimazione n (cioè a meno <strong>di</strong> infinitesimi<br />
d’or<strong>di</strong>ne maggiore <strong>di</strong> n, quando le forze perturbative tendono a zero) e t<br />
in funzione <strong>di</strong> θ in approssimazione n − 1, si ricavano k, e e α in funzione<br />
<strong>di</strong> θ in approssimazione n, in quanto dk/dt, de/dt, dα/dt sono esse stesse<br />
infinitesimi del primo or<strong>di</strong>ne.<br />
Supponiamo ora che le forze perturbanti siano costanti nel tempo, o<br />
che si possano considerare come tali per un tratto <strong>di</strong> tempo lungo rispetto<br />
al periodo <strong>di</strong> rivoluzione; supponiamo inoltre che siano abbastanza piccole<br />
così che k, e e α varino poco in un periodo. In<strong>di</strong>cheremo con ˙ k, ˙e e ˙α<br />
le variazioni secolari <strong>di</strong> tali grandezze, cioè i valori me<strong>di</strong> ˙ k, ˙e, ˙α sull’intero<br />
periodo. Avremo evidentemente:<br />
˙k = ˙ k(k, e, α, t), ˙e = ˙e(k, e, α, t), ˙α = ˙α(k, e, α, t). (2.367)<br />
La forma delle equazioni (2.367) <strong>di</strong>pende dalla forma delle funzioni<br />
χr = χr(r, θ, t), χt = χt(r, θ, t), (2.368)<br />
e la <strong>di</strong>pendenza dal tempo si ha solo quando χr e χt variano col tempo,<br />
con la restrizione beninteso che varino lentamente.<br />
155
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Facciamo alcuni casi particolari: χt = 0; χr = ɛ r n . Si deduce dalle<br />
equazioni (2.347), (2.348), (2.349),<br />
e quin<strong>di</strong><br />
˙α =<br />
˙k = 0, ˙e = k<br />
eM<br />
r − k<br />
e2M Vt ɛ rn = 1<br />
e2 <br />
k<br />
M<br />
˙k = 0, ˙e = 0, ˙α = 1<br />
e2 <br />
k<br />
M<br />
essendo ovviamente:<br />
si deduce<br />
r n = (1 − e2 ) 3/2<br />
2π<br />
r −1 = 1 − e 2 k −1<br />
k n<br />
r −2 = 1 − e 2 3/2 k −2<br />
r −3 = 1 − e 2 3/2 k −3<br />
r −4 = 1 − e 2 3/2<br />
r −5 = 1 − e 2 3/2<br />
r −6 = 1 − e 2 3/2<br />
2π<br />
0<br />
Vr ɛ rn<br />
r n − k r n−1 ɛ<br />
(2.369)<br />
<br />
rn − k rn−1 <br />
ɛ, (2.370)<br />
<br />
1 + 1<br />
2 e2<br />
<br />
k −4<br />
<br />
1 + 3<br />
2 e2<br />
<br />
k −5<br />
dθ<br />
. (2.371)<br />
(1 + e cos θ) n+r<br />
<br />
1 + 3 e 2 + 3<br />
8 e4<br />
<br />
k −6 ,<br />
156<br />
(2.372)
e 40<br />
r = 1 − e 2 −1<br />
r 2 = 1 − e 2 −2<br />
r 3 = 1 − e 2 −3<br />
r 4 = 1 − e 2 −4<br />
r 5 = 1 − e 2 −5<br />
r 6 = 1 − e 2 −6<br />
r 7 = 1 − e 2 −7<br />
r 8 = 1 − e 2 −8<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
<br />
1 + 1<br />
2 e2<br />
<br />
k<br />
<br />
1 + 3<br />
2 e2<br />
<br />
k 2<br />
<br />
1 + 3 e 2 + 3<br />
8 e4<br />
<br />
k 3<br />
<br />
1 + 5 e 2 + 15<br />
8 e4<br />
<br />
k 4<br />
<br />
1 + 15<br />
2 e2 + 45<br />
8 e4 + 5<br />
16 e6<br />
<br />
k 5<br />
<br />
1 + 21<br />
2 e2 + 105<br />
8 e4 + 35<br />
16 e6<br />
<br />
k 6<br />
<br />
1 + 14 e 2 + 105<br />
4 e4<br />
+ 35<br />
4 e6 + 35<br />
128 e8<br />
<br />
k 7<br />
<br />
1 + 18 e 2 + 189<br />
4 e4<br />
+ 105<br />
4 e6 + 315<br />
128 e8<br />
<br />
k 8 .<br />
(2.373)<br />
40 Nel manoscritto originale mancano le espressioni esplicite per r, r 2 , . . . , r 8 .<br />
157
Segue che se<br />
n = 0, ˙α =<br />
n = −1, ˙α =<br />
n = −2, ˙α = 0<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
<br />
k<br />
M ɛ<br />
<br />
k 2<br />
1 − e<br />
M<br />
1 − √ 1 − e2 e2 n = −3, ˙α =<br />
<br />
k<br />
−<br />
M<br />
2<br />
1 − e 3/2 1 ɛ<br />
2 k3 n = −4, ˙α =<br />
<br />
k<br />
−<br />
M<br />
2<br />
1 − e 3/2 ɛ<br />
k4 n = −5, ˙α =<br />
<br />
k<br />
−<br />
M<br />
2<br />
1 − e <br />
3/2 3 3<br />
+<br />
2 8 e2<br />
<br />
ɛ<br />
.<br />
k5 2.26 Teoria dell’irraggiamento<br />
Consideriamo due stati quantici dell’atomo <strong>di</strong> in<strong>di</strong>ci 1 e 2 e sia ν la frequenza<br />
<strong>di</strong> transizione. Sia A21 la probabilità che un atomo nello stato 2<br />
passi spontaneamente e nell’unità <strong>di</strong> tempo allo stato 1, B21U la probabilità<br />
che vi passi a causa della ra<strong>di</strong>azione <strong>di</strong> frequenza ν, esistente nello<br />
spazio, essendo U l’energia per unità <strong>di</strong> frequenza e <strong>di</strong> volume; sia ancora<br />
B12U la probabilità del passaggio inverso, N1 e N2 il numero <strong>degli</strong> atomi<br />
nello stato 1 e 2. Avremo in caso <strong>di</strong> equilibrio:<br />
N1<br />
N2<br />
= A21 + B21U<br />
B12U<br />
ɛ<br />
k<br />
. (2.374)<br />
Se la temperatura ambiente è T e ammettiamo la legge <strong>di</strong> Boltzmann si<br />
158
ha: 41<br />
da cui<br />
B12<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
8π<br />
c 3<br />
N2<br />
N1<br />
= e −hν/kT , (2.375)<br />
U = 8π<br />
c 3<br />
ν 3 h<br />
e hν/kT − 1<br />
= A21 e −hν/kT + B21<br />
che è sempre sod<strong>di</strong>sfatta solo se:<br />
ν 3 h<br />
e hν/kT , (2.376)<br />
− 1<br />
8π<br />
c 3<br />
ν 3 h<br />
e hν/kT − 1 e−hν/kT , (2.377)<br />
B12 = B21, (2.378)<br />
A21 = 8π<br />
c 3 ν3 h B12. (2.379)<br />
Ve<strong>di</strong>amo <strong>di</strong> <strong>di</strong>mostrare queste formole in base alla nostra teoria dell’irraggiamento.<br />
Sia<br />
ψ0 = <br />
(2.380)<br />
n,r1,...,rs,...<br />
ψn,r1,...,rs,... an,r1,...,rs,...<br />
l’autofunzione in un istante arbitrario. Avremo (prescindendo da tutti gli<br />
altri stati quantici oltre 1 e 2)<br />
˙a1,...,ns+1,... = − e 4π<br />
c<br />
2<br />
h ν bs·η <br />
h(ns + 1)<br />
12<br />
8π2νs × exp {2πi(ν − νs)t} a2,...,ns−1,..., (2.381)<br />
in quanto si può ritenere a priori che nel passaggio 2 → 1 venga emessa<br />
energia e <strong>di</strong> frequenza prossima a ν. Analogamente:<br />
˙a2,...,ns−1,... = e 4π<br />
c<br />
2<br />
h ν bs·η <br />
hns<br />
12<br />
8π2ν × exp {2πi(νs − ν)t} a1,...,ns,.... (2.382)<br />
41 In questo paragrafo aderiamo all’uso dell’Autore <strong>di</strong> h, piuttosto che riscriverla<br />
in termini <strong>di</strong> .<br />
159
Ora<br />
e quin<strong>di</strong><br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
N1 = |a1,...| 2<br />
(2.383)<br />
N2 = |a2,...| 2 , (2.384)<br />
˙N1 = <br />
a1,... ˙a ∗ 1,... + ˙a1,... a ∗ <br />
1,... . (2.385)<br />
Supponiamo però per semplicità <strong>di</strong> calcolo che tutte le a1 siano inizialmente<br />
nulle. L’equazione precedente sembrerebbe dare ˙ Ni = 0, ma si tratta <strong>di</strong><br />
un risultato illusorio, in quanto si pensa scorrettamente al limite per un<br />
numero <strong>di</strong> frequenze infinite. Il calcolo va fatto come nel paragrafo 2.21.<br />
Ne <strong>di</strong>fferisce soltanto perché sotto il segno <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>ce si pone ns + 1 in luogo<br />
<strong>di</strong> 1. Poiché nella formola finale tale ra<strong>di</strong>ce compare a quadrato avremo<br />
solo da moltiplicare il risultato per il valore me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> ns + 1. In<strong>di</strong>cando<br />
con n il valore me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> ns si trova:<br />
˙N1 = N2<br />
64π 4 ν 3 e 2 |η12| 2<br />
3hc 3 (n + 1) . (2.386)<br />
Analogamente se si suppongono inizialmente tutti gli atomi nello stato 1<br />
si trova la stessa formola, salvo a scambiare N1 e N2, e a porre n in luogo<br />
<strong>di</strong> n + 1, perché nella (2.382) compare ns e non ns + 1:<br />
˙N2 = N1<br />
da cui derivano gli A e B <strong>di</strong> Einstein:<br />
64π 4 ν 3 e 2 |η12| 2<br />
A21 = 64π4 ν 3 e 2 |η12| 2<br />
3hc 3<br />
B21 = B12 = nA21<br />
U<br />
in accordo con le equazioni (2.378) e (2.379).<br />
160<br />
3hc 3 n. (2.387)<br />
=<br />
(2.388)<br />
A21<br />
(8π/c 3 )ν 3 , (2.389)<br />
h
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
2.27 Integrali definiti<br />
(Si veda il paragrafo 1.37.)<br />
(13)<br />
(14)<br />
1<br />
0<br />
1 − x 2 n =<br />
1<br />
2n + 1<br />
Per n grande, il primo membro è prossimo a<br />
∞<br />
da cui segue per n grande:<br />
0<br />
e −nx2<br />
dx = 1<br />
2<br />
2 2n n! 2<br />
. (2.390)<br />
(2n)!<br />
π<br />
n ,<br />
n! 2 2 2n<br />
(2n)! = √ πn + . . . , (2.391)<br />
come si deduce imme<strong>di</strong>atamente dalla formola <strong>di</strong> Stirling (ve<strong>di</strong> il<br />
paragrafo 1.27).<br />
∞<br />
−∞<br />
(15) ∞<br />
e ix<br />
dx =<br />
a + ix<br />
−∞<br />
(16) ∞<br />
(17)<br />
(18)<br />
∞<br />
−∞<br />
∞<br />
−∞<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
2π e −a , a > 0<br />
0, a < 0<br />
cos x<br />
a2 π<br />
dx =<br />
+ x2 a e−a<br />
x sin x<br />
a2 dx = π e−a<br />
+ x2 (2.392)<br />
(2.393)<br />
(2.394)<br />
e iax<br />
1 + k2 π<br />
dx =<br />
x2 k e−a/k , k > 0, a > 0 (2.395)<br />
−∞<br />
xe iax<br />
1 + k2 iπ<br />
dx =<br />
x2 k2 e−a/k ,<br />
a<br />
k<br />
> 0 42<br />
(2.396)<br />
42 Più precisamente, questo risultato vale per a > 0 (mantenendo a/k > 0),<br />
mentre per a < 0 abbiamo semplicemente l’opposto.<br />
161
(19) ∞<br />
(14bis)<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
∞<br />
−∞<br />
e<br />
−∞<br />
ix2<br />
dx =<br />
e ikx<br />
dx =<br />
1 + ix<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
1 + i<br />
√ 2<br />
√ π. (2.397)<br />
2π e −k , k > 0<br />
0, k < 0<br />
(20) Ponendo dq1 = dx1dy1dz1, e r1 = x 2 1 + y 2 1 + z 2 1, si ha: 43<br />
<br />
(21)<br />
<br />
1<br />
r1<br />
(2.398)<br />
e −ar1 dq1 = 8π<br />
, a > 0 (2.399)<br />
a3 e −ar1 dq1 = 8π<br />
a 3<br />
dτ = dx1dy1dz1dx2dy2dz2<br />
a<br />
, a > 0 (2.400)<br />
2<br />
r12 = (x1 − x2) 2 + (y1 − y2) 2 + (z1 − z2) 2<br />
r1 = x 2 1 + y 2 1 + z 2 1, r2 = x 2 2 + y 2 2 + z 2 2, a, b > 0<br />
<br />
<br />
<br />
e −ar1 e −br2 dτ = 64π 2<br />
a 3 b 3<br />
1<br />
e<br />
r1<br />
−ar1 −br2 e dτ =<br />
64π 2<br />
a3b3 1<br />
e<br />
r12<br />
−ar1 −br2 e dτ =<br />
64π 2<br />
a3b3 2.28 Sviluppi in serie<br />
(Si vedano i paragrafi 1.22 e 3.1.)<br />
a<br />
2<br />
(2.401)<br />
(2.402)<br />
a 2 + 3ab + b 2<br />
2(a + b) 3 ab. (2.403)<br />
43 Gli integrali che seguono sono calcolati sull’intero asse reale per ogni variabile.<br />
162
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
(1) Consideriamo la seguente funzione <strong>di</strong> x:<br />
y =<br />
Sotto certe con<strong>di</strong>zioni, si ha:<br />
∞<br />
n=0<br />
lim<br />
x→∞<br />
f(n)x n<br />
(−1)<br />
n!<br />
n . (2.404)<br />
x r y<br />
= 0 (2.405)<br />
ex qualunque sia r. Se f(n) = costante, la (2.405) è sicuramente sod<strong>di</strong>sfatta.<br />
Se f(n) = n, si ha y = −xe −x e la (2.405) è ancora sod<strong>di</strong>sfatta.<br />
Analogamente si prova che è sod<strong>di</strong>sfatta se f(n) = n(n − 1)<br />
oppure f(n) = n(n − 1)(n − 2), ecc. . . O anche se f(n) = 1/(n + 1) o<br />
1/(n + 1)(n + 2) o 1/(n + 1)(n + 2)(n + 3), ed ecc. . . Segue allora che<br />
la (2.405) è sod<strong>di</strong>sfatta se f(n) è una qualsiasi funzione razionale <strong>di</strong><br />
n o, più in generale, una funzione <strong>di</strong> n che da un certo punto in poi<br />
sia sviluppabile secondo le potenze <strong>di</strong>scendenti <strong>di</strong> n a partire da una<br />
potenza arbitraria n k (con k intero).<br />
L’equazione (2.405) è ancora valida se f(n) può essere estesa secondo<br />
le potenze <strong>di</strong>scendenti <strong>di</strong> n, scalato ad esempio <strong>di</strong> un’unità, a partire<br />
da una potenza irrazionale o razionale n c . In tal caso infatti la serie<br />
y + y ′ = f1(n)x n<br />
avrà f1(n) sviluppabile a partire da n c−1 . Allora fissato comunque<br />
r, la (2.405) sarà sod<strong>di</strong>sfatta quando in luogo <strong>di</strong> y si ponga:<br />
y + k y ′ +<br />
<strong>di</strong>pendendo k da r. Ora, se:<br />
cioè essendo α infinitesimo:<br />
segue:<br />
z = e −x<br />
<br />
k(k − 1)<br />
2<br />
n!<br />
y ′′ + . . . + y (k) , (2.406)<br />
x<br />
lim<br />
x→∞<br />
r (z + z ′ )<br />
ex = 0, (2.407)<br />
z + z ′ = α x −r e x , (2.408)<br />
α x −r e 2x dx = e −x β x −r e 2x = β x −r e x , (2.409)<br />
163
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
essendo β un altro infinitesimo. Ripetendo k volte il ragionamento,<br />
si trova che la (2.405) è anche sod<strong>di</strong>sfatta da y.<br />
È ancora valida la (2.405) se f(n) è il prodotto <strong>di</strong> log n e una funzione<br />
algebrica <strong>di</strong> n, e ciò può essere provato come si è fatto sopra. Più in<br />
generale se:<br />
f(n) − k f(n − 1) +<br />
−<br />
k(k − 1)(k − 2)<br />
6<br />
k(k − 1)<br />
2<br />
f(n − 2)<br />
f(n − 3) + . . . ± f(n − k), (2.410)<br />
si può, scegliendo k opportunamente, rendere y infinitesimo (per n<br />
grande) <strong>di</strong> un or<strong>di</strong>ne elevato quanto si vuole, e la (2.405) è ancora<br />
sod<strong>di</strong>sfatta.<br />
(2) In prima approssimazione, per n grande e ɛ/n piccolo si ha:<br />
<br />
n<br />
n/2 + ɛ<br />
<br />
=<br />
n!<br />
(n/2 + ɛ)! (n/2 − ɛ)!<br />
= 2n<br />
(3) Per x grande, sviluppo (sempre <strong>di</strong>vergente) <strong>di</strong> θ:<br />
θ(x) =<br />
2<br />
√ π<br />
x<br />
0<br />
e −x2<br />
dx<br />
<br />
1<br />
x<br />
= 1 − 1<br />
√ π e −x2<br />
− 1<br />
2x<br />
2<br />
πn e−2ɛ2 /n .<br />
(2.411)<br />
<br />
3 15 105<br />
+ − + − . . . .<br />
3 4x5 8x7 16x9 Sviluppo utilizzabile, benché <strong>di</strong>vergente perché fornisce alternativamente<br />
valori per eccesso e per <strong>di</strong>fetto.<br />
2.29 Teoria dell’irraggiamento: <strong>di</strong>ffusione<br />
dell’elettrone libero<br />
Abbiamo considerato le onde stazionarie che si possono formare nel volume<br />
Ω, senza fare nessuna ipotesi né sulla forma <strong>di</strong> tale volume, né su quella<br />
164
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
delle onde. Per semplicità assumeremo che il potenziale Cs relativo alla<br />
ra<strong>di</strong>azione νs sia della forma, compatibile con la (2.219):<br />
Cs = 4πc 2 /Ω qs e 2πi(γ′ s x+γ′′<br />
s y+γ′′′<br />
s z) As, (2.412)<br />
in cui As è un vettore unitario normale alla <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> propagazione, e<br />
la frequenza sarà data da:<br />
νs = c γ ′2<br />
s + γ ′′2<br />
s + γ ′′′2<br />
s , (2.413)<br />
e il numero <strong>di</strong> oscillatori relativo agli intervalli <strong>di</strong> numeri d’onde γ ′ s − γ ′ s +<br />
dγ ′ s, γ ′′<br />
s − γ ′′<br />
s + dγ ′′<br />
s , e γ ′′′<br />
s − γ ′′′<br />
s + dγ ′′′<br />
s , sarà:<br />
dN = 2 Ω dγ ′ s dγ ′′<br />
s dγ ′′′<br />
s . (2.414)<br />
Come autofunzione per l’elettrone libero assumeremo:<br />
e il loro numero sarà:<br />
Un = 1<br />
√ Ω exp 2πi(δ ′ nx + δ ′′<br />
ny + δ ′′′<br />
n z) , (2.415)<br />
I movimenti corrispondenti alla (2.415) saranno:<br />
dn = Ω dδ ′ n dδ ′′<br />
n dδ ′′′<br />
n . (2.416)<br />
p n x = − h δ ′ n, p n y = − hδ ′′<br />
n, p n z = − hδ ′′′<br />
n . (2.417)<br />
Analogamente i movimenti dei quanti <strong>di</strong> luce sono per la (2.412):<br />
s<br />
p s x = − h γ ′ s, p s y = − hγ ′′<br />
s , p s z = − hγ ′′′<br />
s . (2.418)<br />
I termini <strong>di</strong> interazione <strong>di</strong> primo e secondo or<strong>di</strong>ne nell’Hamiltoniana complessiva<br />
saranno (si veda il paragrafo 2.6):<br />
e<br />
mc p·As<br />
<br />
4πc2 Ω qs e2πi(γ′ sx+γ′′ s y+γ′′′ s z)<br />
+ e2<br />
2mc2 4πc 2<br />
Ω<br />
<br />
r,s<br />
qr qs Ar·As e 2πi[(γ′ r +γ′ s )x+(γ′′<br />
r +γ′′<br />
s )y+(γ′′′<br />
r +γ′′′<br />
s )z] . (2.419)<br />
Nella matrice <strong>di</strong> perturbazione hanno importanza solo i termini che derivano<br />
dal secondo termine <strong>di</strong> perturbazione, perché quelli che derivano dal primo<br />
o sono piccoli o rapidamente variabili. Trascurando i primi saranno <strong>di</strong>versi<br />
165
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
da zero solo gli elementi della matrice corrispondente a un cangiamento<br />
qualunque dell’elettrone e a un mutamento <strong>di</strong> un numero quantico in su<br />
o in giù, <strong>di</strong> due e due soli oscillatori. Poiché ci interessano solo i termini<br />
gran<strong>di</strong> e poco rapidamente variabili dovremo ammettere che uno <strong>degli</strong> oscillatori,<br />
e sia l’erresimo, passi dal numero quantico kr a kr + 1, e l’altro,<br />
sia l’essesimo, passi dal numero quantico ks a ks − 1. L’elemento della<br />
matrice corrispondente a tale passaggio sarà:<br />
Bn,kr,ks;n ′ ,kr+1,ks−1 = 4πe2<br />
<br />
(r + 1) s<br />
Ar·As<br />
2mΩ2 4πνr 4πνs<br />
<br />
×<br />
e 2πi[(γ′ r −γ′ s −δ′ n +δ′<br />
n ′ )x+...] dτ e 2πi(ν n ′ −νn+νr−νs)t . (2.420)<br />
Supponiamo che il volume <strong>di</strong> Ω sia un cubo <strong>di</strong> lato a. Allora l’integrale<br />
vale in valore assoluto:<br />
sin π(γ ′ r − γ ′ s − δ ′ n + δ ′ n ′)a<br />
π(γ ′ r − γ ′ s − δ ′ n + δ ′ n ′)<br />
× sin π(γ′′′<br />
r − γ ′′′<br />
s − δ ′′′<br />
n + δ ′′′<br />
sin π(γ ′′<br />
r − γ ′′<br />
s − δ ′′<br />
n + δ ′′<br />
n ′)a<br />
π(γ ′′<br />
r − γ ′′<br />
s − δ ′′<br />
n + δ ′′<br />
n ′)<br />
n ′)a<br />
π(γ ′′′<br />
r − γ ′′′<br />
s − δ ′′′<br />
n + δ ′′′<br />
n ′)<br />
. (2.421)<br />
Supponiamo inoltre che all’istante iniziale tutti gli atomi si trovino allo<br />
stato n e gli oscillatori allo stato 0, eccetto l’oscillatore s che è nello<br />
stato ks; attribuiremo all’autofunzione corrispondente a questo stato complessivo<br />
il coefficiente 1 e il coefficiente 0 a tutti gli altri. Per un tempo<br />
breve avremo: in<strong>di</strong>cando con an ′ ,1,ks−1 il coefficiente dell’autofunzione corrispondente<br />
all’atomo nello stato n ′ , l’oscillatore erresimo nello stato 1, e<br />
l’oscillatore s nello stato ks − 1,<br />
˙an ′ ,1,ks−1 = i<br />
Bn ′ ,1,ks−1;n,0,ks , (2.422)<br />
cioè, a meno <strong>di</strong> un fattore costante <strong>di</strong> modulo 1:<br />
˙an ′ ,1,ks−1 = Ar·As<br />
e 2<br />
2mΩ 2<br />
× sin π(γ′ r − γ ′ s − δ ′ n + δ ′ n ′)a<br />
π(γ ′ r − γ ′ s − δ ′ n + δ ′ n ′)<br />
× sin π(γ′′′<br />
r − γ ′′′<br />
s − δ ′′′<br />
n + δ ′′′<br />
<br />
ks<br />
e<br />
νrνs<br />
2πi(νn−νn ′ +νs−νr)t<br />
n ′)a<br />
π(γ ′′′<br />
r − γ ′′′<br />
s − δ ′′′<br />
n + δ ′′′<br />
n ′)<br />
166<br />
sin π(γ ′′<br />
r − γ ′′<br />
s − δ ′′<br />
n + δ ′′<br />
n ′)a<br />
π(γ ′′<br />
r − γ ′′<br />
s − δ ′′<br />
n + δ ′′<br />
n ′)<br />
, (2.423)
e quin<strong>di</strong>:<br />
|an ′ ,1,ks−1| 2 = |Ar·As| 2 e 4<br />
× sin π(γ′ r − γ ′ s − δ ′ n + δ ′ n ′)a<br />
π(γ ′ r − γ ′ s − δ ′ n + δ ′ n ′)<br />
× sin π(γ′′′<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
r − γ ′′′<br />
s − δ ′′′<br />
n + δ ′′′<br />
n ′)a<br />
π(γ ′′′<br />
r − γ ′′′<br />
s − δ ′′′<br />
n + δ ′′′<br />
n ′)<br />
n ′ ,r<br />
4m2Ω4 ks<br />
νrνs<br />
sin π(γ ′′<br />
r − γ ′′<br />
s − δ ′′<br />
n + δ ′′<br />
n ′)a<br />
π(γ ′′<br />
r − γ ′′<br />
s − δ ′′<br />
n + δ ′′<br />
n ′)<br />
sin π(νn − νn ′ + νs − νr)t<br />
π2 (νn − νn ′ + νs<br />
. (2.424)<br />
− νr) 2<br />
Sommando per tutti i valori <strong>di</strong> r e n ′ integrale:<br />
e trasformando la somma in un<br />
<br />
|an ′ ,1,ks−1| 2 = e4<br />
Ω2m2 ks<br />
νs<br />
<br />
dγ ′ sdγ ′′<br />
s dγ ′′′<br />
s dδ ′ ndδ ′′<br />
n dδ ′′′ |Ar·As|<br />
n<br />
2<br />
νs<br />
× sin π(γ′ r − γ ′ s − δ ′ n + δ ′ n ′)a<br />
π(γ ′ r − γ ′ s − δ ′ n + δ ′ n ′)<br />
× sin π(γ′′′<br />
r − γ ′′′<br />
s − δ ′′′<br />
n + δ ′′′<br />
n ′)a<br />
π(γ ′′′<br />
r − γ ′′′<br />
s − δ ′′′<br />
n + δ ′′′<br />
n ′)<br />
sin π(γ ′′<br />
r − γ ′′<br />
s − δ ′′<br />
n + δ ′′<br />
n ′)a<br />
π(γ ′′<br />
r − γ ′′<br />
s − δ ′′<br />
n + δ ′′<br />
n ′)<br />
sin π(νn − νn ′ + νs − νr)t<br />
π2 . (2.425)<br />
(νn − νn ′ + νs − νr)2<br />
Supponiamo a molto grande. La funzione integranda avrà un valore notevole<br />
solo per le transizioni che sod<strong>di</strong>sfano sensibilmente alla conservazione<br />
della quantità <strong>di</strong> moto, per le quali cioè:<br />
γ ′ r − γ ′ s − δ ′ n + δ ′ n ′ = 0 (2.426)<br />
(e similmente per gli altri componenti). Integrando rispetto a dγ ′ r, dγ ′′<br />
r e<br />
dγ ′′′<br />
r , avremo:<br />
<br />
|an ′ ,1,ks−1| 2 =<br />
n ′ ,r<br />
essendo<br />
e 4<br />
Ω2m2 ks<br />
νs<br />
× |Ar·As| 2<br />
<br />
νs<br />
dδ ′ ndδ ′′<br />
n dδ ′′′<br />
n<br />
Ω sin π(νn − νn ′ + νs − νr)t<br />
π2 (νn − νn ′ + νs<br />
, (2.427)<br />
− νr) 2<br />
νr = c γ ′2<br />
r + γ ′′2<br />
r + γ ′′′2<br />
r<br />
(2.428)<br />
con la γr data dalla (2.426). Supponiamo anche t grande; dovrà essere:<br />
νn − νn ′ + νs − νr 0. (2.429)<br />
167
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Potremo quin<strong>di</strong> limitarci a integrare rispetto a quei valori <strong>di</strong> δn ′ che, attraverso<br />
le equazioni (2.426) e (2.428), sod<strong>di</strong>sfano la (2.429). Per il calcolo<br />
dell’intensità, riferiamoci a quanti non troppo energici ed elettroni lenti.<br />
Sarà:<br />
νr νs; (2.430)<br />
e se θ è l’angolo fra quanto incidente e quanto <strong>di</strong>ffuso, sarà θ sin θ<br />
2 l’angolo<br />
che (pn ′ − pn) forma con la <strong>di</strong>rezione del quanto incidente. Inoltre:<br />
|Ar·As| 2 = 1<br />
2<br />
1<br />
|pn ′ − pn| = − 4π νs<br />
c<br />
0<br />
− 1<br />
4 sin2 θ<br />
2<br />
(2.431)<br />
θ<br />
sin , (2.432)<br />
2<br />
così che l’integrale nella (2.427) <strong>di</strong>viene:<br />
<br />
n ′ |an<br />
,r<br />
′ ,1,ks−1| 2 = 4e4ks m2Ωc2 <br />
π cos θ<br />
2 dθ sin2 θ<br />
2<br />
<br />
1 1<br />
× −<br />
2 4 sin2 2<br />
θ sin πcrt sin θ/2<br />
2 π2c2r 2 sin2 θ/2 dr<br />
= πt 4e4ks m2Ωc3 π<br />
cos θ<br />
<br />
θ 1 1<br />
sin −<br />
2 2 2 4 sin2 <br />
θ<br />
2<br />
= πt 4e4 KS<br />
3m 2 c 3 Ω<br />
u, energia per unità <strong>di</strong> volume.<br />
= 4<br />
3<br />
πe 4 t<br />
m 2 c 3<br />
2.30 Onde <strong>di</strong> De Broglie<br />
L’espressione<br />
ψ =<br />
∞<br />
e<br />
−∞<br />
−i2πγx e i2πνt<br />
dθ<br />
u<br />
, (2.433)<br />
hνs<br />
dγ<br />
α + i 2π(γ − γ0)<br />
rappresenta un gruppo d’onde, essendo la velocità <strong>di</strong> fase:<br />
vf = ν/γ.<br />
168<br />
(2.434)
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Se α tende a zero, la (2.434) si riduce a:<br />
ψ = e −i2πγ0x<br />
∞<br />
i2πν0t<br />
e<br />
d(γ − γ0)<br />
×<br />
α + i 2π(γ − γ0)<br />
−∞<br />
= e −i2πγ0x<br />
∞<br />
i2πν0t<br />
e<br />
−∞<br />
exp {i2π(γ − γ0) (t dν0/dγ0 − x)}<br />
Facendo tendere α verso zero, si ricava (ve<strong>di</strong> (2.392)):<br />
per α > 0:<br />
⎧<br />
⎨<br />
ψ =<br />
⎩<br />
0, per t dν0/dγ0 − x < 0.<br />
e iy dy<br />
. (2.435)<br />
2π [(t dν0/dγ0 − x) α + iy]<br />
e −i2πγ0x e i2πν0t , per t dν0/dγ0 − x > 0,<br />
(2.436)<br />
che rappresenta un’onda piana limitata fra x = −∞ e x = (dν0/dγ0)t e il<br />
cui fronte anteriore marcia con la velocità <strong>di</strong> gruppo<br />
se invece α < 0:<br />
⎧<br />
⎨ 0, per t dν0/dγ0 − x > 0,<br />
ψ =<br />
⎩<br />
vgr = dν0<br />
; (2.437)<br />
dγ0<br />
e −i2πγ0x e i2πν0t , per t dν0dγ0 − x < 0<br />
(2.438)<br />
e rappresenta un’onda piana limitata fra x = (dν0/dγ0)t e x = +∞, il cui<br />
fronte posteriore si muoverà con la velocità <strong>di</strong> gruppo (2.437).<br />
2.31 e 2 hc ?<br />
Consideriamo due elettroni A e B posti a <strong>di</strong>stanza ℓ. L’etere circostante 44<br />
sarà in qualche modo quantizzato. Possiamo in via d’approssimazione<br />
44 Si osservi che l’Autore sembra già conoscere la nozione <strong>di</strong> polarizzazione del<br />
vuoto.<br />
169
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
schematizzarlo come un punto materiale muoventesi con la velocità <strong>di</strong><br />
gruppo che sarà uguale alla velocità della luce. Supponiamo, il che è<br />
alquanto arbitrario, che detto punto si muova perpen<strong>di</strong>colarmente da A<br />
a B e da B ad A. Supponiamo ancora che esso sia libero durante tutto il<br />
suo movimento salvo agli estremi dell’intervallo AB nei quali esso inverte<br />
la propria velocità per urto alternativamente contro l’elettrone A e contro<br />
l’elettrone B. Se esso è quantizzato avremo:<br />
e supponendo n = 1,<br />
Ad ogni urto un elettrone riceve la spinta<br />
e il numero <strong>di</strong> urti nell’unità <strong>di</strong> tempo sarà:<br />
cosicché su ogni elettrone agisce una forza continua:<br />
|p| = nh/2ℓ (2.439)<br />
|p| = h/2ℓ. (2.440)<br />
2 |p| = h/ℓ (2.441)<br />
1<br />
T<br />
F = 2|p|<br />
T<br />
Se identifichiamo la (2.443) con la legge <strong>di</strong> Coulomb<br />
si trae<br />
c<br />
= , (2.442)<br />
2ℓ<br />
hc<br />
= . (2.443)<br />
2ℓ2 F = e2<br />
, (2.444)<br />
ℓ2 e =<br />
valore 21 volte più grande del vero.<br />
<br />
hc<br />
, (2.445)<br />
2<br />
170
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
2.32 L’equazione y ′′ + P y = 0<br />
Se nell’equazione:<br />
si pone<br />
si trae:<br />
y ′ =<br />
y ′′ =<br />
y ′′ + P y = 0 (2.446)<br />
<br />
y = u exp i (k/u 2 <br />
) dx , (2.447)<br />
<br />
u ′ + i k<br />
<br />
<br />
u ′′ − k2<br />
u 3<br />
u ′′ − k2<br />
<br />
exp i (k/u<br />
u<br />
2 <br />
) dx<br />
<br />
exp i (k/u 2 <br />
) dx<br />
Dati i valori iniziali y0 e y ′ 0 per x = x0, si ponga:<br />
(2.448)<br />
(2.449)<br />
+ u P = 0. (2.450)<br />
u3 u0 = |y0|, (2.451)<br />
con che resta fissata la costante ad<strong>di</strong>tiva (reale) per l’integrale che figura<br />
nella (2.447) a meno <strong>di</strong> multipli <strong>di</strong> 2π. Si ponga quin<strong>di</strong>, nell’ipotesi che<br />
y0 = 0:<br />
y ′ 0 = y0<br />
<br />
u<br />
|y0|<br />
′ 0 + i k<br />
<br />
. (2.452)<br />
|y0|<br />
come prescrive la (2.448). Possiamo supporre u ′ 0 e k reali. Allora se P<br />
è reale, l’integrazione della (2.446) con variabili complesse viene ridotta<br />
all’integrazione della (2.450) con una variabile reale.<br />
Si noti che, se y ′ 0/y0 è reale, allora k = 0 e la (2.450) si riduce a (2.446).<br />
Data una soluzione qualunque della (2.450) con un valore arbitrario <strong>di</strong><br />
k, sod<strong>di</strong>sferà non solo la funzione y nella (2.447), ma anche la sua coniugata:<br />
<br />
y = u exp −i (k/u 2 <br />
) dx , (2.453)<br />
cosicché la soluzione generale alla (2.446) è:<br />
<br />
y = u A exp i (k/u 2 <br />
) dx + B exp −i (k/u 2 <br />
) dx . (2.454)<br />
171
Se si pone<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
u1 = u/ √ k, (2.455)<br />
si ricava:<br />
u ′′<br />
1 − 1<br />
u3 1<br />
+ u1 P = 0, (2.456)<br />
e la soluzione generale sarà ancora del tipo:<br />
y = u1<br />
<br />
A exp i<br />
dx/u 2 1<br />
<br />
+ B exp −i<br />
dx/u 2 1<br />
<br />
. (2.457)<br />
Segue che possiamo sempre ridurci al caso k = 1. Quando siano dati i<br />
valori iniziali per y e y ′ , si potrà procedere come in principio, poiché la<br />
(2.447) <strong>di</strong>venta:<br />
y = √ k u1<br />
<br />
i<br />
dx/u 2 1<br />
<br />
, (2.458)<br />
e le costanti √ k, e costanti d’integrazione nonché i valori iniziali u1 0 e u ′ 1 0<br />
si determineranno in base alle equazioni (2.451), (2.452), e (2.455), ovvero,<br />
più comodamente si ricava una soluzione qualunque della (2.456), si fissa<br />
in modo arbitrario la costante dell’integrale, e si determinano i coefficienti<br />
A e B in guisa da sod<strong>di</strong>sfare alle con<strong>di</strong>zioni iniziali per y0 e y ′ 0.<br />
Se P è lentamente variabile, si avrà in prima approssimazione che è<br />
una soluzione della (2.456) la funzione:<br />
u = P −1/4<br />
e si otterranno le soluzioni generali <strong>di</strong> prima approssimazione:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
y<br />
y<br />
=<br />
=<br />
<br />
1<br />
√P<br />
<br />
√P<br />
4√ A cos dx + B sin dx , P > 0<br />
P<br />
<br />
1<br />
√−P<br />
4√ A exp dx<br />
−P <br />
√−P<br />
+B exp − dx , P < 0<br />
La con<strong>di</strong>zione che P sia lentamente variabile si precisa <strong>di</strong>cendo che<br />
<br />
′<br />
P <br />
<br />
P ≪ 1.<br />
172<br />
(2.459)<br />
(2.460)
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Per avere la seconda approssimazione possiamo sostituire a u ′′ nella (2.456)<br />
il valore che si ottiene ritenendo verificata la (2.459). Cioè: si avrà in seconda<br />
approssimazione:<br />
− 1<br />
4 P ′′ P −5/4 + 5<br />
16 P ′2 P −9/4 − 1<br />
u<br />
3 + u P = 0. (2.461)<br />
Ponendo in luogo <strong>di</strong> u, P −1/4 + ∆u e scrivendo per approssimazione:<br />
la (2.461) <strong>di</strong>venta<br />
da cui<br />
1<br />
u 3 P 3/4 − 3 P ∆u, (2.462)<br />
− 1<br />
4 P ′′ P −5/4 + 5<br />
16 P ′2 P −9/4 + 4 P ∆u = 0, (2.463)<br />
∆u = 1<br />
u = P −1/4<br />
Sempre in via d’approssimazione segue:<br />
1<br />
dx<br />
u<br />
1/2<br />
= P<br />
u2 (2.464)<br />
<br />
1 + P P ′′ − (5/4) P ′2<br />
16 P 3<br />
<br />
. (2.465)<br />
16 P ′′ P −9/4 − 5<br />
64 P ′2 P −13/4<br />
<br />
1 − P P ′′ − (5/4) P ′2<br />
8 P 3<br />
′ <br />
P √P<br />
= − +<br />
2 8P 3/2<br />
<br />
1 −<br />
e si avranno per y soluzioni del tipo:<br />
y =<br />
<br />
1<br />
4√ 1 +<br />
P<br />
P P ′′ − (5/4) P ′2<br />
16 P 3<br />
<br />
<br />
<br />
sin<br />
√P<br />
× −<br />
cos<br />
′<br />
P<br />
+<br />
8P 3/2<br />
<br />
1 −<br />
<br />
(2.466)<br />
′2<br />
P<br />
32P 3<br />
<br />
dx, (2.467)<br />
′2<br />
P<br />
32P 3<br />
<br />
dx , (2.468)<br />
corrispondenti a P > 0. Per P < 0 si avranno soluzioni analoghe:<br />
y =<br />
<br />
1<br />
4√ 1 +<br />
−P<br />
P P ′′ − (5/4) P ′2<br />
16 P 3<br />
<br />
<br />
P<br />
× exp ± −<br />
′ <br />
√−P<br />
+<br />
1 −<br />
8(−P ) 3/2<br />
′2<br />
P<br />
32P 3<br />
<br />
dx<br />
173<br />
(2.469)
ovvero ponendo P1 = −P ,<br />
y =<br />
<br />
1<br />
4√ 1 −<br />
P1<br />
× exp<br />
<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
±<br />
<br />
P1 P ′′<br />
P ′ 1<br />
8P 3/2<br />
1<br />
1 − (5/4) P ′2 <br />
1<br />
16 P 3 1<br />
<br />
√P1<br />
+<br />
<br />
1 +<br />
′2<br />
P 1<br />
32P 3 <br />
dx . (2.470)<br />
1<br />
Supponiamo P < 0 e quin<strong>di</strong> P1 > 0. La (2.446) si può scrivere:<br />
Poniamo<br />
avremo:<br />
y ′ =<br />
y ′′ =<br />
<br />
z ′ + z √ <br />
P1<br />
y ′′ − P y = 0. (2.471)<br />
<br />
√P1dx<br />
y = z exp<br />
; (2.472)<br />
<br />
√P1dx<br />
exp<br />
<br />
z ′′ + 2z ′ √ <br />
P1 + z P1 + P ′ 1<br />
2 √ <br />
P1<br />
z ′′ + 2z ′ √ P1 + z P ′ 1<br />
2 √ P1<br />
z ′′<br />
2 √ P1 z<br />
+ z′<br />
z<br />
1 P<br />
+<br />
4<br />
′ 1<br />
P1<br />
<br />
√P1dx<br />
exp<br />
(2.473)<br />
(2.474)<br />
= 0 (2.475)<br />
= 0. (2.476)<br />
Per P lentamente variabile si può porre in prima approssimazione:<br />
z = P −1/4<br />
1 ; (2.477)<br />
e attribuendo a √ P1, il doppio segno si ricade nelle formole (2.460).<br />
Se y1 è una soluzione della (2.447), la soluzione generale è:<br />
Infatti posto<br />
<br />
dx<br />
y = A y1 + B y1 . (2.478)<br />
y2 = y1<br />
174<br />
<br />
dx<br />
,<br />
y 2 1<br />
y 2 1
sarà:<br />
e quin<strong>di</strong><br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
y ′ 2 = y ′ 1<br />
y ′′<br />
2 = y ′′<br />
1<br />
0 = y ′′<br />
2 − y′′ 1<br />
y1<br />
dx<br />
y 2 1<br />
<br />
dx<br />
,<br />
y 2 1<br />
+ 1<br />
y1<br />
y2 = y ′′<br />
2 + P y2. (2.479)<br />
2.33 Indeterminazione del potenziale<br />
vettore e scalare<br />
Supponiamo dati il campo elettrico e magnetico in una regime dello spaziotempo.<br />
Il potenziale ϕ e C resta alquanto indeterminato e potremo porre:<br />
H = rot C = rot C1 (2.480)<br />
E = − grad ϕ − 1<br />
c<br />
∂C<br />
∂t<br />
= grad ϕ1 − 1<br />
c<br />
∂C1<br />
, (2.481)<br />
∂t<br />
essendo ϕ1 = ϕ e C1 = C. In corrispondenza potremo scrivere due<br />
equazioni d’onda per un elettrone:<br />
<br />
<br />
−<br />
−<br />
W<br />
c<br />
W<br />
c<br />
Si può sempre porre:<br />
e<br />
+<br />
c ϕ<br />
2 + <br />
pi +<br />
i<br />
e<br />
c Ci<br />
2 + m 2 c 2<br />
2 ψ = 0 (2.482)<br />
e<br />
+<br />
c ϕ1<br />
2 + <br />
i<br />
<br />
pi + e<br />
2 C1 i + m<br />
c 2 c 2<br />
2<br />
ψ1 = 0. (2.483)<br />
C1 − C = grad A (2.484)<br />
ϕ1 − ϕ = − 1<br />
c<br />
175<br />
∂A<br />
, (2.485)<br />
∂t
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
essendo A una funzione qualunque dello spazio e del tempo, se non si<br />
impone la cosiddetta con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> continuità: 45<br />
altrimenti dovrà essere<br />
Essendo<br />
si deduce<br />
W<br />
W<br />
c<br />
<br />
i e<br />
W exp<br />
c A<br />
<br />
<br />
i e<br />
pi exp<br />
c A<br />
<br />
c<br />
+ e<br />
c ϕ1<br />
2 + e<br />
c ϕ1<br />
<strong>di</strong>v C + 1 ∂ϕ<br />
c ∂t = <strong>di</strong>v C1 + 1 ∂ϕ1<br />
c ∂t<br />
<br />
e che<br />
<br />
pi + e<br />
<br />
C1 i<br />
c<br />
<br />
pi + e<br />
c C1<br />
2 i<br />
<br />
i<br />
exp<br />
grad 2 A − 1<br />
c 2<br />
<br />
= 0, (2.486)<br />
∂ 2 A<br />
= 0. (2.487)<br />
∂t2 <br />
i e<br />
= exp<br />
c A<br />
<br />
[W + e (ϕ1 − ϕ)] (2.488)<br />
<br />
i e<br />
= exp<br />
c A<br />
<br />
pi + e<br />
c (C1<br />
<br />
i − Ci) , (2.489)<br />
e<br />
c A<br />
<br />
<br />
i e<br />
exp<br />
c A<br />
<br />
i<br />
exp<br />
exp<br />
<br />
e<br />
c A<br />
<br />
<br />
i e<br />
c A<br />
<br />
<br />
i e<br />
= exp<br />
c A<br />
<br />
W<br />
c<br />
<br />
i e<br />
= exp<br />
c A<br />
<br />
W<br />
c<br />
<br />
i e<br />
= exp<br />
c A<br />
<br />
i e<br />
= exp<br />
c A<br />
Segue che se ψ è una soluzione della (2.482), sarà<br />
<br />
i e<br />
ψ1 = ψ exp<br />
c A<br />
<br />
<br />
pi + e<br />
<br />
e<br />
+<br />
c ϕ<br />
<br />
+ e<br />
c ϕ<br />
c Ci<br />
pi + e<br />
c Ci<br />
<br />
2<br />
2<br />
(2.490)<br />
(2.491)<br />
(2.492)<br />
. (2.493)<br />
(2.494)<br />
una soluzione della (2.483). Con ciò resta <strong>di</strong>mostrata l’equivalenza delle<br />
due Hamiltoniane, essendo lo spostamento <strong>di</strong> fase della ψ dato dalla (2.494)<br />
privo <strong>di</strong> significato fisico, in quanto è identico nello stesso punto nello stesso<br />
istante per tutte le autofunzioni.<br />
45 Questa è meglio conosciuta come la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> gauge <strong>di</strong> Lorentz.<br />
176
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
2.34 Sulla ionizzazione spontanea <strong>di</strong> un<br />
atomo <strong>di</strong> idrogeno posto in una<br />
regione a potenziale elevato<br />
Sia un atomo <strong>di</strong> idrogeno posto nel centro comune <strong>di</strong> due sfere <strong>di</strong> raggi<br />
R e R + dR. Poniamo sulla prima la carica −Q ′ /dR e sulla seconda la<br />
carica (Q ′ /dR) − e (poniamo Q ′ = QR); facciamo quin<strong>di</strong> tendere dR a<br />
zero. L’elettrone dell’atomo sarà sottoposto al potenziale<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
V = e/x − A, x < R<br />
V = 0, x > R<br />
(2.495)<br />
essendo x la <strong>di</strong>stanza dal centro, e A = Q 2 /R 2 . 46 Assumiamo per semplicità,<br />
come unità <strong>di</strong> lunghezza il raggio del primo cerchio <strong>di</strong> Bohr, come<br />
unità <strong>di</strong> carica e e come unità d’azione /2π. La nostra unità d’energia<br />
sarà me 4 / 2 = 4πRy, e quin<strong>di</strong> 1/(4πRy) è la nostra unità <strong>di</strong> tempo, Ry<br />
essendo la frequenza <strong>di</strong> Rydberg. Inoltre, scegliamo la massa dell’elettrone<br />
come unità <strong>di</strong> massa. L’equazione <strong>di</strong> Schrö<strong>di</strong>nger nel caso <strong>di</strong> quanti azimutali<br />
zero e ponendo χ = ψ/x, sarà:<br />
χ ′′ + 2<br />
<br />
E − A + 1<br />
<br />
χ = 0, x < R<br />
x<br />
χ ′′ + 2E χ = 0, x > R.<br />
(2.496)<br />
Poniamo E − A = E1. Se l’atomo è nello stato normale sarà E1 prossimo<br />
a −1/2. 47 Porremo:<br />
− E1 = 1<br />
2<br />
1<br />
+ α, (2.497)<br />
2<br />
46 Per ragioni <strong>di</strong>mensionali, questo valore è sbagliato. La costante A può essere<br />
fissata richiedendo la continuità del potenziale; in questo caso abbiamo A = e/R.<br />
47 L’energia dello stato fondamentale <strong>di</strong> un atomo <strong>di</strong> idrogeno è −e 2 /2aB, dove<br />
aB è il raggio <strong>di</strong> Bohr. Nelle unità adottate, questa energia equivale a −1/2.<br />
177
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
e le equazioni (2.496) <strong>di</strong>ventano<br />
χ ′′ <br />
+ 1 − α + 2<br />
<br />
χ = 0, x < R<br />
x<br />
χ ′′ + (2A − 1 − α) χ = 0, x > R.<br />
Una soluzione della prima <strong>di</strong> queste equazioni per α = 0 è<br />
Poniamo la soluzione per α = 0 sotto la forma<br />
(2.498)<br />
χ = x e −x . (2.499)<br />
χ = x e −x + α y, (2.500)<br />
e imponiamo ancora la con<strong>di</strong>zione che sia y(0) = 0, y ′ (0) = 0. Sostituendo<br />
nella (2.498), si trova<br />
y ′′ = x e −x <br />
+ 1 + α − 2<br />
<br />
y, (2.501)<br />
x<br />
che mostra come y <strong>di</strong>penda anche da α. Essendo state assegnate le con<strong>di</strong>zioni<br />
ai limiti la y è completamente determinata. Per gran<strong>di</strong> valori <strong>di</strong> x<br />
essa assume l’espressione asintotica:<br />
y = kα e x√ 1+α /x 1/ √ 1+α . (2.502)<br />
Poiché abbiamo supposto α piccolo, potremo in via d’approssimazione<br />
porre kα = k0, e k0 si calcolerà in base all’espressione asintotica della<br />
funzione y che si annulla insieme con la sua derivata per x = 0 e obbe<strong>di</strong>sce<br />
all’equazione <strong>di</strong>fferenziale:<br />
y ′′ = x e −x +<br />
La quale espressione asintotica dovrà essere del tipo:<br />
y = k0<br />
<br />
1 − 2<br />
<br />
y. (2.503)<br />
x<br />
e x<br />
. (2.504)<br />
x<br />
Ve<strong>di</strong>amo dunque <strong>di</strong> calcolare k0. La y si può sviluppare secondo la<br />
potenza ascendente <strong>di</strong> x:<br />
y = 1<br />
6 x3 − 1<br />
9 x4 + . . . + an x n + . . . , (2.505)<br />
178
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
e i coefficienti dello sviluppo si calcolano dalla relazione ricorrente:<br />
an = − (−1) n n − 2<br />
n!<br />
an−2 − 2an−1<br />
+ . (2.506)<br />
(n − 1)n<br />
Essi possono allora porsi a partire da a2 sotto la forma:<br />
a2n+1 =<br />
<br />
1 2n + 2<br />
n<br />
(2n)! 2n + 1 −<br />
<br />
1 + 1 1<br />
+ + . . . +<br />
3 5 1<br />
a2n =<br />
<br />
2n − 1<br />
<br />
1<br />
− n − 1 +<br />
(2n − 1)!<br />
(2.507)<br />
1 1<br />
+ + . . . +<br />
3 5 1<br />
<br />
.<br />
2n − 1<br />
(2.508)<br />
Infatti, se le equazioni (2.507) e (2.508) sono valide fino a un determinato<br />
valore <strong>di</strong> n (e si verifica <strong>di</strong>rettamente che valgono per n = 1), la (2.508)<br />
sarà ancora valida ponendo n+1 in luogo <strong>di</strong> n perché dalla (2.506) si ricava:<br />
<br />
1 + 1<br />
− (2n + 1)! a2n+2 = n n<br />
−<br />
n + 1 n + 1 3<br />
− 1<br />
<br />
1 +<br />
n + 1<br />
1 1<br />
+ + . . . +<br />
3 5 1<br />
<br />
+<br />
2n − 1<br />
n2<br />
n + 1<br />
<br />
= n + 1 − 1 + 1 1<br />
+ + . . . +<br />
3 5 1<br />
<br />
,<br />
2n + 1<br />
1<br />
+ + . . . +<br />
5 1<br />
+ 2n<br />
2n + 1<br />
2n − 1<br />
cioè la (2.508) è valida anche per a2n+2. Analogamente, applicando ancora<br />
la (2.506), si ha:<br />
<br />
2n + 1 2n + 1<br />
(2n + 2)! a2n+3 = − 1 +<br />
2n + 3 2n + 3<br />
1 1<br />
+ + . . . +<br />
3 5 1<br />
<br />
2n − 1<br />
<br />
2<br />
− 1 +<br />
2n + 3<br />
1 1<br />
+ + . . . +<br />
3 5 1<br />
<br />
2n + 2 2n + 2<br />
+ n +<br />
2n − 1 2n + 3 2n + 3<br />
2n + 2<br />
= (n + 1)<br />
2n + 3 −<br />
<br />
1 + 1 1<br />
+ + . . . +<br />
3 5 1<br />
<br />
,<br />
2n + 1<br />
<strong>di</strong> modo che la (2.507) vale anche per a2n+3 e quin<strong>di</strong> le equazioni (2.507)<br />
e (2.508) sono sempre valide.<br />
Lo sviluppo (2.505) è indefinitamente derivabile termine a termine. Si<br />
può quin<strong>di</strong> porre:<br />
y ′′′ + 3y ′′ + 3y ′ + y =<br />
179<br />
∞<br />
0<br />
br x r<br />
<br />
(2.509)
e, in generale, sarà:<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
br = ar + 2(r + 1)ar+1 + 3(r + 1)(r + 2)ar+2<br />
+ (r + 1)(r + 2)(r + 3)ar+3, (2.510)<br />
ovvero, a causa delle equazioni (2.507) e (2.508):<br />
Segue:<br />
(2n + 1)! b2n = − 2n 2 (2n + 1) + 3n(2n + 1)(2n + 2)<br />
− 3(n + 1)(2n + 1)(2n + 2) + (n + 1)(2n + 1)(2n + 4)<br />
<br />
+ 2n(2n + 1) 1 + 1<br />
+ . . . +<br />
3 1<br />
<br />
2n − 1<br />
− 3(2n + 1) 2<br />
<br />
1 + 1<br />
+ . . . +<br />
3 1<br />
<br />
2n − 1<br />
<br />
+ 3(2n + 1)(2n + 2) 1 + 1<br />
+ . . . +<br />
3 1<br />
<br />
2n + 1<br />
<br />
− (2n + 1)(2n + 3) 1 + 1<br />
+ . . . +<br />
3 1<br />
<br />
= 1, (2.511)<br />
2n + 1<br />
(2n + 2)! b2n+1 = n(2n + 2) 2 − 3(n + 1)(2n + 2) 2<br />
+ 3(n + 1)(2n + 2)(2n + 4) − (n + 2)(2n + 2)(2n + 4)<br />
<br />
− (2n + 1)(2n + 2) 1 + 1<br />
+ . . . +<br />
3 1<br />
<br />
2n − 1<br />
+ 3(2n + 1) 2<br />
<br />
1 + 1<br />
+ . . . +<br />
3 1<br />
<br />
2n + 1<br />
<br />
− 3(2n + 2)(2n + 3) 1 + 1<br />
+ . . . +<br />
3 1<br />
<br />
2n + 1<br />
<br />
+(2n + 2)(2n + 4) 1 + 1<br />
+ . . . +<br />
3 1<br />
<br />
1<br />
= 1 − . (2.512)<br />
2n + 3<br />
2n + 3<br />
∞<br />
br x r =<br />
0<br />
∞<br />
1<br />
= 1<br />
x<br />
x s−1<br />
s! −<br />
∞<br />
1<br />
x s<br />
s!<br />
180<br />
∞<br />
0<br />
− 1<br />
x 2<br />
x 2s+1<br />
(2s + 3)!<br />
∞<br />
1<br />
x 2s+1<br />
(2s + 1)!
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
= ex − 1<br />
x<br />
= ex<br />
x − ex − e −x<br />
2x2 = e x<br />
1<br />
x<br />
− ex − e −x − 2x<br />
2x 2<br />
1<br />
−<br />
2x2 <br />
− 1<br />
+ e 2x2 . (2.513)<br />
Sostituendo nella (2.509) e scrivendo il primo membro sotto altra forma:<br />
<br />
′′ ′ d ′′ ′ x 1<br />
y + 2y + y + y + 2y + y = e −<br />
dx<br />
x<br />
1<br />
2x2 <br />
+ e −x e quin<strong>di</strong>:<br />
1<br />
,<br />
2x2 (2.514)<br />
y ′′ + 2y ′ + y = e −x<br />
<br />
e 2x<br />
<br />
1<br />
−<br />
x<br />
1<br />
2x2 <br />
+ 1<br />
2x2 <br />
dx + C . (2.515)<br />
e tenuto conto che per x = 0, abbiamo y = 0, y ′ = 0, y ′′ = 0:<br />
cioè:<br />
e quin<strong>di</strong>:<br />
y ′′ + 2y ′ + y = e x 1<br />
2x<br />
′ d ′ x 1<br />
y + y + y + y = e<br />
dx<br />
2x<br />
y ′ + y = e −x<br />
2x<br />
e<br />
2x −<br />
1<br />
2x<br />
e tenuto conto delle con<strong>di</strong>zioni ai limiti<br />
e finalmente:<br />
y = e −x<br />
− e−x<br />
− e−x<br />
y ′ + y = − x e −x + e −x<br />
x<br />
<br />
− x +<br />
x<br />
0<br />
e 2x − 1<br />
2x<br />
e tenuto ancora conto delle con<strong>di</strong>zioni ai limiti:<br />
y = − 1<br />
2 x2 e −x + e −x<br />
x<br />
0<br />
dx1<br />
181<br />
1<br />
2x<br />
1<br />
2x<br />
<br />
+ 1 , (2.516)<br />
<br />
+ 1 , (2.517)<br />
<br />
+ 1 dx + C . (2.518)<br />
0<br />
x1<br />
0<br />
e 2x − 1<br />
2x<br />
dx (2.519)<br />
<br />
dx dx + C , (2.520)<br />
e 2x2 − 1<br />
dx2. (2.521)<br />
2x2
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
A riprova calcoliamo y ′ e y ′′ :<br />
y ′ = − x e −x + 1<br />
2 x2 e −x − e −x<br />
x<br />
0<br />
x<br />
+ e −x<br />
e 2x − 1<br />
2x<br />
dx1<br />
x1<br />
0<br />
e 2x2 − 1<br />
dx2<br />
2x2<br />
dx (2.522)<br />
0<br />
y ′′ = − e −x + 2x e −x − 1<br />
2 x2 e −x + e −x<br />
x x1 e<br />
dx1<br />
0<br />
0<br />
2x2 − 1<br />
dx2<br />
2x2<br />
− 2 e −x<br />
x<br />
e<br />
0<br />
2x − 1<br />
dx +<br />
2x<br />
ex − e −x<br />
. (2.523)<br />
2x<br />
Ora<br />
x<br />
0<br />
dx1<br />
x1<br />
0<br />
e 2x2 − 1<br />
dx2 = x<br />
2x2<br />
x<br />
così che le formole precedenti <strong>di</strong>ventano:<br />
y = x e −x<br />
x<br />
e 2x − 1<br />
2x<br />
0<br />
y ′ = (1 − x) e −x<br />
x<br />
y ′′ = (x − 2) e −x<br />
x<br />
segue che<br />
0<br />
dx − 1<br />
4 ex +<br />
e 2x − 1<br />
2x<br />
1<br />
4<br />
dx − 1<br />
4 e2x + 1 1<br />
x +<br />
2 4 ,<br />
1 1<br />
+ x −<br />
2 2 x2<br />
<br />
e −x<br />
(2.524)<br />
e<br />
0<br />
2x − 1<br />
dx +<br />
2x<br />
1<br />
4 ex<br />
<br />
+ − 1 3 1<br />
− x +<br />
4 2 2 x2<br />
<br />
e −x<br />
(2.525)<br />
e<br />
0<br />
2x − 1<br />
dx + e<br />
2x<br />
x<br />
<br />
1 1<br />
−<br />
2x 4<br />
+ e −x<br />
<br />
− 1 3 5 1<br />
− + x −<br />
2x 4 2 2 x2<br />
<br />
, (2.526)<br />
y ′′ =<br />
<br />
1 − 2<br />
<br />
y + x e<br />
x<br />
−x , (2.527)<br />
cioè l’equazione <strong>di</strong>fferenziale (2.503) è sod<strong>di</strong>sfatta. Inoltre manifestamente:<br />
come si desiderava. Per x → ∞ si ha:<br />
x<br />
0<br />
e 2x − 1<br />
2x<br />
dx<br />
y(0) = y ′ (0) = 0, (2.528)<br />
182
= e 2x<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
1<br />
4x<br />
si deduce l’espressione asintotica <strong>di</strong> y:<br />
<br />
1<br />
+ + infinitesimi d’or<strong>di</strong>ne superiore (2.529)<br />
γx2 y = 1<br />
8<br />
da cui possiamo ottenere la costante k0 nella (2.504):<br />
e x<br />
, (2.530)<br />
x<br />
k0 = 1<br />
. (2.531)<br />
8<br />
Avremo dunque che per gran<strong>di</strong> valori <strong>di</strong> x, la soluzione delle equazioni<br />
(2.495) e (2.496) è approssimativamente:<br />
χ = x e −x + α<br />
8 ex√ 1+α /x 1/ √ 1+α . (2.532)<br />
Ora noi vogliamo supporre R grande nella nostra unità, grande cioè<br />
rispetto alla <strong>di</strong>minuzione atomiche. Avremo dunque:<br />
χ(R) = R e −R + α<br />
8<br />
e R√ 1+α<br />
R 1/√ 1+α<br />
χ ′′ (R) = (1 − R) e −R + α<br />
8<br />
e R√ 1+α<br />
R 1/√ 1+α<br />
(2.533)<br />
<br />
√1 1<br />
+ α −<br />
R √ <br />
. (2.534)<br />
1 + α<br />
Per ragioni che vedremo, ci interessano valori <strong>di</strong> α così piccoli che il secondo<br />
termine nell’espressioni <strong>di</strong> χ(R) sia dello stesso or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza<br />
del primo. Cioè α deve essere dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> R 2 e −2R . Allora si può<br />
sostituire dovunque, anche nell’esponente, l’unità a √ 1 + α; trascurando<br />
naturalmente l’unità <strong>di</strong> fronte a R le formole superiori <strong>di</strong>ventano:<br />
χ(R) = R e −R + α<br />
8<br />
e R<br />
R<br />
χ ′′ (R) = − R e −R + α<br />
8<br />
e R<br />
R .<br />
(2.535)<br />
L’equazione (2.532) prende una forma semplice per valori <strong>di</strong> x gran<strong>di</strong>, ma<br />
minori <strong>di</strong> R:<br />
χ = x e −x + α e<br />
8<br />
x<br />
.<br />
x<br />
(2.536)<br />
183
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Per x > R deve essere sod<strong>di</strong>sfatta la seconda equazione in (2.496). Supponiamo<br />
E > 0, perché altrimenti non si avrebbe ionizzazione spontanea.<br />
Poiché<br />
E = A − 1 1<br />
− α, (2.537)<br />
2 2<br />
basta che sia A alquanto maggiore <strong>di</strong> 1/2. La seconda equazione in (2.496)<br />
ammette soluzioni <strong>di</strong> tipo sinusoidali. Avremo dunque per x maggiore <strong>di</strong><br />
R:<br />
χ =<br />
<br />
R e −R + α<br />
+ 1<br />
√ 2E<br />
8<br />
e R <br />
cos<br />
R<br />
√ 2E(x − R)<br />
<br />
− R e −R + α<br />
8<br />
e R <br />
sin<br />
R<br />
√ 2E(x − R). (2.538)<br />
Poniamo:<br />
B = A − 1<br />
2 + 4R2 e −2R A − 1<br />
. (2.539)<br />
A<br />
Le quantità E, B e A − 1/2 sono tutte molto prossime tra loro, e dove<br />
compaiono a fattori si può senz’altro sostituire l’una all’altra per semplificare<br />
le formole. Sotto i segni <strong>di</strong> seno e coseno occorre invece un’ulteriore<br />
approssimazione; e poiché:<br />
porremo:<br />
E = B −<br />
√ 2E = √ 2B − 1<br />
√2B<br />
4(A − 1)<br />
A<br />
4(A − 1)<br />
in<strong>di</strong>cheremo con γ il secondo termine <strong>di</strong>viso per 2π: 48<br />
da cui<br />
γ = − 1<br />
2π<br />
1<br />
√ 2B<br />
A<br />
4(A − 1)<br />
A<br />
α = − 4π √ 2B γ −<br />
R 2 e −2R − 1<br />
α, (2.540)<br />
2<br />
R 2 e −2R + 1<br />
2 α<br />
<br />
; (2.541)<br />
R 2 e −2R + 1<br />
2 α<br />
<br />
, (2.542)<br />
8(A − 1)<br />
A<br />
R 2 e −2R . (2.543)<br />
48 L’Autore considera questa γ come (la correzione a) il momento del sistema<br />
preso in considerazione (nelle unità adottate).<br />
184
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Sostituendo nella (2.538) e usando delle approssimazioni annunciate:<br />
<br />
1<br />
χ =<br />
A R e−R √<br />
2B e<br />
−<br />
4<br />
R<br />
R 2πγ<br />
√ <br />
cos 2B + 2πγ (x − R)<br />
<br />
√ <br />
+ −<br />
sin 2B + 2πγ (x − R) (2.544)<br />
√<br />
2B<br />
A R e−R − 1 e<br />
4<br />
R<br />
R 2πγ<br />
ovvero, sempre in via approssimata:<br />
χ =<br />
<br />
2<br />
A R2 e−2R + A<br />
8 R−2 e2R 4π2γ 2<br />
√ <br />
<br />
× cos 2B + 2πγ (x − R) + z , (2.545)<br />
essendo z un angolo che <strong>di</strong>penda da γ. Se vogliamo le χ normalizzate<br />
rispetto a dx, occorre moltiplicarle per un fattore N:<br />
in modo che sia:<br />
In effetti<br />
N<br />
u = N χ (2.546)<br />
2<br />
A R2 e −2R + A<br />
8 R−2 e 2R 4π 2 γ 2 = 2. (2.547)<br />
∞ +ɛ<br />
lim<br />
ɛ→0<br />
0<br />
χ(γ) dx<br />
−ɛ<br />
χ(γ + ɛ) dɛ = 1<br />
. (2.548)<br />
N 2<br />
Avremo allora rispettivamente per x < R e per x > R le autofunzioni<br />
normalizzate:<br />
<br />
A e<br />
u =<br />
2<br />
R<br />
<br />
R<br />
1 + π2A2 e<br />
4<br />
4R<br />
γ2<br />
R4 <br />
2x e −x + α e<br />
4<br />
x <br />
e<br />
x<br />
iBt e 2πi√2Bγt u =<br />
√ <br />
<br />
2 cos 2B + 2πγ (x − R) + z e iBt e 2πi√ (2.549)<br />
2Bγt<br />
.<br />
Qui si è tenuto conto della <strong>di</strong>pendenza dal tempo e del fatto che E =<br />
B + 2π √ 2Bγ. Si noti che nella prima delle (2.549) si è posto in evidenza<br />
il fattore 2xe −x + (α/4)(e x /x) poiché:<br />
R<br />
2 R<br />
0<br />
<br />
2x e −x + α<br />
4<br />
e x<br />
x<br />
dx <br />
0<br />
185<br />
2x e −x 2 dx 1, (2.550)
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
che rappresenta quin<strong>di</strong> per piccoli valori <strong>di</strong> x, l’autofunzione relativa allo<br />
stato quasi stazionario 1s, normalizzata nel modo or<strong>di</strong>nario.<br />
Supponiamo ora che inizialmente l’elettrone si trovi nello stato fondamentale.<br />
La sua autofunzione godrà <strong>di</strong> simmetria sferica approssimativamente,<br />
così che possiamo scrivere:<br />
e per ciò che si è detto sarà al tempo 0:<br />
ψ = U(x)<br />
, (2.551)<br />
x<br />
U0 2x e −x . (2.552)<br />
Sviluppiamo U0 secondo le u al tempo t = 0, che in<strong>di</strong>cheremo con u0 . . . :<br />
Avremo:<br />
c =<br />
∞<br />
e poiché per t qualunque:<br />
0<br />
U0 =<br />
∞<br />
−∞<br />
U0 u0 dx <br />
U =<br />
∞<br />
−∞<br />
c u0 dγ. (2.553)<br />
<br />
A<br />
2<br />
1 + π2 A 2<br />
4<br />
e R<br />
R<br />
e4R γ2<br />
R4 ; (2.554)<br />
c u dγ, (2.555)<br />
sostituendo le equazioni (2.551) e (2.554), troviamo per x minore <strong>di</strong> R :<br />
U = e iBt A e2R<br />
R 2<br />
<br />
x e −x + α<br />
8<br />
e x ∞<br />
x −∞<br />
dove è semplice <strong>di</strong>mostrare (dalla (2.543)) che<br />
α = −<br />
A − 1<br />
A 8R2 e −2R −<br />
e 2πi√ 2Bγt dγ<br />
1 + (π 2 A 2 e 4R /4R 4 )γ<br />
√ 2B<br />
A 8R2 e −2R<br />
2 , (2.556)<br />
(2.557)<br />
coincide con α relativa allo stato fondamentale stazionario considerato qui;<br />
la <strong>di</strong>mostrazione è simile a quella esposta in ciò che segue, condurrà alla<br />
186
(2.564). 49 Ora<br />
∞<br />
−∞<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
e 2πi√ 2Bγt dγ<br />
1 + (π 2 A 2 e 4R /4R 4 )γ 2<br />
= 4<br />
R R2 e −2R<br />
∞<br />
−∞<br />
e 2πi√ 2Bγt d<br />
<br />
Ae 2R γ/4R 2<br />
<br />
2<br />
1 + 4π Ae 2R γ/4R 22 ⎧<br />
⎪⎨<br />
2<br />
A<br />
=<br />
⎪⎩<br />
R2 e −2R 2<br />
4R<br />
exp<br />
√ 2B<br />
Ae2R t<br />
<br />
, per t < 0<br />
2<br />
A R2 <br />
exp − 4R2√2B Ae2R t<br />
<br />
, per t > 0.<br />
(2.558)<br />
Solo la soluzione per t > 0 ci interessa, perché noi vogliamo fissare le<br />
con<strong>di</strong>zioni iniziali rinunziando a qualunque ipotesi sul modo con cui si sono<br />
prodotte. Avremo quin<strong>di</strong> per t > 0 e x < R:<br />
<br />
U = x e −x + α e<br />
8<br />
x <br />
e<br />
x<br />
iBt <br />
exp −4R 2√ 2B t/Ae 2R<br />
; (2.559)<br />
per x > R avremo invece:<br />
U = e iBt <br />
A e<br />
2<br />
2<br />
R ∞<br />
R −∞<br />
√ <br />
<br />
cos 2B + 2πγ (x − R) + z e 2πi√2Bγt dγ,<br />
1 + (π2A2e4R /4R4 )γ2 (2.560)<br />
U = e iBt e R<br />
∞<br />
1 − (πA<br />
R −∞<br />
√ 2Be 2R /2R 2 )γ<br />
1 + (π 2 A 2 e 4R /4R 4 )γ 2<br />
√ <br />
× cos 2B + 2πγ (x − R) e 2πi√2Bγt dγ<br />
−<br />
∞<br />
√<br />
2R 2<br />
2B + (πAe /2R )γ<br />
√ <br />
2B + 2πγ (x − R) e 2πi√ <br />
2Bγt<br />
dγ<br />
−∞<br />
= e iBt e R<br />
1 + (π 2 A 2 e 4R /4R 4 sin 2<br />
)γ<br />
R<br />
<br />
e i√ ∞<br />
2B(x−R)<br />
+ e −i√ ∞<br />
2B(x−R)<br />
−∞<br />
−∞<br />
M − Ni<br />
2<br />
M + Ni<br />
2<br />
e 2πi[√ 2Bt+(x−R)]γ dγ<br />
e 2πi[√ 2Bt−(x−R)]γ dγ<br />
<br />
, (2.561)<br />
49 Questa frase è aggiunta come nota posposta nel manoscritto originale.<br />
187
essendo:<br />
e poiché:<br />
Inoltre: 50<br />
∞<br />
−∞<br />
∞<br />
=<br />
−∞<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
M = 1 − (πA√ 2Be 2R /2R 2 )γ<br />
N =<br />
1 + (π 2 A 2 e 4R /4R 4 )γ 2<br />
√ 2B + (πAe 2R /2R 2 )γ<br />
(2.562)<br />
1 + (π 2 A 2 e 4R /4R 4 ; (2.563)<br />
2<br />
)γ<br />
e 2πi[√ 2Bt±(x−R)]γ dγ<br />
1 + π2 A 2<br />
4<br />
e 4R<br />
γ2<br />
R4 2 R<br />
A<br />
2 <br />
exp +<br />
e2R 4 R<br />
A<br />
2<br />
e2R [√ <br />
2Bt±(x − R)]<br />
per √ 2B t ± (x − R) < 0<br />
2 R<br />
A<br />
2 <br />
exp −<br />
e2R 4 R<br />
A<br />
2<br />
e2R [√ <br />
2Bt±(x − R)]<br />
per √ 2B t ± (x − R) > 0.<br />
γ e 2πi[√2Bt±(x−R)]γ dγ<br />
1 + (π 2 A 2 e 4R /4R 4 )γ 2<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
−i<br />
=<br />
⎪⎩<br />
4<br />
πA2 R 4 <br />
exp +<br />
e4R 4 R<br />
A<br />
2<br />
e2R [√ <br />
2Bt±(x − R)]<br />
per √ 2B t ± (x − R) < 0<br />
i 4<br />
πA2 R 4 <br />
exp −<br />
e4R 4 R<br />
A<br />
2<br />
e2R [√ <br />
2Bt±(x − R)]<br />
per √ 2B t ± (x − R) > 0.<br />
(2.564)<br />
(2.565)<br />
Se ci interessano solo le soluzioni per x > R e t > 0, dovremo <strong>di</strong>stinguere<br />
due casi, secondo che √ 2Bt−(x−R) è positivo o negativo, essendo sempre<br />
50 Nel manoscritto originale i segni dei risultati dell’integrale sono rovesciati;<br />
qui vengono invece riportate le espressioni corrette.<br />
188
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
√ 2Bt + (x − R). Avremo rspettivamente, tenuto conto che:<br />
∞<br />
−∞<br />
M + Ni<br />
2<br />
e 2πi[√ 2Bt+(x−R)]γ dγ (2.566)<br />
è identicamente nullo a causa delle equazioni (2.564) e (2.565) quando<br />
√ 2B + x − R > 0: 51<br />
U =<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
<br />
8 R<br />
A eR eiBt <br />
exp −i arcsin (2A − 1)/2A − i √ <br />
2B(x − R)<br />
<br />
× exp 4R 2 (x − R)/(Ae 2R ) − 4R 2√ 2B t/(Ae 2R <br />
)<br />
per √ 2Bt − (x − R) > 0<br />
⎪⎩<br />
0, per √ 2Bt − (x − R) < 0,<br />
(2.567)<br />
essendosi nuovamente usata dov’era lecito l’approssimazione 2B = 2A −<br />
1. Per √ 2Bt − (x − R) > 0, in<strong>di</strong>pendentemente dal piccolo fattore <strong>di</strong><br />
smorzamento temporale e <strong>di</strong> esaltazione spaziale, la (2.567) rappresenta<br />
un’onda piana progressiva verso gli alti valori <strong>di</strong> x. Per valori abbastanza<br />
piccoli <strong>di</strong> t e quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> x − R, il flusso <strong>di</strong> elettroni per unità <strong>di</strong> tempo sarà:<br />
F = 8R2√2B . (2.568)<br />
Ae2R D’altra parte il fattore <strong>di</strong> smorzamento nel tempo si può mettere sotto la<br />
forma:<br />
e −t/2T , (2.569)<br />
essendo T la vita me<strong>di</strong>a; 52 segue, come è naturale:<br />
F = 1<br />
Ae2R<br />
, T =<br />
T 8R2√ . (2.570)<br />
2B<br />
Gamov nelle sue deduzioni sulla vita me<strong>di</strong>a delle particelle α nei nuclei<br />
ra<strong>di</strong>oattivi 53 ha postulato la <strong>di</strong>pendenza esponenziale del tempo, ha supposto<br />
inoltre che a grande <strong>di</strong>stanza dal nucleo l’autofunzione relativa alla<br />
51 Si noti che l’Autore ha omesso un fattore 2 nella seguente espressione.<br />
52 Si osservi che T è una costante <strong>di</strong> tempo piuttosto che la vita me<strong>di</strong>a.<br />
53 L’Autore si riferisce qui a G. Gamov, Zeits. f. Physik 41 (1928) 204. Egli ha<br />
già lavorato sulla teoria <strong>di</strong> Gamov anche in relazione alla sua tesi [E. <strong>Majorana</strong>,<br />
La teoria quantica dei nuclei ra<strong>di</strong>oattivi; Relatore: E. Fermi; non pubblicata].<br />
189
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
particella α rappresenti un’onda sferica progressiva e ha determinato T in<br />
base alla (2.570). Le considerazioni che precedono mostrano come il suo<br />
proce<strong>di</strong>mento sia giustificato. Cadono le obiezioni <strong>di</strong> Kudar che sentiva<br />
odor <strong>di</strong> paradosso nel fattore <strong>di</strong> esaltazione spaziale che entra in U per la<br />
(2.567). Infatti la prima delle (2.567) vale solo fino alla <strong>di</strong>stanza<br />
x − R = √ 2B t, (2.571)<br />
mentre al <strong>di</strong> là <strong>di</strong> U = 0, e quin<strong>di</strong> in tempi prossimi a t = 0, la (2.567) è<br />
verificata solo in una regione vicina ai nuclei, mentre in progresso <strong>di</strong> tempo<br />
vale, tenendo conto delle approssimazioni <strong>di</strong> calcolo, fino a una <strong>di</strong>stanza<br />
√ 2Bt = vt, poiché v è precisamente la velocità con cui vengono emesse<br />
le particelle. Il fatto che il fronte dell’onda si presenti netto benché la<br />
velocità <strong>di</strong> emissione a causa della vita finita dello stato quasi stazionario<br />
è lievemente incerta, deriva unicamente dalle approssimazioni <strong>di</strong> calcolo.<br />
Mostreremo fra poco come spingendo oltre l’approssimazione si possa mettere<br />
in evidenza tale incertezza <strong>di</strong> v e determinare la curva delle velocità<br />
in<strong>di</strong>pendentemente dai generali principi statistici della nuova meccanica.<br />
Le formole ora trovate suggeriscono interessanti considerazioni.<br />
I. Verificato che la prima delle equazioni (2.567) vale per <strong>di</strong>stanze brevi<br />
fin quasi dai primi istanti, possiamo cercare fin dall’inizio una soluzione <strong>di</strong><br />
tal forma senza preoccuparci <strong>di</strong> quel che accade a <strong>di</strong>stanza maggiori. È<br />
il metodo <strong>di</strong> Gamov. In altre parole supponiamo che la <strong>di</strong>pendenza dal<br />
tempo sia a qualunque <strong>di</strong>stanza del tipo:<br />
e 2πiνt e −t/2T = e 2πit(ν−1/4πiT ) , (2.572)<br />
così che la ψ viene formalmente a rappresentare uno stato stazionario con<br />
autovalore complesso. Ora la soluzione generale per gli stati stazionari è<br />
per le equazioni (2.536) e (2.538) e tenendo conto della <strong>di</strong>pendenza del<br />
tempo, con un’adatta normalizzazione approssimata<br />
⎧<br />
e<br />
⎪⎨<br />
U =<br />
⎪⎩<br />
iEt <br />
2 x e −x + α e<br />
8<br />
x <br />
, per x < R,<br />
x<br />
e iEt <br />
R α e<br />
2 +<br />
eR 8<br />
R <br />
cos<br />
R<br />
√ 2E(x − R)<br />
+ 1<br />
<br />
√ −Re<br />
2E<br />
−R + α e<br />
8<br />
R <br />
sin<br />
R<br />
√ <br />
2E(x − R) , per x > R.<br />
(2.573)<br />
190
Potremo anche scrivere per x > R:<br />
U = e iEt<br />
+<br />
<br />
R α e<br />
+<br />
eR 8<br />
R<br />
R<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
<br />
R α e<br />
+<br />
eR 8<br />
R<br />
R<br />
+ i<br />
√ 2E<br />
<br />
<br />
i<br />
− √<br />
2E<br />
− R α<br />
+<br />
eR 8<br />
− R α<br />
+<br />
eR 8<br />
e R<br />
R<br />
<br />
Se vogliamo che manchi l’onda in arrivo dovrà essere:<br />
da cui:<br />
R α e<br />
+<br />
eR 8<br />
R<br />
R<br />
α = −<br />
<br />
i<br />
− √<br />
2E<br />
− R α<br />
+<br />
eR 8<br />
e R <br />
e<br />
R<br />
i√2E(x−R) e −i√ 2E(x−R)<br />
e R <br />
R<br />
<br />
. (2.574)<br />
= 0, (2.575)<br />
√ 2E + i<br />
√ 2E − i 8R 2 e −2R , (2.576)<br />
e ponendo in prima approssimazione √ 2E = √ 2A − 1:<br />
e quin<strong>di</strong>:<br />
α = −<br />
E = A − 1<br />
2<br />
A − 1<br />
A 8R2 e −2R √<br />
2A − 1<br />
− i 8R<br />
A<br />
2 e −2R<br />
(2.577)<br />
√<br />
1<br />
2A − 1<br />
− α = B + i 8R<br />
2 A<br />
2 e −2R , (2.578)<br />
oppure, nello stesso or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> approssimazione:<br />
Segue per x < R:<br />
E = B + i<br />
√ 2B<br />
A 4R2 e −2R . (2.579)<br />
U = e iBt <br />
2 x e −x <br />
A − 1<br />
−<br />
A R2 e −2R √<br />
2B<br />
+ i<br />
A R2 e −2R<br />
x<br />
e<br />
x<br />
× e −<br />
√<br />
2B<br />
A 4R2e −2R<br />
, (2.580)<br />
come si era già trovato. Anche per questa via si può quin<strong>di</strong> determinare la<br />
191
vita me<strong>di</strong>a T : 54<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
T = A<br />
√ 2B<br />
e 2R<br />
. (2.581)<br />
8R2 II. L’espressione della vita me<strong>di</strong>a T mostra come essa sia proporzionale a<br />
A/ √ 2B, in cui B ricor<strong>di</strong>amo è l’energia me<strong>di</strong>a dell’elettrone, o ciò che è<br />
lo stesso, l’energia cinetica me<strong>di</strong>a che esso possiede quando attraversa la<br />
sfera <strong>di</strong> raggio R. E poiché, con gran<strong>di</strong>ssima approssimazione B A−1/2,<br />
avremo anche che la vita me<strong>di</strong>a è proporzionale a (B + 1/2)/ √ 2B. Se<br />
facciamo A = 1/2, cioè uguale proprio al potenziale <strong>di</strong> ionizzazione sarà<br />
B = 0, e la vita me<strong>di</strong>a <strong>di</strong>venta naturalmente infinita. Ciò che sorprende è<br />
però che al crescere <strong>di</strong> B le probabilità <strong>di</strong> ionizzazione nell’unità <strong>di</strong> tempo<br />
crescono fino a toccare il massimo per un determinato valore <strong>di</strong> B e poi<br />
decrescono tendendo a zero per B che tende all’infinito. Si ha il massimo<br />
per B = 1/2 e quin<strong>di</strong> A = 1, cioè al doppio del potenziale <strong>di</strong> ionizzazione.<br />
La vita me<strong>di</strong>a minima sarà dunque:<br />
T = e2R<br />
. (2.582)<br />
8R2 La spiegazione del paradosso risiede nel fatto generale che, se esiste una<br />
superficie netta <strong>di</strong> separazione fra due regioni a potenziale <strong>di</strong>verso, essa si<br />
comporta come superficie riflettente non solo per le particelle provenienti<br />
dalla regione a più bassa energia potenziale, ma anche per quelle provenienti<br />
dalla parte opposta, purché l’energia cinetica, positiva o negativa, sia<br />
in valore assoluto piccola rispetto al salto brusco dell’energia potenziale.<br />
III. Abbiamo visto che l’energia E dell’elettrone non è rigorosamente determinata.<br />
Possiamo parlare <strong>di</strong> probabilità che essa sia compresa tra E<br />
e E + dE o, ciò che è lo stesso, <strong>di</strong> probabilità che la velocità <strong>di</strong> uscita<br />
dell’elettrone sia compresa tra v e v + dv. Avremo per la (2.541)<br />
v = √ 2E √ 2B + 2π γ (2.583)<br />
dv 2π dγ, (2.584)<br />
54∗ T si trova senza <strong>di</strong>fficoltà in base alla (2.543):<br />
A − 1<br />
α =<br />
A 8R2e −2R √<br />
2B<br />
− i<br />
A 8R2e −2R<br />
α coincide con α relativo allo stato parzialmente stazionario considerato in questa<br />
pagina. La <strong>di</strong>mostrazione è analoga a quella che richiede la (2.564).<br />
192
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
ma la probabilità che γ sia compreso fra γ e γ + dγ è c 2 dγ ; dalla (2.554),<br />
la probabilità che v sia compreso tra v, v + dv sarà:<br />
(Ae 2R /4πR 2 )dv<br />
1 + (π 2 A 2 e 4R /4R 4 2<br />
)γ<br />
(Ae 2R /4πR 2 )dv<br />
1 + (A 2 e 4R /16R 4 ) (v − √ . (2.585)<br />
2<br />
2B)<br />
La curva delle energie è naturalmente della stessa forma in prima approssimazione.<br />
La probabilità per unità d’energia è:<br />
Ae 2R /4π √ 2BR 2<br />
1 + (A 2 e 4R /32BR 4 ) (E − B) 2<br />
=<br />
=<br />
K1/π<br />
1 + K 2 2 (E − B) 2<br />
1/πK<br />
1 + (E − B) 2 2 . (2.586)<br />
/K<br />
Come faremo vedere in seguito, a proposito dei fenomeni ra<strong>di</strong>oattivi, si<br />
trova sempre la stessa curva quando si ha a che fare con stati quasi stazionari,<br />
qualunque sia la <strong>di</strong>stribuzione (con simmetria sferica) del potenziale. Il<br />
parametro K che ne definisce l’ampiezza, è legato alla vita me<strong>di</strong>a dalla<br />
relazione<br />
K = 1<br />
= τ, (2.587)<br />
2T<br />
e, ricordando che nelle nostre unità h = 2π, passando alle unità solite:<br />
K = <br />
, (2.588)<br />
2T<br />
conforme qualitativamente alle generali relazioni d’incertezza.<br />
IV. Spingiamo oltre l’approssimazione per x > R. Manteniamo la definizione<br />
(2.542) <strong>di</strong> γ. Avremo:<br />
E = B + 2π √ 2B γ (2.589)<br />
e in luogo della (2.541), in seconda approssimazione:<br />
√ 2E = √ 2B + 2π γ − 2π 2<br />
√ 2B γ 2<br />
e in luogo della (2.561) dovremo scrivere:<br />
U = e iEt e R <br />
e<br />
R<br />
i√ ∞<br />
2B(x−R)<br />
−∞<br />
193<br />
M + Ni<br />
2<br />
(2.590)
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
<br />
× exp 2πi[ √ 2Bt + (x − R)]γ − 2π2iγ 2 <br />
√ (x − R) dγ<br />
2B<br />
+ e −i√ ∞<br />
2B(x−R)<br />
−∞<br />
M − Ni<br />
2<br />
<br />
× exp 2πi[ √ 2Bt − (x − R)]γ + 2π2iγ 2<br />
√ (x − R)<br />
2B<br />
<br />
<br />
dγ . (2.591)<br />
2.35 Urto <strong>di</strong> una particella α contro un<br />
nucleo ra<strong>di</strong>oattivo<br />
Consideriamo una particella α in punto <strong>di</strong> essere emessa da un nucleo<br />
ra<strong>di</strong>oattivo, come formante un’onda quasi stazionaria. Quest’onda, come<br />
ha mostrato Gamov, si <strong>di</strong>sperde praticamente all’infinito dopo un certo<br />
tempo; in altre parole la particella si trova instabilmente in prossimità del<br />
nucleo e dopo qualche tempo finisce per allontanarsene indefinitamente.<br />
Noi cominceremo a stu<strong>di</strong>are minutamente i caratteri <strong>di</strong> quest’onda quasi<br />
stazionaria, per poi affrontare il problema inverso a quello propostosi da<br />
Gamov: 55 determinare la probabilità che una particella α urtando, in date<br />
con<strong>di</strong>zioni contro un nucleo che ha subito una trasformazione ra<strong>di</strong>oattiva<br />
α, venga da esso catturata in modo da ricostituire un nucleo della sostanza<br />
che precede nella genealogia ra<strong>di</strong>oattiva. La questione è stata accennata<br />
poco seriamente da Kudar, e si ricollega <strong>di</strong>rettamente alla nota ipotesi<br />
secondo la quale in con<strong>di</strong>zioni fisiche affatto <strong>di</strong>fferenti da quelle che siamo<br />
avvezzi a considerare, può aver luogo un processo <strong>di</strong> reintegrazione <strong>degli</strong><br />
elementi ra<strong>di</strong>oattivi; dai più semplici ai più complessi.<br />
Supponiamo, seguendo Gamov, che il quanto azimutale della particella<br />
a contatto del nucleo sia nullo, così che venga realizzata la simmetria sferica.<br />
Prescin<strong>di</strong>amo ancora dal trascinamento del resto nucleare, e ciò solo per<br />
semplicità <strong>di</strong> <strong>di</strong>scorso perché il tenerne conto non presenta alcuna <strong>di</strong>fficoltà;<br />
anzi ai risultati esatti si perviene senz’altro con ovvie mo<strong>di</strong>ficazioni delle<br />
55 Di nuovo l’Autore si riferisce a G. Gamov, Zeits. f. Physik 41 (1928) 204:<br />
ve<strong>di</strong> la nota precedente.<br />
194
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
formole finali. Ponendo al solito ψ = χ/x, avremo per gli stati stazionari<br />
a simmetria sferica:<br />
d 2 χ 2m<br />
+ (E − U) χ = 0. (2.592)<br />
dx2 2 Oltre una <strong>di</strong>stanza R, abbastanza grande che potremo supporre dell’or<strong>di</strong>ne<br />
delle <strong>di</strong>mensioni atomiche, U praticamente si annulla. La funzione χ<br />
sarà allora simmetrica per E > 0. La chiarezza delle nostre <strong>di</strong>mostrazioni<br />
richiede che per x > R si possa ritenere rigorosamente U = 0, ma sarà<br />
chiaro che nessuna sostanziale causa <strong>di</strong> errore potrà essere per tal via introdotta<br />
nei nostri calcoli. Consideriamo per ora le χ come funzioni solo<br />
del posto e le supposizioni, come è lecito, reali. Conveniamo ancora <strong>di</strong><br />
normalizzare in guisa che:<br />
R<br />
0<br />
χ 2 dx = 1. (2.593)<br />
Si immagini ora che esista uno stato quasi stazionario e parimenti che si<br />
possa costruire una funzione u0 la quale si annulli per x > R, sod<strong>di</strong>sfi alla<br />
con<strong>di</strong>zione: R<br />
|u0| 2 dx = 1, (2.594)<br />
0<br />
e inoltre nei punti in cui u0 è grande obbe<strong>di</strong>sca 56 all’incirca all’equazione<br />
<strong>di</strong>fferenziale (2.592). Questa funzione u0 sarà adatta a rappresentare la<br />
particella α nell’istante iniziale. Potremo svilupparla secondo le funzioni χ<br />
che si ottengono facendo variare E entro un tempo ristretto. Porremo:<br />
E = E0 + W. (2.595)<br />
La possibilità dello stato quasi stazionario sarà rivelata dal fatto che per<br />
x < R le funzioni χ, normalizzate secondo la (2.593), e le loro derivate<br />
sono piccole quando W è piccolo.<br />
In prima approssimazione potremo porre per x < R:<br />
χW = χ0 + W y(x)<br />
χ ′ W = χ ′ 0 + W y ′ (x)<br />
(2.596)<br />
56∗ Per un valore approssimativamente determinato <strong>di</strong> t, mentre è quasi reale.<br />
195
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
e ciò, per poco che U abbia un andamento ragionevole, con approssimazione<br />
esuberante e per tutto il campo <strong>di</strong> variabilità <strong>di</strong> W che ha praticamente<br />
interesse. In particolare per x = R:<br />
χW (R) = χ0(R) + W y(R)<br />
χ ′ W (R) = χ ′ 0(R) + W y ′ (R).<br />
(2.597)<br />
E ricordando che per x > R la (2.592) si riduce semplicemente nella forma<br />
si avrà per x > R<br />
d 2 χW<br />
dx 2<br />
2m<br />
+ (E0 + W ) χW = 0 (2.598)<br />
2 χW = (a + bW ) cos 1 <br />
2m(E0 + W )(x − R)<br />
<br />
essendosi posto:<br />
a1 =<br />
+ (a1 + b1W ) sin 1 <br />
2m(E0 + W )(x − R),<br />
<br />
a = χ0(R), b = y(R)<br />
χ ′ 0(R)<br />
2m(E0 + W ) , b1 =<br />
y ′ (R)<br />
2m(E0 + W ) .<br />
(2.599)<br />
(2.600)<br />
Come si vede a1 e b1 non sono rigorosamente costanti; ma nell’or<strong>di</strong>ne<br />
d’approssimazione entro cui il nostro problema è determinato possiamo<br />
considerarle come tali e sostituire alle ultime dalla (2.600):<br />
a1 = χ′ √<br />
0(R)<br />
, b1 =<br />
2mE0<br />
y′ (R)<br />
√ . (2.601)<br />
2mE0<br />
Inoltre, poiché E0 non è completamente determinato, possiamo sceglierlo<br />
in guisa da semplificare la (2.599); possiamo allo stesso scopo spostare R<br />
<strong>di</strong> una frazione della lunghezza d’onda h/ √ 2mE0. Si troverà allora che è<br />
sempre possibile sostituire alla (2.599) l’espressione più semplice:<br />
χW = α cos 2m(E0 + W ) (x − R)/ <br />
+ βW sin 2m(E0 + W ) (x − R)/ .<br />
196<br />
(2.602)
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Porremo:<br />
2m(E0 + W ) / = √ 2mE0 / + 2π γ = C + 2π γ, (2.603)<br />
e sarà in prima approssimazione:<br />
2π γ <br />
W<br />
2E0/m<br />
W<br />
= , (2.604)<br />
v<br />
essendo v la velocità (me<strong>di</strong>a) con cui le particelle vengono espulse. Sostituendo<br />
nella (2.602) avremo approssimativamente:<br />
essendo:<br />
χW = α cos(C + 2πγ)(x − R)<br />
+ β ′ γ sin(C + 2πγ)(x − R),<br />
Le χW sono per ora normalizzate in modo che<br />
(2.605)<br />
β ′ = β 2π 2E0/m. (2.606)<br />
R<br />
χ<br />
0<br />
2 W dx = 1.<br />
In<strong>di</strong>cheremo con ηW le stesse autofunzioni normalizzate rispetto a dγ. Otteniamo<br />
sempre per x > R:<br />
ηW =<br />
2<br />
α 2 + β ′2 γ 2<br />
[α cos(C + 2πγ)(x − R)<br />
+ β ′ γ sin(C + 2πγ)(x − R) =<br />
2<br />
χW .<br />
α2 + β ′2γ 2<br />
(2.607)<br />
Sviluppiamo ora u0, che rappresenta come si è detto la particella α<br />
nell’istante iniziale, secondo le ηW ; avremo:<br />
u0 =<br />
∞<br />
e poiché u0 = χW per x ≤ R e perciò<br />
Kγ =<br />
∞<br />
0<br />
ηW u0 dx =<br />
Kγ ηW dγ (2.608)<br />
−∞<br />
2<br />
α 2 + β ′2 γ 2<br />
197<br />
R<br />
χ<br />
0<br />
2 W dx =<br />
2<br />
α 2 + β ′2 γ 2 ,<br />
(2.609)
sostituendo nella (2.608) otteniamo<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
u0 =<br />
∞<br />
−∞<br />
4 χW<br />
α2 + β ′2 dγ. (2.610)<br />
γ2 Ora, per piccoli valori <strong>di</strong> x, le χW coincidono tra loro e coincidono del pari<br />
con u0; dovrà quin<strong>di</strong> essere:<br />
1 =<br />
∞<br />
−∞<br />
4<br />
α 2 + β ′2 γ<br />
4π<br />
dγ = ± , (2.611)<br />
2 αβ ′<br />
(si riconosce senza <strong>di</strong>fficoltà che dovremo scegliere il segno inferiore); cioè<br />
esiste necessariamente la relazione:<br />
β ′ = − 4π<br />
α<br />
(2.612)<br />
A causa della (2.604), introducendo la <strong>di</strong>pendenza dal tempo avremo approssimativamente:<br />
u = e iEt/<br />
<br />
∞ 4χW exp 2πi <br />
2E0/m γt<br />
α 2 + 16π 2 γ 2 /α 2 dγ. (2.613)<br />
−∞<br />
Per piccoli valori <strong>di</strong> x, confondendosi le χW con u0 si avrà:<br />
u = u0 e iE0t/<br />
<br />
exp −α 2 <br />
2E0/m t/2 , (2.614)<br />
ovvero<br />
essendo T la vita me<strong>di</strong>a. Si ricava:<br />
T =<br />
u = u0 e iE0t/ e −t/2T , (2.615)<br />
1<br />
α 2 2E0/m<br />
1<br />
=<br />
α2 . (2.616)<br />
v<br />
Così, ricordando la (2.612), tanto α che β ′ vengono espressi in funzione<br />
soltanto <strong>di</strong> T :<br />
α =<br />
±1<br />
√ vT =<br />
±1<br />
<br />
4 2(E/m)T 2<br />
(2.617)<br />
β ′ = ∓4π √ vT = ∓4π 4 2(E/m)T 2 . (2.618)<br />
198
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Si rileverà che ad uno stato stazionario corrisponde nella teoria classica<br />
un’orbita <strong>di</strong> tipo iperbolico. Il periodo <strong>di</strong> rivoluzione, o meglio l’intervallo<br />
fra i due passaggi attraverso la sfera <strong>di</strong> raggio r è data da<br />
PW =<br />
e il valore massimo si ha per W = 0:<br />
PW = 4<br />
α 2 v<br />
4<br />
(α2 + β ′2γ 2 , (2.619)<br />
)v<br />
= 4T. (2.620)<br />
La probabilità che si presentino i singoli stati stazionari sono, per la (2.609),<br />
proporzionali a detti perio<strong>di</strong> <strong>di</strong> rivoluzione, come un ragionamento puramente<br />
classico farebbe prevedere. Si può ancora determinare T ragionando<br />
classicamente. Infatti se una particella si trova nell’orbita W e, per ipotesi,<br />
all’interno della sfera <strong>di</strong> raggio R, vi rimane ancora, in me<strong>di</strong>a, per un tempo<br />
TW = (1/2)PW = (2/v)/(α 2 + β ′2 γ 2 ), e il valore me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> TW sarà:<br />
∞<br />
TW =<br />
T<br />
0<br />
2 W dγ<br />
∞<br />
0<br />
TW dγ<br />
= 1<br />
α 2 v<br />
= T. (2.621)<br />
Si deve però avvertire che se si spingesse oltre il ragionamento analogico fino<br />
a determinare la forma della curva <strong>di</strong> sopravvivenza, si andrebbe incontro<br />
a un risultato errato.<br />
L’autofunzione u ha l’espressione nella (2.614) solo per piccoli valori <strong>di</strong><br />
x. Trascurando ciò che avviene per x non molto piccolo, ma minore <strong>di</strong> R,<br />
e venendo senz’altro al caso x > R, si ha per le (2.606) e (2.610):<br />
u = e iE0t/<br />
+<br />
∞<br />
0<br />
∞<br />
0<br />
4α cos(C + 2πγ)(x − R)<br />
α 2 + β ′2 γ 2<br />
4β ′ γ sin(C + 2πγ)(x − R)<br />
α 2 + β ′2 γ 2<br />
e 2πivγt dγ<br />
e 2πivγt <br />
dγ , (2.622)<br />
in cui α e β ′ <strong>di</strong>pendono da T secondo le equazioni (2.617), (2.618).<br />
(2.622) si può scrivere:<br />
La<br />
u = e iE0t/<br />
<br />
e iC(x−R)<br />
∞<br />
(2α − 2iβ ′ γ)<br />
+ e −iC(x−R)<br />
0 α2 + β ′2γ 2 e2πi(vt+x−R)γ dγ<br />
∞<br />
(2α + 2iβ<br />
0<br />
′ γ)<br />
α2 + β ′2γ 2 e2πi[vt−(x−R)]γ <br />
dγ<br />
199<br />
(2.623)
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
e ricordando che α e β ′ sono <strong>di</strong> segno opposto e che per t > 0 e x > R,<br />
sarà vt + x − R > 0, si trova che il primo integrale si annulla, mentre il<br />
secondo vale:<br />
∞<br />
0<br />
=<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
(2α + 2iβ ′ γ)<br />
α 2 + β ′2 γ 2 e2πi[vt−(x−R)]γ dγ = 2<br />
∞<br />
0<br />
e 2πi[vt−(x−R)]γ<br />
α − iβ ′ γ<br />
− 4π<br />
β ′ e2π(α/β′ )[vt−(x−R)] = − 4π<br />
β ′ e−(α2 /2)[vt−(x−R)]<br />
0<br />
dγ<br />
(2.624)<br />
Sostituendo nella (2.625) e ricordando che per la (2.603) C = mv/, si ha<br />
infine:<br />
⎧<br />
⎨ α e<br />
u =<br />
⎩<br />
iE0t/ −imv(x−R)/ −t/2T (x−R)/(2vT )<br />
e e e<br />
0<br />
(2.625)<br />
per vt − (x − R) > 0 e per vt − (x − R) < 0.<br />
Vogliamo ora supporre che il nucleo abbia perduto la particella α; ciò<br />
significa che sarà inizialmente u0 = 0 in prossimità del nucleo. Si tratta<br />
<strong>di</strong> valutare la probabilità che il nucleo riassorba una particella α quando<br />
venga bombardato con un fascio parallelo <strong>di</strong> particelle. Per caratterizzare il<br />
raggio incidente, dovremo assegnare l’intensità per unità d’area, l’energia<br />
d’ogni particella e la durata del bombardamento. Ora le sole particelle<br />
che abbiano elevata probabilità <strong>di</strong> essere assorbite sono quelle che hanno<br />
un’energia prossima a E0, con un’incertezza dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> h/T ; d’altra<br />
parte la durata τ del bombardamento, per la chiara interpretabilità dei<br />
risultati, deve essere piccola <strong>di</strong> fronte a T ; segue che l’energia delle particelle<br />
restanti non può essere determinata, per la relazione d’incertezza, che con<br />
un errore molto più grande <strong>di</strong> h/T . In luogo <strong>di</strong> parlare <strong>di</strong> intensità per<br />
unità d’area, dovremo dunque parlare <strong>di</strong> intensità per unità d’area e unità<br />
<strong>di</strong> energia per valori prossimi a E0. Sia N il numero delle particelle passate<br />
in tutta la durata τ del bombardamento per unità d’area e <strong>di</strong> energia.<br />
Sia inizialmente l’onda piana incidente compresa fra due piani paralleli<br />
<strong>di</strong> ascissa (<strong>di</strong>stanza dal nucleo) d1 e d2 = d1 + ℓ. Per l’ipotesi fatta che<br />
l’onda sia inizialmente piana sarà:<br />
u0 = u0(ξ), (2.626)<br />
200
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
essendo ξ l’ascissa <strong>di</strong> un piano generico parallelo ai primi due. Per ξ < d1<br />
oppure ξ > d2, sarà u0 = 0. Vogliamo inoltre supporre d1 > R ed anche,<br />
ciò che non implica nuove restrizioni,<br />
h<br />
ℓ = ρ<br />
m 2E0/m<br />
= ρ h<br />
mv<br />
= ρ λ, (2.627)<br />
essendo ρ un numero intero e λ la lunghezza d’onda della particella α<br />
emessa. Possiamo sviluppare ψ0 tra d1 e d2 in serie <strong>di</strong> Fourier e quin<strong>di</strong> in<br />
una somma <strong>di</strong> termini del tipo<br />
kσ e σ2πi(ξ−d1)/ℓ<br />
(2.628)<br />
con σ intero. I termini con σ negativo rappresentano, grosso modo, particelle<br />
che si allontanano; possiamo supporli nulli. Fissiamo l’attenzione sul<br />
termine<br />
kρ e ρ2πi(ξ−d1)/ℓ imv(ξ−d1)/<br />
= kρ e (2.629)<br />
e poniamo 57<br />
u0 = ψ0 + kρ e imv(ξ−d1)/ . (2.630)<br />
Le autofunzioni <strong>di</strong> una particella libera, mobile in <strong>di</strong>rezione normale all’onda<br />
in arrivo, sono normalizzate rispetto a dE: 58<br />
ψσ =<br />
1<br />
2hE/m e i√ 2mE(ξ−d1)/ . (2.631)<br />
Si deve intendere che E vari due volte tra zero e infinito attribuendo al<br />
ra<strong>di</strong>cale che figura all’esponente una volta il segno positivo e una volta il<br />
negativo; a noi interessano solo le autofunzioni al ra<strong>di</strong>cale positivo, le quali<br />
rappresentano particelle in marcia verso le ξ decrescenti. Possiamo porre:<br />
e sarà<br />
ψ0 =<br />
cE =<br />
∞<br />
0<br />
cE ψρ dE (2.632)<br />
d2<br />
ψ0 ψ ∗ ρ dξ. (2.633)<br />
d1<br />
57 Si noti che l’Autore ha <strong>di</strong>viso la funzione d’onda della particella incidente<br />
in un termine corrispondente all’energia principale E0 (il secondo termine nella<br />
(2.630)) più un altro termine che sarà sviluppato a partire dalla (2.632).<br />
58 Nel manoscritto originale queste autofunzioni sono in<strong>di</strong>cate con ψρ, ma qui,<br />
per chiarezza, saranno in<strong>di</strong>cate con ψσ.<br />
201
In particolare:<br />
cE0<br />
=<br />
=<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
d2<br />
ψ0<br />
d1<br />
kρℓ<br />
√ hv +<br />
e poiché evidentemente:<br />
si trae:<br />
1<br />
√ hv e −imv(ξ−d1)/ dξ<br />
d2<br />
ψ0<br />
d1<br />
1<br />
√ e<br />
hv −imv(ξ−d1)/ kρℓ<br />
dξ = √hv . (2.634)<br />
N = c 2 E0 , (2.635)<br />
N = k2 ρℓ 2<br />
. (2.636)<br />
hv<br />
Immaginiamo ora <strong>di</strong> sviluppare u0 secondo le autofunzioni relative al<br />
campo centrale prodotte dal resto nucleare. A noi interessa solo quella<br />
parte dello sviluppo che si riferisce alle autofunzioni dotate <strong>di</strong> simmetria<br />
sferica con autovalore molto prossimo a E0, perché, nelle nostre ipotesi, solo<br />
esse assumono gran<strong>di</strong> valori in prossimità del nucleo. Di tali autofunzioni<br />
conosciamo l’espressione per x > R data dalle equazioni (2.607), (2.617),<br />
(2.618). In realtà le ηW date dalla (2.607) sono le autofunzioni relative<br />
al problema ridotto in una <strong>di</strong>mensione. Per avere le autofunzioni spaziali,<br />
sempre normalizzate rispetto a dγ, si dovrà porre:<br />
Dovremo dunque porre:<br />
e sarà<br />
pγ =<br />
<br />
Possiamo porre:<br />
gW =<br />
ψ0 =<br />
gW = ηW<br />
√ . (2.637)<br />
4πx<br />
∞<br />
0<br />
dS gW ψ0 =<br />
pγ gW dγ + . . . (2.638)<br />
d2<br />
d1<br />
2π x gW dx<br />
x<br />
d1<br />
ψ0 dξ. (2.639)<br />
1<br />
<br />
√ Aγ e<br />
4πx<br />
i(C+2πγ)(x−d1)<br />
<br />
−i(C+2πγ)(x−d1)<br />
+ Bγ e , (2.640)<br />
202
essendo per la (2.607).<br />
Aγ =<br />
Bγ =<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
α − iβ ′ γ<br />
α 2 + β ′2 γ 2 ei(C+2πγ)(d1−R)<br />
α + iβ ′ γ<br />
α 2 + β ′2 γ 2 e−i(C+2πγ)(d1−R) .<br />
(2.641)<br />
Ora noi possiamo supporre d1, e quin<strong>di</strong> d2, gran<strong>di</strong> quanto si vuole; non così<br />
ℓ = d2 − d1 perché la durata del bombardamento, che è dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> ℓ/v,<br />
deve essere trascurabile <strong>di</strong> fronte a T . Sarà allora trascurabile, in senso<br />
assoluto, 2πγℓ perché 2πγ è dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> α 2 , ovvero (2.616) <strong>di</strong> 1/vT . Per<br />
d1 < x < d2 allora è possibile riscrivere la (2.640) come:<br />
g W =<br />
1<br />
√ 4πx<br />
<br />
Aγ e imv(x−d1)/ −imv(x−d1)/<br />
+ Bγ e <br />
, (2.642)<br />
ferme restando le posizioni (2.641).<br />
Sostituiamo nella (2.639), e teniamo conto delle equazioni (2.630) e<br />
(2.636). Avremo semplicemente:<br />
essendo<br />
pγ = 2πBγ<br />
√<br />
4π<br />
=<br />
Sostituendo nella (2.638),<br />
d2<br />
e in un istante qualunque:<br />
d1<br />
e −imv(x−d1)/ dx<br />
hBγkρℓ<br />
i √ 4π m v = Bγh3/2√N i √ 4π m √ v<br />
ψ0 = q<br />
ψ = e iE0t/ q<br />
x<br />
d1<br />
e imv(ξ−d1)/ dξ<br />
= q Bγ, (2.643)<br />
q = h3/2N 1/2<br />
i m v1/2√ . (2.644)<br />
4π<br />
∞<br />
0<br />
∞<br />
e tenendo conto delle equazioni (2.637) e (2.607):<br />
ψ = e iE0t/<br />
q<br />
√4πx<br />
∞<br />
0<br />
0<br />
BγgW dγ + . . . (2.645)<br />
Bγ gW e 2πivγt dγ + . . . , (2.646)<br />
2Bγ<br />
α 2 + β ′2 γ 2 χW e2πivγt dγ + . . . (2.647)<br />
203
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Vogliamo ora indagare il comportamento <strong>di</strong> ψ in prossimità del nucleo; i<br />
termini non scritti del suo sviluppo possono dare ivi un contributo notevole<br />
solo per un tempo breve dopo il passaggio dell’onda; almeno se esclu<strong>di</strong>amo<br />
che esistano altri stati quasi stazionari oltre quello in esame. Trascurandoli,<br />
avrà ψ simmetria sferica in prossimità del nucleo. Porremo:<br />
ψ =<br />
u<br />
√ 4πx , (2.648)<br />
in modo che il numero <strong>di</strong> particelle eventualmente catturate sarà espresso<br />
da <br />
|u 2 | dx (2.649)<br />
(esteso fino a una <strong>di</strong>stanza ragionevole, ad es. R). Sostituendo nella (2.647),<br />
avremo, badando che per x piccolo, è approssimativamente χw = χ0:<br />
u = q χ0 e iE0t/<br />
∞<br />
0<br />
2<br />
α − iβ ′ γ e2πi[vt−(d1−R)]γ dγ (2.650)<br />
e poiché come si è già notato αβ ′ < 0, e ponendo d = d1−R, dalle equazioni<br />
(2.617), avremo:<br />
⎧<br />
⎪⎨ q α χ0 e<br />
u =<br />
⎪⎩<br />
iE0t/<br />
t − d/v<br />
−<br />
e 2T = q α e −iCd t − d/v<br />
−<br />
e 2T , per t > d<br />
v<br />
0, per t < d<br />
v<br />
(2.651)<br />
Il significato <strong>di</strong> queste formole è chiarissimo: il raggio <strong>di</strong> particelle α, che<br />
abbiamo supposto <strong>di</strong> breve durata, investe il nucleo nell’istante t = d/v,<br />
e vi è la probabilità |qα| 2 che una particella sia catturata (naturalmente<br />
dovrà essere q 2 α 2 ≪ 1). Dopo <strong>di</strong> ciò, cessa l’azione del raggio incidente<br />
e se una particella è stata catturata, viene espulsa dopo un certo tempo<br />
secondo le leggi dei fenomeni ra<strong>di</strong>oattivi.<br />
Ponendo n = |qα| 2 , si ha dalle (2.616) e (2.644)<br />
n = 2π2 3<br />
m2v2 N, (2.652)<br />
T<br />
cioè le probabilità d’assorbimento sono del tutto in<strong>di</strong>pendenti da qualunque<br />
ipotesi sull’andamento del potenziale in prossimità del nucleo e sono<br />
204
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
legate alla vita me<strong>di</strong>a T . 59<br />
Alla formola (2.652), che è stata tratta da considerazioni esclusivamente<br />
meccaniche, si arriva anche per via termo<strong>di</strong>namica. Si immagini<br />
uno dei nostri nuclei ra<strong>di</strong>oattivi immerso in un’atmosfera <strong>di</strong> particelle α in<br />
agitazione termica. Nell’or<strong>di</strong>ne d’approssimazione in cui abbiamo trattato<br />
fin qui il problema, si può ritenere il nucleo fermo. Una particella in contatto<br />
con esso si trova in uno stato quantico <strong>di</strong> peso statistico semplice,<br />
essendosi supposta la simmetria sferica; il fatto che tale stato quantico, <strong>di</strong><br />
energia E0, non sia rigorosamente stazionario, ma abbia una vita me<strong>di</strong>a<br />
finita, deve considerarsi, come in tutti i casi analoghi, quale un effetto <strong>di</strong><br />
59 Il manoscritto originale continua con due lunghe frasi che sono state, tuttavia,<br />
cancellate dall’Autore. La prima è la seguente:<br />
“Poiché sono assorbite solo le particelle d’energia prossima a E0, possiamo ammettere,<br />
cadendo un po’ nella metafisica, che ad ogni energia E0 +W corrisponda<br />
un <strong>di</strong>verso coefficiente d’assorbimento ℓW , che ℓW sia proporzionale alla probabilità<br />
che una particella nello stato quasi stazionario abbia l’energia E0 + W ; cioè<br />
per le equazioni (2.604), (2.612), (2.616) e (2.609):<br />
ℓW =<br />
D<br />
1 + 4T 2 W 2 2 . (2.653)<br />
/<br />
e poiché le particelle incidenti per unità d’area e <strong>di</strong> energia compresa tra (E0 +W )<br />
e (E0 + W ) + dW sono in numero <strong>di</strong> NdW , dovrà essere:<br />
∞<br />
n = N ℓW dW = N D<br />
−∞<br />
π<br />
, (2.654)<br />
2T<br />
da cui, confrontando con (2.652),<br />
D = 1<br />
π<br />
h 2<br />
m 2 v<br />
λ2<br />
= , (2.655)<br />
2 π<br />
che dà in forma semplicissima la sezione <strong>di</strong> assorbimento per le particelle <strong>di</strong> energia<br />
E0, cioè per quelle che hanno il massimo coefficiente d’assorbimento. Ponendo:<br />
la (2.652) <strong>di</strong>venta:<br />
N ′ = N π<br />
, (2.656)<br />
2T<br />
n = λ2<br />
π N ′ , (2.657)<br />
che significa che l’assorbimento <strong>di</strong> N ′ <strong>di</strong> particelle <strong>di</strong> energia E0 è equivalente<br />
all’assorbimento <strong>di</strong> N <strong>di</strong> particelle per unità <strong>di</strong> energia.”<br />
Il secondo paragrafo non verrà qui riprodotto, in quanto appare essere incompleto.<br />
205
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
secondo or<strong>di</strong>ne. Se la densità e temperatura del gas <strong>di</strong> particelle α è tale<br />
che ne esistono D per unità <strong>di</strong> volume e unità <strong>di</strong> energia, prossima a E0,<br />
ne esisteranno per unità <strong>di</strong> volume e in un intervallo <strong>di</strong> energia dE:<br />
e in<strong>di</strong>cando con p la quantità <strong>di</strong> moto, sarà:<br />
D dE (2.658)<br />
p = √ 2mE0 (2.659)<br />
<br />
m<br />
dp = dE, (2.660)<br />
2E0<br />
nelle quali si è scritto sotto i segni <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>ce E0 in luogo <strong>di</strong> E appunto<br />
perché dobbiamo considerare le particelle <strong>di</strong> energia prossime a E0. Le<br />
DdE particelle occupano nello spazio or<strong>di</strong>nario un volume 1 e in quello dei<br />
momenti il volume compreso tra due sfere <strong>di</strong> raggi p e p+dp; cioè occupano<br />
nello spazio delle fasi il volume:<br />
4π p 2 dp = 4π m 2 2E0/m dE = 4π m 2 v dE. (2.661)<br />
In tale volume è compreso un numero <strong>di</strong> stati quantici pari a<br />
m 2 v<br />
2π2 dE (2.662)<br />
3 Segue che in ogni stato quantico <strong>di</strong> energia prossima a E0, si trovano in<br />
me<strong>di</strong>a<br />
D 2π2 3<br />
m2 (2.663)<br />
v<br />
particelle. Altrettanto se ne troveranno in me<strong>di</strong>a nel nucleo, purché l’espressione<br />
(2.663) abbia un valore molto piccolo <strong>di</strong> fronte all’unità, ché<br />
solo in tal senso è lecito trascurare l’interazione fra le particelle. Poiché le<br />
particelle nel nucleo hanno una vita me<strong>di</strong>a T , ne saranno espulse nell’unità<br />
<strong>di</strong> tempo<br />
n = 2π2 3 D<br />
m2 (2.664)<br />
vT<br />
e altrettante ne debbono essere assorbite per l’equilibrio. Ora D particelle<br />
per unità <strong>di</strong> volume e <strong>di</strong> energia equivalgono riguardo alla probabilità <strong>di</strong><br />
urto con il nucleo e quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> assorbimento da parte <strong>di</strong> esso, a un fascio<br />
206
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
parallelo <strong>di</strong> N = Dv particelle per unità d’area, <strong>di</strong> energia e <strong>di</strong> tempo.<br />
Sostituendo si trova:<br />
n = 2π2 3<br />
N, (2.665)<br />
che è appunto la formola (2.652).<br />
m 2 v 2 T<br />
2.36 Potenziale ritardato<br />
(Si veda il paragrafo 1.2.)<br />
Consideriamo una soluzione perio<strong>di</strong>ca della (1.21) e sia:<br />
H = u sin ωt, (2.666)<br />
essendo u in<strong>di</strong>pendente dal tempo. Varrà l’equazione:<br />
e ponendo k 2 = ω 2 /c 2 , troviamo<br />
e la (1.33) <strong>di</strong>venta:<br />
e quin<strong>di</strong>:<br />
u = 1<br />
4π<br />
u sin ωt = 1<br />
4π<br />
<br />
cos ωr<br />
c<br />
grad 2 u + ω2<br />
u = 0 (2.667)<br />
c2 grad 2 u + k 2 u = 0. (2.668)<br />
<br />
<br />
sin ω(t − r/c) u cos ϕ + r ∂u<br />
<br />
+ ωr<br />
c<br />
∂n<br />
<br />
dσ<br />
u cos ϕ cos ω(t − r/c) , (2.669)<br />
r2 <br />
u cos ϕ + r ∂u<br />
<br />
+<br />
∂n<br />
ωr<br />
<br />
ωr dσ<br />
u cos ϕ sin .<br />
c c r2 (2.670)<br />
Se le <strong>di</strong>stanze che si considerano (r) sono gran<strong>di</strong> rispetto alla lunghezza<br />
d’onda si avrà semplicemente:<br />
u = 1<br />
<br />
1 ∂u ωr ω ωr<br />
cos + u cos ϕ sin dσ, (2.671)<br />
4π r ∂n c c c<br />
207
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
O<br />
σ<br />
ovvero, introducendo la lunghezza d’onda:<br />
u = 1<br />
<br />
1 λ ∂u 2πr<br />
cos<br />
2λ r 2π ∂n λ<br />
r<br />
φ<br />
<br />
2πr<br />
+ u cos ϕ sin dσ, (2.672)<br />
λ<br />
in cui, si ba<strong>di</strong> bene, si ha a che fare con onde stazionarie<br />
2.37 L’equazione y ′′ = xy<br />
Di tale equazione <strong>di</strong>fferenziale è facile trovare soluzioni approssimate con<br />
il metodo <strong>di</strong> Wentzel (ve<strong>di</strong> il paragrafo 2.32 e anche 2.6).Tali soluzioni<br />
cadono in <strong>di</strong>fetto per x prossimo a zero; sorge così il problema del raccordo<br />
tra le espressioni asintotiche valevoli per x maggiore <strong>di</strong> zero (almeno <strong>di</strong><br />
qualche unità) e quelle valevoli per x < 0. Poiché l’equazione è omogenea,<br />
basta conoscere il raccordo per due particolari soluzioni per saperlo costruire,<br />
in generale, per una soluzione qualunque. Consideriamo le soluzioni<br />
208
particolari:<br />
M = 1 + x3<br />
2·3<br />
N = x + x4<br />
3·4<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
+ x6<br />
2·3·5·6 +<br />
+ x7<br />
3·4·6·7 +<br />
x 9<br />
2·3·5·6·8·9<br />
x 10<br />
3·4·6·7·9·10<br />
+ . . .<br />
+ . . .<br />
(2.673)<br />
Per |x| > 4 le espressioni asintotiche <strong>di</strong> prima e ancor meglio <strong>di</strong> seconda<br />
approssimazione sono praticamente esatte. Basta quin<strong>di</strong> calcolare, in base<br />
alla (2.673), i valori <strong>di</strong> M, N, M ′ , N ′ per x = ±4. I valori sono riportati<br />
nella tabella. 60<br />
x M M ′<br />
N N ′<br />
−4 0.2199 −1.2082 0.5732 1.3972<br />
0 1 0 0 1<br />
4 68.1777 131.6581 93.5172 180.6092<br />
L’andamento grafico nell’intervallo −4 < x < 0 è qui all’ingrosso rappresentato.<br />
60 Si noti che i valori numerici riportati nella tabella, così come sono scritti nel<br />
manoscritto originale, sono stati ottenuti dalle equazioni (2.673) prendendo gli<br />
sviluppi fino al decimo termine non nullo (e lo stesso vale per le derivate), il che<br />
significa fino ai termini <strong>di</strong> potenza x 27 e x 28 per M e N (e x 29 , x 30 per M ′ e N ′ ,<br />
rispettivamente).<br />
209
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
2.38 Degenerazione <strong>di</strong> risonanza con più<br />
elettroni<br />
Consideriamo n elettroni q1, q2, . . . , qn in n orbite definite dalle autofunzioni<br />
ψ1, ψ2, . . . , ψn con autovalori in generale <strong>di</strong>versi. Se trascuriamo in<br />
approssimazione zero l’interazione potremo assumere come autofunzione<br />
del sistema il prodotto delle singole autofunzioni e poiché si possono or<strong>di</strong>nare<br />
in n! mo<strong>di</strong> <strong>di</strong>fferenti i vari elettroni avremo n! autofunzioni in<strong>di</strong>pendenti,<br />
<strong>di</strong> cui una generica è data da:<br />
Ψr = ψ1(qr1) ψ2(qr2) ·s ψn(qrn), (2.674)<br />
essendo r1, r2, . . . , rn una qualunque permutazione dei primi n numeri. In-<br />
<strong>di</strong>chiamo con Pr la sostituzione:<br />
1 2 3 . . . n<br />
a1 a2 a3 . . . an<br />
<br />
. (2.675)<br />
Definiamo altresì Pr come operatori su una funzione <strong>di</strong> n variabili e <strong>di</strong> n<br />
gruppi <strong>di</strong> variabili, che in<strong>di</strong>chiamo brevemente con q:<br />
Pr f(q) = f(Pr q), (2.676)<br />
in cui Pr va inteso al primo membro come operatore e al secondo come<br />
sostituzione che altera l’or<strong>di</strong>ne delle variabili in<strong>di</strong>pendenti. È chiaro che il<br />
suo doppio significato non dà mai luogo a equivoci. Conveniamo inoltre<br />
che P1 sia la permutazione identica. Segue dalla (2.674):<br />
e dalle equazioni (2.674), (2.676) e (2.677),<br />
Ψ1 = ψ1(q1) ψ2(q2) ·s ψn(qn), (2.677)<br />
Ψr = Pr Ψ1. (2.678)<br />
Introduciamo nell’Hamiltoniana, come termine <strong>di</strong> perturbazione, l’interazione<br />
H, che dovremo supporre simmetrica rispetto alla q, <strong>di</strong> modo che<br />
Pr H(q) = H(q) r = 1, 2, . . . , n! (2.679)<br />
Il termine Hrs della matrice <strong>di</strong> perturbazione sarà:<br />
<br />
Hrs = Ψ ∗ <br />
r H Ψs dq =<br />
210<br />
Pr ψ ∗ 1 H Ps ψ1 dq, (2.680)
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
essendo dq ovviamente l’elemento <strong>di</strong> volume nello spazio delle q. Osserviamo<br />
che l’ultimo integrale va da −∞ a ∞ per tutte le variabili e non<br />
<strong>di</strong>pende quin<strong>di</strong> dalle q, cosicché l’operatore Pr si riduce all’unità quando<br />
si applica ad esso. Avremo in particolare: (. . . ) 61<br />
2.39 Formole varie<br />
2.39.1 Formole <strong>di</strong> Schwarz<br />
Formole <strong>di</strong> Schwarz::<br />
Infatti:<br />
n<br />
a 2 i ·<br />
i=1<br />
<br />
n <br />
<br />
<br />
i=1<br />
n<br />
b 2 <br />
n<br />
<br />
i − <br />
<br />
i=1<br />
i=1<br />
ai bi<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ai bi<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
≤<br />
n<br />
a 2 i ·<br />
i=1<br />
= 1<br />
2<br />
n<br />
i,j=1<br />
n<br />
i=1<br />
b 2 i . (2.681)<br />
(ai bj − aj bi) 2 . (2.682)<br />
Se si intende che ogni coppia <strong>di</strong> valori i, j vada presa una volta sola per il<br />
che, notando che i termini per cui i = j si annullano, basterà aggiungere<br />
ad es. la con<strong>di</strong>zione i < j, si può in luogo <strong>di</strong> 1 <br />
(ai bj − aj bi)<br />
2<br />
2 scrivere:<br />
<br />
(ai bj − aj bi) 2 .<br />
i a).<br />
a<br />
2<br />
≤<br />
b<br />
a<br />
y 2 dx<br />
i,j<br />
b<br />
a<br />
z 2 dx (2.683)<br />
61 Questo paragrafo è stato evidentemente lasciato incompleto dall’Autore.<br />
211
Infatti:<br />
b<br />
a<br />
= 1<br />
2<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
y 2 dx<br />
b<br />
a<br />
x=b<br />
ξ=b<br />
x=a<br />
z 2 <br />
<br />
dx − <br />
<br />
ξ=a<br />
b<br />
a<br />
<br />
<br />
y z dx<br />
<br />
2<br />
[y(x) z(ξ) − y(ξ) z(x)] 2 dx dξ. (2.684)<br />
2.39.2 Valor massimo <strong>di</strong> variabili casuali<br />
Siano x1, x2, . . . , xn n variabili casuali in<strong>di</strong>pendenti che obbe<strong>di</strong>scono alla<br />
stessa legge normale <strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzione:<br />
Px = 1<br />
√ π e −x2<br />
(2.685)<br />
o, se si vuole, n determinazioni in<strong>di</strong>pendenti dalla variabile normale x.<br />
In<strong>di</strong>chiamo con y la più grande (in valore algebrico) della x. La sua legge<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzione sarà evidentemente:<br />
essendo:<br />
Py = d<br />
dy<br />
θ(y) = 2<br />
√ π<br />
1 − θ(y)<br />
y<br />
0<br />
2<br />
n<br />
(2.686)<br />
e −y2<br />
dy. (2.687)<br />
Se n è grande, saranno anche gran<strong>di</strong> i valori <strong>di</strong> x per cui Py ha un valore<br />
sensibile. Limitandoci a questa parte della curva che rappresenta Py, possiamo<br />
ricercarne l’andamento asintotico per n grande, in base alla formola<br />
3) del paragrafo 2.27. Avremo in prima approssimazione:<br />
Py = d<br />
dy<br />
<br />
1 − 1<br />
2 √ π<br />
e −y2<br />
y<br />
n<br />
, (2.688)<br />
ovvero approssimativamente:<br />
Py = d<br />
dy exp<br />
<br />
− ne−y2<br />
2 √ <br />
;<br />
2y<br />
(2.689)<br />
212
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
e con una nuova approssimazione:<br />
Py = n<br />
<br />
ne<br />
√ exp −<br />
π −y2<br />
2 √ 2y<br />
+ y2<br />
<br />
In<strong>di</strong>chiamo con y0 l’ascissa per cui Py è massimo. Poiché:<br />
d<br />
dy<br />
<br />
n<br />
2 √ e<br />
π<br />
−y2<br />
<br />
+ y2<br />
y<br />
sarà in prima approssimazione:<br />
Segue:<br />
= − n<br />
√ π e −y2<br />
− n<br />
2 √ π<br />
y0 = √ log n, errore assoluto → 0<br />
n<br />
2 √ π e−y2 0 = √ log n, errore assoluto → 0<br />
n<br />
2 √ e<br />
π<br />
−y2 0<br />
y0<br />
= 1<br />
e −y2 2 0 = √ π log n<br />
, errorerelativo → 0.<br />
n<br />
Py0 = n<br />
√ e<br />
π −y2 0 exp<br />
<br />
− n<br />
2 √ π<br />
e −y2 <br />
0<br />
y<br />
. (2.690)<br />
e −y2<br />
+ 2y, (2.691)<br />
y2 = 2√log n<br />
. (2.692)<br />
e<br />
cosicché <strong>di</strong> Py conosciamo l’or<strong>di</strong>nata massima e l’ascissa corrispondente:<br />
y0 = log n (2.693)<br />
Py0 = 2√ log n<br />
e<br />
= 2y0<br />
. (2.694)<br />
e<br />
Segue ancora che l’ampiezza <strong>di</strong> Py (intervallo in cui Py è grande) è dell’or<strong>di</strong>ne<br />
<strong>di</strong> 1/y0. Non abbiamo ancora stabilito se y0 sia data da √ log n con approssimazione<br />
d’or<strong>di</strong>ne maggiore <strong>di</strong> 1/y0, come è desiderabile. Conviene<br />
procedere per altra via. Poiché:<br />
Py = d<br />
dy<br />
1<br />
√π<br />
y<br />
213<br />
−∞<br />
e −y2<br />
n dy , (2.695)
se deve essere P ′ y0 = 0, abbiamo:<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
(n − 1) e −y2 0 = 2y0<br />
cioè con errore relativo tendente a zero<br />
y<br />
−∞<br />
Passando ai logaritmi, a meno <strong>di</strong> infinitesimi:<br />
e −y2<br />
dy, (2.696)<br />
n<br />
2 √ π e−y2 0 = y0. (2.697)<br />
log n − log 2 √ π − y 2 = log y. (2.698)<br />
Poniamo y0 = √ log n + ɛ; si avrà in prima approssimazione:<br />
cioè<br />
− log 2 √ π − 2ɛ log n = log log n, (2.699)<br />
ɛ = − log 2√π log n<br />
2 √ , (2.700)<br />
log n<br />
cioè l’espressione <strong>di</strong> y0 in seconda approssimazione è:<br />
y0 = log n − log 2√π log n<br />
2 √ . (2.701)<br />
log n<br />
Segue che il termine correttivo tende a zero meno rapidamente dell’ampiezza<br />
pratica della curva che rappresenta Py che è dell’or<strong>di</strong>ne 1/ √ log n;<br />
conviene quin<strong>di</strong> tenerne conto.<br />
Un’ulteriore approssimazione non darebbe correzioni comparabili con<br />
1/ √ log n. Conviene quin<strong>di</strong> assumere come determinazioni <strong>di</strong> prima approssimazione<br />
per y0 e Py0:<br />
oppure:<br />
y0 = log n − log 2√ π log n<br />
2 √ log n<br />
(2.702)<br />
Py0 = 2√log n<br />
, (2.703)<br />
e<br />
Py0 = 2y0<br />
. (2.704)<br />
e<br />
214
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
2.39.3 Coefficienti binomiali<br />
n<br />
0 1<br />
1 1 1<br />
2 1 2 1<br />
3 1 3 3 1<br />
4 1 4 6 4 1<br />
5 1 5 10 10 5 1<br />
6 1 6 15 20 15 6 1<br />
7 1 7 21 35 35 21 7 1<br />
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1<br />
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1<br />
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1<br />
n<br />
11 1 11 55 165 330 462<br />
462 330 165 55 11 1<br />
12 1 12 66 220 495 792<br />
924 792 495 220 66 12<br />
1<br />
13 1 13 78 286 715 1287<br />
1716 1716 1287 715 286 78<br />
13 1<br />
14 1 14 91 364 1001 2002<br />
3003 3432 3003 2002 1001 364<br />
91 14 1<br />
15 1 15 105 455 1365 3003<br />
5005 6435 6435 5005 3003 1365<br />
455 105 15 1<br />
215
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
n<br />
16 1 16 120 560 1820 4368<br />
8008 11440 12870 11440 8008 4368<br />
1820 560 120 16 1<br />
17 1 17 136 680 2380 6188<br />
12376 19448 24310 24310 19448 12376<br />
6188 2380 680 136 17 1<br />
18 1 18 153 816 3060 8568<br />
18564 31824 43758 48620 43758 31824<br />
18564 8568 3060 816 153 18<br />
1<br />
19 1 19 171 969 3876 11628<br />
27132 50388 75582 92378 92378 75582<br />
50388 27132 11628 3876 969 171<br />
19 1<br />
20 1 20 190 1140 4845 15504<br />
38760 77520 125970 167960 184756 167960<br />
125970 77520 38760 15504 4845 1140<br />
190 20 1<br />
216
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
2.39.4 Coefficienti dello sviluppo <strong>di</strong> 1/(1 − x) n<br />
Abbiamo<br />
1<br />
=<br />
(1 − x) n<br />
Segue che<br />
cioè<br />
∞<br />
<br />
n + r − 1<br />
x<br />
r<br />
r =<br />
r=0<br />
n + r − 1<br />
r<br />
r=0<br />
r<br />
<br />
=<br />
k − 1 + r<br />
r<br />
∞<br />
r=0<br />
n + r − 1<br />
n − 1<br />
r<br />
<br />
n + r − 2<br />
r<br />
r=0<br />
<br />
=<br />
k + r<br />
r<br />
<br />
x r . (2.705)<br />
<br />
, (2.706)<br />
<br />
. (2.707)<br />
Nella tabella riportiamo alcuni coefficienti dell’espansione <strong>di</strong> 1/(1 − x) n .<br />
r = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
n = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0<br />
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1<br />
2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
3 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55<br />
4 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220<br />
5 1 5 15 35 70 126 210 330 495 715<br />
6 1 6 21 56 126 252 462 792 1287 2002<br />
7 1 7 28 84 210 462 924 1716 3003 5005<br />
8 1 8 36 120 330 792 1716 3432 6435 11440<br />
9 1 9 45 165 495 1287 3003 6435 12870 24310<br />
10 1 10 55 220 715 2002 5005 11440 24310 48620<br />
2.39.5 Relazione tra i coefficienti binomiali<br />
n − 1<br />
r − 1<br />
n<br />
r=0<br />
<br />
+<br />
1<br />
2 n+r<br />
n − 1<br />
r<br />
n + r<br />
n<br />
217<br />
<br />
<br />
=<br />
n<br />
r<br />
<br />
(2.708)<br />
= 1 (2.709)
(ve<strong>di</strong> paragrafo 1.32);<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
∞<br />
r=0<br />
1<br />
2 n+r<br />
(ve<strong>di</strong> paragrafo 1.32). Segue che<br />
l<br />
r=0<br />
∞<br />
r=1<br />
1<br />
2 2n+r<br />
n + r<br />
r<br />
(ve<strong>di</strong> il punto precedente); cioè:<br />
l<br />
r=0<br />
2r>n <br />
r=0<br />
n + r<br />
n<br />
n + r<br />
n<br />
2n + r<br />
n<br />
<br />
<br />
=<br />
=<br />
<br />
1 n<br />
2r + 1 2r<br />
<br />
<br />
n + l + 1<br />
= 2 (2.710)<br />
l<br />
n + l + 1<br />
n + 1<br />
<br />
= 1 (2.711)<br />
<br />
<br />
(2.712)<br />
(2.713)<br />
= 2n<br />
. (2.714)<br />
n + 1<br />
2.39.6 Valori me<strong>di</strong> <strong>di</strong> r n tra superfici sferiche concentriche<br />
(Si veda il paragrafo 1.21.)<br />
Sia P un punto <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate α = 0, β = 0, γ = 1, e P1 un punto della<br />
sfera <strong>di</strong> equazione<br />
α 2 + β 2 + γ 2 = x 2 < 1. (2.715)<br />
Detta r la <strong>di</strong>stanza fra P e P1, in<strong>di</strong>cheremo con Sn il valore me<strong>di</strong>o 62 <strong>di</strong> r n :<br />
Sn = 1<br />
4πx 2<br />
4πx 2<br />
0<br />
r n dσ = 1<br />
4π<br />
4π<br />
0<br />
r n dω. (2.716)<br />
62 In ciò che segue l’Autore in<strong>di</strong>ca con dσ, dω e dS, rispettivamente, l’elemento<br />
<strong>di</strong> superficie, l’elemento <strong>di</strong> angolo solido, e l’elemento <strong>di</strong> volume.<br />
218
Segue:<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
dSn<br />
dx<br />
x 2 dSn<br />
dx<br />
= 1<br />
4π<br />
= 1<br />
4π<br />
4π<br />
0<br />
2<br />
4πx<br />
0<br />
grad r n ·u dω (2.717)<br />
grad r n ·u dσ, (2.718)<br />
essendo u un vettore unitario normale alla sfera. Segue dalla (2.718),<br />
x 2 dSn<br />
dx<br />
<br />
d<br />
x<br />
dx<br />
2 <br />
dSn<br />
dx<br />
cioè<br />
d 2 Sn<br />
dx2 2<br />
+<br />
x<br />
che si può anche scrivere:<br />
= 1<br />
4π<br />
=<br />
= n(n + 1)<br />
1<br />
4π<br />
3<br />
4πx<br />
grad<br />
0<br />
2 r n dS<br />
3<br />
4πx<br />
0<br />
4π<br />
n(n + 1) r n−2 dS (2.719)<br />
4πx 2<br />
0<br />
r n−2 dσ<br />
= n(n + 1) x 2 Sn−2. (2.720)<br />
dSn<br />
dx<br />
D’altra parte, la (2.717) si può scrivere:<br />
dSn<br />
dx<br />
= n(n + 1) Sn−2, (2.721)<br />
1 d<br />
x<br />
2 (xSn)<br />
dx2 = n(n + 1) Sn−2. (2.722)<br />
= 1<br />
4π<br />
4π<br />
0<br />
n r n−1 r 2 + x 2 − 1<br />
2xr<br />
dω, (2.723)<br />
cioè:<br />
dSn n<br />
=<br />
dx 2x Sn<br />
1 − x2<br />
− n<br />
2x Sn−2. (2.724)<br />
Derivando ancora rispetto a x e sostituendo nella (2.721), si ricava la relazione<br />
in termini finiti:<br />
(n + 2) Sn − 2n (1 + x 2 ) Sn−2 + (n − 2) (1 − x 2 ) 2 Sn−4 = 0. (2.725)<br />
Le equazioni (2.722) e (2.725), quando si aggiungano le ovvie relazioni:<br />
S0 = 1, S−1 = 1, Sn(0) = 1, (2.726)<br />
219
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
permettono il calcolo <strong>di</strong> tutte le Sn.<br />
Calcoliamo S1; dalle equazioni (2.722) e (2.726) segue:<br />
d 2 (xS1)<br />
dx 2 = 2x<br />
d(xS1)<br />
dx<br />
Ponendo n = 0 nella (2.725), si ricava:<br />
da cui:<br />
Segue per la (2.722):<br />
= 1 + x 2<br />
x S1 = x + 1<br />
3 x3<br />
S1 = 1 + 1<br />
3 x2 . (2.727)<br />
2 − 2(1 − x 2 ) 2 S−4 = 0, (2.728)<br />
S−4 =<br />
d 2 (xS−2)<br />
dx 2<br />
d(xS−2)<br />
dx<br />
=<br />
=<br />
1<br />
(1 − x2 . (2.729)<br />
) 2<br />
2x<br />
(1 − x2 ) 2<br />
1<br />
1 − x2 x S−2 = 1 1 + x<br />
log<br />
2 1 − x<br />
S−2 = 1<br />
2x<br />
1 + x<br />
log . (2.730)<br />
1 − x<br />
Noti i valori <strong>di</strong> S1, S−4, e S−2 dalle equazioni (2.727), (2.729) e (2.730),<br />
tutte le altre Sn si calcolano me<strong>di</strong>ante l’uso della sola (2.725). Per esempio<br />
ponendo n = 2:<br />
da cui<br />
4S2 − 4(1 + x 2 ) = 0, (2.731)<br />
S2 = 1 + x 2 , (2.732)<br />
220
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
come si verifica <strong>di</strong>rettamente in modo imme<strong>di</strong>ato<br />
S0 = 1 S0(1) = 1<br />
S1 = 1 + 1<br />
3 x2 = (1 + x)3 − (1 − x) 3<br />
6x<br />
S2 = 1 + x 2 = (1 + x)4 − (1 − x) 4<br />
8x<br />
S1(1) = 4<br />
3<br />
S2(1) = 2<br />
S3 = 1 + 2x 2 + 1<br />
5 x4 = . . . S3(1) = 16<br />
5<br />
S4 = 1 + 10<br />
3 x2 + x 4 = . . . S4(1) = 16<br />
3 .<br />
In generale, per n > −2, abbiamo<br />
Sn(1) = 2n+1<br />
. (2.733)<br />
n + 2<br />
In questa formola Sn(1) è evidentemente il valore me<strong>di</strong>o fra le potenze<br />
n-esime delle <strong>di</strong>stanze <strong>di</strong> due elementi <strong>di</strong> superficie <strong>di</strong> una sfera <strong>di</strong> raggio<br />
unitario (ve<strong>di</strong> il paragrafo 1.21 e le formole analoghe per gli elementi <strong>di</strong><br />
superficie <strong>di</strong> un cerchio).<br />
Per n negativo, abbiamo invece:<br />
S0 = 1 S0(1) = 1<br />
S−1 = 1 S−1(1) = 1<br />
S−2 = 1 1 + x<br />
log<br />
2x 1 − x<br />
S−3 =<br />
S−4 =<br />
S−5 =<br />
1 1<br />
=<br />
1 − x2 2x<br />
1<br />
(1 − x2 <br />
1<br />
=<br />
) 2 4x<br />
1 + 1<br />
3 x2<br />
(1 − x2 1<br />
=<br />
) 3 6x<br />
<br />
1 1<br />
−<br />
1 − x 1 + x<br />
<br />
1<br />
−<br />
(1 − x) 2<br />
1<br />
−<br />
(1 − x) 3<br />
221<br />
1<br />
(1 + x) 2<br />
<br />
1<br />
(1 + x) 3<br />
<br />
.<br />
S−2(1) = ∞
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
Si noti che, con l’eccezione <strong>di</strong> S−2, le quantità Sn<br />
funzioni razionali.<br />
Poniamo:<br />
(con n intero) sono<br />
Sn =<br />
∞<br />
a r n x 2r , (2.734)<br />
e sarà sempre (ve<strong>di</strong> (2.726))<br />
r=0<br />
L’equazione (2.722) si può scrivere, più in generale:<br />
a 0 n = 1. (2.735)<br />
1 d<br />
x<br />
2k (xSn)<br />
dx2k = (n + 1)n(n − 1)·s(n − 2k + 2) Sn−2k. (2.736)<br />
Segue per la (2.726)<br />
da cui:<br />
a r n (2r + 1)! = (n + 1)n(n − 1)·s(n − 2r + 2), (2.737)<br />
a r n =<br />
Sn =<br />
(n + 1)n(n − 1)·(n − 2r + 2)<br />
(2r + 1)!<br />
(2.738)<br />
∞ (n + 1)n(n − 1)·s(n − 2r + 2)<br />
x<br />
(2r + 1)!<br />
2r . (2.739)<br />
r=0<br />
L’ultima equazione può essere anche scritta:<br />
Sn =<br />
∞<br />
r=0<br />
n + 1<br />
2r<br />
2r<br />
x<br />
. (2.740)<br />
2r + 1<br />
Per n > −2 intero, la somma si riduce a un polinomio finito. Si trova in<br />
particolare la (2.733) (cfr. la (2.714)):<br />
Sn(1) =<br />
2r≥n+1 <br />
r=0<br />
n + 1<br />
2r<br />
<br />
222<br />
1<br />
2r + 1<br />
2n+1<br />
= . (2.741)<br />
n + 2
Segue:<br />
S6 = 1 + 7x 2 + 7x 4 + x 6<br />
S5 = 1 + 5x 2 + 3x 4 + 1<br />
7 x6<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
S6(1) = 16<br />
S5(1) = 64<br />
7<br />
S4 = 1 + 10<br />
3 x2 + x 4 = . . . S4(1) = 16<br />
3<br />
S3 = 1 + 2x 2 + 1<br />
5 x4 = . . . S3(1) = 16<br />
5<br />
S2 = 1 + x 2 = (1 + x)4 − (1 − x) 4<br />
8x<br />
S1 = 1 + 1<br />
3 x2 = (1 + x)3 − (1 − x) 3<br />
6x<br />
S2(1) = 2<br />
S1(1) = 4<br />
3<br />
S0 = 1 S0(1) = 1<br />
S−1 = 1 S−1(1) = 1<br />
S−2 = 1 + 1<br />
3 x2 + 1<br />
5 x4 + 1<br />
7 x6 + . . .<br />
S−3 = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + . . .<br />
S−4 = 1 + 2x 2 + 3x 4 + 4x 6 + . . .<br />
S−5 = 1 + 2·5<br />
3 x2 + 3·7<br />
3 x4 + 4·9<br />
3 x6 + . . .<br />
S−6 = 1 + 4·5·6<br />
4! x2 + 6·7·8<br />
4! x4 + 8·9·10<br />
4! x6 + . . .<br />
L’equazione (2.739) si può scrivere nel caso n > −2 oppure n < −2: 63<br />
Sn =<br />
2r=n+1/2±1/2 <br />
r=0<br />
n + 1<br />
2r<br />
2r<br />
x<br />
, n > −2 (2.742)<br />
2r + 1<br />
63 Il segno + nel limite superiore della sommatoria si riferisce a n <strong>di</strong>spari, mentre<br />
il segno − si riferisce a n pari.<br />
223
Sn =<br />
∞<br />
r=0<br />
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
<br />
1 −n − 2 + 2r<br />
−n − 2 −n − 3<br />
<br />
x 2r , n < −2. (2.743)<br />
Sia y dr la probabilità che r sia compreso tra r e r + dr. Sarà<br />
y = 0, per |r − 1| > x. (2.744)<br />
Altrimenti consideriamo il punto con coor<strong>di</strong>nate α = 0, β = 0, γ = x su<br />
una sfera interna. Centro in esso, tracciamo la sfera <strong>di</strong> raggio r<br />
e intersechiamo con la sfera esterna<br />
α 2 + β 2 + (γ − x) 2 = r 2<br />
Si deduce per il cerchio comune alle due sfere:<br />
e sarà:<br />
Riassumendo:<br />
e, in particolare:<br />
Si deduce:<br />
y =<br />
Sn =<br />
(2.745)<br />
α 2 + β 2 + γ 2 = 1. (2.746)<br />
2γ x − x 2 = 1 − x 2<br />
γ =<br />
y = 1<br />
2<br />
1 + x2<br />
2x<br />
<br />
<br />
<br />
dγ<br />
<br />
<br />
<br />
dr <br />
− r2<br />
2x<br />
⎧<br />
0, per r < 1 − x<br />
⎪⎨<br />
r<br />
, per 1 − x < r < 1 + x<br />
2x<br />
⎪⎩<br />
0, per 1 + x < r,<br />
y(1 − x) =<br />
y(1 + x) =<br />
∞<br />
−∞<br />
r n y dr =<br />
(2.747)<br />
r<br />
= . (2.748)<br />
2x<br />
1 − x<br />
2x<br />
1 + x<br />
2x .<br />
1+x<br />
1−x<br />
r n+1<br />
2x dr<br />
(2.749)<br />
(2.750)<br />
= (1 + x)n+2 − (1 − x) n−2<br />
, (2.751)<br />
2(n + 2)x<br />
224
Volumetto 2: 23 aprile 1928<br />
che riassume le formole (2.733), (2.739), (2.742) e (2.743). L’equazione<br />
(2.751) cade in <strong>di</strong>fetto per n = −2, in qual caso si ha:<br />
S−2 =<br />
come si era già trovato.<br />
1+x<br />
1−x<br />
1 1<br />
dr =<br />
2rx 2x<br />
225<br />
1 + x<br />
log , (2.752)<br />
1 − x
VOLUMETTO<br />
3 28 giugno 1929<br />
3.1 Somma <strong>di</strong> alcune serie<br />
(17)<br />
∞<br />
r=1<br />
ovvero, ponendo K = e −y ¿<br />
Casi particolari:<br />
(a) K=1:<br />
∞<br />
r=1<br />
che è la formola (12).<br />
(b) x = π/2:<br />
1<br />
r e−ry sin rx = arctan<br />
K r<br />
r<br />
= arctan<br />
= arctan<br />
tan x/2<br />
tanh y/2<br />
sin x<br />
e y − cos x<br />
sin rx = arctan K sin x<br />
1 − K cos x<br />
∞<br />
r=1<br />
<br />
1 + K x<br />
tan<br />
1 − K 2<br />
sin rx<br />
r<br />
= π<br />
2<br />
x<br />
− , (3.1)<br />
2<br />
− x<br />
. (3.2)<br />
2<br />
x<br />
− ; (3.3)<br />
2<br />
K − 1<br />
3 K3 + 1<br />
5 K5 + . . . = arctan K. (3.4)<br />
(c) da (a), ponendo x = π/4, si ricava con facili riduzioni:<br />
2<br />
3·5<br />
− 2<br />
7·9<br />
+ 2<br />
11·13<br />
− 2<br />
15·17<br />
227<br />
+ . . . = π<br />
2 √ 2<br />
− 1. (3.5)
(18)<br />
(19)<br />
(20)<br />
(21)<br />
2<br />
7·9<br />
2<br />
3·5<br />
2<br />
3·5<br />
2<br />
1·3<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
2<br />
1·3<br />
+ 2<br />
7·9<br />
+ 2<br />
11·13<br />
+ 2<br />
15·17<br />
2<br />
8 2 (8 2 − 1) +<br />
2<br />
8 4 (8 4 − 1) +<br />
∞<br />
r=0<br />
+ 2<br />
3·5<br />
+ 2<br />
5·7<br />
+ 2<br />
5·7<br />
+ 2<br />
11·13<br />
+ 2<br />
19·21<br />
+ 2<br />
23·25<br />
+ 2<br />
9·11<br />
+ 2<br />
7·9<br />
+ . . . = 1<br />
+ . . . = π<br />
4<br />
2<br />
π<br />
+ + . . . = 1 −<br />
15·17 4<br />
√<br />
2<br />
2 − 1<br />
+ + . . . = π<br />
27·29 8<br />
√<br />
2<br />
2 + 1<br />
+ + . . . = 1 − π .<br />
31·33 8<br />
2<br />
16 2 (16 2 − 1) +<br />
√<br />
2 + 1<br />
= 1 − π<br />
8<br />
2<br />
16 4 (16 4 − 1) +<br />
√<br />
2 + 1<br />
= 1 − π<br />
8<br />
n + 1<br />
2r<br />
x 2r<br />
2<br />
24 2 (24 2 − 1)<br />
− π2<br />
192 .<br />
− π2<br />
192 −<br />
2<br />
24 4 (24 4 − 1)<br />
π 4<br />
90·2048 .<br />
+ . . .<br />
+ . . .<br />
2r + 1 = (1 + x)n+2 − (1 − x) n+2<br />
2(n + 2)x<br />
per x ≤ 1; si veda il paragrafo 2.38.6. Se n è intero e positivo, la serie si<br />
riduce a una somma finita fino a 2r = n + 1/2 ± 1/2.<br />
Casi particolari:<br />
(a) x = 1:<br />
∞<br />
r=0<br />
n + 1<br />
2r<br />
<br />
1<br />
2r + 1<br />
228<br />
22n+1<br />
= ; (3.6)<br />
n + 2
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
(b) la formola cade in <strong>di</strong>fetto per n = −2; passando al limite:<br />
1 + 1<br />
3 x2 + 1<br />
5 x4 + 1<br />
7 x6 + . . . = 1<br />
2x<br />
1 + x<br />
log ; (3.7)<br />
1 − x<br />
(c) per altre espressioni particolari relative a n intero si veda il paragrafo<br />
2.38.6.<br />
(22)<br />
per 0 < x < 2π.<br />
∞<br />
r=1<br />
cos rx<br />
r<br />
= − log 2 − log sin x<br />
2<br />
(23) Se nella (3.274) si scambia k, supposto non intero, in −k e si somma,<br />
notando che y(k) + y(−k) = 0, si ricava:<br />
1<br />
−<br />
1 − k2 =<br />
3<br />
+<br />
9 − k2 π<br />
4 cos kπ/2<br />
5<br />
−<br />
25 − k2 7<br />
+ . . . ±<br />
49 − k2 3.2 L’equazione H = r<br />
Pren<strong>di</strong>amo una formola relativa all’equazione più semplice:<br />
Poiché 1/r è una funzione armonica avremo:<br />
1 1<br />
1<br />
∆ V = ∆ V − V ∆<br />
r r r<br />
e per la (3.9):<br />
<strong>di</strong>v<br />
2n + 1<br />
(2n + 1) 2 + . . .<br />
− k2 (3.8)<br />
∆ V = p. (3.9)<br />
= <strong>di</strong>v<br />
<br />
1<br />
1<br />
grad V − V grad<br />
r r<br />
229<br />
<br />
1<br />
1<br />
grad V − V grad ; (3.10)<br />
r r<br />
= p<br />
. (3.11)<br />
r
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Se con r inten<strong>di</strong>amo la <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> un punto generico P dal punto P0,<br />
integrando in uno spazio S ′ compreso fra una superficie σ chiusa intorno a<br />
P0 e una sferetta <strong>di</strong> raggio ɛ con centro in P0:<br />
<br />
S ′<br />
p<br />
dS =<br />
r<br />
<br />
σ<br />
<br />
V cos α + r ∂V<br />
<br />
dσ<br />
−<br />
∂n r2 4πɛ 2<br />
0<br />
<br />
V + ɛ ∂V<br />
<br />
dσ<br />
∂n<br />
,<br />
ɛ2 (3.12)<br />
essendo n la normale esterna e α l’angolo fra detta normale e il raggio<br />
vettore. Facendo tendere ɛ a zero, S ′ tende all’intero spazio S limitato da<br />
σ e la (3.12) <strong>di</strong>venta:<br />
V (P0) = − 1<br />
4π<br />
<br />
S<br />
p 1<br />
dS +<br />
r 4π<br />
Premesso ciò, consideriamo l’equazione <strong>di</strong>fferenziale:<br />
∆ H − 1<br />
c 2<br />
<br />
σ<br />
<br />
V cos α + r ∂V<br />
<br />
dσ<br />
. (3.13)<br />
∂n r2 ∂ 2 H<br />
= r, (3.14)<br />
∂t2 essendo r funzione nota dello spazio e del tempo. In<strong>di</strong>cata come prima con<br />
r la <strong>di</strong>stanza da un punto fisso P0, definiamo la funzione H1:<br />
Segue:<br />
<br />
H1(P, t) = H<br />
P, t − r<br />
c<br />
H(P, t) = H1(P, t + r/c)<br />
H ′ x(P, t) = H ′ 1 x(P, t + r/c) + x<br />
rc H′ 1 t(P, t + r/c)<br />
H ′′<br />
xx(P, t) = H ′′<br />
1 xx(P, t + r/c) 2x<br />
rc H′′<br />
1 xt(P, t + r/c)<br />
<br />
, (3.15)<br />
+ x2<br />
r2 H′′<br />
c2 1 tt(P, t + r/c) + r2 − x 2<br />
r3c H′ 1 t(P, t + r/c)<br />
∆ H(P, t) = ∆ H1(P, t + r/c) + 1<br />
H′′<br />
c2 1 tt(P, t + r/c)<br />
1<br />
H′′<br />
c2 tt(P, t) = 1<br />
c<br />
+ 2<br />
c H′′<br />
1 tr(P, t + r/c) + 2<br />
rc H′ 1 t(P, t + r/c)<br />
2 H′′<br />
tt(P, t + r/c).<br />
230
Segue per la (3.14):<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
r(P, t) = ∆ H1(P, t + r/c) + 2<br />
c H′′<br />
1 tr(P, t + r/c) + 2<br />
rc H′ 1 t(P, t + r/c),<br />
ovvero, ponendo t in luogo <strong>di</strong> t + r/c:<br />
(3.16)<br />
∆ H1(P, t) + 2<br />
c H′′ 1 tr(P, t) + 2<br />
rc H′ 1 t(P, t) = r(P, t − r/c). (3.17)<br />
Se A è una funzione qualunque del posto e del tempo, porremo:<br />
e la (3.17) <strong>di</strong>venta:<br />
Poniamo:<br />
la (3.19) <strong>di</strong>venta:<br />
A(P, t) = A(P, t − r/c), (3.18)<br />
∆ H1 + 2 ∂<br />
c<br />
2 H1<br />
∂t∂r<br />
p = r − 2 ∂<br />
c<br />
2 H1<br />
∂t∂r<br />
2 ∂H1<br />
+<br />
rc ∂t<br />
− 2<br />
rc<br />
= r. (3.19)<br />
∂H1<br />
; (3.20)<br />
∂t<br />
∆ H1 = p. (3.21)<br />
Per un dato valore <strong>di</strong> t, H1 e p sono funzioni dello spazio e possiamo<br />
applicare la (3.13). Risulta:<br />
H1(P0, t) = − 1<br />
<br />
4π S<br />
<br />
p 1<br />
dS + H1 cos α + r<br />
r 4π σ<br />
∂H1<br />
<br />
dσ<br />
∂n r2 = − 1<br />
<br />
4π S<br />
+<br />
2<br />
r 1 2 ∂ H1 1 ∂H1 dS<br />
dS + +<br />
r 4π c S ∂t∂r r ∂t r<br />
1<br />
<br />
4π<br />
<br />
H1 cos α + r ∂H1<br />
<br />
dσ<br />
. (3.22)<br />
∂n r2 D’altra parte:<br />
<br />
S<br />
∂ 2 H1<br />
∂t∂r<br />
+ 1<br />
r<br />
σ<br />
<br />
∂H1 dS<br />
∂t r<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
231<br />
σ<br />
σ<br />
dω<br />
<br />
dω<br />
<br />
r ∂2 H1<br />
∂<br />
∂r<br />
r ∂H1<br />
∂t dω<br />
r ∂H1<br />
∂t<br />
<br />
∂H1<br />
+ dr<br />
∂t∂r ∂t<br />
<br />
r ∂H1<br />
<br />
dr<br />
∂t<br />
cos α dσ<br />
. (3.23)<br />
r2
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Sostituendo nella (3.22), si trova:<br />
H1(P0, t) = − 1<br />
<br />
4π S<br />
r<br />
r dS<br />
+ 1<br />
<br />
4π<br />
<br />
H1 cos α + r ∂H1<br />
∂n<br />
D’altra parte:<br />
H1(P0, t) = H(P0, t),<br />
σ<br />
H1(P, t) = H(P, t − r/c) = H(P, t),<br />
∂H1(P, t)<br />
∂n<br />
= ∂H(P, t − r/c)<br />
∂n<br />
= ∂H(P, t)<br />
∂n<br />
da cui sostituendo nella (3.24):<br />
H(P0, t) = − 1<br />
<br />
4π S<br />
r<br />
r dS<br />
+ 1<br />
<br />
4π<br />
<br />
H cos α + r ∂H<br />
∂n<br />
σ<br />
+ 2r<br />
c<br />
−<br />
r ∂H<br />
+<br />
c ∂t<br />
∂H1<br />
∂t<br />
cos α<br />
c<br />
<br />
dσ<br />
cos α .<br />
r2 ∂H(P, t)<br />
;<br />
∂t<br />
<br />
dσ<br />
cos α ,<br />
r2 (3.24)<br />
(3.25)<br />
che esprime manifestamente, ponendo r = 0, un principio più generale <strong>di</strong><br />
quello <strong>di</strong> Huygens.<br />
Consideriamo delle soluzioni perio<strong>di</strong>che della (3.14):<br />
Se si pone<br />
la (3.14) <strong>di</strong>venta:<br />
Poniamo ancora<br />
e dovrà essere y funzione solo <strong>di</strong> spazio segue:<br />
H = u e iσt . (3.26)<br />
k = σ<br />
, (3.27)<br />
c<br />
∆ u + k 2 u = r e −iσt . (3.28)<br />
r = y e iσt , (3.29)<br />
∆ u + k 3 u = y. (3.30)<br />
232
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Se le equazioni (3.26) e (3.29) sono sod<strong>di</strong>sfatte a ogni soluzione della (3.14)<br />
corrisponde una soluzione della (3.30), e inversamente; e lo stesso <strong>di</strong>casi se<br />
in luogo delle equazioni (3.26) e (3.29) sono sod<strong>di</strong>sfatte le equazioni che<br />
si ottengono cambiando segno a i dove compare esplicitamente. Se u è<br />
una soluzione della (3.30), si avrà dunque per le equazioni (3.25), (3.26), e<br />
(3.29):<br />
u(P0) = − 1<br />
4π<br />
+ 1<br />
4π<br />
<br />
<br />
S<br />
σ<br />
e −ikr<br />
y dS<br />
r<br />
<br />
u (1 + ikr) cos α + r ∂u<br />
<br />
∂n<br />
e −ikr dσ<br />
. (3.31)<br />
r2 Cangiando segno all’immaginario i in −i, si ottiene una seconda espressione<br />
<strong>di</strong> u:<br />
u(P0) = − 1<br />
<br />
e<br />
4π S<br />
ikr<br />
y dS<br />
r<br />
+ 1<br />
<br />
u (1 − ikr) cos α + r<br />
4π<br />
∂u<br />
<br />
e<br />
∂n<br />
ikr dσ<br />
. (3.32)<br />
r2 σ<br />
Sommando e <strong>di</strong>videndo per due si ha una terza espressione <strong>di</strong> u, nella quale<br />
non compare l’immaginario:<br />
u(P0) = − 1<br />
<br />
cos kr<br />
y dS +<br />
4π S r<br />
1<br />
<br />
u cos kr cos α<br />
4π σ<br />
+ u kr sin kr cos α + r ∂u<br />
<br />
dσ<br />
cos kr . (3.33)<br />
∂n r2 Per <strong>di</strong>fferenza e <strong>di</strong>videndo per 2i, si ottiene invece una notevole identità<br />
0 = − 1<br />
<br />
4π S<br />
+<br />
sin kr<br />
y dS<br />
r<br />
1<br />
<br />
4π<br />
<br />
u sin kr cos α − u kr cos kr cos α + r ∂u<br />
<br />
dσ<br />
sin kr ,<br />
∂n r2 cioè:<br />
σ<br />
<br />
sin kr<br />
y dS<br />
S r<br />
<br />
= u sin kr cos α − u kr cos kr cos α + r ∂u<br />
<br />
dσ<br />
sin kr .<br />
∂n r2 σ<br />
233<br />
(3.34)
σ<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Se si fa tendere k a zero, la (3.30) si riduce alla (3.9) e la (3.33) alla (3.13).<br />
Sostituendo me<strong>di</strong>ante la (3.30) in (3.34), si ha:<br />
<br />
sin kr 2 <br />
∆ u + k u dS<br />
S r<br />
<br />
= u sin kr cos α − u kr cos kr cos α + r ∂u<br />
<br />
dσ<br />
sin kr ,<br />
∂n r2 S<br />
σ<br />
(3.35)<br />
che è una pura identità valevole per una funzione arbitraria u. In particolare<br />
supponiamo nella (3.35) k infinitesimo e sviluppiamo i singoli termini<br />
secondo le potenze <strong>di</strong> k. Uguagliando gli infinitesimi del primo or<strong>di</strong>ne si<br />
trova: <br />
<br />
∂u<br />
∆ u dS = dσ, (3.36)<br />
S<br />
σ ∂n<br />
che esprime il ben noto teorema della <strong>di</strong>vergenza.. Altre identità si ottengono<br />
eguagliando gli infinitesimi <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne più elevato; per esempio si ha<br />
per gli infinitesimi del terzo or<strong>di</strong>ne:<br />
<br />
u − 1<br />
6 r2 <br />
1<br />
1<br />
∆ u dS = u r cos α −<br />
3 6 r2 <br />
∂u<br />
dσ, (3.37)<br />
∂n<br />
formola <strong>di</strong> facile verifica <strong>di</strong>retta quando si ba<strong>di</strong> che<br />
u − 1<br />
6 r2 ∆ u = 1 2 2 <br />
u ∆ r − r ∆ u . (3.38)<br />
6<br />
Ripren<strong>di</strong>amo la (3.31) e facciamo delle approssimazioni. Supponiamo<br />
in primo luogo r grande rispetto alla lunghezza d’onda, con che si può<br />
trascurare l’unità <strong>di</strong> fronte a ikr; supponiamo inoltre che σ sia una superficie<br />
d’onda <strong>di</strong> un’onda progressiva, con raggio minimo <strong>di</strong> curvatura grande<br />
anch’esso rispetto alla lunghezza d’onda; si potrà allora considerare l’onda<br />
come piana per un tratto breve e sarà approssimativamente:<br />
∂u<br />
∂n<br />
= ± i k u, (3.39)<br />
secondo che l’onda si avvicina a P0 o se ne allontana. La (3.31) si riduce<br />
allora con le fatte approssimazioni a:<br />
<br />
kr<br />
k i<br />
e−i<br />
u(P0) = u (cos α ± 1) dσ (3.40)<br />
4π<br />
r<br />
σ<br />
234
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
ovvero, introducendo la lunghezza d’onda in base alla relazione:<br />
u(P0) = i<br />
<br />
λ σ<br />
cos α ± 1<br />
2<br />
Se α è piccolo e l’onda si avvicina:<br />
u(P0) = i<br />
<br />
λ σ<br />
k = 2π<br />
, (3.41)<br />
λ<br />
− 2πi<br />
u e λ r<br />
dσ. (3.42)<br />
r<br />
− 2πi<br />
e λ r<br />
u dσ. (3.43)<br />
r<br />
3.3 Equilibrio <strong>di</strong> una massa liquida<br />
eterogenea in rotazione<br />
(Problema <strong>di</strong> Clairaut)<br />
Si suppone che la massa rotante risulti dalla sovrapposizione <strong>di</strong> stati liqui<strong>di</strong><br />
incompressibili <strong>di</strong> densità <strong>di</strong>fferenti. La velocità angolare <strong>di</strong> rotazione<br />
ω si suppone piccola; le deformazioni che la massa subisce per effetto della<br />
rotazione sono allora dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> ω 2 . Si riguarderà perciò ω 2 come infinitesimo<br />
principale.<br />
Le particelle liquide si attirano secondo la legge <strong>di</strong> Newton, in cui si<br />
supporrà <strong>di</strong> ridurre il coefficiente d’attrazione, me<strong>di</strong>ante una conveniente<br />
scelta <strong>di</strong> unità. Finché la massa è in riposo sarà la densità una funzione<br />
mai crescente della <strong>di</strong>stanza dal centro:<br />
ρ = ρ(r), ρ ′ ≤ 0. (3.44)<br />
Analogamente il potenziale newtoniano (funzione delle forze) <strong>di</strong>penderà da<br />
r:<br />
V0 = V0(r). (3.45)<br />
In<strong>di</strong>cheremo con D la densità me<strong>di</strong>a della massa che si trova a <strong>di</strong>stanza<br />
minore <strong>di</strong> r:<br />
D =<br />
r<br />
0<br />
235<br />
ρ r 2 dr<br />
r 3 /3<br />
. (3.46)
Segue:<br />
cioè:<br />
da cui derivando:<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
r 3 D = 3<br />
r<br />
ρ r 2 dr (3.47)<br />
3r<br />
0<br />
2 D + r 3 D ′ = 3 ρ r 2 , (3.48)<br />
3 ρ = 3D + r D ′ ; (3.49)<br />
3 ρ ′ = 4D ′ + r D ′′ , (3.50)<br />
che servirà in seguito.<br />
La forza che si esercita a <strong>di</strong>stanza r su una massa unitaria sarà<br />
<br />
1<br />
r2 r<br />
4πr 2 ρ dr = 4<br />
π r D, (3.51)<br />
3<br />
0<br />
cosicché:<br />
V ′<br />
0 = − 4<br />
π r D. (3.52)<br />
3<br />
Si ponga ora la massa in rotazione; una particella che si trovava in P<br />
si porterà in P ′ nella nuova configurazione <strong>di</strong> equilibrio. Poniamo:<br />
η = P P ′ cos r , P P ′ . (3.53)<br />
Lo spostamento normale η si potrà sviluppare secondo le funzioni sferiche<br />
Y :<br />
η = H Y, (3.54)<br />
essendo le H funzioni del raggio.<br />
Se la rotazione ha luogo intorno all’asse z compariranno nello sviluppo<br />
(3.54) solo le funzioni sferiche simmetriche intorno all’asse z, le quali saranno<br />
esprimibili me<strong>di</strong>ante i polinomi <strong>di</strong> Legendre:<br />
Pn(cos θ). (3.55)<br />
Inoltre scambiando z in −z, η deve rimanere inalterato. Dovremo quin<strong>di</strong><br />
limitarci alle funzioni sferiche d’or<strong>di</strong>ne pari. Inoltre sulla superficie sferica<br />
<strong>di</strong> raggio r dovrà essere: <br />
η dσ = 0. (3.56)<br />
236
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Deve quin<strong>di</strong> mancare la funzione sferica, d’or<strong>di</strong>ne zero. La prima ad apparire<br />
sarà la funzione <strong>di</strong> secondo or<strong>di</strong>ne che prenderemo sotto la forma:<br />
Y = (x 2 + y 2 − 2z 2 )/r 2 . (3.57)<br />
Noi vogliamo supporre che per tutte le altre sia H = 0. Questo equivale<br />
a supporre che le superfici <strong>di</strong> egual densità sono in prima approssimazione<br />
<strong>degli</strong> ellissoi<strong>di</strong>. Tale ipotesi è evidentemente verificata per la superficie<br />
libera.<br />
L’equazione (3.54) si riduce allora a:<br />
η = H Y, (3.58)<br />
con Y definita dalla (3.57).<br />
Lo schiacciamento della superficie <strong>di</strong> egual densità e <strong>di</strong> raggio me<strong>di</strong>o r è<br />
evidentemente:<br />
s = 3H/r. (3.59)<br />
Analogamente supporremo che il potenziale newtoniano sia in prima approssimazione:<br />
V = V0 + L Y. (3.60)<br />
Aggiungendo il potenziale della forza centrifuga si ottiene il potenziale<br />
totale che deve essere considerato per l’equilibrio relativo:<br />
U = V + 1<br />
2 ω2 x 2 + y 2<br />
= V0 + 1<br />
3 ω2 r 2 +<br />
<br />
L + 1<br />
6 ω2 r 2<br />
<br />
Y . (3.61)<br />
La densità ρ1 del fluido in rotazione sarà in prima approssimazione, a causa<br />
delle equazioni (3.53) e (3.58):<br />
ρ1 = ρ − η ρ ′ = ρ − H ρ ′ Y. (3.62)<br />
Per determinare H e L, che sono attualmente le incognite del nostro<br />
problema, dobbiamo valerci dell’equazione <strong>di</strong> Poisson e della con<strong>di</strong>zione<br />
che le superfici <strong>di</strong> egual densità coincidano con le superficie equipotenziali.<br />
L’equazione <strong>di</strong> Poisson ci dà:<br />
∆ V = − 4π ρ1, (3.63)<br />
237
cioè essendo<br />
semplicemente:<br />
Ovvero, <strong>di</strong>videndo per Y :<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
∆ V0 = 4π ρ (3.64)<br />
V − V0 = L Y (3.65)<br />
ρ1 − ρ = − H ρ ′ Y (3.66)<br />
∆ L Y = 4π H ρ ′ Y. (3.67)<br />
4π H ρ ′ = L ′′ + 2<br />
r L′ − 6<br />
L. (3.68)<br />
r2 Le superfici equipotenziali (U = cost.) sono in prima approssimazione <strong>degli</strong><br />
ellissoi<strong>di</strong> <strong>di</strong> rivoluzione intorno a z. Lo schiacciamento della sezione meri<strong>di</strong>ana<br />
sarà in prima approssimazione:<br />
sU = −3 L + (1/6) ω2 r 2<br />
r V ′<br />
0<br />
= +3 L + (1/6) ω2 r 2<br />
(4/3)π r 2 . (3.69)<br />
D<br />
Le superfici <strong>di</strong> egual densità sono, come si è visto, anche esse ellissoi<strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
rivoluzione, il cui schiacciamento è dato dalla (3.59). Perché le due famiglie<br />
<strong>di</strong> superficie coincidano dovrà essere:<br />
cioè:<br />
Risolvendo la (3.71) rispetto a L si ha:<br />
s = sU , (3.70)<br />
H = L + (1/6) ω2 r 2<br />
. (3.71)<br />
(4/3)π r D<br />
L = 4<br />
1<br />
π r D H −<br />
3 6 ω2 r 2<br />
(3.72)<br />
L ′ = 4 4<br />
π D H +<br />
3 3 π r D′ H + 4<br />
3 π r D H′ − 1<br />
3 ω2 r (3.73)<br />
L ′′ = 8<br />
3 π D′ H + 8<br />
3 π D H′ + 8<br />
3 π r D′ H ′<br />
+ 4<br />
3 π r D′′ H + 4<br />
3 π r D H′′ − 1<br />
3 ω2 . (3.74)<br />
238
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Sostituendo nella (3.68), si elimina L:<br />
ma per la (3.50),<br />
così che rimane:<br />
o anche:<br />
Poniamo:<br />
3 H ρ ′ 4 D H<br />
= −<br />
r<br />
D<br />
0 = −<br />
+ 4 D ′ H + 4 D H ′ + 2r D ′ H ′<br />
+ r D ′′ H + r D H ′′ ; (3.75)<br />
3 H ρ ′ = 4 D ′ H + r D ′′ H, (3.76)<br />
4 D H<br />
r<br />
+ 4 D H ′ + 2r D ′ + r D H ′′ , (3.77)<br />
<br />
−4 + 4r H′<br />
H + r2 H ′′ <br />
+ 2r D<br />
H<br />
′ r H ′<br />
H<br />
ricordando che s = 3H/r, sarà:<br />
da cui:<br />
H ′<br />
H<br />
+ r H′′<br />
H<br />
r H′<br />
H + r2 H ′′<br />
H<br />
1 + q + r 2 H ′′<br />
s ′<br />
s<br />
= 0. (3.78)<br />
q = r s ′ /s; (3.79)<br />
= H′<br />
H<br />
q = r H′<br />
H<br />
r H′<br />
H<br />
′<br />
H<br />
− r<br />
H<br />
′<br />
H<br />
− r2<br />
H<br />
2<br />
2<br />
− 1<br />
r<br />
(3.80)<br />
− 1 (3.81)<br />
= 1 + q (3.82)<br />
= q ′<br />
= r q ′<br />
H − (1 + q)2 = r q ′<br />
(3.83)<br />
(3.84)<br />
(3.85)<br />
r 2 H ′′<br />
H = r q′ + q + q 2 . (3.86)<br />
239
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Sostituendo me<strong>di</strong>ante (3.82) e (3.86) nella (3.78), si trova:<br />
D r q ′ + 5 q + q 2 + 2r D ′ (1 + q) = 0, (3.87)<br />
che è l’equazione <strong>di</strong> Clairaut. .<br />
Se rD ′ /D tende a 0 per r che tende a 0, dovrà essere per r = 0<br />
cioè:<br />
5 q + q 2 = 0, (3.88)<br />
q = 0, q = −5. (3.89)<br />
Ora nel centro della massa rotante si avrà sviluppando V :<br />
V = V (0) + A x 2 + y 2 + B z 2 + . . . . (3.90)<br />
Se si suppone ρ ′ (0) finito (in particolare nullo), V sarà sviluppabile secondo<br />
x, y, z e per ragioni <strong>di</strong> simmetria mancheranno i termini <strong>di</strong> grado <strong>di</strong>spari.<br />
In<strong>di</strong>cando con ɛ una funzione infinitesima con r del quarto or<strong>di</strong>ne, avremo:<br />
U = V (0) + A x 2 + y 2 + 1<br />
2 ω2 x 2 + y 2 + B z 2 + ɛ, (3.91)<br />
e sarà naturalmente:<br />
Poniamo:<br />
4A + 2B = − 4π ρ(0). (3.92)<br />
U = cost.; (3.93)<br />
sarà (A1 = −A, B1 = −B)<br />
<br />
A1 − 1<br />
2 ω2<br />
<br />
x2 2<br />
+ y + B1 z 2 + ɛ = cost. (3.94)<br />
E a meno <strong>di</strong> infinitesimi del secondo or<strong>di</strong>ne sarà:<br />
<br />
Sarà quin<strong>di</strong>:<br />
e a fortiori,<br />
s = 1/ A1 − ω 2 /2 − 1/ √ B1<br />
1/ A1 − ω 2 /2<br />
= 1 −<br />
A1 − ω 2 /2<br />
B1<br />
. (3.95)<br />
s ′ (0) = 0 (3.96)<br />
q(0) = r s′ (0)<br />
s(0)<br />
240<br />
= 0. (3.97)
Il punto<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
(r, q) = (0, 0). (3.98)<br />
La curva integrale <strong>di</strong> (3.87) che risolve il problema passa per il punto:<br />
r = 0 , q = 0.<br />
Supponiamo che D possa svilupparsi secondo le potenze pari <strong>di</strong> r:<br />
e analogamente:<br />
ovvero, ponendo:<br />
e sostituendo nella (3.87):<br />
D = D(0) + ar 2 + br 4 + cr 6 + . . . (3.99)<br />
q = q0 + αr 2 + βr 4 + γr 6 + . . . (3.100)<br />
a0 = D0 (3.101)<br />
a2 = a (3.102)<br />
a4 = b (3.103)<br />
a6 = c (3.104)<br />
. . .<br />
α0 = q0 = 0 (3.105)<br />
α2 = α (3.106)<br />
α4 = β (3.107)<br />
α6 = γ (3.108)<br />
. . .<br />
D = a2n r 2n<br />
(3.109)<br />
q = α2n r 2n ; (3.110)<br />
<br />
a2n r 2n <br />
2n α2n r 2n + 5α2n r 2n <br />
+ α2n r 2n2 <br />
+ 2 <br />
2n<br />
2n α2n r 1 + α2n r 2n<br />
241<br />
= 0. (3.111)
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Calcoliamo i primi coefficienti dello sviluppo <strong>di</strong> q. Avremo:<br />
Segue:<br />
D = D0 + ar 2 + br 4 + cr 6 + . . . (3.112)<br />
r D ′ = 2ar 2 + 4br 4 + 6cr 6 + . . . (3.113)<br />
q = αr 2 + βr 4 + γr 6 + . . . (3.114)<br />
r q ′ = 2αr 2 + 4βr 4 + 6γr 6 + . . . (3.115)<br />
q 2 = α 2 r 4 + 2αβr 6 + . . . (3.116)<br />
r q ′ + 5 q + q 2 = 7αr 2 + (9β + α 2 )r 4 + . . .<br />
+(11γ + 2αβ)r 6 + . . . (3.117)<br />
1 + q = 1 + αr 2 + βr 4 + γr 6 + . . . (3.118)<br />
D r q ′ + 5 q + q 2 = 7α D0 r 2 + (9β + α 2 )D0 + 7αa r 4<br />
+ (11γ + 2αβ)D0 + (9β + α 2 )a<br />
+ 7αb) r 6 + . . . (3.119)<br />
2 r D ′ (1 + q) = 4ar 2 + (4αa + 8b)r 4<br />
+ (4βa + 8αb + 12c)r 6 + . . . (3.120)<br />
7α D0 + 4a = 0 (3.121)<br />
(9β + α 2 )D0 + 7αa + 4αa + 8b = 0 (3.122)<br />
(11γ + 2αβ)D0 + (9β + α 2 )a + 7αb<br />
+ 4βa + 8αb + 12c = 0. (3.123)<br />
Se M è la massa del pianeta, l’attrazione in punti esterni, in particolare<br />
sulla superficie libera, ammette per potenziale in prima approssimazione:<br />
V = M<br />
r + I0 − 3 I/2<br />
r3 (3.124)<br />
I è il momento d’inerzia rispetto alla retta OP 64 e I0 è il momento<br />
d’inerzia (non assiale, ma polare) rispetto al baricentro.<br />
Sulla superficie libera sarà:<br />
U = M<br />
r + I0 − 3 I/2<br />
r3 + 1<br />
2 ω2 x 2 + y 2 = cost. (3.125)<br />
64 Retta che unisce il centro del pianeta al punto esterno considerato.<br />
242
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
In<strong>di</strong>cando con Rp il raggio polare e con Re il raggio equatoriale, sarà:<br />
M<br />
Rp<br />
−<br />
C − A<br />
R 3 p<br />
= M<br />
Re<br />
+ 1 C − A<br />
2 R3 e<br />
+ 1<br />
2 ω2 R 2 e, (3.126)<br />
essendosi in<strong>di</strong>cato con C il momento d’inerzia rispetto all’asse polare e con<br />
A il momento d’inerzia 65 rispetto a un asse equatoriale; <strong>di</strong> modo che<br />
I0 = A + 1<br />
C. (3.127)<br />
2<br />
In<strong>di</strong>chiamo con f il rapporto tra forza centrifuga e gravità all’equatore e<br />
con r1 il raggio me<strong>di</strong>o del pianeta; sarà in prima approssimazione<br />
Segue dalla (3.126), in prima approssimazione:<br />
<br />
1<br />
M<br />
Rp<br />
− 1<br />
<br />
Re<br />
= 3 C − A<br />
2 r3 1<br />
+ 1<br />
2<br />
e ponendo al solito:<br />
f = ω2 r 3 1<br />
. (3.128)<br />
M<br />
s1 = Re − Rp<br />
sarà, sempre in prima approssimazione:<br />
Re<br />
s1 = 3 C − A<br />
2 Mr2 1<br />
f<br />
r1<br />
M; (3.129)<br />
(3.130)<br />
+ 1<br />
f, (3.131)<br />
2<br />
o anche in<strong>di</strong>cando con D1 la densità me<strong>di</strong>a dell’intero pianeta:<br />
s1 − 1<br />
2<br />
Il momento d’inerzia me<strong>di</strong>o della terra sarà:<br />
Ora:<br />
r1<br />
0<br />
ρ r 4 dr =<br />
I = 8π<br />
3<br />
9 (C − A)<br />
f =<br />
8π r5 . (3.132)<br />
1 D1<br />
r1<br />
0<br />
r1<br />
r<br />
0<br />
2 ρ r 2 dr =<br />
r1<br />
r1<br />
0<br />
= 1<br />
3 r5 1 D1 − 2<br />
3<br />
65 Più sopra questa quantità è stata in<strong>di</strong>cata con I.<br />
243<br />
ρ r 4 dr. (3.133)<br />
0<br />
r 2 <br />
1<br />
d<br />
3 r3 <br />
D<br />
r 4 D dr, (3.134)
segue:<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
I = 8π<br />
9<br />
In prima approssimazione sarà:<br />
e sostituendo nella (3.132) si trova:<br />
d<br />
dr<br />
s1 − 1 C − A<br />
f =<br />
2 C<br />
<br />
r 5 r1<br />
1 D1 − 2<br />
0<br />
r 4 <br />
D dr . (3.135)<br />
C I; (3.136)<br />
<br />
1 − 2<br />
r 5 1 D1<br />
<br />
r 4 <br />
D dr . (3.137)<br />
Ripren<strong>di</strong>amo l’equazione <strong>di</strong> Clairaut (3.87) e calcoliamo l’espressione:<br />
<br />
r 5 D <br />
1 + q<br />
Poiché dalla (3.87) si trova:<br />
= 5 r 4 D 1 + q + r 5 D ′ 1 + q<br />
+ r 5 q<br />
D<br />
′<br />
2 √ 1 + q<br />
= 5 r4 <br />
D<br />
√ 1 + q +<br />
1 + q<br />
rD′<br />
5D<br />
rD ′<br />
5D<br />
(1 + q) = − rq′<br />
10<br />
sostituendo nella (3.138) si ricava:<br />
da cui: 66<br />
d<br />
dr<br />
Poniamo:<br />
<br />
r 5 D <br />
1 + q<br />
r 5 <br />
1 D1 1 + q1 =<br />
r1<br />
0<br />
= 5 r4 D<br />
√ 1 + q<br />
5 r 4 D<br />
√ 1 + q<br />
− q<br />
2<br />
K = 1 + q/2 − q2 /10<br />
√ 1 + q<br />
<br />
rq′<br />
(1 + q) + (3.138)<br />
10<br />
q2<br />
− , (3.139)<br />
10<br />
<br />
1 + 1 1<br />
q −<br />
2 10 q2<br />
<br />
, (3.140)<br />
<br />
1 + 1 1<br />
q −<br />
2 10 q2<br />
<br />
dr. (3.141)<br />
(3.142)<br />
66 Nel manoscritto originale, il limite superiore dell’integrale è r; tuttavia, è<br />
evidente che il limite appropriato è r1.<br />
244
la (3.141) <strong>di</strong>venta: 67<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
r 5 <br />
1 D1 1 + q1 =<br />
r1<br />
0<br />
5 r 4 D K dr. (3.143)<br />
Se q è abbastanza piccolo, K è molto prossimo all’unità: 68<br />
q k<br />
0 1<br />
0.1 1.00018<br />
0.2 1.00051<br />
0.3 1.00072<br />
0.4 1.00066<br />
0.5 1.00021<br />
0.6 0.99928<br />
0.7 0.99782<br />
0.8 0.99580<br />
0.9 0.99317<br />
1 0.98995<br />
2 0.92376<br />
3 0.8<br />
Il valore massimo <strong>di</strong> q si ha in superficie q = q1; il valore minimo al centro:<br />
(r , q) = (0 , 0).<br />
Calcoliamo q1; su una superficie equipotenziale all’esterno del pianeta<br />
si ha, come si è visto dalla (3.131):<br />
s = 1 3<br />
f +<br />
2 2<br />
C − A<br />
. (3.144)<br />
Mr2 Il primo termine del secondo termine cresce in prima approssimazione come<br />
r 3 . Si ha quin<strong>di</strong> derivando:<br />
r s ′ = 3<br />
2<br />
C − A<br />
f − 3 . (3.145)<br />
M r2 67 Si veda la nota precedente.<br />
68 Nella tabella, l’Autore riporta solo i valori per K = 1, 1.00074, 1.00021,<br />
0.98995 corrispondenti rispettivamente a q = 0, 0.3, 0.5, 0.9. Un’evidenza particolare<br />
è data al valore <strong>di</strong> q = 0.3.<br />
245
Confrontando con la (3.144)<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
r s ′ + 2s = 5<br />
2 f<br />
q =<br />
r s ′ = 5<br />
f − 2s<br />
2<br />
(3.146)<br />
r s′<br />
s<br />
= 5 f<br />
− 2.<br />
2 s<br />
In particolare, riferendo f alla superficie libera del pianeta:<br />
q1 = 5<br />
2<br />
f<br />
s1<br />
− 2. (3.147)<br />
Nel caso della terra si ha q1 = 0.57. Sarà allora K sempre molto prossimo<br />
all’unità. Supponendo K = 1 (e tale ipotesi è lecita tutte le volte che la<br />
densità del pianeta non sia eccessivamente <strong>di</strong>suniforme), la (3.143) <strong>di</strong>venta:<br />
r 5 <br />
5 f<br />
1 D1 − 1 5 r<br />
2<br />
4 D dr, (3.148)<br />
s1<br />
ovvero, confrontando con la (3.137):<br />
5<br />
2<br />
f<br />
s1<br />
Nel caso della terra si ha:<br />
si trova allora:<br />
− 1 5<br />
2<br />
<br />
5 C<br />
− s1 −<br />
2 C − A<br />
1<br />
2 f<br />
<br />
. (3.149)<br />
f = 1/288 (3.150)<br />
C<br />
C − A<br />
= 305; (3.151)<br />
s1 = 1/297, (3.152)<br />
in perfetto accordo con l’esperienza. Sostituendo nella (3.145) si ha:<br />
da cui:<br />
1<br />
297<br />
1 1<br />
=<br />
2 288<br />
+ 3<br />
2<br />
C − A<br />
Mr2 , (3.153)<br />
1<br />
C − A = 1<br />
920 M r2 1, (3.154)<br />
246
e per la (3.151):<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
C = 0.332 M r 2 1<br />
mentre se la densità fosse costante si avrebbe I = 0.4Mr 2 1.<br />
Valori stabiliti dalla conferenza <strong>di</strong> Madrid: 69<br />
(3.155)<br />
Re 6378 (3.156)<br />
Rp = 6357 (3.157)<br />
s = 1/297 (3.158)<br />
D1 = 5.515. (3.159)<br />
Supponiamo che la densità all’interno della terra sia esprimibile sotto<br />
la forma<br />
ρ = a + b r 2 + c r 4 . (3.160)<br />
Vogliamo determinare i coefficienti con le con<strong>di</strong>zioni:<br />
Si avrà:<br />
cioè:<br />
Inoltre:<br />
D1 = 5.515<br />
ρ1 = 2.5 (3.161)<br />
I = 0.332 M r 2 1.<br />
ρ1 = a + b r 2 1 + c r 4 1<br />
3<br />
1 (3.162)<br />
r3 1 D1 =<br />
r1 2 4 6<br />
a r + b r + c r<br />
0<br />
dr<br />
= 1<br />
3 a r3 1 + 1<br />
5 b r5 1 + 1<br />
7 c r7 1<br />
(3.163)<br />
I = 8π<br />
3<br />
D1 = a + 3<br />
5 b r2 1 + 3<br />
7 c r4 1. (3.164)<br />
= 8π<br />
3<br />
r1<br />
4 6 8<br />
a r + b r + c r<br />
0<br />
dr<br />
<br />
1<br />
5 a r5 1 + 1<br />
7 b r7 1 + 1<br />
9 c r9 <br />
1 , (3.165)<br />
69 L’Autore non fornisce dettagli su questa conferenza.<br />
247
cioè:<br />
D’altra parte<br />
M<br />
r 3 1<br />
da cui segue:<br />
I<br />
r 5 1<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
= 8π<br />
3<br />
<br />
1 1<br />
a +<br />
5 7 b r2 1 + 1<br />
9 c r4 <br />
1 . (3.166)<br />
= 4 4<br />
π D1 +<br />
3 3 M<br />
<br />
a + 3<br />
5 b r2 1 + 3<br />
7 c r4 <br />
1 , (3.167)<br />
I<br />
Mr 2 1<br />
= 2 a +<br />
5<br />
5<br />
7 b r2 1 + 5<br />
9 c r4 1<br />
a + 3<br />
5 b r2 1 + 3<br />
7 c r4 1<br />
. (3.168)<br />
I primi membri delle equazioni (3.162), (3.164), (3.168) riguardandosi come<br />
noti, abbiamo il sistema <strong>di</strong> equazioni lineari nelle incognite a, br 2 1, cr 4 1:<br />
a (1 − δ) + br 2 1<br />
5<br />
7<br />
a + b r 2 1 + c r 4 1 = ρ1<br />
<br />
3<br />
− δ<br />
5<br />
+ cr 4 1<br />
5<br />
9<br />
a + 3<br />
5 b r2 1 + 3<br />
7 c r4 1 = D1<br />
nella seconda delle quali si è posto:<br />
Poniamo inoltre:<br />
Segue dalle equazioni (3.169):<br />
da cui:<br />
a (1 − δ) + br 2 1<br />
a (1 − ɛ) + br 2 1<br />
5<br />
7<br />
br 2 1 = −<br />
δ = 5<br />
2<br />
I<br />
Mr 2 1<br />
<br />
3<br />
− δ = 0 (3.169)<br />
7<br />
. (3.170)<br />
ɛ = ρ1/D1. (3.171)<br />
<br />
3<br />
− δ + cr<br />
5<br />
4 <br />
5<br />
1<br />
9<br />
<br />
3<br />
− δ<br />
7<br />
<br />
1 − ɛ 3<br />
<br />
+ cr<br />
5<br />
4 <br />
1 1 − ɛ 3<br />
<br />
7<br />
= 0<br />
= 0,<br />
(3.172)<br />
4 4 8<br />
− δ +<br />
9 7 63 ɛ<br />
10 6 4<br />
− δ +<br />
63 35 147 ɛ<br />
a (3.173)<br />
248
Segue:<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
cr 4 1<br />
=<br />
Sostituendo nella (3.169), si ha:<br />
Da cui, ricordando la (3.171)<br />
Risulta infine:<br />
2 2 4<br />
− δ +<br />
7 5 35 ɛ<br />
10 6 4<br />
− δ +<br />
63 35 147 ɛ<br />
a. (3.174)<br />
a = ℓ (175 − 189 δ + 30 ɛ)<br />
br 2 1 = − ℓ (490 − 630 δ + 140 ɛ) (3.175)<br />
cr 4 1 = ℓ (315 − 441 δ + 126 ɛ) .<br />
ρ =<br />
16 ɛ ℓ = ρ1<br />
0 = 0 (3.176)<br />
16 ℓ = D1.<br />
l = D1/16. (3.177)<br />
(175 − 189 δ + 30 ɛ) D1<br />
16<br />
(490 − 630 δ + 140 ɛ) D1<br />
−<br />
16<br />
+ (315 − 441 δ + 126 ɛ) D1<br />
16<br />
r 2<br />
r 2 1<br />
r 4<br />
r 4 1<br />
(3.178)<br />
con δ e ɛ definite me<strong>di</strong>ante l’equazioni (3.170) e (3.171). Nel caso della<br />
terra segue che dalle equazioni (3.175):<br />
Sostituendo questi valori nella (3.178), si ha:<br />
ρ = D1<br />
δ = 0.83, ɛ = 0.45. (3.179)<br />
<br />
1.977 − 1.881 r2<br />
r 2 1<br />
+ 0.354 r4<br />
r 4 1<br />
La densità massima (al centro della terra) risulterebbe:<br />
<br />
. (3.180)<br />
ρ0 = 1.977 D1 = 1.977 · 5.515 = 10.90. (3.181)<br />
249
cioè se si pone<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
1.977 − 1.881 + 0.354 = 0.45 (3.182)<br />
1.977 − 1.881 · 3<br />
5<br />
1.977 · 2<br />
5<br />
− 1.881 · 2<br />
7<br />
ρ = D1<br />
3<br />
+ 0.354 ·<br />
7<br />
2<br />
+ 0.354 ·<br />
9<br />
<br />
α + β r2<br />
r 2 1<br />
i coefficienti α, β, γ sod<strong>di</strong>sfanno alle equazioni:<br />
più semplici delle equazioni (3.169).<br />
α + β + γ = ρ1<br />
,<br />
= 1.000 (3.183)<br />
= 0.332, (3.184)<br />
+ γ r4<br />
r4 <br />
, (3.185)<br />
1<br />
D1<br />
α + 3 3<br />
β + γ<br />
5 7<br />
= 1, (3.186)<br />
2 2 2<br />
α + β + γ<br />
5 7 9<br />
=<br />
I<br />
,<br />
250<br />
Mr 2 1
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
3.4 Determinazione <strong>di</strong> una funzione<br />
quando sono noti i momenti<br />
Sia y una funzione <strong>di</strong> x:<br />
y = y(x), (3.187)<br />
e supponiamo che per x 2 > a 2 si abbia y = 0; supponiamo inoltre che sia<br />
finito l’integrale ∞<br />
|y| dx (3.188)<br />
−∞<br />
Definiamo i momenti µ0, µ1, . . ., µn rispettivamente d’or<strong>di</strong>ne 0, 1, 2, . . . , n:<br />
<br />
µ0 = y dx<br />
<br />
µ1 = x y dx<br />
Poniamo:<br />
e sarà:<br />
Segue dalla (3.190):<br />
. . .<br />
<br />
(3.189)<br />
µn = x n y dx<br />
z(t) =<br />
y = 1<br />
2π<br />
dz<br />
dt<br />
Per t = 0, si avrà z(0) = µ0<br />
<br />
∞<br />
−∞<br />
<br />
= i<br />
y e ixt dx, (3.190)<br />
e −ixt z dt. (3.191)<br />
x y e ixt dx<br />
. . . (3.192)<br />
<br />
d n z<br />
= in<br />
dtn n<br />
d z<br />
dtn <br />
0<br />
251<br />
x n y e ixt dx.<br />
= i n µn. (3.193)
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Per le ipotesi fatte z è sviluppabile in serie <strong>di</strong> Mac-Laurin, assolutamente<br />
convergente:<br />
∞ (it)<br />
z = µn<br />
n<br />
. (3.194)<br />
n!<br />
Sostituendo nella (3.191) si avrà:<br />
y = 1<br />
2π<br />
∞<br />
−∞<br />
0<br />
e −ixt<br />
∞<br />
0<br />
µn<br />
(it) n<br />
n!<br />
dt, (3.195)<br />
in cui i segni dell’integrale e le serie non sono naturalmente invertibili.<br />
Si può anche scrivere:<br />
y = 1<br />
π<br />
+ 1<br />
π<br />
∞<br />
0<br />
∞<br />
0<br />
cos xt<br />
sin xt<br />
∞<br />
0<br />
(−1) r µ2r<br />
∞<br />
0<br />
t 2r<br />
(2r)! dt<br />
(−1) r µ2r+1<br />
t 2r+1<br />
dt. (3.196)<br />
(2r + 1)!<br />
Esempio 1. Sia y = 1 per 0 < x < 1 e y = 0 per x < 0, oppure per<br />
x > 1. I momenti saranno:<br />
µ0 = 1, µ1 = 1<br />
2 , . . . µn =<br />
Sostituiamo nella (3.196) notando che in questo caso:<br />
∞<br />
0<br />
= 1<br />
t<br />
∞<br />
0<br />
= 1<br />
t<br />
(−1) r µ2r<br />
0<br />
(−1) r µ2r+1<br />
<br />
1 −<br />
t 2r<br />
(2r)! =<br />
∞<br />
(−1) r t 2r+1<br />
(2r + 1)!<br />
∞<br />
0<br />
t 2r+1<br />
(2r + 1)!<br />
(−1) r t 2r<br />
(2r)!<br />
252<br />
0<br />
1<br />
n + 1 .<br />
∞<br />
(−1) r t 2r<br />
(2r + 1)!<br />
1<br />
=<br />
t<br />
<br />
= sin t<br />
t<br />
= 1 − cos t<br />
∞<br />
(−1) r t 2r+2<br />
(2r + 2)!<br />
0<br />
(3.197)<br />
. (3.198)<br />
t
Si avrà:<br />
y = 1<br />
π<br />
= 1<br />
π<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
∞<br />
0<br />
∞<br />
0<br />
cos xt sin t + sin xt (1 − cos t)<br />
dt<br />
t<br />
sin (1 − x)t<br />
dt +<br />
t<br />
1<br />
∞<br />
sin xt<br />
dt. (3.199)<br />
π t<br />
Il primo integrale vale π/2 per x < 1 e −π/2 per x > 1. Il secondo integrale<br />
vale −π/2 per x < 0 e π/2 per x > 0. Si avrà dunque:<br />
come si era supposto.<br />
per x < 0, y = 1<br />
2<br />
per 0 < x < 1, y = 1<br />
2<br />
per x > 1, y = − 1<br />
2<br />
0<br />
− 1<br />
2<br />
+ 1<br />
2<br />
+ 1<br />
2<br />
= 0<br />
= 1<br />
= 0<br />
(3.200)<br />
Esempio 2. Sia y = 0 per x < 0 e y = e −x per x > 0. Non siamo nelle<br />
con<strong>di</strong>zioni supposte e bisogna alquanto rinunciare al rigore matematico. Si<br />
avrà:<br />
µn = n! (3.201)<br />
Sostituendo ad esempio nella (3.195), sarà:<br />
∞<br />
0<br />
µn<br />
(it) n<br />
n! =<br />
∞<br />
(it) n =<br />
0<br />
1<br />
, (3.202)<br />
1 − it<br />
formola in realtà valida solo per t 2 < 1, ché altrimenti lo sviluppo non<br />
converge. Supporremo tuttavia che si possa sempre scrivere:<br />
con che la (3.195) <strong>di</strong>venta:<br />
∞<br />
(it) n =<br />
0<br />
y = 1<br />
2π<br />
∞<br />
−∞<br />
253<br />
1<br />
, (3.203)<br />
1 − it<br />
e −ixt<br />
dt. (3.204)<br />
1 − it
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Se nella nota formola ((14bis) nel paragrafo 2.26),<br />
∞<br />
−∞<br />
e ix dx<br />
a + ix =<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
2π e −a , a > 0<br />
0, a < 0<br />
poniamo x in luogo <strong>di</strong> a e −tx in luogo <strong>di</strong> x, si ha:<br />
∞<br />
−∞<br />
Sostituendo otteniamo:<br />
come si era supposto.<br />
Segue<br />
e −ixt x dt<br />
x − itx<br />
y =<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
=<br />
=<br />
∞<br />
Esempio 3. Sia y = e −x2<br />
. Sarà:<br />
∞<br />
0<br />
(−1) r µ2r<br />
Sostituendo nella (3.195):<br />
y =<br />
e<br />
−∞<br />
−ixt dt<br />
1 − it<br />
−x<br />
2π e , per x > 0<br />
0, per x < 0,<br />
e −x , per x > 0,<br />
0, per x < 0,<br />
(3.205)<br />
. (3.206)<br />
(3.207)<br />
µ2r+1<br />
µ2r<br />
=<br />
=<br />
0<br />
<br />
2r − 1<br />
!<br />
2<br />
(3.208)<br />
= √ π · 1 3 2r − 1<br />
· · . . . ·<br />
2 2 2<br />
= √ π (2r)!<br />
.<br />
r! · 22r (3.209)<br />
t 2r<br />
(2r)! = √ π<br />
=<br />
1<br />
2 √ π<br />
1<br />
2 √ π e−x2<br />
∞<br />
0<br />
(−1) r t 2r<br />
22r r! = √ − t2<br />
πe 4 . (3.210)<br />
∞<br />
e<br />
−∞<br />
−ixt − t2<br />
e 4 dt<br />
∞<br />
−∞<br />
e −( t 2 +ix)2<br />
254<br />
dt
=<br />
come si era supposto.<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
1<br />
√ e<br />
π −x2<br />
∞<br />
e<br />
−∞<br />
−( t 2 +ix)2<br />
<br />
t<br />
d + ix<br />
2<br />
= e −x2<br />
. (3.211)<br />
Esempio 4. Proponiamoci <strong>di</strong> trovare la funzione i cui momenti sono:<br />
Avremo:<br />
z =<br />
z it =<br />
µ0 = 1 (3.212)<br />
µ1 = 1<br />
4<br />
(3.213)<br />
µ2 = 1<br />
. . .<br />
9<br />
(3.214)<br />
µn =<br />
1<br />
.<br />
(n + 1) 2 (3.215)<br />
∞<br />
0<br />
∞<br />
1<br />
µn<br />
(it) q<br />
q! q<br />
(it) n<br />
n! =<br />
i z ′ t + z =<br />
∞ (it)<br />
i<br />
1<br />
q−1<br />
q!<br />
it z ′ t + z =<br />
∞<br />
1<br />
∞<br />
0<br />
(it) n<br />
(n + 1)! (n + 1)<br />
(3.216)<br />
(3.217)<br />
(3.218)<br />
(it) q<br />
q! = eit − 1 (3.219)<br />
z ′ = − z<br />
t + eit − 1<br />
it 2 . (3.220)<br />
Segue, badando che per t = 0 deve essere z = 1:<br />
z = 1<br />
t<br />
t<br />
Sostituendo nella (3.195) o in (3.191):<br />
y = 1<br />
2π<br />
∞<br />
−∞<br />
e −ixt dt · 1<br />
t<br />
0<br />
t<br />
0<br />
255<br />
e it − 1<br />
it<br />
e it1 − 1<br />
dt1<br />
it1<br />
dt. (3.221)
= 1<br />
π<br />
+<br />
= 1<br />
π<br />
= 1<br />
π<br />
∞<br />
0<br />
∞<br />
0<br />
π<br />
4<br />
0<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
cos xt<br />
t<br />
sin xt<br />
t<br />
dt<br />
dt<br />
dθ<br />
sin θ cos θ<br />
t<br />
0<br />
t<br />
sin t1<br />
dt1<br />
t1<br />
<br />
1 − cos t1<br />
dt1<br />
0<br />
∞<br />
0<br />
t1<br />
<br />
1<br />
r<br />
+ sin (xr cos θ) (1 − cos (r sin θ))] dr<br />
·<br />
π 4<br />
0<br />
∞<br />
0<br />
[cos (xr cos θ) sin (r sin θ)<br />
dθ<br />
sin θ cos θ ·<br />
1<br />
{sin [r(sin θ − x cos θ)] + sin (rx cos θ)} dr. (3.222)<br />
r<br />
Il secondo integrale vale per 0 < θ < π/4:<br />
Per 0 < x < 1, avremo quin<strong>di</strong><br />
y =<br />
π 4<br />
arctan x<br />
0, se x < 0<br />
π, se 0 < x < tan θ.<br />
(3.223)<br />
dθ<br />
sin θ cos θ = [log tan θ] π 4<br />
arctan x = − log x. (3.224)<br />
Resta così determinata la funzione y per tutti i valori <strong>di</strong> x:<br />
per x < 0, y = 0<br />
per 0 < x < 1, y = − log x<br />
per x > 1, y = 0.<br />
(3.225)<br />
È facile verificare che la funzione y così definita sod<strong>di</strong>sfa alle con<strong>di</strong>zioni<br />
proposte.<br />
Esempio 5. Sia y dx la probabilità che due punti (elementi <strong>di</strong> superficie)<br />
<strong>di</strong> un cerchio <strong>di</strong> raggio unitario abbiano <strong>di</strong>stanza compresa tra x e<br />
x + dx. I momenti <strong>di</strong> y, per la formola (7) nel paragrafo 1.21, saranno:<br />
In particolare,<br />
µn =<br />
4 (n + 1)!<br />
. (3.226)<br />
n + 4 (1 + n/2)! (1 + n/2)!<br />
µ0 = 1 (3.227)<br />
256
Sostituendo in (3.194):<br />
z =<br />
=<br />
∞<br />
0<br />
∞<br />
0<br />
µn<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
(it) n<br />
n! =<br />
µ1 = 128<br />
45π<br />
(3.228)<br />
µ2 = 1 (3.229)<br />
. . .<br />
Poniamo z = z1 + iz2. Si avrà:<br />
t 2<br />
da cui segue:<br />
e poiché:<br />
t<br />
0<br />
t<br />
0<br />
∞ n + 1 (it)<br />
4<br />
n + 4<br />
n<br />
(1 + n/2)! (1 + n/2)!<br />
0<br />
2 (n + 1)(it) n<br />
. (3.230)<br />
(1 + n/2)! (2 + n/2)!<br />
z1 =<br />
∞<br />
(−1) r 2 (2r + 1)<br />
0<br />
t 2r<br />
(r + 1)! (r + 2)!<br />
z1 dt =<br />
∞<br />
(−1)<br />
0<br />
r t<br />
2<br />
2r+1<br />
(r + 1)! (r + 2)!<br />
z1 dt =<br />
∞<br />
(−1)<br />
0<br />
r t<br />
2<br />
2r+3<br />
(r + 1)! (r + 2)!<br />
=<br />
∞<br />
− (−1)<br />
1<br />
s t<br />
2<br />
2s+1<br />
s! (s + 1)!<br />
=<br />
∞<br />
− (−1) s 2 (2t/2)2s+1<br />
s! (s + 1)!<br />
t<br />
0<br />
1<br />
(3.231)<br />
(3.232)<br />
= 2t − 2I1(2t), (3.233)<br />
z1 dt = 2<br />
t<br />
− 2 I1(2t)<br />
t 2<br />
z1 = − 2<br />
t2 − 4 I′ 1(2t)<br />
t2 (3.234)<br />
I1(2t)<br />
+<br />
t3 ; (3.235)<br />
I ′ 1(2t) = I0(2t) − 1<br />
I1(2t), (3.236)<br />
2t<br />
257
segue:<br />
Quanto a z2 si avrà:<br />
ecc. .<br />
t 2<br />
t<br />
0<br />
t<br />
0<br />
z2 =<br />
z2 dt =<br />
z2 dt =<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
z1 = −<br />
2 + 4 I0(2t)<br />
t 2<br />
∞<br />
(−1) r 4 (r + 1)<br />
0<br />
+ 6 I1(2t)<br />
t 3 . (3.237)<br />
∞<br />
(−1)<br />
0<br />
r t<br />
2<br />
2r+2<br />
(r + 3/2)! (r + 5/2)!<br />
∞<br />
(−1) r t<br />
2<br />
2r+4<br />
(r + 3/2)! (r + 5/2)!<br />
0<br />
t 2r+1<br />
(r + 3/2)! (r + 5/2)! (3.238)<br />
(3.239)<br />
(3.240)<br />
Esempio 6. Sia y(r) dr la probabilità che la <strong>di</strong>stanza tra due punti<br />
<strong>di</strong> superfici sferiche concentriche, l’una <strong>di</strong> raggio unitario, l’altra <strong>di</strong> raggio<br />
a < 1, sia compresa fra r e r + dr. I momenti sono in questo caso:<br />
µ0 = 1 (3.241)<br />
µ1 = 1 + 1<br />
3 a2<br />
·s<br />
(3.242)<br />
µn = (1 + a)n+2 − (1 − a) n+2<br />
·s;<br />
2(n + 2)a<br />
(3.243)<br />
(si veda il paragrafo 2.38.6).<br />
Sostituendo nella (3.194), ricaviamo:<br />
t<br />
0<br />
z =<br />
z dt =<br />
(1 + a)2<br />
2a<br />
−<br />
1 + a<br />
2a i<br />
−<br />
∞<br />
0<br />
(1 − a)2<br />
2a<br />
∞<br />
0<br />
1 − a<br />
2a i<br />
(1 + a) n (it) n<br />
n! (n + 2)<br />
∞<br />
0<br />
(1 − a) n (it) n<br />
, (3.244)<br />
n! (n + 2)<br />
(1 + a) n+1 (it) n+1<br />
(n + 2)!<br />
∞<br />
0<br />
258<br />
(1 − a) n+1 (it) n+1<br />
, (3.245)<br />
(n + 2)!
t<br />
D’altronde:<br />
t<br />
0<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
z dt = − 1<br />
2a<br />
∞<br />
0<br />
(1 + a) n+2 (it) n+2<br />
(n + 2)!<br />
+ 1<br />
∞ (1 − a)<br />
2a<br />
0<br />
n+2 (it) n+2<br />
(n + 2)!<br />
= − 1<br />
<br />
e<br />
2a<br />
i (1+a) t <br />
− 1 − i (1 + a) t<br />
+ 1<br />
<br />
e<br />
2a<br />
i (1−a) t <br />
− 1 − i (1 − a) t<br />
= ei (1−a) t i (1+a) t<br />
− e<br />
2a<br />
t<br />
z dt<br />
0<br />
= ei (1−a) t i (1+a) t<br />
− e<br />
2at<br />
z = ei (1+a) t i (1−a) t<br />
− e<br />
2at2 ∞<br />
z e<br />
−∞<br />
−i r t dt =<br />
=<br />
+ i t, (3.246)<br />
+ i, (3.247)<br />
− i (1 + a) ei (1+a) t i (1−a) t<br />
− (1 − a) e<br />
t<br />
−i r t<br />
e<br />
−<br />
2at<br />
∞ z dt<br />
−∞<br />
∞<br />
0<br />
−i r e<br />
−∞<br />
−i r t t<br />
dt<br />
0<br />
<br />
−i r t<br />
e<br />
+ i r<br />
∞<br />
2a<br />
i r<br />
−<br />
2a<br />
− r<br />
e i (1−a) t − e i (1+a) t<br />
2at<br />
e i (1−a−r) t − 1<br />
t<br />
z(t1) dt1<br />
dt<br />
∞<br />
+ i<br />
−∞<br />
. (3.248)<br />
−∞<br />
∞<br />
e<br />
−∞<br />
i (1+a−r) t − 1<br />
dt<br />
t<br />
∞<br />
e<br />
−∞<br />
−i r t dt. (3.249)<br />
Il primo e il quarto termine nel secondo membro sono indeterminati e il<br />
259
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
loro valore me<strong>di</strong>o è zero. Il secondo vale:<br />
Il terzo vale:<br />
− π r<br />
, per r < 1 − a,<br />
2a<br />
π r<br />
, per r > 1 − a.<br />
2a<br />
π r<br />
, per r < 1 + a,<br />
2a<br />
− π r<br />
,<br />
2a<br />
per r > 1 + a.<br />
Segue dalla (3.191), ponendo r in luogo <strong>di</strong> x:<br />
(si veda il paragrafo 2.38.6.)<br />
y = 0, per r < 1 − a,<br />
y = r<br />
, per 1 − a < r < 1 + a,<br />
2a<br />
y = 0, per r > 1 + a;<br />
3.5 Curve <strong>di</strong> probabilità<br />
(3.250)<br />
(3.251)<br />
(3.252)<br />
(1) Probabilità che 2 punti <strong>di</strong> due superfici sferiche concentriche <strong>di</strong> raggi<br />
a e b < a abbiano la <strong>di</strong>stanza r:<br />
y = dP/dr (densità <strong>di</strong> probabilità), si ha:<br />
y = 0, per r < a − b<br />
y = r<br />
, per a − b < r < a + b<br />
2ab<br />
y = 0, per r > a + b;<br />
(si vedano i paragrafi 2.39.6 e 3.4.)<br />
260<br />
(3.253)
Seguono i momenti:<br />
<br />
µn =<br />
In particolare:<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
r n y dr = (a + b)n+2 − (a − b) n+2<br />
. (3.254)<br />
2ab(n + 2)<br />
µ−1 = 1<br />
a<br />
(3.255)<br />
µ0 = 1 (3.256)<br />
µ1 = a + 1 b<br />
3<br />
2<br />
a<br />
µ2 = a 2 + b 2<br />
. . .<br />
(3.257)<br />
(3.258)<br />
(2) Densità della probabilità che due punti <strong>di</strong> un segmento <strong>di</strong> lunghezza<br />
ℓ abbiano la <strong>di</strong>stanza r:<br />
I momenti saranno:<br />
In particolare:<br />
y(r) =<br />
2(ℓ − r)<br />
ℓ 2 , 0 < r < ℓ,<br />
y(r) = 0, altrimenti.<br />
µn =<br />
(3.259)<br />
2ℓ n<br />
. (3.260)<br />
(n + 1) (n + 2)<br />
µ0 = 1 (3.261)<br />
µ1 = ℓ<br />
3<br />
(3.262)<br />
µ2 = ℓ2<br />
. . .<br />
6<br />
(3.263)<br />
(3) Densità della probabilità che due punti appartenenti a due circonferenze<br />
complanari e concentriche, l’una <strong>di</strong> raggio a, l’altra <strong>di</strong> raggio<br />
b < a, abbiano la <strong>di</strong>stanza r:<br />
y =<br />
2r<br />
π − (a2 − b2 ) 2 + 2(a2 + b2 )r2 . (3.264)<br />
− r4 261
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Se b = a, si ha semplicemente:<br />
y =<br />
3.6 L’integrale definito π/2<br />
0<br />
Dalla relazione:<br />
2r<br />
π √ 4a2r2 . (3.265)<br />
− r4 sin kx<br />
sin x dx<br />
sin (k + 2) x − sin kx = 2 cos (k + 1) x sin x (3.266)<br />
si deduce:<br />
sin (k + 2) x<br />
sin x<br />
= sin kx<br />
sin x<br />
+ 2 cos (k + 1) x. (3.267)<br />
Integrando fra 0 e π/2 e ponendo:<br />
si ha:<br />
y(k) =<br />
π/2<br />
0<br />
sin kx<br />
sin x<br />
dx, (3.268)<br />
y(k) − y(k + 2) = − 2 (k + 1) π<br />
sin . (3.269)<br />
k + 1 2<br />
Scrivendo le relazioni analoghe con k + 2, k + 4, . . ., k + 2n in luogo <strong>di</strong> K<br />
e notando che<br />
cioè:<br />
si ricava:<br />
lim<br />
k→∞<br />
π/2<br />
0<br />
y(k) = π<br />
2 −<br />
sin kx<br />
sin x<br />
∞<br />
0<br />
dx = lim<br />
=<br />
k→∞<br />
∞<br />
0<br />
∞<br />
0<br />
sin x<br />
x<br />
sin kx<br />
x<br />
dx<br />
π<br />
dx = , (3.270)<br />
2<br />
y(∞) = π<br />
, (3.271)<br />
2<br />
2<br />
k + 1 + 2r<br />
262<br />
(k + 1 + 2r) π<br />
sin , (3.272)<br />
2
cioè:<br />
In altre parole:<br />
y(k) = π<br />
2<br />
y(k) = π<br />
2<br />
− 2<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
1<br />
k + 1<br />
− sin (k + 1) π<br />
2<br />
− 1<br />
k + 3<br />
+ 1<br />
k + 5<br />
∞<br />
Consideriamo la funzione definita per α positivo:<br />
φ(α) = 1 − 1<br />
1 + α +<br />
per α = 0 porremo:<br />
1<br />
1 + 2α −<br />
0<br />
2(−1) r<br />
. (3.273)<br />
(k + 1) + 2r<br />
<br />
− . . . sin<br />
1<br />
1 + 3α<br />
(k + 1)π<br />
. (3.274)<br />
2<br />
+ . . . , (3.275)<br />
φ(0) = lim φ(α) =<br />
α→0 1<br />
.<br />
2<br />
Tale funzione è sempre crescente e compresa fra 1/2 e 1.<br />
Da notare l’identità:<br />
(3.276)<br />
φ(α) + 1<br />
1 + α φ<br />
<br />
α<br />
1 + α<br />
= 1, (3.277)<br />
che permette <strong>di</strong> determinare lo sviluppo in serie <strong>di</strong> φ(α) per α → 0. Si può<br />
anche porre φ(α) sotto forma integrale:<br />
φ(α) =<br />
e si deducono come casi particolari:<br />
1<br />
0<br />
dx<br />
, (3.278)<br />
1 + xα φ(0) = lim φ(α) =<br />
α→0 1<br />
π<br />
, φ(1) = log 2, φ(2) = . (3.279)<br />
2 4<br />
Per α intero si ha:<br />
1<br />
1 + xα =<br />
<br />
1<br />
1 − x δ +<br />
1<br />
1 − x δ3 + . . . +<br />
1<br />
1 − x δ2α−1 <br />
1<br />
,<br />
α<br />
(3.280)<br />
essendo δ = e iπ/α , cioè la prima ra<strong>di</strong>ce α-esima <strong>di</strong> −1. L’equazione (3.280)<br />
si <strong>di</strong>mostra imme<strong>di</strong>atamente sviluppando i due membri in serie <strong>di</strong> potenze<br />
<strong>di</strong> x o <strong>di</strong> 1/α, secondo che α sia minore o maggiore <strong>di</strong> 1.<br />
263
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Sostituendo in (3.278) me<strong>di</strong>ante (3.280), per α intero si ha:<br />
φ(α) = − 1<br />
α<br />
+<br />
1<br />
δ<br />
ovvero, notando che δ 2α = 1,<br />
1<br />
log (1 − δ) +<br />
δ3 log (1 − δ3 ) + . . .<br />
1<br />
δ2α−1 log (1 − δ2α−1 <br />
) ; (3.281)<br />
φ(α) = − 1 2α−1 2α−3 3<br />
δ log (1 − δ) + δ log (1 − δ ) + . . .<br />
α<br />
+ δ log (1 − δ 2α−1 ) . (3.282)<br />
(Con l’avvertenza che la parte immaginaria in ognuno dei logaritmi che<br />
figurano al secondo membro della (3.282) è determinata univocamente dalla<br />
con<strong>di</strong>zione che sia compresa fra (−iπ/2, iπ/2)).<br />
Se si bada che nel secondo membro della (3.282) i termini sono a due<br />
a due complessi coniugati e che<br />
log (1 − δ r ) = log<br />
δ 2α−r = cos<br />
<br />
2 sin<br />
r π<br />
α<br />
la (3.282) <strong>di</strong>venta:<br />
φ(α) = cos π<br />
α log<br />
<br />
2 sin π<br />
<br />
2α<br />
+ cos 3π<br />
α log<br />
<br />
2 sin 3π<br />
2α<br />
+ cos<br />
+ π<br />
2α α<br />
+ (2α − 1)π<br />
α<br />
Si deducono come casi particolari:<br />
(2α − 1)π<br />
log<br />
α<br />
π 3π<br />
sin +<br />
sin<br />
r π<br />
<br />
r π π<br />
+ i − i (3.283)<br />
2 2α 2<br />
r π<br />
− i sin , (3.284)<br />
α<br />
<br />
+ . . .<br />
<br />
<br />
(2α − 1)π<br />
2 sin<br />
2α<br />
3π<br />
sin + . . .<br />
2α α<br />
(2α − 1)π<br />
. (3.285)<br />
α<br />
φ(0) = 1<br />
π<br />
, φ(1) = log 2, φ(2) =<br />
2 4 ,<br />
φ(3) = 1<br />
√<br />
3<br />
log 2 + π, φ(4) = . . . .<br />
3 9<br />
264<br />
(3.286)
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Si può così calcolare φ(α) per α intero; ma l’uso ripetuto della (3.277)<br />
permette <strong>di</strong> calcolare tale funzione per tutti i valori della variabile in<strong>di</strong>pendente<br />
del tipo α/(1 + nα), con α e n interi. Escludendo il caso triviale<br />
α = 0, si ha per ogni valore <strong>di</strong> n e al variare <strong>di</strong> α tra 1 e ∞, un gruppo<br />
<strong>di</strong>screto <strong>di</strong> valori della variabile in<strong>di</strong>pendente per i quali è possibile calcolare<br />
la funzione; il più piccolo <strong>di</strong> tali valori è 1/(n + 1), e il loro limite<br />
superiore è 1/n. L’insieme dei valori per i quali la funzione si può calcolare<br />
ammette quin<strong>di</strong> un insieme <strong>di</strong>screto <strong>di</strong> punti limiti della forma 1/n; non<br />
è quin<strong>di</strong> possibile valutare l’intera funzione in base alle considerazioni che<br />
precedono e alla continuità.<br />
Se si vuol conoscere il valore <strong>di</strong> φ(α) per un valore arbitrario <strong>di</strong> α, applicando<br />
la (3.277) ci si può sempre ridurre al caso α < 1, in quanto sarà<br />
sempre α/(1 + α) < 1. Applicando due volte la (3.277) ci si porta al caso<br />
α < 1/2. Si può allora utilizzare la seguente tavola: 70<br />
α φ(α)<br />
0 0.50000<br />
0.02 0.50500<br />
0.04 0.51000<br />
0.06 0.51498<br />
0.08 0.51994<br />
0.10 0.52488<br />
0.12 0.52979<br />
0.14 0.53467<br />
0.16 0.53951<br />
0.18 0.54431<br />
0.20 0.54907<br />
0.22 0.55378<br />
0.24 0.55843<br />
Per α piccolo, giova lo sviluppo:<br />
φ(α) = 1<br />
2<br />
α φ(α)<br />
0.26 0.56304<br />
0.28 0.56759<br />
0.30 0.57201<br />
0.32 0.57652<br />
0.34 0.58089<br />
0.36 0.58521<br />
0.38 0.58946<br />
0.40 0.59366<br />
0.42 0.59779<br />
0.44 0.60186<br />
0.46 0.60587<br />
0.48 0.60982<br />
0.50 0.61371<br />
1 1<br />
+ α −<br />
4 8 α3 + 1<br />
4 α5 − 17<br />
16 α7 + . . . . (3.287)<br />
Sostituendo la (3.275) nella (3.274), si ricava:<br />
y(k) = π<br />
<br />
2 2<br />
− φ<br />
sin<br />
2 k + 1 k + 1<br />
(k + 1)π<br />
. (3.288)<br />
2<br />
70 Nel manoscritto originale, nella tabella vengono riportati solo i valori corrispondenti<br />
a α = 0, α = 0.40, e α = 0.50.<br />
265
Si deduce:<br />
y(0) = 0<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
y(2)<br />
y(4)<br />
=<br />
=<br />
2<br />
<br />
2 1 − 1<br />
<br />
=<br />
3<br />
4<br />
y(6) =<br />
3<br />
<br />
2 1 − 1<br />
y(8) =<br />
<br />
1<br />
+<br />
3 5<br />
<br />
2 1 − 1<br />
y(10) =<br />
<br />
1 1<br />
+ −<br />
3 5 7<br />
<br />
2 1 − 1<br />
<br />
1 1 1<br />
+ − +<br />
3 5 7 9<br />
y(1) = y(3) = y(5) = . . . = y(2n + 1) = π<br />
2 .<br />
Questa relazione è <strong>di</strong> evidenza imme<strong>di</strong>ata quin<strong>di</strong> k = 1, e segue <strong>di</strong>rettamente<br />
dalla (3.269) quando k è un intero <strong>di</strong>spari qualsiasi. Si deduce:<br />
∞<br />
0<br />
sin x<br />
x<br />
dx = lim<br />
k→∞<br />
π/2<br />
0<br />
3.7 Prodotti infiniti<br />
(1)<br />
(2)<br />
(1 − k)<br />
2 2 4 4 6 6<br />
· · · · ·<br />
1 3 3 5 5 7<br />
sin kx<br />
sin x<br />
π<br />
dx = . (3.289)<br />
2<br />
π<br />
· . . . = . (3.290)<br />
2<br />
<br />
1 − k<br />
<br />
1 −<br />
4<br />
k<br />
<br />
1 −<br />
9<br />
k<br />
<br />
. . . =<br />
16<br />
sin π√k π √ k<br />
266<br />
(3.291)<br />
[0 < k]
(3)<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Se si pone x = π √ k, k = x 2 /π 2 , si può scrivere:<br />
sin x<br />
x<br />
= (1 − k)<br />
<br />
1 − k<br />
4<br />
<br />
1 − k<br />
9<br />
<br />
1 − k<br />
16<br />
<br />
. . . (3.292)<br />
Per x = π/2 e quin<strong>di</strong> (k = 1/4) segue la formola 1) <strong>di</strong> Wallis. (1).<br />
1<br />
2 · 42 ·7<br />
53 · 72 ·10<br />
83 · 102 ·13<br />
113 · 132 ·16<br />
143 · . . . =<br />
(si veda il paragrafo 2.5), essendo<br />
Ed essendo:<br />
segue:<br />
<br />
lim<br />
x→∞<br />
3 P1<br />
P ′′<br />
1 (x) = x P1(x), P1(0) = 1, P ′ 1(0) = 0,<br />
P ′′<br />
2 (x) = x P2(x), P2(0) = 0, P ′ 2(0) = 1.<br />
P2 = P1<br />
1<br />
λ =<br />
∞<br />
0<br />
∞<br />
0<br />
dx<br />
P 2 1<br />
P2<br />
= λ 3<br />
(3.293)<br />
(3.294)<br />
dx<br />
P 2 . (3.295)<br />
1<br />
3.8 Polinomi e numeri <strong>di</strong> Bernoulli<br />
I polinomi <strong>di</strong> Bernoulli si possono far derivare dalla funzione generatrice:<br />
ψ(x, t) =<br />
t ext<br />
et − 1 =<br />
∞ Bn(x)<br />
t<br />
n!<br />
n . (3.296)<br />
I numeri <strong>di</strong> Bernoulli sono i termini costanti dei polinomi <strong>di</strong> Bernoulli<br />
Bn(x):<br />
Bn = Bn(0). (3.297)<br />
Ponendo x = 0 nella (3.296), si ricava la definizione <strong>di</strong>retta dei numeri <strong>di</strong><br />
Bernoulli:<br />
t<br />
et − 1 =<br />
∞ Bn<br />
n! tn . (3.298)<br />
0<br />
267<br />
0
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Diamo l’espressione dei primi numeri e polinomi <strong>di</strong> Bernoulli:<br />
B0 = 1, B1 = − 1<br />
2 , B2 = 1<br />
6 , B3 = 0,<br />
B4 = − 1<br />
30 , B5 = 0, B6 = 1<br />
42 , B7 = 0,<br />
B8 = − 1<br />
30 , B9 = 0, B10 = 5<br />
66 , B11 = 0.<br />
B0(x) = 1,<br />
B1(x) = x − 1<br />
2 ,<br />
B2(x) = x 2 − x + 1<br />
6 ,<br />
B3(x) = x 3 − 3<br />
2 x2 + 1<br />
2 x,<br />
B4(x) = x 4 − 2x 3 + x 2 − 1<br />
30 ,<br />
B5(x) = x 5 − 5<br />
2 x4 + 5<br />
3 x3 − 1<br />
6 x,<br />
B6(x) = x 6 − 3 x 5 + 5<br />
2 x4 − 1<br />
2 x2 + 1<br />
42 ,<br />
B7(x) = x 7 − 7<br />
2 x6 + 7<br />
2 x5 − 7<br />
6 x3 + 1<br />
6 x,<br />
B8(x) = x 8 − 4 x 7 + 14<br />
3 x6 − 7<br />
3 x4 + 2<br />
3 x2 − 1<br />
30 ,<br />
B9(x) = x 9 − 9<br />
2 x8 + 6 x 7 − 21<br />
5 x5 + 2 x 3 − 3<br />
10 x,<br />
B10(x) = x 10 − 5 x 9 + 15<br />
2 x8 − 7 x 6 + 5 x 4 − 3<br />
2 x2 + 5<br />
66 ,<br />
268
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
B11(x) = x 11 − 11<br />
2 x10 + 55<br />
6 x9 − 11 x 7 + 11 x 5 − 11<br />
2 x3 + 5<br />
6 x.<br />
3.9 Parentesi <strong>di</strong> Poisson<br />
Si definisce come parentesi <strong>di</strong> Poisson <strong>di</strong> a e b, nella meccanica quantistica,<br />
l’espressione: 71<br />
[a , b] = i<br />
(a b − b a) = − [b , a] . (3.299)<br />
<br />
Se q e p sono le variabili canoniche, si avrà, notando che p = −(/i)∂/∂q,<br />
[qi , pi] = 1 (3.300)<br />
[a , b] = <br />
<br />
∂a ∂b<br />
−<br />
∂qi ∂pi<br />
i<br />
∂a<br />
<br />
∂b<br />
(3.301)<br />
∂pi ∂qi<br />
[x , H] = <br />
<br />
∂x ∂H<br />
−<br />
∂qi ∂pi<br />
i<br />
∂x<br />
<br />
∂H<br />
∂pi ∂qi<br />
= <br />
<br />
∂x<br />
˙qi +<br />
∂qi<br />
∂x<br />
<br />
˙pi = ˙x. (3.302)<br />
∂pi<br />
i<br />
Diamo l’espressione delle parentesi <strong>di</strong> Poisson per alcune coppie <strong>di</strong> grandezze:<br />
(1) Sia:<br />
ux = qy pz − qz py<br />
uy = qz px − qx pz<br />
(3.303)<br />
(3.304)<br />
uz = qx py − qy px. (3.305)<br />
71 Nel manoscritto originale si usa la vecchia notazione h/2π, mentre qui denotiamo<br />
la stessa quantità con .<br />
269
Segue:<br />
(2) Sia:<br />
Si avrà:<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
[ux , uy] = − [uy , ux] = uz<br />
[uy , uz] = − [uz , uy] = ux<br />
[uz , ux] = − [ux , uz] = uy<br />
(3.306)<br />
(3.307)<br />
(3.308)<br />
2 <br />
ux , uy = ux uz + uz ux<br />
(3.309)<br />
2 <br />
ux , uz = − ux uy − uy ux, etc. (3.310)<br />
<br />
ux , u 2 y = uy uz + uz uy<br />
(3.311)<br />
2 ux , uz = − ux uy − uy ux, etc. (3.312)<br />
2<br />
ux + u 2 y + u 2 <br />
z , ux<br />
= 0 − uyuz − uzuy + uzuy + uyuz = 0 etc. (3.313)<br />
[r , px] = qx<br />
r<br />
[r , py] = qy<br />
r<br />
[r , pz] = qz<br />
r<br />
[cos θ , px] = − qx qz<br />
r 3<br />
[cos θ , py] = − qy qz<br />
r 3<br />
[cos θ , pz] = r2 − q 2 z<br />
r 3<br />
qx = r sin θ cos φ (3.314)<br />
qy = r sin θ sin φ (3.315)<br />
qz = r cos θ. (3.316)<br />
[sin θ , px] = cos2 θ cos φ<br />
r<br />
270<br />
= sin θ cos φ (3.317)<br />
= sin θ sin φ (3.318)<br />
= cos θ (3.319)<br />
sin θ cos θ cos φ<br />
= −<br />
r<br />
sin θ cos θ sin φ<br />
= −<br />
r<br />
= sin2 θ<br />
r<br />
(3.320)<br />
(3.321)<br />
(3.322)<br />
(3.323)
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
[sin θ , py] = cos2 θ sin φ<br />
r<br />
(3.324)<br />
[sin θ , pz] =<br />
sin θ cos θ<br />
−<br />
r<br />
(3.325)<br />
[θ , px] =<br />
cos θ cos φ<br />
r<br />
(3.326)<br />
[θ , py] =<br />
cos θ sin φ<br />
r<br />
(3.327)<br />
[θ , pz] =<br />
sin θ<br />
−<br />
r<br />
(3.328)<br />
[cos φ , px] = sin2 φ<br />
r sin θ<br />
(3.329)<br />
[cos φ , py] =<br />
cos φ sin φ<br />
−<br />
r sin θ<br />
(3.330)<br />
[cos φ , pz] = 0 (3.331)<br />
[sin φ , px] =<br />
cos φ sin φ<br />
−<br />
r sin θ<br />
(3.332)<br />
[sin φ , py] = cos2 φ<br />
r sin θ<br />
(3.333)<br />
[sin φ , pz] = 0 (3.334)<br />
[φ , px] =<br />
sin φ<br />
−<br />
r sin θ<br />
(3.335)<br />
[φ , py] =<br />
cos φ<br />
r sin θ<br />
(3.336)<br />
[φ , pz] = 0. (3.337)<br />
(3) Ponendo per semplicità:<br />
X = ux (3.338)<br />
Y = uy (3.339)<br />
Z = uz. (3.340)<br />
Se k è il quanto azimutale, m (o n) il quanto equatoriale, si hanno<br />
in unità le matrici <strong>di</strong> degenerazione:<br />
Zm,n = δm,n m (3.341)<br />
Xm,n = 1<br />
2 (δm+1,n + δm,n+1) k(k + 1) − mn (3.342)<br />
271
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Ym,n = i<br />
2 (δm+1,n − δm,n+1) k(k + 1) − mn. (3.343)<br />
Ad esempio per k = 2<br />
Z =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2 0 0 0 0<br />
0 1 0 0 0<br />
0 0 0 0 0<br />
0 0 0 −1 0<br />
0 0 0 0 −2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
X =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
<br />
3<br />
2<br />
0<br />
<br />
0<br />
3<br />
2<br />
0<br />
<br />
3<br />
2<br />
0<br />
0<br />
<br />
3<br />
2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 1 0<br />
Y =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
−i<br />
0<br />
0<br />
i<br />
0<br />
<br />
3<br />
−i 2<br />
0<br />
<br />
0<br />
3<br />
i 2<br />
0<br />
<br />
3<br />
−i 2<br />
0<br />
0<br />
<br />
3<br />
i 2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
i<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 −i 0<br />
X 2 =<br />
Z 2 =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
4 0 0 0 0<br />
0 1 0 0 0<br />
0 0 0 0 0<br />
0 0 0 −1 0<br />
0 0 0 0 4<br />
1 0<br />
0<br />
3<br />
5<br />
2<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2 0 0<br />
0 0<br />
3<br />
2<br />
2 0 3 0<br />
0 0<br />
3<br />
2<br />
0 0<br />
272<br />
3<br />
5<br />
2<br />
3<br />
2<br />
0<br />
2 0 1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(3.344)<br />
(3.345)<br />
(3.346)<br />
(3.347)<br />
(3.348)
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Y 2 =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
5<br />
2<br />
<br />
3<br />
− 2<br />
0<br />
0<br />
−<br />
0<br />
3<br />
<br />
3<br />
− 2<br />
0<br />
0<br />
−<br />
3<br />
2<br />
0<br />
<br />
0<br />
3<br />
− 2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
0<br />
<br />
0<br />
3<br />
− 2<br />
5<br />
2<br />
0<br />
0<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
X 2 + Y 2 + Z 2 ⎛<br />
6 0 0 0 0<br />
⎞<br />
=<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
0<br />
6<br />
0<br />
0<br />
0<br />
6<br />
0<br />
0<br />
0<br />
6<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 0 6<br />
X Y =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
−i<br />
0<br />
0<br />
−<br />
<br />
3<br />
i 2 0 0<br />
1<br />
<br />
3<br />
−i 2<br />
0<br />
i 2<br />
0<br />
−<br />
0<br />
0<br />
3<br />
i 2<br />
0<br />
<br />
0<br />
3<br />
i 2<br />
3<br />
0<br />
i 2<br />
0<br />
<br />
0<br />
3<br />
−i 2<br />
1<br />
i 2<br />
0<br />
0<br />
i<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Y X =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
i<br />
<br />
0<br />
3<br />
−i 2<br />
0<br />
0<br />
1<br />
i 2<br />
0<br />
−<br />
<br />
3<br />
i 2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
3<br />
i 2<br />
0<br />
0<br />
<br />
0<br />
3<br />
i 2<br />
3<br />
0<br />
i 2<br />
0<br />
<br />
0<br />
3<br />
−i 2<br />
1<br />
− i 2<br />
0<br />
0<br />
−i<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
0 1 0 0 0<br />
⎞<br />
X Z =<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
0<br />
0<br />
<br />
0<br />
3<br />
2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
<br />
0<br />
3<br />
− 2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−2<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 −1 0<br />
Z X =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
<br />
0<br />
3<br />
2<br />
<br />
0<br />
3<br />
− 2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 −2 0<br />
273<br />
(3.349)<br />
(3.350)<br />
(3.351)<br />
(3.352)<br />
(3.353)<br />
(3.354)
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
⎛<br />
0 i 0 0 0<br />
⎞<br />
Y Z =<br />
⎜<br />
⎝<br />
−2i<br />
0<br />
0<br />
<br />
0<br />
3<br />
−i 2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
<br />
0<br />
3<br />
−i 2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−2i<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 i 0<br />
Z Y =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
−i<br />
0<br />
0<br />
2i<br />
0<br />
0<br />
0<br />
<br />
0<br />
3<br />
i 2<br />
<br />
0<br />
3<br />
i 2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−i<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 2i 0<br />
(3.355)<br />
(3.356)<br />
⎛<br />
2 0 0 0 0<br />
⎞<br />
[X , Y ] = i (X Y − Y X) =<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎟ = Z<br />
⎠<br />
0 0 0 0 −2<br />
(3.357)<br />
[Y , Z] = i (Y Z − Z Y ) =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
<br />
3<br />
2<br />
0<br />
<br />
0<br />
3<br />
2<br />
0<br />
<br />
3<br />
2<br />
0<br />
0<br />
<br />
3<br />
2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
= X<br />
0 0 0 1 0<br />
(3.358)<br />
[Z , X] = i (Z X − X Z) =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
−i<br />
0<br />
0<br />
i<br />
0<br />
<br />
3<br />
−i 2<br />
0<br />
<br />
0<br />
3<br />
i 2<br />
0<br />
<br />
3<br />
−i 2<br />
0<br />
0<br />
<br />
3<br />
i 2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
i<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 −i 0<br />
(3.359)<br />
274
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
3.10 Grandezze fisiche elementari<br />
Le grandezze sono date in unità assolute. Sono segnate con asterisco le<br />
grandezze sperimentali che sono servite <strong>di</strong> base per il calcolo <strong>di</strong> tutte le<br />
altre. 72<br />
Grandezze Valori<br />
e (carica dell’elettrone) 4.774×10 −10<br />
m (massa <strong>di</strong> riposo dell’elettrone) 0.90017×10 −27<br />
h (quanto d’azione) 6.5463×10 −27<br />
h/2π 1.04188×10 −27<br />
k = R/N (costante <strong>di</strong> Boltzmann)<br />
R (costante dei gas perfetti) 8.25×10 7<br />
N (numero <strong>di</strong> Avogadro) 6.0597×10 23<br />
MH = 1/N (massa <strong>di</strong> O/16) 1.65025×10 −24<br />
e/mc 1.769×10 7<br />
c (velocità della luce) 2.998×10 10<br />
F = eN/c (costante <strong>di</strong> Faraday) 9649.4 *<br />
R/c = (2π 2 me 4 )/(h 3 c)<br />
(Rydberg in numero d’onda) 109737.1 *<br />
R = (2π 2 me 4 )/h 3 (frequenza <strong>di</strong> Rydberg) 3.2899×10 15<br />
72 L’Autore misura la lunghezza in m, la massa in g, il tempo in s e la carica<br />
elettrica in esu. Altre unità sono derivate da queste. Si osservi che i valori<br />
sperimentali attualmente accettati <strong>di</strong>fferiscono leggermente da quelli riportati.<br />
275<br />
*<br />
*<br />
*<br />
*
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Grandezze Valori<br />
Rh = (2π 2 me 4 )/h 2 (energia <strong>di</strong> Rydberg)<br />
r = h 2 /(4π 2 me 2 ) (primo raggio <strong>di</strong> Bohr)<br />
µ = (eh)/(4πmc) (magnetone <strong>di</strong> Bohr)<br />
ν = e/(4πmc)<br />
(frequenza <strong>di</strong> Larmor in un campo unitario)<br />
e/(4πmc 2 )<br />
(idem in numero d’onda in un campo unitario)<br />
(hc 2 )/(10 4 e) (volts corrispondenti a 1µ)<br />
(Rhc)/(10 8 e) (volts corrispondenti a 1 Rydberg)<br />
(mc 3 )/(10 8 e) (volts corrispondenti a m)<br />
(10 8 e)/(ck) (temperatura corrispondente a 1V )<br />
(10 4 ch)/k (temperatura corrispondente a 1µ)<br />
3.11 Curva del cane<br />
Un punto Q si muove sull’asse x con velocità costante u in modo che le<br />
sue coor<strong>di</strong>nate rettangolari sono: Q(ut, 0). Un punto P (x, y) si muove con<br />
velocità costante v in <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> Q; si tratta <strong>di</strong> determinare la traiettoria<br />
<strong>di</strong> P . La tangente a detta traiettoria per P in un istante qualunque passa<br />
per Q; l’inviluppo delle rette P Q rappresenta quin<strong>di</strong> la curva percorsa<br />
dall’inseguitore. Introduciamo come parametro l’angolo tra P Q e l’asse x,<br />
276
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
che chiameremo α. Le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> P sod<strong>di</strong>sferanno all’equazione della<br />
retta passante per P e Q:<br />
y = (u t − x) tan α; (3.360)<br />
e poiché P appartiene all’inviluppo <strong>di</strong> tali rette, x e y sod<strong>di</strong>sfanno anche<br />
la densità della (3.360) rispetto al tempo: 73<br />
da cui segue:<br />
e derivando:<br />
D’altra parte dev’essere:<br />
(u t − x) 1 + tan 2 α dα<br />
dt<br />
+ u tan α = 0; (3.361)<br />
x = u t + u dt<br />
sin α cos α<br />
dα<br />
(3.362)<br />
y = − u dt<br />
dα sin2 α (3.363)<br />
˙x = 2 u cos 2 α + u d2t dα2 dα<br />
sin α cos α (3.364)<br />
dt<br />
˙y = − 2 u sin α cos α − u d2 t<br />
dα 2<br />
dα<br />
dt sin2 α. (3.365)<br />
˙x = v cos α, ˙y = − v sin α, (3.366)<br />
da cui confrontando con la (3.364) o con (3.365):<br />
cioè:<br />
d dt<br />
log<br />
dα dα =<br />
log dt<br />
dα<br />
dt<br />
dα<br />
73 Si veda anche la (3.366).<br />
2 cos α + d2t dα2 dα<br />
dt<br />
v<br />
u sin α<br />
v<br />
sin α = , (3.367)<br />
u<br />
− 2 cos α<br />
sin α<br />
=<br />
v α<br />
log tan − 2 log sin α + cost.<br />
u 2<br />
=<br />
(tan α/2)<br />
c1<br />
v/u<br />
sin2 t =<br />
α<br />
v/u<br />
(tan α/2)<br />
c1<br />
sin<br />
(3.368)<br />
2 dα + c2 ,<br />
α<br />
(3.369)<br />
277
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
e confrontando con le equazioni (3.362) e (3.363):<br />
v/u<br />
(tan α/2)<br />
x = u c1<br />
sin2 <br />
cos α<br />
dα + (tan α/2)v/u + u c2 (3.370)<br />
α sin α<br />
y = − u c1 (tan α/2) v/u . (3.371)<br />
La forma delle curve <strong>di</strong>pende, come è naturale, solo dal rapporto v/u.<br />
Supponiamo per esempio u = v; avremo:<br />
e ponendo<br />
si ha:<br />
tan α/2<br />
sin 2 α<br />
1 α<br />
dα + log tan<br />
2 2<br />
1<br />
+<br />
4 tan2 α<br />
2<br />
− 1<br />
4<br />
(3.372)<br />
u = v = 1, c1 = −1, c2 = 0, (3.373)<br />
t = − 1 α<br />
log tan<br />
2 2<br />
x =<br />
tan α/2<br />
t −<br />
tan α<br />
1<br />
−<br />
4 tan2 α<br />
2<br />
+ 1<br />
4<br />
(3.374)<br />
(3.375)<br />
y = tan α<br />
; (3.376)<br />
2<br />
eliminando α me<strong>di</strong>ante quest’ultima:<br />
t = − 1 1<br />
log y −<br />
2 4 y2 + 1<br />
4<br />
(3.377)<br />
x = − 1 1<br />
log y +<br />
2 4 y2 − 1<br />
.<br />
4<br />
(3.378)<br />
Poiché per t = 0, si ha x = 0, y = 1, t misura l’arco <strong>di</strong> curva tra il punto<br />
(0, 1) e il punto generico (x, y). Dalle equazioni (3.377) e (3.378), segue:<br />
t = x + 1<br />
2<br />
− 1<br />
2 y2 . (3.379)<br />
Segue dalla (3.378) che il valore minimo <strong>di</strong> x è 0 (per y = 1); il punto<br />
(0, 1), preso come origine <strong>degli</strong> archi, è dunque il punto in cui la tangente<br />
alla curva è verticale.<br />
278
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
3.12 Potenziale statistico nelle molecole<br />
Il potenziale entro un gas <strong>di</strong> elettroni sod<strong>di</strong>sfa staticamente all’equazione<br />
<strong>di</strong>fferenziale:<br />
∆ V = − kV 3/2 . (3.380)<br />
La determinazione approssimata <strong>di</strong> V , quando si conoscano approssimativamente<br />
le superfici equipotenziali, può farsi nel modo seguente. Sia<br />
f(x, y, z) = p (3.381)<br />
l’espressione approssimata della superficie equipotenziale in funzione <strong>di</strong> un<br />
parametro p. Poniamo:<br />
V = V (p), (3.382)<br />
avremo:<br />
grad V = dV<br />
grad p<br />
dp<br />
(3.383)<br />
e in<strong>di</strong>cando con n la normale esterna alla superficie<br />
<br />
σ<br />
∂V dV<br />
dσ =<br />
∂n dp<br />
<br />
σ<br />
∂p<br />
dV<br />
dσ = y1(p) , (3.384)<br />
∂n dp<br />
in cui y1(p) è una funzione nota. Integrando poi la (3.380) nello spazio fra<br />
due superfici equipotenziali corrispondenti a p e p + dp, V 3/2 viene fuori<br />
dall’integrale:<br />
<br />
∆ V dS = − k V<br />
∆S<br />
3/2<br />
−1 ∂p<br />
dp dσ = − k V<br />
σ ∂n<br />
3/2 y2(p) dp,<br />
(3.385)<br />
in cui<br />
y2(p) =<br />
<br />
σ<br />
−1 ∂p<br />
dσ (3.386)<br />
∂n<br />
è ancora una funzione nota <strong>di</strong> p. D’altra parte per la formola della <strong>di</strong>ver-<br />
genza:<br />
<br />
∆S<br />
∆ V dS =<br />
<br />
σ(p+dp)<br />
<br />
∂V<br />
dσ(p + dp) −<br />
∂n σ(p)<br />
= y1(p + dp) V ′ (p + dp) − y1(p) V ′ (p)<br />
= y1 V ′′ + y ′ 1 V ′ dp,<br />
279<br />
∂V<br />
∂n dσ(p)
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
e confrontando con la formola (3.385):<br />
y1 V ′′ + y ′ 1 V ′ = − k V 3/2 y2 (3.387)<br />
che permette la determinazione <strong>di</strong> V (p) quando siano assegnate le con<strong>di</strong>zioni<br />
ai limiti. Consideriamo per esempio la molecola biatomica con<br />
nuclei uguali e assumiamo come approssimate superfici equipotenziali:<br />
avremo:<br />
p = r1 r2<br />
r1 + r2<br />
=<br />
1<br />
r1<br />
grad p = − p 2 grad 1<br />
p = − p2 grad 1<br />
+ 1<br />
−1 ; (3.388)<br />
r2<br />
r1<br />
− p 2 grad 1<br />
r2<br />
(3.389)<br />
e in<strong>di</strong>cando rispettivamente con u e v due vettori unitari <strong>di</strong>retti secondo<br />
r1 e r2:<br />
grad p = p2<br />
∂p<br />
∂n<br />
r 2 1<br />
u + p2<br />
r2 v (3.390)<br />
2<br />
= |grad p| , (3.391)<br />
da cui si può calcolare y1 e y2. Ma conviene eseguire il calcolo in coor<strong>di</strong>nate<br />
ellittiche, badando anche che<br />
y2 = ∂S<br />
, (3.392)<br />
∂p<br />
essendo S il volume racchiuso dalla superficie equipotenziale p. Inoltre y1<br />
è il flusso uscente <strong>di</strong> grad p = −p 2 grad (1/p); e poiché 1/p è armonica con<br />
le singolarità del tipo 1/r1 e 1/r2 nei nuclei il flusso uscente <strong>di</strong> grad (1/p)<br />
vale −8π; segue:<br />
y1(p) = 8π p 2 . (3.393)<br />
Consideriamo una sezione meri<strong>di</strong>ana del volume racchiuso dalla superficie<br />
p; in coor<strong>di</strong>nate cartesiane x e z, siano i nuclei sull’asse x nei punti<br />
(a, 0) e (−a, 0). Introducendo le coor<strong>di</strong>nate ellittiche:<br />
u = (r1 + r2) /2, v = (r1 − r2) /2, (3.394)<br />
280
sarà:<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
u v<br />
r1 = u + v, r2 = u − v, x =<br />
a<br />
y 2 = (u2 − a 2 )(a 2 − v 2 )<br />
a2 <br />
, S = π y 2 dx, (3.395)<br />
l’integrale essendo esteso al contorno della semisezione meri<strong>di</strong>ana (y > 0).<br />
L’equazione (3.388) che deve essere sod<strong>di</strong>sfatta al contorno <strong>di</strong>venta:<br />
con<br />
p = u 2 − v 2 2u, (3.396)<br />
v 2 = u 2 − 2 u p, v = ± u 2 − 2 u p, u = p + p 2 + v 2 , u > 0.<br />
(3.397)<br />
Si ha y = 0 nei punti:<br />
u = p + p 2 + a 2 , v = a<br />
u = p + p 2 + a 2 , v = − a<br />
u = a, v = a 2 − 2ap<br />
u = a, v = − a 2 − 2ap.<br />
I primi due sono sempre reali; gli ultimi due sono reali e <strong>di</strong>stinti solo se<br />
p < a/2, coincidono in (u , v) = (a , 0) se p = a/2.<br />
Introduciamo la variabile:<br />
t = v<br />
, (3.398)<br />
u<br />
u e v si esprimono razionalmente in funzione <strong>di</strong> t:<br />
e poiché x = uv/a, segue:<br />
dx = 1<br />
2p<br />
d (uv) =<br />
a a d<br />
u = 2p<br />
2pt<br />
, v = ; (3.399)<br />
1 − t2 1 − t2 t<br />
(1 − t2 2p<br />
=<br />
) 2 a<br />
s<br />
1 + 3t 2<br />
(1 − t2 dt. (3.400)<br />
) 3<br />
Segue, se esten<strong>di</strong>amo l’integrale ai soli valori positivi permessi <strong>di</strong> t:<br />
S = 4πp<br />
a3 2<br />
4p<br />
(1 − t2 ) 2<br />
<br />
− a2 a 2 − 4p2t 2<br />
(1 − t2 ) 2<br />
2<br />
1 + 3t<br />
(1 − t2 dt, (3.401)<br />
) 3<br />
in cui il limite inferiore dell’integrale è zero se p ≥ a/2, mentre vale<br />
a 2 − 2ap/a se p < a/2; il limite superiore è in ogni caso a/(p+ p 2 + a 2 ).<br />
281
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
3.13 Gruppo delle trasformazioni unitarie<br />
in due variabili<br />
Consideriamo il gruppo U(2) delle trasformazioni unitarie in due variabili<br />
ξ e η, con determinante 1. Se<br />
<br />
α β<br />
<br />
γ δ<br />
è la matrice appartenente a una singola trasformazione, se cioè:<br />
dovranno valere le relazioni:<br />
Posto:<br />
ξ ′ = α ξ + β η, η ′ = γ ξ + δ η, (3.402)<br />
α ∗ α + β ∗ β = 1, α ∗ γ + β ∗ δ = 0,<br />
γ ∗ γ + δ ∗ δ = 1, α δ − β γ = 1.<br />
α = α1 + i α2, β = β1 + i β2,<br />
γ = γ1 + i γ2, δ = δ1 + i δ2,<br />
(3.403)<br />
sostituendo nella (3.403) dovranno valere le relazioni, fra grandezze reali:<br />
α 2 1 + α 2 2 + β 2 1 + β 2 2 = 1<br />
γ 2 1 + γ 2 2 + δ 2 1 + δ 2 2 = 1<br />
α1 γ1 + α2 γ2 + β1 δ1 + β2 δ2 = 0<br />
α1 γ2 − α2 γ1 + β1 δ2 − β2 δ1 = 0<br />
α1 δ1 − α2 δ2 − β1 γ1 + β2 γ2 = 1<br />
α1 δ2 + α2 δ1 − β1 γ2 − β2 γ1 = 0.<br />
Moltiplicando la terza equazione per α, la quarta per −α2, la quinta per<br />
−β1, la sesta per −β2, e sommando si ha, tenuto conto della prima:<br />
γ1 = − β1.<br />
282
Analogamente si trova:<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
γ2 = β2, δ1 = α1, δ2 = − α2.<br />
si possono dunque scegliere ad arbitrio α1, α2, β1, β2 in modo che sod<strong>di</strong>sfacciano<br />
alla prima equazione e determinare le altre incognite in base<br />
alle relazioni ora scritte: tutte le altre equazioni, compresa la seconda <strong>di</strong><br />
cui non si è tenuto espressamente conto, saranno allora automaticamente<br />
sod<strong>di</strong>sfatte. Porremo:<br />
α1 = x, α2 = λ, β1 = − µ, β2 = ν,<br />
in cui x, λ, µ, ν sono numeri reali qualunque sod<strong>di</strong>sfacenti all’equazione:<br />
x 2 + λ 2 + µ 2 + ν 2 = 1, (3.404)<br />
e le componenti della più generale matrice unitaria con determinante 1<br />
saranno:<br />
α = x + i λ, β = − µ + i ν,<br />
γ = − β ∗ = µ + i ν, δ = α ∗ = x − i λ.<br />
(3.405)<br />
Ogni trasformazione del gruppo è definita dai quattro numeri reali x, λ, µ,<br />
ν; la in<strong>di</strong>cheremo brevemente con<br />
(x , λ , µ , ν) .<br />
Consideriamo due trasformazioni del gruppo e il loro prodotto:<br />
′ ′ ′ ′<br />
x + i λ − µ + i ν<br />
x + i λ − µ + i ν<br />
A =<br />
, B =<br />
µ + i ν x − i λ<br />
µ ′ + i ν ′<br />
x ′ − i λ ′<br />
<br />
′′ ′′ ′′ ′′<br />
x + i λ − µ + i ν<br />
A B =<br />
,<br />
cioè, posto:<br />
segue:<br />
µ ′′ + i ν ′′<br />
x ′′ − i λ ′′<br />
x ′′ = xx ′ − λλ ′ − µµ ′ − νν ′<br />
λ ′′ = xλ ′ + λx ′ − µν ′ + νµ ′<br />
µ ′′ = xµ ′ + λν ′ + µx ′ − νλ ′<br />
ν ′′ = xν ′ − λµ ′ + µλ ′ + νx ′ ;<br />
<br />
,<br />
(3.406)<br />
(x , λ , µ , ν) x ′ , λ ′ , µ ′ , ν ′ = x ′′ , λ ′′ , µ ′′ , ν ′′ , (3.407)<br />
283
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
che coincide con la regola <strong>di</strong> moltiplicazione dei quaternioni.<br />
Consideriamo nello spazio a v + 1 = 2j + 1 <strong>di</strong>mensioni il vettore <strong>di</strong><br />
componenti<br />
ξ r η v−r<br />
, r = 0, 1, ..., v. (3.408)<br />
f(v, r)<br />
Una trasformazione del nostro gruppo cangi tale vettore nel vettore <strong>di</strong><br />
componenti:<br />
ξ ′ r ′ v−r<br />
η<br />
, r = 0, 1, ..., v. (3.409)<br />
f(v, r)<br />
A causa delle equazioni (3.402), le componenti del vettore trasformate si<br />
ottengono come combinazioni lineari <strong>di</strong> quelle del primo, e in verità in modo<br />
unico perché i v + 1 monomi ξ r η v−r (r = 0, 1, . . . , v) sono linearmente<br />
in<strong>di</strong>pendenti. Si ha così una rappresentazione Dj a (2j + 1) <strong>di</strong>mensioni<br />
del nostro gruppo. La stessa rappresentazione vale naturalmente anche<br />
per il gruppo <strong>di</strong> tutte le trasformazioni del tipo (3.402), cioè per tutte le<br />
trasformazioni lineari affini in due <strong>di</strong>mensioni, o per il sottogruppo O(2) <strong>di</strong><br />
tutte le trasformazioni lineari con determinante 1, <strong>di</strong> cui il nostro gruppo<br />
U(2) è a sua volta sottogruppo. La funzione f(v, r) può determinarsi in<br />
modo che le trasformazioni unitarie del gruppo U(2) siano rappresentate<br />
con trasformazioni unitarie. A tal fine è necessario che:<br />
<br />
r<br />
|ξ r η v−r | 2<br />
f 2 (v, r)<br />
(3.410)<br />
(supponiamo f reale) <strong>di</strong>penda soltanto da |ξ| 2 + |η| 2 ; cioè, posto: |ξ| 2 = a<br />
e |η| 2 = b, che<br />
<br />
(3.411)<br />
r<br />
a r b v−r<br />
f 2 (v, r)<br />
sia una funzione <strong>di</strong> a + b. Basterà per ciò porre la prima quantità uguale<br />
alla potenza v-esima della seconda, con che: 74<br />
f(v, r) =<br />
v<br />
r<br />
−1/2<br />
= r!(v − r)!/v! (3.412)<br />
o più semplicemente, poiché è sempre lecito moltiplicare f(v, r) per una<br />
quantità costante (rispetto a r):<br />
f(v, r) = r!(v − r)!. (3.413)<br />
74 L’Autore vuole ottenere la formula per la potenza <strong>di</strong> un binomio.<br />
284
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
E così ξ e η definiscono un vettore nello spazio a 2j + 1 <strong>di</strong>mensioni <strong>di</strong><br />
componenti:<br />
ξ r η v−r<br />
r!(v − r)! , r = 0, 1, . . . , v. (3.414)<br />
Consideriamo la trasformazione:<br />
(x, ɛa, ɛb, ɛc) . (3.415)<br />
Dati ɛa, ɛb, ɛc resta determinato x a meno del segno che conveniamo <strong>di</strong><br />
scegliere positivo. Supponiamo che ɛ sia infinitesimo; x <strong>di</strong>fferirà dall’unità<br />
per un infinitesimo <strong>di</strong> secondo or<strong>di</strong>ne, onde<br />
(x, ɛa, ɛb, ɛc) − (1, 0, 0, 0)<br />
lim<br />
ɛ→0<br />
ɛ<br />
= (0, a, b, c) . (3.416)<br />
La trasformazione (0, a, b, c), la cui definizione risulta dalle equazioni (3.405),<br />
è una “trasformazione infinitesima”. Essa non fa parte in generale <strong>di</strong> U(2),<br />
ma è sempre multipla reale <strong>di</strong> una trasformazione unitaria con determinante<br />
1. Al contrario apparterrà a U(2) la trasformazione:<br />
(0,a,b,c) t<br />
(x, λ, µ, ν) = e<br />
(3.417)<br />
dove t è un numero reale qualsiasi; si avrà cioè necessariamente: x 2 + λ 2 +<br />
µ 2 + ν 2 = 1. Dati a, b, c, le quantità x, λ, µ, ν sono, a causa della (3.417)),<br />
funzioni <strong>di</strong> t. E si avrà:<br />
dx<br />
cioè:<br />
dx<br />
dt<br />
dλ<br />
dt<br />
dµ<br />
dt<br />
dt<br />
, dλ<br />
dt<br />
dµ dν<br />
, ,<br />
dt dt<br />
<br />
= − a λ − b µ − c ν<br />
= (x, λ, µ, ν) (0, a, b, c)<br />
= (0, a, b, c) (x, λ, µ, ν) , (3.418)<br />
= a x − c µ + b ν = a x + c µ − b ν = a x (3.419)<br />
= b x,<br />
dν<br />
dt<br />
Derivando la prima rispetto a t:<br />
= c x.<br />
d 2 x<br />
dt 2 = − a 2 + b 2 + c 2 x, (3.420)<br />
285
da cui:<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
x = cos t √ a 2 + b 2 + c 2 (3.421)<br />
λ =<br />
µ =<br />
ν =<br />
a<br />
√ a 2 + b 2 + c 2 sin t √ a 2 + b 2 + c 2<br />
b<br />
√ a 2 + b 2 + c 2 sin t √ a 2 + b 2 + c 2 (3.422)<br />
c<br />
√ a 2 + b 2 + c 2 sin t √ a 2 + b 2 + c 2 .<br />
Segue, facendo t = 1, che dalla trasformazione infinitesima (0, a, b, c) si<br />
deduce la trasformazione:<br />
ponendo:<br />
(x, λ, µ, ν) = e (0,a,b,c)<br />
x = cos √ a 2 + b 2 + c 2<br />
λ =<br />
µ =<br />
ν =<br />
a<br />
√ a 2 + b 2 + c 2 sin √ a 2 + b 2 + c 2<br />
b<br />
√ a 2 + b 2 + c 2 sin √ a 2 + b 2 + c 2<br />
c<br />
√ a 2 + b 2 + c 2 sin √ a 2 + b 2 + c 2 .<br />
(3.423)<br />
(3.424)<br />
Segue dalle equazioni (3.424) che qualunque trasformazione <strong>di</strong> U(2) può<br />
porsi sotto la forma della (3.423), e le costanti a, b, c si possono determinare<br />
univocamente con le con<strong>di</strong>zioni:<br />
a , b , c ≥ 0, 0 ≤ √ a 2 + b 2 + c 2 ≤ 2π. (3.425)<br />
Consideriamo una rappresentazione qualunque del gruppo U(2). Poniamo:<br />
U(x, ɛa, ɛb, ɛc) − 1<br />
lim<br />
ɛ→0 ɛ<br />
= a P1 + b P2 + c P3. (3.426)<br />
286
Sarà in conseguenza:<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
e a P1 + b P2 + c P3 = lim<br />
ɛ→0 (1 + ɛ (a P1 + b P2 + c P3)) 1/ɛ<br />
e a causa della (3.423),<br />
U(x, λ, µ, ν) = U<br />
= lim<br />
ɛ→0 (U(x, ɛa, ɛb, ɛc)) 1/ɛ = lim<br />
ɛ→0 U(x, ɛa, ɛb, ɛc) 1/ɛ<br />
= lim<br />
ɛ→0 U ((1, 0, 0, 0) + ɛ(0, a, b, c)) 1/ɛ = U<br />
<br />
e (0,a,b,c)<br />
<br />
e (0,a,b,c)<br />
= e a P1 + b P2 + c P3 , (3.427)<br />
ferme restando le (3.424). Segue che basta conoscere le matrici P1, P2, P3<br />
per avere la rappresentazione <strong>di</strong> tutto il gruppo U(2). Le matrici P1, P2, P3<br />
non possono tuttavia scegliersi ad arbitrio; in primo luogo perché togliendo,<br />
per ragioni <strong>di</strong> continuità, la limitazione (3.425) uno stesso elemento <strong>di</strong><br />
U(2) può essere rappresentato con <strong>di</strong>fferenti terne (a, b, c), (a ′ , b ′ , c ′ ), . . ., e<br />
deve essere identicamente, per l’univocità della rappresentazione:<br />
e a P1 + b P2 + c P3 = e a ′ P1 + b ′ P2 + c ′ P3 = . . . . (3.428)<br />
e in secondo luogo occorre che al prodotto <strong>di</strong> due elementi corrisponda il<br />
prodotto delle trasformazioni corrispondenti. Supponiamo la prima con<strong>di</strong>zione<br />
sod<strong>di</strong>sfatta, sarà allora per t = 0:<br />
U<br />
<br />
e (0,at,bt,ct) e (0,a′ t,b ′ t,c ′ t) <br />
Poniamo:<br />
= e (a P1 + b P2 + c P3)t e (a ′ P1 + b ′ P2 + c ′ P3)t .<br />
(3.429)<br />
e (0,at,bt,ct) e (0,a′ t,b ′ t,c ′ t) = e (0,x,y,z) . (3.430)<br />
Le x, y, z saranno funzioni <strong>di</strong> t che possono determinarsi in infiniti mo<strong>di</strong><br />
me<strong>di</strong>ante (3.423) e (3.424); ma a cui imporremo la con<strong>di</strong>zione della continuità<br />
e x = y = z = 0 per t = 0. La (3.429) <strong>di</strong>venta a causa della<br />
(3.427):<br />
e x P1 + y P2 + z P3 = e (a P1 + b P2 + c P3)t e (a ′ P1 + b ′ P2 + c ′ P3)t . (3.431)<br />
Sviluppando la (3.430) in serie si ricava:<br />
1 + xP1 + yP2 + zP3 + 1 2 2<br />
x P1 + y<br />
2<br />
2 P 2 2 + z 2 P 2 3<br />
287
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
+xy (P1P2 + P2P1) + yz (P2P3 + P3P2) + zx (P1P3 + P3P1)]<br />
+ 1 3 3<br />
x P1 + y<br />
6<br />
3 P 3 2 + z 3 P 3 3 + x 2 y P 2 1 P2 + P1P2P1 + P2P 2 1<br />
+xy 2 P1P 2 2 + P2P1P2 + P 2 2 2<br />
2 P1 + y z P2 P2 + P2P3P2 + P3P 2 2<br />
+yz 2 P2P 2 3 + P3P2P3 + P 2 2 2<br />
3 P2 + z z P3 P1 + P3P1P3 + P1P 2 3<br />
+x 2 z P3P 2 1 + P1P3P1 + P 2 <br />
1 P3 + xyz (P1P2P3 + P2P3P1<br />
+P3P1P2 + P1P3P2 + P2P1P3 + P3P2P1)] + . . .<br />
= 1 + t aP1 + bP2 + cP3 + a ′ P1 + b ′ P2 + c ′ <br />
P3<br />
+ t2 2 2<br />
a P1 + b<br />
2<br />
2 P 2 2 + c 2 P 2 3 + ab (P1P2 + P2P1) + bc (P2P3 + P3P2)<br />
+ca (P1P3 + P3P1) + a ′2 P 2 1 + b ′2 P 2 2 + c ′2 P 2 3 + a ′ b ′ (P1P2 + P2P1)<br />
+b ′ c ′ (P2P3 + P3P2) + c ′ a ′ (P1P3 + P3P1) + 2aa ′ P 2 1 + 2bb ′ P 2 2<br />
+2cc ′ P 2 3 + 2ab ′ P1P2 + 2bc ′ P2P3 + 2ca ′ P3P1<br />
+2ac ′ P1P3 + 2ba ′ P2P1 + 2cb ′ P3P2<br />
+ . . . . (3.432)<br />
Poiché x, y, z sono infinitesimi con t e a, b, c, a ′ , b ′ , c ′ sono costanti arbitrarie,<br />
uguagliando i termini dello stesso grado nei due membri della<br />
(3.432), si trovano successive relazioni a cui devono sod<strong>di</strong>sfare P1, P2, P3.<br />
Vogliamo trovare effettivamente i primi termini dello sviluppo <strong>di</strong> x, y, z<br />
secondo t; per far ciò sviluppiamo (3.430) in serie fino agli infinitesimi <strong>di</strong><br />
secondo or<strong>di</strong>ne. Troviamo:<br />
1 + (0, at, bt, ct) + (0, a ′ t, b ′ t, c ′ t) + 1<br />
(0, at, bt, ct)2<br />
2<br />
+ 1<br />
2 (0, a′ t, b ′ t, c ′ t) 2 + (0, at, bt, ct)(0, a ′ t, b ′ t, c ′ t) + . . .<br />
= (1, 0, 0, 0) + (0, x, y, z) + 1<br />
2 (0, x, y, z)2 + . . .<br />
da cui uguagliando separatamente le quattro componenti dei quaternioni:<br />
1 − 1<br />
2 t2 (a + a ′ ) 2 + (b + b ′ ) 2 + (c + c ′ ) 2 + . . .<br />
= 1 − 1 2 2 2<br />
x + y + z<br />
2<br />
+ . . . (3.433)<br />
(a + a ′ )t + (cb ′ − bc ′ )t 2 + . . . = x + 0t + . . . (3.434)<br />
(b + b ′ )t + (ac ′ − ca ′ )t 2 + . . . = y + 0t + . . . (3.435)<br />
(c + c ′ )t + (ba ′ − ab ′ )t 2 + . . . = z + 0t + . . . (3.436)<br />
288
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Dalle ultime tre (la prima ne è naturalmente conseguenza), si deducono<br />
gli sviluppi fino al secondo or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> x, y, z. Sostituendo nella (3.432), si<br />
trova che fino agli infinitesimi <strong>di</strong> primo or<strong>di</strong>ne è identicamente sod<strong>di</strong>sfatta,<br />
mentre uguagliando gli infinitesimi <strong>di</strong> secondo or<strong>di</strong>ne si ha:<br />
(cb ′ − bc ′ )P1 + (ac ′ − ca ′ )P2 + (ba ′ − ab ′ )P3<br />
+ 1 ′ 2 2<br />
(a + a ) P1 + (b + b<br />
2<br />
′ ) 2 P 2 2 + (c + c ′ ) 2 P 2 3<br />
+(a + a ′ )(b + b ′ )(P1P2 + P2P1) + (b + b ′ )(c + c ′ )(P2P3 + P3P2)<br />
+(c + c ′ )(a + a ′ )(P3P1 + P1P3) <br />
= 1 ′ 2 2<br />
(a + a ) P1 + (b + b<br />
2<br />
′ ) 2 P 2 2 + (c + c ′ ) 2 P 2 3<br />
+(a + a ′ )(b + b ′ )(P1P2 + P2P1) + (b + b ′ )(c + c ′ )(P2P3 + P3P2)<br />
+(c + c ′ )(a + a ′ )(P3P1 + P1P3) + (ab ′ − ba ′ )(P1P2 − P2P1)<br />
+(bc ′ − cb ′ )(P2P3 − P3P2) + (ca ′ − ac ′ )(P3P1 − P1P3) . (3.437)<br />
Poiché queste relazioni devono essere sod<strong>di</strong>sfatte per valori arbitrari delle<br />
costanti, si deducono le relazioni <strong>di</strong> scambio:<br />
P1P2 − P2P1 = −2P3<br />
P2P3 − P3P2 = −2P1 (3.438)<br />
P3P1 − P1P3 = −2P2.<br />
Consideriamo le rappresentazioni Dj del gruppo U(2) le quali consistono<br />
in trasformazioni agenti sul vettore (3.414). Il vettore <strong>di</strong> componenti:<br />
ξ r η v−r<br />
r!(v − r)!<br />
è trasformato da P3 nel vettore <strong>di</strong> componenti<br />
<br />
d (ξ − iɛη)<br />
dɛ<br />
r (η + iɛξ) v−r<br />
<br />
=<br />
r!(v − r)!<br />
r i ξr−1 η v−r+1<br />
<br />
r!(v − r)!<br />
+ (v − r)ξr+1 η v−r−1<br />
r!(v − r)!<br />
+ i (r + 1)(v − r)<br />
ɛ=0<br />
= i r(v − r + 1)<br />
ξ r+1 η v−r−1<br />
(r + 1)!(v − r − 1)! ,<br />
289<br />
ξ r−1 η v−r+1<br />
(r − 1)!(v − r + 1)!
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
così che ponendo m = v/2 − r = j − r, si ha la matrice P3:<br />
(P3) m,m−1 = i (j + m)(j − m + 1) = i j(j + 1) − m(m − 1)<br />
(P3) m,m+1 = i (j + m + 1)(j − m) = i j(j + 1) − m(m + 1)<br />
(3.439)<br />
(con m = −j, −j + 1, . . .), essendo tutte le altre componenti nulle; la matrice<br />
è naturalmente emisimmetrica, cioè moltiplicata per i dà luogo a una<br />
matrice Hermitiana. In altre parole P3 è, come tutte le trasformazioni<br />
unitarie infinitesime, una grandezza immaginaria pura.<br />
Lo stesso vettore (3.414) è trasformato da P2 nel vettore <strong>di</strong> componenti:<br />
<br />
d<br />
dɛ<br />
(ξ − ɛη) r (η + ɛξ) v−r<br />
r!(v − r)!<br />
+ (v − r)ξr+1 η v−r−1<br />
r!(v − r)!<br />
+ (r + 1)(v − r)<br />
<br />
ɛ=0<br />
= − r ξr−1 η v−r+1<br />
r!(v − r)!<br />
= − r(v − r + 1)<br />
ξ r+1 η v−r−1<br />
(r + 1)!(v − r − 1)! .<br />
ξ r−1 η v−r+1<br />
(r − 1)!(v − r + 1)!<br />
Segue che le sole componenti <strong>di</strong>verse da zero nella matrice P2 sono:<br />
(P2) m,m−1 = − (j + m)(j − m + 1) = − (P2) m,m+1 =<br />
j(j + 1) − m(m − 1)<br />
(j + m + 1)(j − m) = j(j + 1) − m(m + 1).<br />
(3.440)<br />
La matrice P1 trasforma il vettore (3.414) nel vettore <strong>di</strong> componenti:<br />
<br />
d<br />
dɛ<br />
(ξ + iɛξ) r (η − iɛη) v−r<br />
r!(v − r)!<br />
<br />
ɛ=0<br />
= r i ξr η v−r<br />
−<br />
r!(v − r)! (v − r) i ξr η v−r<br />
.<br />
r!(v − r)!<br />
Segue che in P1 sono <strong>di</strong>versi da zero i soli elementi <strong>di</strong>agonali, essendo:<br />
Si hanno così le rappresentazioni:<br />
(P1) m,m = 2 m i. (3.441)<br />
290
• j = 0<br />
• j = 1<br />
2<br />
P1 =<br />
• j = 1<br />
P1 =<br />
i 0<br />
0 −i<br />
⎛<br />
⎝<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
P1 = 0, P2 = 0, P3 = 0.<br />
<br />
, P2 =<br />
2i 0 0<br />
0 0 0<br />
0 0 −2i<br />
P3 =<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎞<br />
0 −1<br />
1 0<br />
⎠ , P2 =<br />
0 i √ 2 0<br />
i √ 2 0 i √ 2<br />
0 i √ 2 0<br />
<br />
, P3 =<br />
0 i<br />
i 0<br />
<br />
.<br />
⎛<br />
0 −<br />
⎝<br />
√ ⎞<br />
√<br />
2<br />
√<br />
0<br />
2<br />
√<br />
0 − 2 ⎠ ,<br />
0 2 0<br />
• j = 3<br />
2<br />
P1 =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
3i<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
i<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−i<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−3i<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ , P2 =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 − √ √<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
0<br />
−2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
− √ 0 0<br />
√<br />
3<br />
3<br />
0<br />
P3 =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎠ .<br />
0 i √ 3 0 0<br />
i √ 3 0 2i 0<br />
0 2i 0 i √ 3<br />
0 0 i √ 3 0<br />
291<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ ,
• j = 2<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
P1 =<br />
P2 =<br />
P3 =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
4i 0 0 0 0<br />
0 2i 0 0 0<br />
0 0 0 0 0<br />
0 0 0 −2i 0<br />
0 0 0 0 −4i<br />
⎞<br />
0<br />
2<br />
−2<br />
0<br />
0<br />
−<br />
0 0<br />
√ 0<br />
6 0 0<br />
√ 6 0 − √ 0 0<br />
√<br />
6<br />
6<br />
0<br />
0<br />
−2<br />
0 0 0 2 0<br />
0 2i 0 0 0<br />
2i 0 i √ 6 0 0<br />
0 i √ 6 0 i √ 6 0<br />
0 0 i √ 6 0 2i<br />
0 0 0 2i 0<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Si constata facilmente che sono sod<strong>di</strong>sfatte le relazioni <strong>di</strong> scambio. In<br />
effetti le componenti delle tre matrici si possono scrivere, senza esclusione<br />
<strong>di</strong> quelle nulle:<br />
Segue:<br />
(P1) m,n = 2 m i δm,n<br />
(P2) m,n = j(j + 1) − mn (δm,n−1 − δm,n+1) (3.442)<br />
(P3) m,n = j(j + 1) − mn (iδm,n−1 + iδm,n+1) .<br />
(P1P2) m,n = 2 m i j(j + 1) − mn (δm,n−1 − δm,n+1)<br />
(P2P1) m,n = 2 n i j(j + 1) − mn (δm,n−1 − δm,n+1)<br />
(P1P2 − P2P1) m,n = j(j + 1) − mn (− 2 i δm,n−1 − 2 i δm,n+1)<br />
= − 2 (P3) m,n<br />
(P2P3) m,n = i j(j + 1) − m(m + 1)<br />
292
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
× j(j + 1) − (m + 1)(m + 2) δm+2,n<br />
− 2 m i δm,m − i j(j + 1) − m(m − 1)<br />
× j(j + 1) − (m − 1)(m − 2) δm−2,n,<br />
(P3P2) m,n = i j(j + 1) − m(m + 1)<br />
× j(j + 1) − (m + 1)(m + 2) δm+2,n<br />
+ 2 m i δm,m − i j(j + 1) − m(m − 1)<br />
× j(j + 1) − (m − 1)(m − 2) δm−2,n,<br />
(P2P3 − P3P2) m,n = − 4 m iδm,m = − 2 (P1))m, n<br />
(P3P1) m,n = 2 n i j(j + 1) − mn (i δm,n−1 + i δm,n+1)<br />
(P1P3) m,n = 2 m i j(j + 1) − mn (i δm,n−1 + i δm,n+1)<br />
(P3P1 − P1P3) m,n = j(j + 1) − mn (− 2 δm,n−1 + 2 δm,n+1)<br />
= − 2 (P2) m,n .<br />
3.14 Relazioni <strong>di</strong> scambio fra<br />
trasformazioni infinitesime nelle<br />
rappresentazioni <strong>di</strong> gruppi continui<br />
Sia dato un gruppo continuo a n parametri:<br />
s = (q1, q2, . . . , qn) . (3.443)<br />
Conveniamo <strong>di</strong> scegliere i parametri in modo che le coor<strong>di</strong>nate dell’elemento<br />
unità siano tutte nulle:<br />
Sia assegnata una rappresentazione del gruppo:<br />
1 = (0, 0, . . . , 0) . (3.444)<br />
U(s) = U (q1, q2, . . . , qn) . (3.445)<br />
293
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Una trasformazione infinitesima è definita da<br />
U(ɛa1, ɛa2, . . . , ɛan) − 1<br />
lim<br />
ɛ→0<br />
ɛ<br />
= a1P1 + a2P2 + . . . + anPn, (3.446)<br />
cioè le trasformazioni infinitesime si esprimono come combinazioni lineari<br />
<strong>di</strong> n particolari. Tra le matrici P1, P2, ..., Pn passano certe relazioni<br />
algebriche che sono in<strong>di</strong>pendenti dal numero <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni e dalla natura<br />
della rappresentazione, ma <strong>di</strong>pendono dalla natura del gruppo astratto.<br />
Tra queste sono le relazioni <strong>di</strong> scambio. Consideriamo il “commutatore”:<br />
c = (x1, x2, . . . , xn) = (α, 0, 0, . . . , 0) (0, β, 0, . . . , 0)<br />
cioè posto:<br />
avremo:<br />
Derivando rispetto ad α:<br />
× (α, 0, 0, . . . , 0) −1 (0, β, 0, . . . , 0) −1 , (3.447)<br />
s = (α, 0, 0, . . . , 0) , t = (0, β, 0, . . . , 0) , (3.448)<br />
dU(s)<br />
dα<br />
c = s t s −1 t −1 , (3.449)<br />
s t = c t s (3.450)<br />
U(s) U(t) = U(c) U(t) U(s). (3.451)<br />
U(t) = <br />
Derivando ancora rispetto a β:<br />
dU(s)<br />
dα<br />
+ <br />
i,k<br />
+ <br />
i<br />
dU(t)<br />
dβ<br />
∂xi<br />
∂α<br />
∂xi<br />
∂α<br />
+ U(c) ∂U(t)<br />
∂β<br />
∂xk<br />
∂β<br />
∂U(c)<br />
∂xi<br />
= <br />
i<br />
i<br />
∂xi<br />
∂α<br />
∂U(s)<br />
U(t) U(s)<br />
∂xi<br />
+ U(c) U(t) dU(s)<br />
. (3.452)<br />
dα<br />
∂ 2 xi ∂U(s)<br />
U(t) U(s)<br />
∂α∂β ∂xi<br />
∂ 2 U(c)<br />
U(t) U(s)<br />
∂xi∂xk<br />
∂U(t)<br />
∂β<br />
U(s) + <br />
i<br />
∂xi<br />
∂β<br />
∂U(c)<br />
∂xi<br />
U(t) ∂U(s)<br />
∂α<br />
∂U(s)<br />
. (3.453)<br />
∂α<br />
294
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Annullando separatamente α o β, il commutatore coincide con l’elemento<br />
unità. Per α = β = 0 sarà dunque: i = 1, 2, . . . , n,<br />
U(c) = 1 (3.454)<br />
∂xi<br />
∂α<br />
∂ 2 xi<br />
∂α∂β<br />
= ∂xi<br />
∂β<br />
= a1,2<br />
i<br />
= 0 (3.455)<br />
(3.456)<br />
(gli in<strong>di</strong>ci 1 e 2 nella (3.456) significano che α e β sono rispettivamente la<br />
prima coor<strong>di</strong>nata, tutte le altre essendo nulle, dell’elemento s e la seconda<br />
coor<strong>di</strong>nata, tutte le altre essendo nulle, dell’elemento t; formole analoghe<br />
valgono per una coppia qualunque r, s <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate e le a r,s<br />
i sono manifestamente<br />
antisimmetriche negli in<strong>di</strong>ci superiori)<br />
e la formola precedente (3.453) <strong>di</strong>venta:<br />
cioè:<br />
o più in generale:<br />
∂U(c)<br />
∂xi<br />
= Ri (3.457)<br />
∂U(s)<br />
∂α<br />
= P1 (3.458)<br />
∂U(t)<br />
∂β<br />
= P2 (3.459)<br />
U(s) = U(t) = 1, (3.460)<br />
P1 P2 = <br />
i<br />
P1 P2 − P2 P1 = <br />
Pr Ps − Ps Pr = <br />
che sono le cosiddette relazioni <strong>di</strong> scambio.<br />
a 1,2<br />
i Pi + P2 P1, (3.461)<br />
295<br />
i<br />
i<br />
a 1,2<br />
i Pi (3.462)<br />
a r,s<br />
i Pi, (3.463)
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
3.15 Formole empiriche per l’energia <strong>di</strong><br />
atomi con due elettroni<br />
Sia un atomo <strong>di</strong> carica Z con due elettroni nello stato fondamentale. Poniamo:<br />
a = < 1/r1 > = < 1/r2 > il valore me<strong>di</strong>o dell’inverso della <strong>di</strong>stanza<br />
<strong>di</strong> ciascuno dei due elettroni dal nucleo, b =< 1/r12 > il valore me<strong>di</strong>o<br />
dell’inverso della <strong>di</strong>stanza dei due elettroni fra loro. Se esprimiamo le <strong>di</strong>stanze<br />
nelle unità elettroniche e l’energia in Ry, sarà:<br />
E = −2 a Z + b, (3.464)<br />
poiché l’energia è uguale alla metà del valore me<strong>di</strong>o dell’energia potenziale.<br />
Passiamo dall’atomo <strong>di</strong> numero Z a quello <strong>di</strong> numero Z + dZ; il metodo<br />
delle perturbazioni dà:<br />
dE = − 4 a dZ, (3.465)<br />
e abbiamo così due equazioni fra le tre funzioni incognite <strong>di</strong> Z: E, a, b. Aggiungiamo<br />
un’ulteriore relazione empirica, presumibilmente ben approssimata,<br />
fra a e b:<br />
b = (2Z − 2a) (2a − Z). (3.466)<br />
che si giustifica così: per Z grande il metodo delle perturbazioni dà:<br />
d’altra parte:<br />
da cui per la (3.464):<br />
E = −2 Z 2 + 5<br />
Z + . . . ; (3.467)<br />
4<br />
b = 5<br />
Z + . . . , (3.468)<br />
8<br />
a = Z − 5<br />
+ . . . , (3.469)<br />
16<br />
onde la (3.466) è in prima approssimazione sod<strong>di</strong>sfatta. Per Z molto piccolo<br />
uno <strong>degli</strong> elettroni è in prossimità del nucleo mentre l’altro è praticamente<br />
a <strong>di</strong>stanza infinita, onde si ha: a Z/2, b 0, onde la (3.466) è ancora<br />
sod<strong>di</strong>sfatta. Per valori interme<strong>di</strong> <strong>di</strong> Z la proponiamo come verosimilmente<br />
bene approssimata.<br />
Sostituendo la (3.466) nella (3.464), si ha:<br />
E = −2 a Z + (2Z − 2a) (2a − Z)<br />
= − 2 Z 2 + 4 a Z − 4 a 2 . (3.470)<br />
296
Differenziando si ricava:<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
dE = − 4 Z dZ + 4 a dZ + 4 Z da − 8 a da; (3.471)<br />
e confrontando con la (3.465):<br />
dZ = da, (3.472)<br />
da cui, poiché conosciamo il valore <strong>di</strong> a per Z infinito:<br />
cioè, sostituendo in (3.470):<br />
a = Z − 5<br />
, (3.473)<br />
16<br />
E = −2 Z 2 + 5<br />
4<br />
25<br />
Z − . (3.474)<br />
64<br />
formola utilizzabile per Z ≥ 5/8, poiché per Z = 5/8 risulta b = 0. Per<br />
l’elio (Z = 2), si trova: E = −5.89, <strong>di</strong> fronte al valore sperimentale 5.807,<br />
con un errore per eccesso, nel potenziale <strong>di</strong> ionizzazione, <strong>di</strong> 1.13 V (25.59 V<br />
in luogo <strong>di</strong> 24.46 V). Per l’idrogeno (Z = 1) E = −1.141, onde risul-<br />
terebbe un potenziale <strong>di</strong> ionizzazione <strong>di</strong> 1.91 (affinità elettronica). 75<br />
proce<strong>di</strong>mento in<strong>di</strong>cato è però sod<strong>di</strong>sfacente perché per Z molto piccolo b<br />
deve tendere a zero come infinitesimo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore al primo e non<br />
<strong>di</strong>ventare negativo.<br />
Scegliamo come terza relazione approssimata in luogo della (3.466):<br />
b = 5 √ 5<br />
k2 + Z2 − k, (3.475)<br />
8<br />
8<br />
riservandoci <strong>di</strong> determinare k. Sostituendo in (3.464), si ha:<br />
e <strong>di</strong>fferenziando:<br />
E = −2 a Z + 5 √ 5<br />
k2 + Z2 − k; (3.476)<br />
8<br />
8<br />
dE = −2 a dZ − 2 Z da +<br />
5Z dZ<br />
8 √ k2 , (3.477)<br />
+ Z2 75 Si noti che gli attuali valori sperimentali per il potenziale <strong>di</strong> ionizzazione<br />
dell’idrogeno, dell’atomo <strong>di</strong> elio neutro e ionizzato una volta sono rispettivamente<br />
13.5984 V, 24.5874 V, e 54.4178 V, corrispondenti ad un’energia <strong>di</strong> ionizzazione<br />
<strong>di</strong> 0.9995, 1.8072, e 3.9998 (misurata in Ry, come usato nel testo). L’affinità<br />
elettronica dell’idrogeno (cioè, la <strong>di</strong>fferenza tra le energie dello stato fondamentale<br />
dell’atomo neutro e ionizzato una volta) è 0.7542 eV.<br />
297<br />
Il
da cui, confrontando con (3.465):<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
− 4 a dZ = −2 a dZ − 2 Z da +<br />
2 Z da = 2 a dZ +<br />
da<br />
dZ<br />
= a<br />
Z +<br />
5Z dZ<br />
8 √ k 2 + Z 2<br />
onde, badando che per Z → ∞, a/Z deve tendere a 1:<br />
a = Z<br />
<br />
1 +<br />
5Z dZ<br />
8 √ k 2 + Z 2<br />
5<br />
16 √ k2 , (3.478)<br />
+ Z2 ∞<br />
0<br />
5 dZ<br />
16 Z √ k 2 + Z 2<br />
<br />
, (3.479)<br />
con che si va incontro all’inconveniente che per Z piccolo a <strong>di</strong>venta negativo;<br />
per eliminare siffatto inconveniente è necessario che b tenda a zero, per Z<br />
piccolo, come infinitesimo d’or<strong>di</strong>ne superiore al secondo. Scegliamo per b,<br />
in luogo <strong>di</strong> (3.475), la forma:<br />
con che la (3.464) <strong>di</strong>venta:<br />
e <strong>di</strong>fferenziando:<br />
b = 5<br />
8 Z e−k/Z , (3.480)<br />
E = −2 a Z + 5<br />
Z e−k/Z<br />
8<br />
(3.481)<br />
dE = −2 a dZ − 2 Z da + 5<br />
8 e−k/Z dZ + 5k<br />
8Z e−k/Z dZ; (3.482)<br />
e confrontando con la (3.465):<br />
da cui<br />
da<br />
dZ<br />
= a<br />
Z<br />
∞<br />
a = Z 1 +<br />
0<br />
+ 5<br />
16 Z e−k/Z + 5k<br />
16 Z 2 e−k/Z , (3.483)<br />
5Z + 5k<br />
16 Z3 e −k/Z <br />
dZ . (3.484)<br />
Poiché per Z piccolo deve essere, come si è già notato, a Z/2, si può<br />
determinare k in modo che:<br />
∞<br />
0<br />
5Z + 5k<br />
16 Z3 e −k/Z dZ = 1<br />
2<br />
298<br />
, (3.485)
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
con che si avrebbe k = 5/4, ma si giunge per questa via a un’approssimazione<br />
insufficiente. Si avrebbe:<br />
a = Z<br />
2 +<br />
<br />
Z<br />
2<br />
<br />
5<br />
+ e<br />
16<br />
−1.25/Z<br />
(3.486)<br />
b = 5<br />
Z e−1.25/Z<br />
8<br />
(3.487)<br />
E = − Z 2 − Z 2 e −1.25/Z , (3.488)<br />
che per l’elio (Z = 2) darebbe: E = −6.14, troppo <strong>di</strong>sforme dal valore<br />
sperimentale.<br />
Poniamo:<br />
La (3.464) <strong>di</strong>venta:<br />
e <strong>di</strong>fferenziando:<br />
b = 5<br />
√ <br />
3<br />
k3 + Z3 − k . (3.489)<br />
8<br />
E = − 2 a Z + 5 3√ 5<br />
k3 + Z3 − k, (3.490)<br />
8<br />
8<br />
dE = − 2 a dZ − 2 Z da −<br />
e confrontando con la (3.465):<br />
da cui:<br />
da<br />
dZ<br />
= a<br />
Z +<br />
∞<br />
a = Z 1 +<br />
0<br />
5Z 2 dZ<br />
8 (k 3 + Z 3 ) 2/3<br />
(3.491)<br />
5Z<br />
16 (k3 + Z3 , (3.492)<br />
) 2/3<br />
5 dZ<br />
16 (k3 + Z3 ) 2/3<br />
<br />
, (3.493)<br />
in cui k si potrebbe determinare con con<strong>di</strong>zione analoga alla (3.485). Ma<br />
formole analoghe alla (3.489) se ne possono scrivere infinite senza che vi<br />
sia alcun mezzo per preferire a priori l’una o l’altra.<br />
299
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
3.16 Gruppo delle rotazioni O(3) 13<br />
Proiettando un punto (x, y, z) <strong>di</strong> una sfera unitaria dal polo sud (0, 0, −1)<br />
sul piano equatoriale z = 0, le sue coor<strong>di</strong>nate sono legate a quelle del punto<br />
immagine (x, y, z) dalle relazioni:<br />
x =<br />
Ponendo:<br />
2x ′<br />
1 + x ′2 , y =<br />
+ y ′2<br />
le relazioni (3.494) <strong>di</strong>ventano:<br />
2 ηξ ∗<br />
ξξ∗ , x − i y =<br />
+ ηη∗ 2y ′<br />
1 + x ′2 + y ′2 , z = 1 − x′2 − y ′2<br />
1 + x ′2 . (3.494)<br />
+ y ′2<br />
x ′ + i y ′ = η/ξ, (3.495)<br />
x + i y =<br />
2 η ∗ ξ<br />
ξξ∗ + ηη∗ , z = ξξ∗ − ηη ∗<br />
ξξ∗ .<br />
+ ηη∗ (3.496)<br />
Consideriamo una trasformazione unitaria con determinante 1 del gruppo<br />
SU(2) applicata a ξ e η; essa porta questa variabile in:<br />
ξ1 = x ξ + i λ ξ − µ η + i ν η<br />
η1 = µ ξ + i ν ξ + x η − i λ η<br />
(con x 2 + λ 2 + µ 2 + ν 2 ), e in conseguenza il punto (x, y, z) nel punto<br />
(x1, y1, z1):<br />
x1 + iy1 = 2 (xµ + λν + ixν − iλµ)(ξξ∗ − ηη ∗ )<br />
ξξ ∗ + ηη ∗<br />
+ 2 (x2 − λ 2 − 2ixλ)ηξ ∗ + (−µ 2 + ν 2 − 2iµν)ξη ∗<br />
ξξ ∗ + ηη ∗<br />
x1 − iy1 = 2 (xµ + λν − ixν + iλµ)(ξξ∗ − ηη ∗ )<br />
ξξ ∗ + ηη ∗<br />
+ 2 (x2 − λ 2 + 2ixλ)ηξ ∗ + (−µ 2 + ν 2 + 2iµν)ξη ∗<br />
ξξ ∗ + ηη ∗<br />
13 Nel manoscritto originale, questo gruppo è in<strong>di</strong>cato con δ3; tuttavia qui usiamo<br />
la notazione moderna O(3). Si noti anche che a volte l’Autore usa la stessa<br />
notazione per un gruppo e per la sua restrizione alle trasformazioni con determinante<br />
uguale a 1 (che, nelle moderne notazioni, è in<strong>di</strong>cata con una S che precede<br />
il nome del gruppo; per esempio O(3) e SO(3)).<br />
300
cioè:<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
z1 = (x2 + λ 2 − µ 2 − ν 2 )(ξξ ∗ − ηη ∗ )<br />
ξξ ∗ + ηη ∗<br />
+ 2 (−xµ + λν + ixν + iλµ)ηξ∗ + (−xµ + λν − ixν − iλµ)ξη ∗<br />
ξξ∗ + ηη∗ ,<br />
x1 + iy1 = 2 (xµ + λν + ixν − iλµ) z<br />
+ (x 2 − λ 2 − 2ixλ)(x + iy) + (−µ 2 + ν 2 − 2iµν)(x − iy)<br />
x1 − iy1 = 2 (xµ + λν − ixν + iλµ) z<br />
cioè:<br />
+ (x 2 − λ 2 + 2ixλ)(x − iy) + (−µ 2 + ν 2 + 2iµν)(x + iy)<br />
z1 = (x 2 + λ 2 − µ 2 − ν 2 ) z + 2 (−xµ + λν + ixν + iλµ)(x + iy)<br />
+ (−xµ + λν − ixν − iλµ)(x − iy),<br />
x1 = (x 2 − λ 2 − µ 2 + ν 2 )x + 2(xλ − µν)y + 2(xµ + λν)z<br />
y1 = −2(xλ + µν)x + (x 2 − λ 2 + µ 2 − ν 2 )y + 2(xν − λµ)z<br />
z1 = 2(−xµ + λν)x + 2(−xν − λµ)y + (x 2 + λ 2 − µ 2 − ν 2 )z.<br />
(3.497)<br />
che rappresenta una rotazione nello spazio a tre <strong>di</strong>mensioni e in verità la più<br />
generale rotazione; anzi per ogni rotazione nello spazio si possono scegliere<br />
in due mo<strong>di</strong> le costanti x, λ, µ, ν che si deducono l’uno dall’altro me<strong>di</strong>ante<br />
cambiamenti <strong>di</strong> segni delle componenti del quaternione. Le equazioni<br />
(3.497) non sono altro che la rappresentazione D1 del gruppo SU(2). Invertendola<br />
(con che perde l’univocità) si possono considerare Dj come rappresentazioni<br />
<strong>di</strong> O(3); e saranno univoche quelle con j intero perché in tali<br />
rappresentazioni a due quaternioni uguali e opposti corrisponde la stessa<br />
trasformazione, duplici quelle con j non intero. In queste ultime, tra le<br />
quali Dj, che deriva dall’inversione <strong>di</strong> (3.497), a ogni rotazione nello spazio<br />
tri<strong>di</strong>mensionale corrispondono due matrici uguali e opposte. Una rotazione<br />
<strong>di</strong> un angolo infinitesimo ɛ intorno all’asse z corrisponde (scegliendo dei due<br />
quaternioni possibili, uguali e opposti, quello prossimo all’unità) il quaternione:<br />
<br />
1, − 1<br />
<br />
ɛ, 0, 0 .<br />
2<br />
301
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Analogamente alla rotazione <strong>di</strong> un angolo infinitesimo ɛ intorno all’asse x<br />
corrisponde il quaternione:<br />
<br />
1, 0, 0, − 1<br />
2 ɛ<br />
<br />
,<br />
e alla rotazione dell’angolo ɛ intorno all’asse y, il quaternione:<br />
<br />
1, 0, 1<br />
<br />
ɛ, 0 .<br />
2<br />
Segue che in una rappresentazione qualunque <strong>di</strong> U(2) considerata come rappresentazione<br />
(univoca o duplice) del gruppo O(3), le rotazioni infinitesime<br />
intorno agli assi x, y, e z, si esprimono me<strong>di</strong>ante le trasformazioni infinitesime<br />
fondamentali P1, P2, e P3 in base alle semplici relazioni:<br />
Rz = − 1<br />
1<br />
1<br />
P1, Rx = − P3, Ry = P2. (3.498)<br />
2 2 2<br />
Seguono a causa delle equazioni (3.438), le relazioni <strong>di</strong> scambio:<br />
RxRy − RyRx = Rz<br />
RyRz − RzRy = Rx (3.499)<br />
RzRx − RxRz = Ry.<br />
Seguono dalle equazioni (3.442) le espressioni delle matrici Rx, Ry, Rz nelle<br />
rappresentazioni Dj (cangiando il segno <strong>di</strong> m e n, cioè ponendo m = j −r):<br />
Rz<br />
i<br />
Rx<br />
i<br />
Ry<br />
i<br />
<br />
<br />
<br />
m,n<br />
m,n<br />
m,n<br />
Si hanno così le matrici:<br />
= m δm,n<br />
= − i <br />
j(j + 1) − mn (δm+1,n + δm−1,n) (3.500)<br />
2<br />
= i <br />
j(j + 1) − mn (δm+1,n − iδm−1,n) .<br />
2<br />
302
• j = 0<br />
• j = 1<br />
2<br />
Rz<br />
i =<br />
• j = 1<br />
1<br />
2<br />
Rz<br />
i =<br />
• j = 3<br />
2<br />
Rz<br />
i =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0 − 1<br />
2<br />
⎛<br />
⎝<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Rz<br />
i<br />
= 0, Rx<br />
i<br />
<br />
, Rx<br />
i =<br />
1 0 0<br />
0 0 0<br />
0 0 −1<br />
Ry<br />
i =<br />
⎞<br />
= 0, Ry<br />
i<br />
0 − 1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
⎠ , Rx<br />
i =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 −i √ 2<br />
2<br />
0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
= 0.<br />
<br />
, Ry<br />
i =<br />
0 − √ 2<br />
2<br />
0 − i<br />
2<br />
0<br />
i<br />
2<br />
− √ 2<br />
0 − 2 √ 2<br />
2<br />
0 − √ 2<br />
2<br />
0<br />
i √ 2<br />
0 −i 2 √ 2<br />
2<br />
0 i √ 2<br />
2<br />
3<br />
0 0 0<br />
2<br />
1<br />
0 0 0<br />
2<br />
0 0 − 1<br />
0 2<br />
0 0 0 − 3<br />
⎞<br />
⎟ Rx ⎟<br />
⎠ ,<br />
i<br />
2<br />
=<br />
Ry<br />
i =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 −i √ 3<br />
2 0 0<br />
i √ 3<br />
2 0 −i 0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
0 i 0 −i √ 3<br />
2<br />
0 0 i √ 3<br />
2<br />
303<br />
0<br />
⎞<br />
0<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
<br />
.<br />
0 − √ 3<br />
2 0 0<br />
− √ 3<br />
2 0 −1 0<br />
0 −1 0 − √ 3<br />
2<br />
0 0 − √ 3<br />
2<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ ,
• j = 2<br />
• j = 5<br />
2<br />
Rx<br />
i =<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Rz<br />
i =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2 0 0 0 0<br />
0 1 0 0 0<br />
0 0 0 0 0<br />
0 0 0 −1 0<br />
0 0 0 0 −2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
Rx<br />
i =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
−1<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
−<br />
0 0<br />
√ 0 −<br />
6<br />
2 0 0<br />
√ 6<br />
2 0 − √ 0 0 −<br />
6<br />
2 0<br />
√ 0 0<br />
6<br />
2<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
−1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟ ,<br />
⎟<br />
⎠<br />
Ry<br />
i =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
i<br />
−i<br />
0<br />
0<br />
−i<br />
0 0<br />
√ 0 i<br />
6<br />
2 0 0<br />
√ 6<br />
2 0 −i √ 0 0 i<br />
6<br />
2 0<br />
√ 0 0<br />
6<br />
2<br />
0<br />
0<br />
i<br />
−i<br />
0<br />
⎞<br />
⎟ .<br />
⎟<br />
⎠<br />
Rz<br />
i =<br />
⎛ 5<br />
0 0 0 0 0<br />
2<br />
⎜ 3<br />
⎜ 0 0 0 0 0<br />
2<br />
⎜<br />
1<br />
⎜ 0 0 0 0 0<br />
2<br />
⎜ 0 0 0 −<br />
⎝<br />
1<br />
0 0<br />
2<br />
0 0 0 0 − 3<br />
0 2<br />
0 0 0 0 0 − 5<br />
2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟ ,<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 − √ 5<br />
2 0 0 0 0<br />
− √ 5<br />
2 0 − √ 2 0 0 0<br />
0 − √ 2 0 − 3<br />
2 0 0<br />
0 0 − 3<br />
2 0 − √ 2 0<br />
0 0 0 − √ 2 0 − √ 5<br />
2<br />
0 0 0 0 − √ 5<br />
2<br />
304<br />
0<br />
⎞<br />
⎟ ,<br />
⎟<br />
⎠
Ry<br />
i =<br />
• j = 3<br />
Rx<br />
i =<br />
Ry<br />
i =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
Rz<br />
i =<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
0 −i √ 5<br />
2 0 0 0 0<br />
i √ 5<br />
2 0 −i √ 2 0 0 0<br />
0 i √ 2 0 −i 3<br />
2 0 0<br />
0 0 i 3<br />
2 0 −i √ 2 0<br />
0 0 0 i √ 2 0 −i √ 5<br />
2<br />
0 0 0 0 i √ 5<br />
2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
3 0 0 0 0 0 0<br />
0 2 0 0 0 0 0<br />
0 0 1 0 0 0 0<br />
0 0 0 0 0 0 0<br />
0 0 0 0 −1 0 0<br />
0 0 0 0 0 −2 0<br />
0 0 0 0 0 0 −3<br />
⎞<br />
0<br />
⎟ ,<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟ .<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 − √ 6<br />
2 0 0 0 0 0<br />
− √ 6<br />
2 0 − √ 10<br />
2 0 0 0 0<br />
0 − √ 10<br />
2 0 − √ 3 0 0 0<br />
0 0 − √ 3 0 − √ 3 0 0<br />
0 0 0 − √ 3 0 − √ 10<br />
0<br />
2<br />
0 0 0 0 − √ 10<br />
0 − 2 √ 6<br />
2<br />
0 0 0 0 0 − √ 6<br />
2<br />
0 −i √ 6<br />
2 0 0 0 0 0<br />
i √ 6<br />
2 0 −i √ 10<br />
2 0 0 0 0<br />
0 i √ 10<br />
2 0 −i √ 3 0 0 0<br />
0 0 i √ 3 0 −i √ 3 0 0<br />
0 0 0 i √ 3 0 −i √ 10<br />
0<br />
2<br />
0 0 0 0 i √ 10<br />
0 −i 2 √ 6<br />
2<br />
0 0 0 0 0 i √ 6<br />
0<br />
2<br />
305<br />
0<br />
⎞<br />
⎟ ,<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟ .<br />
⎟<br />
⎠
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
3.17 Gruppo <strong>di</strong> Lorentz<br />
È costituito dalle trasformazioni ortogonali delle variabili<br />
ct, x<br />
i<br />
y z<br />
, ,<br />
i i .<br />
Limitandoci alle trasformazioni ortogonali con determinante 1 (escludendo<br />
quin<strong>di</strong> quelle con determinante −1) si ha il gruppo delle rotazioni proprie<br />
(reali o complesse) SO(4) nello spazio a quattro <strong>di</strong>mensioni.<br />
Consideriamo le variabili x1, x2, x3, x4 nello spazio a quattro <strong>di</strong>mensioni<br />
e siano ξ1, ξ2, ξ3, ξ4 le variabili dello spazio duale da trasformarsi in<br />
modo controgra<strong>di</strong>ente. Siano cioè le x me<strong>di</strong>ante una trasformazione lineare<br />
portate in x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3, x ′ 4; le ξ debbono allora intendersi trasformate in modo<br />
che sia identicamente<br />
x1 ξ1 + x2 ξ2 + x3 ξ3 + x4 ξ4 = x ′ 1 ξ ′ 1 + x ′ 2 ξ ′ 2 + x ′ 3 ξ ′ 3 + x ′ 4 ξ ′ 4. (3.501)<br />
Sia<br />
Sostituendo nella (3.501), si ricava:<br />
x ′ i = <br />
aik xk. (3.502)<br />
<br />
xi ξi = <br />
aik ξ ′ i xk = <br />
i<br />
i,k<br />
k<br />
k<br />
xk<br />
<br />
aik ξ ′ i, (3.503)<br />
la quale dovendo valere per valori arbitrari così delle x come delle ξ si<br />
deduce:<br />
ξk = <br />
(3.504)<br />
i<br />
aik ξ ′ i<br />
che esprime la legge <strong>di</strong> variazione controgra<strong>di</strong>ente delle ξ. Una trasformazione<br />
che trasforma tra loro solo alcune delle x, per esempio su x1 e<br />
x2, agisce del pari nello spazio duale solo sulle ξ corrispondenti, nel nostro<br />
caso ξ1 e ξ2 reciprocamente. Ciò segue dalle equazioni (3.502) e (3.504).<br />
Si sottopongano x1 e x2 tra loro a una trasformazione σ12 del gruppo<br />
SL(2, C) 14 cioè delle trasformazioni lineari omogenee <strong>di</strong> determinante 1 in<br />
14 Nel manoscritto originale questo gruppo è in<strong>di</strong>cato con c2; tuttavia, qui usiamo<br />
la notazione moderna SL(2, C).<br />
306<br />
i
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
due variabili, e x3 e x4 tra loro a un’altra trasformazione dello stesso gruppo<br />
σ34. La trasformazione che subiscono le quattro variabili x1, x2, x3, x4:<br />
σ = (σ12, σ34) , (3.505)<br />
costituisce una rappresentazione del gruppo astratto (SL(2, C)) 2 i cui elementi<br />
sono coppie (σ, τ) <strong>di</strong> elementi <strong>di</strong> SL(2, C) e sod<strong>di</strong>sfano alla regola <strong>di</strong><br />
composizione:<br />
(σ, τ) σ ′ , τ ′ = σ σ ′ , τ τ ′ . (3.506)<br />
Consideriamo le espressioni:<br />
z1 = x1 ξ3, z2 = x2 ξ3, z3 = x1 ξ4, z4 = x2 ξ4, (3.507)<br />
le quali annullano la forma quadratica:<br />
Sotto l’influsso <strong>di</strong> σ si trasformano le x e le ξ in:<br />
z1 z4 − z2 z3. (3.508)<br />
x ′ 1 = αx1 + βx2, x ′ 2 = γx1 + δx2,<br />
x ′ 3 = α1x3 + β1x4, x ′ 4 = γ1x3 + δ1x4,<br />
con αδ − βγ = α1δ1 − β1γ1 = 1, e<br />
ξ ′ 1 = δξ1 − γξ2, ξ ′ 2 = −βξ1 + αξ2,<br />
ξ ′ 3 = δ1ξ3 − γ1ξ4, ξ ′ 4 = −β1ξ3 + α1ξ4.<br />
Sostituendo nelle equazioni (3.507), si ricava:<br />
si deduce:<br />
z ′ 1 = αδ1z1 + βδ1z2 + αγ1z3 − βγ1z4<br />
z ′ 2 = γδ1z1 + δδ1z2 − γγ1z3 − δγ1z4<br />
z ′ 3 = −αβ1z1 − ββ1z2 + αα1z3 + βα1z4<br />
z ′ 4 = −γβ1z1 − δβ1z2 + γα1z3 + δα1z4,<br />
(3.509)<br />
(3.510)<br />
(3.511)<br />
z ′ 1 z ′ 4 − z ′ 2 z ′ 3 = z1 z4 − z2 z3, (3.512)<br />
cioè la forma (3.508) è invariante rispetto a (3.511). La matrice <strong>di</strong> (3.511)<br />
deriva dal prodotto (commutabile) delle matrici:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
α<br />
γ<br />
0<br />
β<br />
δ<br />
0<br />
0<br />
0<br />
α<br />
0<br />
0<br />
β<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 γ δ<br />
·<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
δ1<br />
0<br />
−β1<br />
0<br />
δ1<br />
0<br />
−γ1<br />
0<br />
α1<br />
0<br />
−γ1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ , (3.513)<br />
0 −β1 0 α1<br />
307
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
onde il suo determinante è 1, e le equazioni (3.511) costituiscono una rappresentazione<br />
<strong>di</strong> (SL(2, C)) 2 .<br />
Ogni trasformazione omogenea, con determinante 1, che lasci invariante<br />
la forma (3.508) può porsi nella forma (3.511) esattamente in due mo<strong>di</strong><br />
(potendosi cambiare il segno delle otto costanti α, β, γ, δ, α1, β1, γ1, δ1).<br />
Le quattro grandezze<br />
z ′ 1 = x4 ξ2, z ′ 2 = − x4 ξ1, z ′ 3 = − x3 ξ2, z ′ 4 = x3 ξ1 (3.514)<br />
si trasformano come le zi, perché, data l’unimodularità <strong>di</strong> σ12 e σ34, le<br />
grandezze x1 e x2 si trasformano come ξ2 e −ξ1, e le grandezze ξ3 e ξ4<br />
come x4 e −x3.<br />
Allo stesso modo si trasformerà qualsiasi combinazione lineare, in particolare<br />
la somma, dei vettori z e z ′ che ha per componenti:<br />
z ′′<br />
1 = z1 + z ′ 1, z ′′<br />
2 = z2 + z ′ 2, z ′′<br />
3 = z3 + z ′ 3, z ′′<br />
4 = z4 + z ′ 4. (3.515)<br />
Introduciamo le grandezze ct, x/i, y/i, z/i intendendo che la loro legge <strong>di</strong><br />
trasformazione sia definita da<br />
Segue dalla (3.516):<br />
ct ∼ z1 + z4 ∼ z ′′<br />
1 + z ′′<br />
4<br />
x/i ∼ (z2 + z3)/i ∼ (z ′′<br />
2 + z ′′<br />
3 )/i<br />
y/i ∼ z3 − z2 ∼ z ′′<br />
3 − z ′′<br />
2<br />
z/i ∼ (z1 − z4)/i ∼ (z ′′<br />
1 − z ′′<br />
4 )/i.<br />
c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2 ∼ 4 z ′′<br />
1 z ′′<br />
4 − z ′′<br />
2 z ′′<br />
3<br />
(3.516)<br />
; (3.517)<br />
e poiché il secondo membro è invariante, segue che le variabili spaziotemporali<br />
x, y, z, t subiscono sotto l’influsso <strong>di</strong> σ una trasformazione <strong>di</strong><br />
Lorentz.<br />
In luogo <strong>di</strong> (3.516) si può scrivere:<br />
ct ∼ ξ1x3 + ξ2x4 + ξ3x1 + ξ4x2<br />
x/i ∼ iξ1x4 + iξ2x3 − iξ3x2 − iξ4x1<br />
y/i ∼ ξ1x4 − ξ2x3 − ξ3x2 + ξ4x1<br />
z/i ∼ iξ1x3 − iξ2x4 − iξ3x1 + iξ4x2.<br />
Posti i secon<strong>di</strong> membri della (3.518) sotto la forma<br />
<br />
ik<br />
(3.518)<br />
γ α ik ξi xk, α = 1, 2, 3, 4 (3.519)<br />
308
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
le matrici γ α ik godono delle seguenti proprietà: sono Hermitiane e sod<strong>di</strong>sfano<br />
la relazione<br />
1<br />
2 (γα γβ + γβ γα) = δαβ<br />
(3.520)<br />
e inoltre, se σ è una matrice definita dalle equazioni (3.511), le matrici<br />
trasformate σ −1 γασ corrispondenti a ct ′ , x ′ /i, y ′ /i, z ′ /i sono combinazioni<br />
lineari <strong>di</strong> quelle corrispondenti a ct, x/i, y/i, z/i (si veda la prossima<br />
sezione).<br />
3.18 Matrici <strong>di</strong> Dirac e gruppo <strong>di</strong> Lorentz<br />
Si debbano costruire in uno spazio a n <strong>di</strong>mensioni p operatori Hermitiani<br />
α1, α2, . . . , αp<br />
(3.521)<br />
con le con<strong>di</strong>zioni:<br />
αiαk + αkαi<br />
= δik. (3.522)<br />
2<br />
Dati n e p può darsi che il problema non ammetta soluzioni, o che ne<br />
ammetta una sola fondamentale (che cioè tutte le possibili serie <strong>di</strong> matrici<br />
α1, α2, . . . , αp; α ′ 1, α ′ 2, . . . , α ′ p; . . . si ottengono l’una dall’altra per trasformazione<br />
unitaria) e può darsi che ammetta parecchie soluzioni fondamentali<br />
non riducibili l’una all’altra per trasformazione unitaria.<br />
1) Supponiamo p = 1; una unica con<strong>di</strong>zione da sod<strong>di</strong>sfare è allora<br />
α 2 1 = 1, (3.523)<br />
per il che basta e occorre che gli autovalori <strong>di</strong> α1 siano tutti 1 oppure −1.<br />
Lo spazio Rn si spezza così nella somma R ′ r +R ′′ n−r; il primo a r <strong>di</strong>mensioni<br />
(0 ≤ r ≤ n), corrisponde all’autovalore positivo +1, r − 1 volte degenerato,<br />
il secondo all’autovalore negativo −1, n−r−1 volte degenerato. Assumendo<br />
come primi r vettori fondamentali r vettori unitari e ortogonali qualsiasi<br />
<strong>di</strong> R ′ r e come ultimi n − r vettori fondamentali, n − r vettori unitari e<br />
ortogonali <strong>di</strong> R ′′ n−r, la matrice <strong>di</strong> α1, sarà <strong>di</strong>agonale, con i primi r elementi<br />
<strong>di</strong>agonali uguali a 1, e gli ultimi n − r uguali a −1. Facendo variare r, da n<br />
309
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
a 0, si ottengono le n + 1 soluzioni fondamentali che il problema ammette<br />
in questo caso speciale.<br />
2) Supponiamo p = 2. Le con<strong>di</strong>zioni da sod<strong>di</strong>sfare sono<br />
α 2 1 = 1, α 2 2 = 1, α1α2 + α2α1 = 0. (3.524)<br />
Sia R ′ r lo spazio corrispondente all’autovalore +1 <strong>di</strong> α1, e R ′′ n−r quello<br />
corrispondente all’autovalore −1. Sia a un vettore <strong>di</strong> R ′ r; per l’ultima delle<br />
(3.524) dovrà essere:<br />
cioè:<br />
(α1α2 + α2α1) a = 0, (3.525)<br />
(α1 + 1) α2 a = 0. (3.526)<br />
Segue che α2a appartiene a R ′′ n−r, e perché α2 ha determinante <strong>di</strong>verso da<br />
zero, sarà:<br />
n − r ≥ r. (3.527)<br />
Sia b un vettore <strong>di</strong> R ′′ n−r; dall’ultima equazione del (3.524), sarà:<br />
cioè α2b appartiene a R ′ r; segue:<br />
e combinando con (3.527):<br />
(α1 − 1) α2b = 0, (3.528)<br />
r ≥ n − r. (3.529)<br />
r = n/2. (3.530)<br />
Segue che il caso p = 2 ammette soluzione solo se n è pari. Supposto<br />
n = 2r pari in modo che r risulti intero, scegliamo come primi r vettori<br />
fondamentali r vettori unitari ortogonali qualsiasi <strong>di</strong> R ′ r e come ultimi r<br />
vettori fondamentali i vettori trasformati 15 α2 ≤ 1, α2 ≤ 2, . . ., α2 ≤ r che<br />
saranno naturalmente ortogonali ai primi perché appartengono a R ′′<br />
r che<br />
è ortogonale a R ′ r), ma anche unitari e ortogonali tra loro perché essendo<br />
α2 Hermitiana e uguale alla sua inversa appartiene a un particolare tipo<br />
15 Cioè, i vettori α2a.<br />
310
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
<strong>di</strong> trasformazioni unitarie. Le matrici α1 e α2 assumono allora l’aspetto:<br />
α1 =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
...<br />
0<br />
0<br />
0<br />
...<br />
0<br />
1<br />
...<br />
0<br />
0<br />
0<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
0<br />
0<br />
...<br />
1<br />
0<br />
0<br />
...<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 ... 0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 0 ... 0<br />
0 0 ... 0<br />
... ... ... ...<br />
0 0 ... 0<br />
−1 0 ... 0<br />
0 −1 ... 0<br />
... ... ... ...<br />
0 0 ... −1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟ ,<br />
⎟<br />
⎠<br />
α2 =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
...<br />
0<br />
1<br />
0<br />
...<br />
0<br />
0<br />
...<br />
0<br />
0<br />
1<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
0<br />
0<br />
...<br />
0<br />
0<br />
0<br />
...<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
...<br />
0<br />
0<br />
0<br />
...<br />
0<br />
1<br />
...<br />
0<br />
0<br />
0<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
0<br />
0<br />
...<br />
1<br />
0<br />
0<br />
...<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟ .<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 ... 1 0 0 ... 0<br />
(3.531)<br />
Per p = 2 e n pari il problema ammette così una sola soluzione fondamentale,<br />
mentre per n <strong>di</strong>spari non ne ammette.<br />
3) Si supponga p > 2. Avremo le p matrici<br />
α1, α2, α3, . . . , αp. (3.532)<br />
Scegliamo come prima i primi r = n/2 vettori fondamentali nello spazio<br />
R ′ r corrispondente all’autovalore positivo +1 <strong>di</strong> α1, e gli ultimi n − r nello<br />
spazio R ′′<br />
r li otteniamo trasformando i primi me<strong>di</strong>ante α2. Unica <strong>di</strong>fferenza<br />
rispetto al caso precedente è che invece <strong>di</strong> scegliere ad arbitrio i primi r<br />
vettori fondamentali nello spazio R ′ r, ne adatteremo la scelta alla rappresentazione<br />
<strong>di</strong> α3, α4, . . . , αp. Per far ciò poniamo:<br />
α2α3 = iβ1 α3 = iα2β1<br />
α2α4 = iβ2 α4 = iα2β2<br />
· · ·<br />
α2αp = iβp−2 αp = iα2βp−2.<br />
311<br />
(3.533)
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Gli operatori β1, β2, . . . , βp−2 trasformano vettori <strong>di</strong> R ′ r in vettori <strong>di</strong> R ′ r, e<br />
vettori <strong>di</strong> R ′′<br />
r in vettori <strong>di</strong> R ′′<br />
r . Le loro matrici avranno quin<strong>di</strong> l’aspetto:<br />
βi =<br />
αi+2 =<br />
δi 0<br />
0 γi<br />
0 iγi<br />
iδi 0<br />
essendo γi e δi matrici <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n/2. Inoltre, da<br />
αi+2αk+2 + αk+2αi+2<br />
2<br />
si deduce per le ultime delle equazioni (3.533):<br />
<br />
, (3.534)<br />
<br />
, i = 1, 2, . . . , p − 2, (3.535)<br />
= δik<br />
(3.536)<br />
1<br />
2 (α2βiα2βk + α2βkα2βi) = − δik; (3.537)<br />
e poiché deve essere per le prime delle (3.533)<br />
segue:<br />
e le (3.537) <strong>di</strong>ventano:<br />
iβ1α2 = α2αi+2α2 = α2 (αi+2α2)<br />
= − α2 (α2αi+2) = − αi+2 = −i α2 βi,<br />
βiα2 = − α2βi, βkα2 = − α2βk (3.538)<br />
− α2βiα2βk + α2βkα2βi = − α2 (βiα2) βk + α2 (βkα2) βi<br />
= α2 (α2βi) βk + α2 (α2βk) βi = β1βk + βkβi = 2 δik, (3.539)<br />
cioè le β sod<strong>di</strong>sfanno a con<strong>di</strong>zioni analoghe alle equazioni (3.522). Con<br />
ciò tutte le con<strong>di</strong>zioni non sono ancora riempite. Resta precisamente da<br />
sod<strong>di</strong>sfare quella delle (3.522) in cui una delle α è α2 e l’altra αi+2 (i +<br />
1, 2, . . . , p − 2). Cioè, per le equazioni (3.533), la (3.538), sulla cui vali<strong>di</strong>tà<br />
sono del resto fondate le (3.539). Ora data la forma (3.531) <strong>di</strong> α2, la<br />
(3.538) importa solamente che fra le matrici parziali a n/2 <strong>di</strong>mensioni γi,<br />
δi sussista l’equazione:<br />
γi = − δi, (3.540)<br />
e perché siano sod<strong>di</strong>sfatte le (3.539) basta ancora che sia<br />
γi γk + γk γi = 2 δik, i, k = 1, 2, . . . , p − 2. (3.541)<br />
312
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Perché le αi+2 siano Hermitiane si richiede solo che lo siano le γi, e con ciò<br />
il nostro problema è pienamente ricondotto a quello analogo con n ′ = n/2<br />
e p ′ = p − 2. Se ancora p ′ > 2, si può procedere finché si ricade in uno<br />
dei casi già noti: n <strong>di</strong>spari in cui si hanno n + 1 soluzioni fondamentali se<br />
contemporaneamente è p = 1, mentre altrimenti non se ne hanno, oppure<br />
p ′ ≤ 2 che abbiamo risolto sotto 1) e 2).<br />
Abbiamo così risolto il problema ottenendo un proce<strong>di</strong>mento che permette<br />
<strong>di</strong> costruire tutte le possibili soluzioni fondamentali. La risposta<br />
generale sulla possibilità e numero delle soluzioni suona ovviamente:<br />
Posto p sotto la forma p = 2k oppure p = 2k + 1, il problema ammette<br />
soluzioni solo se n è <strong>di</strong>visibile per 2 k e precisamente ne ammette una sola se<br />
p è pari mentre se p è <strong>di</strong>spari ne ammette (n/2 k )+1. Come casi particolari<br />
si hanno le conclusioni già segnalate per p = 1 e p = 2.<br />
Come caso particolare possiamo considerare quello in cui p ha il valore<br />
massimo possibile, essendo dato n. La risposta suona: sia t l’esponente<br />
<strong>di</strong> 2 nella scomposizione in fattori primi <strong>di</strong> n; si avrà: pmax = 2t + 1 e il<br />
numero delle soluzioni fondamentali è (n/2 t ) + 1 ≥ 2, (valendo il segno <strong>di</strong><br />
uguaglianza solo se n è potenza intera <strong>di</strong> 2).<br />
Operatori non Hermitiani. Togliamo la restrizione che α1, α2, . . . , αp<br />
siano operatori Hermitiani. Ascriveremo allora a un’unica soluzione fondamentale<br />
tutte le soluzioni che si ottengono l’una dall’altra, per trasformazione<br />
qualunque <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate. Cioè data una soluzione αi riguarderemo<br />
come equivalente la soluzione α ′ i = SαiS −1 , in cui S è un operatore<br />
qualunque con determinante <strong>di</strong>verso da zero. Per la rappresentazione delle<br />
αi scegliamo un sistema non normale <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate procedendo esattamente<br />
come nel caso precedente, tolta dove occorre la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> ortonormalità<br />
dei vettori fondamentali e sostituita con quella <strong>di</strong> “in<strong>di</strong>pendenza”. Giungiamo<br />
allora alle stesse matrici Hermitiane che abbiamo ottenuto prima:<br />
soltanto non essendo normale il sistema <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate, esse non rappresentano<br />
in generale operatori Hermitiani. Tornando alle coor<strong>di</strong>nate normali, le<br />
matrici <strong>degli</strong> operatori Hermitiani si ottengono per trasformazione unitaria<br />
da certe fondamentali, mentre le matrici <strong>degli</strong> operatori non Hermitiani si<br />
ottengono per trasformazione non unitaria delle stesse fondamentali; tali<br />
matrici non saranno in generale Hermitiane.<br />
Esempi. Diamo alcuni esempi <strong>di</strong> matrici fondamentali limitatamente al<br />
caso: n = 2 t , p = 2t + 1 in cui p ha dunque il valore massimo possi-<br />
313
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
bile. Avremo sempre due soluzioni fondamentali che <strong>di</strong>fferiscono tra loro<br />
unicamente per il segno dell’ultima matrice.<br />
• n = 1, p = 1<br />
• n = 2, p = 3<br />
α1 =<br />
1 0<br />
0 −1<br />
• n = 4, p = 5<br />
<br />
, α2 =<br />
αi = ± 1<br />
0 1<br />
1 0<br />
<br />
<br />
0 i<br />
, α3 = ±<br />
−i 0<br />
α1 =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 −1<br />
, α2 =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 1 0 0<br />
,<br />
α3 =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
−i<br />
0<br />
0<br />
0<br />
i<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 i 0 0<br />
, α4 =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−i<br />
0<br />
i<br />
0<br />
i<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
−i 0 0 0<br />
,<br />
α5<br />
⎛<br />
⎜<br />
= ± ⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
−1<br />
0 ⎟<br />
0 ⎠<br />
−1 0 0 0<br />
.<br />
• n = 8, p = 7<br />
α1 =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0 0 0 0 0 0 0<br />
0 1 0 0 0 0 0 0<br />
0 0 1 0 0 0 0 0<br />
0 0 0 1 0 0 0 0<br />
0 0 0 0 −1 0 0 0<br />
0 0 0 0 0 −1 0 0<br />
0 0 0 0 0 0 −1 0<br />
0 0 0 0 0 0 0 −1<br />
314<br />
⎞<br />
⎟ ,<br />
⎟<br />
⎠<br />
<br />
.
α3 =<br />
α4 =<br />
α5 =<br />
α2 =<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 0 0 0 1 0 0 0<br />
0 0 0 0 0 1 0 0<br />
0 0 0 0 0 0 1 0<br />
0 0 0 0 0 0 0 1<br />
1 0 0 0 0 0 0 0<br />
0 1 0 0 0 0 0 0<br />
0 0 1 0 0 0 0 0<br />
0 0 0 1 0 0 0 0<br />
⎞<br />
⎟ ,<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 0 i 0 0 0<br />
0 0 0 0 0 i 0 0<br />
0 0 0 0 0 0 −i 0<br />
0 0 0 0 0 0 0 −i<br />
−i 0 0 0 0 0 0 0<br />
0 −i 0 0 0 0 0 0<br />
0 0 i 0 0 0 0 0<br />
0 0 0 i 0 0 0 0<br />
0 0 0 0 0 0 i 0<br />
0 0 0 0 0 0 0 i<br />
0 0 0 0 i 0 0 0<br />
0 0 0 0 0 i 0 0<br />
0 0 −i 0 0 0 0 0<br />
0 0 0 −i 0 0 0 0<br />
−i 0 0 0 0 0 0 0<br />
0 −i 0 0 0 0 0 0<br />
0 0 0 0 0 0 −1 0<br />
0 0 0 0 0 0 0 1<br />
0 0 0 0 1 0 0 0<br />
0 0 0 0 0 −1 0 0<br />
0 0 1 0 0 0 0 0<br />
0 0 0 −1 0 0 0 0<br />
−1 0 0 0 0 0 0 0<br />
0 1 0 0 0 0 0 0<br />
315<br />
⎞<br />
⎟ ,<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟ ,<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟ ,<br />
⎟<br />
⎠
α6 =<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎜<br />
α7 = ± ⎜<br />
⎝<br />
0 0 0 0 0 0 0 −1<br />
0 0 0 0 0 0 −1 0<br />
0 0 0 0 0 1 0 0<br />
0 0 0 0 1 0 0 0<br />
0 0 0 1 0 0 0 0<br />
0 0 1 0 0 0 0 0<br />
0 −1 0 0 0 0 0 0<br />
−1 0 0 0 0 0 0 0<br />
⎛<br />
0 0 0 0 0 0 0 −i<br />
0 0 0 0 0 0 i 0<br />
0 0 0 0 0 i 0 0<br />
0 0 0 0 −i 0 0 0<br />
0 0 0 i 0 0 0 0<br />
0 0 −i 0 0 0 0 0<br />
0 −i 0 0 0 0 0 0<br />
i 0 0 0 0 0 0 0<br />
⎞<br />
⎟ ,<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟ .<br />
⎟<br />
⎠<br />
Interpretazione secondo la teoria dei gruppi. Consideriamo più operatori<br />
α1, α2, . . . , αp, (3.542)<br />
sod<strong>di</strong>sfacenti alle solite con<strong>di</strong>zioni<br />
αiαk + αkαi = 2 δik, (3.543)<br />
e gli operatori composti che si ottengono moltiplicando quante si vogliano<br />
delle α in un or<strong>di</strong>ne qualsiasi. Essi formano gruppo e in realtà un gruppo<br />
finito g perché a causa delle (3.543) possono sempre ricondursi al tipo:<br />
g : ± α ɛ1<br />
1 α ɛ2<br />
2 . . . α ɛp<br />
p , (3.544)<br />
in cui le ɛi sono capaci dei valori 0 e 1. Gli operatori (3.544) possono<br />
riguardarsi in astratto come elementi <strong>di</strong> un gruppo contenente 2 p+1 elementi.<br />
Per avere una rappresentazione del gruppo basta trovare p matrici<br />
sod<strong>di</strong>sfacenti alla (3.543); esse corrispondono a p elementi fondamentali del<br />
gruppo (3.544), cioè alle α stesse che si ottengono da (3.544) scegliendo il<br />
segno + e ponendo tutte le ɛ tranne una uguali a zero. Da queste matrici<br />
fondamentali per prodotto si ottengono quelle che corrispondono a tutti<br />
gli altri elementi del gruppo. Il problema <strong>di</strong> determinare p matrici sod<strong>di</strong>sfacenti<br />
alle (3.543) lo abbiamo già risolto per tutti i valori <strong>di</strong> n per cui è<br />
316
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
possibile risolverlo e in tutti i mo<strong>di</strong> possibili per un dato n. Abbiamo così<br />
altrettante rappresentazioni del gruppo g. Esse non sono tuttavia tutte<br />
le rappresentazioni possibili. In realtà la regola <strong>di</strong> composizione per gli<br />
elementi del gruppo è stata dedotta dalle (3.543), ma queste a loro volta<br />
non si deducono dalla regola <strong>di</strong> composizione se non nel caso speciale che a<br />
elementi del gruppo contrassegnati dalle stesse ɛ ma da segno opposto, corrispandono<br />
matrici opposte. Ba<strong>di</strong>amo in particolare alle rappresentazioni<br />
irriducibili. L’elemento<br />
− α 0 1 α 0 2 . . . α 0 p<br />
(3.545)<br />
è commutabile con tutti gli elementi del gruppo e poiché il suo quadrato<br />
è l’elemento unità, nelle rappresentazioni irriducibili corrisponderà ad esso<br />
o la matrice unità, o la matrice unità cambiata <strong>di</strong> segno. Solo nel secondo<br />
caso le (3.543) saranno sod<strong>di</strong>sfatte dalle matrici fondamentali e perché<br />
siano sod<strong>di</strong>sfatte in una rappresentazione qualunque occorre e basta che<br />
questa si scomponga in rappresentazioni irriducibili del secondo tipo. Le<br />
rappresentazioni irriducibili del primo tipo sono necessariamente uni<strong>di</strong>mensionali<br />
perché sono rappresentazioni abbreviate <strong>di</strong> g, o rappresentazioni del<br />
gruppo Abeliano g ′ che si ottiene identificando in (3.544) gli elementi che<br />
<strong>di</strong>fferiscono solo per il segno, cioè elementi equivalenti rispetto al sotto<br />
gruppo invariante formato dall’elemento unità e dall’elemento in (3.545).<br />
Poiché il gruppo g ′ contiene 2 p elementi, le rappresentazioni irriducibili uni<strong>di</strong>mensionali<br />
del primo tipo sono in numero <strong>di</strong> 2 p . I caratteri irriducibili<br />
sono ovviamente:<br />
η ɛ1<br />
1 η ɛ2<br />
2 . . . η ɛp<br />
p . (3.546)<br />
Supponiamo inoltre che esistano s rappresentazioni irriducibili del secondo<br />
tipo. Per il teorema <strong>di</strong> “completezza” dovrà essere:<br />
n 2 1 + n 2 2 + . . . + n 2 s = 2 p+1 − 2 p = 2 p . (3.547)<br />
Si supponga che le ni siano <strong>di</strong>sposte in or<strong>di</strong>ne non decrescente; sarà allora<br />
n1, il più piccolo valore <strong>di</strong> n per cui è possibile trovare p matrici sod<strong>di</strong>sfacenti<br />
alla (3.543). Se p = 2k è pari supponiamo che detto valor minimo<br />
è n = 2 k = 2 p/2 ; onde per la (3.547) esiste una sola rappresentazione<br />
irriducibile del secondo tipo con<br />
n = 2 p/2 = 2 k , p = 2k. (3.548)<br />
Se invece p = 2k + 1 è <strong>di</strong>spari sarà ancora n1 = 2 k , ma dovrà esistere una<br />
seconda rappresentazione irriducibile dello stesso or<strong>di</strong>ne. Si hanno così per<br />
317
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
p <strong>di</strong>spari due rappresentazioni irriducibili del secondo tipo con<br />
n1 = n2 = 2 p−1<br />
2 = 2 k , p = 2k + 1. (3.549)<br />
Poiché una rappresentazione in cui sono sod<strong>di</strong>sfatte le (3.543) si scompone<br />
in rappresentazioni irriducibili del secondo tipo si comprende l’affermazione<br />
del teorema (si veda il paragrafo Operatori non Hermitiani), che cioè<br />
il problema <strong>di</strong> trovare p matrici <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n sod<strong>di</strong>sfacenti alla (3.543) ammette<br />
soluzioni solo se n è <strong>di</strong>visibile per 2 k ; si comprende inoltre come<br />
questa soluzione è unica (a meno <strong>di</strong> trasformazioni) se p è pari, perché<br />
unica è la scomposizione possibile in matrici irriducibili, mentre vi sono<br />
n/2 k + 1 soluzioni fondamentali se p è <strong>di</strong>spari perché nella scomposizione<br />
della rappresentazione <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n in rappresentazioni irriducibili <strong>di</strong> secondo<br />
tipo, essendo queste due dello stesso or<strong>di</strong>ne 2 k , una <strong>di</strong> esse può entrare<br />
un numero intero <strong>di</strong> volte da 0 a n/2 k .<br />
Quando n è multiplo <strong>di</strong> 2 k , si possono adattare le coor<strong>di</strong>nate alla scomposizione<br />
in rappresentazioni irriducibili e si ottengono allora per le α matrici<br />
che sono più semplici <strong>di</strong> quelle considerate nella trattazione <strong>di</strong>retta perché<br />
si spezzano in matrici parziali <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 2 k che con opportuna scelta delle<br />
coor<strong>di</strong>nate si riconducono a quelle già considerate per il caso n = 2 k . (Ve<strong>di</strong><br />
per la connessione delle matrici <strong>di</strong> Dirac con il gruppo <strong>di</strong> Lorentz, al luogo:<br />
Invarianza delle equazioni <strong>di</strong> Dirac.) 16<br />
3.19 Elettrone rotante<br />
Scriviamo le equazioni <strong>di</strong> Dirac sotto la forma:<br />
<br />
α1<br />
H ψ ≡ mc +<br />
i<br />
W e<br />
+<br />
c c φ<br />
<br />
+ α2 px + e<br />
c Ax<br />
<br />
<br />
+ α3 py + e<br />
c Ay<br />
<br />
+ α4 pz + e<br />
c Az<br />
<br />
+ mc<br />
<br />
ψ = 0, (3.550)<br />
i<br />
in cui le α sono le prime quattro delle α considerate nel paragrafo 3.18<br />
sotto n = 4, p = 5. Sia H1 l’operatore che si ottiene da H scambiando<br />
16 Nonostante il riferimento con cui l’Autore chiude questo paragrafo, nei cinque<br />
Volumetti non v’è alcuna sezione che tratti questo argomento.<br />
318
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
l’ultimo termine mc/i in −mc/i, e formiamoci la quantità H1Hψ 17 :<br />
<br />
− mc + W<br />
c<br />
e<br />
+<br />
c φ<br />
2 <br />
+ px + e<br />
c Ax<br />
2 <br />
+ py + e<br />
c Ay<br />
2 <br />
+ pz + e<br />
c Az<br />
2 + m 2 c 2<br />
e<br />
+ α1α2<br />
c Ex<br />
e<br />
+ α1α3<br />
c Ey<br />
e<br />
+ α1α4<br />
c Ez<br />
− e<br />
ci α2α3Hz − e<br />
ci α3α4Hx − e<br />
ci α4α2Hy<br />
<br />
ψ = 0. (3.551)<br />
I primi cinque termini danno l’Hamiltoniana relativistica senza elettrone<br />
rotante, gli altri rappresentano la correzione <strong>di</strong> elettrone rotante. Notando<br />
che le matrici α1α2, α1α3, α1α4, α2α3, α3α4, α4α2 hanno per quadrato −1,<br />
e quin<strong>di</strong> per autovalori ±i, e inoltre che l’Hamiltoniana classica è, in prima<br />
approssimazione, H1H/2m, si deduce che l’elettrone appare provvisto <strong>di</strong><br />
un momento magnetico e/2mc e <strong>di</strong> un momento elettrico immaginario<br />
pari a e/2mci.<br />
Scriviamo in luogo delle (3.550) le equazioni equivalenti ma più comode:<br />
<br />
− mc + W e<br />
+<br />
c c φ<br />
<br />
<br />
+ α1 mc + α2 px + e<br />
c Ax<br />
<br />
<br />
+ α3 py + e<br />
c Ay<br />
<br />
+ + α4 pz + e<br />
c Az<br />
<br />
ψ = 0, (3.552)<br />
che si possono portare nella forma:<br />
H ψ ≡<br />
<br />
(α1 − 1) mc 2 − e<br />
<br />
φ + α2 c px +<br />
c e<br />
c Ax<br />
<br />
<br />
+ α3 c py + e<br />
c Ay<br />
<br />
+ α4 c pz + e<br />
c Az<br />
<br />
ψ = W ψ. (3.553)<br />
Supponiamo che il campo magnetico sia costante <strong>di</strong> intensità H e <strong>di</strong>retto<br />
secondo l’asse z. Potremo porre:<br />
Ax = − 1<br />
1<br />
y H, Ay = x H, Az = 0, (3.554)<br />
2 2<br />
17 Nel manoscritto originale viene usata la vecchia notazione h/2π per la quantità<br />
qui denotata con . Si noti anche che φ e A sono rispettivamente il potenziale<br />
scalare e vettore del campo elettromagnetico, mentre nel seguito con E e H si<br />
in<strong>di</strong>cano rispettivamente il campo elettrico e magnetico.<br />
319
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
e le (3.553) <strong>di</strong>ventano:<br />
H ψ ≡<br />
<br />
(α1 − 1) mc 2 − e<br />
c φ + α2<br />
<br />
c px − e<br />
2c yH<br />
<br />
<br />
+ α3 c py + e<br />
2c xH<br />
<br />
+ α4 c pz ψ = W ψ. (3.555)<br />
In<strong>di</strong>chiamo con ψ n le soluzioni scalari dell’equazione <strong>di</strong> Schrö<strong>di</strong>nger<br />
e con<br />
− 2<br />
2m ∆ ψn − e φ ψ n − Wn ψ n = 0 (3.556)<br />
xnn ′, ynn ′, znn ′ (3.557)<br />
le matrici <strong>di</strong> polarizzazione. Scriviamo per <strong>di</strong>steso le (3.555):<br />
<br />
−e φ ψ1 + c px − e<br />
2c yH<br />
<br />
ψ3 + c i py + e<br />
2c xH<br />
<br />
ψ3<br />
+ c i pz ψ4 = W ψ1 (3.558)<br />
<br />
−e φ ψ2 + c px − e<br />
2c yH<br />
<br />
ψ4 − c i py + e<br />
2c xH<br />
<br />
ψ4<br />
+ c i pz ψ3 = W ψ2 (3.559)<br />
−2mc 2 <br />
ψ3 − e φ ψ3 + c px − e<br />
2c yH<br />
<br />
ψ1<br />
<br />
− c i py + e<br />
2c xH<br />
<br />
ψ1 − c i pz ψ2 = W ψ3 (3.560)<br />
−2mc 2 <br />
ψ4 − e φ ψ4 + c px − e<br />
2c yH<br />
<br />
ψ2<br />
<br />
+ c i py + e<br />
2c xH<br />
<br />
ψ2 − c i pz ψ1 = W ψ4. (3.561)<br />
In prima approssimazione risolve le equazioni <strong>di</strong> Dirac il duplice sistema<br />
<strong>di</strong> funzioni vettoriali ψ n1 e ψ n2 le cui componenti sono:<br />
ψ n1<br />
ψ n2<br />
1 a comp. 2 a comp. 3 a comp. 4 a comp.<br />
ψ n<br />
0 ψ n<br />
0 (2mc) −1 (px − ipy)ψ n<br />
−(2mc) −1 ipzψ n<br />
−(2mc) −1 ipzψ n<br />
(2mc) −1 (px + ipy)ψ n<br />
320<br />
(3.562)
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Tali funzioni sono ortogonali e, in prima approssimazione, normalizzate.<br />
Per la determinazione <strong>degli</strong> controvalori in seconda approssimazione (cioè<br />
tenendo conto in prima approssimazione <strong>degli</strong> effetti <strong>di</strong> relatività, elettrone<br />
rotante e campo magnetico) sostituiamo nelle (3.558)-(3.561) tenuto conto<br />
delle (3.556). Avremo rispettivamente per i singoli tipi ψ n1 e ψ n2 :<br />
(a) Tipo ψ n1 : (3.563)<br />
<br />
−e φ ψ1 + c px − e<br />
2c<br />
+ c i pz ψ4 − Wn ψ1 ≡ (δH ψ) 1<br />
= e H<br />
4mc (x py − y px) ψn +<br />
<br />
y H ψ3 + c i py + e<br />
<br />
x H ψ3<br />
2c<br />
i e H<br />
4mc (x px + y py) ψn ;<br />
<br />
−e φ ψ2 + c px − e<br />
2c yH<br />
<br />
ψ4 − c i py − e<br />
2c xH<br />
<br />
ψ4<br />
+ c i pz ψ3 − Wn ψ2 ≡ (δH ψ) 2<br />
= − eH<br />
4mc (x − i y) pz ψn ;<br />
−2mc 2 <br />
ψ3 − e φ ψ3 + c px − e<br />
2c yH<br />
<br />
ψ1<br />
<br />
− c i py + e<br />
2c xH<br />
<br />
ψ1 − c i pz ψ2 − Wn ψ3 ≡ (δH ψ) 3<br />
= − 1<br />
2mc (Wn + e φ) (px − i py) ψ n − ieH<br />
2<br />
(x − i y) ψ n ;<br />
−2mc 2 <br />
ψ4 − e φ ψ4 + c px − e<br />
2c yH<br />
<br />
ψ2<br />
<br />
+ c i py + e<br />
2c xH<br />
<br />
ψ2 − c i pz ψ1 − Wn ψ4 ≡ (δH ψ) 4<br />
= i<br />
2mc (Wn + e φ) pz ψn .<br />
(b) Tipo ψ n2 : (3.564)<br />
<br />
−e φ ψ1 + c px − e<br />
<br />
y H ψ3 + c i py +<br />
2c e<br />
<br />
x H ψ3<br />
2c<br />
321
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
+ c i pz ψ4 − Wn ψ1 ≡ (δH ψ) 1<br />
= eH<br />
4mc (x + i y) pz ψ n ;<br />
−e φ ψ2 + c<br />
<br />
px − e<br />
2c yH<br />
<br />
ψ4 + c i py + e<br />
2c xH<br />
<br />
ψ4<br />
+ c i pz ψ3 − Wn ψ2 ≡ (δH ψ) 2<br />
= e H<br />
4mc (x py − y px) ψ n −<br />
i e H<br />
4mc (x px + y py) ψ n ;<br />
−2mc 2 <br />
ψ3 − e φ ψ3 + c px − e<br />
2c yH<br />
<br />
ψ1<br />
<br />
− c i py + e<br />
2c xH<br />
<br />
ψ1 − c i pz ψ2 − Wn ψ3 ≡ (δH ψ) 3<br />
i<br />
= (Wn + e φ) pz ψn<br />
2mc<br />
= −2mc 2 <br />
ψ4 − e φ ψ4 + c px − e<br />
2c yH<br />
<br />
ψ2<br />
<br />
+ c i py + e<br />
2c xH<br />
<br />
ψ2 − c i pz ψ1 − Wn ψ4 ≡ (δH ψ) 4<br />
= − 1<br />
2mc (Wn + e φ) (px + i py) ψ n + ieH<br />
2<br />
Supponiamo che Wn sia multiplo q volte e siano<br />
y 1 , y 2 , . . . , y q<br />
(x + i y) ψ n .<br />
(3.565)<br />
le autofunzioni ortonormalizzate <strong>di</strong> Schrö<strong>di</strong>nger corrispondenti all’autovalore<br />
Wn. A causa dell’elettrone rotante si avranno invece 2q autofunzioni<br />
vettoriali con autovalore prossimo a Wn. In prima approssimazione esse<br />
si ottengono come combinazioni lineari delle 2q autofunzioni approssimate<br />
y 11 , y 21 , . . . , y q1 , y 12 , y 22 , . . . , y q2 che risultano da (3.562) quando in luogo<br />
<strong>di</strong> ψ n si ponga successivamente y 1 , y 2 , . . . , y q . Abbiamo posto genericamente<br />
y n1 = ψ n1 , y n2 = ψ n2 . Le variazioni dell’autovalore si avranno così,<br />
in prima approssimazione, come autovalori della matrice a 2s <strong>di</strong>mensione<br />
<strong>di</strong> δH. Calcoleremo anche questa in prima approssimazione (maggiore<br />
esattezza essendo illusoria) ponendo:<br />
δHri,sk =<br />
4<br />
<br />
γ=1<br />
y ri∗<br />
γ<br />
322<br />
<br />
δH y sk<br />
γ<br />
dτ (3.566)
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
(i, k = 1, 2 e r, s = 1, 2, . . . , q), l’approssimazione consistendo in ciò che<br />
consideriamo le y r1 (o y sk ) espresse me<strong>di</strong>ante (3.562) come normalizzate,<br />
benché siano tali solo in prima approssimazione. Potremo spezzare la matrice<br />
<strong>di</strong> perturbazione δHri,sk nella somma <strong>di</strong> due <strong>di</strong> cui la prima in<strong>di</strong>pendente<br />
dal campo magnetico e la seconda proporzionale a questa:<br />
δHri,sk = Ari,sk + H Bri,sk. (3.567)<br />
Cominciamo da un caso particolare; supponiamo cioè il campo magnetico<br />
assente e Wn semplice come autovalore dell’equazione <strong>di</strong> Schrö<strong>di</strong>nger.<br />
18 Poiché q = 1, le funzioni base si riducono a 2:y 11 e y 12 , essendo<br />
y 1 l’autofunzione <strong>di</strong> Schrö<strong>di</strong>nger. Trascurando gli in<strong>di</strong>ci r e s, che sono<br />
costantemente uguali a 1, le (3.566) <strong>di</strong>ventano, quando si tenga conto dell’espressione<br />
(δH y 1 )γ e (δH y 2 )γ (γ = 1, 2, 3, 4) nelle (3.563) e (3.564),<br />
dalla (3.566):<br />
δH11 = − 1<br />
4m 2 c 2<br />
+<br />
= − 1<br />
<br />
4m 2 c 2<br />
+<br />
<br />
= − 1<br />
4m 2 c 2<br />
− 1<br />
4m 2 c 2<br />
− 1<br />
4m 2 c 2<br />
− 1<br />
4m 2 c 2<br />
<br />
p∗ x + ip ∗ 1∗ 1<br />
y y · (Wn + eφ) (px − ipy) y dτ<br />
p ∗ z y 1∗ · (Wn + eφ) pz y 1 <br />
dτ<br />
<br />
y 1∗ (px + ipy) (Wn + eφ) (px − ipy) y 1 dτ<br />
y 1∗ pz (Wn + eφ) pz y 1 <br />
dτ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y 1∗ (Wn + eφ) p 2 x + p 2 1<br />
y y dτ<br />
− 4e<br />
2πi y1∗<br />
<br />
∂φ ∂φ<br />
+ i<br />
∂x ∂y<br />
y 1∗ (Wn + eφ) p 2 z y 1 dτ<br />
− 4e<br />
2πi y1∗ ∂φ<br />
∂z pz y 1 dτ,<br />
<br />
(px − ipy) y 1 dτ<br />
ovvero ponendo V = −eφ e notando che per l’equazione <strong>di</strong> Schrö<strong>di</strong>nger<br />
2<br />
px + p 2 y + p 2 1<br />
z y<br />
1<br />
= 2m (Wn − V ) y , (3.568)<br />
18 Si noti che l’Autore considera solo la degenerazione non indotta dallo spin;<br />
come <strong>di</strong>scusso più avanti (si veda la <strong>di</strong>scussione che porta alla (3.575)), lo spin<br />
rende tutti i livelli energetici doppiamente degeneri.<br />
323
si ha:<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
δH11 = − 1<br />
2mc2 <br />
y 1∗ (Wn − V ) 2 y 1 dτ<br />
− 2<br />
4m2c2 <br />
y 1∗ grad V × grad y 1 dτ (3.569)<br />
+ i2<br />
4m2c2 <br />
y 1∗<br />
<br />
∂V ∂y<br />
∂x<br />
1<br />
∂V ∂y<br />
−<br />
∂y ∂y<br />
1 <br />
dτ. (3.570)<br />
∂x<br />
Uscendo dall’ipotesi che non esista degenerazione, y 1 dovrà essere reale<br />
onde si confonde con y 1∗ ; allora in (3.569) il secondo integrale si semplifica<br />
me<strong>di</strong>ante integrazione per parti mentre il terzo va a zero; e si ha semplicemente:<br />
δH11 = − 1<br />
2mc 2<br />
<br />
(Wn − V ) 2 (y 1 ) 2 dτ + 2<br />
8m 2 c 2<br />
<br />
(y 1 ) 2 ∆ V dτ,<br />
(3.571)<br />
intendendo naturalmente che dove V ha una singolarità <strong>di</strong> tipo −k/r,<br />
<br />
(y<br />
∆τ<br />
1 ) 2 ∆ V dτ estesa a uno spazio infinitesimo ∆τ intorno alla singo-<br />
larità sia uguale a 4π k (y 1 ) 2 (P0). L’espressione <strong>di</strong> δH22 si ottiene da<br />
(3.569) cangiando i in −i nel terzo integrale e poiché questo è nullo coincide<br />
con quella (3.571) <strong>di</strong> δH11.<br />
Calcoliamo δH12. Avremo:<br />
δH12 =<br />
=<br />
=<br />
i<br />
4m 2 c 2<br />
−<br />
i<br />
<br />
4m 2 c 2<br />
−<br />
<br />
i 2<br />
4m 2 c 2<br />
<br />
p∗ x + ip ∗ 1∗ 1<br />
y y (Wn − V ) pz y dτ<br />
p ∗ z y 1∗ (Wn − V ) (px + ipy) y 1 <br />
dτ<br />
<br />
y 1∗ (px + ipy) (Wn − V ) pz y 1 dτ<br />
y 1∗ pz (Wn − V ) (px + ipy) y 1 <br />
dτ<br />
<br />
y 1∗<br />
1<br />
∂V ∂V ∂y<br />
+ i<br />
∂x ∂y ∂z<br />
− ∂V<br />
<br />
1<br />
∂y ∂y1<br />
+ i dτ. (3.572)<br />
∂z ∂x ∂y<br />
324
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
(δH21 si ottiene da δH12 cangiando i in −i solo sotto il segno dell’integrale),<br />
mentre naturalmente<br />
δH21 = δH12. (3.573)<br />
Nel nostro caso essendo y 1 reale, si ha δH12 = δH21 = 0. Gli autovalori<br />
della matrice <strong>di</strong> perturbazione coincidono allora e si ha semplicemente<br />
δWn = δH11 = δH22. (3.574)<br />
L’elettrone rotante non spezza il termine originariamente semplice. I due<br />
livelli degenerati sono tuttavia separati dal campo magnetico. Senza campo<br />
magnetico tutti i livelli sono almeno doppi, non solo in prima approssimazione,<br />
ma esattamente perché in tal caso da una soluzione delle (3.558)-<br />
(3.561) se ne ottiene un’altra ponendo<br />
ψ ′ 1 = − ψ ∗ 2, ψ ′ 2 = ψ ∗ 1, ψ ′ 3 = ψ ∗ 4, ψ ′ 4 = − ψ ∗ 3. (3.575)<br />
Poiché δWn senza campo e senza degenerazione è uguale a δH11, la sua<br />
espressione data dalla (3.571) consta <strong>di</strong> due termini <strong>di</strong> cui il primo rappresenta<br />
la correzione relativistica e il secondo rappresenta la correzione per<br />
l’elettrone rotante.<br />
Come esempio calcoliamo la correzione in seconda approssimazione per<br />
l’energia dello stato fondamentale <strong>di</strong> un atomo <strong>di</strong> carica Z con un solo<br />
elettrone; si avrà:<br />
Wn = − Z 2 R h = − me4Z 2<br />
22 y 1 = c e −Zr/a = e 3 mZ/ 3 √ πmZ e −me2Zr/ 2<br />
(3.576)<br />
(3.577)<br />
δWn = − 5 W<br />
2<br />
2 n<br />
mc2 + 2 W 2 n<br />
mc2 1 W<br />
= −<br />
2<br />
2 n<br />
.<br />
mc2 (3.578)<br />
L’effetto <strong>di</strong> relatività è ridotto a un quinto a causa dell’elettrone rotante.<br />
Deduciamo la (3.578) dalla nota formola della struttura fina: struttura fina<br />
W<br />
mc2 =<br />
<br />
1 +<br />
α 2 Z 2<br />
(n − j − 1/2 + (j + 1/2) 2 − α2Z 2 ) 2<br />
−1/2 − 1 (3.579)<br />
essendo n il quanto principale e α = e 2 /c la costante <strong>di</strong> struttura fina.<br />
Sviluppando in serie e fermandosi alla seconda approssimazione e in<strong>di</strong>cando<br />
con Wn = −R hZ 2 /n 2 il termine Balmeriano:<br />
W = Wn −<br />
2n<br />
j + 1/2<br />
325<br />
2<br />
3 Wn − , (3.580)<br />
2 mc2
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
e poiché nel nostro caso n = 1, j = 1/2, segue la (3.578). La correzione<br />
relativistica (falsa) senza elettrone rotante si avrebbe ponendo in (3.579) e<br />
in (3.580) il quanto azimutale k in luogo <strong>di</strong> j. Nel nostro caso k = 0 e si<br />
avrebbe in prima approssimazione δWn = −(5/2)Wn/mc 2 , come si è già<br />
trovato. La (3.580) si può scrivere, poiché<br />
sotto la forma:<br />
W = −<br />
R hZ2<br />
n 2<br />
Wn = RhZ2 1<br />
=<br />
n2 2n2 α2mc 2 Z 2<br />
− Z2 α 2<br />
n 3<br />
<br />
1<br />
j + 1/2<br />
<br />
3<br />
− R h. (3.581)<br />
4n<br />
Passiamo al caso del campo centrale e sia Wn degenerato per rotazione<br />
e precisamente multiplo 2k + 1 volte se k > 0 è il quanto azimutale. Le<br />
autofunzioni degenerate <strong>di</strong> prima approssimazione saranno<br />
y 11 , y 21 , . . . , y (2k+1)1 , y 12 , y 22 , . . . , y (2k+1)2 ,<br />
o più comodamente <strong>di</strong>stinguendo le 2kr ′ autofunzioni <strong>di</strong> Schrö<strong>di</strong>nger me<strong>di</strong>ante<br />
il quanto equatoriale:<br />
y m1 , y m2 , con m = k, k − 1, . . . , −k + 1, −k. (3.582)<br />
La matrice <strong>di</strong> perturbazione si spezza nella somma <strong>di</strong> due, <strong>di</strong> cui la prima<br />
contenente il solo termine <strong>di</strong>agonale<br />
δH ′ m1,m1 = δH ′ m2,m2 = − 1<br />
2mc2 <br />
(Wn − V ) 2 ψ ψ ∗ dτ<br />
+ 2<br />
4m2c2 <br />
1 dV 1 d<br />
+<br />
r dr 2<br />
2 V<br />
dr2 <br />
ψ ψ ∗ dτ, (3.583)<br />
e <strong>di</strong>pendente da m è una costante assoluta da aggiungersi agli autovalori<br />
della seconda matrice δH ′′ . Gli elementi <strong>di</strong> questa sono:<br />
δH ′′ <br />
m1,n1 =<br />
4m2c2 uz<br />
<br />
1 dV<br />
mn<br />
r dr ψ ψ∗ dτ, (3.584)<br />
essendo uz l’impulso orbitale intorno all’asse z. Analogamente<br />
δH ′′ m1,n2<br />
=<br />
<br />
4m2 (−uy<br />
c2 mn + iux mn)<br />
326<br />
<br />
1 dV<br />
r dr ψ ψ∗ dτ (3.585)
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
<br />
=<br />
4m2c2 ∗<br />
−uy nm + iu ∗ <br />
x nm<br />
1 dV<br />
r dr ψ ψ∗ dτ = δH ′′ n2,m1<br />
δH ′′ <br />
m2,n1 =<br />
4m2c2 (−uy<br />
<br />
1 dV<br />
mn − iux mn)<br />
r dr ψ ψ∗ dτ (3.586)<br />
<br />
=<br />
4m2c2 ∗<br />
−uy nm − iu ∗ <br />
x nm<br />
1 dV<br />
r dr ψ ψ∗ dτ = δH ′′ n1,m2<br />
δH ′′ m2,n2 = − <br />
4m2c2 uz<br />
<br />
1 dV<br />
mn<br />
r dr ψ ψ∗ dτ. (3.587)<br />
Come matrici (2k + 1) <strong>di</strong>mensionali per uz, ux, uy potremo assumere, a<br />
meno del fattore , le matrici Rz/i, Rx/i, Ry/i delle (3.500), in cui in<br />
luogo <strong>di</strong> j si ponga k. Ma per evitare immaginari porremo, come è lecito:<br />
uz = Rz<br />
i<br />
= Tz<br />
ux = − Ry<br />
i = − Ty (3.588)<br />
uy = Rx<br />
i<br />
= Tx.<br />
Poniamo inoltre: Tz = Rz<br />
i , Tx = Rx<br />
i , Ty = Ry<br />
i<br />
δH ′′ mr,ns = 2<br />
4m2 Qmr,ns<br />
c2 La matrice (4k + 2) <strong>di</strong>mensionale assume l’aspetto:<br />
Q =<br />
<br />
Tz<br />
−Tx + iTy<br />
−Tx − iTy<br />
−Tz<br />
ovvero per le formole (3.500):<br />
<br />
1 dV<br />
r dr ψ ψ∗ dτ. (3.589)<br />
<br />
, (3.590)<br />
Qm1,n1 = m δm,n (3.591)<br />
Qm2,n2 = − m δm,n (3.592)<br />
Qm1,n2 = k(k + 1) − mn δm+1,n = Qn2,m1 (3.593)<br />
Qm2,n1 = k(k + 1) − mn δm−1,n = Qn1,m2. (3.594)<br />
Segue che la matrice Q si spezza nelle 2k + 1 matrici parziali composte<br />
dalle righe e colonne:<br />
k, 1; k − 1, 1 e k, 2; k − 2, 1 e k − 1, 2; . . . ;<br />
327
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
k − r, 1 e k − r + 1, 2; . . . ; (3.595)<br />
−k, 1 e − k + 1, 2; −k, 2.<br />
la prima e l’ultima <strong>di</strong> un solo elemento |k| hanno per autovalore k. Le 2k<br />
interme<strong>di</strong>e (r = 1, 2, . . . , 2k) hanno la forma:<br />
<br />
<br />
<br />
k − r<br />
k(k + 1) − (k − r)(k − r + 1)<br />
,<br />
k(k + 1) − (k − r)(k − r + 1) −k + r − 1<br />
(3.596)<br />
i cui autovalori sono k e −(k + 1). Si hanno così in tutto 2k + 2 autofunzioni<br />
corrispondenti all’autovalore k <strong>di</strong> Q e 2k autofunzioni corrispondenti<br />
all’autovalore −(k + 1) <strong>di</strong> Q; alle prime compete il quanto interno<br />
j = k + 1/2; alle seconde il quanto interno j = k − 1/2. Il termine è così<br />
sdoppiato dall’elettrone rotante ma la degenerazione persiste per entrambi<br />
i termini, poiché anche nel migliore dei casi, cioè per k = 1, il termine più<br />
elevato è quadruplo e il più profondo è doppio. Ciò è in armonia con quanto<br />
si è rilevato (3.575) e cioè che senza campo magnetico tutti i termini sono<br />
almeno doppi.<br />
Se in (3.596) poniamo<br />
ℓ = k + 1<br />
2<br />
detta matrice assume la forma<br />
<br />
<br />
ℓ − 1/2<br />
(k + 1/2) 2 − ℓ2 <br />
(k + 1/2) 2 − ℓ2 −(ℓ + 1/2)<br />
− r, (3.597)<br />
<br />
. (3.598)<br />
ℓ rappresenta l’impulso totale intorno all’asse z che è comune alle due<br />
soluzioni <strong>di</strong> (3.598). Le autofunzioni corrispondenti a j = k + 1/2 sono in<br />
prima approssimazione:<br />
ψ ′ℓ 1<br />
<br />
ℓ−1/2,1 ℓ+1/2,2<br />
= √ k + ℓ + 1/2 y − k − ℓ + 1/2 y<br />
2k + 1<br />
<br />
.<br />
(3.599)<br />
Facendo variare ℓ fra j (= k + 1/2) e −j (= −k − 1/2), si ottengono oltre<br />
alle soluzioni che derivano dalle (3.596) anche quelle contrassegnate da<br />
l = ±(k + 1/2) che derivano dalla prima e dall’ultima matrice (3.595) con<br />
un solo elemento. A tali soluzioni estreme competendo un impulso intorno<br />
all’asse z pari a j2 = k − 1/2 esse non trovano riscontro nelle soluzioni con<br />
328
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
j2 = k − 1/2. Queste ultime in numero <strong>di</strong> 2j2 + 1 = 2k sono in prima<br />
approssimazione:<br />
ψ ′′ℓ =<br />
1<br />
<br />
ℓ−1/2,1 ℓ+1/2,2<br />
√ k − ℓ + 1/2 y + k + ℓ + 1/2 y<br />
2k + 1<br />
<br />
,<br />
(3.600)<br />
in cui ℓ varia per salti <strong>di</strong> un’unità fra j2 e −j2. Malgrado l’apparente simmetria<br />
<strong>di</strong> (3.599) e (3.600), si hanno 2k +2 soluzioni del primo tipo e 2k del<br />
secondo. In realtà se si ponesse nelle (3.600) ℓ = ±(k + 1/2) esse perderebbero<br />
significato, essendo le y s1 e y s2 definite solo per |s| < k; ciò non ha<br />
luogo per le (3.598) perché in queste le autofunzioni soprannumerarie <strong>di</strong><br />
Schrö<strong>di</strong>nger sono affette dal coefficiente 0.<br />
A causa <strong>di</strong> (3.583) e (3.589), le variazioni dell’autovalore per effetti<br />
relativistici e <strong>di</strong> elettrone rotante sono, in prima approssimazione:<br />
per j = k + 1/2:<br />
δW ′ n = − 1<br />
2mc 2<br />
per j = k − 1/2:<br />
+ 2<br />
4m 2 c 2<br />
δW ′′<br />
n = − 1<br />
2mc 2<br />
<br />
+ 2<br />
4m 2 c 2<br />
(Wn − V ) 2 ψ ψ ∗ dτ<br />
<br />
k + 1 dV<br />
r dr<br />
<br />
1 d<br />
+<br />
2<br />
2 V<br />
dr2 (Wn − V ) 2 ψ ψ ∗ dτ<br />
−k<br />
r<br />
dV<br />
dr<br />
1 d<br />
+<br />
2<br />
2 V<br />
dr2 Lo sdoppiamento del termine sarà in prima approssimazione:<br />
δW ′ n − δW ′′<br />
n =<br />
ovvero, in numero d’onde:<br />
∆n =<br />
(2k + 1)2<br />
4m 2 c 2<br />
(2k + 1)<br />
4m 2 c 3<br />
329<br />
<br />
ψ ψ ∗ dτ (3.601)<br />
<br />
ψ ψ ∗ dτ. (3.602)<br />
<br />
1 dV<br />
r dr ψ ψ∗ dτ, (3.603)<br />
<br />
1 dV<br />
r dr ψ ψ∗ dτ. (3.604)
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
3.20 Caratteri della Dj e riduzione<br />
<strong>di</strong> Dj×D ′ j 19<br />
Le rappresentazioni Dj <strong>di</strong> O(3), univoche e duplici, possono sempre riguardarsi<br />
come rappresentazioni irriducibili, univoche del gruppo SU(2)<br />
delle trasformazioni unitarie con determinante 1 in due <strong>di</strong>mensioni. In<br />
particolare O(3), come equivalente a Dj, è una rappresentazione irriducibile<br />
<strong>di</strong> SU(2). La legge <strong>di</strong> rappresentazione è espressa dalla formola (3.497).<br />
Ogni elemento <strong>di</strong> SU(2) può ricondursi a forma <strong>di</strong>agonale<br />
ɛ 0<br />
0 ɛ −1<br />
<br />
, (3.605)<br />
con |ɛ| = 1, me<strong>di</strong>ante trasformazione unitaria. La matrice (3.605) è ancora<br />
un elemento <strong>di</strong> SU(2), e poiché possiamo sempre richiedere che la trasformatrice<br />
unitaria abbia determinante 1 e faccia quin<strong>di</strong> parte <strong>di</strong> SU(2), il<br />
nostro elemento sarà coniugato all’elemento principale (3.605). Tutti gli elementi<br />
coniugati a (3.605) costituiscono una classe e precisamente, facendo<br />
variare ɛ con la con<strong>di</strong>zione |ɛ| = 1, la più generale classe <strong>di</strong> elementi coniugati.<br />
Ogni classe è così <strong>di</strong>stinta dagli autovalori ɛ e 1/ɛ, determinati a<br />
meno del loro or<strong>di</strong>ne, <strong>di</strong> un suo qualunque elemento. Ponendo:<br />
ɛ = e iω ,<br />
1<br />
ɛ = e−iω , (3.606)<br />
l’angolo ω, determinato a meno del segno, definisce una classe.<br />
Poiché il carattere è una funzione <strong>di</strong> classe, possiamo limitarci ai caratteri<br />
<strong>degli</strong> elementi principali della forma (3.605).<br />
Nella rappresentazione Dj (<strong>di</strong> grado 2j +1 = v +1) <strong>di</strong> SU(2) la matrice<br />
corrispondente all’elemento (3.605) trasforma il vettore <strong>di</strong> componenti:<br />
nel vettore <strong>di</strong> componenti:<br />
ξ ′r η ′v−r<br />
r!(v − r)! =<br />
ξ r η v−r<br />
r!(v − r)! , v = 2j, r = 0, 1, . . . , v, (3.607)<br />
ξ r η v−r<br />
r!(v − r)! ɛ 2r−v , r = 0, 1, . . . , v. (3.608)<br />
19 Nella consueta terminologia moderna, il termine “carattere” è sinonimo <strong>di</strong><br />
“traccia.”<br />
330
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Detta matrice è quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>agonale con gli elementi <strong>di</strong>agonali:<br />
cioè:<br />
Il carattere è così dato da:<br />
ɛ 2r−2j , r = v, v − 1, . . . , 0 (3.609)<br />
ɛ 2j , ɛ 2j−2 , . . . , ɛ −2j . (3.610)<br />
χi = ɛ 2j + ɛ 2j−2 + . . . + ɛ −2j = ɛ2j+1 − ɛ −(2j+1)<br />
ɛ − ɛ −1 . (3.611)<br />
Di un gruppo astratto h siano date due rappresentazioni G e G ′ , la<br />
prima a n <strong>di</strong>mensioni e la seconda a n ′ <strong>di</strong>mensioni. All’elemento σ del<br />
gruppo corrisponde in G la matrice S che agisce sulle variabili x:<br />
x ′ i = <br />
Sik xk, i, k = 1, 2, . . . , n, (3.612)<br />
e in G ′ la matrice S ′ che agisce sulle variabili y:<br />
k<br />
y ′ r = <br />
s<br />
S ′ rs xs, r, s = 1, 2, . . . , n ′ . (3.613)<br />
Le matrici S×S ′ a nn ′ <strong>di</strong>mensioni sono definite come quelle che trasformano<br />
i prodotti xiyr nei prodotti x ′ iy ′ r. Esse costituiscono evidentemente<br />
una rappresentazione, che in<strong>di</strong>cheremo con S×S ′ , dello stesso gruppo astratto.<br />
A causa <strong>di</strong> (3.612) e (3.613), sarà:<br />
x ′ i y ′ r = <br />
k,s<br />
Sik S ′ rs xk ys, (3.614)<br />
da cui risulta la definizione esplicita delle S×S ′ :<br />
S×S ′ <br />
ir,ks = Sik S ′ rs. (3.615)<br />
Ponendo k = i e s = r, si ottengono gli elementi <strong>di</strong>agonali <strong>di</strong> S×S ′ :<br />
S×S ′ <br />
ir,ir = Sii S ′ rr, i = 1, 2, . . . , n; r = 1, 2, . . . , n ′ , (3.616)<br />
da cui risulta semplicemente:<br />
χ(S×S ′ ) = χS χS ′. (3.617)<br />
331
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Consideriamo le rappresentazioni Dj×D ′ j del gruppo SU(2). Il loro<br />
carattere sarà dato da χjχj ′. Scomponiamo Dj×D ′ j nelle rappresentazioni<br />
irriducibili Dτ ; avremo:<br />
χj χj ′ = χτ . (3.618)<br />
Cioè a causa <strong>di</strong> (3.611) e moltiplicando per ɛ − ɛ −1 :<br />
<br />
ɛ 2j + ɛ 2j−2 <br />
+ . . . + ɛ<br />
−2j<br />
ɛ 2j′ +1 −(2j<br />
− ɛ ′ +1) <br />
= <br />
ɛ 2τ+1 − ɛ −(2τ+1)<br />
e poiché il primo membro <strong>di</strong> (3.619) si può scrivere: 20<br />
ɛ 1+2j′ +2j − ɛ −(1+2j ′ +2j) + ɛ 1+2j ′ +2j−2 − ɛ −(1+2j ′ +2j−2)<br />
(3.619)<br />
+ . . . + ɛ 1+2j′ −2j − ɛ −(1+2j ′ −2j) , (3.620)<br />
segue che la (3.619) può essere identicamente sod<strong>di</strong>sfatta solo se compaiono,<br />
e ciascuno una sola volta, i soli valori <strong>di</strong> τ:<br />
j ′ + j, j ′ + j − 1, . . . , j ′ − j, se j ′ ≥ j<br />
j + j ′ , j + j ′ − 1, . . . , j − j ′<br />
se j ≥ j ′<br />
(3.621)<br />
derivando la seconda parte <strong>di</strong> (3.621) da evidenti ragioni <strong>di</strong> simmetria,<br />
poiché in (3.619) e quin<strong>di</strong> in (3.620) si possono scambiare j e j ′ .<br />
Si noti che al principale elemento della (3.605) corrisponde una rotazione<br />
nello spazio or<strong>di</strong>nario. Tale rotazione, secondo la formola (3.497)<br />
in cui si ponga:<br />
è data da:<br />
x = cos ω, λ = sin ω, µ = ν = 0 (3.622)<br />
x ′ = x cos 2ω + y sin 2ω<br />
y ′ = − x sin 2ω + y cos 2ω<br />
z ′ = z,<br />
che esprimono una rotazione intorno all’asse z dell’angolo −2ω.<br />
(3.623)<br />
20 La (3.620) può essere ottenuta dalla (3.619) moltiplicando il primo termine<br />
nella prima parentesi con il primo termine nella seconda parentesi e l’ultimo nella<br />
prima parentesi con il secondo nella seconda parentesi e così via.<br />
332
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
3.21 Regole <strong>di</strong> selezione e <strong>di</strong> intensità in<br />
campo centrale<br />
Consideriamo un termine con quanto interno j e quin<strong>di</strong> multiplo <strong>di</strong> 2j + 1<br />
volte per rotazione e supponiamo che non esista ulteriore degenerazione. Si<br />
faccia agire una perturbazione simmetrica intorno all’asse z; <strong>di</strong>stinguendo<br />
2j + 1 stati quantici in<strong>di</strong>pendenti me<strong>di</strong>ante il quanto magnetico m (=<br />
j, j − 1, . . . , −j) la matrice <strong>di</strong> perturbazione W (m, m ′ ) è necessariamente<br />
<strong>di</strong>agonale perché la forma Hermitiana<br />
<br />
′ ∗<br />
W (m, m ) xm x ′ m ′ (3.624)<br />
deve restare inalterata quando si opera una rotazione intorno all’asse z,<br />
cioè (si veda la sezione precedente), quando si passa dalle xm alle<br />
ym = ɛ 2m x m . (3.625)<br />
Segue che la perturbazione simmetrica intorno all’asse z spezza in generale<br />
il termine degenerato in 2j +1 termini vicini <strong>di</strong>stinti dal quanto magnetico.<br />
Esiste un secondo termine j ′ , anch’esso spezzato dalla perturbazione in<br />
2j ′ +1 termini <strong>di</strong>stinti dal quanto magnetico m ′ . Sia q il momento elettrico<br />
dell’atomo che ha per componenti qx, qy, qz:<br />
qx = − e (x1 + x2 + . . .) , etc. (3.626)<br />
L’intensità della linea jm − j ′ m ′ è proporzionale al quadrato dell’elemento<br />
(m, m ′ ) <strong>di</strong> quella parte della matrice <strong>di</strong> q:<br />
q(m, m ′ ) (3.627)<br />
che corrisponde al passaggio Rj −Rj ′. Operiamo nel sistema una rotazione<br />
s, la funzione Hermitiana<br />
<br />
′ ∗<br />
q(m, m ) xm x ′ m ′. (3.628)<br />
subisce la trasformazione corrispondente a s nella rappresentazione Dj×D ′ j.<br />
D’altra parte le componenti qx, qy, qz della forma vettoriale (3.628)<br />
sotto l’influsso <strong>di</strong> detta trasformazione devono scambiarsi tra loro come<br />
333
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
x, y, z sotto l’influsso <strong>di</strong> s; ciò segue dalle (3.626) ed esprime che q è un vettore.<br />
La grandezza (3.628) <strong>di</strong>cesi una grandezza vettoriale nello spazio rappresentativo<br />
<strong>di</strong> Dj×D ′ j e <strong>di</strong> Dj×D ′ j, (poiché le Dj sono definite a meno <strong>di</strong><br />
una trasformazione [unitaria] e D e Dj sono equivalenti in senso [ristretto]).<br />
A sua volta la trasformazione s che subiscono qx, qy, qz è equivalente a Dj.<br />
La questione se i quanti linearmente in<strong>di</strong>pendenti <strong>di</strong> siffatte grandezze vettoriali<br />
possono esistere, si può ricondurre a una regola generale: sia d una<br />
grandezza vettoriale, cioè definita da r componenti:<br />
d1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1rxr<br />
d2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2rxr<br />
·s<br />
dr = ar1x1 + ar2x2 + . . . + arrxr,<br />
(3.629)<br />
che siano combinazioni lineari <strong>di</strong> m (≥ r) variabili xj, e siano date due<br />
rappresentazioni <strong>di</strong> un gruppo g, l’una h a r <strong>di</strong>mensione sia irriducibile e<br />
l’altra H sia a n <strong>di</strong>mensioni. A un elemento σ del gruppo corrispondono<br />
le matrici:<br />
s in h e S in H. (3.630)<br />
Assoggettando le x alla trasformazione S potrà accadere che le <strong>di</strong> espresse<br />
me<strong>di</strong>ante (3.629) si trasformino tra loro come sotto l’influsso <strong>di</strong> s; in tal<br />
caso la grandezza vettoriale d <strong>di</strong>cesi covariante della specie h. Si domanda<br />
quante <strong>di</strong> siffatte grandezze covarianti linearmente in<strong>di</strong>pendenti esistano.<br />
Per risolvere il quesito, adottiamo le coor<strong>di</strong>nate, nello spazio rappresentativo<br />
<strong>di</strong> H, alla scomposizione in rappresentazioni irriducibili <strong>di</strong> y e sia la<br />
rappresentazione irriducibile h presente k volte. Delle nuove n variabili ne<br />
avremo (k r) che formano la base delle rappresentazioni irriducibili h:<br />
x 1 1, x 1 2, . . . , x 1 r; x 2 1, x 2 2, . . . , x 2 r; . . . ; x k 1, x k 2, . . . , x k r<br />
(3.631)<br />
più eventualmente altre su cui operano le restanti rappresentazioni irriducibili.<br />
Le componenti y <strong>di</strong> una grandezza covariante del nostro tipo<br />
si potranno esprimere con le formole:<br />
y = A 1 x 1 + A 2 x 2 + . . . + A k x k + . . . + A k+l x x+l + . . . , (3.632)<br />
essendo le A 1 , A 2 , A k matrici quadrate d’or<strong>di</strong>ne k r , mentre le A k+l sono<br />
matrici con r righe e pl colonne, se pl è il numero delle variabili x k+l<br />
(x k+l<br />
1 , x k+l<br />
2 , . . . , x k+l<br />
p l ) su cui opera una delle rappresentazioni irriducibili<br />
334
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
inequivalenti a h, presenti nella scomposizione <strong>di</strong> H. Per la definizione <strong>di</strong><br />
grandezza covariante dello spazio h dovremo avere:<br />
A 1 sx 1 + A 2 sx 2 + . . . + A k sx k + . . . + A k+l s l x x+l + . . . = sy<br />
= sA 1 x 1 + sA 2 x 2 + . . . + sA k x k + . . . + A k+l sx x+l + . . . , (3.633)<br />
da cui essendo x arbitrarie:<br />
sA 1 = A 1 s; sA 2 = A 2 s; . . . ; sA k = A k s; . . . ;<br />
sA k+l = A k+l s l ; . . . . (3.634)<br />
Per il teorema fondamentale sulla rappresentazioni irriducibili, 21 badando<br />
che s e s l sono rappresentazioni irriducibili inequivalenti del gruppo g, si<br />
deduce:<br />
sono multipli della matrice unita ,<br />
A k+l , . . . sono nulle.<br />
A 1 , A 2 , . . . , A k<br />
(3.635)<br />
Segue che tutte le grandezze covarianti del nostro tipo sono combinazioni<br />
lineari <strong>di</strong> k in<strong>di</strong>pendenti; infatti dovendo essere:<br />
(con a costante), si può porre:<br />
<strong>di</strong> = a1x 1 i + a2x 2 i + akx k i (3.636)<br />
d = α1 d 1 + α2 d 2 + . . . + αk d k , (3.637)<br />
essendo d γ (γ = 1, 2, . . . , k) le componenti:<br />
d γ<br />
i<br />
= xγi<br />
, γ = 1, 2, . . . , k; i = 1, 2, . . . , r, (3.638)<br />
ed essendo quin<strong>di</strong> tra loro linearmente in<strong>di</strong>pendenti. Il numero delle d γ è<br />
pari al numero <strong>di</strong> volte che la rappresentazione irriducibile h è contenuta<br />
in H, e ciò risolve il nostro quesito.<br />
Tornando alla nostra grandezza (3.628), covariante della specie Dj nello<br />
spazio della rappresentazione Dj×Dj ′ del gruppo SU(2), la questione <strong>di</strong><br />
21 Nel manoscritto originale, compare qui un riferimento bibliografico: si veda<br />
W. pagina 124. Molto probabilmente l’Autore si riferisce alla p. 124 <strong>di</strong> Gruppentheorie<br />
und Quantenmechanik <strong>di</strong> H. Weyl (Hirzel, Leipzig, 1928). Per la<br />
versione inglese si veda p.153 <strong>di</strong> H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum<br />
Mechanics (Dover, New York, 1931).<br />
335
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
sapere quante sono siffatte grandezze linearmente in<strong>di</strong>pendenti si riduce<br />
all’altra: quante volte Dj è contenuta in Dj×Dj ′. In base alla regola<br />
stabilita precedentemente non esisteranno grandezze del tipo (3.628) non<br />
identicamente nulle che nei tre casi:<br />
j ′ = j − 1, j ′ = j = 0, j ′ = j + 1, (3.639)<br />
ciò che esprime la regola <strong>di</strong> selezione per il quanto interno. Nei casi (3.639)<br />
poi la (3.628) è determinata, a meno <strong>di</strong> un fattore costante, in base a<br />
considerazioni ricavate dalla teoria dei gruppi. 22 La regola <strong>di</strong> selezione per<br />
il quanto magnetico è altrettanto semplice. La componente qz deve restare<br />
invariata <strong>di</strong> fronte a una rotazione intorno all’asse z onde qz(m, m ′ ) deve<br />
essere <strong>di</strong>agonale; qx + iqy me<strong>di</strong>ante la rotazione viene moltiplicato per<br />
ɛ −2 e qx − iqy per ɛ 2 . A sua volta, il prodotto x ∗ mx ′ m ′ sotto l’influsso<br />
della rotazione viene moltiplicato ɛ −2(m′ −m)<br />
. Si hanno così i soli passaggi<br />
permessi:<br />
per qz, m → m<br />
per qx + iqy, m → m + 1<br />
(3.640)<br />
per qx − iqy, m → m − 1.<br />
Determiniamo 23 la forma vettoriale (3.628), a meno <strong>di</strong> un fattore costante,<br />
nei casi (3.628) in cui è <strong>di</strong>versa da zero. A tal fine consideriamo l’espressione:<br />
1 ∗ ′ ∗ ′<br />
ξ ξ + η η<br />
k!<br />
k , (3.641)<br />
che è invariante se si sottopongono ξ,η e ξ ′ ,η ′ a una trasformazione unitaria<br />
del gruppo SU(2). Dalle formole (3.496), risulta che x + iy, x − iy e z si<br />
trasformano come ηξ ∗ , η ∗ ξ, e ξξ ∗ − ηη ∗ . D’altra parte una trasformazione<br />
del gruppo SU(2) si può porre sotto la forma:<br />
da cui:<br />
ξ1 = α ξ + β η, η1 = − β ∗ ξ + α ∗ η, (3.642)<br />
ξ ∗ 1 = α ∗ ξ ∗ + β ∗ η ∗ , η ∗ 1 = − β ξ ∗ + α η ∗ , (3.643)<br />
22 Nel manoscritto originale, compare qui un riferimento bibliografico: si veda<br />
W. pagina 158. Molto probabilmente l’Autore si riferisce <strong>di</strong> nuovo al libro <strong>di</strong><br />
Weyl (p. 158 nella versione tedesca, o p. 199 nella e<strong>di</strong>zione inglese).<br />
23 Nel manoscritto originale, compare qui un riferimento bibliografico: si veda<br />
W. p. 154. Molto probabilmente l’autore si riferisce ancora al libro <strong>di</strong> Weyl (p.<br />
154 della versione tedesca, o p. 197 e seguente della e<strong>di</strong>zione inglese.)<br />
336
cioè:<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
η ∗ 1 = α η ∗ + β (− ξ ∗ ) , − ξ ∗ 1 = − β ∗ η ∗ + α ∗ (− ξ ∗ ) , (3.644)<br />
cioè (ξ, η) si trasformano come (η ∗ , −ξ ∗ ). Cambiando segno alla prima<br />
delle (3.642), si ha:<br />
η1 = α ∗ η + β ∗ (− ξ) , − ξ ∗ 1 = − β η + α (− ξ) , (3.645)<br />
cioè inversamente, a causa <strong>di</strong> (3.643), (ξ ∗ , η ∗ ) si trasformano come (η, −ξ).<br />
Segue che (x + iy, x − iy, z) si trasformano come (η 2 , −ξ 2 , ξη) o (−ξ ∗2 , η ∗2 ,<br />
ξ ∗ η ∗ ):<br />
x + i y ∼ η 2 , x − i y ∼ − ξ 2 , z ∼ ξη (3.646)<br />
x + i y ∼ − ξ ∗2 , x − i y ∼ − η ∗2 , z ∼ ξ ∗ η ∗ . (3.647)<br />
Se (ξ ′ , η ′ ) si trasformano come (ξ, η), si avrà anche:<br />
x + i y ∼ 2η ′ ξ ∗ , x − i y ∼ 2ξ ′ η ∗ , z ∼ ξ ′ ξ ∗ − η ′ η ∗<br />
(3.648)<br />
x + i y ∼ η ′2 , x − i y ∼ − ξ ′2 , z ∼ ξ ′ η ′ . (3.649)<br />
Moltiplicando l’invariante (3.631) per i secon<strong>di</strong> membri delle (3.647), o<br />
(3.648), o (3.649), si ottengono ogni volta la componenti <strong>di</strong> una grandezza<br />
vettoriale, le quali si trasformano come x + iy, x − iy, z.<br />
Poniamo dapprima in (3.641) k = 2j − 2 = 2j ′ , con cui ci riferiamo al<br />
primo dei casi (3.639) e moltiplichiamo per (3.647); ne risultano le formole<br />
Hermitiane:<br />
(qx + i qy) (m, m ′ ) x ∗ m x ′ m ′<br />
essendo:<br />
xm =<br />
x ′ m ′ =<br />
(qx − i qy) (m, m ′ ) x ∗ m x ′ m ′<br />
qz(m, m ′ ), x ∗ m x ′ m ′<br />
(3.650)<br />
ξ j−m η j+m<br />
(j − m)!(j + m)! , m = j, j − 1, . . . , −j (3.651)<br />
ξ ′j′ −m ′<br />
η ′j′ +m ′<br />
(j ′ − m ′ )!(j ′ + m ′ )! , m ′ = j ′ , j ′ − 1, . . . , −j ′ , (3.652)<br />
e trasformandosi quin<strong>di</strong> i monomi x ∗ mx ′ m ′ secondo Dj×Dj ′. Segue che le<br />
(3.650) sono, a meno <strong>di</strong> un fattore costante, le componenti del vettore<br />
(3.628) nel caso j → j ′ = j − 1. Eseguendo effettivamente i prodotti<br />
337
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
<strong>di</strong> (3.641) per i secon<strong>di</strong> membri delle (3.647) si ottengono le matrici <strong>di</strong><br />
polarizzazione relative al passaggio: j → j ′ = j − 1:<br />
(qx + i qy) (m, m ′ ) = (j − m)(j − m ′ ) δm+1,m ′<br />
(qx − i qy) (m, m ′ ) = (j + m)(j + m ′ ) δm−1,m ′ (3.653)<br />
qz(m, m ′ ) = (j + m)(j − m) δm,m ′.<br />
Per il secondo dei casi (3.639) si ottiene con proce<strong>di</strong>mento analogo, moltiplicando<br />
(3.641) con k = 2j − 1 = 2j ′ − 1, per i secon<strong>di</strong> membri delle<br />
(3.648): j → j ′ = j = 0,<br />
(qx + i qy) (m, m ′ ) = (j − m)(j + m ′ ) δm+1,m ′<br />
(qx − i qy) (m, m ′ ) = (j + m)(j − m ′ ) δm−1,m ′<br />
qz(m, m ′ ) = − m δm,m ′.<br />
Queste formole coincidono con quelle (3.500) delle rotazioni elementari<br />
−(Rx+iRy)/i, −(Rx−iRy)/i, −Rz/i nella rappresentazione Dj; e così deve<br />
essere perché siffatte rotazioni elementari possono anche esse riguardarsi<br />
come componenti <strong>di</strong> una grandezza vettoriale nello spazio delle rappresentazioni<br />
Dj×Dj.<br />
Nell’ultimo dei casi (3.639) occorre moltiplicare con k = 2j = 2j ′ − 2<br />
per i secon<strong>di</strong> membri <strong>di</strong> (3.649); e si trova: j → j ′ = j + 1:<br />
(qx + i qy) (m, m ′ ) = (j + m + 1)(j + m ′ + 1) δm+1,m ′<br />
(qx − i qy) (m, m ′ ) = − (j − m + 1)(j − m ′ + 1) δm−1,m ′<br />
qz(m, m ′ ) = (j + m + 1)(j − m + 1) δm,m ′.<br />
Si osserverà che risultano sod<strong>di</strong>sfatte le regole <strong>di</strong> selezione (3.640) per il<br />
quanto magnetico. Allargando SO(3) in O(3) con l’inclusione delle rotazioni<br />
improprie, si hanno le rappresentazioni irriducibili D +<br />
j e D− j . Un<br />
vettore polare quale è per esempio il momento elettrico è covariante della<br />
specie D −<br />
j e nelle sua matrice mancano le componenti nell’incrocio <strong>di</strong> due<br />
spazi irriducibili R +<br />
j e R+<br />
j ′ oppure R −<br />
j e R−<br />
j ′; si ha così la regola <strong>di</strong> selezione<br />
per la segnatura: j → −j e +j sono i soli passaggi permessi. La teoria<br />
ondulatoria scalare dell’elettrone dà solo le rappresentazioni irriducibili univoche<br />
(con j intero) per il gruppo O(3) e la segnatura (per la proprietà <strong>di</strong><br />
simmetria delle funzioni sferiche) è +1 per j pari e −1 per j <strong>di</strong>spari; cossicché<br />
la regola <strong>di</strong> soluzione per le segnature esclude il passaggio j → j ′ = j;<br />
338
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
con l’elettrone rotante tale restrizione è tolta, o meglio rimane, in modo<br />
approssimato, sotto forma <strong>di</strong> <strong>di</strong>vieto del passaggio k → k ′ = k, essendo<br />
k l’impulso orbitale, e non più il quanto interno, per il quale valgono approssimativamente<br />
le regole <strong>di</strong> selezione da aggiungersi a quelle rigorose<br />
(3.639):<br />
k → k ′ = k + 1, k → k ′ = k − 1. (3.654)<br />
3.22 Effetto Zeeman anomalo<br />
(secondo la teoria <strong>di</strong> Dirac)<br />
(Si veda paragrafo 3.19.)<br />
Ripren<strong>di</strong>amo le equazioni <strong>di</strong> Dirac (3.558)-(3.561) e le soluzioni <strong>di</strong> prima<br />
approssimazione, appartenenti a uno stesso autovalore dell’equazione <strong>di</strong><br />
Schrö<strong>di</strong>nger, considerate in (3.563), (3.564). Ci poniamo ancora nel caso<br />
del campo centrale, ma supponiamo che inoltre esista un campo magnetico<br />
costante nella <strong>di</strong>rezione dell’asse z. Della matrice <strong>di</strong> perturbazione (3.567)<br />
abbiamo calcolato solo la parte in<strong>di</strong>pendente dal campo, che consta a sua<br />
volta della somma del termine <strong>di</strong>agonale costante δH ′ data da (3.583) e<br />
della matrice<br />
δH ′′ = 2<br />
4m2 <br />
Q r<br />
c2 −1 dV<br />
dr ψψ∗ dτ,<br />
essendo Q descritta da (3.591)-(3.594). Calcoliamo la matrice Bri,sk che<br />
entra in (3.567). Avremo:<br />
Br1,s1 =<br />
Br2,s2 =<br />
e<br />
(r + 1) δrs<br />
2mc<br />
(3.655)<br />
e<br />
(r − 1) δrs<br />
2mc<br />
(3.656)<br />
Br1,s2 = Br2,s1 = 0. (3.657)<br />
Si tratta <strong>di</strong> rendere <strong>di</strong>agonale δH ′′ + HB od anche ponendo<br />
ɛ =<br />
B =<br />
<br />
<br />
2emcH<br />
r −1 (dV/dr) ψψ ∗ dτ<br />
(3.658)<br />
e<br />
T , (3.659)<br />
2mc<br />
339
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
così che, a causa delle (3.655)-(3.657),<br />
<strong>di</strong> rendere <strong>di</strong>agonale<br />
o semplicemente<br />
2<br />
4m 2 c 2<br />
Tr1,s1 = (r + 1) δrs<br />
Tr2,s2 = (r − 1) δrs (3.660)<br />
Tr1,s2 = Tr2,s1 = 0,<br />
Dalle formole (3.591)-(3.594) e (3.660) risulta:<br />
<br />
1 dV<br />
r dr ψψ∗ dτ (Q + ɛ T ) (3.661)<br />
Q + ɛ T = S. (3.662)<br />
Sm1,m ′ 1 = (m + ɛ m + ɛ) δmm ′ (3.663)<br />
Sm2,m ′ 2 = (− m + ɛ m − ɛ) δmm ′ (3.664)<br />
Sm1,m ′ 2 = k(k + 1) − mm ′ δm+1,m ′ (3.665)<br />
Sm2,m ′ 1 = k(k + 1) − mm ′ δm−1,m ′. (3.666)<br />
La matrice S si spezza in 2k + 2 matrici la prima e l’ultima <strong>di</strong> un solo<br />
elemento, le altre <strong>di</strong> due righe e colonne, precisamente come in (3.595) si<br />
spezzava la Q da sola. In realtà il termine ɛT che si aggiunge a Q non altera<br />
le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> riducibilità poiché esso è <strong>di</strong>agonale quando le coor<strong>di</strong>nate<br />
sono adattate allo spezzamento <strong>di</strong> Q nel modo anzidetto. La prima matrice<br />
formata dall’unico elemento k1, k1, ha per autovalore:<br />
k1, k1 : k + ɛ (k + 1) , ℓ = k + 1<br />
. (3.667)<br />
2<br />
L’ultima formata dall’unico elemento −k2, −k2, ha per autovalore:<br />
−k2, −k2 : k − ɛ (k + 1) , ℓ = − k − 1<br />
. (3.668)<br />
2<br />
Le altre 2k matrici quadrate con due righe le <strong>di</strong>stingueremo, come (3.597)<br />
e (3.598)), me<strong>di</strong>ante l’impulso totale ℓ intorno all’asse z (ℓ = k − 1/2, k −<br />
3/2, . . . , −k + 1/2). Esse hanno la forma:<br />
<br />
ℓ − 1/2 + ɛ(ℓ + 1/2) (k + 1/2) 2 − ℓ2 . (3.669)<br />
(k + 1/2) 2 − ℓ2 −(ℓ + 1/2) + ɛ(ℓ − 1/2)<br />
340
Gli autovalori <strong>di</strong> (3.669) sono:<br />
− 1<br />
2<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
+ ℓ ɛ ±<br />
<br />
<br />
k + 1<br />
2 + ɛ ℓ +<br />
2<br />
1<br />
4 ɛ2 . (3.670)<br />
Prendendo per unità <strong>di</strong> energia il fattore <strong>di</strong> Q+ɛT = S in (3.661) e per unità<br />
<strong>di</strong> frequenza la frequenza corrispondente secondo la legge <strong>di</strong> Einstein 24 ,<br />
la separazione del doppietto senza campo sarà espressa da 2k + 1 e la<br />
frequenza <strong>di</strong> Larmor da ɛ. Onde per ɛ ≪ 2k + 1, varranno le formole<br />
relative a campi deboli e per ɛ ≫ 2k + 1 le formole relative a campo forte<br />
(effetto Paschen–Back). Supponiamo ɛ piccolo e sviluppiamo gli autovalori<br />
secondo ɛ fino alla prima potenza; i due autovalori particolari (3.667) e<br />
(3.668) sono rappresentati esattamente con tale sviluppo; per gli autovalori<br />
(3.670) avremo invece, secondo il segno del ra<strong>di</strong>cale:<br />
2k + 2<br />
k + ɛ ℓ<br />
2k + 1 = k + ɛ g′ ℓ, g ′ 2k + 2<br />
=<br />
2k + 1<br />
(3.671)<br />
2k<br />
− k − 1 + ɛ ℓ<br />
2k + 1 = k + ɛ g′′ ℓ, g ′′ = 2k<br />
.<br />
2k + 1<br />
(3.672)<br />
Gli autovalori del primo tipo, come anche i due autovalori particolari<br />
(3.667) e (3.668), corrispondono per H → O al quanto interno j = k + 1/2;<br />
poiché anche gli autovalori particolari possono porsi sotto la forma (3.671)<br />
con ℓ = k + 1/2 e, rispettivamente, ℓ = −k − 1/2 e lo stesso valore <strong>di</strong> g ′ , si<br />
ottengono le formole riassuntive per il campo debole:<br />
j = k + 1<br />
2<br />
autovalori : k + ɛ g ′ ℓ (3.673)<br />
<br />
ℓ = k + 1<br />
<br />
1<br />
1<br />
, k − , . . . , − k − ,<br />
2 2 2<br />
j = k − 1<br />
2<br />
24 Questa è più conosciuta come legge <strong>di</strong> Planck E = hν.<br />
341
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
autovalori : − k − 1 + ɛ g ′′ ℓ (3.674)<br />
<br />
ℓ = k − 1<br />
<br />
3<br />
1<br />
, k − , . . . , − k + .<br />
2 2 2<br />
Le costanti <strong>di</strong> separazione g ′ e g ′′ date da (3.671) e (3.672) si possono<br />
raccogliere nell’unica espressione<br />
e si avrà sempre<br />
g =<br />
2j + 1<br />
2k + 1<br />
(3.675)<br />
g ′ > 1, g ′′ < 1, g ′ + g ′′ = 2. (3.676)<br />
Per esempio, per k = 1 si ha g ′ = 4/3, g ′′ = 2/3. Si possono anche porre g ′<br />
e g ′′ sotto la forma generale valevole per un numero qualunque <strong>di</strong> elettroni:<br />
g = 1 +<br />
Segue infatti da (3.677),<br />
j(j + 1) + s(s + 1) − k(k + 1)<br />
. (3.677)<br />
2j(j + 1)<br />
g ′ =<br />
(k + 1/2)(k + 3/2) + 3/4 − k(k + 1)<br />
1 +<br />
(2k + 1)(k + 3/2)<br />
= 2k + 2<br />
2k + 1<br />
(3.678)<br />
g ′′ =<br />
(k − 1/2)(k + 1/2) + 3/4 − k(k + 1)<br />
1 +<br />
2(k − 1/2)(k + 1/2)<br />
=<br />
2k<br />
,<br />
2k + 1<br />
(3.679)<br />
in accordo con (3.671) e (3.672).<br />
Consideriamo l’altro caso limite ɛ → ∞. Gli autovalori <strong>di</strong> S sono<br />
infiniti del primo or<strong>di</strong>ne; li svilupperemo fino al termine in<strong>di</strong>pendente da<br />
ɛ. Anche qui i due autovalori privilegiati (3.667) e (3.668) sono espressi<br />
esattamente dallo sviluppo arrestato al secondo termine. Per gli autovalori<br />
(3.670), avremo secondo il segno del ra<strong>di</strong>cale:<br />
<br />
ℓ + 1<br />
<br />
ɛ + ℓ −<br />
2<br />
1<br />
(3.680)<br />
2<br />
<br />
ℓ − 1<br />
<br />
ɛ − ℓ +<br />
2<br />
1<br />
<br />
. (3.681)<br />
2<br />
342
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
L’autovalore (3.667) rientra nel tipo (3.680), e l’autovalore (3.668) nel tipo<br />
(3.681), onde abbiamo in tutto due sistemi <strong>di</strong> autovalori ciascuno <strong>di</strong> 2k + 1<br />
elementi: <br />
ℓ + 1<br />
<br />
ɛ + ℓ −<br />
2<br />
1<br />
(3.682)<br />
2<br />
(per ℓ = k + 1/2, k − 1/2, . . . , − k + 1/2),<br />
<br />
ℓ − 1<br />
<br />
ɛ −<br />
2<br />
<br />
ℓ + 1<br />
<br />
2<br />
(3.683)<br />
(per ℓ = k − 1/2, k − 3/2, . . . , − k − 1/2) tra i quali al limite non vi<br />
è approssimativamente transizione perché il primo corrisponde allo “spin”<br />
dell’elettrone orientato secondo il campo; e il secondo allo “spin” orientato<br />
contro il campo. Segue l’effetto Zeeman normale (effetto Paschen–Back).<br />
Poiché per ɛ grande predomina il secondo termine nel primo membro <strong>di</strong><br />
(3.662) e T è <strong>di</strong>agonale insieme (approssimativamente) con l’impulso orbitale<br />
intorno all’asse z, segue che in prima approssimazione, oltre a ℓ<br />
anche l’impulso orbitale m è costante. Distinguendo gli autovalori secondo<br />
m, avremo allora in luogo <strong>di</strong> (3.682) e (3.683):<br />
(m + 1) ɛ + m, m = k, k − 1, . . . , − k (3.684)<br />
(m − 1) ɛ − m, m = k, k − 1, . . . , − k. (3.685)<br />
La somma <strong>degli</strong> autovalori è uguale alla somma dei termini <strong>di</strong>agonali <strong>di</strong> S,<br />
ed è quin<strong>di</strong> costantemente nulla.<br />
Lo schema seguente mostra il passaggio dall’effetto Zeeman anomalo<br />
all’effetto Paschen–Back per k = 1. 25 Al limite, per campi forti, i termini<br />
del primo tipo sono <strong>di</strong>stanziati tra loro <strong>di</strong> ɛ + 1, essendo ɛ la frequenza <strong>di</strong><br />
Larmor in tali unità che sia 2k + 1 la separazione del doppietto, mentre i<br />
termini del secondo tipo sono <strong>di</strong>stanziati fra loro <strong>di</strong> ɛ − 1.<br />
25La figura riproduce qualitativamente lo schema riportato nel manoscritto<br />
originale. È interessante sottolineare il fatto che l’analisi fatta nel testo si applica<br />
solo nel limite <strong>di</strong> campo debole (ɛ < 1) o in quello <strong>di</strong> campo forte (ɛ ≫ 1), mentre<br />
la regione interme<strong>di</strong>a deve essere stu<strong>di</strong>ata necessariamente risolvendo numericamente<br />
l’equazione <strong>di</strong> Dirac. Si osservi, allora, che nella figura l’Autore riporta lo<br />
spettro anche per la regione interme<strong>di</strong>a.<br />
343
-2<br />
-4<br />
-6<br />
-8<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
ε = 0.0 ε = 0.2 ε = 0.5 ε = 1.0 ε = 1.5 ε = 2.0 ε = 3.0 ε = 4.0<br />
344
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
3.23 Sistemi completi <strong>di</strong> equazioni<br />
<strong>di</strong>fferenziali del primo or<strong>di</strong>ne 26<br />
Siano A1, A2, . . . , Aj, . . . , Ar operatori <strong>di</strong>fferenziali lineari omogenei su 2n<br />
variabili:<br />
2n<br />
Aj = a k ∂<br />
j , (3.686)<br />
∂xk<br />
k=1<br />
essendo le a k j funzioni <strong>di</strong> x1, x2, . . . , x2n. Si tratta <strong>di</strong> trovare le soluzioni<br />
comuni del sistema <strong>di</strong> equazioni:<br />
Aj y = 0, j = 1, 2, . . . , r. (3.687)<br />
Supponiamo le Aj linearmente in<strong>di</strong>pendenti (i coefficienti delle combinazioni<br />
lineari potendo essere in generale funzioni del posto), onde sarà<br />
necessariamente r ≤ 2n. Dalle (3.687) si possono dedurre altre equazioni<br />
<strong>di</strong>fferenziali lineari omogenee a cui deve sod<strong>di</strong>sfare y, nel modo che segue:<br />
si applichino a y gli operatori Aj e Aj ′, una volta in un certo or<strong>di</strong>ne e una<br />
volta nell’or<strong>di</strong>ne inverso; a causa <strong>di</strong> (3.687) sarà:<br />
Poniamo:<br />
segue a causa <strong>di</strong> (3.686):<br />
Bjj ′ =<br />
(Aj Aj ′ − Aj ′ Aj) y = 0. (3.688)<br />
Bjj ′ = Aj Aj ′ − Aj ′ Aj; Bjj ′ y = 0, (3.689)<br />
<br />
2n<br />
a k j<br />
−<br />
= <br />
k=1<br />
<br />
2n<br />
k,k ′<br />
k ′ =1<br />
a k j a k′<br />
j ′<br />
∂<br />
∂xk<br />
a k′<br />
j ′<br />
2n<br />
∂<br />
∂xk ′<br />
∂ 2<br />
∂xk∂xk ′<br />
k ′ =1<br />
a k′<br />
j ′<br />
2n<br />
k=1<br />
+ <br />
k,k ′<br />
∂<br />
∂xk ′<br />
a k j<br />
a k j<br />
∂<br />
<br />
∂xk<br />
<br />
∂a k′<br />
j ′<br />
∂xk<br />
∂<br />
∂xk ′<br />
26 Nel manoscritto originale compare qui un riferimento bibliografico: si veda<br />
Franck, Physikal. 15, April 1929. Molto probabilmente l’Autore si riferisce al<br />
seguente articolo (in tedesco): Philipp Franck, Phys. Z. 30 (8), 209 (15 April<br />
1929).<br />
345
essendo<br />
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
− <br />
k,k ′<br />
a k′<br />
j ′ ak ∂<br />
j<br />
2<br />
∂xk ′∂xk<br />
− <br />
k,k ′<br />
a k′<br />
j ′<br />
∂a k j<br />
∂xk ′<br />
∂<br />
∂xk<br />
= <br />
k k ′<br />
<br />
a k′ ∂a<br />
j<br />
k j ′<br />
∂xk ′<br />
− a k′<br />
j ′<br />
∂a k j<br />
∂xk ′<br />
<br />
∂<br />
∂xk<br />
= <br />
Aj a k j ′ − Aj ′ ak <br />
∂<br />
j ≡<br />
∂xk<br />
<br />
b k jj ′<br />
∂<br />
, (3.690)<br />
∂xk<br />
k<br />
b k jj ′ = Aj a k j ′ − Aj ′ ak j . (3.691)<br />
Segue che la (3.688) potendosi scrivere sotto la forma:<br />
<br />
Bjj ′ y =<br />
k<br />
k<br />
b k jj ′<br />
∂y<br />
y = 0, (3.692)<br />
∂xk<br />
è ancora un’equazione del tipo (3.687), a cui deve sod<strong>di</strong>sfare la y. Ripetendo<br />
il proce<strong>di</strong>mento per tutte le coppie <strong>di</strong> operatori Aj e Aj ′ in<strong>di</strong> per<br />
tutte le nuove coppie <strong>di</strong> operatori A, B e B, B ′ che sono a nostra <strong>di</strong>sposizione,<br />
otteniamo sempre nuove equazioni <strong>di</strong>fferenziali lineari a cui y deve<br />
sod<strong>di</strong>sfare. Ma se portiamo in conto solo le equazioni linearmente in<strong>di</strong>pendenti,<br />
dovendo il loro numero essere ≤ 2n, il proce<strong>di</strong>mento deve a un<br />
certo momento cessare <strong>di</strong> fornire equazioni nuove. Il sistema <strong>di</strong> equazioni<br />
<strong>di</strong>fferenziali lineari a cui si perviene, <strong>di</strong>cesi allora completo.<br />
Supponiamo per semplicità che il sistema (3.687) sia già completo; le<br />
con<strong>di</strong>zioni perché ciò avvenga saranno:<br />
Aj Aj ′ − Aj ′ Aj = <br />
r<br />
c r jj ′ Ar, (3.693)<br />
con le c funzioni del posto. Vale allora il teorema 27 che il sistema completo<br />
(3.687) ammette esattamente 2n − r soluzioni in<strong>di</strong>pendenti. Tutte<br />
le possibili soluzioni sono allora funzioni arbitrarie della detta 2n − r parentesi<br />
<strong>di</strong> Poisson. Divi<strong>di</strong>amo le variabili in<strong>di</strong>pendenti, finora designate con<br />
x1, x2, . . ., in due gruppi:<br />
q1, q2, . . . , qn, p1, p2, . . . , pn. (3.694)<br />
27 Nel manoscritto originale, compare qui un riferimento bibliografico: si veda<br />
per esempio Goursat, Vorlesungen über <strong>di</strong>e Integration. . . . Tuttavia, non è chiaro<br />
a quale testo l’Autore si riferisca.<br />
346
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
Siano F e G due funzioni qualunque delle q e p; definiamo come parentesi<br />
<strong>di</strong> Poisson <strong>di</strong> F e G l’espressione<br />
n<br />
<br />
∂F ∂G<br />
[F, G] =<br />
−<br />
∂qi ∂pi<br />
∂F<br />
<br />
∂G<br />
. (3.695)<br />
∂pi ∂qi<br />
Seguono le proprietà:<br />
i=1<br />
[F, G] = − [G, F ] , [F, F ] = 0 (3.696)<br />
[qi, qk] = 0, [pi, pk] = 0, [qi, pk] = δik. (3.697)<br />
A causa delle (3.697) la (3.695) si può scrivere:<br />
[F, G] = ∂(F, G)<br />
∂(xr, xs) [xr, xs] , (3.698)<br />
essendosi posto:<br />
s>r<br />
x1 = q1, x2 = q2, . . . , xn = qn<br />
xn+1 = p1, . . . , x2n = pn.<br />
(3.699)<br />
In (3.698) può estendersi la sommatoria a tutte le coppie <strong>di</strong> in<strong>di</strong>ci per<br />
cui sia s < r, ché il sistema non cambia; l’essenziale è evidentemente che<br />
ogni coppia <strong>di</strong> variabili xr e xs sia portata in conto una volta sola, in un<br />
or<strong>di</strong>ne qualsiasi. Supponiamo G assegnata; si può allora riguardare [F, G]<br />
come il risultato <strong>di</strong> una operazione eseguita su F . Tale operazione presenta<br />
stretta analogia con quella <strong>di</strong> derivazione, come risulta dal fatto che se F<br />
è funzione <strong>di</strong> f, vale la regola:<br />
[F, G] = dF<br />
df<br />
[f, G] ; (3.700)<br />
e più in generale se F è funzione <strong>di</strong> a funzioni f1, f2, . . . , fa, vale la regola:<br />
[F, G] =<br />
a dF<br />
dfi<br />
[fi, G] (3.701)<br />
i=1<br />
perfettamente analoga alla regola <strong>di</strong> derivazione delle funzioni composte.<br />
La (3.698) è suscettibile <strong>di</strong> un’ampia generalizzazione che comprende<br />
anche, come caso particolare, la (3.701). Supponiamo che F e G siano<br />
funzioni <strong>di</strong> b funzioni del posto: g1, g2, . . . , gb. Segue allora da (3.695):<br />
[F, G] = <br />
s>r<br />
∂(F, G)<br />
[gr, gs] , (3.702)<br />
∂(gr, gs)<br />
347
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
da cui seguono come casi particolari tanto la (3.698) che la (3.701). Per<br />
avere quest’ultima basta porre b = a + 1, f1 = g1, f2 = g2, . . . , fa = ga,<br />
F = F (g1, g2, . . . , ga), G = fb.<br />
Date tre funzioni arbitrarie del posto: F, G, H, vale l’identità <strong>di</strong> Jacobi:<br />
[F, [G, H]] + [G, [H, F ]] + [H, [F, G]] = 0. (3.703)<br />
Notare anche la regola seguente, che è caso particolare della (3.701):<br />
[a b, F ] = a [b, F ] + b [a, F ] . (3.704)<br />
Due funzioni f e g si <strong>di</strong>cono in involuzione se [f, g] = 0; più in generale,<br />
molte funzioni sono chiamate involute quando ogni coppia <strong>di</strong> funzioni è<br />
involuta, così le q e le p separatamente sono, a causa della (3.697) in involuzione.<br />
Si <strong>di</strong>ce invece che f e g sono coniugate se [f, g] = 1; così qi<br />
e pi sono coniugate. Siano assegnate r funzioni del posto F1, F2, . . . , Fr<br />
e si tratti <strong>di</strong> trovare le funzioni in involuzione con tutte le F . Sia g una<br />
soluzione (se esiste) del problema; saranno sod<strong>di</strong>sfatte le equazioni:<br />
[g, F1] = [g, F2] = . . . = [g, Fr] = 0. (3.705)<br />
Nel caso particolare r = 1 e F1 = H, il nostro problema si riduce al problema<br />
generale della meccanica classica: trovare gli integrali <strong>di</strong> un sistema<br />
meccanico definito dall’Hamiltoniana H. Infatti la con<strong>di</strong>zione [g, H] = 0<br />
quando si scriva esplicitamente e si tenga conto dell’equazione <strong>di</strong> Hamilton<br />
esprime appunto che g è costante nel tempo. In questo caso particolare<br />
avendosi 2n funzioni (q e p) del tempo le quali sod<strong>di</strong>sfanno a un sistema<br />
<strong>di</strong> 2n equazioni <strong>di</strong>fferenziali or<strong>di</strong>narie del primo or<strong>di</strong>ne, si avranno anche<br />
2n costanti arbitrarie a <strong>di</strong>sposizione per fissare i valori iniziali delle q e<br />
p; onde esisteranno 2n funzioni in<strong>di</strong>pendenti sod<strong>di</strong>sfacenti alla con<strong>di</strong>zione<br />
[g, H] = 0.<br />
Torniamo al caso generale (3.705). Scrivendo esplicitamente, ad esempio,<br />
j-esima in (3.705) avremo:<br />
∂Fj ∂g<br />
−<br />
∂pi ∂qi<br />
∂Fj ∂g<br />
∂qi ∂pi<br />
i<br />
i<br />
= Aj g = 0, (3.706)<br />
essendo Aj un operatore <strong>di</strong>fferenziale lineare omogeneo del primo or<strong>di</strong>ne.<br />
Facendo variare j da 1 a r, si ottiene un sistema <strong>di</strong> r equazioni. A quali con<strong>di</strong>zioni<br />
devono sod<strong>di</strong>sfare le F perché il sistema risulti completo? Basterà<br />
348
Volumetto 3: 28 giugno 1929<br />
sostituire in (3.693) le espressioni delle Aj in funzione delle F . Badando<br />
alle equazioni (3.689) e (3.690) segue:<br />
− ∂<br />
∂ps<br />
∂<br />
∂qs<br />
<br />
[Fj, Fj ′] =<br />
<br />
[Fj, Fj ′] = −<br />
r<br />
c r jj ′<br />
∂Fr<br />
,<br />
∂ps<br />
r<br />
c r jj ′<br />
∂Fr<br />
,<br />
∂qs<br />
(3.707)<br />
o raccogliendo in un’unica equazione vettoriale:<br />
<br />
grad [Fj, Fj ′] = − c r jj ′ grad Fr. (3.708)<br />
Poiché le c r jj ′ sono funzioni arbitrarie del posto, il contenuto della (3.708)<br />
si riduce a questo, che spostandosi in un sottospazio a 2n − r <strong>di</strong>mensioni in<br />
cui tutte le F sono costanti, sono altresì costanti anche tutte le parentesi<br />
<strong>di</strong> Poisson [Fi, Fj], cioè queste ultime sono funzioni delle F :<br />
r<br />
[Fj, Fj ′] = fjj ′ (F1, F2, . . . Fr) . (3.709)<br />
Se sono sod<strong>di</strong>sfatte le (3.709) il sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali (3.705)<br />
è dunque completo. Esso ammette allora esattamente 2n − r soluzioni in<strong>di</strong>pendenti.<br />
Le r funzioni F1, F2, . . . , Fr, sod<strong>di</strong>sfacenti a (3.709), formano<br />
la base <strong>di</strong> un gruppo costituito da tutte le funzioni delle F . La parentesi<br />
<strong>di</strong> Poisson <strong>di</strong> due funzioni del gruppo, a causa <strong>di</strong> (3.702) e <strong>di</strong> (3.709) appartiene<br />
ancora al gruppo.<br />
Lie ha <strong>di</strong>mostrato che la 2n − r soluzioni <strong>di</strong> (3.705) che sono presenti<br />
nel caso (3.709) costituiscono anche esse gruppo, valgono cioè per esse<br />
equazioni analoghe alle (3.709). Come caso particolare si ha il noto teorema<br />
che la parentesi <strong>di</strong> Poisson <strong>di</strong> due integrali <strong>di</strong> un problema meccanico è<br />
anche essa un integrale.<br />
349
VOLUMETTO<br />
4 24 aprile 1930<br />
4.1 Relazione fra suscettibilità e<br />
momento elettrico variabile nello<br />
stato fondamentale <strong>di</strong> un atomo<br />
Sia un atomo con n elettroni nello stato fondamentale, che supponiamo un<br />
termine s, descritto dalla autofunzione ψ0 appartenente all’autovalore E0.<br />
La componente del momento elettrico secondo l’asse z sarà data da:<br />
M = − e (z1 + z2 + . . . + zn) = − e z, (4.1)<br />
con z = z1 + z2 + . . . + zn.<br />
Un campo elettrico <strong>di</strong> intensità E agente secondo l’asse z provoca una<br />
perturbazione che <strong>di</strong>pende dal potenziale EM = H. Se, come vogliamo<br />
supporre, lo stato fondamentale non è degenerato o, più esattamente, non<br />
esistono termini p appartenenti all’autovalore E0, l’elemento M00 della matrice<br />
<strong>di</strong> perturbazione è certamente nullo, onde la variazione dell’autovalore<br />
per campi deboli si ricaverà dalla formola <strong>di</strong> seconda approssimazione:<br />
essendo<br />
δE0 =<br />
∞<br />
1<br />
|M0k| 2<br />
E0 − Ek<br />
=<br />
∞<br />
1<br />
e 2 E 2<br />
|zk| 2<br />
E0 − Ek<br />
, (4.2)<br />
z ψ0 = <br />
zk ψk. (4.3)<br />
D’altra parte se α è la suscettibilità elettrica dell’atomo la variazione <strong>di</strong><br />
energia è data in prima approssimazione da<br />
k<br />
δE0 = − 1<br />
2 E2 α, (4.4)<br />
351
da cui confrontando con (4.2):<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
k<br />
<br />
2<br />
α = 2 e<br />
Inoltre da (4.3) si deduce:<br />
<br />
|zk| 2 =<br />
<br />
k<br />
|zk| 2<br />
Ek − E0<br />
. (4.5)<br />
z 2 ψ 2 0 dτ = z 2 . (4.6)<br />
Il numero <strong>degli</strong> elettroni <strong>di</strong> <strong>di</strong>spersione f = n (per un noto teorema) è dato<br />
da: 28<br />
n =<br />
∞<br />
(2m/ 2 )(Ek − E0) |zk| 2 . (4.7)<br />
Consideriamo le espressioni:<br />
sarà necessariamente:<br />
1<br />
A = <br />
(Ek − E0) |zk|<br />
k<br />
2 = n2<br />
2m<br />
B = <br />
|zk| 2 = z2 (4.8)<br />
k<br />
C = <br />
k<br />
|zk| 2<br />
Ek − E0<br />
= α<br />
; (4.9)<br />
2e2 B ≤ √ A C (4.10)<br />
cioè (il segno <strong>di</strong> uguaglianza non intervenendo che nel caso irrealizzabile in<br />
cui zk sia <strong>di</strong>verso da zero solo per un determinato valore <strong>di</strong> Ek − E0):<br />
z2 √<br />
nα2 nαa0<br />
< = , (4.11)<br />
4me2 2<br />
essendo a0 = 2 /me 2 il raggio dell’orbita <strong>di</strong> Bohr nello stato fondamentale<br />
dell’idrogeno. Finché si suppone che le <strong>di</strong>fferenze Ek − E0 che entrano nei<br />
termini più importanti delle espressioni A, B e C non sono molto <strong>di</strong>fferenti<br />
tra loro (ed è questo il caso per gli atomi <strong>di</strong> tipo H e He ma non più per<br />
quelli <strong>di</strong> tipo Li), la (4.11) si può precisare in:<br />
z2 < √<br />
nαa0<br />
∼ . (4.12)<br />
2<br />
28 Nel manoscritto originale è utilizzata la vecchia notazione h/2π invece <strong>di</strong> .<br />
352
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Così per l’idrogeno: n = 1; α dedotta dalle formole dell’effetto Stark vale<br />
4.5 a 3 0, onde:<br />
z 2 < 1.06 a 2 0 (4.13)<br />
(in realtà il calcolo <strong>di</strong>retto dà z 2 = a 2 0).<br />
Per l’elio n = 2, α 1.44 a 3 0 (dedotto in base al valore della costante<br />
<strong>di</strong>elettrica), segue:<br />
z 2 < 0.85 a 2 0. (4.14)<br />
Essendo lo stato fondamentale dell’elio conosciuto con buona approssimazione,<br />
si può calcolare <strong>di</strong>rettamente z 2 . Ci limitiamo a una valutazione<br />
sommaria in base alla nota autofunzione<br />
c exp<br />
<br />
− 27<br />
16<br />
z1 + z2<br />
che corrisponde a movimenti in<strong>di</strong>pendenti dei due elettroni, con che z 2 =<br />
z 2 1 + z 2 2, mentre dovrebbe essere z 2 < z 2 1 + z 2 2; d’altra parte essa dà per z 2 1<br />
e z 2 2 valori certamente minori del vero, onde, essendo i due errori <strong>di</strong> segno<br />
opposto, si può presumere una buona approssimazione per z 2 . Si trova:<br />
z 2 = 2<br />
16<br />
27<br />
2<br />
a0<br />
<br />
,<br />
a 2 0 = 0.70 a 2 0, (4.15)<br />
che conferma ancora la (4.12). L’approssimazione è naturalmente un po’<br />
meno buona che nel caso dell’idrogeno.<br />
Consideriamo infine un atomo <strong>di</strong> tipo He con z infinito. Sarà<br />
α = 2 · 4.5 a 3 0/Z 4 = 9a 3 0/Z 4<br />
(volendo ottenere α = 1.44a 3 0 per l’elio da questa formola limite bisogna<br />
porre in essa Z 4 = 1.58) e, per la (4.12),<br />
z 2 < 3<br />
√ 2<br />
a 2 0<br />
Z 2 = 1.06 2a2 0<br />
Z2<br />
, (4.16)<br />
mentre il calcolo <strong>di</strong>retto dà z 2 = 2a 2 0/Z 2 .<br />
L’errore della (4.12) torna così ad essere identico a quello che si aveva nel<br />
caso dell’idrogeno. 29<br />
29 Nel manoscritto originale questo paragrafo termina con la seguente osservazione:<br />
“Una valutazione più esatta <strong>di</strong> z 2 ridurrebbe forse l’errore per l’elio,<br />
353
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
4.2 Probabilità <strong>di</strong> ionizzazione <strong>di</strong> un atomo<br />
<strong>di</strong> idrogeno in campo elettrico<br />
Sia un atomo <strong>di</strong> tipo idrogeno <strong>di</strong> carica Z. Convenendo <strong>di</strong> usare le unità<br />
elettroniche (e = 1, = 1, raggio della prima orbita <strong>di</strong> Bohr dell’idrogeno<br />
a0 = 1; unità <strong>di</strong> energia risulta allora e 2 /a0 = 2Ry), l’autofunzione dell’elettrone<br />
sod<strong>di</strong>sfa l’equazione <strong>di</strong>fferenziale<br />
<br />
∆ ψ + 2 E + Z<br />
<br />
ψ = 0. (4.17)<br />
r<br />
Aggiungendo un campo elettrico F (F = −dV/da) secondo l’asse x, la<br />
(4.17) <strong>di</strong>venta:<br />
<br />
∆ ψ + 2 E + Z<br />
<br />
− F x ψ = 0. (4.18)<br />
r<br />
Introduciamo le coor<strong>di</strong>nate paraboliche<br />
sarà<br />
ξ = r + x, η = r − x, tan φ = x<br />
y ;<br />
x = 1<br />
2 (ξ − η), y = ξ η cos φ, z = ξ η sin φ;<br />
∆ ψ = ∂ψ ∂ψ ∂ψ<br />
∆ ξ + ∆ η + ∆ φ<br />
∂ξ ∂η ∂φ<br />
+ ∂2ψ ∂ξ2 |grad ξ|2 + ∂2ψ ∂η2 |grad η|2 + ∂2ψ |grad φ|2<br />
∂φ2 + 2 ∂2ψ ∂ξ∂η grad ξ · grad η + 2 ∂2ψ grad ξ · grad φ<br />
∂ξ∂φ<br />
(4.19)<br />
+ 2 ∂2ψ grad η · grad φ; (4.20)<br />
∂η∂φ<br />
che deve tuttavia restare sensibilmente più grande che nel caso limite z = ∞,<br />
perché nell’elio sono consentiti salti estemporanei dei due elettroni a causa<br />
dell’inter<strong>di</strong>pendenza dei loro movimenti e con ciò il campo pratico <strong>di</strong> variabilità<br />
<strong>di</strong> Ek − E0 resta alquanto accresciuto”. Tale annotazione è seguita da un punto<br />
interrogativo, a conferma del suo significato poco chiaro.<br />
354
e poiché:<br />
risulta<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
∆ ξ = 2<br />
2<br />
, ∆ η = , ∆ φ = 0,<br />
r r<br />
|grad ξ| 2 = 2ξ<br />
r , |grad η|2 = 2η<br />
r , |grad φ|2 =<br />
1<br />
r2 ,<br />
− x2 grad ξ · grad η = 0, grad ξ · grad φ = 0, grad η · grad φ = 0,<br />
∆ ψ = 2<br />
r<br />
Ponendo<br />
∂ψ<br />
∂ξ<br />
e sostituendo in (4.17):<br />
∂ψ<br />
+<br />
∂η + ξ ∂2ψ ∂ξ2 + η ∂2ψ +<br />
∂η2 r<br />
2(r 2 − x 2 )<br />
∂ 2 ψ<br />
∂φ2 <br />
. (4.21)<br />
ψ = e imφ y(ξ, η) (4.22)<br />
ξ ∂2y ∂ξ2 ∂y<br />
+<br />
∂ξ + η ∂2y ∂η2 ∂y m2<br />
1<br />
+ − (ξ + η) y + (ξ + η) E y<br />
∂η 4ξη 2<br />
+ Z y − F<br />
4<br />
2 2<br />
ξ − η y = 0, (4.23)<br />
che permette l’ulteriore separazione:<br />
essendo 30<br />
ξ P ′′ + P ′ − m2<br />
4ξ<br />
y = P (ξ) Q(η), (4.24)<br />
1 1<br />
F<br />
P + ξ E P + (Z + λ) P −<br />
2 2 4 ξ2 P = 0<br />
η Q ′′ + Q ′ − m2 1 1<br />
F<br />
Q + η E Q + (Z − λ) Q +<br />
4η 2 2 4 η2 Q = 0.<br />
(4.25)<br />
Le (4.25) sono autoaggiunte. Rinunziando a tale con<strong>di</strong>zione si può scrivere<br />
più semplicemente:<br />
P ′′ + 1<br />
ξ P ′ <br />
+ − m2 1 Z + λ F<br />
+ E + −<br />
4ξ2 2 2ξ 4 ξ<br />
<br />
P = 0<br />
Q ′′ + 1<br />
η Q′ <br />
+ − m2 1 Z − λ F<br />
+ E + +<br />
4η2 2 2η 4 η<br />
<br />
Q = 0.<br />
30 Si noti che λ è un parametro arbitrario.<br />
355<br />
(4.26)
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Lo stato fondamentale è determinato dalle con<strong>di</strong>zioni m = 0 e mancanza<br />
<strong>di</strong> no<strong>di</strong> in P e Q. Avremo quin<strong>di</strong>, ponendo 2ɛ in luogo <strong>di</strong> F per in<strong>di</strong>care<br />
che il campo è piccolo:<br />
F = 2 ɛ (4.27)<br />
P ′′ + 1<br />
ξ P ′ + 1<br />
<br />
<br />
Z + λ<br />
E + − ɛ ξ P = 0<br />
2 ξ<br />
Q ′′ + 1<br />
η Q′ + 1<br />
<br />
<br />
(4.28)<br />
Z − λ<br />
E + + ɛ η Q = 0.<br />
2 η<br />
Poniamo:<br />
P = u e −√ −E/2 ξ , Q = v e − √ −E/2 η . (4.29)<br />
La prima delle (4.28) <strong>di</strong>venta<br />
u ′′ + u ′<br />
<br />
1<br />
− 2 −<br />
ξ E<br />
⎛ <br />
<br />
⎜ Z + λ − 2 −<br />
+ u ⎜<br />
2 ⎝<br />
E<br />
2<br />
2ξ<br />
⎞<br />
− ɛ<br />
2 ξ<br />
⎟<br />
⎠ = 0, (4.30)<br />
e un’equazione analoga che deriva dalla seconda delle (4.28) si ottiene<br />
sostituendo u e ξ rispettivamente con v e η e cangiando segno a λ e ɛ.<br />
Dalle conseguenze che tireremo dalla (4.30) se ne deducono quin<strong>di</strong> altre<br />
operando le dette sostituzioni. Nello stato fondamentale e in assenza <strong>di</strong><br />
campo (ɛ = 0), si ha λ = 0, E = −Z 2 /2, u = 1 (a meno <strong>di</strong> un fattore <strong>di</strong><br />
normalizzazione). Quando è presente il campo porremo<br />
u = 1 + a1 ξ + a2 ξ 2 + a3 ξ 3 + . . . ; (4.31)<br />
e a causa della (4.30) i coefficienti si determinano dalla relazione:<br />
an = 1<br />
2n2 <br />
(2n − 1) √ <br />
−2E − (Z + λ) an−1 + ɛ<br />
an−3.<br />
2n2 (4.32)<br />
Ma non possiamo più imporre la con<strong>di</strong>zione che u sia un polinomio finito,<br />
anche perché in campo elettrico non esistono stati <strong>di</strong>screti rigorosamente<br />
stazionari. Occorre perciò seguire un metodo <strong>di</strong> successive approssimazioni<br />
sod<strong>di</strong>sfacendo alla con<strong>di</strong>zione che u sia un polinomio finito a meno <strong>di</strong> termini<br />
che tendono a zero con ɛ più rapidamente <strong>di</strong> ɛ n ; ciò significa trascurare<br />
non quantità assolutamente piccole ma quantità che <strong>di</strong>vengono apprezzabili<br />
a <strong>di</strong>stanza tanto maggiore dal nucleo quanto più è piccolo ɛ. Porremo<br />
dunque<br />
an = a (0)<br />
n + ɛ a (1)<br />
n + ɛ 2 a (2)<br />
n + ɛ 3 a (3)<br />
n + . . . , (4.33)<br />
356
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
e ogni serie i <strong>di</strong> costanti a (i)<br />
n dovrà interrompersi per un determinato n.<br />
Così per le costanti a (0) abbiamo<br />
Porremo inoltre<br />
a (0)<br />
0 = 1, a (0)<br />
1<br />
= a (0)<br />
2<br />
= . . . = a (0)<br />
n = 0. (4.34)<br />
λ = ɛ λ1 + ɛ 2 λ2 + ɛ 3 λ3 + . . . (4.35)<br />
√ −2E = Z + ɛ k1 + ɛ 2 k2 + ɛ 3 k3 + . . . . (4.36)<br />
Ricor<strong>di</strong>amo inoltre che valendo a0 = a (0)<br />
0 = 1, dovrà essere per r > 1<br />
a (r)<br />
0 = 0, r > 1. (4.37)<br />
Sostituiamo in (4.32) me<strong>di</strong>ante le precedenti relazioni e abbiamo per la<br />
parte in<strong>di</strong>pendente da ɛ:<br />
a (0)<br />
n<br />
= n − 1<br />
n 2<br />
Z a(0) n−1, (4.38)<br />
che sono sod<strong>di</strong>sfatte dalle (4.34). Considerando invece gli infinitesimi <strong>di</strong><br />
primo or<strong>di</strong>ne giungiamo alla relazione:<br />
a (1)<br />
n<br />
= n − 1<br />
n 2<br />
Z a(1) n−1 + 1<br />
2n2 [(2n − 1) k1 − λ1] a (0)<br />
n−1 + 1<br />
2n<br />
2 a(0)<br />
n−3. (4.39)<br />
La con<strong>di</strong>zione che la serie delle costanti a (1) si interrompa a un certo<br />
punto impone che a (1)<br />
3<br />
parte abbiamo<br />
da cui<br />
= 0; sarà allora identicamente a (1)<br />
3+r = 0. D’altra<br />
a (1)<br />
0 = 0 (4.40)<br />
a (1)<br />
1 = 1<br />
2 (k1 − λ1) (4.41)<br />
a (1)<br />
2 = 1<br />
8 (k1 − λ1) Z (4.42)<br />
a (1)<br />
3 =<br />
k1 − λ1<br />
36<br />
Z 2 + 1<br />
18<br />
= 0, (4.43)<br />
k1 − λ1 + 2/Z 2 = 0. (4.44)<br />
Per passare da s a q dobbiamo lasciare inalterato √ −2E e cangiar segno<br />
a λ e ɛ onde dalle (4.29) e dalle relazioni analoghe se ne ottengono altre<br />
357
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
cangiando il segno <strong>di</strong> ki o <strong>di</strong> an se i è <strong>di</strong>spari e lasciando inalterato se i è<br />
pari e inoltre cangiando il segno <strong>di</strong> λi se i è pari e lasciandolo inalterato se<br />
i è <strong>di</strong>spari. Alla (4.44) va quin<strong>di</strong> aggiunto<br />
da cui<br />
K1 = 0, λ1 = 2<br />
, a(1)<br />
Z2 1<br />
− k1 − λ1 + 2<br />
= 0, (4.45)<br />
Z2 = − 1<br />
, a(1)<br />
Z2 2<br />
Riassumendo, la prima approssimazione fornisce<br />
u =<br />
<br />
1<br />
1 − ɛ ξ +<br />
Z2 1<br />
4Z ξ2<br />
<br />
v = 1 − ɛ<br />
√ −2E = Z + ɛ · 0<br />
λ =<br />
<br />
1 1<br />
ξ +<br />
Z2 4Z ξ2<br />
<br />
2<br />
ɛ, F = 2 ɛ.<br />
Z2 = − 1<br />
. (4.46)<br />
4Z<br />
(4.47)<br />
La terza delle (4.47) attesta la mancanza dell’effetto Stark <strong>di</strong> primo or<strong>di</strong>ne<br />
nello stato fondamentale. Passiamo alla seconda approssimazione.<br />
Eguagliando i termini in ɛ 2 nei due membri <strong>di</strong> (4.32), si ottiene<br />
a (2)<br />
n =<br />
n − 1<br />
n 2<br />
Z a(2) n−1 + 1<br />
2n2 [(2n − 1) k1 − λ1] a (1)<br />
n−1<br />
+ 1<br />
2n2 [(2n − 1) k2 − λ2] a (0)<br />
n−1 + 1<br />
2n<br />
2 a(1)<br />
(4.48)<br />
n−3. (4.49)<br />
Perché la serie delle a (2) sia finita, si verifica facilmente che deve essere<br />
a (2)<br />
5<br />
abbiamo<br />
= 0, da cui segue a (2)<br />
5+r = 0. Badando a (4.34), (4.37), e (4.47),<br />
a (2)<br />
0 = 0 (4.50)<br />
a (2)<br />
1 = 1<br />
2 (k2 − λ2) (4.51)<br />
a (2)<br />
2 = k2 − λ2<br />
Z +<br />
8<br />
1<br />
4Z4 358<br />
(4.52)
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
a (2)<br />
3 = k2 − λ2<br />
Z<br />
36<br />
2 + 1 1<br />
+<br />
18Z3 36Z3 = k2 − λ2<br />
36<br />
Z 2 + 1<br />
12Z 3<br />
a (2)<br />
4 = k2 − λ2<br />
192 Z3 + 1<br />
64Z2 −<br />
1<br />
32Z2 = k2 − λ2<br />
192 Z3 − 1<br />
64Z2 a (2)<br />
5 =<br />
k2 − λ2<br />
1200 Z4 − 1<br />
400Z<br />
= k2 − λ2<br />
1200 Z4 − 3<br />
400Z<br />
− 1<br />
200Z<br />
(4.53)<br />
(4.54)<br />
= 0, (4.55)<br />
da cui<br />
k2 − λ2 − 9<br />
= 0,<br />
25<br />
(4.56)<br />
che deve valere insieme a quella che si ottiene lasciando inalterato k2<br />
cangiando segno a λ2:<br />
e<br />
da cui<br />
e<br />
a (2)<br />
1 = 9<br />
2Z<br />
5 , a(2)<br />
2 = 11<br />
8Z<br />
k2 + λ2 − 9/25 = 0, (4.57)<br />
λ2 = 0, k2 = 9/25, (4.58)<br />
4 , a(2)<br />
3 = 1<br />
3Z<br />
, a(2)<br />
3 1 = 1<br />
. (4.59)<br />
32Z2 I risultati della seconda approssimazione si riassumono ricordando che<br />
ɛ = F/2<br />
u =<br />
<br />
1 1<br />
1 − F ξ +<br />
2Z2 8Z ξ2<br />
<br />
+ F 2<br />
<br />
9 11<br />
ξ +<br />
8Z5 32Z4 ξ2 + 1<br />
12Z3 ξ3 v =<br />
<br />
1<br />
+ ξ4<br />
128Z2 <br />
1 1<br />
1 + F η +<br />
2Z2 8Z η2<br />
<br />
+ F 2<br />
<br />
9 11<br />
η +<br />
8Z5 32Z4 η2 + 1<br />
12Z3 η3 <br />
1<br />
+ η4<br />
128Z2 (4.60)<br />
√<br />
−2E =<br />
2 9<br />
Z + F<br />
4Z5 359
E = − 1<br />
2 Z2 − 9<br />
4Z<br />
λ =<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
2<br />
F 4<br />
1<br />
Z2 F + 0 F 2 .<br />
L’autofunzione completa <strong>di</strong> seconda approssimazione sarà per (4.24) e<br />
(4.29):<br />
<br />
ψ = exp − Z + 9<br />
<br />
2 ξ + η<br />
F u(ξ) v(η),<br />
4Z5 r<br />
(4.61)<br />
essendo u e v date da (4.60). Ripassando alle coor<strong>di</strong>nate cartesiane me<strong>di</strong>ante<br />
(4.19) si ha, trascurando termini in F 3 :<br />
ψ =<br />
<br />
exp − Z + 9<br />
<br />
2<br />
1 1<br />
F r 1 − F x +<br />
4Z5 Z2 2Z rx<br />
<br />
+ F 2<br />
<br />
9 1<br />
r +<br />
4Z5 16Z4 <br />
7r2 2<br />
+ 15x + 1<br />
24Z3 3 2<br />
r + 15rx <br />
<br />
+<br />
. (4.62)<br />
1<br />
8Z 2 r2 x 2<br />
Conviene sviluppare ψ secondo le funzioni sferiche. Se θ è l’angolo r · x<br />
si trova (ve<strong>di</strong> il paragrafo che segue):<br />
<br />
ψ = exp − Z + 9<br />
<br />
2<br />
F r<br />
4Z5 <br />
× 1 + F 2<br />
<br />
9r 3r2 r3 r4<br />
+ + +<br />
4Z5 4Z4 4Z3 24Z2 <br />
<br />
r r2<br />
− F + P1(cos θ)<br />
Z2 2Z<br />
+ F 2<br />
2<br />
5r 5r3 r4<br />
+ +<br />
8Z4 12Z3 12Z2 <br />
P2(cos θ) , (4.63)<br />
o, ciò che è lo stesso quando si trascurano termini in F 3<br />
ψ = e −Zr<br />
<br />
1 + F 2<br />
2<br />
3r r3 r4<br />
+ +<br />
4Z4 4Z3 24Z2 <br />
<br />
r r2<br />
− F + P1(cos θ)<br />
Z2 2Z<br />
+ F 2<br />
2<br />
5r 5r3 r4<br />
+ +<br />
8Z4 12Z3 12Z2 <br />
P2(cos θ) . (4.64)<br />
360
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Facilmente (ve<strong>di</strong> nel prossimo paragrafo) si può costruire ψ 2 in seconda<br />
approssimazione:<br />
ψ 2 = e −2Zr<br />
<br />
1 + F 2<br />
2<br />
11r<br />
6Z<br />
<br />
2r r2<br />
− F + P1(cos θ)<br />
Z2 Z<br />
+ F 2<br />
2<br />
23r 3r3 r4<br />
+ +<br />
12Z4 2Z3 3Z2 <br />
5r3 r4<br />
+ + 4 6Z3 6Z2 <br />
<br />
P2(cos θ) . (4.65)<br />
4.3 Sviluppo <strong>di</strong> un polinomio in<br />
−1 ≤ x ≤ 1 secondo i polinomi <strong>di</strong><br />
Legendre<br />
(Si veda Vol.1, §1.42.)<br />
1 = P0<br />
x = P1<br />
x 2 = 2 1<br />
P2 +<br />
3 3 P0<br />
x 3 = 2<br />
5 P3 + 3<br />
5 P1<br />
x 4 = 8<br />
35 P4 + 4<br />
7 P2 + 1<br />
5 P0<br />
. . .<br />
x n =<br />
2α≤n <br />
2 n−2α (2n − 4α + 1)<br />
α=0<br />
361<br />
(n − α)! n!<br />
α! (2n − 2α + 1)! Pn−2α(x).
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
4.4 Regole <strong>di</strong> moltiplicazione dei polinomi<br />
<strong>di</strong> Legendre<br />
Si ha 31<br />
P0 P1 P2 P3 P4<br />
P0 P0 P1 P2 P3 P4<br />
P1 P1<br />
P2 P2<br />
1<br />
3 P0 + 2<br />
3 P2<br />
2<br />
5 P1 + 3<br />
5 P3<br />
2<br />
5 P1 + 3<br />
5 P3<br />
3<br />
7 P2 + 4<br />
7 P4<br />
4<br />
9 P3 + 5<br />
9 P5<br />
1<br />
5 P0 + 2<br />
7 P2 + 18<br />
35 P4 P2P3 P2P4<br />
P3 P3 P3P1 P3P2 P3P3 P3P4<br />
P4 P4 P4P1 P4P2 P4P3 P4P4<br />
31 Nel manoscritto originale la forma esplicita dei prodotti P2P3, P2P4, P3P1,<br />
P3P2, P3P3, P3P4, P4P1, P4P2, P4P3, P4P4 non è riportata. La si ripropone qui<br />
<strong>di</strong> seguito:<br />
P2P3 = P3P2 = 9<br />
35 P1 + 4<br />
15 P3 + 10<br />
21 P5<br />
P2P4 = P4P2 = 2<br />
7 P2 + 20<br />
77 P4 + 5<br />
11 P6<br />
P3P1 = P1P3<br />
P3P3 = 1<br />
7 P0 + 4<br />
21 P2 + 18<br />
77 P4 + 100<br />
231 P6<br />
175<br />
429 P7<br />
P4P4 = 1<br />
9 P0 + 100<br />
693 P2 + 162<br />
1081 P4 + 20<br />
99 P6 + 490<br />
1287 P8.<br />
P3P4 = P4P3 = 4<br />
21 P1 + 2<br />
11 P3 + 20<br />
91 P5<br />
362
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
4.5 Funzione <strong>di</strong> Green per l’equazione<br />
<strong>di</strong>fferenziale y ′′ + (2/x − 1) y + φ(x) = 0<br />
L’equazione <strong>di</strong>fferenziale<br />
y ′′ +<br />
con le con<strong>di</strong>zioni ai limiti<br />
2<br />
x<br />
<br />
− 1 y = − φ(x), (4.66)<br />
y(0) = y(∞) = 0, (4.67)<br />
ammette soluzioni nel campo [0, ∞) solo se −φ(x) è ortogonale alla soluzione<br />
χ dell’equazione (resa) omogenea:<br />
χ ′′ +<br />
2<br />
x<br />
<br />
− 1 χ = 0, (4.68)<br />
con la con<strong>di</strong>zione ai limiti (4.67). Una soluzione non nulla <strong>di</strong> (4.68) esiste<br />
ed è, normalizzata,<br />
χ = 2x e −x . (4.69)<br />
Segue che se φ(x) è una qualsiasi funzione continua, l’equazione <strong>di</strong>fferenziale:<br />
y ′′ <br />
2<br />
+ − 1 y = − φ(x) + 4x e<br />
x −x<br />
∞<br />
φ(x) x e<br />
0<br />
−x dx (4.70)<br />
ammette soluzioni sod<strong>di</strong>sfacenti a (4.67). Possiamo porre<br />
<br />
y(x) = G(x, ξ) φ(ξ) dξ. (4.71)<br />
Tanto y che G(x, ξ), quest’ultima riguardata come funzione <strong>di</strong> x per ogni<br />
valore <strong>di</strong> ξ, sono definite a meno <strong>di</strong> una funzione proporzionale a χ. Toglieremo<br />
ogni arbitrarietà imponendo che G, e <strong>di</strong> conseguenza y, sia ortogonale<br />
a χ. Allora la funzione <strong>di</strong> Green G(x, ξ) è necessariamente simmetrica in<br />
x e ξ. Ponendo<br />
L = d2<br />
+<br />
dx2 363<br />
2<br />
x<br />
<br />
− 1 , (4.72)
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
la funzione <strong>di</strong> Green sod<strong>di</strong>sfa all’equazione <strong>di</strong>fferenziale<br />
L G(x, ξ) = 4x e −x ξ e −ξ , (4.73)<br />
ed inoltre deve avere una <strong>di</strong>scontinuità nella derivata prima per x = ξ in<br />
modo che sia:<br />
<br />
d<br />
G(x, ξ)<br />
dx x=ξ+0<br />
Poniamo<br />
−<br />
<br />
d<br />
G(x, ξ)<br />
dx x=ξ−0<br />
= − 1. (4.74)<br />
G(x, ξ) = 4ξ e −ξ p(x, ξ) (4.75)<br />
e riguar<strong>di</strong>amo per il momento p come funzione <strong>di</strong> x essendo ξ costante.<br />
Avremo per la (4.74):<br />
L p = x e −x . (4.76)<br />
La soluzione generale <strong>di</strong> (4.76) si ottiene aggiungendo a una soluzione particolare<br />
la soluzione generale dell’equazione omogenea<br />
L p = 0. (4.77)<br />
La soluzione generale <strong>di</strong> (4.76) è a sua volta combinazione lineare <strong>di</strong> due<br />
(soluzioni) in<strong>di</strong>pendenti <strong>di</strong> cui l’una è la stessa χ data da (4.69) e l’altra<br />
può essere notoriamente:<br />
χ1 = χ<br />
dx<br />
χ 2 = − ex + 2x e −x<br />
2x<br />
e<br />
dx (4.78)<br />
x<br />
od anche, poiché possiamo fissare arbitrariamente il limite inferiore dell’integrale:<br />
χ1 = 2x e −x<br />
x<br />
0<br />
0<br />
e 2x − 1<br />
x<br />
dx + 2x e −x log x − e x . (4.79)<br />
Una soluzione particolare <strong>di</strong> (4.76), e precisamente quella che si annulla<br />
insieme con la sua prima derivata per x = 0 (ve<strong>di</strong> tesi) è la seguente:<br />
p0 = 1<br />
x<br />
e<br />
x e−x<br />
2 2x − 1<br />
dx −<br />
x<br />
1<br />
4 ex <br />
1 1 1<br />
+ + x −<br />
4 2 2 x2<br />
<br />
e −x . (4.80)<br />
Segue per la (4.75) che la funzione <strong>di</strong> Green può porsi sotto la forma:<br />
G(x, ξ) = 4ξ e −ξ p0(x) + ai(ξ) χ(x) + bi(ξ)χ1(x), (4.81)<br />
364
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
intendendo che l’in<strong>di</strong>ce i assuma il valore 1 per x < ξ e il valore 2 per x > ξ,<br />
cosicché il problema è ormai ridotto alla determinazione delle grandezze<br />
a1(ξ), b1(ξ), a2(ξ), b2(ξ) costanti rispetto a x. Esse si determinano me<strong>di</strong>ante<br />
le con<strong>di</strong>zioni ai limiti G = 0 per x = 0 e x = ∞, la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>scontinuità (4.74) per x = ξ e la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> ortogonalità fra la funzione<br />
<strong>di</strong> Green e la soluzione χ dell’equazione omogenea che sod<strong>di</strong>sfa alle<br />
con<strong>di</strong>zioni ai limiti. La con<strong>di</strong>zione G(0, ξ) = 0 importa:<br />
La con<strong>di</strong>zione G(∞, ξ) = 0 è sod<strong>di</strong>sfatta se:<br />
Dalla con<strong>di</strong>zione (4.74) segue<br />
b1 = 0. (4.82)<br />
b2 = − ξ e −ξ . (4.83)<br />
(a1 − a2) χ ′ (ξ) + (b1 − b2) χ ′ 1(ξ) = 1, (4.84)<br />
cioè, tenuto conto <strong>di</strong> (4.82) e (4.83):<br />
ed eseguiti i calcoli:<br />
a2 = a1 + ξ e −ξ<br />
a2 = a1 + ξ e −ξ χ ′ 1(ξ)<br />
χ ′ (ξ) −<br />
ξ<br />
0<br />
e 2ξ − 1<br />
ξ<br />
1<br />
χ ′ ; (4.85)<br />
(ξ)<br />
dξ + ξ e −ξ log ξ − eξ<br />
. (4.86)<br />
2<br />
Lasciando ancora indeterminata a1, abbiamo così le seguenti espressioni<br />
per la funzione <strong>di</strong> Green secondo che x < ξ o x > ξ:<br />
G(x, ξ) = ξ e −ξ<br />
<br />
2x e −x<br />
x<br />
e<br />
0<br />
2x − 1<br />
dx − e<br />
x<br />
x<br />
+ 1 + 2x − 2x 2 e −x<br />
+ 2 a1(ξ) x e −x , x < ξ; (4.87)<br />
G(x, ξ) = x e −x<br />
<br />
2ξ e −ξ<br />
ξ<br />
e 2ξ − 1<br />
dξ − e<br />
ξ<br />
ξ<br />
<br />
0<br />
+ ξ e −ξ 1 + 2x − 2x 2 + 2ξ e −ξ x e −x (log ξ − log x)<br />
+ 2 a1(ξ) x e −x , x > ξ. (4.88)<br />
365
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Resta da determinare a1 in base alla con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> ortogonalità:<br />
<br />
χ(x) G(x, ξ) dx = 0.<br />
Si trova:<br />
a1 =<br />
1<br />
2<br />
<br />
5<br />
+ ξ − ξ2 e<br />
2 −ξ − C ξ e −ξ − ξ e −ξ log 2ξ, (4.89)<br />
con C costante <strong>di</strong> Eulero.<br />
Sostituendo in (4.87) e in (4.88) si hanno le espressioni definitive per la<br />
funzione <strong>di</strong> Green:<br />
G(x, ξ) = e −ξ e −x ξ + x + (7 − 2C) ξ x − 2 ξ 2 x − 2 ξ x 2<br />
+ 2ξ e −ξ xe −x<br />
x<br />
0<br />
e 2x − 1<br />
dx<br />
x<br />
− ξ e −ξ e x − 2ξ e −ξ x e −x log 2ξ, x < ξ; (4.90)<br />
G(x, ξ) = e −ξ e −x ξ + x + (7 − 2C) ξ x − 2 ξ 2 x − 2 ξ x 2<br />
+ 2ξ e −ξ xe −x<br />
ξ<br />
0<br />
e 2ξ − 1<br />
dξ<br />
ξ<br />
− x e −x e ξ − 2ξ e −ξ x e −x log 2x, x > ξ. (4.91)<br />
La G(x, ξ) è, come deve essere, simmetrica in x e ξ, poiché (4.91) si ottiene<br />
da (4.90) scambiando x e ξ.<br />
4.6 Su uno sviluppo in serie del logaritmo<br />
integrale<br />
Il logaritmo integrale è definito dalla relazione<br />
essendo: 32<br />
Ei(−x) = − A(x), (4.92)<br />
A(x) =<br />
∞<br />
x<br />
e −ξ<br />
ξ<br />
dξ. (4.93)<br />
32 Questa funzione è anche nota come funzione gamma incompleta Γ(0, x).<br />
366
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Possiamo sviluppare 1/ξ per ξ > x in serie <strong>di</strong> polinomi secondo le formole<br />
del calcolo alle <strong>di</strong>fferenze finite richiedendo che i primi n termini dello<br />
sviluppo <strong>di</strong>ano il valore esatto <strong>di</strong> 1/ξ per ξ = x, x + 1, . . . , x + n − 1. Si<br />
trova ponendo:<br />
ξ = x + y, (4.94)<br />
la formola:<br />
1<br />
ξ<br />
e la (4.93) <strong>di</strong>venta<br />
A(x) = e−x<br />
x<br />
essendosi posto:<br />
Si trova<br />
= 1<br />
x −<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝1 −<br />
. . . ±<br />
In =<br />
y<br />
x(x + 1) +<br />
∞<br />
0<br />
y e −y dy<br />
x + 1<br />
y(y − 1)<br />
x(x + 1)(x + 2)<br />
+<br />
∞<br />
In<br />
(x + 1)(x + 2)· · ·(x + n)<br />
∞<br />
0<br />
0<br />
− . . . , (4.95)<br />
y (y − 1) e −y dy<br />
(x + 1)(x + 2)<br />
⎞<br />
− . . .<br />
⎟<br />
∓ . . . ⎟<br />
⎠ , (4.96)<br />
y (y − 1) · · · (y − n + 1) e −y dy. (4.97)<br />
I1 = 1, I2 = 1, I3 = 2, I4 = 4, I5 = 14,<br />
Sostituendo la (4.96) <strong>di</strong>venta:<br />
∞<br />
e −ξ<br />
ξ<br />
I6 = 38, I7 = 216, I8 = 600, . . . . (4.98)<br />
<br />
1 − 1<br />
x + 1 +<br />
x<br />
e−x<br />
dξ =<br />
x<br />
1<br />
(x + 1)(x + 2)<br />
2<br />
−<br />
(x + 1)(x + 2)(x + 3) +<br />
4<br />
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)<br />
14<br />
−<br />
(x + 1)(x + 2)· · ·(x + 5) +<br />
38<br />
(x + 1)(x + 2)· · ·(x + 6)<br />
<br />
−<br />
− . . . . (4.99)<br />
216<br />
(x + 1)(x + 2)· · ·(x + 7) +<br />
600<br />
(x + 1)(x + 2)· · ·(x + 8)<br />
367
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Se in (4.94) facciamo x = 1, la (4.95) <strong>di</strong>venta:<br />
1<br />
1 + y<br />
y y(y − 1) y(y − 1)(y − 2)<br />
= 1 − + −<br />
2! 3!<br />
4!<br />
y − (y − 1) · · · (y − n + 2)<br />
+ . . . ± ∓ . . . (4.100)<br />
n!<br />
Si deduce lo sviluppo del logaritmo <strong>di</strong> (1 + y):<br />
log (1 + y) = y − y2<br />
4 + 2y3 − 3y 2<br />
36<br />
− y4 − 4y 3 + 4y 2<br />
96<br />
+ . . . (4.101)<br />
Lasciando x indeterminato in (4.94) si ottiene la generalizzazione della<br />
(4.101):<br />
<br />
log 1 + y<br />
<br />
x<br />
= y<br />
x −<br />
−<br />
y 2<br />
2x(x + 1) +<br />
y 4 − 4y 3 + 4y 2<br />
4x(x + 1)(x + 2)(x + 3)<br />
2y 3 − 3y 2<br />
6x(x + 1)(x + 2)<br />
+ . . . (4.102)<br />
Poniamo t = y/x e conveniamo <strong>di</strong> usare n termini dello sviluppo (4.102)<br />
ponendo y = n − 1 e in conseguenza x = (n − 1)/t salvo che per n = 1,<br />
nel qual caso lasciamo y arbitrario; si ottengono allora successivamente le<br />
seguenti formole <strong>di</strong> approssimazione per log (1 + t):<br />
n = 1 : log (1 + t) = t (4.103)<br />
n = 2 : log (1 + t) = t −<br />
t 2<br />
2(1 + t)<br />
n = 3 : log (1 + t) = t − t2<br />
2 + t +<br />
n = 4 : log (1 + t) = t − 3t2<br />
2(3 + t) +<br />
−<br />
t 3<br />
3(2 + t)(2 + 2t)<br />
3t 3<br />
2(3 + t)(3 + 2t)<br />
(4.104)<br />
(4.105)<br />
3t 4<br />
. (4.106)<br />
4(3 + t)(3 + 2t)(3 + 3t)<br />
368
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Ad esempio, le dette espressioni <strong>di</strong>ventano per log 2 (t = 1) e log 10 (t = 9):<br />
n log 2 log 10<br />
1 1.0000 9.00<br />
2 0.7500 4.95<br />
3 0.6944 2.74<br />
4 0.6937 2.56<br />
4.7 Caratteri primitivi del gruppo delle<br />
permutazioni <strong>di</strong> f oggetti<br />
Si ha 33<br />
f = 1 (P.N. = 1)<br />
nk<br />
Partitio →<br />
Classe ↓<br />
1<br />
1 + (1) 1<br />
f = 2 (P.N. = 2)<br />
Partitio → 1+<br />
nk Classe ↓ 2 1<br />
1+ (1)(2) 1 1<br />
1− (12) 1 -1<br />
33 In quel che segue, la notazione P.N. in<strong>di</strong>ca la “Partitio Numerorum”, cioè il<br />
numero <strong>di</strong> mo<strong>di</strong> in cui si possono collocare f oggetti. Nelle tabelle, ogni “partitio”<br />
è definita nella prima riga dalla terza colonna in poi. Nella seconda colonna sono<br />
invece definite le classi dei cicli <strong>di</strong> permutazioni <strong>degli</strong> f oggetti. Nella prima<br />
colonna è infine in<strong>di</strong>cato il numero <strong>di</strong> cicli della classe considerata. In ciascuna<br />
tabella - dalla terza colonna in avanti e dalla seconda riga in poi - sono mostrati<br />
i caratteri corrispondenti ad una data classe e “partitio”.<br />
369
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
f = 3 (P.N. = 3)<br />
Partitio → 2+<br />
1+<br />
1+<br />
nk Classe ↓ 3 1 1<br />
1+ (1)(2)(3) 1 2 1<br />
3− (12)(3) 1 0 -1<br />
2+ (123) 1 -1 1<br />
f = 4 (P.N. = 5)<br />
2+<br />
1+<br />
1+<br />
Partitio → 3+ 2+ 1+ 1+<br />
nk Classe ↓ 4 1 2 1 1<br />
1+ (1) . . . 1 3 2 3 1<br />
6− (12) . . . 1 1 0 -1 -1<br />
3+ (12)(34) 1 -1 2 -1 1<br />
8+ (123) . . . 1 0 -1 0 1<br />
6− (1234) 1 -1 0 1 -1<br />
f = 5 (P.N. = 7)<br />
2+<br />
1+<br />
1+<br />
3+ 2+ 1+ 1+<br />
Partitio → 4+ 3+ 1+ 2+ 1+ 1+<br />
nk Classe ↓ 5 1 2 1 1 1 1<br />
1+ (1) . . . 1 4 5 6 5 4 1<br />
10− (12) . . . 1 2 1 0 -1 -2 -1<br />
15+ (12)(34) . . . 1 0 1 -2 1 0 1<br />
20+ (123) . . . 1 1 -1 0 -1 1 1<br />
20− (123)(45) 1 -1 1 0 -1 1 -1<br />
30− (1234) . . . 1 0 -1 0 1 0 -1<br />
24+ (12345) 1 -1 0 1 0 -1 1<br />
370
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
f = 6 (P.N. = 11)<br />
3+<br />
4+ 3+ 1+<br />
Partitio → 5+ 4+ 1+ 3+ 2+ 1+<br />
nk Classe ↓ 6 1 2 1 3 1 1<br />
1+ (1) . . . 1 5 9 10 5 16 10<br />
15− (12) . . . 1 3 3 2 1 0 -2<br />
45+ (12)(34) . . . 1 1 1 -2 1 0 -2<br />
15− (12)(34)(56) 1 -1 3 -2 -3 0 2<br />
40+ (123) . . . 1 2 0 1 -1 -2 1<br />
120− (123)(45) . . . 1 0 0 -1 1 0 1<br />
40+ (123)(456) 1 -1 0 1 2 -2 1<br />
90− (1234) . . . 1 1 -1 0 -1 0 0<br />
90+ (1234)(56) 1 -1 1 0 -1 0 0<br />
144+ (12345) . . . 1 0 -1 0 0 1 0<br />
120− (123456) 1 -1 0 1 0 0 -1<br />
1+<br />
2+ 1+<br />
2+ 1+ 1+<br />
2+ 1+ 1+<br />
Partitio → 2+ 1+ 1+ 1+<br />
nk Classe ↓ 2 1 1 1<br />
1+ (1) . . . 5 9 5 1<br />
15− (12) . . . -1 -3 -3 -1<br />
45+ (12)(34) . . . 1 1 1 1<br />
15− (12)(34)(56) 3 -3 1 -1<br />
40+ (123) . . . -1 0 2 1<br />
120− (123)(45) . . . -1 0 0 -1<br />
40+ (123)(456) 2 0 -1 1<br />
90− (1234) . . . 1 1 -1 -1<br />
90+ (1234)(56) -1 1 -1 1<br />
144+ (12345) . . . 0 -1 0 1<br />
120− (123456) 0 0 1 -1<br />
371
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Partitio numerorum<br />
f P.N.<br />
1 1<br />
2 2<br />
3 3<br />
4 5<br />
5 7<br />
6 11<br />
7 15<br />
8<br />
9<br />
10<br />
11<br />
Gra<strong>di</strong> delle rappresentazioni irriducibili e<br />
sistemi reciproci 34<br />
f = 2<br />
2 1+1<br />
1+1 2<br />
1 1<br />
f = 3<br />
3 2+1 1+1+1<br />
1+1+1 2+1 3<br />
1 2 1<br />
f = 4<br />
34 Nelle tabelle che seguono, nella prima riga è riportata la rappresentazione<br />
irriducibile considerata, la seconda riga in<strong>di</strong>ca il sistema reciproco corrispondente,<br />
mentre la terza specifica il grado della rappresentazione considerata.<br />
372
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
4 3+1 2+2 2+1+1 1+1+1+1<br />
1+1+1+1 2+1+1 2+2 3+1 4<br />
1 3 2 3 1<br />
f = 5<br />
5 4+1 3+2 3+1+1<br />
1+1+1+1+1 2+1+1+1 2+2+1 3+1+1<br />
1 4 5 6<br />
2+2+1 2+1+1+1 1+1+1+1+1<br />
3+2 4+1 5<br />
5 4 1<br />
f = 6<br />
6 5+1 4+2 4+1+1<br />
1+1+1+1+1+1 2+1+1+1+1 2+2+1+1 3+1+1+1<br />
1 5 9 10<br />
3+3 3+2+1 3+1+1+1 2+2+2<br />
2+2+2 3+2+1 4+1+1 3+3<br />
5 16 10 5<br />
2+2+1+1 2+1+1+1+1 1+1+1+1+1+1<br />
4+2 5+1 6<br />
9 5 1<br />
373
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
f = 7<br />
7 6+1 5+2 5+1+1<br />
1+1+1+1+1+1+1 2+1+1+1+1+1 2+2+1+1+1 3+1+1+1+1<br />
1 6 14 15<br />
4+3 4+2+1 4+1+1+1 3+3+1 3+2+2 3+2+1+1<br />
2+2+1 3+2+1+1 4+1+1+1 3+2+2 3+3+1 4+2+1<br />
14 35 20 21 21 35<br />
3+1+1+1+1 2+2+2+1 2+2+1+1+1<br />
5+1+1 4+3 5+2<br />
15 14 14<br />
2+1+1+1+1+1 1+1+1+1+1+1+1<br />
6+1 7<br />
6 1<br />
4.8 Sviluppo dell’onda piana secondo le<br />
funzioni sferiche<br />
L’onda piana<br />
obbe<strong>di</strong>sce all’equazione <strong>di</strong>fferenziale<br />
u = e ikz = e<br />
ikr cos θ<br />
(4.107)<br />
∆ u + k 2 u = 0. (4.108)<br />
374
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Ogni soluzione <strong>di</strong> (4.108) si può esprimere come combinazioni lineari delle<br />
soluzioni particolari<br />
1<br />
√ ρ In+1/2(ρ) ϕ i n(θ, φ) (4.109)<br />
(ρ = kr; n = 0, 1, 2, . . .; i = −n, −n + 1, . . . , n), essendo In+1/2 la funzione<br />
<strong>di</strong> Bessel <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n + 1/2 e ϕ i n una generica funzione sferica superficiale<br />
<strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n. La u data dalla (4.107) è simmetrica intorno all’asse z onde<br />
nel suo sviluppo compariranno solo termini che portano a fattore funzioni<br />
sferiche zonali:<br />
u = e ikz = e iρ cos θ =<br />
∞<br />
n=0<br />
an<br />
√ ρ In+1/2(ρ) Pn(cos θ), (4.110)<br />
essendo Pn i polinomi <strong>di</strong> Legendre. Per determinare le costanti an moltiplichiamo<br />
i due membri <strong>di</strong> (4.110) per Pn(cos θ) e integriamo su una sfera<br />
<strong>di</strong> raggio r = ρ/k; <strong>di</strong>videndo quin<strong>di</strong> i due membri per 2πr 2 troviamo<br />
1<br />
−1<br />
e iρt Pn(t) dt =<br />
2 an<br />
√ In+1/2(ρ). (4.111)<br />
2n + 1 ρ<br />
Facciamo tendere ρ a zero e sviluppiamo secondo le potenze <strong>di</strong> ρ. Al primo<br />
membro otteniamo come primo termine <strong>di</strong>fferente da zero (ve<strong>di</strong> §4.3):<br />
i n ρ n<br />
n!<br />
1<br />
t<br />
−1<br />
n Pn(t) dt = inρ n<br />
n!<br />
mentre al secondo membro otteniamo:<br />
2<br />
2n + 1<br />
an<br />
√ ρ<br />
1<br />
(n + 1/2)!<br />
=<br />
<br />
ρ<br />
n + 1/2<br />
=<br />
r<br />
2 3 n<br />
· · · ·<br />
3 5 2n − 1 ·<br />
2<br />
2n + 1<br />
2 n+1 n!<br />
(2n + 1)! in ρ n , (4.112)<br />
=<br />
<br />
2 2<br />
2n + 1 π<br />
an<br />
2n + 1<br />
2<br />
π<br />
an<br />
1·3· · ·(2n + 1) ρn<br />
n+1 n!<br />
2<br />
(2n + 1)! ρn<br />
(4.113)<br />
da cui, confrontando con l’espressione precedente:<br />
an<br />
<br />
π<br />
= (2n + 1)<br />
2 in . (4.114)<br />
375
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Sostituendo in (4.111), si ricava la relazione notevole:<br />
In+1/2(ρ) =<br />
<br />
ρ<br />
2 π (−i)n<br />
1<br />
e iρt Pn(t) dt. (4.115)<br />
Esempi:<br />
I1/2(ρ) =<br />
I3/2(ρ) =<br />
−1<br />
<br />
2<br />
sin ρ, kz = ρ cos θ (4.116)<br />
π ρ<br />
<br />
2<br />
− cos ρ +<br />
π ρ<br />
1<br />
<br />
sin ρ . (4.117)<br />
ρ<br />
Sostituendo invece con (4.114) in (4.110) si ha lo sviluppo dell’onda piana:<br />
e ikz =<br />
∞<br />
n=0<br />
2n + 1<br />
ρ<br />
πρ<br />
2 in In+1/2(ρ) Pn(cos θ). (4.118)<br />
Scriviamo la (4.115) sotto la forma analoga a (4.111):<br />
1<br />
e iρt Pn(t) dt =<br />
<br />
2π<br />
ρ in In+1/2(ρ) (4.119)<br />
−1<br />
e sviluppiamo i due membri secondo le potenze <strong>di</strong> ρ. È facile convincersi che<br />
sono <strong>di</strong>fferenti da 0 solo i termini in ρ n+2α (α = 0, 1, 2, . . .) . Uguagliando<br />
nei due membri i coefficienti <strong>di</strong> ρ n+2α si ha:<br />
i n+2α<br />
(n + 2α)!<br />
1<br />
−1<br />
cioè semplificando:<br />
1<br />
(n + 2α)!<br />
1<br />
t n+2α Pn(t) dt =<br />
−1<br />
t n+2α Pn(t) dt =<br />
√ 2π i n (−1) α<br />
, (4.120)<br />
n+2α+1/2<br />
α! (n + α + 1/2)! 2<br />
√ π<br />
α! (n + α + 1/2)! 2 n+2α<br />
(4.121)<br />
e badando che<br />
<br />
n + α + 1<br />
<br />
!<br />
2<br />
=<br />
√ <br />
π 3 5<br />
· · · · · n + α +<br />
2 2 2 1<br />
=<br />
=<br />
<br />
2<br />
√<br />
π 1<br />
·3·5·7· · · (2n + 2α + 1)<br />
2 2n+α √<br />
π (2n + 2α + 1)!<br />
,<br />
2 (n + α)! 22n+2α (4.122)<br />
376
si ha infine:<br />
1<br />
−1<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
t n+2α Pn(t) dt = 2 n+1 (n + α)! (n + 2α)!<br />
. (4.123)<br />
α! (2n + 2α + 1)!<br />
Ponendo in (4.123) n in luogo <strong>di</strong> n − 2α si ha:<br />
1<br />
t<br />
−1<br />
n Pn−2α(t) dt = 2 n−2α+1<br />
(n − α)! n!<br />
α! (2n − 2α + 1)!<br />
(4.124)<br />
(con 2α ≤ n); da cui, badando alla con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> normalizzazione dei<br />
polinomi <strong>di</strong> Legendre<br />
1<br />
−1<br />
P 2 n(t) dt =<br />
2<br />
2n + 1 ,<br />
si ricava lo sviluppo <strong>di</strong> t n (n − 1 ≤ t ≤ 1) secondo i polinomi <strong>di</strong> Legendre:<br />
t n =<br />
2α≤n <br />
α=0<br />
2 n−2α (2n − 4α + 1)<br />
(n − α)! n!<br />
α! (2n − 2α + 1)! Pn−2α(t). (4.125)<br />
4.9 Formola <strong>di</strong> Rutherford dedotta con la<br />
meccanica classica<br />
Si abbia una corrente uniforme <strong>di</strong> particelle <strong>di</strong> carica Z ′ e e <strong>di</strong> massa m,<br />
muoventisi secondo l’asse z con velocità v. Sia io/v il numero <strong>di</strong> particelle<br />
per unità <strong>di</strong> volume e quin<strong>di</strong> io il flusso per unità <strong>di</strong> superficie normale<br />
all’asse z nell’unità <strong>di</strong> tempo. Si supponga inoltre che nell’origine delle coor<strong>di</strong>nate<br />
sia posto un corpo <strong>di</strong>ffondente <strong>di</strong> carica Ze; si domanda il numero<br />
<strong>di</strong> particelle che vengono deviate <strong>di</strong> un angolo θ per unità <strong>di</strong> tempo e <strong>di</strong><br />
angolo solido. Tale numero può porsi sotto la forma f(θ) io, e avrà f(θ)<br />
le <strong>di</strong>mensioni <strong>di</strong> una superficie (sezione d’urto). Per risolvere il problema<br />
osserviamo che ogni particella si muove in un piano passante per l’asse z.<br />
Scegliendo in questo coor<strong>di</strong>nate polari avremo<br />
¨ρ − ρ ˙ θ 2 = k<br />
ρ 2 ˙ θ = c.<br />
ρ 2 , k = ZZ′ e 2<br />
377<br />
m ;<br />
(4.126)
Eliminando θ:<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
¨ρ = k<br />
ρ<br />
2 + c2<br />
Assumendo come nuova variabile y = 1/ρ, troviamo<br />
ρ = 1<br />
y<br />
da cui sostituendo in (4.127)<br />
˙ρ = − 1 dy<br />
˙y = −<br />
y2 dθ ρ2 θ ˙ dy<br />
= − c<br />
dθ<br />
. (4.127)<br />
ρ3 (4.128)<br />
(4.129)<br />
¨ρ = − c d2y dθ2 ˙ θ = − c 2 y 2 d 2 y<br />
, (4.130)<br />
dθ2 che ammette come soluzione generale:<br />
1<br />
ρ<br />
d 2 y k<br />
+ y + = 0, (4.131)<br />
dθ2 c2 k<br />
= y = − + a cos θ + b sin θ. (4.132)<br />
c2 Determiniamo le costanti in base alle con<strong>di</strong>zioni ai limiti. Per θ = π<br />
deve essere ρ = ∞, poiché noi immaginiamo che le particelle provengano<br />
dall’infinito nella <strong>di</strong>rezione negativa dell’asse z. Questo importa:<br />
a = − k/c 2 . (4.133)<br />
Ancora, per θ = π dev’essere, secondo l’ipotesi, ˙ρ = −v e poiché per la<br />
(4.129) ˙ρ = −c dy/dθ, segue<br />
cosicché la (4.132) <strong>di</strong>venta<br />
1<br />
ρ<br />
c b = − v cioè b = − v/c, (4.134)<br />
k k v<br />
= − − cos θ −<br />
c2 c2 c<br />
sin θ, (4.135)<br />
che rappresenta un’iperbole i cui asintoti hanno le <strong>di</strong>rezioni θ1 = π e θ2 =<br />
−2 arctan (k/vc). Resta da esplicitare il significato geometrico <strong>di</strong> c, che si<br />
può dedurre dalla seconda delle (4.126), ma preferiamo partire dalla (4.135)<br />
378
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
introducendo le coor<strong>di</strong>nate cartesiane nel piano dell’orbita: z = ρ cos θ e<br />
ξ = ρ sin θ con che la (4.135) <strong>di</strong>venta<br />
1 − k<br />
c 2<br />
ovvero, in forma intera:<br />
cioè<br />
<br />
1 − v2c 2<br />
k2 <br />
k v<br />
z2 + ξ2 + z + ξ = 0, (4.136)<br />
c2 c<br />
z 2 + ξ 2 =<br />
ξ 2 − 2 vc<br />
k<br />
<br />
z + vc<br />
2 c2<br />
ξ + , (4.137)<br />
k k<br />
ξ z − 2 c2<br />
k<br />
z − 2 vc3<br />
k<br />
da cui si deduce l’equazione del primo asintoto:<br />
2 ξ − c4<br />
= 0, (4.138)<br />
k2 ξ = − c/v. (4.139)<br />
Il valore assoluto <strong>di</strong> ξ è uguale alla <strong>di</strong>stanza iniziale della particella dall’asse<br />
z parallelamente al quale si muove; scegliendo il verso dell’asse ξ in modo<br />
che ξ sia inizialmente [e quin<strong>di</strong> durante tutto il moto, se ZZ ′ > 0] positiva,<br />
avremo:<br />
c = − v δ. (4.140)<br />
La deviazione angolare della particella sarà quin<strong>di</strong> per quanto si è detto<br />
sopra sulla <strong>di</strong>rezione del secondo asintoto:<br />
θ = 2 arctan(k/v 2 δ). (4.141)<br />
L’angolo <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffusione θ cresce al <strong>di</strong>minuire <strong>di</strong> δ e le particelle deviate <strong>di</strong><br />
un angolo maggiore <strong>di</strong> θ sono quelle che per gran<strong>di</strong> valori negativi <strong>di</strong> z<br />
attraversano un cerchio <strong>di</strong> raggio δ normale all’asse z, cioè, nell’unità <strong>di</strong><br />
tempo<br />
n = π δ 2 io, (4.142)<br />
cioè, essendo per la (4.141) δ =<br />
n =<br />
k<br />
v 2 tan θ/2<br />
π k 2 io<br />
v4 tan2 . (4.143)<br />
θ/2<br />
379
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Il numero delle particelle <strong>di</strong>ffuse per unità <strong>di</strong> angolo solido sarà<br />
dn<br />
dω =<br />
dn<br />
−2π sin θ dθ<br />
e notando che dn/dω = f(θ) io, avremo, <strong>di</strong>fferenziando la (4.135) e <strong>di</strong>videndo<br />
per −2πio sin θdθ:<br />
f(θ) =<br />
Z 2 Z ′2 e 4<br />
4m 2 v 4 sin 4 θ/2 =<br />
Z 2 Z ′2 e 4<br />
16W 2 sin4 , (4.144)<br />
θ/2<br />
essendo W l’energia cinetica della particella libera. Ponendo:<br />
W = Z Z′ e 2<br />
, (4.145)<br />
l<br />
sarà l una lunghezza, positiva o negativa secondo che Z e Z ′ hanno o non<br />
hanno lo stesso segno. Sostituendo in (4.144) si ha la formola espressiva<br />
per la sezione <strong>di</strong> urti:<br />
f(θ) =<br />
l 2<br />
16 sin4 . (4.146)<br />
θ/2<br />
Possiamo definire una seconda sezione d’urto F (θ) come rapporto fra il<br />
numero n <strong>di</strong> particelle deviate <strong>di</strong> un angolo maggiore <strong>di</strong> θ nell’unità <strong>di</strong><br />
tempo e io. Tale numero è per la (4.143):<br />
n = π Z2 Z ′2 e 4 io<br />
m 2 v 4 tan 2 θ/2 = π Z2 Z ′2 e 4 io<br />
4W 2 tan 2 θ/2 =<br />
da cui segue:<br />
F (θ) =<br />
Fra f(θ) e F (θ) passa l’ovvia relazione:<br />
π l2 io<br />
4 tan2 , (4.147)<br />
θ/2<br />
π l 2<br />
4 tan2 . (4.148)<br />
θ/2<br />
F ′ (θ) = − 2π sin θ f(θ). (4.149)<br />
La relazione fra θ e δ espressa da (4.141) si può porre sotto la forma:<br />
essendo ɛ = l/δ.<br />
tan θ<br />
2<br />
380<br />
ɛ<br />
= , (4.150)<br />
2
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
ɛ θ<br />
0 0<br />
1 arctan 4/3<br />
2 π/2<br />
3 π − arctan 12/5<br />
4 π − arctan 4/3<br />
5 π − arctan 21/20<br />
4.10 La formola <strong>di</strong> Rutherford come<br />
prima approssimazione del<br />
metodo <strong>di</strong> Born<br />
Consideriamo l’onda piana 35<br />
ψ0 = e +iγz , (4.151)<br />
che rappresenta un flusso uniforme <strong>di</strong> particelle nella <strong>di</strong>rezione dell’asse z.<br />
Se m è la loro massa, ad ognuna compete l’energia cinetica<br />
W = 2<br />
2m γ2 . (4.152)<br />
Nell’origine delle coor<strong>di</strong>nate sia il punto <strong>di</strong>ffondente <strong>di</strong> carica Ze, mentre<br />
la carica delle particelle <strong>di</strong>ffuse sia Z ′ e. L’equazione <strong>di</strong>fferenziale a cui<br />
sod<strong>di</strong>sfa la funzione d’onda se l’energia è espressa dalla (4.152) sarà:<br />
<br />
∆ ψ + γ 2 − 2m2 k<br />
2 <br />
ψ = 0,<br />
r<br />
k = ZZ′ e 2<br />
.<br />
m<br />
(4.153)<br />
Riguardando il potenziale dovuto al punto <strong>di</strong>ffondente come piccolo, potremo<br />
considerare la (4.151) come autofunzione imperturbata e porre<br />
ψ = ψ0 + ψ1, (4.154)<br />
35 Nel manoscritto originale viene riportata la relazione <strong>di</strong> commutazione fondamentale<br />
pq − qp = /i vicino l’equazione (4.151). Come in precedenza, qui e<br />
nel seguito si è preferito adottare la notazione moderna in luogo <strong>di</strong> h/2π.<br />
381
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
essendo ψ1 un piccolo termine correttivo. Sostituendo in (4.153) e trascurando<br />
quantità <strong>di</strong> secondo or<strong>di</strong>ne avremo in prima approssimazione:<br />
∆ ψ1 + γ 2 ψ1 = 2m2 k<br />
2 r eiγz . (4.155)<br />
Per rendere unica la soluzione <strong>di</strong> (4.155) richie<strong>di</strong>amo: 1 ◦ ) che ψ1 si annulli<br />
all’infinito, ciò che significa che a grande <strong>di</strong>stanza dal corpo <strong>di</strong>ffondente<br />
ψ deve tendere all’onda imperturbata ψ0; 2 ◦ ) che ψ1 rappresenti un’onda<br />
sferica <strong>di</strong>vergente, e ciò per il suo significato fenomenologico. La soluzione<br />
della forma desiderata si ottiene con il metodo <strong>di</strong> Green usando come funzione<br />
caratteristica - e iγr /4πr. Si presentano tuttavia <strong>di</strong>fficoltà <strong>di</strong> convergenza<br />
per evitare le quali supporremo che il campo <strong>di</strong>ffondente agisce fino<br />
alla <strong>di</strong>stanza R, salvo in seguito a far tendere R all’infinito. La (4.155) va<br />
allora mo<strong>di</strong>ficata nel modo seguente:<br />
∆ ψ1 + γ 2 ψ1 = 2m2 k<br />
2<br />
1<br />
r<br />
∆ ψ1 + γ 2 ψ1 = 0, per r > R.<br />
<br />
1<br />
− e<br />
R<br />
iγz , per r < R,<br />
(4.156)<br />
Vogliamo scrivere le (4.156) in una forma un po’ <strong>di</strong>fferente introducendo<br />
la velocità delle particelle libere:<br />
con che le (4.156) <strong>di</strong>ventano:<br />
∆ ψ1 + γ 2 ψ1 = 2γ2 k<br />
v 2<br />
v = γ <br />
, (4.157)<br />
m<br />
1<br />
r<br />
∆ ψ1 + γ 2 ψ1 = 0, per r > R;<br />
e per ciò che si è detto sarà:<br />
ψi(P1) = 1<br />
4π<br />
<br />
2γ 2 k<br />
v2 <br />
1<br />
r<br />
S<br />
<br />
1<br />
−<br />
R<br />
<br />
1<br />
− e<br />
R<br />
iγz , per r < R,<br />
1<br />
(4.158)<br />
|r1 − r| eiγ(|r1 − r| + z) dτ, (4.159)<br />
l’integrale essendo esteso entro una sfera <strong>di</strong> raggio R. (Siano r1, θ1, φ1 le<br />
coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> P1, mentre r, θ, φ sono le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> un punto generico<br />
del campo <strong>di</strong> integrazione). Vogliamo supporre r1 ≫ R e trascurare in<br />
382
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
ψ1 termini dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 1/r 2 ; possiamo allora sostituire al denominatore<br />
1/|r1 − r| semplicemente 1/r1, e la (4.159) <strong>di</strong>venta<br />
ψ1(P1) =<br />
γ2 k<br />
2π v 2 r1<br />
<br />
S<br />
1<br />
r<br />
<br />
1<br />
− e<br />
R<br />
iγ(|r1 − r| + z) dτ. (4.160)<br />
e badando che entro l’integrale possiamo trascurare termini dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong><br />
1/r possiamo porre:<br />
|r1 − r| r1 − r (cos θ1 cos θ + sin θ1 sin θ cos(φ1 − φ)) (4.161)<br />
[e, d’altra parte: z = r cos θ, con che l’integrale che comparisce in (4.160)<br />
<strong>di</strong>venta<br />
e iγr1<br />
<br />
1 1<br />
− e<br />
s r R<br />
iγr ((1 − cos θ1) cos θ − sin θ1 sin θ cos(φ1 − φ)) dτ.<br />
(4.162)<br />
Possiamo supporre senza restrizione φ1 = 0, ma ciò l’integrale non<br />
resta essenzialmente semplificato]. Conviene scegliere un nuovo sistema <strong>di</strong><br />
coor<strong>di</strong>nate polari - nel verso che forma angolo acuto con δ1ϕ1 - assumendo<br />
come nuovo asse polare la bisettrice esterna dell’angolo (rr1). Se come<br />
piano meri<strong>di</strong>ano (Φ = 0) assumiamo quello che passa per l’asse z e per P1,<br />
le coor<strong>di</strong>nate polari <strong>di</strong> quest’ultimo punto saranno:<br />
e sarà inoltre<br />
<strong>di</strong> modo che<br />
r1, Θ1 = π<br />
2<br />
− θ1<br />
2 , Φ1 = 0, (4.163)<br />
cos θ = − sin(θ1/2) cos Θ + cos(θ1/2) cos Φ sin Θ, (4.164)<br />
z = − r sin(θ1/2) cos Θ + r cos(θ1/2) cos Φ sin Θ (4.165)<br />
|r1 − r| r1 − r (sin(θ1/2) cos Θ + cos(θ1/2) cos Φ sin Θ) (4.166)<br />
z + |r1 − r| r1 − 2 sin(θ1/2) r cos Θ. (4.167)<br />
Sostituendo l’integrale che figura in (4.160) <strong>di</strong>venta<br />
e iγr1<br />
<br />
S<br />
1<br />
r<br />
<br />
1<br />
− e<br />
R<br />
−2iγr sin(θ1/2) cos θ<br />
dτ. (4.168)<br />
383
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Integrando rispetto a Φ quando si scriva dτ = r 2 dr d cos Θ dΦ abbiamo<br />
2π e iγr1<br />
R<br />
r<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1 1<br />
− dr e<br />
r R −1<br />
−2iγr sin(θ1/2) cos θ d cos Θ<br />
2π e<br />
=<br />
iγr1<br />
R <br />
1 1<br />
r − sin (2 γ r sin(θ1/2)) dr<br />
γ sin(θ1/2) 0 r R<br />
2π e<br />
=<br />
iγr1<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
sin (2 γ R sin(θ1/2))<br />
1 − . (4.169)<br />
γ sin(θ1/2) 2γ sin(θ1/2) 2 γ R sin(θ1/2)<br />
Facendo tendere R a infinito, il termine con R al denominatore si annulla<br />
(purché θ1 = 0); si ha allora sostituendo in (4.160) e scrivendo θ in luogo<br />
<strong>di</strong> θ1:<br />
ψ1(P1) =<br />
Ciò che interessa è il rapporto<br />
i1<br />
i0<br />
k e iγr1<br />
2 v2 r1 sin 2 . (4.170)<br />
(θ/2)<br />
= |ψ1| 2<br />
|ψ0| 2<br />
fra onda <strong>di</strong>ffusa e onda incidente. Ricordando l’espressione (4.151) <strong>di</strong> ψ0 e<br />
introducendo l’energia della particella in luogo della velocità, si trova<br />
i1 =<br />
Z 2 Z ′2 e 4 i0<br />
16 W 2 r2 1 sin 4 , (4.171)<br />
(θ/2)<br />
che coincide con la formola (4.144), se si bada che sezione d’urto colà<br />
introdotta è per definizione:<br />
f(θ) = r 2 i1<br />
1<br />
i0<br />
384<br />
. (4.172)
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
4.11 L’equazione <strong>di</strong> Laplace<br />
Inten<strong>di</strong>amo l’equazione <strong>di</strong>fferenziale:<br />
u ′′ <br />
+ δ0 + δ1<br />
<br />
u<br />
r<br />
′ <br />
+ ɛ0 + ɛ1<br />
<br />
u = 0. (4.173)<br />
r<br />
Applichiamo la trasformazione <strong>di</strong> Laplace:<br />
u =<br />
<br />
f(z) e zr dz. (4.174)<br />
Sarà:<br />
u ′ =<br />
u ′′ =<br />
<br />
<br />
L<br />
L<br />
L<br />
z f(z) e zr dz (4.175)<br />
z 2 f(z) e zr dz. (4.176)<br />
Sostituendo in (4.173) si ricava<br />
0 =<br />
<br />
z<br />
L<br />
2 f(z) e zr <br />
+ δ0 + δ1<br />
<br />
z f(z) e<br />
r<br />
zr<br />
<br />
+ ɛ0 + ɛ1<br />
<br />
f(z) e<br />
r<br />
zr<br />
dz; (4.177)<br />
ovvero, moltiplicando per r l’equazione precedente e tenendo presente che<br />
si trova:<br />
0 =<br />
=<br />
<br />
L<br />
<br />
r e zr = d<br />
dz ezr ,<br />
δ1 z f(z) e zr + ɛ1 f(z) e zr + z 2 f(z) d<br />
dz ezr<br />
+ δ0 z f(z) d<br />
dz ezr + ɛ0 f(z) d<br />
dz ezr dz<br />
<br />
δ1 z f(z) + ɛ1 f(z)<br />
L<br />
− d 2 <br />
z f(z) + δ0 z f(z) + ɛ0 f(z)<br />
dz<br />
<br />
e zr dz<br />
<br />
d 2<br />
+ z f(z) e<br />
zr<br />
+ δ0 z f(z) e<br />
zr<br />
+ ɛ0 f(z) e<br />
zr<br />
dz<br />
dz.<br />
L<br />
385
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Scegliendo un cammino <strong>di</strong> integrazione tale che agli estremi l’espressione:<br />
2 <br />
z f(z) + δ0 z f(z) + ɛ0 f(z) e<br />
zr<br />
(4.178)<br />
acquisti lo stesso valore, basta per la vali<strong>di</strong>tà <strong>di</strong> (4.174) che sia sod<strong>di</strong>sfatta<br />
l’equazione <strong>di</strong>fferenziale:<br />
δ1 z f(z) + ɛ1 f(z) − d<br />
dz<br />
La (4.179) si può scrivere<br />
f ′ (z)<br />
f(z)<br />
= (δ1 − 2)z + ɛ1 − δ0<br />
z 2 + δ0z + ɛ0<br />
essendo c1 e c2 le ra<strong>di</strong>ci dell’equazione<br />
z 2 f(z) + δ0 z f(z) + ɛ0 f(z) = 0. (4.179)<br />
=<br />
β1<br />
z − c1<br />
+<br />
β2<br />
, (4.180)<br />
z − c2<br />
z 2 + δ0 z + ɛ0 = 0. (4.181)<br />
Dal confronto fra il secondo e il terzo membro <strong>di</strong> (4.180) segue<br />
da cui<br />
β1 + β2 = δ1 − 2, (4.182)<br />
β1 c2 + β2 c1 = δ0 − ɛ1, (4.183)<br />
β1 =<br />
c1δ1 − 2c1 − δ0 + ɛ1<br />
,<br />
c1 − c2<br />
β2 = c2δ1 − 2c2 − δ0 + ɛ1<br />
,<br />
c2 − c1<br />
e badando che, per la (4.181), δ0 = −(c1 + c2):<br />
β1 =<br />
ɛ1 + δ1c1<br />
c1 − c2<br />
ovvero ponendo per como<strong>di</strong>tà:<br />
con che:<br />
− 1, β2 =<br />
ɛ1 + δ1c2<br />
c2 − c1<br />
(4.184)<br />
− 1, (4.185)<br />
β1 = α1 − 1, β2 = α2 − 1, (4.186)<br />
α1 = ɛ1 + δ1c1<br />
c1 − c2<br />
, α2 = ɛ1 + δ1c2<br />
. (4.187)<br />
c2 − c1<br />
386
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
si ha, integrando la (4.180) e contentandoci <strong>di</strong> una soluzione particolare:<br />
f(z) = (z − c1) α1 − 1 (z − c2) α2 − 1 . (4.188)<br />
La rappresentazione integrale (4.174) assume allora la forma<br />
u =<br />
<br />
e zr (z − c1) α1 − 1<br />
(z − c2) α2 − 1<br />
dz, (4.189)<br />
L<br />
e la con<strong>di</strong>zione a cui il cammino <strong>di</strong> integrazione L deve sod<strong>di</strong>sfare perché la<br />
(4.189) sia valida, che cioè l’espressione (4.178) riacquisti il valore iniziale<br />
alla fine dell’intervallo <strong>di</strong> integrazione, si pone nella forma semplice:<br />
<br />
L<br />
d<br />
dz<br />
e zr (z − c1) α1 (z − c2) α2 dz = 0. (4.190)<br />
quando si ba<strong>di</strong> che r 2 + δ0z + ɛ0 = (z − c1)(z − c2)<br />
4.12 Forze <strong>di</strong> polarizzazione fra atomi <strong>di</strong><br />
idrogeno<br />
Usiamo le consuete unità elettroniche ( = e = m = 1; unità <strong>di</strong> energia<br />
e 2 /a0 = 2Ry). Consideriamo i due atomi alla <strong>di</strong>stanza R, che supporremo<br />
grande (R misura la <strong>di</strong>stanza in raggi <strong>di</strong> Bohr). Poiché le autofunzioni dei<br />
singoli atomi <strong>di</strong>minuiscono esponenzialmente con il raggio, sarà lecito - per<br />
lo stu<strong>di</strong>o <strong>di</strong> un’interazione che tende a zero secondo una potenza finita negativa<br />
<strong>di</strong> R - supporre gli atomi perfettamente separati e <strong>di</strong> piccole <strong>di</strong>mensioni<br />
rispetto a R. In particolare non ha luogo la <strong>di</strong>stinzione fra soluzione<br />
simmetrica negli elettroni o antisimmetrica negli stessi (riguar<strong>di</strong>amo i protoni<br />
come fissi per riguardo alla loro massa). In realtà la separazione<br />
<strong>di</strong> risonanza fra ortoidrogeno e paraidrogeno <strong>di</strong>minuisce esponenzialmente<br />
con R. Gli atomi essendo neutri l’interazione è nulla in prima approssimazione.<br />
Noi vogliamo calcolare “approssimativamente” la seconda approssimazione<br />
valendoci del cosiddetto metodo <strong>di</strong> Ritz. L’autofunzione<br />
imperturbata negli elettroni è (a meno del fattore <strong>di</strong> normalizzazione):<br />
ψ0 = e −(r1 + r2) , (4.191)<br />
387
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
essendo r1 la <strong>di</strong>stanza del primo elettrone dal primo nucleo e r2 quella del<br />
secondo elettrone dal secondo nucleo; ψ0 è così semplicemente il prodotto<br />
dell’autofunzione del primo elettrone per l’autofunzione del secondo e ciò<br />
è lecito per la trascurabilità della risonanza in questo caso limite. Le autofunzioni<br />
imperturbate corrette si otterrebbero notoriamente da ψ0 scambiando<br />
l’ufficio dei due elettroni e quin<strong>di</strong> sommando (soluzione simmetrica)<br />
o sottraendo (soluzione antisimmetrica). L’espressione dell’Hamiltoniana<br />
imperturbata è nelle nostre unità:<br />
H = − 1<br />
2 ∆′ 2 − 1<br />
2 ∆′′ 2 − 1<br />
r1<br />
− 1<br />
. (4.192)<br />
r2<br />
La perturbazione dovuta alla mutua presenza <strong>di</strong> 2 atomi deriva dai <strong>di</strong>poli<br />
variabili <strong>degli</strong> atomi stessi e vale per gran<strong>di</strong> R:<br />
δH = − 2x1x2 − y1y2 − z1z2<br />
R 3 , (4.193)<br />
con ovvio significato delle lettere. Noi ci proponiamo <strong>di</strong> determinare approssimativamente<br />
l’autofunzione perturbata con la posizione<br />
ψ = ψ0 + c δH ψ0, (4.194)<br />
essendo c una costante per ora arbitraria.<br />
l’energia me<strong>di</strong>a<br />
Per calcolare c consideriamo<br />
<br />
<br />
W = ψ (H + δH) ψ dτ ψ 2 dτ (4.195)<br />
e badando che Hψ0 = −ψ0; inoltre che<br />
<br />
e infine che:<br />
<br />
<br />
ψ 2 0 δH dτ = 0 (4.196)<br />
(δH) 2 ψ 2 0 dτ = 6<br />
R 6<br />
<br />
ψ 2 0 dτ (4.197)<br />
(δH) 3 ψ 2 0 dτ = 0 (4.198)<br />
<br />
<br />
ψ0 (δH) H (δH) ψ0 dτ = − (δH) 2 ψ 2 <br />
0 dτ<br />
+ ψ0 (δH) (H (δH) − (δH) H) ψ0 dτ = 0, (4.199)<br />
388
segue con facili calcoli:<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
W = −<br />
ovvero, poiché ci siamo posti nel caso limite R → ∞<br />
1 − 12c/R6<br />
1 + 6c2 , (4.200)<br />
/R6 W = − 1 + 12 6<br />
c +<br />
R6 R<br />
6 c2<br />
la con<strong>di</strong>zione dW/dc = 0 importa c = −1; in conseguenza<br />
(4.201)<br />
W = − 1 − 6/R 6 . (4.202)<br />
Il metodo dà dunque, nelle or<strong>di</strong>narie unità, −6e 2 /a0R 6 come potenziale<br />
delle forze <strong>di</strong> polarizzazione; questo risultato è abbastanza vicino a quello<br />
esatto ottenuto da Landau per altra via (−6.47e 2 /a0R 6 ) e il senso dell’errore<br />
quale deve essere per una nota proprietà dei meto<strong>di</strong> <strong>di</strong> minimo applicati<br />
allo stato fondamentale <strong>di</strong> un sistema. Per le autofunzioni perturbate si<br />
avrà approssimativamente, ponendo c = −1 in (4.194):<br />
ψ = e −(r1 + r2) + (1/R 3 )(2x1x2 − y1y2 − z1z2) e −(r1 + r2) . (4.203)<br />
L’approssimazione per l’autofunzione sarà naturalmente meno sod<strong>di</strong>sfacente<br />
che per l’autovalore.<br />
4.13 Rappresentazione integrale delle<br />
funzioni <strong>di</strong> Bessel<br />
L’equazione <strong>di</strong>fferenziale delle funzioni <strong>di</strong> Bessel:<br />
y ′′ + 1<br />
x y′ <br />
+ 1 − λ2<br />
x2 <br />
y = 0, (4.204)<br />
si semplifica ponendo<br />
y = x λ u. (4.205)<br />
389
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Infatti, sostituendo in (4.204) e <strong>di</strong>videndo per x λ , si ottiene<br />
u ′′ +<br />
2λ + 1<br />
x<br />
u ′ + u = 0. (4.206)<br />
che è un caso particolare dell’equazione <strong>di</strong> Laplace (4.173) con i valori delle<br />
costanti: δ0 = 0, δ1 = 2λ + 1, ɛ0 = 1, ɛ1 = 0. È quin<strong>di</strong> trasportabile al<br />
nostro caso lo sviluppo (4.189). Le costanti che ivi appariscono saranno<br />
nel nostro caso per le (4.181) e (4.187) del §11:<br />
c1 = i, c2 = −i, α1 = α2 =<br />
2λ + 1<br />
, (4.207)<br />
2<br />
con che, <strong>di</strong>sponendo <strong>di</strong> un’arbitraria costante moltiplicativa:<br />
<br />
u = k e zx z 2 + 1 λ − 1/2<br />
dz, (4.208)<br />
con la con<strong>di</strong>zione complementare:<br />
<br />
e zx z 2 + 1 λ + 1/2 B<br />
L<br />
A<br />
= 0, (4.209)<br />
essendo A e B gli estremi del campo <strong>di</strong> integrazione. Punti <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione<br />
della funzione integranda sono i punti +i e −i. Ponendo z = it, punti <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>ramazione saranno i punti ±1 e in luogo <strong>di</strong> (4.208) e (4.209) dovremo<br />
porre:<br />
<br />
u = k e itx t 2 − 1 λ − 1/2<br />
dt, (4.210)<br />
C<br />
<br />
e itx t 2 − 1 λ + 1/2 <br />
C<br />
= 0. (4.211)<br />
Per definire t 2 − 1 λ+1/2 nel piano complesso dobbiamo dare una definizione<br />
univoca <strong>di</strong> log(t 2 − 1).<br />
Divi<strong>di</strong>amo pertanto il piano complesso me<strong>di</strong>ante due semirette che partono<br />
dai punti <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione ±1, verso l’asse positivo <strong>degli</strong> immaginari,<br />
e definiamo log(t 2 − 1) positivo (e reale) per t > 1, mentre negli altri casi<br />
assume i valori che si deducono per continuità senza attraversare le linee<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione. Definiamo poi la funzione <strong>di</strong> Hankel H 1 λ:<br />
H 1 λ =<br />
Γ (1/2 − λ) (1/2x)λ<br />
π i Γ (1/2)<br />
<br />
390<br />
e itx t 2 − 1 λ − 1/2 dt. (4.212)
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
- 1<br />
H 2<br />
λ<br />
La con<strong>di</strong>zione (4.211) essendo riempita, sarà H 1 λ una soluzione <strong>di</strong> (4.204).<br />
In modo analogo si definisce H 2 λ sul cammino <strong>di</strong> sinistra. Per x reale si ha<br />
H 1 λ = H 1∗<br />
λ e in generale, come si deduce dal comportamento per x → 0:<br />
Iλ = 1<br />
2 (H1 λ + H 2 λ), Nλ = 1<br />
2i (H1 λ − H 2 λ), (4.213)<br />
essendo Iλ e Nλ funzioni rispettivamente <strong>di</strong> Bessel e <strong>di</strong> Neumann. Segue<br />
per x reale:<br />
H 1 λ(x) = Iλ(x) + i Nλ(x); (4.214)<br />
e saranno Iλ e Nλ due soluzioni reali <strong>di</strong> (4.204), la prima regolare per x = 0<br />
e la seconda in quadratura con la prima, per x → ∞.<br />
Vogliamo ora calcolare l’andamento asintotico <strong>di</strong> H 1 λ(x) per x → ∞ (x<br />
reale). Poniamo<br />
+ 1<br />
H 1<br />
λ<br />
t = 1 + i s<br />
, (4.215)<br />
x<br />
t 2 − 1 = 2i s<br />
x<br />
s2<br />
− , (4.216)<br />
x2 s andrà da ∞ a 0 e poi da 0 a ∞; giusta le convenzioni fatte log(t 2 − 1)<br />
avrà nel primo tratto il suo valore principale <strong>di</strong>minuito <strong>di</strong> 2π, e nel secondo<br />
tratto il suo valore principale (cioè parte immaginaria in valore assoluto<br />
π). Segue, dopo varie trasformazioni<br />
H 1 λ(x) =<br />
<br />
2 exp {i (x − λπ/2 − π/4)}<br />
πx Γ (λ + 1/2)<br />
391
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
×<br />
∞<br />
Segue asintoticamente per x → ∞:<br />
H 1 λ(x) ∼<br />
4.14 Simmetria cubica<br />
0<br />
e −s <br />
s<br />
λ − 1/2<br />
1 + is<br />
λ − 1/2<br />
ds. (4.217)<br />
2x<br />
<br />
2<br />
exp {i (x − λπ/2 − π/4)} . (4.218)<br />
πx<br />
Le 24 rotazioni (proprie) che trasportano gli assi x, y, z negli stessi assi,<br />
astrazion fatta dall’or<strong>di</strong>ne e dal verso, costituiscono un gruppo olomorfo al<br />
gruppo delle permutazioni <strong>di</strong> 4 oggetti. La corrispondenza olomorfa può<br />
stabilirsi nel modo seguente:<br />
I - Classe identica (1+)<br />
rotazioni permutazioni<br />
coseni <strong>di</strong>rettori angolo<br />
della rotazione <strong>di</strong> rotazione<br />
0 permutazione identica<br />
II - Classe 21 (6−)<br />
rotazioni permutazioni<br />
coseni <strong>di</strong>rettori angolo<br />
della rotazione <strong>di</strong> rotazione<br />
0 1/ √ 2 1/ √ 2<br />
1/ √ 2 0 1/ √ 2<br />
1/ √ 2 1/ √ 2 0<br />
0 1/ √ 2 −1/ √ 2<br />
−1/ √ 2 0 1/ √ 2<br />
1/ √ 2 −1/ √ 2 0<br />
392<br />
180 o<br />
180 o<br />
180 o<br />
180 o<br />
180 o<br />
180 o<br />
(14)<br />
(24)<br />
(34)<br />
(23)<br />
(31)<br />
(12)
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
III - Classe 02 (3+)<br />
rotazioni permutazioni<br />
coseni <strong>di</strong>rettori angolo<br />
della rotazione <strong>di</strong> rotazione<br />
1 0 0<br />
0 1 0<br />
0 0 1<br />
180 o<br />
180 o<br />
180 o<br />
(14) (23)<br />
(24) (31)<br />
(34) (12)<br />
IV - Classe 101 (8+)<br />
rotazioni permutazioni<br />
coseni <strong>di</strong>rettori angolo<br />
della rotazione <strong>di</strong> rotazione<br />
1/ √ 3 1/ √ 3 1/ √ 3<br />
1/ √ 3 1/ √ 3 1/ √ 3<br />
120 o<br />
240 o<br />
(123)<br />
(321)<br />
(234)<br />
(314)<br />
(124)<br />
(324)<br />
(134)<br />
(214)<br />
V - Classe 0001 (6−)<br />
rotazioni permutazioni<br />
coseni <strong>di</strong>rettori angolo<br />
della rotazione <strong>di</strong> rotazione<br />
(1234)<br />
(2314)<br />
(3124)<br />
(3214)<br />
(1324)<br />
(2134)<br />
Per la <strong>di</strong>mostrata identità del nostro gruppo con quello delle permutazioni<br />
<strong>di</strong> 4 oggetti, esso ammette 5 rappresentazioni irriducibili χs<br />
(s = 1, 2, 3, 4, 5), i cui caratteri sono dati nel §4.7 (f = 4). Una rappresentazione<br />
irriducibile Dj (j intero) del gruppo totale delle rotazioni<br />
spaziali è altresì una rappresentazione, in generale riducibile, del nostro<br />
393
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
gruppo. Riducendo questa si otterrà ns volte la rappresentazione χs, se ns<br />
è il valor me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> χj·χ ∗ s preso negli elementi del nostro gruppo. I caratteri<br />
Dj valgono sin(2j + 1)ω/ sin ω, se ω = α/2 è la metà dell’angolo <strong>di</strong><br />
rotazione. Per le 5 classi del nostro gruppo avremo quin<strong>di</strong> or<strong>di</strong>natamente<br />
come valori <strong>di</strong> χj<br />
2 j + 1, (−1) j , (−1) j ;<br />
1 − resto <strong>di</strong> j<br />
j<br />
, 1 + resto <strong>di</strong><br />
3 2<br />
− resto <strong>di</strong> j<br />
4 .<br />
Abbiamo così tutti gli elementi per il calcolo delle frequenze ns delle singole<br />
rappresentazioni irriducibili; considerando queste nell’or<strong>di</strong>ne che risulta<br />
dalla tabella del §4.7, per f = 4, si trova<br />
<br />
resto <strong>di</strong> j<br />
<br />
− 1<br />
<br />
resto <strong>di</strong><br />
3<br />
j<br />
<br />
3<br />
n1 = j 1<br />
+ 1 −<br />
12 2<br />
2<br />
− 1<br />
<br />
resto <strong>di</strong><br />
4<br />
j<br />
<br />
(4.219)<br />
4<br />
n2 = j<br />
<br />
1<br />
− resto <strong>di</strong><br />
4 2<br />
j<br />
<br />
+<br />
2<br />
1<br />
<br />
resto <strong>di</strong><br />
4<br />
j<br />
<br />
(4.220)<br />
4<br />
n3 = j<br />
<br />
1<br />
− resto <strong>di</strong><br />
6 2<br />
j<br />
<br />
+<br />
2<br />
1<br />
<br />
resto <strong>di</strong><br />
3<br />
j<br />
<br />
(4.221)<br />
3<br />
n4 = j<br />
4 +<br />
<br />
resto <strong>di</strong> j<br />
<br />
−<br />
2<br />
1<br />
<br />
resto <strong>di</strong><br />
4<br />
j<br />
<br />
(4.222)<br />
4<br />
n5 = j<br />
<br />
1<br />
− resto <strong>di</strong><br />
12 3<br />
j<br />
<br />
+<br />
3<br />
1<br />
<br />
resto <strong>di</strong><br />
4<br />
j<br />
<br />
. (4.223)<br />
4<br />
Badando che i gra<strong>di</strong> delle rappresentazioni irriducibili sono or<strong>di</strong>natamente<br />
1,3,2,3,1, si ha naturalmente<br />
n1 + 3 n2 + 2 n3 + 3 n4 + n5 = 2 j + 1. (4.224)<br />
Si constaterà che al limite per gran<strong>di</strong> valori <strong>di</strong> j la frequenza con cui si<br />
presentano le varie irriducibili è proporzionale ai loro gra<strong>di</strong>, come nella<br />
rappresentazione normale. Noti i valori ns per un certo valore <strong>di</strong> j si passa<br />
imme<strong>di</strong>atamente a quelli corrispondenti a j + 12q me<strong>di</strong>ante la tabella:<br />
394
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
j ′ = j + 12 q<br />
n ′ 1 = n1 + 1·q<br />
n ′ 2 = n2 + 3·q<br />
n ′ 3 = n3 + 2·q<br />
n ′ 4 = n4 + 3·q<br />
n ′ 5 = n5 + 1·q<br />
in cui i fattori <strong>di</strong> q sono precisamente i gra<strong>di</strong> delle rappresentazioni irriducibili.<br />
Basterà quin<strong>di</strong> calcolare gli ns da j = 0 a j = 11. La seguente<br />
tabella riassume i risultati:<br />
j n1 n2 n3 n4 n5<br />
0 1 0 0 0 0<br />
1 0 0 0 1 0<br />
2 0 1 1 0 0<br />
3 0 1 0 1 1<br />
4 1 1 1 1 0<br />
5 0 1 1 2 0<br />
6 1 2 1 1 1<br />
7 0 2 1 2 1<br />
8 1 2 2 2 0<br />
9 1 2 1 3 1<br />
10 1 3 2 2 1<br />
11 0 3 2 3 1<br />
12 1+1 0+3 0+2 0+3 0+1<br />
13 0+1 0+3 0+2 1+3 0+1<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
395
4.15 Formole<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
(1) Volume e superficie <strong>di</strong> una sfera a n <strong>di</strong>mensioni <strong>di</strong> raggio R:<br />
Vn =<br />
π n/2<br />
(n/2)! Rn ,<br />
Sn = n<br />
R Vn = n πn/2<br />
(n/2)! Rn−1 = 2π<br />
R Vn−2.<br />
Vn = R<br />
2π Sn+2, Sn = 2π<br />
R Vn−2<br />
Vn = 2π<br />
n<br />
n Vn/R n<br />
Vn = R<br />
n<br />
Sn, Sn =<br />
n R Vn<br />
1 2 2<br />
2 π<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
4<br />
3 π<br />
1<br />
2 π2<br />
8<br />
15 π2<br />
1<br />
6 π3<br />
(4.225)<br />
(4.226)<br />
(4.227)<br />
2π<br />
Vn−2, Sn = Sn−2. (4.228)<br />
n − 2<br />
Vn/Vn−1 Sn/Rn−1 Sn/Sn−1<br />
1<br />
π 2π π<br />
2<br />
4<br />
3<br />
4π 2<br />
3<br />
8 π 2π2 1<br />
2 π<br />
16<br />
15<br />
8<br />
3 π2<br />
4<br />
3<br />
5<br />
16 π π3 3<br />
8 π<br />
(2) Siano a e b numeri positivi o nulli interi o mezzi e c uno dei numeri:<br />
c = a + b, a + b − 1, a + b − 2, . . . , |a − b|. (4.229)<br />
396
Vale l’identità:<br />
a+b−c <br />
s=0<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
= (a + b + c + 1)! (c + a − b)! (c + b − a)!<br />
(c + a − b + s)! (2b − s)!<br />
s! (a + b − c − s)!<br />
. (4.230)<br />
(2c + 1)! (a + b − c)!<br />
Il primo membro della (4.230) è, come il secondo, simmetrico in a e<br />
b; per verificarlo basta porre in luogo <strong>di</strong> s: a + b − c − s.<br />
Poniamo per semplicità f(a, b, c) in luogo del primo membro della<br />
(4.230) e supponiamo l’identità <strong>di</strong>mostrata fino a un certo valore <strong>di</strong><br />
a; <strong>di</strong>mostriamo allora che vale anche per a + 1/2. Infatti:<br />
f (a + 1/2, b, c + 1/2)<br />
=<br />
a+b−c <br />
s=0<br />
(c + a − b + s + 1)<br />
= (c + a − b + s) f(a, b, c)<br />
+<br />
a+b−c−1 <br />
s=0<br />
(c + a − b + s)! (2b − s)!<br />
s! (a + b − c − s)!<br />
(c + a − b + 1 + s)! (2b − 1 − s)!<br />
s! (a + b − 1 − 1 − s)!<br />
= (c + a − b + s) f(a, b, c) + f (a, b − 1/2, c + 1/2) . (4.231)<br />
Sostituendo nei secon<strong>di</strong> membri, me<strong>di</strong>ante (4.230) troviamo imme<strong>di</strong>atamente<br />
che l’identità è sod<strong>di</strong>sfatta anche per f(a+1/2, b, c+1/2).<br />
Quando la con<strong>di</strong>zione α non è sod<strong>di</strong>sfatta in uno dei termini del secondo<br />
membro si può porre f(a, b, c) = 0, e la (4.231) è ancora valida.<br />
Per completare la <strong>di</strong>mostrazione dell’identità (4.230) basterà quin<strong>di</strong><br />
provare che essa regge per a = 0 e, necessariamente, b = c. In questo<br />
caso la sommatoria si riduce a un termine solo: (2c)!, e tale è anche<br />
il valore del secondo membro.<br />
397
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
4.16 Onde piane secondo la teoria <strong>di</strong> Dirac<br />
Scegliendo le componenti in modo che sia sod<strong>di</strong>sfatta l’equazione [prima e<br />
seconda coppia <strong>di</strong> ψ invarianti relativisticamente]<br />
<br />
W<br />
+ ρ3 (σ·p) + ρ1 m c ψ = 0 (4.232)<br />
c<br />
si hanno, per dati valori <strong>di</strong> px, py, pz due onde positive<br />
e due onde negative<br />
In un punto dato possiamo porre:<br />
ψ ′ = 1·ψ1 + 0·ψ2 − 1<br />
mc<br />
ψ ′′ =<br />
W/c = p 2 + m 2 c 2<br />
W/c = − p 2 + m 2 c 2 .<br />
W<br />
c<br />
+ pz<br />
1<br />
mc (px − ipy) ψ1 − 1<br />
<br />
W<br />
mc c<br />
<br />
ψ3 − 1<br />
mc (px + ipy) ψ4<br />
+ pz<br />
<br />
ψ2 + 0·ψ3 + 1·ψ4,<br />
(4.233)<br />
avendosi per W > 0 le onde positive e per W < 0 le onde negative; le<br />
quattro onde sono ortogonali e inoltre fra le due onde positive, oppure fra<br />
le due onde negative, si annulla la corrente <strong>di</strong> transizione.<br />
Scegliamo le componenti <strong>di</strong> ψ in modo che in luogo della (4.232) valga<br />
l’equazione (originale <strong>di</strong> Dirac) 36 :<br />
<br />
W<br />
c + ρ1<br />
<br />
(σ·p) + ρ3 m c ψ = 0 (4.234)<br />
(ψ1 e ψ2 componenti piccole per piccole velocità; ψ3 e ψ4 componenti<br />
gran<strong>di</strong>). In un punto e in un istante dato si può porre:<br />
ψ ′ = −<br />
ψ ′′ = −<br />
pz<br />
W/c + mc ψ1 −<br />
px − ipy<br />
W/c + mc ψ1 +<br />
px + ipy<br />
W/c + mc ψ2 + 1·ψ3 + 0·ψ4<br />
pz<br />
W/c + mc ψ2 + 0·ψ3 + 1·ψ4;<br />
(4.235)<br />
36∗ Per p = 0, la prima coppia <strong>di</strong> componenti <strong>di</strong> ψ rappresenta gli stati negativi,<br />
la seconda coppia gli stati positivi.<br />
398
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
per W/c = ± p 2 + m 2 c 2 onde positive e negative, rispettivamente.<br />
Ponendo<br />
e quin<strong>di</strong><br />
φ1 = (1 , 0 , 0 , 0), φ2 = (0 , 1 , 0 , 0)<br />
φ3 = (0 , 0 , 1 , 0), φ4 = (0 , 0 , 0 , 1)<br />
ψ = (ψ1, ψ2, ψ3, ψ4) = ψ1 φ1 + ψ2 φ2 + ψ3 φ3 + ψ4 φ4,<br />
nella rappresentazione in cui vale l’equazione (4.232), e analogamente<br />
˜ψ =<br />
<br />
˜ψ1, ψ2, ˜ ψ3, ˜ ψ4 ˜ = ˜ ψ1 ˜ φ1 + ˜ ψ2 ˜ φ2 + ˜ ψ3 ˜ φ3 + ˜ ψ4 ˜ φ4,<br />
nella rappresentazione in cui vale l’equazione (4.234), fra le autofunzioni φ<br />
e ˜ φ passano, a meno <strong>di</strong> un arbitrario fattore <strong>di</strong> fase, le relazioni:<br />
˜φ1 =<br />
˜φ2 =<br />
˜φ3 =<br />
˜φ4 =<br />
1<br />
√ 2 (φ1 + φ3), φ1 =<br />
1<br />
√ 2 (φ2 + φ4), φ2 =<br />
1<br />
√ 2 (φ1 − φ3), φ3 =<br />
1<br />
√ 2 (φ2 − φ4), φ4 =<br />
Seguono le relazioni ˜ ψ = ɛψ e ψ = ɛ −1 ˜ ψ = ɛ ˜ ψ, con<br />
ɛ =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1/ √ 2 0 1/ √ 2 0<br />
0 1/ √ 2 0 1/ √ 2<br />
1/ √ 2 0 −1/ √ 2 0<br />
0 1/ √ 2 0 −1/ √ 2<br />
⎞<br />
1<br />
√ 2 ( ˜ φ1 + ˜ φ3)<br />
1<br />
√ 2 ( ˜ φ2 + ˜ φ4)<br />
1<br />
√ 2 ( ˜ φ1 − ˜ φ3)<br />
1<br />
√ 2 ( ˜ φ2 − ˜ φ4).<br />
(4.236)<br />
⎟<br />
⎠ = ɛ−1 = 1<br />
√ 2 (ρ1 + ρ3) .<br />
(4.237)<br />
Dati i valori <strong>di</strong> (px, py, pz) = p, in<strong>di</strong>chiamo con y 1 p e y 2 p le onde piane<br />
positive (4.233) e con y 3 p e y 4 p le onde piane negative che si ottengono<br />
399
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
scambiando W in −W ; analogamente, in<strong>di</strong>chiamo con z 1 p e z 2 p le onde<br />
positive (4.235) e con z 3 p e z 4 p le onde negative. Inten<strong>di</strong>amo che tutte siano<br />
normalizzate con densità 1 (ψ ∗ ψ = 1). In un certo istante fra le y e le z<br />
passano le relazioni:<br />
essendo<br />
con<br />
S = S −1 =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
A + pz<br />
mc<br />
√ 2AB<br />
px − ipy<br />
mc<br />
√ 2AB<br />
z ∗ p = <br />
Sik y i p, (4.238)<br />
i<br />
y ∗ p = <br />
−<br />
i<br />
px + ipy<br />
mc<br />
√ 2AB<br />
A + pz<br />
mc<br />
√ 2AB<br />
0 0 −<br />
0 0<br />
S −1<br />
ik z i p, (4.239)<br />
0 0<br />
0 0<br />
A ′ − pz<br />
mc<br />
√ 2A ′ B ′<br />
px − ipy<br />
mc<br />
√ 2A ′ B ′<br />
A =<br />
<br />
p2 + m2c2 + mc<br />
,<br />
mc<br />
A ′ =<br />
<br />
p2 + m2c2 − mc<br />
mc<br />
B =<br />
<br />
p2 + m2c2 + pz<br />
,<br />
mc<br />
B ′ =<br />
<br />
p2 + m2c2 − pz<br />
mc<br />
px + ipy<br />
mc<br />
√ 2A ′ B ′<br />
A ′ − pz<br />
mc<br />
√ 2A ′ B ′<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(4.240)<br />
(4.241)<br />
(segue: A + A ′ = B + B ′ . Per p = 0 si ha: A = 2, A ′ = 0, B = 1, B ′ = 1.)<br />
Chiameremo brevemente rappresentazione R1 quella in cui vale l’equazione<br />
(4.232) e rappresentazione R2 quella in cui vale l’equazione (4.234).<br />
Le matrici σx, σy, σz descrivono ovviamente gli stessi operatori Sx, Sy, Sz<br />
sia nella rappresentazione R1 che nella rappresentazione R2 a causa della<br />
400
proprietà:<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
σ ρ1 + ρ3<br />
√<br />
2<br />
= ρ1 + ρ3<br />
√<br />
2<br />
σ. (4.242)<br />
Al contrario, uno stesso operatore γ, è rappresentato da ρ3 in R1 e da ρ1<br />
in R2 e un secondo operatore γ1 è rappresentato d ρ1 in R1 e da ρ3 in R2.<br />
L’equazione <strong>di</strong> Dirac può così scriversi in entrambe le rappresentazioni:<br />
<br />
W<br />
c + γ (ξ·p) + γ1<br />
<br />
m c ψ = 0. (4.243)<br />
Gli operatori ξ e γ trasformano fra loro le combinazioni delle quattro onde<br />
piane corrispondenti a dai valori <strong>di</strong> p. Le matrici che li rappresentano sono<br />
naturalmente <strong>di</strong>verse secondo che si considerino come vettori unitari ortogonali<br />
le onde piane normalizzate (4.233), cioè le y i p, ovvero le onde piane<br />
normalizzate (4.235), cioè le z i p, le matrici corrispondenti al secondo caso<br />
ottenendosi da quelle corrispondenti al primo per trasformazione me<strong>di</strong>ante<br />
S [da non confondere con lo spin (4.240) S = (Sx, Sy, Sz)].<br />
Nel primo caso (onde piane y i p) abbiamo:<br />
(i) Sz =<br />
⎛<br />
⎝<br />
s a z<br />
b †<br />
sz s b z<br />
s c z<br />
⎞<br />
⎠, Sx =<br />
⎛<br />
⎝<br />
s a x<br />
b †<br />
sx s b x<br />
s c x<br />
⎞<br />
⎠, Sy =<br />
in cui le sotto-matrici sono date da [(aij) † = (aji) ∗ ]<br />
s a z<br />
s b z<br />
=<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜ −2<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
2 + B 2 − BB ′<br />
B(B + B ′ )<br />
px + ipy<br />
2 mc<br />
B(B + B ′ )<br />
BB ′ − 1<br />
(B + B ′ ) √ BB ′<br />
px + ipy<br />
mc<br />
(B + B ′ ) √ BB ′<br />
px − ipy<br />
2 mc<br />
B(B + B ′ )<br />
2 + B 2 − BB ′<br />
B(B + B ′ )<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
px − ipy<br />
mc<br />
(B + B ′ ) √ BB ′<br />
BB ′ − 1<br />
(B + B ′ ) √ BB ′<br />
401<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎝<br />
s a y<br />
b †<br />
sy s b y<br />
s c y<br />
⎞<br />
⎠<br />
(4.244)
s c z<br />
s a x<br />
s b x<br />
s c x<br />
s a y<br />
=<br />
=<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
2 + B ′2 − BB ′<br />
B ′ (B + B ′ )<br />
2<br />
px + ipy<br />
mc<br />
B ′ (B + B ′ )<br />
px<br />
mc<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
B + B ′ − 2<br />
B + B ′<br />
− 2<br />
B + B ′ −2<br />
px<br />
mc<br />
B + B ′<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
2 pzpx<br />
m2c2 (B + B ′ ) √ +<br />
BB ′<br />
−<br />
2 pz<br />
mc<br />
2<br />
(B + B ′ ) √ BB ′<br />
px<br />
mc<br />
=<br />
⎜<br />
⎝<br />
−2<br />
B + B ′<br />
2<br />
B + B ′<br />
⎛<br />
=<br />
py<br />
mc<br />
⎜<br />
2<br />
⎜<br />
B + B<br />
⎜<br />
⎝<br />
′<br />
2<br />
−i<br />
B + B ′<br />
2<br />
B + B ′<br />
2<br />
B + B ′<br />
px − ipy<br />
mc<br />
B ′ (B + B ′ )<br />
2 + B ′2 − BB ′<br />
B ′ (B + B ′ )<br />
px<br />
mc<br />
2<br />
i<br />
B + B ′<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
i py<br />
mc<br />
√ BB ′<br />
py<br />
mc<br />
−2<br />
B + B ′<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
402<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
−<br />
2 pz<br />
mc<br />
(B + B ′ ) √ BB ′<br />
2 pzpx<br />
m2c2 (B + B ′ ) √ +<br />
BB ′<br />
i py<br />
mc<br />
√ BB ′<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
⎛<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
2 pzpy<br />
m2c2 (B + B ′ ) √ −<br />
BB ′<br />
i px<br />
mc<br />
√ BB ′<br />
2 pz<br />
mc<br />
s b y =<br />
⎜<br />
⎝<br />
i<br />
(B + B ′ ) √ BB ′<br />
2<br />
−i<br />
pz<br />
mc<br />
(B + B ′ ) √ BB ′<br />
2<br />
−<br />
pzpy<br />
m2c2 (B + B ′ ) √ i<br />
−<br />
BB ′ px<br />
√mc BB ′<br />
⎟<br />
⎠<br />
s c y =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
py<br />
−2 mc<br />
B + B ′ −i<br />
2<br />
B + B ′<br />
2<br />
i<br />
B + B ′<br />
py<br />
2 mc<br />
B + B ′<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(ii) γ =<br />
⎛<br />
⎝<br />
γ a<br />
γ b<br />
b †<br />
γ γ c<br />
⎞<br />
⎠ , γ1 =<br />
⎛<br />
⎝<br />
γ a 1 γ b 1<br />
⎞<br />
⎠ (4.245)<br />
con<br />
γ a =<br />
γ b =<br />
γ c =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
B(B + B ′ )<br />
px + ipy<br />
2 mc<br />
B(B + B ′ )<br />
2<br />
(B + B ′ ) √ BB ′<br />
px + ipy<br />
mc<br />
(B + B ′ ) √ BB ′<br />
2<br />
B ′ (B + B ′ )<br />
px + ipy<br />
2 mc<br />
B(B + B ′ )<br />
b †<br />
γ1 γ c 1<br />
px − ipy<br />
− 1 2 mc<br />
B(B + B ′ )<br />
1 −<br />
2<br />
−<br />
− 1 2<br />
403<br />
1 −<br />
2<br />
B(B + B ′ )<br />
px − ipy<br />
mc<br />
(B + B ′ ) √ BB ′<br />
2<br />
(B + B ′ ) √ BB ′<br />
px − ipy<br />
mc<br />
B ′ (B + B ′ )<br />
2<br />
B ′ (B + B ′ )<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞
γ a 1<br />
γ b 1<br />
γ c 1<br />
=<br />
=<br />
=<br />
(iii) γ Sz =<br />
con<br />
γ a z<br />
γ b z<br />
=<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
⎜ −<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
γ a z<br />
− 2<br />
B + B ′<br />
0<br />
0 − 2<br />
B + B ′<br />
2 pz<br />
mc<br />
(B + B ′ ) √ BB ′<br />
2<br />
B + B ′<br />
b †<br />
γz 0<br />
px + ipy<br />
mc<br />
√ BB ′<br />
γ b z<br />
γ c z<br />
γ Sy =<br />
0<br />
2<br />
B + B ′<br />
⎞<br />
−<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎠ , γ Sx =<br />
⎛<br />
⎝<br />
γ a y<br />
b †<br />
γy ⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
−<br />
pz<br />
mc<br />
B + B ′<br />
0<br />
0<br />
2<br />
−<br />
pz<br />
mc<br />
B + B ′<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
2 √ BB ′<br />
B + B ′<br />
0<br />
0<br />
2 √ BB ′<br />
B + B ′<br />
⎟<br />
⎠<br />
404<br />
γ b y<br />
γ c y<br />
⎞<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
−<br />
px − ipy<br />
mc<br />
√ BB ′<br />
2 pz<br />
mc<br />
(B + B ′ ) √ BB ′<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎠ ,<br />
γ a x<br />
b †<br />
γx γ b x<br />
γ c x<br />
⎞<br />
⎠ ,<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(4.246)
γ c z<br />
γ a x<br />
γ b x<br />
γ c x<br />
γ a y<br />
γ b y<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2 pz<br />
mc<br />
B + B ′<br />
0<br />
0<br />
2 pz<br />
mc<br />
B + B ′<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
−<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
px<br />
mc<br />
B + B ′<br />
0<br />
0<br />
2<br />
−<br />
px<br />
mc<br />
B + B ′<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2 pzpx<br />
m 2 c 2<br />
⎜<br />
−<br />
⎜ (B + B<br />
⎜<br />
⎝<br />
′ ) √ −<br />
BB ′<br />
− 1<br />
√<br />
BB ′<br />
i py<br />
mc<br />
√ BB ′<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2 px<br />
mc<br />
B + B ′<br />
0<br />
0<br />
2 px<br />
mc<br />
B + B ′<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
−<br />
py<br />
mc<br />
B + B ′<br />
0<br />
0<br />
2<br />
−<br />
py<br />
mc<br />
B + B ′<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2 pzpy<br />
m 2 c 2<br />
⎜<br />
−<br />
⎜ (B + B<br />
⎜<br />
⎝<br />
′ ) √ +<br />
BB ′<br />
− i<br />
√<br />
BB ′<br />
i px<br />
mc<br />
√ BB ′<br />
405<br />
2 pzpx<br />
m 2 c 2<br />
1<br />
√ BB ′<br />
−<br />
(B + B ′ ) √ +<br />
BB ′<br />
− i<br />
√ BB ′<br />
2 pzpy<br />
m 2 c 2<br />
−<br />
(B + B ′ ) √ −<br />
BB ′<br />
i py<br />
mc<br />
√ BB ′<br />
i px<br />
mc<br />
√ BB ′<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
γ c y<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2 py<br />
mc<br />
B + B ′<br />
0<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
0<br />
2 py<br />
mc<br />
B + B ′<br />
⎞<br />
⎟ .<br />
⎟<br />
⎠<br />
Se assumiamo come vettori unitari le onde piane (4.234) normalizzate<br />
all’unità <strong>di</strong> densità (ψ ∗ ψ = 1), le matrici che rappresentano gli operatori<br />
Sz, Sx, Sy, γ, γ1, γSz, γSx, γSy si ottengono dalle precedenti per trasformazione<br />
me<strong>di</strong>ante S [(v. (4.240)]. È più comodo calcolarle <strong>di</strong>rettamente;<br />
esse hanno la forma seguente:<br />
β = v<br />
c =<br />
βx = vx<br />
c =<br />
βy = vy<br />
c =<br />
βz = vz<br />
c =<br />
p<br />
p 2 + m 2 c 2<br />
px<br />
p 2 + m 2 c 2<br />
py<br />
p 2 + m 2 c 2<br />
pz<br />
p 2 + m 2 c 2<br />
[velocità dell’elettrone positivo: (vx, vy, vz); velocità dell’elettrone negativo:<br />
(−vx, −vy, −vz); velocità assoluta nei due casi v]<br />
Sz =<br />
con<br />
⎛<br />
⎝<br />
s a z<br />
s a z<br />
b †<br />
sz =<br />
s b z<br />
s c z<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎠ , Sx =<br />
⎛<br />
⎝<br />
β 2 x + β 2 y<br />
s a x<br />
b †<br />
sx ⎜ 1 −<br />
⎜ 1 +<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 − β2 βz(βx + iβy)<br />
1 + 1 − β 2<br />
406<br />
s b x<br />
s c x<br />
⎞<br />
−1 +<br />
⎠ , Sy =<br />
βz(βx − iβy)<br />
1 + 1 − β 2<br />
β 2 x + β 2 y<br />
⎛<br />
⎝<br />
1 + 1 − β 2<br />
s a y<br />
b †<br />
sy ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
s b y<br />
s c y<br />
⎞<br />
⎠<br />
(4.247)
s a x<br />
s b x<br />
s c x<br />
s b z<br />
s c z<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
β 2 x + β 2 y<br />
β<br />
βz(βx + iβy)<br />
−<br />
β<br />
β 2 x + β 2 y<br />
⎜ 1 −<br />
⎜ 1 −<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 − β2 βz(βx + iβy)<br />
1 − 1 − β 2<br />
βzβx<br />
1 + 1 − β 2<br />
1 − β2 − βx(βx + iβy)<br />
1 + 1 − β 2<br />
− βzβx<br />
β<br />
β 2 − βx(βx + iβy)<br />
β<br />
βzβx<br />
1 − 1 − β 2<br />
1 − β2 − βx(βx + iβy)<br />
1 − 1 − β 2<br />
− βz(βx − iβy)<br />
β<br />
− β2 x + β 2 y<br />
β<br />
−1 +<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
βz(βx − iβy)<br />
1 − 1 − β 2<br />
β 2 x + β 2 y<br />
1 − 1 − β 2<br />
⎞<br />
⎟ ,<br />
⎟<br />
⎠<br />
1 − β2 − βx(βx − iβy)<br />
1 + 1 − β 2<br />
βzβx<br />
1 + 1 − β 2<br />
β 2 − βx(βx − iβy)<br />
β<br />
βzβx<br />
β<br />
e così via.<br />
Scriviamo l’equazione <strong>di</strong> Dirac senza campo:<br />
W<br />
c<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1 − β2 − βx(βx − iβy)<br />
1 − 1 − β 2<br />
βzβx<br />
−<br />
1 − 1 − β2 ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
<br />
+ (α·p) + β m c ψ = 0. (4.248)<br />
Le funzioni <strong>di</strong> spin <strong>di</strong> un’onda piana con momenti px, py, pz si ottengono da<br />
quelle pertinenti alle onde con momento nullo me<strong>di</strong>ante una trasformazione<br />
407
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
relativistica (rotazione nel piano tp).<br />
trasformazione <strong>degli</strong> spinori:<br />
Si trova in base alle note leggi <strong>di</strong><br />
up =<br />
⎡<br />
<br />
⎢ 1 +<br />
⎣<br />
1 + (p/mc) 2<br />
2<br />
∓<br />
α·p/mc<br />
<br />
2 1 + 1 + (p/mc) 2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ u0, (4.249)<br />
il segno superiore valendo per le onde positive, quello inferiore per le onde<br />
negative. Le funzioni <strong>di</strong> spin così ottenute sono normalizzate nel senso<br />
invariante:<br />
<br />
u † pup<br />
2<br />
−<br />
<br />
u † 2 <br />
pαxup − u † 2 <br />
pαyup − u † 2 pαzup<br />
= 1. (4.250)<br />
Le funzioni <strong>di</strong> spin normalizzate nel modo or<strong>di</strong>nario (u ′†<br />
p u ′ p = 1) saranno<br />
invece date da:<br />
u ′ p<br />
=<br />
=<br />
up<br />
<br />
4<br />
1 + (p/mc) 2<br />
<br />
1 + 1 + (p/mc) 2<br />
2 1 + (p/mc) 2<br />
∓<br />
4.17 Operatori impropri<br />
<br />
−1 + 1 + (p/mc) 2<br />
2 1 + (p/mc) 2<br />
(4.251)<br />
<br />
α·p<br />
u0.<br />
p<br />
(4.252)<br />
Sia u(x, y, z) una funzione arbitraria <strong>di</strong> x, y, z che potremo sviluppare in<br />
componenti armoniche:<br />
<br />
u(γ1, γ2, γ3) = α(x, y, z) e 2πi (γ1x + γ2y + γ3z) dγ1 dγ2 dγ3, (4.253)<br />
essendo<br />
α(γ1, γ2, γ3) =<br />
<br />
u(x, y, z) e −2πi (γ1x + γ2y + γ3z) dx dy dz. (4.254)<br />
408
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Chiameremo F r l’operatore che trasforma u in una funzione v:<br />
v(x, y, z) = F r u(x, y, z) (4.255)<br />
definita dallo sviluppo in integrale <strong>di</strong> Fourier:<br />
v(γ1, γ2, γ3) =<br />
<br />
λ r α(x, y, z) e 2πi (γ1x + γ2y + γ3z)<br />
dγ1 dγ2 dγ3,<br />
essendo:<br />
λ = 1<br />
γ =<br />
1<br />
γ 2 1 + γ 2 2 + γ 2 3<br />
(4.256)<br />
(4.257)<br />
la lunghezza d’onda <strong>di</strong> ogni componente armonica (γ1, γ2, γ3). Valgono<br />
evidentemente le proprietà<br />
F r F s = F s F r = F r+s , F 0 = 1. (4.258)<br />
Salvo eventuali <strong>di</strong>fficoltà <strong>di</strong> convergenza potremo porre<br />
<br />
v(x, y, z) =<br />
Kr(x, y, z; x ′ , y ′ , z ′ ) u(x ′ , y ′ , z ′ ) dx ′ dy ′ dz ′ . (4.259)<br />
Sostituendo nell’espressione (4.256) <strong>di</strong> v(x, y, z) il coefficiente a(γ1, γ2, γ3)<br />
me<strong>di</strong>ante la sua espressione (4.254) troviamo:<br />
<br />
v(x, y, z) = λ r e 2πi γ1(x − x ′ ) + γ2(y − y ′ ) + γ3(z − z ′ ) <br />
da cui<br />
Kr(x, y, z, x ′ , y ′ , z ′ ) =<br />
essendo<br />
× u(x ′ , y ′ , z ′ ) dγ1 dγ2 dγ3 dx ′ dy ′ dz ′ , (4.260)<br />
<br />
λ r e 2πi (γ1ξ + γ2η + γ3ζ) dγ1 dγ2 dγ3, (4.261)<br />
ξ = x − x ′ , η = y − y ′ , ζ = z − z ′ . (4.262)<br />
Eseguendo l’integrale (4.261) dapprima su una sfera <strong>di</strong> raggio D = 1/λ =<br />
γ 2 1 + γ 2 2 + γ 2 3 e ponendo<br />
R = ξ 2 + η 2 + ζ 2 = (x − x ′ ) 2 + (y − y ′ ) 2 + (z − z ′ ) 2 , (4.263)<br />
409
troviamo<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Kr(x, y, z, x ′ , y ′ , z ′ ) = Kr(R)<br />
∞<br />
=<br />
0<br />
2 sin 2πsR<br />
R s r−1<br />
ds = (2πR)r−1<br />
πR 2<br />
∞<br />
0<br />
sin t<br />
dt. (4.264)<br />
tr−1 Questa formola è utilizzabile per 1 ≤ r < 3; l’espressione valida per r = 1<br />
si otterrà passando al limite da r = 1 + ɛ per ɛ → 0 o, ciò che è lo stesso,<br />
assumendo il valor me<strong>di</strong>o dell’integrale a secondo membro quando il limite<br />
superiore si lascia indeterminato. Troviamo così:<br />
cioè<br />
F 1 u(x, y, z) =<br />
F 2 u(x, y, z) =<br />
K1 = 1/πR 2<br />
(4.265)<br />
K2 = π/R (4.266)<br />
<br />
<br />
(1/πR 2 ) u(x ′ , y ′ , z ′ ) dx ′ dy ′ dz ′<br />
(4.267)<br />
(π/R) u(x ′ , y ′ , z ′ ) dx ′ dy ′ dz ′ . (4.268)<br />
Applicando l’operatore Laplaciano ai due membri della (4.268), troviamo<br />
∆ F 2 = − 4π 2<br />
(4.269)<br />
da cui, essendo F 2 invertibile,<br />
∆ = − 4π 2 F −2 ; (4.270)<br />
relazione che segue imme<strong>di</strong>atamente dalla (4.256). Possiamo definire l’operatore<br />
√ ∆ ponendo: √ ∆ = 2πi F −1 , (4.271)<br />
che in virtù della (4.270) e della (4.260) potremo scrivere:<br />
Segue allora dalla (4.267)<br />
√<br />
<br />
∆ u(x, y, z) =<br />
√ ∆ = 2πi F 1 F −2 = 1<br />
2πi F 1 ∆ . (4.272)<br />
1<br />
2π 2 R 2 i ∆ u(x′ , y ′ , z ′ ) dx ′ dy ′ dz ′ . (4.273)<br />
410
Inoltre da (4.271) ricaviamo:<br />
da cui:<br />
1<br />
√ ∆ u(x, y, z) =<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
<br />
1<br />
√ =<br />
∆ 1<br />
2πi F 1 , (4.274)<br />
1<br />
2π 2 R 2 i u(x′ , y ′ , z ′ ) dx ′ dy ′ dz ′ . (4.275)<br />
4.18 Rappresentazione integrale delle<br />
autofunzioni dell’idrogeno<br />
Unità elettroniche (e = m = = 1); χ(r) parte ra<strong>di</strong>ale delle autofunzioni<br />
moltiplicata per r; ℓ quanti azimutali, unità <strong>di</strong> energia 2Rh. Segue:<br />
χ ′′ <br />
+ 2E + 2 ℓ(ℓ + 1)<br />
−<br />
r r2 <br />
χ = 0. (4.276)<br />
Poniamo<br />
Segue per u l’equazione <strong>di</strong>fferenziale:<br />
u ′′ + 2<br />
ℓ + 1<br />
r<br />
χ = r l+1 u. (4.277)<br />
u ′ +<br />
<br />
2E + 2<br />
<br />
r<br />
u = 0 (4.278)<br />
che è del tipo <strong>di</strong> Laplace (ve<strong>di</strong> §4.11) con i seguenti valori delle costanti:<br />
δ0 = 0, δ1 = 2 (ℓ + 1), ɛ0 = 2E, ɛ1 = 2. (4.279)<br />
Le costanti definite nella (4.189) e <strong>di</strong> cui si ha bisogno per la rappresentazione<br />
integrale <strong>di</strong> u sono, nel nostro caso (supponiamo E > 0):<br />
c1 = i √ 2E, c2 = −i √ 2E, (4.280)<br />
α1 = ℓ + 1 − i/ √ 2E, α2 = ℓ + 1 + i/ √ 2E. (4.281)<br />
411
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
i 2 E - i 2 E I<br />
- i 2 E -<br />
- i 2 E II<br />
Sostituendo nelle ultime formole (4.189), avremo, a meno <strong>di</strong> un fattore<br />
costante:<br />
<br />
t r<br />
u ∼ e t − i √ ℓ − i/<br />
2E<br />
√ 2E <br />
t + i √ ℓ + i/<br />
2E<br />
√ 2E<br />
dt, (4.282)<br />
C<br />
C<br />
purché sia sod<strong>di</strong>sfatta la con<strong>di</strong>zione:<br />
<br />
d<br />
<br />
t r<br />
e t − i<br />
dt<br />
√ ℓ + 1 − i/<br />
2E<br />
√ 2E <br />
t + i √ ℓ + 1 + i/<br />
2E<br />
√ 2E <br />
dt<br />
= 0. (4.283)<br />
Per r reale e positivo la con<strong>di</strong>zione (4.283) è sod<strong>di</strong>sfatta se gli estremi<br />
del campo <strong>di</strong> integrazione giacciono all’infinito nella <strong>di</strong>rezione negativa<br />
dell’asse reale.<br />
Fissato il campo C <strong>di</strong> integrazione, dobbiamo ancora dare una definizione<br />
univoca <strong>di</strong> log(t − i √ 2E) e log(t + i √ 2E) per determinare la funzione integranda.<br />
Stabiliamo che sia la parte immaginaria del logaritmo, così <strong>di</strong> (t − i √ 2E)<br />
come <strong>di</strong> (t + i √ 2e), minore o uguale <strong>di</strong> π. Avremo allora come linee <strong>di</strong> <strong>di</strong>scontinuità<br />
due semirette passanti dai punti ±i √ 2E e parallele al semiasse<br />
reale negativo. In<strong>di</strong>chiamo con u1 l’integrale (4.282) esteso al cammino I<br />
(ve<strong>di</strong> figura); analogamente definiamo u2 e χ1 in relazione al campo II.<br />
Introduciamo una variabile <strong>di</strong> integrazione più conveniente ponendo t =<br />
i √ 2Et1. Scrivendo nuovamente t in luogo <strong>di</strong> t1 avremo:<br />
<br />
u = k e i√2Etr (t − 1)<br />
l − i/ √ 2E<br />
(t + 1)<br />
l + i/ √ 2E<br />
dt. (4.284)<br />
I cammini <strong>di</strong> integrazione I e II risultano dalla figura. Il logaritmo <strong>di</strong><br />
t − 1 e t + 1 si intende reale rispettivamente per t − 1 > 0 e t + 1 > 0, linee<br />
412
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
-1 + i<br />
-1<br />
II<br />
1 + i<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>scontinuità essendo rispettivamente le semirette 1 + ai e 1 − ai, con<br />
a > 0.<br />
4.19 Deviazione <strong>di</strong> un raggio α<br />
dovuta a un nucleo pesante<br />
(meccanica classica)<br />
(Si veda il §4.9.)<br />
Sostituendo nella (4.135) me<strong>di</strong>ante la (4.140), troviamo<br />
1<br />
ρ<br />
k<br />
= −<br />
v2 k<br />
−<br />
δ2 v2δ +1<br />
I<br />
1<br />
cos θ + sin θ. (4.285)<br />
2 δ<br />
L’inviluppo delle iperboli (4.285) sod<strong>di</strong>sfa alla (4.285) e all’equazione che si<br />
ottiene <strong>di</strong>fferenziando rispetto a δ; introducendo la <strong>di</strong>stanza l <strong>di</strong> massimo<br />
avvicinamento [formola (4.146)], e badando che ivi W = Mv 2 /2, e data<br />
l’espressione (4.126) <strong>di</strong> k avremo:<br />
k l<br />
=<br />
v2 2 ,<br />
413
e la (4.285) <strong>di</strong>venta:<br />
1<br />
ρ<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
l l<br />
= − −<br />
2δ2 2δ<br />
Differenziando rispetto a δ e uguagliando a 0 troviamo:<br />
da cui<br />
l<br />
δ<br />
+ l<br />
δ<br />
δ<br />
l<br />
1<br />
cos θ + sin θ. (4.286)<br />
2 δ<br />
cos θ − sin θ = 0, (4.287)<br />
1 + cos θ<br />
= . (4.288)<br />
sin θ<br />
4.20 Diffusione dovuta a un centro<br />
a/r − b/r 2<br />
Una particella <strong>di</strong> massa 1 e velocità k attraversa un campo <strong>di</strong> potenziale<br />
1<br />
r<br />
<br />
1 − r0<br />
r<br />
<br />
, (4.289)<br />
repulsivo per r > 2r0, attrattivo per r < 2r0. Si domanda la sezione d’urto<br />
per la <strong>di</strong>ffusione sotto un angolo θ. Nella meccanica classica le equazioni<br />
del movimento in coor<strong>di</strong>nate polari saranno:<br />
Avremo<br />
da cui<br />
r 2 ˙ θ = c (4.290)<br />
¨r − r ˙ θ 2 = 1 2r0 1<br />
− =<br />
r2 r3 r2 d 2<br />
dθ 2<br />
1<br />
r<br />
<br />
1 − 2r0<br />
<br />
. (4.291)<br />
r<br />
¨r = − c2<br />
r2 d 2<br />
dθ2 1<br />
, (4.292)<br />
r<br />
r ˙ θ 2 = c 2 /r 3 , (4.293)<br />
+ 1<br />
r<br />
+ 1<br />
c 2<br />
414<br />
<br />
1 − 2r0<br />
<br />
r<br />
= 0, (4.294)
cioè<br />
Segue:<br />
1<br />
r<br />
d 2<br />
dθ 2<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
1<br />
r +<br />
<br />
1 − 2r0<br />
c2 <br />
1<br />
r<br />
1<br />
+ = 0. (4.295)<br />
c2 = − 1<br />
c 2 γ 2 + A cos γθ + B sin γθ |c| > √ 2r0, (4.296)<br />
con<br />
<br />
γ = 1 − 2r0<br />
, (4.297)<br />
c2 purché sia c < √ 2r0. Altrimenti, se c < √ 2r0:<br />
essendo<br />
1<br />
r<br />
Infine, se c = √ 2r0:<br />
= 1<br />
c 2 ɛ 2 + C eɛθ + D e −ɛθ , con |c| < √ 2r0 (4.298)<br />
1<br />
r<br />
ɛ =<br />
<br />
2r0<br />
− 1. (4.299)<br />
c2 1<br />
= − θ<br />
4r0<br />
2 + f θ + G. (4.300)<br />
Poniamo: z = r cos θ , ξ = r sin θ e supponiamo che le particelle<br />
provengano dall’infinito negativo dell’asse z a una <strong>di</strong>stanza δ dall’asse stesso<br />
e con velocità k; supponiamo quin<strong>di</strong> che la retta ξ = δ sia un asintoto della<br />
traiettoria (supporremo, ovvero δ positivo). Sarà evidentemente c = −kδ.<br />
Dovrà essere inoltre per θ = π:<br />
˙r = ∞ ; ˙r = dr<br />
dθ ˙ θ = − r 2 θ˙ d 1<br />
dθ r<br />
d 1<br />
= − c<br />
dθ r<br />
= − k, (4.301)<br />
cioè,<br />
d 1 1<br />
= − ,<br />
dθ r δ<br />
Segue <strong>di</strong> qua, secondo il valore <strong>di</strong> δ:<br />
√<br />
2r0<br />
(1) δ ><br />
k<br />
θ = π. (4.302)<br />
:<br />
1<br />
r =<br />
γ =<br />
−1<br />
k2δ2 +<br />
− 2r0<br />
cos γ(π − θ)<br />
<br />
1 − 2r0<br />
k2δ2 k 2 δ 2 − 2r0<br />
415<br />
+ sin γ(π − θ)<br />
δ γ<br />
(4.303)<br />
(4.304)
(2) δ =<br />
(3) δ <<br />
√ 2r0<br />
k :<br />
√ 2r0<br />
k :<br />
1<br />
r =<br />
ɛ =<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
1<br />
r<br />
= − 1<br />
4r0<br />
(π − θ) 2 + 1<br />
δ<br />
(π − θ) (4.305)<br />
−1<br />
2r0 − k2 cosh ɛ(π − θ)<br />
−<br />
δ2 2r0 − k2δ2 sinh ɛ(π − θ)<br />
+ (4.306)<br />
δ ɛ<br />
<br />
2r0<br />
k2 − 1. (4.307)<br />
δ2 La particella verrà <strong>di</strong>ffusa nella <strong>di</strong>rezione θ del secondo asintoto:<br />
(1) θ = π − 2<br />
γ arctan γk2δ = 2 1<br />
arctan<br />
γ γk2 <br />
1<br />
− π − 1 .<br />
δ γ<br />
(2) θ = π − 2k 2 δ = π − 4r0<br />
δ .<br />
4.21 Il sistema <strong>di</strong> funzioni ortogonali<br />
definito da y ′′<br />
a = (x − a)ya<br />
Ponendo: ξ = x − a; y ′′ (ξ) = ξy, le soluzioni secolari <strong>di</strong><br />
potranno mettersi nella forma:<br />
cioè:<br />
y ′′<br />
a = (x − a) ya (4.308)<br />
ya(x) = y(x − a) = y(ξ) (4.309)<br />
ya(ξ + a) = y(ξ), (4.310)<br />
cosicché la determinazione <strong>di</strong> tutte le soluzioni regolari <strong>di</strong> (4.308), corrispondenti<br />
a tutti gli autovalori <strong>di</strong> a, si riduce alla determinazione dell’unica<br />
soluzione regolare <strong>di</strong><br />
y ′′ (ξ) = ξ y(ξ). (4.311)<br />
416
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Se vogliamo che le ya siano normalizzate rispetto a da dovrà essere:<br />
∞<br />
−∞<br />
cioè, per le (4.309):<br />
+∞<br />
−∞<br />
y ∗ a(x) dx<br />
y ∗ (ξ) dξ<br />
a+∆<br />
a−∆<br />
∆<br />
−∆<br />
ya(x) da = 1, (4.312)<br />
y(ξ + ɛ) dɛ = 1. (4.313)<br />
Poiché y tende a 0 esponenzialmente per ξ → ∞, il grosso dell’integrale<br />
per ∆ → 0 proverrà dai gran<strong>di</strong> valori negativi <strong>di</strong> ξ. L’espressione asintotica<br />
per ξ → ∞ <strong>di</strong> y sarà della forma:<br />
ξ → −∞ : y ∼ A<br />
<br />
2<br />
4√ sin<br />
−ξ 3 (−ξ)3/2 <br />
+ α . (4.314)<br />
Per (ɛ piccolo) e ξ → −∞ avremo:<br />
(− ξ − ɛ) 3/2 ∼ (− ξ ) 3/2 − 3<br />
2 ɛ (− ɛ)1/2 + . . . , (4.315)<br />
e quin<strong>di</strong>:<br />
ξ → −∞ : y(−ξ + ɛ) ∼ A<br />
<br />
2<br />
4√ sin<br />
−ξ 3 (−ξ)3/2 − ɛ (− ξ) 1/2 <br />
+ α<br />
e così:<br />
∆<br />
−∆<br />
Poniamo:<br />
(4.316)<br />
y(ξ + ɛ) dɛ ∼ (− ξ) −3/4<br />
<br />
2<br />
cos<br />
3 (−ξ)3/2 − ∆ (− ξ) 1/2 <br />
+ α<br />
<br />
2<br />
3 (−ξ)3/2 + ∆ (− ξ) 1/2 <br />
+ α . (4.317)<br />
− cos<br />
− ξ = ζ 2 , dξ = − 2 ζ dζ. (4.318)<br />
Avremo, per ξ → −∞:<br />
y ∼ A <br />
2<br />
√ sin<br />
ζ 3 ζ3 ∆<br />
y(ξ + ɛ) dɛ<br />
−∆<br />
∼<br />
<br />
+ α ,<br />
1<br />
ζ<br />
(4.319)<br />
3/2<br />
<br />
2<br />
cos<br />
3 ζ3 <br />
− ∆ ζ + α<br />
<br />
2<br />
− cos<br />
3 ζ3 <br />
+ ∆ ζ + α . (4.320)<br />
417
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Da questo segue facilmente, per ∆ → 0:<br />
∞<br />
−∞<br />
y ∗ (ξ) dξ<br />
∆<br />
−∆<br />
y(ξ + ɛ) dɛ = π A ∗ A. (4.321)<br />
Per avere la soluzione normalizzata secondo la (4.312) possiamo quin<strong>di</strong><br />
assumere:<br />
A = 1/ √ π. (4.322)<br />
Applicando la trasformazione <strong>di</strong> Laplace a (4.311) otteniamo facilmente<br />
per ξ la rappresentazione integrale:<br />
y = i<br />
2π<br />
∞ e iφ2<br />
∞ e iφ1<br />
e −t3 /3 e tξ dt, (4.323)<br />
π<br />
2<br />
< φ1<br />
5<br />
<<br />
6 π,<br />
7<br />
π < φ2<br />
6<br />
3<br />
< π.<br />
2<br />
(4.324)<br />
Specializzando il cammino <strong>di</strong> integrazione in (4.323), si possono avere rappresentazioni<br />
adatte per il calcolo <strong>di</strong> y e y ′ nel punto zero (I); o dello<br />
sviluppo asintotico per ξ → ∞ (II); o dello sviluppo asintotico per ξ → −∞<br />
(III) 37 :<br />
∞<br />
(I) y = 1<br />
e<br />
π 0<br />
−p3 /3 − pξ/2<br />
√<br />
3<br />
×<br />
2 cos<br />
√<br />
3 1<br />
pξ −<br />
2 2 sin<br />
√<br />
3<br />
2 pξ<br />
<br />
dp.<br />
√<br />
ξ<br />
(II) y =<br />
2π e−2ξ3/2 /3 ∞<br />
e<br />
−∞<br />
−p2ξ 3/2<br />
<br />
1<br />
cos<br />
3 p3 ξ 3/2<br />
<br />
dξ.<br />
√ ∞<br />
−2ξ<br />
(III) y =<br />
e<br />
π −1<br />
− 2p 2 + 2p 3 /3 (−ξ) 3/2<br />
<br />
2 2<br />
× sin +<br />
3 3 p3<br />
<br />
(− ξ) 3/2 + π<br />
<br />
dp.<br />
4<br />
37Nel manoscritto originale questo paragrafo è incompleto. Esso si conclude con<br />
la seguente frase: “Per ξ prossimo a zero, sviluppiamo in I la funzione integranda<br />
secondo le potenze ascendenti <strong>di</strong> ξ; avremo: e − 1 3 p3<br />
√<br />
3<br />
. . . . . . ”<br />
2<br />
418
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
4.22 Sviluppi in integrali <strong>di</strong> Fourier<br />
(1)<br />
(2)<br />
(3)<br />
(4)<br />
con dγ = dγ1dγ2dγ3.<br />
e ikr<br />
r<br />
e −ikr<br />
r<br />
=<br />
=<br />
<br />
<br />
1<br />
r =<br />
π<br />
π<br />
<br />
<br />
<br />
γ 2 −<br />
γ 2 −<br />
1<br />
πγ 2 e2πi γ·r dγ (4.325)<br />
<br />
2<br />
−1<br />
k + ɛi<br />
e<br />
2π<br />
2πi γ·r dγ (4.326)<br />
<br />
2<br />
−1<br />
k − ɛi<br />
e<br />
2π<br />
2πi γ·r dγ (4.327)<br />
(con ɛ > 0, ɛ → 0).<br />
Segue:<br />
<br />
sin kr<br />
8π k ɛ<br />
=<br />
r (4π2γ 2 − k2 + ɛ2 ) 2 + 4k2ɛ2 e2πi γ·r dγ (4.328)<br />
(con ɛ > 0, ɛ → 0), cioè:<br />
sin kr<br />
r<br />
=<br />
=<br />
<br />
<br />
1<br />
=<br />
r2 1<br />
2γ δ<br />
<br />
|γ| − k<br />
k<br />
4πγ δ<br />
<br />
e<br />
2π<br />
2πi γ·r dγ<br />
<br />
|γ| − k<br />
<br />
e<br />
2π<br />
2πi γ·r dγ. (4.329)<br />
π<br />
γ e2πi γ·r dγ (4.330)<br />
(si deduce da (4.325) invertendo l’integrale <strong>di</strong> Fourier).<br />
<br />
0, per r < R,<br />
F =<br />
(4.331)<br />
1/r, per r > R,<br />
<br />
cos 2πγR<br />
< F > =<br />
πγ2 e 2πi γ·r dγ. (4.332)<br />
419
(5)<br />
(6)<br />
(7)<br />
(8) Sia<br />
< F > =<br />
<br />
F = e −αr2<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
F =<br />
1, per r < R,<br />
0, per r > R,<br />
(4.333)<br />
(1/2π 2 γ 3 )(sin 2πγR − 2πγR cos 2πγR) e 2πi γ·r dγ.<br />
=<br />
e −kr =<br />
f(q) =<br />
f ′ (q) =<br />
(4.334)<br />
<br />
π<br />
3/2 e<br />
α<br />
−π2γ 2 /α<br />
e<br />
2πi γ·r<br />
dγ. (4.335)<br />
<br />
8πk<br />
(k 2 + 4π 2 γ 2 ) e2πi γ·r dγ. (4.336)<br />
<br />
<br />
φ(γ) e 2πi γ·q dγ, (4.337)<br />
U(|γ|) φ(γ) e 2πi γ·q dγ, (4.338)<br />
con q = (q1, q2.q3), γ = (γ1, γ2.γ3), Q = q2 1 + q2 2 + q2 3, Γ =<br />
2 γ1 + γ2 2 + γ2 3, allora è:<br />
f ′ (q) =<br />
<br />
U(Γ) φ(γ) e 2πi γ·r dγ<br />
=<br />
<br />
U(Γ) e 2πi γ·q f(q ′ −2πi γ·q′<br />
) e dγ dq ′<br />
=<br />
<br />
f(q ′ ) dq ′<br />
<br />
U(Γ) e −2πi γ·(q′ −q)<br />
dγ. (4.339)<br />
e se<br />
risulta:<br />
U(Γ) =<br />
Y (q) =<br />
f ′ (q) =<br />
<br />
<br />
<br />
Y (q) e 2πi q·γ dq, (4.340)<br />
U(Γ) e −2πi γ·q dγ, (4.341)<br />
Y (q ′ − q) f(q ′ ) dq ′ . (4.342)<br />
420
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Ponendo Y (q ′ − q) = y(|q ′ − q|) (come è lecito), si ha infine:<br />
f ′ (q) =<br />
4.23 Integrali circolari<br />
I seguenti integrali si estendono da 0 a 2π<br />
2π<br />
0<br />
2π<br />
0<br />
2π<br />
0<br />
2π<br />
0<br />
con a > |b| > 0.<br />
Esempi:<br />
2π<br />
×<br />
0<br />
2π<br />
0<br />
dφ<br />
a + b cos φ =<br />
<br />
dφ<br />
a 2 − b 2 cos 2 φ =<br />
dφ<br />
a 2 cos 2 φ + b 2 sin 2 φ<br />
dφ<br />
=<br />
(a + b cos φ) n<br />
n−1 <br />
r=0<br />
n − 1<br />
r<br />
dφ<br />
a + b cos φ =<br />
dφ<br />
=<br />
(a + b cos φ) 2<br />
y(|q − q ′ |) f(q ′ ) dq ′ . (4.343)<br />
2π<br />
√ , [a > |b| > 0] (4.344)<br />
a2 − b2 2π<br />
a √ a2 , [a > b > 0] (4.345)<br />
− b2 2π<br />
= , [a , b > 0] (4.346)<br />
ab<br />
2π<br />
(a2 − b2 ) n/2<br />
√<br />
−n −a + a2 − b2 r 2 √ a2 − b2 2π<br />
√ a 2 − b 2 ,<br />
=<br />
2π<br />
a 2 − b 2<br />
<br />
1 + a − √ a2 − b2 <br />
√<br />
a2 − b2 r<br />
, (4.347)<br />
2πa<br />
(a2 − b2 . (4.348)<br />
) 3/2<br />
421
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
4.24 Frequenze d’oscillazione<br />
dell’ammoniaca<br />
I tre atomi H occupano i vertici <strong>di</strong> un triangolo equilatero; l’atomo N<br />
è sull’asse fuori del piano. Gli spostamenti linearmente in<strong>di</strong>pendenti che<br />
danno origine a forze elastiche <strong>di</strong> richiamo sono sei e si ottengono dai do<strong>di</strong>ci<br />
spostamenti dei quattro atomi con la con<strong>di</strong>zione che la risultante dei vettori<br />
applicati in δPi nei punti <strong>di</strong> riposo P ′ i sia nulla.<br />
Definiamo lo spostamento q1 = 1, q2 = q3 = . . . = q6 = 0 come quello<br />
in cui l’atomo H 1 si sposta nella <strong>di</strong>rezione NH 1 <strong>di</strong> MN /(MN + MH) e<br />
l’atomo N nella <strong>di</strong>rezione opposta <strong>di</strong> una lunghezza MH/(MN + MH).<br />
Analogamente, definiamo gli spostamenti qi = δi2 e qi = δi3. Definiamo<br />
poi come spostamento qi = δi4 quello in cui l’atomo H 3 si sposta <strong>di</strong> 1/2<br />
nella <strong>di</strong>rezione H 2 H 3 e l’atomo H 2 <strong>di</strong> 1/2 nella <strong>di</strong>rezione opposta; per<br />
permutazione circolare definiamo infine gli spostamenti qi = δi5 e qi = δi6.<br />
In<strong>di</strong>chiamo con α l’angolo (nella posizione <strong>di</strong> equilibrio) NH 1H 2 e con<br />
β l’angolo H1NH 2 . Se D è la <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> equilibrio NH e d la <strong>di</strong>stanza<br />
H 1 H 2 , sarà:<br />
cos α = d<br />
d2<br />
, cos β = 1 −<br />
2D 2D2 M 2 N MH<br />
(MN + MH) 2<br />
<br />
sin 1<br />
<br />
d<br />
β = . (4.349)<br />
2 2D<br />
L’energia cinetica è espressa da:<br />
T = 1<br />
2<br />
2<br />
MHMN (MN + MH) 2<br />
2<br />
˙q 1 + ˙q 2 2 + ˙q 2 3 + 2 ˙q1 ˙q2 cos β + 2 ˙q2 ˙q3 cos β<br />
+ 2 ˙q3 ˙q1 cos β) +<br />
2<br />
˙q 1 + ˙q 2 2 + ˙q 2 3<br />
+ MN MH<br />
MN + MH<br />
+ 1<br />
2 MH<br />
<br />
cos α<br />
( ˙q1 ˙q5 + ˙q1 ˙q6 + ˙q2 ˙q6 + ˙q2 ˙q4 + ˙q3 ˙q4 + ˙q3 ˙q5)<br />
2<br />
˙q4 + ˙q5 + ˙q6 + 1<br />
2 ˙q4 ˙q5 + 1<br />
2 ˙q5 ˙q6 + 1<br />
2 ˙q6<br />
<br />
˙q4 . (4.350)<br />
Assumiamo per semplicità MH = 1 e MN = 14; allora ponendo:<br />
T = 1 <br />
bik ˙q1 ˙qk, (bik = bki), (4.351)<br />
2<br />
i,k<br />
422
avremo:<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
b11 = b22 = b33 = 14/15 (4.352)<br />
b44 = b55 = b66 = 1/2 (4.353)<br />
b12 = b23 = b31 = b21 = b32 = b23 = 14/225 cos β (4.354)<br />
b45 = b56 = b64 = b54 = b65 = b46 = 1/8 (4.355)<br />
b14 = b25 = b36 = b41 = b52 = b63 = 0 (4.356)<br />
b15 = b26 = b34 = b16 = b24 = b35 = b51<br />
= b62 = b43 = b61 = b42 = b53 = 7/15 cos α. (4.357)<br />
La coincidenza <strong>di</strong> molti elementi della matrice hik è dovuta ad ovvie ragioni<br />
<strong>di</strong> simmetria; basta quin<strong>di</strong> conoscere sei elementi tipici:<br />
b11 = B1 = 14/15, b44 = B2 = 1/2, b12 = B3 = 14/225 cos β<br />
b45 = B4 = 1/8, b14 = B5 = 0, b15 = B6 = 7/15 cos α.<br />
Analogamente, la matrice che definisce l’energia potenziale<br />
V = 1 <br />
aik q1qk<br />
2<br />
<strong>di</strong>penderà da sei elementi tipici:<br />
a11 = A1, a44 = A2, a12 = A3<br />
ik<br />
(4.358)<br />
a45 = A4, a14 = A5, a15 = A6. (4.359)<br />
Eseguiamo la trasformazione:<br />
q1<br />
q2<br />
=<br />
=<br />
<br />
1 2<br />
Q1 + Q3<br />
3 3<br />
<br />
1<br />
3<br />
(4.360)<br />
Q1<br />
<br />
1<br />
−<br />
6 Q3<br />
<br />
1<br />
+<br />
2 Q′ q3 =<br />
3<br />
<br />
1<br />
3<br />
(4.361)<br />
Q1<br />
<br />
1<br />
−<br />
6 Q3<br />
<br />
1<br />
−<br />
2 Q′ q4<br />
q5<br />
=<br />
=<br />
3<br />
<br />
1 2<br />
Q2 + Q4<br />
3 3<br />
<br />
1<br />
3<br />
(4.362)<br />
(4.363)<br />
Q2<br />
<br />
1<br />
−<br />
6 Q4<br />
<br />
1<br />
+<br />
2 Q′ q6 =<br />
4<br />
<br />
1 1 1<br />
Q2 − Q4 −<br />
3 6 2<br />
(4.364)<br />
Q′ 4. (4.365)<br />
423
Avremo allora:<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
q 2 1 + q 2 2 + q 2 3 = Q 2 1 + Q 2 3 + Q ′2<br />
3<br />
q 2 4 + q 2 5 + q 2 6 = Q 2 2 + Q 2 4 + Q ′2<br />
4<br />
q1q2 + q2q3 + q3q1 = Q 2 1 − 1<br />
2 Q23 − 1<br />
2 Q′2 3<br />
q4q5 + q5q6 + q6q4 = Q 2 2 − 1<br />
2 Q24 − 1<br />
2 Q′2 4<br />
(4.366)<br />
(4.367)<br />
(4.368)<br />
(4.369)<br />
q1q4 + q2q5 + q3q6 = Q1Q2 + Q3Q4 + Q ′ 3Q ′ 4 (4.370)<br />
q1q5 + q2q6 + q3q4 + q1q6 + q2q4 + q3q5<br />
= 2Q1Q2 − Q3Q4 − Q ′ 3Q ′ 4. (4.371)<br />
L’espressione dell’energia cinetica nelle nuove coor<strong>di</strong>nate sarà data quin<strong>di</strong><br />
da:<br />
<br />
2T = B1 ˙Q 2<br />
1 + ˙ Q 2 3 + ˙ Q ′2<br />
<br />
3 + B2 ˙Q 2<br />
1 + ˙ Q 2 4 + ˙ Q ′2<br />
<br />
4<br />
<br />
+ 2B3 ˙Q 2 1 − 1<br />
2 ˙ Q 2 3 − 1<br />
2 ˙ Q ′2<br />
<br />
3 + 2B4 ˙Q 2 2 − 1<br />
2 ˙ Q 2 4 − 1<br />
2 ˙ Q ′2<br />
<br />
4<br />
<br />
+ 2B5 ˙Q1 ˙ Q2 + ˙ Q3 ˙ Q4 + ˙ Q ′ 3 ˙ Q ′ <br />
4<br />
<br />
+ 2B6 2 ˙ Q1 ˙ Q2 − ˙ Q3 ˙ Q4 − ˙ Q ′ 3 ˙ Q ′ <br />
4<br />
Analogamente:<br />
= (B1 + 2B3) ˙ Q 2 1 + 2 (B5 + 2B6) ˙ Q1 ˙ Q2 + (B2 + 2B4) ˙ Q 2 2<br />
+ (B1 − B3) ˙ Q 2 3 + 2 (B5 − B6) ˙ Q3 ˙ Q4 + (B2 − B4) ˙ Q 2 4<br />
+ (B1 − B3) ˙ Q ′2<br />
3 + 2 (B5 − B6) ˙ Q ′ 3 ˙ Q ′ 4 + (B2 − B4) ˙ Q ′2<br />
4 .<br />
2V = (A1 + 2A3) Q 2 1 + 2 (A5 + 2A6) Q1Q2 + (A2 + 2A4) Q 2 2<br />
+ (A1 − A3) Q 2 3 + 2 (A5 − A6) Q3Q4 + (A2 − A4) Q 2 4<br />
(4.372)<br />
+ (A1 − A3) Q ′2<br />
3 + 2 (A5 − A6) Q ′ 3Q ′ 4 + (A2 − A4) Q ′2<br />
4 . (4.373)<br />
Avremo quin<strong>di</strong> due vibrazioni semplici che riguardano le coor<strong>di</strong>nate Q1 e<br />
Q2 e due vibrazioni doppie che coinvolgono le coor<strong>di</strong>nate Q3 e Q4, oppure<br />
Q ′ 3 e Q ′ 4. I quadrati delle velocità angolari:<br />
λ = 4π 2 ν 2<br />
424<br />
(4.374)
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
delle vibrazioni semplici si otterranno dall’equazione secolare:<br />
<br />
A1 + 2A3 − λ(B1 + 2B3)<br />
det<br />
A5 + 2A6 − λ(B5 + 2B6)<br />
A5 + 2A6 − λ(B5 + 2B6)<br />
A2 + 2A4 − λ(B2 + 2B4)<br />
<br />
= 0,<br />
(4.375)<br />
mentre le grandezze corrispondenti relative alle vibrazioni degeneri risul-<br />
tano da:<br />
det<br />
A1 − A3 − λ(B1 − B3) A5 − A6 − λ(B5 − B6)<br />
A5 − A6 − λ(B5 − B6) A2 − A4 − λ(B2 − B4)<br />
<br />
= 0. (4.376)<br />
4.25 Funzioni sferiche con spin (s = 1)<br />
Sono funzioni <strong>di</strong> θ e φ a tre componenti che si trasformano secondo D1 e<br />
appartengono a determinati valori <strong>di</strong> j, l, m; il momento angolare totale<br />
j può assumere i valori 0, 1, 2, . . .; il momento orbitale l può avere i valori<br />
j − 1, j, j + 1. Solo per j = 0 la variabilità <strong>di</strong> l è limitata all’unico valore<br />
l = 1.<br />
Si può porre:<br />
ϕ m j,j−1<br />
ϕ m j,j<br />
=<br />
=<br />
<br />
(j + m)(j + m − 1)<br />
ϕ m−1<br />
j−1 ,<br />
2j(2j − 1)<br />
<br />
(j + m)(j − m)<br />
ϕ<br />
j(2j − 1)<br />
m j−1,<br />
<br />
(j − m)(j − m − 1)<br />
ϕ<br />
2j(2j − 1)<br />
m+1<br />
<br />
j−1 ,<br />
<br />
(j + m)(j − m + 1)<br />
2j(2j + 1)<br />
−<br />
−<br />
ϕ m−1<br />
j ,<br />
m<br />
j(j + 1) ϕ m j , (4.377)<br />
<br />
(j + m + 1)(j − m)<br />
2j(2j + 1)<br />
425<br />
ϕ m+1<br />
j<br />
<br />
,
ϕ m j,j+1<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
=<br />
<br />
(j − m + 1)(j − m + 2)<br />
ϕ m−1<br />
j+1 ,<br />
2(j + 1)(2j + 3)<br />
<br />
(j + m + 1)(j − m + 1)<br />
−<br />
ϕ<br />
(j + 1)(2j + 3)<br />
m j+1,<br />
<br />
(j + m + 1)(j + m + 2)<br />
ϕ<br />
2(j + 1)(2j + 3)<br />
m+1<br />
<br />
j+1 .<br />
Le funzioni così ottenute sono normalizzate e danno luogo alle rappresentazioni<br />
or<strong>di</strong>narie dei momenti angolari. Le ϕ m l sono qui le or<strong>di</strong>narie funzioni<br />
sferiche normalizzate:<br />
ϕ m l = 1<br />
2 l l!<br />
<br />
(2l + 1)(l + m)!<br />
(sin θ)<br />
4π(l − m)!<br />
−m dl−m cos 2 θ − 1 l (d cos θ) l−m e imφ .<br />
(4.378)<br />
Fra le funzioni sferiche con spin ϕ m j,l appartenenti a determinati valori<br />
<strong>di</strong> j e m e a l = j − 1, j, j + 1 passano relazioni <strong>di</strong> frequente uso.<br />
Consideriamo ad esempio l’operatore:<br />
sr = x y<br />
sx +<br />
r r<br />
= 1<br />
2<br />
x − iy<br />
r<br />
sy + z<br />
r sz<br />
(sx + isy) + 1<br />
2<br />
x + iy<br />
r<br />
essendo al solito<br />
sx =<br />
⎛<br />
⎝<br />
0 1/ √ 1/<br />
2 0<br />
√ 2 0 1/ √ 0 1/<br />
2<br />
√ 2 0<br />
⎞<br />
⎠ , sy =<br />
⎛<br />
⎝<br />
(sx − isy) + z<br />
r sz, (4.379)<br />
0 −i/ √ 2 0<br />
i/ √ 2 0 −i/ √ 2<br />
0 i/ √ 2 0<br />
⎛<br />
1 0 0<br />
⎞<br />
sz = ⎝ 0 0 0 ⎠ .<br />
0 0 −1<br />
(4.380)<br />
Questo operatore è evidentemente scalare e quin<strong>di</strong> commutabile con j e m.<br />
Si verificano le seguenti relazioni:<br />
sr ϕ m j,j−1<br />
=<br />
j + 1<br />
2j + 1 ϕm j,j<br />
426<br />
⎞<br />
⎠ ,
sr ϕ m j,j<br />
sr ϕ m j,j+1<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
=<br />
=<br />
j + 1<br />
2j + 1 ϕm j,j−1 +<br />
j<br />
2j + 1 ϕm j,j.<br />
j<br />
2j + 1 ϕm j,j+1<br />
Gli autovalori <strong>di</strong> sr, cioè gli autovalori <strong>di</strong> matrici della forma:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
<br />
j + 1<br />
2j + 1<br />
0<br />
<br />
j + 1<br />
2j + 1<br />
0<br />
<br />
j<br />
2j + 1<br />
0<br />
<br />
j<br />
2j + 1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(4.381)<br />
(4.382)<br />
sono naturalmente ±1, 0, come quelli della componente dello spin in una<br />
<strong>di</strong>rezione fissa. Per j = 0 l’unico stato rotazionale permesso (j = 1) corrisponde<br />
a sr = 0.<br />
Consideriamo ora funzioni a tre valori <strong>di</strong> θ, φ e r e introduciamo l’operatore<br />
1<br />
1<br />
s·grad =<br />
i 2i (sx<br />
<br />
∂ ∂<br />
+ isy) − i<br />
∂x ∂y<br />
Ponendo, per brevità,<br />
+ 1<br />
2i (sx − isy)<br />
<br />
∂ ∂<br />
+ i<br />
∂x ∂y<br />
+ 1<br />
i sz<br />
∂<br />
. (4.383)<br />
∂z<br />
px = 1<br />
i<br />
∂<br />
1<br />
, py =<br />
∂x i<br />
avremo (1/i)s·grad = s·p. Notando che<br />
<br />
x<br />
r px + y<br />
r py + z<br />
r pz<br />
<br />
sarà:<br />
(s·p) ϕ m j,l =<br />
∂<br />
1<br />
, pz =<br />
∂y i<br />
∂<br />
∂z ,<br />
<br />
ϕ m j,l = 0, (4.384)<br />
2 2 2<br />
x + y + z<br />
r2 (s·p) − 1<br />
<br />
x<br />
r r px + y<br />
r py + z<br />
r pz<br />
<br />
sr ϕ m j,l<br />
= 1<br />
<br />
x<br />
r r sy − y<br />
r sx<br />
<br />
<br />
y<br />
(xpy − ypx) +<br />
r sz − x<br />
r sy<br />
<br />
(ypz − zpy)<br />
<br />
z x<br />
+ sx −<br />
r r sz<br />
<br />
<br />
(zpx − xpz) ϕ m j,l,<br />
427
(s·p) ϕ m j,l = 1<br />
r<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
<br />
x<br />
r sy − y<br />
r sx<br />
<br />
y<br />
lz +<br />
r sz − x<br />
r sy<br />
<br />
lx<br />
<br />
z<br />
+<br />
r sx − x<br />
r sz<br />
<br />
ly ϕ m j,l, (4.385)<br />
che si può anche scrivere<br />
(s·p) ϕ m j,l = 1<br />
<br />
1 x + iy<br />
sz<br />
(lx − ily) −<br />
ir 2 r<br />
1<br />
<br />
x − iy<br />
(lx + ily)<br />
2 r<br />
+ 1<br />
2 (sx<br />
<br />
x − iy<br />
+ isy) lz −<br />
r<br />
z<br />
r (lx<br />
<br />
− ily) (4.386)<br />
+ 1<br />
2 (sx<br />
<br />
z<br />
− isy)<br />
r (lx<br />
<br />
x + iy<br />
+ ily) − lz ϕ<br />
r<br />
m j,l,<br />
forma più conveniente per il calcolo: lx, ly, lz sono le componenti del momento<br />
angolare orbitale in unità h/2π. Si trova così:<br />
1<br />
i (s·grad ) ϕmj,j−1 = i<br />
<br />
j + i<br />
(j − 1)<br />
r 2j + 1 ϕmj,j, 1<br />
i (s·grad ) ϕmj,j = − i<br />
<br />
j + i<br />
(j + 1)<br />
r 2j + 1 ϕmj,j−1 + i<br />
r j<br />
<br />
j<br />
2j + 1 ϕmj,j+1, 1<br />
i (s·grad ) ϕmj,j+1 = − i<br />
<br />
j<br />
(j + 2)<br />
r 2j + 1 ϕmj,j. (4.387)<br />
Le formole (4.381) e (4.387) si possono generalizzare applicando gli operatori<br />
sr e (1/i)s·grad a funzioni del tipo f(r)ϕ m j,l, poiché si ha evidentemente:<br />
sr f(r) ϕ m j,l = f(r) sr ϕ m j,l,<br />
1<br />
i (s·grad ) f(r) ϕmj,l = f(r) 1<br />
i (s·grad ) ϕmj,l + 1<br />
i f ′ (r) sr ϕ m j,l.<br />
(4.388)<br />
Passiamo a una applicazione delle funzioni sferiche con spin. Noi<br />
vogliamo trovare le autofunzioni definite dalla equazione <strong>di</strong>fferenziale<br />
1<br />
i<br />
(s·grad ) ψ + k ψ = 0. (4.389)<br />
428
Se poniamo<br />
ψ1 =<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
−ψx + iψy<br />
√ , ψx =<br />
2<br />
ψ2 = ψz, ψy =<br />
ψ3 =<br />
ψx + iψy<br />
√ , ψz = ψ2,<br />
2<br />
ψ3 − ψ1<br />
√ ,<br />
2<br />
ψ1 + ψ3<br />
√ ,<br />
2<br />
e riguar<strong>di</strong>amo ψx, ψy, ψz come componenti <strong>di</strong> ψ; si ha<br />
e la (4.389) si scrive semplicemente:<br />
1<br />
i<br />
(4.390)<br />
(s·grad ) ≡ rot , (4.391)<br />
rot ψ + k ψ = 0. (4.392)<br />
Le soluzioni <strong>di</strong> (4.392) sono <strong>di</strong> due tipi: per k = 0 si ha <strong>di</strong>v ψ = 0, per<br />
k = 0 rot ψ = 0 e quin<strong>di</strong> ψ = grad Φ, essendo Φ completamente arbitrario.<br />
Nel primo caso, badando che:<br />
sarà<br />
rot rot = grad (<strong>di</strong>v) − ∆ , (4.393)<br />
∆ ψ + k 2 ψ = 0, (4.394)<br />
con la con<strong>di</strong>zione aggiunta <strong>di</strong>v ψ = 0. Le soluzioni <strong>di</strong> (4.394) ortogonali<br />
alle soluzioni precedenti si pongono nella forma ψk = grad Φk, essendo<br />
∆ Φk + k 2 Φk = 0, (4.395)<br />
e tutte insieme sod<strong>di</strong>sfano alla (4.392) corrispondentemente all’unico autovalore<br />
k = 0. [Considerando soluzioni <strong>di</strong> (4.394) relative a un determinato<br />
k = 0, si ha infatti (grad (<strong>di</strong>v)) 2 = k 2 grad (<strong>di</strong>v), cosicché gli autovalori<br />
<strong>di</strong> grad (<strong>di</strong>v) possono essere k 2 e 0; nel secondo caso sarà (rot) 2 = k 2 e<br />
quin<strong>di</strong> rot = ±k, abbiamo cioè soluzioni <strong>di</strong> (4.392) per k = 0 e quin<strong>di</strong><br />
sarà <strong>di</strong>vψ = 0. Nel primo caso sarà (rot) 2 = 0 e quin<strong>di</strong> rot ψk = 0, e così<br />
ψk = grad Φk.]<br />
Ritorniamo ora alla rappresentazione originaria delle componenti <strong>di</strong> ψ<br />
e ripren<strong>di</strong>amo la (4.389) supponendo k <strong>di</strong>verso da zero. Da quanto si è<br />
429
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
detto nella precedente <strong>di</strong>gressione risulta che dovrà essere <strong>di</strong>v ψ = 0, cioè<br />
nella nostra rappresentazione:<br />
− 1<br />
<br />
∂ ∂<br />
√ + i ψ1 +<br />
2 ∂x ∂y<br />
∂<br />
∂z ψ2 + 1 <br />
∂ ∂<br />
√ − i ψ3 = 0. (4.396)<br />
2 ∂x ∂y<br />
Una soluzione <strong>di</strong> (4.389) appartenente a dati valori <strong>di</strong> j e m potrà porsi<br />
nella forma<br />
ψ = u<br />
r ϕm j,j−1 + i v<br />
r ϕm j,j + w<br />
r ϕm j,j+1. (4.397)<br />
A causa <strong>di</strong> (4.394), possiamo prevedere che u, v, w sono, a meno del<br />
fattore comune √ r e a meno <strong>di</strong> fattori costanti, funzioni <strong>di</strong> Bessel o <strong>di</strong><br />
Hankel <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne rispettivamente j − 1/2, j + 1/2, j + 3/2. In realtà sostituendo<br />
me<strong>di</strong>ante (4.397) in (4.389) e tenendo conto <strong>di</strong> (4.388), (4.387), e<br />
(4.381), troviamo: 38<br />
<br />
j + 1<br />
k u +<br />
v<br />
2j + 1<br />
′ + j<br />
r v<br />
<br />
= 0<br />
<br />
j + 1<br />
k v −<br />
u<br />
2j + 1<br />
′ − j<br />
r u<br />
<br />
j<br />
−<br />
2j + 1<br />
<br />
j<br />
k w +<br />
v<br />
2j + 1<br />
′ <br />
j + 1<br />
− v = 0.<br />
r<br />
<br />
w ′ +<br />
j + 1<br />
r w<br />
<br />
= 0 (4.398)<br />
Da questo segue, per k = 0 (combinando la prima e la terza delle (4.398)<br />
e le loro derivate)<br />
<br />
<br />
j u ′ − j<br />
r u<br />
<br />
− <br />
j + 1 w ′ j + 1<br />
+<br />
r w<br />
<br />
= 0, (4.399)<br />
che è una traduzione nel nostro caso particolare della (4.396). Dati i valori<br />
iniziali <strong>di</strong> u e v, ad esempio, restano determinate algebricamente da (4.398)<br />
e (4.399) w, u ′ , v ′ , w ′ , cosicché il sistema (4.398) ammette due sole soluzioni,<br />
in<strong>di</strong>pendenti. Possiamo eliminare w ′ + (w/r)(j+1) me<strong>di</strong>ante la (4.399).<br />
Troviamo<br />
k u +<br />
k v −<br />
<br />
j + 1<br />
v<br />
2j + 1<br />
′ + j<br />
r v<br />
<br />
2j + 1<br />
j + 1<br />
<br />
u ′ + j<br />
r u<br />
<br />
= 0<br />
= 0.<br />
(4.400)<br />
38∗ Per j = 0, u e v non esistono e si ha semplicemente kw = 0 o, per k = 0,<br />
w = 0.<br />
430
Eliminando finalmente u, abbiamo:<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
v ′′ +<br />
<br />
k 2 −<br />
j(j + 1)<br />
r 2<br />
<br />
v = 0. (4.401)<br />
Unica soluzione regolare <strong>di</strong> (4.401) è √ r Jj+1/2(|k|r); sostituendo nella<br />
prima e nell’ultima delle (4.398), otteniamo imme<strong>di</strong>atamente u e w. Basta<br />
ricordare le relazioni:<br />
I ′ n(x) + n<br />
In(x) = In−1(x)<br />
x<br />
o, ponendo F = √ x I,<br />
F ′ n(x) +<br />
F ′ n(x) −<br />
I ′ n(x) − n<br />
In(x) = − In+1(x),<br />
x<br />
<br />
n − 1<br />
<br />
Fn(x)<br />
2 x<br />
<br />
n + 1<br />
<br />
Fn(x)<br />
2 x<br />
= Fn−1(x)<br />
= − Fn+1(x).<br />
(4.402)<br />
(4.403)<br />
Segue che l’unica soluzione regolare per r = 0 del sistema (4.398) è data,<br />
a meno <strong>di</strong> un fattore costante, da<br />
<br />
j + 1 √<br />
u = −<br />
r Ij−1/2(|k|r) ·<br />
2j + 1<br />
k<br />
|k|<br />
v = √ r Ij+1/2(|k|r) (4.404)<br />
<br />
j √<br />
w =<br />
r Ij+3/2(|k|r) ·<br />
2j + 1<br />
k<br />
|k| .<br />
Due soluzioni singolari in<strong>di</strong>pendenti delle (4.398) si otterranno naturalmente<br />
sostituendo alle funzioni <strong>di</strong> Bessel le funzioni <strong>di</strong> Hankel <strong>di</strong> prima e<br />
<strong>di</strong> seconda specie<br />
u 1,2 <br />
j + 1 √ 1,2 k<br />
= −<br />
r Hj−1/2 (|k|r) ·<br />
2j + 1<br />
|k|<br />
v 1,2 = √ r H 1,2<br />
j+1/2 (|k|r) (4.405)<br />
w 1,2 <br />
j √ 1,2 k<br />
=<br />
r Hj+3/2 (|k|r) ·<br />
2j + 1<br />
|k| .<br />
431
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Consideriamo il caso più semplice: j = 1 (per j = 0 non esistono<br />
soluzioni <strong>di</strong> (4.389) con k = 0). Nell’espressione (4.397) <strong>di</strong> ψ entrano le<br />
ϕ m 1,0, ϕ m 1,1 e ϕ m 1,2, e le funzioni <strong>di</strong> Bessel e <strong>di</strong> Hankel <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 1/2, 3/2, 5/2.<br />
Raccogliamo qui le espressioni esplicite <strong>di</strong> tali funzioni:<br />
ϕ 1 1,0<br />
ϕ<br />
=<br />
<br />
1<br />
(1 , 0 , 0)<br />
4π<br />
(4.406)<br />
0 1,0<br />
ϕ<br />
=<br />
<br />
1<br />
(0 , 1 , 0)<br />
4π<br />
(4.407)<br />
−1<br />
1,0<br />
ϕ<br />
=<br />
<br />
1<br />
(0 , 0 , 1)<br />
4π<br />
(4.408)<br />
1 1,1 =<br />
<br />
1 3 3<br />
cos θ ,<br />
4π 2 4 sin θ eiφ <br />
, 0<br />
(4.409)<br />
ϕ 0 1,1 =<br />
<br />
1<br />
4π<br />
<br />
3<br />
4 sin θ e−iφ <br />
3<br />
, 0 , sin θ eiφ<br />
4<br />
(4.410)<br />
ϕ −1<br />
1,1 =<br />
<br />
1<br />
4π<br />
<br />
3<br />
0 ,<br />
4 sin θ e−iφ <br />
3<br />
, − cos θ<br />
2<br />
(4.411)<br />
ϕ 1 1,2 =<br />
<br />
1<br />
4π<br />
<br />
9<br />
8 cos2 <br />
1 3<br />
θ − ,<br />
8 2 sin θ cos θ eiφ ,<br />
<br />
9<br />
8 sin2 θ e 2iφ<br />
<br />
(4.412)<br />
ϕ 0 1,2 =<br />
<br />
1<br />
4π<br />
<br />
3<br />
2 sin θ cos θ e−iφ <br />
9<br />
, −<br />
2 cos2 <br />
1<br />
θ +<br />
2 ,<br />
− 3<br />
ϕ<br />
<br />
sin θ cos θ eiφ<br />
2<br />
(4.413)<br />
−1<br />
1,2 =<br />
<br />
1<br />
4π<br />
<br />
9<br />
8 sin2 θ e −2iφ , − 3<br />
2 sin θ cos θ e−iφ ,<br />
<br />
9<br />
8 cos2 <br />
1<br />
θ −<br />
8<br />
(4.414)<br />
I1/2(x) =<br />
<br />
2<br />
sin x<br />
πx<br />
(4.415)<br />
432
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
I3/2(x)<br />
I5/2(x)<br />
=<br />
=<br />
<br />
2<br />
πx<br />
<br />
2<br />
πx<br />
<br />
<br />
sin x<br />
− cos x +<br />
x<br />
<br />
cos x sin x<br />
− sin x − 3 + 3<br />
x x<br />
(4.416)<br />
2<br />
<br />
(4.417)<br />
H 1 1/2(x) =<br />
<br />
2<br />
− i<br />
πx eix<br />
H<br />
(4.418)<br />
1 3/2(x) =<br />
<br />
2<br />
πx eix<br />
<br />
− 1 − i<br />
H<br />
<br />
x<br />
(4.419)<br />
1 5/2(x) =<br />
<br />
2<br />
πx eix<br />
<br />
i − 3 3i<br />
−<br />
x x2 H<br />
<br />
(4.420)<br />
2 1/2(x) =<br />
<br />
2<br />
i<br />
πx e−ix H<br />
, (4.421)<br />
2 3/2(x) =<br />
<br />
2<br />
πx e−ix<br />
<br />
− 1 + i<br />
H<br />
<br />
x<br />
(4.422)<br />
2 5/2(x) =<br />
<br />
2<br />
πx e−ix<br />
<br />
− i − 3 3i<br />
+<br />
x x2 <br />
. (4.423)<br />
Sostituiamo con queste in (4.397) trascurando un fattore costante; abbiamo<br />
per la soluzione regolare all’origine:<br />
(a) m = 1:<br />
ψ1 =<br />
soluzione regolare<br />
segno superiore per k > 0, inferiore per k < 0<br />
ξ = |kr| 39<br />
sin ξ<br />
r<br />
<br />
3 2 i 3<br />
∓ 1 + cos θ + cos θ<br />
8<br />
ξ 2<br />
± 1<br />
ξ2 <br />
3 3<br />
2 2 cos2 θ − 1<br />
<br />
2<br />
<br />
+ cos ξ<br />
r<br />
<br />
3<br />
−i cos θ<br />
2<br />
∓ 1<br />
<br />
3 3<br />
ξ 2 2 cos2 θ − 1<br />
<br />
2<br />
<br />
(4.424)<br />
39Nel manoscritto<br />
<br />
originale compare l’annotazione: “(sopprimere dovunque un<br />
3<br />
fattore ± per semplificare le formole).”<br />
8<br />
433
ψ2 =<br />
ψ3 =<br />
(b) m = 0:<br />
ψ1 =<br />
ψ2 =<br />
ψ3 =<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
sin ξ<br />
r<br />
<br />
3<br />
∓<br />
4 sin θ cos θ eiφ + i<br />
<br />
3<br />
sin θ eiφ<br />
ξ 4<br />
± 1<br />
ξ2 <br />
27<br />
sin θ cos θ eiφ +<br />
4 cos ξ<br />
r<br />
<br />
3<br />
−i sin θ eiφ<br />
4<br />
∓ 1<br />
<br />
27<br />
sin θ cos θ eiφ<br />
ξ 4<br />
(4.425)<br />
sin ξ<br />
r<br />
<br />
3<br />
∓<br />
8 sin2 θ e 2iφ ± 1<br />
ξ2 <br />
27<br />
8 sin2 θ e 2iφ<br />
<br />
+ cos ξ<br />
r<br />
<br />
∓ 1<br />
<br />
27<br />
ξ 8 sin2 θ e 2iφ<br />
<br />
. (4.426)<br />
sin ξ<br />
r<br />
<br />
3<br />
∓<br />
4 sin θ cos θ e−iφ + i<br />
<br />
3<br />
sin θ e−iφ<br />
ξ 4<br />
± 1<br />
ξ2 <br />
27<br />
sin θ cos θe−iφ +<br />
4 cos ξ<br />
r<br />
<br />
3<br />
−i sin θ e−iφ<br />
4<br />
∓ 1<br />
<br />
27<br />
sin θ cos θ e−iφ<br />
ξ 4<br />
(4.427)<br />
sin ξ<br />
r<br />
<br />
3 2 <br />
∓ 1 − cos θ ∓<br />
2<br />
1<br />
ξ2 <br />
√ 3<br />
6<br />
2 cos2 θ − 1<br />
<br />
2<br />
+ cos ξ<br />
<br />
±<br />
r<br />
1<br />
<br />
√ 3<br />
6<br />
ξ 2 cos2 θ − 1<br />
<br />
2<br />
<br />
sin ξ 3<br />
±<br />
r 4<br />
(4.428)<br />
sin θ cos θ eiφ + i<br />
<br />
3<br />
sin θ eiφ<br />
ξ 4<br />
∓ 1<br />
ξ2 <br />
27<br />
sin θ cos θeiφ +<br />
4 cos ξ<br />
r<br />
<br />
3<br />
−i sin θ eiφ<br />
4<br />
± 1<br />
<br />
27<br />
sin θ cos θ eiφ .<br />
ξ 4<br />
(4.429)<br />
434
(c) m = − 1:<br />
ψ1 =<br />
ψ2 =<br />
ψ3 =<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
sin ξ<br />
r<br />
<br />
3<br />
∓<br />
8 sin2 θ e −2iφ ± 1<br />
ξ2 <br />
27<br />
8 sin2 θ e −2iφ<br />
<br />
+ cos ξ<br />
r<br />
<br />
∓ 1<br />
<br />
27<br />
ξ 8 sin2 θ e −2iφ<br />
<br />
(4.430)<br />
sin ξ<br />
r<br />
<br />
3<br />
±<br />
4 sin θ cos θ e−iφ + i<br />
<br />
3<br />
sin θ e−iφ<br />
ξ 4<br />
∓ 1<br />
ξ2 <br />
27<br />
sin θ cos θe−iφ +<br />
4 cos ξ<br />
r<br />
±<br />
<br />
3<br />
−i sin θ eiφ<br />
4 1<br />
<br />
27<br />
sin θ cos θ e−iφ<br />
ξ 4<br />
sin ξ<br />
r<br />
<br />
3 2 i 3<br />
∓ 1 + cos θ − cos θ<br />
8<br />
ξ 2<br />
± 1<br />
ξ2 <br />
3 3<br />
2 2 cos2 θ − 1<br />
<br />
2<br />
<br />
+ cos ξ<br />
r<br />
<br />
3<br />
i cos θ<br />
2<br />
∓ 1<br />
<br />
3 3<br />
ξ 2 2 cos2 θ − 1<br />
<br />
2<br />
<br />
. (4.431)<br />
La funzione d’onda ψ definisce due campi <strong>di</strong> vettori reali nello spazio or<strong>di</strong>nario.<br />
Possiamo infatti passare me<strong>di</strong>ante le (4.390) alle componenti <strong>di</strong> ψ<br />
secondo gli assi cartesiani x, y, z e porre<br />
essendo A e B vettori reali. Cioè:<br />
ψ = A + i B, (4.432)<br />
ψx = Ax + i Bx (4.433)<br />
ψy = Ay + i By (4.434)<br />
ψz = Az + i Bz. (4.435)<br />
Sostituendo nelle espressioni precedenti attraverso (4.390) troviamo a meno<br />
<strong>di</strong> un fattore costante (± 3/4):<br />
435
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
soluzione regolare<br />
ξ = |kr|; segno superiore k > 0; segno inferiore k < 0<br />
(a) m = 1:<br />
<br />
sin ξ<br />
Ax = 1 − sin<br />
r<br />
2 θ cos 2 φ − 1<br />
ξ2 2 2 <br />
1 − 3 sin θ cos φ <br />
+ cos ξ 2 2 <br />
1 − 3 sin θ cos φ ,<br />
ξr<br />
<br />
sin ξ<br />
Ay = − sin<br />
r<br />
2 θ sin φ cos φ± 1<br />
cos θ<br />
ξ<br />
+ 3<br />
ξ2 · sin2 <br />
θ sin φ cos φ + cos ξ<br />
<br />
∓ cos θ −<br />
r<br />
3<br />
ξ · sin2 <br />
θ sin φ cos φ ,<br />
<br />
sin ξ<br />
Az = − sin θ cos θ cos φ ∓<br />
r<br />
1<br />
sin θ sin φ<br />
ξ<br />
+ 3<br />
<br />
· sin θ cos θ cos φ +<br />
ξ2 cos ξ<br />
<br />
± sin θ sin φ −<br />
r<br />
3<br />
<br />
· sin θ cos θ cos φ ;<br />
ξ<br />
<br />
sin ξ<br />
Bx = − sin<br />
r<br />
2 θ sin φ cos φ ∓ 1<br />
cos θ<br />
ξ<br />
+ 3<br />
ξ2 · sin2 <br />
θ sin φ cos φ + cos ξ<br />
<br />
± cos θ −<br />
r<br />
3<br />
ξ · sin2 <br />
θ sin φ cos φ ,<br />
<br />
sin ξ<br />
By = 1 − sin<br />
r<br />
2 θ sin 2 φ − 1<br />
ξ2 2 2 <br />
1 − 3 sin θ sin φ <br />
+ cos ξ 2 2 <br />
1 − 3 sin θ sin φ ,<br />
ξr<br />
<br />
sin ξ<br />
Bz = − sin θ cos θ sin φ±<br />
r<br />
1<br />
sin θ cos φ<br />
ξ<br />
+ 3<br />
<br />
· sin θ cos θ sin φ +<br />
ξ2 cos ξ<br />
<br />
∓ sin θ cos φ −<br />
r<br />
3<br />
<br />
· sin θ cos θ sin φ .<br />
ξ<br />
(b) m = 0<br />
Una formola sulle funzioni sferiche or<strong>di</strong>narie:<br />
<br />
∂ ∂<br />
− i f(r) ϕ<br />
∂x ∂y<br />
m l<br />
<br />
= − f ′ l + 1<br />
(r) +<br />
r f(r)<br />
<br />
(l + m)(l + m − 1)<br />
(2l + 1)(2l − 1) ϕm−1 l−1<br />
436
+<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
<br />
f ′ (r) − l<br />
r f(r)<br />
<br />
(l − m + 1)(l − m + 2)<br />
(2l + 1)(2l + 3)<br />
ϕ m−1<br />
l+1 ,<br />
<br />
∂ ∂<br />
+ i f(r) ϕ<br />
∂x ∂y<br />
m l<br />
<br />
= f ′ l + 1<br />
(r) +<br />
r f(r)<br />
<br />
(l − m)(l − m − 1)<br />
(2l + 1)(2l − 1) ϕm+1 l−1 ,<br />
<br />
− f ′ (r) − l<br />
r f(r)<br />
<br />
(l + m + 1)(l + m + 2)<br />
(2l + 1)(2l + 3)<br />
∂<br />
∂z f(r) ϕm l<br />
=<br />
<br />
f ′ l + 1<br />
(r) +<br />
r f(r)<br />
+<br />
<br />
f ′ (r) − l<br />
r f(r)<br />
<br />
<br />
(l + m)(l − m)<br />
(2l + 1)(2l − 1) ϕm l−1<br />
(l + m + 1)(l − m + 1)<br />
(2l + 1)(2l + 3)<br />
ϕ m+1<br />
l+1 ,<br />
ϕ m l+1.<br />
(4.436)<br />
Se u è una funzione a un valore, poniamo ψ = (ψ1, ψ2, ψ3) = grad u, se<br />
ψ1 = − 1 <br />
∂u ∂u<br />
√ − i<br />
2 ∂x ∂y<br />
ψ2 = ∂u<br />
ψ3 =<br />
∂z<br />
<br />
1 ∂u ∂u<br />
√ + i .<br />
2 ∂x ∂y<br />
(4.437)<br />
Segue dalle formole precedenti e dalle (4.377):<br />
grad f(r) ϕ m l =<br />
<br />
l<br />
f<br />
2l + 1<br />
′ l + 1<br />
(r) +<br />
r f(r)<br />
<br />
<br />
l + 1<br />
−<br />
f<br />
2l + 1<br />
′ (r) l<br />
r f(r)<br />
<br />
(continua nel §4.29).<br />
437<br />
ϕ m l,l+1<br />
ϕ m l,l−1<br />
(4.438)
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
4.26 Diffusione <strong>di</strong> elettroni veloci<br />
(metodo <strong>di</strong> Born relativistico)<br />
Consideriamo l’equazione <strong>di</strong> Dirac senza campo:<br />
<br />
W<br />
c + ρ1<br />
<br />
σ·p + ρ3 mc ψ = 0 (4.439)<br />
e risolviamo anzitutto il problema seguente: data una funzione a 4 valori<br />
P (q), che si annulla all’infinito, determinare una soluzione dell’equazione<br />
<strong>di</strong>fferenziale: <br />
W<br />
c + ρ1<br />
<br />
σ·p + ρ3 mc ψ = P (4.440)<br />
(W = costante), con la con<strong>di</strong>zione ai limiti che ψ rappresenti al’infinito<br />
un’onda <strong>di</strong>vergente. Applichiamo ai due membri <strong>di</strong> (4.440) l’operatore<br />
W<br />
− ρ1 σ·p − ρ3 mc troviamo:<br />
c<br />
2<br />
W<br />
c2 − m2c 2 − p 2<br />
<br />
ψ =<br />
<br />
W<br />
c − ρ1<br />
<br />
σ·p − ρ3 mc P. (4.441)<br />
Esplicitando l’operatore p e introducendo la costante<br />
si ha:<br />
∆ ψ + k 2 ψ =<br />
k = 1<br />
<br />
1<br />
2<br />
1<br />
W 2 /c2 − m2c2 = |p|, (4.442)<br />
<br />
<br />
W<br />
c − ρ3<br />
<br />
mc + i<br />
ρ1<br />
<br />
σ·grad P. (4.443)<br />
Da questa segue, come è noto, che la soluzione <strong>di</strong> (4.443) sod<strong>di</strong>sfacente alla<br />
detta con<strong>di</strong>zione ai limiti ha la forma:<br />
ψ(q) = − 1<br />
ik|q−q<br />
e<br />
4π<br />
′ |<br />
|q − q ′ <br />
1<br />
| 2 <br />
W<br />
− ρ3 mc +<br />
c i<br />
<br />
ρ1 σ·grad<br />
<br />
×P (q ′ ) dq ′ , (4.444)<br />
che può essere semplificata me<strong>di</strong>ante integrazione per parti; troviamo così,<br />
tenendo conto che grad è una variabile sulla variabile in<strong>di</strong>pendente q ′ :<br />
grad eik|q−q′ |<br />
|q − q ′ q − q′<br />
= −<br />
| |q − q ′ <br />
1<br />
ik −<br />
| |q − q ′ ik|q−q<br />
e<br />
|<br />
′ |<br />
|q − q ′ , (4.445)<br />
|<br />
438
la soluzione desiderata:<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
r = |q − q ′ |<br />
ψ(q) = − 1<br />
ikr<br />
e 1<br />
4π r 2 <br />
W<br />
c − ρ3<br />
<br />
mc<br />
− 1 k + i/r<br />
ρ1 σ·(q − q<br />
r<br />
′ <br />
)<br />
P (q ′ ) dq ′ . (4.446)<br />
Cambiando il segno <strong>di</strong> k si avrebbe la soluzione <strong>di</strong> (4.440) che all’infinito<br />
rappresenta un’onda convergente.<br />
Supponiamo ora che un’onda piana <strong>di</strong> elettroni incontri un campo <strong>di</strong><br />
potenziale V (se questo deriva da un potenziale scalare sarà V = −eφ).<br />
L’equazione <strong>di</strong> Dirac si può scrivere<br />
W<br />
c<br />
<br />
+ ρ1 σ·p + ρ3 mc<br />
ψ = V<br />
ψ. (4.447)<br />
c<br />
Questa equazione può essere risolta per successive approssimazioni me<strong>di</strong>ante<br />
il metodo <strong>di</strong> Born, ponendo<br />
ψ = ψ0 + ψ1 + ψ2 + . . . , (4.448)<br />
dove ψ0 è l’onda piana imperturbata e ψ1, ψ2, . . . si calcolano successivamente<br />
risolvendo l’equazione <strong>di</strong>fferenziale<br />
<br />
W<br />
c + ρ1<br />
<br />
σ·p + ρ3 mc ψn = V<br />
c ψn−1 (4.449)<br />
nel modo che si è detto.<br />
Limitiamoci alla prima approssimazione e sia ψ0 un’onda piana <strong>di</strong>retta<br />
secondo l’asse z:<br />
ψ0 = u e ikz , k = p<br />
, (4.450)<br />
<br />
dove u è una funzione <strong>di</strong> spin che supponiamo normalizzata. Vogliamo<br />
determinare ψ1, a grande <strong>di</strong>stanza R dal punto 0, in prossimità del quale<br />
si trova il campo <strong>di</strong>ffondente, e nella <strong>di</strong>rezione θ, φ. In<strong>di</strong>chiamo con t<br />
un vettore unitario <strong>di</strong>retto secondo z e con t1 un vettore unitario <strong>di</strong>retto<br />
secondo θ, φ. Avremo ψ0(q ′ ) = u exp{ikq ′ ·t} e, per R → ∞:<br />
|q − q ′ | = R − q ′ ·t1, (R → ∞). (4.451)<br />
439
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Sostituendo in (4.446) con ψ1<br />
troviamo per R → ∞<br />
in luogo <strong>di</strong> ψ e (V/c) ψ0 in luogo <strong>di</strong> P ,<br />
ψ1(R; θ, φ) = − eikR<br />
<br />
e<br />
4πR<br />
−iq′ <br />
·(kt1−kt) 1<br />
2 <br />
W<br />
c − ρ3<br />
−<br />
<br />
mc<br />
1<br />
′<br />
V (q )<br />
k ρ1 σ·t1 u dq<br />
c<br />
′ . (4.452)<br />
Supponiamo per semplicità che nel campo <strong>di</strong>ffondente sia <strong>di</strong>verso da zero<br />
solo il potenziale scalare φ. Allora V = −eφ e non contiene le variabili <strong>di</strong><br />
spin. Possiamo così scrivere uV (q ′ ) in luogo <strong>di</strong> V (q ′ )u e portare fuori da<br />
(4.452) la parte costante. Ricaviamo allora:<br />
ψ1(R; θ, φ) = − eikR<br />
<br />
4πR<br />
<br />
1<br />
×<br />
2 <br />
W<br />
c2 − ρ3<br />
<br />
m<br />
e −iq′ ·(kt1−kt) V (q ′ ) dq ′<br />
− 1 k<br />
c ρ1<br />
<br />
σ·t1 u. (4.453)<br />
Ora dobbiamo ricordare che u è la funzione <strong>di</strong> spin <strong>di</strong> un’onda piana con<br />
momento px = py = 0, pz = k. Cosicché avremo<br />
<br />
W<br />
c + k ρ1<br />
<br />
σz + ρ3 mc u = 0. (4.454)<br />
Poniamo u = (a, b), essendo a e b rispettivamente la prima e la seconda<br />
coppia <strong>di</strong> valori <strong>di</strong> u. Allora la (4.454) si scrive:<br />
<br />
W<br />
c<br />
<br />
+ mc a + k σz b = 0,<br />
<br />
W<br />
c<br />
<br />
− mc b + k σz a. = 0.<br />
(4.455)<br />
Dalla prima o dalla seconda ricaviamo:<br />
Avremo inoltre:<br />
1<br />
2<br />
a = − <br />
<br />
W<br />
c2 − ρ3<br />
<br />
m<br />
k σz<br />
k σz<br />
b, b = − <br />
a. (4.456)<br />
W/c + mc W/c − mc<br />
− 1 k<br />
c ρ1<br />
<br />
σ·t1 u<br />
440
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
<br />
1<br />
=<br />
2 W − mc 2<br />
c2 a − 1 k σ·t1<br />
b,<br />
c<br />
1<br />
2 W + mc 2<br />
c2 b − 1<br />
<br />
k σ·t1<br />
a<br />
c<br />
= 1<br />
2 2 2<br />
W − mc + (W + mc )σ·t1 σz<br />
c2 a,<br />
W + mc 2 + (W − mc 2 )σ·t1 σz<br />
c2 <br />
b ; (4.457)<br />
e ponendo per semplicità σ·t1 = σR e<br />
sarà:<br />
1<br />
2<br />
a ′ = W − mc2 + (W + mc 2 )σR σz<br />
2 c 2<br />
b ′ = W + mc2 + (W − mc 2 )σR σz<br />
2 c 2<br />
a,<br />
b,<br />
(4.458)<br />
<br />
W<br />
c2 − ρ3<br />
<br />
m − 1 k<br />
c ρ1<br />
<br />
σR u = a ′ , b ′ . (4.459)<br />
Avremo ancora, badando che σRσz + σzσR = 2 cos θ:<br />
Analogamente:<br />
a ′† a ′ = 1<br />
4 2<br />
W − mc<br />
c2 2 2<br />
W + mc<br />
+<br />
c2 2 + 2 W 2 − m 2 c 4<br />
c4 <br />
cos θ a † =<br />
a<br />
2m2<br />
4 2<br />
W<br />
m2 <br />
(1 + cos θ) + (1 − cos θ)<br />
c4 b ′† b ′ = 2m2<br />
4<br />
2<br />
W<br />
m2 <br />
(1 + cos θ) + (1 − cos θ)<br />
c4 a † a. (4.460)<br />
b † b. (4.461)<br />
La sezione efficace per la <strong>di</strong>ffusione entro l’unità <strong>di</strong> angolo nella <strong>di</strong>rezione<br />
θ, φ è data da<br />
S(θ, φ) = R 2 |ψ1| 2<br />
, R → ∞. (4.462)<br />
|ψ0| 2<br />
441
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Sostituendo in (4.453) troviamo:<br />
S(θ, φ) =<br />
m 2<br />
8π24 2<br />
W<br />
m2 <br />
(1 + cos θ) + (1 − cos θ)<br />
c4 <br />
<br />
· <br />
e −iq·(kt1−kt)<br />
<br />
2<br />
V (q) dq<br />
. (4.463)<br />
Questa formola assume nel caso non relativistico la forma elementare ben<br />
nota:<br />
S(θ, φ) = m2<br />
4π24 <br />
<br />
<br />
e −iq·(kt1−kt)<br />
<br />
2<br />
V (q) dq<br />
, k = p<br />
. (4.464)<br />
<br />
Torniamo alla (4.463) e supponiamo il campo coulombiano:<br />
Allora è notoriamente:<br />
<br />
e −ikq·(t1−t) V (q) dq = − 4π Ze 2<br />
V = − Ze2<br />
. (4.465)<br />
r<br />
=<br />
k2 = −<br />
|t1 − t| 2<br />
4π Ze 2<br />
k 2 · 4 sin 2 θ/2<br />
− π Ze 2<br />
k2 sin2 . (4.466)<br />
(θ/2)<br />
Introduciamo il momento dell’elettrone libero p = k e la velocità da<br />
ricaviamo infine:<br />
S(θ) =<br />
v = c2<br />
W p, con W 2 = m2c 4<br />
1 − v2 ; (4.467)<br />
/c2 Z 2 e 4<br />
4p2v2 sin4 2 2<br />
2c − v<br />
(θ/2) 2c2 da confrontare con l’espressione classica:<br />
Scl(θ) =<br />
+ v2<br />
<br />
cos θ<br />
2c2 (4.468)<br />
Z 2 e 4<br />
4p2v2 sin4 . (4.469)<br />
θ/2<br />
Così per piccole deviazioni la <strong>di</strong>ffusione relativistica è uguale a quella <strong>di</strong><br />
un elettrone classico avente lo stesso valore <strong>di</strong> pv, ma per ampie deviazioni<br />
442
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
è alquanto minore. Possiamo meglio confrontare le <strong>di</strong>ffusioni classiche e<br />
relativistiche (queste ultime sono date dal metodo <strong>di</strong> Born solo in prima<br />
approssimazione) per elettroni <strong>di</strong> data energia. In<strong>di</strong>cando con E l’energia<br />
<strong>di</strong>minuita dell’energia <strong>di</strong> riposo:<br />
e ponendo, per brevità<br />
avremo<br />
E = W − mc 2 =<br />
con che la (4.468) <strong>di</strong>venta:<br />
S(θ) =<br />
mc 2<br />
1 − v 2 /c 2 − mc2 , (4.470)<br />
s = 1 − v2 /c2 = mc2<br />
mc2 , (4.471)<br />
+ E<br />
p v = E (1 + s) ; (4.472)<br />
Z 2 e 4<br />
16E2 sin4 <br />
2<br />
2 + 2s 2 − 2s2<br />
+ cos θ , (4.473)<br />
θ/2 (1 + s) 2 (1 + s) 2<br />
da confrontare con l’espressione classica (s = 1)<br />
Scl(θ) =<br />
Z 2 e 4<br />
16E2 sin4 . (4.474)<br />
(θ/2)<br />
A parità <strong>di</strong> energia la <strong>di</strong>ffusione relativistica è dunque maggiore <strong>di</strong><br />
quella classica per le piccole deviazioni e minore per le gran<strong>di</strong> deviazioni.<br />
Poiché:<br />
S<br />
Scl<br />
= 2 + 2s2<br />
2 − 2s2<br />
+ cos θ, (4.475)<br />
(1 + s) 2 (1 + s) 2<br />
la deviazione θ per cui la formola classica e relativistica coincidono è data<br />
da:<br />
1 − s<br />
cos θ0 = − , (4.476)<br />
2(1 + s)<br />
così θ0 = 90 o per s → 1 e θ0 = 120 o per s → 0.<br />
Diamo per alcuni valori <strong>di</strong> s il rapporto fra la <strong>di</strong>ffusione relativistica e<br />
classica S(θ)/Scl(θ) calcolata per alcuni valori <strong>di</strong> θ:<br />
443
θ = 0 o<br />
θ = 30 o<br />
θ = 60 o<br />
θ = 90 o<br />
θ = 120 o<br />
θ = 150 o<br />
θ = 180 o<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
s = 1 s = 1/2 s = 1/3 s = 0<br />
1 1.78 2.25 4.00<br />
1 1.69 2.12 3.73<br />
1 1.44 1.75 3.00<br />
1 1.11 1.25 2.00<br />
1 0.78 0.75 1.00<br />
1 0.53 0.38 0.27<br />
1 0.44 0.25 0.00<br />
4.27 Grandezze atomiche <strong>di</strong> uso frequente<br />
(1) Oscillatori armonici.<br />
ν frequenza <strong>di</strong> oscillazioni in cm −1 , A/N massa della particella oscillante<br />
(N numero <strong>di</strong> Avogadro), a elongazione massima classica in<br />
un’orbita <strong>di</strong> quanto n:<br />
a =<br />
n<br />
A<br />
N <br />
π c ν =<br />
n<br />
A<br />
6.7<br />
ν · 10−8 cm. (4.477)<br />
Esempio: per la molecola <strong>di</strong> idrogeno, massa ridotta A = 1/2, ν ∼<br />
4400, segue a ∼ 0.175 √ n·10 −8 (valida per valori <strong>di</strong> n assai piccoli)<br />
(2) Relazioni fra energie e lunghezze d’onda 40<br />
Energia <strong>di</strong> una particella α <strong>di</strong> lunghezza d’onda: λ0 = 10 −12 cm:<br />
E0 = 300·Nπ2 2<br />
2λ 2 0·e<br />
V = 2.05·10 6 V. (4.478)<br />
Energia <strong>di</strong> un elettrone <strong>di</strong> lunghezza d’onda λ0 = 10 −8 cm:<br />
E0 = 2π2 2 ·300<br />
mλ 2 0·e<br />
V = 150 V. (4.479)<br />
40 Si osservi che il valore numerico attualmente accettato (2.09·10 6 , 153 e<br />
2.108·10 6 , rispettivamente) per le energie qui <strong>di</strong> seguito considerate <strong>di</strong>fferisce<br />
leggermente da quelli riportati dall’Autore.<br />
444
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
(3) Relazioni fra velocità ed energia.<br />
Energia <strong>di</strong> una particella α <strong>di</strong> velocità v = 10 9 cm/s:<br />
E0 = 3.3·10−6<br />
1.59·10 −12 = 2.08·106 V. (4.480)<br />
4.28 Stati quasi-stazionari<br />
In un sistema imperturbato esista uno stato finito ψ0 <strong>di</strong> energia E0 e uno<br />
spettro continuo ψW <strong>di</strong> energia E0 + W . Introduciamo una perturbazione<br />
che collega lo stato finito ψ0 e gli stati continui definita da:<br />
<br />
IW = ψ0 Hp ψW dτ. (4.481)<br />
Per effetto della perturbazione lo stato finito ψ0 viene assorbito nello spettro<br />
continuo. Si tratta <strong>di</strong> trovare le autofunzioni perturbate ψ ′ W . Se H è<br />
l’Hamiltoniana totale dovremo avere:<br />
<br />
H ψ0 = E0 ψ0 +<br />
IW ψW dW<br />
H ψW = (E0 + W ) ψW + IW ψ0<br />
(4.482)<br />
H ψ ′ W = (E0 + W ) ψ ′ W . (4.483)<br />
Il problema può essere risolto esattamente; le autofunzioni perturbate ψ ′ W ,<br />
normalizzate rispetto a dW , come abbiamo supposto le ψW , sono:<br />
ψ ′ W<br />
a = I −1<br />
W<br />
=<br />
1<br />
|a| 2 + |b| 2 ψ0 +<br />
−<br />
1<br />
|a| 2 + |b| 2<br />
<br />
a<br />
|a| 2 + |b| 2 ψW<br />
IW ′<br />
dW ′<br />
W ′ − W<br />
ψW ′<br />
W ′ − W dW ′ , (4.484)<br />
l’integrale avendo il suo valore principale ed essendo inoltre<br />
<br />
W + |IW ′|2<br />
<br />
; b = π IW (4.485)<br />
445
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
L’integrale in a ha ancora il valore principale. Poniamo<br />
con che la (4.484) <strong>di</strong>venta:<br />
<br />
ψ ′ W = 1<br />
NW<br />
ψ0 −<br />
Nw = |a| 2 + |b| 2 , (4.486)<br />
IW ′<br />
ψW ′<br />
W ′ − W dW ′ <br />
+ a ψW . (4.487)<br />
Possiamo sviluppare lo stato finito ψ0 secondo le ψ ′ W ; avremo<br />
ψ0 =<br />
<br />
1<br />
ψ<br />
NW<br />
′ W dW. (4.488)<br />
Proce<strong>di</strong>amo ormai a qualche approssimazione trascurando termini d’or<strong>di</strong>ne<br />
maggiore del secondo in IW . Poiché i valori <strong>di</strong> W che interessano, cioè<br />
quelli che entrano in modo essenziale in (4.488), tendono a zero come I 2 ,<br />
possiamo considerare come costanti nelle formole precedenti<br />
Ponendo ancora:<br />
IW = I,<br />
sarà in questa approssimazione:<br />
ψ ′ W =<br />
<br />
|IW ′|2<br />
dW ′<br />
W ′ − W<br />
= k. (4.489)<br />
W = ɛ − k, ɛ = W + k, (4.490)<br />
a = ɛ<br />
I , b = π I, N = ɛ 2 /|I| 2 + π 2 |I| 2 ,<br />
1<br />
ɛ 2 /|I| 2 + π 2 |I| 2<br />
ψ0 =<br />
<br />
<br />
ψ0 − I<br />
ψ ′ W<br />
ɛ 2 /|I| 2 + π 2 |I| 2 dɛ.<br />
ψW ′<br />
W ′ − W dW ′ + ɛ<br />
I ψW<br />
<br />
(4.491)<br />
Sostituendo nell’ultima delle (4.491) me<strong>di</strong>ante la penultima, vale a <strong>di</strong>re<br />
eliminando le ψ ′ W , otteniamo naturalmente una identità.<br />
Consideriamo ora la <strong>di</strong>pendenza dal tempo delle autofunzioni, intendendo<br />
che le relazioni precedenti valgono per t = 0. Assumiamo quin<strong>di</strong> come<br />
fattore che descrive la <strong>di</strong>pendenza dal tempo <strong>di</strong> ψ ′ W :<br />
e −iEt/ = e −i(E0−k)t/ e −iɛt/<br />
446<br />
(4.492)
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
e supponiamo che nell’istante t = 0 lo stato del sistema sia ψ0. Mettendo<br />
in evidenza il fattore <strong>di</strong> <strong>di</strong>pendenza dal tempo delle ψ ′ avremo in un istante<br />
generico, per l’ultima delle (4.491) e la (4.492):<br />
ψ = e −i(E0−k)t/<br />
<br />
e −iɛt/<br />
ɛ 2 /|I| 2 + π 2 |I| 2 ψ′ W dɛ, (4.493)<br />
da cui, sostituendo me<strong>di</strong>ante la penultima delle (4.491),<br />
<br />
−i(E0−k)t/<br />
ψ = e<br />
<br />
+<br />
(con 1/T = (2π/)|I| 2 ).<br />
I<br />
ɛ + iπ|I| 2<br />
e −t/2T ψ0<br />
<br />
e −iɛt/ <br />
−t/2T<br />
− e ψW dɛ<br />
, (4.494)<br />
È naturale chiedersi se la (4.494) può dedursi<br />
<strong>di</strong>rettamente dalle (4.482) senza passare attraverso gli stati stazionari ψ ′ W<br />
e ponendo fin dal principio IW = I = costante. Poiché con questa posizione<br />
k <strong>di</strong>viene indeterminata (ve<strong>di</strong> formola (4.489)), possiamo sperare in<br />
questo modo <strong>di</strong> giungere alla (4.494) salvo un’indeterminazione che <strong>di</strong>pende<br />
dall’incognito valore <strong>di</strong> k. 41 In realtà questa si può scrivere (ɛ = W + k) 42<br />
ψ = e −iE0t/ e ikt/ e −t/2T ψ0<br />
<br />
+<br />
e se poniamo<br />
<br />
IψW<br />
e−iEt/ 1 − e<br />
(W + k) + iπ|I| 2 i(W +k)t/ <br />
−t/2T<br />
e dW ; (4.495)<br />
ψ = c ψ0 e −iE0t/<br />
<br />
segue dalle (4.482) con I in luogo <strong>di</strong> IW :<br />
˙c = − i<br />
I<br />
<br />
cW ψW e −iEt/ dW (4.496)<br />
e −iW t/ cW dW, ˙cW = − i<br />
I e−iW t/ c. (4.497)<br />
41 In altri termini, adoperando il metodo “<strong>di</strong>retto”, gli autovalori (perturbati)<br />
dell’energia restano indeterminati.<br />
42 Nel manoscritto originale, nella seguente equazione l’integrazione è eseguita<br />
rispetto a dɛ; è però evidente che dovrebbe invece essere eseguita rispetto a dW .<br />
447
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Possiamo trovare soluzioni <strong>di</strong> queste equazioni della forma<br />
c = e ixt/ e −t/2T ,<br />
cW =<br />
I<br />
W + x + iπ|I| 2<br />
1<br />
T<br />
4π2<br />
=<br />
h |I2 <br />
|<br />
<br />
1 − e i(W +x)t/ <br />
−t/2T<br />
e ,<br />
(4.498)<br />
con x arbitrario, benché le con<strong>di</strong>zioni iniziali siano determinate (c = 1,<br />
cW = 0), questa arbitrarietà <strong>di</strong>pendendo dalla non convergenza dell’integrale<br />
nella prima delle (4.497). Le (4.498) danno per ψ al tempo t<br />
un’espressione identica a (4.495), salvo la sostituzione della quantità arbitraria<br />
x alla grandezza determinata k.<br />
Supponiamo ora che nel sistema imperturbato esista uno stato finito<br />
ψ0 <strong>di</strong> energia E0 e due serie <strong>di</strong> stati infiniti ψW e φW <strong>di</strong> energia E0 + W , e<br />
immaginiamo che una perturbazione colleghi lo stato ψ0 con entrambe le<br />
serie <strong>di</strong> stati infiniti ψW e φW :<br />
<br />
IW =<br />
In luogo delle (4.482) avremo:<br />
<br />
H ψ0 = E0 ψ0 +<br />
<br />
ψ0 Hp ψW dτ, LW =<br />
IW ψW dW +<br />
H ψW = (E0 + W ) ψW + IW ψ0<br />
H φW = (E0 + W ) φW + LW ψ0.<br />
ψ 0 Hp φW dτ. (4.499)<br />
<br />
LW φW dW<br />
(4.500)<br />
Anche qui, per effetto della perturbazione, lo stato finito ψ0 verrà assorbito<br />
nello spettro continuo, ma ora per ogni valore <strong>di</strong> W avremo due stati<br />
stazionari Z 1 W e Z 2 W :<br />
H Z 1 W = (E0 + W ) Z 1 W , H Z 2 W = (E0 + W ) Z 2 W . (4.501)<br />
448
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Possiamo scegliere Z 1 W e Z 2 W ortogonali e normalizzati nel modo seguente:<br />
Z 1 W<br />
Z 2 W<br />
=<br />
=<br />
1<br />
N ′ W<br />
−<br />
<br />
ψ0 + a ψW + A φW −<br />
<br />
LW ′φW ′<br />
W ′ <br />
′<br />
dW<br />
− W<br />
LW ψW<br />
|IW | 2 + |LW | 2 −<br />
IW φW<br />
|IW | 2 + |LW | 2 ,<br />
<br />
IW ′ψW ′<br />
W ′ ′<br />
dW<br />
− W<br />
gli integrali avendo, al solito, i loro valori principali ed essendo ora:<br />
a =<br />
A =<br />
IW<br />
|IW | 2 + |LW | 2<br />
<br />
W + |IW ′|2<br />
<br />
+ |LW ′|2<br />
dW ′<br />
W ′ <br />
− W<br />
LW<br />
|IW | 2 + |LW | 2<br />
<br />
W + |IW ′|2<br />
<br />
+ |LW ′|2<br />
dW ′<br />
W ′ <br />
− W<br />
dW ′<br />
W ′ − W<br />
dW ′<br />
W ′ − W<br />
(4.502)<br />
(4.503)<br />
(4.504)<br />
N ′ W = |a| 2 + |A| 2 + π 2 |IW | 2 + π 2 |LW | 2 . (4.505)<br />
Gli stati Z 2 W sono ortogonali a ψ0, cosicché ψ0 è sviluppabile in modo<br />
analogo a (4.488), secondo i soli stati Z 1 W :<br />
ψ0 =<br />
<br />
Z 1 W /N ′ W dW. (4.506)<br />
Facciamo ora approssimazioni analoghe a (4.489), (4.490), e (4.491)<br />
ponendo:<br />
<br />
|IW ′|2<br />
IW = I, LW = L,<br />
dW ′<br />
W ′ − W +<br />
<br />
|LW ′|2<br />
dW ′<br />
W ′ − W<br />
= k,<br />
(4.507)<br />
W = ɛ − k, ɛ = W + k, (4.508)<br />
449
da cui:<br />
Z 1 W<br />
=<br />
1<br />
N ′ W<br />
a =<br />
Z 2 W = L ψW − I φW<br />
<br />
|I| 2 + |L| 2 ,<br />
ψ0 =<br />
<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Iɛ<br />
|I| 2 , A =<br />
+ |L| 2<br />
Lɛ<br />
|I| 2 + |L| 2<br />
N ′ <br />
ɛ<br />
W =<br />
2<br />
|I| 2 + |L| 2 + π2 (|I| 2 + |L| 2 )<br />
<br />
ɛ I<br />
ψ0 +<br />
|I| 2 <br />
ψW<br />
ψW − I<br />
+ |L| 2 ′<br />
W ′ ′<br />
dW<br />
− W<br />
ɛ L<br />
+<br />
|I| 2 <br />
φW<br />
φW − L<br />
+ |L| 2 ′<br />
W ′ <br />
′<br />
dW<br />
− W<br />
(4.509)<br />
(4.510)<br />
1<br />
ɛ 2 /(|I| 2 + |L| 2 ) + π 2 (|I| 2 + |L| 2 ) Z 1 W dɛ. (4.511)<br />
Le (4.510) e (4.511) sono strettamente analoghe alle (4.491); possiamo<br />
dedurne subito che se il sistema è rappresentato inizialmente da ψ0, la sua<br />
autofunzione al tempo t sarà espressa in modo analogo a (4.495) da:<br />
ψ = e −i(E0−k)t/ e −t/2T ψ0<br />
<br />
+ I<br />
<br />
+ L<br />
essendo ora<br />
ψW e −iEt/<br />
W + k + iπ(|I| 2 + |L| 2 )<br />
φW e −iEt/<br />
W + k + iπ(|I| 2 + |L| 2 )<br />
<br />
1 − e i(W +k)t/ <br />
−t/2T<br />
e dW (4.512)<br />
<br />
1 − e i(W +k)t/ <br />
−t/2T<br />
e dW,<br />
1 2π 2 2<br />
= |I| + |L|<br />
T <br />
. (4.513)<br />
La probabilità <strong>di</strong> transizione nell’unità <strong>di</strong> tempo dallo stato ψ0 agli stati<br />
ψW è così 2π|I| 2 / e quella da ψ0 agli stati φW : 2π|I| 2 /, come era da<br />
aspettarsi.<br />
Vogliamo ora considerare un altro problema. Supponiamo che inizialmente<br />
il sistema sia nello stato infinito ψW e vogliamo calcolare la proba-<br />
bilità relativa (intesa nel modo usuale, fatta cioè uguale a 1 la probabilità<br />
<br />
<br />
2<br />
che il sistema sia in un generico stato se Y se <br />
Y ψ dτ<br />
= 1, cosicché<br />
|ψ| 2 è la densità <strong>di</strong> probabilità nello spazio delle configurazioni τ) che il<br />
450
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
sistema si trovi al tempo t nello stato ψ0 o negli stati ψW , o in stati ψW ′,<br />
con W ′ <strong>di</strong>fferente da W . In luogo <strong>di</strong> probabilità relativa che il sistema si<br />
trovi in un certo stato, parleremo <strong>di</strong> “numero <strong>di</strong> sistemi” in quello stato.<br />
Ora, benché lo stato infinito ψW non sia rigorosamente stazionario e rappresenti<br />
un numero infinito <strong>di</strong> sistemi, solo un numero finito <strong>di</strong> questi ha<br />
energia <strong>di</strong>fferente da E0 +W per una quantità finita, cosicché dobbiamo aspettarci<br />
che crescano indefinitamente, e possiamo presumere linearmente,<br />
nel tempo, solo transizioni a stati infinitamente prossimi a ψW e φW . Tratteremo<br />
il problema servendoci <strong>degli</strong> stati stazionari Z 1 W e Z 2 W e usando<br />
delle approssimazioni (4.507) e (4.509). Sviluppando ψW secondo Z 1 W e<br />
Z 2 W , abbiamo:<br />
ψW =<br />
1<br />
N ′ W<br />
+<br />
ɛ I<br />
|I| 2 + |L| 2 Z1 <br />
W + I<br />
Z 1 W ′<br />
N ′ W ′(W ′ ′<br />
dW<br />
− W )<br />
L<br />
|I| 2 + |L| 2 Z2 W . (4.514)<br />
L’integrale ha al solito il suo valore principale. Se al tempo t = 0 ψ = ψW ,<br />
possiamo calcolare imme<strong>di</strong>atamente ψ al tempo t servendoci dello sviluppo<br />
(4.514):<br />
ψ =<br />
1<br />
N ′ W<br />
+<br />
ɛ I<br />
|I| 2 + |L| 2 e−iEt/ Z 1 <br />
W + I<br />
e −iE′ t/<br />
Z 1 W ′<br />
N ′ W ′(W ′ ′<br />
dW<br />
− W )<br />
L<br />
|I| 2 + |L| 2 e−iEt/ Z 2 W , (4.515)<br />
essendo E = E0 + W , E ′ = E0 + W ′ . Sostituendo in (4.515) me<strong>di</strong>ante<br />
(4.510) possiamo ottenere l’espressione <strong>di</strong> ψ a mezzo <strong>degli</strong> stati imperturbati<br />
ψ0, ψW , φW . Ad evitare <strong>di</strong>fficoltà derivanti dalle singolarità <strong>degli</strong><br />
integrali, giova sostituire dovunque ad espressioni del tipo (1/W ′ − W )<br />
altre della forma<br />
W ′ − W<br />
(W ′ − W ) 2 + α 2<br />
e per quin<strong>di</strong> α → 0. Per t > 0 conviene rappresentare ψ come somma <strong>di</strong> due<br />
soluzioni particolari: ψ = ψ1 + ψ2, tali che per t = 0 ψ1 + ψ2 = ψW , e delle<br />
quali ψ1 descrive essenzialmente il fenomeno per tempi sufficientemente<br />
lunghi, mentre ψ2 è uno stato finito della forma (4.512). Si trova così<br />
t > 0, ψ = ψ1 + ψ2,<br />
451
ψ1 = e −iEt/ ψW +<br />
−<br />
I<br />
ɛ + iπQ 2<br />
I<br />
ψ2 = −<br />
ɛ + iπQ2 con<br />
+<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
I<br />
ɛ + iπQ 2 e−iEt/ ψ0<br />
<br />
IψW ′ + LφW ′<br />
ɛ ′ − ɛ<br />
<br />
e i(E0−k)t/ e −t/2T ψ0<br />
<br />
−iEt/<br />
e 1 − e i(E−E′ )t/ <br />
dE ′<br />
<br />
IψW ′ + LφW ′<br />
ɛ ′ + iπQ2 e −iE′ t/ <br />
1 − e i(E′ −E0+k)t/ −t/2T<br />
e <br />
dE ′<br />
Q = |I| 2 + |L| 2 ,<br />
1<br />
T<br />
= 2π<br />
Q2 ,<br />
ɛ = E − E0 + k, ɛ ′ = E ′ − E0 + k.<br />
<br />
,<br />
(4.516)<br />
Il numero <strong>di</strong> transizioni nell’unità <strong>di</strong> tempo dallo stato ψW a stati ψW ′ e<br />
φW ′ <strong>di</strong> energia prossima a E <strong>di</strong>pende per tempi sufficientemente lunghi dal<br />
denominatore <strong>di</strong> risonanza 1/(ɛ ′ − ɛ) nell’espressione <strong>di</strong> ψ1. In<strong>di</strong>cando con<br />
A il numero <strong>di</strong> transizioni nell’unità <strong>di</strong> tempo a stati ψW ′ (W ′ = W ) e con<br />
B il numero <strong>di</strong> transizioni a stati φW ′, troviamo:<br />
A = 2π<br />
|I|2<br />
|I| 2<br />
ɛ2 + π2 2π<br />
, B =<br />
Q4 |L|2<br />
|I| 2<br />
ɛ2 + π2 . (4.517)<br />
Q4 Ripren<strong>di</strong>amo le equazioni esatte (4.502) e introduciamo alcune notazioni<br />
semplificanti. Poniamo<br />
ɛW =<br />
<br />
W + |IW ′|2<br />
dW ′<br />
W ′ − W +<br />
<br />
|LW ′|2<br />
dW ′<br />
W ′ − W<br />
= W + kW , (4.518)<br />
QW = |IW | 2 + |LW | 2 , (4.519)<br />
con che (4.503), (4.504), e (4.505) <strong>di</strong>ventano:<br />
a = ɛW<br />
IW<br />
Q2 W<br />
, A = ɛW<br />
LW<br />
Q2 , N<br />
W<br />
′ W =<br />
452<br />
<br />
ɛ2 W<br />
Q2 W<br />
+ π2Q2 W , (4.520)
e le (4.502):<br />
Z 1 W<br />
=<br />
1<br />
N ′ W<br />
<br />
−<br />
<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
IW<br />
ψ0 + ɛW<br />
Q2 LW<br />
ψW + ɛW<br />
W<br />
Q2 φW<br />
W<br />
IW ′<br />
ψW ′<br />
W ′ − W dW ′ −<br />
Z 2 W = LW<br />
ψW −<br />
QW<br />
IW<br />
φW .<br />
QW<br />
<br />
LW ′<br />
φW ′<br />
W ′ <br />
′<br />
dW<br />
− W<br />
(4.521)<br />
Conviene introdurre certe combinazioni <strong>degli</strong> stati ψW e φW che in varie<br />
applicazioni hanno un significato fisico speciale. Porremo:<br />
essendo:<br />
ψW = u 1 W + u 2 W , φW = v 1 W + v 2 W , (4.522)<br />
u 1 W = 1<br />
2 ψW − i<br />
2π<br />
u 2 W = 1 i<br />
ψW +<br />
2 2π<br />
v 1 W = 1 i<br />
φW −<br />
2 2π<br />
v 2 W = 1<br />
2 φW + i<br />
2π<br />
IW ′<br />
IW<br />
IW ′<br />
IW<br />
<br />
LW ′<br />
LW<br />
LW ′<br />
Oltre alle (4.522), varranno le relazioni:<br />
<br />
IW ′<br />
ψW ′<br />
W ′ − W dW ′ = iπ IW<br />
<br />
LW ′<br />
φW ′<br />
W ′ − W dW ′ = iπ LW<br />
LW<br />
ψW ′<br />
W ′ ′<br />
dW<br />
− W<br />
ψW ′<br />
W ′ − W dW ′ ;<br />
φW ′<br />
W ′ ′<br />
dW<br />
− W<br />
φW ′<br />
W ′ − W dW ′ .<br />
1<br />
uW − u 2 <br />
W<br />
1<br />
vW − v 2 <br />
W .<br />
Sostituendo me<strong>di</strong>ante queste e le (4.522), le (4.521) <strong>di</strong>ventano:<br />
Z 1 W<br />
=<br />
1<br />
N ′ W<br />
ψ0 + IW<br />
N ′ W<br />
ɛW<br />
Q 2 W<br />
<br />
− iπ u 1 W + IW<br />
N ′ W<br />
453<br />
ɛW<br />
Q 2 W<br />
(4.523)<br />
(4.524)<br />
(4.525)<br />
<br />
+ iπ u 2 W
+ LW<br />
N ′ W<br />
ɛW<br />
Q 2 W<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
<br />
− iπ v 1 W + LW<br />
N ′ W<br />
ɛW<br />
Q 2 W<br />
Z 2 W = LW<br />
u<br />
QW<br />
1 W + LW<br />
u<br />
QW<br />
2 W − IW<br />
v<br />
QW<br />
1 W − IW<br />
v<br />
QW<br />
2 W .<br />
<br />
+ iπ v 2 W , (4.526)<br />
Il più generale stato stazionario appartenente all’energia E0 + W è una<br />
combinazione <strong>di</strong> Z 1 W e Z 2 W :<br />
Potremo quin<strong>di</strong> porre:<br />
essendo:<br />
ZW = λ Z 1 W + µ Z 2 W . (4.527)<br />
ZW = c ψ0 + c1 u 1 W + c2 u 2 W + C1 v 1 W + C2 v 2 W , (4.528)<br />
Da notare l’identità:<br />
c =<br />
λ<br />
N ′ W<br />
c1 = λ IW<br />
N ′ W<br />
c2 = λ IW<br />
N ′ W<br />
C1 = λ LW<br />
N ′ W<br />
C2 = λ LW<br />
N ′ W<br />
ɛW<br />
Q2 W<br />
<br />
ɛW<br />
Q2 W<br />
<br />
ɛW<br />
Q2 W<br />
<br />
ɛW<br />
Q 2 W<br />
<br />
− iπ + µ LW<br />
QW<br />
<br />
+ iπ + µ LW<br />
QW<br />
<br />
− iπ − µ IW<br />
QW<br />
<br />
+ iπ − µ IW<br />
.<br />
QW<br />
(4.529)<br />
|c1| 2 + |C1| 2 = |c2| 2 + |C2| 2 = |λ| 2 + |µ| 2 . (4.530)<br />
Vogliamo trovare stati stazionari della forma (4.528) con C2 = 0. Basta<br />
per ciò porre nelle (4.529):<br />
<br />
ɛW<br />
+ iπ . (4.531)<br />
λ = IW<br />
, µ =<br />
QW<br />
LW<br />
N ′ W<br />
Q 2 W<br />
Notiamo per l’applicazione della (4.530) che essendo<br />
<br />
<br />
<br />
ɛW<br />
<br />
<br />
+ iπ<br />
= N ′ W<br />
,<br />
Q 2 W<br />
454<br />
QW
segue dalle (4.531):<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
|λ| = |IW |<br />
, |µ| = |LW |<br />
, |λ| 2 + |µ| 2 = 1, (4.532)<br />
QW<br />
QW<br />
cosicché le (4.530) <strong>di</strong>vengono, essendo C2 = 0:<br />
|c1| 2 + |C1| 2 = 1, |c2| 2 = 1. (4.533)<br />
L’espressione dello stato che consideriamo sarà della forma:<br />
ZW = c ψ0 + c1 u 1 W + c2 u 2 W + C1 v 1 W , (4.534)<br />
e i valori delle costanti si otterranno sostituendo in (4.529) con (4.531):<br />
Segue<br />
c =<br />
c1 =<br />
IW<br />
N ′ W QW<br />
1<br />
N ′ W QW<br />
C1 = − 2iπ<br />
c2 =<br />
1<br />
N ′ W QW<br />
ɛW − iπ |IW | 2 − |LW | 2<br />
IW LW<br />
N ′ W QW<br />
<br />
ɛW + iπ Q 2 <br />
W .<br />
|c1| 2 = ɛ2 W + π 2 (|IW | 2 − |LW | 2 ) 2<br />
ɛ 2 W + π2 Q 4 W<br />
|C1| 2 = 4π2 |IW | 2 |LW | 2<br />
ɛ 2 W + π2 Q 4 W<br />
|c2| 2 = 1, |c1| 2 + |C1| 2 = 1.<br />
(4.535)<br />
(4.536)<br />
Nell’approssimazione in cui si possono ritenere costanti IW = I e LW = L<br />
il rapporto |C1| 2 /|c2| 2 ha il suo valore massimo per ɛW = 0. Tale valore<br />
massimo è dato da:<br />
<br />
|C1| 2 <br />
|c2| 2<br />
0<br />
= 4|I|2 |L| 2<br />
Q 4<br />
=<br />
4|I| 2 |L| 2<br />
(|I| 2 + |L| 2 = 1 −<br />
) 2<br />
455<br />
|I| 2 − |L| 2<br />
|I| 2 + |L| 2<br />
2<br />
(4.537)
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
così vale 1 se |I| 2 = |L| 2 , altrimenti è minore d’uno. Poniamo:<br />
p0 =<br />
<br />
|C1| 2<br />
|c2| 2<br />
<br />
, k = |I|2<br />
.<br />
|L| 2 (4.538)<br />
sarà allora:<br />
p0 =<br />
4k<br />
=<br />
(k + 1) 2<br />
0<br />
k p0<br />
1 1<br />
2 ; 1/2 0.889<br />
3 ; 1/3 0.750<br />
6 ; 1/6 0.490<br />
10 ; 1/10 0.331<br />
100 ; 1/100 0.039<br />
4<br />
(1 + k)(1 + 1/k) =<br />
e così p0(k) = p0(1/k).<br />
Riguar<strong>di</strong>amo |C1| 2 /|c2| 2 come funzione <strong>di</strong> ɛ e poniamo<br />
4<br />
, (4.539)<br />
k + 2 + 1/k<br />
p = p(ɛ) = |C1|2<br />
. (4.540)<br />
|c2| 2<br />
Nella solita approssimazione IW = I, LW = L, sarà:<br />
p = 4π2 |I| 2 |L| 2<br />
ɛ2 + π2 . (4.541)<br />
Q4 L’integrale p(ɛ)dɛ ha una speciale importanza nelle applicazioni. Si trova<br />
imme<strong>di</strong>atamente:<br />
<br />
p(ɛ) dɛ = 4π2 |I| 2 |L| 2<br />
Q 2<br />
Introducendo la probabilità <strong>di</strong> <strong>di</strong>sintegrazione<br />
1<br />
T<br />
= 2π<br />
Q2<br />
= 4π 2 |I| 2 |L| 2<br />
Q 4 Q2 . (4.542)<br />
dello stato instabile ψ0 e le probabilità parziali <strong>di</strong> <strong>di</strong>sintegrazione per passaggio<br />
negli stati ψW e φW :<br />
1<br />
T1<br />
= 2π<br />
|I|2 ,<br />
456<br />
1<br />
T2<br />
= 2π<br />
|L|2
avremo:<br />
1<br />
T<br />
= 1<br />
T1<br />
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
+ 1<br />
,<br />
T2<br />
1<br />
T1<br />
= k<br />
k + 1<br />
e la (4.542) si può scrivere:<br />
<br />
p(ɛ) dɛ = 2π p0<br />
T 4<br />
= 2π<br />
T1<br />
1<br />
k + 1<br />
1<br />
T ,<br />
= 2π<br />
T<br />
= 2π<br />
T2<br />
1<br />
T2<br />
k<br />
(k + 1) 2<br />
= 1<br />
k + 1<br />
1<br />
, (4.543)<br />
T<br />
k<br />
. (4.544)<br />
k + 1<br />
Passiamo a un’applicazione delle formole precedenti al problema della<br />
<strong>di</strong>sintegrazione <strong>di</strong> risonanza dei nuclei leggeri con cattura della particella α<br />
incidente ed emissione <strong>di</strong> un protone. 43 Vogliamo considerare perciò il caso<br />
più semplice che esista uno stato instabile del sistema nucleo + particella α<br />
(ψ0) il quale <strong>di</strong>a luogo spontaneamente a transizioni in cui viene espulsa una<br />
particella α, oppure a transizioni in cui sia espulso un protone e supponiamo<br />
per semplicità che il protone o la particella α risultanti dalla <strong>di</strong>sintegrazione<br />
<strong>di</strong> ψ0 siano messi in orbita s e inoltre che il nucleo residuo sia lasciato<br />
sempre nello stato fondamentale. Per la posizione matematica del problema<br />
dobbiamo considerare, oltre allo stato instabile ψ0, certi stati ψW che rappresentano<br />
il nucleo originario e una particella α in un’orbita iperbolica<br />
s, e certi stati ψW che rappresentano il nucleo trasformato e un protone<br />
libero in un’orbita s. Lo stato ψ0 è accoppiato così agli stati ψW come agli<br />
stati φW da una perturbazione Hp definita dalle (4.499). Se inten<strong>di</strong>amo<br />
ψW normalizzata rispetto a dW (e trascuriamo la mobilità del nucleo) è<br />
facile convincersi che esso rappresenta un flusso convergente o <strong>di</strong>vergente <strong>di</strong><br />
particelle α pari a 1/2π (particelle nell’unità <strong>di</strong> tempo) e così pure 44 φW<br />
rappresenta un flusso entrante o uscente <strong>di</strong> protoni pari 1/2π. Al contrario<br />
gli stati non stazionari u 1 W e u 2 W definiti dalle (4.523) rappresentano a<br />
grande <strong>di</strong>stanza solo flusso uscente [rispettivamente, entrante] <strong>di</strong> particelle<br />
α sempre <strong>di</strong> intensità 1/2π. Analogamente, v 1 W e v 2 W definiti da (4.524)<br />
rappresentano flusso uscente o entrambi <strong>di</strong> protoni.<br />
Supponiamo ora che un’onda piana <strong>di</strong> particelle <strong>di</strong> determinata energia<br />
rappresentante un flusso unitario per unità d’area cada sul nucleo<br />
non <strong>di</strong>sintegrato e vogliamo determinare come vengono <strong>di</strong>ffuse le particelle<br />
α e quante <strong>di</strong> esse <strong>di</strong>ano luogo a processi <strong>di</strong> <strong>di</strong>sintegrazione. Basta per<br />
43 In linguaggio moderno, ciò significa una reazione (α, p): N + α → p + N ′ .<br />
44 Questo punto è alquanto oscuro nel manoscritto originale.<br />
457
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
ciò costruire uno stato stazionario che rappresenti l’onda piana incidente<br />
più un’onda sferica <strong>di</strong>vergente <strong>di</strong> protoni. Un tale stato può aversi come<br />
somma <strong>di</strong> soluzioni particolari. Le soluzioni particolari corrispondenti al<br />
nucleo originario più particelle α con quanti azimutali <strong>di</strong>fferenti da zero<br />
rappresentano or<strong>di</strong>nari processi <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffusione e hanno la forma ben nota<br />
dalla teoria della <strong>di</strong>ffusione in campo coulombiano. Ma nel nostro stato<br />
deve entrare anche una soluzione particolare che rappresenti particelle α<br />
incidenti con l = 0 e non solo un’onda <strong>di</strong>vergente <strong>di</strong> particelle α con l = 0<br />
ma, anche a causa dell’accoppiamento con ψ0 e <strong>di</strong> questo con gli stati φW ,<br />
lo stesso stato eccitato in un certo grado nonché un’onda <strong>di</strong>vergente <strong>di</strong> protoni.<br />
Una tale soluzione particolare avrà la forma (4.534), ed i valori delle<br />
costanti sono dati dalla (4.535) a meno <strong>di</strong> un fattore <strong>di</strong> proporzionalità.<br />
Ora c2 può essere determinato dalla con<strong>di</strong>zione che il flusso entrante <strong>di</strong> particelle<br />
α sia quello dovuto all’onda piana incidente. Questo flusso entrante<br />
vale |c2| 2 /2π; d’altra parte il numero <strong>di</strong> particelle α con l = 0 che passano<br />
in prossimità del nucleo nell’unità <strong>di</strong> tempo è uguale al flusso attraverso<br />
una sezione circolare normale alla <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> propagazione dell’onda e <strong>di</strong><br />
raggio λ/2π (λ = lunghezza d’onda delle particelle α). Poiché la nostra<br />
onda incidente rappresenta un flusso unitario per unità <strong>di</strong> area, sarà:<br />
|c2| 2<br />
2π<br />
= π<br />
λ<br />
2π<br />
2<br />
da cui, a meno <strong>di</strong> una costante <strong>di</strong> fase:<br />
= λ2<br />
4π<br />
π2<br />
=<br />
M 2 , (4.545)<br />
v2 c2 = √ 2π2 λ<br />
. (4.546)<br />
2π<br />
Attraverso (4.535) potremo ottenere c, c1 e C1 moltiplicando per il valore<br />
(4.546) <strong>di</strong> c2 <strong>di</strong>viso il valore <strong>di</strong> c2 nel caso (4.535). A noi interessano qui solo<br />
i moduli delle quantità c1 e C1, poiché ci occupiamo solo della frequenza<br />
dei processi <strong>di</strong> <strong>di</strong>sintegrazione e non delle anomalie della <strong>di</strong>ffusione, che<br />
<strong>di</strong>pendono anche dalla fase <strong>di</strong> c1. Segue dalle (4.536) e da (4.546)<br />
|c1| 2 = λ2<br />
2<br />
|C1| 2 = λ2<br />
2<br />
ɛ 2 + π 2 (|IW | 2 − |LW | 2 ) 2<br />
ɛ2 + π2Q4 W<br />
4π 2 |IW | 2 |LW | 2<br />
ɛ2 + π2Q4 W<br />
|c2| 2 = λ2<br />
, λ = 2π/Mv.<br />
2<br />
458<br />
(4.547)
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
Il flusso uscente <strong>di</strong> protoni è dato da |C1| 2 /2π, e misura la sezione<br />
efficace per la <strong>di</strong>sintegrazione S(ɛ):<br />
S(ɛ) = λ2<br />
4π<br />
4π 2 |IW | 2 |LW | 2<br />
ɛ2 + π2Q4 . (4.548)<br />
W<br />
In prima approssimazione potremo supporre λ, IW e LW in<strong>di</strong>pendenti da<br />
ɛ e la (4.548) <strong>di</strong>venta:<br />
S(ɛ) = λ2<br />
4π<br />
ovvero introducendo p(ɛ) me<strong>di</strong>ante (4.541):<br />
4π 2 |I| 2 |L| 2<br />
ɛ2 + π2 , (4.549)<br />
Q4 S(ɛ) = λ2<br />
p(ɛ). (4.550)<br />
4π<br />
Poiché λ 2 /4π dà la sezione efficace per particelle α <strong>di</strong> quanto azimutale<br />
nullo, p(ɛ) è la probabilità che una <strong>di</strong> tali particelle provochi la <strong>di</strong>sintegrazione.<br />
Per ɛ = 0, cioè per il valore più favorevole dell’energia, questa<br />
probabilità è massima; l’espressione <strong>di</strong> p(0) è data come si è visto da<br />
(4.539).<br />
È interessante che p(0) può giungere al valore 1 quando k = 1.<br />
Cioè se lo stato ψ0 ha la stessa probabilità <strong>di</strong> risolversi nell’emissione <strong>di</strong><br />
un protone o <strong>di</strong> una particella α e l’energia delle particelle α incidenti<br />
ha il valore più favorevole, allora tutte le particelle incidenti con quanto<br />
azimutale nullo danno luogo a <strong>di</strong>sintegrazione. La sezione S(ɛ) corrispondente<br />
a particelle <strong>di</strong> energia determinata E0 + k + ɛ è spesso inaccessibile<br />
all’osservazione e solo S(ɛ)dɛ è misurabile. Sostituendo in (4.544) si ha:<br />
<br />
S(ɛ) dɛ = λ2<br />
2T<br />
p(0)<br />
4<br />
= λ2<br />
2T<br />
k λ2 π<br />
= p(0). (4.551)<br />
(k + 1) 2 4π 2T<br />
4.29 Funzioni sferiche con spin (II)<br />
Data una funzione a tre valori che si trasformano secondo D1, le formole<br />
(4.390) permettono <strong>di</strong> passare alle or<strong>di</strong>narie coor<strong>di</strong>nate cartesiane. Giova<br />
459
Volumetto 4: 24 aprile 1930<br />
talvolta conoscere le componenti secondo il raggio vettore r, secondo il<br />
meri<strong>di</strong>ano (verso θ crescente, cioè congruente a −r) e secondo il parallelo<br />
(φ crescente). Si ha evidentemente, tenendo presenti le formole (4.390),<br />
ψr = x y z<br />
ψx + ψy +<br />
r r r ψz<br />
= − 1 x + iy<br />
√ ψ1 +<br />
2 r<br />
z 1 x − iy<br />
ψ2 + √ ψ3<br />
r 2 r<br />
ψθ = cos θ cos φ ψx + cos θ sin φ ψy − sin θψz<br />
= − 1 x x + iy<br />
√ <br />
2 r x2 + y2 ψ1 −<br />
ψφ = − sin φ ψx + cos φ ψy<br />
= − i<br />
√ 2<br />
x + iy<br />
<br />
x2 + y2 ψ1 − i<br />
√<br />
2<br />
x 2 + y 2<br />
r<br />
x − iy<br />
x 2 + y 2 ψ3.<br />
ψ2 + 1 z<br />
√<br />
2 r<br />
x − iy<br />
x 2 + y 2 ψ3<br />
(4.552)<br />
Vogliamo trovare le componenti (r, θ, φ) delle funzioni sferiche (4.377). Per<br />
applicare comodamente le formole (5.163) poniamo le (4.552) nella forma:<br />
ψr = − 1 x + iy<br />
√ ψ1 +<br />
2 r<br />
z<br />
r ψ2 + 1 x − iy<br />
√ ψ3<br />
2 r<br />
ψθ =<br />
1<br />
sin θ<br />
<br />
− 1 z x + iy<br />
√ ψ1 −<br />
2 r r<br />
x2 + y 2<br />
r2 ψ2 + 1 <br />
z x − iy<br />
√ ψ3<br />
2 r r<br />
ψφ =<br />
1<br />
sin θ<br />
<br />
− i x + iy<br />
√ ψ1 −<br />
2 r<br />
i<br />
<br />
x − iy<br />
√ ψ3 .<br />
2 r<br />
460<br />
(4.553)
VOLUMETTO<br />
5<br />
5.1 Rappresentazioni del gruppo <strong>di</strong><br />
Lorentz<br />
Il gruppo delle trasformazioni reali <strong>di</strong> Lorentz agenti sulle variabili ct, x, y, z<br />
può essere costruito per composizione delle trasformazioni infinitesime<br />
Sx =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 1 0<br />
, Sy =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 −1 0 0<br />
,<br />
⎛<br />
⎜<br />
Sz = ⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 0<br />
,<br />
Tx =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ , Ty =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 0<br />
0 0 0 0<br />
,<br />
⎛<br />
⎜<br />
Tz = ⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1 0 0 0<br />
.<br />
Esse sod<strong>di</strong>sfano alle seguenti relazioni <strong>di</strong> scambio, quelle che si deducono<br />
per permutazioni circolari <strong>di</strong> x, y, z da una già scritta essendo in<strong>di</strong>cate con<br />
puntini:<br />
Sx Sy − Sy Sx = Sz,<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
461
Volumetto 5<br />
Tx Ty − Ty Tx = − Sz,<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
Sx Tx − Tx Sx = 0, (5.1)<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
Sx Ty − Ty Sx = Tz,<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
Sx Tz − Tz Sx = − Ty,<br />
etc<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
Del gruppo <strong>di</strong> Lorentz possono darsi due rappresentazioni irriducibili inequivalenti<br />
me<strong>di</strong>ante matrici del secondo or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> determinante 1: le chiameremo<br />
D1/2 e D ′ 1/2, rispettivamente. Una rappresentazione irriducibile<br />
Dj delle matrici appartenenti a D1/2 è ancora una rappresentazione irriducibile<br />
del gruppo <strong>di</strong> Lorentz; analogamente si possono costruire le rappresentazioni<br />
irriducibili D ′ 1/2. La più generale rappresentazione irriducibile<br />
del gruppo <strong>di</strong> Lorentz è data probabilmente da:<br />
Djj ′ = Dj×D′ j ′, j, j′ = 0, 1 3<br />
, 1, , . . . . (5.2)<br />
2 2<br />
(se j + j ′ è intero rappresentazioni univoche, altrimenti a due valori).<br />
Ve<strong>di</strong>amo ora come si possano costruire D1/2 e D ′ 1/2. Consideriamo un<br />
vettore p = (p0, px, py, pz) le cui componenti si intende che si trasformino<br />
come ct, x, y, z, e coor<strong>di</strong>niamo ad esso una matrice del secondo or<strong>di</strong>ne che<br />
in<strong>di</strong>chiamo ancora con p:<br />
p = p0 + pxσx + pyσy + pzσz =<br />
p0 + pz px − i py<br />
px + i py p0 − pz<br />
<br />
. (5.3)<br />
È chiaro che inversamente a ogni matrice del secondo or<strong>di</strong>ne corrisponde<br />
un determinato quadrivettore p. Avremo<br />
det p = p 2 0 − p 2 x − p 2 y − p 2 z. (5.4)<br />
Siano ora S e T due matrici arbitrarie del secondo or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> determinante<br />
1: 45<br />
S = S0 + Sxσx + Syσy + Szσz, S 2 0 − S 2 x − S 2 y − S 2 z = 1,<br />
T = T0 + Txσx + Tyσy + Tzσz, T 2 0 − T 2 x − T 2 y − T 2 z = 1.<br />
(5.5)<br />
45 Nel manoscritto originale è annotato: “in luogo <strong>di</strong> S e T , usare altre lettere,<br />
462
Volumetto 5<br />
La trasformazione p → p ′ è una trasformazione <strong>di</strong> Lorentz se per le matrici<br />
corrispondenti vale la relazione:<br />
Si ha infatti:<br />
cioè:<br />
p ′ = S p T . (5.6)<br />
det p ′ = det S det p det T = det p, (5.7)<br />
p ′2<br />
0 − p ′2<br />
x − p ′2<br />
y − p ′2<br />
z = p 2 0 − p 2 x − p 2 y − p 2 z. (5.8)<br />
Si può <strong>di</strong>mostrare che me<strong>di</strong>ante (5.6) si ottiene la più generale trasformazione<br />
<strong>di</strong> Lorentz e ognuna esattamente due volte poiché alla stessa<br />
trasformazione si arriva cambiando segno simultaneamente a S e T . Le<br />
trasformazioni (5.6) sono tutte le trasformazioni proprie sod<strong>di</strong>sfacenti a<br />
(5.8), dunque tutte le trasformazioni reali o immaginarie <strong>di</strong> Lorentz. Se<br />
vogliamo limitarci alle trasformazioni reali dobbiamo imporre certe relazioni<br />
fra S e T . Al più generale quadrivettore reale p corrisponde la<br />
più generale matrice Hamiltoniana del secondo or<strong>di</strong>ne; se vogliamo dunque<br />
che la (5.6) definisca una trasformazione reale dovrà essere p ′ Hermitiana<br />
se tale è p. Dovrà quin<strong>di</strong> essere per p Hamiltoniana arbitraria:<br />
S p T = (S p T ) † = T † p † S † = T † p S † , (5.9)<br />
cioè: <br />
T † −1<br />
S p = p S † T −1 , (5.10)<br />
e ponendo R = S † T −1 , R † = T † −1 S:<br />
R † p = p R. (5.11)<br />
Ponendo p = 1, ricaviamo R = R † , cioè R è essa stessa Hermitiana.<br />
Sarà quin<strong>di</strong> Rp = pR qualunque sia la matrice Hermitiana p e questo<br />
importa che p sia multipla della matrice unità. Inoltre deve essere det R =<br />
det S/ det T = 1, e quin<strong>di</strong> infine R = ±1. Abbiamo quin<strong>di</strong> trasformazioni<br />
reali <strong>di</strong> Lorentz nei due casi:<br />
T = S †<br />
(5.12)<br />
T = − S † . (5.13)<br />
ad esempio P e Q.” Sebbene la notazione adottata nel testo possa ingenerare confusione,<br />
si è preferito non mo<strong>di</strong>ficarla, dal momento che le matrici qui considerate<br />
sono del tipo 2 × 2, laddove quelle all’inizio del paragrafo sono 4 × 4.<br />
463
Volumetto 5<br />
Nel secondo caso tuttavia si giunge a trasformazioni che non hanno senso<br />
fisico perché invertono l’asse del tempo. La più generale trasformazione<br />
avente senso fisico è data quin<strong>di</strong> da:<br />
p ′ = S p S † , (5.14)<br />
essendo S soggetta all’unica con<strong>di</strong>zione det S = 1. Si ha il sottogruppo<br />
delle rotazioni reali o immaginarie se T = S −1 poiché allora è identicamente<br />
p ′ 0 = p0. Nelle rotazioni reali dovendo essere inoltre T = S † , sarà S una<br />
matrice unitaria <strong>di</strong> determinante 1 e precisamente la più generale matrice<br />
<strong>di</strong> questo tipo.<br />
Una trasformazione reale <strong>di</strong> Lorentz determina dunque (a meno del<br />
segno) una matrice S del gruppo SU(2). 46 Le matrici S costituiscono<br />
ovviamente una rappresentazione irriducibile (a due valori) del gruppo <strong>di</strong><br />
Lorentz che chiameremo D ′ 1/2; una seconda rappresentazione irriducibile<br />
inequivalente <strong>di</strong> grado 2 è data dalle matrici (S † ) −1 , e chiameremo questa<br />
D1/2. Come rappresentazioni del sottogruppo d3 le due rappresentazioni<br />
coincidono poiché allora S = (S † ) −1 , essendo le S unitarie. È facile derivare<br />
le espressioni delle trasformazioni infinitesime in D1/2 e D ′ 1/2. Si trova:<br />
(a) rappresentazione D1/2:<br />
Sx = 1<br />
2i<br />
Tx = − 1<br />
2<br />
<br />
0 1<br />
, Sy =<br />
1 0<br />
1<br />
2i<br />
<br />
0 1<br />
, Ty = −<br />
1 0<br />
1<br />
2<br />
(b) rappresentazione D ′ 1/2:<br />
Sx = 1<br />
2i<br />
Tx = + 1<br />
2<br />
<br />
0 1<br />
, Sy =<br />
1 0<br />
1<br />
2i<br />
<br />
0 1<br />
, Ty = +<br />
1 0<br />
1<br />
2<br />
<br />
0 −i<br />
, Sz =<br />
i 0<br />
1<br />
<br />
1 0<br />
,<br />
2i 0 −1<br />
<br />
0 −i<br />
, Tz = −<br />
i 0<br />
1<br />
<br />
1 0<br />
2 0 −1<br />
<br />
0 −i<br />
, Sz =<br />
i 0<br />
1<br />
<br />
1 0<br />
,<br />
2i 0 −1<br />
<br />
0 −i<br />
, Tz = +<br />
i 0<br />
1<br />
<br />
1 0<br />
2 0 −1<br />
<br />
.<br />
(5.15)<br />
<br />
.<br />
(5.16)<br />
46 Nel manoscritto originale questo gruppo è in<strong>di</strong>cato con u2: abbiamo qui<br />
preferito adottare la notazione moderna SU(2).<br />
464
Volumetto 5<br />
[non confondere le rotazioni infinitesime con le componenti delle trasformazioni<br />
S = S0 + Sxσx + Syσy + Szσz . . .]<br />
Fra le rotazioni infinitesime spaziali e quelle spazio temporali passano<br />
dunque le seguenti relazioni:<br />
D1/2 : (Tx, Ty, Tz) = −i (Sx, Sy, Sz) ,<br />
D ′ 1/2 : (Tx, Ty, Tz) = +i (Sx, Sy, Sz) .<br />
(5.17)<br />
Sia ψ = (ψ1, ψ2) un vettore che si trasforma secondo D1/2, cioè ψ ′ =<br />
(S † ) −1 ψ. Poniamo:<br />
φ = σy ψ ∗ , ψ ∗ = σy φ (5.18)<br />
sarà:<br />
ora, essendo det S = 1<br />
segue<br />
e quin<strong>di</strong><br />
φ ′ = σy (S T ) −1 ψ ∗ = σy (S T ) −1 σy φ ; (5.19)<br />
S = S0 + Sxσx + Syσy + Szσz, (5.20)<br />
S −1 = S0 − Sxσx − Syσy − Szσz (5.21)<br />
(S T ) −1 = S0 − Sxσx + Syσy − Szσz (5.22)<br />
σy (S T ) −1 σy = S (5.23)<br />
φ ′ = S φ, (5.24)<br />
cioè φ si trasforma secondo D ′ 1/2. Inversamente, se φ si trasforma secondo<br />
D ′ 1/2, σyφ ∗ si trasforma secondo D1/2.<br />
sarà:<br />
Poniamo<br />
p = φ φ † = 1<br />
2<br />
<br />
φ † φ + φ † σxφ σx + φ † σyφ σy + φ † <br />
σzφ σz , (5.25)<br />
p ′ = Sφ φ † S † = SpS † . (5.26)<br />
Segue per la (5.14) che i quadrivettori coor<strong>di</strong>nati a p e p ′ si ottengono il<br />
secondo dal primo per trasformazione <strong>di</strong> Lorentz. Badando che φ † φ=ψ † ψ,<br />
φ † σxφ=−ψ † σxψ, φ † σyφ=−ψ † σyψ, φ † σzφ=−ψ † σzψ, avremo:<br />
ψ † ψ, −ψ † σxψ, −ψ † σyψ, −ψ † σzψ,<br />
φ † ψ, φ † σxφ, φ † σyφ, φ † σzφ,<br />
ct, x, y, z,<br />
465<br />
(5.27)
Volumetto 5<br />
in cui, ricor<strong>di</strong>amo, ψ è un generico vettore che si trasforma secondo D1/2<br />
(ψ ′ = (S † ) −1 ψ) e φ un vettore che si trasforma secondo D ′ 1/2 (φ ′ = Sφ).<br />
Si trasformi ψ secondo D1/2, e sia inoltre funzione <strong>di</strong> ct, x, y, z; allora<br />
φ =<br />
<br />
1 ∂ ∂<br />
−<br />
c ∂t ∂x σx − ∂<br />
∂y σy − ∂<br />
∂z σz<br />
<br />
ψ (5.28)<br />
si trasforma secondo D ′ 1/2. Infatti sia χ un vettore costante del tipo D1/2.<br />
Moltiplicando a sinistra i due membri <strong>di</strong> (5.28) per χ † ricaviamo:<br />
χ † φ = 1 ∂<br />
<br />
χ<br />
c ∂t<br />
† <br />
φ + ∂<br />
<br />
−χ<br />
∂x<br />
† <br />
σxψ<br />
(5.29)<br />
+ ∂<br />
<br />
−χ<br />
∂y<br />
† <br />
σyψ + ∂<br />
<br />
−χ<br />
∂z<br />
† <br />
σzψ . (5.30)<br />
Per la prima delle (5.27) (che valgono naturalmente anche se a ψ † o φ †<br />
si sostituiscono vettori che si trasformino allo stesso modo), il secondo<br />
membro della (5.30) è la <strong>di</strong>vergenza <strong>di</strong> un vettore, quin<strong>di</strong> un invariante.<br />
Segue che è invariante χ † φ, cioè<br />
qualunque sia χ, donde:<br />
χ † S −1 φ ′ = χ † φ (5.31)<br />
φ ′ = S φ, (5.32)<br />
come si voleva <strong>di</strong>mostrare.<br />
Analogamente, se φ si trasforma secondo D ′ 1/2, allora<br />
<br />
1 ∂ ∂ ∂ ∂<br />
ψ = + σx + σy +<br />
c ∂t ∂x ∂y ∂z σz<br />
<br />
φ (5.33)<br />
si trasforma secondo D1/2.<br />
Nelle equazioni <strong>di</strong> Dirac<br />
<br />
W e<br />
+<br />
c c A0<br />
<br />
ψ + σ· p + e<br />
c A<br />
<br />
ψ + mc φ = 0,<br />
W<br />
c<br />
e<br />
+<br />
c A0<br />
<br />
φ − σ· p + e<br />
c A<br />
<br />
φ + mc ψ = 0,<br />
(5.34)<br />
la prima coppia ψ si trasforma secondo D1/2, e la seconda coppia φ secondo<br />
D ′ 1/2. Le (5.34) si scrivono compen<strong>di</strong>osamente:<br />
<br />
W e<br />
+<br />
c c A0<br />
<br />
<br />
ψ + ρ3 σ· p + e<br />
c A<br />
<br />
ψ + ρ1 mc ψ = 0. (5.35)<br />
466
(continua nel §5.6).<br />
Volumetto 5<br />
5.2 Urto fra protoni e neutroni<br />
Consideriamo il moto relativo <strong>di</strong> un protone e <strong>di</strong> un neutrone e supponiamo<br />
che si possa prescindere dallo spin del protone e, se esiste, da quello del neutrone.<br />
In<strong>di</strong>chiamo con m la massa ridotta del sistema (m ∼ 1/2MN ), e supponiamo<br />
che l’interazione delle due particelle sia rappresentabile me<strong>di</strong>ante<br />
un potenziale V (r) funzione della <strong>di</strong>stanza. L’equazione <strong>di</strong> Schrö<strong>di</strong>nger per<br />
quanti azimutali ℓ e per la parte ra<strong>di</strong>ale dell’autofunzione sarà: 47<br />
u ′′ + 2<br />
r u′ +<br />
<br />
2m<br />
ℓ(ℓ + 1)<br />
(E − V ) −<br />
2 r2 <br />
Facciamo per V un’ipotesi eccessivamente semplice:<br />
V = − A, per r < R,<br />
V = 0, per r > R.<br />
u = 0. (5.36)<br />
(5.37)<br />
Soluzione <strong>di</strong> (5.36) regolare all’origine è allora per r < R<br />
u = 1 <br />
2m<br />
√ Iℓ+1/2 (E + A) r ,<br />
r 2 (5.38)<br />
mentre per r > R dobbiamo cercare fra le combinazioni lineari <strong>di</strong><br />
<br />
1<br />
2m<br />
√ Iℓ+1/2 E r<br />
r 2 <br />
1<br />
2m<br />
√ Nℓ+1/2 E r<br />
r 2 la soluzione che si raccorda in R con (5.38). Ponendo per brevità:<br />
(5.39)<br />
k 2 = 2m<br />
2 E, k2 0 = 2m<br />
(E + A) (5.40)<br />
2 47 Nel manoscritto originale è utilizzata la vecchia notazione h/2π invece <strong>di</strong> .<br />
467
Volumetto 5<br />
e <strong>di</strong>sponendo <strong>di</strong> un’arbitraria costante moltiplicativa perveniamo quin<strong>di</strong><br />
alla seguente soluzione <strong>di</strong> (5.36), regolare all’origine:<br />
uℓ = Cℓ<br />
√r Iℓ+1/2(k0r), r < R,<br />
uℓ = Cℓ<br />
√r<br />
a Iℓ+1/2(kr) + b Nℓ+1/2(kr) , r > R,<br />
con i seguenti valori delle costanti a e b<br />
a = πx<br />
<br />
2<br />
b = πx<br />
2<br />
Iℓ+1/2(k0r) N ′ ℓ+1/2(kr) − k0<br />
k I′ ℓ+1/2(k0r) Nℓ+1/2(kr)<br />
k<br />
Iℓ+1/2(kr) I<br />
k0<br />
′ ℓ+1/2(k0r) − I ′ ℓ+1/2(kr) Iℓ+1/2(k0r)<br />
Le costanti Cℓ vogliamo determinarle in modo che<br />
u =<br />
(5.41)<br />
<br />
<br />
.<br />
(5.42)<br />
∞<br />
uℓ Pℓ(cos θ) (5.43)<br />
ℓ=0<br />
rappresenti a grande <strong>di</strong>stanza l’onda piana (I) e ikz = e ikr cos θ più un’onda<br />
<strong>di</strong>vergente (S). Notoriamente si ha:<br />
I =<br />
∞<br />
ℓ=0<br />
e S = u − I, per r > R, deve avere la forma:<br />
S =<br />
i ℓ <br />
π<br />
(2ℓ + 1)<br />
2kr Iℓ+1/2(kr) Pℓ(cos θ), (5.44)<br />
∞<br />
ℓ=0<br />
essendo H 1 ℓ+1/2 = Iℓ+1/2 + iNℓ+1/2.<br />
Ricaviamo <strong>di</strong> qua:<br />
Cℓ =<br />
ɛℓ<br />
√ r H 1 ℓ+1/2(kr) Pℓ(cos θ), (5.45)<br />
i ℓ <br />
π<br />
(2ℓ + 1)<br />
a + ib 2k<br />
ɛℓ = − 2ibiℓ<br />
<br />
2ℓ + 1 π<br />
a + ib 2 2k .<br />
468<br />
(5.46)
Volumetto 5<br />
L’effetto del <strong>di</strong>ffusore sull’onda sferica d’or<strong>di</strong>ne ℓ è interamente determinato<br />
dall’angolo θℓ che segna l’anticipo <strong>di</strong> fase <strong>di</strong> uℓ rispetto a Iℓ+1/2 per gran<strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>stanze:<br />
tan θℓ = − bℓ/aℓ, (5.47)<br />
poiché l’ultima delle (5.46) si può scrivere:<br />
ɛℓ =<br />
<br />
e 2iθ <br />
ℓ − 1 i ℓ 2ℓ + 1<br />
2<br />
<br />
π<br />
. (5.48)<br />
2k<br />
Riportiamo per comodo l’espressione delle prime funzioni <strong>di</strong> Bessel e Neumann<br />
d’or<strong>di</strong>ne mezzo :<br />
I1/2(x)<br />
I3/2(x)<br />
I5/2(x)<br />
=<br />
=<br />
=<br />
<br />
2<br />
sin x<br />
πx<br />
<br />
<br />
2<br />
sin x<br />
− cos x +<br />
πx<br />
x<br />
<br />
2<br />
cos x sin x<br />
− sin x − 3 + 3<br />
πx<br />
x x<br />
(5.49)<br />
2<br />
<br />
;<br />
N1/2(x)<br />
N3/2(x)<br />
N5/2(x)<br />
=<br />
=<br />
=<br />
<br />
2<br />
− cos x<br />
πx<br />
<br />
2<br />
<br />
cos x<br />
<br />
− sin x −<br />
πx<br />
x<br />
<br />
2<br />
sin x cos x<br />
cos x − 3 − 3<br />
πx<br />
x x<br />
(5.50)<br />
2<br />
<br />
;<br />
H 1,2<br />
1/2 =<br />
<br />
2<br />
∓ i<br />
πx e±ix<br />
H 1,2<br />
3/2 =<br />
<br />
2<br />
πx e±ix<br />
<br />
−1 ∓ i<br />
H<br />
<br />
x<br />
(5.51)<br />
1,2<br />
5/2 =<br />
<br />
2<br />
πx e±ix<br />
<br />
±i − 3 3i<br />
∓<br />
x x2 <br />
,<br />
valendo in queste ultime il segno superiore per le funzioni <strong>di</strong> Hankel <strong>di</strong><br />
prima specie e il segno inferiore per le funzioni <strong>di</strong> seconda specie.<br />
469
Volumetto 5<br />
5.3 Zeri delle funzioni <strong>di</strong> Bessel d’or<strong>di</strong>ne<br />
mezzo<br />
Ponendo Iℓ+1/2(πxi) = 0 si hanno i seguenti valori numerici <strong>di</strong> xi, astraendo<br />
da xi = 0:<br />
I1/2 : 1.000, 2.000, 3.000, 4.000;<br />
I3/2 :<br />
I5/2 :<br />
I7/2 :<br />
4.494<br />
π ,<br />
5.763<br />
π ,<br />
6.985<br />
π ,<br />
7.726<br />
π ,<br />
9.095<br />
π ,<br />
10.416<br />
.<br />
π<br />
10.904<br />
,<br />
π<br />
12.324<br />
;<br />
π<br />
5.4 Statistica e termo<strong>di</strong>namica<br />
14.066<br />
;<br />
π<br />
5.4.1 Entropia <strong>di</strong> un sistema in equilibrio termico<br />
Siano E0, E1, E2, · · · le energie <strong>degli</strong> stati stazionari; in<strong>di</strong>chiamo con E<br />
l’energia me<strong>di</strong>a. Sarà:<br />
E = Σ ′ /Σ, (5.52)<br />
essendo<br />
Σ = <br />
i<br />
Σ ′ = <br />
i<br />
e −E i/kT , (5.53)<br />
Ei e −E i/kT , (5.54)<br />
dove k è la costante <strong>di</strong> Boltzmann. La probabilità che il sistema sia nello<br />
stato i sarà:<br />
Pi = A e −E i/kT = P (Ei), (5.55)<br />
470
essendo ovviamente<br />
Definiamo l’entropia da:<br />
S =<br />
Volumetto 5<br />
A = 1/Σ. (5.56)<br />
T<br />
0<br />
1<br />
T<br />
L’integrale si effettua facilmente badando che<br />
si trova infatti:<br />
S =<br />
1<br />
T<br />
dE E<br />
dT =<br />
dT T +<br />
= E<br />
T<br />
dE<br />
dT. (5.57)<br />
dT<br />
Σ ′ = kT 2 dΣ<br />
, (5.58)<br />
dT<br />
<br />
+ k<br />
1<br />
E<br />
E dT =<br />
T 2<br />
dΣ<br />
Σ<br />
T +<br />
<br />
= k log Σ + E<br />
T<br />
1<br />
T 2<br />
Σ ′<br />
Σ dT<br />
(5.59)<br />
e poiché questa espressione si annulla per T = 0, come è facile verificare,<br />
si ha semplicemente:<br />
S = k log Σ + E<br />
T<br />
1<br />
= k log<br />
A eE/kT<br />
=<br />
1<br />
k log ;<br />
P (E)<br />
(5.60)<br />
si ha così che S/k è il logaritmo del numero <strong>di</strong> stati quantici <strong>di</strong>fferenti che<br />
si alternano nella vita del sistema in equilibrio termico.<br />
5.4.2 Gas perfetti<br />
Il numero <strong>di</strong> particelle che si trovano in uno stato <strong>di</strong> energia Es è dato<br />
secondo la statistica <strong>di</strong> Fermi o <strong>di</strong> Bose da:<br />
ns<br />
1 − ns<br />
ns<br />
1 + ns<br />
= A e −Es/kT , ns =<br />
1<br />
1<br />
A e−Es/kT (Fermi)<br />
+ 1<br />
(5.61)<br />
= A e −Es/kT<br />
, ns =<br />
1<br />
1<br />
A e−Es/kT (Bose).<br />
− 1<br />
(5.62)<br />
471
s<br />
Volumetto 5<br />
L’entropia del gas risulta:<br />
S = k <br />
<br />
1<br />
log<br />
1 − ns<br />
s<br />
− ns log ns<br />
S = k<br />
<br />
1 − ns<br />
(Fermi) (5.63)<br />
<br />
<br />
1 + ns<br />
log<br />
1<br />
<br />
1 + ns<br />
+ ns log (Bose). (5.64)<br />
Per temperature elevate e densità piccole (ns → 0), e riferendosi a un<br />
grammomolecola (N particelle, R = Nk, U = <br />
s<br />
nsEs energia del gas),<br />
entrambe le statistiche danno:<br />
S = R (1 − log A) + U<br />
. (5.65)<br />
T<br />
In questo caso limite le particelle possono considerarsi come in<strong>di</strong>pendenti<br />
e così l’entropia del gas deve essere semplicemente la somma delle entropie<br />
delle singole particelle <strong>di</strong>minuita <strong>di</strong> k log N! a causa della riduzione <strong>di</strong> stati<br />
quantici dovuta all’identità delle particelle. L’entropia <strong>di</strong> una particella<br />
singola è a causa <strong>di</strong> (5.60):<br />
S ′ = − k log A<br />
N e−U/NkT = k (log N − log A) + U<br />
, (5.66)<br />
NT<br />
e l’entropia del gas risulta, se si tiene conto delle quantità dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> N<br />
che sole hanno importanza per la definizione <strong>di</strong> entropia:<br />
S = N S ′ − k log N! = R (log N − log A) + U<br />
− R log N + R<br />
T<br />
= R (1 − log A) + U<br />
,<br />
T<br />
(5.67)<br />
che coincide appunto con la (5.65).<br />
5.4.3 Gas monoatomico<br />
Supponiamo lo stato fondamentale <strong>di</strong>stanziato dagli altri livelli e sia g la<br />
sua molteplicità [g = (2j + 1) oppure g = (2j + 1)(2i + 1) se esiste uno<br />
spin nucleare debolmente accoppiato]. Per temperature elevate e densità<br />
modeste si ha notoriamente:<br />
A =<br />
N h 3<br />
g v (2π m kT ) 3/2<br />
472<br />
ns<br />
(5.68)
e<br />
Segue per la (5.67):<br />
S = R<br />
5.4.4 Gas biatomico<br />
Volumetto 5<br />
U = 3<br />
R T. (5.69)<br />
2<br />
<br />
3<br />
5<br />
log T + log v + log g +<br />
2 2<br />
+ 3<br />
log (2π m k) − log N − 3 log h<br />
2<br />
<br />
. (5.70)<br />
Supponiamo nullo il momento elettronico, mentre teniamo conto dell’eventuale<br />
spin nucleare. Si ha in questo caso, per temperature sufficientemente<br />
elevate, o densità sufficientemente piccole (ns → 0),<br />
A =<br />
N h 3<br />
v (2π m kT ) 3/2 (g0Σ0 + g1Σ1)<br />
U = g0Σ0U R 0 + g1Σ1U R 1<br />
g0Σ0 + g1Σ1<br />
(5.71)<br />
+ 3<br />
2 R T = U R + 3<br />
R T (5.72)<br />
2<br />
in cui Σ0 e Σ1 sono le somme <strong>di</strong> stato relative agli stati rotazionali pari<br />
e <strong>di</strong>spari rispettivamente; U R 0 e U R 1 sono le energie rotazionali quali risulterebbero<br />
se esistessero soltanto i livelli pari o <strong>di</strong>spari rispettivamente; infine<br />
g0 e g1 sono i pesi dei livelli pari o <strong>di</strong>spari in <strong>di</strong>pendenza dello spin<br />
nucleare. Per nuclei <strong>di</strong>fferenti si ha quin<strong>di</strong>:<br />
g0 = g1 = (2i + 1)(2i ′ + 1), (5.73)<br />
mentre per nuclei uguali si ha l’uno o l’altro dei casi:<br />
g0 = i(2i + 1),<br />
g1 = (i + 1)(2i + 1),<br />
oppure<br />
g0 = (i + 1)(2i + 1),<br />
g1 = i(2i + 1),<br />
(5.74)<br />
a seconda della statistica dei nuclei e della parità del termine elettronico.<br />
Le quantità Σ0 e Σ1, e così pure U R 0 /RT e U R 1 /RT , sono funzioni <strong>di</strong><br />
ɛ = T0/T, (5.75)<br />
473
essendo T0 definita da<br />
Volumetto 5<br />
k T0 = h 2 /8π 2 I, (5.76)<br />
la temperatura corrispondente alla semi<strong>di</strong>fferenza seconda dei livelli rotazionali.<br />
I dati approssimativi della tabella danno un’idea dell’andamento<br />
<strong>di</strong> dette grandezze per valori piuttosto gran<strong>di</strong> ɛ (basse temperature).<br />
U R 0<br />
U R 1<br />
Σ0U R 0 + Σ1U R 1<br />
(Σ0 + Σ1)RT<br />
ɛ = T0<br />
T<br />
Σ0 Σ1 Σ0 + Σ1<br />
RT RT<br />
∞ 1 0 1 0 ∞ 0<br />
1 1.01 0.41 1.42 0.08 2.00 0.63<br />
0.8 1.04 0.61 1.65 0.19 1.60 0.71<br />
0.6 1.14 0.91 2.05 0.44 1.23 0.79<br />
0.4 1.46 1.41 3.87 0.77 0.96 0.86<br />
0.2 2.68 2.67 5.35 0.93 0.94 0.93<br />
Per alte temperature si calcolano (ɛ → 0) senza <strong>di</strong>fficoltà le espressioni asintotiche<br />
delle stesse grandezze. Arrestandoci ai primi termini <strong>degli</strong> sviluppi<br />
troviamo:<br />
Σ0 = 1<br />
2ɛ<br />
Σ1 = 1<br />
2ɛ<br />
+ 1<br />
6<br />
+ 1<br />
6<br />
+ . . .<br />
+ . . .<br />
Σ = Σ0 + Σ1 = 1 1<br />
+ + . . .<br />
ɛ 3<br />
U R 0 =<br />
<br />
RT 1 − ɛ<br />
<br />
− . . .<br />
3<br />
U R 1 =<br />
<br />
RT 1 − ɛ<br />
<br />
+ . . .<br />
3<br />
e così a meno <strong>di</strong> quantità infinitesime per T → ∞:<br />
e l’energia totale:<br />
(5.77)<br />
(5.78)<br />
U R = RT − 1<br />
3 RT0, (5.79)<br />
U = RT<br />
5<br />
2<br />
474<br />
<br />
ɛ<br />
− + . . . . (5.80)<br />
3
Volumetto 5<br />
L’entropia risulta per la (5.65), a meno <strong>di</strong> quantità che si annullano più<br />
rapidamente <strong>di</strong> T0/T :<br />
<br />
3<br />
T<br />
S = R log T + log + log v + log g<br />
2 T0<br />
+ 7<br />
<br />
3<br />
+ log (2π m K) − log N − 3 log h , (5.81)<br />
2 2<br />
in cui<br />
g = (2i + 1)(2i ′ + 1), per nuclei <strong>di</strong>fferenti,<br />
g = 1<br />
2 (2i + 1)2 , per nuclei uguali.<br />
5.4.5 Formole numeriche per l’entropia dei gas<br />
(5.82)<br />
L’entropia (5.70) <strong>di</strong> un grammomolecola <strong>di</strong> gas monoatomici si può scrivere:<br />
<br />
3<br />
S = R log T + log v + B . (5.83)<br />
2<br />
La costante R vale 1.97 cal mol −1 K −1 , 48 mentre la costante numerica B<br />
<strong>di</strong>pende da g e dal peso atomico P = Nm. Introducendo in (5.70) i valori<br />
numerici si ha: 49<br />
Per l’idrogeno atomico (H), ad esempio:<br />
Per l’elio (He):<br />
B = − 5.575 + log g + 3<br />
log P. (5.84)<br />
2<br />
g = 4, P = 1, B = −4.189. (5.85)<br />
g = 1, P = 4, B = −3.496. (5.86)<br />
48Nel manoscritto originale le unità <strong>di</strong> misura <strong>di</strong> R sono genericamente definite<br />
come cal/grado.<br />
49Si noti che il valore numerico −5.575 della (5.84) è ottenuto ponendo R =<br />
8.31·107 erg mol−1 K−1 , N = 6.022·1023 , e h = 6.626·10−27 erg s.<br />
475
Volumetto 5<br />
Per il so<strong>di</strong>o atomico (Na), prescindendo dallo spin nucleare:<br />
g = 2, P = 23, B = −0.179. (5.87)<br />
L’entropia <strong>di</strong> un gas biatomico per temperatura elevata (5.81) può anche<br />
scriversi:<br />
<br />
5<br />
S = R log T + log v + B .<br />
2<br />
(5.88)<br />
La costante B <strong>di</strong>pende ora da g (5.82), dal peso molecolare P = NM =<br />
M/MH, e dalla temperatura T0<br />
rotazionali:<br />
che segna il <strong>di</strong>sgelo dei gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà<br />
B = − 4.575 − log T0 + log g + 3<br />
log P.<br />
2<br />
Per la molecola <strong>di</strong> idrogeno, ad esempio:<br />
(5.89)<br />
g = 2, P = 2, T0 85 K, B = −7.28. (5.90)<br />
La costante A, che entra nella funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzione us = Ae −Es/KT<br />
segna, nella nostra normalizzazione dell’energia, il coefficiente <strong>di</strong> occupazione<br />
<strong>degli</strong> stati (in<strong>di</strong>viduali) <strong>di</strong> minima energia. La con<strong>di</strong>zione per la<br />
vali<strong>di</strong>tà delle formole precedenti, in quanto fondate sulla statistica classica,<br />
è quin<strong>di</strong> A ≪ 1.<br />
Per il gas monoatomico si ha, sostituendo in (5.68) i valori numerici:<br />
A =<br />
3212<br />
g P 3/2 , (5.91)<br />
v T 3/2<br />
con P peso atomico. E per il gas biatomico si ha la stessa espressione,<br />
con g0 in luogo <strong>di</strong> g, per le temperature estremamente basse, in cui A può<br />
<strong>di</strong>venire dell’or<strong>di</strong>ne dell’unità poiché allora i gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà rotazionali<br />
sono gelati. Da notare per la precisione che per molecole biatomiche a<br />
nuclei uguali in cui fosse g0 = 0, il coefficiente d’occupazione <strong>degli</strong> stati più<br />
profon<strong>di</strong> non sarebbe dato da A ma da<br />
A exp −2h 2 /8π 2 IkT , (5.92)<br />
e avrebbe ancora l’espressione (5.91) con g1 in luogo <strong>di</strong> g. Da notare ancora<br />
che per temperature assai basse il momento nucleare può essere accoppiato<br />
con il momento elettronico. Se p ′ è la pressione in atmosfere (1 atmosfera<br />
= 1.013 dyne/cm 2 ), ed eliminiamo v in (5.91) me<strong>di</strong>ante la relazione dei<br />
gas perfetti, troviamo:<br />
A = 39.5<br />
g P 3/2<br />
476<br />
p ′<br />
. (5.93)<br />
T 5/2
Volumetto 5<br />
5.4.6 Energia libera dei gas biatomici<br />
Energia libera dei gas biatomici<br />
u − T s = ∂<br />
1<br />
(U − T S) = (U − T S + P V )<br />
∂N<br />
<br />
N<br />
5 T<br />
= − kT log + ɛ log<br />
2 T0<br />
T<br />
<br />
− log P . (5.94)<br />
T1<br />
(P è la pressione, in atmosfere; T0 = 4.31·M −3/5 , essendo M il peso molecolare;<br />
ɛ = 0, 1, 3/2 per molecole monoatomiche, biatomiche o poliatomiche).<br />
Per le molecole biatomiche<br />
kT1 = h2<br />
8π2 . (5.95)<br />
I<br />
Per gran numero <strong>di</strong> molecole sono da aggiungere a (5.94), già a temperatura<br />
or<strong>di</strong>naria, termini correttivi <strong>di</strong>pendenti dalle oscillazioni.<br />
5.5 Polinomi <strong>di</strong> uso frequente<br />
5.5.1 Polinomi <strong>di</strong> Legendre<br />
Pn(x) = 1<br />
2n d<br />
n!<br />
n (x 2 − 1) n<br />
dxn , (5.96)<br />
P0(x) = 1 (5.97)<br />
P1(x) = x (5.98)<br />
P2(x) = 3<br />
2 x2 − 1<br />
2<br />
(5.99)<br />
P3(x) = 5<br />
2 x3 − 3<br />
x<br />
2<br />
(5.100)<br />
P4(x) = 35<br />
8 x4 − 15<br />
4 x2 + 3<br />
8<br />
(5.101)<br />
477
Volumetto 5<br />
P5(x) = 63<br />
8 x5 − 35<br />
4 x3 + 15<br />
x<br />
8<br />
(5.102)<br />
P6(x) = 231<br />
16 x6 − 315<br />
16 x4 + 105<br />
16 x2 − 5<br />
16<br />
(5.103)<br />
P7(x) = 429<br />
16 x7 − 693<br />
16 x5 + 315<br />
16 x3 − 35<br />
x<br />
16<br />
(5.104)<br />
P8(x) = 6435<br />
128 x8 − 3003<br />
32 x6 + 3465<br />
64 x4 − 315<br />
32 x2 + 35<br />
. (5.105)<br />
128<br />
5.6 Trasformazioni <strong>di</strong> spinori<br />
Ripren<strong>di</strong>amo le formole del §5.1 per completarle. Al quadrivettore<br />
coor<strong>di</strong>niamo la matrice del secondo or<strong>di</strong>ne<br />
p = (p0, px, py, pz) (5.106)<br />
p = p0 + px σx + py σy + pz σz. (5.107)<br />
La più generale trasformazione reale <strong>di</strong> Lorentz otteniamo facendo corrispondere<br />
al vettore p il vettore p ′ tale che per la matrice corrispondente:<br />
Inten<strong>di</strong>amo che sia p un vettore contravariante:<br />
Se q è un vettore covariante<br />
possiamo porre<br />
p ′ = S p S † , det S = 1. (5.108)<br />
(p0, px, py, pz) ∼ (ct, x, y, z) . (5.109)<br />
(q0, qx, qy, qz) ∼ (ct, −x, −y, −z) , (5.110)<br />
q0 = p0, qx = − px, qy = − py, qz = − pz, (5.111)<br />
e per le matrici corrispondenti:<br />
q = q0 + qx σx + qy σy + qz σz = p −1 / det p ∼ p −1 , (5.112)<br />
478
Volumetto 5<br />
poiché det p è invariante. Eseguendo una trasformazione <strong>di</strong> Lorentz abbiamo<br />
per la (5.108):<br />
p ′−1 = S −1† p −1 S −1 , (5.113)<br />
e così, per la (5.112):<br />
q ′ = S −1† q S −1 , det S = 1 (5.114)<br />
Le matrici S −1† costituiscono la rappresentazione D1/2 e le matrici S la rappresentazione<br />
D ′ 1/2. Se ψ è una grandezza del tipo D1/2 e φ una grandezza<br />
del tipo D ′ 1/2:<br />
si ha (v §5.1):<br />
cioè:<br />
ψ ′ = S †−1 ψ, φ ′ = S φ, (5.115)<br />
σy ψ ∗ ∼ φ, σy φ ∗ ∼ ψ, (5.116)<br />
φ1, φ2 ∼ ψ ∗ 2, − ψ ∗ 1,<br />
ψ1, ψ2 ∼ φ ∗ 2, − φ ∗ 1.<br />
Siano a = (a1, a2) e b = (b1, b2) grandezze a due componenti. Si ha:<br />
(5.117)<br />
a b ∗ = 1<br />
2 (b∗ a + b ∗ σxa σx + b ∗ σya σy + b ∗ σza σz) , (5.118)<br />
così alla matrice ab ∗ è coor<strong>di</strong>nato il quadrivettore:<br />
1<br />
2 (b∗ a, b ∗ σxa, b ∗ σya, b ∗ σza) . (5.119)<br />
In<strong>di</strong>chiamo con ψ, Ψ, . . . grandezze del tipo D1/2 e con φ, Φ, . . . grandezze<br />
del tipo D ′ 1/2. Si ha allora:<br />
ψ ′ Ψ ′† = S −1† ψ Ψ † S −1<br />
φ ′ Φ ′† = S φ Φ † S † ,<br />
e così per (5.108), (5.114), (5.118), e (5.116):<br />
Ψ † ψ, −Ψ † σxψ, −Ψ † σyψ, −Ψ † σzψ;<br />
∼ Φ † φ, Φ † σxφ, Φ † σyφ, Φ † σzφ;<br />
∼ ct, x, y, z;<br />
∼ i ψ ∗ σyφ, ψ ∗ σzφ, iψ ∗ φ, −ψ ∗ σxφ.<br />
479<br />
(5.120)<br />
(5.121)
Volumetto 5<br />
Segue che i quadrivettori si trasformano secondo D1/2×D ′ 1/2 = D1/2,1/2<br />
(a meno <strong>di</strong> un cambiamento <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate). Le componenti dei tensori <strong>di</strong><br />
or<strong>di</strong>ne più elevato non si trasformano secondo rappresentazioni irriducibili<br />
nemmeno se si considerano tensori aventi speciali caratteri <strong>di</strong> simmetria.<br />
Così delle 10 componenti del tensore simmetria <strong>di</strong> secondo or<strong>di</strong>ne una è<br />
invariante e nove si trasformano secondo D1,1, mentre delle sei componenti<br />
del tensore emisimmetrico <strong>di</strong> secondo or<strong>di</strong>ne se ne trasformano tre secondo<br />
D1,0 ≡ D1, e tre secondo D0,1 ≡ D ′ 1.<br />
Le formole (5.121) considerano in alcuni casi tipici come si trasformano<br />
i prodotti delle componenti <strong>di</strong> una grandezza ψ per le componenti<br />
<strong>di</strong> una grandezza φ. Essi danno luogo a una rappresentazione irriducibile<br />
D1/2,1/2. Vogliamo ora considerare la legge <strong>di</strong> trasformazione <strong>di</strong> prodotti<br />
<strong>di</strong> grandezze dello stesso tipo ψ (o φ). Avremo rappresentazioni non più<br />
irriducibili equivalenti a:<br />
D1/2×D1/2 = D0 + D1 oppure D ′ 1/2×D ′ 1/2 = D0 + D ′ 1,<br />
e potremo quin<strong>di</strong> costruire da combinazioni <strong>di</strong> detti prodotti un invariante<br />
e tre variabili che si trasformano come certe tre (o le altre tre) delle<br />
componenti del tensore emisimmetrico <strong>di</strong> secondo or<strong>di</strong>ne. Gli invarianti<br />
nei casi tipici precedentemente considerati si trovano imme<strong>di</strong>atamente;<br />
infatti da<br />
ψ ′ = S −1† ψ e φ ′ = S φ,<br />
segue<br />
ψ ′† φ ′ = ψ † S −1 S φ = ψ † φ.<br />
Facendo uso, al solito, <strong>di</strong> (5.116), abbiamo così che sono invarianti:<br />
ψ † φ =<br />
A causa <strong>di</strong> (5.122) sarà:<br />
<br />
φ † ψ<br />
†<br />
= ψ †<br />
1φ1 + ψ †<br />
2φ2<br />
i Ψ ∗ σyψ = Ψ1ψ2 − Ψ2ψ1 (5.122)<br />
i Φ ∗ σyφ = Φ1φ2 − Φ2φ1.<br />
ψiΨk ∼ ψiΨk (φ1Φ2 − φ2Φ1) . (5.123)<br />
Notando che l’ultima delle (5.121) si può scrivere<br />
ψ1φ1, ψ1φ2, ψ2φ1, ψ2φ2,<br />
∼ x − iy, ct − z, −ct − z, −x − iy,<br />
480<br />
(5.124)
Volumetto 5<br />
e sostituendo nel secondo membro <strong>di</strong> (5.123), dove figurano prodotti del<br />
tipo (ψiφℓ)(ΨkΦm), ricaviamo, dopo eliminazione dell’invariante ψ1Ψ2 −<br />
ψ2Ψ1 (che risulta nel fatto tale poiché si trasforma come: c 2 tt1 − xx1 −<br />
yy1 − zz1, che è invariante)<br />
ψ1Ψ1 ∼ −c(tx1 − xt1) + i(yz1 − zy1) + ic(ty1 − yt1)<br />
1<br />
(ψ1Ψ2 + ψ2Ψ1)<br />
2<br />
∼<br />
+(zx1 − xz1),<br />
c(tz1 − zt1) − i(xy1 − yx1), (5.125)<br />
ψ2Ψ2 ∼ c(tx1 − xt1) − i(yz1 − zy1) + ic(ty1 − yt1)<br />
+(zx1 − xz1).<br />
I vari termini del secondo membro si trasformano come le componenti del<br />
campo elettromagnetico; precisamente:<br />
Ex, Ey, Ez ∼ c(tx1 − xt1), c(ty1 − yt1), c(tz1 − zt1);<br />
Hx, Hy, Hz ∼ yz1 − zy1, zx1 − xz1, xy1 − yx1,<br />
cosicché le (5.125) si possono scrivere:<br />
(5.126)<br />
ψ1Ψ1 ∼ −(Ex − iHx) + i(Ey − iHy)<br />
1<br />
2 (ψ1Ψ2 + ψ2Ψ1) ∼ Ez − iHz (5.127)<br />
ψ2Ψ2 ∼ (Ex − iHx) + i(Ey − iHy).<br />
Facendo uso <strong>di</strong> (5.116), ricaviamo le formole analoghe:<br />
φ1Φ1 ∼ −(Ex + iHx) + i(Ey + iHy)<br />
1<br />
(φ1Φ2 + φ2Φ1)<br />
2<br />
∼ Ez + iHz (5.128)<br />
φ2Φ2 ∼ (Ex + iHx) + i(Ey + iHy);<br />
φ † σxψ ∼ Ex − iHx<br />
φ † σyψ ∼ Ey − iHy (5.129)<br />
φ † σzψ ∼ Ez − iHz;<br />
ψ † σxφ ∼ Ex + iHx<br />
481
Volumetto 5<br />
ψ † σyφ ∼ Ey + iHy (5.130)<br />
ψ † σzφ ∼ Ez + iHz.<br />
Ponendo Ψ = (ψ, φ), segue da (5.129) e (5.130):<br />
Nella nostra rappresentazione si ha:<br />
Ψ † ρ1σxΨ ∼ Ex ∼ − Hx<br />
Ψ † ρ1σyΨ ∼ Ey ∼ − Hy<br />
Ψ † ρ1σzΨ ∼ Ez ∼ − Hz<br />
Ψ † ρ2σxΨ ∼ Hx ∼ Ex<br />
Ψ † ρ2σyΨ ∼ Hy ∼ Ey<br />
Ψ † ρ2σzΨ ∼ Hz ∼ Ez.<br />
(5.131)<br />
α = ρ3 σ, β = ρ1. (5.132)<br />
Per passare a una rappresentazione generica corrispondente alle equazioni<br />
W<br />
c<br />
<br />
+ α·p + β mc Ψ = 0, (5.133)<br />
basta eseguire nelle formole precedenti le sostituzioni:<br />
ρ1 → β, σx → − i αy αz,<br />
ρ2 → β αx αy αz, σy → − i αz αx,<br />
ρ3 → − i αx αy αz, σz → − i αx αy.<br />
(5.134)<br />
Si trovano così in generale le seguenti leggi <strong>di</strong> trasformazione per tutte le<br />
combinazioni <strong>di</strong> prodotti Ψ ∗ rΨs:<br />
Ψ † Ψ ∼ −iΨ † αxαyαzΨ ∼ ct<br />
−Ψ † αxΨ ∼ iΨ † αyαzΨ ∼ x<br />
−Ψ † αyΨ ∼ iΨ † αzαxΨ ∼ y<br />
−Ψ † αzΨ ∼ iΨ † αxαyΨ ∼ z.<br />
482<br />
(5.135)
Volumetto 5<br />
iΨ † βαxΨ ∼ Ex, iΨ † βαyΨ ∼ Ey, iΨ † βαzΨ ∼ Ez,<br />
iΨ † βαyαzΨ ∼ Hx, iΨ † βαzαxΨ ∼ Hy, iΨ † βαxαyΨ ∼ Hz,<br />
Poniamo<br />
(5.136)<br />
Ψ † βΨ ∼ Ψ † βαxαyαzΨ ∼ 1. (5.137)<br />
F 1 = Ψ † Ψ, F 9 = iΨ † βαxΨ<br />
F 2 = −Ψ † αxΨ, F 10 = iΨ † βαyΨ<br />
F 3 = −Ψ † αyΨ, F 11 = iΨ † βαzΨ<br />
F 4 = −Ψ † αzΨ, F 12 = +iΨ † βαyαzΨ<br />
F 5 = −iΨ † αxαyαzΨ, F 13 = +iΨ † βαzαxΨ<br />
F 6 = iΨ † αyαzΨ, F 14 = +iΨ † βαxαyΨ<br />
F 7 = iΨ † αzαxΨ, F 15 = Ψ † βΨ<br />
F 8 = iΨ † αxαyΨ, F 16 = Ψ † βαxαyαzΨ.<br />
Ponendo, in generale<br />
F p = <br />
r,s<br />
F p rs Ψ ∗ r Ψs, (5.138)<br />
le matrici Hermitiane Frs risultano unitarie e dalla considerazione del<br />
gruppo delle 32 matrici <strong>di</strong>stinte della forma<br />
seguono le relazioni <strong>di</strong> ortogonalità:<br />
16<br />
p=1<br />
± β n0 α n1<br />
x α n2<br />
y α n3<br />
z , (5.139)<br />
F p∗<br />
rs F p<br />
r ′ s ′ = 4 δrr ′ δss ′ (5.140)<br />
483
da cui segue:<br />
Volumetto 5<br />
Ψ ∗ r Ψs = 1<br />
4<br />
16<br />
p=1<br />
F p rs F p . (5.141)<br />
5.7 Funzioni sferiche con spin s = 1/2<br />
Siano ϕ m ℓ le funzioni sferiche or<strong>di</strong>narie normalizzate e con le costanti <strong>di</strong><br />
fase così scelte da dar luogo alla rappresentazione or<strong>di</strong>naria del momento<br />
angolare rispetto agli assi x, y, z. Per esempio:<br />
ϕ m ℓ<br />
= (−1) m<br />
essendo P m ℓ i polinomi <strong>di</strong> Legendre:<br />
Si ha<br />
<br />
2ℓ + 1 (ℓ − m)!<br />
4π (ℓ + m)! P m ℓ (cos θ) e imφ , (5.142)<br />
P m ℓ (t) = 1<br />
2ℓ 2<br />
1 − t<br />
ℓ!<br />
m/2 d ℓ+m (t 2 − 1) ℓ<br />
dtℓ+m . (5.143)<br />
ϕ m ℓ<br />
= (−1) m ϕ −m∗<br />
ℓ , (5.144)<br />
e in luogo <strong>di</strong> (5.142) si può anche scrivere<br />
ϕ m <br />
2ℓ + 1 (ℓ + m)! −m<br />
ℓ =<br />
Pℓ (cos θ) e<br />
4π (ℓ − m)! imφ . (5.145)<br />
Le funzioni sferiche con spin s = 1/2 a due valori che si trasformano secondo<br />
Dj (j = 1/2, 3/2, 5/2, . . .) con determinata segnatura e appartengono<br />
quin<strong>di</strong> a valori fissati <strong>di</strong> j e <strong>di</strong> ℓ = j ∓ 1/2) sono definite da:<br />
S m k =<br />
<br />
k + m − 1/2<br />
ϕ<br />
2k − 1<br />
m−1/2<br />
ℓ , (−1) k+ℓ+1<br />
<br />
k − m − 1/2<br />
ϕ<br />
2k − 1<br />
m+1/2<br />
<br />
ℓ .<br />
(5.146)<br />
Il numero intero, positivo o negativo, k (k = ±1, ±2, ±3, . . .) definisce j e<br />
ℓ me<strong>di</strong>ante la relazione:<br />
k = j(j + 1) − ℓ(ℓ + 1) + 1<br />
4 =<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
ℓ + 1,<br />
− ℓ,<br />
per j = ℓ + 1/2,<br />
per j = ℓ − 1/2.<br />
(5.147)<br />
484
(a) relazioni varie fra ℓ, j, k:<br />
Volumetto 5<br />
σ·L = k − 1<br />
ℓ(ℓ + 1) = (k − 1)k<br />
(j + m)(j − m + 1) = (k + m − 1/2) (k − m + 1/2) (5.148)<br />
(ℓ + m + 1/2) (ℓ − m + 1/2) = (k + m − 1/2) (k − m − 1/2)<br />
(ℓ − a)(ℓ + 1 + a) = (k − 1 − a)(k + a);<br />
(b) matrici <strong>di</strong> momenti angolari:<br />
(Jx − i Jy) S m k = (k + m − 1/2) (k − m + 1/2) S m−1<br />
k<br />
(Jx + i Jy) S m k = (k + m + 1/2) (k − m − 1/2) S m+1<br />
k<br />
Jz S m k = m S m k ;<br />
(c) legame fra S m k , S m −k, e S −m<br />
k :<br />
(5.149)<br />
S m −k = σz S m k (5.150)<br />
k = i σy (−1) k+ℓ+m−1/2 m ∗<br />
S<br />
S −m<br />
(d) sull’operatore (σ · p): 50<br />
σ·p f(r) S m k = <br />
i<br />
σ·p f(r) S m −k = <br />
i<br />
d<br />
dr<br />
d<br />
dr<br />
<br />
k − 1<br />
− f(r) S<br />
r<br />
m −k<br />
<br />
k + 1<br />
+ f(r) S<br />
r<br />
m k ;<br />
(e) le funzioni sferiche con spin <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne più basso:<br />
k = 1; j = 1<br />
, ℓ = 0<br />
2<br />
S 1/2<br />
1 = ϕ 0 0, 0 =<br />
S −1/2<br />
1 = 0, ϕ 0 0 =<br />
<br />
1<br />
√4π , 0<br />
<br />
0,<br />
k ; (5.151)<br />
<br />
1<br />
√ ;<br />
4π<br />
(5.152)<br />
50 Nel manoscritto originale è utilizzata la vecchia notazione h/2π invece <strong>di</strong> .<br />
485
S 1/2<br />
−1<br />
S −1/2<br />
−1<br />
=<br />
=<br />
Volumetto 5<br />
<br />
1<br />
3 ϕ0 <br />
2<br />
1, −<br />
3 ϕ1 <br />
1 =<br />
<br />
2<br />
3 ϕ−1<br />
<br />
1<br />
1 , −<br />
3 ϕ0 <br />
1 =<br />
S 3/2<br />
2 = ϕ 1 1, 0 =<br />
S 1/2<br />
2<br />
S −1/2<br />
2<br />
=<br />
=<br />
k = −1; j = 1<br />
, ℓ = 1<br />
2<br />
1<br />
√4π cos θ,<br />
1<br />
√ sin θ e<br />
4π iφ<br />
<br />
<br />
1<br />
√4π sin θ e −iφ , − 1<br />
<br />
√ cos θ ;<br />
4π<br />
k = 2; j = 3<br />
, ℓ = 1<br />
2<br />
<br />
3<br />
−<br />
8π sin θ eiφ <br />
, 0<br />
<br />
2<br />
3 ϕ0 <br />
1<br />
1,<br />
3 ϕ1 <br />
1<br />
1 = √2π cos θ, − 1<br />
√ sin θ e<br />
8π iφ<br />
<br />
<br />
1<br />
3 ϕ−1<br />
<br />
2<br />
1 ,<br />
3 ϕ0 <br />
1<br />
1 = √8π sin θ e −iφ <br />
1<br />
, √ cos θ<br />
2π<br />
S −3/2<br />
2 = 0, ϕ −1<br />
1 =<br />
S 3/2<br />
−2<br />
S 1/2<br />
−2<br />
=<br />
=<br />
=<br />
<br />
0,<br />
3<br />
8π<br />
sin θ e−iφ<br />
<br />
k = −2; j = 3<br />
, ℓ = 2<br />
2<br />
<br />
1<br />
5 ϕ1 <br />
4<br />
2, −<br />
5 ϕ2 <br />
2<br />
<br />
3<br />
−<br />
8π sin θ cos θ eiφ <br />
3<br />
, −<br />
8π sin2 θ e 2iφ<br />
<br />
<br />
2<br />
5 ϕ0 <br />
3<br />
2, −<br />
5 ϕ1 <br />
2<br />
486<br />
;
S −1/2<br />
−2<br />
S −3/2<br />
−2<br />
Volumetto 5<br />
=<br />
<br />
1<br />
2π<br />
<br />
3<br />
2 cos2 θ − 1<br />
<br />
9<br />
, − sin θ cos θ eiφ<br />
2 8π<br />
=<br />
<br />
3<br />
5 ϕ−1<br />
<br />
2<br />
2 , −<br />
5 ϕ0 <br />
2<br />
=<br />
<br />
9<br />
8π sin θ cos θ e−iφ <br />
1<br />
, −<br />
2π<br />
<br />
3<br />
2 cos2 θ − 1<br />
<br />
2<br />
<br />
=<br />
<br />
4<br />
5 ϕ−2<br />
<br />
1<br />
2 , −<br />
5 ϕ−1<br />
<br />
2<br />
=<br />
<br />
3<br />
8π sin2 θ e −2iφ <br />
3<br />
, − sin θ cos θ e−iφ ;<br />
8π<br />
(f) matrici <strong>di</strong> x/r, y/r, z/r rispetto alle funzioni sferiche or<strong>di</strong>narie:<br />
x − iy<br />
r<br />
x + iy<br />
r<br />
ϕ m ℓ = sin θ e −iφ ϕ m ℓ = −<br />
ϕ m ℓ = sin θ e iφ ϕ m ℓ =<br />
z<br />
r ϕm ℓ = cos θ ϕ m ℓ =<br />
<br />
(ℓ + m)(ℓ + m − 1)<br />
(2ℓ + 1)(2ℓ − 1) ϕm−1 ℓ−1<br />
<br />
(ℓ − m + 1)(ℓ − m + 2)<br />
+<br />
(2ℓ + 1)(2ℓ + 3)<br />
<br />
(ℓ − m)(ℓ − m − 1)<br />
(2ℓ − 1)(2ℓ + 1) ϕm+1 ℓ−1<br />
<br />
(ℓ + m + 1)(ℓ + m + 2)<br />
−<br />
ϕ<br />
(2ℓ + 1)(2ℓ + 3)<br />
m+1<br />
ℓ+1<br />
<br />
(ℓ − m)(ℓ + m)<br />
(2ℓ − 1)(2ℓ + 1) ϕmℓ−1 <br />
(ℓ − m + 1)(ℓ + m + 1)<br />
+<br />
ϕ<br />
(2ℓ + 1)(2ℓ + 3)<br />
m ℓ+1;<br />
(g) matrici x/r, y/r, z/r rispetto alle funzioni sferiche con spin:<br />
x − iy<br />
r<br />
S m k = − 1<br />
k + m −<br />
2k − 1<br />
1<br />
<br />
k + m −<br />
2<br />
3<br />
<br />
S<br />
2<br />
m−1<br />
k−1<br />
487<br />
ϕ m−1<br />
ℓ+1
x + iy<br />
r<br />
S m k<br />
+<br />
Volumetto 5<br />
1<br />
k − m +<br />
2k + 1<br />
1<br />
2<br />
z<br />
r Sm k = (−1)k+ℓ+1<br />
2k − 1<br />
<br />
k − m + 3<br />
<br />
k − m + 1<br />
2<br />
<br />
S m−1<br />
k+1<br />
<br />
k + m − 1<br />
<br />
S m−1<br />
−k<br />
+<br />
2<br />
(2k − 1)(2k + 1)<br />
2<br />
2<br />
=<br />
1<br />
k − m −<br />
2k − 1<br />
1<br />
<br />
k − m −<br />
2<br />
3<br />
<br />
S<br />
2<br />
m+1<br />
k−1<br />
−<br />
1<br />
k + m +<br />
2k + 1<br />
1<br />
<br />
k + m +<br />
2<br />
3<br />
<br />
S<br />
2<br />
m+1<br />
k+1<br />
+<br />
2<br />
k − m −<br />
(2k − 1)(2k + 1)<br />
1<br />
<br />
k + m +<br />
2<br />
1<br />
<br />
S<br />
2<br />
m+1<br />
−k<br />
k + m − 1<br />
<br />
k − m −<br />
2<br />
1<br />
<br />
S<br />
2<br />
m k−1<br />
+ (−1)k+ℓ+1<br />
k + m +<br />
2k + 1<br />
1<br />
<br />
k − m +<br />
2<br />
1<br />
<br />
S<br />
2<br />
m k+1<br />
+<br />
2<br />
(2k − 1)(2k + 1) m Sm −k;<br />
(h) matrici <strong>di</strong> Lx, Ly, Lz (si noti che |2k − 1| = 2ℓ + 1):<br />
(Lx − iLy) S m k =<br />
+<br />
(Lx + iLy) S m k =<br />
−<br />
Lz S m k =<br />
2k − 2<br />
k + m −<br />
2k − 1<br />
1<br />
2<br />
<br />
k + m − 1<br />
<br />
k − m + 1<br />
2<br />
<br />
k + m − 3<br />
<br />
S m−1<br />
k<br />
<br />
S m−1<br />
−k+1<br />
1<br />
|2k − 1|<br />
2<br />
2<br />
2k − 2<br />
k + m +<br />
2k − 1<br />
1<br />
<br />
k − m −<br />
2<br />
1<br />
<br />
S<br />
2<br />
m+1<br />
k<br />
1<br />
k − m −<br />
|2k − 1|<br />
1<br />
<br />
k − m −<br />
2<br />
3<br />
<br />
S<br />
2<br />
m+1<br />
−k+1<br />
2k − 2<br />
2k − 1 m Sm k<br />
488
−<br />
(i) matrici <strong>di</strong> σx, σy, σz:<br />
(σx − iσy) S m k<br />
(σx + iσy) S m k<br />
σz S m k<br />
=<br />
−<br />
=<br />
+<br />
=<br />
−<br />
Volumetto 5<br />
1<br />
k + m −<br />
|2k − 1|<br />
1<br />
<br />
k − m −<br />
2<br />
1<br />
<br />
S<br />
2<br />
m −k+1;<br />
2<br />
k + m −<br />
2k − 1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
|2k − 1|<br />
2<br />
|2k − 1|<br />
1<br />
|2k − 1|<br />
<br />
k + m − 1<br />
<br />
k − m + 1<br />
2<br />
<br />
k + m + 1<br />
2<br />
<br />
k − m − 1<br />
2<br />
2<br />
<br />
k + m − 3<br />
<br />
S m−1<br />
k<br />
2<br />
<br />
k − m − 1<br />
2<br />
<br />
k − m − 3<br />
2<br />
<br />
S m−1<br />
−k+1<br />
<br />
S m+1<br />
k<br />
<br />
S m+1<br />
−k+1<br />
2<br />
2k − 1 m Sm k<br />
1<br />
k + m −<br />
|2k − 1|<br />
1<br />
<br />
k − m −<br />
2<br />
1<br />
<br />
S<br />
2<br />
m −k+1.<br />
5.8 Rappresentazioni unitarie in infinite<br />
<strong>di</strong>mensioni del gruppo <strong>di</strong> Lorentz<br />
Le rappresentazioni del gruppo <strong>di</strong> Lorentz considerate nel §5.1 sono, ad eccezione<br />
della rappresentazione identica, essenzialmente non unitarie, cioè<br />
non possono rendersi tali per trasformazione. L’impossibilità <strong>di</strong> avere rappresentazioni<br />
unitarie fedeli del gruppo <strong>di</strong> Lorentz deriva dall’essere questo<br />
gruppo aperto. I gruppi aperti però possono avere, a <strong>di</strong>fferenza dei gruppi<br />
chiusi, rappresentazioni irriducibili, anche unitarie, in infinite <strong>di</strong>mensioni.<br />
Per ciò che riguarda il gruppo <strong>di</strong> Lorentz <strong>di</strong>amo più sotto due classi <strong>di</strong> tali<br />
rappresentazioni unitarie. Una rappresentazione può essere definita dalle<br />
489
Volumetto 5<br />
trasformazioni infinitesime sod<strong>di</strong>sfacenti alle relazioni <strong>di</strong> scambio (5.1). In<br />
luogo <strong>di</strong> Sx, Sy, Sz, Tx, Ty, Tz possiamo introdurre le matrici:<br />
ax = i Sx, bx = −i Tx, . . . . (5.153)<br />
Queste saranno Hermitiane in una rappresentazione unitaria e viceversa.<br />
Obbe<strong>di</strong>ranno inoltre alle relazioni 51<br />
[ax, ay] = i az<br />
[bx, by] = −i az<br />
[ax, bx] = 0 (5.154)<br />
[ax, by] = i bz<br />
[bx, ay] = i bz<br />
etc.<br />
Ognuna delle nostre rappresentazioni opera in uno spazio a infinite <strong>di</strong>mensioni<br />
i cui vettori unitari sono <strong>di</strong>stinti da due numeri j e m (nelle rappresentazioni<br />
della prima classe j = 1/2, 3/2, 5/2, . . ., m = j, j − 1, . . . , −j; nelle<br />
rappresentazioni della seconda classe j = 0, 1, 2, . . ., m = j, j − 1, . . . , −j).<br />
Oltre a ciò ogni rappresentazione è contrassegnata da un numero reale Z0<br />
suscettibile <strong>di</strong> tutti i valori positivi o negativi e <strong>di</strong> cui vedremo appresso il<br />
significato. Le componenti <strong>di</strong>verse da zero <strong>di</strong> ax −iay, ax +iay, az, bx −iby,<br />
bx + iby, bz si deducono dallo schema seguente 52 :<br />
< j, m | ax − iay | j, m + 1 > = (j + m + 1)(j − m)<br />
< j, m | ax + iay | j, m − 1 > = (j + m)(j − m + 1)<br />
< j, m | az | j, m > = m<br />
< j, m | bx − iby | j + 1, m + 1 > = − 1 <br />
(j + m + 1)(j + m + 2)<br />
2<br />
51 Negli appunti originali il commutatore è in<strong>di</strong>cato con parentesi tonde: (a, b).<br />
Anche in questo caso abbiamo preferito adottare la notazione moderna [a, b].<br />
A margine del manoscritto sono anche riportate le proprietà <strong>di</strong> trasformazione<br />
delle matrici a, b (che sono in relazione con le proprietà <strong>di</strong> trasformazione del<br />
campo elettromagnetico): (ax, ay, az, bx, by, bz) ∼ (Ex, Ey, Ez, Hx, Hy, Hz) ∼<br />
(−Hx, −Hy, −Hz, Ex, Ey, Ez).<br />
52 Nell’originale, questi prodotti scalari sono in<strong>di</strong>cati me<strong>di</strong>ante parentesi tonde:<br />
(. . . | . . . | . . .). Seguendo la notazione <strong>di</strong> Dirac, si è preferito invece scrivere:<br />
< . . . | . . . | . . . >.<br />
490
Volumetto 5<br />
< j, m | bx − iby | j − 1, m + 1 > = 1 <br />
(j − m)(j − m − 1) (5.155)<br />
2<br />
< j, m | bx + iby | j + 1, m − 1 > = 1 <br />
(j − m + 1)(j − m + 2)<br />
2<br />
< j, m | bx + iby | j − 1, m − 1 > = − 1 <br />
(j + m)(j + m − 1)<br />
2<br />
< j, m | bz | j + 1, m > = 1 <br />
(j + m + 1)(j − m + 1)<br />
2<br />
< j, m | bz | j − 1, m > = 1 <br />
(j + m)(j − m).<br />
2<br />
Notare le relazioni:<br />
a 2 x + a 2 y + a 2 z = j (j + 1)<br />
b 2 x + b 2 y + b 2 z = j (j + 1) + 3/4;<br />
ax bx + ay by + az bz = 0<br />
b 2 x + b 2 y + b 2 z − a 2 x − a 2 y − a 2 z = 3/4.<br />
(5.156)<br />
(5.157)<br />
Noi vogliamo ora determinare le matrici α0, αx, αy, αz in un modo che<br />
le equazioni:<br />
<br />
α0<br />
W0<br />
c<br />
e<br />
+<br />
c φ<br />
<br />
+ α· p + e<br />
c C<br />
<br />
− mc ψ = 0 (5.158)<br />
siano invarianti. Per ciò è necessario che gli operatori α0, αx, αy, αz o le<br />
forme Hermitiane ad essi collegate (si tratta <strong>di</strong> trasformazioni unitarie!) si<br />
trasformino come le componenti <strong>di</strong> un vettore covariante (α0, αx, αy, αz ∼<br />
ct, −x, −y, −z). Per ciò occorre e basta che siano sod<strong>di</strong>sfatte le relazioni<br />
491
<strong>di</strong> scambio:<br />
Volumetto 5<br />
[α0, ax] = 0<br />
[α0, bx] = i αx<br />
[αx, ax] = 0<br />
[αx, ay] = i αz<br />
[αx, az] = −i αy<br />
[αx, bx] = i α0<br />
[αx, by] = 0<br />
[αx, bz] = 0<br />
etc.<br />
Dalle prime delle (5.159) segue che α0 è funzione <strong>di</strong> j:<br />
e dalle seconde e quinte:<br />
cioè:<br />
(5.159)<br />
α0 = cj, (5.160)<br />
[[α0, bx] , bx] = − α0, etc., (5.161)<br />
− α0 = b 2 x α0 − 2 bx α0 bx + α0 b 2 x. (5.162)<br />
Considerando, ad esempio, bz, segue da (5.162):<br />
cj = 1<br />
2<br />
cj − 2cj+1 + cj+2 = 0,<br />
j 2 − m 2 + 2j + 1 (cj+1 − cj) − 1<br />
2<br />
da cui a meno <strong>di</strong> un fattore costante:<br />
j 2 − m 2 (cj − cj−1) ,<br />
cj = j + 1/2, (5.163)<br />
da cui, per (5.160), la seconda delle (5.159) e delle (5.155) segue come<br />
unica determinazione per le matrici α0, αx, αy, αz, a meno <strong>di</strong> un fattore<br />
492
costante:<br />
Volumetto 5<br />
α0 = j + 1<br />
2<br />
< j, m | αx − iαy | j + 1, m + 1 > = − i <br />
(j + m + 1)(j + m + 2)<br />
2<br />
< j, m | αx − iαy | j − 1, m + 1 > = − i <br />
(j − m)(j − m − 1)<br />
2<br />
< j, m | αx + iαy | j + 1, m − 1 > = i <br />
(j − m + 1)(j − m + 2)<br />
2<br />
< j, m | αx + iαy | j − 1, m − 1 > = i<br />
2<br />
(j + m)(j + m − 1)<br />
(j + m + 1)(j − m + 1)<br />
< j, m | αz | j + 1, m > = i<br />
2<br />
< j, m | αz | j − 1, m > = − i <br />
(j + m)(j − m),<br />
2<br />
le componenti non in<strong>di</strong>cate essendo nulle.<br />
Nelle rappresentazioni con Z0 = axbx + ayby + azbz reale e arbitrario<br />
le ax, ay, az hanno ancora l’espressione (5.155) come nel caso particolare<br />
Z0 = 0, mentre le componenti <strong>di</strong>verse da zero <strong>di</strong> bx, by, bz sono date nel<br />
caso generale da:<br />
<br />
2 4Z0 + (j + 1)<br />
< j, m | bx − iby | j + 1, m + 1 > = −<br />
2<br />
2(j + 1)<br />
< j, m | bx − iby | j, m + 1 > =<br />
< j, m | bx − iby | j − 1, m + 1 > =<br />
< j, m | bx + iby | j + 1, m − 1 > =<br />
< j, m | bx + iby | j, m − 1 > =<br />
× (j + m + 1)(j + m + 2)<br />
Z0 <br />
(j + m + 1)(j − m)<br />
j(j + 1)<br />
<br />
2 4Z0 + j2 <br />
(j − m)(j − m − 1)<br />
2j<br />
<br />
2 4Z0 + (j + 1) 2<br />
2(j + 1)<br />
× (j − m + 1)(j − m + 2)<br />
Z0<br />
j(j + 1)<br />
(5.164)<br />
× (j + m)(j − m + 1)<br />
<br />
2 4Z0 + j<br />
< j, m | bx + iby | j − 1, m − 1 > = −<br />
2 <br />
(j + m)(j + m − 1)<br />
2j<br />
493
j, m | bz | j + 1, m > =<br />
< j, m | bz | j, m > =<br />
< j, m | bz | j − 1, m > =<br />
Volumetto 5<br />
4Z 2 0 + (j + 1) 2<br />
2(j + 1)<br />
5.9 L’equazione ( + λ)A = p<br />
Definiamo il simbolo da<br />
≡ 1<br />
c 2<br />
∂ 2<br />
∂t<br />
∂x<br />
× (j + m + 1)(j − m + 1)<br />
Z0<br />
j(j + 1) m<br />
<br />
2 4Z0 + j2 <br />
(j + m)(j − m).<br />
2j<br />
∂y<br />
∂z 2<br />
∂2 ∂2 ∂2<br />
− − − 2 2 2<br />
(5.165)<br />
e supponiamo λ una costante positiva (<strong>di</strong>mensionalmente [L] −2 ), mentre<br />
p = p(x, y, z, t) è una funzione arbitraria del posto. La soluzione generale<br />
dell’equazione:<br />
( + λ) A = p(x, y, z, t) (5.166)<br />
si otterrà da una soluzione particolare aggiungendo la soluzione generale<br />
dell’equazione resa omogenea ponendo p = 0. Una soluzione particolare si<br />
può porre nella forma:<br />
<br />
A(q, t) = F (q, t; q ′ , t ′ ) p(q ′ , t ′ ) dq ′ dt ′ , (5.167)<br />
e si può richiedere per simmetria che sia:<br />
F (q, t; q ′ , t ′ ) = F (R, T ), (5.168)<br />
se R = √ X 2 + Y 2 + Z 2 e X = x − x ′ , Y = y − y ′ , Z = z − z ′ , T = t − t ′ .<br />
Si può inoltre esigere che F (R, T ) sia <strong>di</strong>versa da zero solo per T ≥ R/c.<br />
F deve sod<strong>di</strong>sfare all’equazione (5.166) resa omogenea (considerata<br />
come funzione <strong>di</strong> q e t, o <strong>di</strong> q ′ e t ′ ) salvo che per T = 0 e quin<strong>di</strong> R = 0,<br />
nel qual punto deve avere una appropriata singolarità. La funzione che<br />
494
Volumetto 5<br />
sod<strong>di</strong>sfa alle con<strong>di</strong>zioni volute presenta singolarità anche al contorno del<br />
campo <strong>di</strong> integrazione, cioè per T = R/c, e così l’integrale (5.167) si spezza<br />
nella somma <strong>di</strong> un integrale preso sul cono ottico negativo, e <strong>di</strong> un integrale<br />
quadri<strong>di</strong>mensionale preso all’interno del detto semicono ottico. Si trova la<br />
formola seguente che verificheremo più avanti:<br />
A(q, t) = 1<br />
4π<br />
<br />
1<br />
R p<br />
<br />
q ′ , t − R<br />
<br />
dq<br />
c<br />
′ − cλ<br />
4π<br />
<br />
essendo I1 la funzione <strong>di</strong> Bessel d’or<strong>di</strong>ne 1 e<br />
T >R/c<br />
I1(ω)<br />
ω p(q′ , t ′ ) dq ′ dt ′ ,<br />
(5.169)<br />
ω = λ (c 2 T 2 − R 2 ). (5.170)<br />
Per λ = 0 sopravvive in (5.169) solo il primo integrale che dà la consueta<br />
espressione dei potenziali ritardati.<br />
Per verificare la (5.169), poniamo per q e t fissi:<br />
A(q, t) =<br />
t<br />
u(t<br />
−∞<br />
′ ) dt ′ , (5.171)<br />
essendo u(t ′ )dt ′ il contributo dato nei due integrali a secondo membro <strong>di</strong><br />
(5.169) da tutti i punti dei due campi <strong>di</strong> integrazione appartenenti a t ′<br />
compreso fra t ′ e t ′ + dt ′ . Vogliamo <strong>di</strong>mostrare che u(t ′ ) può porsi nella<br />
forma:<br />
u(t ′ ) = dv(t′ )<br />
dt ′ , (5.172)<br />
la funzione v(t ′ ) potendosi esprimere come somma <strong>di</strong> due integrali presi<br />
nello spazio t ′ = costante, l’uno sulla superficie sferica |q −q ′ | = R = cT =<br />
c(t − t ′ ) e l’altro all’interno della stessa sfera. Precisamente, si può porre:<br />
v(t ′ ) = 1<br />
4π<br />
<br />
1 λ<br />
+ −<br />
R2 2<br />
4πc 2 T 2<br />
0<br />
A(q ′ , t ′ )<br />
− λ cT A(q ′ , t ′ ) I1(ω) − ωI ′ 1(ω)<br />
ω 3<br />
<br />
1 ∂A(q<br />
cR<br />
′ , t ′ )<br />
∂t ′ + 1 ∂A(q<br />
R<br />
′ , t ′ )<br />
∂R<br />
<br />
dσ − λ<br />
4π<br />
4 πc<br />
3 3 T 3<br />
0<br />
<br />
1 ∂A(q<br />
c<br />
′ , t ′ )<br />
∂t ′<br />
<br />
I1(ω)<br />
ω<br />
dq ′ ; (5.173)<br />
[∂/∂R significa derivata secondo la normale esterna!]<br />
Per <strong>di</strong>mostrare questa formola bisogna provare che u(t ′ ) ottenuta per<br />
derivazione <strong>di</strong> v(t ′ ) secondo la (5.172) coincide con il vettore calcolato<br />
495
Volumetto 5<br />
in base alla sua definizione (5.171). Per il calcolo <strong>di</strong>retto <strong>di</strong> u(t ′ ) basta<br />
sostituire in (5.169) a p(q ′ , t ′ ) la sua espressione ( + λ)A(q ′ , t ′ ) in base<br />
all’equazione <strong>di</strong>fferenziale (5.166).<br />
Sostituendo in (5.172) me<strong>di</strong>ante (5.173), troviamo che anche u(t ′ ) si<br />
esprime come somma <strong>di</strong> un integrale esteso sulla sfera |q − q ′ | = R = cT e<br />
<strong>di</strong> un altro integrale preso all’interno della sfera:<br />
u(t ′ ) = 1<br />
4π<br />
− 2c<br />
R 2<br />
− cλ<br />
4π<br />
+ <br />
0<br />
∂A(q ′ , t ′ )<br />
∂R<br />
4 3 πc 3 T 3<br />
0<br />
∂<br />
∂x ′<br />
<br />
1<br />
cR ∂t ′2<br />
<br />
1 λR<br />
+ −<br />
R 8<br />
<br />
I1(ω)<br />
4πc 2 T 2<br />
ω<br />
<br />
I1(ω)<br />
∂ 2 A(q ′ , t ′ )<br />
− c ∂<br />
R<br />
2 A(q ′ , t ′ )<br />
∂R2 c λA(q ′ , t ′ ) + cλ<br />
2<br />
( + λ) A(q ′ , t ′ )<br />
∂A(q ′ , t ′ )<br />
∂R<br />
<br />
dσ<br />
+ λ × A(q ′ , t ′ ) I1(ω) − ωI ′ 1(ω)<br />
ω3 <br />
dq ′<br />
(x,y,z)<br />
ω<br />
∂A(q ′ , t ′ )<br />
∂x ′<br />
2 2<br />
4πc T<br />
( + λ) A(q<br />
0<br />
′ , t ′ ) dσ<br />
− cλ<br />
4 πc<br />
3<br />
4π<br />
3 T 3<br />
0<br />
I1(ω)<br />
( + λ) A(q<br />
ω<br />
′ , t ′ ) dq ′ . (5.174)<br />
= 1<br />
4πT<br />
Per la deduzione <strong>di</strong> questa relazione si è tenuto conto dell’equazione <strong>di</strong>fferenziale<br />
a cui sod<strong>di</strong>sfa I1(ω),<br />
I ′′<br />
1 (ω) + 1<br />
ω I′ <br />
1(ω) + 1 − 1<br />
ω2 <br />
I1(ω) = 0, (5.175)<br />
come anche della (5.170) e delle relazioni:<br />
I1(ω)<br />
lim<br />
ω→0 ω<br />
= 1 I1(ω) − ωI<br />
, lim<br />
2 ω→0<br />
′ 1(ω)<br />
ω3 = 1<br />
. (5.176)<br />
8<br />
Si verifica imme<strong>di</strong>atamente che u(t ′ ) è precisamente la funzione che abbiamo<br />
introdotto più sopra per dedurre (5.171) da (5.169); basta per ciò<br />
introdurre nella (5.169) in luogo <strong>di</strong> p la sua espressione ( + λ)A, secondo<br />
l’equazione <strong>di</strong>fferenziale (5.166). Resta così provato che il secondo membro<br />
<strong>di</strong> (5.169) vale:<br />
A ′ (q, t) = lim v(t<br />
t ′ →t<br />
′ ) − lim<br />
t ′ v(t<br />
→−∞<br />
′ ). (5.177)<br />
496
Segue da (5.173):<br />
Volumetto 5<br />
lim<br />
t ′ v(t<br />
→t<br />
′ ) = A(q, t), (5.178)<br />
mentre se ammettiamo che A(q, t) per t → −∞ si annulli con sufficiente<br />
rapi<strong>di</strong>tà:<br />
lim<br />
t ′ →−∞ v(t′ ) = 0 . (5.179)<br />
Segue<br />
A ′ (q, t) = A(q, t), (5.180)<br />
e così la (5.169) resta <strong>di</strong>mostrata, poiché verifichiamo a posteriori che la<br />
con<strong>di</strong>zione supposta è verificata se A(q, t) è definita da (5.169) e p(q, t) si<br />
annulla per valori sufficientemente piccoli <strong>di</strong> t. Ma anche se p permane<br />
<strong>di</strong>versa per valori comunque piccoli <strong>di</strong> t la (5.169) sarà ancora nella forma<br />
(5.171), purché non sorgano <strong>di</strong>fficoltà <strong>di</strong> convergenza.<br />
In luogo <strong>di</strong> (5.169) si può usare quando occorre un’altra soluzione particolare<br />
<strong>di</strong> (5.166) che si ottiene invertendo l’asse del tempo:<br />
B(q, t) = 1<br />
4π<br />
<br />
1<br />
R p<br />
<br />
q ′ , t + R<br />
<br />
c<br />
dq ′ − cλ<br />
4π<br />
<br />
T 0,<br />
A1(q, t) =<br />
0, per t < 0,<br />
(5.184)<br />
così che la conoscenza <strong>di</strong> A1 permette <strong>di</strong> determinare A per t > 0. Se ora<br />
poniamo:<br />
( + λ) A1 = p(q, t), (5.185)<br />
497
Volumetto 5<br />
sarà p una funzione singolare per t = 0 e che si annulla per t > 0 e t < 0.<br />
La funzione A1 è precisamente quella soluzione particolare <strong>di</strong> (5.185) che<br />
si lascia porre nella forma (5.169). Quanto alla funzione singolare p(q, t)<br />
essa è costituita da uno strato semplice giacente in t = 0 <strong>di</strong> densità:<br />
s0 = 1<br />
c 2 ˙ A(q, 0) (5.186)<br />
e da un doppio strato giacente nello stesso spazio t = 0 <strong>di</strong> densità:<br />
s1 = − 1<br />
A(q, 0). (5.187)<br />
c2 Sostituendo in (5.169) e badando a (5.184), si avrà per t > 0<br />
A(q, t) = 1<br />
4πt<br />
− ∂<br />
<br />
∂t<br />
1<br />
4πt<br />
essendo<br />
4πc 2 t 2<br />
0<br />
2 2<br />
4πc t<br />
0<br />
s0(q ′ ) dσ − cλ<br />
4π<br />
s1(q ′ ) dσ − cλ<br />
4π<br />
4 3 πc 3 t 3<br />
0<br />
4 πc<br />
3 3 t 3<br />
0<br />
I1(ɛ)<br />
ɛ<br />
I1(ɛ)<br />
ɛ<br />
s0(q ′ ) dq ′<br />
s1(q ′ ) dq ′<br />
<br />
, (5.188)<br />
ɛ = λ(c 2 t 2 − R 2 ), (5.189)<br />
mentre gli integrali sono estesi sulla superficie sferica o all’interno della<br />
sfera <strong>di</strong> raggio ct e centro q.<br />
Sostituendo a s0(q) e s1(q), le loro espressioni (5.186) e (5.187) si trova<br />
dopo qualche trasformazione:<br />
A(q, t) =<br />
+ R ∂A(q′ , 0)<br />
∂R<br />
− 1<br />
λc2 I1(ɛ)<br />
t ɛ<br />
2 2<br />
4πc t <br />
1<br />
t<br />
0<br />
˙ A(q ′ <br />
, 0) + 1 − λR2<br />
<br />
A(q<br />
2<br />
′ , 0)<br />
<br />
dσ + λ2 4 πc<br />
ct 3<br />
4π<br />
3 t 3 ′<br />
I1(ɛ) − ɛI 1(ɛ)<br />
0<br />
ɛ3 A(q ′ , 0)<br />
˙A(q ′ <br />
, 0) dq ′<br />
(t > 0). (5.190)<br />
4πc 2 t 2<br />
In questa espressione ∂/∂R significa derivata secondo la normale esterna<br />
alla sfera <strong>di</strong> raggio ct.<br />
In modo analogo si può ottenere A per t < 0 utilizzando le soluzioni<br />
particolari (5.181) della (5.166). Il risultato si può prevedere senz’altro<br />
data l’invarianza della (5.182) rispetto all’inversione dell’asse temporale; si<br />
498
Volumetto 5<br />
otterrà la stessa espressione (5.190), in cui gli integrali saranno ora estesi<br />
sulla superficie o all’interno della sfera <strong>di</strong> raggio −ct e centro q e dovrà<br />
inoltre cambiarsi segno nei termini delle funzioni integrande che portano a<br />
fattore ˙ A(q ′ , 0).<br />
5.10 Formole varie relative ad<br />
autofunzioni atomiche<br />
(1) Equazioni <strong>di</strong> Dirac in campo centrale:<br />
W − V<br />
k = (2j + 1)(j − ℓ) =<br />
(si veda nel §5.7); 53<br />
c<br />
<br />
d k<br />
−<br />
dr r<br />
<br />
d k<br />
+<br />
dr r<br />
<br />
+ ρ1 σ·p + ρ3 mc ψ = 0; (5.191)<br />
ℓ + 1, per j = ℓ + 1/2,<br />
−ℓ, per j = ℓ − 1/2;<br />
(5.192)<br />
(ψ3, ψ4) = u(r)<br />
r Sm k (5.193)<br />
(ψ1, ψ2) = i v(r)<br />
r Sm −k (5.194)<br />
u 2 + v 2 dr = 1, (5.195)<br />
u = 1 2<br />
W − V + mc<br />
c<br />
v, (5.196)<br />
u = − 1<br />
c<br />
W − V − mc 2 u. (5.197)<br />
53 Nel manoscritto originale è utilizzata la vecchia notazione h/2π invece <strong>di</strong> .<br />
499
(2) Soluzione <strong>di</strong><br />
con<strong>di</strong>zioni ai limiti:<br />
è<br />
y =<br />
y ′′ +<br />
Volumetto 5<br />
2Z<br />
x<br />
(3) Formola della struttura fina:<br />
con<br />
E = mc 2<br />
<br />
1 +<br />
1 a approssimazione:<br />
ℓ(ℓ + 1)<br />
−<br />
x2 <br />
y = 0; (5.198)<br />
y<br />
y(0) = 0, lim = 1, (5.199)<br />
x→0 xℓ+1 (2ℓ + 1)!<br />
(2Z) ℓ+1<br />
√ <br />
2Zx I2ℓ+1 2 √ <br />
2Zx . (5.200)<br />
Z 2 α 2<br />
(S + √ k 2 − Z 2 α 2 ) 2<br />
−1/2<br />
S = 0, 1, 2, . . . , per k > 0,<br />
S = 1, 2, 3, . . . , per k < 0.<br />
E = − Z2 Z4<br />
Rh −<br />
n2 n3 Separazione dei doppietti:<br />
con<br />
∆E =<br />
1<br />
|k|<br />
(α 2 Rh = 5.82 cm −1 ).<br />
− mc 2 , (5.201)<br />
(5.202)<br />
<br />
3<br />
− α<br />
4n<br />
2 Rh (5.203)<br />
Z 4<br />
n3ℓ(ℓ + 1) α2 Rh = Z a 3 <br />
0 ℓ + 1<br />
<br />
r<br />
2<br />
−3 α 2 Rh, (5.204)<br />
r −3 = Z3<br />
a 3 0<br />
1<br />
n3 . (5.205)<br />
ℓ(ℓ + 1/2)(ℓ + 1)<br />
500
Volumetto 5<br />
5.11 Teoria classica della ra<strong>di</strong>azione <strong>di</strong><br />
multipolo<br />
Consideriamo un sistema elettrico oscillante con frequenza ν, tale cioè che<br />
la densità <strong>di</strong> carica e <strong>di</strong> corrente possa essere espressa me<strong>di</strong>ante le formole:<br />
ρ = ρ0 e −2πνit + ρ ∗ 0 e 2πνit ,<br />
I = I0 e −2πνit + I ∗ 0 e 2πνit .<br />
(5.206)<br />
Conveniamo, una volta per tutte, <strong>di</strong> misurare le correnti in unità elettromagnetiche.<br />
Dall’equazione <strong>di</strong> continuità segue:<br />
ρ0 = c<br />
2πνi <strong>di</strong>v I0, (5.207)<br />
cosicché il sistema è interamente definito dalla funzione vettoriale arbitraria<br />
I0. L’irra<strong>di</strong>azione <strong>di</strong> tale sistema può calcolarsi o cercando una soluzione<br />
delle equazioni:<br />
φ = 4π ρ,<br />
(5.208)<br />
A = 4π I,<br />
con la “con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> continuità” 54<br />
1 ∂φ<br />
c ∂t<br />
+ <strong>di</strong>v A = 0, (5.209)<br />
che si lasci porre in forma analoga a (5.206) e sod<strong>di</strong>sfi inoltre alla con<strong>di</strong>zione<br />
ai limiti <strong>di</strong> rappresentare a grande <strong>di</strong>stanza un’onda <strong>di</strong>vergente (metodo<br />
<strong>degli</strong> stati stazionari); ovvero supponendo che nell’istante iniziale lo spazio<br />
sia libero da ra<strong>di</strong>azione e calcolando la <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> questa sulle varie<br />
frequenze dopo un certo tempo t (metodo della variazione delle costanti).<br />
In ogni caso la conoscenza delle correnti basta a definire il sistema<br />
irra<strong>di</strong>ante e quella del potenziale vettore a calcolare l’energia irra<strong>di</strong>ata.<br />
Basterà quin<strong>di</strong> limitarsi a considerare le relazioni che passano fra I e A che<br />
sono grandezze vettoriali che si trasformano secondo una rappresentazione<br />
equivalente a D1. Scegliendo opportune combinazioni lineari delle or<strong>di</strong>narie<br />
54 Con terminologia moderna si <strong>di</strong>rebbe “con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> gauge”; in particolare,<br />
l’Autore sta considerando la gauge <strong>di</strong> Lorentz.<br />
501
Volumetto 5<br />
componenti vettoriali giova introdurre grandezze I = (I1, I2, I3) e A =<br />
(A1, A2, A3), che si trasformano esattamente secondo D1:<br />
<br />
I1 = 1/ √ <br />
<br />
2 (−Ix + iIy) , A1 = 1/ √ <br />
2 (−Ax + iAy) ,<br />
I2 = Iz, A2 = Az,<br />
I3 =<br />
<br />
1/ √ <br />
2 (Ix + iIy) , A3 =<br />
<br />
1/ √ <br />
2 (Ax + iAy) .<br />
(5.210)<br />
Conviene stabilire un opportuno sistema completo <strong>di</strong> funzioni ortogonali<br />
rispetto a cui una generica funzione vettoriale V = (V1, V2, V3) sia<br />
sviluppabile. Scegliamo perciò le soluzioni regolari <strong>di</strong>:<br />
∆ V + k 2 V = 0, k > 0, (5.211)<br />
e le numeriamo oltre che con l’in<strong>di</strong>ce continuo k con gli in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong>screti j e m,<br />
che hanno il significato consueto. È facile vedere che per ogni valore <strong>di</strong> k e<br />
fissato j (intero) e m esistono tre soluzioni regolari in<strong>di</strong>pendenti <strong>di</strong> (5.211)<br />
tranne per j = 0, nel qual caso se ne ha una sola. Introducendo infatti il<br />
momento “orbitale” ℓ (in unità ), si hanno evidentemente per ogni valore<br />
<strong>di</strong> k, 3·(2ℓ + 1) soluzioni in<strong>di</strong>pendenti <strong>di</strong> (5.211), regolari nell’origine che si<br />
ottengono ponendo una delle componenti <strong>di</strong> V uguale a<br />
Vi = 1 √ r Iℓ+1/2(kr) ϕ m ℓ<br />
ℓ , i = 1, 2, 3; mℓ = ℓ, ℓ − 1, . . . , −ℓ, (5.212)<br />
e le altre due uguali a zero:<br />
Vi ′ = 0, i′ = i. (5.213)<br />
Queste 3·(2ℓ + 1) funzioni vettoriali si trasformano secondo Dℓ×D1 e si<br />
lasciano quin<strong>di</strong> esprimere come combinazioni <strong>di</strong> tre sistemi <strong>di</strong> funzioni in<strong>di</strong>pendenti<br />
che si trasformano secondo:<br />
Dℓ−1, Dℓ, Dℓ+1<br />
(5.214)<br />
escluso il caso ℓ = 0, in cui sopravvive, dei sistemi (5.214), quello in<strong>di</strong>cato<br />
con Dℓ+1. Ogni rappresentazione irriducibile Dj, con soluzioni regolari <strong>di</strong><br />
(5.211) appartenenti a un dato valore <strong>di</strong> k, si presenta quin<strong>di</strong> in generale tre<br />
volte, potendo essa derivare da ℓ = j + 1, j, j − 1, tranne nel caso j = 0, in<br />
502
Volumetto 5<br />
cui se ne ha una sola che deriva da ℓ = 1. Fissati k, j, e m si hanno dunque<br />
tre soluzioni <strong>di</strong> (5.211), nel caso generale, e dobbiamo ancora stabilire un<br />
criterio per <strong>di</strong>stinguerle se vogliamo giungere alla numerazione completa <strong>di</strong><br />
tutte le soluzioni in<strong>di</strong>pendenti <strong>di</strong> (5.211). Il criterio più semplice è quello<br />
che deriva dalla <strong>di</strong>mostrazione precedente e consiste nell’assegnare oltre a j<br />
e a m anche il momento “orbitale” ℓ, che può assumere i valori j+1, j, j −1<br />
(per j = 0 solo ℓ = 1), ma non è il più conveniente perché non rispetta la<br />
<strong>di</strong>stinzione assai importante dal punto <strong>di</strong> vista applicativo fra onde longitu<strong>di</strong>nali<br />
e onde trasversali. Le soluzioni regolari <strong>di</strong> (5.211) possono infatti<br />
esprimersi, come è noto, come combinazioni <strong>di</strong> soluzioni particolari appartenenti<br />
a due sistemi <strong>di</strong>fferenti: il sistema delle onde longitu<strong>di</strong>nali che<br />
sod<strong>di</strong>sfanno alla con<strong>di</strong>zione aggiunta<br />
da cui segue<br />
rot V ≡ 1<br />
· grad V = 0, (5.215)<br />
i<br />
V = grad v, (5.216)<br />
e il sistema delle onde trasversali che sod<strong>di</strong>sfanno alla con<strong>di</strong>zione<br />
<strong>di</strong>v V = 0. (5.217)<br />
Onde dei due sistemi sono ortogonali. Ora è facile vedere che per ogni valore<br />
<strong>di</strong> k, j, e m (anche per j = 0) si ha una e una sola onda longitu<strong>di</strong>nale che si<br />
ottiene evidentemente da (5.216) ponendo a meno <strong>di</strong> un fattore costante:<br />
v = 1<br />
√ kr Ij+1/2(kr) ϕ m j . (5.218)<br />
Dalle proprietà <strong>di</strong> simmetria per riflessione nel centro segue che l’onda<br />
longitu<strong>di</strong>nale è una combinazione delle soluzioni <strong>di</strong> (5.211) appartenenti a<br />
ℓ = j + 1 e ℓ = j − 1; l’altra combinazione delle stesse soluzioni ortogonale<br />
all’onda longitu<strong>di</strong>nale (esiste per j > 0) sarà invece un’onda trasversale che<br />
chiameremo, per ragioni da spiegare in seguito, “onda <strong>di</strong> multipolo elettrico<br />
<strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne j”. Infine la soluzione appartenente a ℓ = j (esiste anche essa<br />
solo per j > 0) costituirà un’altra onda trasversale che vogliamo chiamare<br />
“onda <strong>di</strong> multipolo magnetico <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne j”. Eseguendo i calcoli impliciti<br />
nella <strong>di</strong>mostrazione precedente troviamo come espressione esplicita per i<br />
tre tipi <strong>di</strong> onde:<br />
503
(a) onde longitu<strong>di</strong>nali:<br />
V L k,j,m<br />
=<br />
Volumetto 5<br />
<br />
k j<br />
r 2j + 1 Ij−1/2(kr) ϕ m j,j−1<br />
<br />
j + 1<br />
+<br />
2j + 1 Ij+3/2(kr) ϕ m <br />
j,j+1 ; (5.219)<br />
(b) onde <strong>di</strong> multipolo elettrico:<br />
V E k,j,m =<br />
<br />
k j + 1<br />
r 2j + 1 Ij−1/2(kr) ϕ m j,j−1<br />
<br />
j<br />
−<br />
2j + 1 Ij+3/2(kr) ϕ m <br />
j,j+1 ; (5.220)<br />
(c) onde <strong>di</strong> multipolo magnetico:<br />
V M k,j,m =<br />
k<br />
r Ij+1/2(kr) ϕ m j,j. (5.221)<br />
Come si è detto, e come è chiaro anche dalle espressioni precedenti, le onde<br />
trasversali esistono solo per j > 0. Il sistema <strong>di</strong> funzioni vettoriali ortogonali<br />
composto da (5.219), (5.220), e (5.221) è completo e normalizzato<br />
rispetto a dk. Quest’ultima proprietà risulta facilmente dall’espressione<br />
asintotica delle funzioni <strong>di</strong> Bessel.<br />
Sviluppiamo in (5.206) I0 secondo detto sistema <strong>di</strong> funzioni ortogonali:<br />
I0 = <br />
∞ <br />
I L k,j,m V L k,j,m + I E k,j,m V E k,j,m + I M k,j,m V M <br />
k,j,m dk,<br />
j,m<br />
0<br />
(5.222)<br />
essendo le Ik,j,m delle costanti, e analogamente immaginiamo <strong>di</strong> porre in<br />
ogni istante:<br />
A = <br />
∞ <br />
j,m<br />
˙A = <br />
j,m<br />
0<br />
∞<br />
0<br />
χ=L,E,M<br />
<br />
χ=L,E,M<br />
<br />
A χ<br />
k,j,m e−ikct + A ′χ<br />
k,j,m eikct V χ<br />
k,j,m dk,<br />
ikc<br />
(5.223)<br />
<br />
A ′χ<br />
k,j,m eikct − A χ<br />
k,j,m e−ikct V χ<br />
k,j,m dk.<br />
504<br />
(5.224)
Volumetto 5<br />
La con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> realità delle componenti (cartesiane) <strong>di</strong> A importa:<br />
A ′χ<br />
k,j,m = ± (−1)m A χ∗<br />
k,j,−m , + per χ = L, E, − per χ = M.<br />
(5.225)<br />
Con la stessa regola si può ottenere da (5.222) lo sviluppo <strong>di</strong> I ∗ 0 .<br />
Poniamo<br />
V L k,j,m = grad vk,j,m. (5.226)<br />
La funzione scalare v è data da (5.218). Le vk,j,m non sono normalizzate<br />
rispetto a dk, tali sono invece le stesse funzioni moltiplicate per k:<br />
pk,j,m = kvk,j,m. Sviluppiamo il potenziale scalare e la sua derivata temporale<br />
secondo le vk,j,m, ponendo<br />
φ = <br />
˙φ = <br />
∞<br />
j,m 0<br />
∞<br />
j,m<br />
0<br />
<br />
φk,j,m e −ikct + φ ′ k,j,m e ikct<br />
ikc<br />
La con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> realità impone<br />
vk,j,m dk, (5.227)<br />
<br />
φ ′ k,j,m e ikct − φk,j,m e −ikct<br />
vk,j,m dk. (5.228)<br />
φ ′ k,j,m = (−1) m φ ∗ k,j,m. (5.229)<br />
Dalla con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> gauge 55 ˙ φ = −c <strong>di</strong>v A, osservando che le onde trasversali<br />
sono prive <strong>di</strong> <strong>di</strong>vergenza e che <strong>di</strong>v grad vk,j,m = ∆ vk,j,m = −k 2 vk,j,m,<br />
ricaviamo:<br />
φk,j,m e −ikct − φ ′ k,j,me ikct = ik<br />
Poniamo inoltre<br />
ρ = <br />
j,m<br />
∞<br />
0<br />
<br />
A L k,j,m e −ikct + A ′L<br />
k,j,m e ikct<br />
. (5.230)<br />
ρk,j,m vk,j,m dk, (5.231)<br />
e ba<strong>di</strong>amo che la prima delle (5.208) può scriversi per la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong><br />
gauge:<br />
φ ≡ − 1<br />
<strong>di</strong>v A − ∆ φ = 4π ρ, (5.232)<br />
c<br />
55 Per chiarezza, qui e nel seguito la (5.209) verrà in<strong>di</strong>cata come “con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong><br />
gauge”, laddove nel testo originale essa viene definita “equazione <strong>di</strong> continuità”<br />
(per i potenziali).<br />
505
Volumetto 5<br />
da cui segue, sviluppando secondo le soluzioni scalari <strong>di</strong> (5.211):<br />
φk,j,m e −ikct + φ ′ k,j,m e ikct<br />
= ik<br />
<br />
A L k,j,m e −ikct − A ′L<br />
k,j,m e ikct<br />
+ 4π<br />
k 2 ρk,j,m. (5.233)<br />
Combinando (5.230) e (5.233), ricaviamo<br />
φk,j,m = ik A L k,j,m + 2π<br />
k 2 eikct ρk,j,m. (5.234)<br />
Vogliamo ora trovare l’espressione dell’energia totale del campo elettromagnetico<br />
quando sia noto lo sviluppo (5.223) del potenziale vettore e,<br />
attraverso (5.234), del potenziale scalare. Poniamo perciò<br />
E = <br />
χ<br />
H = <br />
χ<br />
∞<br />
j,m 0<br />
∞<br />
j,m<br />
Badando a (5.233) e alle formole<br />
troviamo facilmente:<br />
0<br />
rot V L k,j,m = 0<br />
E χ<br />
k,j,m Vχ<br />
k,j,m dk (5.235)<br />
H χ<br />
k,j,m Vχ<br />
k,j,m dk. (5.236)<br />
rot V E k,j,m = + i k V M k,j,m (5.237)<br />
rot V M k,j,m = − i k V E k,j,m<br />
E L k,j,m = − 4π<br />
ρk,j,m<br />
2<br />
E E k,j,m = i k<br />
E M k,j,m = i k<br />
H L k,j,m = 0<br />
k<br />
<br />
H E k,j,m = − i k<br />
H M k,j,m = i k<br />
A E k,j,m e −ikct − A ′E<br />
k,j,m e ikct<br />
<br />
A M k,j,m e −ikct − A ′M<br />
k,j,m e ikct<br />
;<br />
<br />
A M k,j,m e −ikct + A ′M<br />
k,j,m e ikct<br />
<br />
A E k,j,m e −ikct + A ′E<br />
k,j,m e ikct<br />
.<br />
506<br />
(5.238)<br />
(5.239)
Volumetto 5<br />
L’energia totale si può quin<strong>di</strong> scomporre in due parti:<br />
essendo l’energia elettrostatica data da:<br />
Wels = <br />
W = Wels + WR, (5.240)<br />
j,m<br />
= 1<br />
2<br />
<br />
∞<br />
mentre l’energia raggiante risulta da<br />
WR = 1<br />
2π<br />
<br />
∞<br />
k 2<br />
A <br />
E <br />
k,j,m<br />
j,m<br />
0<br />
0<br />
2π<br />
k 4 |ρk,j,m| 2 dk<br />
1<br />
|q − q ′ | ρ(q) ρ(q′ ) dq dq ′ , (5.241)<br />
2<br />
+<br />
<br />
<br />
A M k,j,m<br />
<br />
<br />
2<br />
dk. (5.242)<br />
Ripren<strong>di</strong>amo ora il nostro sistema oscillante (5.206) e calcoliamo l’energia<br />
da esso irraggiata con il metodo della variazione delle costanti. L’energia<br />
elettrostatica oscilla perio<strong>di</strong>camente con frequenza ν limiti finiti e<br />
possiamo trascurarla. Quanto all’energia raggiante, supponiamo che essa<br />
si annulli nell’istante iniziale e che quin<strong>di</strong> sia inizialmente A E k,j,m = A M k,j,m<br />
per tutti i valori <strong>di</strong> k, j, m. Dalla seconda delle (5.208) e dalle (5.223) e<br />
(5.224), segue<br />
˙A Y k,j,m e −ikct − ˙ A ′Y<br />
k,j,m e ikct<br />
= (4π ic/k)<br />
<br />
I Y k,j,m e −2πνit + I ′Y<br />
k,j,m e 2πνit<br />
,<br />
˙A Y k,j,m e −ikct + ˙ A ′Y<br />
k,j,m e ikct = 0, Y = E, M,<br />
essendo, in analogia con (5.225),<br />
k,j,m = ± (−1) m Y ∗<br />
I<br />
I ′Y<br />
Di qui ricaviamo:<br />
˙<br />
A Y k,j,m =<br />
A Y k,j,m =<br />
2π ic<br />
k<br />
2π c<br />
k<br />
<br />
<br />
(5.243)<br />
k,j,−m; + per Y = E, − per Y = M. (5.244)<br />
I Y k,j,m e i(kc−2πν)t + I ′Y<br />
k,j,m e i(kc+2πν)t<br />
I Y k,j,m<br />
e i(kc−2πν)t − 1<br />
kc − 2πν<br />
507<br />
+ I ′Y<br />
k,j,m<br />
(5.245)<br />
e i(kc+2πν)t <br />
− 1<br />
(5.246)<br />
kc + 2πν
Volumetto 5<br />
Per t → ∞ tutto l’integrale (5.242) proviene, a meno <strong>di</strong> quantità che non<br />
superano limiti costanti, da valori <strong>di</strong> k prossimi a k0 = 2πv/c. Ma per k<br />
prossimi a k0 segue da (5.246):<br />
<br />
<br />
A Y k,j,m<br />
<br />
<br />
= 4π<br />
k0<br />
sin(k − k0)ct/2<br />
k − k0<br />
<br />
<br />
I Y k0,j,m<br />
<br />
<br />
, (5.247)<br />
da cui sostituendo in (5.242) e integrando, come è lecito, al limite, da −∞<br />
a +∞, anziché da 0 a ∞:<br />
WR = 4π 2 c t <br />
I <br />
E <br />
k0,j,m<br />
2 <br />
<br />
+ I M <br />
<br />
k0,j,m<br />
2<br />
. (5.248)<br />
j,m<br />
Segue per l’energia irraggiata nell’unità <strong>di</strong> tempo:<br />
wR = WR<br />
t = 4π2 c <br />
I <br />
E <br />
k0,j,m<br />
2 <br />
<br />
+<br />
j,m<br />
I M k0,j,m<br />
<br />
<br />
2<br />
. (5.249)<br />
L’energia irraggiata si può quin<strong>di</strong> calcolare scomponendo il sistema oscillante<br />
in multipoli trasversali, elettrici e magnetici, dei vari or<strong>di</strong>ni, e supponendo<br />
che essi irra<strong>di</strong>no senza interferire. I multipoli longitu<strong>di</strong>nali non<br />
irra<strong>di</strong>ano naturalmente energia. Ad ogni multipolo corrisponde un’onda<br />
sferica con una determinata <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> intensità e polarizzazione secondo<br />
le varie <strong>di</strong>rezioni. I numeri j e m rappresentano nell’interpretazione<br />
quantistica il momento angolare totale e nella <strong>di</strong>rezione z (in unità ) del<br />
quanto emesso. La loro conoscenza non è sufficiente a determinare completamente<br />
il tipo dell’onda emessa potendosi ancora trattare <strong>di</strong> onda <strong>di</strong><br />
multipolo elettrico e magnetico, e questa doppia possibilità va intesa come<br />
un’alternativa nel tipo <strong>di</strong> accoppiamento fra momento orbitale e momento<br />
intrinseco del quanto emesso. Il momento intrinseco, come è noto, vale ±<br />
nella <strong>di</strong>rezione del movimento, mentre il valore 0 è escluso.<br />
L’intensità <strong>di</strong> un determinato multipolo è per la (5.249):<br />
w Y j,m = 4π 2 <br />
<br />
c , Y = E, M, (5.250)<br />
I Y k0,j,m<br />
2<br />
cioè calcolando il coefficiente I Y k0,j,m con la solita regola dei coefficienti dello<br />
sviluppo secondo un sistema <strong>di</strong> funzioni ortogonali:<br />
w Y j,m = 4π 2 <br />
<br />
c <br />
<br />
Y †<br />
Vk0,j,m · I0<br />
<br />
2<br />
dq<br />
. (5.251)<br />
508
Volumetto 5<br />
Presenta un grande interesse pratico il caso che il sistema irra<strong>di</strong>ante sia <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>mensioni atomiche e assai piccolo rispetto alla lunghezza d’onda irra<strong>di</strong>ata<br />
(2π/k0). Si può allora calcolare in prima approssimazione la w Y j,m sostituendo<br />
sotto l’integrale le funzioni <strong>di</strong> Bessel che figurano nelle espressioni<br />
della w Y j,m) con il primo termine del loro sviluppo in serie, purché si intenda<br />
beninteso che il sistema irra<strong>di</strong>ante sia posto in prossimità dell’origine. Nel<br />
caso dei multipli elettrici figurano sotto l’integrale delle funzioni <strong>di</strong> Bessel <strong>di</strong><br />
or<strong>di</strong>ne j+3/2 accanto ad altre <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne j−1/2; si possono allora trascurare<br />
le prime e conservare il primo termine dello sviluppo delle seconde. Ci<br />
interessano solo funzioni <strong>di</strong> Bessel <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n + 1/2 con n intero. Per<br />
queste si ha in prima approssimazione:<br />
In+1/2 =<br />
=<br />
<br />
2 2<br />
π<br />
n ·n!<br />
(2n + 1)! xn+1/2 + . . .<br />
<br />
2<br />
1 ·<br />
π<br />
1<br />
<br />
1 1<br />
· · · · x<br />
3 5 2n + 1<br />
n+1/2 + . . . . (5.252)<br />
Ricaviamo così le formole <strong>di</strong> prima approssimazione:<br />
w E j,m = 1 · 1<br />
w M j,m = 1 · 1<br />
1 1<br />
· · · ·<br />
32 52 (2j − 1) 2<br />
j + 1<br />
· 8π c<br />
2j + 1<br />
2j 2πν <br />
×<br />
r<br />
c<br />
j−1 ϕ m†<br />
j,j−1 · I0<br />
<br />
2<br />
dq<br />
, (5.253)<br />
1 1<br />
· · · · · 8π c<br />
32 52 (2j + 1) 2<br />
2j+2 2πν <br />
×<br />
r<br />
c<br />
j ϕ m†<br />
<br />
2<br />
j,j · I0 dq<br />
. (5.254)<br />
La (5.253) può porsi in una forma <strong>di</strong>versa, che è in generale più comoda per<br />
il calcolo e in cui figura solo la densità <strong>di</strong> carica ρ0 in luogo della densità <strong>di</strong><br />
corrente. Passando infatti alle coor<strong>di</strong>nate cartesiane la funzione integranda<br />
in (5.253) può scriversi:<br />
r j−1 ϕ m†<br />
j,j−1 · I0 = r j−1 ϕ m∗<br />
j,j−1 · I0<br />
ed osservando che per una formola generale [v. (4.436)] si ha:<br />
(5.255)<br />
grad r j ϕ m j = j(2j + 1) r j−1 ϕ m j,j−1, (5.256)<br />
509
e tenendo conto della (5.207)<br />
<br />
<br />
r j−1 ϕ m†<br />
j,j−1 · I0 dq =<br />
=<br />
= −<br />
= −<br />
Volumetto 5<br />
r j−1 ϕ m∗<br />
j,j−1 · I0 dq<br />
1<br />
j(2j + 1)<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
j(2j + 1)<br />
<br />
1 2π ν i<br />
<br />
j(2j + 1) c<br />
Sostituendo con questa in (5.253), abbiamo infine:<br />
w E j,m = 1 · 1<br />
1 1<br />
· · · ·<br />
32 52 (2j + 1) 2<br />
2j+2 2πν <br />
×<br />
c<br />
grad r j ϕ m∗<br />
j · I0 dq<br />
r j ϕ m∗<br />
j <strong>di</strong>v I0 dq<br />
r j ϕ m∗<br />
j<br />
j + 1<br />
j<br />
r j ϕ m∗<br />
j ρ0 dq. (5.257)<br />
· 8π c<br />
<br />
2<br />
ρ0 dq<br />
. (5.258)<br />
Vogliamo ora stu<strong>di</strong>are l’irraggiamento del nostro sistema oscillante con<br />
il metodo delle onde stazionarie, o meglio delle soluzioni perio<strong>di</strong>che. Ricerchiamo<br />
perciò una soluzione della (5.208) che in analogia a (5.206), abbia<br />
la forma<br />
φ = φ0 e −2πνit + φ ∗ 0 e 2πνit ,<br />
A = A0 e −2πνit + A ∗ 0 e 2πνit ,<br />
(5.259)<br />
con la con<strong>di</strong>zione aggiunta che il potenziale scalare e vettore rappresentino<br />
all’infinito un’onda <strong>di</strong>vergente. Poniamo:<br />
A0 = <br />
χ<br />
j,m<br />
A χ<br />
j,m (r) Uχ<br />
k0,j,m , (5.260)<br />
φ0 = <br />
φj,m(r) uk0,j,m, χ = L, E, M. (5.261)<br />
j,m<br />
Le U χ<br />
k0,j,m e uk0,j,m si ottengono dalle V χ<br />
k0,j,m [formole (5.219), (5.220), e<br />
(5.221)] e dalle vk0,j,m [formola (5.226)] sostituendo dovunque alle funzioni<br />
<strong>di</strong> Bessel le funzioni <strong>di</strong> Hankel <strong>di</strong> prima specie. La con<strong>di</strong>zione che all’infinito<br />
esista solo un’onda <strong>di</strong>vergente importa allora che esistano i limiti:<br />
A χ<br />
j,m (∞) = Bχ j,m<br />
(5.262)<br />
φj,m(∞) = Φj,m. (5.263)<br />
510
Volumetto 5<br />
Dall’equazione <strong>di</strong> continuità (5.209), ricaviamo in analogia a (5.207):<br />
φ0 =<br />
c<br />
2π ν i <strong>di</strong>v A0. (5.264)<br />
5.12 Autofunzioni dell’idrogeno<br />
Nelle unità elettroniche si ha:<br />
e posto ψ = (y/r) ϕ m ℓ :<br />
A) Spettro <strong>di</strong>screto:<br />
essendo<br />
y ′′ +<br />
E = − 1<br />
2<br />
∆ ψ +<br />
N y = A r ℓ+1<br />
<br />
A = −<br />
<br />
2E + 2<br />
r<br />
<br />
2E + 2<br />
<br />
ψ = 0, (5.265)<br />
r<br />
ℓ(ℓ + 1)<br />
−<br />
r2 <br />
y = 0. (5.266)<br />
1<br />
, n = ℓ + 1, ℓ + 2, . . . , (5.267)<br />
n2 C<br />
<br />
t + 1<br />
n<br />
ℓ−n <br />
t − 1<br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
2ℓ+1 n + ℓ<br />
2πi<br />
2<br />
2ℓ + 1<br />
Ed eseguendo l’integrazione con il metodo dei residui<br />
N y =<br />
n−ℓ−1 <br />
p=0<br />
(−1) p (n − ℓ − 1)(n − ℓ − 2)· · ·(n − ℓ − p)<br />
(2ℓ + 2)(2ℓ + 3)· · ·(2ℓ + 1 + p)<br />
× rℓ+1+p<br />
p!<br />
ℓ+n<br />
e tr dt, (5.268)<br />
<br />
. (5.269)<br />
p 2<br />
n<br />
e −r/n . (5.270)<br />
La costante <strong>di</strong> normalizzazione è data da:<br />
N 2 =<br />
<br />
(2ℓ + 1)!<br />
2ℓ+1 2ℓ+4<br />
(n − ℓ − 1)! n<br />
.<br />
(n + ℓ)!<br />
(5.271)<br />
511
1<br />
n<br />
C<br />
Per ℓ = 0, si ha ad esempio:<br />
Per ℓ = 1:<br />
Per ℓ = 2:<br />
Esempi <strong>di</strong> autofunzioni<br />
N 2 = 225<br />
1s : N y = r e −r<br />
2s : N y =<br />
3s : N y =<br />
2p : N y = r 2 e −r/2<br />
Volumetto 5<br />
O<br />
N 2 = 1<br />
4 n3 . (5.272)<br />
N 2 = 9 n<br />
4<br />
5<br />
n2 . (5.273)<br />
− 1<br />
1<br />
n<br />
n 7<br />
(n2 − 1)(n2 . (5.274)<br />
− 4)<br />
<br />
r − 1<br />
2 r2<br />
<br />
e −r/2<br />
<br />
r − 2<br />
3 r2 + 2<br />
27 r3<br />
<br />
e −r/3<br />
512<br />
<br />
N = 1<br />
<br />
2<br />
<br />
N = √ <br />
2<br />
<br />
N =<br />
√ <br />
27<br />
2<br />
<br />
N = √ <br />
24
3p : N y =<br />
3d : N y = r 3 e −r/3<br />
Espressione asintotica <strong>di</strong> r → ∞:<br />
y ∼ (−1) n−ℓ−1<br />
Volumetto 5<br />
<br />
r 2 − 1<br />
6 r3<br />
<br />
e −r/3<br />
<br />
N =<br />
<br />
2187<br />
32<br />
<br />
15<br />
N = 81 .<br />
8<br />
2 n<br />
n n+1 (n + ℓ)!(n − ℓ − 1)! rn e −r/n . (5.275)<br />
513
In<strong>di</strong>ce analitico<br />
ammoniaca, frequenze <strong>di</strong> oscillazione,<br />
422<br />
asse <strong>di</strong> rotazione della Terra, 143<br />
atomo<br />
con due elettroni, 296<br />
con molti elettroni, 210<br />
in un campo elettromagnetico,<br />
146<br />
polarizzabilità, 129<br />
potenziale locale, 115, 118,<br />
128<br />
suscettibilità elettrica, 351<br />
termini fondamentali, 122<br />
atomo <strong>di</strong> idrogeno<br />
autofunzioni, 411<br />
forze <strong>di</strong> polarizzazione, 387<br />
in un campo elettrico, 354<br />
ionizzazione spontanea, 177<br />
autofunzioni atomiche, 499<br />
autofunzioni dell’idrogeno, 511<br />
autoinduzione<br />
variazione del coefficiente dovuto<br />
all’effetto pellicolare, 46<br />
in una bobina con lunghezza<br />
finita, 43<br />
Balmer, formula <strong>di</strong>, 140<br />
Balmer, termine <strong>di</strong>, 325<br />
Bernoulli<br />
numeri <strong>di</strong>, 267<br />
polinomi <strong>di</strong>, 267<br />
bobina<br />
autoinduzione, 35, 38, 43<br />
515<br />
lunghezza finita, 43<br />
Bohr<br />
magnetone, 276<br />
raggio, 276<br />
Boltzmann<br />
costante, 275<br />
legge, 158<br />
calore specifico, 54, 61<br />
campo centrale, regole <strong>di</strong> selezione,<br />
333<br />
campo elettromagnetico<br />
energia, 506<br />
energia raggiante, 507<br />
Hamiltoniana, 135<br />
spin, 508<br />
campo magnetico<br />
influenza sul punto <strong>di</strong> fusione,<br />
52<br />
carica elettrica, 169<br />
Clairaut<br />
equazione <strong>di</strong>, 240<br />
problema <strong>di</strong>, 235<br />
coefficienti binomiali, 164, 215, 217<br />
commutatore, 294<br />
commutatori, 269<br />
condensatori, 33<br />
conduttore elettrico, 11, 16<br />
autoinduzione, 46<br />
coor<strong>di</strong>nate paraboliche, 354<br />
corpo nero, 132<br />
costante <strong>di</strong> Boltzmann, 275<br />
costante <strong>di</strong> Eulero, 366
costante <strong>di</strong> Faraday, 275<br />
costante gravitazionale <strong>di</strong> Newton,<br />
140<br />
Coulomb, legge <strong>di</strong>, 170<br />
curva del cane, 276<br />
De Broglie, onde <strong>di</strong>, 168<br />
densità <strong>di</strong> carica, 501<br />
densità <strong>di</strong> corrente, 501<br />
<strong>di</strong>ffusione<br />
da un potenziale, 414<br />
particelle α su un nucleo, 194<br />
<strong>di</strong>sintegrazione <strong>di</strong> risonanza dei<br />
nuclei leggeri, 457<br />
<strong>di</strong>stanze me<strong>di</strong>e<br />
tra elementi <strong>di</strong> linea, 40, 41<br />
tra elementi <strong>di</strong> superficie, 40,<br />
41<br />
tra elementi <strong>di</strong> volume, 40,<br />
41<br />
effetto pellicolare, 7<br />
debole, 31<br />
limite, 20, 25, 28<br />
effetto Stark, 353, 358<br />
effetto Zeeman<br />
anomalo, 339<br />
normale, 343<br />
elettrone<br />
carica, 275<br />
<strong>di</strong>ffusione sulla ra<strong>di</strong>azione, 164<br />
Hamiltoniana relativistica, 106,<br />
135<br />
massa, 86, 275<br />
spin, 318<br />
energia <strong>di</strong> Rydberg, 276<br />
energia elettrica della ra<strong>di</strong>azione,<br />
134<br />
energia elettrostatica, 507<br />
In<strong>di</strong>ce analitico<br />
516<br />
energia libera <strong>di</strong> un gas biatomico,<br />
477<br />
energia magnetica della ra<strong>di</strong>azione,<br />
134<br />
entropia <strong>di</strong> un sistema in equilibrio,<br />
470<br />
equazione <strong>di</strong> Bessel, 496<br />
equazione <strong>di</strong> continuità, 501<br />
equazione <strong>di</strong> Dirac, 318, 466, 482<br />
campo centrale, 499<br />
soluzione per l’onda piana,<br />
398<br />
equazione <strong>di</strong> Laplace, 65, 385, 390,<br />
411<br />
equazione <strong>di</strong> Poisson, 128, 237<br />
equazione <strong>di</strong> Schrö<strong>di</strong>nger, 85, 320,<br />
467<br />
equazioni della statica per un fluido<br />
perfetto carico, 120<br />
equazioni <strong>di</strong>fferenziali, 171, 208,<br />
229, 363, 385, 389, 416,<br />
494<br />
insieme completo, 345<br />
Faraday, costante <strong>di</strong>, 275<br />
fattoriale, 50<br />
formula <strong>di</strong> Rutherford<br />
Meccanica Classica, 377, 413<br />
metodo <strong>di</strong> Born, 381<br />
forza centrifuga, 140<br />
fotone, spin, 508<br />
frequenza <strong>di</strong> Larmor, 276<br />
frequenza <strong>di</strong> Rydberg, 275<br />
fronte d’onda, 169<br />
funzione <strong>degli</strong> errori, sviluppo in<br />
serie, 164<br />
funzioni armoniche, 93
funzioni <strong>di</strong> Bessel, 375, 391, 430,<br />
504<br />
<strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne mezzo, 469<br />
<strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne mezzo (zeri), 470<br />
rappresentazione integrale, 389<br />
funzioni <strong>di</strong> Green, 363<br />
funzioni <strong>di</strong> Hankel, 390, 430<br />
<strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne mezzo, 469<br />
funzioni <strong>di</strong> Neumann, 391<br />
<strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne mezzo, 469<br />
funzioni <strong>di</strong> spin, 407<br />
funzioni ortogonali, 416<br />
funzioni sferiche, 360, 374<br />
con spin, 425, 459, 484<br />
gas <strong>di</strong> elettroni, 279<br />
gas perfetto, 471<br />
biatomico, 473<br />
costante R, 475<br />
monoatomico, 472<br />
gauge<br />
con<strong>di</strong>zione, 501<br />
Lorentz, 176, 501<br />
trasformazioni, 175<br />
gruppi<br />
O(3), 300, 330<br />
SU(2), 330, 464<br />
continui, 293<br />
Lorentz, 306, 309, 461, 489<br />
permutazioni, 369, 392<br />
rotazioni, 300, 392, 464<br />
trasformazioni infinitesime, 293<br />
Hamiltoniana<br />
per il campo elettromagnetico,<br />
135<br />
per l’elettrone, 106, 135<br />
Huygens, principio <strong>di</strong>, 232<br />
In<strong>di</strong>ce analitico<br />
517<br />
integrali circolari, 421<br />
integrali definiti, 76, 161, 262<br />
laplaciano<br />
in coor<strong>di</strong>nate paraboliche, 354<br />
in coor<strong>di</strong>nate polari, 93<br />
in coor<strong>di</strong>nate sferiche, 91<br />
linee <strong>di</strong> forza, 66<br />
logaritmo integrale, sviluppo in<br />
serie, 366<br />
Lorentz<br />
gauge, 176, 501<br />
gruppo, 306, 309<br />
trasformazione reale, 478<br />
magnetone <strong>di</strong> Bohr, 276<br />
matrici <strong>di</strong> Dirac e gruppo <strong>di</strong> Lorentz,<br />
309<br />
metodo <strong>degli</strong> stati stazionari, 501<br />
metodo dei residui, 511<br />
metodo del Π, 19<br />
metodo del T, 19<br />
metodo della variazione delle<br />
costanti, 501, 507<br />
metodo delle onde stazionarie, 510<br />
metodo delle soluzioni perio<strong>di</strong>che,<br />
510<br />
metodo <strong>di</strong> Born, 381<br />
limite relativistico, 438<br />
metodo <strong>di</strong> Ritz, 387<br />
molecola<br />
biatomica, 124<br />
potenziale, 279<br />
momenti <strong>di</strong> una funzione, 251<br />
momento angolare, 484<br />
momento <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo elettrico, per<br />
un atomo nel suo stato<br />
fondamentale, 351<br />
momento <strong>di</strong> inerzia, 140, 242
momento <strong>di</strong> inerzia della Terra,<br />
140, 144, 243<br />
momento elettronico, 473<br />
moto kepleriano<br />
cinematica, 151<br />
periodo <strong>di</strong> rivoluzione, 152<br />
perturbato, 151<br />
perturbato (approssimazione<br />
a<strong>di</strong>abatica), 155<br />
multipoli<br />
longitu<strong>di</strong>nali, 508<br />
trasversali, 508<br />
neutrone, 467<br />
Newton, legge <strong>di</strong>, 235<br />
numero quantico<br />
azimutale, 271, 467<br />
equatoriale, 271<br />
onda piana, 169<br />
sviluppo in funzioni sferiche,<br />
374<br />
teoria <strong>di</strong> Dirac, 398<br />
onde<br />
longitu<strong>di</strong>nali, 503<br />
trasversali, 503<br />
operatore <strong>di</strong> D’Alembert, 494<br />
operatori impropri, 408<br />
oscillatore armonico, 444<br />
quantizzazione, 95<br />
oscillatori elettromagnetici, 135<br />
osservabili e matrici, 146<br />
pacchetto d’onde, 168<br />
parentesi <strong>di</strong> Poisson, 269, 346<br />
permutazioni, 369<br />
circolari, 461<br />
pesi (statistici), 473<br />
peso atomico, 475<br />
In<strong>di</strong>ce analitico<br />
518<br />
peso molecolare, 476<br />
pile termoelettriche, 10<br />
Planck, relazione <strong>di</strong>, 133, 341<br />
polarizzabilità atomica, 129<br />
polinomi <strong>di</strong> Legendre, 90, 361, 375,<br />
477, 484<br />
regole <strong>di</strong> moltiplicazione, 362<br />
potenziale<br />
elettrico, 1<br />
gravitazionale, 140<br />
in un atomo, 115, 118, 128<br />
in una molecola, 279<br />
newtoniano, 235<br />
ritardato, 4, 207, 495<br />
vettore, 134, 136<br />
principio d’indeterminazione, 193<br />
probabilità, 48<br />
curve <strong>di</strong>, 260<br />
prodotti infiniti, 266<br />
propagazione del calore, 58, 78<br />
protone, 467<br />
quaternioni, 284, 301<br />
ra<strong>di</strong>azione<br />
energia elettrica, 134<br />
energia magnetica, 134<br />
multipolo (teoria classica), 501<br />
rappresentazioni unitarie del<br />
gruppo <strong>di</strong> Lorentz, 489<br />
regole <strong>di</strong> selezione, 333<br />
Rydberg<br />
energia, 276<br />
frequenza, 275<br />
numero d’onda, 275<br />
schiacciamento della Terra, 141<br />
Schwarz, formula <strong>di</strong>, 211<br />
Schwarz, teorema <strong>di</strong>, 82
skineffect limite, 20, 25<br />
spin, 318<br />
fotone, 508<br />
nucleare, 473<br />
spinori, trasformazioni <strong>di</strong>, 478<br />
stati quasi-stazionari, 445<br />
statistica <strong>di</strong> Bose–Einstein, 471<br />
statistica <strong>di</strong> Fermi–Dirac, 471<br />
Stirling, formula <strong>di</strong>, 161<br />
struttura fina, 325, 500<br />
superfici equipotenziali, 237, 279<br />
suscettibilità elettrica, per un<br />
atomo nel suo stato fondamentale,<br />
351<br />
sviluppi in serie, 42, 163, 227<br />
sviluppo in integrali <strong>di</strong> Fourier,<br />
130, 419<br />
tasso <strong>di</strong> mortalità per un atomo<br />
in un campo elettromagnetico,<br />
146<br />
teorema del rotore, 15<br />
teorema della <strong>di</strong>vergenza, 15, 234<br />
teorema <strong>di</strong> Schwarz, 82<br />
teoremi <strong>di</strong> Green, 15<br />
teoria dell’irraggiamento, 133, 144,<br />
149, 158, 164<br />
coefficienti <strong>di</strong> Einstein, 158<br />
termo<strong>di</strong>namica, teoria statistica,<br />
470<br />
Terra<br />
asse <strong>di</strong> rotazione, 143<br />
momento <strong>di</strong> inerzia, 140, 144,<br />
243<br />
schiacciamento della, 141<br />
velocità angolare, 142<br />
Thomas-Fermi, funzione <strong>di</strong>, 111<br />
In<strong>di</strong>ce analitico<br />
519<br />
applicazione ad atomi pesanti,<br />
118<br />
seconda approssimazione per<br />
il potenziale in un atomo,<br />
128<br />
trasformazione <strong>di</strong> Laplace, 385,<br />
418<br />
trasformazioni<br />
conformi, 81<br />
infinitesime, 464<br />
Lorentz, 461, 478<br />
ortogonali, 306<br />
spinori, 478<br />
unitarie in due variabili, 282<br />
urto fra protoni e neutroni, 467<br />
variabili casuali, 212<br />
velocità angolare della Terra, 142<br />
velocità <strong>di</strong> fase, 168<br />
velocità <strong>di</strong> gruppo, 169<br />
velocità della luce, 275<br />
Wallis, formula <strong>di</strong>, 267