Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Ettore Majorana:
Appunti di Fisica Teorica
a cura di S. Esposito e E. Recami

(Riproduzione vietata)

Indice
Prefazione vii
Volumetto 1: 8 marzo 1927 1
1.1 Potenziale elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Potenziale ritardato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Energia mutua di due distribuzioni di masse elettriche o
magnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Effetto pellicolare in condutture elettriche cilindriche
omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Teoria termodinamica delle pile termoelettriche . . . . . . 10
1.6 Energia di un conduttore isolato . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Attrazione di masse lontane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 Formulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9 Linee elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.10 Densità di una distribuzione sferica . . . . . . . . . . . . . 19
1.11 Skineffect elettrico limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.12 Skineffect elettrico limite per sezioni particolari. Indicazioni
per sezioni qualunque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.12.1 Sezioni ellittiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.12.2 Influenza delle irregolarità del contorno . . . . . . . 26
1.13 Perdite per isteresi nei conduttori magnetici in regime di
effetto pellicolare limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.14 Campo prodotto nel suo piano da una distribuzione lineare
omogenea circolare di masse newtoniane . . . . . . . . . . . 30
1.15 Campo prodotto nel suo piano da una corrente circolare . . 31
1.16 Effetto pellicolare debole in conduttori a sezione ellittica
aventi la stessa permeabilità del mezzo . . . . . . . . . . . 31
1.17 Scariche oscillanti nei condensatori . . . . . . . . . . . . . . 33
1.18 Autoinduzione di una bobina di grande lunghezza ad asse
rettilineo e sezione circolare e a parecchi strati . . . . . . . 35
i

1.19 Energia di una distribuzione circolare uniforme di masse
elettriche o magnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.20 Autoinduzione di una bobina ad asse rettilineo e di limitata
lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.21 Distanze medie di elementi di volume o superficiali o lineari 40
1.22 Somma di alcune serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.23 Autoinduzione di una bobina rettilinea di lunghezza limitata
a sezione circolare e avvolgimento di piccolo spessore . 43
1.24 Variazione del coefficiente di autoinduzione in seguito all’effetto
pellicolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.25 Errore medio nella determinazione della probabilità di un
evento mediante un numero finito di prove . . . . . . . . . 48
1.26 Squilibrio di un sistema trifase puro . . . . . . . . . . . . . 49
1.27 Tavola per il calcolo della funzione x! . . . . . . . . . . . . 50
1.28 Influenza di un campo magnetico sul punto di fusione . . . 52
1.29 Calore specifico di un oscillatore . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.30 Se i figli dei medesimi genitori tendano ad appartenere allo
stesso sesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.31 Propagazione del calore posto in una sezione di una sbarra
indefinita, di cui un’altra sezione è tenuta a zero.
Similitudine dei grilli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.32 Combinazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.33 Energia e calore specifico del rotatore . . . . . . . . . . . . 61
1.34 Attrazione dell’ellissoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.35 Casi particolari: ellissoide con un asse molto allungato;
ellissoide rotondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.36 Equilibrio di un liquido rotante . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.37 Alcuni integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.38 Propagazione del calore in un mezzo isotropo e omogeneo . 78
1.38.1 Propagazione in una dimensione . . . . . . . . . . . 78
1.39 Trasformazioni conformi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.40 Meccanica ondulatoria del punto materiale in un campo
conservativo. Variazione degli autovalori . . . . . . . . . . 85
1.41 Massa elettromagnetica dell’elettrone . . . . . . . . . . . . 86
1.42 Polinomi di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.43 ∆ in coordinate sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
ii

Volumetto 2: 23 aprile 1928 93
2.1 ∆ in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.2 Sviluppo di una funzione armonica nel piano . . . . . . . . 93
2.3 Quantizzazione dell’oscillatore lineare armonico . . . . . . . 95
2.4 Riduzione a diagonale di una matrice . . . . . . . . . . . . 99
2.6 Quantizzazione ondulatoria di un punto attratto con forza
costante verso una parete perfettamente elastica . . . . . . 102
2.7 Hamiltoniana relativista per il movimento di un elettrone . 106
2.8 Funzione di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.9 Il potenziale infratomico senza statistica . . . . . . . . . . . 115
2.10 Applicazione del potenziale di Fermi . . . . . . . . . . . . . 118
2.11 Curva statistica dei termini fondamentali negli atomi neutri 122
2.12 Quinte potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.13 Molecola biatomica a nuclei uguali . . . . . . . . . . . . . . 124
2.14 Seste potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.15 Settime potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.16 Potenziale nell’atomo in seconda approssimazione . . . . . 128
2.17 Polarizzabilità dell’atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.18 Sviluppi e integrali di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.19 Corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.20 Teoria dell’irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.21 Momento di inerzia della Terra . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2.22 Teoria dell’irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.23 Sulle matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2.24 Teoria dell’irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2.25 Moto kepleriano piano perturbato . . . . . . . . . . . . . . 151
2.26 Teoria dell’irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2.27 Integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.28 Sviluppi in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
2.29 Teoria dell’irraggiamento: diffusione dell’elettrone libero . . 164
2.30 Onde di De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
2.31 e 2 hc ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2.32 L’equazione y ′′ + P y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
2.33 Indeterminazione del potenziale vettore e scalare . . . . . . 175
2.34 Sulla ionizzazione spontanea di un atomo di idrogeno posto
in una regione a potenziale elevato . . . . . . . . . . . . . . 177
2.35 Urto di una particella α contro un nucleo radioattivo . . . 194
2.36 Potenziale ritardato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
iii

2.37 L’equazione y ′′ = xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
2.38 Degenerazione di risonanza con più elettroni . . . . . . . . 210
2.39 Formole varie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
2.39.1 Formole di Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
2.39.2 Valor massimo di variabili casuali . . . . . . . . . . 212
2.39.3 Coefficienti binomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
2.39.4 Coefficienti dello sviluppo di 1/(1 − x) n . . . . . . 217
2.39.5 Relazione tra i coefficienti binomiali . . . . . . . . . 217
2.39.6 Valori medi di r n tra superfici sferiche concentriche 218
Volumetto 3: 28 giugno 1929 227
3.1 Somma di alcune serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
3.2 L’equazione H = r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
3.3 Equilibrio di una massa liquida eterogenea in rotazione
(Problema di Clairaut) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
3.4 Determinazione di una funzione quando sono noti i momenti 251
3.5
3.6
Curve di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
π/2
sin kx
L’integrale definito
dx . . . . . . . . . . . . . .
sin x
260
262
3.7 Prodotti infiniti
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
3.8 Polinomi e numeri di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 267
3.9 Parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
3.10 Grandezze fisiche elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
3.11 Curva del cane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
3.12 Potenziale statistico nelle molecole . . . . . . . . . . . . . . 279
3.13 Gruppo delle trasformazioni unitarie in due variabili . . . . 282
3.14 Relazioni di scambio fra trasformazioni infinitesime nelle
rappresentazioni di gruppi continui . . . . . . . . . . . . . . 293
3.15 Formole empiriche per l’energia di atomi con due elettroni 296
3.16 Gruppo delle rotazioni O(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
3.17 Gruppo di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
3.18 Matrici di Dirac e gruppo di Lorentz . . . . . . . . . . . . . 309
3.19 Elettrone rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
3.20 Caratteri della Dj e riduzione di Dj×D ′ j . . . . . . . . . . 330
3.21 Regole di selezione e di intensità in campo centrale . . . . . 333
3.22 Effetto Zeeman anomalo (secondo la teoria di Dirac) . . . . 339
3.23 Sistemi completi di equazioni differenziali del primo ordine 345
iv

Volumetto 4: 24 aprile 1930 351
4.1 Relazione fra suscettibilità e momento elettrico variabile
nello stato fondamentale di un atomo . . . . . . . . . . . . 351
4.2 Probabilità di ionizzazione di un atomo di idrogeno in campo
elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
4.3 Sviluppo di un polinomio in −1 ≤ x ≤ 1 secondo i polinomi
di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
4.4 Regole di moltiplicazione dei polinomi di Legendre . . . . . 362
4.5 Funzione di Green per l’equazione differenziale
y ′′ + (2/x − 1) y + φ(x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
4.6 Su uno sviluppo in serie del logaritmo integrale . . . . . . . 366
4.7 Caratteri primitivi del gruppo delle permutazioni di f oggetti369
4.8 Sviluppo dell’onda piana secondo le funzioni sferiche . . . . 374
4.9 Formola di Rutherford dedotta con la meccanica classica . 377
4.10 La formola di Rutherford come prima approssimazione del
metodo di Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
4.11 L’equazione di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
4.12 Forze di polarizzazione fra atomi di idrogeno . . . . . . . . 387
4.13 Rappresentazione integrale delle funzioni di Bessel . . . . . 389
4.14 Simmetria cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
4.15 Formole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
4.16 Onde piane secondo la teoria di Dirac . . . . . . . . . . . . 398
4.17 Operatori impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
4.18 Rappresentazione integrale delle autofunzioni dell’idrogeno 411
4.19 Deviazione di un raggio α dovuta a un nucleo pesante
(meccanica classica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
4.20 Diffusione dovuta a un centro a/r − b/r 2
. . . . . . . . . . 414
4.21 Il sistema di funzioni ortogonali definito da y ′′
a = (x − a)ya 416
4.22 Sviluppi in integrali di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 419
4.23 Integrali circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
4.24 Frequenze d’oscillazione dell’ammoniaca . . . . . . . . . . . 422
4.25 Funzioni sferiche con spin (s = 1) . . . . . . . . . . . . . . 425
4.26 Diffusione di elettroni veloci (metodo di Born relativistico) 438
4.27 Grandezze atomiche di uso frequente . . . . . . . . . . . . 444
4.28 Stati quasi-stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
4.29 Funzioni sferiche con spin (II) . . . . . . . . . . . . . . . . 459
v

Volumetto 5 461
5.1 Rappresentazioni del gruppo di Lorentz . . . . . . . . . . . 461
5.2 Urto fra protoni e neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
5.3 Zeri delle funzioni di Bessel d’ordine mezzo . . . . . . . . . 470
5.4 Statistica e termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
5.4.1 Entropia di un sistema in equilibrio termico . . . . 470
5.4.2 Gas perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
5.4.3 Gas monoatomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
5.4.4 Gas biatomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
5.4.5 Formole numeriche per l’entropia dei gas . . . . . . 475
5.4.6 Energia libera dei gas biatomici . . . . . . . . . . . 477
5.5 Polinomi di uso frequente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
5.5.1 Polinomi di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
5.6 Trasformazioni di spinori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
5.7 Funzioni sferiche con spin s = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . 484
5.8 Rappresentazioni unitarie in infinite dimensioni del gruppo
di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
5.9 L’equazione ( + λ)A = p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
5.10 Formole varie relative ad autofunzioni atomiche . . . . . . 499
5.11 Teoria classica della radiazione di multipolo . . . . . . . . . 501
5.12 Autofunzioni dell’idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
Indice analitico 515
vi

Prefazione
Introduzione storico-biografica
La fama di Ettore Majorana può solidamente appoggiarsi a molte testimonianze
come la seguente, dovuta alla memore penna di Giuseppe Cocconi.
Invitato da Edoardo Amaldi, dal CERN gli scrive (18 luglio 1965):

Prefazione
i geni, come Galileo e Newton. Ebbene, Ettore era uno di quelli.
Majorana aveva quel che nessun altro mondo ha...”>>.
Enrico Fermi [uno dei maggiori fisici della nostra epoca; per quello
che ha fatto nel 1942 a Chicago, con la costruzione della prima “pila atomica”,
il suo nome diverrà forse leggendario come quello di Prometeo...]
si espresse in maniera per lui insolita anche in un’altra occasione, il 27
luglio 1938 (dopo la scomparsa di Majorana, avvenuta il sabato 26 marzo
1938), scrivendo da Roma al primo ministro Mussolini onde chiedere una
intensificazione delle ricerche di Ettore:
>.
E un testimone diretto, Bruno Pontecorvo, aggiunge:
Ettore Majorana scomparve piuttosto misteriosamente il 26 marzo
1938, e non fu mai più ritrovato. Il mito della sua “scomparsa” ha contribuito
a null’altro che alla notorietà che gli spettava, per essere egli un
genio e un genio molto avanzato rispetto ai suoi tempi.
Il presente volume, in traduzione, ha prima visto la luce in lingua
inglese per i tipi della Kluwer Academic Press, e sotto lo stimolo, in particolare,
del direttore della rivista “Foundations of Physics” (A. van der
Merwe). Ora esce nella versione originale, scritta da Ettore Majorana in
lingua italiana.
In questo libro appare finalmente una prima parte degli appunti
lasciati inediti dal Nostro: e, precisamente, i quaderni (noti come i Volumetti),
che comprendono i suoi appunti di studio redatti in Roma tra il
1927, anno in cui abbandonò gli studi di Ingegneria per passare a quelli di
Fisica, e il 1931-2. Si potrà verificare come tali manoscritti siano un modello
non solo di ordine, divisi come erano (e sono) in argomenti e persino
viii

Prefazione
muniti di indici, ma anche di originalità, scelta dell’essenziale, e sinteticità;
tanto che essi potrebbero venire riguardati, da un lato, come un eccellente
complemento —dopo oltre settanta anni— di un testo moderno di Fisica
teorica, e, dall’altro, come una miniera di nuovi spunti e idee teoriche, in
fisica e matematica, stimolanti e utili anche per la ricerca scientifica contemporanea.
Un futuro secondo volume pubblicherà almeno una frazione
di altri manoscritti inediti, ancora più tecnici, ma ancora più ricchi di
spunti scientifici originali: i cosiddetti Quaderni, contenenti le note scritte
da Majorana durante le sue ricerche scientifiche.
Ricordiamo che Majorana, passato a Fisica alla fine del ’27, si laureò
con Fermi il 6 luglio 1929, e continuò a collaborare col famoso gruppo di
Enrico Fermi e Franco Rasetti (nato per volontà e attiva opera di Orso
Mario Corbino): i cui fisici teorici —in ordine di ingresso nel gruppo—
furono Ettore Majorana, Gian Carlo Wick, Giulio Racah, Giovanni Gentile
jr., Ugo Fano, Bruno Ferretti, e Piero Caldirola. Membri del sottogruppo
sperimentale furono Emilio Segré, Edoardo Amaldi, Bruno Pontecorvo,
Eugenio Fubini, Mario Ageno, Giuseppe Cocconi, oltre all’ottimo chimico
Oscar D’Agostino. Successivamente, Majorana conseguí la Libera Docenza
in Fisica teorica il 12 novembre 1932; trascorse circa sei mesi a Lipsia con
Werner Heisenberg durante il 1933; e quindi, per ragioni ignote, interruppe
la sua frequentazione del gruppo dei “ragazzi di via Panisperna”. Smise
perfino di pubblicare i risultati delle proprie ricerche (che già in precedenza
aveva drasticamente selezionato basandosi sul suo eccezionale spirito critico
e amore per il rigore e le vere innovazioni); a parte l’articolo “Teoria simmetrica
dell’elettrone e del positrone,” già pronto fin dal 1933, e che, stimolato
dai suoi colleghi, Majorana tirò fuori da un cassetto e pubblicò in occasione
del Concorso nazionale del 1937 a tre posti di professore ordinario di Fisica
teorica.
In relazione a quest’ultimo punto, ricordiamo che nel 1937 i concorrenti
furono numerosi, e molti di essi di elevato valore; soprattutto quattro:
Ettore Majorana, Giulio Racah (ebreo, che successivamente passerà da
Firenze in Israele fondandovi la Fisica teorica), GianCarlo Wick (di madre
torinese e nota antifascista), e Giovanni Gentile jr. (figlio dell’omonimo
filosofo, già ministro —come si direbbe ora— della Pubblica Istruzione,
e ideatore delle “parastatistiche” in meccanica quantica). La commissione
giudicatrice era costituita da: Enrico Fermi (presidente), Antonio
Carrelli, Orazio Lazzarino, Enrico Persico e Giovanni Polvani. Su raccomandazione
della commissione giudicante, il ministro dell’Educazione
ix

Prefazione
Nazionale Giuseppe Bottai nominò il Majorana professore di Fisica teorica
all’Università di Napoli per la sua “grande e meritata fama”, al di fuori
del Concorso stesso. La Commissione, invero, aveva dichiarato per iscritto
al Ministro di esitare ad applicare a lui le normali procedure concorsuali;
allegando il seguente giudizio:
.
Uno dei lavori piú importanti di Ettore, quello in cui introduce la
sua “equazione a infinite componenti” (di cui diciamo in seguito), non è
menzionato: ancora non era stato capito. È interessante notare, però,
che viene dato giusto rilievo alla sua teoria simmetrica per l’elettrone e
l’anti-elettrone (oggi in auge, per la sua applicazione a neutrini e antineutrini);
e a causa della capacità di eliminare l’ipotesi cosiddetta “del mare
di Dirac” [P.A.M. Dirac, premio Nobel 1933]: ipotesi che viene definita
“estremamente artificiosa e insoddisfacente”, nonostante che essa dai piú
sia sempre stata accettata in maniera acritica.
I dettagli del primo incontro di Majorana con Fermi ci illuminano
circa alcuni aspetti, scientifici e no, di Ettore. Essi sono noti da quando li
ha narrati Segré; ma vale la pena di rileggerli con attenzione:

Prefazione
sua abituale energia in una settimana di assiduo lavoro calcolò la soluzione
con una piccola calcolatrice a mano. Majorana, che era entrato da poco
in Istituto e che era sempre molto scettico, decise che probabilmente la
soluzione numerica di Fermi era sbagliata e che sarebbe stato meglio verificarla.
Andò a casa, trasformò durante la serata e la notte l’equazione
originale di Fermi in una equazione del tipo di Riccati e la risolse senza
l’aiuto di nessuna calcolatrice, servendosi della sua straordinaria attitudine
al calcolo numerico... Quando il mattino dopo tornò in Istituto confrontò
con aria scettica il pezzetto di carta, su cui aveva riportato i dati ottenuti,
col quaderno di Fermi, e quando trovò che i risultati coincidevano esattamente
non poté nascondere la sua meraviglia>>.
Abbiamo indugiato sul precedente aneddoto dato che le pagine con la
soluzione in forma chiusa trovata dal Majorana per l’equazione differenziale
di Fermi —equazione che Fermi, ripetiamolo, non era riuscito a risolvere
analiticamente— sono state da noi alfine scoperte proprio nei Volumetti (e
tra altri fogli sparsi): si è così potuto recentemente mostrare che Majorana
seguì in realtà due indipendenti metodi (molto originali) per giungere ai
medesimi risultati, uno dei quali lo condusse ad una equazione di Abel,
piuttosto che di Riccati. Il secondo cammino costituisce una novità anche
per la Matematica attuale. La comprensione dettagliata di quanto fatto
da Majorana in quelle poche ore ha richiesto a uno di noi circa due mesi
di intensa applicazione...
Gli articoli pubblicati da Ettore Majorana
Ettore scrisse pochi articoli scientifici: nove; oltre allo scritto semi-divulgativo
“Il valore delle leggi statistiche nella fisica e nelle scienze sociali”,
pubblicato postumo su Scientia (Vol.36 (1942) p.55) a cura di G. Gentile
jr.. Si ricordi che Majorana passò da Ingegneria a Fisica alla fine del 1927
o agli inizi del 1928 (anno in cui pubblicò già un articolo, il primo: scritto
insieme con l’amico Gentile), e poi si dedicò alla ricerca scientifica in Fisica
teorica solo per pochissimi anni. Ciononostante, anche i soli lavori da lui
pubblicati sono una miniera di idee e tecniche di Fisica teorica che rimane
tuttora parzialmente inesplorata.
xi

Prefazione
Elenchiamo i suoi nove articoli pubblicati: 1
(1) “Sullo sdoppiamento dei termini Roentgen ottici a causa dell’elettrone
rotante e sulla intensità delle righe del Cesio,” in collaborazione
con Giovanni Gentile jr., Rendiconti dell’Accademia dei Lincei Vol.8
(1928) pp.229-233.
(2) “Sulla formazione dello ione molecolare di He,” Il Nuovo Cimento
Vol.8 (1931) pp.22-28.
(3) “I presunti termini anomali dell’Elio,” Il Nuovo Cimento Vol.8 (1931)
pp.78-83.
(4) “Reazione pseudopolare fra atomi di Idrogeno,” Rendiconti dell’Accademia
dei Lincei Vol.13 (1931) pp.58-61.
(5) “Teoria dei tripletti P’ incompleti,” Il Nuovo Cimento Vol.8 (1931)
pp.107-113.
(6) “Atomi orientati in campo magnetico variabile,” Il Nuovo Cimento
Vol.9 (1932) pp.43-50.
(7) “Teoria relativistica di particelle con momento intrinseco arbitrario,”
Il Nuovo Cimento Vol.9 (1932) pp.335-344.
(8) “ Über die Kerntheorie,” Zeitschrift für Physik Vol.82 (1933) pp.137-
145; “Sulla teoria dei nuclei,” La Ricerca Scientifica Vol.4 (1933)
pp.559-565.
(9) “Teoria simmetrica dell’elettrone e del positrone,” Il Nuovo Cimento
Vol.14 (1937) pp.171-184.
1 Nell’elenco che segue non è inclusa la comunicazione di Majorana alla XXII
Adunanza Generale della Società Italiana di Fisica, pubblicata su Il Nuovo Cimento
Vol.6 (1929) pp.XIV-XVI e dal titolo “Ricerca di un’espressione generale
delle correzioni di Rydberg, valevole per atomi neutri o ionizzati positivamente”.
Detta comunicazione, di recente messa in evidenza da F. Guerra e N. Robotti,
non fu intesa dal Majorana come una “pubblicazione”: infatti, egli non diede
alle stampe nulla del molto e interessantissimo materiale da lui lasciato in forma
manoscritta, il quale materiale (oltre che in importanti pagine sparse) appare nel
paragrafo 2.16 del Volumetto 2 riprodotto in quest’opera. Ivi il lettore interessato
troverà il ricco testo originale sul quale si basò la relazione scientifica del
Majorana (si veda S. Esposito, preprint arXiv:physics/0512259).
xii

Prefazione
I primi articoli, redatti tra il 1928 e il 1931, riguardano problemi di
Fisica atomica e molecolare: per lo piú questioni di spettroscopia atomica
o di legame chimico (sempre, s’intende, nell’ambito della meccanica quantistica).
Come scrive E. Amaldi, un esame approfondito di questi lavori lascia
colpiti per la loro alta classe: essi rivelano sia una profonda conoscenza dei
dati sperimentali, anche nei piú minuti dettagli, sia una disinvoltura non
comune, soprattutto a quell’epoca, nello sfruttare le proprietà di simmetria
degli “stati quantistici” per semplificare qualitativamente i problemi e per
scegliere la via piú opportuna per la risoluzione quantitativa. Tra questi
primi articoli ne scegliamo uno solo:
“Atomi orientati in campo magnetico variabile” apparso sulla ri-
vista Il Nuovo Cimento.
È l’articolo, famoso tra i fisici atomici, in cui
viene introdotto l’effetto ora noto come Effetto Majorana-Brossel. In esso
Ettore prevede e calcola la modificazione della forma delle righe spettrali
dovuta a un campo magnetico oscillante; e ciò in connessione a un esperimento
tentato a Firenze qualche anno prima (benché senza successo) da
G. Bernardini ed E. Fermi. Questo lavoro è rimasto anche un classico
della trattazione dei processi di ribaltamento “non adiabatico” dello spin
(o “spin-flip”). I suoi risultati —una volta estesi, come suggerito dallo
stesso Majorana, da Rabi nel 1937 e quindi, nel 1945, da Bloch e Rabi
(i quali, entrambi premi Nobel [Rabi: 1944; Bloch: 1952], contribuirono
a diffondere quanto trovato da Ettore tredici anni prima)— hanno costituito
la base teorica del metodo sperimentale usato per ribaltare anche
lo spin dei neutroni con un campo a radiofrequenza: metodo impiegato
ancor oggi, ad esempio, in tutti gli spettrometri a neutroni polarizzati. In
questo articolo viene introdotta anche la cosiddetta “Sfera di Majorana”
(per rappresentare spinori mediante insiemi di punti di una superficie sferica),
di cui ha parlato entusiasticamente —per esempio— Roger Penrose
nei suoi ultimi libri semi-divulgativi (si vedano in Bibliografia le citazioni
di Penrose e Zimba & Penrose, e quelle piú recenti di C. Leonardi et al.).
Gli ultimi tre articoli di Ettore sono tutti di tale importanza che
nessuno di essi può restare senza commento.
L’equazione a infinite componenti
L’articolo “Teoria relativistica di particelle con momento intrinseco arbitrario”
è il tipico esempio di lavoro che precorre talmente i tempi da venire
compreso e valutato a fondo solo molti anni dopo.
xiii

Prefazione
A quel tempo era opinione comune che si potessero scrivere equazioni
quantistiche compatibili con la Relatività (cioè “relativisticamente invarianti”)
solo nel caso di particelle a spin zero o un mezzo. Convinto
del contrario, Ettore comincia a costruire opportune equazioni quantorelativistiche
per i successivi valori possibili dello spin (uno, tre mezzi,
ecc.), arrivando a dare le regole anche per la costruzione di tale equazione
per un valore generico dello spin; finché scopre che si può scrivere un’unica
equazione rappresentante una serie infinita di casi, cioè un’intera famiglia
infinita di particelle a spin qualsiasi (si ricordi che allora le particelle note
—che ora sono centinaia— si contavano sulle dita di una mano!). Tralascia
allora tutti i singoli casi studiati —senza piú pubblicarli— e si dedica solo
a queste equazioni “a infinite componenti”, senza trascurare l’osservazione
che esse possono descrivere non solo particelle ordinarie ma anche tachioni.
Per realizzare questo programma, Majorana ricorre per la prima
volta —inventandole— alle rappresentazioni unitarie del Gruppo di Lorentz
a infinite dimensioni: rappresentazioni riscoperte da Eugene Wigner (premio
Nobel 1963) in lavori del 1939 e 1948. Per comprendere l’importanza
di quest’ultimo aspetto, rifacciamoci a quanto Ettore stesso —pur tanto
schivo— riferisce a suo padre da Lipsia il 18 febbraio 1933: .
Questa teoria è stata reinventata da matematici sovietici (in particolare
Gelfand e collaboratori) in una serie di articoli del 1948-1958, e
finalmente applicata dai fisici in anni ancora piú tardi. L’articolo iniziale
di Ettore, anzi, rimarrà in ombra per ben 34 anni, cioè fino a quando
Amaldi lo traduce e segnala al fisico americano D.Fradkin, il quale a sua
volta strabilia i teorici delle alte energie rendendo finalmente di pubblico
dominio, nel 1966 [D. Fradkin: American Journal of Physics Vol.34 (1966)
p.314], quanto compiuto da Majorana tanti anni prima. Dalla data del
1966, la fama di Ettore comincia a crescere costantemente anche tra i fisici
delle particelle fondamentali.
Le forze di scambio
Non appena, al sorgere del 1932, giunge a Roma notizia degli esperimenti
dei Joliot-Curie [premi Nobel 1935 per la chimica], Ettore comprende che
xiv

Prefazione
essi avevano scoperto il “protone neutro” senza accorgersene. Prima ancora,
quindi, che ci fosse l’annuncio ufficiale della scoperta del neutrone,
effettuata poco dopo da Chadwick [premio Nobel 1935 per la Fisica], Majorana
è in grado di spiegare la struttura e la stabilità dei nuclei atomici
mediante protoni e neutroni. Ettore precorse cosí anche il lavoro pionieristico
di D. Ivanenko. Ma non volle pubblicarne nulla, né permise a Fermi
di parlarne a Parigi agli inizi di luglio: ciò è narrato da Segré e da Amaldi.
I suoi colleghi ricordano che già prima di Pasqua era giunto alle conclusioni
piú importanti della sua teoria: che protoni e neutroni fossero legati
da forze quantistiche originate semplicemente dalla loro indistinguibilità;
cioè da “forze di scambio” delle rispettive posizioni spaziali (e non anche
degli spin, come invece farà Heisenberg), cosí da ottenere la particella alfa
(e non il deutone) quale sistema saturato rispetto alla energia di legame.
Solo dopo che Heisenberg pubblica il proprio articolo sullo stesso
argomento, Fermi riesce a indurre Majorana a recarsi a Lipsia presso il
grande collega. E, finalmente, Heisenberg sa convincere Ettore a pubblicare
(anche se tanto in ritardo) i propri risultati: “ Über die Kerntheorie”, lavoro
apparso il 3 marzo 1933 sulla rivista Zeitschrift für Physik.
Le forze “di scambio” nucleari furono chiamate forze di Heisenberg-
Majorana. Ettore ne parla al padre, con grande modestia, nella stessa
lettera prima citata (del 18.2.1933): . Sempre su questo lavoro scrive pochi giorni
dopo, il 22 febbraio, alla madre: .
Probabilmente la pubblicazione sulla stabilità dei nuclei venne subito
riconosciuta dalla comunità scientifica (in particolare dai fisici nucleari)
—evento raro, come sappiamo, per gli scritti di Ettore— anche grazie a
questa opportuna “propaganda” fattane da Heisenberg, che proprio pochi
mesi dopo riceverà il premio Nobel.
L’avversione a pubblicare le proprie scoperte, quando esse fossero
risultate, all’esame del suo senso ipercritico, di carattere non abbastanza
generale o espresse in forma matematica non abbastanza stringente ed
elegante, divenne per Ettore anche motivo di vezzo. Racconta Amaldi:

Prefazione
incidentalmente di aver fatto durante la sera precedente il calcolo o la
teoria di un fenomeno non chiaro che era caduto sotto l’attenzione sua o di
qualcuno di noi in quei giorni. Nella discussione che seguiva, sempre molto
laconica da parte sua, Ettore a un certo punto tirava fuori dalla tasca il
pacchetto delle sigarette Macedonia (era un fumatore accanito) sul quale
erano scritte, in una calligrafia minuta ma ordinata, le formule principali
della sua teoria o una tabella di risultati numerici. Copiava sulla lavagna
parte dei risultati, quel tanto che era necessario per chiarire il problema,
e poi, finita la discussione e fumata l’ultima sigaretta, accartocciava il
pacchetto nella mano e lo buttava nel cestino>>.
Estremamente interessanti sono pure due altri passi di lettera. Il
14.2.1933, sempre da Lipsia, Majorana racconta alla madre: >. Il lavoro “già pronto”
è naturalmente quello sulle forze nucleari di cui si sta parlando; il quale,
però, rimase l’unico in lingua tedesca.
Ancora, nella lettera del 18 febbraio dichiara al padre: >.
In realtà Ettore non pubblicò piú nulla, né in Germania, né al rientro
in Italia, a parte l’articolo (del 1937) di cui stiamo per dire. Di notevole
importanza è quindi sapere che Ettore stesse scrivendo altri lavori: in
particolare, che stesse estendendo il suo articolo sulla equazione a infinite
componenti.
Il neutrino di Majorana
Dai manoscritti ritrovati pare, come si è detto, che Majorana formulasse
in quegli stessi anni (1932-33) le linee essenziali anche della sua teoria
simmetrica per l’elettrone e l’anti-elettrone: che le formulasse, cioè, non appena
si diffuse la notizia della scoperta dell’anti-elettrone, o “positrone”.
Anche se Ettore pubblica tale teoria solo molto piú tardi, accingendosi
a partecipare al Concorso a cattedra di cui sappiamo. La “Teoria simmetrica
dell’elettrone e del positrone” viene inizialmente notata quasi esclusivamente
per aver introdotto la famosa rappresentazione di Majorana
xvi

Prefazione
delle “matrici di Dirac” in forma reale 2 . Conseguenza di tale teoria è che
un “fermione” neutro debba coincidere con la propria antiparticella: ed
Ettore suggerisce che i neutrini possano essere particelle di questo tipo.
Ettore ci teneva molto a questa sua elaborazione teorica; ciò è testimoniato
da Carrelli, che ne discusse con Ettore durante il breve periodo di
lezioni a Napoli.
Come per altri scritti di Majorana, anche questo articolo ha cominciato
ad avere fortuna solo vent’anni dopo, a partire dal 1957. Dopo di che
ha goduto di fama via via crescente tra i fisici delle particelle relativistiche e
delle teorie di campo 3 . Ora sono di gran moda espressioni come “spinori di
Majorana”, “massa di Majorana”, “neutrini di Majorana” (e perfino “majoroni”).
Le pubblicazioni di Majorana (ancora poco note, nonostante
tutto) sono per la Fisica, lo si è detto, una continua fonte di ispirazione.
Recentemente, ad esempio, Carlo Becchi ha osservato come nelle prime
pagine di questo scritto si trovi una formulazione estremamente chiara del
principio d’azione quantistico, che in anni successivi, attraverso i lavori di
Schwinger e Symanzik, ha portato agli sviluppi recenti piú importanti della
teoria dei campi quanto-relativistici.
I manoscritti inediti di Ettore Majorana
Ma Ettore ci ha lasciato anche molti manoscritti scientifici inediti, pure
depositati presso la “Domus Galilaeana” di cui è stato redatto un catalogo
in collaborazione con M. Baldo e R. Mignani. L’analisi di questi manoscritti
permette di rilevare: (i) come Ettore fosse estremamente diligente
e preciso nel lavoro. Tutte le sue scoperte risultano precedute da una indefessa
serie di calcoli, fatti e rifatti: anche per i piú dotati, naturalmente,
la scienza non può essere solo un semplice gioco di intuizioni, come invece
2 Si noti, però, che l’algebra IR(4) IR3,1 cosí introdotta da Majorana è del
tutto diversa dall’algebra CI (4) IR4,1 introdotta da Dirac. Osserviamo, en
passant, che l’algebra di Majorana è una delle due algebre associabili in maniera
naturale allo spazio di Minkowski (la seconda essendo IR1,3 IH(2), ove IH(2) è
l’algebra delle matrici quaternioniche 2 × 2).
3 Nel 1981, ad esempio, una rivista giapponese di Fisica ha ripubblicato in
lingua inglese (con traduzione a cura di Luciano Maiani) questo articolo di circa
quarantacinque anni prima.
xvii

Prefazione
la leggenda aveva voluto farci credere; (ii) che, fra il materiale inedito,
parecchi spunti hanno ancora un interesse scientifico attuale: alcune centinaia
di pagine possono essere utili in maniera significativa per la ricerca
contemporanea; ma solo poche pagine sono state da noi finora interpretate
e pubblicate; (iii) che tutto il materiale noto sembra scritto entro il 1933;
(iv) che quasi nulla ci è noto di ciò che egli fece negli anni a seguire (1934–
1937). A parte una lunga serie di 34 lettere di risposta, scritte da Ettore
in quegli anni (precisamente dal 17.3.31 fino al 16.11.37) allo zio Quirino,
il quale lo sollecitava a fornire una spiegazione teorica dei risultati dei propri
esperimenti. Queste lettere sono di carattere essenzialmente tecnico
(lo zio Quirino era un fisico sperimentale di grandissima abilità, che aveva
occupato anche il ruolo di presidente della Società Italiana di Fisica) e
mostrano in tal modo che pure negli ultimi anni Ettore ben sapeva tornare
alla Fisica, sempre con le sue doti di eccelso teorico.
Invero la sorella Maria ricordava che anche in quegli anni Ettore —il
quale aveva diradato sempre piú le sue visite all’Istituto, a cominciare dalla
fine del 1933, cioè dal suo rientro da Lipsia— continuò a studiare e lavorare
a casa parecchie ore al giorno; e la notte. Si diede Ettore solo a studi di
letteratura e filosofia (amava particolarmente Pirandello, Schopenhauer e
Shakespeare), o di “teoria dei giochi” e strategia navale (sua passione fin
dall’infanzia), nonché di economia, di politica e infine di medicina; oppure
continuò a dedicarsi anche alla Fisica? Dalla lettera a Quirino del 16.1.1936
ci viene una risposta; perché veniamo a sapere che Ettore si occupava “da
qualche tempo di elettrodinamica quantistica”. Conoscendo la modestia
di Ettore nell’esprimersi, ciò significa che durante l’anno 1935 Majorana si
era dedicato a fondo a ricerche originali nel settore —per lo meno— della
elettrodinamica quantistica. E ancora nel 1938, a Napoli, Carrelli avrà
l’impressione che Ettore stesse lavorando a qualcosa di rilevante, di cui non
voleva parlare. Ma lumi ancora più importanti ci sono giunti dalle lettere
inviate, da Lipsia, ai propri genitori, lettere che abbiamo sopra citate, e,
sempre da Lipsia, al C.N.R.: delle quali diremo.
Non possiamo dimenticare, poi, gli appunti autografi di lezione redatti
da Majorana nei primi mesi del 1938 a beneficio dei propri studenti
dell’Università di Napoli. Gli appunti per le lezioni da lui tenute prima
della scomparsa fu consegnata dal Majorana, entro una cartelletta, il giorno
prima di scomparire, all’allieva Gilda Senatore e (essendone intermediari
Cennamo, Carrelli e Amaldi) finirono nelle mani di G. Bernardini, probabilmente
soltanto in parte, e quindi negli archivi della “Domus Galilaeana”.
xviii

Prefazione
La parte cosí sopravvissuta (relativa a dieci lezioni) fu pubblicata per interessamento
di G. Gialanella e soprattutto B. Preziosi, in un volume contenente
anche gli appunti per la prolusione al corso —la lezione inaugurale—
rinvenuti da Recami. Recentissimamente S. Esposito, in collaborazione con
A. Drago, ha scoperto gli appunti delle restanti sei lezioni: e quindi l’intera
serie è ora pubblicamente disponibile.
Esistono altri manoscritti di Majorana?
Tornando alla lettera del 18 febbraio al padre, in essa abbiamo trovato
la notizia molto interessante che Ettore stava per pubblicare in tedesco,
estendendolo, l’ultimo suo articolo apparso sul “Nuovo Cimento”. Come
sappiamo, questo progetto non verrà poi realizzato; ma è importante ricordare
ancora una volta come Ettore avesse in mente di generalizzare
il lavoro in cui aveva introdotto la sua equazione a infinite componenti.
Anzi, la questione diviene del massimo rilievo quando si leggano le lettere
inviate in quel periodo al Consiglio Nazionale delle Ricerche (ritrovate
presso gli archivi del C.N.R., e a noi pervenute attraverso la cortesia di
G.Fioravanti e soprattutto del collega M.De Maria). Nella prima (21.1.33)
Ettore specifica: . Nella seconda (3.3.33) dichiara addirittura,
riferendosi al medesimo lavoro: . Se ricordiamo che l’articolo qui considerato come “notizia
sommaria” di una nuova teoria era già di altissimo livello, si comprende
come sarebbe di enorme interesse scoprire una copia della teoria completa:
la quale nel marzo 1933 aveva già assunto la forma di un manoscritto compiuto,
forse già dattiloscritto in lingua tedesca. Ma Ettore, ripetiamo, non
ne fece piú nulla. Non dimentichiamo poi la citata lettera a Quirino del
16.1.1936, la quale ci ha rivelato che successivamente Ettore continuò a
lavorare in Fisica teorica, occupandosi a fondo —per lo meno— di elettrodinamica
quantistica. Dove sono finiti gli appunti, gli scritti, gli articoli
xix

Prefazione
relativi a tutta questa attività?
Come abbiamo già segnalato, il giorno prima di salpare da Napoli
(e successivamente sparire), Ettore Majorana consegnò alla propria studentessa
Gilda Senatore una cartelletta di carte scientifiche: contenente,
tra l’altro, gli appunti di lezione manoscritti dal Majorana per i suoi allievi;
affinché lei la conservasse. Tutto ciò lo si è saputo in seguito ad una approfondita
ricerca effettuata nel 1990 da Bruno Russo, e successivamente
confermata a voce dalla stessa Prof.ssa Senatore a chi scrive, nonché a
Bruno Preziosi.
La cartelletta conteneva (oltre alle “lezioni”) delle note incomplete,
degli scritti conclusi, e articoli. Si hanno ragioni per credere che tale cartelletta
contenesse almeno alcuni dei risultati del lavoro svolto da Majorana,
in isolamento, tra la fine del 1933 e il 1938. Tali risultati sarebbero di
straordinaria importanza, come sappiamo, per la stessa Fisica teorica contemporanea,
più ancora che per la storia della Fisica. Ma avvenne che la
Sig.na Senatore parlò confidenzialmente dei manoscritti avuti in pegno da
Majorana a Francesco Cennamo, assistente del direttore Antonio Carrelli,
quando questi divenne suo marito. Il dottor Cennamo, di propria iniziativa,
li mostrò a Carrelli, che li sequestrò. E, per quanto a noi ora consta,
essi si persero.
Molte altre idee di Ettore, quando non restarono nella sua mente,
hanno lasciato traccia nella memoria dei colleghi. Una delle testimonianze
piú interessanti che abbiamo raccolto è di GianCarlo Wick. Da Pisa il 16
ottobre 1978 scrive a Recami: .
xx

Questo volume
Prefazione
Nel presente libro riproduciamo (per la prima volta in originale) i cinque
quaderni, accuratamente redatti e bene organizzati dal Majorana, noti
come “Volumetti”. Scritti in Roma tra il 1927 e il 1931-2 (iniziati, quindi,
prima ancora che Majorana passasse da Ingegneria a Fisica), essi sono attualmente
depositati presso la citata Domus Galilaeana di Pisa. Ciascuno
di essi, del formato di approssimativamente 11 cm × 18 cm, consta di
circa 100−150 pagine, ordinatamente numerate. Ogni Volumetto contiene
al suo inizio un indice, che venne via via composto dal suo autore man
mano che un particolare argomento risultava esaurito; e una data, eccetto
per l’ultimo, e minore, Volumetto, il quale non reca data, probabilmente
perché non fu mai completato. Vi sono motivi per ritenere che la data riportata
da Majorana su ciascun Volumetto non corrisponda, precisamente,
né alla data di inizio della stesura né a quella di chiusura, in quanto vi sono
molte indicazioni sia in un senso (mancanza della data nel Volumetto V,
ecc.) che nell’altro (riferimenti bibliografici ad articoli pubblicati dopo la
data del Volumetto in cui compare, ecc.). Majorana, infatti, probabilmente
cominciava ad utilizzare un nuovo quaderno già prima che il precedente
fosse completato, ritornando su quest’ultimo successivamente. In tal caso
la data riportata sugli originali sarebbe solo indicativa del periodo in cui
l’autore ha annotato i suoi studi.
Varie pagine bianche numerate appaiono nei manoscritti originali,
in alcuni casi tra la fine di un capitolo e l’inizio del successivo: qui abbiamo
tralasciato tali pagine bianche.
Verosimilmente, Majorana affrontò i vari argomenti seguendo idee
e risultati ben definiti, quali nascevano dai suoi studi. Ogni Volumetto fu
scritto durante il periodo di circa un anno, cominciando dagli anni in cui
stava portando a termine i propri studi presso l’Università di Roma. Pertanto
il contenuto passa da questioni tipiche degli usuali corsi accademici a
problemi di ricerca di frontiera. Nonostante questa variabilità di livello (che
risulta evidente esaminando i vari Volumetti, o anche all’interno dello stesso
Volumetto), lo stile scientifico non è mai comune. Quale esempio, citiamo
lo studio da parte del Majorana del cambiamento del punto di fusione di
una sostanza quando essa viene immersa in un campo magnetico, o, ancora
più interessante, l’esame della propagazione del calore da lui effettuato usando
una “similitudine dei grilli”. Sempre degno di nota è il suo modo
di trattare questioni di Fisica a lui contemporanea in maniera lucida ed
xxi

Prefazione
originale: come nei casi della spiegazione, proposta da Fermi, della massa
di origine elettromagnetica degli elettroni; dell’equazione di Dirac e sue applicazioni;
e del gruppo di Lorentz; con ciò rivelando a volte la letteratura
scientifica da lui preferita. In quanto alle ricerche di frontiera, citiamo
qui solo due esempi illuminanti: lo studio degli stati quasi-stazionari, che
anticipa la teoria di Ugo Fano di circa 20 anni; e la teoria dell’atomo di
Fermi, sviluppata attraverso soluzioni analitiche dell’equazione di Thomas-
Fermi con le sue opportune condizioni al contorno, in termini di semplici
quadrature: tecniche del tutto nuove e sconosciute.
Nel riprodurre questi Volumetti ci siamo attenuti per quanto possibile
all’originale, tranne nei pochissimi casi in cui le notazioni usate da
Majorana potevano non risultare abbastanza chiare. Abbiamo perciò sostituito
il ricorrente simbolo della costante di Planck, h, con il più comune
2π, eccetto quando si tratti di risultati della vecchia teoria quantistica.
Tutte le variazioni sono messe in evidenza da note a piè pagina. Abbiamo
poi introdotto delle note ogni qual volta l’interpretazione dei procedimenti
seguiti, o il significato di qualche brano, richiedevano delle aggiunte esplicative.
Le poche note a piè pagina che appaiono sul manoscritto originale
sono state identificate facendole precedere dal simbolo ∗ .
Il notevole sforzo fatto nel mettere in forma elettronica e controllare
tutte le equazioni e le Tabelle di numeri è stato motivato dal nostro desiderio
di facilitare per quanto possibile la lettura dei Volumetti di Majorana,
con la speranza di rendere accessibile la loro ricchezza intellettuale al più
vasto pubblico di lettori.
Le figure che qui appaiono sono state riprodotte senza l’uso di strumenti
fotografici o scansioni digitali, ma sono del tutto fedeli ai disegni
originali. Lo stesso vale per le Tabelle con risultati numerici, le quali sono
state riprodotte a prescindere dall’originale: ovvero, sono state controllate
rifacendo tutti i calcoli sulla base dei metodi adottati dall’autore. Svariate
Tabelle presentavano delle lacune, rivelando che l’autore aveva tralasciato
di calcolarle integralmente: in tali casi le abbiamo completate. Altre
piccole modifiche, relative soprattutto alla correzione di sviste, vengono
indicate con una nota.
Aggiungiamo nel seguito una breve Bibliografia. Lungi dall’essere
completa, essa correda solo gli argomenti toccati in questa Prefazione.
xxii

Ringraziamenti
Prefazione
I curatori di quest’opera desiderano ringraziare esplicitamente Alwyn van
der Merwe ed Ettore Majorana Jr, senza il cui indefesso aiuto questo libro
non avrebbe visto la luce, e Roberto Battiston per il costante interessamento.
Sono poi riconoscenti alla famiglia Majorana (nelle persone di
Fabio e Pietro Majorana, e della signora Nunni Cirino, ripettivamente figli
e vedova dell’Ing. Luciano, fratello del Majorana) per la affettuosa collaborazione.
Per la cortese disponibilità, essi ringraziano inoltre l’attuale
presidente della Società Italiana di Fisica, Franco Bassani, e vari colleghi
(in particolare D. Ahluwalia, A. De Gregorio ed E. Giannetto) per stimolanti
discussioni.
Il materiale autografo originale su cui si basa la presente edizione è attualmente
conservato presso la Domus Galilaeana di Pisa; si ringraziano C.
Segnini, già curatore della Domus, così come i precedenti responsabili della
stessa Istituzione. La preparazione di tale volume è stata in parte finanziata
da due COFIN del MURST, grazie alla sollecitudine di E. Recami,
e in parte dal Dipartimento di Scienze Fisiche dell’Università di Napoli
“Federico II”, per il gentile interessamento di A. Drago, B. Preziosi, M.
Romano e M. La Commara.
Per la realizzazione tecnica di quest’opera i curatori hanno molto beneficiato
dell’aiuto di G. Celentano, R. De Risi, R. A. De Stefano, C. Grosso e
L. Scarpone, a cui va la nostra sentita gratitudine; unitamente a Federico
e Lorenzo Enriques e allo Staff della casa editrice Zanichelli per il loro
interessamento e la fattiva collaborazione.
xxiii
S. Esposito
E. Recami

Bibliografia
Prefazione
[1] Il testo inglese della presente opera si trova in Ettore Majorana -
Notes on Theoretical Physics, a cura di S. Esposito, E. Majorana
Jr., A. van der Merwe, e E. Recami (Kluwer Academic Publishers;
Dordrecht, Boston and London, 2003).
[2] I documenti usati in questa Prefazione si possono trovare (insieme
con l’intera documentazione biografica riguardante E. Majorana, scoperta
o raccolta in 5 o 6 lustri da E. Recami) nel libro E. Recami: Il
caso Majorana: Epistolario, Documenti, Testimonianze, 2a edizione
(Mondadori; Milano, 1991), pp.230; e in particolare nella sua 4a edizione
(Di Renzo; Roma, 2002), pp.273.
Vedere anche E. Recami: “I nuovi documenti sulla scomparsa di
E. Majorana”, in Scientia Vol.110 (1975) p.577; in La Stampa
(Torino), 1 giugno e 29 giugno 1975; in Corriere della Sera (Milano),
19 ottobre 1982 e 13 dicembre 1983; “Ricordo di Ettore Majorana
a sessant’anni dalla sua scomparsa: L’opera scientifica edita
e inedita”, in Quaderni di Storia della Fisica, Vol.5 (1999), p.19;
e inoltre AA.VV.: Scienziati e tecnologi contemporanei: Enciclopedia
Biografica, 3 volumi, a cura di E. Macorini (Milano, 1974); M.
Farinella: in L’Ora (Palermo), 22 e 23 luglio 1975; G.C. Graziosi:
“Le lettere del mistero Majorana”, in Domenica del Corriere (Milano),
28 novembre 1972; S. Ponz de Leon: “Speciale News: Majorana”,
trasmesso il 30.9.1987 (Canale Cinque); B. Russo: “Ettore
Majorana – Un giorno di marzo”, programma televisivo trasmesso
il 18.12.90 (Rai Tre – Sicilia), e il libro col medesimo titolo (Flaccovio;
Palermo, 1997); F. e D. Dubini: “La scomparsa di Ettore
Majorana”, programma televisivo trasmesso nel 1987 (TV svizzera).
[3] Le prime opere biografiche su Majorana sono le seguenti:
E. Amaldi, La Vita e l’Opera di E. Majorana (Accademia dei Lincei;
Roma, 1966); “Ettore Majorana: Man and scientist,” in Strong and
Weak Interactions. Present problems, a cura di A. Zichichi (Academic
Press; New York, 1966); “Ricordo di Ettore Majorana”, in
Giornale di Fisica Vol.9 (1968) p.300; E. Amaldi: “From the discovery
of the neutron to the discovery of nuclear fission”, in Physics
Reports Vol.111 (1984) p.1; E. Amaldi: in Il Nuovo Saggiatore Vol.4
(1988) p.13.
Vedere anche B.Pontecorvo: Fermi e la fisica moderna (Editori Ri-
xxiv

Prefazione
uniti; Roma, 1972); e in Proceedings of the International Conference
on the History of Particle Physics, Paris, July 1982, Physique
Vol.43 (1982); G.Enriques: Via D’Azeglio 57 (Zanichelli; Bologna,
1971); E.Segré: Enrico Fermi, Fisico (Zanichelli; Bologna, 1971); e
Autobiografia di un Fisico (Il Mulino; Roma, 1995).
[4] La riproduzione degli originali delle lezioni svolte a Napoli da E. Majorana
sono pubblicate in Ettore Majorana – Lezioni all’Università di
Napoli, a cura di B. Preziosi (Bibliopolis; Napoli, 1987). L’edizione
critica completa è invece in Ettore Majorana – Lezioni di Fisica Teorica,
a cura di S. Esposito (Bibliopolis; Napoli, 2006).
Vedere anche S. Esposito: “Il corso di Fisica teorica di Ettore Majorana:
il ritrovamento del Documento Moreno”, in Il Nuovo Saggiatore,
Vol.21 (2005) p.21.
[5] Il catalogo dei manoscritti scientifici inediti di Majorana si trova
in M. Baldo, R. Mignani, e E. Recami, “Catalogo dei manoscritti
scientifici inediti di E. Majorana,” in Ettore Majorana – Lezioni
all’Università di Napoli, loc. cit.; e E. Recami, “Ettore Majorana:
L’opera edita ed inedita,” loc. cit..
[6] Alcuni lavori originati da intuizioni di Majorana sono i seguenti:
R. Mignani, M. Baldo e E. Recami: “About a Dirac–like equation for
the photon, according to Ettore Majorana”, in Lettere al Nuovo Cimento
Vol.11 (1974) p.568 [interessante pure ai fini di una possibile
interpretazione fisica della funzione d’onda del fotone]. Vedere anche
S. Esposito: “Covariant Majorana formulation of Electrodynamics”,
in Foundation of Physics Vol.28 (1998) p.231; e E. Giannetto:
“Su alcuni manoscritti inediti di E.Majorana”, in Atti IX Congresso
Naz.le di Storia della Fisica, a cura di F. Bevilacqua (Milano, 1988)
p.173.
S. Esposito: “Majorana solution of the Thomas-Fermi equation”,
in American Journal of Physics Vol.70 (2002) p.852; “Majorana
transformation for differential equations”, in International Journal
of Theoretical Physics Vol.41 (2002) p.2417; E. Di Grezia e S. Esposito:
“Fermi, Majorana and the statistical model of atoms”, in
Foundation of Physics Vol.34 (2004) p.1431.
R.Penrose, “Newton, quantum theory and reality,” in 300 Years of
Gravitation, S. W. Hawking and W. Israel eds. (University Press;
Cambridge, 1987); J. Zimba e R. Penrose, “On Bell Non-Locality
xxv

Prefazione
Without Probabilities: More Curious Geometry”, in Studies in the
History and Philosophy of Modern Physics Vol.24 (1993) p.697; R.
Penrose: Ombre della Mente (Rizzoli; Milano, 1996), pp.338–343
e 371–375; e i successivi studi, svolti a Palermo, C. Leonardi, F.
Lillo, A. Vaglica e G. Vetri: “ Quantum visibility, phase-difference
operators, and the Majorana Sphere” (Dipartimento di Fisica, Università
di Palermo; 1998); “Majorana and Fano alternatives to the
Hilbert space”, in Mysteries, Puzzles, and Paradoxes in Quantum
Mechanics, a cura di R.Bonifacio (A.I.P.; Woodbury, N.Y., 1999),
p.312; F.Lillo: “Aspetti fondamentali nell’interferometria a uno e
due fotoni”, Tesi di Dottorato (Dipartimento di Fisica, Università di
Palermo, 1998).
xxvi

VOLUMETTO
1 8 marzo 1927
1.1 Potenziale elettrico
E = − grad V, ∆ V = − 4πρ.
Il potenziale in un punto O dello spazio S limitato dalla superficie σ è dato
dalla
VO =
k V dσ +
σ
1
ρ − U dS
S r
(1.1)
essendo r la distanza da P , k la densità della distribuzione superficiale
equivalente per gli effetti esterni alla massa 1 concentrata in P , U il potenziale
che compete a detta distribuzione. Ovvero
VO = k V dσ + 1
U ∆ V dS −
4π
1
4π
∆ V
r
dS (1.2)
σ
ed essendo in S:
sarà: 1
VO =
S
U ∆ V = div (U grad V − V grad U) , (1.3)
k V dσ +
σ
1
4π
− 1
4π
V
∂U
∂n
σ
σ
i
U ∂V
∂n dσ
dσ − 1
4π
S
S
∆ V
r
dS , (1.4)
ma sulla superficie abbiamo:
U = 1
∂U
∂n
=
,
r
− Eni = − Ene + 4πk = −
(1.5)
1
r2 cos ϕ + 4πk , (1.6)
i
1 L’Autore usa i pedici i ed e per indicare le regioni interne ed esterne ad una
data superficie. Invece con n viene indicata la componente di un dato vettore
lungo la normale esterna n a tale superficie.
1

e sostituendo:
VO = 1
4π
σ
Volumetto 1: 8 marzo 1927
O
σ
r
S
P
V cos ϕ + r ∂V
dσ 1
−
∂n r2 4π
φ
S
∆ V
r
n
dS. (1.7)
formola valevole per una funzione arbitraria V , perché può sempre trovarsi
una distribuzione di masse che abbia nello spazio S il potenziale V .
Se in S non esistono masse:
VO = 1
4π
Dimostriamo direttamente la (1.7). Poniamo:
V ′ O = 1
4π
σ
σ
V cos ϕ + r ∂V
dσ
. (1.8)
∂n r2
V cos ϕ + r ∂V
dσ 1
−
∂n r2 4π
S
∆ V
r
dS. (1.9)
Supponiamo che la superficie σ subisca una variazione infinitesima mantenendosi
omotetica con se stessa, con centro di omotetia O. I campi di
integrazione S e σ si trasformano in quelli prossimi σ ′ e S ′ . Se facciamo
corrispondere mediante la relazione di omotetia gli elementi dei primi a
quelli dei secondi, è facile valutare le variazioni dei due integrali. In effetti
2

Volumetto 1: 8 marzo 1927
se 1+dα è il rapporto d’omotetia risultano facilmente le seguenti variazioni
relative al passaggio da un elemento al corrispondente:
onde avremo:
δV ′
0 = dα
4π
δV = dα · (P − O) × grad V (1.10)
δ cos ϕ = 0 (1.11)
δr = dα · r (1.12)
δ dσ
r2 = 0 (1.13)
δ∆ V = dα · (P − O) × grad ∆ V (1.14)
δ ∂V
∂n
=
∂
∂V
(P − O) × grad V · dα − dα
∂n ∂n
(1.15)
δ dS
r
= 2 dα dS
r
(1.16)
− dα
4π
σ
(P − O) × grad V cos ϕ + r ∂
∂n
S
(P − O) × grad ∆ V
r
+ 2
∆ V
r
dσ
(P − O) × grad V
r2
dS. (1.17)
L’integrale di superficie può considerarsi come il flusso uscente attraverso
σ del vettore
M = (P − O) × grad V
(P − O)
r 3
+ 1
grad ((P − O) × grad V ) , (1.18)
r
il quale è infinito in O, ma solo del primo ordine, di modo che detto integrale
di superficie può trasformarsi nell’integrale di volume:
Ma, come è agevole verificare, si ha:
div M =
sicché avremo δV ′
0 = 0.
S
div M dS.
(P − O) × grad ∆ V
r
3
+ 2
∆ V
r
, (1.19)

Volumetto 1: 8 marzo 1927
Se la superficie σ, deformandosi con continuità nel modo anzidetto,
diviene infinitesima intorno a O, l’integrale di volume della (1.9) tende a
zero e quello di superficie tende a 4πVO. Sarà perciò:
1.2 Potenziale ritardato
V ′ O = VO c.d.d. (1.20)
Sia H una funzione dello spazio e del tempo e obbedisca all’equazione
differenziale
∆ H = 1
c2 ∂ 2 H
.
∂t2 (1.21)
Sia O un punto, r la distanza di P da O, m una funzione di P e di t,
porremo
m (P, t) = m P, t − r
.
c
(1.22)
Consideriamo la funzione
H1(P, t) = H P, t − r
.
c
(1.23)
È facile trovare l’equazione differenziale a cui soddisfa HO:
∆ H1 = − 2 ∂
c
2 H1
∂r∂t
− 2
rc
∂H1
. (1.24)
∂t
Se il punto O appartiene allo spazio S limitato dalla superficie σ applicando
la (1.7) e notando che in O si ha H O 1 = HO, si trova:
HO = 1
4π
+ 1
4π
σ
S
H1 cos ϕ + r ∂H1
∂n
2 ∂
rc
2 H1
∂r∂t
+ 2
r 2 c
dσ
r 2
∂H1
dS. (1.25)
∂t
Scomponiamo il volume S in coni elementari di vertice O. L’elemento di
volume di un cono di apertura dω compreso tra due sfere di centro O e di
4

0
Volumetto 1: 8 marzo 1927
raggi r e r + dr vale: dω r 2 dr e quindi l’integrale esteso al volume del cono
sarà dato da
r
2 ∂H1
dω
c ∂t + r ∂2
H1
dr = dω
∂r∂t
2r ∂H1
, (1.26)
c ∂t
nell’ultimo membro della quale ∂H1/∂r va calcolato nella base su σ del
cono; se dσ è l’area di questa base, ϕ l’angolo che l’asse del cono forma con
la normale esterna, sarà:
dω 2r
c
∂H1
∂t
2 ∂H1
=
rc ∂t
cos ϕ dσ, (1.27)
e l’integrale esteso a tutto lo spazio S si trasforma nell’integrale di superficie
2 ∂H1
rc ∂t
cos ϕ dσ. (1.28)
Sostituendo abbiamo dunque:
HO = 1
4π
H1 cos ϕ + r ∂H1
∂n
e notando che:
abbiamo:
HO = 1
4π
σ
σ
σ
+ cos ϕ 2r
c
∂H1 dσ
; (1.29)
∂t r2 H1 = H (1.30)
∂H1
∂n
∂H1
∂t
∂H
=
∂n
= ∂H
∂t
H cos ϕ + r ∂H
∂n
r ∂H
− cos ϕ
c ∂t
+ r cos ϕ
c
Ponendo:
m (P, t) = m P, t + r
c
e
H2(P, t) = H P, t + r
c
l’equazione differenziale a cui soddisfa H2 sarà:
∆ H2 = 2 ∂
c
2 H2
∂r∂t
5
+ 2
rc
(1.31)
(1.32)
∂H dσ
. (1.33)
∂t r2 (1.34)
(1.35)
∂H2
. (1.36)
∂t

Volumetto 1: 8 marzo 1927
e con un calcolo perfettamente analogo al precedente troviamo:
HO = 1
4π
H cos ϕ + r ∂H
r cos ϕ ∂H dσ
− .
∂n c ∂t r2 (1.37)
σ
1.3 Energia mutua di due distribuzioni di
masse elettriche o magnetiche
Siano date due distribuzioni di masse elettriche o magnetiche in regioni
distinte dello spazio. Limitiamo mediante una superficie chiusa σ (unica o
no) uno spazio S che comprenda tutte le masse della prima distribuzione e
nessuna di quelle della seconda. Se V è il potenziale del campo E prodotto
dalla prima distribuzione, V ′ il potenziale del campo E ′ prodotto dalla
seconda, e la prima distribuzione è composta dalle masse m1, m2, . . . , mn
poste nei punti P1, P2, . . . , Pn, sarà, con notazione di cui è chiaro il signi-
ficato:
ovvero, applicando la (1.8),
U = 1
4π
V ′
n
σ
1
U =
mi
r 2 i
n
1
mi V ′
i , (1.38)
cos ϕi + E ′ n
n
1
mi
ri
dσ, (1.39)
in cui E ′ n la componente di E ′ secondo la normale interna di σ. Ora
abbiamo:
n
1
mi
r 2 i
cos ϕi = En, (1.40)
n
1
mi
ri
= V, (1.41)
essendo, nella prima di queste formole, En la componente secondo la normale
esterna a σ di En. Sostituendo troviamo la formola notevole:
U = 1
En V
4π
′ + E ′ n V dσ. (1.42)
σ
6

Volumetto 1: 8 marzo 1927
1.4 Effetto pellicolare in condutture elettriche
cilindriche omogenee
Supposta la sezione circolare e di piccole dimensioni rispetto alla lunghezza
del conduttore, potremo considerare il potenziale uguale in tutti i punti di
una medesima sezione e la densità di corrente funzione della sola distanza
a dall’asse. Se I = I1 + iI2 è il complesso 2 che rappresenta l’intensità
della corrente attraverso un cerchio coassiale con la sezione e di raggio a,
D = D1+iD2 la densità di corrente a distanza a dall’asse, µ la permeabilità
magnetica del conduttore, A il raggio della sezione, ρ la resistività elettrica,
le forze contro elettromotrici 3 dovute all’effetto ohmico 4 e alla variazione
dell’induzione dentro la conduttura, saranno per unità di lunghezza, lungo
una linea di corrente a distanza a dall’asse, rispettivamente
D ρ (1.43)
e
A
I
2 µ ω i dx, (1.44)
a x
e poiché tutte le altre forze elettromotrici sono uguali per tutte le linee di
corrente concludiamo che
D ρ + 2 µ ω i
A
a
(I/x) dx = cost. (1.45)
cioè, differenziando:
ρ dD = 2 µ ω i I
da. (1.46)
a
Indicando con I l’area del cerchio di raggio a, I e D come funzioni di s, e
tenendo conto delle uguaglianze
2 da
a
D = dI
, (1.47)
ds
ds
= , (1.48)
s
2L’Autore considera qui un conduttore in cui scorre una corrente alternata di
frequenza ω.
3Cioè le forze che bloccano il flusso di corrente.
4Tale effetto è meglio noto come effetto Joule.
7

potremo scrivere:
cioè
Volumetto 1: 8 marzo 1927
ρ d dI
ds
I
= µ ω i ds, (1.49)
s
d 2 I µ ω i
=
ds2 ρ
I
. (1.50)
s
Poniamo
µ ω
p = s, (1.51)
ρ
sostituendo abbiamo:
d 2 I I
= i . (1.52)
dp2 p
Come risulta chiaramente da questa relazione, p non dipende dalle unità
fondamentali del sistema elettromagnetico. Perciò, per brevità di calcolo,
data la proporzionalità fra p e s, supporremo per un momento di scegliere
l’unità di lunghezza in guisa che p = s, senza che per questo la p venga
alterata. Tenuto conto che per p = 0 si ha I = 0, è facile integrare per
serie la (1.52). Si trova, ricordando che I = I1 + iI2.
I1 = m p − 1
2! 2 ·3 p3 + 1
4! 2 ·5 p5 − 1
6! 2 ·7 p7
+ . . . , (1.53)
1
I2 = m
2 p2 − 1
3! 2 ·4 p4 + 1
5! 2 ·6 p6 − 1
7! 2 ·8 p8
+ . . . , (1.54)
in cui m è una costante che possiamo supporre reale se spostiamo convenientemente
l’origine dei tempi. Derivando rispetto a p, abbiamo, essendo
per la convenzione fatta p = s
D1 = m
D2 = m
1 − 1
2! 2 p2 + 1
4! 2 p4 − 1
6! 2 p6
+ . . . , (1.55)
p − 1
3! 2 p3 + 1
5! 2 p7 − 1
7! 2 p9
+ . . . . (1.56)
Il calore svolto per effetto ohmico lungo un tratto ℓ del conduttore sarà in
medio nell’unità di tempo
Q1 = 1
2 m2
p
ρ ℓ 1 − 1
2! 2 p2 2 + . . .
+
0
p − 1
3! 2 p3
2
+ . . .
8
dp. (1.57)

Volumetto 1: 8 marzo 1927
Invece il calore che si svolgerebbe se la corrente fosse distribuita uniformemente,
è dato da
Q = 1
2 m2ρ 1
p −
p
1
2! 2 ·3 p3 2 + . . .
1
+
2 p2 − 1
3! 2 ·4 p4
2
+ . . . . (1.58)
Chiamando r1 la resistenza apparente del conduttore con corrente alternata,
r la resistenza a corrente continua, risulta:
r1 Q1
=
r Q =
p
1 −
0
1
2! 2 p2 2
+ . . . + p − 1
3! 2 p3
2
+ . . . dp
1
p −
p
1
2! 2 ·3 p3 2
1
+ . . . +
2 p2 − 1
3! 2 ·4 p4 .
2
+ . . .
(1.59)
Il numeratore e il denominatore dell’ultimo membro possono svilupparsi in
serie secondo le potenze di p. Eseguiti gli sviluppi si trova, dividendo per
p,
r1
r =
1 + 1
3! p2 + 1
2! 2 ·5! p4 + 1
3! 2 ·7! p6 + 1
1 + 1
2!·3! p2 +
1
2!·3!·5! p4 +
1
3!·4!·7! p6 +
4! 2 ·9! p8 + . . .
1
4!·5!·9! p8 + . . .
, (1.60)
in cui, liberandoci dai vincoli imposti sulle unità di misura, p = µωs/ρ =
µℓω/r ovvero, prendendo per unità di resistenza l’ohm e per unità di
lunghezza il metro:
p =
µ ω ℓ
10 7 R
= 2πf µ ℓ
10 7 R .
Diamo alcuni valori di R1/R in corrispondenza a dati valori di p: 5
5 Si osservi che l’Autore usa l’equazione (1.60) per ottenere i valori nella
seguente tabella fino a p = 6, mentre per completare la tabella egli utilizza lo
sviluppo contenuto nell’equazione (1.62).
9

Volumetto 1: 8 marzo 1927
[t]
p r1/r
1 1.0782
2 1.2646
3 1.4789
4 1.6779
6 2.0067
10 2.5069
24 3.7274
60 5.7357
100 7.3277
Per piccoli valori di p (p < 1) può adoperarsi la formola:
mentre per valori elevati può servire l’altra
r1
r
r1
r =
= 1 + 1
12 p2 − 1
180 p4 , (1.61)
1 1
p +
2 4
+ 3
64
1
2 p
−1 (1.62)
o l’altra più semplice
r1
r =
1 1
p + , (1.63)
2 4
la prima delle quali dà risultati pressoché esatti (errore relativo < 0.0001)
per p > 10.
1.5 Teoria termodinamica delle pile
termoelettriche
Supponiamo che alla quantità 1 di elettricità 6 sia connessa una certa entropia
S, funzione della natura e della temperatura del conduttore. Se
6 Ossia la quantità di carica elettrica (che fluisce in un conduttore) corrispondente
alla unità di misura scelta.
10

Volumetto 1: 8 marzo 1927
la quantità q di elettricità percorre un elemento conduttore, la sua entropia
passerà da qS a q(S + dS), essendo dS finito o infinitesimo secondo
che gli estremi dell’elemento siano o no di natura diversa. Se prescindiamo
dall’effetto Ohm, che potrà valutarsi a parte, dobbiamo considerare
come reversibile il movimento dell’elettricità; allora all’incremento di entropia
qdS deve corrispondere un assorbimento di calore qT dS, così dove
la natura del conduttore varia, come quando varia soltanto la sua temperatura
(effetto Thomson). Se la quantità q di elettricità percorre un circuito
chiuso la quantità totale di calore assorbito sarà:
q T dS,
in cui l’integrale esteso a tutto il circuito sarà in generale diverso da zero,
purché la temperatura non sia uguale in tutti gli elementi conduttori e vari
inoltre almeno in due punti la loro natura. Se E è l’equivalente meccanico
del calore dovrà allora manifestarsi nel circuito, per la conservazione
dell’energia, una forza elettromotrice e data da:
e = E T dS. (1.64)
Seguono facilmente le leggi fondamentali della pila termoelettrica.
1.6 Energia di un conduttore isolato
Sia σ una superficie conduttrice carica della massa elettrica 1, k la densità
superficiale dell’elettricità, ɛ l’energia del sistema, V il potenziale del
conduttore. Supponiamo che σ si deformi e sia σ1 la deformata e, analogamente,
k1 la densità della nuova distribuzione, ɛ1 l’energia e V1 il potenziale.
Indichiamo con ɛm l’energia mutata delle due distribuzioni e con ɛ(k − k1)
l’energia totale dell’insieme della prima distribuzione e della seconda cambiata
di segno. Avremo evidentemente:
ɛ(k − k1) = ɛ + ɛ1 − ɛm. (1.65)
Supponiamo che σ1 sia tutta esterna a σ; il potenziale del campo prodotto
dalla distribuzione k1 sarà in tutti i punti di σ uguale a V1, avremo quindi:
11

Volumetto 1: 8 marzo 1927
ɛm = V1, e poiché ɛ1 = V1/2, ɛm = 2ɛ1. Sostituendo ricaviamo:
ɛ − ɛ1 = ɛ(k − k1). (1.66)
Se supponiamo che σ1 differisca infinitamente poco da σ, il campo prodotto
dalla differenza delle due distribuzioni sarà nullo all’interno di σ, finito tra
σ e σ1, e infinitesimo fuori di σ1. Anche l’energia di detto campo sarà, per
unità di volume, nulla dentro σ, finita tra σ e σ1, e infinitesima del secondo
ordine fuori di σ1, e poiché lo spazio compreso tra σ e σ1 è infinitesimo
del primo ordine, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo,
dovremo tener conto solo dell’energia di volume contenuta fra σ e σ1. Ma in
questa regione il campo prodotto della seconda distribuzione è nullo, sicché
possiamo dire che per una variazione infinitesima di σ, purché la superficie
variata sia tutta esterna a σ, la diminuzione di energia elettrostatica è
uguale all’energia primitivamente contenuta nello spazio compreso fra σ e la
nuova superficie. Possiamo dare a questa proposizione un’altra forma. Sia
dσ un elemento di σ; l’elemento di volume compreso fra σ, σ1, e le normali
al contorno di dσ vale dσ·dα, essendo dα la distanza fra σ e σ1, l’intensità
del campo nell’interno di detto elemento è, a meno di infinitesimi, 4πk = F ,
perciò l’energia contenuta in detti elemento di volume vale F (k/2)dσdα,
ma kdσ è la massa dm distribuita su dσ onde F (k/2)dσdα = (dm/2)F dα
e integrando in tutto lo spazio fra σ e σ1,
ɛ − ɛ1 = − δɛ = 1
2
o anche, poiché ɛ = 1
2 V e ɛ1 = 1
2 V1,
V − V1 = − δV =
F·δα dm : (1.67)
F·δα dm. (1.68)
È assai facile constatare che questa formola vale anche senza la restrizione
che σ1 sia tutta esterna a σ, purché si intenda sempre per F la forza
esternamente a σ e si assuma dα positiva o negativa secondo che σ1 è
localmente esterna o interna a σ.
12

Volumetto 1: 8 marzo 1927
1.7 Attrazione di masse lontane
Sia dato un sistema di masse attiranti m1, m2, . . . , mn poste nei punti
P1, P2, . . . , Pn,. Sia O il baricentro del sistema, m la sua massa totale.
Fissiamo un sistema di assi cartesiani con l’origine in 0; il potenziale in un
punto P di coordinate x, y, z sarà
V =
=
n
i=1
n
i=1
mi
mi
(x − xi) 2 + (y − yi) 2 + (z − zi) 2 −1/2
2 2 2 2
x + y + z − 2(xxi + yyi + zzi) + xi + y 2 i + z 2−1/2 i .
Se indichiamo con r la distanza di P da O e con α, β, γ i coseni di direzione
della retta OP , avremo:
V =
n
i=1
= 1
r
2 2
mi r − 2r(αxi + βyi + γzi) + xi + y 2 i + z 2−1/2 i
n
i=1
2
mi 1 − (2/r)(αxi + βyi + γzi) − (xi + y 2 i + z 2 i )/r 2−1/2 .
Se r è infinitamente grande la quantità sotto radice differisce dall’unità
per un infinitesimo dello stesso ordine di 1/r; sviluppando secondo questo
infinitesimo e trascurando sotto il segno di sommatorio gli infinitesimi
d’ordine uguale o superiore al terzo, avremo, poiché tutto il sommatorio
va moltiplicato per 1/r, a meno di infinitesimi del quarto ordine:
V = 1
r
n
i=1
+ 1
r 3
mi + 1
r2 n
mi(αxi + βyi + γzi)
i=1
n
3
mi
2 (αxi + βyi + γzi)2 − 1 2
xi + y
2
2 i + z 2 i
,
i=1
e trasformando l’ultimo termine e notando che
i mi = m e
i
miyi = i
mizi = 0, avremo:
V = m
r
+ 1
r 3
n
i=1
mi
2
xi + y 2 i + z 2 i
13
i mixi =

Volumetto 1: 8 marzo 1927
− 3
2
α 2 (y 2 i + z 2
i ) + . . . − 2αβxiyi − . . . ,
cioè, indicando con Ip il momento di inerzia polare rispetto al baricentro
del sistema di masse e con I il momento di inerzia dello stesso sistema
rispetto alla retta OP ,
V = m
r
+ 1
r 3
Ip − 3
2 I
+ infinitesimi del IV ordine, (1.69)
onde il potenziale in punti lontani di un sistema di masse attiranti con la
legge di Newton è determinato, a meno di infinitesimi del quarto ordine,
dalla massa e dal nocciolo centrale d’inerzia del sistema.
Poiché, come risulta dalla (1.69), a meno di un infinitesimo del terzo ordine
si ha V/m = 1/r, noi potremo, nel termine Ip − 3
2 I
r3 che figura nella (1.69)
stessa, sostituire a 1/r il valore approssimato V/m. Risolvendo rispetto a
1/r, abbiamo allora, sempre a meno di un infinitesimo del quarto ordine
1
r
= V
m
− V 3
m 4
Ip − 3
2 I
, (1.70)
e prendendo gli inversi dei due membri avremo a meno di infinitesimi del
secondo ordine
r = m
V
+
V
m2
Ip − 3
2 I
. (1.71)
Poiché si può sempre trovare un omeoide che abbia la stessa massa e lo
stesso nocciolo centrale d’inerzia del sistema dato, concludiamo che le superficie
equipotenziali a distanza infinitamente grande del campo prodotto
da una distribuzione qualsiasi di masse sono, a meno di infinitesimi del
secondo ordine, ellissi omofocali aventi per assi gli assi principali d’inerzia
della distribuzione stessa; mentre, a meno di infinitesimi del primo ordine,
sono sfere aventi per centro il suo baricentro.
14

1.8 Formulario
Volumetto 1: 8 marzo 1927
(S, volume limitato dalla superficie σ)
(1) div (m F) = m div F + grad m × F
(2) div E ∧ F = rot E × F − E × rot F
(3) grad (m n) = m grad n + n grad m
(4) ∆ (m n) = m ∆ n + 2 grad m · grad n + n ∆ m
(5) rot rot E = − ∆ E + grad div E
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
σ
σ
q n dσ =
σ
m En dσ =
S
σ
σ
En dσ =
S
n × F dσ =
p n dσ =
∂q i
∂x
S
div E dS 7
(m div E + grad m · E) dS,
+ ∂q j
∂y
S
S
rot F dS
grad p dS
(11) rot m F = m rot F + grad m × F,
∂q k
+ dS, [q, omografia],
∂z
8
7En indica la componente del vettore E lungo la normale esterna n alla superficie
σ.
8i, j, k sono i versori lungo gli assi coordinati x, y, z.
15

(12)
(13)
(14)
σ
(P − O) ∧ q n dσ =
σ
σ
E En dσ =
Volumetto 1: 8 marzo 1927
S
S
dS,
E En − 1
2 E2
n dσ =
(15) Sia U1 = U1(x1, x2, x3) e
∂q i
(P − O) ∧
∂x
+ ∂q j
∂y
∂q k
+
∂z
E div E − E ∧ rot E + 1
grad E2 dS
2
S
(E div E − E × rot E) dS.
x1 = x1(x, y, z), x2 = x2(x, y, z), x3 = x3(x, y, z); (1.72)
posto U(x, y, z) = U1(x1, x2, x3), si deduce
∆ U = ∂2 U1
∂x 2 1
|grad x1| 2 + . . . + ∂2U1 · 2 grad x1 × grad y1 + . . .
∂x1∂y1
+ ∂U1
∆ x1 +
∂x1
∂U1
∆ y1 +
∂y1
∂U1
∆ z1. (1.73)
∂x3
formole analoghe valgono per trasformazioni in spazi con un numero qualunque
di dimensioni, ed anche fra spazi a un numero differente di dimensioni
purché la (1.72 abbia senso univoco.
1.9 Linee elettriche
Siano r, L, C, g rispettivamente la resistenza, l’autoinduzione, la capacità
e la dispersione per unità di lunghezza. Supponiamo queste quattro
grandezze costanti. Se la linea è percorsa da correnti di frequenza ω/2π,
indicando con V e i rispettivamente il potenziale e l’intensità di corrente
16

Volumetto 1: 8 marzo 1927
(complessi) e con x la distanza dall’origine, le espressioni generali di V e i
sono: 9
V = A cosip(px) + B sinip(px), (1.74)
i = − A q sinip(px) − B q cosip(px) (1.75)
nelle quali A e B sono costanti arbitrarie, mentre si è posto:
p = r + Lωj g + Cωj, q = g + Cωj/ r + Lωj.
Sia ℓ la lunghezza della linea, V0, V1 e i0, i1, rispettivamente, i valori di V
e di i per x = 0 e per x = ℓ. Supponiamo inoltre dato V0 e chiusa la linea
su una resistenza (complessa) R.
Ponendo nella (1.74) x = 0, si ricava:
V0 = A; (1.76)
ponendo invece nelle (1.74), (1.75), x = ℓ, e sostituendo ad A il valore
trovato abbiamo rispettivamente:
V1 = V0 cosip(pℓ) + B sinip(pℓ), (1.77)
i = − V0 q sinip(pℓ) − B q cosip(pℓ) (1.78)
e dovendo essere, per le ipotesi fatte, V1 = Ri1,
V0 cosip(pℓ) + B sinip(pℓ) + V0 R q sinip(pℓ) + B R q cosip(pℓ) = 0,
(1.79)
cioè:
B = − V0
cosip(pℓ) + Rq sinip(pℓ)
. (1.80)
sinip(pℓ) + Rq cosip(pℓ)
Sostituendo nelle (1.74) e (1.75) e dando a x valori opportuni si trovano
facilmente le espressioni:
i0 = V0 q cosip(pℓ) + Rq sinip(pℓ)
,
sinip(pℓ) + Rq cosip(pℓ)
(1.81)
V1 =
V0 R q
,
sinip(pℓ) + Rq cosip(pℓ)
(1.82)
i1 =
V0 q
.
sinip(pℓ) + Rq cosip(pℓ)
(1.83)
9 Per evitare confusioni, l’Autore indica l’unità immaginaria √ −1 con j; i pedici
ip servono invece ad indicare le funzioni iperboliche sinh e cosh.
17

In particolare se R = ∞ si ha:
e se R = 0:
se r = g = 0:
i0 = V0
V1 =
se r = g = 0 e R = ∞:
Volumetto 1: 8 marzo 1927
i0 = V0 q sinip(pℓ)
cosip(pℓ)
V1 =
V0
cosip(pℓ)
(1.84)
(1.85)
i1 = 0; (1.86)
i0 = V0 q cosip(pℓ)
sinip(pℓ)
(1.87)
V1 = 0 (1.88)
i1 =
V0 q
;
sinip(pℓ)
(1.89)
cos
C/L √ LCωℓ + jR C/L sin √ LCωℓ
R C/L cos √ LCωℓ + j sin √ , (1.90)
LCωℓ
V0 R C/L
R C/L cos √ LCωℓ + j sin √ ; (1.91)
LCωℓ
sin
i0 = V0 C/L j √ LCωℓ
cos √ LCωℓ
√
= V0 C/L j tan LCωℓ, (1.92)
V1 =
V0
cos √ ,
LCωℓ
(1.93)
i1 = 0; (1.94)
se r = g = R = 0:
i0 =
C
− V0
L j
1
tan √ ,
LCωℓ
(1.95)
V1
i1
=
=
0,
C
− V0
L
(1.96)
j
1
sin √ .
LCωℓ
(1.97)
18

[ ] 10
Volumetto 1: 8 marzo 1927
1.10 Densità di una distribuzione sferica
Si abbia una distribuzione di masse newtoniane su una superficie sferica
con densità variabile K. Detti V0 e K0 rispettivamente il potenziale e la
densità nel punto O, V il potenziale nel punto generico P , d la distanza
fra P0 e P , e r il raggio della sfera, vale la relazione:
K0 = 1
V0
4π r +
V0 − V
πd3 dσ
, (1.98)
10Nel manoscritto originale è qui riportato un inserto il cui contenuto è il
seguente:
“Se Z è l’impedenza della linea, Y l’ammettenza in derivazione, V0 e i0 il potenziale
e la corrente in arrivo, V1 e i1 quelli in partenza, si ha:
√ Z
V1 = V0 cosip Y Z + i0
Y sinip
√
Y Z,
√ Y
ii = i0 cosip Y Z + V0
Z sinip
√
Y Z.
Sviluppando in serie i primi termini sono:
aV1
ii
=
=
Y Z
V0 1 + + i0 Z
2
Y Z
i0 1 + + V0 Y
2
Il metodo del T darebbe:
e quello del Π
V1 = V0
ii = i0
V1 = V0
ii = i0
1 +
1 +
1 +
1 +
σ
1 +
1 +
Y Z
+ i0 Z 1 +
2
Y Z
+ V0 Y,
2
Y Z
+ i0 Z,
2
Y Z
+ V0 Y 1 +
2
19
Y Z
,
6
Y Z
6
.
Y Z
,
4
Y Z
.
4

Volumetto 1: 8 marzo 1927
nella quale l’integrale va esteso a tutta la superficie sferica.
1.11 Skineffect elettrico limite
Si abbia un conduttore a sezione costante (di forma qualunque) percorso
da corrente alternata. Crescendo indefinitamente la frequenza la corrente
tende a scorrere quasi esclusivamente in uno strato superficiale del conduttore
sempre più sottile. Al limite potremo ritenere il fenomeno della
corrente come puramente superficiale e potremo considerare la densità lineare
di corrente che sarà l’intensità della corrente che attraversa l’unità
di lunghezza del contorno della sezione. Per una data intensità totale di
corrente, al limite sarà nulla la densità superficiale di corrente all’interno
del conduttore e sarà quindi, manifestamente, anche nullo il campo magnetico.
Ora il campo magnetico all’interno del conduttore è dovuto alla
corrente che scorre in superficie e alla magnetizzazione del conduttore, se
questo è magnetico, nel sottile strato superficiale percorso da corrente. Il
secondo contributo tende a zero perché tende a zero il volume dello strato
superficiale mentre non cresce oltre ogni limite l’intensità di magnetizzazione.
Segue che al limite è nullo, all’interno del conduttore, il campo
prodotto dalla corrente. Scomponiamo la corrente che attraversa ogni elemento
del contorno in due componenti, l’una di fase O e l’altra di fase π/2.
Dovrà annullarsi, all’interno del conduttore, sia il campo dovuto alle sole
prime componenti, sia quello dovuto alle sole seconde. Alle correnti elementari
di egual fase possiamo sostituire correnti elementari continue della
stessa intensità efficace; il campo dovuto a queste sarà uguale al campo
efficace prodotto da quelle. Ora è noto che il campo magnetico dovuto a
più correnti continue rettilinee e parallele è ortogonale e numericamente
uguale al campo elettrico prodotto da altrettante distribuzioni lineari di
elettricità con gli assi coincidenti con gli assi delle correnti e le densità lineari
rispettivamente uguali, in valore numerico, alle intensità di correnti.
Nel nostro caso, sostituendo alle correnti elementari che attraversano il
perimetro della sezione siffatte distribuzioni lineari di elettricità, veniamo
ad avere una distribuzione di elettricità su tutta la superficie del conduttore
e la densità superficiale di detta distribuzione è numericamente uguale
20

Volumetto 1: 8 marzo 1927
alla densità lineare di corrente. Ma tale distribuzione deve produrre campo
nullo all’interno onde essa è quella che si produrrebbe naturalmente supposto
il conduttore isolato e carico. Ma tale distribuzione è perfettamente
determinata a meno di un fattore costante e poiché alle densità superficiali
di essa sono proporzionali le densità lineari delle correnti di fase zero, come,
naturalmente, quelle di fase π/2, riassumendo si conclude
(1) Le correnti elementari che scorrono alla superficie del conduttore
hanno tutte la stessa fase.
(2) La densità lineare di tali correnti è proporzionale alla densità superficiale,
calcolata negli elementi di superficie su cui esse scorrono, di
una certa distribuzione superficiale di elettricità che è precisamente
quella che si produrrebbe nel conduttore isolato e carico.
Vediamo ora come varia con la profondità la densità superficiale della
corrente entro il sottile strato conduttore; poiché questo è infinitesimo
potremo, entro una regione indefinitamente estesa rispetto al suo spessore,
considerare come piena la superficie del conduttore e ritenere funzioni della
sola profondità la densità di corrente e il campo. Fissiamo un sistema di
assi cartesiani destrorso con l’origine in un punto della superficie, l’asse
x nella direzione della corrente e l’asse z volto verso la normale interna.
È chiaro che, a meno di infinitesimi la direzione (non necessariamente il
verso) del campo magnetico sarà quella dell’asse y. Detta u la densità di
corrente (complessa) H il campo magnetico (complesso), ρ la resistività
elettrica, le equazioni di Maxwell, trascurate le correnti di spostamento
che non hanno alcuna importanza, divengono:
∂H
∂z
∂u
∂z
= − 4π u, (1.99)
= − µ ω j
ρ
supposta la permeabilità costante si ottiene l’equazione:
la cui soluzione generale è:
H; (1.100)
∂ 2 u 4π µ ω j
= u (1.101)
∂z2 ρ
√
2πµω/ρ (1+j) z −
u = a e
+ b e √ 2πµω/ρ (1+j) z
; (1.102)
21

Volumetto 1: 8 marzo 1927
ma il primo termine deve essere nullo perché tende all’infinito con z.
Avremo quindi:
u = u0 e −√ 2πµω/ρ (1+j) z . (1.103)
Questa è l’equazione in termini simbolici di un’onda smorzata procedente
dall’esterno verso l’interno; la costante di attenuazione è uguale alla costante
di spostamento, analogamente a quando avviene nelle onde di propagazione
del calore, e vale 2πµω/ρ = 2π µf/ρ. La lunghezza d’onda sarà:
λ =
La velocità di propagazione:
e la densità lineare di corrente:
d =
=
2πρ
µω =
v = f λ =
∞
0
1
2π
u dr =
ρ
2µ f
ρ
. (1.104)
µ f
ρ
4π µ ω
u0
√ δ =
ρ f
µ ; (1.105)
u0
√ δ
λ
2π √ 2
(1.106)
u0
√ δ . (1.107)
Segue che la fase di tutta la corrente è in ritardo di 45 o rispetto a quella
della corrente che scorre nello strato immediatamente prossimo alla superficie
del conduttore. Il calore che si sviluppa per effetto Joule nell’unità di
tempo e nell’unità di superficie del conduttore sarà, in unità meccaniche e
indicando con |u0| il modulo del complesso u0:
q =
∞
0
= ρ |u 2 0| 1
4π
ρ |u| 2 dz = |u0| 2
ρ
µ f = |u2 0|
∞
0
ρ e −4π
µ
f ρz dz
ρ λ
. (1.108)
4π
Si dica strato equivalente uno strato di spessore s tale che se la corrente
circolasse in esso con densità uniforme a qualunque profondità si svilupperebbe
la stessa quantità di calore. Avremo:
ρ |d2 |
s = ρ |u20| λ
; (1.109)
4π
22

da cui per la (1.107) si deduce
Volumetto 1: 8 marzo 1927
s = λ
2π
1 ρ
= . (1.110)
2π µ f
Agli effetti della resistenza ohmica si può quindi ritenere che la corrente
fluisca entro lo strato equivalente con densità indipendente dalla profondità,
ma variabile da un punto all’altro del contorno del conduttore. È
quindi errato il calcolare la resistenza per unità di lunghezza del conduttore
dividendo la resistività per l’area della sezione dell’intero strato equivalente.
Tale calcolo è esatto solo per la sezione circolare; in tutti gli altri
casi dà per la resistenza valori inferiori al vero.
Consideriamo ora appunto, una sezione circolare; se r è il suo raggio,
la sezione equivalente ha la forma di una corona circolare di raggio esterno
r e spessore s. La sua area sarà 2πrs − πs 2 ; osserviamo però che s è infinitesimo
ed è stato determinato in prima approssimazione, cioè a meno di
infinitesimi del secondo ordine, onde per provare la leggittimità del secondo
termine nell’espressione ora scritta ove si intenda di attribuire a s il valore
dato dalla (1.110) bisogna ricorrere ad altra via. Precisamente chiamando
A l’area della sezione equivalente risulta dalla (1.63) a meno di infinitesimi:
πr 2
A =
1 1
p +
2 4 =
µ ω
2ρ πr2 + 1
4
= πr
µ f
ρ
+ 1
4
(1.111)
e moltiplicando per A che è infinitesimo di primo ordine e dividendo per
il secondo membro che è infinito del primo ordine, risulta a meno di in-
finitesimi del terzo ordine:
A =
πr 2
µf 1
πr +
ρ 4
ρ
= r
µ f
1
1 + 1
ρ
4πr µf
=
ρ
r −
µ f
1 ρ
,
4π µf
(1.112)
e finalmente ricordando la (1.110)
A = 2π r s − πs 2
= 2π r − s
2
come ci eravamo proposti di dimostrare.
23
s, (1.113)

Volumetto 1: 8 marzo 1927
Passiamo ora alle sezioni di forma qualunque. Il procedimento che
seguiremo sarà quello di ricondurre tali sezioni a sezioni circolari equivalenti
per ciò che riguarda la resistenza nel caso di un effetto pellicolare
infinitamente pronunziato; notiamo una volta per sempre che prendendo la
frequenza all’infinito, tale equivalenza ha luogo in generale solo per la prima
approssimazione; onde trovato il raggio del cerchio equivalente e calcolata
la sezione dello strato equivalente mediante la (1.113), si commette un
errore che è infinitesimo del secondo ordine e non del terzo come la forma
della (1.113) parrebbe indicare; ma benché l’errore che si commette nel
calcolo di A con la (1.113) è dello stesso ordine di grandezza del termine
−πs 2 , conviene tuttavia tener conto di tale termine, anziché trascurarlo,
perché si ottiene in generale un’approssimazione migliore.
Se d è la densità lineare di corrente il calore sviluppato nell’unità di
tempo per unità di lunghezza del conduttore e per ogni elemento dℓ del
contorno sarà, a meno di un fattore costante, d 2 dℓ, e il calore complessivo
per unità di lunghezza e di tempo:
Q = c
L’intensità totale di corrente sarà:
i =
d 2 dℓ. (1.114)
d dℓ. (1.115)
Sostituendo alla sezione data il cerchio equivalente di perimetro p avremo:
donde
Si deduce in ogni caso:
p =
Q = c 1
p
2
d dℓ
2 d dℓ , (1.116)
d 2 dℓ . (1.117)
p ≤ ℓ. (1.118)
24

Volumetto 1: 8 marzo 1927
1.12 Skineffect elettrico limite per sezioni
particolari. Indicazioni per sezioni
qualunque.
1.12.1 Sezioni ellittiche
d è notoriamente proporzionale alla proiezione del raggio vettore sulla normale;
per un’ellisse di semiassi a e b avremo nel punto generico (a cos t,
b sin t), essendo c una costante
d =
dℓ =
c
a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t , (1.119)
a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt. (1.120)
Chiamando r il raggio del cerchio equivalente e sostituendo nella (1.117)
abbiamo
p = 2πr = 4π 2
−1 2π
dt
, (1.121)
0 a2 2 sin t + b2 cos2 t
cioè, limitando l’integrale a un quarto dell’ellisse:
r = π
2π
2 0
Riportiamo alcuni valori di r:
−1 dt
. (1.122)
a2 2 sin t + b2 cos2 t
25

Volumetto 1: 8 marzo 1927
a b r rA rp
1 0.9 0.949 0.949 0.951
1 0.8 0.897 0.894 0.903
1 0.7 0.843 0.837 0.857
1 0.6 0.787 0.775 0.813
1 0.5 0.728 0.707 0.771
1 0.4 0.666 0.632 0.733
1 0.3 0.598 0.548 0.698
1 0.2 0.520 0.447 0.669
1 0.1 0.425 0.316 0.647
1 0 0 0 0.637
Emerge dal quadro qui sopra che il cerchio equivalente è sempre più prossimo
a quello di ugual area che a quello di ugual perimetro, benché il
rapporto tra esso e il cerchio di uguale area sia infinito per eccentricità
infinite; tuttavia per b/a = 0.1 tale rapporto (rapporto dei raggi) non
giunge ancora a 1.35. Appare quindi errato il suggerimento dato da alcuni
autori di sostituire per approssimazione a una sezione irregolare il cerchio di
ugual perimetro anziché quello di uguale area; e ciò anche per l’osservazione
che segue.
1.12.2 Influenza delle irregolarità del contorno
Supponiamo che a una sezione a contorno regolare (cioè con il raggio di
curvatura del contorno mai troppo piccolo rispetto alle dimensioni della
sezione) se ne sostituisca un’altra quasi sovrapponibile alla prima, ma con
il contorno ondulato.
È chiaro che l’area della sezione non sarà sensibil-
mente cambiata, mentre il perimetro può essere accresciuto sensibilmente;
si tratta di vedere in che senso vari la resistenza apparente in regime di
skineffect infinito.
Per necessità di calcolo supponiamo le ondulazioni infinitamente piccole.
Consideriamo un piccolo tratto del contorno della prima sezione
parecchie volte più lungo di ciascuna ondulazione, nella seconda sezione
corrisponde ad esso un tratto ondulato. Supponiamo di caricare il conduttore
con la quantità di elettricità q per ogni unità di lunghezza; il perimetro
26

Volumetto 1: 8 marzo 1927
del cerchio equivalente vale, essendo d la densità dell’elettricità (cfr. la
(1.117)):
p = q 2
d 2 −1 dℓ , (1.123)
ma d 2 dℓ non è altro, a meno del fattore 2π, che il valore numerico dello
sforzo elettrostatico che si esercita sull’elemento d’onda 11 dℓ·û; ora è chiaro
che sostituendo al contorno regolare il contorno ondulato la distribuzione
dell’elettricità non varia sensibilmente purché si considerino tratti del contorno
comprendenti molte ondulazioni; segue (fig) che nel tratto quasi piano
ABC relativo alla prima sezione, e nel tratto ondulato ABC ′ si esercita
press’a poco lo stesso sforzo elettrostatico; ma mentre nel primo caso tale
sforzo deriva dalla composizione di sforzi elementari quasi paralleli, nel
secondo caso deriva dalla composizione di sforzi di direzione variabile.
A
C C’
B
Segue che la somma aritmetica degli sforzi è maggiore nel secondo caso.
11 Con û viene indicata una generica direzione che parte da un punto del bordo.
27

Volumetto 1: 8 marzo 1927
Si conclude per la (1.123) che passando dal contorno regolare al contorno
ondulato il perimetro della sezione aumenta, mentre il raggio del cerchio
equivalente diminuisce. Combinando tale risultato con quelli ottenuti intorno
alle sezioni ellittiche si conclude intuitivamente che per una sezione
sensibilmente allungata e un po’ irregolare come quella di una rotaia il
raggio del cerchio equivalente è solo lievemente maggiore di quello del cerchio
di uguale area, mentre è sensibilmente minore di quello del cerchio di
uguale perimetro.
1.13 Perdite per isteresi nei conduttori
magnetici in regime di effetto
pellicolare limite
Per trovare le formole (v. §11) relative all’effetto pellicolare limite abbiamo
supposto costante il coefficiente di permeabilità e trascurata l’influenza
dell’isteresi; ma di tale influenza si può sommariamente tenere conto ritenendo
che essa si manifesti essenzialmente mediante un ritardo di fase α
dell’ondulazione rispetto al campo magnetico. Con le notazioni simboliche
µ, rapporto tra grandezze alternate di fase diversa, sarà immaginario e
avrà per argomento −α, quantità che per necessaria semplicità di calcolo
riterremo costante. Poniamo µ sotto la forma
µ = µ0 e −iα . (1.124)
Tutte le formole in notazioni simboliche di (§11) saranno valide purché si
intenda µ come complesso. Sostituendo poi a µ la sua espressione data
dalla (1.124), le formole (1.103) e (1.106) divengono rispettivamente:
e
u = u0 exp{−2π µ0f/ρ [cos(45 o − α/2) + j sin(45 o − α/2)] z} (1.125)
d = u0
ρ
2π 2µ0 f
cos 45 o − α
2
− j sin
45 o − α
2
. (1.126)
Segue che il ritardo della corrente sul campo elettrico alla superficie del
conduttore vale 45 o − α/2. Alle (1.104), (1.105), e (1.110) andranno sosti-
28

tuite le altre:
Volumetto 1: 8 marzo 1927
λ =
ρ
2µ0 f
1
sin(45o
− α/2)
(1.127)
v =
ρ f 1
2µ0 sin(45o q1 =
− α/2)
|u0|
(1.128)
2
1 −ρ ρ
4π 2µ0 f cos(45o s1 =
− α/2)
(1.129)
cos(45o
− α/2) ρ
.
π 2µ0 f
(1.130)
Segue dalla (1.127) che la lunghezza d’onda aumenta e dalla (1.130) che
le perdite per effetto Joule diminuiscono in conseguenza dell’isteresi. Ma
q1 nella (1.129) è il calore perduto per solo effetto Joule e s1 nella (1.130)
non è lo spessore dello strato equivalente che per ciò che riguarda l’effetto
Joule; chiameremo al contrario q la quantità totale di energia perduta e s
lo spessore dello strato equivalente vero, cioè tenuto conto delle perdite per
isteresi. La quantità di energia che nell’unità di tempo attraversa l’unità
di superficie del conduttore per trasformarsi in calore, vale per il teorema
di Poynting:
E H
q = cos ϕ (1.131)
4π
nella quale E è il valore efficace del campo elettrico alla superficie del
conduttore, H il valore efficace del campo magnetico e ϕ la differenza di
fase tra campo elettrico e magnetico. Nel nostro caso avremo:
e quindi:
q =
s =
E = |u0| ρ (1.132)
H = 4π |d| = 2 u0
ϕ = 45 o − α
2
ρ |u0| 2
2π
ρ
2µ0 f cos
1
2π cos(45 o − α/2)
29
ρ
2µ0 f
(1.133)
(1.134)
45 o − α
(1.135)
2
ρ
. (1.136)
2µ0 f

Volumetto 1: 8 marzo 1927
Chiamando q2 il calore sviluppato per la sola isteresi abbiamo:
q2 = q − q1 =
q2
q1
ρ |u0| 2
4π
ρ
2µ0 f
sin α
cos(45 o − α/2)
(1.137)
= sin α. (1.138)
Chiamando poi q0 il calore che si svilupperebbe in assenza di isteresi
per un medesimo valore della corrente, ciò che è lo stesso come dimostra
la (1.126), per un medesimo valore di |u0|, abbiamo:
q0 = ρ |u0| 2
1 ρ
4π µ0 f
(1.139)
q
q0
= cos α α
+ sin
2 2
(1.140)
q0 − q1
= sin α/2 + cos α/2 − 1
.
sin α
(1.141)
q2
Si rileva da quest’ultima equazione che la perdita per isteresi è, nel caso
di isteresi debole, compensata per metà dalla diminuzione di perdita per
effetto Joule; nel caso di isteresi forte tale compenso è, relativamente, un
po’ minore. Si rileva dalla (1.138) che il rapporto fra perdita di isteresi e
perdita per effetto Joule è indipendente dalla frequenza.
Se su una retta si segnano i punti O, Q0, Q1, e Q, essendo OQ 0 = q0,
OQ 1 = q1, OQ = q, si ottiene un gruppo armonico.
1.14 Campo prodotto nel suo piano da
una distribuzione lineare omogenea
circolare di masse newtoniane
Sia r il raggio del cerchio sulla cui circonferenza sono distribuite le masse,
K la densità lineare della distribuzione. Detta x la distanza dall’asse, il
campo vale nei punti interni:
E = 2πK
r
1 x
·
2 r
+ 1
2
· 9
8
x3 1 9 25 x5
· + · · · + . . . ; (1.142)
r3 2 8 24 r5 30

Volumetto 1: 8 marzo 1927
nei punti esterni:
E = 2πK
r
2
r 3 r4 3 15 r6 3 15 35 r8
+ · + · · + · · · + . . . .
x2 4 x4 4 16 x6 4 16 36 x8 (1.143)
In entrambe le serie, che sono sempre convergenti, i coefficienti a dei termini
a(x/r) ±n tendono, per n → ∞, a 2/π.
1.15 Campo prodotto nel suo piano da
una corrente circolare
Sia i l’intensità della corrente, r il raggio del cerchio. Detta x la distanza
dall’asse, il campo vale nei punti interni:
H = 2πi
1 +
r
3
x2 3 15 x4 3 15 35 x6
· + · · + · · · + . . . , (1.144)
4 r2 4 16 r4 4 16 36 r6 e nei punti esterni:
H = − 2πi
1 r3 1 9 r5 1 9 25 r7 1 9 25 49 r9
· + · · + · · · + · · · · + . . . .
r 2 x3 2 8 x5 2 8 24 x7 2 8 24 48 x9 (1.145)
Queste formole si deducono facilmente da quelle del n. precedente.
1.16 Effetto pellicolare debole in
conduttori a sezione ellittica aventi
la stessa permeabilità del mezzo
La resistenza apparente in un conduttore a corrente alternata può porsi in
generale nel caso di skineffect debole, sotto la forma
2
1 + c p , (1.146)
Ra = Rc
31

Volumetto 1: 8 marzo 1927
dove Rc è la resistenza a corrente alternata e si è posto inoltre p = µω/ρ,
essendo µ la permeabilità del conduttore e ρ la sua resistenza per unità
di lunghezza; c è un coefficiente che dipende dalla forma della sezione e
dalla permeabilità del conduttore e del mezzo. Per conduttori a sezione
circolare si ha sempre c= 1/12. Quando mezzo e conduttore hanno la
stessa permeabilità, c diviene un coefficiente di forma. Esso si calcola
in ogni caso ritenendo che la differenza di forza elettromotrice fra due
linee di corrente, dovuta alle variazioni di flusso all’interno del conduttore,
sia, in prima approssimazione, uguale a quella che si avrebbe nel caso
di una distribuzione uniforme della corrente. Se la sezione è ellittica, e
il conduttore e il mezzo sono egualmente permeabili, la differenza di forza
elettromotrice fra linea di corrente centrale e quella che attraversa la sezione
nel punto (x, y) vale, se x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 è l’equazione della sezione:
b
E = 2π µ ω u
a + b x2 + a
a + b y2
, (1.147)
essendo u la densità di corrente, ed è spostata di 90 o rispetto alla corrente.
È allora facile calcolare il coefficiente c. Si trova:
ovvero, ponendo k = b/a,
c = 3a2 − 2ab + b 2
12(a + b) 2 , (1.148)
c =
3 − 2k + 3k2
. (1.149)
12(1 + k) 2
Riportiamo nella tabella il valore di c per diversi valori di k.
k c (c(ki) − c(ki−1))×10 4
1.00 0.0833
0.90 0.0838 5
0.80 0.0854 16
0.70 0.0885 31
0.60 0.09375 52
0.50 0.1019 82
0.40 0.1139 120
0.30 0.1317 178
0.20 0.1574 257
0.10 0.1949 375
0.00 0.2500 551
32

Volumetto 1: 8 marzo 1927
1.17 Scariche oscillanti nei condensatori
Chiudendo un condensatore di capacità C, carico della quantità di elettricità
Q su un circuito di resistenza R e autoinduzione L, ha luogo, se la
resistenza non è troppo grande, una scarica oscillante. Detto T il periodo
dell’oscillazione, t il tempo in capo al quale la corrente raggiunge il suo
valore massimo imax, k il rapporto tra l’intensità di corrente al tempo t
e quella al tempo t − T , si hanno per queste grandezze, al variare di r, i
seguenti valori:
4L
R/
C
T
2π √ LC
t
2π √ LC
t
T
imax/ Q
√
LC
k
0 1.000 0.2500 0.2500 1.000 1.000
0.1 1.005 0.2352 0.2341 0.863 0.532
0.2 1.021 0.2224 0.2180 0.756 0.277
0.3 1.048 0.2112 0.2015 0.672 0.139
0.4 1.091 0.2013 0.1845 0.603 0.064
0.5 1.155 0.1925 0.1667 0.546 0.027
0.6 1.250 0.1845 0.1476 0.499 0.0090
0.7 1.400 0.1773 0.1266 0.459 0.0021
0.8 1.667 0.1707 0.1024 0.424 0.00023
0.9 2.294 0.1647 0.0718 0.394 0.000002
1 ∞ 0.1592 0.0000 0.368 0.000
2 0.1210 0.218
10 0.0479 0.049
100 0.0084 0.005
Posto R1 = Ri/ 4L/C, valgono le seguenti formole:
(a) Per R1 < 1:
T = 2π√LC
2 1 − R1 √
LC
t =
2 1 − R1 t
T
= arccos R1
2π
arccos R1
33
(1.150)
(1.151)
(1.152)

Volumetto 1: 8 marzo 1927
imax =
Q
√ exp −
LC Rt
=
2L
Q
=
arccos R1
√ exp −R1
LC 2 1 − R1
Q
√ exp −
LC RT
arccos R1
=
2L 2π
Q
√ exp −
LC tR1
√
LC
k =
T R1
exp − √
LC
= exp −
(1.153)
R12π
.
2 1 − R1 (1.154)
(b) Per R1 > 1:
t = √ LC
imax =
=
(c) Per R1 grandissimo:
Q
√ LC
Q
√ LC exp
log R1 + R2
1 − 1
2 R1 − 1
R1
(1.155)
R1 + R2 −
2
1 − 1 R1 − 1
t − R1
√ . (1.156)
LC
t = √ log 2R1
LC =
R1
2L
log 2R1 (1.157)
r
Q 1 log 2R1 − 1/2
imax = √ −
LC 2R1 4R3
. (1.158)
1
34

Volumetto 1: 8 marzo 1927
1.18 Autoinduzione di una bobina di
grande lunghezza ad asse rettilineo
e sezione circolare e a parecchi strati
Eguagliando a (1/2)Li 2 l’energia elettromagnetica del sistema quando la
bobina è percorsa dalla corrente i si ottiene:
L = 4π 2 n 2
1
ℓ
2 r2 1 + 1
3 r1 r2 + 1
6 r2
2 , (1.159)
essendo n il numero di spire per cm, ℓ la lunghezza della bobina, r1 il suo
raggio interno, r2 quello esterno. Questa formola può anche scriversi:
dove si è posto
L = 4π n 2 ℓ S, (1.160)
S = 3S1 + 2 √ S1S2 + S2
, (1.161)
8
essendo S1 e S2 rispettivamente la sezione interna ed esterna della bobina.
Se la differenza relativa tra S2 e S1 non è molto grande si può porre approssimativamente:
S = 1
(2S1 + S2). (1.162)
3
La (1.160) vale naturalmente per sezioni anche diverse dalla circolare,
purché gli strati di spire si succedano uniformemente ed abbiano sezioni
omotetiche.
35

Volumetto 1: 8 marzo 1927
1.19 Energia di una distribuzione
circolare uniforme di masse
elettriche o magnetiche
Detto R il raggio del cerchio α su cui sono distribuite le masse, ρ la densità
e Q la massa totale della distribuzione, si calcola immediatamente il
potenziale nel centro del cerchio:
V0 = 2π R ρ = 2
Q. (1.163)
R
Fissato un sistema d’assi Oxyz con l’origine nel centro del nostro cerchio
e l’asse z normale ad esso, vale per le componenti in un punto generico
Ex, Ey, Ez del campo fuori della distribuzione di masse l’equazione:
∂Ex
∂x
+ ∂Ey
∂y
+ ∂Ez
∂z
= 0. (1.164)
Tale equazione non è più valida nei punti del cerchio su cui sono distribuite
le masse, nei quali ∂Ez/∂z è infinito; tuttavia potremo continuare a ritenerla
valida anche in tali punti a patto di sostituire a ∂Ez/∂z in uno generico
di questi punti il limite dei valori che tale quantità assume nella regione
infinitamente prossima esterna al piano xy. Ora abbiamo in generale:
Ez = ρ ω, (1.165)
essendo ω l’angolo solido sotto cui si vede da un punto generico il cerchio
α; e quindi
∂Ez ∂ω
= ρ . (1.166)
∂z ∂z
Si rivela da tale espressione che ∂Er/∂r è numericamente uguale, salvo il
segno, alla componente Hz del campo magnetico prodotto da una corrente
di intensità ρ che percorra il contorno del cerchio α. È nota l’espressione
di tale componente nel piano xy, mediante sviluppi in serie (vedi paragrafo
1.15). Sostituendo nella (1.166), si ricava per i punti interni ad α
∂Ez
∂z
= − 2πρ
R
1 + 3 r2
·
4 R
essendo r la distanza dal centro.
3 15 r4 3 15 35 r6
+ · · + · · · + . . . , (1.167)
2 4 16 R4 4 16 36 R6 36

Volumetto 1: 8 marzo 1927
La componente Er del campo secondo il piano xy è diretta radialmente
e dipende, nel piano xy, dalla sola r. Avremo
Ex = x
Er, (1.168)
r
Ey = y
Er. (1.169)
r
Derivando e sostituendo nell’equazione di Laplace 12 si ricava
Er
r
∂Er
+
∂r
2πρ
= 1 +
R
3
r2 3 15 r4 3 15 35 r6
· + · · + · · · + . . . .
4 R2 4 16 R4 4 16 36 R6 (1.170)
Questa equazione permette di sviluppare in serie Er secondo le potenze di
r. Si ottiene:
Er = πρ
r +
R
1
3 r3 1 3 15 r5 1 3 15 35 r7
· · + · · · + · · · · + . . . .
2 4 R2 3 4 16 R4 4 4 16 36 R6 (1.171)
Il potenziale alla distanza r dal centro sarà:
r
V = V0 − Er dr
=
0
Q
2 −
R
1 r2 1 1 3 r4 1 1 3 15 r6
· − · · · − · · · ·
2 R2 2 22 4 R4 2 32 4 16 R6 − 1
=
1 3 15 35 r8
· · · · · + . . .
2 42 4 16 36 R8 Q
2 −
R
1
2 ·
2
r 1 3 r4 1 3 15 r6
+ · · + · · ·
R2 4 4 R4 9 4 16 R6 + 1
3 15 35 r8
· · · · + . . .
16 4 16 36 R8 = Q
R
2
π
π
Il potenziale VR alla periferia risulta:
VR = Q
2 −
R
1
4 −
2
8
π
0
1 + (r/R) cos α
1 + 2(r/R) cos α + (r 2 /R 2 ) dα. (1.172)
= Q
R
12 O, più precisamente, nella prima equazione di Maxwell.
37
4
π
Q
= 1.2732 . (1.173)
R

Il potenziale medio Vm sarà:
Vm =
R
0
= Q
R
Volumetto 1: 8 marzo 1927
R
V r dr/
2 − 1
2 ·
0
r dr
1 1 3 1
+ · +
1·2 4·3 4 9·4
3 15
· · + . . .
4 16
1
+
n2 3 15 35 63
· · · ·
(n − 1) 4 16 36 64 ·s 4(n − 1)2 − 1
4(n − 1) 2
=
·s + . . .
Q
2 −
R
1
4 −
2
32
=
3π
Q 16 16
= R ρ
R 3π 3
= 4
3 VR = 1.69765 Q
.
R
(1.174)
L’energia della distribuzione sarà dunque:
E = 1
2 Q Vm = Q2
R
8
3π
Q2
= 0.84883 . (1.175)
R
È interessante notare, a titolo di confronto, che la quantità di elettricità
Q, distribuita su una lamina conduttrice circolare di raggio R, assumerebbe,
in assenza di altri conduttori, il potenziale (π/2)Q/R. Segue
che l’energia inerente alla distribuzione uniforme sta all’energia inerente
alla distribuzione a cui corrisponde il minimo di energia nel rapporto
Vm
πQ/2R
= 16/3π
π/2
32
= = 1.08076. (1.176)
3π2 1.20 Autoinduzione di una bobina ad asse
rettilineo e di limitata lunghezza
Qualunque sia la forma della sezione e lo spessore dell’avvolgimento, se la
bobina fosse di lunghezza infinita il campo in un punto generico P avrebbe
la direzione della bobina e il valore 4πni, essendo i l’intensità della corrente
e n il numero di spire esterne a P per ogni unità di lunghezza. Se invece
38

Volumetto 1: 8 marzo 1927
la bobina è di lunghezza limitata, al campo suddetto va aggiunto quello
dovuto a due distribuzioni superficiali di masse magnetiche, σ1 e σ2, poste
rispettivamente sulla sezione esterna anteriore e posteriore della bobina e
di densità superficiale rispettivamente ni e −ni. Supponiamo che la bobina
sia percorsa dalla corrente unitaria. Le distribuzioni σ1 e σ2 avranno la
densità n e −n. Fissato un sistema d’assi con l’asse delle x nella direzione
della bobina e chiamate H ′ x, H ′ y, H ′ z le componenti del campo dovuto alle
distribuzioni σ1 e σ2, le componenti del campo complessivo saranno in un
punto qualunque dello spazio:
L’energia totale del sistema sarà
ɛ = 1
8π
Hx = 4π n + H ′ x
Hy = H ′ y (1.177)
Hz = H ′ z
(H 2 x + H 2 y + H 2 z ) dV, (1.178)
essendo l’integrale esteso a tutto lo spazio. Ma poiché la corrente è unitaria
avremo:
ɛ = 1
e quindi
L
2
(1.179)
L = 1
4π
(H 2 x + H 2 y + H 2 z ) dV
=
4π n 2 dV + 1
4π
(H ′2
x + H ′2
y + H ′2
z ) dV +
2n H ′ x dV.
(1.180)
Il primo termine del secondo membro è l’autoinduzione L1 che competerebbe
alla bobina se le sue dimensioni trasversali fossero trascurabili di
fronte alla sua lunghezza, o meglio se il flusso che attraversa ogni spira fosse
uguale a quello che l’attraverserebbe nel caso di una bobina infinitamente
lunga. Il secondo termine è il doppio dell’energia propria ɛ ′ che spetta
all’insieme della distribuzione σ1 e σ2.
Quanto al terzo termine osserviamo che n deve ritenersi nullo non solo
fuori della bobina, ma anche al di là della sezioni estreme. La funzione
integranda è quindi diversa da zero solo in un tronco di cilindro che ha per
39

Volumetto 1: 8 marzo 1927
basi le sezioni estreme della bobina. Integrando prima rispetto x e detta ℓ
la lunghezza della bobina e S la sua sezione avremo
2n H ′ a+ℓ
x dV = dy dz 2n H ′ x dx, (1.181)
S
essendo a l’ascissa della faccia negativa della bobina. Ora a+ℓ
a
H′ xdx non è
che la differenza di potenziale magnetico, dovuta alle sole distribuzioni σ1
e σ2, fra due punti corrispondenti nelle sezioni estreme della bobina. Ma,
poiché, per regioni di simmetria, se E è il potenziale magnetico dovuto
alle distribuzioni σ1 e σ2 in un punto della faccia positiva, il potenziale nel
punto corrispondente della faccia negativa sarà −E, avremo, badando ai
segni
2n H ′
x dV = − 4n E dy dz. (1.182)
S
ed essendo ovviamente
S nEdydz = ɛ′ , sostituendo nella (1.180) si ha
L = L1 + 2ɛ ′ − 4ɛ ′ = L1 − 2ɛ ′ , e ponendo
sarà
L = K L1
a
(1.183)
K = 1 − 2ɛ′
. (1.184)
1.21 Distanze medie di elementi di
volume o superficiali o lineari
(Si veda il paragrafo 2.39.6.)
(1) Media armonica delle distanze tra volume di una sfera di raggio R:
L1
dm = 5
R = 0.8333 R. (1.185)
6
(2) Media armonica delle distanze fra gli elementi di superficie di un
cerchio di raggio R:
dm = 3π
R = 0.58905 R. (1.186)
16
40

Volumetto 1: 8 marzo 1927
(3) Media geometrica delle distanze fra gli elementi di superficie di un
cerchio di raggio R:
dm = R e −1/4 = 0.7788 R. (1.187)
(4) Distanza media geometrica fra gli elementi di segmento rettilineo
lungo a:
dm = R e −3/2 = 0.2231 a. (1.188)
(5) Media aritmetica delle distanze fra gli elementi di superficie di un
cerchio di raggio R:
dm = 128
R = 0.9054 R. (1.189)
45π
(6) Radice quadrata della media dei quadrati delle distanze fra gli elementi
di superficie di un cerchio di raggio R:
dm = R. (1.190)
(7) Radice n-esima della media delle potenze n-esime delle distanze fra
gli elementi di superficie di un cerchio di raggio R:
se n è pari
dm = 2R n
16 1·3·5··s·(n + 1)
,
(n + 2)(n + 4) 2·4·6··s·(n + 2)
(1.191)
se n è dispari
dm = 2R n
32 2·4·6··s·(n + 1)
.
π(n + 2)(n + 4) 3·5·7··s·(n + 2)
(1.192)
1.22 Somma di alcune serie
(Si vedano i paragrafi 2.28 del 2 ◦ vol.; e 3.1 del 3 ◦ vol.)
41

(1)
(2) 1 + 1 3
·
4 4
(3)
Volumetto 1: 8 marzo 1927
1 − 2
+
π
1
3 2
− +
2 4 π
1
3 15 2
− + . . .
3 4 16 π
= 4 log 2 − 2
π/2
1 3·15 1 3·15·35 1 3·15·35·63
+ · + · + · + . . .
9 4·16 16 4·16·36 25 4·16·36·64
= 4 − 8
π
1 1 1 1 3 1 1 3·15 1 1 3·15·35
· + · · + · · + · · + . . .
2 12 3 22 4 4 32 4·16 5 42 4·16·36
= 4 − 32
3π
(1.193)
(1.194)
(1.195)
(4) 1 + 1 1 π2
+ + . . . = = 1.64493407
4 9 6
(1.196)
(5) 1 + 1 1 1
+ +
8 27 64 . . . = (1.197)
(6) 1 + 1 1 1
π4
+ + + . . . =
16 81 256 90
(7) 1 + x + x 2 + . . . =
1
(8) x + 2x 2 + 3x 3 + . . . =
(9) x + 4x 2 + 9x 3 + 16x 4 + . . . =
1 − x
x
(1 − x) 2
x(1 + x)
(1 − x) 3
(10) x + 8x 2 + 27x 3 + 64x 4 + . . . = x(1 + 4x + x2 )
(1 − x) 4
(11) sin x + 1 1
sin 3x +
3 5
(12) sin x + 1 1
sin 2x +
2 3
π
sin 5x + . . . = , 0 < x < π
4
π − x
sin 3x + . . . = , 0 < x < 2π
2
42
(1.198)
(1.199)
(1.200)
(1.201)
(1.202)
(1.203)
(1.204)

Volumetto 1: 8 marzo 1927
(13) cos x + cos 2x + cos 3x + . . . + cos nx
(14)
= sin (n + 1/2) x
2 sin x/2
sin 2 x
1 + sin2 2x
+
4
sin2 3x
+ . . . = x
9
(15) sin 2 x + sin2 3x
9
(16)
cos x
1
+ cos 2x
4
− 1
2
(1.205)
π − x
, 0 < x < π (1.206)
2
+ sin2 5x
25 + sin2 7x π
+ . . . =
49 4 x,
+ cos 3x
9
0 < x < π/2 (1.207)
1
+ . . . =
4 x2 − π 1
x +
2 6 π2 ,
0 < x < 2π. (1.208)
1.23 Autoinduzione di una bobina
rettilinea di lunghezza limitata a
sezione circolare e avvolgimento di
piccolo spessore
(Questo paragrafo è la continuazione del numero 1.20.)
Se N è il numero delle spire, ℓ la lunghezza della bobina, d il suo diametro,
il coefficiente di autoinduzione può porsi sotto la forma:
L = K π 2 d 2 N 2
ℓ
, (1.209)
essendo K un coefficiente numerico minore di uno e tanto più prossimo
all’unità quanto più è piccolo il rapporto d/ℓ. Il coefficiente K può essere
43

Volumetto 1: 8 marzo 1927
calcolato in base all’espressione data nel paragrafo 1.20. Per d/ℓ ≤ 1, vale
lo sviluppo in serie
K = 1 − 4 d
3π ℓ
− 35
16384
±
1
+
8
8 d
ℓ
1
(n + 1)(2n − 1)
2 d
−
ℓ
1
d
64 ℓ
+ 147
d
131072
ℓ
10
4
1·3·5·s(2n − 1)
2·4·6·s2n
+ 5
1024
+ . . .
6 d
ℓ
2 2n d
∓ . . . . (1.210)
ℓ
Se invece si pone: p = d 2 /(ℓ 2 + d 2 ) vale in ogni caso lo sviluppo in serie:
K = 1 − 4 d
3π ℓ
1 7
+ p +
8 64 p2 + 101
1024 p3 + 1485
16384 p4
+ 11059
131072 p5 + 83139
1048576 p6 + . . . . (1.211)
Se si chiama genericamente bnp n il termine in p n di questa serie e an(d/ℓ) 2n
il termine in (d/ℓ) 2n nella serie scritta in (1.210) vale la relazione:
bn = a1 − n a2 +
Al limite n → ∞ si ha:
n(n − 1)
2
a3 −
n(n − 1)(n − 2)
3!
bn − 4/3π
lim
n→∞
√ πn
bn
Con sette decimali i primi termini dello sviluppo sono:
a4 + . . . ± n an−1 ∓ an.
(1.212)
= 0. (1.213)
K = 1 − 0.4244132 d/ℓ + 0.125 p + 0.109375 p 2 + 0.0986328 p 3
+ 0.0906372 p 4 + 0.0843735 p 5 + 0.0792875 p 6 + . . . . (1.214)
Per d/ℓ grandissimo si può usare la formola approssimata:
K =
2
log 4
π d/ℓ
d
−
ℓ
1
2
=
2
log π
π d/ℓ
d
− 0.258 . (1.215)
ℓ
44

Volumetto 1: 8 marzo 1927
che si deduce facilmente dalla nota espressione del coefficiente d’autoinduzione
per una spira circolare. Nella tabella 13 sono riportati i valori di K
per d/ℓ ≤ 10.
d/ℓ K
0.1 0.9588
0.2 0.9201
0.3 0.8838
0.4 0.8499
0.5 0.8181
0.6 0.7885
0.7 0.7609
0.8 0.7351
0.9 0.7110
1 0.6884
Tornano utili le seguenti formole approssimate da usarsi successivamente
al crescere di d/ell:
K = 1 − 4 d
3π ℓ +
K = 1 − 4 d
3π ℓ +
p
8 − 7p ,
48p − 29p 2
.
384 − 568p + 194p2 Se d/ℓ supera alcune unità la serie (1.214) converge assai lentamente ed
è inoltre laborioso il calcolo dei coefficienti. Conviene in tal caso usare il
seguente sviluppo: 14
K =
± 1·3·(2n − 1)
1 + d2
d 4 1
− +
4ℓ2 ℓ 3π 2·4 c1 − 1·3
2·4·6 c2 + . . .
2·4·s(2n + 2) cn
∓ . . . , (1.216)
13 Nel manoscritto originale questa tabella contiene 40 righe (da d/ℓ = 0.1 a
d/ℓ = 10) ma solo per le prime 10 sono riportati i corrispondenti valori di K.
Qui preferiamo non includere i restanti valori nella tabella, poiché non è chiaro
quale formula l’Autore avrebbe usato per calcolare K per d/ℓ più grande di uno.
Probabilmente i valori riportati sono stati ottenuti dalla (1.210) con n = 10.
14 Si noti che l’Autore sta di nuovo usando uno sviluppo in serie di Taylor,
sebbene di un particolare tipo, come può essere dedotto dall’espressione per cn.
45

dove si è posto
Volumetto 1: 8 marzo 1927
cn = 1
(2n)!
d 2n√ 1 + x 2
dx 2n
x= 2ℓ
d
Calcolando i primi termini si ottiene
K =
1 + (d/2ℓ) 2 − d
4 1 1
+
ℓ 3π 16
2
1 + (2ℓ/d) 3/2 + 1 1 − 4 (2ℓ/d)
128
2
2
1 + (2ℓ/d) 7/2 5 1 − 12 (2ℓ/d)
+
2048
2 + 8 (2ℓ/d) 4
2
1 + (2ℓ/d) 11/2 + 7 5 − 120 (2ℓ/d)
32768
2 + 240 (2ℓ/d) 4 − 64 (2ℓ/d) 6
2
1 + (2ℓ/d) + . . .
15/2
(1.217)
1.24 Variazione del coefficiente di
autoinduzione in seguito all’effetto
pellicolare
L’autoinduzione di una conduttura elettrica a sezione circolare si può
dividere in due parti; l’una, generalmente più importante, è dovuta al
flusso che circola esternamente al conduttore e non dipende dalla frequenza,
l’altra è dovuta alle linee di induzione che si chiudono entro il conduttore e
dipende dall’entità dell’effetto pellicolare e quindi, per un dato conduttore,
dalla frequenza. Detta ℓ per unità di lunghezza questa seconda parte del
coefficiente d’autoinduzione, si ha notoriamente allorché è trascurabile lo
skineffect:
ℓ = 1
µ. (1.218)
2
In generale se E è, in simboli complessi, il campo elettrico alla superficie
del conduttore (campo totale dovuto alla caduta di tensione e alle variazioni
del flusso esterno), R1 la resistenza a corrente alternata dell’unità di
lunghezza del conduttore, ω la frequenza angolare, i = a + bj la corrente
46
.

totale avremo: 15
Volumetto 1: 8 marzo 1927
E = (a + b j) (R1 + ℓ ω j) . (1.219)
Ponendo p = µωS/ρ (S sezione del conduttore, ρ resistività) ovvero in
unità pratiche:
p =
µ ω
10 10 ,
R
(1.220)
essendo R la resistenza in ohm a corrente continua per Km di conduttore
si avrà (vedi paragrafo 1.4):
a =
m p − 1
2! 2 ·3 p3 + 1
4! 2 ·5 p5 − 1
6! 2 ·7 p7 b =
+ . . . ,
1
m
2
(1.221)
p2 − 1
3! 2 ·4 p4 + 1
5! 2 ·6 p6 − 1
7! 2 ·8 p8
+ . . . . (1.222)
Quanto a E esso si ottiene dalla densità di corrente in superficie moltiplicando
per ρ; ma nelle unità di misura usate nel paragrafo 1.4, abbiamo
ρ = µω, e così si ottiene:
E =
m µ ω 1 − p2
2!
+ m µ ω j p − p3
3!
4!
p4 p6
+ − 2 2
+ . . .
6! 2
+ . . . . (1.223)
5! 7! 2
p5 p7
+ − 2 2
Eliminando R1 nella (1.219), essendo già nota (vedi paragrafo 1.4) la sua
espressione, e posto E = u + vj si ottiene:
da cui si può ricavare:
ℓ = µ
2
ℓ ω =
a v − b u
a2 , (1.224)
+ b2 1 + p2
2! 2 p4
+
·3! 3! 2 p6
+
·5! 4! 2 p8
+
·7! 5! 2 + . . .
·9!
1 + p2
. (1.225)
p4 p6 p8
+ + + + . . .
2!3! 2!3!5! 3!4!7! 4!5!9!
In base a questa formola e a quella analoga del paragrafo 1.4 si sono calcolati
i seguenti valori di R1/R e ℓ/µ in funzione di p: 16 nella tabella
15 L’Autore sta usando la nozione elettrotecnica j per l’unità immaginaria.
16 Nel testo originale i valori di questa tabella corrispondenti a p = 4.5 ÷ 100
mancano. Inoltre, alcuni valori di R1/R differiscono leggermente da quelli qui
riportati, che sono stati ottenuti secondo quanto indicato nel testo.
47

p R1/R ℓ/µ
0.1 1.0008 0.4998
0.2 1.0033 0.4992
0.3 1.0075 0.4981
0.4 1.0132 0.4967
0.5 1.0205 0.4949
0.6 1.0293 0.4927
0.7 1.0395 0.4901
0.8 1.0512 0.4873
0.9 1.0641 0.4841
1.0 1.0782 0.4806
1.1 1.0934 0.4768
1.2 1.1096 0.4728
1.3 1.1267 0.4686
1.4 1.1447 0.4642
1.5 1.1634 0.4597
1.6 1.1827 0.4550
1.7 1.2026 0.4501
1.8 1.2229 0.4452
1.9 1.2436 0.4403
2.0 1.2646 0.4352
Volumetto 1: 8 marzo 1927
p R1/R ℓ/µ
2.5 1.372 0.4100
3 1.479 0.3857
3.5 1.581 0.3633
4 1.678 0.3432
4.5 1.768 0.3253
5 1.853 0.3096
6 2.007 0.2836
7 2.146 0.2630
8 2.274 0.2464
9 2.394 0.2326
10 2.507 0.2210
15 3.005 0.1814
20 3.427 0.1582
25 3.799 0.1430
30 4.135 0.1327
40 4.732 0.1203
50 5.256 0.1135
60 5.736 0.1096
80 6.537 0.1055
100 7.328 0.1036
1.25 Errore medio nella determinazione
della probabilità di un evento
mediante un numero finito di prove
Sia p la probabilità di un evento; se in una serie di n prove esso ha avuto
luogo m volte assumendo come valore approssimato di p il rapporto m/n,
si commette un errore e definito dalla relazione
p = m
+ e (1.226)
n
di cui si tratta di valutare il valore medio quadratico. Sia X una quantità
relativa a ogni prova e ad essa si attribuisca il valore 1 − p quando ha luogo
48

Volumetto 1: 8 marzo 1927
l’evento e il valore −p quando l’evento non ha luogo. Il valore medio di X è
nullo, e il valore medio del suo quadrato sarà p(1−p) 2 +p 2 (1−p) = p(1−p).
Considerando una serie di n prove la somma
i Xi delle X relative ad esse
avrà per valore medio quadratico np(1 − p). Ma se l’evento ha avuto
luogo m volte sarà:
Xi = m (1 − p) − (n − m) p = m − n p = − n e. (1.227)
i
Si deduce che il valore medio di e sarà p(1 − p)/n, cioè secondo le notazioni
usuali,
p = m
n ±
p(1 − p)
. (1.228)
n
Se p è incognita e se ne conosce solo l’espressione approssimata m/n e
si è inoltre certi che la differenza tra p e m/n sia così piccola che, sostituendo
nell’espressione dell’errore al primo di questi valori il secondo, tale
espressione non cambi sensibilmente si potrà scrivere approssimativamente:
p = m
1 m(n − m)
± . (1.229)
n n n
Se n è molto grande rispetto a m si avrà approssimativamente:
√
m
p = m
n ±
n
m
n piccolo
. (1.230)
Moltiplicando per n le precedenti relazioni esse diventano
n p
n p
=
=
m(n − m)
m ±
,
n
m ±
(1.231)
√
m
m
n piccolo
. (1.232)
1.26 Squilibrio di un sistema trifase puro
Siano V1, V2,V3 i valori intensivi di tre grandezze alternative costituenti un
sistema trifase puro, diretto, non equilibrato. Tale sistema può decomporsi
49

Volumetto 1: 8 marzo 1927
nella somma di altri due sistemi equilibrati, l’uno, diretto, di intensità A,
l’altro, inverso, di intensità B. Qualora lo squilibrio non sia eccessivo, A e
B possono calcolarsi con le seguenti formole approssimate:
A = (1/3) (V1 + V2 + V3) (1.233)
B = (2/3) [(V1 − A) 2 + (V2 − A) 2 + (V3 − A) 2 ]. (1.234)
1.27 Tavola per il calcolo della funzione
x! 17
x x!
0 1.0000
0.05 0.9735
0.1 0.9514
0.15 0.9330
0.2 0.9182
0.25 0.9064
0.3 0.8975
0.35 0.8911
0.4 0.8873
0.45 0.8857
0.5 0.8862
x x!
0.55 0.8889
0.6 0.8935
0.65 0.9001
0.7 0.9086
0.75 0.9191
0.8 0.9314
0.85 0.9456
0.9 0.9618
0.95 0.9799
1 1.0000
17 Non è chiaro come l’Autore ottenga i valori nella tabella, poiché in questa
sezione egli considera solo il limite per grande x della funzione x!. Probabilmente,
alcuni valori sono stati derivati dalla formula
x! (1 − x)! =
π x (1 − x)
sin π x ,
che appare vicino a questa tabella nel manoscritto originale.
50

Volumetto 1: 8 marzo 1927
La differenza log n! − n(log n − 1) − (1/2) log n tende per n = ∞ ad un
limite finito ciò significa che per n grandissimo può porsi: 18
n! = √ C n
n
n . (1.235)
e
Determiniamo C. Sia x la probabilità che in 2n prove un evento di probabilità
1/2 abbia luogo t volte. Per 2n grandissimo possiamo rappresentare
la funzione x = x(t) con una curva degli errori; questa si determina
badando che l’area da essa compresa vale 1, che il valore medio di t è n e
che il quadrato medio dello spostamento di t da n deve essere n/2 (vedi
paragrafo 1.25). Si trova:
x =
x0 = 1
2 2n
1
√ exp −
π n
(t − n)2
. (1.236)
n
L’ordinata massima vale: x0 = 1/ √ πn. Possiamo determinare x0 direttamente
con la teoria delle combinazioni:
2n
=
n
(2n)!
22n . (1.237)
(n!) 2
Sostituendo ai potenziali l’espressione (1.235) e confrontando con (1.236),
si ha C = 2π; e quindi, al limite:
n! = √
n
n 2π n . (1.238)
e
Per n grande si avrà anche:
18 Qui e è il numero di Nepero.
2 2n (n!) 2
(2n)! = √ π n. (1.239)
51

p
Volumetto 1: 8 marzo 1927
N
1 2
S
L
S
h
L
S
p+dp
1.28 Influenza di un campo magnetico sul
punto di fusione
Si consideri il sistema in equilibrio rappresentato in figura. Se, con un
mezzo qualunque, si trasporta l’unità di volume di solido dal recipiente 2
al recipiente 1 disponendolo in strati sottili alla superficie di separazione
fra solido e liquido, bisogna compiere, per vincere la gravità, un lavoro
L1 = h (γ1 − γ2) (1.240)
essendo γ1 e γ2 i pesi specifici rispettivamente del solido e del liquido. Se
si suppone, per un momento, che il solido sia magnetico e il liquido no,
si trova facilmente che il campo magnetico compie sull’unità di volume di
solido nell’accennato trasporto un lavoro che si calcola facilmente:
L2 = H2
8π
µ1 − 1
, (1.241)
essendo µ1 la permeabilità del solido. Ad escludere la possibilità di moto
perpetuo è necessario che sia:
52
µ1

Volumetto 1: 8 marzo 1927
L1 = L2, (1.242)
da cui si ricava
h = H2 µ1 − 1 1
. (1.243)
8π µ1 γ1 − γ2
e poiché il liquido si è supposto non magnetico e la distribuzione delle
pressioni nel suo interno è quindi idrostatica, si ricava (v. fig.)
∆p = h γ2 = H2
8π
e mettendo in evidenza i volumi specifici:
∆p = H2
8π
µ1 − 1
µ1
µ1 − 1
µ1
V1
V2 − V1
γ2
γ1 − γ2
, (1.244)
. (1.245)
Detta T la temperatura di fusione fuori dall’azione del campo magnetico
alla pressione p, e T + ∆T la temperatura di fusione alla stessa pressione,
ma sotto l’azione del campo magnetico, si trova dunque che T +δT è uguale
alla temperatura di fusione, in condizioni ordinarie e alla pressione p + ∆p.
Ma per la formola di Clapeyron
∆T =
T
ρ
Sostituendo nella (1.245) si ottiene
∆T =
T H2
8π
(V2 − V1)∆p, (1.246)
µ1 − 1
µ1
V1
. (1.247)
ρ
Le formole (1.244) e (1.247) si completano ovviamente nel caso che il liquido
abbia permeabilità qualunque µ2:
∆p = H2
µ1 − 1 γ2
+
8π µ1 γ1 − γ2
µ2 − 1
γ1
(1.248)
µ2 γ2 − γ1
∆T = T H2
µ1 − 1 V1
8π µ1 ρ − µ2
− 1 V2
. (1.249)
µ2 ρ
Se µ1 = µ2 = µ, si ottiene
∆p = − H2
8π
∆T =
T H2
8π
53
µ − 1
µ
µ − 1
µ
(1.250)
V1 − V2
. (1.251)
ρ

Volumetto 1: 8 marzo 1927
In questo caso le superfici di separazione fra solido e liquido, nei due casi
rappresentati in figura sarebbero allo stesso livello, ma non essendo idrostatica
la distribuzione delle pressioni a causa della magnetizzazione del
liquido, si avrebbe ∆p = 0.
Formole analoghe valgono se al campo magnetico si sostituisce un
campo elettrico o al contatto solido-liquido quello liquido-vapore o solidovapore.
1.29 Calore specifico di un oscillatore
L’energia media di un oscillatore di frequenza ν vale a temperatura T :
ɛ =
hν
e hν/kT , (1.252)
− 1
essendo h il quanto d’azione e 19 k = R/N la costante di Boltzmann.
Derivando rispetto alla temperatura posto per brevità p = hν/kT = T0/T ,
si ottiene la seguente espressione del calore specifico:
c = dɛ
dT = kp2 e p
(ep
= k
− 1) 2
p
e p/2 − e −p/2
2
. (1.253)
Il rapporto c/k, sempre minore di 1, è dato nella tabella in funzione di p
20 . Per T grandissimo, la (1.252) diventa:
19In questo paragrafo aderiamo all’uso dell’Autore di h, piuttosto che riscriverla
in termini di .
20Nel manoscritto originale, questa tabella è quasi completamente vuota. A
parte i valori nelle prime due colonne (che sono valori iniziali di riferimento),
l’autore scrive solo il primo e l’ultimo valore nella terza colonna e il primo valore
nella quarta colonna.
54

1
p
Volumetto 1: 8 marzo 1927
T
=
T0
p = T0
0
T
∞
c
k
0
ɛ
kT
0.0000
ɛ
kT0
0.0000
kT − ɛ
kT0
0.0000
0.2 5 0.1707 0.0338 0.0068 0.1932
0.4 2.5 0.6089 0.2236 0.0894 0.3106
0.6 1.67 0.7967 0.3873 0.2319 0.3669
0.8 1.75 0.8794 0.5019 0.4016 0.3984
1 1 0.9207 0.5820 0.5820 0.4180
1.2 0.83 0.9445 0.6417 0.7732 0.4316
1.4 0.71 0.9590 0.6867 0.9671 0.4413
1.6 0.625 0.9681 0.7198 1.1517 0.4483
1.8 0.556 0.9746 0.7476 1.3447 0.4539
2 0.500 0.9794 0.7707 1.5415 0.4585
2.5 0.400 0.9868 0.8133 2.0332 0.4668
3 0.333 0.9908 0.8427 2.5307 0.4723
4 0.250 0.9948 0.8802 3.5208 0.4792
5 0.200 0.9967 0.9033 4.5167 0.4833
10 0.100 0.9992 0.9508 9.5083 0.4917
∞ 0 1 1 ∞ 0.5000
ɛ = kT − 1
hν = k T −
2 1
2 T0
,
essendo T0 = hν/k cioè la temperatura per cui l’energia media, calcolata
con la meccanica classica, coincide con quella del più basso livello energetico
quantistico.
55

Volumetto 1: 8 marzo 1927
1.30 Se i figli dei medesimi genitori
tendano ad appartenere allo stesso
sesso
La probabilità a priori che in una determinata regione un nascituro sia
maschio può porsi sotto la forma:
W = 1
+ α,
2
(1.254)
essendo α in generale positivo. La probabilità invece che da determinati
genitori nasca un figlio maschio può essere diversa da W , la porremo sotto
la forma
W1 = W + β = 1
+ α + β. (1.255)
Il valor medio di β è nullo, mentre il suo valor medio quadratico fornisce
una misura della tendenza a procreare figli dello stesso sesso. Indicando
con β tale valor medio la (1.255) può scriversi secondo notazioni usuali:
2
W1 = W ± β = 1
2
+ α ± β. (1.256)
Per determinare β mediante rilievi statistici la via più semplice è la seguente:
Si consideri una determinata coppia di genitori che abbia dati alla luce n
figli. Indicando con ℓ il numero dei maschi e con m quello delle femmine si
calcola facilmente il valore probabile dell’espressione 21 di (ℓ − m) 2 (si veda
il paragrafo 1.25)
valoreprob. di (ℓ − m) 2 = n + 4(α + β) 2 (n 2 − n). (1.257)
Se scriviamo la stessa espressione per un gran numero di famiglie, e sommiamo
membro a membro, alla somma dei valori probabili di (ℓ − m) 2
possiamo, con errore relativo tendente a zero, restituire la somma dei valori
effettivi di (ℓ − m) 2 ; allora otteniamo:
(ℓ − m) 2 = n + 4 (α + β) 2 (n 2 − n) (1.258)
= n + 4 α 2 (n 2 − n) + 4 β 2 (n 2 − n)
+ 8 α β (n 2 − n). (1.259)
21 Cioè n per la probabilità che l’evento accada.
56

Volumetto 1: 8 marzo 1927
Poiché si è supposto implicitamente che β abbia valore medio nullo qualunque
sia n, il valore medio dell’ultimo termine del secondo membro della (1.259)
sarà nullo; potremo quindi al limite trascurarlo e scrivere:
(ℓ − m) 2 = n + 4 α 2 (n 2 − n) + 4 β 2 (n 2 − n) (1.260)
o anche, poiché si suppone sempre che β sia indipendente da n,
(ℓ − m) 2 = n + 4 (α 2 + β 2 ) (n 2 − n). (1.261)
α può essere noto per più estesi rilievi statistici, e in tal caso si determina
β mediante la (1.261):
(ℓ
− m) 2 − n
β =
4 (n2 − α
− n)
2 . (1.262)
Se α non è noto si può calcolare approssimativamente con la formola:
α =
ℓ
−
n 1
;
2
(1.263)
sostituendo nella (1.262) si ha
β 2 =
(ℓ − m) 2 − n
4 (n 2 − n)
ℓ
− −
n 1
2 . (1.264)
2
a cui, a rigore, deve sostituirsi un’espressione più approssimata, ma più
complicata, ottenuta tenendo conto che α nella (1.263) è determinato con
un errore medio prossimo a 1/2 n (vedi paragrafo 1.25):
β 2 =
(ℓ − m) 2 − n
4 (n 2 − n)
ℓ
− −
n 1
2
57
2
+
1
4 . (1.265)
n

Volumetto 1: 8 marzo 1927
O
l
1.31 Propagazione del calore posto in una
sezione di una sbarra indefinita, di
cui un’altra sezione è tenuta a zero.
Similitudine dei grilli.
Si supponga che N individui siano inizialmente concentrati nel punto O
della retta x e che ognuno di essi ad intervalli di tempo infinitesimi dt
salti, con pari probabilità a destra o a sinistra, di un intervallo dx in
modo che sia finito il rapporto dx 2 /dt = µ 2 . Si supponga ancora che a
una distanza ℓ a destra di O esista un trabocchetto mortale. Si tratta di
determinare quale sarà al tempo t e nel punto di ascisse x la densità lineare
dei sopravviventi U(x, t). Si osservi che se non esistesse il trabocchetto si
avrebbe una densità, che per distinguere da quella vera chiameremo U0,
data dall’espressione:
U0(x, t) =
P
N
µ √ 2πt e−x2 /2µ 2 t . (1.266)
Si osservi inoltre che gli individui che in P vengono a mancare possiamo
considerarli vivi e saltellanti anche dopo la morte purché, a partire da
questo istante, si leghi indissolubilmente a ognuno di essi un altro individuo
affetto da segno negativo. Allora per avere la densità vera U, basterà
sottrarre a U0 la densità U1 degli individui negativi. Questa si calcola
facilmente; basta osservare che per x > ℓ si ha evidentemente:
e, per ragioni di simmetria, se x < ℓ:
U1(x, t) = U0(x, t) (1.267)
U1(x, t) = U1(2ℓ − x, t) = U0(2ℓ − x, t) (1.268)
58
x

e quindi:
Volumetto 1: 8 marzo 1927
U(x, t) = U0(x, t) − U0(2ℓ − x, t)
=
N
µ √ 2πt
e per grandi valori di t si può scrivere:
U(x, t) =
e −x2 /2µ 2 t − e −(2ℓ − x) 2 /2µ 2 t
; (1.269)
2N ℓ(ℓ − x)
µ 3 t √ 2πt e−(ℓ − x)2 /2µ 2 t e −ℓ 2 /2µ 2 t
da cui si deduce per un dato valore di t:
Umax = U(ℓ − µ √ t, t) =
e il numero dei sopravviventi, sempre per t grande
Nv =
(1.270)
2N ℓ e−1/2
µ 2 t √ 2π e−ℓ2 /2µ 2 t , (1.271)
2N ℓ
µ √ 2πt e−ℓ2 /2µ 2 t . (1.272)
Se se ne prende il momento rispetto a P si trova:
(ℓ − x) dNv = N ℓ, (1.273)
cioè il baricentro dei vivi e dei morti, supposti questi concentrati in P , resta
fisso in 0 come era evidente a priori. La curva dei soppravviventi presenta
in un primo tempo un flusso fra 0 e P che si sposta continuamente verso
destra e scompare nell’istante t = ℓ 2 /3µ 2 ; in tale istante, in cui ha luogo
la mortalità massima, sono morti N/12 individui.
La U0 obbedisce all’equazione differenziale:
∂U0
∂t
= µ2
2
∂ 2 U0
∂x 2
(1.274)
e quindi è atta a rappresentare come si distribuisce una certa quantità di
calore Q = N posta in una sezione di una sbarra indefinita, purché si ponga
µ 2 = 2c
, (1.275)
γ δ
c coefficiente di trasmissione, γ calore specifico, δ la densità. Si noti che
µ 2 , dato dalla (1.275), rappresenta il quadrato medio dello spostamento del
59

Volumetto 1: 8 marzo 1927
calore nell’unità di tempo e in ogni direzione. Il quadrato dello spostamento
totale nello spazio sarà, nell’unità di tempo: 3µ 2 = 6c/γδ.
1.32 Combinazioni
(Si veda il paragrafo 2.39.5.)
La somma delle probabilità che un evento di probabilità 1/2 abbia luogo
n volte in n prove, o in n + 1 prove o in n + 2 prove o. . . , o in 2n prove
vale 1. In simboli:
Infatti:
e poichè:
risulta:
n+1
r=0
n+2
r=1
n+1
r=0
1
2 n+1+r
= 1
n+1
2
r=0
= 1
2
1
2 2n+2
n
r=0
+ 1
n+2
2
r=1
n
r=0
1
2 n+r
n + 1 + r
n + 1
n + r
n
= 1. (1.276)
1
2n+r
n + r
+
n
1
n+1 1
2 2
r=1
n+r
n + r
n + 1
1
2
n+r
n + r
+
n
1
22n+2
2n + 1
n
1
2n+r
n + r
n + 1
−
1
22n+3
2n + 2
n + 1
;
2n + 1
n
1
2n+r
n + r
n + 1
1
2 n+1+r
n + 1 + r
n + 1
=
=
=
1
2 2n+3
n+1
r=0
60
n
r=0
2n + 2
,
n + 1
n + 1 + r
n + 1
1
2 n+1+r
1
2 n+r
n + r
n
,
; (1.277)

Volumetto 1: 8 marzo 1927
cioè, se la (1.276) vale per n = k, vale anche per n = k + 1; e poiché essa
vale per n = 1, varrà qualunque sia n.
Analogamente si dimostra la relazione:
∞
r=0
1
2 n+r
n + r
n
= 2. (1.278)
1.33 Energia e calore specifico del
rotatore
Sia I il momento d’inerzia del rotatore; le condizioni di Sommerfeld impongono
22
e quindi 23
I ω = nh
, (n = 0, 1, . . .), (1.279)
2π
ɛ = 1
2 I ω2 = n2 h 2
8π 2 I
ν = ω
2π
= nhν
2
(1.280)
nh
=
4π2 . (1.281)
I
L’energia media sarà alla temperatura T , per la legge di Boltzmann
ɛ =
∞
n=0
n 2 h 2
8π2I exp
− n2h 2
8π2IkT ∞
exp − n2h 2
8π2
IkT
n=0
=
∞ hν0
2
n=0
n2
exp − hν0
2kT n2
∞
exp − hν0
2kT n2
n=0
essendo ν0 = h/4π 2 I la frequenza fondamentale. Si ponga:
p = 1 hν0
2 kT =
h 2
8π 2 IkT ;
(1.282)
22In questo paragrafo aderiamo all’uso dell’Autore di h, piuttosto che riscriverla
in termini di .
23Qui ɛ e ν sono l’energia e la frequenza del rotatore, mentre ω è la sua frequenza
angolare.
61

isulta
Volumetto 1: 8 marzo 1927
ɛ = kT
∞
n=0
pn 2 e −pn2
Naturalmente se p → 0, T → ∞, si ricava:
∞
e −pn2
. (1.283)
n=0
1
lim ɛ = kT. (1.284)
p→0 2
Derivando la (1.283) rispetto a T , tenuto conto che dp/dT = −p/T , si
ottiene il calore specifico:
c = dɛ
dT
⎡ ∞
⎢
= k p2 ⎢ n=0
⎢ ∞
⎣
e −pn2
n=0
n 4 e −pn2
⎛ ∞
⎜
− ⎜ n=0
⎜ ∞
⎝
e −pn2
n=0
n 2 e −pn2
⎞2⎤
⎟ ⎥
⎟ ⎥
⎟ ⎥
⎟ ⎥ . (1.285)
⎠ ⎦
Detta T0 la temperatura per cui l’energia del primo stato quantico con
energia diversa da zero è uguale all’energia media calcolata con la teoria
classica, avremo:
T0 = 1 hν0 h2
=
2 k 8π2Ik (1.286)
p = T0
. (1.287)
T
Nella tabella sono riportati il calore specifico e l’energia media a diverse
temperature. 24
24 Nel manoscritto originale, i valori nella terza e quarta colonna mancano.
62

1 T
=
p T0
Volumetto 1: 8 marzo 1927
1
ɛ
1
2 k
p = T0
T
kT
2
c
0.2 5.00 1.3375 1.1118
0.4 2.50 1.5548 1.1235
0.6 1.67 1.7763 1.0867
0.8 1.25 2.0182 0.9955
1.0 1.00 2.2896 0.8525
1.2 0.83 2.5927 0.6829
1.4 0.71 2.9244 0.5169
1.6 0.62 3.2784 0.3740
1.8 0.56 3.6486 0.2613
2.0 0.50 4.0297 0.1776
3.0 0.33 6.0022 0.0200
4.0 0.25 8.0001 0.0018
1.34 Attrazione dell’ellissoide
Si consideri sull’ellissoide:
x 2
a
b
y2 z2
+ + 2 2
= 1 (1.288)
c2 una distribuzione di masse omeoidica, cioè tale che la densità superficiale σ
sia in ogni punto proporzionale alla proiezione del raggio vettore che parte
dal centro dell’ellissoide sulla normale alla superficie:
σ = ρ x2 /a4 + y2 /b4 + z2 /c4 . (1.289)
La massa totale m si calcola facilmente. In effetti la nostra distribuzione
può considerarsi come il limite per α → 0 di una distribuzione spaziale
uniforme di densità cubica ρ/α occupante lo spazio compreso fra l’ellissoide
di semiassi a, b, c e quello di semiassi a(1+α), b(1+α), c(1+α). Avremo
quindi:
m = lim
α→0
ρ 4
α 3 π a b c (1 + α) 3 − 1 = 4π a b c ρ. (1.290)
63

Volumetto 1: 8 marzo 1927
L’ellissoide in (1.288) è notoriamente equipotenziale, quindi il campo è
nullo nel suo interno, mentre all’esterno e in prossimità della superficie è
normale a questa e vale, se K è il coefficiente della formola di Newton:
F = 4π σ K = 4π K ρ x 2 /a 4 + y 2 /b 4 + z 2 /c 4 −1/2 , (1.291)
e mettendo in evidenza la massa totale: 25
F = mK 2 2 2 2 2 2
x /a + y /b + z /c
abc
−1/2 . (1.292)
In particolare, agli estremi degli assi di simmetria la forza sarà rispettivamente:
Fa = mK
b c , Fb = mK mK
, Fc = , (1.293)
c a a b
Costruiamo la superficie equipotenziale infinitamente prossima al nostro
ellissoide; per far ciò basterà prendere sulla normale esterna ad ogni
punto P0(x0, y0, z0) un punto P distante dal primo di un segmento
ds = − dU
a b c x2 y2 z2
= − dU + + .
F mK a2 b2 c2 Le coordinate del punto P saranno
Ovvero ponendo
e
x =
a b c
x0 + (− dU)
mK
y =
a b c
y0 + (− dU)
mK
z =
a b c
z0 + (− dU)
mK
x0
a 2
y0
b 2
z0
.
c2 (1.294)
a b c
dt = − 2 dU, (1.295)
mK
x = x0 + 1 x0
dt
2 a2 y = y0 + 1 y0
dt
2 b2 (1.296)
z = z0 + 1 z0
dt;
2 c2 25 Si noti che F è il campo della forza gravitazionale collegato al potenziale
gravitazionale U (si veda più avanti). L’equazione (1.291) è allora una relazione
analoga al teorema di Coulomb per il campo elettrostatico in prossimità di un
conduttore.
64

Volumetto 1: 8 marzo 1927
cioè a meno di infinitesimi di ordine superiore:
x
√
a2 + dt
= x0
a
y
√
b2 + dt
= y0
z
√ c 2 + dt = z0
c .
b
(1.297)
Quadrando e sommando si ottiene l’espressione della superficie equipotenziale
infinitamente prossima:
x 2
a 2 + dt +
y2
b 2 + dt +
z2
c 2 + dt
= 1 (1.298)
che è anch’essa un ellissoide, con un errore infinitesimo d’ordine superiore
al primo. Alla nuova superficie equipotenziale sono applicabili le considerazioni
svolte sulla prima. E così si trova che a meno di un altro errore
infinitesimo d’ordine maggiore del primo, la superficie
x 2
a 2 + 2dt +
y 2
b 2 + 2dt +
z 2
c 2 + 2dt
= 1 (1.299)
è anch’essa equipotenziale. In generale a meno di n errori infinitesimi
d’ordine superiore al primo, la superficie
x 2
a 2 + ndt +
y 2
b 2 + ndt +
z 2
c 2 + ndt
= 1 (1.300)
sarà equipotenziale. Ciò vuol dire che il rapporto fra errore e n dt permane
infinitesimo qualunque sia n dt. Facendo tendere n all’infinito in modo che
n dt = t sia finito sarà equipotenziale, rigorosamente, la superficie
x 2
a 2 + t
+ y2
b 2 + t
+ z2
c 2 + t
= 1 (1.301)
sarà equipotenziale. È questa l’espressione generale delle superfici equipotenziali
esterne all’omeoide; t può assumere qualunque valore positivo. 26
26∗ Di ciò potrebbe aversi la riprova formale mostrando che è possibile costruire
una funzione U = U(t) del posto, attraverso t, che obbedisca all’equazione di
Laplace ∆ U = 0 e si annulli per t = ∞.
65

Volumetto 1: 8 marzo 1927
Dalle (1.297) si ricava l’espressione generale delle linee di forza:
x = α √ a 2 + t
y = β √ b 2 + t (1.302)
z = γ √ c 2 + t
(α 2 +β 2 +γ 2 = 1). Le costanti α, β, γ sono evidentemente i coseni direttori
degli asintoti delle linee di forza, i quali sono rette passanti per il centro
dell’ellissoide.
Per calcolare il potenziale U = U(t) sull’ellissoide in (1.301), si osservi
che dalla (1.295) si deduce in generale la differenza di potenziale fra due
superfici equipotenziali infinitamente vicine. Integrando tra t = ∞ e t = t0,
si ottiene:
U(t0) = mK
2
∞
t0
dt
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t) . (1.303)
In particolare, sull’ellissoide in (1.288) il potenziale sarà
U(0) = mK
2
∞
0
dt
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t) . (1.304)
Poiché agli effetti esterni dell’ellissoide si può sostituire alla distribuzione
omeoidica, di massa totale m, sull’ellissoide x2 y2 z2
+ + = 1, un’altra
a2 b2 c2 distribuzione omeoidica di pari massa, posta su un ellissoide omofocale, si
può estendere ai punti esterni l’espressione (1.292) del campo:
F =
mK
(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)
1
× . (1.305)
x2 /(a2 + t) 2 + y2 /(b2 + t) 2 + z2 /(c2 + t) 2
Dalla (1.304) si deduce immediatamente la capacità dell’ellissoide; essa vale
nel moto:
C = 2
∞
−1 dt
.
(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)
(1.306)
Si consideri ora l’ellissoide piano
0
x 2
a
b
y2 z2
+ + 2 2
66
< 1
c2

Volumetto 1: 8 marzo 1927
di densità cubica uniforme ρ. La forza nel suo interno è funzione lineare
delle coordinate e le sue componenti secondo gli assi x, y,z valgono rispettivamente:
− L x, − M y, − N z; L + M + N = 4π K ρ. (1.307)
In particolare all’estremo del semiasse a, la forza, tutta diretta secondo la
normale interna, vale in valore assoluto La. Per calcolare L scomponiamo
il nostro ellissoide in omeoidi mediante una serie di infinite superfici
ellissoidiche e omotetiche che obbediscono all’equazione:
x 2
p2 y2
+
a2 p2 z2
+
b2 p2c 2 = 1, (1.308)
potendo p variare tra 0 e 1. L’omeoide compreso fra i due ellissoidi di
semiassi, rispettivamente, pa, pb, pc e (p + dp)a, (p + dp)b, (p + dp)c, ha la
massa:
dm = 4π a b c p 2 ρ dp. (1.309)
La forza da esso esercitata sull’unità di massa posta nel punto (a, 0, 0) è
diretta secondo l’asse x e vale, salvo il segno:
ovvero ponendo
e quindi
dF =
=
t =
dF =
K dm
[a 2 + p 2 (b 2 − a 2 )] [a 2 + p 2 (c 2 − a 2 )]
4π a b c ρ K p 2 dp
[a 2 + p 2 (b 2 − a 2 )] [a 2 + p 2 (c 2 − a 2 )] ; (1.310)
p =
dF = − 4π a 2 b c K ρ dt ∂
∂a 2
a
√ a 2 + t
(1.311)
2 a
(1 − p
p
2 ) (1.312)
4π a 2 b c K ρ dt
2 ( √ a 2 + t) (a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t)
(1.313)
1
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t) . (1.314)
67

Volumetto 1: 8 marzo 1927
Per comprendere tutti gli omeoidi in cui si è diviso l’ellissoide bisogna far
variare p fra 0 e 1, o t fra 0 e ∞; si ottiene così l’espressione della forza
totale:
cioè:
L a = − 4π a 2 b c K ρ ∂
∂a 2
L = − 4π a b c K ρ ∂
∂a 2
∞
0
∞
0
dt
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t)
dt
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t)
(1.315)
(1.316)
e analoghe relazioni per M e N. Così risulta completamente determinata
la forza all’interno e sulla superficie dell’ellissoide:
F = − L x i − M y j − N z k . (1.317)
Per avere la forza nei punti esterni si osservi che se m è la massa
dell’ellissoide, l’equazione (1.316) può porsi sotto la forma:
L = − 3K m ∂
∂a 2
∞
0
dt
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t) , (1.318)
e analogamente per M e N. Si verifica inoltre immediatamente, mediante
la scomposizione in omeoidi, che un ellissoide omogeneo equivale, per gli
effetti esterni, a un qualunque altro ellissoide omofocale al primo e di pari
massa totale. Dato quindi un punto esterno P (x, y, z) e determinato t in
modo che sia:
x 2
a2 y2
+
+ t b2 z2
+
+ t c2 = 1; (1.319)
+ t
la forza agente sull’unità di massa posta in P sarà:
essendo
F = − L(t) i x − M(t) j y − N(t) k z, (1.320)
L(t) = − 4π a b c K ρ ∂
∂a 2
∞
t
dt
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t) . (1.321)
In particolare, per t = 0, cioè sulla superficie dell’ellissoide, si ritrova
l’espressione (1.316) per L, e le altre analoghe per M e N.
68

Volumetto 1: 8 marzo 1927
1.35 Casi particolari: ellissoide con un
asse molto allungato; ellissoide
rotondo
I. – Supponiamo a, b ≪ c. L’espressione:
se si pone
diventa:
∞
0
∞
0
dt
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t)
t1 = 1
t +
2
(a2 + t)(b2
+ t) − a b
dt1
2
(1/4)(a + b) + t1 (c2 + t1)
(1.322)
(1.323)
c2 + t1
. (1.324)
c2 + t
Ora la differenza tra t e t1 è dell’ordine a 2 o b 2 e, poiché c è molto maggiore
di a o di b, il fattore (c2 + t1)/(c2 + t) che sta sotto il segno integrale al
secondo membro è sempre molto prossimo all’unità. Tenuto conto che gli
altri fattori sono di segno costante, al limite, per c grandissimo, si potrà
scrivere
∞
0
=
dt
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t) =
∞
0
dt1
2
(1/4)(a + b) + t1 (c2 + t1)
2
c2 − (1/4)(a + b) 2 log c + c2 − (1/4)(a + b) 2
, (1.325)
(1/2)(a + b)
ovvero, poiché il procedimento seguito vale solo per formole limiti di prima
approssimazione:
∞
0
dt
=
(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t) 2
c log
Il potenziale dell’omeoide di massa m sarà:
U0 =
m K
c
69
log
4c
a + b
4c
. (1.326)
a + b
(1.327)

e la capacità dell’ellissoide:
Volumetto 1: 8 marzo 1927
C =
c
. (1.328)
log [4c/(a + b)]
Le costanti L, M, N per l’attrazione all’interno dell’ellissoide pieno e le
funzioni L(t), M(t), N(t) per l’attrazione nei punti esterni, posti a una
distanza dall’ellissoide piccola rispetto al semiasse c, risultano in prima
approssimazione:
b
L = 4π K ρ
a + b
a
M = 4π K ρ
a + b
a b
N = 4π K ρ
c2
4c
log
a + b
L(t) = 4π K ρ
M(t) = 4π K ρ
N(t) = 4π K ρ
− 1
a
b
√ √ √
a2 + t a2 + t + b2 + t
b
√ b 2 + t
a b
c 2
log
a
√ a 2 + t + √ b 2 + t
4c
√ √ − 1 .
a2 + t + b2 + t
II. – Si supponga ora a = b, e c arbitrario. Avremo
∞
∞
(1.329)
(1.330)
dt
dt
=
0 (a2 + t)(b2 + t)(c2 + t) 0 (a2 + t) (c2 + t)
⎧
2
⎪⎨
√
c2 − a2 =
⎪⎩
log c + √ c2 − a2 , (c > a)
a
(1.331)
2
c
√ arccos , (c < a)
a2 − c2 a
Ovvero, mettendo in evidenza l’eccentricità dell’ellisse meridiana:
∞
0
dt
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
70
1
c e
1 + e
log , (c > a)
1 − e
2
arcsin e, (c < a)
a e
(1.332)

Volumetto 1: 8 marzo 1927
Il potenziale dell’omeoide di massa m e la capacità elettrostatica dell’ellissoide
risultano rispettivamente:
⎧
m K 1 + e
⎪⎨
log , (c > a)
2 c e 1 − e
U0 =
(1.333)
⎪⎩
m K
arcsin e, (c < a)
a e
e
⎧
⎪⎨
c
2e
, c > a
log (1 + e)/(1 − e)
C =
⎪⎩ e
a ,
arcsin e
c < a
(1.334)
Le costanti L, M, N [e le funzioni L(t), M(t), N(t)] diventano nel caso degli
ellissoidi rotondi:
se c > a:
L =
2π K ρ
M =
e2 N =
1 − e2 1 + e
1 − log
2e 1 − e
1 − e2
e2
1 1 + e
log − 1 4π K ρ
2e 1 − e
(1.335)
e se c < a:
L =
√
1 − e2 M = 2π K ρ
e2
arcsin e
−
e
√ 1 − e2 N =
4π K ρ
e2
arcsin e √
1 − 1 − e2 .
e
(1.336)
Le funzioni L(t), M(t), N(t) in un punto esterno P si calcolano sostituendo
nelle espressioni precedenti i valori di ρ e di e, corrispondenti all’ellissoide
omotetico di massa pari a quello dato e passante per P .
71

Volumetto 1: 8 marzo 1927
1.36 Equilibrio di un liquido rotante
Un liquido rotante può assumere come posizione di equilibrio la forma di
un ellissoide di rivoluzione. Perché l’ellissoide liquido di equazione:
x 2 + y 2
a 2
+ z2
= 1 (1.337)
c2 rotante con velocità angolare ω intorno all’asse z sia in equilibrio è necessario
che in tutti i punti della superficie sia costante la somma del potenziale
d’attrazione e di quello della forza centrifuga; cioè che in tutti i punti della
superficie si abbia:
e anche:
1
2 ω2 x 2 + y 2 − 1
2 L x 2 + y 2 − 1
2 N z2 = costante, (1.338)
L − ω 2 x 2 + y 2 + N z 2 = costante. (1.339)
per il che deve sussistere l’eguaglianza:
L − ω 2
N
= c2
a 2 = 1 − e2 , (1.340)
essendo e l’eccentricità della sezione meridiana. Sostituendo a L e N i loro
valori dalle equazioni (1.336), si ricava:
essendosi posto:
In seguito porremo:
ɛ = (3 − 2e2 ) √ 1 − e 2 arcsin e − 3e + 3e 3
e 3 , (1.341)
ɛ =
ω 2
2π K ρ
η = 3
ɛ =
2
2ω2
= . (1.342)
4π K ρ
ω 2
(4/3) π K ρ
(1.343)
s = 1 − √ 1 − e 2 ; (1.344)
s è lo schiacciamento; ɛ è il rapporto fra la divergenza del campo delle forze
di trascinamento e la convergenza, entro l’ellissoide materiale, del campo di
gravitazione; η = (3/2)ɛ è il rapporto fra la forza centrifuga che si esercita
72

Volumetto 1: 8 marzo 1927
su una massa m posta a distanza r dall’asse di rotazione e la forza di
attrazione che si eserciterebbe sulla stessa massa posta sulla superficie di
una sfera di raggio r e di densità ρ. Il dato del problema è in generale ɛ
(o η). L’equazione (1.341) mostra che a ogni valore di e corrisponde un
solo valore di ɛ; al contrario a un dato valore di ɛ purché inferiore a un
certo limite, corrispondono 2 valori di e, sono cioè possibili 2 posizioni di
equilibrio di cui una, a modesto schiacciamento, è stabile, l’altra a forte
schiacciamento è probabilmente instabile. Aumentando ɛ le due soluzioni
vanno riavvicinandosi, finché per un certo valore di ɛ coincidono. Al di
sopra di questo limite, cioè, per una data densità, al di sopra di una certa
velocità angolare, l’equilibrio non è più possibile. Per piccoli schiacciamenti
si ha:
s = 1
2 e2 = 15 5
ɛ = η. (1.345)
8 4
Nella tabella 27 sono riportati in funzione dello schiacciamento i valori
di ɛ, η e di 1000/ρT 2 , essendo ρ la densità rispetto all’acqua e T il periodo
in ore; per il calcolo di tale espressione si è ritenuto K= 1/(1.5×10 7 )
(c.g.s.), di modo che 1000/ρT 2 = (432/π)ɛ = 137.51ɛ.
27 Nel manoscritto originale sono riportati i soli valori di s (prima colonna). I
valori corrispondenti per le rimanenti colonne sono stati calcolati dalle equazioni
(1.341), (1.343) e (1.342).
73

Volumetto 1: 8 marzo 1927
s ɛ η
1000
ρT 2
0.01 0.005322 0.07983 0.7318
0.02 0.01062 0.01593 1.450
0.03 0.01589 0.02384 2.185
0.04 0.02114 0.03171 2.907
0.05 0.02636 0.03954 3.625
0.06 0.03155 0.04733 4.339
0.07 0.03672 0.05508 5.049
0.08 0.04185 0.06278 5.755
0.09 0.04696 0.07043 6.457
0.10 0.05203 0.07804 7.154
0.11 0.05706 0.08569 7.847
0.12 0.06207 0.09310 8.535
0.13 0.06703 0.1005 9.218
0.14 0.07196 0.1079 9.896
0.15 0.07685 0.1153 10.57
0.16 0.08170 0.1223 11.24
0.17 0.08651 0.1298 11.90
0.18 0.09128 0.1369 12.55
0.19 0.09600 0.1440 13.20
0.20 0.1007 0.1510 13.84
0.21 0.1053 0.1580 14.48
0.22 0.1099 0.1648 15.11
0.23 0.1144 0.1716 15.73
0.24 0.1189 0.1783 16.35
0.25 0.1233 0.1850 16.96
0.26 0.1277 0.1915 17.56
0.27 0.1320 0.1980 18.15
0.28 0.1362 0.2043 18.73
0.29 0.1404 0.2106 19.31
0.30 0.1445 0.2168 13.87
0.31 0.1486 0.2228 20.43
0.32 0.1525 0.2288 20.98
0.33 0.1564 0.2347 21.51
0.34 0.1603 0.2404 22.04
0.35 0.1640 0.2461 22.56
0.36 0.1677 0.2516 23.06
74

Volumetto 1: 8 marzo 1927
s ɛ η
1000
ρT 2
0.37 0.1713 0.2570 23.56
0.38 0.1748 0.2622 24.04
0.39 0.1782 0.2674 24.51
0.40 0.1816 0.2724 24.97
0.41 0.1848 0.2772 25.41
0.42 0.1880 0.2819 25.85
0.43 0.1910 0.2865 26.26
0.44 0.1939 0.2909 26.67
0.45 0.1968 0.2952 27.06
0.46 0.1995 0.2992 27.43
0.47 0.2021 0.3031 27.79
0.48 0.2046 0.3069 28.13
0.49 0.2067 0.3104 28.46
0.50 0.2092 0.3138 28.77
0.51 0.2113 0.3170 29.06
0.52 0.2133 0.3199 29.33
0.53 0.2151 0.3227 29.58
0.54 0.2168 0.3252 29.81
0.55 0.2184 0.3275 30.03
0.56 0.2197 0.3296 30.22
0.57 0.2210 0.3315 30.39
0.58 0.2220 0.3330 30.53
0.59 0.2229 0.3344 30.65
0.60 0.2236 0.3354 30.75
0.61 0.2242 0.3362 30.83
0.62 0.2245 0.3367 30.87
0.63 0.2247 0.3370 30.89
0.64 0.2246 0.3369 30.89
0.65 0.2243 0.3365 30.85
0.70 0.2196 0.3294 30.20
0.75 0.2084 0.3126 28.66
0.80 0.1895 0.2842 26.06
0.85 0.1613 0.2419 22.18
0.90 0.1220 0.1830 16.77
0.95 0.06919 0.1038 9.514
1.00 0.0000 0.0000 0.0000
75

Volumetto 1: 8 marzo 1927
Il massimo valore 28 di ɛ si ha per s = 0.6 ed è ɛmax = 0.224. Per il calcolo
di ɛ vale lo sviluppo:
8 44
ɛ = (1 − s) s +
15 105 s2 + 4
15 s3 + 32·17
5·7·9·11 s4 +
800
7·9·11·13 s5
736
+
3·5·7·11·13 s6 + . . . + kns n
+ . . . , (1.346)
essendo kn =
1.37 Alcuni integali definiti
(Vedi paragrafo 2.27.)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
π
0
∞
0
n(3n + 5) n!
. (1.347)
1·3·5·7·s(2n + 3)
1
r sin nr e−k2 r 2
dr = √ π
+∞
−∞
π
0
cos nr e −k2r 2
dr =
π
0 π
0
π
0
n/2k
0
= π
2 θ
n
2k
e −x2
dx
29
√ π
k e−n2 /4k 2 30
(1.348)
(1.349)
x sin x dx = π. (1.350)
x 2 sin x dx = π 2 − 2·2 (1.351)
x 3 sin x dx = π 3 − 6π (1.352)
x 4 sin x dx = π 4 − 12π 2 + 2·24 (1.353)
x 2n+1 sin x dx = (−1) n
(2n+1)! π − π3
π2n+1
+ . . . ±
3! (2n + 1)!
(1.354)
28Più precisamente, il massimo si raggiunge a s = 0.632, corrispondente a
ɛmax = 0.22467.
30∗ Si noti che la quantità k al secondo membro è positiva.
76

(8)
π
0
Volumetto 1: 8 marzo 1927
x 2n sin x dx = (−1) n
(2n)! 1·1 − π2
π4 π2n
+ − . . . ± .
2! 4! (2n)!
(1.355)
n intero ≥ 0 [e (−1) 0 = 1]
(9) Tenendo conto degli sviluppi in serie che danno sin π e cos π, la (1.354)
e (1.355) si possono raccogliere in un’unica espressione:
π
x
0
n sin x dx = n!π n
π 2
(n + 2)! −
π4
(n + 4)! +
π6
− . . .
(n + 6)!
(1.356)
che vale probabilmente per n > −1, anche non intero. Per n grandissimo
si ricava in prima approssimazione:
(10)
(11)
+∞
−∞
si veda la (1.198).
(12)
π
0
+∞
−∞
+∞
0
x n sin x dx =
e −x2
e −kx2
x 3 dx
e x − 1 =
π n+2
(n + 1)(n + 2)
,
(1.357)
cos nx dx = e −n2 /4 √ π (1.358)
cos nx dx = e −n2
/4k π
k
∞
+∞
x
k=1 −∞
3 e −kx dx
= 6 1 + 1
1
+ + . . .
24 34 +∞
−∞
= π4
15
(1.359)
(1.360)
sin 2 kx
x 2 dx = k π. (1.361)
77

Volumetto 1: 8 marzo 1927
1.38 Propagazione del calore in un mezzo
isotropo e omogeneo
Sia c il coefficiente di trasmissione, γ il calore specifico, δ la densità; il
quadrato medio dello spostamento del calore (si veda la (1.275)) in una
data direzione e nell’unità di tempo, vale:
µ 2 = 2c
γ δ
(1.362)
e l’equazione differenziale a cui obbedisce la temperatura si può scrivere:
∂T 1
=
∂τ 2 µ2 ∆ T. (1.363)
Per trovare la distribuzione delle temperature gioverà, a seconda dei dati
del problema, o valersi del metodo delle sorgenti o ricorrere a soluzioni
particolari che danno la temperatura come prodotto di una funzione del
tempo per una funzione del posto. Esaminiamo quantitativamente la
propagazione secondo una, secondo due, o secondo tutte e tre le dimensioni.
31
1.38.1 Propagazione in una dimensione
Metodo delle sorgenti. La quantità dQ di calore posta nella sezione
di ascissa x0 di una sbarra indefinita di sezione unitaria, si distribuisce,
per l’equazione (1.362), in guisa che la densità cubica di calore, un punto
d’ascissa x sia al tempo τ:
ρ(x, τ) =
dQ
µ √ 2πτ exp
(x − x0)2
−
2µ 2
. (1.364)
τ
Se T0 è la temperatura nell’istante iniziale e nel punto x0, fra le sezioni x0
e x0 + dx0 si trova accumulata la quantità di calore T0dx0γδ. Sostituendo
questa espressione a dQ nell’equazione (1.364) e integrando, è possibile
31 In realtà, nel manoscritto originale è studiato solo il caso unidimensionale.
78

Volumetto 1: 8 marzo 1927
ottenere la densità del calore e, dividendo per γδ, la temperatura in un
punto qualsiasi e in un istante qualsiasi:
+∞
T0
T (x, τ) =
µ √ 2πτ exp
2
(x − x0)
−
2µ 2
dx0. (1.365)
τ
−∞
Se la sbarra non fosse indefinita, bisognerebbe badare alle condizioni ai
limiti. In alcuni casi il problema si riconduce facilmente a quello della
sbarra indefinita. Facciamo un esempio:
Sia una sbarra limitata fra le sezioni S1 e S2 di ascisse x1 e x2, essendo
x1 < x2; sia T0(x0) la temperatura iniziale nel punto x0, essendo x1 <
x0 < x2, e si ponga la condizione che le temperature T1 e T2 delle sezioni
estreme siano costanti. Si vuol determinare dopo un tempo qualsiasi τ
la temperatura T (x, τ) in un punto qualunque x compreso tra x1 e x2.
Per far ciò, si approfitti della linearità delle espressioni che reggono la
propagazione del calore, decomponendo la distribuzione delle temperature,
in un istante qualsiasi, nella somma di altre due di cui una rappresenti
quella distribuzione permanente nel tempo che è compatibile con le sole
condizioni ai limiti; si ponga cioè :
T (x, τ) = T1 +
x − x1
x2 − x1
T0(x0) = T1 + x0 − x1
x2 − x1
(T2 − T1) + T ′ (x, τ) (1.366)
(T2 − T1) + T ′ 0(x0). (1.367)
Il problema è così ridotto alla determinazione della temperatura nei punti
di una sbarra di cui gli estremi sono tenuti a zero, essendo date le condizioni
iniziali. Per determinare T ′ (x, τ), si consideri una sbarra indefinita e sia T ′ 0
la temperatura iniziale nel punto x0; la T ′ 0, qualunque sia la sua espressione
analitica, deve intendersi definita, per ora soltanto per x0 compreso x1 e
x2. Se x1 < x0 < x2 e n è pari, porremo:
e se n è dispari
T ′ 0[x0 + n(x2 − x1)] = T ′ 0(x0), (1.368)
T ′ 0[x0 + n(x2 − x1)] = − T ′ 0 (x1 + x2 − x0) . (1.369)
La temperatura iniziale resta così definita per tutte le sezioni della sbarra,
salvo che per un numero discreto di esse, ciò che non porta ostacolo alla
soluzione del problema. Si osservi che la temperatura iniziale assume valori
79

Volumetto 1: 8 marzo 1927
opposti per coppie di punti simmetrici rispetto alla sezione S1 o alla sezione
S2 e quindi la temperatura di tali sezioni sarà costantemente nulla. Segue
che la distribuzione delle temperature nella barra indefinita è per i punti
compresi fra x1 e x2, proprio la T ′ (x, τ) che cerchiamo. Ora dall’equazione
(1.365), si ricava:
T ′ +∞
T
(x, τ) =
′ 0
µ √ 2πτ exp
(x − x0)2
−
2µ 2
dx0; (1.370)
τ
−∞
il problema è quindi risolto.
Soluzioni particolari. Ponendo T (x, τ) = X(x)Y (τ), si ricava:
1
Y
dY
dτ
= µ2
2
si deducono le soluzioni particolari:
T = A e −c1τ sin
che, per λ < 0, si può anche scrivere:
1
X
d 2 Y
= λ; (1.371)
dx2 √ 2c1
µ x − c2
(1.372)
T = A e −ω2 µ 2 τ/2
sin (ω x − c) (1.373)
ω τ −
√
ω
µ x + c
. (1.374)
T = A e −√ ωx/µ sin
Le soluzioni nelle equazioni (1.373) e (1.374) sono casi particolari delle
seguente, da cui si deducono ponendo rispettivamente α = 0 e α = β:
T = A e (α2−β 2
)τ/2 −αx/µ
e sin α β τ − β
µ x + c
. (1.375)
L’equazione (1.375) rappresenta nello spazio x, τ, T una superficie. Segandola
con piani paralleli a T si ottengono in generale delle sinusoidi smorzate,
salvo che per i piani paralleli a
α β τ − β
µ x = 0,
che danno come sezioni delle curve esponenziali, e per i piani paralleli a
τ
2 (α2 − β 2 ) τ − α
µ x = 0,
80

Volumetto 1: 8 marzo 1927
che forniscono sezioni sinusoidali. La particolarità geometrica delle soluzioni
(1.373) e (1.374) sta in ciò, che la (1.373) presenta le sezioni sinusoidali
parallelamente al piano τ = 0 e la (1.374) parallelamente al piano x = 0.
Il problema del raffreddamento di una sbarra limitata di cui gli estremi
sono tenuti a zero, che abbiamo risolto più su con il metodo delle sorgenti,
può ben risolversi anche con soluzioni del tipo (1.373). Basta decomporre
la T ′ 0 secondo le autofunzioni della forma (1.373), in cui si ponga τ = 0,
relative all’intervallo x1 − x2, cioè secondo sinusoidi che si annullano per
x = x1 e x = x2 ed hanno per periodo: 2(x2 − x1)/1, 2(x2 − x1)/2,
2(x2 − x1)/3, 2(x2 − x1)/4, etc. Se lo sviluppo di T ′ 0 è il seguente:
x − x1
T ′ 0 = A1 sin π
x2 − x1
+ A2 sin 2π
x − x1
x2 − x1
si avrà evidentemente
T ′ (x, τ) =
A1 exp − π2 µ 2 τ
2(x2 − x1) 2
x − x1
sin π
x2 − x1
+ A2 exp − 4π2 µ 2 τ
2(x2 − x1) 2
x − x1
sin 2π
+ . . . , (1.376)
x2 − x1
1.39 Trasformazioni conformi
Sia
x ′ 1 = x ′ 1(x1, . . . , xr, . . . , xn)
. . .
+ . . . . (1.377)
x ′ r = x ′ r(x1, . . . , xr, . . . , xn) (1.378)
. . .
una trasformazione tale che
i
x ′ n = x ′ n(x1, . . . , xr, . . . , xn)
dx ′2
i
i
dx 2 i = f(x1, . . . , xn). (1.379)
81

Volumetto 1: 8 marzo 1927
Tale condizione si può esprimere analiticamente scrivendo che i gradienti
delle x ′ hanno nello stesso punto lo stesso valore assoluto e che i prodotti
scalari di tali gradienti, presi due a due, sono nulli; cioè:
grad x ′ i × grad x ′ ⎧
⎨ f(x1, . . . , xn), se i = j
j = m =
(1.380)
⎩
0, se i = j
Poniamo
∂ 2 x ′ i
∂xr∂xs
= k(i, r, s).
Il teorema sulla simmetria delle derivate miste 32 , la condizione che le
derivate dei valori assoluti dei gradienti delle x ′ , rispetto alla stessa variabile,
siano tutte uguali tra loro e la condizione che tutte le derivate di
tali prodotti scalari siano nulle importano le uguaglianze (purchè si scelgano
gli assi delle x paralleli ai gradienti delle x ′ ):
Poniamo
k(i, r, s) = k(i, s, r)
k(i1, i1, s) = k(i2, i2, s) (1.381)
k(i, r, s) = − k(r, i, s), se i = r.
pr = ∂2x ′ r
∂x2 .
r
È facile allora mostrare che tutte le derivate di x ′ possono esprimersi in
funzione delle pr. Infatti, dalla (1.381) si supponga
(a) i, r, s tutti diversi
dalle (1.381) si deduce:
(b) se r = i
k(i, r, s) = k(i, s, r) = − k(s, i, r) = − k(s, r, i)
32 Cioè il teorema di Schwarz.
= k(r, s, i) = k(r, i, s) = − k(i, r, s) = 0 ;
k(i, i, s) = k(s, s, s) = ∂2 x ′ s
∂x 2 s
82
(1.382)
= ps ; (1.383)

(c) se s = i
(d) se r = s = i
Volumetto 1: 8 marzo 1927
k(i, r, i) = k(i, i, r) = pr ; (1.384)
k(i, r, r) = − k(r, i, r) = − pi. (1.385)
Si può verificare che qualunque siano le n quantità p1, p2, . . ., pn, le k(i, r, s)
date dalle (1.382), (1.383), (1.384) e (1.385) soddisfano l’equazione (1.381).
Se si pone nel posto r, s di una matrice la derivata k(i, r, s), si possono
costruire n matrici coordinate alle n x ′ . Esse hanno la forma seguente 33 :
∂ 2 x ′ 1
∂xr∂xs
∂ 2 x ′ i
Si ricava:
∂xr∂xs
=
=
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
p1 p2 . . . pn−1 pn
p2 −p1 . . . 0 0
. . .
pn−1 0 . . . −p1 0
pn 0 . . . 0 −p1
⎞
⎟
⎠
−pi 0 0 . . . p1 . . . 0 0
0 −pi 0 . . . p2 . . . 0 0
0 0 −pi p3 0 0
. . .
p1 p2 p3 . . . pi . . . pk 0
. . .
0 0 0 . . . pk . . . pi 0
. . .
0 0 0 . . . pn . . . 0 −pi
⎞
⎟ .
⎟
⎠
∆ x ′ i = − (n − 2) pi. (1.386)
Segue che le x ′ non sono in generale funzioni armoniche; perché fossero tali
occorrerebbe che fosse o n = 2 oppure che le p fossero costantemente nulle
in modo che la (1.378) rappresentasse una semplice similitudine.
33 La generica matrice indicata con i è quella la cui i-esima riga o colonna è data
da (p1, p2, p3, . . . , pn), mentre gli elementi sulla diagonale sono uguali a −pi.
83

Volumetto 1: 8 marzo 1927
Se n = 2, le x ′ sono sempre funzioni armoniche. Allora se U ′ (x ′ , y ′ )
è una funzione armonica, ponendo U(x, y) = U ′ (x ′ , y ′ ), si deduce dalla
(1.380), (1.386) (1.73) che anche U(x, y) è una funzione armonica. La
trasformazione del piano xy nel piano x ′ y ′ dicesi trasformazione conforme
di un piano su un piano. Tale trasformazione conserva la forma delle figure
infinitesime; essa può invertire o no il senso di rotazione. Per avere una
trasformazione conforme basta porre:
oppure
x ′ + i y ′ = f(x + iy) (1.387)
x ′ − i y ′ = f(x + iy), (1.388)
essendo f(x + iy) una funzione analitica qualunque; nel primo caso il senso
di rotazione è conservato, nel secondo caso viene invertito.
Dalle considerazioni analitiche svolte più sopra può aversi un’interessante
conferma sintetica. Si consideri la trasformazione conforme (1.378)
che a un punto dello spazio S a n dimensioni fa corrispondere un punto
dello spazio S ′ . La condizione (1.379) stabilisce che figure infinitesime corrispondenti
sono simili e dà il rapporto di similitudine k = f(x1, . . . , xn),
in generale variabile da un punto a punto. Sia U una funzione delle x e
poniamo:
U ′ (x ′ 1, . . . , x ′ n) = U(x1, . . . , xn). (1.389)
Il flusso del gradiente di U attraverso un elemento di superficie dS può
essere scritto
dϕ = |grad U| dS cos α, (1.390)
e il flusso di grad U ′ attraverso l’elemento corrispondente:
dϕ ′ = grad U ′ dS ′ cos α ′ . (1.391)
ma essendo la trasformazione conforme, abbiamo evidentemente:
e quindi
′
grad U 1
=
k
|grad U| (1.392)
ds ′ = k n−1 dS (1.393)
dϕ ′ = k n−2 dϕ. (1.394)
Segue che se n = 2 e il flusso di U attraverso una superficie chiusa è nullo,
sarà nullo del pari il flusso di U ′ attraverso ogni superficie chiusa, cioè le
trasformazioni conformi di un piano su un piano conservano l’armonicità
84

Volumetto 1: 8 marzo 1927
delle funzioni armoniche. Se n è diverso da 2, l’armonicità non è necessariamente
conservata, salvo il caso che K sia costante. Ma in tal caso la
trasformazione conforme si riduce a una semplice similitudine.
1.40 Meccanica ondulatoria del punto
materiale in un campo conservativo.
Variazione degli autovalori
Sia E un autovalore dell’equazione: 34
∆ ψ + 8π2 m
h 2 (E − U) ψ = 0. (1.395)
Diamo a U una variazione δU perché la (1.395) ammetta una soluzione
finita e monodroma, E dovrà subire una variazione δE. Poniamo ψ1 =
ψ (1 + α) la soluzione della (1.395) variata. Sostituendo nella (1.395), si
ricava l’equazione a cui deve soddisfare α:
ψ ∆ α + 2 grad ψ × grad α + 8π2 m
h 2 (δE − δU) ψ = 0 (1.396)
e moltiplicando per ψ: 35
div ψ 2 grad α + 8π2 m
h 2 (δE − δU) ψ 2 = 0. (1.397)
Poiché ψ 2 grad α è in generale infinitesimo d’ordine superiore al secondo,
integrando in tutto lo spazio S si ricava
(δE − δU) ψ 2 dS = 0, (1.398)
34 Nel manoscritto originale si usa la vecchia notazione h/2π, mentre qui denotiamo
la stessa quantità con .
35 Si noti che se ψ è complesso, si deve moltiplicare per ψ ∗ , per cui ψ 2 deve
essere sostituito con |ψ| 2 .
85

cioè,
Volumetto 1: 8 marzo 1927
δE =
ψ 2
δU dS
ψ 2 dS . (1.399)
1.41 Massa elettromagnetica dell’elettrone
Supponiamo 36 la carica e distribuita su una sfera di raggio a. Ammettendo
la contrazione di Lorentz nella direzione del movimento si ottengono le
seguenti espressioni dell’energia elettrica e dell’energia magnetica:
In riposo risulta:
Es = e2
6a
Em =
e 2
3ac 2
Eem = Es + Em = e2
6a
2
1 − v 2 /c 2 + 1 − v 2 /c 2
(1.400)
v 2
, (1.401)
1 − v2 /c2
2 1 + v2 /c 2
1 − v2 /c2 + 1 − v2 /c2
E 0 s0
= e2
2a
La quantità di movimento elettromagnetico risulta:
(1.402)
(1.403)
Em0 = 0 (1.404)
E0 em = e2
. (1.405)
2a
Q = 2 2e2
Em =
v 3ac2 v
, (1.406)
1 − v2 /c2 36 È interessante leggere su questo argomento, per esempio, l’articolo di E.
Fermi, “Correzione di una contraddizione tra la teoria elettrodinamica e quella
relativistica delle masse elettromagnetiche”, Nota Interna della Scuola Normale
Superiore di Pisa (1924). Per altri articoli scritti dai membri del gruppo di Fermi
si veda, per esempio, P. Caldirola, Nuovo Cimento A 4, 497 (1979).
86

Volumetto 1: 8 marzo 1927
e se si ammette che il sostegno della carica elettrica non abbia coefficiente
di inerzia, la massa dell’elettrone sarà: 37
m = 2
3
e 2
ac 2
1
1 − v 2 /c 2 =
essendo m0 la massa di quiete che vale dunque:
m0 = 2
3
m0
, (1.407)
1 − v2 /c2 e 2
4 Eem
= . (1.408)
ac2 3 c2 L’equivalenza, a meno del fattore c 2 , fra massa ed energia porta a concludere
che nell’ipotesi fatta che il sostegno abbia inerzia nulla, esso deve
possedere un’energia in quiete: 38
e in movimento:
E ′ 0 = 1
3
E ′ = mc 2 − Eem = 2 e
3
2
a
− e2
6a
e2
Eem = , (1.409)
6a
1
1 − v 2 /c 2
2 1 + v2 /c 2
1 − v2 /c2 + 1 − v2 /c2 = e2
1 − v2 /c2 ′
= E 0 1 − v2 /c2 (1.410)
6a
cioè, l’energia propria è proporzionale al suo volume. 39
Ammettere che il nucleo dell’elettrone possiede questa energia non è in
contraddizione con l’ipotesi ammessa che il suo coefficiente di inerzia sia
nullo; infatti esso si trova in uno stato di tensione che fa equilibrio alla
tensione della carica elettromagnetica, la quale per azione del campo elettromagnetico
tenderebbe a disperdersi; questo importa che quella parte
della carica che si trova più innanzi, nel senso del movimento, risente
37 Cioè, l’intera massa dell’elettrone è di natura elettromagnetica.
38 L’Autore considera l’energia totale E di un elettrone come formata da due
termini: quello elettromagnetico, Eem, e quello di auto-energia, E ′ : E = Eem +
E ′ . L’energia E ′ è ottenuta considerando che E = mc 2 .
39 L’energia propria corrisponde all’energia del “nucleo” dell’elettrone, che viene
così ad essere proporzionale al volume del nucleo stesso.
87

Volumetto 1: 8 marzo 1927
un’azione frenante da parte del sostegno, mentre quella parte della carica
che si trova più indietro viene accelerata per azione del sostegno. Segue
che attraverso il nucleo ha luogo un flusso di energia in senso opposto al
movimento dell’elettrone, la cui quantità di moto deve essere uguale e op-
posta a quella dell’energia.
È mobile con la stessa velocità dell’elettrone.
Di ciò potrebbe del resto aversi una verifica diretta, supponendo che il vincolo
sia costituito in un modo qualunque, per esempio, mediante fili che
tengono le cariche distribuite su una superficie sferica a una distanza fissa
del centro; in tal caso basta calcolare la tensione del filo e moltiplicarla
per la velocità dell’elettrone nel senso del filo stesso per avere il flusso di
energia attraverso ad ogni sezione; dividendo per E ′ si ha la quantità di
moto per ogni unità di lunghezza. Basta allora sommare vettorialmente le
quantità di moto inerenti ai singoli fili (la quantità di moto elementare in
ogni filo ha la direzione del filo stesso), per ottenere la quantità di moto
totale inerente al flusso di energia attraverso il nucleo.
Ma ad un’altra considerazione si presta la (1.410): essa mostra infatti
che l’energia del sostegno diminuisce con la velocità e si annulla per velocità
prossime a quelle della luce. Sorge allora il problema del bilancio
energetico del nucleo stesso. Si riconosce facilmente che la dissipazione
dell’energia nucleare con l’aumento della velocità è dovuta alla contrazione
dell’elettrone nel senso del movimento. Dividiamo infatti l’elettrone in due
parti mediante un piano yz passante per il centro in cui poniamo l’origine
degli assi e normale al senso del movimento. Le cariche distribuite in ognuno
dei due elementi di superficie della sfera che si proiettino in tale piano
nell’elemento dy dz valgono:
de = dy dz
a
a 2 − y 2 − z 2
e
=
4πa2 e dy dz
4πa a2 − y2 . (1.411)
− z2 Ora possiamo immaginare che il nucleo sia costituito da fili longitudinali
che rilegano a due a due le cariche elementari simmetriche rispetto al piano
yz ed equilibrano le azioni che esse subiscono da parte delle componenti del
campo elettrico secondo la direzione del movimento, e da fili traversali che
equilibrano le azioni del campo elettrico trasverso e quelle del campo magnetico
sull’elettricità in moto che risultano anche esse normali alla direzione
del movimento. La tensione del filo che lega i due elementi considerati più
sopra è:
dt = 1
2
e
a2
a2 − y2 − z2 a
88
de = e2
dy dz, (1.412)
8πa4

Volumetto 1: 8 marzo 1927
indipendente dalla velocità, e la lunghezza del filo:
ℓ = 2 a 2 − y 2 − z 2 1 − v 2 /c 2 . (1.413)
Se la velocità dell’elettrone aumenta di dv, senza cambiare direzione, i
fili trasversali restano di lunghezza immutata e quindi la loro energia non
subisce variazioni; al contrario i fili longitudinali si accorciano e la variazione
di energia dα di uno di essi si ottiene moltiplicandone la tensione
per la variazione della lunghezza:
d (dα) = dt dℓ = − 2e2
8πa 4 dy dz a 2 − y 2 − z 2
(v/c 2 ) dv
1 − v 2 /c 2
= − e2 v a2 − y2 − z2 4πa 4 c 2 1 − v2 dy dz dv, (1.414)
/c2 e integrando prima rispetto y e z, e notando che
dα = E ′ , (1.415)
si ottiene
yz
dE ′ e
= −
2 v
6a c 2 1 − v2 dv. (1.416)
/c2 Allo stesso risultato si giunge differenziando la (1.410), ciò che prova che
la dissipazione dell’energia del sostegno è effettivamente dovuta alla contrazione
di Lorentz. La porzione dell’energia totale concentrata nel nucleo
vale:
E ′
1
= 1 −
mc2 4
v2
c2
,
Essa è dunque 1/4 per piccole velocità. Al crescere della velocità diminuisce
per doppia ragione, ciò per la diminuzione di energia concentrata e per
l’aumento di energia elettromagnetica, finché alla velocità limite della luce
tutta l’energia dell’elettrone ha la forma elettromagnetica.
89

Volumetto 1: 8 marzo 1927
1.42 Polinomi di Legendre
I polinomi di Legendre sono definiti dalla relazione:
Pn = 1
2n d
n!
n (x 2 − 1) n
dxn Essi soddisfanno alle relazioni
1
⎧
⎪⎨
0 , per m = n
Inoltre,
Pm Pn dx =
−1
⎪⎩
2
, per m = n
2n + 1
(1.417)
. (1.418)
Pn(1) = 1 , Pn(−1) = (−1) n . (1.419)
I primi di tali polinomi hanno l’espressione:
P0 = 1
P1 = x
P2 = 3
2 x2 − 1
2
P3 = 5
2 x3 − 3
2 x
P4 = 35
8 x4 − 15
4 x2 + 3
8
P5 = 63
8 x5 − 35
4 x3 + 15
8 x
P6 = 231
16 x6 − 315
16 x4 + 105
16 x2 − 5
16
P7 = 429
16 x7 − 693
16 x5 + 315
16 x3 − 35
16 x
90
1
P
−1
2 n dx = 2
2
3
2
5
2
7
2
9
2
11
2
13
2
15

Volumetto 1: 8 marzo 1927
1.43 ∆ in coordinate sferiche
Sia V una funzione di x, y, z, attraverso r, θ, ϕ, essendo:
Poiché valgono le relazioni:
r = x 2 + y 2 + z 2
θ = arccos z/r (1.420)
ϕ = arctan y/r.
|grad r| = 1, |grad θ| = 1
, |grad ϕ| =
r
1
r sin θ
grad r × grad θ = grad θ × grad ϕ = grad ϕ × grad r = 0
si deduce dalla (1.73):
∆ V = ∂2V 2 ∂V
+
∂r2 r ∂r
(1.421)
(1.422)
∆ r = 2
cot θ
, ∆ θ = r r2 , ∆ ϕ = 0 (1.423)
+ 1
r 2
1
sin2 ∂
θ
2 V
∂ϕ2 + ∂2V ∂V
+
∂θ2 ∂θ
91
cot θ . (1.424)

VOLUMETTO
2 23 aprile 1928
2.1 ∆ in coordinate polari
Sia V una funzione di x e y attraverso r e ϕ ossia:
Poiché:
allora, dalla (1.73):
r = x2 + y2 (2.1)
ϕ = arctan y
.
x
(2.2)
|grad r| = 1 , |grad ϕ| = 1
r
(2.3)
grad r × grad ϕ = 0 (2.4)
∆ 2 r = 1
r , ∆2 ϕ = 0, (2.5)
∆ 2 V = ∂2V 1 ∂V
+
∂z2 r ∂r
+ 1
r 2
∂ 2 V
. (2.6)
∂ϕ2 2.2 Sviluppo di una funzione armonica nel
piano
Supponiamo di sviluppare in serie una funzione armonica V intorno al
punto O(0, 0). Avremo:
V = P0 + P1 + P2 + P3 + . . . + Pn + . . . , (2.7)
93

Volumetto 2: 23 aprile 1928
essendo Pn un polinomio intero omogeneo di grado n in x e y. Poiché
∆ 2 V = 0, si ricava:
∆ 2 Pn = 0, (2.8)
cioè Pn è una funzione armonica. Ora Pn ha n+1 coefficienti, mentre ∆ 2 Pn
che è un polinomio di grado n − 2, ne ha n − 1, legati da relazioni lineari
a quelli di Pn e che devono annullarsi; segue che solo due dei coefficienti
di Pn possono essere scelti in modo arbitrario, salvo P0 che è una costante
arbitraria. L’espressione più generale di Pn è dunque
Pn = an P ′ n + bn P ′′
n , (2.9)
essendo P ′ n e P ′′
n due polinomi noti, interi ed omogenei di grado n. Ora
possiamo porre
e quindi
Pn = r n µn(ϕ), P ′ n = r n µ ′ n(ϕ), P ′′
n = r n µ ′′ n(ϕ) (2.10)
µn(ϕ) = an µ ′ n(ϕ) + bn µ ′′ n(ϕ). (2.11)
Ora nella scelta di P ′ n e P ′′
n esiste sufficiente arbitrarietà per supporre che
µ ′ n e µ ′′ n siano ortogonali nell’intervallo (0, 2π); è facile allora che le µ ′ e le
µ ′′ formino un sistema ortogonale. Basterà provare che se m = n, si ha
sempre
2π
µm µn dϕ = 0, m = n. (2.12)
0
Per far ciò, consideriamo il flusso uscente attraverso un cerchio di raggio r
del vettore
r m µm grad r n µn − r n µn grad r m µm. (2.13)
Ora dalla (2.10), segue:
∂
∂r rm µm = m r m−1 µm
∂
∂r rn µn = n r n−1 µn.
Così il flusso uscente è dato dall’espressione
F = (n − m) r n+m−1
2π
94
0
(2.14)
µm µn dϕ. (2.15)

Volumetto 2: 23 aprile 1928
D’altronde la divergenza del vettore in (2.13) vale:
da cui segue la (2.12).
div (r m µm grad r n µn − r n µn grad r m µm)
= r m µm ∆ 2 r n µn − r n µn ∆ 2 r m µm = 0, (2.16)
2.3 Quantizzazione dell’oscillatore lineare
armonico
Se m è la massa dell’oscillatore e −Kq la forza attrattiva, l’Hamiltoniana
si può scrivere:
H(q, p) = 1
2 K q2 + p2
e la frequenza dell’oscillatore sarà:
= E
2m
(2.17)
ν = 1
K
.
2π m
(2.18)
Le matrici di p e q, e delle loro funzioni, oltre alle regole di somma e
prodotto soddisfanno alle condizioni:
(a) regola di derivazione rispetto al tempo: ˙ Mrs = (i/) (Er − Es) Mrs;
(b) p q − q p = /i;
(c) H deve avere i suoi elementi diagonali: (E1, E2, . . .);
(d) le matrici devono essere Hermitiane.
Da tali condizioni segue che sono soddisfatte le equazioni di Hamilton:
˙q = ∂H
∂p
(2.19)
˙p = − ∂H
. (2.20)
∂q
95

Volumetto 2: 23 aprile 1928
La condizione (a) combinata con le altre si può anche scrivere
˙M = i
(H M − M H) . (2.21)
Nel nostro caso le equazioni (2.19) e (2.20) diventano:
m ˙q = p (2.22)
˙p = − K q. (2.23)
Dalla (2.22), segue che tra gli elementi di p e q passa la relazione
Inoltre, poiché
prs = qrs
im
(Er − Es) . (2.24)
m ¨q + K q = 0, (2.25)
si ricava:
K − m
2 (Er − Es) 2
qrs = 0. (2.26)
Segue che qrs può essere diverso da zero soltanto se
cioè se
K = m
2 (Er − Es) 2 , (2.27)
Er − Es = ± hν. (2.28)
Calcoliamo ora l’elemento (r, r) della matrice pq −qp. Per la condizione
(b) abbiamo:
= (prα qαr − qrα pαr) ,
2πi
(2.29)
o, per la (2.24):
cioè
2πi
=
α
α
α
(Er − Eα) im
(qrα qαr + qαr qrα) . (2.30)
(Eα − Er) |qrs| 2 = 2
2π2 . (2.31)
m
96

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Tutti i termini della sommatoria si annullano, salvo al più due per i quali
si abbia rispettivamente:
Eα = Er + hν (2.32)
Eα = Er − hν. (2.33)
Segue che se esiste un autovalore Er deve almeno esistere uno dei due
autovalori Er − hν e Er + hν. Ora a causa della forma di H esiste almeno
un autovalore E0 tale che non esista l’autovalore E0 − hν. Esiste quindi
anche l’autovalore E1 = E0 + hν. Allora, ponendo r = 0 nella (2.31), si
ricava:
h ν |q01| 2 = 2
2π2 , (2.34)
m
cioè
|q01| 2
=
4π2 . (2.35)
mν
Ponendo r = 1 nella (2.31) si trova che deve esistere anche l’autovalore
E2 = E1 + hν = E0 + 2hν, e si ricava:
|q12| 2 =
2
4π2 . (2.36)
mν
Mediante l’uso ripetuto della (2.31) per induzione si prova che esiste l’autovalore
E0 + nhν, essendo n un intero qualsiasi, e si trova inoltre:
|qn−1,n| 2 = n
. (2.37)
4πmν
Segue che la matrice q e, per la (2.24), anche quella della p, hanno tutti
i termini nulli ad eccezione di quelli contigui agli elementi della diagonale
principale. Essendo ormai note le matrici di q e, per la (refv2-3-8), di p,
salvo una indeterminazione inessenziale, uguale ed opposta all’argomento
dei complessi coniugati qrs e qsr, prs e psr, possimao costruire la matrice
di H e verificare che la condizione (c) è soddisfatta e nello stesso tempo
determinare E0. Per la (2.17) abbiamo:
Hrs = 1
K qrα qαs +
2
α
1
prα pαs, (2.38)
2m
α
ovvero, per la (2.24):
Hrs =
1
K +
2
m
22 (Er
− Eα) (Es − Eα)
α
97
qrα qαs. (2.39)

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Tutti i termini della sommatoria sono nulli salvo al più quelli per cui α
differisce di un’unità tanto da r che da s. Perché α possa assumere un tale
valore bisogna che abbia luogo uno dei tre casi:
(I) r = s + 2
(II) r = s = n
(III) r = s − 2.
(2.40)
Nel caso I la sommatoria si riduce a un termine che si ottiene ponendo
α = s + 1. Si trova:
1 m
Hs+2,s = K +
2 22 (Es+2
− Es+1)(Es − Es+1) qs+2,s+1 qs+1,s
1
=
2 K − 2π2 ν 2
m qs+2,s+1 qs+1s = 0. (2.41)
Analogamente nel caso III, e quindi la matrice è diagonale. Nel caso II
sono diversi da zero due termini della sommatoria che si ottengono ponendo
α = r − 1 = s − 1 = n − 1 oppure α = r + 1 = s + 1 = n + 1. Si trova allora:
1 m
Hn = En = K +
2 22 (En − En−1) 2
qn,n−1 qn−1,n
1 m
+ K +
2 22 (En − En+1) 2
qn,n+1 qn+1,n. (2.42)
cioè, poiché per le equazioni (2.36) e (2.37):
si ricava
(En − En−1) 2 = (En − En+1) 2 = h 2 ν 2
qn−1,n qn,n−1 = |qn−1,n| 2 = n
qn,n+1 qn+1,n = |qn,n+1| 2 =
En =
(2.43)
4πmν
(2.44)
(n + 1)
,
4πmν
(2.45)
1
2 K + 2π2 m ν 2
n
4πmν
1
+
2 K + 2π2 m ν 2
(n + 1)
; (2.46)
4πmν
98

ed essendo
si ricava:
En =
K
8π 2 mν
In particolare:
Volumetto 2: 23 aprile 1928
1
2 K + 2π2 m ν = K,
(2 n + 1) h = ν
2
(2 n + 1) h = h ν
n + 1
. (2.47)
2
E0 = 1
h ν. (2.48)
2
2.4 Riduzione a diagonale di una matrice
Sia H una matrice qualunque Hermitiana; S una matrice tale che si abbia
essendo S −1 definita dalla relazione
La condizione (2.49) si può allora scrivere:
Sri S −1
is = δrs o
dove 40
i
δrs =
S S −1 = 1, (2.49)
S −1
rs = S ∗ sr. (2.50)
1, r = s
0, r = s.
La matrice SHS −1 è la trasformata di H. Avremo
−1
S H S
=
−1
H S
=
rs
i
Sri
=
i
k
i
is
Sri S ∗ si = δrs, (2.51)
i
Sri
k
Hik S −1
ks
Hik Sri S ∗ sk; (2.52)
40 Nel manoscritto originale la definizione del simbolo di Kronecker è data
dall’equazione (2.53).
99

Volumetto 2: 23 aprile 1928
e poiché la matrice W = SHS −1 deve essere diagonale, avremo:
i
k
Hik Sri S ∗ sk = Er δrs. (2.53)
Ponendo a posto di r e s rispettivamente m e l e moltiplicando per Sln si
ricava:
e sommando rispetto a l:
i
i
k
k
Il primo membro si può anche scrivere:
Hik Smi S ∗ lk Sln =
i
k
l
=
i
=
i
k
Hik Smi S ∗ lk Sln = Em Sln δml; (2.54)
l
Hik Smi
Smi Hin,
e l’equazione (2.55) diventa
i
Hik Smi S ∗ lk Sln = Em Smn. (2.55)
Skl S ∗ nl =
l
i
i
k
Hik Smi
k
l
Hik Smi δkn
S ∗ lk Sln
Smi Hin = Em δmn, (2.56)
cioè
Smi (Hin − δin Em) = 0. (2.57)
i
Alla formola (2.56), e quindi alla (2.57), si giungerà rapidamente sfruttando
la proprietà associativa del prodotto di matrici. Per dimostrare tale
proprietà basterà provare che essendo a, b, e c tre matrici qualunque si ha
Infatti,
(a b) c = a b c. (2.58)
[(a b] c) rs =
(a b) ri
cis =
i
=
ark
i
k
ark bki cis
bki cis =
ark (b c) ks
k i
k
= [a (b c)] rs = (a b c) rs ; c.d.d.
100

Dalla relazione
si ricava allora
Volumetto 2: 23 aprile 1928
S H S −1 = W, (2.59)
W S = S H S −1 S = S H S −1 S = S H, (2.60)
da cui discende immediatamente l’equazione (2.56).
Se la matrice è finita e comprende solo N righe e colonne, variando nella
(2.57) l’indice n da 1 a N, si ottengono N equazioni lineari ed omogenee
tra gli N elementi della riga n-esima di S e poiché gli Smn non possono
essere tutti nulli, a causa della (2.51), dovrà essere nullo il determinante
dei coefficienti di tali equazioni omogenee. Dovrà cioè aversi:
⎛
H11 − Em H12 H13 . . . H1N
⎜ H21 H22 ⎜
− Em H23 . . . H2N
det ⎜ H31 H32 H33 ⎜
− Em . . . H3N
⎝ . . .
HN1 HN2 HN3 . . . HNN − Em
(2.61)
Segue che la matrice W non può contenere in diagonale che le radici della
(2.61). Se le radici sono distinte si può formare la W con tutte le E
in diagonale. La S si può allora costruire mediante la (2.57). Infatti,
risolvendo l’accennato sistema di equazioni lineari si determinano, a meno
di un fattore costante, gli elementi della riga n di S; il fattore costante
viene poi fornito dalla normalizzazione imposta dalla (2.51). Si possono
così trovare tutte le righe di S, ognuna delle quali è coordinata a una delle
radici della (2.61). Si dimostra allora che la condizione di ortogonalità fra
le righe di S richiesta dalla (2.51), è automaticamente soddisfatta purché
H sia Hermitiana. Se q radici coincidono si può in infiniti modi costruire
q righe di S coordinate alle q radici coincidenti. 41
⎞
⎟ = 0
⎠
41 Nel manoscritto originale, dopo questo paragrafo, l’Autore progettò di scrivere
un paragrafo sui polinomi di Laguerre. Tuttavia, tale nuovo paragrafo non
venne mai scritto.
101

Volumetto 2: 23 aprile 1928
2.6 Quantizzazione ondulatoria di un
punto attratto con forza costante
verso una parete perfettamente
elastica
Consideriamo il movimento in una sola direzione, normale alla superficie
elastica. Se x è la distanza dalla parete e g l’accelerazione a cui è soggetto
il punto, l’energia potenziale si può scrivere:
U =
e l’equazione di Schrödinger
⎧
⎪⎨
⎪⎩
m g x, x > 0
∞, x < 0
d 2 ψ 2m
+ (E − m g x) ψ = 0, x > 0
dx2 2 ψ = 0, x ≤ 0
(2.62)
. (2.63)
Supponiamo che ψ sia una soluzione di tale equazione corrispondente all’autovalore
E. Posto:
x1 = (m g x − E) 3 2/(m 2 g 2 ). (2.64)
La (2.63) diventa, se si considera ψ come funzione di x1:
dove 42
⎧
⎪⎨
⎪⎩
d 2 ψ
dx 2 1
= x1 ψ
ψ(x1 = α) = 0
α = − E 3 2/(m 2 g 2 ).
(2.65)
La funzione ψ deve inoltre essere regolare e finita per α < x1; ma questa
condizione determina completamente, come vedremo, a meno di una costante
di proporzionalità la ψ come funzione di x1. Se F (x1) è una tale
42 La seconda equazione (2.65) corrisponde a ψ(x = 0) = 0; ovviamente, la
funzione d’onda si annulla anche per x < 0 o x1 < α.
102

Volumetto 2: 23 aprile 1928
funzione, la seconda parte delle condizioni (2.65) si esprime dicendo che α
è uno zero della funzione ψ. Se dunque α è uno qualunque di tali zeri, si
ottengono tutti i possibili livelli energetici dalla relazione:
E = − α 3 m 2 g 2 /2. (2.66)
Possiamo anche calcolare il modulo di periodicità dell’azione relativa
al modello puntiforme, che indicheremo semplicemente con S. Ciò servirà
a confrontare i risultati della meccanica ondulatoria con quelli a cui con-
ducono le condizioni di Sommerfeld. Avremo
S = 2
E/mg
0
m
2
4
(E − mgx) dx =
m 3g
Ovvero, eliminando E mediante la (2.66):
mentre le condizioni di Sommerfeld darebbero:
S
h
2
m E3/2 . (2.67)
= 2
3π (−α)3/2 , (2.68)
S/h = n, (2.69)
(n intero positivo o nullo).
Vediamo ora di costruire effettivamente la funzione F (x) = y. Due
soluzioni particolari della (2.65) sono (vedi paragrafo 2.32):
M = 1 + 1
2·3 x3 +
N = x + 1
3·4 x4 +
1
2·3·5·6 x6 +
1
3·4·6·7 x7 +
1
2·3·5·6·8·9 x9 + . . .
1
3·4·6·7·9·10 x10 + . . .
(2.70)
La soluzione generale è una combinazione di M e di N e poiché M ed N
tendono all’infinito per x → ∞, dovrà essere, a meno di un fattore costante:
y = M − λ N, (2.71)
essendo
M
λ = lim . (2.72)
x→∞ N
Che λ sia finito lo proveremo tra poco; che poi y tenda effettivamente a
zero per x → ∞, e con sufficiente rapidità, si dimostra nel modo seguente.
Poniamo una soluzione qualunque della (2.65) sotto la forma:
y = e u . (2.73)
103

Avremo
e al limite per x grandissimo,
Volumetto 2: 23 aprile 1928
u ′′ + u ′2 = x (2.74)
u ′ = ± √ x. (2.75)
Il segno superiore corrisponde a soluzioni infinite d’ordine infinitamente
grande, mentre il segno inferiore corrisponde a soluzioni infinitesime d’ordine
infinitamente grande. Ora si constata facilmente che lo sviluppo di u
secondo le potenze discendenti di √ x è identico, a meno di una costante
additiva, per tutte le y che tendono all’infinito; segue che il limite del
rapporto tra due soluzioni che tendono all’infinito è una costante diversa
da zero. Ma se y ha la forma (2.71) abbiamo:
lim
x→∞
y
M
= lim y → ∞ = M − λN
M
= 0, (2.76)
e y tende quindi a zero d’ordine infinitamente grande. Per determinare λ
cominciamo a porre:
ϕ(0) = 1; ϕ(3) = 1
; ϕ(3n) =
2·3
Allora avremo
1
. (2.77)
2·3·5·6·s(3n − 1)·(3n)
M = ϕ(0) + ϕ(3) x 3 + ϕ(6) x 6 + ϕ(9) x 9 . . . (2.78)
Possiamo definire ϕ(x) per ogni x > −2 valendoci dell’equazione funzionale:
ϕ(x + 3) =
ϕ(x)
(x + 2)(x + 3)
(2.79)
e stabilendo di calcolare ϕ(x) al limite per x grandissimo mediante interpolazione
lineare logaritmica fra ϕ(3n) e ϕ(3n + 3) essendo 3n < x < 3n + 3.
Al limite avremo evidentemente:
o più generalmente
x 2/3 ϕ(x + 1)
ϕ(x)
lim x2α/3 ϕ(x + α)
ϕ(x)
104
= 1 (2.80)
= 1, (2.81)

da cui si deduce facilmente:
lim
x→∞
(α > −2).
In particolare,
Volumetto 2: 23 aprile 1928
ϕ(0) + ϕ(3)x 3 + ϕ(6)x 6 + ϕ(9)x 9 + . . .
ϕ(α)x α + ϕ(α + 3)x α+3 + ϕ(α + 6)x α+6 + . . .
lim
x→∞
= lim
x→∞
ϕ(0) + ϕ(3)x 3 + ϕ(6)x 6 + ϕ(9)x 9 + . . .
ϕ(1)x + ϕ(4)x4 + ϕ(7)x7 + ϕ(10)x10 + . . .
M
ϕ(1) N
= 1 (2.82)
= 1, (2.83)
da cui λ = ϕ(1). Sotto forma di prodotto infinito [vedi la voce (3) nel
paragrafo 3.7]:
da cui si ricava
Abbiamo dunque
λ 3 = [ϕ(1)] 3 = 1
2 · 42 ·7
5 3 · 72 ·10
8 3 · 102 ·13
11 3 · 132 ·16
14 3 ·s, (2.84)
λ = ϕ(1) = 3√ 3 Γ(2/3)
Γ(1/3) =
3√ 3
2
(2/3)!
(1/3)!
= 0.729. (2.85)
F (x) = ϕ(0) − ϕ(1) x + ϕ(3) x 3 − ϕ(4) x 4 + ϕ(6) x 6 − ϕ(7) x 7 + . . .
(2.86)
Per x > 0 si ha sempre F (x) > 0; F ′ (x) < 0; F ′′ (x) > 0. Per x < 0 F si
annulla infinite volte. Badando all’equazione differenziale di F , si dimostra
ovviamente che se αn e αn+1 sono due zeri consecutivi con αn > αn+1 vale
la relazione
Segue:
αn − αn+1 = π √ ξ , essendo αn+1 < − ξ < αn. (2.87)
Sn+1 − Sn
h
=
Per grandi numeri quantici si avrà:
ξ1
, essendo αn+1 < − ξ1 < αn. (2.88)
ξ
(Sn+1 − Sn) /h = 1, (2.89)
105

Volumetto 2: 23 aprile 1928
in accordo con le condizioni di Sommerfeld. Il primo zero di F si ha per 43
a cui corrisponde: 44
⎧
⎪⎨
⎪⎩
S1 0.76 h
λ = 3√
2
Γ
3
3 =
1
Γ
3
− α1 2.33 (2.90)
3√ 3
2
2
3 !
1
3 !
= 0.729
2.7 Hamiltoniana relativista per il
movimento di un elettrone
(2.91)
Sia ϕ il potenziale scalare e Vx, Vy, Vz le componenti del potenziale vettore.
Posto
C0 = ϕ, C1 = − i Vx, C2 = − i Vy, C3 = − i Vz,
x0 = i c t, x1 = x, x2 = y, x3 = z,
ds 2 =
i dx2 i ,
e consideriamo nello spazio-tempo l’azione 45 :
cP
i =
mc 2
ds + e
Ci dxi. (2.92)
Avremo:
cP
δ
i
=
mc 2 ˙xi dδxi
+ e Ci dδxi
+ e
∂Ci
δxj dxi,
∂xj
(2.93)
43 Un calcolo più preciso fornisce −α1 2.33811.
44 In realtà il calcolo accurato dà un valore di S1 7.49 h.
45 In questo paragrafo, l’Autore ha adottato la convenzione di somma sugli indici
ripetuti.
106

cioè:
δ
cP
i
Volumetto 2: 23 aprile 1928
= mc 2 b ˙xi + e Ci δxi
a −
mc 2 ¨xi δxi ds
∂Ci
∂Ci
− e δxi ˙xj ds + e δxj ˙xi ds. (2.94)
∂xj
∂xj
La condizione perché P sia stazionaria è:
mc 2 ¨xi
∂Cj
= e
∂xi
− ∂Ci
˙xj,
∂xj
(2.95)
che si scinde nelle quattro equazioni:
d mc
dt
2
1 − v2 /c2 d m dx/dt
dt 1 − v2 /c2 d m dy/dt
dt 1 − v2 /c2 d m dz/dt
dt 1 − v2 /c2 = − e
c
− e
= − e ∂ϕ
∂x
− e dz
c dt
= − e ∂ϕ
∂y
∂Cx
∂t
∂ϕ ∂x
∂x ∂t
∂x
∂t
+ ∂Cy
∂t
+ ∂ϕ
∂y
e ∂Cx
−
c ∂t
∂Cx
∂z
e ∂Cy
−
c ∂t
− e
dx ∂Cy
c dt ∂x
= − e ∂ϕ
∂z
− e dy
c dt
e ∂Cz
−
c ∂t
∂Cz
∂y
∂y
∂t
∂y
∂t
e dy
+
c dt
∂Cz
−
∂x
e dz
+
c dt
∂Cx
−
∂y
+ ∂ϕ
∂z
+ ∂Cz
∂t
∂Cy
∂x
∂Cz
∂y
∂z
∂t
e dx ∂Cx
+
c dt ∂z
∂Cy
− ,
∂z
∂z
∂t
∂Cx
−
∂y
∂Cy
−
∂z
∂Cz
−
∂x
che sono appunto le equazioni del movimento dell’elettrone. Data una superficie
qualunque (che può anche ridursi a un punto), l’azione P calcolata
107

Volumetto 2: 23 aprile 1928
su una linea che termina in un punto determinato e parte da un punto
della superficie tale che la δP al limite inferiore sia stazionaria, è una funzione
del posto. Spostando il limite superiore di un vettore di un vettore
infinitesimo (dx0, dx1, dx2, dx3), la variazione di P essendo stazionaria
per limiti fissi e stazionaria al limite inferiore, si riduce alla variazione al
limite superiore; cioè, per la (2.94)) si riduce a:
d (cP/i) = mc 2
˙xi + e Ci dxi, (2.96)
cioè:
dP = −
+
+
mc 2
dt − e ϕ dt +
1 − v2 /c2
m
1 − v 2 /c 2
m
1 − v 2 /c 2
dy
dt
dz
dt
e
−
c Cy
dy
− e
c Cz
m
1 − v 2 /c 2
dx
dt
e
−
c Cx
dx
dz. (2.97)
Definiamo come momenti coniugati a t, x, y, z le espressioni
pt = −
px =
py =
pz =
Dalla (2.97) segue allora che
∂P
∂t
= − W = pt,
mc 2
1 − v 2 /c 2
m dx
1 − v2 /c2 dt
m dy
1 − v2 /c2 dt
m dz
1 − v2 /c2 dt
∂P
∂x
= px,
∂P
∂y
− e ϕ = − W
+ e
c Cx
+ e
c Cy
+ e
c Cz.
= py,
I quattro momenti (2.98) sono legati dalla relazione:
−
W
c
− e
c ϕ
2
+
px − e
c Cx
2 108
(2.98)
∂P
∂z = pz. (2.99)

+
Volumetto 2: 23 aprile 1928
py − e
c Cy
2
+ pz − e
c Cz
2 + m 2 c 2 = 0. (2.100)
La (2.100) può considerarsi, a meno del fattore 1/2m, come la Hamiltoniana
del sistema. Infatti, detto τ il tempo proprio, si ha, se M è il primo
membro della (2.100) diviso per 1/2m,
∂M
∂pt
∂M
∂px
∂M
∂py
∂M
∂t
∂M
∂x
= − ∂M
∂W =
=
= ˙y,
=
= e
c
1 dx
1 − v2 /c2 dt
∂M
∂pz
e ∂ϕ
1 − v2 /c2 ∂t
− e
c
1
1 − v 2 /c 2
= dx
dτ
= dt
dτ = ˙t (2.101)
= ˙x (2.102)
= ˙z (2.103)
− e
c
1 dCy
1 − v2 /c2 dt
1
1 − v 2 /c 2
− ∂ϕ dx
∂x dt
= e dϕ
dτ
=
=
+ d
dτ
− ∂ϕ
∂y
e ∂ϕ
1 − v2 /c2 ∂x
− e
c
1
1 − v 2 /c 2
dϕ
dt
1 dCx dx
1 − v2 /c2 dt dt
dy e 1 dCz dz
−
dt c 1 − v2 /c2 dt dt
1 dCx dx dCy dy dCz
− + +
c dt dt dt dt dt
dy ∂ϕ dz
−
dt ∂z dt
mc 2
1 − v 2 /c 2
∂Cx
∂x
dz
dt
= dW
dτ = ˙ W = − ˙pt (2.104)
dx
dt
+ ∂Cy
∂x
dy
dt
+ ∂Cz
∂x
dz
dt
e ∂ϕ e 1 ∂Cx
+
1 − v2 /c2 ∂x c 1 − v2 /c2 ∂t
− e
1 dy ∂Cy ∂Cx
−
c 1 − v2 /c2 dt ∂x ∂y
+ e
1 dz ∂Cx ∂Cz
− −
c 1 − v2 /c2 dt ∂z ∂x
e 1 dCx
c 1 − v2 /c2 dt
109

= −
= − dpx
dτ
e
1 − v 2 /c 2
Volumetto 2: 23 aprile 1928
d
dt
m
1 − v 2 /c 2
dx
dt
e
+
c Cx
= − ˙px, (2.105)
e analogamente per y e z.
In tutto ciò che precede si è attribuito a e il suo valore algebrico; specificando
che si tratta di elettroni negativi e indicando ora con e il valore
assoluto della carica, le equazioni (2.98) e (2.100) diventano
pt = −
px =
py =
pz =
mc 2
1 − v 2 /c 2
m dx
1 − v2 /c2 dt
m dy
1 − v2 /c2 dt
m dz
1 − v2 /c2 dt
W e
− +
c c ϕ
2
+ px + e
+ pz + e
c Cz
2 + e ϕ = − W
− e
c Cx
− e
c Cy
− e
c Cz;
c Cx
2
+
py + e
c Cy
2 (2.106)
+ m 2 c 2 = 0. (2.107)
110

Volumetto 2: 23 aprile 1928
2.8 Funzione di Fermi 7
x ϕ(x) −ϕ ′ (x)
0 1 1.58
0.05 0.936 1.15
0.1 0.882 0.995
0.2 0.793 0.79
0.3 0.721 0.66
0.4 0.660 0.56
0.5 0.607 0.49
0.6 0.561 0.43
0.7 0.521 0.38
0.8 0.486 0.34
0.9 0.453 0.31
1 0.424 0.29
x ϕ(x)
1.1 0.398
1.2 0.374
1.3 0.353
1.4 0.333
1.5 0.315
2 0.243
2.5 0.193
3 0.157
3.5 0.129
4 0.108
5 0.079
6 0.059
7 0.046
8 0.036
x ϕ(x)
9 0.029
10 0.024
12 0.017
14 0.012
16 0.009
18 0.007
20 0.0056
25 0.0034
30 0.0022
40 0.0011
50 0.0006
60 0.0004
80 0.0002
100 0.0001
ϕ ′′ = ϕ3/2
√ x , ϕ(0) = 1, ϕ(∞) = 0. (2.108)
7 L’argomento di questo paragrafo è più comunemente noto come la funzione
di Thomas-Fermi. L’Autore qui si riferisce a E. Fermi, Z. Phys. 48 (1928) 73.
Come Majorana ottenga i valori numerici della funzione di Thomas-Fermi riportati
nella tabella che segue non è chiaro; tuttavia essi risultano molto precisi.
111

Posto: 8
si trova:
du
dt =
Se invece si pone 9
Volumetto 2: 23 aprile 1928
t = 1 − 1
x3 ϕ (2.109)
12
ϕ = exp
u(t) dt
16
3(1 − t) +
1
8 +
u
3(1 − t)
7
+ − 4t u
3 2 − 2
t(1 − t) u3
3
(2.110)
(2.111)
u(0) = ∞
t
(2.112)
ϕ = exp u(t) dt . (2.113)
1
t = 144 −1/6 x 1/2 ϕ 1/6
(2.114)
8L’Autore cerca una soluzione parametrica dell’equazione di Thomas-Fermi
nella forma
x = x(t), ϕ = ϕ(t),
dove t è un parametro. A questo punto, esegue il cambio di variabili rappresentato
dalle equazioni (2.109) e (2.110). Schematicamente, il metodo è allora
il seguente: Si considerino x e ϕ come funzioni di t, date rispettivamente dalle
equazioni (2.109) e (2.110) (in maniera implicita). Successivamente, si calcolino
da esse le loro derivate prime e seconde rispetto a t, e si sostituiscano i risultati
nell’equazione di Thomas-Fermi (2.108); si noti che questa equazione contiene
derivate di ϕ rispetto a x. Il risultato è un’equazione differenziale del primo-ordine
(del tipo di Abel) per la funzione incognita u(t), cioè la (2.111). Le condizioni ai
limiti (2.108) sono infine prese in considerazione nelle equazioni (2.112) e (2.113).
9Nel seguito di questo paragrafo vengono considerate solo le sostituzioni in
(2.114) e (2.115). Si noti che il metodo usato qui dall’Autore è alquanto differente
da quello precedente, sebbene sia molto simile. L’Autore considera la descrizione
parametrica di x e ϕ:
x = x(t), ϕ = ϕ(x(t))
(si noti che ora ϕ dipende da t solo tramite x). Quindi il problema viene riformulato
in termini di t e u(t) usando le equazioni (2.114) e (2.115). La procedura
adottata è la seguente: si calcola la derivata rispetto a t dell’equazione (2.115)
[considerando ϕ = ϕ(x(t))] e si sostituisce in essa l’equazione di Thomas-Fermi
112

vale la seguente relazione:
Volumetto 2: 23 aprile 1928
u = − 3 16/3 ϕ −4/3 ϕ ′
(2.115)
du
dt = 8 tu2 − 1
1 − t2 . (2.116)
u
Per x = 0, si ha: t = 0, u(0) = − 3 16/3 ϕ ′ 0.
Per x = ∞, dallo sviluppo asintotico di ϕ si trova u = 1, t = 1. Il
tratto della u corrispondente alla ϕ è limitato fra i punti di ascissa t = 0 e
t = 1. Questo tratto può essere ottenuto da uno sviluppo in serie sempre
convergente a partire dall’estremo di destra. Precisamente posto t1 = 1−t,
si ha: 10
u = a0 + a1 t1 + a2 t 2 1 + a3 t 3 1 + . . . (2.117)
(2.108). Allora dall’equazione (2.114) si ottiene x (e la sua derivata rispetto t), la
quale viene sostituita nella relazione appena ottenuta. Il risultato è un’equazione
differenziale del primo-ordine per u(t) (con le condizioni ai limiti riportate nel
testo), che viene risolta mediante uno sviluppo in serie (vedi sotto). Una volta
ottenuta u(t), l’Autore non deduce l’espressione per la funzione di Thomas-Fermi
ϕ dalle equazioni (2.114) e (2.115), ma di nuovo cerca una soluzione parametrica
del tipo
ponendo
x = x(t), ϕ = ϕ(t),
ϕ(t) = exp
w(t)dt ,
in cui w(t) è una funzione che può essere espressa in termini di u(t) sostituendo
l’espressione di sopra per ϕ(t) nelle equazioni (2.114) e (2.115). Il risultato finale
è espresso dalle equazioni (2.120) e (2.121), dove si tiene conto anche delle
condizioni ai limiti.
10 Nel manoscritto originale gli esponenti della variabile t1 vengono dimenticati.
113

Volumetto 2: 23 aprile 1928
in cui a0 = 1, a1 = 9 − √ 73, e gli altri coefficienti si calcolano con la
relazione ricorrente lineare nell’ultimo: 11
m
n=0
1
[(m − n + 1) am−n+1 (δn − (an − 2 an−1 + an−2))
2
+ (n + 1) an+1 (δm−n − (am−n − 2 am−n−1 + am−n−2))
+16 am−n an − 8 (am−n an−1 + an am−n − 1)] = 0. (2.118)
I primi coefficienti valgono: 12
a0 1.000000, a1 0.455996 (3),
a2 0.304455, a3 0.222180 [796],
a4 0.168212 (4), a5 0.129804,
a6 0.101300, a7 0.0796351,
a8 0.0629230, a9 0.0499053,
a10 0.0396962.
Se nello sviluppo (2.117) si pone t1 = 1 si ricava per la (2.115):
− ϕ ′ 0 =
1/3 3
(1 + a1 + a2 + . . .) . (2.119)
16
La serie di destra è a termini positivi e a convergenza geometrica; il rapporto
di un termine e il precedente tende a circa 4/5.
11 L’Autore ha risolto per serie la (2.116); sostituendo (2.117) nella (2.116), si
ottiene una relazione iterativa per i coefficienti a1, a2, a3, . . . (il primo coefficiente
a0 è dato dalla condizione al limite per x = 0). Usando questa procedura, si
ottiene la relazione iterativa riportata nella (2.118). Stranamente, questa risulta
diversa da quella riportata nel manoscritto originale, ossia:
a1(an − 2an−1 + an−2) + 2a2(an−1 − 2an−2 + an−3)
+3a3(an−2 − 2an−3 + an−4) + . . . + nan(a1 − 2a0)
+8(a0an + a1an−1 + . . . + ana0)
−8(a0an−1 + a1an−2 + . . . + an−1a0) = 0.
Tuttavia, la restante discussione e i risultati presenti nel manoscritto sono tutti
corretti; ciò potrebbe indicare che l’eventuale errore di scrittura sia stato causato
semplicemente da una svista. Si noti pure che, come affermato dall’autore, le
equazioni che determinano i coefficienti a2, a3, . . . sono lineari; mentre l’equazione
per a1 è quadratica, e si deve scegliere la soluzione più piccola, cioè, a1 = 9− √ 73.
12 Nel manoscritto originale vengono riportati solo i primi cinque coefficienti.
114

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Dalla u si passa all’equazione parametrica della ϕ con sole quadrature.
Si trova:
t
6ut
ϕ = exp −
0 1 − t2u dt
(2.120)
x = t 2
1/3 144
. (2.121)
ϕ
Gli altri coefficienti dello sviluppo sono: 13
a11 0.0396962, a12 0.0252838,
a13 0.0202322, a14 0.0162136,
a15 0.0130101, a16 0.0104518,
a17 0.00840558, a18 0.00676660,
a19 0.00545216, a20 0.00439678.
2.9 Il potenziale infratomico senza
statistica
A una soluzione di prima approssimazione del problema della distribuzione
degli elettroni negli atomi pesanti, si può giungere nel modo seguente: Si
prescinda dalle inversioni del sistema periodico e si supponga che tutte le
orbite siano circolari; allora si avranno per il principio di Pauli 2 elettroni
in orbita circolare di quanto 1, 8 elettroni in orbita di quanto 2 . . . 2n 2
elettroni in orbita di quanto n. Se Z è il numero atomico sarà:
Z =
n
2n 2
e limitandoci al caso limite di Z grandissimo,
1
(2.122)
Z = 2
3 n3 . (2.123)
13 Nel manoscritto originali mancano i valori numerici di tutti questi coefficienti.
115

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Il p-esimo elettrone si troverà in un’orbita di quanto
Q = 3 3p/2; (2.124)
e poiché su esso agisce la carica efficace Z − p la sua distanza dal nucleo
sarà:
r = 2 (3p/2) 2/3
m e2 . (2.125)
(Z − p)
Ovvero se si pone:
essendo 14
e come è noto:
e inoltre
si ricava:
Infatti,
Se si pone 15
e quindi
x1 = r
µ1
= 1 r
2 µ
µ1 = 2 (3/2) 2/3
m e 2 Z 1/3
µ =
π
2/3 2
6.93×10−9 Z −1/3
x
, (2.126)
1.480
(2.127)
(3π)2/3 2
2 7/3 m e 2 Z 1/3 4.7×10−9 Z −1/3 , (2.128)
V1 = Ze
r
ϕ1, (2.129)
x1 = (1 − ϕ1 + xϕ ′ 1) 2/3
. (2.130)
Z − p
Z
ϕ1 − xϕ ′ 1
= ϕ1 − x ϕ ′ 1. (2.131)
t = ϕ1 − x ϕ ′ 1
x1 =
(2.132)
(1 − t)2/3
, (2.133)
t
14 Il valore numerico riportato nel manoscritto originale è leggermente differente:
6.96×10 −9 . Come già detto, qui vengono riscritte tutte le equazioni in termini
della costante ridotta di Planck , invece di usare h.
15 Qui l’Autore ha applicato lo stesso metodo usato nella sezione precedente
(un cambio di variabile) per trovare la funzione ϕ1 (una variante di quella di
Thomas-Fermi).
116

Volumetto 2: 23 aprile 1928
si avrà, tenuto conto che ϕ1(∞) = 0, 16
ϕ1 = − x1
x1
ed eseguendo l’integrazione:
ϕ1 = 9
1 − (1 − t)
4t
2/3
− 3
2
che insieme con l’altra:
x = 2
∞
t
dx (2.134)
x2 t
+ , (2.135)
4
2/3 2/3
2 (1 − t)
, (2.136)
π t
fornisce l’equazione parametrica della ϕ1 nelle unità introdotte da Fermi.
È interessante il confronto con la ϕ di Fermi (vedi tabella). 17
x ϕ ϕ1
0 1 1
0.1 0.883 0.883
0.2 0.793 0.793
0.3 0.722 0.721
0.4 0.660 0.660
0.5 0.607 0.608
0.6 0.562 0.564
0.7 0.521 0.525
0.8 0.486 0.491
0.9 0.453 0.462
1 0.424 0.435
2 0.243 0.276
Si deduce da tale confronto che il nostro metodo approssimativo dà per la
densità degli elettroni in prossimità del nucleo un valore di circa un sesto
16 Infatti si noti che
− t ϕ1
= −
x2 x2 + ϕ′ 1
x
d ϕ1
=
dx x .
17 Nel manoscritto originale mancano i valori numerici corrispondenti a x =
0.2, 0.4, 0.5, 0.7, 0.8, 0.9. Si noti che alcuni valori numerici per ϕ sono leggermente
differenti da quelli riportati nella tabella del paragrafo precedente.
117

Volumetto 2: 23 aprile 1928
minore del vero e per il potenziale delle sole cariche negative in vicinanza
del nucleo un valore minore del vero per circa il 4%. Ancora il potenziale
che abbiamo determinato in via approssimativa è presso che esattamente
utilizzabile per le serie K e L e con lieve errore anche con la serie M.
Esso dà invece indicazioni errate per le regioni più esterne dell’atomo. La
causa è duplice: si sono trascurate le inversioni del sistema periodico e si
sono sostituite con orbite circolari le orbite allungate che nel caso di campi
fortemente non coulombiani, quali si hanno nelle zone meno profonde, sono,
a parità di quanti totali, essere più interne di quelle circolari.
Sviluppo della ϕ e della ϕ1:
ϕ = 1 − 1.58 x + 4
3 x3/2 + . . . , (2.137)
ϕ1 = 1 − 1.52 x + 1.11 x 3/2 + . . . . (2.138)
2.10 Applicazione del potenziale di Fermi
In un atomo pesante, se si assume come unità di carica quella del nucleo e
come unità di 1/µ essendo al solito
µ =
il potenziale alla distanza x vale:
(3π)2/3 2
2 7/3 m e 2 Z 1/3 = 4.7×10−9 Z −1/3 , (2.139)
V = ϕ
x
(2.140)
e il campo:
ϕ − xϕ′
E =
x2 . (2.141)
Ciò significa che oltre la distanza x esiste una carica negativa ϕ − xϕ ′ .
Vediamo ora come si possa calcolare statisticamente l’energia potenziale
cinetica dell’atomo. Cominciamo prima a stabilire una relazione fra
la tendenza iniziale della ϕ e l’energia totale; ciò servirà di verifica al calcolo
118

Volumetto 2: 23 aprile 1928
diretto dell’energia potenziale cinetica. Dall’espressione di µ, si ricava che
l’energia dell’atomo è proporzionale alla potenza 7/3 del numero atomico:
ɛ = K Z 7/3 . (2.142)
Se dal numero atomico Z, passiamo al numero α = log Z il differenziale di
energia sarà:
dɛ = 7
ɛ dα. (2.143)
Possiamo immaginare di compiere tale passaggio aggiungendo al nucleo
una carica positiva Ze dα e aumentando il numero degli elettroni di Z dα.
Nelle nostre unità perché Ze = 1 basterà supporre di portare nel nucleo una
carica dα, e di aggiungere all’esterno tanti elettroni da formare un’uguale
carica negativa. Se si suppone come è verosimile che i numeri quantici degli
elettroni preesistenti non vengano alterati 18 (non basta a ciò il principio
delle adiabatiche) e si bada che la variazione dell’energia per introduzione
di nuovi elettroni nella regione più esterna è infinitesima del secondo ordine,
la conservazione di energia si scriverà:
3
dɛ = V ′
0 dα, (2.144)
in cui V ′
0 è il potenziale del nucleo dovuto alle sole cariche elettroniche.
Ora la densità lineare delle cariche negative alla distanza x è xϕ ′′ e quindi:
V ′
0 =
∞
Dalle equazioni (2.143), (2.144), e (2.145) si deduce:
0
1
x x ϕ′′ dx = ϕ ′ 0. (2.145)
ɛ = 3
7 ϕ′ 0. (2.146)
Il calcolo dell’energia potenziale è immediato; supposto di portare gli
elettroni all’infinito con flusso costante da ogni punto e proporzionale alla
densità iniziale, il potenziale alla distanza x varierà linearmente dal valore
ϕ/x al valore 1/x. L’energia potenziale è quindi:
U = −
∞
0
1 + ϕ
2x xϕ′′ dx = ϕ ′ 0 + 1
2
∞
0
ϕ ′2 dx. (2.147)
18∗ Anche se questa ipotesi non fosse esatta, le conclusioni che abbiamo dedotto
da essa sarebbero ancora valide perché, in ogni caso, le variazioni di energia
sarebbero del secondo ordine.
119

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Se invece vogliamo considerare la somma dell’energia potenziale dei singoli
elettroni avremo:
∞
ϕ
U1 = −
0 x xϕ′′ dx = ϕ ′ ∞
0 + ϕ
0
′2 dx. (2.148)
Meno semplice è il calcolo dell’energia cinetica; esso si fonda sul fatto
che benché in un gas perfetto non si possa parlare di pressioni si può
tuttavia considerare una fittizia omografia degli sforzi formalmente identica
a quella dei fluidi ordinari. Poiché tale omografia deve avere un asse di
simmetria secondo la direzione radiale dovremo limitarci a considerare una
pressione radiale p ′ ed una pressione trasversale p ′′ . Le equazioni della
statica si riducono allora all’espressione:
4π
x 2 dp ′
dx + 2x p ′ − p ′′
= − ϕϕ′′
x + ϕ′ ϕ ′′ . (2.149)
Indicando con t ′ l’energia cinetica dovuta alla velocità radiale e con t ′′
quella dovuta alla velocità trasversa, valgono le relazioni:
p ′ = 2T ′
(2.150)
p ′′ = T ′′ . (2.151)
Allora la (2.149), moltiplicandone i due membri per x/2, dà:
4π
x 3 dt ′
dx + 2x2 t ′ − x 2 t ′′
= 1
2 (− ϕϕ′′ + x ϕ ′ ϕ ′′ ); (2.152)
moltiplicando per dx e integrando tra 0 e ∞, si ricava l’espressione dell’energia
cinetica:
T =
∞
0
4π t ′ + t ′′ dx = − 1
2 ϕ′ 0 − 1
∞
ϕ
4 0
′2 dx. (2.153)
Dalle equazioni (2.147) e (2.153) si deduce:
T
U
ɛ = T + U = 1
2 ϕ′ 0 + 1
∞
4 0
ϕ ′2 dx (2.154)
1
= − . (2.155)
2
120

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Confrontando la (2.146) con la (2.154) si deduce: 19
∞
0
ϕ ′2 dx = − 2
7 ϕ′ 0. (2.156)
Le equazioni (2.147), (2.148), e (2.153) assumono quindi la forma semplicissima:
U = 6
7 ϕ′ 0
U1 = 5
7 ϕ′ 0
T = − 3
T
U
T
U1
= − 1
2
7 ϕ′ 0
(2.157)
(2.158)
(2.159)
(2.160)
= − 3
. (2.161)
5
La somma delle energie di tutti gli elettroni considerati separatamente, che
indicheremo con ɛ1 = T + U1, vale i 2/3 dell’energia totale dell’atomo:
ɛ = 3
7 ϕ′ 0, ɛ = 2
7 ϕ′ 0; (2.162)
e passando dalle nostre unità convenzionali a quelle ordinarie ed esprimendo
l’energia in unità di Rydberg (2.15×10 −11 erg):
ɛ =
ɛ1 =
48 ϕ ′ 0
7 (6π) 2/3 Z7/3 − 1.53 Z 7/3
(2.163)
32 ϕ ′ 0
7 (6π) 2/3 Z7/3 − 1.02 Z 7/3 . (2.164)
Il confronto di quest’ultima relazione con l’esperienza mostra che essa dà, in
valore assoluto, valori un po’ superiori al vero. Ciò dipende dal fatto che la
19 Il manoscritto originale contiene, a questo punto, il seguente paragrafo: “Non
ho potuto dimostrare direttamente questa relazione con metodo matematico.
Comunque, ho direttamente verificato che è corretta entro un’approssimazione
dell’1%. Le formole che seguono sono esatte se la (2.156) è esatta; altrimenti
sono soltanto approssimate.” Questo paragrafo è stato successivamente cancellato,
mentre appare la scritta “dimostrata”.
121

Volumetto 2: 23 aprile 1928
statistica dà in prossimità del nucleo una densità infinita, mentre in realtà
per Z finito si ha una densità finita. Per gli elementi meno pesanti di cui si
conoscono dati sperimentali, l’errore equivale circa al termine fondamentale
di uno degli elettroni più profondi. Per gli elementi più pesanti l’errore
relativo è notevolmente minore anche per effetto della correzione relativista
che agisce in senso opposto.
2.11 Curva statistica dei termini
fondamentali negli atomi neutri
Assunte al solito come unità di lunghezza µ e come unità di carica quella
del nucleo, il numero degli elettroni compresi fra la distanza x e x + dx dal
nucleo vale:
Z x ϕ ′′ dx, (2.165)
e l’energia potenziale di uno di essi:
U = − 1
Z
ϕ
. (2.166)
x
Degli elettroni (2.165) hanno un’energia cinetica T < −kU (k < 1), un
numero:
Z x ϕ ′′ k 3/2 dx (2.167)
Segue che gli elettroni il cui termine è minore di T sono:
nT =
∞
e posto: α = nT /Z:
0
α =
=
Z x ϕ ′′
∞
0
∞
0
1 − x
ϕ y
3/2 dx, y = T
Z
(2.168)
x ϕ ′′
1 − x
ϕ y
3/2 dx
√ 3/2 −1
x (ϕ − x y) dx = F (y) (2.169)
y = F (α). (2.170)
122

Volumetto 2: 23 aprile 1928
E poiché T = Zy è manifestamente il termine del (Zα)-esimo elettrone, si
ricava l’espressione generale del termine dell’ennesimo elettrone, supposto
di ordinare gli elettroni secondo i termini decrescenti:
T = Z F (α), con α = n/Z; (2.171)
e passando alle unità ordinarie, esprimendo cioè i termini in unità di Rydberg:
T =
16
(6π) 2/3 Z4/3 F (α) = 2.2590 Z 4/3 F (α). (2.172)
α F (α) α F (α) α F (α) α F (α)
0.02 0.018 0.07 0.20
0.04 0.020 0.08 0.25
0.06 0.025 0.09 0.30
0.08 0.030 0.10 0.35
0.10 0.035 0.12 0.40
0.12 0.040 0.14 0.45
0.14 0.050 0.16 0.50
0.16 0.060 0.18 0.55
2.12 Quinte potenze 20
x x 5
3.1 286.29
3.2 335.54
3.3 391.35
3.4 454.35
3.5 525.22
3.6 604.66
3.7 693.44
3.8 792.35
3.9 902.24
4.0 1024.
x x 5
4.1 1158.56
4.2 1306.91
4.3 1470.08
4.4 1649.16
4.5 1845.28
4.6 2059.63
4.7 2293.45
4.8 2548.04
4.9 2824.75
5.0 3125.
x x 5
5.1 3450.25
5.2 3802.04
5.3 4181.95
5.4 4591.65
5.5 5032.84
5.6 5507.32
5.7 6016.92
5.8 6563.57
5.9 7149.24
6.0 7776.
20 Nel manoscritto originale mancano i numeri alla quinta potenza con seconda
cifra dispari, così come quelli da 8.5 a 10.0.
123

Volumetto 2: 23 aprile 1928
x x 5
6.1 8445.96
6.2 9161.33
6.3 9924.36
6.4 10737.42
6.5 11602.91
6.6 12523.33
6.7 13501.25
6.8 14539.34
6.9 15640.31
7.0 16807.
x x 5
8.1 34867.84
8.2 37073.98
8.3 39390.41
8.4 41821.19
8.5 44370.53
8.6 47042.70
8.7 49842.09
8.8 52773.19
8.9 55840.59
9.0 59049.
x x 5
7.1 18042.29
7.2 19349.18
7.3 20730.72
7.4 22190.07
7.5 23730.47
7.6 25355.25
7.7 27067.84
7.8 28871.74
7.9 30770.56
8.0 32768.
x x 5
9.1 62403.21
9.2 65908.15
9.3 69568.84
9.4 73390.40
9.5 77378.09
9.6 81537.27
9.7 85873.40
9.8 90392.08
9.9 95099.00
10. 100000
2.13 Molecola biatomica a nuclei uguali
Sia xy una sezione meridiana, x l’asse della molecola, y, la traccia dell’equatore.
Siano ancora V1 e V2 i potenziali che sarebbero dovuti rispettivamente
a ciascuno dei due atomi se fossero isolati. Posto il potenziale effettivo sotto
la forma
V = V1 + V2 − α 2V1V2
, (2.173)
α deve obbedire all’equazione
V1 + V2
∆2 V = V 3/2 , (2.174)
124

Volumetto 2: 23 aprile 1928
trascurando la costante di proporzionalità a causa di una conveniente scelta
delle unità. Supposto per approssimazione che il valore di α dipenda solo
dalla distanza dal centro della molecola e volendo che la Eq. (2.174) si
soddisfatta sul piano equatoriale, si trae l’equazione differenziale
in cui:
V 3/2 = ∆2 V, (2.175)
V = (2 − α) V1, (2.176)
2V1V2
∆2 V = 2 ∆2 V1 −
α
− 2
V1
y
∆2
V1 + V2
+ ∂V1
∂y
dα
dy
− V1
d 2 α
. (2.177)
dy2 Le costanti si determinano in modo che α(0) sia finito e sia anche finito (e
precisamente uguale a 1) il limite di α per y = ∞.
L’ipotesi che α dipenda solo dalla distanza dal centro della molecola è
però eccessivamente lontana dal vero.
2.14 Seste potenze 21
x x 6
1.1 1.8
1.2 3.
1.3 4.8
1.4 7.5
1.5 11.4
1.6 16.8
1.7 24.1
1.8 34.
1.9 47.
2. 64.
x x 6
2.1 85.8
2.2 113.4
2.3 148.
2.4 191.1
2.5 244.1
2.6 308.9
2.7 387.4
2.8 481.9
2.9 594.8
3. 729.
x x 6
3.1 887.5
3.2 1073.7
3.3 1291.5
3.4 1544.8
3.5 1838.3
3.6 2176.8
3.7 2565.7
3.8 3010.9
3.9 3518.7
4. 4096.
21 Nel manoscritto originale mancano i numeri alla sesta potenza con seconda
cifra dispari, così come quelli da 1.1 a 2.9 e da 8.5 a 10.0.
125

x x 6
4.1 4750.1
4.2 5489.
4.3 6321.4
4.4 7256.3
4.5 8303.8
4.6 9474.3
4.7 10779.2
4.8 12230.6
4.9 13841.3
5. 15625.
x x 6
7.1 128100.3
7.2 139314.1
7.3 151334.2
7.4 164206.5
7.5 177978.5
7.6 192699.9
7.7 208422.4
7.8 225199.6
7.9 243087.5
8. 262144.
Volumetto 2: 23 aprile 1928
x x 6
5.1 17596.3
5.2 19770.6
5.3 22164.4
5.4 24794.9
5.5 27680.6
5.6 30841.
5.7 34296.4
5.8 38068.7
5.9 42180.5
6. 46656.
x x 6
8.1 282429.5
8.2 304006.7
8.3 326940.4
8.4 351298.
8.5 377149.5
8.6 404567.2
8.7 433626.2
8.8 464404.1
8.9 496981.3
9. 531441.
126
x x 6
6.1 51520.4
6.2 56800.2
6.3 62523.5
6.4 68719.5
6.5 75418.9
6.6 82654.
6.7 90458.4
6.8 98867.5
6.9 107918.2
7. 117649.
x x 6
9.1 567869.3
9.2 606355.
9.3 646990.2
9.4 689869.8
9.5 735091.9
9.6 782757.8
9.7 832972.
9.8 885842.4
9.9 941480.1
10. 1000000

Volumetto 2: 23 aprile 1928
2.15 Settime potenze 22
x x 7
1.1 1.9
1.2 3.6
1.3 6.3
1.4 10.5
1.5 17.1
1.6 26.8
1.7 41.
1.8 61.2
1.9 89.4
2. 128.
x x 7
4.1 19475.4
4.2 23053.9
4.3 27181.9
4.4 31927.8
4.5 37366.9
4.6 43581.8
4.7 50662.3
4.8 58706.8
4.9 67822.3
5. 78125.
x x 7
2.1 180.1
2.2 249.4
2.3 340.5
2.4 458.6
2.5 610.4
2.6 803.2
2.7 1046.
2.8 1349.3
2.9 1725.
3. 2187.
x x 7
5.1 89741.1
5.2 102807.2
5.3 117471.1
5.4 133892.5
5.5 152243.5
5.6 172709.5
5.7 195489.7
5.8 220798.4
5.9 248865.1
6. 279936.
x x 7
3.1 2751.3
3.2 3436.
3.3 4261.8
3.4 5252.3
3.5 6433.9
3.6 7836.4
3.7 9493.2
3.8 11441.6
3.9 13723.1
4. 16384.
x x 7
6.1 314274.3
6.2 352161.5
6.3 393898.1
6.4 439804.7
6.5 490222.8
6.6 545516.1
6.7 606071.2
6.8 672298.9
6.9 744635.3
7. 823543.
22 Nel manoscritto originale mancano i numeri alla settima potenza con seconda
cifra dispari, così come quelli da 1.1 a 2.9 e da 8.5 a 10.0.
127

x x 7
7.1 909512.
7.2 1003061.3
7.3 1104739.9
7.4 1215128.
7.5 1334838.9
7.6 1464519.5
7.7 1604852.3
7.8 1756556.9
7.9 1920390.9
8. 2097152.
Volumetto 2: 23 aprile 1928
x x 7
8.1 2287679.2
8.2 2492854.7
8.3 2713605.1
8.4 2950903.5
8.5 3205770.9
8.6 3479278.2
8.7 3772547.9
8.8 4086756.
8.9 4423133.5
9. 4782969.
x x 7
9.1 5167610.2
9.2 5578466.
9.3 6017008.7
9.4 6484775.9
9.5 6983373.
9.6 7514474.8
9.7 8079828.4
9.8 8681255.3
9.9 9320653.5
10. 10000000
2.16 Potenziale nell’atomo in seconda
approssimazione
Dalla relazione statistica fra potenziale efficace e densità 23
ρ = K (V − C) 3/2
dall’equazione di Poisson a cui obbedisce il potenziale locale: :
(2.178)
∆ 2 2 V0 = − 4π ρ, (2.179)
e dalla relazione approssimativamente verificata, nel caso dell’atomo Z ionizzato
n volte:
Z − n − 1
∆2 V =
Z − n grad 2 V0 (2.180)
si deduce eliminando la (2.179):
∆2 V = − 4π ρ
Z − n − 1
Z − n
(2.181)
e il potenziale nell’interno dello ione:
V = Ze
r ϕ
r
+ C,
µ
(2.182)
23 Qui C è una costante di integrazione; vedi nel seguito.
128

essendo:
− x0 ϕ ′ (x0) =
Volumetto 2: 23 aprile 1928
µ = 0.47 Z −1/3
2/3 Z − n
o
A (2.183)
Z − n − 1
ϕ ′′ = ϕ3/2
√ x , ϕ(0) = 1 (2.184)
C =
n + 1
,
2
ϕ(x0) = 0 (2.185)
(n + 1)e
.
µx0
(2.186)
2.17 Polarizzabilità dell’atomo
Il potenziale all’interno di un atomo in prima approssimazione o in seconda
(come mostrato nella sezione precedente) soddisfa a un’equazione del tipo:
∆2 V = K (V − C) 3/2 . (2.187)
Poniamo l’atomo in un campo debole E. A causa della dipendenza reciproca
tra le variazioni delle grandezze atomiche e il campo, 24 finché questo
è debole, si deduce:
δV = − f(r) E r cos(r·E) (2.188)
δC = 0. (2.189)
Supponiamo il campo −E diretto secondo l’asse x. Avremo:
V1 = V + E x f(r) (2.190)
xf ′′ (r) + 3 x
r f ′
(r) (2.191)
grad 2 V1 = grad 2 V + E
(V1 − C) = (V − C) + E x f(r) (2.192)
(V1 − C) 3/2 = (V − C) 3/2 + 3
2 (V − C)1/2 E x f(r) + . . . (2.193)
24 Il manoscritto originale è alterato, per cui la nostra interpretazione è solo
plausibile.
129

posto:
Volumetto 2: 23 aprile 1928
f ′′ (r) + 3 1
r f ′ (r) = 3
2 K (V − C)1/2 f(r) (2.194)
r 3/2 f ′′ (r) + 3 r 1/2 f ′ (r) = 3
2 K (V − C)1/2 r 3/2 f(r) (2.195)
e la (2.190) diventa:
y = r 3/2 f(r), f(r) = y
r3/2 (2.196)
y ′′ = 3
K
2
√ V − C + 1
2r2
y (2.197)
V1 = V + x
y E.
r3/2 (2.198)
La condizione che sia finito f(0) permette di ottenere f o y a meno di un
fattore costante. Questo si determina esprimendo che il valore medio di
−∂V/∂x sulla superficie dello ione è uguale a −E, cioè, al campo esterno.
Tale condizione si scrive:
f(r0) + 1
3 r0 f ′ (r0) = 1.
Il momento elettrico dello ione vale:
(2.199)
M = E r 3 0 (1 − f(r0)) . (2.200)
2.18 Sviluppi e integrali di Fourier
(1) Per x > 0, abbiamo
e −kx =
=
=
=
∞
4k
0 k2 cos(2πνx) dν
+ 4πν 2
∞
8πν
0 k2 sin(2πνx) dν
+ 4πν 2
∞
2k
−∞ k2 + 4πν 2 e2πνix dν
∞
1 8πν
−∞ 2i k2 + 4πν 2 e2πνix dν;
130

Volumetto 2: 23 aprile 1928
invece, per x < 0, i quattro integrali valgono rispettivamente: e +kx ,
−e +kx , e +kx , −e +kx .
Ancora, per x > −α:
e −kx = e kα
∞
= e kα
−∞
∞
−∞
2k
k 2 + 4πν 2 e2πνi(x+α) dν
1
2i
8πν
k 2 + 4πν 2 e2πνi(x+α) dν, etc.
facendo tendere α → ∞ si ricaccia sempre più indietro la discontinuità
nel punto x = −α.
(2) Abbiamo:
(3) Abbiamo:
1
π
∞
−∞
e −kx2
e −x2
π
= 2
k
= 2 √ π
=
1
√ π
sin[2π(ν − ν0)a]
ν − ν0
∞
0
∞
e −π2 ν 2 /k cos(2πνx) dν
e −π2ν 2
cos(2πνx) dν
0
∞
e
0
−w2 /4
cos(wx) dw.
e 2πνix dν =
∞
1 sin[2π(ν − ν0)a]
+
π −∞ ν − ν0
sin[2π(ν + ν0)a]
cos(2πν0x), x
=
2 < a 2
0, x 2 > a 2
∞
1 sin[2π(ν − ν0)a]
−
π −∞ ν − ν0
sin(2πν0x), x
=
2 < a 2
0, x 2 > a 2
131
e 2πν0ix , x 2 < a 2
0, x 2 > a 2
cos(2πνx) dν
ν + ν0
sin[2π(ν + ν0)a]
sin(2πνx) dν
ν + ν0

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Se a = k/2ν0, essendo k intero, gli integrali diventano
(−1) k 1
π
(−1) k 1
π
(−1) k 1
π
2.19 Corpo nero
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
sin(kπν/ν0)
ν − ν0
2ν0 sin(kπν/ν0)
ν2 − ν2 0
2ν0 sin(kπν/ν0)
ν2 − ν2 0
e 2πνix dν
cos(2πνx) dν
sin(2πνx) dν.
Sia E l’energia emessa per cm 2 e per unità di tempo, e Eν e Eλ la stessa
energia per unità di frequenza o di lunghezza d’onda. Si ha 25
dove
E(T ) =
∞
0
Eν = 2πhν3
c 2
Eλ = 2πc2 h
λ 5
Allora 26 (si veda la (1.360)):
E(T ) =
∞
0
2πhν 3
c 2
Eν(ν, T ) dν =
∞
0
Eλ(λ, T ) dλ (2.201)
1
ehν/kT − 1
(2.202)
1
ehc/λkT ,
− 1
(2.203)
Eλ = c
Eν (2.204)
λ2 Eν = c
ν2 Eλ. (2.205)
dν
e hν/kT − 1
25In questo paragrafo aderiamo all’uso dell’Autore di h, piuttosto che riscriverla
in termini di .
26Il valore numerico riportato nel manoscritto originale è leggermente differente
(5.55) da quello qui riportato (5.67).
132

= 2πk4 T 4
c 2 h 3
= 2πk4 T 4
c 2 h 3
Volumetto 2: 23 aprile 1928
∞
0
π 4
15
1
e hν/kT − 1
= 2
15
5.67 × 10 −5 T 4 erg
Energia per unità di volume:
E ′ = 4 8
E =
c 15
π 5
c 2 h 3 k4 T 4
3 hν
d
kT
hν
kT
cm2s = 5.67 × 10−12 T 4 W
cm
2 . (2.206)
π 5
c 3 h 3 k4 T 4 . (2.207)
Pressione di radiazione (nel caso di equilibrio termico con l’ambiente; se
il corpo non si trova circondato da altri corpi neri allo zero assoluto o in
generale in uno spazio libero da altre radiazioni, dividere per 2) 27
p = 1
3 E′ = 4 E
3 c
= 8
45
π 5
c3h3 k4T 4 2.52 × 10 −15 T 4 erg
. (2.208)
cm3 2.20 Teoria dell’irraggiamento
In uno spazio Ω chiuso da pareti riflettenti la radiazione esistente si può
scomporre secondo le frequenze caratteristiche. Il numero di tali frequenze
comprese fra ν e ν + dν è, tenendo conto che la radiazione di una determinata
frequenza si può decomporre in due componenti polarizzate rettilinearmente
dN = Ω 8πν2
dν. (2.209)
c3 Ciò significa che la densità delle onde nello spazio (volumi × frequenze orientate)
vale 2/c 3 . Considerando un’onda stazionaria come rappresentante
un possibile stato stazionario di un quanto di luce, si ha indicando con E
27 Il valore numerico riportato nel manoscritto originale (2.47) è leggermente
differente da quello qui riportato (2.52).
133

Volumetto 2: 23 aprile 1928
l’energia del quanto, di modo che E = hν: 28
dN = Ω 8πE2
c3 dE. (2.210)
h3 D’altra parte, se α1, α2, α3 sono i coseni di direzione della traiettoria del
quanto, si ha:
px = E
c cos α1, py = E
c cos α2, pz = E
c cos α3, (2.211)
e quindi:
dN = 8πΩ
h3 (p2x + p 2 y + p 2
z) d p2 x + p2 y + p2 z, (2.212)
cioè la densità degli stati stazionari nello spazio delle fasi è, per il gas di
quanti di luce 2/h 3 , esattamente come per un gas di elettroni. L’analogia
non va più oltre perché il primo obbedisce alla statistica di Einstein, il
secondo a quella di Fermi. Sia:
C = C0 sin (2πνt − α) A (2.213)
in cui A è un vettore unitario, C0 una funzione del posto, e α una costante,
il potenziale vettore relativo a una particolare frequenza. Avremo
C = u A, con u = C0 sin (2πνt − α) , (2.214)
Indicheremo con u e C0 i valori quadratici medi di tali grandezza nel volume
Ω. Avremo:
u = C0 sin (2πνt − α) . (2.215)
L’energia totale del campo elettrico al tempo t è:
We = Ω 4π
8π
2 ν 2
c2 C20
cos 2 (2πνt − α) = Ω
8π
e quindi l’energia magnetica:
u ′2
, (2.216)
c2 Wm = Ω 4π
8π
2 ν 2
c2 C20
sin 2 (2πνt − α) = Ω 4π
8π
2 ν 2
c2 u 2 . (2.217)
28 In questo paragrafo aderiamo all’uso dell’Autore di h, piuttosto che riscriverla
in termini di .
134

L’energia totale diventa:
Poniamo:
si ricava:
e ponendo:
Volumetto 2: 23 aprile 1928
W = Ω
8πc 2
q = u
4π 2 ν 2 u 2 + u ′2 . (2.218)
Ω u Ω
= ; (2.219)
4πc2 2c π
W = π 2 ν 2 q 2 + 1
2 ˙q2
(2.220)
p = ∂W
∂q
= ˙q, (2.221)
troviamo
W = 1 2 2 2 2
p + 4π ν q
2
. (2.222)
che può considerarsi come l’Hamiltoniana del sistema.
Ponendo:
Hs = 1 2
ps + 4π
2
2 ν 2 q 2 s ,
in cui l’indice s = 1, 2, 3, . . . numera tutte le possibili onde stazionarie, e
H0 = W0 essendo la Hamiltoniana di un atomo posto entro Ω, la Hamiltoniana
complessiva trascurando l’interazione sarà:
∞
H = Hs = W. (2.223)
s=0
Possiamo invece intendere che in H0 sia compresa l’interazione; per
evitare confusione poniamo: H ′ 0 = H0 + interazione. La forma da dare
a H ′ 0 in prima approssimazione, e quando si consideri un solo elettrone
luminoso, si deduce dall’Hamiltoniana relativistica dell’elettrone 29 (si veda
il paragrafo 2.6):
W0 = −e ϕ + 1
2m p2i + e
e
pi Ci = H0 + pi Ci. (2.224)
mc mc
È indifferente porre pi Ci o Ci pi perché: pi Ci − Ci pi = (h/2πi)div C = 0,
essendo ϕ (potenziale interno all’atomo) costante e quindi
div C = − 1 ∂ϕ
c ∂t
= 0.
29 Ovviamente, l’Autore ha assunto qui H ′ 0 = W0.
135

Volumetto 2: 23 aprile 1928
L’Hamiltoniana totale, tenuto conto dell’interazione, diventa:
W =
∞
Hs +
∞ e
mc pi Ci. (2.225)
s=0
Supponiamo che all’origine dei tempi lo spazio Ω sia libero da radiazione;
l’elettrone descriverà, classicamente, un movimento smorzato. Possiamo
ritenere in prima approssimazione che il suo movimento sia periodico; formalmente
basta introdurre nell’Hamiltoniana dei piccoli termini correttivi
dipendenti solo dal tempo e dalle p e q dell’elettrone. Scomponiamo in
armoniche il suo movimento e consideriamone una, diretta secondo l’asse
x. Nello sviluppo di px , di frequenza ν0, comparirà un termine:
i=1
p0x = p0 sin (2π ν0 t + β) . (2.226)
Tralasciando le altre armoniche e fissando l’attenzione sull’oscillatore elettromagnetico
s, l’Hamiltoniana si può scrivere:
W = 1 2
ps + 4π
2
2 ν 2 s q 2 s +
e
mc Cs x p0x
+ termini indipendenti da qs e ps. (2.227)
C s x è la componente del potenziale vettore secondo potenziale!vettore x, e
sarà in un determinato punto dello spazio proporzionale a qs. Poniamo:
C x s = b x s qs. (2.228)
In generale, bs è funzione del posto. Ritenendo che le oscillazioni dell’elettrone
siano di piccola ampiezza rispetto alle lunghezze d’onda emesse,
si può supporre bs costante e uguale al valore che essa assume nel centro
dell’atomo. Il valore medio del suo quadrato vale statisticamente, cioè
quando se ne prenda la media per molte frequenze vicine: 30
b x2
s
= 1 u
3
2 s
q2 s
= 4
3
πc 2
. (2.229)
Ω
Sostituendo nella (2.227) le equazioni (2.228) e (2.226):
W = 1 2
ps + 4π
2
2 ν 2 s q 2 s +
e
mc bsx p0 sin (2πν0t + β) qs
+ terminiindipendenti da qs e ps. (2.230)
30 La seguente formula è ottenuta mediando il quadrato della (2.228) e usando
le equazioni (2.215) e (2.219). Si noti che nel manoscritto originale manca
l’esponente 2 della us.
136

Si deduce:
Volumetto 2: 23 aprile 1928
˙qs = ps (2.231)
˙ps = − 4π 2 ν 2 s qs − e
mc bs x p0 sin (2πν0t + β) (2.232)
¨qs + 4π 2 ν 2 s qs = − e
mc bs x p0 sin (2πν0t + β) , (2.233)
il cui integrale generale è:
qs = As sin 2πνst + Bs cos 2πνst
− e
mc
b s x p0 sin (2πν0t + β)
4π2 (ν2 s − ν2 . (2.234)
0)
Supponiamo per semplicità β = 0 e imponiamo la condizione che all’origine
dei tempi non esistano radiazioni:
qs(0) = ˙qs(0) = 0. (2.235)
Ciò equivale a contare i tempi dall’istante −β/2πν0 e a supporre che in
tale istante lo spazio Ω sia vuoto. Ponendo t1 = t + (β/2πν0) e scrivendo
nuovamente t al posto di t1 la (2.234) diviene:
qs = As sin 2πνst + Bs cos 2πνst
− e
mc
b s x p0 sin 2πν0t
4π2 (ν2 s − ν2 , (2.236)
0)
ed è rispetto alla nuova variabile indipendente che devono essere soddisfatte
le (2.235). Si deduce
Bs = 0, As = ν0
qs =
=
=
e
mc
e b
mc
s x p0 sin 2πν0t
4π2 (ν2 s − ν2 0)
e b
mc
s x p0 sin 2πν0t
4π2 (ν2 s − ν2 0)
− νs − ν0
νs
e b
mc
s x p0 sin 2πν0t
4π2 (ν2 s − ν2 0)
− νs − ν0
νs
b s x p0
νs 4π2 (ν2 s − ν2 ,
0)
ν0
sin 2πνst − sin 2πν0t
νs
sin 2πνst − sin 2πν0t
(2.237)
sin 2πνst
2 cos 2π νs + ν0
t sin 2π νs − ν0
t
2
2
sin 2πνst . (2.238)
137

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Se Ws indica l’energia accumulata al tempo t nell’oscillatore s l’energia
totale accumulata sarà:
Ws =
νs=M
Ws dN = 8π
c3 M
Ws ν 2 Ω dνs. (2.239)
s
νs=0
L’integrale va esteso fino a un limite arbitrario ma finito perché nel dedurre
le formole precedenti abbiamo ammesso a priori che le lunghezze
d’onda eccitate siano di grande lunghezza d’onda rispetto all’ampiezza
dell’oscillazione dell’elettrone; è quindi da escludere che le frequenze pos-
sano superare qualunque limite. Ora
s
Ws tende a crescere linearmente
col tempo e quindi a superare qualunque limite; d’altra parte ogni Ws ha
un massimo come si deduce dalla (2.238), ciò che non è in contraddizione
con quanto si è detto, perché se nell’integrale nella (2.239) si sostituiscono
alle Ws i loro valori massimi, l’integrale diviene divergente; rimane invece
convergente se dal campo di integrazione si toglie un piccolo intervallo contenente
ν0. Segue che dopo un tempo abbastanza lungo la massima parte
della radiazione emessa sarà concentrata in un intervallo di frequenze contenenti
ν0 piccolo quanto si vuole. Le frequenze νs che interessano differiscono
dunque poco da ν0, così che nella (2.238) sostituiremo a (νs + ν0)/2, ν0. 31
Avremo:
qs =
e b
mc
2 sp0
8π2ν0(νs − ν0)
× 2 sin π(νs − ν0)t cos 2πν0t − νs − ν0
0
ν0
sin 2πν0t . (2.245)
L’ultimo termine è trascurabile poiché, come si vedrà, fissato t grande, il
campo di frequenze in cui la radiazione ha un valore sensibile è dell’ordine di
1/t e quindi il primo termine in parentesi è dell’ordine dell’unità in generale,
mentre il secondo è piccolo quanto si vuole allorché t tende all’infinito.
Segue al limite:
qs =
e
mc
b x s p0
4π2 sin π(νs − ν0)t
cos 2πν0t (2.246)
ν0 νs − ν0
31Il manoscritto originale continua come segue: “Possiamo anche sostituire
sin 2π(νs − ν0)/2 con 2π(νs − ν0)/2. Avremo
qs = e bsp0
mc 4π2 (ν2 s − ν2 0 )
2π(νs − ν0)t cos 2πν0t − νs − ν0
ν0
sin 2πν0 .
(2.240)
138

ps = − 2πν0
Ws = 1
2
Ws =
= 2π 2 ν 2 0
=
=
= 4
3
Ω
πc 3
Ω
πc 3
Volumetto 2: 23 aprile 1928
e b
mc
x s p0
4π2ν0 2
ps + 4π 2 ν 2 s q 2 s
2π 2 ν 2 0
e 2
m 2 c 2
e 2
m 2 c 2
sin π(νs − ν0)t
sin 2πν0t (2.247)
b x2
s p 2 0
16π 4 ν 2 0
e 2 ν 2 0
m2c2 p20 bx2 s
b x2
s p 2 0
16π 4 ν 2 0
e 2 ν 2 0
m2c2 p2 4 πc
0
3
2
Ω π2t Per il moto dell’elettrone abbiamo:
νs − ν0
sin 2 π(νs − ν0)t
(νs − ν0) 2 , (2.248)
sin 2 π(νs − ν0)t
(νs − ν0) 2
2 2
sin π(νs − ν0)
(νs − ν0) 2
dνs
8πν 2 0
Ω dνs
c3 e 2 ν 2 0
m 2 c 3 π2 p 2 0 t. (2.249)
px = ˙x m, (2.250)
p 2 x
=
m 2
4π 2 ν 2 0
¨x 2 (2.251)
Possiamo supporre ν0t grande, cioè considerare un tempo lungo rispetto al periodo
dell’oscillazione; allora il secondo termine nella parentesi di destra è trascurabile
e otteniamo:
qs =
ps =
e
mc
e
mc
bsp0t
2π(νs − ν0) cos 2πν0t (2.241)
bsp0t
2π(νs − ν0)
− 2πν0 sin 2πν0t +
cos 2πν0t
t
Trascurando l’ultimo termine nell’espressione di ps per t grande,
e quindi
ps = − 2πν0
e
mc
bsp0t
Ws = 1 2
ps + 4π
2
2 ν 2 s q2 2 2
s = 2π νs
. (2.242)
2π(νs − ν0) sin 2πν0t; (2.243)
e 2
m 2 c 2
b 2 s p2 0 t2
4π2 (ν2 s − ν2 . (2.244)
0 )
Comunque, le espressioni precedenti non valgono quando la quantità (νs − ν0)t è
grande, poiché si è sostituito sin π(νs − ν0)t con π(νs − ν0)t.”
Tuttavia, questa parte è stata cancellata dall’Autore.
139

Volumetto 2: 23 aprile 1928
e quindi:
Ws = 2
3
e l’energia irradiata nell’unità di tempo:
p 2 0 = 2 p2 x = m2
2π2ν 2 ¨x
0
2 (2.252)
E = ˙ Ws = 2
3
in accordo con la formola di Balmer. .
e 2 ¨x 2
c 3 t (2.253)
e 2 ¨x 2
, (2.254)
c3 2.21 Momento di inerzia della Terra
Se m è la massa della terra, misurata in tali unità che il coefficiente della
formola di Newton risulti uguale a 1, Ip il momento di inerzia polare, Ie
quello equatoriale, il potenziale della forza di gravità in un punto esterno
distante R dal centro O della terra, e tale che il raggio vettore R formi un
angolo θ con l’equatore, vale (si veda il paragrafo 1.7):
V = m
R
+ 1
R 3
I0 − 3
2 Iθ
, (2.255)
dove I0 è il momento centrale di inerzia e Iθ il momento di inerzia rispetto
ad un asse che forma un angolo θ con l’equatore. Poiché:
segue:
I0 = Ie + 1
Ip
2
3 1
= Ie + (Ip − Ie) ,
2 2
(2.256)
Iθ = Ie cos 2 θ + Ip sin 2 θ = Ie + (Ip − Ie) sin 2 θ, (2.257)
V = m
R
1
1
+ (Ip − Ie)
R3 2
3
−
2 sin2
θ . (2.258)
Per calcolare Ip e Ie esprimiamo che il potenziale sulla superficie terrestre,
tenendo conto della forza centrifuga, è lo stesso al polo e all’equatore. Se
140

Volumetto 2: 23 aprile 1928
re e rp sono il raggio equatoriale e polare il potenziale all’equatore e al polo
vale rispettivamente in prima approssimazione:
Ve = m
re
Vp = m
rp
+ 1 Ip − Ie
2 r3 −
Ip − Ie
r 3
+ β m
2 r
(2.259)
(2.260)
in cui r che figura nei termini correttivi è il raggio medio della terra che
si è sostituito a re, rp o a valori prossimi a questi, poiché per la prima
approssimazione è indifferente. Uguagliando Ve e Vp e ponendo ancora
approssimativamente:
1
rp
− 1
re
= s
,
r
(2.261)
dove s è lo schiacciamento della terra, si trae:
m
s −
r
β
2
= 3 Ip − Ie
2 r3 Ip − Ie =
(2.262)
2
s −
3
β
mr
2
2 , (2.263)
e ponendo s = 1/297 e β = 1/289 si trova:
sostituendo nella (2.258) si ricava:
V = m
R
Ip − Ie = 1
916 mr2 ; (2.264)
+ 1
R 3
1
916 mr2
1
2
3
−
2 sin2
θ . (2.265)
Su un corpo celeste di massa M il potenziale della forza sarà:
F = M V = Mm
R
M
+
R3
1
916 mr2
1 3
−
2 2 sin2
θ . (2.266)
Esisterà allora una componente della forza normale al raggio vettore di
intensità:
F = − 3
916
e la terra sarà sottoposta a una coppia raddrizzante:
Mmr 2
R 4 sin θ cos θ, (2.267)
C = 3 Mmr
916
2
R3 sin θ cos θ. (2.268)
141

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Questa coppia tende a spostare l’asse terrestre sul meridiano celeste in cui
si trova l’astro perturbante. Se questo è il sole, tenderà ad avvicinare,
nei solstizi, l’asse terrestre al polo dell’eclittica. In altri periodi dell’anno
il meridiano in cui è contenuta la coppia farà invece un certo angolo con
il meridiano normale all’eclittica. Detto ɛ tale angolo fra meridiano in
cui è contenuto l’astro e meridiano normale all’eclittica, e detti α e β
rispettivamente l’inclinazione dell’asse terrestre e l’arco di eclittica percorso
dal sole dopo l’equinozio di primavera, avremo:
ɛ = 90 + ϕ, (2.269)
dove ϕ è la longitudine misurata come si usa a partire dal meridiano normale
a quello che contiene il polo dell’eclittica, dal meridiano cioè in cui si
trova il sole all’equinozio, e:
tan ϕ = tan β cos α. (2.270)
Assimilando la terra a un giroscopio, il suo asse si sposta approssimativamente
in ogni istante normalmente al meridiano che contiene l’astro,
con una velocità angolare: :
η = C
, (2.271)
Ipω
essendo ω la velocità angolare della terra. La componente normale al
meridiano che contiene il polo dell’eclittica vale:
η1 =
η2 =
C
Ipω
C
Ipω
cos ɛ = − C
Ipω
sin ɛ = C
Ipω
sin ϕ = C
Ipω
cos ϕ = C
Ipω
tan β cos α
1 + tan 2 β cos 2 α (2.272)
1
1 + tan 2 β cos 2 α . (2.273)
Sostituendo a C la sua espressione (2.268) e ricordando che: sin θ =
sin α sin β, troviamo
η1 =
η2 =
3 Mmr
916
2
R3Ipω sin α cos α tan β sin β1 − sin2 α sin2 β
2 1 + tan β cos2 α
(2.274)
3 Mmr
916
2
R3Ipω sin α sin β1 − sin2 α sin2 β
. (2.275)
2 1 + tan β cos2 α
142

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Se si trascura l’eccentricità dell’orbita il valore di η2 è nullo, perché
scambiando β in −β, η2 cambia segno.
Considerando α infinitamente piccolo le formole precedenti diventano:
ϕ = β (2.276)
θ = α sin β (2.277)
η =
η1 =
η2 =
3 Mmr
916
2
R3 α sin β (2.278)
Ipω
3 Mmr
916
2
R3Ipω α sin2 β (2.279)
3 Mmr
916
2
R3 α sin β cos β. (2.280)
Ipω
Ritenendo l’orbita circolare, il valore medio di η1 e η2 è
η1 = 1 3 Mmr
2 916
2
R3 α
Ipω
(2.281)
η2 = 0. (2.282)
L’asse terrestre ruota intorno all’asse dell’eclittica con velocità angolare
n = η 1 / sin α ovvero, poiché si suppone α piccolo:
n = η 1
α
1 3 Mmr
=
2 916
2
R3Ipω 3 M
=
2 R3ω Ip − Ie
Aggiungendo l’effetto della luna e trascurando la nutazione:
n = 3 Ip − Ie
2 Ip
M
R3 +
ω
′
M
R ′3
ω
da cui
Misurando il tempo in anni/2π:
Segue:
M
R
3 = 1, M ′
Ip
. (2.283)
(2.284)
Ip = 3
2 (Ip
′
M M
− Ie) +
R3 R ′3
1 1
. (2.285)
n ω
=∼ 2.25,
R ′3
1
=∼ 25800, ω = 366. (2.286)
n
Ip 344 (Ip − Ie) (2.287)
143

Volumetto 2: 23 aprile 1928
e, poiché, come si è visto, Ip − Ie = mr 2 /916:
Ip = 344
916 m r2 = 0.375 m r 2 , (2.288)
valore troppo alto, in quanto Ip/(Ip − Ie) = 305.
2.22 Teoria dell’irraggiamento
Riprendiamo l’Hamiltoniana
i
· ∂q
∂r = H0 +
∞
s=1
1
2 p2s + 2π 2 ν 2 s q 2
s +
∞
s=1
e
mc p × ·bs qs, (2.289)
Essendo bs un vettore 32 funzione del posto e tale che il valore medio
|bs| 2 = 4πc2
. (2.290)
Ω
Indicando con ψn l’autofunzione relativa allo stato stazionario ennesimo
dell’atomo imperturbato, con ψ rs
s quella relativa allo stato erresimo dell’oscillatore
s imperturbato, l’autofunzione relativa all’intero sistema sarà, trascurando
l’interazione:
ψ =
an,r1,r2,r3,r4,...ri... ψn ψ r1
1 ψ r2
2 . . . ψ ri r . . . , (2.291)
n,r1,r2,...
con le a costanti. A causa dell’interazione le a saranno funzioni del tempo,
e obbediranno alle equazioni differenziali:
i ˙an,r1,r2,... = a n ′ ,r ′ 1 ,r ′ 2 ,... A n,r1,r2,...,n ′ ,r ′ 1 ,r′ 2 ,..., (2.292)
32 Si noti che qui l’Autore sta considerando una sorta di generalizzazione di ciò
che è stato fatto nel paragrafo 2.19. Il potenziale vettore è scritto come C = bq,
trattando q come una quantità scalare (in un certo senso).
144

Volumetto 2: 23 aprile 1928
essendo A la matrice dell’interazione. Si ricava immediatamente che possono
essere diversi da zero solo quei termini che corrispondono alla variazione
dello stato dell’atomo e alla variazione di un’unità del numero quantico
di uno degli oscillatori. Per r ′ s = rs±1 avremo:
=
An,r1,r2,...rs...,n ′ ,r1,r2,...r ′ s ...
nn ′ + b z sη z nn ′
e
c 2πi (νn − νn ′) b x s η x nn ′ + bysη y
(rs + 1/2 ± 1/2)
×
exp {2πi(νn − νn
4πνs
′±νs)t}, (2.293)
essendo ηx, ηy, ηz le matrici di polarizzazione secondo x, y, z dell’atomo
imperturbato; νn i termini dell’atomo, cioè νn = En/h, ed essendosi inoltre
supposto bs costante.
Supponiamo inizialmente l’atomo nello stato n, e gli oscillatori a livello
zero. Basterà supporre tutte lea nulle ad eccezione di:
Per un tempo abbastanza breve avremo:
˙an ′ ,0,...,0,1,0,... = i
an,0,0,0,... = 1. (2.294)
An ′ ,0,...,0,1,0,...,n,0,...,0,...
= − e 2π
c νnn ′ bs·η
nn ′
essendosi posto νnn ′ = νn ′ − νn. E quindi:
an ′ ,0,...,0,1,0,... = e
c
cosicché:
|an ′ ,0,...,0,1,0,...| 2 = e2
c 2
i
νnn ′ bs·η nn ′
= e2
c 2
exp {2πi(νnn
4πνs
′ − νs)t}, (2.295)
4πνs
1
2 ν2 nn ′ |bs·ηnn ′| 2
4πνs
ν 2 nn ′
πνs
Poiché il valore medio di |bs·η nn ′| 2 è
e 2πi(ν nn ′ −νs)t − 1
νnn ′ − νs
, (2.296)
4 sin 2 π(νnn ′ − νs)t
(νnn ′ − νs) 2
|bs·ηnn ′| 2 sin 2 π(νnn ′ − νs)t
(νnn ′ − νs)2 . (2.297)
|bs·ηnn ′| 2 = 4 πc
3
2
Ω |η|2
145
(2.298)

Volumetto 2: 23 aprile 1928
e il valore di νs è prossimo a νnn ′, la probabilità di trovare l’atomo nello
stato n ′ sarà
P = 4 e
3
2
c2 πc 2
Ω |η|2 νnn ′
= 64
3
2π 5
1
2
8πνnn ′Ω
π c3 sin 2 π(νnn ′ − νs)t
dνs
(νnn ′ − νs) 2
e 2 |η| 2 ν 3 nn ′
c 3 t, (2.299)
e la mortalità dovuta al passaggio n → n ′ è: 33
dP
dt = 64π4e 2 ν 3 nn ′|η|2
3hc3 2.23 Sulle matrici
= 16π4 e 2 ν 4 nn ′|2η|2
3c 3
1
hνnn ′
. (2.300)
Una grandezza fisica A si può misurare con un operatore lineare che trasforma
vettori in vettori, in uno spazio a infinite dimensioni. Immaginiamo di fissare
un sistema d’assi arbitrario e indichiamo con ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ n , . . . vettori
unitari diretti secondo tali assi. Essi possono essere anche complessi.
In questo caso scriveremo le relazioni di ortonormalità:
ψ i ·ψ ∗
k = δik. (2.301)
All’operatore A si può associare una matrice Ars, che dipende però dalla
scelta fatta degli assi coordinati. I suoi elementi 34 sono definiti dalla relazione:
35
A ψ s = Ars ψ r . (2.304)
33Nell’ultima formula abbiamo reintrodotto la costante di Planck h, come nel
manoscritto originale.
34Si noti che l’Autore indica con lo stesso simbolo l’operatore e la sua matrice
rappresentativa. Comunque, ogni confusione è evitata notando che una matrice
ha sempre due indici che indicano esplicitamente la riga e la colonna.
35∗ Si deduce la regola di moltiplicazione:
cioè:
A B ψ s = A Brs ψ r = Atr Brs ψ t , (2.302)
(A B) ts = Atr Brs. (2.303)
146

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Assumiamo un nuovo sistema di assi e siano χ 1 , χ 2 , . . . , χ n , . . . i vettori
unitari diretti secondo i nuovi assi. L’operatore S che fa passare dai vettori
ψ ai vettori χ, si riduce ad una rotazione nel caso di assi reali. La sua
matrice è definita dalla relazione:
χ k = Sik ψ i (2.305)
e, per la (2.301), che vale anche quando a ψ si sostituisce χ:
Se S −1 è l’operatore inverso di S, avremo:
e, sostituendo nella (2.305):
Allora
Sik S ∗ il = δkl. (2.306)
ψ j = S −1
kj χ k (2.307)
χ k = Sik S −1
li χ l . (2.308)
Sik S −1
li = δkl, (2.309)
relazioni che sono soddisfatte se:
Infatti, in tal caso,
S −1
rs = S ∗ sr. (2.310)
Sik S −1
li = Sik S ∗ il. (2.311)
L’equazione (2.309) si deduce immediatamente dalla relazione
che si può scrivere appunto:
Dalla condizione (2.312), segue che
S −1 S = 1, (2.312)
S −1
li Sik = Sik S −1
li = δkl. (2.313)
Ski S −1
il = Ski S ∗ li = δkl, (2.314)
equazione analoga alla (2.306) ma riferita alle righe anziché alle colonne.
Riprendiamo la (2.304) e sostituiamo ai vettori ψ le loro espressioni
date dalla (2.307):
A S −1
rs χ r = Ars S −1
ir χ i ; (2.315)
147

e ponendo 36
cioè:
Volumetto 2: 23 aprile 1928
A χ s = A ′ rs χ r (2.316)
A ′ ir S −1
rs χ i = Ars S −1
ir χ i , (2.317)
A ′ ir S −1
rs = S −1
ir Ars (2.318)
A ′ ir S −1
rs Ssj = S −1
ir Ars Ssj (2.319)
A ′ ij = S −1
ir Ars Ssj. (2.320)
Analogamente, sostituendo la (2.305) nella (2.316), si troverebbe:
A Srs ψ r = A ′ rs Sir ψ i (2.321)
Air Srs ψ i = A ′ rs Sir ψ i (2.322)
Air Srs = Sir A ′ rs (2.323)
Aij = Sir A ′ rs Ssj. (2.324)
Formole simmetriche a quelle scritte più sopra e che da quelle si deducono
immediatamente; segue ad esempio dalla (2.320):
Sai A ′ ij S −1
jb = Sai S −1
ir Ars Ssj S −1
jb
(2.325)
Ars = Sai A ′ ij S −1
jb , (2.326)
identica alla (2.324).
Indicando con [A] e con [A ′ ] le matrici corrispondenti all’operatore A
nei due sistemi di coordinate, e con [S] e [S −1 ] le matrici di elementi Srs e
S −1
rs , avremo:
[A] [S] = [S] [A ′ ] (2.327)
A ′ = [S −1 ] [A] [S]. (2.328)
Abbiamo supposto prima che S sia l’operatore che trasforma i vettori ψ
nei vettori χ, abbiamo cioè immaginato di poter scrivere:
χ i = S ψ i . (2.329)
36 Si osservi che la (2.316) definisce la matrice (A ′ rs ) che rappresenta l’operatore
A nella base {χ}.
148

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Ciò richiede che i vettori χ e ψ siano numerati con lo stesso sistema di
indici; ma una tale limitazione non è necessaria. Possiamo perciò coordinare
la matrice [S] non già a un operatore ma a una semplice funzione
Srs di due variabili, gli indici r e s dei vettori ψ r e χ s, la quale soddisfi
alle condizioni:
χ s = Srs ψ r . (2.330)
2.24 Teoria dell’irraggiamento
Supponiamo ancora l’atomo inizialmente nello stato n e gli oscillatori a
riposo. Se esiste un solo stato n ′ più profondo di n potremo in prima approssimazione
prescindere dall’esistenza di altri stati stazionari dell’atomo.
Facendo poi tendere all’infinito il volume che racchiude il nostro atomo, la
probabilità di trovare eccitata una singola frequenza νs tende a zero; cioè
possiamo supporre quasi tutti gli oscillatori a riposo per tutta la durata
dell’emissione. 37 Avremo per la (2.293):
˙an ′ ,0,...0,1,0... = − e 2π
c
×
4πνs
˙an,0,...0,0,0... = e
c
s
×
4πνs
νnn ′ bs·η n ′ n
e 2πi(ν nn ′ −νs)t an,0,...0,0,0...
2π
νnn ′ bs·η nn ′
(2.331)
e −2πi(ν nn ′ −νs)t an ′ ,0,...0,1,0.... (2.332)
Possiamo supporre η nn ′ reale e quindi η nn ′ = η n ′ n . Vedremo di soddisfare
a queste equazioni ponendo: an,0,...0,0,0... = exp{−γt/2}. Avremo:
˙an ′ ,0,...0,1,0... = − e 2π
c νnn ′ bs·ηnn ′
37∗ Più precisamente, escludiamo quegli stati quantici che corrispondono a due
o più oscillatori eccitati.
149

e quindi:
Volumetto 2: 23 aprile 1928
×
4πνs
an ′ ,0,...0,1,0... = − e 2π
c
×
4πνs
˙an,0,...0,0,0... = −
s
e 2πi(ν nn ′ −νs)t e −γt/2
νnn ′ bs·η nn ′
e 2
c 2
e 2πi(ν nn ′ −νs−γ/2)t − 1
2πi(νnn ′ − νs) − γ/2
4π 2
2
ν
4πνs
2 nn ′ |bs·ηnn ′| 2
(2.333)
(2.334)
× e−γt/2 − e 2πi(νnn ′ −νs)t
2πi(νnn ′ − νs) − γ/2 e−γt/2 . (2.335)
Supponendo al solito che νs sia prossimo a νnn ′ e che la (2.298) valga, e
trasformando al limite la somma in un integrale:
e poiché
si ricava:
× 8πν2 nn ′
c 3
4π 2
4 πc 2
˙an,0,...0,0,0... = − e2
c2 2 ν
4πνs
2 nn ′ |ηnn ′|2
3 Ω
−γt/2 2πi(ν
e − e nn ′ −νs)t
Ω e−γt/2
= − 32π3e 2 ν 3 nn ′|ηnn ′|2
3c3 e −γt/2
dνs
2πi(νnn ′ − νs) − γ/2
e −γt/2 − e 2πi(ν nn ′ −νs)t
˙an,0,...0,0,0... = − γ
2 e−γt/2 ,
γ
2 = 32π3e 2 ν 3 nn ′|ηnn ′|2
3c3 −γt/2 2πi(ν
e − e nn ′ −νs)t
2πi(νnn ′ − νs) − γ/2 dνs; (2.336)
2πi(νnn ′ − νs) − γ/2 dνs. (2.337)
Basta dimostrare che l’integrale di destra è uguale a 1/2, e così 38
γ = 32π3e 2 ν 3 nn ′|ηnn ′|2
3c3 . (2.338)
38 Nel manoscritto originale questo paragrafo si chiude con un accenno di calcolo
di questo risultato (l’esponenziale complesso è sviluppato in termini delle funzioni
trigonometriche). Qui riporteremo solo la seguente parole: “La parte immaginaria
dell’integrale è indeterminata ma a noi interessa solo la parte reale di γ, poiché
essa sola entra nell’espressione di |an| 2 , che ha solo significato fisico”.
150

Volumetto 2: 23 aprile 1928
2.25 Moto kepleriano piano perturbato
Sia un punto di massa 1 attratto con forza M/r 2 verso un centro fisso O.
L’equazione della traiettoria è:
r =
essendo k, e e α costanti. Infatti, se si pone:
k = r2V 2
t
M
e =
kVr
α = θ − arctan
(k − r)Vt
= θ − arcsin k Vr
re Vt
k
, (2.339)
1 + e cos(θ − α)
(k − r) 2 2 Vt + k2V 2
r
kM
= θ − arccos
k − r
re ,
(2.340)
essendo Vr e Vt le velocità, radiale e trasversa, e si sostituisce in (2.339)
questa risulta identicamente soddisfatta; inoltre le k, e, α date dalla (2.340)
sono costanti. Infatti:
r 4 ˙ θ 2
˙k = d
dt M = 2R3θ˙ M
˙e = 1
− k
e
˙r
r2
k
− 1
r
=
k ˙r
eM
˙α = ˙ θ −
¨r − r ˙ θ 2 + M
r2
r e Vt
k ˙r
2 ˙r ˙ θ + r¨
θ
+ k
M
= k ˙r
k ˙r
er2 = ˙ θ − Vt
r
˙r ¨r
eM
= 0.
Si deducono l’espressione del semiasse maggiore:
a =
=
k
=
1 − e2 = 2r3 ˙ θ
M
ar + M
r 2
k 2 M
kM − (k − r) 2V 2
t − k2V 2
r
k 2 M
kM − k 2 V 2 + 2krV 2
t − kM =
151
at = 0
= 0
M
2M/r − V 2
(2.341)

=
Volumetto 2: 23 aprile 1928
r
2 − rV 2 /M =
r
2 − V 2 /V 2
0
= r
V 2
0
2V 2 , (2.342)
0 − V 2
in cui V = V 2
r + V 2
t è la velocità totale e V0 = M/r è la velocità
corrispondente al moto circolare. Il semiasse minore sarà:
b =
=
k
√ 1 − e 2 = √ k a =
rVt
2M/r − V 2
= r
r 3/2 Vt
√ M 2 − rV 2 /M
Vt
. (2.343)
2 2V0 − V 2
Il raggio k normale all’asse maggiore si potrà anche scrivere:
k = r2V 2
t
M
2
Vt = r
La distanza del secondo fuoco dal punto mobile sarà:
r ′ = 2a − r = r2 V 2 /M
2 − rV 2 /M
e il periodo di rivoluzione:
T = 2πab
rVt
=
2πM
2M/r − V 2 3/2
V 2 . (2.344)
0
= r
V 2
2V 2 , (2.345)
0 − V 2
= 2π
√ M a 3/2 . (2.346)
Supponiamo ora che al campo newtoniano si sovrapponga un altro
campo arbitrario, e siano χr e χt le componenti radiale e trasversa della
forza aggiunta. La (2.339) sarà ancora valida intendendo che k, e, α non
siano costanti. Esse sono funzioni variabili che dipendono da r, θ, Vr e Vt,
e sono definite dalle equazioni (2.340). Avremo evidentemente:
˙k = ∂k
χr +
∂Vr
∂k
χt = 2
∂Vt
r2Vt χt
M
χt
= 2k
Vt
(2.347)
˙e = ∂e
χr +
∂Vr
∂e
=
χt
∂Vt
k − r 2
2 Vt +
eM k
2 χt
Vr eM Vt
+ k
Vrχr
eM
(2.348)
˙α =
k + r
e2 k − r
Vr χt −
M e2 Vt χr,
M
(2.349)
˙a = 2
M a2 (Vr χr + Vt χt) . (2.350)
152

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Supponiamo dati χr e χt in funzione di r, θ e t; a causa della (2.339)
potremo esprimerli in funzione di k, e, α, θ e t. Anche Vr e Vt si possono
esprimere mediante le stesse lettere:
Vt =
Vr = Vt
√
kM
= Vt(k, e, α, θ) (2.351)
r
re
M sin (θ − α) = Vr(k, e, α, θ). (2.352)
Sostituendo nelle tre equazioni indipendenti (2.347), (2.348), (2.349) [la
(2.350) deriva naturalmente dalle precedenti], si trova:
˙k = ˙ k(k, e, α, θ, t) (2.353)
˙e = ˙e(k, e, α, θ, t) (2.354)
˙α = ˙α(k, e, α, θ, t). (2.355)
Occorre quindi un’altra equazione per determinare il moto. Questa è fornita
dalla prima delle equazioni (2.340):
˙θ =
√ kM
r 2 = ˙ θ(k, e, α, θ). (2.356)
Dati i valori iniziali all’istante t0 delle quattro variabili: k0, e0, α0, θ0 le
equazioni (2.353)-(2.356) permettono di calcolarne i valori a un istante
qualunque. Se la perturbazione è piccola il problema si risolve per successive
approssimazioni. Indicando con θ ′ il valore che assumerebbe θ in un
istante generico e in assenza di perturbazioni, quali risulta dall’equazione
del tempo di Keplero, avremo in approssimazione zero:
θ = θ ′ , k = k0, e = e0, α = α0. (2.357)
In prima approssimazione: k = k1, e = e1, α = α1, θ = θ1, essendo:
∞
k1 = k0 +
t0
∞
e1 = e0 +
t0
∞
α1 = α0 +
t0
153
˙k(k0, e0, α0, θ ′ , t) dt
˙e(k0, e0, α0, θ ′ , t) dt (2.358)
˙α(k0, e0, α0, θ ′ , t) dt.

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Per θ non si può scrivere una formola analoga, perché nell’espressione
esatta:
∞
θ = θ0 + ˙θ(k, e, α, θ, t) dt (2.359)
t0
i due termini del secondo membro sono dello stesso ordine di grandezza,
cosicché ponendo a destra un valore approssimato per θ, non se ne ottiene
uno più approssimato a sinistra. Si può pensare di trasformare la (2.356).
Per ciò osserviamo che la forma di ˙ θ(k, e, α, θ) non dipende dalle forze
perturbative ed è quindi la stessa che si avrebbe in assenza di perturbazioni;
avremo quindi evidentemente:
e posto:
avremo:
˙θ ′ = ˙ θ(k0, e0, α0, θ ′ ); (2.360)
θ = θ ′ + γ, (2.361)
˙γ = ˙ θ(k, e, α, θ) − ˙ θ(k0, e0, α0, θ ′ )
= ˙ θ(k, e, α, θ) − ˙ θ ′ = ˙γ(k, e, α, θ, t). (2.362)
In luogo della (2.356) si utilizzerebbe dunque l’altra:
˙θ = ˙ θ ′ + ˙γ(k, e, α, θ, t), (2.363)
ma neanche questa si presta al calcolo per successive approssimazioni,
perché ponendo in ˙γ(k, e, α, θ, t) un valore approssimato per θ, non si ottiene
un valore approssimato per ˙γ e ciò perché ˙γ non si annulla, in assenza
di forze perturbanti, se non ponendo per θ il suo valore esatto θ ′ .
Per calcolare θ1 occorre invece ricavarlo dall’espressione 39
in cui si porrà
t = t0 +
2π
θ0
dθ1
˙θ(k ′ 1, e ′ 1, α ′ , (2.364)
1, θ1)
k ′ 1 = k1[θ ′ (θa)], e ′ 1 = e1[θ ′ (θa)], α ′ 1 = α1[θ ′ (θa)], (2.365)
39 Nel manoscritto originale il limite superiore dell’integrale non è esplicitamente
dato.
154

Volumetto 2: 23 aprile 1928
essendo θ ′ = θ ′ (t), t = θ ′ (θ ′ ), k1 = k1(r), . . . ecc. In generale per l’appros-
simazione n (n > 1) valgono le formole:
essendo
k ′ n = kn
∞
kn = k0 + ˙k (kn−1, en−1, αn−1, θn−1, t) dt
t0
∞
en = e0 + ˙e (kn−1, en−1, αn−1, θn−1, t) dt
t0
∞
αn = α0 + ˙α (kn−1, en−1, αn−1, θn−1, t) dt
t0
t = t0 +
2π
θ0
dθn
˙θ(k ′ n, e ′ n, α ′ n, θn) ,
(2.366)
′ ′
θn−1(θn) , e n = en θn−1(θn) , α n = αn θn−1(θn)
kn = kn(t), en = en(t), αn = αn(t).
L’ultima delle equazioni (2.366) è giustificata dal fatto che conoscendo
k, e, α in funzione di t e in approssimazione n (cioè a meno di infinitesimi
d’ordine maggiore di n, quando le forze perturbative tendono a zero) e t
in funzione di θ in approssimazione n − 1, si ricavano k, e e α in funzione
di θ in approssimazione n, in quanto dk/dt, de/dt, dα/dt sono esse stesse
infinitesimi del primo ordine.
Supponiamo ora che le forze perturbanti siano costanti nel tempo, o
che si possano considerare come tali per un tratto di tempo lungo rispetto
al periodo di rivoluzione; supponiamo inoltre che siano abbastanza piccole
così che k, e e α varino poco in un periodo. Indicheremo con ˙ k, ˙e e ˙α
le variazioni secolari di tali grandezze, cioè i valori medi ˙ k, ˙e, ˙α sull’intero
periodo. Avremo evidentemente:
˙k = ˙ k(k, e, α, t), ˙e = ˙e(k, e, α, t), ˙α = ˙α(k, e, α, t). (2.367)
La forma delle equazioni (2.367) dipende dalla forma delle funzioni
χr = χr(r, θ, t), χt = χt(r, θ, t), (2.368)
e la dipendenza dal tempo si ha solo quando χr e χt variano col tempo,
con la restrizione beninteso che varino lentamente.
155

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Facciamo alcuni casi particolari: χt = 0; χr = ɛ r n . Si deduce dalle
equazioni (2.347), (2.348), (2.349),
e quindi
˙α =
˙k = 0, ˙e = k
eM
r − k
e2M Vt ɛ rn = 1
e2
k
M
˙k = 0, ˙e = 0, ˙α = 1
e2
k
M
essendo ovviamente:
si deduce
r n = (1 − e2 ) 3/2
2π
r −1 = 1 − e 2 k −1
k n
r −2 = 1 − e 2 3/2 k −2
r −3 = 1 − e 2 3/2 k −3
r −4 = 1 − e 2 3/2
r −5 = 1 − e 2 3/2
r −6 = 1 − e 2 3/2
2π
0
Vr ɛ rn
r n − k r n−1 ɛ
(2.369)
rn − k rn−1
ɛ, (2.370)
1 + 1
2 e2
k −4
1 + 3
2 e2
k −5
dθ
. (2.371)
(1 + e cos θ) n+r
1 + 3 e 2 + 3
8 e4
k −6 ,
156
(2.372)

e 40
r = 1 − e 2 −1
r 2 = 1 − e 2 −2
r 3 = 1 − e 2 −3
r 4 = 1 − e 2 −4
r 5 = 1 − e 2 −5
r 6 = 1 − e 2 −6
r 7 = 1 − e 2 −7
r 8 = 1 − e 2 −8
Volumetto 2: 23 aprile 1928
1 + 1
2 e2
k
1 + 3
2 e2
k 2
1 + 3 e 2 + 3
8 e4
k 3
1 + 5 e 2 + 15
8 e4
k 4
1 + 15
2 e2 + 45
8 e4 + 5
16 e6
k 5
1 + 21
2 e2 + 105
8 e4 + 35
16 e6
k 6
1 + 14 e 2 + 105
4 e4
+ 35
4 e6 + 35
128 e8
k 7
1 + 18 e 2 + 189
4 e4
+ 105
4 e6 + 315
128 e8
k 8 .
(2.373)
40 Nel manoscritto originale mancano le espressioni esplicite per r, r 2 , . . . , r 8 .
157

Segue che se
n = 0, ˙α =
n = −1, ˙α =
n = −2, ˙α = 0
Volumetto 2: 23 aprile 1928
k
M ɛ
k 2
1 − e
M
1 − √ 1 − e2 e2 n = −3, ˙α =
k
−
M
2
1 − e 3/2 1 ɛ
2 k3 n = −4, ˙α =
k
−
M
2
1 − e 3/2 ɛ
k4 n = −5, ˙α =
k
−
M
2
1 − e
3/2 3 3
+
2 8 e2
ɛ
.
k5 2.26 Teoria dell’irraggiamento
Consideriamo due stati quantici dell’atomo di indici 1 e 2 e sia ν la frequenza
di transizione. Sia A21 la probabilità che un atomo nello stato 2
passi spontaneamente e nell’unità di tempo allo stato 1, B21U la probabilità
che vi passi a causa della radiazione di frequenza ν, esistente nello
spazio, essendo U l’energia per unità di frequenza e di volume; sia ancora
B12U la probabilità del passaggio inverso, N1 e N2 il numero degli atomi
nello stato 1 e 2. Avremo in caso di equilibrio:
N1
N2
= A21 + B21U
B12U
ɛ
k
. (2.374)
Se la temperatura ambiente è T e ammettiamo la legge di Boltzmann si
158

ha: 41
da cui
B12
Volumetto 2: 23 aprile 1928
8π
c 3
N2
N1
= e −hν/kT , (2.375)
U = 8π
c 3
ν 3 h
e hν/kT − 1
= A21 e −hν/kT + B21
che è sempre soddisfatta solo se:
ν 3 h
e hν/kT , (2.376)
− 1
8π
c 3
ν 3 h
e hν/kT − 1 e−hν/kT , (2.377)
B12 = B21, (2.378)
A21 = 8π
c 3 ν3 h B12. (2.379)
Vediamo di dimostrare queste formole in base alla nostra teoria dell’irraggiamento.
Sia
ψ0 =
(2.380)
n,r1,...,rs,...
ψn,r1,...,rs,... an,r1,...,rs,...
l’autofunzione in un istante arbitrario. Avremo (prescindendo da tutti gli
altri stati quantici oltre 1 e 2)
˙a1,...,ns+1,... = − e 4π
c
2
h ν bs·η
h(ns + 1)
12
8π2νs × exp {2πi(ν − νs)t} a2,...,ns−1,..., (2.381)
in quanto si può ritenere a priori che nel passaggio 2 → 1 venga emessa
energia e di frequenza prossima a ν. Analogamente:
˙a2,...,ns−1,... = e 4π
c
2
h ν bs·η
hns
12
8π2ν × exp {2πi(νs − ν)t} a1,...,ns,.... (2.382)
41 In questo paragrafo aderiamo all’uso dell’Autore di h, piuttosto che riscriverla
in termini di .
159

Ora
e quindi
Volumetto 2: 23 aprile 1928
N1 = |a1,...| 2
(2.383)
N2 = |a2,...| 2 , (2.384)
˙N1 =
a1,... ˙a ∗ 1,... + ˙a1,... a ∗
1,... . (2.385)
Supponiamo però per semplicità di calcolo che tutte le a1 siano inizialmente
nulle. L’equazione precedente sembrerebbe dare ˙ Ni = 0, ma si tratta di
un risultato illusorio, in quanto si pensa scorrettamente al limite per un
numero di frequenze infinite. Il calcolo va fatto come nel paragrafo 2.21.
Ne differisce soltanto perché sotto il segno di radice si pone ns + 1 in luogo
di 1. Poiché nella formola finale tale radice compare a quadrato avremo
solo da moltiplicare il risultato per il valore medio di ns + 1. Indicando
con n il valore medio di ns si trova:
˙N1 = N2
64π 4 ν 3 e 2 |η12| 2
3hc 3 (n + 1) . (2.386)
Analogamente se si suppongono inizialmente tutti gli atomi nello stato 1
si trova la stessa formola, salvo a scambiare N1 e N2, e a porre n in luogo
di n + 1, perché nella (2.382) compare ns e non ns + 1:
˙N2 = N1
da cui derivano gli A e B di Einstein:
64π 4 ν 3 e 2 |η12| 2
A21 = 64π4 ν 3 e 2 |η12| 2
3hc 3
B21 = B12 = nA21
U
in accordo con le equazioni (2.378) e (2.379).
160
3hc 3 n. (2.387)
=
(2.388)
A21
(8π/c 3 )ν 3 , (2.389)
h

Volumetto 2: 23 aprile 1928
2.27 Integrali definiti
(Si veda il paragrafo 1.37.)
(13)
(14)
1
0
1 − x 2 n =
1
2n + 1
Per n grande, il primo membro è prossimo a
∞
da cui segue per n grande:
0
e −nx2
dx = 1
2
2 2n n! 2
. (2.390)
(2n)!
π
n ,
n! 2 2 2n
(2n)! = √ πn + . . . , (2.391)
come si deduce immediatamente dalla formola di Stirling (vedi il
paragrafo 1.27).
∞
−∞
(15) ∞
e ix
dx =
a + ix
−∞
(16) ∞
(17)
(18)
∞
−∞
∞
−∞
⎧
⎨
⎩
2π e −a , a > 0
0, a < 0
cos x
a2 π
dx =
+ x2 a e−a
x sin x
a2 dx = π e−a
+ x2 (2.392)
(2.393)
(2.394)
e iax
1 + k2 π
dx =
x2 k e−a/k , k > 0, a > 0 (2.395)
−∞
xe iax
1 + k2 iπ
dx =
x2 k2 e−a/k ,
a
k
> 0 42
(2.396)
42 Più precisamente, questo risultato vale per a > 0 (mantenendo a/k > 0),
mentre per a < 0 abbiamo semplicemente l’opposto.
161

(19) ∞
(14bis)
Volumetto 2: 23 aprile 1928
∞
−∞
e
−∞
ix2
dx =
e ikx
dx =
1 + ix
⎧
⎨
⎩
1 + i
√ 2
√ π. (2.397)
2π e −k , k > 0
0, k < 0
(20) Ponendo dq1 = dx1dy1dz1, e r1 = x 2 1 + y 2 1 + z 2 1, si ha: 43
(21)
1
r1
(2.398)
e −ar1 dq1 = 8π
, a > 0 (2.399)
a3 e −ar1 dq1 = 8π
a 3
dτ = dx1dy1dz1dx2dy2dz2
a
, a > 0 (2.400)
2
r12 = (x1 − x2) 2 + (y1 − y2) 2 + (z1 − z2) 2
r1 = x 2 1 + y 2 1 + z 2 1, r2 = x 2 2 + y 2 2 + z 2 2, a, b > 0
e −ar1 e −br2 dτ = 64π 2
a 3 b 3
1
e
r1
−ar1 −br2 e dτ =
64π 2
a3b3 1
e
r12
−ar1 −br2 e dτ =
64π 2
a3b3 2.28 Sviluppi in serie
(Si vedano i paragrafi 1.22 e 3.1.)
a
2
(2.401)
(2.402)
a 2 + 3ab + b 2
2(a + b) 3 ab. (2.403)
43 Gli integrali che seguono sono calcolati sull’intero asse reale per ogni variabile.
162

Volumetto 2: 23 aprile 1928
(1) Consideriamo la seguente funzione di x:
y =
Sotto certe condizioni, si ha:
∞
n=0
lim
x→∞
f(n)x n
(−1)
n!
n . (2.404)
x r y
= 0 (2.405)
ex qualunque sia r. Se f(n) = costante, la (2.405) è sicuramente soddisfatta.
Se f(n) = n, si ha y = −xe −x e la (2.405) è ancora soddisfatta.
Analogamente si prova che è soddisfatta se f(n) = n(n − 1)
oppure f(n) = n(n − 1)(n − 2), ecc. . . O anche se f(n) = 1/(n + 1) o
1/(n + 1)(n + 2) o 1/(n + 1)(n + 2)(n + 3), ed ecc. . . Segue allora che
la (2.405) è soddisfatta se f(n) è una qualsiasi funzione razionale di
n o, più in generale, una funzione di n che da un certo punto in poi
sia sviluppabile secondo le potenze discendenti di n a partire da una
potenza arbitraria n k (con k intero).
L’equazione (2.405) è ancora valida se f(n) può essere estesa secondo
le potenze discendenti di n, scalato ad esempio di un’unità, a partire
da una potenza irrazionale o razionale n c . In tal caso infatti la serie
y + y ′ = f1(n)x n
avrà f1(n) sviluppabile a partire da n c−1 . Allora fissato comunque
r, la (2.405) sarà soddisfatta quando in luogo di y si ponga:
y + k y ′ +
dipendendo k da r. Ora, se:
cioè essendo α infinitesimo:
segue:
z = e −x
k(k − 1)
2
n!
y ′′ + . . . + y (k) , (2.406)
x
lim
x→∞
r (z + z ′ )
ex = 0, (2.407)
z + z ′ = α x −r e x , (2.408)
α x −r e 2x dx = e −x β x −r e 2x = β x −r e x , (2.409)
163

Volumetto 2: 23 aprile 1928
essendo β un altro infinitesimo. Ripetendo k volte il ragionamento,
si trova che la (2.405) è anche soddisfatta da y.
È ancora valida la (2.405) se f(n) è il prodotto di log n e una funzione
algebrica di n, e ciò può essere provato come si è fatto sopra. Più in
generale se:
f(n) − k f(n − 1) +
−
k(k − 1)(k − 2)
6
k(k − 1)
2
f(n − 2)
f(n − 3) + . . . ± f(n − k), (2.410)
si può, scegliendo k opportunamente, rendere y infinitesimo (per n
grande) di un ordine elevato quanto si vuole, e la (2.405) è ancora
soddisfatta.
(2) In prima approssimazione, per n grande e ɛ/n piccolo si ha:
n
n/2 + ɛ
=
n!
(n/2 + ɛ)! (n/2 − ɛ)!
= 2n
(3) Per x grande, sviluppo (sempre divergente) di θ:
θ(x) =
2
√ π
x
0
e −x2
dx
1
x
= 1 − 1
√ π e −x2
− 1
2x
2
πn e−2ɛ2 /n .
(2.411)
3 15 105
+ − + − . . . .
3 4x5 8x7 16x9 Sviluppo utilizzabile, benché divergente perché fornisce alternativamente
valori per eccesso e per difetto.
2.29 Teoria dell’irraggiamento: diffusione
dell’elettrone libero
Abbiamo considerato le onde stazionarie che si possono formare nel volume
Ω, senza fare nessuna ipotesi né sulla forma di tale volume, né su quella
164

Volumetto 2: 23 aprile 1928
delle onde. Per semplicità assumeremo che il potenziale Cs relativo alla
radiazione νs sia della forma, compatibile con la (2.219):
Cs = 4πc 2 /Ω qs e 2πi(γ′ s x+γ′′
s y+γ′′′
s z) As, (2.412)
in cui As è un vettore unitario normale alla direzione di propagazione, e
la frequenza sarà data da:
νs = c γ ′2
s + γ ′′2
s + γ ′′′2
s , (2.413)
e il numero di oscillatori relativo agli intervalli di numeri d’onde γ ′ s − γ ′ s +
dγ ′ s, γ ′′
s − γ ′′
s + dγ ′′
s , e γ ′′′
s − γ ′′′
s + dγ ′′′
s , sarà:
dN = 2 Ω dγ ′ s dγ ′′
s dγ ′′′
s . (2.414)
Come autofunzione per l’elettrone libero assumeremo:
e il loro numero sarà:
Un = 1
√ Ω exp 2πi(δ ′ nx + δ ′′
ny + δ ′′′
n z) , (2.415)
I movimenti corrispondenti alla (2.415) saranno:
dn = Ω dδ ′ n dδ ′′
n dδ ′′′
n . (2.416)
p n x = − h δ ′ n, p n y = − hδ ′′
n, p n z = − hδ ′′′
n . (2.417)
Analogamente i movimenti dei quanti di luce sono per la (2.412):
s
p s x = − h γ ′ s, p s y = − hγ ′′
s , p s z = − hγ ′′′
s . (2.418)
I termini di interazione di primo e secondo ordine nell’Hamiltoniana complessiva
saranno (si veda il paragrafo 2.6):
e
mc p·As
4πc2 Ω qs e2πi(γ′ sx+γ′′ s y+γ′′′ s z)
+ e2
2mc2 4πc 2
Ω
r,s
qr qs Ar·As e 2πi[(γ′ r +γ′ s )x+(γ′′
r +γ′′
s )y+(γ′′′
r +γ′′′
s )z] . (2.419)
Nella matrice di perturbazione hanno importanza solo i termini che derivano
dal secondo termine di perturbazione, perché quelli che derivano dal primo
o sono piccoli o rapidamente variabili. Trascurando i primi saranno diversi
165

Volumetto 2: 23 aprile 1928
da zero solo gli elementi della matrice corrispondente a un cangiamento
qualunque dell’elettrone e a un mutamento di un numero quantico in su
o in giù, di due e due soli oscillatori. Poiché ci interessano solo i termini
grandi e poco rapidamente variabili dovremo ammettere che uno degli oscillatori,
e sia l’erresimo, passi dal numero quantico kr a kr + 1, e l’altro,
sia l’essesimo, passi dal numero quantico ks a ks − 1. L’elemento della
matrice corrispondente a tale passaggio sarà:
Bn,kr,ks;n ′ ,kr+1,ks−1 = 4πe2
(r + 1) s
Ar·As
2mΩ2 4πνr 4πνs
×
e 2πi[(γ′ r −γ′ s −δ′ n +δ′
n ′ )x+...] dτ e 2πi(ν n ′ −νn+νr−νs)t . (2.420)
Supponiamo che il volume di Ω sia un cubo di lato a. Allora l’integrale
vale in valore assoluto:
sin π(γ ′ r − γ ′ s − δ ′ n + δ ′ n ′)a
π(γ ′ r − γ ′ s − δ ′ n + δ ′ n ′)
× sin π(γ′′′
r − γ ′′′
s − δ ′′′
n + δ ′′′
sin π(γ ′′
r − γ ′′
s − δ ′′
n + δ ′′
n ′)a
π(γ ′′
r − γ ′′
s − δ ′′
n + δ ′′
n ′)
n ′)a
π(γ ′′′
r − γ ′′′
s − δ ′′′
n + δ ′′′
n ′)
. (2.421)
Supponiamo inoltre che all’istante iniziale tutti gli atomi si trovino allo
stato n e gli oscillatori allo stato 0, eccetto l’oscillatore s che è nello
stato ks; attribuiremo all’autofunzione corrispondente a questo stato complessivo
il coefficiente 1 e il coefficiente 0 a tutti gli altri. Per un tempo
breve avremo: indicando con an ′ ,1,ks−1 il coefficiente dell’autofunzione corrispondente
all’atomo nello stato n ′ , l’oscillatore erresimo nello stato 1, e
l’oscillatore s nello stato ks − 1,
˙an ′ ,1,ks−1 = i
Bn ′ ,1,ks−1;n,0,ks , (2.422)
cioè, a meno di un fattore costante di modulo 1:
˙an ′ ,1,ks−1 = Ar·As
e 2
2mΩ 2
× sin π(γ′ r − γ ′ s − δ ′ n + δ ′ n ′)a
π(γ ′ r − γ ′ s − δ ′ n + δ ′ n ′)
× sin π(γ′′′
r − γ ′′′
s − δ ′′′
n + δ ′′′
ks
e
νrνs
2πi(νn−νn ′ +νs−νr)t
n ′)a
π(γ ′′′
r − γ ′′′
s − δ ′′′
n + δ ′′′
n ′)
166
sin π(γ ′′
r − γ ′′
s − δ ′′
n + δ ′′
n ′)a
π(γ ′′
r − γ ′′
s − δ ′′
n + δ ′′
n ′)
, (2.423)

e quindi:
|an ′ ,1,ks−1| 2 = |Ar·As| 2 e 4
× sin π(γ′ r − γ ′ s − δ ′ n + δ ′ n ′)a
π(γ ′ r − γ ′ s − δ ′ n + δ ′ n ′)
× sin π(γ′′′
Volumetto 2: 23 aprile 1928
r − γ ′′′
s − δ ′′′
n + δ ′′′
n ′)a
π(γ ′′′
r − γ ′′′
s − δ ′′′
n + δ ′′′
n ′)
n ′ ,r
4m2Ω4 ks
νrνs
sin π(γ ′′
r − γ ′′
s − δ ′′
n + δ ′′
n ′)a
π(γ ′′
r − γ ′′
s − δ ′′
n + δ ′′
n ′)
sin π(νn − νn ′ + νs − νr)t
π2 (νn − νn ′ + νs
. (2.424)
− νr) 2
Sommando per tutti i valori di r e n ′ integrale:
e trasformando la somma in un
|an ′ ,1,ks−1| 2 = e4
Ω2m2 ks
νs
dγ ′ sdγ ′′
s dγ ′′′
s dδ ′ ndδ ′′
n dδ ′′′ |Ar·As|
n
2
νs
× sin π(γ′ r − γ ′ s − δ ′ n + δ ′ n ′)a
π(γ ′ r − γ ′ s − δ ′ n + δ ′ n ′)
× sin π(γ′′′
r − γ ′′′
s − δ ′′′
n + δ ′′′
n ′)a
π(γ ′′′
r − γ ′′′
s − δ ′′′
n + δ ′′′
n ′)
sin π(γ ′′
r − γ ′′
s − δ ′′
n + δ ′′
n ′)a
π(γ ′′
r − γ ′′
s − δ ′′
n + δ ′′
n ′)
sin π(νn − νn ′ + νs − νr)t
π2 . (2.425)
(νn − νn ′ + νs − νr)2
Supponiamo a molto grande. La funzione integranda avrà un valore notevole
solo per le transizioni che soddisfano sensibilmente alla conservazione
della quantità di moto, per le quali cioè:
γ ′ r − γ ′ s − δ ′ n + δ ′ n ′ = 0 (2.426)
(e similmente per gli altri componenti). Integrando rispetto a dγ ′ r, dγ ′′
r e
dγ ′′′
r , avremo:
|an ′ ,1,ks−1| 2 =
n ′ ,r
essendo
e 4
Ω2m2 ks
νs
× |Ar·As| 2
νs
dδ ′ ndδ ′′
n dδ ′′′
n
Ω sin π(νn − νn ′ + νs − νr)t
π2 (νn − νn ′ + νs
, (2.427)
− νr) 2
νr = c γ ′2
r + γ ′′2
r + γ ′′′2
r
(2.428)
con la γr data dalla (2.426). Supponiamo anche t grande; dovrà essere:
νn − νn ′ + νs − νr 0. (2.429)
167

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Potremo quindi limitarci a integrare rispetto a quei valori di δn ′ che, attraverso
le equazioni (2.426) e (2.428), soddisfano la (2.429). Per il calcolo
dell’intensità, riferiamoci a quanti non troppo energici ed elettroni lenti.
Sarà:
νr νs; (2.430)
e se θ è l’angolo fra quanto incidente e quanto diffuso, sarà θ sin θ
2 l’angolo
che (pn ′ − pn) forma con la direzione del quanto incidente. Inoltre:
|Ar·As| 2 = 1
2
1
|pn ′ − pn| = − 4π νs
c
0
− 1
4 sin2 θ
2
(2.431)
θ
sin , (2.432)
2
così che l’integrale nella (2.427) diviene:
n ′ |an
,r
′ ,1,ks−1| 2 = 4e4ks m2Ωc2
π cos θ
2 dθ sin2 θ
2
1 1
× −
2 4 sin2 2
θ sin πcrt sin θ/2
2 π2c2r 2 sin2 θ/2 dr
= πt 4e4ks m2Ωc3 π
cos θ
θ 1 1
sin −
2 2 2 4 sin2
θ
2
= πt 4e4 KS
3m 2 c 3 Ω
u, energia per unità di volume.
= 4
3
πe 4 t
m 2 c 3
2.30 Onde di De Broglie
L’espressione
ψ =
∞
e
−∞
−i2πγx e i2πνt
dθ
u
, (2.433)
hνs
dγ
α + i 2π(γ − γ0)
rappresenta un gruppo d’onde, essendo la velocità di fase:
vf = ν/γ.
168
(2.434)

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Se α tende a zero, la (2.434) si riduce a:
ψ = e −i2πγ0x
∞
i2πν0t
e
d(γ − γ0)
×
α + i 2π(γ − γ0)
−∞
= e −i2πγ0x
∞
i2πν0t
e
−∞
exp {i2π(γ − γ0) (t dν0/dγ0 − x)}
Facendo tendere α verso zero, si ricava (vedi (2.392)):
per α > 0:
⎧
⎨
ψ =
⎩
0, per t dν0/dγ0 − x < 0.
e iy dy
. (2.435)
2π [(t dν0/dγ0 − x) α + iy]
e −i2πγ0x e i2πν0t , per t dν0/dγ0 − x > 0,
(2.436)
che rappresenta un’onda piana limitata fra x = −∞ e x = (dν0/dγ0)t e il
cui fronte anteriore marcia con la velocità di gruppo
se invece α < 0:
⎧
⎨ 0, per t dν0/dγ0 − x > 0,
ψ =
⎩
vgr = dν0
; (2.437)
dγ0
e −i2πγ0x e i2πν0t , per t dν0dγ0 − x < 0
(2.438)
e rappresenta un’onda piana limitata fra x = (dν0/dγ0)t e x = +∞, il cui
fronte posteriore si muoverà con la velocità di gruppo (2.437).
2.31 e 2 hc ?
Consideriamo due elettroni A e B posti a distanza ℓ. L’etere circostante 44
sarà in qualche modo quantizzato. Possiamo in via d’approssimazione
44 Si osservi che l’Autore sembra già conoscere la nozione di polarizzazione del
vuoto.
169

Volumetto 2: 23 aprile 1928
schematizzarlo come un punto materiale muoventesi con la velocità di
gruppo che sarà uguale alla velocità della luce. Supponiamo, il che è
alquanto arbitrario, che detto punto si muova perpendicolarmente da A
a B e da B ad A. Supponiamo ancora che esso sia libero durante tutto il
suo movimento salvo agli estremi dell’intervallo AB nei quali esso inverte
la propria velocità per urto alternativamente contro l’elettrone A e contro
l’elettrone B. Se esso è quantizzato avremo:
e supponendo n = 1,
Ad ogni urto un elettrone riceve la spinta
e il numero di urti nell’unità di tempo sarà:
cosicché su ogni elettrone agisce una forza continua:
|p| = nh/2ℓ (2.439)
|p| = h/2ℓ. (2.440)
2 |p| = h/ℓ (2.441)
1
T
F = 2|p|
T
Se identifichiamo la (2.443) con la legge di Coulomb
si trae
c
= , (2.442)
2ℓ
hc
= . (2.443)
2ℓ2 F = e2
, (2.444)
ℓ2 e =
valore 21 volte più grande del vero.
hc
, (2.445)
2
170

Volumetto 2: 23 aprile 1928
2.32 L’equazione y ′′ + P y = 0
Se nell’equazione:
si pone
si trae:
y ′ =
y ′′ =
y ′′ + P y = 0 (2.446)
y = u exp i (k/u 2
) dx , (2.447)
u ′ + i k
u ′′ − k2
u 3
u ′′ − k2
exp i (k/u
u
2
) dx
exp i (k/u 2
) dx
Dati i valori iniziali y0 e y ′ 0 per x = x0, si ponga:
(2.448)
(2.449)
+ u P = 0. (2.450)
u3 u0 = |y0|, (2.451)
con che resta fissata la costante additiva (reale) per l’integrale che figura
nella (2.447) a meno di multipli di 2π. Si ponga quindi, nell’ipotesi che
y0 = 0:
y ′ 0 = y0
u
|y0|
′ 0 + i k
. (2.452)
|y0|
come prescrive la (2.448). Possiamo supporre u ′ 0 e k reali. Allora se P
è reale, l’integrazione della (2.446) con variabili complesse viene ridotta
all’integrazione della (2.450) con una variabile reale.
Si noti che, se y ′ 0/y0 è reale, allora k = 0 e la (2.450) si riduce a (2.446).
Data una soluzione qualunque della (2.450) con un valore arbitrario di
k, soddisferà non solo la funzione y nella (2.447), ma anche la sua coniugata:
y = u exp −i (k/u 2
) dx , (2.453)
cosicché la soluzione generale alla (2.446) è:
y = u A exp i (k/u 2
) dx + B exp −i (k/u 2
) dx . (2.454)
171

Se si pone
Volumetto 2: 23 aprile 1928
u1 = u/ √ k, (2.455)
si ricava:
u ′′
1 − 1
u3 1
+ u1 P = 0, (2.456)
e la soluzione generale sarà ancora del tipo:
y = u1
A exp i
dx/u 2 1
+ B exp −i
dx/u 2 1
. (2.457)
Segue che possiamo sempre ridurci al caso k = 1. Quando siano dati i
valori iniziali per y e y ′ , si potrà procedere come in principio, poiché la
(2.447) diventa:
y = √ k u1
i
dx/u 2 1
, (2.458)
e le costanti √ k, e costanti d’integrazione nonché i valori iniziali u1 0 e u ′ 1 0
si determineranno in base alle equazioni (2.451), (2.452), e (2.455), ovvero,
più comodamente si ricava una soluzione qualunque della (2.456), si fissa
in modo arbitrario la costante dell’integrale, e si determinano i coefficienti
A e B in guisa da soddisfare alle condizioni iniziali per y0 e y ′ 0.
Se P è lentamente variabile, si avrà in prima approssimazione che è
una soluzione della (2.456) la funzione:
u = P −1/4
e si otterranno le soluzioni generali di prima approssimazione:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
y
y
=
=
1
√P
√P
4√ A cos dx + B sin dx , P > 0
P
1
√−P
4√ A exp dx
−P
√−P
+B exp − dx , P < 0
La condizione che P sia lentamente variabile si precisa dicendo che
′
P
P ≪ 1.
172
(2.459)
(2.460)

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Per avere la seconda approssimazione possiamo sostituire a u ′′ nella (2.456)
il valore che si ottiene ritenendo verificata la (2.459). Cioè: si avrà in seconda
approssimazione:
− 1
4 P ′′ P −5/4 + 5
16 P ′2 P −9/4 − 1
u
3 + u P = 0. (2.461)
Ponendo in luogo di u, P −1/4 + ∆u e scrivendo per approssimazione:
la (2.461) diventa
da cui
1
u 3 P 3/4 − 3 P ∆u, (2.462)
− 1
4 P ′′ P −5/4 + 5
16 P ′2 P −9/4 + 4 P ∆u = 0, (2.463)
∆u = 1
u = P −1/4
Sempre in via d’approssimazione segue:
1
dx
u
1/2
= P
u2 (2.464)
1 + P P ′′ − (5/4) P ′2
16 P 3
. (2.465)
16 P ′′ P −9/4 − 5
64 P ′2 P −13/4
1 − P P ′′ − (5/4) P ′2
8 P 3
′
P √P
= − +
2 8P 3/2
1 −
e si avranno per y soluzioni del tipo:
y =
1
4√ 1 +
P
P P ′′ − (5/4) P ′2
16 P 3
sin
√P
× −
cos
′
P
+
8P 3/2
1 −
(2.466)
′2
P
32P 3
dx, (2.467)
′2
P
32P 3
dx , (2.468)
corrispondenti a P > 0. Per P < 0 si avranno soluzioni analoghe:
y =
1
4√ 1 +
−P
P P ′′ − (5/4) P ′2
16 P 3
P
× exp ± −
′
√−P
+
1 −
8(−P ) 3/2
′2
P
32P 3
dx
173
(2.469)

ovvero ponendo P1 = −P ,
y =
1
4√ 1 −
P1
× exp
Volumetto 2: 23 aprile 1928
±
P1 P ′′
P ′ 1
8P 3/2
1
1 − (5/4) P ′2
1
16 P 3 1
√P1
+
1 +
′2
P 1
32P 3
dx . (2.470)
1
Supponiamo P < 0 e quindi P1 > 0. La (2.446) si può scrivere:
Poniamo
avremo:
y ′ =
y ′′ =
z ′ + z √
P1
y ′′ − P y = 0. (2.471)
√P1dx
y = z exp
; (2.472)
√P1dx
exp
z ′′ + 2z ′ √
P1 + z P1 + P ′ 1
2 √
P1
z ′′ + 2z ′ √ P1 + z P ′ 1
2 √ P1
z ′′
2 √ P1 z
+ z′
z
1 P
+
4
′ 1
P1
√P1dx
exp
(2.473)
(2.474)
= 0 (2.475)
= 0. (2.476)
Per P lentamente variabile si può porre in prima approssimazione:
z = P −1/4
1 ; (2.477)
e attribuendo a √ P1, il doppio segno si ricade nelle formole (2.460).
Se y1 è una soluzione della (2.447), la soluzione generale è:
Infatti posto
dx
y = A y1 + B y1 . (2.478)
y2 = y1
174
dx
,
y 2 1
y 2 1

sarà:
e quindi
Volumetto 2: 23 aprile 1928
y ′ 2 = y ′ 1
y ′′
2 = y ′′
1
0 = y ′′
2 − y′′ 1
y1
dx
y 2 1
dx
,
y 2 1
+ 1
y1
y2 = y ′′
2 + P y2. (2.479)
2.33 Indeterminazione del potenziale
vettore e scalare
Supponiamo dati il campo elettrico e magnetico in una regime dello spaziotempo.
Il potenziale ϕ e C resta alquanto indeterminato e potremo porre:
H = rot C = rot C1 (2.480)
E = − grad ϕ − 1
c
∂C
∂t
= grad ϕ1 − 1
c
∂C1
, (2.481)
∂t
essendo ϕ1 = ϕ e C1 = C. In corrispondenza potremo scrivere due
equazioni d’onda per un elettrone:
−
−
W
c
W
c
Si può sempre porre:
e
+
c ϕ
2 +
pi +
i
e
c Ci
2 + m 2 c 2
2 ψ = 0 (2.482)
e
+
c ϕ1
2 +
i
pi + e
2 C1 i + m
c 2 c 2
2
ψ1 = 0. (2.483)
C1 − C = grad A (2.484)
ϕ1 − ϕ = − 1
c
175
∂A
, (2.485)
∂t

Volumetto 2: 23 aprile 1928
essendo A una funzione qualunque dello spazio e del tempo, se non si
impone la cosiddetta condizione di continuità: 45
altrimenti dovrà essere
Essendo
si deduce
W
W
c
i e
W exp
c A
i e
pi exp
c A
c
+ e
c ϕ1
2 + e
c ϕ1
div C + 1 ∂ϕ
c ∂t = div C1 + 1 ∂ϕ1
c ∂t
e che
pi + e
C1 i
c
pi + e
c C1
2 i
i
exp
grad 2 A − 1
c 2
= 0, (2.486)
∂ 2 A
= 0. (2.487)
∂t2
i e
= exp
c A
[W + e (ϕ1 − ϕ)] (2.488)
i e
= exp
c A
pi + e
c (C1
i − Ci) , (2.489)
e
c A
i e
exp
c A
i
exp
exp
e
c A
i e
c A
i e
= exp
c A
W
c
i e
= exp
c A
W
c
i e
= exp
c A
i e
= exp
c A
Segue che se ψ è una soluzione della (2.482), sarà
i e
ψ1 = ψ exp
c A
pi + e
e
+
c ϕ
+ e
c ϕ
c Ci
pi + e
c Ci
2
2
(2.490)
(2.491)
(2.492)
. (2.493)
(2.494)
una soluzione della (2.483). Con ciò resta dimostrata l’equivalenza delle
due Hamiltoniane, essendo lo spostamento di fase della ψ dato dalla (2.494)
privo di significato fisico, in quanto è identico nello stesso punto nello stesso
istante per tutte le autofunzioni.
45 Questa è meglio conosciuta come la condizione di gauge di Lorentz.
176

Volumetto 2: 23 aprile 1928
2.34 Sulla ionizzazione spontanea di un
atomo di idrogeno posto in una
regione a potenziale elevato
Sia un atomo di idrogeno posto nel centro comune di due sfere di raggi
R e R + dR. Poniamo sulla prima la carica −Q ′ /dR e sulla seconda la
carica (Q ′ /dR) − e (poniamo Q ′ = QR); facciamo quindi tendere dR a
zero. L’elettrone dell’atomo sarà sottoposto al potenziale
⎧
⎨
⎩
V = e/x − A, x < R
V = 0, x > R
(2.495)
essendo x la distanza dal centro, e A = Q 2 /R 2 . 46 Assumiamo per semplicità,
come unità di lunghezza il raggio del primo cerchio di Bohr, come
unità di carica e e come unità d’azione /2π. La nostra unità d’energia
sarà me 4 / 2 = 4πRy, e quindi 1/(4πRy) è la nostra unità di tempo, Ry
essendo la frequenza di Rydberg. Inoltre, scegliamo la massa dell’elettrone
come unità di massa. L’equazione di Schrödinger nel caso di quanti azimutali
zero e ponendo χ = ψ/x, sarà:
χ ′′ + 2
E − A + 1
χ = 0, x < R
x
χ ′′ + 2E χ = 0, x > R.
(2.496)
Poniamo E − A = E1. Se l’atomo è nello stato normale sarà E1 prossimo
a −1/2. 47 Porremo:
− E1 = 1
2
1
+ α, (2.497)
2
46 Per ragioni dimensionali, questo valore è sbagliato. La costante A può essere
fissata richiedendo la continuità del potenziale; in questo caso abbiamo A = e/R.
47 L’energia dello stato fondamentale di un atomo di idrogeno è −e 2 /2aB, dove
aB è il raggio di Bohr. Nelle unità adottate, questa energia equivale a −1/2.
177

Volumetto 2: 23 aprile 1928
e le equazioni (2.496) diventano
χ ′′
+ 1 − α + 2
χ = 0, x < R
x
χ ′′ + (2A − 1 − α) χ = 0, x > R.
Una soluzione della prima di queste equazioni per α = 0 è
Poniamo la soluzione per α = 0 sotto la forma
(2.498)
χ = x e −x . (2.499)
χ = x e −x + α y, (2.500)
e imponiamo ancora la condizione che sia y(0) = 0, y ′ (0) = 0. Sostituendo
nella (2.498), si trova
y ′′ = x e −x
+ 1 + α − 2
y, (2.501)
x
che mostra come y dipenda anche da α. Essendo state assegnate le condizioni
ai limiti la y è completamente determinata. Per grandi valori di x
essa assume l’espressione asintotica:
y = kα e x√ 1+α /x 1/ √ 1+α . (2.502)
Poiché abbiamo supposto α piccolo, potremo in via d’approssimazione
porre kα = k0, e k0 si calcolerà in base all’espressione asintotica della
funzione y che si annulla insieme con la sua derivata per x = 0 e obbedisce
all’equazione differenziale:
y ′′ = x e −x +
La quale espressione asintotica dovrà essere del tipo:
y = k0
1 − 2
y. (2.503)
x
e x
. (2.504)
x
Vediamo dunque di calcolare k0. La y si può sviluppare secondo la
potenza ascendente di x:
y = 1
6 x3 − 1
9 x4 + . . . + an x n + . . . , (2.505)
178

Volumetto 2: 23 aprile 1928
e i coefficienti dello sviluppo si calcolano dalla relazione ricorrente:
an = − (−1) n n − 2
n!
an−2 − 2an−1
+ . (2.506)
(n − 1)n
Essi possono allora porsi a partire da a2 sotto la forma:
a2n+1 =
1 2n + 2
n
(2n)! 2n + 1 −
1 + 1 1
+ + . . . +
3 5 1
a2n =
2n − 1
1
− n − 1 +
(2n − 1)!
(2.507)
1 1
+ + . . . +
3 5 1
.
2n − 1
(2.508)
Infatti, se le equazioni (2.507) e (2.508) sono valide fino a un determinato
valore di n (e si verifica direttamente che valgono per n = 1), la (2.508)
sarà ancora valida ponendo n+1 in luogo di n perché dalla (2.506) si ricava:
1 + 1
− (2n + 1)! a2n+2 = n n
−
n + 1 n + 1 3
− 1
1 +
n + 1
1 1
+ + . . . +
3 5 1
+
2n − 1
n2
n + 1
= n + 1 − 1 + 1 1
+ + . . . +
3 5 1
,
2n + 1
1
+ + . . . +
5 1
+ 2n
2n + 1
2n − 1
cioè la (2.508) è valida anche per a2n+2. Analogamente, applicando ancora
la (2.506), si ha:
2n + 1 2n + 1
(2n + 2)! a2n+3 = − 1 +
2n + 3 2n + 3
1 1
+ + . . . +
3 5 1
2n − 1
2
− 1 +
2n + 3
1 1
+ + . . . +
3 5 1
2n + 2 2n + 2
+ n +
2n − 1 2n + 3 2n + 3
2n + 2
= (n + 1)
2n + 3 −
1 + 1 1
+ + . . . +
3 5 1
,
2n + 1
di modo che la (2.507) vale anche per a2n+3 e quindi le equazioni (2.507)
e (2.508) sono sempre valide.
Lo sviluppo (2.505) è indefinitamente derivabile termine a termine. Si
può quindi porre:
y ′′′ + 3y ′′ + 3y ′ + y =
179
∞
0
br x r
(2.509)

e, in generale, sarà:
Volumetto 2: 23 aprile 1928
br = ar + 2(r + 1)ar+1 + 3(r + 1)(r + 2)ar+2
+ (r + 1)(r + 2)(r + 3)ar+3, (2.510)
ovvero, a causa delle equazioni (2.507) e (2.508):
Segue:
(2n + 1)! b2n = − 2n 2 (2n + 1) + 3n(2n + 1)(2n + 2)
− 3(n + 1)(2n + 1)(2n + 2) + (n + 1)(2n + 1)(2n + 4)
+ 2n(2n + 1) 1 + 1
+ . . . +
3 1
2n − 1
− 3(2n + 1) 2
1 + 1
+ . . . +
3 1
2n − 1
+ 3(2n + 1)(2n + 2) 1 + 1
+ . . . +
3 1
2n + 1
− (2n + 1)(2n + 3) 1 + 1
+ . . . +
3 1
= 1, (2.511)
2n + 1
(2n + 2)! b2n+1 = n(2n + 2) 2 − 3(n + 1)(2n + 2) 2
+ 3(n + 1)(2n + 2)(2n + 4) − (n + 2)(2n + 2)(2n + 4)
− (2n + 1)(2n + 2) 1 + 1
+ . . . +
3 1
2n − 1
+ 3(2n + 1) 2
1 + 1
+ . . . +
3 1
2n + 1
− 3(2n + 2)(2n + 3) 1 + 1
+ . . . +
3 1
2n + 1
+(2n + 2)(2n + 4) 1 + 1
+ . . . +
3 1
1
= 1 − . (2.512)
2n + 3
2n + 3
∞
br x r =
0
∞
1
= 1
x
x s−1
s! −
∞
1
x s
s!
180
∞
0
− 1
x 2
x 2s+1
(2s + 3)!
∞
1
x 2s+1
(2s + 1)!

Volumetto 2: 23 aprile 1928
= ex − 1
x
= ex
x − ex − e −x
2x2 = e x
1
x
− ex − e −x − 2x
2x 2
1
−
2x2
− 1
+ e 2x2 . (2.513)
Sostituendo nella (2.509) e scrivendo il primo membro sotto altra forma:
′′ ′ d ′′ ′ x 1
y + 2y + y + y + 2y + y = e −
dx
x
1
2x2
+ e −x e quindi:
1
,
2x2 (2.514)
y ′′ + 2y ′ + y = e −x
e 2x
1
−
x
1
2x2
+ 1
2x2
dx + C . (2.515)
e tenuto conto che per x = 0, abbiamo y = 0, y ′ = 0, y ′′ = 0:
cioè:
e quindi:
y ′′ + 2y ′ + y = e x 1
2x
′ d ′ x 1
y + y + y + y = e
dx
2x
y ′ + y = e −x
2x
e
2x −
1
2x
e tenuto conto delle condizioni ai limiti
e finalmente:
y = e −x
− e−x
− e−x
y ′ + y = − x e −x + e −x
x
− x +
x
0
e 2x − 1
2x
e tenuto ancora conto delle condizioni ai limiti:
y = − 1
2 x2 e −x + e −x
x
0
dx1
181
1
2x
1
2x
+ 1 , (2.516)
+ 1 , (2.517)
+ 1 dx + C . (2.518)
0
x1
0
e 2x − 1
2x
dx (2.519)
dx dx + C , (2.520)
e 2x2 − 1
dx2. (2.521)
2x2

Volumetto 2: 23 aprile 1928
A riprova calcoliamo y ′ e y ′′ :
y ′ = − x e −x + 1
2 x2 e −x − e −x
x
0
x
+ e −x
e 2x − 1
2x
dx1
x1
0
e 2x2 − 1
dx2
2x2
dx (2.522)
0
y ′′ = − e −x + 2x e −x − 1
2 x2 e −x + e −x
x x1 e
dx1
0
0
2x2 − 1
dx2
2x2
− 2 e −x
x
e
0
2x − 1
dx +
2x
ex − e −x
. (2.523)
2x
Ora
x
0
dx1
x1
0
e 2x2 − 1
dx2 = x
2x2
x
così che le formole precedenti diventano:
y = x e −x
x
e 2x − 1
2x
0
y ′ = (1 − x) e −x
x
y ′′ = (x − 2) e −x
x
segue che
0
dx − 1
4 ex +
e 2x − 1
2x
1
4
dx − 1
4 e2x + 1 1
x +
2 4 ,
1 1
+ x −
2 2 x2
e −x
(2.524)
e
0
2x − 1
dx +
2x
1
4 ex
+ − 1 3 1
− x +
4 2 2 x2
e −x
(2.525)
e
0
2x − 1
dx + e
2x
x
1 1
−
2x 4
+ e −x
− 1 3 5 1
− + x −
2x 4 2 2 x2
, (2.526)
y ′′ =
1 − 2
y + x e
x
−x , (2.527)
cioè l’equazione differenziale (2.503) è soddisfatta. Inoltre manifestamente:
come si desiderava. Per x → ∞ si ha:
x
0
e 2x − 1
2x
dx
y(0) = y ′ (0) = 0, (2.528)
182

= e 2x
Volumetto 2: 23 aprile 1928
1
4x
si deduce l’espressione asintotica di y:
1
+ + infinitesimi d’ordine superiore (2.529)
γx2 y = 1
8
da cui possiamo ottenere la costante k0 nella (2.504):
e x
, (2.530)
x
k0 = 1
. (2.531)
8
Avremo dunque che per grandi valori di x, la soluzione delle equazioni
(2.495) e (2.496) è approssimativamente:
χ = x e −x + α
8 ex√ 1+α /x 1/ √ 1+α . (2.532)
Ora noi vogliamo supporre R grande nella nostra unità, grande cioè
rispetto alla diminuzione atomiche. Avremo dunque:
χ(R) = R e −R + α
8
e R√ 1+α
R 1/√ 1+α
χ ′′ (R) = (1 − R) e −R + α
8
e R√ 1+α
R 1/√ 1+α
(2.533)
√1 1
+ α −
R √
. (2.534)
1 + α
Per ragioni che vedremo, ci interessano valori di α così piccoli che il secondo
termine nell’espressioni di χ(R) sia dello stesso ordine di grandezza
del primo. Cioè α deve essere dell’ordine di R 2 e −2R . Allora si può
sostituire dovunque, anche nell’esponente, l’unità a √ 1 + α; trascurando
naturalmente l’unità di fronte a R le formole superiori diventano:
χ(R) = R e −R + α
8
e R
R
χ ′′ (R) = − R e −R + α
8
e R
R .
(2.535)
L’equazione (2.532) prende una forma semplice per valori di x grandi, ma
minori di R:
χ = x e −x + α e
8
x
.
x
(2.536)
183

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Per x > R deve essere soddisfatta la seconda equazione in (2.496). Supponiamo
E > 0, perché altrimenti non si avrebbe ionizzazione spontanea.
Poiché
E = A − 1 1
− α, (2.537)
2 2
basta che sia A alquanto maggiore di 1/2. La seconda equazione in (2.496)
ammette soluzioni di tipo sinusoidali. Avremo dunque per x maggiore di
R:
χ =
R e −R + α
+ 1
√ 2E
8
e R
cos
R
√ 2E(x − R)
− R e −R + α
8
e R
sin
R
√ 2E(x − R). (2.538)
Poniamo:
B = A − 1
2 + 4R2 e −2R A − 1
. (2.539)
A
Le quantità E, B e A − 1/2 sono tutte molto prossime tra loro, e dove
compaiono a fattori si può senz’altro sostituire l’una all’altra per semplificare
le formole. Sotto i segni di seno e coseno occorre invece un’ulteriore
approssimazione; e poiché:
porremo:
E = B −
√ 2E = √ 2B − 1
√2B
4(A − 1)
A
4(A − 1)
indicheremo con γ il secondo termine diviso per 2π: 48
da cui
γ = − 1
2π
1
√ 2B
A
4(A − 1)
A
α = − 4π √ 2B γ −
R 2 e −2R − 1
α, (2.540)
2
R 2 e −2R + 1
2 α
; (2.541)
R 2 e −2R + 1
2 α
, (2.542)
8(A − 1)
A
R 2 e −2R . (2.543)
48 L’Autore considera questa γ come (la correzione a) il momento del sistema
preso in considerazione (nelle unità adottate).
184

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Sostituendo nella (2.538) e usando delle approssimazioni annunciate:
1
χ =
A R e−R √
2B e
−
4
R
R 2πγ
√
cos 2B + 2πγ (x − R)
√
+ −
sin 2B + 2πγ (x − R) (2.544)
√
2B
A R e−R − 1 e
4
R
R 2πγ
ovvero, sempre in via approssimata:
χ =
2
A R2 e−2R + A
8 R−2 e2R 4π2γ 2
√
× cos 2B + 2πγ (x − R) + z , (2.545)
essendo z un angolo che dipenda da γ. Se vogliamo le χ normalizzate
rispetto a dx, occorre moltiplicarle per un fattore N:
in modo che sia:
In effetti
N
u = N χ (2.546)
2
A R2 e −2R + A
8 R−2 e 2R 4π 2 γ 2 = 2. (2.547)
∞ +ɛ
lim
ɛ→0
0
χ(γ) dx
−ɛ
χ(γ + ɛ) dɛ = 1
. (2.548)
N 2
Avremo allora rispettivamente per x < R e per x > R le autofunzioni
normalizzate:
A e
u =
2
R
R
1 + π2A2 e
4
4R
γ2
R4
2x e −x + α e
4
x
e
x
iBt e 2πi√2Bγt u =
√
2 cos 2B + 2πγ (x − R) + z e iBt e 2πi√ (2.549)
2Bγt
.
Qui si è tenuto conto della dipendenza dal tempo e del fatto che E =
B + 2π √ 2Bγ. Si noti che nella prima delle (2.549) si è posto in evidenza
il fattore 2xe −x + (α/4)(e x /x) poiché:
R
2 R
0
2x e −x + α
4
e x
x
dx
0
185
2x e −x 2 dx 1, (2.550)

Volumetto 2: 23 aprile 1928
che rappresenta quindi per piccoli valori di x, l’autofunzione relativa allo
stato quasi stazionario 1s, normalizzata nel modo ordinario.
Supponiamo ora che inizialmente l’elettrone si trovi nello stato fondamentale.
La sua autofunzione godrà di simmetria sferica approssimativamente,
così che possiamo scrivere:
e per ciò che si è detto sarà al tempo 0:
ψ = U(x)
, (2.551)
x
U0 2x e −x . (2.552)
Sviluppiamo U0 secondo le u al tempo t = 0, che indicheremo con u0 . . . :
Avremo:
c =
∞
e poiché per t qualunque:
0
U0 =
∞
−∞
U0 u0 dx
U =
∞
−∞
c u0 dγ. (2.553)
A
2
1 + π2 A 2
4
e R
R
e4R γ2
R4 ; (2.554)
c u dγ, (2.555)
sostituendo le equazioni (2.551) e (2.554), troviamo per x minore di R :
U = e iBt A e2R
R 2
x e −x + α
8
e x ∞
x −∞
dove è semplice dimostrare (dalla (2.543)) che
α = −
A − 1
A 8R2 e −2R −
e 2πi√ 2Bγt dγ
1 + (π 2 A 2 e 4R /4R 4 )γ
√ 2B
A 8R2 e −2R
2 , (2.556)
(2.557)
coincide con α relativa allo stato fondamentale stazionario considerato qui;
la dimostrazione è simile a quella esposta in ciò che segue, condurrà alla
186

(2.564). 49 Ora
∞
−∞
Volumetto 2: 23 aprile 1928
e 2πi√ 2Bγt dγ
1 + (π 2 A 2 e 4R /4R 4 )γ 2
= 4
R R2 e −2R
∞
−∞
e 2πi√ 2Bγt d
Ae 2R γ/4R 2
2
1 + 4π Ae 2R γ/4R 22 ⎧
⎪⎨
2
A
=
⎪⎩
R2 e −2R 2
4R
exp
√ 2B
Ae2R t
, per t < 0
2
A R2
exp − 4R2√2B Ae2R t
, per t > 0.
(2.558)
Solo la soluzione per t > 0 ci interessa, perché noi vogliamo fissare le
condizioni iniziali rinunziando a qualunque ipotesi sul modo con cui si sono
prodotte. Avremo quindi per t > 0 e x < R:
U = x e −x + α e
8
x
e
x
iBt
exp −4R 2√ 2B t/Ae 2R
; (2.559)
per x > R avremo invece:
U = e iBt
A e
2
2
R ∞
R −∞
√
cos 2B + 2πγ (x − R) + z e 2πi√2Bγt dγ,
1 + (π2A2e4R /4R4 )γ2 (2.560)
U = e iBt e R
∞
1 − (πA
R −∞
√ 2Be 2R /2R 2 )γ
1 + (π 2 A 2 e 4R /4R 4 )γ 2
√
× cos 2B + 2πγ (x − R) e 2πi√2Bγt dγ
−
∞
√
2R 2
2B + (πAe /2R )γ
√
2B + 2πγ (x − R) e 2πi√
2Bγt
dγ
−∞
= e iBt e R
1 + (π 2 A 2 e 4R /4R 4 sin 2
)γ
R
e i√ ∞
2B(x−R)
+ e −i√ ∞
2B(x−R)
−∞
−∞
M − Ni
2
M + Ni
2
e 2πi[√ 2Bt+(x−R)]γ dγ
e 2πi[√ 2Bt−(x−R)]γ dγ
, (2.561)
49 Questa frase è aggiunta come nota posposta nel manoscritto originale.
187

essendo:
e poiché:
Inoltre: 50
∞
−∞
∞
=
−∞
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Volumetto 2: 23 aprile 1928
M = 1 − (πA√ 2Be 2R /2R 2 )γ
N =
1 + (π 2 A 2 e 4R /4R 4 )γ 2
√ 2B + (πAe 2R /2R 2 )γ
(2.562)
1 + (π 2 A 2 e 4R /4R 4 ; (2.563)
2
)γ
e 2πi[√ 2Bt±(x−R)]γ dγ
1 + π2 A 2
4
e 4R
γ2
R4 2 R
A
2
exp +
e2R 4 R
A
2
e2R [√
2Bt±(x − R)]
per √ 2B t ± (x − R) < 0
2 R
A
2
exp −
e2R 4 R
A
2
e2R [√
2Bt±(x − R)]
per √ 2B t ± (x − R) > 0.
γ e 2πi[√2Bt±(x−R)]γ dγ
1 + (π 2 A 2 e 4R /4R 4 )γ 2
⎧
⎪⎨
−i
=
⎪⎩
4
πA2 R 4
exp +
e4R 4 R
A
2
e2R [√
2Bt±(x − R)]
per √ 2B t ± (x − R) < 0
i 4
πA2 R 4
exp −
e4R 4 R
A
2
e2R [√
2Bt±(x − R)]
per √ 2B t ± (x − R) > 0.
(2.564)
(2.565)
Se ci interessano solo le soluzioni per x > R e t > 0, dovremo distinguere
due casi, secondo che √ 2Bt−(x−R) è positivo o negativo, essendo sempre
50 Nel manoscritto originale i segni dei risultati dell’integrale sono rovesciati;
qui vengono invece riportate le espressioni corrette.
188

Volumetto 2: 23 aprile 1928
√ 2Bt + (x − R). Avremo rspettivamente, tenuto conto che:
∞
−∞
M + Ni
2
e 2πi[√ 2Bt+(x−R)]γ dγ (2.566)
è identicamente nullo a causa delle equazioni (2.564) e (2.565) quando
√ 2B + x − R > 0: 51
U =
⎧
⎪⎨
8 R
A eR eiBt
exp −i arcsin (2A − 1)/2A − i √
2B(x − R)
× exp 4R 2 (x − R)/(Ae 2R ) − 4R 2√ 2B t/(Ae 2R
)
per √ 2Bt − (x − R) > 0
⎪⎩
0, per √ 2Bt − (x − R) < 0,
(2.567)
essendosi nuovamente usata dov’era lecito l’approssimazione 2B = 2A −
1. Per √ 2Bt − (x − R) > 0, indipendentemente dal piccolo fattore di
smorzamento temporale e di esaltazione spaziale, la (2.567) rappresenta
un’onda piana progressiva verso gli alti valori di x. Per valori abbastanza
piccoli di t e quindi di x − R, il flusso di elettroni per unità di tempo sarà:
F = 8R2√2B . (2.568)
Ae2R D’altra parte il fattore di smorzamento nel tempo si può mettere sotto la
forma:
e −t/2T , (2.569)
essendo T la vita media; 52 segue, come è naturale:
F = 1
Ae2R
, T =
T 8R2√ . (2.570)
2B
Gamov nelle sue deduzioni sulla vita media delle particelle α nei nuclei
radioattivi 53 ha postulato la dipendenza esponenziale del tempo, ha supposto
inoltre che a grande distanza dal nucleo l’autofunzione relativa alla
51 Si noti che l’Autore ha omesso un fattore 2 nella seguente espressione.
52 Si osservi che T è una costante di tempo piuttosto che la vita media.
53 L’Autore si riferisce qui a G. Gamov, Zeits. f. Physik 41 (1928) 204. Egli ha
già lavorato sulla teoria di Gamov anche in relazione alla sua tesi [E. Majorana,
La teoria quantica dei nuclei radioattivi; Relatore: E. Fermi; non pubblicata].
189

Volumetto 2: 23 aprile 1928
particella α rappresenti un’onda sferica progressiva e ha determinato T in
base alla (2.570). Le considerazioni che precedono mostrano come il suo
procedimento sia giustificato. Cadono le obiezioni di Kudar che sentiva
odor di paradosso nel fattore di esaltazione spaziale che entra in U per la
(2.567). Infatti la prima delle (2.567) vale solo fino alla distanza
x − R = √ 2B t, (2.571)
mentre al di là di U = 0, e quindi in tempi prossimi a t = 0, la (2.567) è
verificata solo in una regione vicina ai nuclei, mentre in progresso di tempo
vale, tenendo conto delle approssimazioni di calcolo, fino a una distanza
√ 2Bt = vt, poiché v è precisamente la velocità con cui vengono emesse
le particelle. Il fatto che il fronte dell’onda si presenti netto benché la
velocità di emissione a causa della vita finita dello stato quasi stazionario
è lievemente incerta, deriva unicamente dalle approssimazioni di calcolo.
Mostreremo fra poco come spingendo oltre l’approssimazione si possa mettere
in evidenza tale incertezza di v e determinare la curva delle velocità
indipendentemente dai generali principi statistici della nuova meccanica.
Le formole ora trovate suggeriscono interessanti considerazioni.
I. Verificato che la prima delle equazioni (2.567) vale per distanze brevi
fin quasi dai primi istanti, possiamo cercare fin dall’inizio una soluzione di
tal forma senza preoccuparci di quel che accade a distanza maggiori. È
il metodo di Gamov. In altre parole supponiamo che la dipendenza dal
tempo sia a qualunque distanza del tipo:
e 2πiνt e −t/2T = e 2πit(ν−1/4πiT ) , (2.572)
così che la ψ viene formalmente a rappresentare uno stato stazionario con
autovalore complesso. Ora la soluzione generale per gli stati stazionari è
per le equazioni (2.536) e (2.538) e tenendo conto della dipendenza del
tempo, con un’adatta normalizzazione approssimata
⎧
e
⎪⎨
U =
⎪⎩
iEt
2 x e −x + α e
8
x
, per x < R,
x
e iEt
R α e
2 +
eR 8
R
cos
R
√ 2E(x − R)
+ 1
√ −Re
2E
−R + α e
8
R
sin
R
√
2E(x − R) , per x > R.
(2.573)
190

Potremo anche scrivere per x > R:
U = e iEt
+
R α e
+
eR 8
R
R
Volumetto 2: 23 aprile 1928
R α e
+
eR 8
R
R
+ i
√ 2E
i
− √
2E
− R α
+
eR 8
− R α
+
eR 8
e R
R
Se vogliamo che manchi l’onda in arrivo dovrà essere:
da cui:
R α e
+
eR 8
R
R
α = −
i
− √
2E
− R α
+
eR 8
e R
e
R
i√2E(x−R) e −i√ 2E(x−R)
e R
R
. (2.574)
= 0, (2.575)
√ 2E + i
√ 2E − i 8R 2 e −2R , (2.576)
e ponendo in prima approssimazione √ 2E = √ 2A − 1:
e quindi:
α = −
E = A − 1
2
A − 1
A 8R2 e −2R √
2A − 1
− i 8R
A
2 e −2R
(2.577)
√
1
2A − 1
− α = B + i 8R
2 A
2 e −2R , (2.578)
oppure, nello stesso ordine di approssimazione:
Segue per x < R:
E = B + i
√ 2B
A 4R2 e −2R . (2.579)
U = e iBt
2 x e −x
A − 1
−
A R2 e −2R √
2B
+ i
A R2 e −2R
x
e
x
× e −
√
2B
A 4R2e −2R
, (2.580)
come si era già trovato. Anche per questa via si può quindi determinare la
191

vita media T : 54
Volumetto 2: 23 aprile 1928
T = A
√ 2B
e 2R
. (2.581)
8R2 II. L’espressione della vita media T mostra come essa sia proporzionale a
A/ √ 2B, in cui B ricordiamo è l’energia media dell’elettrone, o ciò che è
lo stesso, l’energia cinetica media che esso possiede quando attraversa la
sfera di raggio R. E poiché, con grandissima approssimazione B A−1/2,
avremo anche che la vita media è proporzionale a (B + 1/2)/ √ 2B. Se
facciamo A = 1/2, cioè uguale proprio al potenziale di ionizzazione sarà
B = 0, e la vita media diventa naturalmente infinita. Ciò che sorprende è
però che al crescere di B le probabilità di ionizzazione nell’unità di tempo
crescono fino a toccare il massimo per un determinato valore di B e poi
decrescono tendendo a zero per B che tende all’infinito. Si ha il massimo
per B = 1/2 e quindi A = 1, cioè al doppio del potenziale di ionizzazione.
La vita media minima sarà dunque:
T = e2R
. (2.582)
8R2 La spiegazione del paradosso risiede nel fatto generale che, se esiste una
superficie netta di separazione fra due regioni a potenziale diverso, essa si
comporta come superficie riflettente non solo per le particelle provenienti
dalla regione a più bassa energia potenziale, ma anche per quelle provenienti
dalla parte opposta, purché l’energia cinetica, positiva o negativa, sia
in valore assoluto piccola rispetto al salto brusco dell’energia potenziale.
III. Abbiamo visto che l’energia E dell’elettrone non è rigorosamente determinata.
Possiamo parlare di probabilità che essa sia compresa tra E
e E + dE o, ciò che è lo stesso, di probabilità che la velocità di uscita
dell’elettrone sia compresa tra v e v + dv. Avremo per la (2.541)
v = √ 2E √ 2B + 2π γ (2.583)
dv 2π dγ, (2.584)
54∗ T si trova senza difficoltà in base alla (2.543):
A − 1
α =
A 8R2e −2R √
2B
− i
A 8R2e −2R
α coincide con α relativo allo stato parzialmente stazionario considerato in questa
pagina. La dimostrazione è analoga a quella che richiede la (2.564).
192

Volumetto 2: 23 aprile 1928
ma la probabilità che γ sia compreso fra γ e γ + dγ è c 2 dγ ; dalla (2.554),
la probabilità che v sia compreso tra v, v + dv sarà:
(Ae 2R /4πR 2 )dv
1 + (π 2 A 2 e 4R /4R 4 2
)γ
(Ae 2R /4πR 2 )dv
1 + (A 2 e 4R /16R 4 ) (v − √ . (2.585)
2
2B)
La curva delle energie è naturalmente della stessa forma in prima approssimazione.
La probabilità per unità d’energia è:
Ae 2R /4π √ 2BR 2
1 + (A 2 e 4R /32BR 4 ) (E − B) 2
=
=
K1/π
1 + K 2 2 (E − B) 2
1/πK
1 + (E − B) 2 2 . (2.586)
/K
Come faremo vedere in seguito, a proposito dei fenomeni radioattivi, si
trova sempre la stessa curva quando si ha a che fare con stati quasi stazionari,
qualunque sia la distribuzione (con simmetria sferica) del potenziale. Il
parametro K che ne definisce l’ampiezza, è legato alla vita media dalla
relazione
K = 1
= τ, (2.587)
2T
e, ricordando che nelle nostre unità h = 2π, passando alle unità solite:
K =
, (2.588)
2T
conforme qualitativamente alle generali relazioni d’incertezza.
IV. Spingiamo oltre l’approssimazione per x > R. Manteniamo la definizione
(2.542) di γ. Avremo:
E = B + 2π √ 2B γ (2.589)
e in luogo della (2.541), in seconda approssimazione:
√ 2E = √ 2B + 2π γ − 2π 2
√ 2B γ 2
e in luogo della (2.561) dovremo scrivere:
U = e iEt e R
e
R
i√ ∞
2B(x−R)
−∞
193
M + Ni
2
(2.590)

Volumetto 2: 23 aprile 1928
× exp 2πi[ √ 2Bt + (x − R)]γ − 2π2iγ 2
√ (x − R) dγ
2B
+ e −i√ ∞
2B(x−R)
−∞
M − Ni
2
× exp 2πi[ √ 2Bt − (x − R)]γ + 2π2iγ 2
√ (x − R)
2B
dγ . (2.591)
2.35 Urto di una particella α contro un
nucleo radioattivo
Consideriamo una particella α in punto di essere emessa da un nucleo
radioattivo, come formante un’onda quasi stazionaria. Quest’onda, come
ha mostrato Gamov, si disperde praticamente all’infinito dopo un certo
tempo; in altre parole la particella si trova instabilmente in prossimità del
nucleo e dopo qualche tempo finisce per allontanarsene indefinitamente.
Noi cominceremo a studiare minutamente i caratteri di quest’onda quasi
stazionaria, per poi affrontare il problema inverso a quello propostosi da
Gamov: 55 determinare la probabilità che una particella α urtando, in date
condizioni contro un nucleo che ha subito una trasformazione radioattiva
α, venga da esso catturata in modo da ricostituire un nucleo della sostanza
che precede nella genealogia radioattiva. La questione è stata accennata
poco seriamente da Kudar, e si ricollega direttamente alla nota ipotesi
secondo la quale in condizioni fisiche affatto differenti da quelle che siamo
avvezzi a considerare, può aver luogo un processo di reintegrazione degli
elementi radioattivi; dai più semplici ai più complessi.
Supponiamo, seguendo Gamov, che il quanto azimutale della particella
a contatto del nucleo sia nullo, così che venga realizzata la simmetria sferica.
Prescindiamo ancora dal trascinamento del resto nucleare, e ciò solo per
semplicità di discorso perché il tenerne conto non presenta alcuna difficoltà;
anzi ai risultati esatti si perviene senz’altro con ovvie modificazioni delle
55 Di nuovo l’Autore si riferisce a G. Gamov, Zeits. f. Physik 41 (1928) 204:
vedi la nota precedente.
194

Volumetto 2: 23 aprile 1928
formole finali. Ponendo al solito ψ = χ/x, avremo per gli stati stazionari
a simmetria sferica:
d 2 χ 2m
+ (E − U) χ = 0. (2.592)
dx2 2 Oltre una distanza R, abbastanza grande che potremo supporre dell’ordine
delle dimensioni atomiche, U praticamente si annulla. La funzione χ
sarà allora simmetrica per E > 0. La chiarezza delle nostre dimostrazioni
richiede che per x > R si possa ritenere rigorosamente U = 0, ma sarà
chiaro che nessuna sostanziale causa di errore potrà essere per tal via introdotta
nei nostri calcoli. Consideriamo per ora le χ come funzioni solo
del posto e le supposizioni, come è lecito, reali. Conveniamo ancora di
normalizzare in guisa che:
R
0
χ 2 dx = 1. (2.593)
Si immagini ora che esista uno stato quasi stazionario e parimenti che si
possa costruire una funzione u0 la quale si annulli per x > R, soddisfi alla
condizione: R
|u0| 2 dx = 1, (2.594)
0
e inoltre nei punti in cui u0 è grande obbedisca 56 all’incirca all’equazione
differenziale (2.592). Questa funzione u0 sarà adatta a rappresentare la
particella α nell’istante iniziale. Potremo svilupparla secondo le funzioni χ
che si ottengono facendo variare E entro un tempo ristretto. Porremo:
E = E0 + W. (2.595)
La possibilità dello stato quasi stazionario sarà rivelata dal fatto che per
x < R le funzioni χ, normalizzate secondo la (2.593), e le loro derivate
sono piccole quando W è piccolo.
In prima approssimazione potremo porre per x < R:
χW = χ0 + W y(x)
χ ′ W = χ ′ 0 + W y ′ (x)
(2.596)
56∗ Per un valore approssimativamente determinato di t, mentre è quasi reale.
195

Volumetto 2: 23 aprile 1928
e ciò, per poco che U abbia un andamento ragionevole, con approssimazione
esuberante e per tutto il campo di variabilità di W che ha praticamente
interesse. In particolare per x = R:
χW (R) = χ0(R) + W y(R)
χ ′ W (R) = χ ′ 0(R) + W y ′ (R).
(2.597)
E ricordando che per x > R la (2.592) si riduce semplicemente nella forma
si avrà per x > R
d 2 χW
dx 2
2m
+ (E0 + W ) χW = 0 (2.598)
2 χW = (a + bW ) cos 1
2m(E0 + W )(x − R)
essendosi posto:
a1 =
+ (a1 + b1W ) sin 1
2m(E0 + W )(x − R),
a = χ0(R), b = y(R)
χ ′ 0(R)
2m(E0 + W ) , b1 =
y ′ (R)
2m(E0 + W ) .
(2.599)
(2.600)
Come si vede a1 e b1 non sono rigorosamente costanti; ma nell’ordine
d’approssimazione entro cui il nostro problema è determinato possiamo
considerarle come tali e sostituire alle ultime dalla (2.600):
a1 = χ′ √
0(R)
, b1 =
2mE0
y′ (R)
√ . (2.601)
2mE0
Inoltre, poiché E0 non è completamente determinato, possiamo sceglierlo
in guisa da semplificare la (2.599); possiamo allo stesso scopo spostare R
di una frazione della lunghezza d’onda h/ √ 2mE0. Si troverà allora che è
sempre possibile sostituire alla (2.599) l’espressione più semplice:
χW = α cos 2m(E0 + W ) (x − R)/
+ βW sin 2m(E0 + W ) (x − R)/ .
196
(2.602)

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Porremo:
2m(E0 + W ) / = √ 2mE0 / + 2π γ = C + 2π γ, (2.603)
e sarà in prima approssimazione:
2π γ
W
2E0/m
W
= , (2.604)
v
essendo v la velocità (media) con cui le particelle vengono espulse. Sostituendo
nella (2.602) avremo approssimativamente:
essendo:
χW = α cos(C + 2πγ)(x − R)
+ β ′ γ sin(C + 2πγ)(x − R),
Le χW sono per ora normalizzate in modo che
(2.605)
β ′ = β 2π 2E0/m. (2.606)
R
χ
0
2 W dx = 1.
Indicheremo con ηW le stesse autofunzioni normalizzate rispetto a dγ. Otteniamo
sempre per x > R:
ηW =
2
α 2 + β ′2 γ 2
[α cos(C + 2πγ)(x − R)
+ β ′ γ sin(C + 2πγ)(x − R) =
2
χW .
α2 + β ′2γ 2
(2.607)
Sviluppiamo ora u0, che rappresenta come si è detto la particella α
nell’istante iniziale, secondo le ηW ; avremo:
u0 =
∞
e poiché u0 = χW per x ≤ R e perciò
Kγ =
∞
0
ηW u0 dx =
Kγ ηW dγ (2.608)
−∞
2
α 2 + β ′2 γ 2
197
R
χ
0
2 W dx =
2
α 2 + β ′2 γ 2 ,
(2.609)

sostituendo nella (2.608) otteniamo
Volumetto 2: 23 aprile 1928
u0 =
∞
−∞
4 χW
α2 + β ′2 dγ. (2.610)
γ2 Ora, per piccoli valori di x, le χW coincidono tra loro e coincidono del pari
con u0; dovrà quindi essere:
1 =
∞
−∞
4
α 2 + β ′2 γ
4π
dγ = ± , (2.611)
2 αβ ′
(si riconosce senza difficoltà che dovremo scegliere il segno inferiore); cioè
esiste necessariamente la relazione:
β ′ = − 4π
α
(2.612)
A causa della (2.604), introducendo la dipendenza dal tempo avremo approssimativamente:
u = e iEt/
∞ 4χW exp 2πi
2E0/m γt
α 2 + 16π 2 γ 2 /α 2 dγ. (2.613)
−∞
Per piccoli valori di x, confondendosi le χW con u0 si avrà:
u = u0 e iE0t/
exp −α 2
2E0/m t/2 , (2.614)
ovvero
essendo T la vita media. Si ricava:
T =
u = u0 e iE0t/ e −t/2T , (2.615)
1
α 2 2E0/m
1
=
α2 . (2.616)
v
Così, ricordando la (2.612), tanto α che β ′ vengono espressi in funzione
soltanto di T :
α =
±1
√ vT =
±1
4 2(E/m)T 2
(2.617)
β ′ = ∓4π √ vT = ∓4π 4 2(E/m)T 2 . (2.618)
198

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Si rileverà che ad uno stato stazionario corrisponde nella teoria classica
un’orbita di tipo iperbolico. Il periodo di rivoluzione, o meglio l’intervallo
fra i due passaggi attraverso la sfera di raggio r è data da
PW =
e il valore massimo si ha per W = 0:
PW = 4
α 2 v
4
(α2 + β ′2γ 2 , (2.619)
)v
= 4T. (2.620)
La probabilità che si presentino i singoli stati stazionari sono, per la (2.609),
proporzionali a detti periodi di rivoluzione, come un ragionamento puramente
classico farebbe prevedere. Si può ancora determinare T ragionando
classicamente. Infatti se una particella si trova nell’orbita W e, per ipotesi,
all’interno della sfera di raggio R, vi rimane ancora, in media, per un tempo
TW = (1/2)PW = (2/v)/(α 2 + β ′2 γ 2 ), e il valore medio di TW sarà:
∞
TW =
T
0
2 W dγ
∞
0
TW dγ
= 1
α 2 v
= T. (2.621)
Si deve però avvertire che se si spingesse oltre il ragionamento analogico fino
a determinare la forma della curva di sopravvivenza, si andrebbe incontro
a un risultato errato.
L’autofunzione u ha l’espressione nella (2.614) solo per piccoli valori di
x. Trascurando ciò che avviene per x non molto piccolo, ma minore di R,
e venendo senz’altro al caso x > R, si ha per le (2.606) e (2.610):
u = e iE0t/
+
∞
0
∞
0
4α cos(C + 2πγ)(x − R)
α 2 + β ′2 γ 2
4β ′ γ sin(C + 2πγ)(x − R)
α 2 + β ′2 γ 2
e 2πivγt dγ
e 2πivγt
dγ , (2.622)
in cui α e β ′ dipendono da T secondo le equazioni (2.617), (2.618).
(2.622) si può scrivere:
La
u = e iE0t/
e iC(x−R)
∞
(2α − 2iβ ′ γ)
+ e −iC(x−R)
0 α2 + β ′2γ 2 e2πi(vt+x−R)γ dγ
∞
(2α + 2iβ
0
′ γ)
α2 + β ′2γ 2 e2πi[vt−(x−R)]γ
dγ
199
(2.623)

Volumetto 2: 23 aprile 1928
e ricordando che α e β ′ sono di segno opposto e che per t > 0 e x > R,
sarà vt + x − R > 0, si trova che il primo integrale si annulla, mentre il
secondo vale:
∞
0
=
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(2α + 2iβ ′ γ)
α 2 + β ′2 γ 2 e2πi[vt−(x−R)]γ dγ = 2
∞
0
e 2πi[vt−(x−R)]γ
α − iβ ′ γ
− 4π
β ′ e2π(α/β′ )[vt−(x−R)] = − 4π
β ′ e−(α2 /2)[vt−(x−R)]
0
dγ
(2.624)
Sostituendo nella (2.625) e ricordando che per la (2.603) C = mv/, si ha
infine:
⎧
⎨ α e
u =
⎩
iE0t/ −imv(x−R)/ −t/2T (x−R)/(2vT )
e e e
0
(2.625)
per vt − (x − R) > 0 e per vt − (x − R) < 0.
Vogliamo ora supporre che il nucleo abbia perduto la particella α; ciò
significa che sarà inizialmente u0 = 0 in prossimità del nucleo. Si tratta
di valutare la probabilità che il nucleo riassorba una particella α quando
venga bombardato con un fascio parallelo di particelle. Per caratterizzare il
raggio incidente, dovremo assegnare l’intensità per unità d’area, l’energia
d’ogni particella e la durata del bombardamento. Ora le sole particelle
che abbiano elevata probabilità di essere assorbite sono quelle che hanno
un’energia prossima a E0, con un’incertezza dell’ordine di h/T ; d’altra
parte la durata τ del bombardamento, per la chiara interpretabilità dei
risultati, deve essere piccola di fronte a T ; segue che l’energia delle particelle
restanti non può essere determinata, per la relazione d’incertezza, che con
un errore molto più grande di h/T . In luogo di parlare di intensità per
unità d’area, dovremo dunque parlare di intensità per unità d’area e unità
di energia per valori prossimi a E0. Sia N il numero delle particelle passate
in tutta la durata τ del bombardamento per unità d’area e di energia.
Sia inizialmente l’onda piana incidente compresa fra due piani paralleli
di ascissa (distanza dal nucleo) d1 e d2 = d1 + ℓ. Per l’ipotesi fatta che
l’onda sia inizialmente piana sarà:
u0 = u0(ξ), (2.626)
200

Volumetto 2: 23 aprile 1928
essendo ξ l’ascissa di un piano generico parallelo ai primi due. Per ξ < d1
oppure ξ > d2, sarà u0 = 0. Vogliamo inoltre supporre d1 > R ed anche,
ciò che non implica nuove restrizioni,
h
ℓ = ρ
m 2E0/m
= ρ h
mv
= ρ λ, (2.627)
essendo ρ un numero intero e λ la lunghezza d’onda della particella α
emessa. Possiamo sviluppare ψ0 tra d1 e d2 in serie di Fourier e quindi in
una somma di termini del tipo
kσ e σ2πi(ξ−d1)/ℓ
(2.628)
con σ intero. I termini con σ negativo rappresentano, grosso modo, particelle
che si allontanano; possiamo supporli nulli. Fissiamo l’attenzione sul
termine
kρ e ρ2πi(ξ−d1)/ℓ imv(ξ−d1)/
= kρ e (2.629)
e poniamo 57
u0 = ψ0 + kρ e imv(ξ−d1)/ . (2.630)
Le autofunzioni di una particella libera, mobile in direzione normale all’onda
in arrivo, sono normalizzate rispetto a dE: 58
ψσ =
1
2hE/m e i√ 2mE(ξ−d1)/ . (2.631)
Si deve intendere che E vari due volte tra zero e infinito attribuendo al
radicale che figura all’esponente una volta il segno positivo e una volta il
negativo; a noi interessano solo le autofunzioni al radicale positivo, le quali
rappresentano particelle in marcia verso le ξ decrescenti. Possiamo porre:
e sarà
ψ0 =
cE =
∞
0
cE ψρ dE (2.632)
d2
ψ0 ψ ∗ ρ dξ. (2.633)
d1
57 Si noti che l’Autore ha diviso la funzione d’onda della particella incidente
in un termine corrispondente all’energia principale E0 (il secondo termine nella
(2.630)) più un altro termine che sarà sviluppato a partire dalla (2.632).
58 Nel manoscritto originale queste autofunzioni sono indicate con ψρ, ma qui,
per chiarezza, saranno indicate con ψσ.
201

In particolare:
cE0
=
=
Volumetto 2: 23 aprile 1928
d2
ψ0
d1
kρℓ
√ hv +
e poiché evidentemente:
si trae:
1
√ hv e −imv(ξ−d1)/ dξ
d2
ψ0
d1
1
√ e
hv −imv(ξ−d1)/ kρℓ
dξ = √hv . (2.634)
N = c 2 E0 , (2.635)
N = k2 ρℓ 2
. (2.636)
hv
Immaginiamo ora di sviluppare u0 secondo le autofunzioni relative al
campo centrale prodotte dal resto nucleare. A noi interessa solo quella
parte dello sviluppo che si riferisce alle autofunzioni dotate di simmetria
sferica con autovalore molto prossimo a E0, perché, nelle nostre ipotesi, solo
esse assumono grandi valori in prossimità del nucleo. Di tali autofunzioni
conosciamo l’espressione per x > R data dalle equazioni (2.607), (2.617),
(2.618). In realtà le ηW date dalla (2.607) sono le autofunzioni relative
al problema ridotto in una dimensione. Per avere le autofunzioni spaziali,
sempre normalizzate rispetto a dγ, si dovrà porre:
Dovremo dunque porre:
e sarà
pγ =
Possiamo porre:
gW =
ψ0 =
gW = ηW
√ . (2.637)
4πx
∞
0
dS gW ψ0 =
pγ gW dγ + . . . (2.638)
d2
d1
2π x gW dx
x
d1
ψ0 dξ. (2.639)
1
√ Aγ e
4πx
i(C+2πγ)(x−d1)
−i(C+2πγ)(x−d1)
+ Bγ e , (2.640)
202

essendo per la (2.607).
Aγ =
Bγ =
Volumetto 2: 23 aprile 1928
α − iβ ′ γ
α 2 + β ′2 γ 2 ei(C+2πγ)(d1−R)
α + iβ ′ γ
α 2 + β ′2 γ 2 e−i(C+2πγ)(d1−R) .
(2.641)
Ora noi possiamo supporre d1, e quindi d2, grandi quanto si vuole; non così
ℓ = d2 − d1 perché la durata del bombardamento, che è dell’ordine di ℓ/v,
deve essere trascurabile di fronte a T . Sarà allora trascurabile, in senso
assoluto, 2πγℓ perché 2πγ è dell’ordine di α 2 , ovvero (2.616) di 1/vT . Per
d1 < x < d2 allora è possibile riscrivere la (2.640) come:
g W =
1
√ 4πx
Aγ e imv(x−d1)/ −imv(x−d1)/
+ Bγ e
, (2.642)
ferme restando le posizioni (2.641).
Sostituiamo nella (2.639), e teniamo conto delle equazioni (2.630) e
(2.636). Avremo semplicemente:
essendo
pγ = 2πBγ
√
4π
=
Sostituendo nella (2.638),
d2
e in un istante qualunque:
d1
e −imv(x−d1)/ dx
hBγkρℓ
i √ 4π m v = Bγh3/2√N i √ 4π m √ v
ψ0 = q
ψ = e iE0t/ q
x
d1
e imv(ξ−d1)/ dξ
= q Bγ, (2.643)
q = h3/2N 1/2
i m v1/2√ . (2.644)
4π
∞
0
∞
e tenendo conto delle equazioni (2.637) e (2.607):
ψ = e iE0t/
q
√4πx
∞
0
0
BγgW dγ + . . . (2.645)
Bγ gW e 2πivγt dγ + . . . , (2.646)
2Bγ
α 2 + β ′2 γ 2 χW e2πivγt dγ + . . . (2.647)
203

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Vogliamo ora indagare il comportamento di ψ in prossimità del nucleo; i
termini non scritti del suo sviluppo possono dare ivi un contributo notevole
solo per un tempo breve dopo il passaggio dell’onda; almeno se escludiamo
che esistano altri stati quasi stazionari oltre quello in esame. Trascurandoli,
avrà ψ simmetria sferica in prossimità del nucleo. Porremo:
ψ =
u
√ 4πx , (2.648)
in modo che il numero di particelle eventualmente catturate sarà espresso
da
|u 2 | dx (2.649)
(esteso fino a una distanza ragionevole, ad es. R). Sostituendo nella (2.647),
avremo, badando che per x piccolo, è approssimativamente χw = χ0:
u = q χ0 e iE0t/
∞
0
2
α − iβ ′ γ e2πi[vt−(d1−R)]γ dγ (2.650)
e poiché come si è già notato αβ ′ < 0, e ponendo d = d1−R, dalle equazioni
(2.617), avremo:
⎧
⎪⎨ q α χ0 e
u =
⎪⎩
iE0t/
t − d/v
−
e 2T = q α e −iCd t − d/v
−
e 2T , per t > d
v
0, per t < d
v
(2.651)
Il significato di queste formole è chiarissimo: il raggio di particelle α, che
abbiamo supposto di breve durata, investe il nucleo nell’istante t = d/v,
e vi è la probabilità |qα| 2 che una particella sia catturata (naturalmente
dovrà essere q 2 α 2 ≪ 1). Dopo di ciò, cessa l’azione del raggio incidente
e se una particella è stata catturata, viene espulsa dopo un certo tempo
secondo le leggi dei fenomeni radioattivi.
Ponendo n = |qα| 2 , si ha dalle (2.616) e (2.644)
n = 2π2 3
m2v2 N, (2.652)
T
cioè le probabilità d’assorbimento sono del tutto indipendenti da qualunque
ipotesi sull’andamento del potenziale in prossimità del nucleo e sono
204

Volumetto 2: 23 aprile 1928
legate alla vita media T . 59
Alla formola (2.652), che è stata tratta da considerazioni esclusivamente
meccaniche, si arriva anche per via termodinamica. Si immagini
uno dei nostri nuclei radioattivi immerso in un’atmosfera di particelle α in
agitazione termica. Nell’ordine d’approssimazione in cui abbiamo trattato
fin qui il problema, si può ritenere il nucleo fermo. Una particella in contatto
con esso si trova in uno stato quantico di peso statistico semplice,
essendosi supposta la simmetria sferica; il fatto che tale stato quantico, di
energia E0, non sia rigorosamente stazionario, ma abbia una vita media
finita, deve considerarsi, come in tutti i casi analoghi, quale un effetto di
59 Il manoscritto originale continua con due lunghe frasi che sono state, tuttavia,
cancellate dall’Autore. La prima è la seguente:
“Poiché sono assorbite solo le particelle d’energia prossima a E0, possiamo ammettere,
cadendo un po’ nella metafisica, che ad ogni energia E0 +W corrisponda
un diverso coefficiente d’assorbimento ℓW , che ℓW sia proporzionale alla probabilità
che una particella nello stato quasi stazionario abbia l’energia E0 + W ; cioè
per le equazioni (2.604), (2.612), (2.616) e (2.609):
ℓW =
D
1 + 4T 2 W 2 2 . (2.653)
/
e poiché le particelle incidenti per unità d’area e di energia compresa tra (E0 +W )
e (E0 + W ) + dW sono in numero di NdW , dovrà essere:
∞
n = N ℓW dW = N D
−∞
π
, (2.654)
2T
da cui, confrontando con (2.652),
D = 1
π
h 2
m 2 v
λ2
= , (2.655)
2 π
che dà in forma semplicissima la sezione di assorbimento per le particelle di energia
E0, cioè per quelle che hanno il massimo coefficiente d’assorbimento. Ponendo:
la (2.652) diventa:
N ′ = N π
, (2.656)
2T
n = λ2
π N ′ , (2.657)
che significa che l’assorbimento di N ′ di particelle di energia E0 è equivalente
all’assorbimento di N di particelle per unità di energia.”
Il secondo paragrafo non verrà qui riprodotto, in quanto appare essere incompleto.
205

Volumetto 2: 23 aprile 1928
secondo ordine. Se la densità e temperatura del gas di particelle α è tale
che ne esistono D per unità di volume e unità di energia, prossima a E0,
ne esisteranno per unità di volume e in un intervallo di energia dE:
e indicando con p la quantità di moto, sarà:
D dE (2.658)
p = √ 2mE0 (2.659)
m
dp = dE, (2.660)
2E0
nelle quali si è scritto sotto i segni di radice E0 in luogo di E appunto
perché dobbiamo considerare le particelle di energia prossime a E0. Le
DdE particelle occupano nello spazio ordinario un volume 1 e in quello dei
momenti il volume compreso tra due sfere di raggi p e p+dp; cioè occupano
nello spazio delle fasi il volume:
4π p 2 dp = 4π m 2 2E0/m dE = 4π m 2 v dE. (2.661)
In tale volume è compreso un numero di stati quantici pari a
m 2 v
2π2 dE (2.662)
3 Segue che in ogni stato quantico di energia prossima a E0, si trovano in
media
D 2π2 3
m2 (2.663)
v
particelle. Altrettanto se ne troveranno in media nel nucleo, purché l’espressione
(2.663) abbia un valore molto piccolo di fronte all’unità, ché
solo in tal senso è lecito trascurare l’interazione fra le particelle. Poiché le
particelle nel nucleo hanno una vita media T , ne saranno espulse nell’unità
di tempo
n = 2π2 3 D
m2 (2.664)
vT
e altrettante ne debbono essere assorbite per l’equilibrio. Ora D particelle
per unità di volume e di energia equivalgono riguardo alla probabilità di
urto con il nucleo e quindi di assorbimento da parte di esso, a un fascio
206

Volumetto 2: 23 aprile 1928
parallelo di N = Dv particelle per unità d’area, di energia e di tempo.
Sostituendo si trova:
n = 2π2 3
N, (2.665)
che è appunto la formola (2.652).
m 2 v 2 T
2.36 Potenziale ritardato
(Si veda il paragrafo 1.2.)
Consideriamo una soluzione periodica della (1.21) e sia:
H = u sin ωt, (2.666)
essendo u indipendente dal tempo. Varrà l’equazione:
e ponendo k 2 = ω 2 /c 2 , troviamo
e la (1.33) diventa:
e quindi:
u = 1
4π
u sin ωt = 1
4π
cos ωr
c
grad 2 u + ω2
u = 0 (2.667)
c2 grad 2 u + k 2 u = 0. (2.668)
sin ω(t − r/c) u cos ϕ + r ∂u
+ ωr
c
∂n
dσ
u cos ϕ cos ω(t − r/c) , (2.669)
r2
u cos ϕ + r ∂u
+
∂n
ωr
ωr dσ
u cos ϕ sin .
c c r2 (2.670)
Se le distanze che si considerano (r) sono grandi rispetto alla lunghezza
d’onda si avrà semplicemente:
u = 1
1 ∂u ωr ω ωr
cos + u cos ϕ sin dσ, (2.671)
4π r ∂n c c c
207

Volumetto 2: 23 aprile 1928
O
σ
ovvero, introducendo la lunghezza d’onda:
u = 1
1 λ ∂u 2πr
cos
2λ r 2π ∂n λ
r
φ
2πr
+ u cos ϕ sin dσ, (2.672)
λ
in cui, si badi bene, si ha a che fare con onde stazionarie
2.37 L’equazione y ′′ = xy
Di tale equazione differenziale è facile trovare soluzioni approssimate con
il metodo di Wentzel (vedi il paragrafo 2.32 e anche 2.6).Tali soluzioni
cadono in difetto per x prossimo a zero; sorge così il problema del raccordo
tra le espressioni asintotiche valevoli per x maggiore di zero (almeno di
qualche unità) e quelle valevoli per x < 0. Poiché l’equazione è omogenea,
basta conoscere il raccordo per due particolari soluzioni per saperlo costruire,
in generale, per una soluzione qualunque. Consideriamo le soluzioni
208

particolari:
M = 1 + x3
2·3
N = x + x4
3·4
Volumetto 2: 23 aprile 1928
+ x6
2·3·5·6 +
+ x7
3·4·6·7 +
x 9
2·3·5·6·8·9
x 10
3·4·6·7·9·10
+ . . .
+ . . .
(2.673)
Per |x| > 4 le espressioni asintotiche di prima e ancor meglio di seconda
approssimazione sono praticamente esatte. Basta quindi calcolare, in base
alla (2.673), i valori di M, N, M ′ , N ′ per x = ±4. I valori sono riportati
nella tabella. 60
x M M ′
N N ′
−4 0.2199 −1.2082 0.5732 1.3972
0 1 0 0 1
4 68.1777 131.6581 93.5172 180.6092
L’andamento grafico nell’intervallo −4 < x < 0 è qui all’ingrosso rappresentato.
60 Si noti che i valori numerici riportati nella tabella, così come sono scritti nel
manoscritto originale, sono stati ottenuti dalle equazioni (2.673) prendendo gli
sviluppi fino al decimo termine non nullo (e lo stesso vale per le derivate), il che
significa fino ai termini di potenza x 27 e x 28 per M e N (e x 29 , x 30 per M ′ e N ′ ,
rispettivamente).
209

Volumetto 2: 23 aprile 1928
2.38 Degenerazione di risonanza con più
elettroni
Consideriamo n elettroni q1, q2, . . . , qn in n orbite definite dalle autofunzioni
ψ1, ψ2, . . . , ψn con autovalori in generale diversi. Se trascuriamo in
approssimazione zero l’interazione potremo assumere come autofunzione
del sistema il prodotto delle singole autofunzioni e poiché si possono ordinare
in n! modi differenti i vari elettroni avremo n! autofunzioni indipendenti,
di cui una generica è data da:
Ψr = ψ1(qr1) ψ2(qr2) ·s ψn(qrn), (2.674)
essendo r1, r2, . . . , rn una qualunque permutazione dei primi n numeri. In-
dichiamo con Pr la sostituzione:
1 2 3 . . . n
a1 a2 a3 . . . an
. (2.675)
Definiamo altresì Pr come operatori su una funzione di n variabili e di n
gruppi di variabili, che indichiamo brevemente con q:
Pr f(q) = f(Pr q), (2.676)
in cui Pr va inteso al primo membro come operatore e al secondo come
sostituzione che altera l’ordine delle variabili indipendenti. È chiaro che il
suo doppio significato non dà mai luogo a equivoci. Conveniamo inoltre
che P1 sia la permutazione identica. Segue dalla (2.674):
e dalle equazioni (2.674), (2.676) e (2.677),
Ψ1 = ψ1(q1) ψ2(q2) ·s ψn(qn), (2.677)
Ψr = Pr Ψ1. (2.678)
Introduciamo nell’Hamiltoniana, come termine di perturbazione, l’interazione
H, che dovremo supporre simmetrica rispetto alla q, di modo che
Pr H(q) = H(q) r = 1, 2, . . . , n! (2.679)
Il termine Hrs della matrice di perturbazione sarà:
Hrs = Ψ ∗
r H Ψs dq =
210
Pr ψ ∗ 1 H Ps ψ1 dq, (2.680)

Volumetto 2: 23 aprile 1928
essendo dq ovviamente l’elemento di volume nello spazio delle q. Osserviamo
che l’ultimo integrale va da −∞ a ∞ per tutte le variabili e non
dipende quindi dalle q, cosicché l’operatore Pr si riduce all’unità quando
si applica ad esso. Avremo in particolare: (. . . ) 61
2.39 Formole varie
2.39.1 Formole di Schwarz
Formole di Schwarz::
Infatti:
n
a 2 i ·
i=1
n
i=1
n
b 2
n
i −
i=1
i=1
ai bi
ai bi
2
2
≤
n
a 2 i ·
i=1
= 1
2
n
i,j=1
n
i=1
b 2 i . (2.681)
(ai bj − aj bi) 2 . (2.682)
Se si intende che ogni coppia di valori i, j vada presa una volta sola per il
che, notando che i termini per cui i = j si annullano, basterà aggiungere
ad es. la condizione i < j, si può in luogo di 1
(ai bj − aj bi)
2
2 scrivere:
(ai bj − aj bi) 2 .
i a).
a
2
≤
b
a
y 2 dx
i,j
b
a
z 2 dx (2.683)
61 Questo paragrafo è stato evidentemente lasciato incompleto dall’Autore.
211

Infatti:
b
a
= 1
2
Volumetto 2: 23 aprile 1928
y 2 dx
b
a
x=b
ξ=b
x=a
z 2
dx −
ξ=a
b
a
y z dx
2
[y(x) z(ξ) − y(ξ) z(x)] 2 dx dξ. (2.684)
2.39.2 Valor massimo di variabili casuali
Siano x1, x2, . . . , xn n variabili casuali indipendenti che obbediscono alla
stessa legge normale di distribuzione:
Px = 1
√ π e −x2
(2.685)
o, se si vuole, n determinazioni indipendenti dalla variabile normale x.
Indichiamo con y la più grande (in valore algebrico) della x. La sua legge
di distribuzione sarà evidentemente:
essendo:
Py = d
dy
θ(y) = 2
√ π
1 − θ(y)
y
0
2
n
(2.686)
e −y2
dy. (2.687)
Se n è grande, saranno anche grandi i valori di x per cui Py ha un valore
sensibile. Limitandoci a questa parte della curva che rappresenta Py, possiamo
ricercarne l’andamento asintotico per n grande, in base alla formola
3) del paragrafo 2.27. Avremo in prima approssimazione:
Py = d
dy
1 − 1
2 √ π
e −y2
y
n
, (2.688)
ovvero approssimativamente:
Py = d
dy exp
− ne−y2
2 √
;
2y
(2.689)
212

Volumetto 2: 23 aprile 1928
e con una nuova approssimazione:
Py = n
ne
√ exp −
π −y2
2 √ 2y
+ y2
Indichiamo con y0 l’ascissa per cui Py è massimo. Poiché:
d
dy
n
2 √ e
π
−y2
+ y2
y
sarà in prima approssimazione:
Segue:
= − n
√ π e −y2
− n
2 √ π
y0 = √ log n, errore assoluto → 0
n
2 √ π e−y2 0 = √ log n, errore assoluto → 0
n
2 √ e
π
−y2 0
y0
= 1
e −y2 2 0 = √ π log n
, errorerelativo → 0.
n
Py0 = n
√ e
π −y2 0 exp
− n
2 √ π
e −y2
0
y
. (2.690)
e −y2
+ 2y, (2.691)
y2 = 2√log n
. (2.692)
e
cosicché di Py conosciamo l’ordinata massima e l’ascissa corrispondente:
y0 = log n (2.693)
Py0 = 2√ log n
e
= 2y0
. (2.694)
e
Segue ancora che l’ampiezza di Py (intervallo in cui Py è grande) è dell’ordine
di 1/y0. Non abbiamo ancora stabilito se y0 sia data da √ log n con approssimazione
d’ordine maggiore di 1/y0, come è desiderabile. Conviene
procedere per altra via. Poiché:
Py = d
dy
1
√π
y
213
−∞
e −y2
n dy , (2.695)

se deve essere P ′ y0 = 0, abbiamo:
Volumetto 2: 23 aprile 1928
(n − 1) e −y2 0 = 2y0
cioè con errore relativo tendente a zero
y
−∞
Passando ai logaritmi, a meno di infinitesimi:
e −y2
dy, (2.696)
n
2 √ π e−y2 0 = y0. (2.697)
log n − log 2 √ π − y 2 = log y. (2.698)
Poniamo y0 = √ log n + ɛ; si avrà in prima approssimazione:
cioè
− log 2 √ π − 2ɛ log n = log log n, (2.699)
ɛ = − log 2√π log n
2 √ , (2.700)
log n
cioè l’espressione di y0 in seconda approssimazione è:
y0 = log n − log 2√π log n
2 √ . (2.701)
log n
Segue che il termine correttivo tende a zero meno rapidamente dell’ampiezza
pratica della curva che rappresenta Py che è dell’ordine 1/ √ log n;
conviene quindi tenerne conto.
Un’ulteriore approssimazione non darebbe correzioni comparabili con
1/ √ log n. Conviene quindi assumere come determinazioni di prima approssimazione
per y0 e Py0:
oppure:
y0 = log n − log 2√ π log n
2 √ log n
(2.702)
Py0 = 2√log n
, (2.703)
e
Py0 = 2y0
. (2.704)
e
214

Volumetto 2: 23 aprile 1928
2.39.3 Coefficienti binomiali
n
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
n
11 1 11 55 165 330 462
462 330 165 55 11 1
12 1 12 66 220 495 792
924 792 495 220 66 12
1
13 1 13 78 286 715 1287
1716 1716 1287 715 286 78
13 1
14 1 14 91 364 1001 2002
3003 3432 3003 2002 1001 364
91 14 1
15 1 15 105 455 1365 3003
5005 6435 6435 5005 3003 1365
455 105 15 1
215

Volumetto 2: 23 aprile 1928
n
16 1 16 120 560 1820 4368
8008 11440 12870 11440 8008 4368
1820 560 120 16 1
17 1 17 136 680 2380 6188
12376 19448 24310 24310 19448 12376
6188 2380 680 136 17 1
18 1 18 153 816 3060 8568
18564 31824 43758 48620 43758 31824
18564 8568 3060 816 153 18
1
19 1 19 171 969 3876 11628
27132 50388 75582 92378 92378 75582
50388 27132 11628 3876 969 171
19 1
20 1 20 190 1140 4845 15504
38760 77520 125970 167960 184756 167960
125970 77520 38760 15504 4845 1140
190 20 1
216

Volumetto 2: 23 aprile 1928
2.39.4 Coefficienti dello sviluppo di 1/(1 − x) n
Abbiamo
1
=
(1 − x) n
Segue che
cioè
∞
n + r − 1
x
r
r =
r=0
n + r − 1
r
r=0
r
=
k − 1 + r
r
∞
r=0
n + r − 1
n − 1
r
n + r − 2
r
r=0
=
k + r
r
x r . (2.705)
, (2.706)
. (2.707)
Nella tabella riportiamo alcuni coefficienti dell’espansione di 1/(1 − x) n .
r = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55
4 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220
5 1 5 15 35 70 126 210 330 495 715
6 1 6 21 56 126 252 462 792 1287 2002
7 1 7 28 84 210 462 924 1716 3003 5005
8 1 8 36 120 330 792 1716 3432 6435 11440
9 1 9 45 165 495 1287 3003 6435 12870 24310
10 1 10 55 220 715 2002 5005 11440 24310 48620
2.39.5 Relazione tra i coefficienti binomiali
n − 1
r − 1
n
r=0
+
1
2 n+r
n − 1
r
n + r
n
217
=
n
r
(2.708)
= 1 (2.709)

(vedi paragrafo 1.32);
Volumetto 2: 23 aprile 1928
∞
r=0
1
2 n+r
(vedi paragrafo 1.32). Segue che
l
r=0
∞
r=1
1
2 2n+r
n + r
r
(vedi il punto precedente); cioè:
l
r=0
2r>n
r=0
n + r
n
n + r
n
2n + r
n
=
=
1 n
2r + 1 2r
n + l + 1
= 2 (2.710)
l
n + l + 1
n + 1
= 1 (2.711)
(2.712)
(2.713)
= 2n
. (2.714)
n + 1
2.39.6 Valori medi di r n tra superfici sferiche concentriche
(Si veda il paragrafo 1.21.)
Sia P un punto di coordinate α = 0, β = 0, γ = 1, e P1 un punto della
sfera di equazione
α 2 + β 2 + γ 2 = x 2 < 1. (2.715)
Detta r la distanza fra P e P1, indicheremo con Sn il valore medio 62 di r n :
Sn = 1
4πx 2
4πx 2
0
r n dσ = 1
4π
4π
0
r n dω. (2.716)
62 In ciò che segue l’Autore indica con dσ, dω e dS, rispettivamente, l’elemento
di superficie, l’elemento di angolo solido, e l’elemento di volume.
218

Segue:
Volumetto 2: 23 aprile 1928
dSn
dx
x 2 dSn
dx
= 1
4π
= 1
4π
4π
0
2
4πx
0
grad r n ·u dω (2.717)
grad r n ·u dσ, (2.718)
essendo u un vettore unitario normale alla sfera. Segue dalla (2.718),
x 2 dSn
dx
d
x
dx
2
dSn
dx
cioè
d 2 Sn
dx2 2
+
x
che si può anche scrivere:
= 1
4π
=
= n(n + 1)
1
4π
3
4πx
grad
0
2 r n dS
3
4πx
0
4π
n(n + 1) r n−2 dS (2.719)
4πx 2
0
r n−2 dσ
= n(n + 1) x 2 Sn−2. (2.720)
dSn
dx
D’altra parte, la (2.717) si può scrivere:
dSn
dx
= n(n + 1) Sn−2, (2.721)
1 d
x
2 (xSn)
dx2 = n(n + 1) Sn−2. (2.722)
= 1
4π
4π
0
n r n−1 r 2 + x 2 − 1
2xr
dω, (2.723)
cioè:
dSn n
=
dx 2x Sn
1 − x2
− n
2x Sn−2. (2.724)
Derivando ancora rispetto a x e sostituendo nella (2.721), si ricava la relazione
in termini finiti:
(n + 2) Sn − 2n (1 + x 2 ) Sn−2 + (n − 2) (1 − x 2 ) 2 Sn−4 = 0. (2.725)
Le equazioni (2.722) e (2.725), quando si aggiungano le ovvie relazioni:
S0 = 1, S−1 = 1, Sn(0) = 1, (2.726)
219

Volumetto 2: 23 aprile 1928
permettono il calcolo di tutte le Sn.
Calcoliamo S1; dalle equazioni (2.722) e (2.726) segue:
d 2 (xS1)
dx 2 = 2x
d(xS1)
dx
Ponendo n = 0 nella (2.725), si ricava:
da cui:
Segue per la (2.722):
= 1 + x 2
x S1 = x + 1
3 x3
S1 = 1 + 1
3 x2 . (2.727)
2 − 2(1 − x 2 ) 2 S−4 = 0, (2.728)
S−4 =
d 2 (xS−2)
dx 2
d(xS−2)
dx
=
=
1
(1 − x2 . (2.729)
) 2
2x
(1 − x2 ) 2
1
1 − x2 x S−2 = 1 1 + x
log
2 1 − x
S−2 = 1
2x
1 + x
log . (2.730)
1 − x
Noti i valori di S1, S−4, e S−2 dalle equazioni (2.727), (2.729) e (2.730),
tutte le altre Sn si calcolano mediante l’uso della sola (2.725). Per esempio
ponendo n = 2:
da cui
4S2 − 4(1 + x 2 ) = 0, (2.731)
S2 = 1 + x 2 , (2.732)
220

Volumetto 2: 23 aprile 1928
come si verifica direttamente in modo immediato
S0 = 1 S0(1) = 1
S1 = 1 + 1
3 x2 = (1 + x)3 − (1 − x) 3
6x
S2 = 1 + x 2 = (1 + x)4 − (1 − x) 4
8x
S1(1) = 4
3
S2(1) = 2
S3 = 1 + 2x 2 + 1
5 x4 = . . . S3(1) = 16
5
S4 = 1 + 10
3 x2 + x 4 = . . . S4(1) = 16
3 .
In generale, per n > −2, abbiamo
Sn(1) = 2n+1
. (2.733)
n + 2
In questa formola Sn(1) è evidentemente il valore medio fra le potenze
n-esime delle distanze di due elementi di superficie di una sfera di raggio
unitario (vedi il paragrafo 1.21 e le formole analoghe per gli elementi di
superficie di un cerchio).
Per n negativo, abbiamo invece:
S0 = 1 S0(1) = 1
S−1 = 1 S−1(1) = 1
S−2 = 1 1 + x
log
2x 1 − x
S−3 =
S−4 =
S−5 =
1 1
=
1 − x2 2x
1
(1 − x2
1
=
) 2 4x
1 + 1
3 x2
(1 − x2 1
=
) 3 6x
1 1
−
1 − x 1 + x
1
−
(1 − x) 2
1
−
(1 − x) 3
221
1
(1 + x) 2
1
(1 + x) 3
.
S−2(1) = ∞

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Si noti che, con l’eccezione di S−2, le quantità Sn
funzioni razionali.
Poniamo:
(con n intero) sono
Sn =
∞
a r n x 2r , (2.734)
e sarà sempre (vedi (2.726))
r=0
L’equazione (2.722) si può scrivere, più in generale:
a 0 n = 1. (2.735)
1 d
x
2k (xSn)
dx2k = (n + 1)n(n − 1)·s(n − 2k + 2) Sn−2k. (2.736)
Segue per la (2.726)
da cui:
a r n (2r + 1)! = (n + 1)n(n − 1)·s(n − 2r + 2), (2.737)
a r n =
Sn =
(n + 1)n(n − 1)·(n − 2r + 2)
(2r + 1)!
(2.738)
∞ (n + 1)n(n − 1)·s(n − 2r + 2)
x
(2r + 1)!
2r . (2.739)
r=0
L’ultima equazione può essere anche scritta:
Sn =
∞
r=0
n + 1
2r
2r
x
. (2.740)
2r + 1
Per n > −2 intero, la somma si riduce a un polinomio finito. Si trova in
particolare la (2.733) (cfr. la (2.714)):
Sn(1) =
2r≥n+1
r=0
n + 1
2r
222
1
2r + 1
2n+1
= . (2.741)
n + 2

Segue:
S6 = 1 + 7x 2 + 7x 4 + x 6
S5 = 1 + 5x 2 + 3x 4 + 1
7 x6
Volumetto 2: 23 aprile 1928
S6(1) = 16
S5(1) = 64
7
S4 = 1 + 10
3 x2 + x 4 = . . . S4(1) = 16
3
S3 = 1 + 2x 2 + 1
5 x4 = . . . S3(1) = 16
5
S2 = 1 + x 2 = (1 + x)4 − (1 − x) 4
8x
S1 = 1 + 1
3 x2 = (1 + x)3 − (1 − x) 3
6x
S2(1) = 2
S1(1) = 4
3
S0 = 1 S0(1) = 1
S−1 = 1 S−1(1) = 1
S−2 = 1 + 1
3 x2 + 1
5 x4 + 1
7 x6 + . . .
S−3 = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + . . .
S−4 = 1 + 2x 2 + 3x 4 + 4x 6 + . . .
S−5 = 1 + 2·5
3 x2 + 3·7
3 x4 + 4·9
3 x6 + . . .
S−6 = 1 + 4·5·6
4! x2 + 6·7·8
4! x4 + 8·9·10
4! x6 + . . .
L’equazione (2.739) si può scrivere nel caso n > −2 oppure n < −2: 63
Sn =
2r=n+1/2±1/2
r=0
n + 1
2r
2r
x
, n > −2 (2.742)
2r + 1
63 Il segno + nel limite superiore della sommatoria si riferisce a n dispari, mentre
il segno − si riferisce a n pari.
223

Sn =
∞
r=0
Volumetto 2: 23 aprile 1928
1 −n − 2 + 2r
−n − 2 −n − 3
x 2r , n < −2. (2.743)
Sia y dr la probabilità che r sia compreso tra r e r + dr. Sarà
y = 0, per |r − 1| > x. (2.744)
Altrimenti consideriamo il punto con coordinate α = 0, β = 0, γ = x su
una sfera interna. Centro in esso, tracciamo la sfera di raggio r
e intersechiamo con la sfera esterna
α 2 + β 2 + (γ − x) 2 = r 2
Si deduce per il cerchio comune alle due sfere:
e sarà:
Riassumendo:
e, in particolare:
Si deduce:
y =
Sn =
(2.745)
α 2 + β 2 + γ 2 = 1. (2.746)
2γ x − x 2 = 1 − x 2
γ =
y = 1
2
1 + x2
2x
dγ
dr
− r2
2x
⎧
0, per r < 1 − x
⎪⎨
r
, per 1 − x < r < 1 + x
2x
⎪⎩
0, per 1 + x < r,
y(1 − x) =
y(1 + x) =
∞
−∞
r n y dr =
(2.747)
r
= . (2.748)
2x
1 − x
2x
1 + x
2x .
1+x
1−x
r n+1
2x dr
(2.749)
(2.750)
= (1 + x)n+2 − (1 − x) n−2
, (2.751)
2(n + 2)x
224

Volumetto 2: 23 aprile 1928
che riassume le formole (2.733), (2.739), (2.742) e (2.743). L’equazione
(2.751) cade in difetto per n = −2, in qual caso si ha:
S−2 =
come si era già trovato.
1+x
1−x
1 1
dr =
2rx 2x
225
1 + x
log , (2.752)
1 − x

VOLUMETTO
3 28 giugno 1929
3.1 Somma di alcune serie
(17)
∞
r=1
ovvero, ponendo K = e −y ¿
Casi particolari:
(a) K=1:
∞
r=1
che è la formola (12).
(b) x = π/2:
1
r e−ry sin rx = arctan
K r
r
= arctan
= arctan
tan x/2
tanh y/2
sin x
e y − cos x
sin rx = arctan K sin x
1 − K cos x
∞
r=1
1 + K x
tan
1 − K 2
sin rx
r
= π
2
x
− , (3.1)
2
− x
. (3.2)
2
x
− ; (3.3)
2
K − 1
3 K3 + 1
5 K5 + . . . = arctan K. (3.4)
(c) da (a), ponendo x = π/4, si ricava con facili riduzioni:
2
3·5
− 2
7·9
+ 2
11·13
− 2
15·17
227
+ . . . = π
2 √ 2
− 1. (3.5)

(18)
(19)
(20)
(21)
2
7·9
2
3·5
2
3·5
2
1·3
Volumetto 3: 28 giugno 1929
2
1·3
+ 2
7·9
+ 2
11·13
+ 2
15·17
2
8 2 (8 2 − 1) +
2
8 4 (8 4 − 1) +
∞
r=0
+ 2
3·5
+ 2
5·7
+ 2
5·7
+ 2
11·13
+ 2
19·21
+ 2
23·25
+ 2
9·11
+ 2
7·9
+ . . . = 1
+ . . . = π
4
2
π
+ + . . . = 1 −
15·17 4
√
2
2 − 1
+ + . . . = π
27·29 8
√
2
2 + 1
+ + . . . = 1 − π .
31·33 8
2
16 2 (16 2 − 1) +
√
2 + 1
= 1 − π
8
2
16 4 (16 4 − 1) +
√
2 + 1
= 1 − π
8
n + 1
2r
x 2r
2
24 2 (24 2 − 1)
− π2
192 .
− π2
192 −
2
24 4 (24 4 − 1)
π 4
90·2048 .
+ . . .
+ . . .
2r + 1 = (1 + x)n+2 − (1 − x) n+2
2(n + 2)x
per x ≤ 1; si veda il paragrafo 2.38.6. Se n è intero e positivo, la serie si
riduce a una somma finita fino a 2r = n + 1/2 ± 1/2.
Casi particolari:
(a) x = 1:
∞
r=0
n + 1
2r
1
2r + 1
228
22n+1
= ; (3.6)
n + 2

Volumetto 3: 28 giugno 1929
(b) la formola cade in difetto per n = −2; passando al limite:
1 + 1
3 x2 + 1
5 x4 + 1
7 x6 + . . . = 1
2x
1 + x
log ; (3.7)
1 − x
(c) per altre espressioni particolari relative a n intero si veda il paragrafo
2.38.6.
(22)
per 0 < x < 2π.
∞
r=1
cos rx
r
= − log 2 − log sin x
2
(23) Se nella (3.274) si scambia k, supposto non intero, in −k e si somma,
notando che y(k) + y(−k) = 0, si ricava:
1
−
1 − k2 =
3
+
9 − k2 π
4 cos kπ/2
5
−
25 − k2 7
+ . . . ±
49 − k2 3.2 L’equazione H = r
Prendiamo una formola relativa all’equazione più semplice:
Poiché 1/r è una funzione armonica avremo:
1 1
1
∆ V = ∆ V − V ∆
r r r
e per la (3.9):
div
2n + 1
(2n + 1) 2 + . . .
− k2 (3.8)
∆ V = p. (3.9)
= div
1
1
grad V − V grad
r r
229
1
1
grad V − V grad ; (3.10)
r r
= p
. (3.11)
r

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Se con r intendiamo la distanza di un punto generico P dal punto P0,
integrando in uno spazio S ′ compreso fra una superficie σ chiusa intorno a
P0 e una sferetta di raggio ɛ con centro in P0:
S ′
p
dS =
r
σ
V cos α + r ∂V
dσ
−
∂n r2 4πɛ 2
0
V + ɛ ∂V
dσ
∂n
,
ɛ2 (3.12)
essendo n la normale esterna e α l’angolo fra detta normale e il raggio
vettore. Facendo tendere ɛ a zero, S ′ tende all’intero spazio S limitato da
σ e la (3.12) diventa:
V (P0) = − 1
4π
S
p 1
dS +
r 4π
Premesso ciò, consideriamo l’equazione differenziale:
∆ H − 1
c 2
σ
V cos α + r ∂V
dσ
. (3.13)
∂n r2 ∂ 2 H
= r, (3.14)
∂t2 essendo r funzione nota dello spazio e del tempo. Indicata come prima con
r la distanza da un punto fisso P0, definiamo la funzione H1:
Segue:
H1(P, t) = H
P, t − r
c
H(P, t) = H1(P, t + r/c)
H ′ x(P, t) = H ′ 1 x(P, t + r/c) + x
rc H′ 1 t(P, t + r/c)
H ′′
xx(P, t) = H ′′
1 xx(P, t + r/c) 2x
rc H′′
1 xt(P, t + r/c)
, (3.15)
+ x2
r2 H′′
c2 1 tt(P, t + r/c) + r2 − x 2
r3c H′ 1 t(P, t + r/c)
∆ H(P, t) = ∆ H1(P, t + r/c) + 1
H′′
c2 1 tt(P, t + r/c)
1
H′′
c2 tt(P, t) = 1
c
+ 2
c H′′
1 tr(P, t + r/c) + 2
rc H′ 1 t(P, t + r/c)
2 H′′
tt(P, t + r/c).
230

Segue per la (3.14):
Volumetto 3: 28 giugno 1929
r(P, t) = ∆ H1(P, t + r/c) + 2
c H′′
1 tr(P, t + r/c) + 2
rc H′ 1 t(P, t + r/c),
ovvero, ponendo t in luogo di t + r/c:
(3.16)
∆ H1(P, t) + 2
c H′′ 1 tr(P, t) + 2
rc H′ 1 t(P, t) = r(P, t − r/c). (3.17)
Se A è una funzione qualunque del posto e del tempo, porremo:
e la (3.17) diventa:
Poniamo:
la (3.19) diventa:
A(P, t) = A(P, t − r/c), (3.18)
∆ H1 + 2 ∂
c
2 H1
∂t∂r
p = r − 2 ∂
c
2 H1
∂t∂r
2 ∂H1
+
rc ∂t
− 2
rc
= r. (3.19)
∂H1
; (3.20)
∂t
∆ H1 = p. (3.21)
Per un dato valore di t, H1 e p sono funzioni dello spazio e possiamo
applicare la (3.13). Risulta:
H1(P0, t) = − 1
4π S
p 1
dS + H1 cos α + r
r 4π σ
∂H1
dσ
∂n r2 = − 1
4π S
+
2
r 1 2 ∂ H1 1 ∂H1 dS
dS + +
r 4π c S ∂t∂r r ∂t r
1
4π
H1 cos α + r ∂H1
dσ
. (3.22)
∂n r2 D’altra parte:
S
∂ 2 H1
∂t∂r
+ 1
r
σ
∂H1 dS
∂t r
=
=
=
=
231
σ
σ
dω
dω
r ∂2 H1
∂
∂r
r ∂H1
∂t dω
r ∂H1
∂t
∂H1
+ dr
∂t∂r ∂t
r ∂H1
dr
∂t
cos α dσ
. (3.23)
r2

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Sostituendo nella (3.22), si trova:
H1(P0, t) = − 1
4π S
r
r dS
+ 1
4π
H1 cos α + r ∂H1
∂n
D’altra parte:
H1(P0, t) = H(P0, t),
σ
H1(P, t) = H(P, t − r/c) = H(P, t),
∂H1(P, t)
∂n
= ∂H(P, t − r/c)
∂n
= ∂H(P, t)
∂n
da cui sostituendo nella (3.24):
H(P0, t) = − 1
4π S
r
r dS
+ 1
4π
H cos α + r ∂H
∂n
σ
+ 2r
c
−
r ∂H
+
c ∂t
∂H1
∂t
cos α
c
dσ
cos α .
r2 ∂H(P, t)
;
∂t
dσ
cos α ,
r2 (3.24)
(3.25)
che esprime manifestamente, ponendo r = 0, un principio più generale di
quello di Huygens.
Consideriamo delle soluzioni periodiche della (3.14):
Se si pone
la (3.14) diventa:
Poniamo ancora
e dovrà essere y funzione solo di spazio segue:
H = u e iσt . (3.26)
k = σ
, (3.27)
c
∆ u + k 2 u = r e −iσt . (3.28)
r = y e iσt , (3.29)
∆ u + k 3 u = y. (3.30)
232

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Se le equazioni (3.26) e (3.29) sono soddisfatte a ogni soluzione della (3.14)
corrisponde una soluzione della (3.30), e inversamente; e lo stesso dicasi se
in luogo delle equazioni (3.26) e (3.29) sono soddisfatte le equazioni che
si ottengono cambiando segno a i dove compare esplicitamente. Se u è
una soluzione della (3.30), si avrà dunque per le equazioni (3.25), (3.26), e
(3.29):
u(P0) = − 1
4π
+ 1
4π
S
σ
e −ikr
y dS
r
u (1 + ikr) cos α + r ∂u
∂n
e −ikr dσ
. (3.31)
r2 Cangiando segno all’immaginario i in −i, si ottiene una seconda espressione
di u:
u(P0) = − 1
e
4π S
ikr
y dS
r
+ 1
u (1 − ikr) cos α + r
4π
∂u
e
∂n
ikr dσ
. (3.32)
r2 σ
Sommando e dividendo per due si ha una terza espressione di u, nella quale
non compare l’immaginario:
u(P0) = − 1
cos kr
y dS +
4π S r
1
u cos kr cos α
4π σ
+ u kr sin kr cos α + r ∂u
dσ
cos kr . (3.33)
∂n r2 Per differenza e dividendo per 2i, si ottiene invece una notevole identità
0 = − 1
4π S
+
sin kr
y dS
r
1
4π
u sin kr cos α − u kr cos kr cos α + r ∂u
dσ
sin kr ,
∂n r2 cioè:
σ
sin kr
y dS
S r
= u sin kr cos α − u kr cos kr cos α + r ∂u
dσ
sin kr .
∂n r2 σ
233
(3.34)

σ
Volumetto 3: 28 giugno 1929
Se si fa tendere k a zero, la (3.30) si riduce alla (3.9) e la (3.33) alla (3.13).
Sostituendo mediante la (3.30) in (3.34), si ha:
sin kr 2
∆ u + k u dS
S r
= u sin kr cos α − u kr cos kr cos α + r ∂u
dσ
sin kr ,
∂n r2 S
σ
(3.35)
che è una pura identità valevole per una funzione arbitraria u. In particolare
supponiamo nella (3.35) k infinitesimo e sviluppiamo i singoli termini
secondo le potenze di k. Uguagliando gli infinitesimi del primo ordine si
trova:
∂u
∆ u dS = dσ, (3.36)
S
σ ∂n
che esprime il ben noto teorema della divergenza.. Altre identità si ottengono
eguagliando gli infinitesimi di ordine più elevato; per esempio si ha
per gli infinitesimi del terzo ordine:
u − 1
6 r2
1
1
∆ u dS = u r cos α −
3 6 r2
∂u
dσ, (3.37)
∂n
formola di facile verifica diretta quando si badi che
u − 1
6 r2 ∆ u = 1 2 2
u ∆ r − r ∆ u . (3.38)
6
Riprendiamo la (3.31) e facciamo delle approssimazioni. Supponiamo
in primo luogo r grande rispetto alla lunghezza d’onda, con che si può
trascurare l’unità di fronte a ikr; supponiamo inoltre che σ sia una superficie
d’onda di un’onda progressiva, con raggio minimo di curvatura grande
anch’esso rispetto alla lunghezza d’onda; si potrà allora considerare l’onda
come piana per un tratto breve e sarà approssimativamente:
∂u
∂n
= ± i k u, (3.39)
secondo che l’onda si avvicina a P0 o se ne allontana. La (3.31) si riduce
allora con le fatte approssimazioni a:
kr
k i
e−i
u(P0) = u (cos α ± 1) dσ (3.40)
4π
r
σ
234

Volumetto 3: 28 giugno 1929
ovvero, introducendo la lunghezza d’onda in base alla relazione:
u(P0) = i
λ σ
cos α ± 1
2
Se α è piccolo e l’onda si avvicina:
u(P0) = i
λ σ
k = 2π
, (3.41)
λ
− 2πi
u e λ r
dσ. (3.42)
r
− 2πi
e λ r
u dσ. (3.43)
r
3.3 Equilibrio di una massa liquida
eterogenea in rotazione
(Problema di Clairaut)
Si suppone che la massa rotante risulti dalla sovrapposizione di stati liquidi
incompressibili di densità differenti. La velocità angolare di rotazione
ω si suppone piccola; le deformazioni che la massa subisce per effetto della
rotazione sono allora dell’ordine di ω 2 . Si riguarderà perciò ω 2 come infinitesimo
principale.
Le particelle liquide si attirano secondo la legge di Newton, in cui si
supporrà di ridurre il coefficiente d’attrazione, mediante una conveniente
scelta di unità. Finché la massa è in riposo sarà la densità una funzione
mai crescente della distanza dal centro:
ρ = ρ(r), ρ ′ ≤ 0. (3.44)
Analogamente il potenziale newtoniano (funzione delle forze) dipenderà da
r:
V0 = V0(r). (3.45)
Indicheremo con D la densità media della massa che si trova a distanza
minore di r:
D =
r
0
235
ρ r 2 dr
r 3 /3
. (3.46)

Segue:
cioè:
da cui derivando:
Volumetto 3: 28 giugno 1929
r 3 D = 3
r
ρ r 2 dr (3.47)
3r
0
2 D + r 3 D ′ = 3 ρ r 2 , (3.48)
3 ρ = 3D + r D ′ ; (3.49)
3 ρ ′ = 4D ′ + r D ′′ , (3.50)
che servirà in seguito.
La forza che si esercita a distanza r su una massa unitaria sarà
1
r2 r
4πr 2 ρ dr = 4
π r D, (3.51)
3
0
cosicché:
V ′
0 = − 4
π r D. (3.52)
3
Si ponga ora la massa in rotazione; una particella che si trovava in P
si porterà in P ′ nella nuova configurazione di equilibrio. Poniamo:
η = P P ′ cos r , P P ′ . (3.53)
Lo spostamento normale η si potrà sviluppare secondo le funzioni sferiche
Y :
η = H Y, (3.54)
essendo le H funzioni del raggio.
Se la rotazione ha luogo intorno all’asse z compariranno nello sviluppo
(3.54) solo le funzioni sferiche simmetriche intorno all’asse z, le quali saranno
esprimibili mediante i polinomi di Legendre:
Pn(cos θ). (3.55)
Inoltre scambiando z in −z, η deve rimanere inalterato. Dovremo quindi
limitarci alle funzioni sferiche d’ordine pari. Inoltre sulla superficie sferica
di raggio r dovrà essere:
η dσ = 0. (3.56)
236

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Deve quindi mancare la funzione sferica, d’ordine zero. La prima ad apparire
sarà la funzione di secondo ordine che prenderemo sotto la forma:
Y = (x 2 + y 2 − 2z 2 )/r 2 . (3.57)
Noi vogliamo supporre che per tutte le altre sia H = 0. Questo equivale
a supporre che le superfici di egual densità sono in prima approssimazione
degli ellissoidi. Tale ipotesi è evidentemente verificata per la superficie
libera.
L’equazione (3.54) si riduce allora a:
η = H Y, (3.58)
con Y definita dalla (3.57).
Lo schiacciamento della superficie di egual densità e di raggio medio r è
evidentemente:
s = 3H/r. (3.59)
Analogamente supporremo che il potenziale newtoniano sia in prima approssimazione:
V = V0 + L Y. (3.60)
Aggiungendo il potenziale della forza centrifuga si ottiene il potenziale
totale che deve essere considerato per l’equilibrio relativo:
U = V + 1
2 ω2 x 2 + y 2
= V0 + 1
3 ω2 r 2 +
L + 1
6 ω2 r 2
Y . (3.61)
La densità ρ1 del fluido in rotazione sarà in prima approssimazione, a causa
delle equazioni (3.53) e (3.58):
ρ1 = ρ − η ρ ′ = ρ − H ρ ′ Y. (3.62)
Per determinare H e L, che sono attualmente le incognite del nostro
problema, dobbiamo valerci dell’equazione di Poisson e della condizione
che le superfici di egual densità coincidano con le superficie equipotenziali.
L’equazione di Poisson ci dà:
∆ V = − 4π ρ1, (3.63)
237

cioè essendo
semplicemente:
Ovvero, dividendo per Y :
Volumetto 3: 28 giugno 1929
∆ V0 = 4π ρ (3.64)
V − V0 = L Y (3.65)
ρ1 − ρ = − H ρ ′ Y (3.66)
∆ L Y = 4π H ρ ′ Y. (3.67)
4π H ρ ′ = L ′′ + 2
r L′ − 6
L. (3.68)
r2 Le superfici equipotenziali (U = cost.) sono in prima approssimazione degli
ellissoidi di rivoluzione intorno a z. Lo schiacciamento della sezione meridiana
sarà in prima approssimazione:
sU = −3 L + (1/6) ω2 r 2
r V ′
0
= +3 L + (1/6) ω2 r 2
(4/3)π r 2 . (3.69)
D
Le superfici di egual densità sono, come si è visto, anche esse ellissoidi di
rivoluzione, il cui schiacciamento è dato dalla (3.59). Perché le due famiglie
di superficie coincidano dovrà essere:
cioè:
Risolvendo la (3.71) rispetto a L si ha:
s = sU , (3.70)
H = L + (1/6) ω2 r 2
. (3.71)
(4/3)π r D
L = 4
1
π r D H −
3 6 ω2 r 2
(3.72)
L ′ = 4 4
π D H +
3 3 π r D′ H + 4
3 π r D H′ − 1
3 ω2 r (3.73)
L ′′ = 8
3 π D′ H + 8
3 π D H′ + 8
3 π r D′ H ′
+ 4
3 π r D′′ H + 4
3 π r D H′′ − 1
3 ω2 . (3.74)
238

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Sostituendo nella (3.68), si elimina L:
ma per la (3.50),
così che rimane:
o anche:
Poniamo:
3 H ρ ′ 4 D H
= −
r
D
0 = −
+ 4 D ′ H + 4 D H ′ + 2r D ′ H ′
+ r D ′′ H + r D H ′′ ; (3.75)
3 H ρ ′ = 4 D ′ H + r D ′′ H, (3.76)
4 D H
r
+ 4 D H ′ + 2r D ′ + r D H ′′ , (3.77)
−4 + 4r H′
H + r2 H ′′
+ 2r D
H
′ r H ′
H
ricordando che s = 3H/r, sarà:
da cui:
H ′
H
+ r H′′
H
r H′
H + r2 H ′′
H
1 + q + r 2 H ′′
s ′
s
= 0. (3.78)
q = r s ′ /s; (3.79)
= H′
H
q = r H′
H
r H′
H
′
H
− r
H
′
H
− r2
H
2
2
− 1
r
(3.80)
− 1 (3.81)
= 1 + q (3.82)
= q ′
= r q ′
H − (1 + q)2 = r q ′
(3.83)
(3.84)
(3.85)
r 2 H ′′
H = r q′ + q + q 2 . (3.86)
239

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Sostituendo mediante (3.82) e (3.86) nella (3.78), si trova:
D r q ′ + 5 q + q 2 + 2r D ′ (1 + q) = 0, (3.87)
che è l’equazione di Clairaut. .
Se rD ′ /D tende a 0 per r che tende a 0, dovrà essere per r = 0
cioè:
5 q + q 2 = 0, (3.88)
q = 0, q = −5. (3.89)
Ora nel centro della massa rotante si avrà sviluppando V :
V = V (0) + A x 2 + y 2 + B z 2 + . . . . (3.90)
Se si suppone ρ ′ (0) finito (in particolare nullo), V sarà sviluppabile secondo
x, y, z e per ragioni di simmetria mancheranno i termini di grado dispari.
Indicando con ɛ una funzione infinitesima con r del quarto ordine, avremo:
U = V (0) + A x 2 + y 2 + 1
2 ω2 x 2 + y 2 + B z 2 + ɛ, (3.91)
e sarà naturalmente:
Poniamo:
4A + 2B = − 4π ρ(0). (3.92)
U = cost.; (3.93)
sarà (A1 = −A, B1 = −B)
A1 − 1
2 ω2
x2 2
+ y + B1 z 2 + ɛ = cost. (3.94)
E a meno di infinitesimi del secondo ordine sarà:
Sarà quindi:
e a fortiori,
s = 1/ A1 − ω 2 /2 − 1/ √ B1
1/ A1 − ω 2 /2
= 1 −
A1 − ω 2 /2
B1
. (3.95)
s ′ (0) = 0 (3.96)
q(0) = r s′ (0)
s(0)
240
= 0. (3.97)

Il punto
Volumetto 3: 28 giugno 1929
(r, q) = (0, 0). (3.98)
La curva integrale di (3.87) che risolve il problema passa per il punto:
r = 0 , q = 0.
Supponiamo che D possa svilupparsi secondo le potenze pari di r:
e analogamente:
ovvero, ponendo:
e sostituendo nella (3.87):
D = D(0) + ar 2 + br 4 + cr 6 + . . . (3.99)
q = q0 + αr 2 + βr 4 + γr 6 + . . . (3.100)
a0 = D0 (3.101)
a2 = a (3.102)
a4 = b (3.103)
a6 = c (3.104)
. . .
α0 = q0 = 0 (3.105)
α2 = α (3.106)
α4 = β (3.107)
α6 = γ (3.108)
. . .
D = a2n r 2n
(3.109)
q = α2n r 2n ; (3.110)
a2n r 2n
2n α2n r 2n + 5α2n r 2n
+ α2n r 2n2
+ 2
2n
2n α2n r 1 + α2n r 2n
241
= 0. (3.111)

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Calcoliamo i primi coefficienti dello sviluppo di q. Avremo:
Segue:
D = D0 + ar 2 + br 4 + cr 6 + . . . (3.112)
r D ′ = 2ar 2 + 4br 4 + 6cr 6 + . . . (3.113)
q = αr 2 + βr 4 + γr 6 + . . . (3.114)
r q ′ = 2αr 2 + 4βr 4 + 6γr 6 + . . . (3.115)
q 2 = α 2 r 4 + 2αβr 6 + . . . (3.116)
r q ′ + 5 q + q 2 = 7αr 2 + (9β + α 2 )r 4 + . . .
+(11γ + 2αβ)r 6 + . . . (3.117)
1 + q = 1 + αr 2 + βr 4 + γr 6 + . . . (3.118)
D r q ′ + 5 q + q 2 = 7α D0 r 2 + (9β + α 2 )D0 + 7αa r 4
+ (11γ + 2αβ)D0 + (9β + α 2 )a
+ 7αb) r 6 + . . . (3.119)
2 r D ′ (1 + q) = 4ar 2 + (4αa + 8b)r 4
+ (4βa + 8αb + 12c)r 6 + . . . (3.120)
7α D0 + 4a = 0 (3.121)
(9β + α 2 )D0 + 7αa + 4αa + 8b = 0 (3.122)
(11γ + 2αβ)D0 + (9β + α 2 )a + 7αb
+ 4βa + 8αb + 12c = 0. (3.123)
Se M è la massa del pianeta, l’attrazione in punti esterni, in particolare
sulla superficie libera, ammette per potenziale in prima approssimazione:
V = M
r + I0 − 3 I/2
r3 (3.124)
I è il momento d’inerzia rispetto alla retta OP 64 e I0 è il momento
d’inerzia (non assiale, ma polare) rispetto al baricentro.
Sulla superficie libera sarà:
U = M
r + I0 − 3 I/2
r3 + 1
2 ω2 x 2 + y 2 = cost. (3.125)
64 Retta che unisce il centro del pianeta al punto esterno considerato.
242

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Indicando con Rp il raggio polare e con Re il raggio equatoriale, sarà:
M
Rp
−
C − A
R 3 p
= M
Re
+ 1 C − A
2 R3 e
+ 1
2 ω2 R 2 e, (3.126)
essendosi indicato con C il momento d’inerzia rispetto all’asse polare e con
A il momento d’inerzia 65 rispetto a un asse equatoriale; di modo che
I0 = A + 1
C. (3.127)
2
Indichiamo con f il rapporto tra forza centrifuga e gravità all’equatore e
con r1 il raggio medio del pianeta; sarà in prima approssimazione
Segue dalla (3.126), in prima approssimazione:
1
M
Rp
− 1
Re
= 3 C − A
2 r3 1
+ 1
2
e ponendo al solito:
f = ω2 r 3 1
. (3.128)
M
s1 = Re − Rp
sarà, sempre in prima approssimazione:
Re
s1 = 3 C − A
2 Mr2 1
f
r1
M; (3.129)
(3.130)
+ 1
f, (3.131)
2
o anche indicando con D1 la densità media dell’intero pianeta:
s1 − 1
2
Il momento d’inerzia medio della terra sarà:
Ora:
r1
0
ρ r 4 dr =
I = 8π
3
9 (C − A)
f =
8π r5 . (3.132)
1 D1
r1
0
r1
r
0
2 ρ r 2 dr =
r1
r1
0
= 1
3 r5 1 D1 − 2
3
65 Più sopra questa quantità è stata indicata con I.
243
ρ r 4 dr. (3.133)
0
r 2
1
d
3 r3
D
r 4 D dr, (3.134)

segue:
Volumetto 3: 28 giugno 1929
I = 8π
9
In prima approssimazione sarà:
e sostituendo nella (3.132) si trova:
d
dr
s1 − 1 C − A
f =
2 C
r 5 r1
1 D1 − 2
0
r 4
D dr . (3.135)
C I; (3.136)
1 − 2
r 5 1 D1
r 4
D dr . (3.137)
Riprendiamo l’equazione di Clairaut (3.87) e calcoliamo l’espressione:
r 5 D
1 + q
Poiché dalla (3.87) si trova:
= 5 r 4 D 1 + q + r 5 D ′ 1 + q
+ r 5 q
D
′
2 √ 1 + q
= 5 r4
D
√ 1 + q +
1 + q
rD′
5D
rD ′
5D
(1 + q) = − rq′
10
sostituendo nella (3.138) si ricava:
da cui: 66
d
dr
Poniamo:
r 5 D
1 + q
r 5
1 D1 1 + q1 =
r1
0
= 5 r4 D
√ 1 + q
5 r 4 D
√ 1 + q
− q
2
K = 1 + q/2 − q2 /10
√ 1 + q
rq′
(1 + q) + (3.138)
10
q2
− , (3.139)
10
1 + 1 1
q −
2 10 q2
, (3.140)
1 + 1 1
q −
2 10 q2
dr. (3.141)
(3.142)
66 Nel manoscritto originale, il limite superiore dell’integrale è r; tuttavia, è
evidente che il limite appropriato è r1.
244

la (3.141) diventa: 67
Volumetto 3: 28 giugno 1929
r 5
1 D1 1 + q1 =
r1
0
5 r 4 D K dr. (3.143)
Se q è abbastanza piccolo, K è molto prossimo all’unità: 68
q k
0 1
0.1 1.00018
0.2 1.00051
0.3 1.00072
0.4 1.00066
0.5 1.00021
0.6 0.99928
0.7 0.99782
0.8 0.99580
0.9 0.99317
1 0.98995
2 0.92376
3 0.8
Il valore massimo di q si ha in superficie q = q1; il valore minimo al centro:
(r , q) = (0 , 0).
Calcoliamo q1; su una superficie equipotenziale all’esterno del pianeta
si ha, come si è visto dalla (3.131):
s = 1 3
f +
2 2
C − A
. (3.144)
Mr2 Il primo termine del secondo termine cresce in prima approssimazione come
r 3 . Si ha quindi derivando:
r s ′ = 3
2
C − A
f − 3 . (3.145)
M r2 67 Si veda la nota precedente.
68 Nella tabella, l’Autore riporta solo i valori per K = 1, 1.00074, 1.00021,
0.98995 corrispondenti rispettivamente a q = 0, 0.3, 0.5, 0.9. Un’evidenza particolare
è data al valore di q = 0.3.
245

Confrontando con la (3.144)
Volumetto 3: 28 giugno 1929
r s ′ + 2s = 5
2 f
q =
r s ′ = 5
f − 2s
2
(3.146)
r s′
s
= 5 f
− 2.
2 s
In particolare, riferendo f alla superficie libera del pianeta:
q1 = 5
2
f
s1
− 2. (3.147)
Nel caso della terra si ha q1 = 0.57. Sarà allora K sempre molto prossimo
all’unità. Supponendo K = 1 (e tale ipotesi è lecita tutte le volte che la
densità del pianeta non sia eccessivamente disuniforme), la (3.143) diventa:
r 5
5 f
1 D1 − 1 5 r
2
4 D dr, (3.148)
s1
ovvero, confrontando con la (3.137):
5
2
f
s1
Nel caso della terra si ha:
si trova allora:
− 1 5
2
5 C
− s1 −
2 C − A
1
2 f
. (3.149)
f = 1/288 (3.150)
C
C − A
= 305; (3.151)
s1 = 1/297, (3.152)
in perfetto accordo con l’esperienza. Sostituendo nella (3.145) si ha:
da cui:
1
297
1 1
=
2 288
+ 3
2
C − A
Mr2 , (3.153)
1
C − A = 1
920 M r2 1, (3.154)
246

e per la (3.151):
Volumetto 3: 28 giugno 1929
C = 0.332 M r 2 1
mentre se la densità fosse costante si avrebbe I = 0.4Mr 2 1.
Valori stabiliti dalla conferenza di Madrid: 69
(3.155)
Re 6378 (3.156)
Rp = 6357 (3.157)
s = 1/297 (3.158)
D1 = 5.515. (3.159)
Supponiamo che la densità all’interno della terra sia esprimibile sotto
la forma
ρ = a + b r 2 + c r 4 . (3.160)
Vogliamo determinare i coefficienti con le condizioni:
Si avrà:
cioè:
Inoltre:
D1 = 5.515
ρ1 = 2.5 (3.161)
I = 0.332 M r 2 1.
ρ1 = a + b r 2 1 + c r 4 1
3
1 (3.162)
r3 1 D1 =
r1 2 4 6
a r + b r + c r
0
dr
= 1
3 a r3 1 + 1
5 b r5 1 + 1
7 c r7 1
(3.163)
I = 8π
3
D1 = a + 3
5 b r2 1 + 3
7 c r4 1. (3.164)
= 8π
3
r1
4 6 8
a r + b r + c r
0
dr
1
5 a r5 1 + 1
7 b r7 1 + 1
9 c r9
1 , (3.165)
69 L’Autore non fornisce dettagli su questa conferenza.
247

cioè:
D’altra parte
M
r 3 1
da cui segue:
I
r 5 1
Volumetto 3: 28 giugno 1929
= 8π
3
1 1
a +
5 7 b r2 1 + 1
9 c r4
1 . (3.166)
= 4 4
π D1 +
3 3 M
a + 3
5 b r2 1 + 3
7 c r4
1 , (3.167)
I
Mr 2 1
= 2 a +
5
5
7 b r2 1 + 5
9 c r4 1
a + 3
5 b r2 1 + 3
7 c r4 1
. (3.168)
I primi membri delle equazioni (3.162), (3.164), (3.168) riguardandosi come
noti, abbiamo il sistema di equazioni lineari nelle incognite a, br 2 1, cr 4 1:
a (1 − δ) + br 2 1
5
7
a + b r 2 1 + c r 4 1 = ρ1
3
− δ
5
+ cr 4 1
5
9
a + 3
5 b r2 1 + 3
7 c r4 1 = D1
nella seconda delle quali si è posto:
Poniamo inoltre:
Segue dalle equazioni (3.169):
da cui:
a (1 − δ) + br 2 1
a (1 − ɛ) + br 2 1
5
7
br 2 1 = −
δ = 5
2
I
Mr 2 1
3
− δ = 0 (3.169)
7
. (3.170)
ɛ = ρ1/D1. (3.171)
3
− δ + cr
5
4
5
1
9
3
− δ
7
1 − ɛ 3
+ cr
5
4
1 1 − ɛ 3
7
= 0
= 0,
(3.172)
4 4 8
− δ +
9 7 63 ɛ
10 6 4
− δ +
63 35 147 ɛ
a (3.173)
248

Segue:
Volumetto 3: 28 giugno 1929
cr 4 1
=
Sostituendo nella (3.169), si ha:
Da cui, ricordando la (3.171)
Risulta infine:
2 2 4
− δ +
7 5 35 ɛ
10 6 4
− δ +
63 35 147 ɛ
a. (3.174)
a = ℓ (175 − 189 δ + 30 ɛ)
br 2 1 = − ℓ (490 − 630 δ + 140 ɛ) (3.175)
cr 4 1 = ℓ (315 − 441 δ + 126 ɛ) .
ρ =
16 ɛ ℓ = ρ1
0 = 0 (3.176)
16 ℓ = D1.
l = D1/16. (3.177)
(175 − 189 δ + 30 ɛ) D1
16
(490 − 630 δ + 140 ɛ) D1
−
16
+ (315 − 441 δ + 126 ɛ) D1
16
r 2
r 2 1
r 4
r 4 1
(3.178)
con δ e ɛ definite mediante l’equazioni (3.170) e (3.171). Nel caso della
terra segue che dalle equazioni (3.175):
Sostituendo questi valori nella (3.178), si ha:
ρ = D1
δ = 0.83, ɛ = 0.45. (3.179)
1.977 − 1.881 r2
r 2 1
+ 0.354 r4
r 4 1
La densità massima (al centro della terra) risulterebbe:
. (3.180)
ρ0 = 1.977 D1 = 1.977 · 5.515 = 10.90. (3.181)
249

cioè se si pone
Volumetto 3: 28 giugno 1929
1.977 − 1.881 + 0.354 = 0.45 (3.182)
1.977 − 1.881 · 3
5
1.977 · 2
5
− 1.881 · 2
7
ρ = D1
3
+ 0.354 ·
7
2
+ 0.354 ·
9
α + β r2
r 2 1
i coefficienti α, β, γ soddisfanno alle equazioni:
più semplici delle equazioni (3.169).
α + β + γ = ρ1
,
= 1.000 (3.183)
= 0.332, (3.184)
+ γ r4
r4
, (3.185)
1
D1
α + 3 3
β + γ
5 7
= 1, (3.186)
2 2 2
α + β + γ
5 7 9
=
I
,
250
Mr 2 1

Volumetto 3: 28 giugno 1929
3.4 Determinazione di una funzione
quando sono noti i momenti
Sia y una funzione di x:
y = y(x), (3.187)
e supponiamo che per x 2 > a 2 si abbia y = 0; supponiamo inoltre che sia
finito l’integrale ∞
|y| dx (3.188)
−∞
Definiamo i momenti µ0, µ1, . . ., µn rispettivamente d’ordine 0, 1, 2, . . . , n:
µ0 = y dx
µ1 = x y dx
Poniamo:
e sarà:
Segue dalla (3.190):
. . .
(3.189)
µn = x n y dx
z(t) =
y = 1
2π
dz
dt
Per t = 0, si avrà z(0) = µ0
∞
−∞
= i
y e ixt dx, (3.190)
e −ixt z dt. (3.191)
x y e ixt dx
. . . (3.192)
d n z
= in
dtn n
d z
dtn
0
251
x n y e ixt dx.
= i n µn. (3.193)

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Per le ipotesi fatte z è sviluppabile in serie di Mac-Laurin, assolutamente
convergente:
∞ (it)
z = µn
n
. (3.194)
n!
Sostituendo nella (3.191) si avrà:
y = 1
2π
∞
−∞
0
e −ixt
∞
0
µn
(it) n
n!
dt, (3.195)
in cui i segni dell’integrale e le serie non sono naturalmente invertibili.
Si può anche scrivere:
y = 1
π
+ 1
π
∞
0
∞
0
cos xt
sin xt
∞
0
(−1) r µ2r
∞
0
t 2r
(2r)! dt
(−1) r µ2r+1
t 2r+1
dt. (3.196)
(2r + 1)!
Esempio 1. Sia y = 1 per 0 < x < 1 e y = 0 per x < 0, oppure per
x > 1. I momenti saranno:
µ0 = 1, µ1 = 1
2 , . . . µn =
Sostituiamo nella (3.196) notando che in questo caso:
∞
0
= 1
t
∞
0
= 1
t
(−1) r µ2r
0
(−1) r µ2r+1
1 −
t 2r
(2r)! =
∞
(−1) r t 2r+1
(2r + 1)!
∞
0
t 2r+1
(2r + 1)!
(−1) r t 2r
(2r)!
252
0
1
n + 1 .
∞
(−1) r t 2r
(2r + 1)!
1
=
t
= sin t
t
= 1 − cos t
∞
(−1) r t 2r+2
(2r + 2)!
0
(3.197)
. (3.198)
t

Si avrà:
y = 1
π
= 1
π
Volumetto 3: 28 giugno 1929
∞
0
∞
0
cos xt sin t + sin xt (1 − cos t)
dt
t
sin (1 − x)t
dt +
t
1
∞
sin xt
dt. (3.199)
π t
Il primo integrale vale π/2 per x < 1 e −π/2 per x > 1. Il secondo integrale
vale −π/2 per x < 0 e π/2 per x > 0. Si avrà dunque:
come si era supposto.
per x < 0, y = 1
2
per 0 < x < 1, y = 1
2
per x > 1, y = − 1
2
0
− 1
2
+ 1
2
+ 1
2
= 0
= 1
= 0
(3.200)
Esempio 2. Sia y = 0 per x < 0 e y = e −x per x > 0. Non siamo nelle
condizioni supposte e bisogna alquanto rinunciare al rigore matematico. Si
avrà:
µn = n! (3.201)
Sostituendo ad esempio nella (3.195), sarà:
∞
0
µn
(it) n
n! =
∞
(it) n =
0
1
, (3.202)
1 − it
formola in realtà valida solo per t 2 < 1, ché altrimenti lo sviluppo non
converge. Supporremo tuttavia che si possa sempre scrivere:
con che la (3.195) diventa:
∞
(it) n =
0
y = 1
2π
∞
−∞
253
1
, (3.203)
1 − it
e −ixt
dt. (3.204)
1 − it

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Se nella nota formola ((14bis) nel paragrafo 2.26),
∞
−∞
e ix dx
a + ix =
⎧
⎨
⎩
2π e −a , a > 0
0, a < 0
poniamo x in luogo di a e −tx in luogo di x, si ha:
∞
−∞
Sostituendo otteniamo:
come si era supposto.
Segue
e −ixt x dt
x − itx
y =
⎧
⎨
⎩
=
=
∞
Esempio 3. Sia y = e −x2
. Sarà:
∞
0
(−1) r µ2r
Sostituendo nella (3.195):
y =
e
−∞
−ixt dt
1 − it
−x
2π e , per x > 0
0, per x < 0,
e −x , per x > 0,
0, per x < 0,
(3.205)
. (3.206)
(3.207)
µ2r+1
µ2r
=
=
0
2r − 1
!
2
(3.208)
= √ π · 1 3 2r − 1
· · . . . ·
2 2 2
= √ π (2r)!
.
r! · 22r (3.209)
t 2r
(2r)! = √ π
=
1
2 √ π
1
2 √ π e−x2
∞
0
(−1) r t 2r
22r r! = √ − t2
πe 4 . (3.210)
∞
e
−∞
−ixt − t2
e 4 dt
∞
−∞
e −( t 2 +ix)2
254
dt

=
come si era supposto.
Volumetto 3: 28 giugno 1929
1
√ e
π −x2
∞
e
−∞
−( t 2 +ix)2
t
d + ix
2
= e −x2
. (3.211)
Esempio 4. Proponiamoci di trovare la funzione i cui momenti sono:
Avremo:
z =
z it =
µ0 = 1 (3.212)
µ1 = 1
4
(3.213)
µ2 = 1
. . .
9
(3.214)
µn =
1
.
(n + 1) 2 (3.215)
∞
0
∞
1
µn
(it) q
q! q
(it) n
n! =
i z ′ t + z =
∞ (it)
i
1
q−1
q!
it z ′ t + z =
∞
1
∞
0
(it) n
(n + 1)! (n + 1)
(3.216)
(3.217)
(3.218)
(it) q
q! = eit − 1 (3.219)
z ′ = − z
t + eit − 1
it 2 . (3.220)
Segue, badando che per t = 0 deve essere z = 1:
z = 1
t
t
Sostituendo nella (3.195) o in (3.191):
y = 1
2π
∞
−∞
e −ixt dt · 1
t
0
t
0
255
e it − 1
it
e it1 − 1
dt1
it1
dt. (3.221)

= 1
π
+
= 1
π
= 1
π
∞
0
∞
0
π
4
0
Volumetto 3: 28 giugno 1929
cos xt
t
sin xt
t
dt
dt
dθ
sin θ cos θ
t
0
t
sin t1
dt1
t1
1 − cos t1
dt1
0
∞
0
t1
1
r
+ sin (xr cos θ) (1 − cos (r sin θ))] dr
·
π 4
0
∞
0
[cos (xr cos θ) sin (r sin θ)
dθ
sin θ cos θ ·
1
{sin [r(sin θ − x cos θ)] + sin (rx cos θ)} dr. (3.222)
r
Il secondo integrale vale per 0 < θ < π/4:
Per 0 < x < 1, avremo quindi
y =
π 4
arctan x
0, se x < 0
π, se 0 < x < tan θ.
(3.223)
dθ
sin θ cos θ = [log tan θ] π 4
arctan x = − log x. (3.224)
Resta così determinata la funzione y per tutti i valori di x:
per x < 0, y = 0
per 0 < x < 1, y = − log x
per x > 1, y = 0.
(3.225)
È facile verificare che la funzione y così definita soddisfa alle condizioni
proposte.
Esempio 5. Sia y dx la probabilità che due punti (elementi di superficie)
di un cerchio di raggio unitario abbiano distanza compresa tra x e
x + dx. I momenti di y, per la formola (7) nel paragrafo 1.21, saranno:
In particolare,
µn =
4 (n + 1)!
. (3.226)
n + 4 (1 + n/2)! (1 + n/2)!
µ0 = 1 (3.227)
256

Sostituendo in (3.194):
z =
=
∞
0
∞
0
µn
Volumetto 3: 28 giugno 1929
(it) n
n! =
µ1 = 128
45π
(3.228)
µ2 = 1 (3.229)
. . .
Poniamo z = z1 + iz2. Si avrà:
t 2
da cui segue:
e poiché:
t
0
t
0
∞ n + 1 (it)
4
n + 4
n
(1 + n/2)! (1 + n/2)!
0
2 (n + 1)(it) n
. (3.230)
(1 + n/2)! (2 + n/2)!
z1 =
∞
(−1) r 2 (2r + 1)
0
t 2r
(r + 1)! (r + 2)!
z1 dt =
∞
(−1)
0
r t
2
2r+1
(r + 1)! (r + 2)!
z1 dt =
∞
(−1)
0
r t
2
2r+3
(r + 1)! (r + 2)!
=
∞
− (−1)
1
s t
2
2s+1
s! (s + 1)!
=
∞
− (−1) s 2 (2t/2)2s+1
s! (s + 1)!
t
0
1
(3.231)
(3.232)
= 2t − 2I1(2t), (3.233)
z1 dt = 2
t
− 2 I1(2t)
t 2
z1 = − 2
t2 − 4 I′ 1(2t)
t2 (3.234)
I1(2t)
+
t3 ; (3.235)
I ′ 1(2t) = I0(2t) − 1
I1(2t), (3.236)
2t
257

segue:
Quanto a z2 si avrà:
ecc. .
t 2
t
0
t
0
z2 =
z2 dt =
z2 dt =
Volumetto 3: 28 giugno 1929
z1 = −
2 + 4 I0(2t)
t 2
∞
(−1) r 4 (r + 1)
0
+ 6 I1(2t)
t 3 . (3.237)
∞
(−1)
0
r t
2
2r+2
(r + 3/2)! (r + 5/2)!
∞
(−1) r t
2
2r+4
(r + 3/2)! (r + 5/2)!
0
t 2r+1
(r + 3/2)! (r + 5/2)! (3.238)
(3.239)
(3.240)
Esempio 6. Sia y(r) dr la probabilità che la distanza tra due punti
di superfici sferiche concentriche, l’una di raggio unitario, l’altra di raggio
a < 1, sia compresa fra r e r + dr. I momenti sono in questo caso:
µ0 = 1 (3.241)
µ1 = 1 + 1
3 a2
·s
(3.242)
µn = (1 + a)n+2 − (1 − a) n+2
·s;
2(n + 2)a
(3.243)
(si veda il paragrafo 2.38.6).
Sostituendo nella (3.194), ricaviamo:
t
0
z =
z dt =
(1 + a)2
2a
−
1 + a
2a i
−
∞
0
(1 − a)2
2a
∞
0
1 − a
2a i
(1 + a) n (it) n
n! (n + 2)
∞
0
(1 − a) n (it) n
, (3.244)
n! (n + 2)
(1 + a) n+1 (it) n+1
(n + 2)!
∞
0
258
(1 − a) n+1 (it) n+1
, (3.245)
(n + 2)!

t
D’altronde:
t
0
Volumetto 3: 28 giugno 1929
z dt = − 1
2a
∞
0
(1 + a) n+2 (it) n+2
(n + 2)!
+ 1
∞ (1 − a)
2a
0
n+2 (it) n+2
(n + 2)!
= − 1
e
2a
i (1+a) t
− 1 − i (1 + a) t
+ 1
e
2a
i (1−a) t
− 1 − i (1 − a) t
= ei (1−a) t i (1+a) t
− e
2a
t
z dt
0
= ei (1−a) t i (1+a) t
− e
2at
z = ei (1+a) t i (1−a) t
− e
2at2 ∞
z e
−∞
−i r t dt =
=
+ i t, (3.246)
+ i, (3.247)
− i (1 + a) ei (1+a) t i (1−a) t
− (1 − a) e
t
−i r t
e
−
2at
∞ z dt
−∞
∞
0
−i r e
−∞
−i r t t
dt
0
−i r t
e
+ i r
∞
2a
i r
−
2a
− r
e i (1−a) t − e i (1+a) t
2at
e i (1−a−r) t − 1
t
z(t1) dt1
dt
∞
+ i
−∞
. (3.248)
−∞
∞
e
−∞
i (1+a−r) t − 1
dt
t
∞
e
−∞
−i r t dt. (3.249)
Il primo e il quarto termine nel secondo membro sono indeterminati e il
259

Volumetto 3: 28 giugno 1929
loro valore medio è zero. Il secondo vale:
Il terzo vale:
− π r
, per r < 1 − a,
2a
π r
, per r > 1 − a.
2a
π r
, per r < 1 + a,
2a
− π r
,
2a
per r > 1 + a.
Segue dalla (3.191), ponendo r in luogo di x:
(si veda il paragrafo 2.38.6.)
y = 0, per r < 1 − a,
y = r
, per 1 − a < r < 1 + a,
2a
y = 0, per r > 1 + a;
3.5 Curve di probabilità
(3.250)
(3.251)
(3.252)
(1) Probabilità che 2 punti di due superfici sferiche concentriche di raggi
a e b < a abbiano la distanza r:
y = dP/dr (densità di probabilità), si ha:
y = 0, per r < a − b
y = r
, per a − b < r < a + b
2ab
y = 0, per r > a + b;
(si vedano i paragrafi 2.39.6 e 3.4.)
260
(3.253)

Seguono i momenti:
µn =
In particolare:
Volumetto 3: 28 giugno 1929
r n y dr = (a + b)n+2 − (a − b) n+2
. (3.254)
2ab(n + 2)
µ−1 = 1
a
(3.255)
µ0 = 1 (3.256)
µ1 = a + 1 b
3
2
a
µ2 = a 2 + b 2
. . .
(3.257)
(3.258)
(2) Densità della probabilità che due punti di un segmento di lunghezza
ℓ abbiano la distanza r:
I momenti saranno:
In particolare:
y(r) =
2(ℓ − r)
ℓ 2 , 0 < r < ℓ,
y(r) = 0, altrimenti.
µn =
(3.259)
2ℓ n
. (3.260)
(n + 1) (n + 2)
µ0 = 1 (3.261)
µ1 = ℓ
3
(3.262)
µ2 = ℓ2
. . .
6
(3.263)
(3) Densità della probabilità che due punti appartenenti a due circonferenze
complanari e concentriche, l’una di raggio a, l’altra di raggio
b < a, abbiano la distanza r:
y =
2r
π − (a2 − b2 ) 2 + 2(a2 + b2 )r2 . (3.264)
− r4 261

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Se b = a, si ha semplicemente:
y =
3.6 L’integrale definito π/2
0
Dalla relazione:
2r
π √ 4a2r2 . (3.265)
− r4 sin kx
sin x dx
sin (k + 2) x − sin kx = 2 cos (k + 1) x sin x (3.266)
si deduce:
sin (k + 2) x
sin x
= sin kx
sin x
+ 2 cos (k + 1) x. (3.267)
Integrando fra 0 e π/2 e ponendo:
si ha:
y(k) =
π/2
0
sin kx
sin x
dx, (3.268)
y(k) − y(k + 2) = − 2 (k + 1) π
sin . (3.269)
k + 1 2
Scrivendo le relazioni analoghe con k + 2, k + 4, . . ., k + 2n in luogo di K
e notando che
cioè:
si ricava:
lim
k→∞
π/2
0
y(k) = π
2 −
sin kx
sin x
∞
0
dx = lim
=
k→∞
∞
0
∞
0
sin x
x
sin kx
x
dx
π
dx = , (3.270)
2
y(∞) = π
, (3.271)
2
2
k + 1 + 2r
262
(k + 1 + 2r) π
sin , (3.272)
2

cioè:
In altre parole:
y(k) = π
2
y(k) = π
2
− 2
Volumetto 3: 28 giugno 1929
1
k + 1
− sin (k + 1) π
2
− 1
k + 3
+ 1
k + 5
∞
Consideriamo la funzione definita per α positivo:
φ(α) = 1 − 1
1 + α +
per α = 0 porremo:
1
1 + 2α −
0
2(−1) r
. (3.273)
(k + 1) + 2r
− . . . sin
1
1 + 3α
(k + 1)π
. (3.274)
2
+ . . . , (3.275)
φ(0) = lim φ(α) =
α→0 1
.
2
Tale funzione è sempre crescente e compresa fra 1/2 e 1.
Da notare l’identità:
(3.276)
φ(α) + 1
1 + α φ
α
1 + α
= 1, (3.277)
che permette di determinare lo sviluppo in serie di φ(α) per α → 0. Si può
anche porre φ(α) sotto forma integrale:
φ(α) =
e si deducono come casi particolari:
1
0
dx
, (3.278)
1 + xα φ(0) = lim φ(α) =
α→0 1
π
, φ(1) = log 2, φ(2) = . (3.279)
2 4
Per α intero si ha:
1
1 + xα =
1
1 − x δ +
1
1 − x δ3 + . . . +
1
1 − x δ2α−1
1
,
α
(3.280)
essendo δ = e iπ/α , cioè la prima radice α-esima di −1. L’equazione (3.280)
si dimostra immediatamente sviluppando i due membri in serie di potenze
di x o di 1/α, secondo che α sia minore o maggiore di 1.
263

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Sostituendo in (3.278) mediante (3.280), per α intero si ha:
φ(α) = − 1
α
+
1
δ
ovvero, notando che δ 2α = 1,
1
log (1 − δ) +
δ3 log (1 − δ3 ) + . . .
1
δ2α−1 log (1 − δ2α−1
) ; (3.281)
φ(α) = − 1 2α−1 2α−3 3
δ log (1 − δ) + δ log (1 − δ ) + . . .
α
+ δ log (1 − δ 2α−1 ) . (3.282)
(Con l’avvertenza che la parte immaginaria in ognuno dei logaritmi che
figurano al secondo membro della (3.282) è determinata univocamente dalla
condizione che sia compresa fra (−iπ/2, iπ/2)).
Se si bada che nel secondo membro della (3.282) i termini sono a due
a due complessi coniugati e che
log (1 − δ r ) = log
δ 2α−r = cos
2 sin
r π
α
la (3.282) diventa:
φ(α) = cos π
α log
2 sin π
2α
+ cos 3π
α log
2 sin 3π
2α
+ cos
+ π
2α α
+ (2α − 1)π
α
Si deducono come casi particolari:
(2α − 1)π
log
α
π 3π
sin +
sin
r π
r π π
+ i − i (3.283)
2 2α 2
r π
− i sin , (3.284)
α
+ . . .
(2α − 1)π
2 sin
2α
3π
sin + . . .
2α α
(2α − 1)π
. (3.285)
α
φ(0) = 1
π
, φ(1) = log 2, φ(2) =
2 4 ,
φ(3) = 1
√
3
log 2 + π, φ(4) = . . . .
3 9
264
(3.286)

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Si può così calcolare φ(α) per α intero; ma l’uso ripetuto della (3.277)
permette di calcolare tale funzione per tutti i valori della variabile indipendente
del tipo α/(1 + nα), con α e n interi. Escludendo il caso triviale
α = 0, si ha per ogni valore di n e al variare di α tra 1 e ∞, un gruppo
discreto di valori della variabile indipendente per i quali è possibile calcolare
la funzione; il più piccolo di tali valori è 1/(n + 1), e il loro limite
superiore è 1/n. L’insieme dei valori per i quali la funzione si può calcolare
ammette quindi un insieme discreto di punti limiti della forma 1/n; non
è quindi possibile valutare l’intera funzione in base alle considerazioni che
precedono e alla continuità.
Se si vuol conoscere il valore di φ(α) per un valore arbitrario di α, applicando
la (3.277) ci si può sempre ridurre al caso α < 1, in quanto sarà
sempre α/(1 + α) < 1. Applicando due volte la (3.277) ci si porta al caso
α < 1/2. Si può allora utilizzare la seguente tavola: 70
α φ(α)
0 0.50000
0.02 0.50500
0.04 0.51000
0.06 0.51498
0.08 0.51994
0.10 0.52488
0.12 0.52979
0.14 0.53467
0.16 0.53951
0.18 0.54431
0.20 0.54907
0.22 0.55378
0.24 0.55843
Per α piccolo, giova lo sviluppo:
φ(α) = 1
2
α φ(α)
0.26 0.56304
0.28 0.56759
0.30 0.57201
0.32 0.57652
0.34 0.58089
0.36 0.58521
0.38 0.58946
0.40 0.59366
0.42 0.59779
0.44 0.60186
0.46 0.60587
0.48 0.60982
0.50 0.61371
1 1
+ α −
4 8 α3 + 1
4 α5 − 17
16 α7 + . . . . (3.287)
Sostituendo la (3.275) nella (3.274), si ricava:
y(k) = π
2 2
− φ
sin
2 k + 1 k + 1
(k + 1)π
. (3.288)
2
70 Nel manoscritto originale, nella tabella vengono riportati solo i valori corrispondenti
a α = 0, α = 0.40, e α = 0.50.
265

Si deduce:
y(0) = 0
Volumetto 3: 28 giugno 1929
y(2)
y(4)
=
=
2
2 1 − 1
=
3
4
y(6) =
3
2 1 − 1
y(8) =
1
+
3 5
2 1 − 1
y(10) =
1 1
+ −
3 5 7
2 1 − 1
1 1 1
+ − +
3 5 7 9
y(1) = y(3) = y(5) = . . . = y(2n + 1) = π
2 .
Questa relazione è di evidenza immediata quindi k = 1, e segue direttamente
dalla (3.269) quando k è un intero dispari qualsiasi. Si deduce:
∞
0
sin x
x
dx = lim
k→∞
π/2
0
3.7 Prodotti infiniti
(1)
(2)
(1 − k)
2 2 4 4 6 6
· · · · ·
1 3 3 5 5 7
sin kx
sin x
π
dx = . (3.289)
2
π
· . . . = . (3.290)
2
1 − k
1 −
4
k
1 −
9
k
. . . =
16
sin π√k π √ k
266
(3.291)
[0 < k]

(3)
Volumetto 3: 28 giugno 1929
Se si pone x = π √ k, k = x 2 /π 2 , si può scrivere:
sin x
x
= (1 − k)
1 − k
4
1 − k
9
1 − k
16
. . . (3.292)
Per x = π/2 e quindi (k = 1/4) segue la formola 1) di Wallis. (1).
1
2 · 42 ·7
53 · 72 ·10
83 · 102 ·13
113 · 132 ·16
143 · . . . =
(si veda il paragrafo 2.5), essendo
Ed essendo:
segue:
lim
x→∞
3 P1
P ′′
1 (x) = x P1(x), P1(0) = 1, P ′ 1(0) = 0,
P ′′
2 (x) = x P2(x), P2(0) = 0, P ′ 2(0) = 1.
P2 = P1
1
λ =
∞
0
∞
0
dx
P 2 1
P2
= λ 3
(3.293)
(3.294)
dx
P 2 . (3.295)
1
3.8 Polinomi e numeri di Bernoulli
I polinomi di Bernoulli si possono far derivare dalla funzione generatrice:
ψ(x, t) =
t ext
et − 1 =
∞ Bn(x)
t
n!
n . (3.296)
I numeri di Bernoulli sono i termini costanti dei polinomi di Bernoulli
Bn(x):
Bn = Bn(0). (3.297)
Ponendo x = 0 nella (3.296), si ricava la definizione diretta dei numeri di
Bernoulli:
t
et − 1 =
∞ Bn
n! tn . (3.298)
0
267
0

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Diamo l’espressione dei primi numeri e polinomi di Bernoulli:
B0 = 1, B1 = − 1
2 , B2 = 1
6 , B3 = 0,
B4 = − 1
30 , B5 = 0, B6 = 1
42 , B7 = 0,
B8 = − 1
30 , B9 = 0, B10 = 5
66 , B11 = 0.
B0(x) = 1,
B1(x) = x − 1
2 ,
B2(x) = x 2 − x + 1
6 ,
B3(x) = x 3 − 3
2 x2 + 1
2 x,
B4(x) = x 4 − 2x 3 + x 2 − 1
30 ,
B5(x) = x 5 − 5
2 x4 + 5
3 x3 − 1
6 x,
B6(x) = x 6 − 3 x 5 + 5
2 x4 − 1
2 x2 + 1
42 ,
B7(x) = x 7 − 7
2 x6 + 7
2 x5 − 7
6 x3 + 1
6 x,
B8(x) = x 8 − 4 x 7 + 14
3 x6 − 7
3 x4 + 2
3 x2 − 1
30 ,
B9(x) = x 9 − 9
2 x8 + 6 x 7 − 21
5 x5 + 2 x 3 − 3
10 x,
B10(x) = x 10 − 5 x 9 + 15
2 x8 − 7 x 6 + 5 x 4 − 3
2 x2 + 5
66 ,
268

Volumetto 3: 28 giugno 1929
B11(x) = x 11 − 11
2 x10 + 55
6 x9 − 11 x 7 + 11 x 5 − 11
2 x3 + 5
6 x.
3.9 Parentesi di Poisson
Si definisce come parentesi di Poisson di a e b, nella meccanica quantistica,
l’espressione: 71
[a , b] = i
(a b − b a) = − [b , a] . (3.299)
Se q e p sono le variabili canoniche, si avrà, notando che p = −(/i)∂/∂q,
[qi , pi] = 1 (3.300)
[a , b] =
∂a ∂b
−
∂qi ∂pi
i
∂a
∂b
(3.301)
∂pi ∂qi
[x , H] =
∂x ∂H
−
∂qi ∂pi
i
∂x
∂H
∂pi ∂qi
=
∂x
˙qi +
∂qi
∂x
˙pi = ˙x. (3.302)
∂pi
i
Diamo l’espressione delle parentesi di Poisson per alcune coppie di grandezze:
(1) Sia:
ux = qy pz − qz py
uy = qz px − qx pz
(3.303)
(3.304)
uz = qx py − qy px. (3.305)
71 Nel manoscritto originale si usa la vecchia notazione h/2π, mentre qui denotiamo
la stessa quantità con .
269

Segue:
(2) Sia:
Si avrà:
Volumetto 3: 28 giugno 1929
[ux , uy] = − [uy , ux] = uz
[uy , uz] = − [uz , uy] = ux
[uz , ux] = − [ux , uz] = uy
(3.306)
(3.307)
(3.308)
2
ux , uy = ux uz + uz ux
(3.309)
2
ux , uz = − ux uy − uy ux, etc. (3.310)
ux , u 2 y = uy uz + uz uy
(3.311)
2 ux , uz = − ux uy − uy ux, etc. (3.312)
2
ux + u 2 y + u 2
z , ux
= 0 − uyuz − uzuy + uzuy + uyuz = 0 etc. (3.313)
[r , px] = qx
r
[r , py] = qy
r
[r , pz] = qz
r
[cos θ , px] = − qx qz
r 3
[cos θ , py] = − qy qz
r 3
[cos θ , pz] = r2 − q 2 z
r 3
qx = r sin θ cos φ (3.314)
qy = r sin θ sin φ (3.315)
qz = r cos θ. (3.316)
[sin θ , px] = cos2 θ cos φ
r
270
= sin θ cos φ (3.317)
= sin θ sin φ (3.318)
= cos θ (3.319)
sin θ cos θ cos φ
= −
r
sin θ cos θ sin φ
= −
r
= sin2 θ
r
(3.320)
(3.321)
(3.322)
(3.323)

Volumetto 3: 28 giugno 1929
[sin θ , py] = cos2 θ sin φ
r
(3.324)
[sin θ , pz] =
sin θ cos θ
−
r
(3.325)
[θ , px] =
cos θ cos φ
r
(3.326)
[θ , py] =
cos θ sin φ
r
(3.327)
[θ , pz] =
sin θ
−
r
(3.328)
[cos φ , px] = sin2 φ
r sin θ
(3.329)
[cos φ , py] =
cos φ sin φ
−
r sin θ
(3.330)
[cos φ , pz] = 0 (3.331)
[sin φ , px] =
cos φ sin φ
−
r sin θ
(3.332)
[sin φ , py] = cos2 φ
r sin θ
(3.333)
[sin φ , pz] = 0 (3.334)
[φ , px] =
sin φ
−
r sin θ
(3.335)
[φ , py] =
cos φ
r sin θ
(3.336)
[φ , pz] = 0. (3.337)
(3) Ponendo per semplicità:
X = ux (3.338)
Y = uy (3.339)
Z = uz. (3.340)
Se k è il quanto azimutale, m (o n) il quanto equatoriale, si hanno
in unità le matrici di degenerazione:
Zm,n = δm,n m (3.341)
Xm,n = 1
2 (δm+1,n + δm,n+1) k(k + 1) − mn (3.342)
271

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Ym,n = i
2 (δm+1,n − δm,n+1) k(k + 1) − mn. (3.343)
Ad esempio per k = 2
Z =
⎛
⎜
⎝
2 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 −1 0
0 0 0 0 −2
⎞
⎟
⎠
X =
⎛
⎜
⎝
0
1
0
0
1
0
3
2
0
0
3
2
0
3
2
0
0
3
2
0
0
0
0
1
⎞
⎟
⎠
0 0 0 1 0
Y =
⎛
⎜
⎝
0
−i
0
0
i
0
3
−i 2
0
0
3
i 2
0
3
−i 2
0
0
3
i 2
0
0
0
0
i
⎞
⎟
⎠
0 0 0 −i 0
X 2 =
Z 2 =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
4 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 −1 0
0 0 0 0 4
1 0
0
3
5
2
3
⎞
⎟
⎠
2 0 0
0 0
3
2
2 0 3 0
0 0
3
2
0 0
272
3
5
2
3
2
0
2 0 1
⎞
⎟
⎠
(3.344)
(3.345)
(3.346)
(3.347)
(3.348)

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Y 2 =
⎛
⎜
⎝
1
0
0
5
2
3
− 2
0
0
−
0
3
3
− 2
0
0
−
3
2
0
0
3
− 2
3
0
2
0
0
3
− 2
5
2
0
0
1
⎞
⎟
⎠
X 2 + Y 2 + Z 2 ⎛
6 0 0 0 0
⎞
=
⎜
⎝
0
0
0
6
0
0
0
6
0
0
0
6
0
0
0
⎟
⎠
0 0 0 0 6
X Y =
⎛
⎜
⎝
−i
0
0
−
3
i 2 0 0
1
3
−i 2
0
i 2
0
−
0
0
3
i 2
0
0
3
i 2
3
0
i 2
0
0
3
−i 2
1
i 2
0
0
i
⎞
⎟
⎠
Y X =
⎛
⎜
⎝
i
0
3
−i 2
0
0
1
i 2
0
−
3
i 2
0
0
0
3
i 2
0
0
0
3
i 2
3
0
i 2
0
0
3
−i 2
1
− i 2
0
0
−i
⎞
⎟
⎠
⎛
0 1 0 0 0
⎞
X Z =
⎜
⎝
2
0
0
0
3
2
0
0
0
0
0
3
− 2
0
0
0
−2
⎟
⎠
0 0 0 −1 0
Z X =
⎛
⎜
⎝
0
1
0
0
2
0
0
0
0
3
2
0
3
− 2
0
0
0
0
0
0
0
−1
⎞
⎟
⎠
0 0 0 −2 0
273
(3.349)
(3.350)
(3.351)
(3.352)
(3.353)
(3.354)

Volumetto 3: 28 giugno 1929
⎛
0 i 0 0 0
⎞
Y Z =
⎜
⎝
−2i
0
0
0
3
−i 2
0
0
0
0
0
3
−i 2
0
0
0
−2i
⎟
⎠
0 0 0 i 0
Z Y =
⎛
⎜
⎝
0
−i
0
0
2i
0
0
0
0
3
i 2
0
3
i 2
0
0
0
0
0
0
0
−i
⎞
⎟
⎠
0 0 0 2i 0
(3.355)
(3.356)
⎛
2 0 0 0 0
⎞
[X , Y ] = i (X Y − Y X) =
⎜
⎝
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
⎟ = Z
⎠
0 0 0 0 −2
(3.357)
[Y , Z] = i (Y Z − Z Y ) =
⎛
⎜
⎝
0
1
0
0
1
0
3
2
0
0
3
2
0
3
2
0
0
3
2
0
0
0
0
1
⎞
⎟
⎠
= X
0 0 0 1 0
(3.358)
[Z , X] = i (Z X − X Z) =
⎛
⎜
⎝
0
−i
0
0
i
0
3
−i 2
0
0
3
i 2
0
3
−i 2
0
0
3
i 2
0
0
0
0
i
⎞
⎟
⎠
0 0 0 −i 0
(3.359)
274

Volumetto 3: 28 giugno 1929
3.10 Grandezze fisiche elementari
Le grandezze sono date in unità assolute. Sono segnate con asterisco le
grandezze sperimentali che sono servite di base per il calcolo di tutte le
altre. 72
Grandezze Valori
e (carica dell’elettrone) 4.774×10 −10
m (massa di riposo dell’elettrone) 0.90017×10 −27
h (quanto d’azione) 6.5463×10 −27
h/2π 1.04188×10 −27
k = R/N (costante di Boltzmann)
R (costante dei gas perfetti) 8.25×10 7
N (numero di Avogadro) 6.0597×10 23
MH = 1/N (massa di O/16) 1.65025×10 −24
e/mc 1.769×10 7
c (velocità della luce) 2.998×10 10
F = eN/c (costante di Faraday) 9649.4 *
R/c = (2π 2 me 4 )/(h 3 c)
(Rydberg in numero d’onda) 109737.1 *
R = (2π 2 me 4 )/h 3 (frequenza di Rydberg) 3.2899×10 15
72 L’Autore misura la lunghezza in m, la massa in g, il tempo in s e la carica
elettrica in esu. Altre unità sono derivate da queste. Si osservi che i valori
sperimentali attualmente accettati differiscono leggermente da quelli riportati.
275
*
*
*
*

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Grandezze Valori
Rh = (2π 2 me 4 )/h 2 (energia di Rydberg)
r = h 2 /(4π 2 me 2 ) (primo raggio di Bohr)
µ = (eh)/(4πmc) (magnetone di Bohr)
ν = e/(4πmc)
(frequenza di Larmor in un campo unitario)
e/(4πmc 2 )
(idem in numero d’onda in un campo unitario)
(hc 2 )/(10 4 e) (volts corrispondenti a 1µ)
(Rhc)/(10 8 e) (volts corrispondenti a 1 Rydberg)
(mc 3 )/(10 8 e) (volts corrispondenti a m)
(10 8 e)/(ck) (temperatura corrispondente a 1V )
(10 4 ch)/k (temperatura corrispondente a 1µ)
3.11 Curva del cane
Un punto Q si muove sull’asse x con velocità costante u in modo che le
sue coordinate rettangolari sono: Q(ut, 0). Un punto P (x, y) si muove con
velocità costante v in direzione di Q; si tratta di determinare la traiettoria
di P . La tangente a detta traiettoria per P in un istante qualunque passa
per Q; l’inviluppo delle rette P Q rappresenta quindi la curva percorsa
dall’inseguitore. Introduciamo come parametro l’angolo tra P Q e l’asse x,
276

Volumetto 3: 28 giugno 1929
che chiameremo α. Le coordinate di P soddisferanno all’equazione della
retta passante per P e Q:
y = (u t − x) tan α; (3.360)
e poiché P appartiene all’inviluppo di tali rette, x e y soddisfanno anche
la densità della (3.360) rispetto al tempo: 73
da cui segue:
e derivando:
D’altra parte dev’essere:
(u t − x) 1 + tan 2 α dα
dt
+ u tan α = 0; (3.361)
x = u t + u dt
sin α cos α
dα
(3.362)
y = − u dt
dα sin2 α (3.363)
˙x = 2 u cos 2 α + u d2t dα2 dα
sin α cos α (3.364)
dt
˙y = − 2 u sin α cos α − u d2 t
dα 2
dα
dt sin2 α. (3.365)
˙x = v cos α, ˙y = − v sin α, (3.366)
da cui confrontando con la (3.364) o con (3.365):
cioè:
d dt
log
dα dα =
log dt
dα
dt
dα
73 Si veda anche la (3.366).
2 cos α + d2t dα2 dα
dt
v
u sin α
v
sin α = , (3.367)
u
− 2 cos α
sin α
=
v α
log tan − 2 log sin α + cost.
u 2
=
(tan α/2)
c1
v/u
sin2 t =
α
v/u
(tan α/2)
c1
sin
(3.368)
2 dα + c2 ,
α
(3.369)
277

Volumetto 3: 28 giugno 1929
e confrontando con le equazioni (3.362) e (3.363):
v/u
(tan α/2)
x = u c1
sin2
cos α
dα + (tan α/2)v/u + u c2 (3.370)
α sin α
y = − u c1 (tan α/2) v/u . (3.371)
La forma delle curve dipende, come è naturale, solo dal rapporto v/u.
Supponiamo per esempio u = v; avremo:
e ponendo
si ha:
tan α/2
sin 2 α
1 α
dα + log tan
2 2
1
+
4 tan2 α
2
− 1
4
(3.372)
u = v = 1, c1 = −1, c2 = 0, (3.373)
t = − 1 α
log tan
2 2
x =
tan α/2
t −
tan α
1
−
4 tan2 α
2
+ 1
4
(3.374)
(3.375)
y = tan α
; (3.376)
2
eliminando α mediante quest’ultima:
t = − 1 1
log y −
2 4 y2 + 1
4
(3.377)
x = − 1 1
log y +
2 4 y2 − 1
.
4
(3.378)
Poiché per t = 0, si ha x = 0, y = 1, t misura l’arco di curva tra il punto
(0, 1) e il punto generico (x, y). Dalle equazioni (3.377) e (3.378), segue:
t = x + 1
2
− 1
2 y2 . (3.379)
Segue dalla (3.378) che il valore minimo di x è 0 (per y = 1); il punto
(0, 1), preso come origine degli archi, è dunque il punto in cui la tangente
alla curva è verticale.
278

Volumetto 3: 28 giugno 1929
3.12 Potenziale statistico nelle molecole
Il potenziale entro un gas di elettroni soddisfa staticamente all’equazione
differenziale:
∆ V = − kV 3/2 . (3.380)
La determinazione approssimata di V , quando si conoscano approssimativamente
le superfici equipotenziali, può farsi nel modo seguente. Sia
f(x, y, z) = p (3.381)
l’espressione approssimata della superficie equipotenziale in funzione di un
parametro p. Poniamo:
V = V (p), (3.382)
avremo:
grad V = dV
grad p
dp
(3.383)
e indicando con n la normale esterna alla superficie
σ
∂V dV
dσ =
∂n dp
σ
∂p
dV
dσ = y1(p) , (3.384)
∂n dp
in cui y1(p) è una funzione nota. Integrando poi la (3.380) nello spazio fra
due superfici equipotenziali corrispondenti a p e p + dp, V 3/2 viene fuori
dall’integrale:
∆ V dS = − k V
∆S
3/2
−1 ∂p
dp dσ = − k V
σ ∂n
3/2 y2(p) dp,
(3.385)
in cui
y2(p) =
σ
−1 ∂p
dσ (3.386)
∂n
è ancora una funzione nota di p. D’altra parte per la formola della diver-
genza:
∆S
∆ V dS =
σ(p+dp)
∂V
dσ(p + dp) −
∂n σ(p)
= y1(p + dp) V ′ (p + dp) − y1(p) V ′ (p)
= y1 V ′′ + y ′ 1 V ′ dp,
279
∂V
∂n dσ(p)

Volumetto 3: 28 giugno 1929
e confrontando con la formola (3.385):
y1 V ′′ + y ′ 1 V ′ = − k V 3/2 y2 (3.387)
che permette la determinazione di V (p) quando siano assegnate le condizioni
ai limiti. Consideriamo per esempio la molecola biatomica con
nuclei uguali e assumiamo come approssimate superfici equipotenziali:
avremo:
p = r1 r2
r1 + r2
=
1
r1
grad p = − p 2 grad 1
p = − p2 grad 1
+ 1
−1 ; (3.388)
r2
r1
− p 2 grad 1
r2
(3.389)
e indicando rispettivamente con u e v due vettori unitari diretti secondo
r1 e r2:
grad p = p2
∂p
∂n
r 2 1
u + p2
r2 v (3.390)
2
= |grad p| , (3.391)
da cui si può calcolare y1 e y2. Ma conviene eseguire il calcolo in coordinate
ellittiche, badando anche che
y2 = ∂S
, (3.392)
∂p
essendo S il volume racchiuso dalla superficie equipotenziale p. Inoltre y1
è il flusso uscente di grad p = −p 2 grad (1/p); e poiché 1/p è armonica con
le singolarità del tipo 1/r1 e 1/r2 nei nuclei il flusso uscente di grad (1/p)
vale −8π; segue:
y1(p) = 8π p 2 . (3.393)
Consideriamo una sezione meridiana del volume racchiuso dalla superficie
p; in coordinate cartesiane x e z, siano i nuclei sull’asse x nei punti
(a, 0) e (−a, 0). Introducendo le coordinate ellittiche:
u = (r1 + r2) /2, v = (r1 − r2) /2, (3.394)
280

sarà:
Volumetto 3: 28 giugno 1929
u v
r1 = u + v, r2 = u − v, x =
a
y 2 = (u2 − a 2 )(a 2 − v 2 )
a2
, S = π y 2 dx, (3.395)
l’integrale essendo esteso al contorno della semisezione meridiana (y > 0).
L’equazione (3.388) che deve essere soddisfatta al contorno diventa:
con
p = u 2 − v 2 2u, (3.396)
v 2 = u 2 − 2 u p, v = ± u 2 − 2 u p, u = p + p 2 + v 2 , u > 0.
(3.397)
Si ha y = 0 nei punti:
u = p + p 2 + a 2 , v = a
u = p + p 2 + a 2 , v = − a
u = a, v = a 2 − 2ap
u = a, v = − a 2 − 2ap.
I primi due sono sempre reali; gli ultimi due sono reali e distinti solo se
p < a/2, coincidono in (u , v) = (a , 0) se p = a/2.
Introduciamo la variabile:
t = v
, (3.398)
u
u e v si esprimono razionalmente in funzione di t:
e poiché x = uv/a, segue:
dx = 1
2p
d (uv) =
a a d
u = 2p
2pt
, v = ; (3.399)
1 − t2 1 − t2 t
(1 − t2 2p
=
) 2 a
s
1 + 3t 2
(1 − t2 dt. (3.400)
) 3
Segue, se estendiamo l’integrale ai soli valori positivi permessi di t:
S = 4πp
a3 2
4p
(1 − t2 ) 2
− a2 a 2 − 4p2t 2
(1 − t2 ) 2
2
1 + 3t
(1 − t2 dt, (3.401)
) 3
in cui il limite inferiore dell’integrale è zero se p ≥ a/2, mentre vale
a 2 − 2ap/a se p < a/2; il limite superiore è in ogni caso a/(p+ p 2 + a 2 ).
281

Volumetto 3: 28 giugno 1929
3.13 Gruppo delle trasformazioni unitarie
in due variabili
Consideriamo il gruppo U(2) delle trasformazioni unitarie in due variabili
ξ e η, con determinante 1. Se
α β
γ δ
è la matrice appartenente a una singola trasformazione, se cioè:
dovranno valere le relazioni:
Posto:
ξ ′ = α ξ + β η, η ′ = γ ξ + δ η, (3.402)
α ∗ α + β ∗ β = 1, α ∗ γ + β ∗ δ = 0,
γ ∗ γ + δ ∗ δ = 1, α δ − β γ = 1.
α = α1 + i α2, β = β1 + i β2,
γ = γ1 + i γ2, δ = δ1 + i δ2,
(3.403)
sostituendo nella (3.403) dovranno valere le relazioni, fra grandezze reali:
α 2 1 + α 2 2 + β 2 1 + β 2 2 = 1
γ 2 1 + γ 2 2 + δ 2 1 + δ 2 2 = 1
α1 γ1 + α2 γ2 + β1 δ1 + β2 δ2 = 0
α1 γ2 − α2 γ1 + β1 δ2 − β2 δ1 = 0
α1 δ1 − α2 δ2 − β1 γ1 + β2 γ2 = 1
α1 δ2 + α2 δ1 − β1 γ2 − β2 γ1 = 0.
Moltiplicando la terza equazione per α, la quarta per −α2, la quinta per
−β1, la sesta per −β2, e sommando si ha, tenuto conto della prima:
γ1 = − β1.
282

Analogamente si trova:
Volumetto 3: 28 giugno 1929
γ2 = β2, δ1 = α1, δ2 = − α2.
si possono dunque scegliere ad arbitrio α1, α2, β1, β2 in modo che soddisfacciano
alla prima equazione e determinare le altre incognite in base
alle relazioni ora scritte: tutte le altre equazioni, compresa la seconda di
cui non si è tenuto espressamente conto, saranno allora automaticamente
soddisfatte. Porremo:
α1 = x, α2 = λ, β1 = − µ, β2 = ν,
in cui x, λ, µ, ν sono numeri reali qualunque soddisfacenti all’equazione:
x 2 + λ 2 + µ 2 + ν 2 = 1, (3.404)
e le componenti della più generale matrice unitaria con determinante 1
saranno:
α = x + i λ, β = − µ + i ν,
γ = − β ∗ = µ + i ν, δ = α ∗ = x − i λ.
(3.405)
Ogni trasformazione del gruppo è definita dai quattro numeri reali x, λ, µ,
ν; la indicheremo brevemente con
(x , λ , µ , ν) .
Consideriamo due trasformazioni del gruppo e il loro prodotto:
′ ′ ′ ′
x + i λ − µ + i ν
x + i λ − µ + i ν
A =
, B =
µ + i ν x − i λ
µ ′ + i ν ′
x ′ − i λ ′
′′ ′′ ′′ ′′
x + i λ − µ + i ν
A B =
,
cioè, posto:
segue:
µ ′′ + i ν ′′
x ′′ − i λ ′′
x ′′ = xx ′ − λλ ′ − µµ ′ − νν ′
λ ′′ = xλ ′ + λx ′ − µν ′ + νµ ′
µ ′′ = xµ ′ + λν ′ + µx ′ − νλ ′
ν ′′ = xν ′ − λµ ′ + µλ ′ + νx ′ ;
,
(3.406)
(x , λ , µ , ν) x ′ , λ ′ , µ ′ , ν ′ = x ′′ , λ ′′ , µ ′′ , ν ′′ , (3.407)
283

Volumetto 3: 28 giugno 1929
che coincide con la regola di moltiplicazione dei quaternioni.
Consideriamo nello spazio a v + 1 = 2j + 1 dimensioni il vettore di
componenti
ξ r η v−r
, r = 0, 1, ..., v. (3.408)
f(v, r)
Una trasformazione del nostro gruppo cangi tale vettore nel vettore di
componenti:
ξ ′ r ′ v−r
η
, r = 0, 1, ..., v. (3.409)
f(v, r)
A causa delle equazioni (3.402), le componenti del vettore trasformate si
ottengono come combinazioni lineari di quelle del primo, e in verità in modo
unico perché i v + 1 monomi ξ r η v−r (r = 0, 1, . . . , v) sono linearmente
indipendenti. Si ha così una rappresentazione Dj a (2j + 1) dimensioni
del nostro gruppo. La stessa rappresentazione vale naturalmente anche
per il gruppo di tutte le trasformazioni del tipo (3.402), cioè per tutte le
trasformazioni lineari affini in due dimensioni, o per il sottogruppo O(2) di
tutte le trasformazioni lineari con determinante 1, di cui il nostro gruppo
U(2) è a sua volta sottogruppo. La funzione f(v, r) può determinarsi in
modo che le trasformazioni unitarie del gruppo U(2) siano rappresentate
con trasformazioni unitarie. A tal fine è necessario che:
r
|ξ r η v−r | 2
f 2 (v, r)
(3.410)
(supponiamo f reale) dipenda soltanto da |ξ| 2 + |η| 2 ; cioè, posto: |ξ| 2 = a
e |η| 2 = b, che
(3.411)
r
a r b v−r
f 2 (v, r)
sia una funzione di a + b. Basterà per ciò porre la prima quantità uguale
alla potenza v-esima della seconda, con che: 74
f(v, r) =
v
r
−1/2
= r!(v − r)!/v! (3.412)
o più semplicemente, poiché è sempre lecito moltiplicare f(v, r) per una
quantità costante (rispetto a r):
f(v, r) = r!(v − r)!. (3.413)
74 L’Autore vuole ottenere la formula per la potenza di un binomio.
284

Volumetto 3: 28 giugno 1929
E così ξ e η definiscono un vettore nello spazio a 2j + 1 dimensioni di
componenti:
ξ r η v−r
r!(v − r)! , r = 0, 1, . . . , v. (3.414)
Consideriamo la trasformazione:
(x, ɛa, ɛb, ɛc) . (3.415)
Dati ɛa, ɛb, ɛc resta determinato x a meno del segno che conveniamo di
scegliere positivo. Supponiamo che ɛ sia infinitesimo; x differirà dall’unità
per un infinitesimo di secondo ordine, onde
(x, ɛa, ɛb, ɛc) − (1, 0, 0, 0)
lim
ɛ→0
ɛ
= (0, a, b, c) . (3.416)
La trasformazione (0, a, b, c), la cui definizione risulta dalle equazioni (3.405),
è una “trasformazione infinitesima”. Essa non fa parte in generale di U(2),
ma è sempre multipla reale di una trasformazione unitaria con determinante
1. Al contrario apparterrà a U(2) la trasformazione:
(0,a,b,c) t
(x, λ, µ, ν) = e
(3.417)
dove t è un numero reale qualsiasi; si avrà cioè necessariamente: x 2 + λ 2 +
µ 2 + ν 2 = 1. Dati a, b, c, le quantità x, λ, µ, ν sono, a causa della (3.417)),
funzioni di t. E si avrà:
dx
cioè:
dx
dt
dλ
dt
dµ
dt
dt
, dλ
dt
dµ dν
, ,
dt dt
= − a λ − b µ − c ν
= (x, λ, µ, ν) (0, a, b, c)
= (0, a, b, c) (x, λ, µ, ν) , (3.418)
= a x − c µ + b ν = a x + c µ − b ν = a x (3.419)
= b x,
dν
dt
Derivando la prima rispetto a t:
= c x.
d 2 x
dt 2 = − a 2 + b 2 + c 2 x, (3.420)
285

da cui:
Volumetto 3: 28 giugno 1929
x = cos t √ a 2 + b 2 + c 2 (3.421)
λ =
µ =
ν =
a
√ a 2 + b 2 + c 2 sin t √ a 2 + b 2 + c 2
b
√ a 2 + b 2 + c 2 sin t √ a 2 + b 2 + c 2 (3.422)
c
√ a 2 + b 2 + c 2 sin t √ a 2 + b 2 + c 2 .
Segue, facendo t = 1, che dalla trasformazione infinitesima (0, a, b, c) si
deduce la trasformazione:
ponendo:
(x, λ, µ, ν) = e (0,a,b,c)
x = cos √ a 2 + b 2 + c 2
λ =
µ =
ν =
a
√ a 2 + b 2 + c 2 sin √ a 2 + b 2 + c 2
b
√ a 2 + b 2 + c 2 sin √ a 2 + b 2 + c 2
c
√ a 2 + b 2 + c 2 sin √ a 2 + b 2 + c 2 .
(3.423)
(3.424)
Segue dalle equazioni (3.424) che qualunque trasformazione di U(2) può
porsi sotto la forma della (3.423), e le costanti a, b, c si possono determinare
univocamente con le condizioni:
a , b , c ≥ 0, 0 ≤ √ a 2 + b 2 + c 2 ≤ 2π. (3.425)
Consideriamo una rappresentazione qualunque del gruppo U(2). Poniamo:
U(x, ɛa, ɛb, ɛc) − 1
lim
ɛ→0 ɛ
= a P1 + b P2 + c P3. (3.426)
286

Sarà in conseguenza:
Volumetto 3: 28 giugno 1929
e a P1 + b P2 + c P3 = lim
ɛ→0 (1 + ɛ (a P1 + b P2 + c P3)) 1/ɛ
e a causa della (3.423),
U(x, λ, µ, ν) = U
= lim
ɛ→0 (U(x, ɛa, ɛb, ɛc)) 1/ɛ = lim
ɛ→0 U(x, ɛa, ɛb, ɛc) 1/ɛ
= lim
ɛ→0 U ((1, 0, 0, 0) + ɛ(0, a, b, c)) 1/ɛ = U
e (0,a,b,c)
e (0,a,b,c)
= e a P1 + b P2 + c P3 , (3.427)
ferme restando le (3.424). Segue che basta conoscere le matrici P1, P2, P3
per avere la rappresentazione di tutto il gruppo U(2). Le matrici P1, P2, P3
non possono tuttavia scegliersi ad arbitrio; in primo luogo perché togliendo,
per ragioni di continuità, la limitazione (3.425) uno stesso elemento di
U(2) può essere rappresentato con differenti terne (a, b, c), (a ′ , b ′ , c ′ ), . . ., e
deve essere identicamente, per l’univocità della rappresentazione:
e a P1 + b P2 + c P3 = e a ′ P1 + b ′ P2 + c ′ P3 = . . . . (3.428)
e in secondo luogo occorre che al prodotto di due elementi corrisponda il
prodotto delle trasformazioni corrispondenti. Supponiamo la prima condizione
soddisfatta, sarà allora per t = 0:
U
e (0,at,bt,ct) e (0,a′ t,b ′ t,c ′ t)
Poniamo:
= e (a P1 + b P2 + c P3)t e (a ′ P1 + b ′ P2 + c ′ P3)t .
(3.429)
e (0,at,bt,ct) e (0,a′ t,b ′ t,c ′ t) = e (0,x,y,z) . (3.430)
Le x, y, z saranno funzioni di t che possono determinarsi in infiniti modi
mediante (3.423) e (3.424); ma a cui imporremo la condizione della continuità
e x = y = z = 0 per t = 0. La (3.429) diventa a causa della
(3.427):
e x P1 + y P2 + z P3 = e (a P1 + b P2 + c P3)t e (a ′ P1 + b ′ P2 + c ′ P3)t . (3.431)
Sviluppando la (3.430) in serie si ricava:
1 + xP1 + yP2 + zP3 + 1 2 2
x P1 + y
2
2 P 2 2 + z 2 P 2 3
287

Volumetto 3: 28 giugno 1929
+xy (P1P2 + P2P1) + yz (P2P3 + P3P2) + zx (P1P3 + P3P1)]
+ 1 3 3
x P1 + y
6
3 P 3 2 + z 3 P 3 3 + x 2 y P 2 1 P2 + P1P2P1 + P2P 2 1
+xy 2 P1P 2 2 + P2P1P2 + P 2 2 2
2 P1 + y z P2 P2 + P2P3P2 + P3P 2 2
+yz 2 P2P 2 3 + P3P2P3 + P 2 2 2
3 P2 + z z P3 P1 + P3P1P3 + P1P 2 3
+x 2 z P3P 2 1 + P1P3P1 + P 2
1 P3 + xyz (P1P2P3 + P2P3P1
+P3P1P2 + P1P3P2 + P2P1P3 + P3P2P1)] + . . .
= 1 + t aP1 + bP2 + cP3 + a ′ P1 + b ′ P2 + c ′
P3
+ t2 2 2
a P1 + b
2
2 P 2 2 + c 2 P 2 3 + ab (P1P2 + P2P1) + bc (P2P3 + P3P2)
+ca (P1P3 + P3P1) + a ′2 P 2 1 + b ′2 P 2 2 + c ′2 P 2 3 + a ′ b ′ (P1P2 + P2P1)
+b ′ c ′ (P2P3 + P3P2) + c ′ a ′ (P1P3 + P3P1) + 2aa ′ P 2 1 + 2bb ′ P 2 2
+2cc ′ P 2 3 + 2ab ′ P1P2 + 2bc ′ P2P3 + 2ca ′ P3P1
+2ac ′ P1P3 + 2ba ′ P2P1 + 2cb ′ P3P2
+ . . . . (3.432)
Poiché x, y, z sono infinitesimi con t e a, b, c, a ′ , b ′ , c ′ sono costanti arbitrarie,
uguagliando i termini dello stesso grado nei due membri della
(3.432), si trovano successive relazioni a cui devono soddisfare P1, P2, P3.
Vogliamo trovare effettivamente i primi termini dello sviluppo di x, y, z
secondo t; per far ciò sviluppiamo (3.430) in serie fino agli infinitesimi di
secondo ordine. Troviamo:
1 + (0, at, bt, ct) + (0, a ′ t, b ′ t, c ′ t) + 1
(0, at, bt, ct)2
2
+ 1
2 (0, a′ t, b ′ t, c ′ t) 2 + (0, at, bt, ct)(0, a ′ t, b ′ t, c ′ t) + . . .
= (1, 0, 0, 0) + (0, x, y, z) + 1
2 (0, x, y, z)2 + . . .
da cui uguagliando separatamente le quattro componenti dei quaternioni:
1 − 1
2 t2 (a + a ′ ) 2 + (b + b ′ ) 2 + (c + c ′ ) 2 + . . .
= 1 − 1 2 2 2
x + y + z
2
+ . . . (3.433)
(a + a ′ )t + (cb ′ − bc ′ )t 2 + . . . = x + 0t + . . . (3.434)
(b + b ′ )t + (ac ′ − ca ′ )t 2 + . . . = y + 0t + . . . (3.435)
(c + c ′ )t + (ba ′ − ab ′ )t 2 + . . . = z + 0t + . . . (3.436)
288

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Dalle ultime tre (la prima ne è naturalmente conseguenza), si deducono
gli sviluppi fino al secondo ordine di x, y, z. Sostituendo nella (3.432), si
trova che fino agli infinitesimi di primo ordine è identicamente soddisfatta,
mentre uguagliando gli infinitesimi di secondo ordine si ha:
(cb ′ − bc ′ )P1 + (ac ′ − ca ′ )P2 + (ba ′ − ab ′ )P3
+ 1 ′ 2 2
(a + a ) P1 + (b + b
2
′ ) 2 P 2 2 + (c + c ′ ) 2 P 2 3
+(a + a ′ )(b + b ′ )(P1P2 + P2P1) + (b + b ′ )(c + c ′ )(P2P3 + P3P2)
+(c + c ′ )(a + a ′ )(P3P1 + P1P3)
= 1 ′ 2 2
(a + a ) P1 + (b + b
2
′ ) 2 P 2 2 + (c + c ′ ) 2 P 2 3
+(a + a ′ )(b + b ′ )(P1P2 + P2P1) + (b + b ′ )(c + c ′ )(P2P3 + P3P2)
+(c + c ′ )(a + a ′ )(P3P1 + P1P3) + (ab ′ − ba ′ )(P1P2 − P2P1)
+(bc ′ − cb ′ )(P2P3 − P3P2) + (ca ′ − ac ′ )(P3P1 − P1P3) . (3.437)
Poiché queste relazioni devono essere soddisfatte per valori arbitrari delle
costanti, si deducono le relazioni di scambio:
P1P2 − P2P1 = −2P3
P2P3 − P3P2 = −2P1 (3.438)
P3P1 − P1P3 = −2P2.
Consideriamo le rappresentazioni Dj del gruppo U(2) le quali consistono
in trasformazioni agenti sul vettore (3.414). Il vettore di componenti:
ξ r η v−r
r!(v − r)!
è trasformato da P3 nel vettore di componenti
d (ξ − iɛη)
dɛ
r (η + iɛξ) v−r
=
r!(v − r)!
r i ξr−1 η v−r+1
r!(v − r)!
+ (v − r)ξr+1 η v−r−1
r!(v − r)!
+ i (r + 1)(v − r)
ɛ=0
= i r(v − r + 1)
ξ r+1 η v−r−1
(r + 1)!(v − r − 1)! ,
289
ξ r−1 η v−r+1
(r − 1)!(v − r + 1)!

Volumetto 3: 28 giugno 1929
così che ponendo m = v/2 − r = j − r, si ha la matrice P3:
(P3) m,m−1 = i (j + m)(j − m + 1) = i j(j + 1) − m(m − 1)
(P3) m,m+1 = i (j + m + 1)(j − m) = i j(j + 1) − m(m + 1)
(3.439)
(con m = −j, −j + 1, . . .), essendo tutte le altre componenti nulle; la matrice
è naturalmente emisimmetrica, cioè moltiplicata per i dà luogo a una
matrice Hermitiana. In altre parole P3 è, come tutte le trasformazioni
unitarie infinitesime, una grandezza immaginaria pura.
Lo stesso vettore (3.414) è trasformato da P2 nel vettore di componenti:
d
dɛ
(ξ − ɛη) r (η + ɛξ) v−r
r!(v − r)!
+ (v − r)ξr+1 η v−r−1
r!(v − r)!
+ (r + 1)(v − r)
ɛ=0
= − r ξr−1 η v−r+1
r!(v − r)!
= − r(v − r + 1)
ξ r+1 η v−r−1
(r + 1)!(v − r − 1)! .
ξ r−1 η v−r+1
(r − 1)!(v − r + 1)!
Segue che le sole componenti diverse da zero nella matrice P2 sono:
(P2) m,m−1 = − (j + m)(j − m + 1) = − (P2) m,m+1 =
j(j + 1) − m(m − 1)
(j + m + 1)(j − m) = j(j + 1) − m(m + 1).
(3.440)
La matrice P1 trasforma il vettore (3.414) nel vettore di componenti:
d
dɛ
(ξ + iɛξ) r (η − iɛη) v−r
r!(v − r)!
ɛ=0
= r i ξr η v−r
−
r!(v − r)! (v − r) i ξr η v−r
.
r!(v − r)!
Segue che in P1 sono diversi da zero i soli elementi diagonali, essendo:
Si hanno così le rappresentazioni:
(P1) m,m = 2 m i. (3.441)
290

• j = 0
• j = 1
2
P1 =
• j = 1
P1 =
i 0
0 −i
⎛
⎝
Volumetto 3: 28 giugno 1929
P1 = 0, P2 = 0, P3 = 0.
, P2 =
2i 0 0
0 0 0
0 0 −2i
P3 =
⎛
⎝
⎞
0 −1
1 0
⎠ , P2 =
0 i √ 2 0
i √ 2 0 i √ 2
0 i √ 2 0
, P3 =
0 i
i 0
.
⎛
0 −
⎝
√ ⎞
√
2
√
0
2
√
0 − 2 ⎠ ,
0 2 0
• j = 3
2
P1 =
⎛
⎜
⎝
3i
0
0
0
0
i
0
0
0
0
−i
0
0
0
0
−3i
⎞
⎟
⎠ , P2 =
⎛
⎜
⎝
0 − √ √
3
0
3
0
2
0
−2
0
0
0
− √ 0 0
√
3
3
0
P3 =
⎛
⎜
⎝
⎞
⎠ .
0 i √ 3 0 0
i √ 3 0 2i 0
0 2i 0 i √ 3
0 0 i √ 3 0
291
⎞
⎟
⎠ .
⎞
⎟
⎠ ,

• j = 2
Volumetto 3: 28 giugno 1929
P1 =
P2 =
P3 =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
4i 0 0 0 0
0 2i 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 −2i 0
0 0 0 0 −4i
⎞
0
2
−2
0
0
−
0 0
√ 0
6 0 0
√ 6 0 − √ 0 0
√
6
6
0
0
−2
0 0 0 2 0
0 2i 0 0 0
2i 0 i √ 6 0 0
0 i √ 6 0 i √ 6 0
0 0 i √ 6 0 2i
0 0 0 2i 0
⎟
⎠ ,
⎞
⎟
⎠ ,
⎞
⎟
⎠ .
Si constata facilmente che sono soddisfatte le relazioni di scambio. In
effetti le componenti delle tre matrici si possono scrivere, senza esclusione
di quelle nulle:
Segue:
(P1) m,n = 2 m i δm,n
(P2) m,n = j(j + 1) − mn (δm,n−1 − δm,n+1) (3.442)
(P3) m,n = j(j + 1) − mn (iδm,n−1 + iδm,n+1) .
(P1P2) m,n = 2 m i j(j + 1) − mn (δm,n−1 − δm,n+1)
(P2P1) m,n = 2 n i j(j + 1) − mn (δm,n−1 − δm,n+1)
(P1P2 − P2P1) m,n = j(j + 1) − mn (− 2 i δm,n−1 − 2 i δm,n+1)
= − 2 (P3) m,n
(P2P3) m,n = i j(j + 1) − m(m + 1)
292

Volumetto 3: 28 giugno 1929
× j(j + 1) − (m + 1)(m + 2) δm+2,n
− 2 m i δm,m − i j(j + 1) − m(m − 1)
× j(j + 1) − (m − 1)(m − 2) δm−2,n,
(P3P2) m,n = i j(j + 1) − m(m + 1)
× j(j + 1) − (m + 1)(m + 2) δm+2,n
+ 2 m i δm,m − i j(j + 1) − m(m − 1)
× j(j + 1) − (m − 1)(m − 2) δm−2,n,
(P2P3 − P3P2) m,n = − 4 m iδm,m = − 2 (P1))m, n
(P3P1) m,n = 2 n i j(j + 1) − mn (i δm,n−1 + i δm,n+1)
(P1P3) m,n = 2 m i j(j + 1) − mn (i δm,n−1 + i δm,n+1)
(P3P1 − P1P3) m,n = j(j + 1) − mn (− 2 δm,n−1 + 2 δm,n+1)
= − 2 (P2) m,n .
3.14 Relazioni di scambio fra
trasformazioni infinitesime nelle
rappresentazioni di gruppi continui
Sia dato un gruppo continuo a n parametri:
s = (q1, q2, . . . , qn) . (3.443)
Conveniamo di scegliere i parametri in modo che le coordinate dell’elemento
unità siano tutte nulle:
Sia assegnata una rappresentazione del gruppo:
1 = (0, 0, . . . , 0) . (3.444)
U(s) = U (q1, q2, . . . , qn) . (3.445)
293

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Una trasformazione infinitesima è definita da
U(ɛa1, ɛa2, . . . , ɛan) − 1
lim
ɛ→0
ɛ
= a1P1 + a2P2 + . . . + anPn, (3.446)
cioè le trasformazioni infinitesime si esprimono come combinazioni lineari
di n particolari. Tra le matrici P1, P2, ..., Pn passano certe relazioni
algebriche che sono indipendenti dal numero di dimensioni e dalla natura
della rappresentazione, ma dipendono dalla natura del gruppo astratto.
Tra queste sono le relazioni di scambio. Consideriamo il “commutatore”:
c = (x1, x2, . . . , xn) = (α, 0, 0, . . . , 0) (0, β, 0, . . . , 0)
cioè posto:
avremo:
Derivando rispetto ad α:
× (α, 0, 0, . . . , 0) −1 (0, β, 0, . . . , 0) −1 , (3.447)
s = (α, 0, 0, . . . , 0) , t = (0, β, 0, . . . , 0) , (3.448)
dU(s)
dα
c = s t s −1 t −1 , (3.449)
s t = c t s (3.450)
U(s) U(t) = U(c) U(t) U(s). (3.451)
U(t) =
Derivando ancora rispetto a β:
dU(s)
dα
+
i,k
+
i
dU(t)
dβ
∂xi
∂α
∂xi
∂α
+ U(c) ∂U(t)
∂β
∂xk
∂β
∂U(c)
∂xi
=
i
i
∂xi
∂α
∂U(s)
U(t) U(s)
∂xi
+ U(c) U(t) dU(s)
. (3.452)
dα
∂ 2 xi ∂U(s)
U(t) U(s)
∂α∂β ∂xi
∂ 2 U(c)
U(t) U(s)
∂xi∂xk
∂U(t)
∂β
U(s) +
i
∂xi
∂β
∂U(c)
∂xi
U(t) ∂U(s)
∂α
∂U(s)
. (3.453)
∂α
294

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Annullando separatamente α o β, il commutatore coincide con l’elemento
unità. Per α = β = 0 sarà dunque: i = 1, 2, . . . , n,
U(c) = 1 (3.454)
∂xi
∂α
∂ 2 xi
∂α∂β
= ∂xi
∂β
= a1,2
i
= 0 (3.455)
(3.456)
(gli indici 1 e 2 nella (3.456) significano che α e β sono rispettivamente la
prima coordinata, tutte le altre essendo nulle, dell’elemento s e la seconda
coordinata, tutte le altre essendo nulle, dell’elemento t; formole analoghe
valgono per una coppia qualunque r, s di coordinate e le a r,s
i sono manifestamente
antisimmetriche negli indici superiori)
e la formola precedente (3.453) diventa:
cioè:
o più in generale:
∂U(c)
∂xi
= Ri (3.457)
∂U(s)
∂α
= P1 (3.458)
∂U(t)
∂β
= P2 (3.459)
U(s) = U(t) = 1, (3.460)
P1 P2 =
i
P1 P2 − P2 P1 =
Pr Ps − Ps Pr =
che sono le cosiddette relazioni di scambio.
a 1,2
i Pi + P2 P1, (3.461)
295
i
i
a 1,2
i Pi (3.462)
a r,s
i Pi, (3.463)

Volumetto 3: 28 giugno 1929
3.15 Formole empiriche per l’energia di
atomi con due elettroni
Sia un atomo di carica Z con due elettroni nello stato fondamentale. Poniamo:
a = < 1/r1 > = < 1/r2 > il valore medio dell’inverso della distanza
di ciascuno dei due elettroni dal nucleo, b =< 1/r12 > il valore medio
dell’inverso della distanza dei due elettroni fra loro. Se esprimiamo le distanze
nelle unità elettroniche e l’energia in Ry, sarà:
E = −2 a Z + b, (3.464)
poiché l’energia è uguale alla metà del valore medio dell’energia potenziale.
Passiamo dall’atomo di numero Z a quello di numero Z + dZ; il metodo
delle perturbazioni dà:
dE = − 4 a dZ, (3.465)
e abbiamo così due equazioni fra le tre funzioni incognite di Z: E, a, b. Aggiungiamo
un’ulteriore relazione empirica, presumibilmente ben approssimata,
fra a e b:
b = (2Z − 2a) (2a − Z). (3.466)
che si giustifica così: per Z grande il metodo delle perturbazioni dà:
d’altra parte:
da cui per la (3.464):
E = −2 Z 2 + 5
Z + . . . ; (3.467)
4
b = 5
Z + . . . , (3.468)
8
a = Z − 5
+ . . . , (3.469)
16
onde la (3.466) è in prima approssimazione soddisfatta. Per Z molto piccolo
uno degli elettroni è in prossimità del nucleo mentre l’altro è praticamente
a distanza infinita, onde si ha: a Z/2, b 0, onde la (3.466) è ancora
soddisfatta. Per valori intermedi di Z la proponiamo come verosimilmente
bene approssimata.
Sostituendo la (3.466) nella (3.464), si ha:
E = −2 a Z + (2Z − 2a) (2a − Z)
= − 2 Z 2 + 4 a Z − 4 a 2 . (3.470)
296

Differenziando si ricava:
Volumetto 3: 28 giugno 1929
dE = − 4 Z dZ + 4 a dZ + 4 Z da − 8 a da; (3.471)
e confrontando con la (3.465):
dZ = da, (3.472)
da cui, poiché conosciamo il valore di a per Z infinito:
cioè, sostituendo in (3.470):
a = Z − 5
, (3.473)
16
E = −2 Z 2 + 5
4
25
Z − . (3.474)
64
formola utilizzabile per Z ≥ 5/8, poiché per Z = 5/8 risulta b = 0. Per
l’elio (Z = 2), si trova: E = −5.89, di fronte al valore sperimentale 5.807,
con un errore per eccesso, nel potenziale di ionizzazione, di 1.13 V (25.59 V
in luogo di 24.46 V). Per l’idrogeno (Z = 1) E = −1.141, onde risul-
terebbe un potenziale di ionizzazione di 1.91 (affinità elettronica). 75
procedimento indicato è però soddisfacente perché per Z molto piccolo b
deve tendere a zero come infinitesimo di ordine superiore al primo e non
diventare negativo.
Scegliamo come terza relazione approssimata in luogo della (3.466):
b = 5 √ 5
k2 + Z2 − k, (3.475)
8
8
riservandoci di determinare k. Sostituendo in (3.464), si ha:
e differenziando:
E = −2 a Z + 5 √ 5
k2 + Z2 − k; (3.476)
8
8
dE = −2 a dZ − 2 Z da +
5Z dZ
8 √ k2 , (3.477)
+ Z2 75 Si noti che gli attuali valori sperimentali per il potenziale di ionizzazione
dell’idrogeno, dell’atomo di elio neutro e ionizzato una volta sono rispettivamente
13.5984 V, 24.5874 V, e 54.4178 V, corrispondenti ad un’energia di ionizzazione
di 0.9995, 1.8072, e 3.9998 (misurata in Ry, come usato nel testo). L’affinità
elettronica dell’idrogeno (cioè, la differenza tra le energie dello stato fondamentale
dell’atomo neutro e ionizzato una volta) è 0.7542 eV.
297
Il

da cui, confrontando con (3.465):
Volumetto 3: 28 giugno 1929
− 4 a dZ = −2 a dZ − 2 Z da +
2 Z da = 2 a dZ +
da
dZ
= a
Z +
5Z dZ
8 √ k 2 + Z 2
onde, badando che per Z → ∞, a/Z deve tendere a 1:
a = Z
1 +
5Z dZ
8 √ k 2 + Z 2
5
16 √ k2 , (3.478)
+ Z2 ∞
0
5 dZ
16 Z √ k 2 + Z 2
, (3.479)
con che si va incontro all’inconveniente che per Z piccolo a diventa negativo;
per eliminare siffatto inconveniente è necessario che b tenda a zero, per Z
piccolo, come infinitesimo d’ordine superiore al secondo. Scegliamo per b,
in luogo di (3.475), la forma:
con che la (3.464) diventa:
e differenziando:
b = 5
8 Z e−k/Z , (3.480)
E = −2 a Z + 5
Z e−k/Z
8
(3.481)
dE = −2 a dZ − 2 Z da + 5
8 e−k/Z dZ + 5k
8Z e−k/Z dZ; (3.482)
e confrontando con la (3.465):
da cui
da
dZ
= a
Z
∞
a = Z 1 +
0
+ 5
16 Z e−k/Z + 5k
16 Z 2 e−k/Z , (3.483)
5Z + 5k
16 Z3 e −k/Z
dZ . (3.484)
Poiché per Z piccolo deve essere, come si è già notato, a Z/2, si può
determinare k in modo che:
∞
0
5Z + 5k
16 Z3 e −k/Z dZ = 1
2
298
, (3.485)

Volumetto 3: 28 giugno 1929
con che si avrebbe k = 5/4, ma si giunge per questa via a un’approssimazione
insufficiente. Si avrebbe:
a = Z
2 +
Z
2
5
+ e
16
−1.25/Z
(3.486)
b = 5
Z e−1.25/Z
8
(3.487)
E = − Z 2 − Z 2 e −1.25/Z , (3.488)
che per l’elio (Z = 2) darebbe: E = −6.14, troppo disforme dal valore
sperimentale.
Poniamo:
La (3.464) diventa:
e differenziando:
b = 5
√
3
k3 + Z3 − k . (3.489)
8
E = − 2 a Z + 5 3√ 5
k3 + Z3 − k, (3.490)
8
8
dE = − 2 a dZ − 2 Z da −
e confrontando con la (3.465):
da cui:
da
dZ
= a
Z +
∞
a = Z 1 +
0
5Z 2 dZ
8 (k 3 + Z 3 ) 2/3
(3.491)
5Z
16 (k3 + Z3 , (3.492)
) 2/3
5 dZ
16 (k3 + Z3 ) 2/3
, (3.493)
in cui k si potrebbe determinare con condizione analoga alla (3.485). Ma
formole analoghe alla (3.489) se ne possono scrivere infinite senza che vi
sia alcun mezzo per preferire a priori l’una o l’altra.
299

Volumetto 3: 28 giugno 1929
3.16 Gruppo delle rotazioni O(3) 13
Proiettando un punto (x, y, z) di una sfera unitaria dal polo sud (0, 0, −1)
sul piano equatoriale z = 0, le sue coordinate sono legate a quelle del punto
immagine (x, y, z) dalle relazioni:
x =
Ponendo:
2x ′
1 + x ′2 , y =
+ y ′2
le relazioni (3.494) diventano:
2 ηξ ∗
ξξ∗ , x − i y =
+ ηη∗ 2y ′
1 + x ′2 + y ′2 , z = 1 − x′2 − y ′2
1 + x ′2 . (3.494)
+ y ′2
x ′ + i y ′ = η/ξ, (3.495)
x + i y =
2 η ∗ ξ
ξξ∗ + ηη∗ , z = ξξ∗ − ηη ∗
ξξ∗ .
+ ηη∗ (3.496)
Consideriamo una trasformazione unitaria con determinante 1 del gruppo
SU(2) applicata a ξ e η; essa porta questa variabile in:
ξ1 = x ξ + i λ ξ − µ η + i ν η
η1 = µ ξ + i ν ξ + x η − i λ η
(con x 2 + λ 2 + µ 2 + ν 2 ), e in conseguenza il punto (x, y, z) nel punto
(x1, y1, z1):
x1 + iy1 = 2 (xµ + λν + ixν − iλµ)(ξξ∗ − ηη ∗ )
ξξ ∗ + ηη ∗
+ 2 (x2 − λ 2 − 2ixλ)ηξ ∗ + (−µ 2 + ν 2 − 2iµν)ξη ∗
ξξ ∗ + ηη ∗
x1 − iy1 = 2 (xµ + λν − ixν + iλµ)(ξξ∗ − ηη ∗ )
ξξ ∗ + ηη ∗
+ 2 (x2 − λ 2 + 2ixλ)ηξ ∗ + (−µ 2 + ν 2 + 2iµν)ξη ∗
ξξ ∗ + ηη ∗
13 Nel manoscritto originale, questo gruppo è indicato con δ3; tuttavia qui usiamo
la notazione moderna O(3). Si noti anche che a volte l’Autore usa la stessa
notazione per un gruppo e per la sua restrizione alle trasformazioni con determinante
uguale a 1 (che, nelle moderne notazioni, è indicata con una S che precede
il nome del gruppo; per esempio O(3) e SO(3)).
300

cioè:
Volumetto 3: 28 giugno 1929
z1 = (x2 + λ 2 − µ 2 − ν 2 )(ξξ ∗ − ηη ∗ )
ξξ ∗ + ηη ∗
+ 2 (−xµ + λν + ixν + iλµ)ηξ∗ + (−xµ + λν − ixν − iλµ)ξη ∗
ξξ∗ + ηη∗ ,
x1 + iy1 = 2 (xµ + λν + ixν − iλµ) z
+ (x 2 − λ 2 − 2ixλ)(x + iy) + (−µ 2 + ν 2 − 2iµν)(x − iy)
x1 − iy1 = 2 (xµ + λν − ixν + iλµ) z
cioè:
+ (x 2 − λ 2 + 2ixλ)(x − iy) + (−µ 2 + ν 2 + 2iµν)(x + iy)
z1 = (x 2 + λ 2 − µ 2 − ν 2 ) z + 2 (−xµ + λν + ixν + iλµ)(x + iy)
+ (−xµ + λν − ixν − iλµ)(x − iy),
x1 = (x 2 − λ 2 − µ 2 + ν 2 )x + 2(xλ − µν)y + 2(xµ + λν)z
y1 = −2(xλ + µν)x + (x 2 − λ 2 + µ 2 − ν 2 )y + 2(xν − λµ)z
z1 = 2(−xµ + λν)x + 2(−xν − λµ)y + (x 2 + λ 2 − µ 2 − ν 2 )z.
(3.497)
che rappresenta una rotazione nello spazio a tre dimensioni e in verità la più
generale rotazione; anzi per ogni rotazione nello spazio si possono scegliere
in due modi le costanti x, λ, µ, ν che si deducono l’uno dall’altro mediante
cambiamenti di segni delle componenti del quaternione. Le equazioni
(3.497) non sono altro che la rappresentazione D1 del gruppo SU(2). Invertendola
(con che perde l’univocità) si possono considerare Dj come rappresentazioni
di O(3); e saranno univoche quelle con j intero perché in tali
rappresentazioni a due quaternioni uguali e opposti corrisponde la stessa
trasformazione, duplici quelle con j non intero. In queste ultime, tra le
quali Dj, che deriva dall’inversione di (3.497), a ogni rotazione nello spazio
tridimensionale corrispondono due matrici uguali e opposte. Una rotazione
di un angolo infinitesimo ɛ intorno all’asse z corrisponde (scegliendo dei due
quaternioni possibili, uguali e opposti, quello prossimo all’unità) il quaternione:
1, − 1
ɛ, 0, 0 .
2
301

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Analogamente alla rotazione di un angolo infinitesimo ɛ intorno all’asse x
corrisponde il quaternione:
1, 0, 0, − 1
2 ɛ
,
e alla rotazione dell’angolo ɛ intorno all’asse y, il quaternione:
1, 0, 1
ɛ, 0 .
2
Segue che in una rappresentazione qualunque di U(2) considerata come rappresentazione
(univoca o duplice) del gruppo O(3), le rotazioni infinitesime
intorno agli assi x, y, e z, si esprimono mediante le trasformazioni infinitesime
fondamentali P1, P2, e P3 in base alle semplici relazioni:
Rz = − 1
1
1
P1, Rx = − P3, Ry = P2. (3.498)
2 2 2
Seguono a causa delle equazioni (3.438), le relazioni di scambio:
RxRy − RyRx = Rz
RyRz − RzRy = Rx (3.499)
RzRx − RxRz = Ry.
Seguono dalle equazioni (3.442) le espressioni delle matrici Rx, Ry, Rz nelle
rappresentazioni Dj (cangiando il segno di m e n, cioè ponendo m = j −r):
Rz
i
Rx
i
Ry
i
m,n
m,n
m,n
Si hanno così le matrici:
= m δm,n
= − i
j(j + 1) − mn (δm+1,n + δm−1,n) (3.500)
2
= i
j(j + 1) − mn (δm+1,n − iδm−1,n) .
2
302

• j = 0
• j = 1
2
Rz
i =
• j = 1
1
2
Rz
i =
• j = 3
2
Rz
i =
⎛
⎜
⎝
0
0 − 1
2
⎛
⎝
Volumetto 3: 28 giugno 1929
Rz
i
= 0, Rx
i
, Rx
i =
1 0 0
0 0 0
0 0 −1
Ry
i =
⎞
= 0, Ry
i
0 − 1
2
1
2
⎠ , Rx
i =
⎛
⎜
⎝
0 −i √ 2
2
0
⎛
⎜
⎝
= 0.
, Ry
i =
0 − √ 2
2
0 − i
2
0
i
2
− √ 2
0 − 2 √ 2
2
0 − √ 2
2
0
i √ 2
0 −i 2 √ 2
2
0 i √ 2
2
3
0 0 0
2
1
0 0 0
2
0 0 − 1
0 2
0 0 0 − 3
⎞
⎟ Rx ⎟
⎠ ,
i
2
=
Ry
i =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
0 −i √ 3
2 0 0
i √ 3
2 0 −i 0
0
⎞
⎟
⎠ .
0 i 0 −i √ 3
2
0 0 i √ 3
2
303
0
⎞
0
⎟
⎠ ,
.
0 − √ 3
2 0 0
− √ 3
2 0 −1 0
0 −1 0 − √ 3
2
0 0 − √ 3
2
0
⎞
⎟
⎠ .
0
⎞
⎟
⎠ ,

• j = 2
• j = 5
2
Rx
i =
Volumetto 3: 28 giugno 1929
Rz
i =
⎛
⎜
⎝
2 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 −1 0
0 0 0 0 −2
⎞
⎟
⎠ ,
Rx
i =
⎛
⎜
⎝
0
−1
−1
0
0
−
0 0
√ 0 −
6
2 0 0
√ 6
2 0 − √ 0 0 −
6
2 0
√ 0 0
6
2
0
0
−1
−1
0
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
Ry
i =
⎛
⎜
⎝
0
i
−i
0
0
−i
0 0
√ 0 i
6
2 0 0
√ 6
2 0 −i √ 0 0 i
6
2 0
√ 0 0
6
2
0
0
i
−i
0
⎞
⎟ .
⎟
⎠
Rz
i =
⎛ 5
0 0 0 0 0
2
⎜ 3
⎜ 0 0 0 0 0
2
⎜
1
⎜ 0 0 0 0 0
2
⎜ 0 0 0 −
⎝
1
0 0
2
0 0 0 0 − 3
0 2
0 0 0 0 0 − 5
2
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
0 − √ 5
2 0 0 0 0
− √ 5
2 0 − √ 2 0 0 0
0 − √ 2 0 − 3
2 0 0
0 0 − 3
2 0 − √ 2 0
0 0 0 − √ 2 0 − √ 5
2
0 0 0 0 − √ 5
2
304
0
⎞
⎟ ,
⎟
⎠

Ry
i =
• j = 3
Rx
i =
Ry
i =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
Rz
i =
Volumetto 3: 28 giugno 1929
0 −i √ 5
2 0 0 0 0
i √ 5
2 0 −i √ 2 0 0 0
0 i √ 2 0 −i 3
2 0 0
0 0 i 3
2 0 −i √ 2 0
0 0 0 i √ 2 0 −i √ 5
2
0 0 0 0 i √ 5
2
⎛
⎜
⎝
3 0 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 −2 0
0 0 0 0 0 0 −3
⎞
0
⎟ ,
⎟
⎠
⎞
⎟ .
⎟
⎠
0 − √ 6
2 0 0 0 0 0
− √ 6
2 0 − √ 10
2 0 0 0 0
0 − √ 10
2 0 − √ 3 0 0 0
0 0 − √ 3 0 − √ 3 0 0
0 0 0 − √ 3 0 − √ 10
0
2
0 0 0 0 − √ 10
0 − 2 √ 6
2
0 0 0 0 0 − √ 6
2
0 −i √ 6
2 0 0 0 0 0
i √ 6
2 0 −i √ 10
2 0 0 0 0
0 i √ 10
2 0 −i √ 3 0 0 0
0 0 i √ 3 0 −i √ 3 0 0
0 0 0 i √ 3 0 −i √ 10
0
2
0 0 0 0 i √ 10
0 −i 2 √ 6
2
0 0 0 0 0 i √ 6
0
2
305
0
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
⎞
⎟ .
⎟
⎠

Volumetto 3: 28 giugno 1929
3.17 Gruppo di Lorentz
È costituito dalle trasformazioni ortogonali delle variabili
ct, x
i
y z
, ,
i i .
Limitandoci alle trasformazioni ortogonali con determinante 1 (escludendo
quindi quelle con determinante −1) si ha il gruppo delle rotazioni proprie
(reali o complesse) SO(4) nello spazio a quattro dimensioni.
Consideriamo le variabili x1, x2, x3, x4 nello spazio a quattro dimensioni
e siano ξ1, ξ2, ξ3, ξ4 le variabili dello spazio duale da trasformarsi in
modo controgradiente. Siano cioè le x mediante una trasformazione lineare
portate in x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3, x ′ 4; le ξ debbono allora intendersi trasformate in modo
che sia identicamente
x1 ξ1 + x2 ξ2 + x3 ξ3 + x4 ξ4 = x ′ 1 ξ ′ 1 + x ′ 2 ξ ′ 2 + x ′ 3 ξ ′ 3 + x ′ 4 ξ ′ 4. (3.501)
Sia
Sostituendo nella (3.501), si ricava:
x ′ i =
aik xk. (3.502)
xi ξi =
aik ξ ′ i xk =
i
i,k
k
k
xk
aik ξ ′ i, (3.503)
la quale dovendo valere per valori arbitrari così delle x come delle ξ si
deduce:
ξk =
(3.504)
i
aik ξ ′ i
che esprime la legge di variazione controgradiente delle ξ. Una trasformazione
che trasforma tra loro solo alcune delle x, per esempio su x1 e
x2, agisce del pari nello spazio duale solo sulle ξ corrispondenti, nel nostro
caso ξ1 e ξ2 reciprocamente. Ciò segue dalle equazioni (3.502) e (3.504).
Si sottopongano x1 e x2 tra loro a una trasformazione σ12 del gruppo
SL(2, C) 14 cioè delle trasformazioni lineari omogenee di determinante 1 in
14 Nel manoscritto originale questo gruppo è indicato con c2; tuttavia, qui usiamo
la notazione moderna SL(2, C).
306
i

Volumetto 3: 28 giugno 1929
due variabili, e x3 e x4 tra loro a un’altra trasformazione dello stesso gruppo
σ34. La trasformazione che subiscono le quattro variabili x1, x2, x3, x4:
σ = (σ12, σ34) , (3.505)
costituisce una rappresentazione del gruppo astratto (SL(2, C)) 2 i cui elementi
sono coppie (σ, τ) di elementi di SL(2, C) e soddisfano alla regola di
composizione:
(σ, τ) σ ′ , τ ′ = σ σ ′ , τ τ ′ . (3.506)
Consideriamo le espressioni:
z1 = x1 ξ3, z2 = x2 ξ3, z3 = x1 ξ4, z4 = x2 ξ4, (3.507)
le quali annullano la forma quadratica:
Sotto l’influsso di σ si trasformano le x e le ξ in:
z1 z4 − z2 z3. (3.508)
x ′ 1 = αx1 + βx2, x ′ 2 = γx1 + δx2,
x ′ 3 = α1x3 + β1x4, x ′ 4 = γ1x3 + δ1x4,
con αδ − βγ = α1δ1 − β1γ1 = 1, e
ξ ′ 1 = δξ1 − γξ2, ξ ′ 2 = −βξ1 + αξ2,
ξ ′ 3 = δ1ξ3 − γ1ξ4, ξ ′ 4 = −β1ξ3 + α1ξ4.
Sostituendo nelle equazioni (3.507), si ricava:
si deduce:
z ′ 1 = αδ1z1 + βδ1z2 + αγ1z3 − βγ1z4
z ′ 2 = γδ1z1 + δδ1z2 − γγ1z3 − δγ1z4
z ′ 3 = −αβ1z1 − ββ1z2 + αα1z3 + βα1z4
z ′ 4 = −γβ1z1 − δβ1z2 + γα1z3 + δα1z4,
(3.509)
(3.510)
(3.511)
z ′ 1 z ′ 4 − z ′ 2 z ′ 3 = z1 z4 − z2 z3, (3.512)
cioè la forma (3.508) è invariante rispetto a (3.511). La matrice di (3.511)
deriva dal prodotto (commutabile) delle matrici:
⎛
⎜
⎝
α
γ
0
β
δ
0
0
0
α
0
0
β
⎞
⎟
⎠
0 0 γ δ
·
⎛
⎜
⎝
δ1
0
−β1
0
δ1
0
−γ1
0
α1
0
−γ1
0
⎞
⎟
⎠ , (3.513)
0 −β1 0 α1
307

Volumetto 3: 28 giugno 1929
onde il suo determinante è 1, e le equazioni (3.511) costituiscono una rappresentazione
di (SL(2, C)) 2 .
Ogni trasformazione omogenea, con determinante 1, che lasci invariante
la forma (3.508) può porsi nella forma (3.511) esattamente in due modi
(potendosi cambiare il segno delle otto costanti α, β, γ, δ, α1, β1, γ1, δ1).
Le quattro grandezze
z ′ 1 = x4 ξ2, z ′ 2 = − x4 ξ1, z ′ 3 = − x3 ξ2, z ′ 4 = x3 ξ1 (3.514)
si trasformano come le zi, perché, data l’unimodularità di σ12 e σ34, le
grandezze x1 e x2 si trasformano come ξ2 e −ξ1, e le grandezze ξ3 e ξ4
come x4 e −x3.
Allo stesso modo si trasformerà qualsiasi combinazione lineare, in particolare
la somma, dei vettori z e z ′ che ha per componenti:
z ′′
1 = z1 + z ′ 1, z ′′
2 = z2 + z ′ 2, z ′′
3 = z3 + z ′ 3, z ′′
4 = z4 + z ′ 4. (3.515)
Introduciamo le grandezze ct, x/i, y/i, z/i intendendo che la loro legge di
trasformazione sia definita da
Segue dalla (3.516):
ct ∼ z1 + z4 ∼ z ′′
1 + z ′′
4
x/i ∼ (z2 + z3)/i ∼ (z ′′
2 + z ′′
3 )/i
y/i ∼ z3 − z2 ∼ z ′′
3 − z ′′
2
z/i ∼ (z1 − z4)/i ∼ (z ′′
1 − z ′′
4 )/i.
c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2 ∼ 4 z ′′
1 z ′′
4 − z ′′
2 z ′′
3
(3.516)
; (3.517)
e poiché il secondo membro è invariante, segue che le variabili spaziotemporali
x, y, z, t subiscono sotto l’influsso di σ una trasformazione di
Lorentz.
In luogo di (3.516) si può scrivere:
ct ∼ ξ1x3 + ξ2x4 + ξ3x1 + ξ4x2
x/i ∼ iξ1x4 + iξ2x3 − iξ3x2 − iξ4x1
y/i ∼ ξ1x4 − ξ2x3 − ξ3x2 + ξ4x1
z/i ∼ iξ1x3 − iξ2x4 − iξ3x1 + iξ4x2.
Posti i secondi membri della (3.518) sotto la forma
ik
(3.518)
γ α ik ξi xk, α = 1, 2, 3, 4 (3.519)
308

Volumetto 3: 28 giugno 1929
le matrici γ α ik godono delle seguenti proprietà: sono Hermitiane e soddisfano
la relazione
1
2 (γα γβ + γβ γα) = δαβ
(3.520)
e inoltre, se σ è una matrice definita dalle equazioni (3.511), le matrici
trasformate σ −1 γασ corrispondenti a ct ′ , x ′ /i, y ′ /i, z ′ /i sono combinazioni
lineari di quelle corrispondenti a ct, x/i, y/i, z/i (si veda la prossima
sezione).
3.18 Matrici di Dirac e gruppo di Lorentz
Si debbano costruire in uno spazio a n dimensioni p operatori Hermitiani
α1, α2, . . . , αp
(3.521)
con le condizioni:
αiαk + αkαi
= δik. (3.522)
2
Dati n e p può darsi che il problema non ammetta soluzioni, o che ne
ammetta una sola fondamentale (che cioè tutte le possibili serie di matrici
α1, α2, . . . , αp; α ′ 1, α ′ 2, . . . , α ′ p; . . . si ottengono l’una dall’altra per trasformazione
unitaria) e può darsi che ammetta parecchie soluzioni fondamentali
non riducibili l’una all’altra per trasformazione unitaria.
1) Supponiamo p = 1; una unica condizione da soddisfare è allora
α 2 1 = 1, (3.523)
per il che basta e occorre che gli autovalori di α1 siano tutti 1 oppure −1.
Lo spazio Rn si spezza così nella somma R ′ r +R ′′ n−r; il primo a r dimensioni
(0 ≤ r ≤ n), corrisponde all’autovalore positivo +1, r − 1 volte degenerato,
il secondo all’autovalore negativo −1, n−r−1 volte degenerato. Assumendo
come primi r vettori fondamentali r vettori unitari e ortogonali qualsiasi
di R ′ r e come ultimi n − r vettori fondamentali, n − r vettori unitari e
ortogonali di R ′′ n−r, la matrice di α1, sarà diagonale, con i primi r elementi
diagonali uguali a 1, e gli ultimi n − r uguali a −1. Facendo variare r, da n
309

Volumetto 3: 28 giugno 1929
a 0, si ottengono le n + 1 soluzioni fondamentali che il problema ammette
in questo caso speciale.
2) Supponiamo p = 2. Le condizioni da soddisfare sono
α 2 1 = 1, α 2 2 = 1, α1α2 + α2α1 = 0. (3.524)
Sia R ′ r lo spazio corrispondente all’autovalore +1 di α1, e R ′′ n−r quello
corrispondente all’autovalore −1. Sia a un vettore di R ′ r; per l’ultima delle
(3.524) dovrà essere:
cioè:
(α1α2 + α2α1) a = 0, (3.525)
(α1 + 1) α2 a = 0. (3.526)
Segue che α2a appartiene a R ′′ n−r, e perché α2 ha determinante diverso da
zero, sarà:
n − r ≥ r. (3.527)
Sia b un vettore di R ′′ n−r; dall’ultima equazione del (3.524), sarà:
cioè α2b appartiene a R ′ r; segue:
e combinando con (3.527):
(α1 − 1) α2b = 0, (3.528)
r ≥ n − r. (3.529)
r = n/2. (3.530)
Segue che il caso p = 2 ammette soluzione solo se n è pari. Supposto
n = 2r pari in modo che r risulti intero, scegliamo come primi r vettori
fondamentali r vettori unitari ortogonali qualsiasi di R ′ r e come ultimi r
vettori fondamentali i vettori trasformati 15 α2 ≤ 1, α2 ≤ 2, . . ., α2 ≤ r che
saranno naturalmente ortogonali ai primi perché appartengono a R ′′
r che
è ortogonale a R ′ r), ma anche unitari e ortogonali tra loro perché essendo
α2 Hermitiana e uguale alla sua inversa appartiene a un particolare tipo
15 Cioè, i vettori α2a.
310

Volumetto 3: 28 giugno 1929
di trasformazioni unitarie. Le matrici α1 e α2 assumono allora l’aspetto:
α1 =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
1
0
...
0
0
0
...
0
1
...
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
0
0
...
1
0
0
...
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
0 0 ... 0
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
0 0 ... 0
0 0 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 0
−1 0 ... 0
0 −1 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... −1
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
α2 =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
0
0
...
0
1
0
...
0
0
...
0
0
1
...
...
...
...
...
...
...
...
0
0
...
0
0
0
...
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
1
0
...
0
0
0
...
0
1
...
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
0
0
...
1
0
0
...
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟ .
⎟
⎠
0 0 ... 1 0 0 ... 0
(3.531)
Per p = 2 e n pari il problema ammette così una sola soluzione fondamentale,
mentre per n dispari non ne ammette.
3) Si supponga p > 2. Avremo le p matrici
α1, α2, α3, . . . , αp. (3.532)
Scegliamo come prima i primi r = n/2 vettori fondamentali nello spazio
R ′ r corrispondente all’autovalore positivo +1 di α1, e gli ultimi n − r nello
spazio R ′′
r li otteniamo trasformando i primi mediante α2. Unica differenza
rispetto al caso precedente è che invece di scegliere ad arbitrio i primi r
vettori fondamentali nello spazio R ′ r, ne adatteremo la scelta alla rappresentazione
di α3, α4, . . . , αp. Per far ciò poniamo:
α2α3 = iβ1 α3 = iα2β1
α2α4 = iβ2 α4 = iα2β2
· · ·
α2αp = iβp−2 αp = iα2βp−2.
311
(3.533)

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Gli operatori β1, β2, . . . , βp−2 trasformano vettori di R ′ r in vettori di R ′ r, e
vettori di R ′′
r in vettori di R ′′
r . Le loro matrici avranno quindi l’aspetto:
βi =
αi+2 =
δi 0
0 γi
0 iγi
iδi 0
essendo γi e δi matrici di ordine n/2. Inoltre, da
αi+2αk+2 + αk+2αi+2
2
si deduce per le ultime delle equazioni (3.533):
, (3.534)
, i = 1, 2, . . . , p − 2, (3.535)
= δik
(3.536)
1
2 (α2βiα2βk + α2βkα2βi) = − δik; (3.537)
e poiché deve essere per le prime delle (3.533)
segue:
e le (3.537) diventano:
iβ1α2 = α2αi+2α2 = α2 (αi+2α2)
= − α2 (α2αi+2) = − αi+2 = −i α2 βi,
βiα2 = − α2βi, βkα2 = − α2βk (3.538)
− α2βiα2βk + α2βkα2βi = − α2 (βiα2) βk + α2 (βkα2) βi
= α2 (α2βi) βk + α2 (α2βk) βi = β1βk + βkβi = 2 δik, (3.539)
cioè le β soddisfanno a condizioni analoghe alle equazioni (3.522). Con
ciò tutte le condizioni non sono ancora riempite. Resta precisamente da
soddisfare quella delle (3.522) in cui una delle α è α2 e l’altra αi+2 (i +
1, 2, . . . , p − 2). Cioè, per le equazioni (3.533), la (3.538), sulla cui validità
sono del resto fondate le (3.539). Ora data la forma (3.531) di α2, la
(3.538) importa solamente che fra le matrici parziali a n/2 dimensioni γi,
δi sussista l’equazione:
γi = − δi, (3.540)
e perché siano soddisfatte le (3.539) basta ancora che sia
γi γk + γk γi = 2 δik, i, k = 1, 2, . . . , p − 2. (3.541)
312

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Perché le αi+2 siano Hermitiane si richiede solo che lo siano le γi, e con ciò
il nostro problema è pienamente ricondotto a quello analogo con n ′ = n/2
e p ′ = p − 2. Se ancora p ′ > 2, si può procedere finché si ricade in uno
dei casi già noti: n dispari in cui si hanno n + 1 soluzioni fondamentali se
contemporaneamente è p = 1, mentre altrimenti non se ne hanno, oppure
p ′ ≤ 2 che abbiamo risolto sotto 1) e 2).
Abbiamo così risolto il problema ottenendo un procedimento che permette
di costruire tutte le possibili soluzioni fondamentali. La risposta
generale sulla possibilità e numero delle soluzioni suona ovviamente:
Posto p sotto la forma p = 2k oppure p = 2k + 1, il problema ammette
soluzioni solo se n è divisibile per 2 k e precisamente ne ammette una sola se
p è pari mentre se p è dispari ne ammette (n/2 k )+1. Come casi particolari
si hanno le conclusioni già segnalate per p = 1 e p = 2.
Come caso particolare possiamo considerare quello in cui p ha il valore
massimo possibile, essendo dato n. La risposta suona: sia t l’esponente
di 2 nella scomposizione in fattori primi di n; si avrà: pmax = 2t + 1 e il
numero delle soluzioni fondamentali è (n/2 t ) + 1 ≥ 2, (valendo il segno di
uguaglianza solo se n è potenza intera di 2).
Operatori non Hermitiani. Togliamo la restrizione che α1, α2, . . . , αp
siano operatori Hermitiani. Ascriveremo allora a un’unica soluzione fondamentale
tutte le soluzioni che si ottengono l’una dall’altra, per trasformazione
qualunque di coordinate. Cioè data una soluzione αi riguarderemo
come equivalente la soluzione α ′ i = SαiS −1 , in cui S è un operatore
qualunque con determinante diverso da zero. Per la rappresentazione delle
αi scegliamo un sistema non normale di coordinate procedendo esattamente
come nel caso precedente, tolta dove occorre la condizione di ortonormalità
dei vettori fondamentali e sostituita con quella di “indipendenza”. Giungiamo
allora alle stesse matrici Hermitiane che abbiamo ottenuto prima:
soltanto non essendo normale il sistema di coordinate, esse non rappresentano
in generale operatori Hermitiani. Tornando alle coordinate normali, le
matrici degli operatori Hermitiani si ottengono per trasformazione unitaria
da certe fondamentali, mentre le matrici degli operatori non Hermitiani si
ottengono per trasformazione non unitaria delle stesse fondamentali; tali
matrici non saranno in generale Hermitiane.
Esempi. Diamo alcuni esempi di matrici fondamentali limitatamente al
caso: n = 2 t , p = 2t + 1 in cui p ha dunque il valore massimo possi-
313

Volumetto 3: 28 giugno 1929
bile. Avremo sempre due soluzioni fondamentali che differiscono tra loro
unicamente per il segno dell’ultima matrice.
• n = 1, p = 1
• n = 2, p = 3
α1 =
1 0
0 −1
• n = 4, p = 5
, α2 =
αi = ± 1
0 1
1 0
0 i
, α3 = ±
−i 0
α1 =
⎛
⎜
⎝
1
0
0
0
1
0
0
0
−1
0
0
0
⎞
⎟
⎠
0 0 0 −1
, α2 =
⎛
⎜
⎝
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
⎞
⎟
⎠
0 1 0 0
,
α3 =
⎛
⎜
⎝
0
0
−i
0
0
0
i
0
0
0
−1
0
⎞
⎟
⎠
0 i 0 0
, α4 =
⎛
⎜
⎝
0
0
0
0
0
−i
0
i
0
i
0
0
⎞
⎟
⎠
−i 0 0 0
,
α5
⎛
⎜
= ± ⎜
⎝
0
0
0
0
0
1
0
1
0
⎞
−1
0 ⎟
0 ⎠
−1 0 0 0
.
• n = 8, p = 7
α1 =
⎛
⎜
⎝
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 −1 0 0 0
0 0 0 0 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 0 −1 0
0 0 0 0 0 0 0 −1
314
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
.

α3 =
α4 =
α5 =
α2 =
Volumetto 3: 28 giugno 1929
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
0 0 0 0 i 0 0 0
0 0 0 0 0 i 0 0
0 0 0 0 0 0 −i 0
0 0 0 0 0 0 0 −i
−i 0 0 0 0 0 0 0
0 −i 0 0 0 0 0 0
0 0 i 0 0 0 0 0
0 0 0 i 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 i 0
0 0 0 0 0 0 0 i
0 0 0 0 i 0 0 0
0 0 0 0 0 i 0 0
0 0 −i 0 0 0 0 0
0 0 0 −i 0 0 0 0
−i 0 0 0 0 0 0 0
0 −i 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 −1 0
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 −1 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 −1 0 0 0 0
−1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
315
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
⎞
⎟ ,
⎟
⎠

α6 =
Volumetto 3: 28 giugno 1929
⎛
⎜
⎝
⎜
α7 = ± ⎜
⎝
0 0 0 0 0 0 0 −1
0 0 0 0 0 0 −1 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0 0 0
−1 0 0 0 0 0 0 0
⎛
0 0 0 0 0 0 0 −i
0 0 0 0 0 0 i 0
0 0 0 0 0 i 0 0
0 0 0 0 −i 0 0 0
0 0 0 i 0 0 0 0
0 0 −i 0 0 0 0 0
0 −i 0 0 0 0 0 0
i 0 0 0 0 0 0 0
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
⎞
⎟ .
⎟
⎠
Interpretazione secondo la teoria dei gruppi. Consideriamo più operatori
α1, α2, . . . , αp, (3.542)
soddisfacenti alle solite condizioni
αiαk + αkαi = 2 δik, (3.543)
e gli operatori composti che si ottengono moltiplicando quante si vogliano
delle α in un ordine qualsiasi. Essi formano gruppo e in realtà un gruppo
finito g perché a causa delle (3.543) possono sempre ricondursi al tipo:
g : ± α ɛ1
1 α ɛ2
2 . . . α ɛp
p , (3.544)
in cui le ɛi sono capaci dei valori 0 e 1. Gli operatori (3.544) possono
riguardarsi in astratto come elementi di un gruppo contenente 2 p+1 elementi.
Per avere una rappresentazione del gruppo basta trovare p matrici
soddisfacenti alla (3.543); esse corrispondono a p elementi fondamentali del
gruppo (3.544), cioè alle α stesse che si ottengono da (3.544) scegliendo il
segno + e ponendo tutte le ɛ tranne una uguali a zero. Da queste matrici
fondamentali per prodotto si ottengono quelle che corrispondono a tutti
gli altri elementi del gruppo. Il problema di determinare p matrici soddisfacenti
alle (3.543) lo abbiamo già risolto per tutti i valori di n per cui è
316

Volumetto 3: 28 giugno 1929
possibile risolverlo e in tutti i modi possibili per un dato n. Abbiamo così
altrettante rappresentazioni del gruppo g. Esse non sono tuttavia tutte
le rappresentazioni possibili. In realtà la regola di composizione per gli
elementi del gruppo è stata dedotta dalle (3.543), ma queste a loro volta
non si deducono dalla regola di composizione se non nel caso speciale che a
elementi del gruppo contrassegnati dalle stesse ɛ ma da segno opposto, corrispandono
matrici opposte. Badiamo in particolare alle rappresentazioni
irriducibili. L’elemento
− α 0 1 α 0 2 . . . α 0 p
(3.545)
è commutabile con tutti gli elementi del gruppo e poiché il suo quadrato
è l’elemento unità, nelle rappresentazioni irriducibili corrisponderà ad esso
o la matrice unità, o la matrice unità cambiata di segno. Solo nel secondo
caso le (3.543) saranno soddisfatte dalle matrici fondamentali e perché
siano soddisfatte in una rappresentazione qualunque occorre e basta che
questa si scomponga in rappresentazioni irriducibili del secondo tipo. Le
rappresentazioni irriducibili del primo tipo sono necessariamente unidimensionali
perché sono rappresentazioni abbreviate di g, o rappresentazioni del
gruppo Abeliano g ′ che si ottiene identificando in (3.544) gli elementi che
differiscono solo per il segno, cioè elementi equivalenti rispetto al sotto
gruppo invariante formato dall’elemento unità e dall’elemento in (3.545).
Poiché il gruppo g ′ contiene 2 p elementi, le rappresentazioni irriducibili unidimensionali
del primo tipo sono in numero di 2 p . I caratteri irriducibili
sono ovviamente:
η ɛ1
1 η ɛ2
2 . . . η ɛp
p . (3.546)
Supponiamo inoltre che esistano s rappresentazioni irriducibili del secondo
tipo. Per il teorema di “completezza” dovrà essere:
n 2 1 + n 2 2 + . . . + n 2 s = 2 p+1 − 2 p = 2 p . (3.547)
Si supponga che le ni siano disposte in ordine non decrescente; sarà allora
n1, il più piccolo valore di n per cui è possibile trovare p matrici soddisfacenti
alla (3.543). Se p = 2k è pari supponiamo che detto valor minimo
è n = 2 k = 2 p/2 ; onde per la (3.547) esiste una sola rappresentazione
irriducibile del secondo tipo con
n = 2 p/2 = 2 k , p = 2k. (3.548)
Se invece p = 2k + 1 è dispari sarà ancora n1 = 2 k , ma dovrà esistere una
seconda rappresentazione irriducibile dello stesso ordine. Si hanno così per
317

Volumetto 3: 28 giugno 1929
p dispari due rappresentazioni irriducibili del secondo tipo con
n1 = n2 = 2 p−1
2 = 2 k , p = 2k + 1. (3.549)
Poiché una rappresentazione in cui sono soddisfatte le (3.543) si scompone
in rappresentazioni irriducibili del secondo tipo si comprende l’affermazione
del teorema (si veda il paragrafo Operatori non Hermitiani), che cioè
il problema di trovare p matrici di ordine n soddisfacenti alla (3.543) ammette
soluzioni solo se n è divisibile per 2 k ; si comprende inoltre come
questa soluzione è unica (a meno di trasformazioni) se p è pari, perché
unica è la scomposizione possibile in matrici irriducibili, mentre vi sono
n/2 k + 1 soluzioni fondamentali se p è dispari perché nella scomposizione
della rappresentazione di ordine n in rappresentazioni irriducibili di secondo
tipo, essendo queste due dello stesso ordine 2 k , una di esse può entrare
un numero intero di volte da 0 a n/2 k .
Quando n è multiplo di 2 k , si possono adattare le coordinate alla scomposizione
in rappresentazioni irriducibili e si ottengono allora per le α matrici
che sono più semplici di quelle considerate nella trattazione diretta perché
si spezzano in matrici parziali di ordine 2 k che con opportuna scelta delle
coordinate si riconducono a quelle già considerate per il caso n = 2 k . (Vedi
per la connessione delle matrici di Dirac con il gruppo di Lorentz, al luogo:
Invarianza delle equazioni di Dirac.) 16
3.19 Elettrone rotante
Scriviamo le equazioni di Dirac sotto la forma:
α1
H ψ ≡ mc +
i
W e
+
c c φ
+ α2 px + e
c Ax
+ α3 py + e
c Ay
+ α4 pz + e
c Az
+ mc
ψ = 0, (3.550)
i
in cui le α sono le prime quattro delle α considerate nel paragrafo 3.18
sotto n = 4, p = 5. Sia H1 l’operatore che si ottiene da H scambiando
16 Nonostante il riferimento con cui l’Autore chiude questo paragrafo, nei cinque
Volumetti non v’è alcuna sezione che tratti questo argomento.
318

Volumetto 3: 28 giugno 1929
l’ultimo termine mc/i in −mc/i, e formiamoci la quantità H1Hψ 17 :
− mc + W
c
e
+
c φ
2
+ px + e
c Ax
2
+ py + e
c Ay
2
+ pz + e
c Az
2 + m 2 c 2
e
+ α1α2
c Ex
e
+ α1α3
c Ey
e
+ α1α4
c Ez
− e
ci α2α3Hz − e
ci α3α4Hx − e
ci α4α2Hy
ψ = 0. (3.551)
I primi cinque termini danno l’Hamiltoniana relativistica senza elettrone
rotante, gli altri rappresentano la correzione di elettrone rotante. Notando
che le matrici α1α2, α1α3, α1α4, α2α3, α3α4, α4α2 hanno per quadrato −1,
e quindi per autovalori ±i, e inoltre che l’Hamiltoniana classica è, in prima
approssimazione, H1H/2m, si deduce che l’elettrone appare provvisto di
un momento magnetico e/2mc e di un momento elettrico immaginario
pari a e/2mci.
Scriviamo in luogo delle (3.550) le equazioni equivalenti ma più comode:
− mc + W e
+
c c φ
+ α1 mc + α2 px + e
c Ax
+ α3 py + e
c Ay
+ + α4 pz + e
c Az
ψ = 0, (3.552)
che si possono portare nella forma:
H ψ ≡
(α1 − 1) mc 2 − e
φ + α2 c px +
c e
c Ax
+ α3 c py + e
c Ay
+ α4 c pz + e
c Az
ψ = W ψ. (3.553)
Supponiamo che il campo magnetico sia costante di intensità H e diretto
secondo l’asse z. Potremo porre:
Ax = − 1
1
y H, Ay = x H, Az = 0, (3.554)
2 2
17 Nel manoscritto originale viene usata la vecchia notazione h/2π per la quantità
qui denotata con . Si noti anche che φ e A sono rispettivamente il potenziale
scalare e vettore del campo elettromagnetico, mentre nel seguito con E e H si
indicano rispettivamente il campo elettrico e magnetico.
319

Volumetto 3: 28 giugno 1929
e le (3.553) diventano:
H ψ ≡
(α1 − 1) mc 2 − e
c φ + α2
c px − e
2c yH
+ α3 c py + e
2c xH
+ α4 c pz ψ = W ψ. (3.555)
Indichiamo con ψ n le soluzioni scalari dell’equazione di Schrödinger
e con
− 2
2m ∆ ψn − e φ ψ n − Wn ψ n = 0 (3.556)
xnn ′, ynn ′, znn ′ (3.557)
le matrici di polarizzazione. Scriviamo per disteso le (3.555):
−e φ ψ1 + c px − e
2c yH
ψ3 + c i py + e
2c xH
ψ3
+ c i pz ψ4 = W ψ1 (3.558)
−e φ ψ2 + c px − e
2c yH
ψ4 − c i py + e
2c xH
ψ4
+ c i pz ψ3 = W ψ2 (3.559)
−2mc 2
ψ3 − e φ ψ3 + c px − e
2c yH
ψ1
− c i py + e
2c xH
ψ1 − c i pz ψ2 = W ψ3 (3.560)
−2mc 2
ψ4 − e φ ψ4 + c px − e
2c yH
ψ2
+ c i py + e
2c xH
ψ2 − c i pz ψ1 = W ψ4. (3.561)
In prima approssimazione risolve le equazioni di Dirac il duplice sistema
di funzioni vettoriali ψ n1 e ψ n2 le cui componenti sono:
ψ n1
ψ n2
1 a comp. 2 a comp. 3 a comp. 4 a comp.
ψ n
0 ψ n
0 (2mc) −1 (px − ipy)ψ n
−(2mc) −1 ipzψ n
−(2mc) −1 ipzψ n
(2mc) −1 (px + ipy)ψ n
320
(3.562)

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Tali funzioni sono ortogonali e, in prima approssimazione, normalizzate.
Per la determinazione degli controvalori in seconda approssimazione (cioè
tenendo conto in prima approssimazione degli effetti di relatività, elettrone
rotante e campo magnetico) sostituiamo nelle (3.558)-(3.561) tenuto conto
delle (3.556). Avremo rispettivamente per i singoli tipi ψ n1 e ψ n2 :
(a) Tipo ψ n1 : (3.563)
−e φ ψ1 + c px − e
2c
+ c i pz ψ4 − Wn ψ1 ≡ (δH ψ) 1
= e H
4mc (x py − y px) ψn +
y H ψ3 + c i py + e
x H ψ3
2c
i e H
4mc (x px + y py) ψn ;
−e φ ψ2 + c px − e
2c yH
ψ4 − c i py − e
2c xH
ψ4
+ c i pz ψ3 − Wn ψ2 ≡ (δH ψ) 2
= − eH
4mc (x − i y) pz ψn ;
−2mc 2
ψ3 − e φ ψ3 + c px − e
2c yH
ψ1
− c i py + e
2c xH
ψ1 − c i pz ψ2 − Wn ψ3 ≡ (δH ψ) 3
= − 1
2mc (Wn + e φ) (px − i py) ψ n − ieH
2
(x − i y) ψ n ;
−2mc 2
ψ4 − e φ ψ4 + c px − e
2c yH
ψ2
+ c i py + e
2c xH
ψ2 − c i pz ψ1 − Wn ψ4 ≡ (δH ψ) 4
= i
2mc (Wn + e φ) pz ψn .
(b) Tipo ψ n2 : (3.564)
−e φ ψ1 + c px − e
y H ψ3 + c i py +
2c e
x H ψ3
2c
321

Volumetto 3: 28 giugno 1929
+ c i pz ψ4 − Wn ψ1 ≡ (δH ψ) 1
= eH
4mc (x + i y) pz ψ n ;
−e φ ψ2 + c
px − e
2c yH
ψ4 + c i py + e
2c xH
ψ4
+ c i pz ψ3 − Wn ψ2 ≡ (δH ψ) 2
= e H
4mc (x py − y px) ψ n −
i e H
4mc (x px + y py) ψ n ;
−2mc 2
ψ3 − e φ ψ3 + c px − e
2c yH
ψ1
− c i py + e
2c xH
ψ1 − c i pz ψ2 − Wn ψ3 ≡ (δH ψ) 3
i
= (Wn + e φ) pz ψn
2mc
= −2mc 2
ψ4 − e φ ψ4 + c px − e
2c yH
ψ2
+ c i py + e
2c xH
ψ2 − c i pz ψ1 − Wn ψ4 ≡ (δH ψ) 4
= − 1
2mc (Wn + e φ) (px + i py) ψ n + ieH
2
Supponiamo che Wn sia multiplo q volte e siano
y 1 , y 2 , . . . , y q
(x + i y) ψ n .
(3.565)
le autofunzioni ortonormalizzate di Schrödinger corrispondenti all’autovalore
Wn. A causa dell’elettrone rotante si avranno invece 2q autofunzioni
vettoriali con autovalore prossimo a Wn. In prima approssimazione esse
si ottengono come combinazioni lineari delle 2q autofunzioni approssimate
y 11 , y 21 , . . . , y q1 , y 12 , y 22 , . . . , y q2 che risultano da (3.562) quando in luogo
di ψ n si ponga successivamente y 1 , y 2 , . . . , y q . Abbiamo posto genericamente
y n1 = ψ n1 , y n2 = ψ n2 . Le variazioni dell’autovalore si avranno così,
in prima approssimazione, come autovalori della matrice a 2s dimensione
di δH. Calcoleremo anche questa in prima approssimazione (maggiore
esattezza essendo illusoria) ponendo:
δHri,sk =
4
γ=1
y ri∗
γ
322
δH y sk
γ
dτ (3.566)

Volumetto 3: 28 giugno 1929
(i, k = 1, 2 e r, s = 1, 2, . . . , q), l’approssimazione consistendo in ciò che
consideriamo le y r1 (o y sk ) espresse mediante (3.562) come normalizzate,
benché siano tali solo in prima approssimazione. Potremo spezzare la matrice
di perturbazione δHri,sk nella somma di due di cui la prima indipendente
dal campo magnetico e la seconda proporzionale a questa:
δHri,sk = Ari,sk + H Bri,sk. (3.567)
Cominciamo da un caso particolare; supponiamo cioè il campo magnetico
assente e Wn semplice come autovalore dell’equazione di Schrödinger.
18 Poiché q = 1, le funzioni base si riducono a 2:y 11 e y 12 , essendo
y 1 l’autofunzione di Schrödinger. Trascurando gli indici r e s, che sono
costantemente uguali a 1, le (3.566) diventano, quando si tenga conto dell’espressione
(δH y 1 )γ e (δH y 2 )γ (γ = 1, 2, 3, 4) nelle (3.563) e (3.564),
dalla (3.566):
δH11 = − 1
4m 2 c 2
+
= − 1
4m 2 c 2
+
= − 1
4m 2 c 2
− 1
4m 2 c 2
− 1
4m 2 c 2
− 1
4m 2 c 2
p∗ x + ip ∗ 1∗ 1
y y · (Wn + eφ) (px − ipy) y dτ
p ∗ z y 1∗ · (Wn + eφ) pz y 1
dτ
y 1∗ (px + ipy) (Wn + eφ) (px − ipy) y 1 dτ
y 1∗ pz (Wn + eφ) pz y 1
dτ
y 1∗ (Wn + eφ) p 2 x + p 2 1
y y dτ
− 4e
2πi y1∗
∂φ ∂φ
+ i
∂x ∂y
y 1∗ (Wn + eφ) p 2 z y 1 dτ
− 4e
2πi y1∗ ∂φ
∂z pz y 1 dτ,
(px − ipy) y 1 dτ
ovvero ponendo V = −eφ e notando che per l’equazione di Schrödinger
2
px + p 2 y + p 2 1
z y
1
= 2m (Wn − V ) y , (3.568)
18 Si noti che l’Autore considera solo la degenerazione non indotta dallo spin;
come discusso più avanti (si veda la discussione che porta alla (3.575)), lo spin
rende tutti i livelli energetici doppiamente degeneri.
323

si ha:
Volumetto 3: 28 giugno 1929
δH11 = − 1
2mc2
y 1∗ (Wn − V ) 2 y 1 dτ
− 2
4m2c2
y 1∗ grad V × grad y 1 dτ (3.569)
+ i2
4m2c2
y 1∗
∂V ∂y
∂x
1
∂V ∂y
−
∂y ∂y
1
dτ. (3.570)
∂x
Uscendo dall’ipotesi che non esista degenerazione, y 1 dovrà essere reale
onde si confonde con y 1∗ ; allora in (3.569) il secondo integrale si semplifica
mediante integrazione per parti mentre il terzo va a zero; e si ha semplicemente:
δH11 = − 1
2mc 2
(Wn − V ) 2 (y 1 ) 2 dτ + 2
8m 2 c 2
(y 1 ) 2 ∆ V dτ,
(3.571)
intendendo naturalmente che dove V ha una singolarità di tipo −k/r,
(y
∆τ
1 ) 2 ∆ V dτ estesa a uno spazio infinitesimo ∆τ intorno alla singo-
larità sia uguale a 4π k (y 1 ) 2 (P0). L’espressione di δH22 si ottiene da
(3.569) cangiando i in −i nel terzo integrale e poiché questo è nullo coincide
con quella (3.571) di δH11.
Calcoliamo δH12. Avremo:
δH12 =
=
=
i
4m 2 c 2
−
i
4m 2 c 2
−
i 2
4m 2 c 2
p∗ x + ip ∗ 1∗ 1
y y (Wn − V ) pz y dτ
p ∗ z y 1∗ (Wn − V ) (px + ipy) y 1
dτ
y 1∗ (px + ipy) (Wn − V ) pz y 1 dτ
y 1∗ pz (Wn − V ) (px + ipy) y 1
dτ
y 1∗
1
∂V ∂V ∂y
+ i
∂x ∂y ∂z
− ∂V
1
∂y ∂y1
+ i dτ. (3.572)
∂z ∂x ∂y
324

Volumetto 3: 28 giugno 1929
(δH21 si ottiene da δH12 cangiando i in −i solo sotto il segno dell’integrale),
mentre naturalmente
δH21 = δH12. (3.573)
Nel nostro caso essendo y 1 reale, si ha δH12 = δH21 = 0. Gli autovalori
della matrice di perturbazione coincidono allora e si ha semplicemente
δWn = δH11 = δH22. (3.574)
L’elettrone rotante non spezza il termine originariamente semplice. I due
livelli degenerati sono tuttavia separati dal campo magnetico. Senza campo
magnetico tutti i livelli sono almeno doppi, non solo in prima approssimazione,
ma esattamente perché in tal caso da una soluzione delle (3.558)-
(3.561) se ne ottiene un’altra ponendo
ψ ′ 1 = − ψ ∗ 2, ψ ′ 2 = ψ ∗ 1, ψ ′ 3 = ψ ∗ 4, ψ ′ 4 = − ψ ∗ 3. (3.575)
Poiché δWn senza campo e senza degenerazione è uguale a δH11, la sua
espressione data dalla (3.571) consta di due termini di cui il primo rappresenta
la correzione relativistica e il secondo rappresenta la correzione per
l’elettrone rotante.
Come esempio calcoliamo la correzione in seconda approssimazione per
l’energia dello stato fondamentale di un atomo di carica Z con un solo
elettrone; si avrà:
Wn = − Z 2 R h = − me4Z 2
22 y 1 = c e −Zr/a = e 3 mZ/ 3 √ πmZ e −me2Zr/ 2
(3.576)
(3.577)
δWn = − 5 W
2
2 n
mc2 + 2 W 2 n
mc2 1 W
= −
2
2 n
.
mc2 (3.578)
L’effetto di relatività è ridotto a un quinto a causa dell’elettrone rotante.
Deduciamo la (3.578) dalla nota formola della struttura fina: struttura fina
W
mc2 =
1 +
α 2 Z 2
(n − j − 1/2 + (j + 1/2) 2 − α2Z 2 ) 2
−1/2 − 1 (3.579)
essendo n il quanto principale e α = e 2 /c la costante di struttura fina.
Sviluppando in serie e fermandosi alla seconda approssimazione e indicando
con Wn = −R hZ 2 /n 2 il termine Balmeriano:
W = Wn −
2n
j + 1/2
325
2
3 Wn − , (3.580)
2 mc2

Volumetto 3: 28 giugno 1929
e poiché nel nostro caso n = 1, j = 1/2, segue la (3.578). La correzione
relativistica (falsa) senza elettrone rotante si avrebbe ponendo in (3.579) e
in (3.580) il quanto azimutale k in luogo di j. Nel nostro caso k = 0 e si
avrebbe in prima approssimazione δWn = −(5/2)Wn/mc 2 , come si è già
trovato. La (3.580) si può scrivere, poiché
sotto la forma:
W = −
R hZ2
n 2
Wn = RhZ2 1
=
n2 2n2 α2mc 2 Z 2
− Z2 α 2
n 3
1
j + 1/2
3
− R h. (3.581)
4n
Passiamo al caso del campo centrale e sia Wn degenerato per rotazione
e precisamente multiplo 2k + 1 volte se k > 0 è il quanto azimutale. Le
autofunzioni degenerate di prima approssimazione saranno
y 11 , y 21 , . . . , y (2k+1)1 , y 12 , y 22 , . . . , y (2k+1)2 ,
o più comodamente distinguendo le 2kr ′ autofunzioni di Schrödinger mediante
il quanto equatoriale:
y m1 , y m2 , con m = k, k − 1, . . . , −k + 1, −k. (3.582)
La matrice di perturbazione si spezza nella somma di due, di cui la prima
contenente il solo termine diagonale
δH ′ m1,m1 = δH ′ m2,m2 = − 1
2mc2
(Wn − V ) 2 ψ ψ ∗ dτ
+ 2
4m2c2
1 dV 1 d
+
r dr 2
2 V
dr2
ψ ψ ∗ dτ, (3.583)
e dipendente da m è una costante assoluta da aggiungersi agli autovalori
della seconda matrice δH ′′ . Gli elementi di questa sono:
δH ′′
m1,n1 =
4m2c2 uz
1 dV
mn
r dr ψ ψ∗ dτ, (3.584)
essendo uz l’impulso orbitale intorno all’asse z. Analogamente
δH ′′ m1,n2
=
4m2 (−uy
c2 mn + iux mn)
326
1 dV
r dr ψ ψ∗ dτ (3.585)

Volumetto 3: 28 giugno 1929
=
4m2c2 ∗
−uy nm + iu ∗
x nm
1 dV
r dr ψ ψ∗ dτ = δH ′′ n2,m1
δH ′′
m2,n1 =
4m2c2 (−uy
1 dV
mn − iux mn)
r dr ψ ψ∗ dτ (3.586)
=
4m2c2 ∗
−uy nm − iu ∗
x nm
1 dV
r dr ψ ψ∗ dτ = δH ′′ n1,m2
δH ′′ m2,n2 = −
4m2c2 uz
1 dV
mn
r dr ψ ψ∗ dτ. (3.587)
Come matrici (2k + 1) dimensionali per uz, ux, uy potremo assumere, a
meno del fattore , le matrici Rz/i, Rx/i, Ry/i delle (3.500), in cui in
luogo di j si ponga k. Ma per evitare immaginari porremo, come è lecito:
uz = Rz
i
= Tz
ux = − Ry
i = − Ty (3.588)
uy = Rx
i
= Tx.
Poniamo inoltre: Tz = Rz
i , Tx = Rx
i , Ty = Ry
i
δH ′′ mr,ns = 2
4m2 Qmr,ns
c2 La matrice (4k + 2) dimensionale assume l’aspetto:
Q =
Tz
−Tx + iTy
−Tx − iTy
−Tz
ovvero per le formole (3.500):
1 dV
r dr ψ ψ∗ dτ. (3.589)
, (3.590)
Qm1,n1 = m δm,n (3.591)
Qm2,n2 = − m δm,n (3.592)
Qm1,n2 = k(k + 1) − mn δm+1,n = Qn2,m1 (3.593)
Qm2,n1 = k(k + 1) − mn δm−1,n = Qn1,m2. (3.594)
Segue che la matrice Q si spezza nelle 2k + 1 matrici parziali composte
dalle righe e colonne:
k, 1; k − 1, 1 e k, 2; k − 2, 1 e k − 1, 2; . . . ;
327

Volumetto 3: 28 giugno 1929
k − r, 1 e k − r + 1, 2; . . . ; (3.595)
−k, 1 e − k + 1, 2; −k, 2.
la prima e l’ultima di un solo elemento |k| hanno per autovalore k. Le 2k
intermedie (r = 1, 2, . . . , 2k) hanno la forma:
k − r
k(k + 1) − (k − r)(k − r + 1)
,
k(k + 1) − (k − r)(k − r + 1) −k + r − 1
(3.596)
i cui autovalori sono k e −(k + 1). Si hanno così in tutto 2k + 2 autofunzioni
corrispondenti all’autovalore k di Q e 2k autofunzioni corrispondenti
all’autovalore −(k + 1) di Q; alle prime compete il quanto interno
j = k + 1/2; alle seconde il quanto interno j = k − 1/2. Il termine è così
sdoppiato dall’elettrone rotante ma la degenerazione persiste per entrambi
i termini, poiché anche nel migliore dei casi, cioè per k = 1, il termine più
elevato è quadruplo e il più profondo è doppio. Ciò è in armonia con quanto
si è rilevato (3.575) e cioè che senza campo magnetico tutti i termini sono
almeno doppi.
Se in (3.596) poniamo
ℓ = k + 1
2
detta matrice assume la forma
ℓ − 1/2
(k + 1/2) 2 − ℓ2
(k + 1/2) 2 − ℓ2 −(ℓ + 1/2)
− r, (3.597)
. (3.598)
ℓ rappresenta l’impulso totale intorno all’asse z che è comune alle due
soluzioni di (3.598). Le autofunzioni corrispondenti a j = k + 1/2 sono in
prima approssimazione:
ψ ′ℓ 1
ℓ−1/2,1 ℓ+1/2,2
= √ k + ℓ + 1/2 y − k − ℓ + 1/2 y
2k + 1
.
(3.599)
Facendo variare ℓ fra j (= k + 1/2) e −j (= −k − 1/2), si ottengono oltre
alle soluzioni che derivano dalle (3.596) anche quelle contrassegnate da
l = ±(k + 1/2) che derivano dalla prima e dall’ultima matrice (3.595) con
un solo elemento. A tali soluzioni estreme competendo un impulso intorno
all’asse z pari a j2 = k − 1/2 esse non trovano riscontro nelle soluzioni con
328

Volumetto 3: 28 giugno 1929
j2 = k − 1/2. Queste ultime in numero di 2j2 + 1 = 2k sono in prima
approssimazione:
ψ ′′ℓ =
1
ℓ−1/2,1 ℓ+1/2,2
√ k − ℓ + 1/2 y + k + ℓ + 1/2 y
2k + 1
,
(3.600)
in cui ℓ varia per salti di un’unità fra j2 e −j2. Malgrado l’apparente simmetria
di (3.599) e (3.600), si hanno 2k +2 soluzioni del primo tipo e 2k del
secondo. In realtà se si ponesse nelle (3.600) ℓ = ±(k + 1/2) esse perderebbero
significato, essendo le y s1 e y s2 definite solo per |s| < k; ciò non ha
luogo per le (3.598) perché in queste le autofunzioni soprannumerarie di
Schrödinger sono affette dal coefficiente 0.
A causa di (3.583) e (3.589), le variazioni dell’autovalore per effetti
relativistici e di elettrone rotante sono, in prima approssimazione:
per j = k + 1/2:
δW ′ n = − 1
2mc 2
per j = k − 1/2:
+ 2
4m 2 c 2
δW ′′
n = − 1
2mc 2
+ 2
4m 2 c 2
(Wn − V ) 2 ψ ψ ∗ dτ
k + 1 dV
r dr
1 d
+
2
2 V
dr2 (Wn − V ) 2 ψ ψ ∗ dτ
−k
r
dV
dr
1 d
+
2
2 V
dr2 Lo sdoppiamento del termine sarà in prima approssimazione:
δW ′ n − δW ′′
n =
ovvero, in numero d’onde:
∆n =
(2k + 1)2
4m 2 c 2
(2k + 1)
4m 2 c 3
329
ψ ψ ∗ dτ (3.601)
ψ ψ ∗ dτ. (3.602)
1 dV
r dr ψ ψ∗ dτ, (3.603)
1 dV
r dr ψ ψ∗ dτ. (3.604)

Volumetto 3: 28 giugno 1929
3.20 Caratteri della Dj e riduzione
di Dj×D ′ j 19
Le rappresentazioni Dj di O(3), univoche e duplici, possono sempre riguardarsi
come rappresentazioni irriducibili, univoche del gruppo SU(2)
delle trasformazioni unitarie con determinante 1 in due dimensioni. In
particolare O(3), come equivalente a Dj, è una rappresentazione irriducibile
di SU(2). La legge di rappresentazione è espressa dalla formola (3.497).
Ogni elemento di SU(2) può ricondursi a forma diagonale
ɛ 0
0 ɛ −1
, (3.605)
con |ɛ| = 1, mediante trasformazione unitaria. La matrice (3.605) è ancora
un elemento di SU(2), e poiché possiamo sempre richiedere che la trasformatrice
unitaria abbia determinante 1 e faccia quindi parte di SU(2), il
nostro elemento sarà coniugato all’elemento principale (3.605). Tutti gli elementi
coniugati a (3.605) costituiscono una classe e precisamente, facendo
variare ɛ con la condizione |ɛ| = 1, la più generale classe di elementi coniugati.
Ogni classe è così distinta dagli autovalori ɛ e 1/ɛ, determinati a
meno del loro ordine, di un suo qualunque elemento. Ponendo:
ɛ = e iω ,
1
ɛ = e−iω , (3.606)
l’angolo ω, determinato a meno del segno, definisce una classe.
Poiché il carattere è una funzione di classe, possiamo limitarci ai caratteri
degli elementi principali della forma (3.605).
Nella rappresentazione Dj (di grado 2j +1 = v +1) di SU(2) la matrice
corrispondente all’elemento (3.605) trasforma il vettore di componenti:
nel vettore di componenti:
ξ ′r η ′v−r
r!(v − r)! =
ξ r η v−r
r!(v − r)! , v = 2j, r = 0, 1, . . . , v, (3.607)
ξ r η v−r
r!(v − r)! ɛ 2r−v , r = 0, 1, . . . , v. (3.608)
19 Nella consueta terminologia moderna, il termine “carattere” è sinonimo di
“traccia.”
330

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Detta matrice è quindi diagonale con gli elementi diagonali:
cioè:
Il carattere è così dato da:
ɛ 2r−2j , r = v, v − 1, . . . , 0 (3.609)
ɛ 2j , ɛ 2j−2 , . . . , ɛ −2j . (3.610)
χi = ɛ 2j + ɛ 2j−2 + . . . + ɛ −2j = ɛ2j+1 − ɛ −(2j+1)
ɛ − ɛ −1 . (3.611)
Di un gruppo astratto h siano date due rappresentazioni G e G ′ , la
prima a n dimensioni e la seconda a n ′ dimensioni. All’elemento σ del
gruppo corrisponde in G la matrice S che agisce sulle variabili x:
x ′ i =
Sik xk, i, k = 1, 2, . . . , n, (3.612)
e in G ′ la matrice S ′ che agisce sulle variabili y:
k
y ′ r =
s
S ′ rs xs, r, s = 1, 2, . . . , n ′ . (3.613)
Le matrici S×S ′ a nn ′ dimensioni sono definite come quelle che trasformano
i prodotti xiyr nei prodotti x ′ iy ′ r. Esse costituiscono evidentemente
una rappresentazione, che indicheremo con S×S ′ , dello stesso gruppo astratto.
A causa di (3.612) e (3.613), sarà:
x ′ i y ′ r =
k,s
Sik S ′ rs xk ys, (3.614)
da cui risulta la definizione esplicita delle S×S ′ :
S×S ′
ir,ks = Sik S ′ rs. (3.615)
Ponendo k = i e s = r, si ottengono gli elementi diagonali di S×S ′ :
S×S ′
ir,ir = Sii S ′ rr, i = 1, 2, . . . , n; r = 1, 2, . . . , n ′ , (3.616)
da cui risulta semplicemente:
χ(S×S ′ ) = χS χS ′. (3.617)
331

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Consideriamo le rappresentazioni Dj×D ′ j del gruppo SU(2). Il loro
carattere sarà dato da χjχj ′. Scomponiamo Dj×D ′ j nelle rappresentazioni
irriducibili Dτ ; avremo:
χj χj ′ = χτ . (3.618)
Cioè a causa di (3.611) e moltiplicando per ɛ − ɛ −1 :
ɛ 2j + ɛ 2j−2
+ . . . + ɛ
−2j
ɛ 2j′ +1 −(2j
− ɛ ′ +1)
=
ɛ 2τ+1 − ɛ −(2τ+1)
e poiché il primo membro di (3.619) si può scrivere: 20
ɛ 1+2j′ +2j − ɛ −(1+2j ′ +2j) + ɛ 1+2j ′ +2j−2 − ɛ −(1+2j ′ +2j−2)
(3.619)
+ . . . + ɛ 1+2j′ −2j − ɛ −(1+2j ′ −2j) , (3.620)
segue che la (3.619) può essere identicamente soddisfatta solo se compaiono,
e ciascuno una sola volta, i soli valori di τ:
j ′ + j, j ′ + j − 1, . . . , j ′ − j, se j ′ ≥ j
j + j ′ , j + j ′ − 1, . . . , j − j ′
se j ≥ j ′
(3.621)
derivando la seconda parte di (3.621) da evidenti ragioni di simmetria,
poiché in (3.619) e quindi in (3.620) si possono scambiare j e j ′ .
Si noti che al principale elemento della (3.605) corrisponde una rotazione
nello spazio ordinario. Tale rotazione, secondo la formola (3.497)
in cui si ponga:
è data da:
x = cos ω, λ = sin ω, µ = ν = 0 (3.622)
x ′ = x cos 2ω + y sin 2ω
y ′ = − x sin 2ω + y cos 2ω
z ′ = z,
che esprimono una rotazione intorno all’asse z dell’angolo −2ω.
(3.623)
20 La (3.620) può essere ottenuta dalla (3.619) moltiplicando il primo termine
nella prima parentesi con il primo termine nella seconda parentesi e l’ultimo nella
prima parentesi con il secondo nella seconda parentesi e così via.
332

Volumetto 3: 28 giugno 1929
3.21 Regole di selezione e di intensità in
campo centrale
Consideriamo un termine con quanto interno j e quindi multiplo di 2j + 1
volte per rotazione e supponiamo che non esista ulteriore degenerazione. Si
faccia agire una perturbazione simmetrica intorno all’asse z; distinguendo
2j + 1 stati quantici indipendenti mediante il quanto magnetico m (=
j, j − 1, . . . , −j) la matrice di perturbazione W (m, m ′ ) è necessariamente
diagonale perché la forma Hermitiana
′ ∗
W (m, m ) xm x ′ m ′ (3.624)
deve restare inalterata quando si opera una rotazione intorno all’asse z,
cioè (si veda la sezione precedente), quando si passa dalle xm alle
ym = ɛ 2m x m . (3.625)
Segue che la perturbazione simmetrica intorno all’asse z spezza in generale
il termine degenerato in 2j +1 termini vicini distinti dal quanto magnetico.
Esiste un secondo termine j ′ , anch’esso spezzato dalla perturbazione in
2j ′ +1 termini distinti dal quanto magnetico m ′ . Sia q il momento elettrico
dell’atomo che ha per componenti qx, qy, qz:
qx = − e (x1 + x2 + . . .) , etc. (3.626)
L’intensità della linea jm − j ′ m ′ è proporzionale al quadrato dell’elemento
(m, m ′ ) di quella parte della matrice di q:
q(m, m ′ ) (3.627)
che corrisponde al passaggio Rj −Rj ′. Operiamo nel sistema una rotazione
s, la funzione Hermitiana
′ ∗
q(m, m ) xm x ′ m ′. (3.628)
subisce la trasformazione corrispondente a s nella rappresentazione Dj×D ′ j.
D’altra parte le componenti qx, qy, qz della forma vettoriale (3.628)
sotto l’influsso di detta trasformazione devono scambiarsi tra loro come
333

Volumetto 3: 28 giugno 1929
x, y, z sotto l’influsso di s; ciò segue dalle (3.626) ed esprime che q è un vettore.
La grandezza (3.628) dicesi una grandezza vettoriale nello spazio rappresentativo
di Dj×D ′ j e di Dj×D ′ j, (poiché le Dj sono definite a meno di
una trasformazione [unitaria] e D e Dj sono equivalenti in senso [ristretto]).
A sua volta la trasformazione s che subiscono qx, qy, qz è equivalente a Dj.
La questione se i quanti linearmente indipendenti di siffatte grandezze vettoriali
possono esistere, si può ricondurre a una regola generale: sia d una
grandezza vettoriale, cioè definita da r componenti:
d1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1rxr
d2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2rxr
·s
dr = ar1x1 + ar2x2 + . . . + arrxr,
(3.629)
che siano combinazioni lineari di m (≥ r) variabili xj, e siano date due
rappresentazioni di un gruppo g, l’una h a r dimensione sia irriducibile e
l’altra H sia a n dimensioni. A un elemento σ del gruppo corrispondono
le matrici:
s in h e S in H. (3.630)
Assoggettando le x alla trasformazione S potrà accadere che le di espresse
mediante (3.629) si trasformino tra loro come sotto l’influsso di s; in tal
caso la grandezza vettoriale d dicesi covariante della specie h. Si domanda
quante di siffatte grandezze covarianti linearmente indipendenti esistano.
Per risolvere il quesito, adottiamo le coordinate, nello spazio rappresentativo
di H, alla scomposizione in rappresentazioni irriducibili di y e sia la
rappresentazione irriducibile h presente k volte. Delle nuove n variabili ne
avremo (k r) che formano la base delle rappresentazioni irriducibili h:
x 1 1, x 1 2, . . . , x 1 r; x 2 1, x 2 2, . . . , x 2 r; . . . ; x k 1, x k 2, . . . , x k r
(3.631)
più eventualmente altre su cui operano le restanti rappresentazioni irriducibili.
Le componenti y di una grandezza covariante del nostro tipo
si potranno esprimere con le formole:
y = A 1 x 1 + A 2 x 2 + . . . + A k x k + . . . + A k+l x x+l + . . . , (3.632)
essendo le A 1 , A 2 , A k matrici quadrate d’ordine k r , mentre le A k+l sono
matrici con r righe e pl colonne, se pl è il numero delle variabili x k+l
(x k+l
1 , x k+l
2 , . . . , x k+l
p l ) su cui opera una delle rappresentazioni irriducibili
334

Volumetto 3: 28 giugno 1929
inequivalenti a h, presenti nella scomposizione di H. Per la definizione di
grandezza covariante dello spazio h dovremo avere:
A 1 sx 1 + A 2 sx 2 + . . . + A k sx k + . . . + A k+l s l x x+l + . . . = sy
= sA 1 x 1 + sA 2 x 2 + . . . + sA k x k + . . . + A k+l sx x+l + . . . , (3.633)
da cui essendo x arbitrarie:
sA 1 = A 1 s; sA 2 = A 2 s; . . . ; sA k = A k s; . . . ;
sA k+l = A k+l s l ; . . . . (3.634)
Per il teorema fondamentale sulla rappresentazioni irriducibili, 21 badando
che s e s l sono rappresentazioni irriducibili inequivalenti del gruppo g, si
deduce:
sono multipli della matrice unita ,
A k+l , . . . sono nulle.
A 1 , A 2 , . . . , A k
(3.635)
Segue che tutte le grandezze covarianti del nostro tipo sono combinazioni
lineari di k indipendenti; infatti dovendo essere:
(con a costante), si può porre:
di = a1x 1 i + a2x 2 i + akx k i (3.636)
d = α1 d 1 + α2 d 2 + . . . + αk d k , (3.637)
essendo d γ (γ = 1, 2, . . . , k) le componenti:
d γ
i
= xγi
, γ = 1, 2, . . . , k; i = 1, 2, . . . , r, (3.638)
ed essendo quindi tra loro linearmente indipendenti. Il numero delle d γ è
pari al numero di volte che la rappresentazione irriducibile h è contenuta
in H, e ciò risolve il nostro quesito.
Tornando alla nostra grandezza (3.628), covariante della specie Dj nello
spazio della rappresentazione Dj×Dj ′ del gruppo SU(2), la questione di
21 Nel manoscritto originale, compare qui un riferimento bibliografico: si veda
W. pagina 124. Molto probabilmente l’Autore si riferisce alla p. 124 di Gruppentheorie
und Quantenmechanik di H. Weyl (Hirzel, Leipzig, 1928). Per la
versione inglese si veda p.153 di H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum
Mechanics (Dover, New York, 1931).
335

Volumetto 3: 28 giugno 1929
sapere quante sono siffatte grandezze linearmente indipendenti si riduce
all’altra: quante volte Dj è contenuta in Dj×Dj ′. In base alla regola
stabilita precedentemente non esisteranno grandezze del tipo (3.628) non
identicamente nulle che nei tre casi:
j ′ = j − 1, j ′ = j = 0, j ′ = j + 1, (3.639)
ciò che esprime la regola di selezione per il quanto interno. Nei casi (3.639)
poi la (3.628) è determinata, a meno di un fattore costante, in base a
considerazioni ricavate dalla teoria dei gruppi. 22 La regola di selezione per
il quanto magnetico è altrettanto semplice. La componente qz deve restare
invariata di fronte a una rotazione intorno all’asse z onde qz(m, m ′ ) deve
essere diagonale; qx + iqy mediante la rotazione viene moltiplicato per
ɛ −2 e qx − iqy per ɛ 2 . A sua volta, il prodotto x ∗ mx ′ m ′ sotto l’influsso
della rotazione viene moltiplicato ɛ −2(m′ −m)
. Si hanno così i soli passaggi
permessi:
per qz, m → m
per qx + iqy, m → m + 1
(3.640)
per qx − iqy, m → m − 1.
Determiniamo 23 la forma vettoriale (3.628), a meno di un fattore costante,
nei casi (3.628) in cui è diversa da zero. A tal fine consideriamo l’espressione:
1 ∗ ′ ∗ ′
ξ ξ + η η
k!
k , (3.641)
che è invariante se si sottopongono ξ,η e ξ ′ ,η ′ a una trasformazione unitaria
del gruppo SU(2). Dalle formole (3.496), risulta che x + iy, x − iy e z si
trasformano come ηξ ∗ , η ∗ ξ, e ξξ ∗ − ηη ∗ . D’altra parte una trasformazione
del gruppo SU(2) si può porre sotto la forma:
da cui:
ξ1 = α ξ + β η, η1 = − β ∗ ξ + α ∗ η, (3.642)
ξ ∗ 1 = α ∗ ξ ∗ + β ∗ η ∗ , η ∗ 1 = − β ξ ∗ + α η ∗ , (3.643)
22 Nel manoscritto originale, compare qui un riferimento bibliografico: si veda
W. pagina 158. Molto probabilmente l’Autore si riferisce di nuovo al libro di
Weyl (p. 158 nella versione tedesca, o p. 199 nella edizione inglese).
23 Nel manoscritto originale, compare qui un riferimento bibliografico: si veda
W. p. 154. Molto probabilmente l’autore si riferisce ancora al libro di Weyl (p.
154 della versione tedesca, o p. 197 e seguente della edizione inglese.)
336

cioè:
Volumetto 3: 28 giugno 1929
η ∗ 1 = α η ∗ + β (− ξ ∗ ) , − ξ ∗ 1 = − β ∗ η ∗ + α ∗ (− ξ ∗ ) , (3.644)
cioè (ξ, η) si trasformano come (η ∗ , −ξ ∗ ). Cambiando segno alla prima
delle (3.642), si ha:
η1 = α ∗ η + β ∗ (− ξ) , − ξ ∗ 1 = − β η + α (− ξ) , (3.645)
cioè inversamente, a causa di (3.643), (ξ ∗ , η ∗ ) si trasformano come (η, −ξ).
Segue che (x + iy, x − iy, z) si trasformano come (η 2 , −ξ 2 , ξη) o (−ξ ∗2 , η ∗2 ,
ξ ∗ η ∗ ):
x + i y ∼ η 2 , x − i y ∼ − ξ 2 , z ∼ ξη (3.646)
x + i y ∼ − ξ ∗2 , x − i y ∼ − η ∗2 , z ∼ ξ ∗ η ∗ . (3.647)
Se (ξ ′ , η ′ ) si trasformano come (ξ, η), si avrà anche:
x + i y ∼ 2η ′ ξ ∗ , x − i y ∼ 2ξ ′ η ∗ , z ∼ ξ ′ ξ ∗ − η ′ η ∗
(3.648)
x + i y ∼ η ′2 , x − i y ∼ − ξ ′2 , z ∼ ξ ′ η ′ . (3.649)
Moltiplicando l’invariante (3.631) per i secondi membri delle (3.647), o
(3.648), o (3.649), si ottengono ogni volta la componenti di una grandezza
vettoriale, le quali si trasformano come x + iy, x − iy, z.
Poniamo dapprima in (3.641) k = 2j − 2 = 2j ′ , con cui ci riferiamo al
primo dei casi (3.639) e moltiplichiamo per (3.647); ne risultano le formole
Hermitiane:
(qx + i qy) (m, m ′ ) x ∗ m x ′ m ′
essendo:
xm =
x ′ m ′ =
(qx − i qy) (m, m ′ ) x ∗ m x ′ m ′
qz(m, m ′ ), x ∗ m x ′ m ′
(3.650)
ξ j−m η j+m
(j − m)!(j + m)! , m = j, j − 1, . . . , −j (3.651)
ξ ′j′ −m ′
η ′j′ +m ′
(j ′ − m ′ )!(j ′ + m ′ )! , m ′ = j ′ , j ′ − 1, . . . , −j ′ , (3.652)
e trasformandosi quindi i monomi x ∗ mx ′ m ′ secondo Dj×Dj ′. Segue che le
(3.650) sono, a meno di un fattore costante, le componenti del vettore
(3.628) nel caso j → j ′ = j − 1. Eseguendo effettivamente i prodotti
337

Volumetto 3: 28 giugno 1929
di (3.641) per i secondi membri delle (3.647) si ottengono le matrici di
polarizzazione relative al passaggio: j → j ′ = j − 1:
(qx + i qy) (m, m ′ ) = (j − m)(j − m ′ ) δm+1,m ′
(qx − i qy) (m, m ′ ) = (j + m)(j + m ′ ) δm−1,m ′ (3.653)
qz(m, m ′ ) = (j + m)(j − m) δm,m ′.
Per il secondo dei casi (3.639) si ottiene con procedimento analogo, moltiplicando
(3.641) con k = 2j − 1 = 2j ′ − 1, per i secondi membri delle
(3.648): j → j ′ = j = 0,
(qx + i qy) (m, m ′ ) = (j − m)(j + m ′ ) δm+1,m ′
(qx − i qy) (m, m ′ ) = (j + m)(j − m ′ ) δm−1,m ′
qz(m, m ′ ) = − m δm,m ′.
Queste formole coincidono con quelle (3.500) delle rotazioni elementari
−(Rx+iRy)/i, −(Rx−iRy)/i, −Rz/i nella rappresentazione Dj; e così deve
essere perché siffatte rotazioni elementari possono anche esse riguardarsi
come componenti di una grandezza vettoriale nello spazio delle rappresentazioni
Dj×Dj.
Nell’ultimo dei casi (3.639) occorre moltiplicare con k = 2j = 2j ′ − 2
per i secondi membri di (3.649); e si trova: j → j ′ = j + 1:
(qx + i qy) (m, m ′ ) = (j + m + 1)(j + m ′ + 1) δm+1,m ′
(qx − i qy) (m, m ′ ) = − (j − m + 1)(j − m ′ + 1) δm−1,m ′
qz(m, m ′ ) = (j + m + 1)(j − m + 1) δm,m ′.
Si osserverà che risultano soddisfatte le regole di selezione (3.640) per il
quanto magnetico. Allargando SO(3) in O(3) con l’inclusione delle rotazioni
improprie, si hanno le rappresentazioni irriducibili D +
j e D− j . Un
vettore polare quale è per esempio il momento elettrico è covariante della
specie D −
j e nelle sua matrice mancano le componenti nell’incrocio di due
spazi irriducibili R +
j e R+
j ′ oppure R −
j e R−
j ′; si ha così la regola di selezione
per la segnatura: j → −j e +j sono i soli passaggi permessi. La teoria
ondulatoria scalare dell’elettrone dà solo le rappresentazioni irriducibili univoche
(con j intero) per il gruppo O(3) e la segnatura (per la proprietà di
simmetria delle funzioni sferiche) è +1 per j pari e −1 per j dispari; cossicché
la regola di soluzione per le segnature esclude il passaggio j → j ′ = j;
338

Volumetto 3: 28 giugno 1929
con l’elettrone rotante tale restrizione è tolta, o meglio rimane, in modo
approssimato, sotto forma di divieto del passaggio k → k ′ = k, essendo
k l’impulso orbitale, e non più il quanto interno, per il quale valgono approssimativamente
le regole di selezione da aggiungersi a quelle rigorose
(3.639):
k → k ′ = k + 1, k → k ′ = k − 1. (3.654)
3.22 Effetto Zeeman anomalo
(secondo la teoria di Dirac)
(Si veda paragrafo 3.19.)
Riprendiamo le equazioni di Dirac (3.558)-(3.561) e le soluzioni di prima
approssimazione, appartenenti a uno stesso autovalore dell’equazione di
Schrödinger, considerate in (3.563), (3.564). Ci poniamo ancora nel caso
del campo centrale, ma supponiamo che inoltre esista un campo magnetico
costante nella direzione dell’asse z. Della matrice di perturbazione (3.567)
abbiamo calcolato solo la parte indipendente dal campo, che consta a sua
volta della somma del termine diagonale costante δH ′ data da (3.583) e
della matrice
δH ′′ = 2
4m2
Q r
c2 −1 dV
dr ψψ∗ dτ,
essendo Q descritta da (3.591)-(3.594). Calcoliamo la matrice Bri,sk che
entra in (3.567). Avremo:
Br1,s1 =
Br2,s2 =
e
(r + 1) δrs
2mc
(3.655)
e
(r − 1) δrs
2mc
(3.656)
Br1,s2 = Br2,s1 = 0. (3.657)
Si tratta di rendere diagonale δH ′′ + HB od anche ponendo
ɛ =
B =
2emcH
r −1 (dV/dr) ψψ ∗ dτ
(3.658)
e
T , (3.659)
2mc
339

Volumetto 3: 28 giugno 1929
così che, a causa delle (3.655)-(3.657),
di rendere diagonale
o semplicemente
2
4m 2 c 2
Tr1,s1 = (r + 1) δrs
Tr2,s2 = (r − 1) δrs (3.660)
Tr1,s2 = Tr2,s1 = 0,
Dalle formole (3.591)-(3.594) e (3.660) risulta:
1 dV
r dr ψψ∗ dτ (Q + ɛ T ) (3.661)
Q + ɛ T = S. (3.662)
Sm1,m ′ 1 = (m + ɛ m + ɛ) δmm ′ (3.663)
Sm2,m ′ 2 = (− m + ɛ m − ɛ) δmm ′ (3.664)
Sm1,m ′ 2 = k(k + 1) − mm ′ δm+1,m ′ (3.665)
Sm2,m ′ 1 = k(k + 1) − mm ′ δm−1,m ′. (3.666)
La matrice S si spezza in 2k + 2 matrici la prima e l’ultima di un solo
elemento, le altre di due righe e colonne, precisamente come in (3.595) si
spezzava la Q da sola. In realtà il termine ɛT che si aggiunge a Q non altera
le condizioni di riducibilità poiché esso è diagonale quando le coordinate
sono adattate allo spezzamento di Q nel modo anzidetto. La prima matrice
formata dall’unico elemento k1, k1, ha per autovalore:
k1, k1 : k + ɛ (k + 1) , ℓ = k + 1
. (3.667)
2
L’ultima formata dall’unico elemento −k2, −k2, ha per autovalore:
−k2, −k2 : k − ɛ (k + 1) , ℓ = − k − 1
. (3.668)
2
Le altre 2k matrici quadrate con due righe le distingueremo, come (3.597)
e (3.598)), mediante l’impulso totale ℓ intorno all’asse z (ℓ = k − 1/2, k −
3/2, . . . , −k + 1/2). Esse hanno la forma:
ℓ − 1/2 + ɛ(ℓ + 1/2) (k + 1/2) 2 − ℓ2 . (3.669)
(k + 1/2) 2 − ℓ2 −(ℓ + 1/2) + ɛ(ℓ − 1/2)
340

Gli autovalori di (3.669) sono:
− 1
2
Volumetto 3: 28 giugno 1929
+ ℓ ɛ ±
k + 1
2 + ɛ ℓ +
2
1
4 ɛ2 . (3.670)
Prendendo per unità di energia il fattore di Q+ɛT = S in (3.661) e per unità
di frequenza la frequenza corrispondente secondo la legge di Einstein 24 ,
la separazione del doppietto senza campo sarà espressa da 2k + 1 e la
frequenza di Larmor da ɛ. Onde per ɛ ≪ 2k + 1, varranno le formole
relative a campi deboli e per ɛ ≫ 2k + 1 le formole relative a campo forte
(effetto Paschen–Back). Supponiamo ɛ piccolo e sviluppiamo gli autovalori
secondo ɛ fino alla prima potenza; i due autovalori particolari (3.667) e
(3.668) sono rappresentati esattamente con tale sviluppo; per gli autovalori
(3.670) avremo invece, secondo il segno del radicale:
2k + 2
k + ɛ ℓ
2k + 1 = k + ɛ g′ ℓ, g ′ 2k + 2
=
2k + 1
(3.671)
2k
− k − 1 + ɛ ℓ
2k + 1 = k + ɛ g′′ ℓ, g ′′ = 2k
.
2k + 1
(3.672)
Gli autovalori del primo tipo, come anche i due autovalori particolari
(3.667) e (3.668), corrispondono per H → O al quanto interno j = k + 1/2;
poiché anche gli autovalori particolari possono porsi sotto la forma (3.671)
con ℓ = k + 1/2 e, rispettivamente, ℓ = −k − 1/2 e lo stesso valore di g ′ , si
ottengono le formole riassuntive per il campo debole:
j = k + 1
2
autovalori : k + ɛ g ′ ℓ (3.673)
ℓ = k + 1
1
1
, k − , . . . , − k − ,
2 2 2
j = k − 1
2
24 Questa è più conosciuta come legge di Planck E = hν.
341

Volumetto 3: 28 giugno 1929
autovalori : − k − 1 + ɛ g ′′ ℓ (3.674)
ℓ = k − 1
3
1
, k − , . . . , − k + .
2 2 2
Le costanti di separazione g ′ e g ′′ date da (3.671) e (3.672) si possono
raccogliere nell’unica espressione
e si avrà sempre
g =
2j + 1
2k + 1
(3.675)
g ′ > 1, g ′′ < 1, g ′ + g ′′ = 2. (3.676)
Per esempio, per k = 1 si ha g ′ = 4/3, g ′′ = 2/3. Si possono anche porre g ′
e g ′′ sotto la forma generale valevole per un numero qualunque di elettroni:
g = 1 +
Segue infatti da (3.677),
j(j + 1) + s(s + 1) − k(k + 1)
. (3.677)
2j(j + 1)
g ′ =
(k + 1/2)(k + 3/2) + 3/4 − k(k + 1)
1 +
(2k + 1)(k + 3/2)
= 2k + 2
2k + 1
(3.678)
g ′′ =
(k − 1/2)(k + 1/2) + 3/4 − k(k + 1)
1 +
2(k − 1/2)(k + 1/2)
=
2k
,
2k + 1
(3.679)
in accordo con (3.671) e (3.672).
Consideriamo l’altro caso limite ɛ → ∞. Gli autovalori di S sono
infiniti del primo ordine; li svilupperemo fino al termine indipendente da
ɛ. Anche qui i due autovalori privilegiati (3.667) e (3.668) sono espressi
esattamente dallo sviluppo arrestato al secondo termine. Per gli autovalori
(3.670), avremo secondo il segno del radicale:
ℓ + 1
ɛ + ℓ −
2
1
(3.680)
2
ℓ − 1
ɛ − ℓ +
2
1
. (3.681)
2
342

Volumetto 3: 28 giugno 1929
L’autovalore (3.667) rientra nel tipo (3.680), e l’autovalore (3.668) nel tipo
(3.681), onde abbiamo in tutto due sistemi di autovalori ciascuno di 2k + 1
elementi:
ℓ + 1
ɛ + ℓ −
2
1
(3.682)
2
(per ℓ = k + 1/2, k − 1/2, . . . , − k + 1/2),
ℓ − 1
ɛ −
2
ℓ + 1
2
(3.683)
(per ℓ = k − 1/2, k − 3/2, . . . , − k − 1/2) tra i quali al limite non vi
è approssimativamente transizione perché il primo corrisponde allo “spin”
dell’elettrone orientato secondo il campo; e il secondo allo “spin” orientato
contro il campo. Segue l’effetto Zeeman normale (effetto Paschen–Back).
Poiché per ɛ grande predomina il secondo termine nel primo membro di
(3.662) e T è diagonale insieme (approssimativamente) con l’impulso orbitale
intorno all’asse z, segue che in prima approssimazione, oltre a ℓ
anche l’impulso orbitale m è costante. Distinguendo gli autovalori secondo
m, avremo allora in luogo di (3.682) e (3.683):
(m + 1) ɛ + m, m = k, k − 1, . . . , − k (3.684)
(m − 1) ɛ − m, m = k, k − 1, . . . , − k. (3.685)
La somma degli autovalori è uguale alla somma dei termini diagonali di S,
ed è quindi costantemente nulla.
Lo schema seguente mostra il passaggio dall’effetto Zeeman anomalo
all’effetto Paschen–Back per k = 1. 25 Al limite, per campi forti, i termini
del primo tipo sono distanziati tra loro di ɛ + 1, essendo ɛ la frequenza di
Larmor in tali unità che sia 2k + 1 la separazione del doppietto, mentre i
termini del secondo tipo sono distanziati fra loro di ɛ − 1.
25La figura riproduce qualitativamente lo schema riportato nel manoscritto
originale. È interessante sottolineare il fatto che l’analisi fatta nel testo si applica
solo nel limite di campo debole (ɛ < 1) o in quello di campo forte (ɛ ≫ 1), mentre
la regione intermedia deve essere studiata necessariamente risolvendo numericamente
l’equazione di Dirac. Si osservi, allora, che nella figura l’Autore riporta lo
spettro anche per la regione intermedia.
343

-2
-4
-6
-8
8
6
4
2
0
Volumetto 3: 28 giugno 1929
ε = 0.0 ε = 0.2 ε = 0.5 ε = 1.0 ε = 1.5 ε = 2.0 ε = 3.0 ε = 4.0
344

Volumetto 3: 28 giugno 1929
3.23 Sistemi completi di equazioni
differenziali del primo ordine 26
Siano A1, A2, . . . , Aj, . . . , Ar operatori differenziali lineari omogenei su 2n
variabili:
2n
Aj = a k ∂
j , (3.686)
∂xk
k=1
essendo le a k j funzioni di x1, x2, . . . , x2n. Si tratta di trovare le soluzioni
comuni del sistema di equazioni:
Aj y = 0, j = 1, 2, . . . , r. (3.687)
Supponiamo le Aj linearmente indipendenti (i coefficienti delle combinazioni
lineari potendo essere in generale funzioni del posto), onde sarà
necessariamente r ≤ 2n. Dalle (3.687) si possono dedurre altre equazioni
differenziali lineari omogenee a cui deve soddisfare y, nel modo che segue:
si applichino a y gli operatori Aj e Aj ′, una volta in un certo ordine e una
volta nell’ordine inverso; a causa di (3.687) sarà:
Poniamo:
segue a causa di (3.686):
Bjj ′ =
(Aj Aj ′ − Aj ′ Aj) y = 0. (3.688)
Bjj ′ = Aj Aj ′ − Aj ′ Aj; Bjj ′ y = 0, (3.689)
2n
a k j
−
=
k=1
2n
k,k ′
k ′ =1
a k j a k′
j ′
∂
∂xk
a k′
j ′
2n
∂
∂xk ′
∂ 2
∂xk∂xk ′
k ′ =1
a k′
j ′
2n
k=1
+
k,k ′
∂
∂xk ′
a k j
a k j
∂
∂xk
∂a k′
j ′
∂xk
∂
∂xk ′
26 Nel manoscritto originale compare qui un riferimento bibliografico: si veda
Franck, Physikal. 15, April 1929. Molto probabilmente l’Autore si riferisce al
seguente articolo (in tedesco): Philipp Franck, Phys. Z. 30 (8), 209 (15 April
1929).
345

essendo
Volumetto 3: 28 giugno 1929
−
k,k ′
a k′
j ′ ak ∂
j
2
∂xk ′∂xk
−
k,k ′
a k′
j ′
∂a k j
∂xk ′
∂
∂xk
=
k k ′
a k′ ∂a
j
k j ′
∂xk ′
− a k′
j ′
∂a k j
∂xk ′
∂
∂xk
=
Aj a k j ′ − Aj ′ ak
∂
j ≡
∂xk
b k jj ′
∂
, (3.690)
∂xk
k
b k jj ′ = Aj a k j ′ − Aj ′ ak j . (3.691)
Segue che la (3.688) potendosi scrivere sotto la forma:
Bjj ′ y =
k
k
b k jj ′
∂y
y = 0, (3.692)
∂xk
è ancora un’equazione del tipo (3.687), a cui deve soddisfare la y. Ripetendo
il procedimento per tutte le coppie di operatori Aj e Aj ′ indi per
tutte le nuove coppie di operatori A, B e B, B ′ che sono a nostra disposizione,
otteniamo sempre nuove equazioni differenziali lineari a cui y deve
soddisfare. Ma se portiamo in conto solo le equazioni linearmente indipendenti,
dovendo il loro numero essere ≤ 2n, il procedimento deve a un
certo momento cessare di fornire equazioni nuove. Il sistema di equazioni
differenziali lineari a cui si perviene, dicesi allora completo.
Supponiamo per semplicità che il sistema (3.687) sia già completo; le
condizioni perché ciò avvenga saranno:
Aj Aj ′ − Aj ′ Aj =
r
c r jj ′ Ar, (3.693)
con le c funzioni del posto. Vale allora il teorema 27 che il sistema completo
(3.687) ammette esattamente 2n − r soluzioni indipendenti. Tutte
le possibili soluzioni sono allora funzioni arbitrarie della detta 2n − r parentesi
di Poisson. Dividiamo le variabili indipendenti, finora designate con
x1, x2, . . ., in due gruppi:
q1, q2, . . . , qn, p1, p2, . . . , pn. (3.694)
27 Nel manoscritto originale, compare qui un riferimento bibliografico: si veda
per esempio Goursat, Vorlesungen über die Integration. . . . Tuttavia, non è chiaro
a quale testo l’Autore si riferisca.
346

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Siano F e G due funzioni qualunque delle q e p; definiamo come parentesi
di Poisson di F e G l’espressione
n
∂F ∂G
[F, G] =
−
∂qi ∂pi
∂F
∂G
. (3.695)
∂pi ∂qi
Seguono le proprietà:
i=1
[F, G] = − [G, F ] , [F, F ] = 0 (3.696)
[qi, qk] = 0, [pi, pk] = 0, [qi, pk] = δik. (3.697)
A causa delle (3.697) la (3.695) si può scrivere:
[F, G] = ∂(F, G)
∂(xr, xs) [xr, xs] , (3.698)
essendosi posto:
s>r
x1 = q1, x2 = q2, . . . , xn = qn
xn+1 = p1, . . . , x2n = pn.
(3.699)
In (3.698) può estendersi la sommatoria a tutte le coppie di indici per
cui sia s < r, ché il sistema non cambia; l’essenziale è evidentemente che
ogni coppia di variabili xr e xs sia portata in conto una volta sola, in un
ordine qualsiasi. Supponiamo G assegnata; si può allora riguardare [F, G]
come il risultato di una operazione eseguita su F . Tale operazione presenta
stretta analogia con quella di derivazione, come risulta dal fatto che se F
è funzione di f, vale la regola:
[F, G] = dF
df
[f, G] ; (3.700)
e più in generale se F è funzione di a funzioni f1, f2, . . . , fa, vale la regola:
[F, G] =
a dF
dfi
[fi, G] (3.701)
i=1
perfettamente analoga alla regola di derivazione delle funzioni composte.
La (3.698) è suscettibile di un’ampia generalizzazione che comprende
anche, come caso particolare, la (3.701). Supponiamo che F e G siano
funzioni di b funzioni del posto: g1, g2, . . . , gb. Segue allora da (3.695):
[F, G] =
s>r
∂(F, G)
[gr, gs] , (3.702)
∂(gr, gs)
347

Volumetto 3: 28 giugno 1929
da cui seguono come casi particolari tanto la (3.698) che la (3.701). Per
avere quest’ultima basta porre b = a + 1, f1 = g1, f2 = g2, . . . , fa = ga,
F = F (g1, g2, . . . , ga), G = fb.
Date tre funzioni arbitrarie del posto: F, G, H, vale l’identità di Jacobi:
[F, [G, H]] + [G, [H, F ]] + [H, [F, G]] = 0. (3.703)
Notare anche la regola seguente, che è caso particolare della (3.701):
[a b, F ] = a [b, F ] + b [a, F ] . (3.704)
Due funzioni f e g si dicono in involuzione se [f, g] = 0; più in generale,
molte funzioni sono chiamate involute quando ogni coppia di funzioni è
involuta, così le q e le p separatamente sono, a causa della (3.697) in involuzione.
Si dice invece che f e g sono coniugate se [f, g] = 1; così qi
e pi sono coniugate. Siano assegnate r funzioni del posto F1, F2, . . . , Fr
e si tratti di trovare le funzioni in involuzione con tutte le F . Sia g una
soluzione (se esiste) del problema; saranno soddisfatte le equazioni:
[g, F1] = [g, F2] = . . . = [g, Fr] = 0. (3.705)
Nel caso particolare r = 1 e F1 = H, il nostro problema si riduce al problema
generale della meccanica classica: trovare gli integrali di un sistema
meccanico definito dall’Hamiltoniana H. Infatti la condizione [g, H] = 0
quando si scriva esplicitamente e si tenga conto dell’equazione di Hamilton
esprime appunto che g è costante nel tempo. In questo caso particolare
avendosi 2n funzioni (q e p) del tempo le quali soddisfanno a un sistema
di 2n equazioni differenziali ordinarie del primo ordine, si avranno anche
2n costanti arbitrarie a disposizione per fissare i valori iniziali delle q e
p; onde esisteranno 2n funzioni indipendenti soddisfacenti alla condizione
[g, H] = 0.
Torniamo al caso generale (3.705). Scrivendo esplicitamente, ad esempio,
j-esima in (3.705) avremo:
∂Fj ∂g
−
∂pi ∂qi
∂Fj ∂g
∂qi ∂pi
i
i
= Aj g = 0, (3.706)
essendo Aj un operatore differenziale lineare omogeneo del primo ordine.
Facendo variare j da 1 a r, si ottiene un sistema di r equazioni. A quali condizioni
devono soddisfare le F perché il sistema risulti completo? Basterà
348

Volumetto 3: 28 giugno 1929
sostituire in (3.693) le espressioni delle Aj in funzione delle F . Badando
alle equazioni (3.689) e (3.690) segue:
− ∂
∂ps
∂
∂qs
[Fj, Fj ′] =
[Fj, Fj ′] = −
r
c r jj ′
∂Fr
,
∂ps
r
c r jj ′
∂Fr
,
∂qs
(3.707)
o raccogliendo in un’unica equazione vettoriale:
grad [Fj, Fj ′] = − c r jj ′ grad Fr. (3.708)
Poiché le c r jj ′ sono funzioni arbitrarie del posto, il contenuto della (3.708)
si riduce a questo, che spostandosi in un sottospazio a 2n − r dimensioni in
cui tutte le F sono costanti, sono altresì costanti anche tutte le parentesi
di Poisson [Fi, Fj], cioè queste ultime sono funzioni delle F :
r
[Fj, Fj ′] = fjj ′ (F1, F2, . . . Fr) . (3.709)
Se sono soddisfatte le (3.709) il sistema di equazioni differenziali (3.705)
è dunque completo. Esso ammette allora esattamente 2n − r soluzioni indipendenti.
Le r funzioni F1, F2, . . . , Fr, soddisfacenti a (3.709), formano
la base di un gruppo costituito da tutte le funzioni delle F . La parentesi
di Poisson di due funzioni del gruppo, a causa di (3.702) e di (3.709) appartiene
ancora al gruppo.
Lie ha dimostrato che la 2n − r soluzioni di (3.705) che sono presenti
nel caso (3.709) costituiscono anche esse gruppo, valgono cioè per esse
equazioni analoghe alle (3.709). Come caso particolare si ha il noto teorema
che la parentesi di Poisson di due integrali di un problema meccanico è
anche essa un integrale.
349

VOLUMETTO
4 24 aprile 1930
4.1 Relazione fra suscettibilità e
momento elettrico variabile nello
stato fondamentale di un atomo
Sia un atomo con n elettroni nello stato fondamentale, che supponiamo un
termine s, descritto dalla autofunzione ψ0 appartenente all’autovalore E0.
La componente del momento elettrico secondo l’asse z sarà data da:
M = − e (z1 + z2 + . . . + zn) = − e z, (4.1)
con z = z1 + z2 + . . . + zn.
Un campo elettrico di intensità E agente secondo l’asse z provoca una
perturbazione che dipende dal potenziale EM = H. Se, come vogliamo
supporre, lo stato fondamentale non è degenerato o, più esattamente, non
esistono termini p appartenenti all’autovalore E0, l’elemento M00 della matrice
di perturbazione è certamente nullo, onde la variazione dell’autovalore
per campi deboli si ricaverà dalla formola di seconda approssimazione:
essendo
δE0 =
∞
1
|M0k| 2
E0 − Ek
=
∞
1
e 2 E 2
|zk| 2
E0 − Ek
, (4.2)
z ψ0 =
zk ψk. (4.3)
D’altra parte se α è la suscettibilità elettrica dell’atomo la variazione di
energia è data in prima approssimazione da
k
δE0 = − 1
2 E2 α, (4.4)
351

da cui confrontando con (4.2):
Volumetto 4: 24 aprile 1930
k
2
α = 2 e
Inoltre da (4.3) si deduce:
|zk| 2 =
k
|zk| 2
Ek − E0
. (4.5)
z 2 ψ 2 0 dτ = z 2 . (4.6)
Il numero degli elettroni di dispersione f = n (per un noto teorema) è dato
da: 28
n =
∞
(2m/ 2 )(Ek − E0) |zk| 2 . (4.7)
Consideriamo le espressioni:
sarà necessariamente:
1
A =
(Ek − E0) |zk|
k
2 = n2
2m
B =
|zk| 2 = z2 (4.8)
k
C =
k
|zk| 2
Ek − E0
= α
; (4.9)
2e2 B ≤ √ A C (4.10)
cioè (il segno di uguaglianza non intervenendo che nel caso irrealizzabile in
cui zk sia diverso da zero solo per un determinato valore di Ek − E0):
z2 √
nα2 nαa0
< = , (4.11)
4me2 2
essendo a0 = 2 /me 2 il raggio dell’orbita di Bohr nello stato fondamentale
dell’idrogeno. Finché si suppone che le differenze Ek − E0 che entrano nei
termini più importanti delle espressioni A, B e C non sono molto differenti
tra loro (ed è questo il caso per gli atomi di tipo H e He ma non più per
quelli di tipo Li), la (4.11) si può precisare in:
z2 < √
nαa0
∼ . (4.12)
2
28 Nel manoscritto originale è utilizzata la vecchia notazione h/2π invece di .
352

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Così per l’idrogeno: n = 1; α dedotta dalle formole dell’effetto Stark vale
4.5 a 3 0, onde:
z 2 < 1.06 a 2 0 (4.13)
(in realtà il calcolo diretto dà z 2 = a 2 0).
Per l’elio n = 2, α 1.44 a 3 0 (dedotto in base al valore della costante
dielettrica), segue:
z 2 < 0.85 a 2 0. (4.14)
Essendo lo stato fondamentale dell’elio conosciuto con buona approssimazione,
si può calcolare direttamente z 2 . Ci limitiamo a una valutazione
sommaria in base alla nota autofunzione
c exp
− 27
16
z1 + z2
che corrisponde a movimenti indipendenti dei due elettroni, con che z 2 =
z 2 1 + z 2 2, mentre dovrebbe essere z 2 < z 2 1 + z 2 2; d’altra parte essa dà per z 2 1
e z 2 2 valori certamente minori del vero, onde, essendo i due errori di segno
opposto, si può presumere una buona approssimazione per z 2 . Si trova:
z 2 = 2
16
27
2
a0
,
a 2 0 = 0.70 a 2 0, (4.15)
che conferma ancora la (4.12). L’approssimazione è naturalmente un po’
meno buona che nel caso dell’idrogeno.
Consideriamo infine un atomo di tipo He con z infinito. Sarà
α = 2 · 4.5 a 3 0/Z 4 = 9a 3 0/Z 4
(volendo ottenere α = 1.44a 3 0 per l’elio da questa formola limite bisogna
porre in essa Z 4 = 1.58) e, per la (4.12),
z 2 < 3
√ 2
a 2 0
Z 2 = 1.06 2a2 0
Z2
, (4.16)
mentre il calcolo diretto dà z 2 = 2a 2 0/Z 2 .
L’errore della (4.12) torna così ad essere identico a quello che si aveva nel
caso dell’idrogeno. 29
29 Nel manoscritto originale questo paragrafo termina con la seguente osservazione:
“Una valutazione più esatta di z 2 ridurrebbe forse l’errore per l’elio,
353

Volumetto 4: 24 aprile 1930
4.2 Probabilità di ionizzazione di un atomo
di idrogeno in campo elettrico
Sia un atomo di tipo idrogeno di carica Z. Convenendo di usare le unità
elettroniche (e = 1, = 1, raggio della prima orbita di Bohr dell’idrogeno
a0 = 1; unità di energia risulta allora e 2 /a0 = 2Ry), l’autofunzione dell’elettrone
soddisfa l’equazione differenziale
∆ ψ + 2 E + Z
ψ = 0. (4.17)
r
Aggiungendo un campo elettrico F (F = −dV/da) secondo l’asse x, la
(4.17) diventa:
∆ ψ + 2 E + Z
− F x ψ = 0. (4.18)
r
Introduciamo le coordinate paraboliche
sarà
ξ = r + x, η = r − x, tan φ = x
y ;
x = 1
2 (ξ − η), y = ξ η cos φ, z = ξ η sin φ;
∆ ψ = ∂ψ ∂ψ ∂ψ
∆ ξ + ∆ η + ∆ φ
∂ξ ∂η ∂φ
+ ∂2ψ ∂ξ2 |grad ξ|2 + ∂2ψ ∂η2 |grad η|2 + ∂2ψ |grad φ|2
∂φ2 + 2 ∂2ψ ∂ξ∂η grad ξ · grad η + 2 ∂2ψ grad ξ · grad φ
∂ξ∂φ
(4.19)
+ 2 ∂2ψ grad η · grad φ; (4.20)
∂η∂φ
che deve tuttavia restare sensibilmente più grande che nel caso limite z = ∞,
perché nell’elio sono consentiti salti estemporanei dei due elettroni a causa
dell’interdipendenza dei loro movimenti e con ciò il campo pratico di variabilità
di Ek − E0 resta alquanto accresciuto”. Tale annotazione è seguita da un punto
interrogativo, a conferma del suo significato poco chiaro.
354

e poiché:
risulta
Volumetto 4: 24 aprile 1930
∆ ξ = 2
2
, ∆ η = , ∆ φ = 0,
r r
|grad ξ| 2 = 2ξ
r , |grad η|2 = 2η
r , |grad φ|2 =
1
r2 ,
− x2 grad ξ · grad η = 0, grad ξ · grad φ = 0, grad η · grad φ = 0,
∆ ψ = 2
r
Ponendo
∂ψ
∂ξ
e sostituendo in (4.17):
∂ψ
+
∂η + ξ ∂2ψ ∂ξ2 + η ∂2ψ +
∂η2 r
2(r 2 − x 2 )
∂ 2 ψ
∂φ2
. (4.21)
ψ = e imφ y(ξ, η) (4.22)
ξ ∂2y ∂ξ2 ∂y
+
∂ξ + η ∂2y ∂η2 ∂y m2
1
+ − (ξ + η) y + (ξ + η) E y
∂η 4ξη 2
+ Z y − F
4
2 2
ξ − η y = 0, (4.23)
che permette l’ulteriore separazione:
essendo 30
ξ P ′′ + P ′ − m2
4ξ
y = P (ξ) Q(η), (4.24)
1 1
F
P + ξ E P + (Z + λ) P −
2 2 4 ξ2 P = 0
η Q ′′ + Q ′ − m2 1 1
F
Q + η E Q + (Z − λ) Q +
4η 2 2 4 η2 Q = 0.
(4.25)
Le (4.25) sono autoaggiunte. Rinunziando a tale condizione si può scrivere
più semplicemente:
P ′′ + 1
ξ P ′
+ − m2 1 Z + λ F
+ E + −
4ξ2 2 2ξ 4 ξ
P = 0
Q ′′ + 1
η Q′
+ − m2 1 Z − λ F
+ E + +
4η2 2 2η 4 η
Q = 0.
30 Si noti che λ è un parametro arbitrario.
355
(4.26)

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Lo stato fondamentale è determinato dalle condizioni m = 0 e mancanza
di nodi in P e Q. Avremo quindi, ponendo 2ɛ in luogo di F per indicare
che il campo è piccolo:
F = 2 ɛ (4.27)
P ′′ + 1
ξ P ′ + 1
Z + λ
E + − ɛ ξ P = 0
2 ξ
Q ′′ + 1
η Q′ + 1
(4.28)
Z − λ
E + + ɛ η Q = 0.
2 η
Poniamo:
P = u e −√ −E/2 ξ , Q = v e − √ −E/2 η . (4.29)
La prima delle (4.28) diventa
u ′′ + u ′
1
− 2 −
ξ E
⎛
⎜ Z + λ − 2 −
+ u ⎜
2 ⎝
E
2
2ξ
⎞
− ɛ
2 ξ
⎟
⎠ = 0, (4.30)
e un’equazione analoga che deriva dalla seconda delle (4.28) si ottiene
sostituendo u e ξ rispettivamente con v e η e cangiando segno a λ e ɛ.
Dalle conseguenze che tireremo dalla (4.30) se ne deducono quindi altre
operando le dette sostituzioni. Nello stato fondamentale e in assenza di
campo (ɛ = 0), si ha λ = 0, E = −Z 2 /2, u = 1 (a meno di un fattore di
normalizzazione). Quando è presente il campo porremo
u = 1 + a1 ξ + a2 ξ 2 + a3 ξ 3 + . . . ; (4.31)
e a causa della (4.30) i coefficienti si determinano dalla relazione:
an = 1
2n2
(2n − 1) √
−2E − (Z + λ) an−1 + ɛ
an−3.
2n2 (4.32)
Ma non possiamo più imporre la condizione che u sia un polinomio finito,
anche perché in campo elettrico non esistono stati discreti rigorosamente
stazionari. Occorre perciò seguire un metodo di successive approssimazioni
soddisfacendo alla condizione che u sia un polinomio finito a meno di termini
che tendono a zero con ɛ più rapidamente di ɛ n ; ciò significa trascurare
non quantità assolutamente piccole ma quantità che divengono apprezzabili
a distanza tanto maggiore dal nucleo quanto più è piccolo ɛ. Porremo
dunque
an = a (0)
n + ɛ a (1)
n + ɛ 2 a (2)
n + ɛ 3 a (3)
n + . . . , (4.33)
356

Volumetto 4: 24 aprile 1930
e ogni serie i di costanti a (i)
n dovrà interrompersi per un determinato n.
Così per le costanti a (0) abbiamo
Porremo inoltre
a (0)
0 = 1, a (0)
1
= a (0)
2
= . . . = a (0)
n = 0. (4.34)
λ = ɛ λ1 + ɛ 2 λ2 + ɛ 3 λ3 + . . . (4.35)
√ −2E = Z + ɛ k1 + ɛ 2 k2 + ɛ 3 k3 + . . . . (4.36)
Ricordiamo inoltre che valendo a0 = a (0)
0 = 1, dovrà essere per r > 1
a (r)
0 = 0, r > 1. (4.37)
Sostituiamo in (4.32) mediante le precedenti relazioni e abbiamo per la
parte indipendente da ɛ:
a (0)
n
= n − 1
n 2
Z a(0) n−1, (4.38)
che sono soddisfatte dalle (4.34). Considerando invece gli infinitesimi di
primo ordine giungiamo alla relazione:
a (1)
n
= n − 1
n 2
Z a(1) n−1 + 1
2n2 [(2n − 1) k1 − λ1] a (0)
n−1 + 1
2n
2 a(0)
n−3. (4.39)
La condizione che la serie delle costanti a (1) si interrompa a un certo
punto impone che a (1)
3
parte abbiamo
da cui
= 0; sarà allora identicamente a (1)
3+r = 0. D’altra
a (1)
0 = 0 (4.40)
a (1)
1 = 1
2 (k1 − λ1) (4.41)
a (1)
2 = 1
8 (k1 − λ1) Z (4.42)
a (1)
3 =
k1 − λ1
36
Z 2 + 1
18
= 0, (4.43)
k1 − λ1 + 2/Z 2 = 0. (4.44)
Per passare da s a q dobbiamo lasciare inalterato √ −2E e cangiar segno
a λ e ɛ onde dalle (4.29) e dalle relazioni analoghe se ne ottengono altre
357

Volumetto 4: 24 aprile 1930
cangiando il segno di ki o di an se i è dispari e lasciando inalterato se i è
pari e inoltre cangiando il segno di λi se i è pari e lasciandolo inalterato se
i è dispari. Alla (4.44) va quindi aggiunto
da cui
K1 = 0, λ1 = 2
, a(1)
Z2 1
− k1 − λ1 + 2
= 0, (4.45)
Z2 = − 1
, a(1)
Z2 2
Riassumendo, la prima approssimazione fornisce
u =
1
1 − ɛ ξ +
Z2 1
4Z ξ2
v = 1 − ɛ
√ −2E = Z + ɛ · 0
λ =
1 1
ξ +
Z2 4Z ξ2
2
ɛ, F = 2 ɛ.
Z2 = − 1
. (4.46)
4Z
(4.47)
La terza delle (4.47) attesta la mancanza dell’effetto Stark di primo ordine
nello stato fondamentale. Passiamo alla seconda approssimazione.
Eguagliando i termini in ɛ 2 nei due membri di (4.32), si ottiene
a (2)
n =
n − 1
n 2
Z a(2) n−1 + 1
2n2 [(2n − 1) k1 − λ1] a (1)
n−1
+ 1
2n2 [(2n − 1) k2 − λ2] a (0)
n−1 + 1
2n
2 a(1)
(4.48)
n−3. (4.49)
Perché la serie delle a (2) sia finita, si verifica facilmente che deve essere
a (2)
5
abbiamo
= 0, da cui segue a (2)
5+r = 0. Badando a (4.34), (4.37), e (4.47),
a (2)
0 = 0 (4.50)
a (2)
1 = 1
2 (k2 − λ2) (4.51)
a (2)
2 = k2 − λ2
Z +
8
1
4Z4 358
(4.52)

Volumetto 4: 24 aprile 1930
a (2)
3 = k2 − λ2
Z
36
2 + 1 1
+
18Z3 36Z3 = k2 − λ2
36
Z 2 + 1
12Z 3
a (2)
4 = k2 − λ2
192 Z3 + 1
64Z2 −
1
32Z2 = k2 − λ2
192 Z3 − 1
64Z2 a (2)
5 =
k2 − λ2
1200 Z4 − 1
400Z
= k2 − λ2
1200 Z4 − 3
400Z
− 1
200Z
(4.53)
(4.54)
= 0, (4.55)
da cui
k2 − λ2 − 9
= 0,
25
(4.56)
che deve valere insieme a quella che si ottiene lasciando inalterato k2
cangiando segno a λ2:
e
da cui
e
a (2)
1 = 9
2Z
5 , a(2)
2 = 11
8Z
k2 + λ2 − 9/25 = 0, (4.57)
λ2 = 0, k2 = 9/25, (4.58)
4 , a(2)
3 = 1
3Z
, a(2)
3 1 = 1
. (4.59)
32Z2 I risultati della seconda approssimazione si riassumono ricordando che
ɛ = F/2
u =
1 1
1 − F ξ +
2Z2 8Z ξ2
+ F 2
9 11
ξ +
8Z5 32Z4 ξ2 + 1
12Z3 ξ3 v =
1
+ ξ4
128Z2
1 1
1 + F η +
2Z2 8Z η2
+ F 2
9 11
η +
8Z5 32Z4 η2 + 1
12Z3 η3
1
+ η4
128Z2 (4.60)
√
−2E =
2 9
Z + F
4Z5 359

E = − 1
2 Z2 − 9
4Z
λ =
Volumetto 4: 24 aprile 1930
2
F 4
1
Z2 F + 0 F 2 .
L’autofunzione completa di seconda approssimazione sarà per (4.24) e
(4.29):
ψ = exp − Z + 9
2 ξ + η
F u(ξ) v(η),
4Z5 r
(4.61)
essendo u e v date da (4.60). Ripassando alle coordinate cartesiane mediante
(4.19) si ha, trascurando termini in F 3 :
ψ =
exp − Z + 9
2
1 1
F r 1 − F x +
4Z5 Z2 2Z rx
+ F 2
9 1
r +
4Z5 16Z4
7r2 2
+ 15x + 1
24Z3 3 2
r + 15rx
+
. (4.62)
1
8Z 2 r2 x 2
Conviene sviluppare ψ secondo le funzioni sferiche. Se θ è l’angolo r · x
si trova (vedi il paragrafo che segue):
ψ = exp − Z + 9
2
F r
4Z5
× 1 + F 2
9r 3r2 r3 r4
+ + +
4Z5 4Z4 4Z3 24Z2
r r2
− F + P1(cos θ)
Z2 2Z
+ F 2
2
5r 5r3 r4
+ +
8Z4 12Z3 12Z2
P2(cos θ) , (4.63)
o, ciò che è lo stesso quando si trascurano termini in F 3
ψ = e −Zr
1 + F 2
2
3r r3 r4
+ +
4Z4 4Z3 24Z2
r r2
− F + P1(cos θ)
Z2 2Z
+ F 2
2
5r 5r3 r4
+ +
8Z4 12Z3 12Z2
P2(cos θ) . (4.64)
360

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Facilmente (vedi nel prossimo paragrafo) si può costruire ψ 2 in seconda
approssimazione:
ψ 2 = e −2Zr
1 + F 2
2
11r
6Z
2r r2
− F + P1(cos θ)
Z2 Z
+ F 2
2
23r 3r3 r4
+ +
12Z4 2Z3 3Z2
5r3 r4
+ + 4 6Z3 6Z2
P2(cos θ) . (4.65)
4.3 Sviluppo di un polinomio in
−1 ≤ x ≤ 1 secondo i polinomi di
Legendre
(Si veda Vol.1, §1.42.)
1 = P0
x = P1
x 2 = 2 1
P2 +
3 3 P0
x 3 = 2
5 P3 + 3
5 P1
x 4 = 8
35 P4 + 4
7 P2 + 1
5 P0
. . .
x n =
2α≤n
2 n−2α (2n − 4α + 1)
α=0
361
(n − α)! n!
α! (2n − 2α + 1)! Pn−2α(x).

Volumetto 4: 24 aprile 1930
4.4 Regole di moltiplicazione dei polinomi
di Legendre
Si ha 31
P0 P1 P2 P3 P4
P0 P0 P1 P2 P3 P4
P1 P1
P2 P2
1
3 P0 + 2
3 P2
2
5 P1 + 3
5 P3
2
5 P1 + 3
5 P3
3
7 P2 + 4
7 P4
4
9 P3 + 5
9 P5
1
5 P0 + 2
7 P2 + 18
35 P4 P2P3 P2P4
P3 P3 P3P1 P3P2 P3P3 P3P4
P4 P4 P4P1 P4P2 P4P3 P4P4
31 Nel manoscritto originale la forma esplicita dei prodotti P2P3, P2P4, P3P1,
P3P2, P3P3, P3P4, P4P1, P4P2, P4P3, P4P4 non è riportata. La si ripropone qui
di seguito:
P2P3 = P3P2 = 9
35 P1 + 4
15 P3 + 10
21 P5
P2P4 = P4P2 = 2
7 P2 + 20
77 P4 + 5
11 P6
P3P1 = P1P3
P3P3 = 1
7 P0 + 4
21 P2 + 18
77 P4 + 100
231 P6
175
429 P7
P4P4 = 1
9 P0 + 100
693 P2 + 162
1081 P4 + 20
99 P6 + 490
1287 P8.
P3P4 = P4P3 = 4
21 P1 + 2
11 P3 + 20
91 P5
362

Volumetto 4: 24 aprile 1930
4.5 Funzione di Green per l’equazione
differenziale y ′′ + (2/x − 1) y + φ(x) = 0
L’equazione differenziale
y ′′ +
con le condizioni ai limiti
2
x
− 1 y = − φ(x), (4.66)
y(0) = y(∞) = 0, (4.67)
ammette soluzioni nel campo [0, ∞) solo se −φ(x) è ortogonale alla soluzione
χ dell’equazione (resa) omogenea:
χ ′′ +
2
x
− 1 χ = 0, (4.68)
con la condizione ai limiti (4.67). Una soluzione non nulla di (4.68) esiste
ed è, normalizzata,
χ = 2x e −x . (4.69)
Segue che se φ(x) è una qualsiasi funzione continua, l’equazione differenziale:
y ′′
2
+ − 1 y = − φ(x) + 4x e
x −x
∞
φ(x) x e
0
−x dx (4.70)
ammette soluzioni soddisfacenti a (4.67). Possiamo porre
y(x) = G(x, ξ) φ(ξ) dξ. (4.71)
Tanto y che G(x, ξ), quest’ultima riguardata come funzione di x per ogni
valore di ξ, sono definite a meno di una funzione proporzionale a χ. Toglieremo
ogni arbitrarietà imponendo che G, e di conseguenza y, sia ortogonale
a χ. Allora la funzione di Green G(x, ξ) è necessariamente simmetrica in
x e ξ. Ponendo
L = d2
+
dx2 363
2
x
− 1 , (4.72)

Volumetto 4: 24 aprile 1930
la funzione di Green soddisfa all’equazione differenziale
L G(x, ξ) = 4x e −x ξ e −ξ , (4.73)
ed inoltre deve avere una discontinuità nella derivata prima per x = ξ in
modo che sia:
d
G(x, ξ)
dx x=ξ+0
Poniamo
−
d
G(x, ξ)
dx x=ξ−0
= − 1. (4.74)
G(x, ξ) = 4ξ e −ξ p(x, ξ) (4.75)
e riguardiamo per il momento p come funzione di x essendo ξ costante.
Avremo per la (4.74):
L p = x e −x . (4.76)
La soluzione generale di (4.76) si ottiene aggiungendo a una soluzione particolare
la soluzione generale dell’equazione omogenea
L p = 0. (4.77)
La soluzione generale di (4.76) è a sua volta combinazione lineare di due
(soluzioni) indipendenti di cui l’una è la stessa χ data da (4.69) e l’altra
può essere notoriamente:
χ1 = χ
dx
χ 2 = − ex + 2x e −x
2x
e
dx (4.78)
x
od anche, poiché possiamo fissare arbitrariamente il limite inferiore dell’integrale:
χ1 = 2x e −x
x
0
0
e 2x − 1
x
dx + 2x e −x log x − e x . (4.79)
Una soluzione particolare di (4.76), e precisamente quella che si annulla
insieme con la sua prima derivata per x = 0 (vedi tesi) è la seguente:
p0 = 1
x
e
x e−x
2 2x − 1
dx −
x
1
4 ex
1 1 1
+ + x −
4 2 2 x2
e −x . (4.80)
Segue per la (4.75) che la funzione di Green può porsi sotto la forma:
G(x, ξ) = 4ξ e −ξ p0(x) + ai(ξ) χ(x) + bi(ξ)χ1(x), (4.81)
364

Volumetto 4: 24 aprile 1930
intendendo che l’indice i assuma il valore 1 per x < ξ e il valore 2 per x > ξ,
cosicché il problema è ormai ridotto alla determinazione delle grandezze
a1(ξ), b1(ξ), a2(ξ), b2(ξ) costanti rispetto a x. Esse si determinano mediante
le condizioni ai limiti G = 0 per x = 0 e x = ∞, la condizione di
discontinuità (4.74) per x = ξ e la condizione di ortogonalità fra la funzione
di Green e la soluzione χ dell’equazione omogenea che soddisfa alle
condizioni ai limiti. La condizione G(0, ξ) = 0 importa:
La condizione G(∞, ξ) = 0 è soddisfatta se:
Dalla condizione (4.74) segue
b1 = 0. (4.82)
b2 = − ξ e −ξ . (4.83)
(a1 − a2) χ ′ (ξ) + (b1 − b2) χ ′ 1(ξ) = 1, (4.84)
cioè, tenuto conto di (4.82) e (4.83):
ed eseguiti i calcoli:
a2 = a1 + ξ e −ξ
a2 = a1 + ξ e −ξ χ ′ 1(ξ)
χ ′ (ξ) −
ξ
0
e 2ξ − 1
ξ
1
χ ′ ; (4.85)
(ξ)
dξ + ξ e −ξ log ξ − eξ
. (4.86)
2
Lasciando ancora indeterminata a1, abbiamo così le seguenti espressioni
per la funzione di Green secondo che x < ξ o x > ξ:
G(x, ξ) = ξ e −ξ
2x e −x
x
e
0
2x − 1
dx − e
x
x
+ 1 + 2x − 2x 2 e −x
+ 2 a1(ξ) x e −x , x < ξ; (4.87)
G(x, ξ) = x e −x
2ξ e −ξ
ξ
e 2ξ − 1
dξ − e
ξ
ξ
0
+ ξ e −ξ 1 + 2x − 2x 2 + 2ξ e −ξ x e −x (log ξ − log x)
+ 2 a1(ξ) x e −x , x > ξ. (4.88)
365

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Resta da determinare a1 in base alla condizione di ortogonalità:
χ(x) G(x, ξ) dx = 0.
Si trova:
a1 =
1
2
5
+ ξ − ξ2 e
2 −ξ − C ξ e −ξ − ξ e −ξ log 2ξ, (4.89)
con C costante di Eulero.
Sostituendo in (4.87) e in (4.88) si hanno le espressioni definitive per la
funzione di Green:
G(x, ξ) = e −ξ e −x ξ + x + (7 − 2C) ξ x − 2 ξ 2 x − 2 ξ x 2
+ 2ξ e −ξ xe −x
x
0
e 2x − 1
dx
x
− ξ e −ξ e x − 2ξ e −ξ x e −x log 2ξ, x < ξ; (4.90)
G(x, ξ) = e −ξ e −x ξ + x + (7 − 2C) ξ x − 2 ξ 2 x − 2 ξ x 2
+ 2ξ e −ξ xe −x
ξ
0
e 2ξ − 1
dξ
ξ
− x e −x e ξ − 2ξ e −ξ x e −x log 2x, x > ξ. (4.91)
La G(x, ξ) è, come deve essere, simmetrica in x e ξ, poiché (4.91) si ottiene
da (4.90) scambiando x e ξ.
4.6 Su uno sviluppo in serie del logaritmo
integrale
Il logaritmo integrale è definito dalla relazione
essendo: 32
Ei(−x) = − A(x), (4.92)
A(x) =
∞
x
e −ξ
ξ
dξ. (4.93)
32 Questa funzione è anche nota come funzione gamma incompleta Γ(0, x).
366

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Possiamo sviluppare 1/ξ per ξ > x in serie di polinomi secondo le formole
del calcolo alle differenze finite richiedendo che i primi n termini dello
sviluppo diano il valore esatto di 1/ξ per ξ = x, x + 1, . . . , x + n − 1. Si
trova ponendo:
ξ = x + y, (4.94)
la formola:
1
ξ
e la (4.93) diventa
A(x) = e−x
x
essendosi posto:
Si trova
= 1
x −
⎛
⎜
⎝1 −
. . . ±
In =
y
x(x + 1) +
∞
0
y e −y dy
x + 1
y(y − 1)
x(x + 1)(x + 2)
+
∞
In
(x + 1)(x + 2)· · ·(x + n)
∞
0
0
− . . . , (4.95)
y (y − 1) e −y dy
(x + 1)(x + 2)
⎞
− . . .
⎟
∓ . . . ⎟
⎠ , (4.96)
y (y − 1) · · · (y − n + 1) e −y dy. (4.97)
I1 = 1, I2 = 1, I3 = 2, I4 = 4, I5 = 14,
Sostituendo la (4.96) diventa:
∞
e −ξ
ξ
I6 = 38, I7 = 216, I8 = 600, . . . . (4.98)
1 − 1
x + 1 +
x
e−x
dξ =
x
1
(x + 1)(x + 2)
2
−
(x + 1)(x + 2)(x + 3) +
4
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
14
−
(x + 1)(x + 2)· · ·(x + 5) +
38
(x + 1)(x + 2)· · ·(x + 6)
−
− . . . . (4.99)
216
(x + 1)(x + 2)· · ·(x + 7) +
600
(x + 1)(x + 2)· · ·(x + 8)
367

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Se in (4.94) facciamo x = 1, la (4.95) diventa:
1
1 + y
y y(y − 1) y(y − 1)(y − 2)
= 1 − + −
2! 3!
4!
y − (y − 1) · · · (y − n + 2)
+ . . . ± ∓ . . . (4.100)
n!
Si deduce lo sviluppo del logaritmo di (1 + y):
log (1 + y) = y − y2
4 + 2y3 − 3y 2
36
− y4 − 4y 3 + 4y 2
96
+ . . . (4.101)
Lasciando x indeterminato in (4.94) si ottiene la generalizzazione della
(4.101):
log 1 + y
x
= y
x −
−
y 2
2x(x + 1) +
y 4 − 4y 3 + 4y 2
4x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
2y 3 − 3y 2
6x(x + 1)(x + 2)
+ . . . (4.102)
Poniamo t = y/x e conveniamo di usare n termini dello sviluppo (4.102)
ponendo y = n − 1 e in conseguenza x = (n − 1)/t salvo che per n = 1,
nel qual caso lasciamo y arbitrario; si ottengono allora successivamente le
seguenti formole di approssimazione per log (1 + t):
n = 1 : log (1 + t) = t (4.103)
n = 2 : log (1 + t) = t −
t 2
2(1 + t)
n = 3 : log (1 + t) = t − t2
2 + t +
n = 4 : log (1 + t) = t − 3t2
2(3 + t) +
−
t 3
3(2 + t)(2 + 2t)
3t 3
2(3 + t)(3 + 2t)
(4.104)
(4.105)
3t 4
. (4.106)
4(3 + t)(3 + 2t)(3 + 3t)
368

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Ad esempio, le dette espressioni diventano per log 2 (t = 1) e log 10 (t = 9):
n log 2 log 10
1 1.0000 9.00
2 0.7500 4.95
3 0.6944 2.74
4 0.6937 2.56
4.7 Caratteri primitivi del gruppo delle
permutazioni di f oggetti
Si ha 33
f = 1 (P.N. = 1)
nk
Partitio →
Classe ↓
1
1 + (1) 1
f = 2 (P.N. = 2)
Partitio → 1+
nk Classe ↓ 2 1
1+ (1)(2) 1 1
1− (12) 1 -1
33 In quel che segue, la notazione P.N. indica la “Partitio Numerorum”, cioè il
numero di modi in cui si possono collocare f oggetti. Nelle tabelle, ogni “partitio”
è definita nella prima riga dalla terza colonna in poi. Nella seconda colonna sono
invece definite le classi dei cicli di permutazioni degli f oggetti. Nella prima
colonna è infine indicato il numero di cicli della classe considerata. In ciascuna
tabella - dalla terza colonna in avanti e dalla seconda riga in poi - sono mostrati
i caratteri corrispondenti ad una data classe e “partitio”.
369

Volumetto 4: 24 aprile 1930
f = 3 (P.N. = 3)
Partitio → 2+
1+
1+
nk Classe ↓ 3 1 1
1+ (1)(2)(3) 1 2 1
3− (12)(3) 1 0 -1
2+ (123) 1 -1 1
f = 4 (P.N. = 5)
2+
1+
1+
Partitio → 3+ 2+ 1+ 1+
nk Classe ↓ 4 1 2 1 1
1+ (1) . . . 1 3 2 3 1
6− (12) . . . 1 1 0 -1 -1
3+ (12)(34) 1 -1 2 -1 1
8+ (123) . . . 1 0 -1 0 1
6− (1234) 1 -1 0 1 -1
f = 5 (P.N. = 7)
2+
1+
1+
3+ 2+ 1+ 1+
Partitio → 4+ 3+ 1+ 2+ 1+ 1+
nk Classe ↓ 5 1 2 1 1 1 1
1+ (1) . . . 1 4 5 6 5 4 1
10− (12) . . . 1 2 1 0 -1 -2 -1
15+ (12)(34) . . . 1 0 1 -2 1 0 1
20+ (123) . . . 1 1 -1 0 -1 1 1
20− (123)(45) 1 -1 1 0 -1 1 -1
30− (1234) . . . 1 0 -1 0 1 0 -1
24+ (12345) 1 -1 0 1 0 -1 1
370

Volumetto 4: 24 aprile 1930
f = 6 (P.N. = 11)
3+
4+ 3+ 1+
Partitio → 5+ 4+ 1+ 3+ 2+ 1+
nk Classe ↓ 6 1 2 1 3 1 1
1+ (1) . . . 1 5 9 10 5 16 10
15− (12) . . . 1 3 3 2 1 0 -2
45+ (12)(34) . . . 1 1 1 -2 1 0 -2
15− (12)(34)(56) 1 -1 3 -2 -3 0 2
40+ (123) . . . 1 2 0 1 -1 -2 1
120− (123)(45) . . . 1 0 0 -1 1 0 1
40+ (123)(456) 1 -1 0 1 2 -2 1
90− (1234) . . . 1 1 -1 0 -1 0 0
90+ (1234)(56) 1 -1 1 0 -1 0 0
144+ (12345) . . . 1 0 -1 0 0 1 0
120− (123456) 1 -1 0 1 0 0 -1
1+
2+ 1+
2+ 1+ 1+
2+ 1+ 1+
Partitio → 2+ 1+ 1+ 1+
nk Classe ↓ 2 1 1 1
1+ (1) . . . 5 9 5 1
15− (12) . . . -1 -3 -3 -1
45+ (12)(34) . . . 1 1 1 1
15− (12)(34)(56) 3 -3 1 -1
40+ (123) . . . -1 0 2 1
120− (123)(45) . . . -1 0 0 -1
40+ (123)(456) 2 0 -1 1
90− (1234) . . . 1 1 -1 -1
90+ (1234)(56) -1 1 -1 1
144+ (12345) . . . 0 -1 0 1
120− (123456) 0 0 1 -1
371

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Partitio numerorum
f P.N.
1 1
2 2
3 3
4 5
5 7
6 11
7 15
8
9
10
11
Gradi delle rappresentazioni irriducibili e
sistemi reciproci 34
f = 2
2 1+1
1+1 2
1 1
f = 3
3 2+1 1+1+1
1+1+1 2+1 3
1 2 1
f = 4
34 Nelle tabelle che seguono, nella prima riga è riportata la rappresentazione
irriducibile considerata, la seconda riga indica il sistema reciproco corrispondente,
mentre la terza specifica il grado della rappresentazione considerata.
372

Volumetto 4: 24 aprile 1930
4 3+1 2+2 2+1+1 1+1+1+1
1+1+1+1 2+1+1 2+2 3+1 4
1 3 2 3 1
f = 5
5 4+1 3+2 3+1+1
1+1+1+1+1 2+1+1+1 2+2+1 3+1+1
1 4 5 6
2+2+1 2+1+1+1 1+1+1+1+1
3+2 4+1 5
5 4 1
f = 6
6 5+1 4+2 4+1+1
1+1+1+1+1+1 2+1+1+1+1 2+2+1+1 3+1+1+1
1 5 9 10
3+3 3+2+1 3+1+1+1 2+2+2
2+2+2 3+2+1 4+1+1 3+3
5 16 10 5
2+2+1+1 2+1+1+1+1 1+1+1+1+1+1
4+2 5+1 6
9 5 1
373

Volumetto 4: 24 aprile 1930
f = 7
7 6+1 5+2 5+1+1
1+1+1+1+1+1+1 2+1+1+1+1+1 2+2+1+1+1 3+1+1+1+1
1 6 14 15
4+3 4+2+1 4+1+1+1 3+3+1 3+2+2 3+2+1+1
2+2+1 3+2+1+1 4+1+1+1 3+2+2 3+3+1 4+2+1
14 35 20 21 21 35
3+1+1+1+1 2+2+2+1 2+2+1+1+1
5+1+1 4+3 5+2
15 14 14
2+1+1+1+1+1 1+1+1+1+1+1+1
6+1 7
6 1
4.8 Sviluppo dell’onda piana secondo le
funzioni sferiche
L’onda piana
obbedisce all’equazione differenziale
u = e ikz = e
ikr cos θ
(4.107)
∆ u + k 2 u = 0. (4.108)
374

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Ogni soluzione di (4.108) si può esprimere come combinazioni lineari delle
soluzioni particolari
1
√ ρ In+1/2(ρ) ϕ i n(θ, φ) (4.109)
(ρ = kr; n = 0, 1, 2, . . .; i = −n, −n + 1, . . . , n), essendo In+1/2 la funzione
di Bessel di ordine n + 1/2 e ϕ i n una generica funzione sferica superficiale
di ordine n. La u data dalla (4.107) è simmetrica intorno all’asse z onde
nel suo sviluppo compariranno solo termini che portano a fattore funzioni
sferiche zonali:
u = e ikz = e iρ cos θ =
∞
n=0
an
√ ρ In+1/2(ρ) Pn(cos θ), (4.110)
essendo Pn i polinomi di Legendre. Per determinare le costanti an moltiplichiamo
i due membri di (4.110) per Pn(cos θ) e integriamo su una sfera
di raggio r = ρ/k; dividendo quindi i due membri per 2πr 2 troviamo
1
−1
e iρt Pn(t) dt =
2 an
√ In+1/2(ρ). (4.111)
2n + 1 ρ
Facciamo tendere ρ a zero e sviluppiamo secondo le potenze di ρ. Al primo
membro otteniamo come primo termine differente da zero (vedi §4.3):
i n ρ n
n!
1
t
−1
n Pn(t) dt = inρ n
n!
mentre al secondo membro otteniamo:
2
2n + 1
an
√ ρ
1
(n + 1/2)!
=
ρ
n + 1/2
=
r
2 3 n
· · · ·
3 5 2n − 1 ·
2
2n + 1
2 n+1 n!
(2n + 1)! in ρ n , (4.112)
=
2 2
2n + 1 π
an
2n + 1
2
π
an
1·3· · ·(2n + 1) ρn
n+1 n!
2
(2n + 1)! ρn
(4.113)
da cui, confrontando con l’espressione precedente:
an
π
= (2n + 1)
2 in . (4.114)
375

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Sostituendo in (4.111), si ricava la relazione notevole:
In+1/2(ρ) =
ρ
2 π (−i)n
1
e iρt Pn(t) dt. (4.115)
Esempi:
I1/2(ρ) =
I3/2(ρ) =
−1
2
sin ρ, kz = ρ cos θ (4.116)
π ρ
2
− cos ρ +
π ρ
1
sin ρ . (4.117)
ρ
Sostituendo invece con (4.114) in (4.110) si ha lo sviluppo dell’onda piana:
e ikz =
∞
n=0
2n + 1
ρ
πρ
2 in In+1/2(ρ) Pn(cos θ). (4.118)
Scriviamo la (4.115) sotto la forma analoga a (4.111):
1
e iρt Pn(t) dt =
2π
ρ in In+1/2(ρ) (4.119)
−1
e sviluppiamo i due membri secondo le potenze di ρ. È facile convincersi che
sono differenti da 0 solo i termini in ρ n+2α (α = 0, 1, 2, . . .) . Uguagliando
nei due membri i coefficienti di ρ n+2α si ha:
i n+2α
(n + 2α)!
1
−1
cioè semplificando:
1
(n + 2α)!
1
t n+2α Pn(t) dt =
−1
t n+2α Pn(t) dt =
√ 2π i n (−1) α
, (4.120)
n+2α+1/2
α! (n + α + 1/2)! 2
√ π
α! (n + α + 1/2)! 2 n+2α
(4.121)
e badando che
n + α + 1
!
2
=
√
π 3 5
· · · · · n + α +
2 2 2 1
=
=
2
√
π 1
·3·5·7· · · (2n + 2α + 1)
2 2n+α √
π (2n + 2α + 1)!
,
2 (n + α)! 22n+2α (4.122)
376

si ha infine:
1
−1
Volumetto 4: 24 aprile 1930
t n+2α Pn(t) dt = 2 n+1 (n + α)! (n + 2α)!
. (4.123)
α! (2n + 2α + 1)!
Ponendo in (4.123) n in luogo di n − 2α si ha:
1
t
−1
n Pn−2α(t) dt = 2 n−2α+1
(n − α)! n!
α! (2n − 2α + 1)!
(4.124)
(con 2α ≤ n); da cui, badando alla condizione di normalizzazione dei
polinomi di Legendre
1
−1
P 2 n(t) dt =
2
2n + 1 ,
si ricava lo sviluppo di t n (n − 1 ≤ t ≤ 1) secondo i polinomi di Legendre:
t n =
2α≤n
α=0
2 n−2α (2n − 4α + 1)
(n − α)! n!
α! (2n − 2α + 1)! Pn−2α(t). (4.125)
4.9 Formola di Rutherford dedotta con la
meccanica classica
Si abbia una corrente uniforme di particelle di carica Z ′ e e di massa m,
muoventisi secondo l’asse z con velocità v. Sia io/v il numero di particelle
per unità di volume e quindi io il flusso per unità di superficie normale
all’asse z nell’unità di tempo. Si supponga inoltre che nell’origine delle coordinate
sia posto un corpo diffondente di carica Ze; si domanda il numero
di particelle che vengono deviate di un angolo θ per unità di tempo e di
angolo solido. Tale numero può porsi sotto la forma f(θ) io, e avrà f(θ)
le dimensioni di una superficie (sezione d’urto). Per risolvere il problema
osserviamo che ogni particella si muove in un piano passante per l’asse z.
Scegliendo in questo coordinate polari avremo
¨ρ − ρ ˙ θ 2 = k
ρ 2 ˙ θ = c.
ρ 2 , k = ZZ′ e 2
377
m ;
(4.126)

Eliminando θ:
Volumetto 4: 24 aprile 1930
¨ρ = k
ρ
2 + c2
Assumendo come nuova variabile y = 1/ρ, troviamo
ρ = 1
y
da cui sostituendo in (4.127)
˙ρ = − 1 dy
˙y = −
y2 dθ ρ2 θ ˙ dy
= − c
dθ
. (4.127)
ρ3 (4.128)
(4.129)
¨ρ = − c d2y dθ2 ˙ θ = − c 2 y 2 d 2 y
, (4.130)
dθ2 che ammette come soluzione generale:
1
ρ
d 2 y k
+ y + = 0, (4.131)
dθ2 c2 k
= y = − + a cos θ + b sin θ. (4.132)
c2 Determiniamo le costanti in base alle condizioni ai limiti. Per θ = π
deve essere ρ = ∞, poiché noi immaginiamo che le particelle provengano
dall’infinito nella direzione negativa dell’asse z. Questo importa:
a = − k/c 2 . (4.133)
Ancora, per θ = π dev’essere, secondo l’ipotesi, ˙ρ = −v e poiché per la
(4.129) ˙ρ = −c dy/dθ, segue
cosicché la (4.132) diventa
1
ρ
c b = − v cioè b = − v/c, (4.134)
k k v
= − − cos θ −
c2 c2 c
sin θ, (4.135)
che rappresenta un’iperbole i cui asintoti hanno le direzioni θ1 = π e θ2 =
−2 arctan (k/vc). Resta da esplicitare il significato geometrico di c, che si
può dedurre dalla seconda delle (4.126), ma preferiamo partire dalla (4.135)
378

Volumetto 4: 24 aprile 1930
introducendo le coordinate cartesiane nel piano dell’orbita: z = ρ cos θ e
ξ = ρ sin θ con che la (4.135) diventa
1 − k
c 2
ovvero, in forma intera:
cioè
1 − v2c 2
k2
k v
z2 + ξ2 + z + ξ = 0, (4.136)
c2 c
z 2 + ξ 2 =
ξ 2 − 2 vc
k
z + vc
2 c2
ξ + , (4.137)
k k
ξ z − 2 c2
k
z − 2 vc3
k
da cui si deduce l’equazione del primo asintoto:
2 ξ − c4
= 0, (4.138)
k2 ξ = − c/v. (4.139)
Il valore assoluto di ξ è uguale alla distanza iniziale della particella dall’asse
z parallelamente al quale si muove; scegliendo il verso dell’asse ξ in modo
che ξ sia inizialmente [e quindi durante tutto il moto, se ZZ ′ > 0] positiva,
avremo:
c = − v δ. (4.140)
La deviazione angolare della particella sarà quindi per quanto si è detto
sopra sulla direzione del secondo asintoto:
θ = 2 arctan(k/v 2 δ). (4.141)
L’angolo di diffusione θ cresce al diminuire di δ e le particelle deviate di
un angolo maggiore di θ sono quelle che per grandi valori negativi di z
attraversano un cerchio di raggio δ normale all’asse z, cioè, nell’unità di
tempo
n = π δ 2 io, (4.142)
cioè, essendo per la (4.141) δ =
n =
k
v 2 tan θ/2
π k 2 io
v4 tan2 . (4.143)
θ/2
379

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Il numero delle particelle diffuse per unità di angolo solido sarà
dn
dω =
dn
−2π sin θ dθ
e notando che dn/dω = f(θ) io, avremo, differenziando la (4.135) e dividendo
per −2πio sin θdθ:
f(θ) =
Z 2 Z ′2 e 4
4m 2 v 4 sin 4 θ/2 =
Z 2 Z ′2 e 4
16W 2 sin4 , (4.144)
θ/2
essendo W l’energia cinetica della particella libera. Ponendo:
W = Z Z′ e 2
, (4.145)
l
sarà l una lunghezza, positiva o negativa secondo che Z e Z ′ hanno o non
hanno lo stesso segno. Sostituendo in (4.144) si ha la formola espressiva
per la sezione di urti:
f(θ) =
l 2
16 sin4 . (4.146)
θ/2
Possiamo definire una seconda sezione d’urto F (θ) come rapporto fra il
numero n di particelle deviate di un angolo maggiore di θ nell’unità di
tempo e io. Tale numero è per la (4.143):
n = π Z2 Z ′2 e 4 io
m 2 v 4 tan 2 θ/2 = π Z2 Z ′2 e 4 io
4W 2 tan 2 θ/2 =
da cui segue:
F (θ) =
Fra f(θ) e F (θ) passa l’ovvia relazione:
π l2 io
4 tan2 , (4.147)
θ/2
π l 2
4 tan2 . (4.148)
θ/2
F ′ (θ) = − 2π sin θ f(θ). (4.149)
La relazione fra θ e δ espressa da (4.141) si può porre sotto la forma:
essendo ɛ = l/δ.
tan θ
2
380
ɛ
= , (4.150)
2

Volumetto 4: 24 aprile 1930
ɛ θ
0 0
1 arctan 4/3
2 π/2
3 π − arctan 12/5
4 π − arctan 4/3
5 π − arctan 21/20
4.10 La formola di Rutherford come
prima approssimazione del
metodo di Born
Consideriamo l’onda piana 35
ψ0 = e +iγz , (4.151)
che rappresenta un flusso uniforme di particelle nella direzione dell’asse z.
Se m è la loro massa, ad ognuna compete l’energia cinetica
W = 2
2m γ2 . (4.152)
Nell’origine delle coordinate sia il punto diffondente di carica Ze, mentre
la carica delle particelle diffuse sia Z ′ e. L’equazione differenziale a cui
soddisfa la funzione d’onda se l’energia è espressa dalla (4.152) sarà:
∆ ψ + γ 2 − 2m2 k
2
ψ = 0,
r
k = ZZ′ e 2
.
m
(4.153)
Riguardando il potenziale dovuto al punto diffondente come piccolo, potremo
considerare la (4.151) come autofunzione imperturbata e porre
ψ = ψ0 + ψ1, (4.154)
35 Nel manoscritto originale viene riportata la relazione di commutazione fondamentale
pq − qp = /i vicino l’equazione (4.151). Come in precedenza, qui e
nel seguito si è preferito adottare la notazione moderna in luogo di h/2π.
381

Volumetto 4: 24 aprile 1930
essendo ψ1 un piccolo termine correttivo. Sostituendo in (4.153) e trascurando
quantità di secondo ordine avremo in prima approssimazione:
∆ ψ1 + γ 2 ψ1 = 2m2 k
2 r eiγz . (4.155)
Per rendere unica la soluzione di (4.155) richiediamo: 1 ◦ ) che ψ1 si annulli
all’infinito, ciò che significa che a grande distanza dal corpo diffondente
ψ deve tendere all’onda imperturbata ψ0; 2 ◦ ) che ψ1 rappresenti un’onda
sferica divergente, e ciò per il suo significato fenomenologico. La soluzione
della forma desiderata si ottiene con il metodo di Green usando come funzione
caratteristica - e iγr /4πr. Si presentano tuttavia difficoltà di convergenza
per evitare le quali supporremo che il campo diffondente agisce fino
alla distanza R, salvo in seguito a far tendere R all’infinito. La (4.155) va
allora modificata nel modo seguente:
∆ ψ1 + γ 2 ψ1 = 2m2 k
2
1
r
∆ ψ1 + γ 2 ψ1 = 0, per r > R.
1
− e
R
iγz , per r < R,
(4.156)
Vogliamo scrivere le (4.156) in una forma un po’ differente introducendo
la velocità delle particelle libere:
con che le (4.156) diventano:
∆ ψ1 + γ 2 ψ1 = 2γ2 k
v 2
v = γ
, (4.157)
m
1
r
∆ ψ1 + γ 2 ψ1 = 0, per r > R;
e per ciò che si è detto sarà:
ψi(P1) = 1
4π
2γ 2 k
v2
1
r
S
1
−
R
1
− e
R
iγz , per r < R,
1
(4.158)
|r1 − r| eiγ(|r1 − r| + z) dτ, (4.159)
l’integrale essendo esteso entro una sfera di raggio R. (Siano r1, θ1, φ1 le
coordinate di P1, mentre r, θ, φ sono le coordinate di un punto generico
del campo di integrazione). Vogliamo supporre r1 ≫ R e trascurare in
382

Volumetto 4: 24 aprile 1930
ψ1 termini dell’ordine di 1/r 2 ; possiamo allora sostituire al denominatore
1/|r1 − r| semplicemente 1/r1, e la (4.159) diventa
ψ1(P1) =
γ2 k
2π v 2 r1
S
1
r
1
− e
R
iγ(|r1 − r| + z) dτ. (4.160)
e badando che entro l’integrale possiamo trascurare termini dell’ordine di
1/r possiamo porre:
|r1 − r| r1 − r (cos θ1 cos θ + sin θ1 sin θ cos(φ1 − φ)) (4.161)
[e, d’altra parte: z = r cos θ, con che l’integrale che comparisce in (4.160)
diventa
e iγr1
1 1
− e
s r R
iγr ((1 − cos θ1) cos θ − sin θ1 sin θ cos(φ1 − φ)) dτ.
(4.162)
Possiamo supporre senza restrizione φ1 = 0, ma ciò l’integrale non
resta essenzialmente semplificato]. Conviene scegliere un nuovo sistema di
coordinate polari - nel verso che forma angolo acuto con δ1ϕ1 - assumendo
come nuovo asse polare la bisettrice esterna dell’angolo (rr1). Se come
piano meridiano (Φ = 0) assumiamo quello che passa per l’asse z e per P1,
le coordinate polari di quest’ultimo punto saranno:
e sarà inoltre
di modo che
r1, Θ1 = π
2
− θ1
2 , Φ1 = 0, (4.163)
cos θ = − sin(θ1/2) cos Θ + cos(θ1/2) cos Φ sin Θ, (4.164)
z = − r sin(θ1/2) cos Θ + r cos(θ1/2) cos Φ sin Θ (4.165)
|r1 − r| r1 − r (sin(θ1/2) cos Θ + cos(θ1/2) cos Φ sin Θ) (4.166)
z + |r1 − r| r1 − 2 sin(θ1/2) r cos Θ. (4.167)
Sostituendo l’integrale che figura in (4.160) diventa
e iγr1
S
1
r
1
− e
R
−2iγr sin(θ1/2) cos θ
dτ. (4.168)
383

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Integrando rispetto a Φ quando si scriva dτ = r 2 dr d cos Θ dΦ abbiamo
2π e iγr1
R
r
0
2
1
1 1
− dr e
r R −1
−2iγr sin(θ1/2) cos θ d cos Θ
2π e
=
iγr1
R
1 1
r − sin (2 γ r sin(θ1/2)) dr
γ sin(θ1/2) 0 r R
2π e
=
iγr1
1
sin (2 γ R sin(θ1/2))
1 − . (4.169)
γ sin(θ1/2) 2γ sin(θ1/2) 2 γ R sin(θ1/2)
Facendo tendere R a infinito, il termine con R al denominatore si annulla
(purché θ1 = 0); si ha allora sostituendo in (4.160) e scrivendo θ in luogo
di θ1:
ψ1(P1) =
Ciò che interessa è il rapporto
i1
i0
k e iγr1
2 v2 r1 sin 2 . (4.170)
(θ/2)
= |ψ1| 2
|ψ0| 2
fra onda diffusa e onda incidente. Ricordando l’espressione (4.151) di ψ0 e
introducendo l’energia della particella in luogo della velocità, si trova
i1 =
Z 2 Z ′2 e 4 i0
16 W 2 r2 1 sin 4 , (4.171)
(θ/2)
che coincide con la formola (4.144), se si bada che sezione d’urto colà
introdotta è per definizione:
f(θ) = r 2 i1
1
i0
384
. (4.172)

Volumetto 4: 24 aprile 1930
4.11 L’equazione di Laplace
Intendiamo l’equazione differenziale:
u ′′
+ δ0 + δ1
u
r
′
+ ɛ0 + ɛ1
u = 0. (4.173)
r
Applichiamo la trasformazione di Laplace:
u =
f(z) e zr dz. (4.174)
Sarà:
u ′ =
u ′′ =
L
L
L
z f(z) e zr dz (4.175)
z 2 f(z) e zr dz. (4.176)
Sostituendo in (4.173) si ricava
0 =
z
L
2 f(z) e zr
+ δ0 + δ1
z f(z) e
r
zr
+ ɛ0 + ɛ1
f(z) e
r
zr
dz; (4.177)
ovvero, moltiplicando per r l’equazione precedente e tenendo presente che
si trova:
0 =
=
L
r e zr = d
dz ezr ,
δ1 z f(z) e zr + ɛ1 f(z) e zr + z 2 f(z) d
dz ezr
+ δ0 z f(z) d
dz ezr + ɛ0 f(z) d
dz ezr dz
δ1 z f(z) + ɛ1 f(z)
L
− d 2
z f(z) + δ0 z f(z) + ɛ0 f(z)
dz
e zr dz
d 2
+ z f(z) e
zr
+ δ0 z f(z) e
zr
+ ɛ0 f(z) e
zr
dz
dz.
L
385

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Scegliendo un cammino di integrazione tale che agli estremi l’espressione:
2
z f(z) + δ0 z f(z) + ɛ0 f(z) e
zr
(4.178)
acquisti lo stesso valore, basta per la validità di (4.174) che sia soddisfatta
l’equazione differenziale:
δ1 z f(z) + ɛ1 f(z) − d
dz
La (4.179) si può scrivere
f ′ (z)
f(z)
= (δ1 − 2)z + ɛ1 − δ0
z 2 + δ0z + ɛ0
essendo c1 e c2 le radici dell’equazione
z 2 f(z) + δ0 z f(z) + ɛ0 f(z) = 0. (4.179)
=
β1
z − c1
+
β2
, (4.180)
z − c2
z 2 + δ0 z + ɛ0 = 0. (4.181)
Dal confronto fra il secondo e il terzo membro di (4.180) segue
da cui
β1 + β2 = δ1 − 2, (4.182)
β1 c2 + β2 c1 = δ0 − ɛ1, (4.183)
β1 =
c1δ1 − 2c1 − δ0 + ɛ1
,
c1 − c2
β2 = c2δ1 − 2c2 − δ0 + ɛ1
,
c2 − c1
e badando che, per la (4.181), δ0 = −(c1 + c2):
β1 =
ɛ1 + δ1c1
c1 − c2
ovvero ponendo per comodità:
con che:
− 1, β2 =
ɛ1 + δ1c2
c2 − c1
(4.184)
− 1, (4.185)
β1 = α1 − 1, β2 = α2 − 1, (4.186)
α1 = ɛ1 + δ1c1
c1 − c2
, α2 = ɛ1 + δ1c2
. (4.187)
c2 − c1
386

Volumetto 4: 24 aprile 1930
si ha, integrando la (4.180) e contentandoci di una soluzione particolare:
f(z) = (z − c1) α1 − 1 (z − c2) α2 − 1 . (4.188)
La rappresentazione integrale (4.174) assume allora la forma
u =
e zr (z − c1) α1 − 1
(z − c2) α2 − 1
dz, (4.189)
L
e la condizione a cui il cammino di integrazione L deve soddisfare perché la
(4.189) sia valida, che cioè l’espressione (4.178) riacquisti il valore iniziale
alla fine dell’intervallo di integrazione, si pone nella forma semplice:
L
d
dz
e zr (z − c1) α1 (z − c2) α2 dz = 0. (4.190)
quando si badi che r 2 + δ0z + ɛ0 = (z − c1)(z − c2)
4.12 Forze di polarizzazione fra atomi di
idrogeno
Usiamo le consuete unità elettroniche ( = e = m = 1; unità di energia
e 2 /a0 = 2Ry). Consideriamo i due atomi alla distanza R, che supporremo
grande (R misura la distanza in raggi di Bohr). Poiché le autofunzioni dei
singoli atomi diminuiscono esponenzialmente con il raggio, sarà lecito - per
lo studio di un’interazione che tende a zero secondo una potenza finita negativa
di R - supporre gli atomi perfettamente separati e di piccole dimensioni
rispetto a R. In particolare non ha luogo la distinzione fra soluzione
simmetrica negli elettroni o antisimmetrica negli stessi (riguardiamo i protoni
come fissi per riguardo alla loro massa). In realtà la separazione
di risonanza fra ortoidrogeno e paraidrogeno diminuisce esponenzialmente
con R. Gli atomi essendo neutri l’interazione è nulla in prima approssimazione.
Noi vogliamo calcolare “approssimativamente” la seconda approssimazione
valendoci del cosiddetto metodo di Ritz. L’autofunzione
imperturbata negli elettroni è (a meno del fattore di normalizzazione):
ψ0 = e −(r1 + r2) , (4.191)
387

Volumetto 4: 24 aprile 1930
essendo r1 la distanza del primo elettrone dal primo nucleo e r2 quella del
secondo elettrone dal secondo nucleo; ψ0 è così semplicemente il prodotto
dell’autofunzione del primo elettrone per l’autofunzione del secondo e ciò
è lecito per la trascurabilità della risonanza in questo caso limite. Le autofunzioni
imperturbate corrette si otterrebbero notoriamente da ψ0 scambiando
l’ufficio dei due elettroni e quindi sommando (soluzione simmetrica)
o sottraendo (soluzione antisimmetrica). L’espressione dell’Hamiltoniana
imperturbata è nelle nostre unità:
H = − 1
2 ∆′ 2 − 1
2 ∆′′ 2 − 1
r1
− 1
. (4.192)
r2
La perturbazione dovuta alla mutua presenza di 2 atomi deriva dai dipoli
variabili degli atomi stessi e vale per grandi R:
δH = − 2x1x2 − y1y2 − z1z2
R 3 , (4.193)
con ovvio significato delle lettere. Noi ci proponiamo di determinare approssimativamente
l’autofunzione perturbata con la posizione
ψ = ψ0 + c δH ψ0, (4.194)
essendo c una costante per ora arbitraria.
l’energia media
Per calcolare c consideriamo
W = ψ (H + δH) ψ dτ ψ 2 dτ (4.195)
e badando che Hψ0 = −ψ0; inoltre che
e infine che:
ψ 2 0 δH dτ = 0 (4.196)
(δH) 2 ψ 2 0 dτ = 6
R 6
ψ 2 0 dτ (4.197)
(δH) 3 ψ 2 0 dτ = 0 (4.198)
ψ0 (δH) H (δH) ψ0 dτ = − (δH) 2 ψ 2
0 dτ
+ ψ0 (δH) (H (δH) − (δH) H) ψ0 dτ = 0, (4.199)
388

segue con facili calcoli:
Volumetto 4: 24 aprile 1930
W = −
ovvero, poiché ci siamo posti nel caso limite R → ∞
1 − 12c/R6
1 + 6c2 , (4.200)
/R6 W = − 1 + 12 6
c +
R6 R
6 c2
la condizione dW/dc = 0 importa c = −1; in conseguenza
(4.201)
W = − 1 − 6/R 6 . (4.202)
Il metodo dà dunque, nelle ordinarie unità, −6e 2 /a0R 6 come potenziale
delle forze di polarizzazione; questo risultato è abbastanza vicino a quello
esatto ottenuto da Landau per altra via (−6.47e 2 /a0R 6 ) e il senso dell’errore
quale deve essere per una nota proprietà dei metodi di minimo applicati
allo stato fondamentale di un sistema. Per le autofunzioni perturbate si
avrà approssimativamente, ponendo c = −1 in (4.194):
ψ = e −(r1 + r2) + (1/R 3 )(2x1x2 − y1y2 − z1z2) e −(r1 + r2) . (4.203)
L’approssimazione per l’autofunzione sarà naturalmente meno soddisfacente
che per l’autovalore.
4.13 Rappresentazione integrale delle
funzioni di Bessel
L’equazione differenziale delle funzioni di Bessel:
y ′′ + 1
x y′
+ 1 − λ2
x2
y = 0, (4.204)
si semplifica ponendo
y = x λ u. (4.205)
389

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Infatti, sostituendo in (4.204) e dividendo per x λ , si ottiene
u ′′ +
2λ + 1
x
u ′ + u = 0. (4.206)
che è un caso particolare dell’equazione di Laplace (4.173) con i valori delle
costanti: δ0 = 0, δ1 = 2λ + 1, ɛ0 = 1, ɛ1 = 0. È quindi trasportabile al
nostro caso lo sviluppo (4.189). Le costanti che ivi appariscono saranno
nel nostro caso per le (4.181) e (4.187) del §11:
c1 = i, c2 = −i, α1 = α2 =
2λ + 1
, (4.207)
2
con che, disponendo di un’arbitraria costante moltiplicativa:
u = k e zx z 2 + 1 λ − 1/2
dz, (4.208)
con la condizione complementare:
e zx z 2 + 1 λ + 1/2 B
L
A
= 0, (4.209)
essendo A e B gli estremi del campo di integrazione. Punti di diramazione
della funzione integranda sono i punti +i e −i. Ponendo z = it, punti di
diramazione saranno i punti ±1 e in luogo di (4.208) e (4.209) dovremo
porre:
u = k e itx t 2 − 1 λ − 1/2
dt, (4.210)
C
e itx t 2 − 1 λ + 1/2
C
= 0. (4.211)
Per definire t 2 − 1 λ+1/2 nel piano complesso dobbiamo dare una definizione
univoca di log(t 2 − 1).
Dividiamo pertanto il piano complesso mediante due semirette che partono
dai punti di diramazione ±1, verso l’asse positivo degli immaginari,
e definiamo log(t 2 − 1) positivo (e reale) per t > 1, mentre negli altri casi
assume i valori che si deducono per continuità senza attraversare le linee
di diramazione. Definiamo poi la funzione di Hankel H 1 λ:
H 1 λ =
Γ (1/2 − λ) (1/2x)λ
π i Γ (1/2)
390
e itx t 2 − 1 λ − 1/2 dt. (4.212)

Volumetto 4: 24 aprile 1930
- 1
H 2
λ
La condizione (4.211) essendo riempita, sarà H 1 λ una soluzione di (4.204).
In modo analogo si definisce H 2 λ sul cammino di sinistra. Per x reale si ha
H 1 λ = H 1∗
λ e in generale, come si deduce dal comportamento per x → 0:
Iλ = 1
2 (H1 λ + H 2 λ), Nλ = 1
2i (H1 λ − H 2 λ), (4.213)
essendo Iλ e Nλ funzioni rispettivamente di Bessel e di Neumann. Segue
per x reale:
H 1 λ(x) = Iλ(x) + i Nλ(x); (4.214)
e saranno Iλ e Nλ due soluzioni reali di (4.204), la prima regolare per x = 0
e la seconda in quadratura con la prima, per x → ∞.
Vogliamo ora calcolare l’andamento asintotico di H 1 λ(x) per x → ∞ (x
reale). Poniamo
+ 1
H 1
λ
t = 1 + i s
, (4.215)
x
t 2 − 1 = 2i s
x
s2
− , (4.216)
x2 s andrà da ∞ a 0 e poi da 0 a ∞; giusta le convenzioni fatte log(t 2 − 1)
avrà nel primo tratto il suo valore principale diminuito di 2π, e nel secondo
tratto il suo valore principale (cioè parte immaginaria in valore assoluto
π). Segue, dopo varie trasformazioni
H 1 λ(x) =
2 exp {i (x − λπ/2 − π/4)}
πx Γ (λ + 1/2)
391

Volumetto 4: 24 aprile 1930
×
∞
Segue asintoticamente per x → ∞:
H 1 λ(x) ∼
4.14 Simmetria cubica
0
e −s
s
λ − 1/2
1 + is
λ − 1/2
ds. (4.217)
2x
2
exp {i (x − λπ/2 − π/4)} . (4.218)
πx
Le 24 rotazioni (proprie) che trasportano gli assi x, y, z negli stessi assi,
astrazion fatta dall’ordine e dal verso, costituiscono un gruppo olomorfo al
gruppo delle permutazioni di 4 oggetti. La corrispondenza olomorfa può
stabilirsi nel modo seguente:
I - Classe identica (1+)
rotazioni permutazioni
coseni direttori angolo
della rotazione di rotazione
0 permutazione identica
II - Classe 21 (6−)
rotazioni permutazioni
coseni direttori angolo
della rotazione di rotazione
0 1/ √ 2 1/ √ 2
1/ √ 2 0 1/ √ 2
1/ √ 2 1/ √ 2 0
0 1/ √ 2 −1/ √ 2
−1/ √ 2 0 1/ √ 2
1/ √ 2 −1/ √ 2 0
392
180 o
180 o
180 o
180 o
180 o
180 o
(14)
(24)
(34)
(23)
(31)
(12)

Volumetto 4: 24 aprile 1930
III - Classe 02 (3+)
rotazioni permutazioni
coseni direttori angolo
della rotazione di rotazione
1 0 0
0 1 0
0 0 1
180 o
180 o
180 o
(14) (23)
(24) (31)
(34) (12)
IV - Classe 101 (8+)
rotazioni permutazioni
coseni direttori angolo
della rotazione di rotazione
1/ √ 3 1/ √ 3 1/ √ 3
1/ √ 3 1/ √ 3 1/ √ 3
120 o
240 o
(123)
(321)
(234)
(314)
(124)
(324)
(134)
(214)
V - Classe 0001 (6−)
rotazioni permutazioni
coseni direttori angolo
della rotazione di rotazione
(1234)
(2314)
(3124)
(3214)
(1324)
(2134)
Per la dimostrata identità del nostro gruppo con quello delle permutazioni
di 4 oggetti, esso ammette 5 rappresentazioni irriducibili χs
(s = 1, 2, 3, 4, 5), i cui caratteri sono dati nel §4.7 (f = 4). Una rappresentazione
irriducibile Dj (j intero) del gruppo totale delle rotazioni
spaziali è altresì una rappresentazione, in generale riducibile, del nostro
393

Volumetto 4: 24 aprile 1930
gruppo. Riducendo questa si otterrà ns volte la rappresentazione χs, se ns
è il valor medio di χj·χ ∗ s preso negli elementi del nostro gruppo. I caratteri
Dj valgono sin(2j + 1)ω/ sin ω, se ω = α/2 è la metà dell’angolo di
rotazione. Per le 5 classi del nostro gruppo avremo quindi ordinatamente
come valori di χj
2 j + 1, (−1) j , (−1) j ;
1 − resto di j
j
, 1 + resto di
3 2
− resto di j
4 .
Abbiamo così tutti gli elementi per il calcolo delle frequenze ns delle singole
rappresentazioni irriducibili; considerando queste nell’ordine che risulta
dalla tabella del §4.7, per f = 4, si trova
resto di j
− 1
resto di
3
j
3
n1 = j 1
+ 1 −
12 2
2
− 1
resto di
4
j
(4.219)
4
n2 = j
1
− resto di
4 2
j
+
2
1
resto di
4
j
(4.220)
4
n3 = j
1
− resto di
6 2
j
+
2
1
resto di
3
j
(4.221)
3
n4 = j
4 +
resto di j
−
2
1
resto di
4
j
(4.222)
4
n5 = j
1
− resto di
12 3
j
+
3
1
resto di
4
j
. (4.223)
4
Badando che i gradi delle rappresentazioni irriducibili sono ordinatamente
1,3,2,3,1, si ha naturalmente
n1 + 3 n2 + 2 n3 + 3 n4 + n5 = 2 j + 1. (4.224)
Si constaterà che al limite per grandi valori di j la frequenza con cui si
presentano le varie irriducibili è proporzionale ai loro gradi, come nella
rappresentazione normale. Noti i valori ns per un certo valore di j si passa
immediatamente a quelli corrispondenti a j + 12q mediante la tabella:
394

Volumetto 4: 24 aprile 1930
j ′ = j + 12 q
n ′ 1 = n1 + 1·q
n ′ 2 = n2 + 3·q
n ′ 3 = n3 + 2·q
n ′ 4 = n4 + 3·q
n ′ 5 = n5 + 1·q
in cui i fattori di q sono precisamente i gradi delle rappresentazioni irriducibili.
Basterà quindi calcolare gli ns da j = 0 a j = 11. La seguente
tabella riassume i risultati:
j n1 n2 n3 n4 n5
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0
2 0 1 1 0 0
3 0 1 0 1 1
4 1 1 1 1 0
5 0 1 1 2 0
6 1 2 1 1 1
7 0 2 1 2 1
8 1 2 2 2 0
9 1 2 1 3 1
10 1 3 2 2 1
11 0 3 2 3 1
12 1+1 0+3 0+2 0+3 0+1
13 0+1 0+3 0+2 1+3 0+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
395

4.15 Formole
Volumetto 4: 24 aprile 1930
(1) Volume e superficie di una sfera a n dimensioni di raggio R:
Vn =
π n/2
(n/2)! Rn ,
Sn = n
R Vn = n πn/2
(n/2)! Rn−1 = 2π
R Vn−2.
Vn = R
2π Sn+2, Sn = 2π
R Vn−2
Vn = 2π
n
n Vn/R n
Vn = R
n
Sn, Sn =
n R Vn
1 2 2
2 π
3
4
5
6
4
3 π
1
2 π2
8
15 π2
1
6 π3
(4.225)
(4.226)
(4.227)
2π
Vn−2, Sn = Sn−2. (4.228)
n − 2
Vn/Vn−1 Sn/Rn−1 Sn/Sn−1
1
π 2π π
2
4
3
4π 2
3
8 π 2π2 1
2 π
16
15
8
3 π2
4
3
5
16 π π3 3
8 π
(2) Siano a e b numeri positivi o nulli interi o mezzi e c uno dei numeri:
c = a + b, a + b − 1, a + b − 2, . . . , |a − b|. (4.229)
396

Vale l’identità:
a+b−c
s=0
Volumetto 4: 24 aprile 1930
= (a + b + c + 1)! (c + a − b)! (c + b − a)!
(c + a − b + s)! (2b − s)!
s! (a + b − c − s)!
. (4.230)
(2c + 1)! (a + b − c)!
Il primo membro della (4.230) è, come il secondo, simmetrico in a e
b; per verificarlo basta porre in luogo di s: a + b − c − s.
Poniamo per semplicità f(a, b, c) in luogo del primo membro della
(4.230) e supponiamo l’identità dimostrata fino a un certo valore di
a; dimostriamo allora che vale anche per a + 1/2. Infatti:
f (a + 1/2, b, c + 1/2)
=
a+b−c
s=0
(c + a − b + s + 1)
= (c + a − b + s) f(a, b, c)
+
a+b−c−1
s=0
(c + a − b + s)! (2b − s)!
s! (a + b − c − s)!
(c + a − b + 1 + s)! (2b − 1 − s)!
s! (a + b − 1 − 1 − s)!
= (c + a − b + s) f(a, b, c) + f (a, b − 1/2, c + 1/2) . (4.231)
Sostituendo nei secondi membri, mediante (4.230) troviamo immediatamente
che l’identità è soddisfatta anche per f(a+1/2, b, c+1/2).
Quando la condizione α non è soddisfatta in uno dei termini del secondo
membro si può porre f(a, b, c) = 0, e la (4.231) è ancora valida.
Per completare la dimostrazione dell’identità (4.230) basterà quindi
provare che essa regge per a = 0 e, necessariamente, b = c. In questo
caso la sommatoria si riduce a un termine solo: (2c)!, e tale è anche
il valore del secondo membro.
397

Volumetto 4: 24 aprile 1930
4.16 Onde piane secondo la teoria di Dirac
Scegliendo le componenti in modo che sia soddisfatta l’equazione [prima e
seconda coppia di ψ invarianti relativisticamente]
W
+ ρ3 (σ·p) + ρ1 m c ψ = 0 (4.232)
c
si hanno, per dati valori di px, py, pz due onde positive
e due onde negative
In un punto dato possiamo porre:
ψ ′ = 1·ψ1 + 0·ψ2 − 1
mc
ψ ′′ =
W/c = p 2 + m 2 c 2
W/c = − p 2 + m 2 c 2 .
W
c
+ pz
1
mc (px − ipy) ψ1 − 1
W
mc c
ψ3 − 1
mc (px + ipy) ψ4
+ pz
ψ2 + 0·ψ3 + 1·ψ4,
(4.233)
avendosi per W > 0 le onde positive e per W < 0 le onde negative; le
quattro onde sono ortogonali e inoltre fra le due onde positive, oppure fra
le due onde negative, si annulla la corrente di transizione.
Scegliamo le componenti di ψ in modo che in luogo della (4.232) valga
l’equazione (originale di Dirac) 36 :
W
c + ρ1
(σ·p) + ρ3 m c ψ = 0 (4.234)
(ψ1 e ψ2 componenti piccole per piccole velocità; ψ3 e ψ4 componenti
grandi). In un punto e in un istante dato si può porre:
ψ ′ = −
ψ ′′ = −
pz
W/c + mc ψ1 −
px − ipy
W/c + mc ψ1 +
px + ipy
W/c + mc ψ2 + 1·ψ3 + 0·ψ4
pz
W/c + mc ψ2 + 0·ψ3 + 1·ψ4;
(4.235)
36∗ Per p = 0, la prima coppia di componenti di ψ rappresenta gli stati negativi,
la seconda coppia gli stati positivi.
398

Volumetto 4: 24 aprile 1930
per W/c = ± p 2 + m 2 c 2 onde positive e negative, rispettivamente.
Ponendo
e quindi
φ1 = (1 , 0 , 0 , 0), φ2 = (0 , 1 , 0 , 0)
φ3 = (0 , 0 , 1 , 0), φ4 = (0 , 0 , 0 , 1)
ψ = (ψ1, ψ2, ψ3, ψ4) = ψ1 φ1 + ψ2 φ2 + ψ3 φ3 + ψ4 φ4,
nella rappresentazione in cui vale l’equazione (4.232), e analogamente
˜ψ =
˜ψ1, ψ2, ˜ ψ3, ˜ ψ4 ˜ = ˜ ψ1 ˜ φ1 + ˜ ψ2 ˜ φ2 + ˜ ψ3 ˜ φ3 + ˜ ψ4 ˜ φ4,
nella rappresentazione in cui vale l’equazione (4.234), fra le autofunzioni φ
e ˜ φ passano, a meno di un arbitrario fattore di fase, le relazioni:
˜φ1 =
˜φ2 =
˜φ3 =
˜φ4 =
1
√ 2 (φ1 + φ3), φ1 =
1
√ 2 (φ2 + φ4), φ2 =
1
√ 2 (φ1 − φ3), φ3 =
1
√ 2 (φ2 − φ4), φ4 =
Seguono le relazioni ˜ ψ = ɛψ e ψ = ɛ −1 ˜ ψ = ɛ ˜ ψ, con
ɛ =
⎛
⎜
⎝
1/ √ 2 0 1/ √ 2 0
0 1/ √ 2 0 1/ √ 2
1/ √ 2 0 −1/ √ 2 0
0 1/ √ 2 0 −1/ √ 2
⎞
1
√ 2 ( ˜ φ1 + ˜ φ3)
1
√ 2 ( ˜ φ2 + ˜ φ4)
1
√ 2 ( ˜ φ1 − ˜ φ3)
1
√ 2 ( ˜ φ2 − ˜ φ4).
(4.236)
⎟
⎠ = ɛ−1 = 1
√ 2 (ρ1 + ρ3) .
(4.237)
Dati i valori di (px, py, pz) = p, indichiamo con y 1 p e y 2 p le onde piane
positive (4.233) e con y 3 p e y 4 p le onde piane negative che si ottengono
399

Volumetto 4: 24 aprile 1930
scambiando W in −W ; analogamente, indichiamo con z 1 p e z 2 p le onde
positive (4.235) e con z 3 p e z 4 p le onde negative. Intendiamo che tutte siano
normalizzate con densità 1 (ψ ∗ ψ = 1). In un certo istante fra le y e le z
passano le relazioni:
essendo
con
S = S −1 =
⎛
⎜
⎝
A + pz
mc
√ 2AB
px − ipy
mc
√ 2AB
z ∗ p =
Sik y i p, (4.238)
i
y ∗ p =
−
i
px + ipy
mc
√ 2AB
A + pz
mc
√ 2AB
0 0 −
0 0
S −1
ik z i p, (4.239)
0 0
0 0
A ′ − pz
mc
√ 2A ′ B ′
px − ipy
mc
√ 2A ′ B ′
A =
p2 + m2c2 + mc
,
mc
A ′ =
p2 + m2c2 − mc
mc
B =
p2 + m2c2 + pz
,
mc
B ′ =
p2 + m2c2 − pz
mc
px + ipy
mc
√ 2A ′ B ′
A ′ − pz
mc
√ 2A ′ B ′
⎞
⎟
⎠
(4.240)
(4.241)
(segue: A + A ′ = B + B ′ . Per p = 0 si ha: A = 2, A ′ = 0, B = 1, B ′ = 1.)
Chiameremo brevemente rappresentazione R1 quella in cui vale l’equazione
(4.232) e rappresentazione R2 quella in cui vale l’equazione (4.234).
Le matrici σx, σy, σz descrivono ovviamente gli stessi operatori Sx, Sy, Sz
sia nella rappresentazione R1 che nella rappresentazione R2 a causa della
400

proprietà:
Volumetto 4: 24 aprile 1930
σ ρ1 + ρ3
√
2
= ρ1 + ρ3
√
2
σ. (4.242)
Al contrario, uno stesso operatore γ, è rappresentato da ρ3 in R1 e da ρ1
in R2 e un secondo operatore γ1 è rappresentato d ρ1 in R1 e da ρ3 in R2.
L’equazione di Dirac può così scriversi in entrambe le rappresentazioni:
W
c + γ (ξ·p) + γ1
m c ψ = 0. (4.243)
Gli operatori ξ e γ trasformano fra loro le combinazioni delle quattro onde
piane corrispondenti a dai valori di p. Le matrici che li rappresentano sono
naturalmente diverse secondo che si considerino come vettori unitari ortogonali
le onde piane normalizzate (4.233), cioè le y i p, ovvero le onde piane
normalizzate (4.235), cioè le z i p, le matrici corrispondenti al secondo caso
ottenendosi da quelle corrispondenti al primo per trasformazione mediante
S [da non confondere con lo spin (4.240) S = (Sx, Sy, Sz)].
Nel primo caso (onde piane y i p) abbiamo:
(i) Sz =
⎛
⎝
s a z
b †
sz s b z
s c z
⎞
⎠, Sx =
⎛
⎝
s a x
b †
sx s b x
s c x
⎞
⎠, Sy =
in cui le sotto-matrici sono date da [(aij) † = (aji) ∗ ]
s a z
s b z
=
=
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜ −2
⎜
⎝
2
2 + B 2 − BB ′
B(B + B ′ )
px + ipy
2 mc
B(B + B ′ )
BB ′ − 1
(B + B ′ ) √ BB ′
px + ipy
mc
(B + B ′ ) √ BB ′
px − ipy
2 mc
B(B + B ′ )
2 + B 2 − BB ′
B(B + B ′ )
2
2
⎞
⎟
⎠
px − ipy
mc
(B + B ′ ) √ BB ′
BB ′ − 1
(B + B ′ ) √ BB ′
401
⎞
⎟
⎠
⎛
⎝
s a y
b †
sy s b y
s c y
⎞
⎠
(4.244)

s c z
s a x
s b x
s c x
s a y
=
=
=
⎛
⎜
⎝
⎛
2 + B ′2 − BB ′
B ′ (B + B ′ )
2
px + ipy
mc
B ′ (B + B ′ )
px
mc
Volumetto 4: 24 aprile 1930
⎜
⎝
2
B + B ′ − 2
B + B ′
− 2
B + B ′ −2
px
mc
B + B ′
⎛
⎜
⎝
⎛
2 pzpx
m2c2 (B + B ′ ) √ +
BB ′
−
2 pz
mc
2
(B + B ′ ) √ BB ′
px
mc
=
⎜
⎝
−2
B + B ′
2
B + B ′
⎛
=
py
mc
⎜
2
⎜
B + B
⎜
⎝
′
2
−i
B + B ′
2
B + B ′
2
B + B ′
px − ipy
mc
B ′ (B + B ′ )
2 + B ′2 − BB ′
B ′ (B + B ′ )
px
mc
2
i
B + B ′
⎞
⎟
⎠
i py
mc
√ BB ′
py
mc
−2
B + B ′
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
402
⎞
⎟
⎠
−
2 pz
mc
(B + B ′ ) √ BB ′
2 pzpx
m2c2 (B + B ′ ) √ +
BB ′
i py
mc
√ BB ′
⎞
⎟
⎠

⎛
Volumetto 4: 24 aprile 1930
2 pzpy
m2c2 (B + B ′ ) √ −
BB ′
i px
mc
√ BB ′
2 pz
mc
s b y =
⎜
⎝
i
(B + B ′ ) √ BB ′
2
−i
pz
mc
(B + B ′ ) √ BB ′
2
−
pzpy
m2c2 (B + B ′ ) √ i
−
BB ′ px
√mc BB ′
⎟
⎠
s c y =
⎛
⎜
⎝
py
−2 mc
B + B ′ −i
2
B + B ′
2
i
B + B ′
py
2 mc
B + B ′
⎞
⎟
⎠
(ii) γ =
⎛
⎝
γ a
γ b
b †
γ γ c
⎞
⎠ , γ1 =
⎛
⎝
γ a 1 γ b 1
⎞
⎠ (4.245)
con
γ a =
γ b =
γ c =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
2
⎛
⎜
⎝
2
B(B + B ′ )
px + ipy
2 mc
B(B + B ′ )
2
(B + B ′ ) √ BB ′
px + ipy
mc
(B + B ′ ) √ BB ′
2
B ′ (B + B ′ )
px + ipy
2 mc
B(B + B ′ )
b †
γ1 γ c 1
px − ipy
− 1 2 mc
B(B + B ′ )
1 −
2
−
− 1 2
403
1 −
2
B(B + B ′ )
px − ipy
mc
(B + B ′ ) √ BB ′
2
(B + B ′ ) √ BB ′
px − ipy
mc
B ′ (B + B ′ )
2
B ′ (B + B ′ )
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞

γ a 1
γ b 1
γ c 1
=
=
=
(iii) γ Sz =
con
γ a z
γ b z
=
=
⎛
⎜
⎝
⎛
Volumetto 4: 24 aprile 1930
⎜ −
⎜
⎝
⎛
⎝
⎛
⎜
⎝
γ a z
− 2
B + B ′
0
0 − 2
B + B ′
2 pz
mc
(B + B ′ ) √ BB ′
2
B + B ′
b †
γz 0
px + ipy
mc
√ BB ′
γ b z
γ c z
γ Sy =
0
2
B + B ′
⎞
−
⎞
⎟
⎠
⎠ , γ Sx =
⎛
⎝
γ a y
b †
γy ⎛
⎜
⎝
2
−
pz
mc
B + B ′
0
0
2
−
pz
mc
B + B ′
⎞
⎟
⎠
⎛
⎞
⎜
⎝
2 √ BB ′
B + B ′
0
0
2 √ BB ′
B + B ′
⎟
⎠
404
γ b y
γ c y
⎞
⎞
⎟
⎠
−
px − ipy
mc
√ BB ′
2 pz
mc
(B + B ′ ) √ BB ′
⎛
⎝
⎠ ,
γ a x
b †
γx γ b x
γ c x
⎞
⎠ ,
⎞
⎟
⎠
(4.246)

γ c z
γ a x
γ b x
γ c x
γ a y
γ b y
=
=
=
=
=
=
Volumetto 4: 24 aprile 1930
⎛
⎜
⎝
2 pz
mc
B + B ′
0
0
2 pz
mc
B + B ′
⎛
⎜
⎝
2
−
⎞
⎟
⎠
px
mc
B + B ′
0
0
2
−
px
mc
B + B ′
⎛
⎞
⎟
⎠
2 pzpx
m 2 c 2
⎜
−
⎜ (B + B
⎜
⎝
′ ) √ −
BB ′
− 1
√
BB ′
i py
mc
√ BB ′
⎛
⎜
⎝
2 px
mc
B + B ′
0
0
2 px
mc
B + B ′
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
2
−
py
mc
B + B ′
0
0
2
−
py
mc
B + B ′
⎛
⎞
⎟
⎠
2 pzpy
m 2 c 2
⎜
−
⎜ (B + B
⎜
⎝
′ ) √ +
BB ′
− i
√
BB ′
i px
mc
√ BB ′
405
2 pzpx
m 2 c 2
1
√ BB ′
−
(B + B ′ ) √ +
BB ′
− i
√ BB ′
2 pzpy
m 2 c 2
−
(B + B ′ ) √ −
BB ′
i py
mc
√ BB ′
i px
mc
√ BB ′
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠

γ c y
=
⎛
⎜
⎝
2 py
mc
B + B ′
0
Volumetto 4: 24 aprile 1930
0
2 py
mc
B + B ′
⎞
⎟ .
⎟
⎠
Se assumiamo come vettori unitari le onde piane (4.234) normalizzate
all’unità di densità (ψ ∗ ψ = 1), le matrici che rappresentano gli operatori
Sz, Sx, Sy, γ, γ1, γSz, γSx, γSy si ottengono dalle precedenti per trasformazione
mediante S [(v. (4.240)]. È più comodo calcolarle direttamente;
esse hanno la forma seguente:
β = v
c =
βx = vx
c =
βy = vy
c =
βz = vz
c =
p
p 2 + m 2 c 2
px
p 2 + m 2 c 2
py
p 2 + m 2 c 2
pz
p 2 + m 2 c 2
[velocità dell’elettrone positivo: (vx, vy, vz); velocità dell’elettrone negativo:
(−vx, −vy, −vz); velocità assoluta nei due casi v]
Sz =
con
⎛
⎝
s a z
s a z
b †
sz =
s b z
s c z
⎛
⎞
⎠ , Sx =
⎛
⎝
β 2 x + β 2 y
s a x
b †
sx ⎜ 1 −
⎜ 1 +
⎜
⎝
1 − β2 βz(βx + iβy)
1 + 1 − β 2
406
s b x
s c x
⎞
−1 +
⎠ , Sy =
βz(βx − iβy)
1 + 1 − β 2
β 2 x + β 2 y
⎛
⎝
1 + 1 − β 2
s a y
b †
sy ⎞
⎟
⎠
s b y
s c y
⎞
⎠
(4.247)

s a x
s b x
s c x
s b z
s c z
=
=
=
=
=
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
Volumetto 4: 24 aprile 1930
β 2 x + β 2 y
β
βz(βx + iβy)
−
β
β 2 x + β 2 y
⎜ 1 −
⎜ 1 −
⎜
⎝
1 − β2 βz(βx + iβy)
1 − 1 − β 2
βzβx
1 + 1 − β 2
1 − β2 − βx(βx + iβy)
1 + 1 − β 2
− βzβx
β
β 2 − βx(βx + iβy)
β
βzβx
1 − 1 − β 2
1 − β2 − βx(βx + iβy)
1 − 1 − β 2
− βz(βx − iβy)
β
− β2 x + β 2 y
β
−1 +
⎞
⎟
⎠
βz(βx − iβy)
1 − 1 − β 2
β 2 x + β 2 y
1 − 1 − β 2
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
1 − β2 − βx(βx − iβy)
1 + 1 − β 2
βzβx
1 + 1 − β 2
β 2 − βx(βx − iβy)
β
βzβx
β
e così via.
Scriviamo l’equazione di Dirac senza campo:
W
c
⎞
⎟
⎠
1 − β2 − βx(βx − iβy)
1 − 1 − β 2
βzβx
−
1 − 1 − β2 ⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
+ (α·p) + β m c ψ = 0. (4.248)
Le funzioni di spin di un’onda piana con momenti px, py, pz si ottengono da
quelle pertinenti alle onde con momento nullo mediante una trasformazione
407

Volumetto 4: 24 aprile 1930
relativistica (rotazione nel piano tp).
trasformazione degli spinori:
Si trova in base alle note leggi di
up =
⎡
⎢ 1 +
⎣
1 + (p/mc) 2
2
∓
α·p/mc
2 1 + 1 + (p/mc) 2
⎤
⎥
⎦ u0, (4.249)
il segno superiore valendo per le onde positive, quello inferiore per le onde
negative. Le funzioni di spin così ottenute sono normalizzate nel senso
invariante:
u † pup
2
−
u † 2
pαxup − u † 2
pαyup − u † 2 pαzup
= 1. (4.250)
Le funzioni di spin normalizzate nel modo ordinario (u ′†
p u ′ p = 1) saranno
invece date da:
u ′ p
=
=
up
4
1 + (p/mc) 2
1 + 1 + (p/mc) 2
2 1 + (p/mc) 2
∓
4.17 Operatori impropri
−1 + 1 + (p/mc) 2
2 1 + (p/mc) 2
(4.251)
α·p
u0.
p
(4.252)
Sia u(x, y, z) una funzione arbitraria di x, y, z che potremo sviluppare in
componenti armoniche:
u(γ1, γ2, γ3) = α(x, y, z) e 2πi (γ1x + γ2y + γ3z) dγ1 dγ2 dγ3, (4.253)
essendo
α(γ1, γ2, γ3) =
u(x, y, z) e −2πi (γ1x + γ2y + γ3z) dx dy dz. (4.254)
408

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Chiameremo F r l’operatore che trasforma u in una funzione v:
v(x, y, z) = F r u(x, y, z) (4.255)
definita dallo sviluppo in integrale di Fourier:
v(γ1, γ2, γ3) =
λ r α(x, y, z) e 2πi (γ1x + γ2y + γ3z)
dγ1 dγ2 dγ3,
essendo:
λ = 1
γ =
1
γ 2 1 + γ 2 2 + γ 2 3
(4.256)
(4.257)
la lunghezza d’onda di ogni componente armonica (γ1, γ2, γ3). Valgono
evidentemente le proprietà
F r F s = F s F r = F r+s , F 0 = 1. (4.258)
Salvo eventuali difficoltà di convergenza potremo porre
v(x, y, z) =
Kr(x, y, z; x ′ , y ′ , z ′ ) u(x ′ , y ′ , z ′ ) dx ′ dy ′ dz ′ . (4.259)
Sostituendo nell’espressione (4.256) di v(x, y, z) il coefficiente a(γ1, γ2, γ3)
mediante la sua espressione (4.254) troviamo:
v(x, y, z) = λ r e 2πi γ1(x − x ′ ) + γ2(y − y ′ ) + γ3(z − z ′ )
da cui
Kr(x, y, z, x ′ , y ′ , z ′ ) =
essendo
× u(x ′ , y ′ , z ′ ) dγ1 dγ2 dγ3 dx ′ dy ′ dz ′ , (4.260)
λ r e 2πi (γ1ξ + γ2η + γ3ζ) dγ1 dγ2 dγ3, (4.261)
ξ = x − x ′ , η = y − y ′ , ζ = z − z ′ . (4.262)
Eseguendo l’integrale (4.261) dapprima su una sfera di raggio D = 1/λ =
γ 2 1 + γ 2 2 + γ 2 3 e ponendo
R = ξ 2 + η 2 + ζ 2 = (x − x ′ ) 2 + (y − y ′ ) 2 + (z − z ′ ) 2 , (4.263)
409

troviamo
Volumetto 4: 24 aprile 1930
Kr(x, y, z, x ′ , y ′ , z ′ ) = Kr(R)
∞
=
0
2 sin 2πsR
R s r−1
ds = (2πR)r−1
πR 2
∞
0
sin t
dt. (4.264)
tr−1 Questa formola è utilizzabile per 1 ≤ r < 3; l’espressione valida per r = 1
si otterrà passando al limite da r = 1 + ɛ per ɛ → 0 o, ciò che è lo stesso,
assumendo il valor medio dell’integrale a secondo membro quando il limite
superiore si lascia indeterminato. Troviamo così:
cioè
F 1 u(x, y, z) =
F 2 u(x, y, z) =
K1 = 1/πR 2
(4.265)
K2 = π/R (4.266)
(1/πR 2 ) u(x ′ , y ′ , z ′ ) dx ′ dy ′ dz ′
(4.267)
(π/R) u(x ′ , y ′ , z ′ ) dx ′ dy ′ dz ′ . (4.268)
Applicando l’operatore Laplaciano ai due membri della (4.268), troviamo
∆ F 2 = − 4π 2
(4.269)
da cui, essendo F 2 invertibile,
∆ = − 4π 2 F −2 ; (4.270)
relazione che segue immediatamente dalla (4.256). Possiamo definire l’operatore
√ ∆ ponendo: √ ∆ = 2πi F −1 , (4.271)
che in virtù della (4.270) e della (4.260) potremo scrivere:
Segue allora dalla (4.267)
√
∆ u(x, y, z) =
√ ∆ = 2πi F 1 F −2 = 1
2πi F 1 ∆ . (4.272)
1
2π 2 R 2 i ∆ u(x′ , y ′ , z ′ ) dx ′ dy ′ dz ′ . (4.273)
410

Inoltre da (4.271) ricaviamo:
da cui:
1
√ ∆ u(x, y, z) =
Volumetto 4: 24 aprile 1930
1
√ =
∆ 1
2πi F 1 , (4.274)
1
2π 2 R 2 i u(x′ , y ′ , z ′ ) dx ′ dy ′ dz ′ . (4.275)
4.18 Rappresentazione integrale delle
autofunzioni dell’idrogeno
Unità elettroniche (e = m = = 1); χ(r) parte radiale delle autofunzioni
moltiplicata per r; ℓ quanti azimutali, unità di energia 2Rh. Segue:
χ ′′
+ 2E + 2 ℓ(ℓ + 1)
−
r r2
χ = 0. (4.276)
Poniamo
Segue per u l’equazione differenziale:
u ′′ + 2
ℓ + 1
r
χ = r l+1 u. (4.277)
u ′ +
2E + 2
r
u = 0 (4.278)
che è del tipo di Laplace (vedi §4.11) con i seguenti valori delle costanti:
δ0 = 0, δ1 = 2 (ℓ + 1), ɛ0 = 2E, ɛ1 = 2. (4.279)
Le costanti definite nella (4.189) e di cui si ha bisogno per la rappresentazione
integrale di u sono, nel nostro caso (supponiamo E > 0):
c1 = i √ 2E, c2 = −i √ 2E, (4.280)
α1 = ℓ + 1 − i/ √ 2E, α2 = ℓ + 1 + i/ √ 2E. (4.281)
411

Volumetto 4: 24 aprile 1930
i 2 E - i 2 E I
- i 2 E -
- i 2 E II
Sostituendo nelle ultime formole (4.189), avremo, a meno di un fattore
costante:
t r
u ∼ e t − i √ ℓ − i/
2E
√ 2E
t + i √ ℓ + i/
2E
√ 2E
dt, (4.282)
C
C
purché sia soddisfatta la condizione:
d
t r
e t − i
dt
√ ℓ + 1 − i/
2E
√ 2E
t + i √ ℓ + 1 + i/
2E
√ 2E
dt
= 0. (4.283)
Per r reale e positivo la condizione (4.283) è soddisfatta se gli estremi
del campo di integrazione giacciono all’infinito nella direzione negativa
dell’asse reale.
Fissato il campo C di integrazione, dobbiamo ancora dare una definizione
univoca di log(t − i √ 2E) e log(t + i √ 2E) per determinare la funzione integranda.
Stabiliamo che sia la parte immaginaria del logaritmo, così di (t − i √ 2E)
come di (t + i √ 2e), minore o uguale di π. Avremo allora come linee di discontinuità
due semirette passanti dai punti ±i √ 2E e parallele al semiasse
reale negativo. Indichiamo con u1 l’integrale (4.282) esteso al cammino I
(vedi figura); analogamente definiamo u2 e χ1 in relazione al campo II.
Introduciamo una variabile di integrazione più conveniente ponendo t =
i √ 2Et1. Scrivendo nuovamente t in luogo di t1 avremo:
u = k e i√2Etr (t − 1)
l − i/ √ 2E
(t + 1)
l + i/ √ 2E
dt. (4.284)
I cammini di integrazione I e II risultano dalla figura. Il logaritmo di
t − 1 e t + 1 si intende reale rispettivamente per t − 1 > 0 e t + 1 > 0, linee
412

Volumetto 4: 24 aprile 1930
-1 + i
-1
II
1 + i
di discontinuità essendo rispettivamente le semirette 1 + ai e 1 − ai, con
a > 0.
4.19 Deviazione di un raggio α
dovuta a un nucleo pesante
(meccanica classica)
(Si veda il §4.9.)
Sostituendo nella (4.135) mediante la (4.140), troviamo
1
ρ
k
= −
v2 k
−
δ2 v2δ +1
I
1
cos θ + sin θ. (4.285)
2 δ
L’inviluppo delle iperboli (4.285) soddisfa alla (4.285) e all’equazione che si
ottiene differenziando rispetto a δ; introducendo la distanza l di massimo
avvicinamento [formola (4.146)], e badando che ivi W = Mv 2 /2, e data
l’espressione (4.126) di k avremo:
k l
=
v2 2 ,
413

e la (4.285) diventa:
1
ρ
Volumetto 4: 24 aprile 1930
l l
= − −
2δ2 2δ
Differenziando rispetto a δ e uguagliando a 0 troviamo:
da cui
l
δ
+ l
δ
δ
l
1
cos θ + sin θ. (4.286)
2 δ
cos θ − sin θ = 0, (4.287)
1 + cos θ
= . (4.288)
sin θ
4.20 Diffusione dovuta a un centro
a/r − b/r 2
Una particella di massa 1 e velocità k attraversa un campo di potenziale
1
r
1 − r0
r
, (4.289)
repulsivo per r > 2r0, attrattivo per r < 2r0. Si domanda la sezione d’urto
per la diffusione sotto un angolo θ. Nella meccanica classica le equazioni
del movimento in coordinate polari saranno:
Avremo
da cui
r 2 ˙ θ = c (4.290)
¨r − r ˙ θ 2 = 1 2r0 1
− =
r2 r3 r2 d 2
dθ 2
1
r
1 − 2r0
. (4.291)
r
¨r = − c2
r2 d 2
dθ2 1
, (4.292)
r
r ˙ θ 2 = c 2 /r 3 , (4.293)
+ 1
r
+ 1
c 2
414
1 − 2r0
r
= 0, (4.294)

cioè
Segue:
1
r
d 2
dθ 2
Volumetto 4: 24 aprile 1930
1
r +
1 − 2r0
c2
1
r
1
+ = 0. (4.295)
c2 = − 1
c 2 γ 2 + A cos γθ + B sin γθ |c| > √ 2r0, (4.296)
con
γ = 1 − 2r0
, (4.297)
c2 purché sia c < √ 2r0. Altrimenti, se c < √ 2r0:
essendo
1
r
Infine, se c = √ 2r0:
= 1
c 2 ɛ 2 + C eɛθ + D e −ɛθ , con |c| < √ 2r0 (4.298)
1
r
ɛ =
2r0
− 1. (4.299)
c2 1
= − θ
4r0
2 + f θ + G. (4.300)
Poniamo: z = r cos θ , ξ = r sin θ e supponiamo che le particelle
provengano dall’infinito negativo dell’asse z a una distanza δ dall’asse stesso
e con velocità k; supponiamo quindi che la retta ξ = δ sia un asintoto della
traiettoria (supporremo, ovvero δ positivo). Sarà evidentemente c = −kδ.
Dovrà essere inoltre per θ = π:
˙r = ∞ ; ˙r = dr
dθ ˙ θ = − r 2 θ˙ d 1
dθ r
d 1
= − c
dθ r
= − k, (4.301)
cioè,
d 1 1
= − ,
dθ r δ
Segue di qua, secondo il valore di δ:
√
2r0
(1) δ >
k
θ = π. (4.302)
:
1
r =
γ =
−1
k2δ2 +
− 2r0
cos γ(π − θ)
1 − 2r0
k2δ2 k 2 δ 2 − 2r0
415
+ sin γ(π − θ)
δ γ
(4.303)
(4.304)

(2) δ =
(3) δ <
√ 2r0
k :
√ 2r0
k :
1
r =
ɛ =
Volumetto 4: 24 aprile 1930
1
r
= − 1
4r0
(π − θ) 2 + 1
δ
(π − θ) (4.305)
−1
2r0 − k2 cosh ɛ(π − θ)
−
δ2 2r0 − k2δ2 sinh ɛ(π − θ)
+ (4.306)
δ ɛ
2r0
k2 − 1. (4.307)
δ2 La particella verrà diffusa nella direzione θ del secondo asintoto:
(1) θ = π − 2
γ arctan γk2δ = 2 1
arctan
γ γk2
1
− π − 1 .
δ γ
(2) θ = π − 2k 2 δ = π − 4r0
δ .
4.21 Il sistema di funzioni ortogonali
definito da y ′′
a = (x − a)ya
Ponendo: ξ = x − a; y ′′ (ξ) = ξy, le soluzioni secolari di
potranno mettersi nella forma:
cioè:
y ′′
a = (x − a) ya (4.308)
ya(x) = y(x − a) = y(ξ) (4.309)
ya(ξ + a) = y(ξ), (4.310)
cosicché la determinazione di tutte le soluzioni regolari di (4.308), corrispondenti
a tutti gli autovalori di a, si riduce alla determinazione dell’unica
soluzione regolare di
y ′′ (ξ) = ξ y(ξ). (4.311)
416

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Se vogliamo che le ya siano normalizzate rispetto a da dovrà essere:
∞
−∞
cioè, per le (4.309):
+∞
−∞
y ∗ a(x) dx
y ∗ (ξ) dξ
a+∆
a−∆
∆
−∆
ya(x) da = 1, (4.312)
y(ξ + ɛ) dɛ = 1. (4.313)
Poiché y tende a 0 esponenzialmente per ξ → ∞, il grosso dell’integrale
per ∆ → 0 proverrà dai grandi valori negativi di ξ. L’espressione asintotica
per ξ → ∞ di y sarà della forma:
ξ → −∞ : y ∼ A
2
4√ sin
−ξ 3 (−ξ)3/2
+ α . (4.314)
Per (ɛ piccolo) e ξ → −∞ avremo:
(− ξ − ɛ) 3/2 ∼ (− ξ ) 3/2 − 3
2 ɛ (− ɛ)1/2 + . . . , (4.315)
e quindi:
ξ → −∞ : y(−ξ + ɛ) ∼ A
2
4√ sin
−ξ 3 (−ξ)3/2 − ɛ (− ξ) 1/2
+ α
e così:
∆
−∆
Poniamo:
(4.316)
y(ξ + ɛ) dɛ ∼ (− ξ) −3/4
2
cos
3 (−ξ)3/2 − ∆ (− ξ) 1/2
+ α
2
3 (−ξ)3/2 + ∆ (− ξ) 1/2
+ α . (4.317)
− cos
− ξ = ζ 2 , dξ = − 2 ζ dζ. (4.318)
Avremo, per ξ → −∞:
y ∼ A
2
√ sin
ζ 3 ζ3 ∆
y(ξ + ɛ) dɛ
−∆
∼
+ α ,
1
ζ
(4.319)
3/2
2
cos
3 ζ3
− ∆ ζ + α
2
− cos
3 ζ3
+ ∆ ζ + α . (4.320)
417

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Da questo segue facilmente, per ∆ → 0:
∞
−∞
y ∗ (ξ) dξ
∆
−∆
y(ξ + ɛ) dɛ = π A ∗ A. (4.321)
Per avere la soluzione normalizzata secondo la (4.312) possiamo quindi
assumere:
A = 1/ √ π. (4.322)
Applicando la trasformazione di Laplace a (4.311) otteniamo facilmente
per ξ la rappresentazione integrale:
y = i
2π
∞ e iφ2
∞ e iφ1
e −t3 /3 e tξ dt, (4.323)
π
2
< φ1
5
<
6 π,
7
π < φ2
6
3
< π.
2
(4.324)
Specializzando il cammino di integrazione in (4.323), si possono avere rappresentazioni
adatte per il calcolo di y e y ′ nel punto zero (I); o dello
sviluppo asintotico per ξ → ∞ (II); o dello sviluppo asintotico per ξ → −∞
(III) 37 :
∞
(I) y = 1
e
π 0
−p3 /3 − pξ/2
√
3
×
2 cos
√
3 1
pξ −
2 2 sin
√
3
2 pξ
dp.
√
ξ
(II) y =
2π e−2ξ3/2 /3 ∞
e
−∞
−p2ξ 3/2
1
cos
3 p3 ξ 3/2
dξ.
√ ∞
−2ξ
(III) y =
e
π −1
− 2p 2 + 2p 3 /3 (−ξ) 3/2
2 2
× sin +
3 3 p3
(− ξ) 3/2 + π
dp.
4
37Nel manoscritto originale questo paragrafo è incompleto. Esso si conclude con
la seguente frase: “Per ξ prossimo a zero, sviluppiamo in I la funzione integranda
secondo le potenze ascendenti di ξ; avremo: e − 1 3 p3
√
3
. . . . . . ”
2
418

Volumetto 4: 24 aprile 1930
4.22 Sviluppi in integrali di Fourier
(1)
(2)
(3)
(4)
con dγ = dγ1dγ2dγ3.
e ikr
r
e −ikr
r
=
=
1
r =
π
π
γ 2 −
γ 2 −
1
πγ 2 e2πi γ·r dγ (4.325)
2
−1
k + ɛi
e
2π
2πi γ·r dγ (4.326)
2
−1
k − ɛi
e
2π
2πi γ·r dγ (4.327)
(con ɛ > 0, ɛ → 0).
Segue:
sin kr
8π k ɛ
=
r (4π2γ 2 − k2 + ɛ2 ) 2 + 4k2ɛ2 e2πi γ·r dγ (4.328)
(con ɛ > 0, ɛ → 0), cioè:
sin kr
r
=
=
1
=
r2 1
2γ δ
|γ| − k
k
4πγ δ
e
2π
2πi γ·r dγ
|γ| − k
e
2π
2πi γ·r dγ. (4.329)
π
γ e2πi γ·r dγ (4.330)
(si deduce da (4.325) invertendo l’integrale di Fourier).
0, per r < R,
F =
(4.331)
1/r, per r > R,
cos 2πγR
< F > =
πγ2 e 2πi γ·r dγ. (4.332)
419

(5)
(6)
(7)
(8) Sia
< F > =
F = e −αr2
Volumetto 4: 24 aprile 1930
F =
1, per r < R,
0, per r > R,
(4.333)
(1/2π 2 γ 3 )(sin 2πγR − 2πγR cos 2πγR) e 2πi γ·r dγ.
=
e −kr =
f(q) =
f ′ (q) =
(4.334)
π
3/2 e
α
−π2γ 2 /α
e
2πi γ·r
dγ. (4.335)
8πk
(k 2 + 4π 2 γ 2 ) e2πi γ·r dγ. (4.336)
φ(γ) e 2πi γ·q dγ, (4.337)
U(|γ|) φ(γ) e 2πi γ·q dγ, (4.338)
con q = (q1, q2.q3), γ = (γ1, γ2.γ3), Q = q2 1 + q2 2 + q2 3, Γ =
2 γ1 + γ2 2 + γ2 3, allora è:
f ′ (q) =
U(Γ) φ(γ) e 2πi γ·r dγ
=
U(Γ) e 2πi γ·q f(q ′ −2πi γ·q′
) e dγ dq ′
=
f(q ′ ) dq ′
U(Γ) e −2πi γ·(q′ −q)
dγ. (4.339)
e se
risulta:
U(Γ) =
Y (q) =
f ′ (q) =
Y (q) e 2πi q·γ dq, (4.340)
U(Γ) e −2πi γ·q dγ, (4.341)
Y (q ′ − q) f(q ′ ) dq ′ . (4.342)
420

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Ponendo Y (q ′ − q) = y(|q ′ − q|) (come è lecito), si ha infine:
f ′ (q) =
4.23 Integrali circolari
I seguenti integrali si estendono da 0 a 2π
2π
0
2π
0
2π
0
2π
0
con a > |b| > 0.
Esempi:
2π
×
0
2π
0
dφ
a + b cos φ =
dφ
a 2 − b 2 cos 2 φ =
dφ
a 2 cos 2 φ + b 2 sin 2 φ
dφ
=
(a + b cos φ) n
n−1
r=0
n − 1
r
dφ
a + b cos φ =
dφ
=
(a + b cos φ) 2
y(|q − q ′ |) f(q ′ ) dq ′ . (4.343)
2π
√ , [a > |b| > 0] (4.344)
a2 − b2 2π
a √ a2 , [a > b > 0] (4.345)
− b2 2π
= , [a , b > 0] (4.346)
ab
2π
(a2 − b2 ) n/2
√
−n −a + a2 − b2 r 2 √ a2 − b2 2π
√ a 2 − b 2 ,
=
2π
a 2 − b 2
1 + a − √ a2 − b2
√
a2 − b2 r
, (4.347)
2πa
(a2 − b2 . (4.348)
) 3/2
421

Volumetto 4: 24 aprile 1930
4.24 Frequenze d’oscillazione
dell’ammoniaca
I tre atomi H occupano i vertici di un triangolo equilatero; l’atomo N
è sull’asse fuori del piano. Gli spostamenti linearmente indipendenti che
danno origine a forze elastiche di richiamo sono sei e si ottengono dai dodici
spostamenti dei quattro atomi con la condizione che la risultante dei vettori
applicati in δPi nei punti di riposo P ′ i sia nulla.
Definiamo lo spostamento q1 = 1, q2 = q3 = . . . = q6 = 0 come quello
in cui l’atomo H 1 si sposta nella direzione NH 1 di MN /(MN + MH) e
l’atomo N nella direzione opposta di una lunghezza MH/(MN + MH).
Analogamente, definiamo gli spostamenti qi = δi2 e qi = δi3. Definiamo
poi come spostamento qi = δi4 quello in cui l’atomo H 3 si sposta di 1/2
nella direzione H 2 H 3 e l’atomo H 2 di 1/2 nella direzione opposta; per
permutazione circolare definiamo infine gli spostamenti qi = δi5 e qi = δi6.
Indichiamo con α l’angolo (nella posizione di equilibrio) NH 1H 2 e con
β l’angolo H1NH 2 . Se D è la distanza di equilibrio NH e d la distanza
H 1 H 2 , sarà:
cos α = d
d2
, cos β = 1 −
2D 2D2 M 2 N MH
(MN + MH) 2
sin 1
d
β = . (4.349)
2 2D
L’energia cinetica è espressa da:
T = 1
2
2
MHMN (MN + MH) 2
2
˙q 1 + ˙q 2 2 + ˙q 2 3 + 2 ˙q1 ˙q2 cos β + 2 ˙q2 ˙q3 cos β
+ 2 ˙q3 ˙q1 cos β) +
2
˙q 1 + ˙q 2 2 + ˙q 2 3
+ MN MH
MN + MH
+ 1
2 MH
cos α
( ˙q1 ˙q5 + ˙q1 ˙q6 + ˙q2 ˙q6 + ˙q2 ˙q4 + ˙q3 ˙q4 + ˙q3 ˙q5)
2
˙q4 + ˙q5 + ˙q6 + 1
2 ˙q4 ˙q5 + 1
2 ˙q5 ˙q6 + 1
2 ˙q6
˙q4 . (4.350)
Assumiamo per semplicità MH = 1 e MN = 14; allora ponendo:
T = 1
bik ˙q1 ˙qk, (bik = bki), (4.351)
2
i,k
422

avremo:
Volumetto 4: 24 aprile 1930
b11 = b22 = b33 = 14/15 (4.352)
b44 = b55 = b66 = 1/2 (4.353)
b12 = b23 = b31 = b21 = b32 = b23 = 14/225 cos β (4.354)
b45 = b56 = b64 = b54 = b65 = b46 = 1/8 (4.355)
b14 = b25 = b36 = b41 = b52 = b63 = 0 (4.356)
b15 = b26 = b34 = b16 = b24 = b35 = b51
= b62 = b43 = b61 = b42 = b53 = 7/15 cos α. (4.357)
La coincidenza di molti elementi della matrice hik è dovuta ad ovvie ragioni
di simmetria; basta quindi conoscere sei elementi tipici:
b11 = B1 = 14/15, b44 = B2 = 1/2, b12 = B3 = 14/225 cos β
b45 = B4 = 1/8, b14 = B5 = 0, b15 = B6 = 7/15 cos α.
Analogamente, la matrice che definisce l’energia potenziale
V = 1
aik q1qk
2
dipenderà da sei elementi tipici:
a11 = A1, a44 = A2, a12 = A3
ik
(4.358)
a45 = A4, a14 = A5, a15 = A6. (4.359)
Eseguiamo la trasformazione:
q1
q2
=
=
1 2
Q1 + Q3
3 3
1
3
(4.360)
Q1
1
−
6 Q3
1
+
2 Q′ q3 =
3
1
3
(4.361)
Q1
1
−
6 Q3
1
−
2 Q′ q4
q5
=
=
3
1 2
Q2 + Q4
3 3
1
3
(4.362)
(4.363)
Q2
1
−
6 Q4
1
+
2 Q′ q6 =
4
1 1 1
Q2 − Q4 −
3 6 2
(4.364)
Q′ 4. (4.365)
423

Avremo allora:
Volumetto 4: 24 aprile 1930
q 2 1 + q 2 2 + q 2 3 = Q 2 1 + Q 2 3 + Q ′2
3
q 2 4 + q 2 5 + q 2 6 = Q 2 2 + Q 2 4 + Q ′2
4
q1q2 + q2q3 + q3q1 = Q 2 1 − 1
2 Q23 − 1
2 Q′2 3
q4q5 + q5q6 + q6q4 = Q 2 2 − 1
2 Q24 − 1
2 Q′2 4
(4.366)
(4.367)
(4.368)
(4.369)
q1q4 + q2q5 + q3q6 = Q1Q2 + Q3Q4 + Q ′ 3Q ′ 4 (4.370)
q1q5 + q2q6 + q3q4 + q1q6 + q2q4 + q3q5
= 2Q1Q2 − Q3Q4 − Q ′ 3Q ′ 4. (4.371)
L’espressione dell’energia cinetica nelle nuove coordinate sarà data quindi
da:
2T = B1 ˙Q 2
1 + ˙ Q 2 3 + ˙ Q ′2
3 + B2 ˙Q 2
1 + ˙ Q 2 4 + ˙ Q ′2
4
+ 2B3 ˙Q 2 1 − 1
2 ˙ Q 2 3 − 1
2 ˙ Q ′2
3 + 2B4 ˙Q 2 2 − 1
2 ˙ Q 2 4 − 1
2 ˙ Q ′2
4
+ 2B5 ˙Q1 ˙ Q2 + ˙ Q3 ˙ Q4 + ˙ Q ′ 3 ˙ Q ′
4
+ 2B6 2 ˙ Q1 ˙ Q2 − ˙ Q3 ˙ Q4 − ˙ Q ′ 3 ˙ Q ′
4
Analogamente:
= (B1 + 2B3) ˙ Q 2 1 + 2 (B5 + 2B6) ˙ Q1 ˙ Q2 + (B2 + 2B4) ˙ Q 2 2
+ (B1 − B3) ˙ Q 2 3 + 2 (B5 − B6) ˙ Q3 ˙ Q4 + (B2 − B4) ˙ Q 2 4
+ (B1 − B3) ˙ Q ′2
3 + 2 (B5 − B6) ˙ Q ′ 3 ˙ Q ′ 4 + (B2 − B4) ˙ Q ′2
4 .
2V = (A1 + 2A3) Q 2 1 + 2 (A5 + 2A6) Q1Q2 + (A2 + 2A4) Q 2 2
+ (A1 − A3) Q 2 3 + 2 (A5 − A6) Q3Q4 + (A2 − A4) Q 2 4
(4.372)
+ (A1 − A3) Q ′2
3 + 2 (A5 − A6) Q ′ 3Q ′ 4 + (A2 − A4) Q ′2
4 . (4.373)
Avremo quindi due vibrazioni semplici che riguardano le coordinate Q1 e
Q2 e due vibrazioni doppie che coinvolgono le coordinate Q3 e Q4, oppure
Q ′ 3 e Q ′ 4. I quadrati delle velocità angolari:
λ = 4π 2 ν 2
424
(4.374)

Volumetto 4: 24 aprile 1930
delle vibrazioni semplici si otterranno dall’equazione secolare:
A1 + 2A3 − λ(B1 + 2B3)
det
A5 + 2A6 − λ(B5 + 2B6)
A5 + 2A6 − λ(B5 + 2B6)
A2 + 2A4 − λ(B2 + 2B4)
= 0,
(4.375)
mentre le grandezze corrispondenti relative alle vibrazioni degeneri risul-
tano da:
det
A1 − A3 − λ(B1 − B3) A5 − A6 − λ(B5 − B6)
A5 − A6 − λ(B5 − B6) A2 − A4 − λ(B2 − B4)
= 0. (4.376)
4.25 Funzioni sferiche con spin (s = 1)
Sono funzioni di θ e φ a tre componenti che si trasformano secondo D1 e
appartengono a determinati valori di j, l, m; il momento angolare totale
j può assumere i valori 0, 1, 2, . . .; il momento orbitale l può avere i valori
j − 1, j, j + 1. Solo per j = 0 la variabilità di l è limitata all’unico valore
l = 1.
Si può porre:
ϕ m j,j−1
ϕ m j,j
=
=
(j + m)(j + m − 1)
ϕ m−1
j−1 ,
2j(2j − 1)
(j + m)(j − m)
ϕ
j(2j − 1)
m j−1,
(j − m)(j − m − 1)
ϕ
2j(2j − 1)
m+1
j−1 ,
(j + m)(j − m + 1)
2j(2j + 1)
−
−
ϕ m−1
j ,
m
j(j + 1) ϕ m j , (4.377)
(j + m + 1)(j − m)
2j(2j + 1)
425
ϕ m+1
j
,

ϕ m j,j+1
Volumetto 4: 24 aprile 1930
=
(j − m + 1)(j − m + 2)
ϕ m−1
j+1 ,
2(j + 1)(2j + 3)
(j + m + 1)(j − m + 1)
−
ϕ
(j + 1)(2j + 3)
m j+1,
(j + m + 1)(j + m + 2)
ϕ
2(j + 1)(2j + 3)
m+1
j+1 .
Le funzioni così ottenute sono normalizzate e danno luogo alle rappresentazioni
ordinarie dei momenti angolari. Le ϕ m l sono qui le ordinarie funzioni
sferiche normalizzate:
ϕ m l = 1
2 l l!
(2l + 1)(l + m)!
(sin θ)
4π(l − m)!
−m dl−m cos 2 θ − 1 l (d cos θ) l−m e imφ .
(4.378)
Fra le funzioni sferiche con spin ϕ m j,l appartenenti a determinati valori
di j e m e a l = j − 1, j, j + 1 passano relazioni di frequente uso.
Consideriamo ad esempio l’operatore:
sr = x y
sx +
r r
= 1
2
x − iy
r
sy + z
r sz
(sx + isy) + 1
2
x + iy
r
essendo al solito
sx =
⎛
⎝
0 1/ √ 1/
2 0
√ 2 0 1/ √ 0 1/
2
√ 2 0
⎞
⎠ , sy =
⎛
⎝
(sx − isy) + z
r sz, (4.379)
0 −i/ √ 2 0
i/ √ 2 0 −i/ √ 2
0 i/ √ 2 0
⎛
1 0 0
⎞
sz = ⎝ 0 0 0 ⎠ .
0 0 −1
(4.380)
Questo operatore è evidentemente scalare e quindi commutabile con j e m.
Si verificano le seguenti relazioni:
sr ϕ m j,j−1
=
j + 1
2j + 1 ϕm j,j
426
⎞
⎠ ,

sr ϕ m j,j
sr ϕ m j,j+1
Volumetto 4: 24 aprile 1930
=
=
j + 1
2j + 1 ϕm j,j−1 +
j
2j + 1 ϕm j,j.
j
2j + 1 ϕm j,j+1
Gli autovalori di sr, cioè gli autovalori di matrici della forma:
⎛
⎜
⎝
0
j + 1
2j + 1
0
j + 1
2j + 1
0
j
2j + 1
0
j
2j + 1
0
⎞
⎟
⎠
(4.381)
(4.382)
sono naturalmente ±1, 0, come quelli della componente dello spin in una
direzione fissa. Per j = 0 l’unico stato rotazionale permesso (j = 1) corrisponde
a sr = 0.
Consideriamo ora funzioni a tre valori di θ, φ e r e introduciamo l’operatore
1
1
s·grad =
i 2i (sx
∂ ∂
+ isy) − i
∂x ∂y
Ponendo, per brevità,
+ 1
2i (sx − isy)
∂ ∂
+ i
∂x ∂y
+ 1
i sz
∂
. (4.383)
∂z
px = 1
i
∂
1
, py =
∂x i
avremo (1/i)s·grad = s·p. Notando che
x
r px + y
r py + z
r pz
sarà:
(s·p) ϕ m j,l =
∂
1
, pz =
∂y i
∂
∂z ,
ϕ m j,l = 0, (4.384)
2 2 2
x + y + z
r2 (s·p) − 1
x
r r px + y
r py + z
r pz
sr ϕ m j,l
= 1
x
r r sy − y
r sx
y
(xpy − ypx) +
r sz − x
r sy
(ypz − zpy)
z x
+ sx −
r r sz
(zpx − xpz) ϕ m j,l,
427

(s·p) ϕ m j,l = 1
r
Volumetto 4: 24 aprile 1930
x
r sy − y
r sx
y
lz +
r sz − x
r sy
lx
z
+
r sx − x
r sz
ly ϕ m j,l, (4.385)
che si può anche scrivere
(s·p) ϕ m j,l = 1
1 x + iy
sz
(lx − ily) −
ir 2 r
1
x − iy
(lx + ily)
2 r
+ 1
2 (sx
x − iy
+ isy) lz −
r
z
r (lx
− ily) (4.386)
+ 1
2 (sx
z
− isy)
r (lx
x + iy
+ ily) − lz ϕ
r
m j,l,
forma più conveniente per il calcolo: lx, ly, lz sono le componenti del momento
angolare orbitale in unità h/2π. Si trova così:
1
i (s·grad ) ϕmj,j−1 = i
j + i
(j − 1)
r 2j + 1 ϕmj,j, 1
i (s·grad ) ϕmj,j = − i
j + i
(j + 1)
r 2j + 1 ϕmj,j−1 + i
r j
j
2j + 1 ϕmj,j+1, 1
i (s·grad ) ϕmj,j+1 = − i
j
(j + 2)
r 2j + 1 ϕmj,j. (4.387)
Le formole (4.381) e (4.387) si possono generalizzare applicando gli operatori
sr e (1/i)s·grad a funzioni del tipo f(r)ϕ m j,l, poiché si ha evidentemente:
sr f(r) ϕ m j,l = f(r) sr ϕ m j,l,
1
i (s·grad ) f(r) ϕmj,l = f(r) 1
i (s·grad ) ϕmj,l + 1
i f ′ (r) sr ϕ m j,l.
(4.388)
Passiamo a una applicazione delle funzioni sferiche con spin. Noi
vogliamo trovare le autofunzioni definite dalla equazione differenziale
1
i
(s·grad ) ψ + k ψ = 0. (4.389)
428

Se poniamo
ψ1 =
Volumetto 4: 24 aprile 1930
−ψx + iψy
√ , ψx =
2
ψ2 = ψz, ψy =
ψ3 =
ψx + iψy
√ , ψz = ψ2,
2
ψ3 − ψ1
√ ,
2
ψ1 + ψ3
√ ,
2
e riguardiamo ψx, ψy, ψz come componenti di ψ; si ha
e la (4.389) si scrive semplicemente:
1
i
(4.390)
(s·grad ) ≡ rot , (4.391)
rot ψ + k ψ = 0. (4.392)
Le soluzioni di (4.392) sono di due tipi: per k = 0 si ha div ψ = 0, per
k = 0 rot ψ = 0 e quindi ψ = grad Φ, essendo Φ completamente arbitrario.
Nel primo caso, badando che:
sarà
rot rot = grad (div) − ∆ , (4.393)
∆ ψ + k 2 ψ = 0, (4.394)
con la condizione aggiunta div ψ = 0. Le soluzioni di (4.394) ortogonali
alle soluzioni precedenti si pongono nella forma ψk = grad Φk, essendo
∆ Φk + k 2 Φk = 0, (4.395)
e tutte insieme soddisfano alla (4.392) corrispondentemente all’unico autovalore
k = 0. [Considerando soluzioni di (4.394) relative a un determinato
k = 0, si ha infatti (grad (div)) 2 = k 2 grad (div), cosicché gli autovalori
di grad (div) possono essere k 2 e 0; nel secondo caso sarà (rot) 2 = k 2 e
quindi rot = ±k, abbiamo cioè soluzioni di (4.392) per k = 0 e quindi
sarà divψ = 0. Nel primo caso sarà (rot) 2 = 0 e quindi rot ψk = 0, e così
ψk = grad Φk.]
Ritorniamo ora alla rappresentazione originaria delle componenti di ψ
e riprendiamo la (4.389) supponendo k diverso da zero. Da quanto si è
429

Volumetto 4: 24 aprile 1930
detto nella precedente digressione risulta che dovrà essere div ψ = 0, cioè
nella nostra rappresentazione:
− 1
∂ ∂
√ + i ψ1 +
2 ∂x ∂y
∂
∂z ψ2 + 1
∂ ∂
√ − i ψ3 = 0. (4.396)
2 ∂x ∂y
Una soluzione di (4.389) appartenente a dati valori di j e m potrà porsi
nella forma
ψ = u
r ϕm j,j−1 + i v
r ϕm j,j + w
r ϕm j,j+1. (4.397)
A causa di (4.394), possiamo prevedere che u, v, w sono, a meno del
fattore comune √ r e a meno di fattori costanti, funzioni di Bessel o di
Hankel di ordine rispettivamente j − 1/2, j + 1/2, j + 3/2. In realtà sostituendo
mediante (4.397) in (4.389) e tenendo conto di (4.388), (4.387), e
(4.381), troviamo: 38
j + 1
k u +
v
2j + 1
′ + j
r v
= 0
j + 1
k v −
u
2j + 1
′ − j
r u
j
−
2j + 1
j
k w +
v
2j + 1
′
j + 1
− v = 0.
r
w ′ +
j + 1
r w
= 0 (4.398)
Da questo segue, per k = 0 (combinando la prima e la terza delle (4.398)
e le loro derivate)
j u ′ − j
r u
−
j + 1 w ′ j + 1
+
r w
= 0, (4.399)
che è una traduzione nel nostro caso particolare della (4.396). Dati i valori
iniziali di u e v, ad esempio, restano determinate algebricamente da (4.398)
e (4.399) w, u ′ , v ′ , w ′ , cosicché il sistema (4.398) ammette due sole soluzioni,
indipendenti. Possiamo eliminare w ′ + (w/r)(j+1) mediante la (4.399).
Troviamo
k u +
k v −
j + 1
v
2j + 1
′ + j
r v
2j + 1
j + 1
u ′ + j
r u
= 0
= 0.
(4.400)
38∗ Per j = 0, u e v non esistono e si ha semplicemente kw = 0 o, per k = 0,
w = 0.
430

Eliminando finalmente u, abbiamo:
Volumetto 4: 24 aprile 1930
v ′′ +
k 2 −
j(j + 1)
r 2
v = 0. (4.401)
Unica soluzione regolare di (4.401) è √ r Jj+1/2(|k|r); sostituendo nella
prima e nell’ultima delle (4.398), otteniamo immediatamente u e w. Basta
ricordare le relazioni:
I ′ n(x) + n
In(x) = In−1(x)
x
o, ponendo F = √ x I,
F ′ n(x) +
F ′ n(x) −
I ′ n(x) − n
In(x) = − In+1(x),
x
n − 1
Fn(x)
2 x
n + 1
Fn(x)
2 x
= Fn−1(x)
= − Fn+1(x).
(4.402)
(4.403)
Segue che l’unica soluzione regolare per r = 0 del sistema (4.398) è data,
a meno di un fattore costante, da
j + 1 √
u = −
r Ij−1/2(|k|r) ·
2j + 1
k
|k|
v = √ r Ij+1/2(|k|r) (4.404)
j √
w =
r Ij+3/2(|k|r) ·
2j + 1
k
|k| .
Due soluzioni singolari indipendenti delle (4.398) si otterranno naturalmente
sostituendo alle funzioni di Bessel le funzioni di Hankel di prima e
di seconda specie
u 1,2
j + 1 √ 1,2 k
= −
r Hj−1/2 (|k|r) ·
2j + 1
|k|
v 1,2 = √ r H 1,2
j+1/2 (|k|r) (4.405)
w 1,2
j √ 1,2 k
=
r Hj+3/2 (|k|r) ·
2j + 1
|k| .
431

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Consideriamo il caso più semplice: j = 1 (per j = 0 non esistono
soluzioni di (4.389) con k = 0). Nell’espressione (4.397) di ψ entrano le
ϕ m 1,0, ϕ m 1,1 e ϕ m 1,2, e le funzioni di Bessel e di Hankel di ordine 1/2, 3/2, 5/2.
Raccogliamo qui le espressioni esplicite di tali funzioni:
ϕ 1 1,0
ϕ
=
1
(1 , 0 , 0)
4π
(4.406)
0 1,0
ϕ
=
1
(0 , 1 , 0)
4π
(4.407)
−1
1,0
ϕ
=
1
(0 , 0 , 1)
4π
(4.408)
1 1,1 =
1 3 3
cos θ ,
4π 2 4 sin θ eiφ
, 0
(4.409)
ϕ 0 1,1 =
1
4π
3
4 sin θ e−iφ
3
, 0 , sin θ eiφ
4
(4.410)
ϕ −1
1,1 =
1
4π
3
0 ,
4 sin θ e−iφ
3
, − cos θ
2
(4.411)
ϕ 1 1,2 =
1
4π
9
8 cos2
1 3
θ − ,
8 2 sin θ cos θ eiφ ,
9
8 sin2 θ e 2iφ
(4.412)
ϕ 0 1,2 =
1
4π
3
2 sin θ cos θ e−iφ
9
, −
2 cos2
1
θ +
2 ,
− 3
ϕ
sin θ cos θ eiφ
2
(4.413)
−1
1,2 =
1
4π
9
8 sin2 θ e −2iφ , − 3
2 sin θ cos θ e−iφ ,
9
8 cos2
1
θ −
8
(4.414)
I1/2(x) =
2
sin x
πx
(4.415)
432

Volumetto 4: 24 aprile 1930
I3/2(x)
I5/2(x)
=
=
2
πx
2
πx
sin x
− cos x +
x
cos x sin x
− sin x − 3 + 3
x x
(4.416)
2
(4.417)
H 1 1/2(x) =
2
− i
πx eix
H
(4.418)
1 3/2(x) =
2
πx eix
− 1 − i
H
x
(4.419)
1 5/2(x) =
2
πx eix
i − 3 3i
−
x x2 H
(4.420)
2 1/2(x) =
2
i
πx e−ix H
, (4.421)
2 3/2(x) =
2
πx e−ix
− 1 + i
H
x
(4.422)
2 5/2(x) =
2
πx e−ix
− i − 3 3i
+
x x2
. (4.423)
Sostituiamo con queste in (4.397) trascurando un fattore costante; abbiamo
per la soluzione regolare all’origine:
(a) m = 1:
ψ1 =
soluzione regolare
segno superiore per k > 0, inferiore per k < 0
ξ = |kr| 39
sin ξ
r
3 2 i 3
∓ 1 + cos θ + cos θ
8
ξ 2
± 1
ξ2
3 3
2 2 cos2 θ − 1
2
+ cos ξ
r
3
−i cos θ
2
∓ 1
3 3
ξ 2 2 cos2 θ − 1
2
(4.424)
39Nel manoscritto
originale compare l’annotazione: “(sopprimere dovunque un
3
fattore ± per semplificare le formole).”
8
433

ψ2 =
ψ3 =
(b) m = 0:
ψ1 =
ψ2 =
ψ3 =
Volumetto 4: 24 aprile 1930
sin ξ
r
3
∓
4 sin θ cos θ eiφ + i
3
sin θ eiφ
ξ 4
± 1
ξ2
27
sin θ cos θ eiφ +
4 cos ξ
r
3
−i sin θ eiφ
4
∓ 1
27
sin θ cos θ eiφ
ξ 4
(4.425)
sin ξ
r
3
∓
8 sin2 θ e 2iφ ± 1
ξ2
27
8 sin2 θ e 2iφ
+ cos ξ
r
∓ 1
27
ξ 8 sin2 θ e 2iφ
. (4.426)
sin ξ
r
3
∓
4 sin θ cos θ e−iφ + i
3
sin θ e−iφ
ξ 4
± 1
ξ2
27
sin θ cos θe−iφ +
4 cos ξ
r
3
−i sin θ e−iφ
4
∓ 1
27
sin θ cos θ e−iφ
ξ 4
(4.427)
sin ξ
r
3 2
∓ 1 − cos θ ∓
2
1
ξ2
√ 3
6
2 cos2 θ − 1
2
+ cos ξ
±
r
1
√ 3
6
ξ 2 cos2 θ − 1
2
sin ξ 3
±
r 4
(4.428)
sin θ cos θ eiφ + i
3
sin θ eiφ
ξ 4
∓ 1
ξ2
27
sin θ cos θeiφ +
4 cos ξ
r
3
−i sin θ eiφ
4
± 1
27
sin θ cos θ eiφ .
ξ 4
(4.429)
434

(c) m = − 1:
ψ1 =
ψ2 =
ψ3 =
Volumetto 4: 24 aprile 1930
sin ξ
r
3
∓
8 sin2 θ e −2iφ ± 1
ξ2
27
8 sin2 θ e −2iφ
+ cos ξ
r
∓ 1
27
ξ 8 sin2 θ e −2iφ
(4.430)
sin ξ
r
3
±
4 sin θ cos θ e−iφ + i
3
sin θ e−iφ
ξ 4
∓ 1
ξ2
27
sin θ cos θe−iφ +
4 cos ξ
r
±
3
−i sin θ eiφ
4 1
27
sin θ cos θ e−iφ
ξ 4
sin ξ
r
3 2 i 3
∓ 1 + cos θ − cos θ
8
ξ 2
± 1
ξ2
3 3
2 2 cos2 θ − 1
2
+ cos ξ
r
3
i cos θ
2
∓ 1
3 3
ξ 2 2 cos2 θ − 1
2
. (4.431)
La funzione d’onda ψ definisce due campi di vettori reali nello spazio ordinario.
Possiamo infatti passare mediante le (4.390) alle componenti di ψ
secondo gli assi cartesiani x, y, z e porre
essendo A e B vettori reali. Cioè:
ψ = A + i B, (4.432)
ψx = Ax + i Bx (4.433)
ψy = Ay + i By (4.434)
ψz = Az + i Bz. (4.435)
Sostituendo nelle espressioni precedenti attraverso (4.390) troviamo a meno
di un fattore costante (± 3/4):
435

Volumetto 4: 24 aprile 1930
soluzione regolare
ξ = |kr|; segno superiore k > 0; segno inferiore k < 0
(a) m = 1:
sin ξ
Ax = 1 − sin
r
2 θ cos 2 φ − 1
ξ2 2 2
1 − 3 sin θ cos φ
+ cos ξ 2 2
1 − 3 sin θ cos φ ,
ξr
sin ξ
Ay = − sin
r
2 θ sin φ cos φ± 1
cos θ
ξ
+ 3
ξ2 · sin2
θ sin φ cos φ + cos ξ
∓ cos θ −
r
3
ξ · sin2
θ sin φ cos φ ,
sin ξ
Az = − sin θ cos θ cos φ ∓
r
1
sin θ sin φ
ξ
+ 3
· sin θ cos θ cos φ +
ξ2 cos ξ
± sin θ sin φ −
r
3
· sin θ cos θ cos φ ;
ξ
sin ξ
Bx = − sin
r
2 θ sin φ cos φ ∓ 1
cos θ
ξ
+ 3
ξ2 · sin2
θ sin φ cos φ + cos ξ
± cos θ −
r
3
ξ · sin2
θ sin φ cos φ ,
sin ξ
By = 1 − sin
r
2 θ sin 2 φ − 1
ξ2 2 2
1 − 3 sin θ sin φ
+ cos ξ 2 2
1 − 3 sin θ sin φ ,
ξr
sin ξ
Bz = − sin θ cos θ sin φ±
r
1
sin θ cos φ
ξ
+ 3
· sin θ cos θ sin φ +
ξ2 cos ξ
∓ sin θ cos φ −
r
3
· sin θ cos θ sin φ .
ξ
(b) m = 0
Una formola sulle funzioni sferiche ordinarie:
∂ ∂
− i f(r) ϕ
∂x ∂y
m l
= − f ′ l + 1
(r) +
r f(r)
(l + m)(l + m − 1)
(2l + 1)(2l − 1) ϕm−1 l−1
436

+
Volumetto 4: 24 aprile 1930
f ′ (r) − l
r f(r)
(l − m + 1)(l − m + 2)
(2l + 1)(2l + 3)
ϕ m−1
l+1 ,
∂ ∂
+ i f(r) ϕ
∂x ∂y
m l
= f ′ l + 1
(r) +
r f(r)
(l − m)(l − m − 1)
(2l + 1)(2l − 1) ϕm+1 l−1 ,
− f ′ (r) − l
r f(r)
(l + m + 1)(l + m + 2)
(2l + 1)(2l + 3)
∂
∂z f(r) ϕm l
=
f ′ l + 1
(r) +
r f(r)
+
f ′ (r) − l
r f(r)
(l + m)(l − m)
(2l + 1)(2l − 1) ϕm l−1
(l + m + 1)(l − m + 1)
(2l + 1)(2l + 3)
ϕ m+1
l+1 ,
ϕ m l+1.
(4.436)
Se u è una funzione a un valore, poniamo ψ = (ψ1, ψ2, ψ3) = grad u, se
ψ1 = − 1
∂u ∂u
√ − i
2 ∂x ∂y
ψ2 = ∂u
ψ3 =
∂z
1 ∂u ∂u
√ + i .
2 ∂x ∂y
(4.437)
Segue dalle formole precedenti e dalle (4.377):
grad f(r) ϕ m l =
l
f
2l + 1
′ l + 1
(r) +
r f(r)
l + 1
−
f
2l + 1
′ (r) l
r f(r)
(continua nel §4.29).
437
ϕ m l,l+1
ϕ m l,l−1
(4.438)

Volumetto 4: 24 aprile 1930
4.26 Diffusione di elettroni veloci
(metodo di Born relativistico)
Consideriamo l’equazione di Dirac senza campo:
W
c + ρ1
σ·p + ρ3 mc ψ = 0 (4.439)
e risolviamo anzitutto il problema seguente: data una funzione a 4 valori
P (q), che si annulla all’infinito, determinare una soluzione dell’equazione
differenziale:
W
c + ρ1
σ·p + ρ3 mc ψ = P (4.440)
(W = costante), con la condizione ai limiti che ψ rappresenti al’infinito
un’onda divergente. Applichiamo ai due membri di (4.440) l’operatore
W
− ρ1 σ·p − ρ3 mc troviamo:
c
2
W
c2 − m2c 2 − p 2
ψ =
W
c − ρ1
σ·p − ρ3 mc P. (4.441)
Esplicitando l’operatore p e introducendo la costante
si ha:
∆ ψ + k 2 ψ =
k = 1
1
2
1
W 2 /c2 − m2c2 = |p|, (4.442)
W
c − ρ3
mc + i
ρ1
σ·grad P. (4.443)
Da questa segue, come è noto, che la soluzione di (4.443) soddisfacente alla
detta condizione ai limiti ha la forma:
ψ(q) = − 1
ik|q−q
e
4π
′ |
|q − q ′
1
| 2
W
− ρ3 mc +
c i
ρ1 σ·grad
×P (q ′ ) dq ′ , (4.444)
che può essere semplificata mediante integrazione per parti; troviamo così,
tenendo conto che grad è una variabile sulla variabile indipendente q ′ :
grad eik|q−q′ |
|q − q ′ q − q′
= −
| |q − q ′
1
ik −
| |q − q ′ ik|q−q
e
|
′ |
|q − q ′ , (4.445)
|
438

la soluzione desiderata:
Volumetto 4: 24 aprile 1930
r = |q − q ′ |
ψ(q) = − 1
ikr
e 1
4π r 2
W
c − ρ3
mc
− 1 k + i/r
ρ1 σ·(q − q
r
′
)
P (q ′ ) dq ′ . (4.446)
Cambiando il segno di k si avrebbe la soluzione di (4.440) che all’infinito
rappresenta un’onda convergente.
Supponiamo ora che un’onda piana di elettroni incontri un campo di
potenziale V (se questo deriva da un potenziale scalare sarà V = −eφ).
L’equazione di Dirac si può scrivere
W
c
+ ρ1 σ·p + ρ3 mc
ψ = V
ψ. (4.447)
c
Questa equazione può essere risolta per successive approssimazioni mediante
il metodo di Born, ponendo
ψ = ψ0 + ψ1 + ψ2 + . . . , (4.448)
dove ψ0 è l’onda piana imperturbata e ψ1, ψ2, . . . si calcolano successivamente
risolvendo l’equazione differenziale
W
c + ρ1
σ·p + ρ3 mc ψn = V
c ψn−1 (4.449)
nel modo che si è detto.
Limitiamoci alla prima approssimazione e sia ψ0 un’onda piana diretta
secondo l’asse z:
ψ0 = u e ikz , k = p
, (4.450)
dove u è una funzione di spin che supponiamo normalizzata. Vogliamo
determinare ψ1, a grande distanza R dal punto 0, in prossimità del quale
si trova il campo diffondente, e nella direzione θ, φ. Indichiamo con t
un vettore unitario diretto secondo z e con t1 un vettore unitario diretto
secondo θ, φ. Avremo ψ0(q ′ ) = u exp{ikq ′ ·t} e, per R → ∞:
|q − q ′ | = R − q ′ ·t1, (R → ∞). (4.451)
439

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Sostituendo in (4.446) con ψ1
troviamo per R → ∞
in luogo di ψ e (V/c) ψ0 in luogo di P ,
ψ1(R; θ, φ) = − eikR
e
4πR
−iq′
·(kt1−kt) 1
2
W
c − ρ3
−
mc
1
′
V (q )
k ρ1 σ·t1 u dq
c
′ . (4.452)
Supponiamo per semplicità che nel campo diffondente sia diverso da zero
solo il potenziale scalare φ. Allora V = −eφ e non contiene le variabili di
spin. Possiamo così scrivere uV (q ′ ) in luogo di V (q ′ )u e portare fuori da
(4.452) la parte costante. Ricaviamo allora:
ψ1(R; θ, φ) = − eikR
4πR
1
×
2
W
c2 − ρ3
m
e −iq′ ·(kt1−kt) V (q ′ ) dq ′
− 1 k
c ρ1
σ·t1 u. (4.453)
Ora dobbiamo ricordare che u è la funzione di spin di un’onda piana con
momento px = py = 0, pz = k. Cosicché avremo
W
c + k ρ1
σz + ρ3 mc u = 0. (4.454)
Poniamo u = (a, b), essendo a e b rispettivamente la prima e la seconda
coppia di valori di u. Allora la (4.454) si scrive:
W
c
+ mc a + k σz b = 0,
W
c
− mc b + k σz a. = 0.
(4.455)
Dalla prima o dalla seconda ricaviamo:
Avremo inoltre:
1
2
a = −
W
c2 − ρ3
m
k σz
k σz
b, b = −
a. (4.456)
W/c + mc W/c − mc
− 1 k
c ρ1
σ·t1 u
440

Volumetto 4: 24 aprile 1930
1
=
2 W − mc 2
c2 a − 1 k σ·t1
b,
c
1
2 W + mc 2
c2 b − 1
k σ·t1
a
c
= 1
2 2 2
W − mc + (W + mc )σ·t1 σz
c2 a,
W + mc 2 + (W − mc 2 )σ·t1 σz
c2
b ; (4.457)
e ponendo per semplicità σ·t1 = σR e
sarà:
1
2
a ′ = W − mc2 + (W + mc 2 )σR σz
2 c 2
b ′ = W + mc2 + (W − mc 2 )σR σz
2 c 2
a,
b,
(4.458)
W
c2 − ρ3
m − 1 k
c ρ1
σR u = a ′ , b ′ . (4.459)
Avremo ancora, badando che σRσz + σzσR = 2 cos θ:
Analogamente:
a ′† a ′ = 1
4 2
W − mc
c2 2 2
W + mc
+
c2 2 + 2 W 2 − m 2 c 4
c4
cos θ a † =
a
2m2
4 2
W
m2
(1 + cos θ) + (1 − cos θ)
c4 b ′† b ′ = 2m2
4
2
W
m2
(1 + cos θ) + (1 − cos θ)
c4 a † a. (4.460)
b † b. (4.461)
La sezione efficace per la diffusione entro l’unità di angolo nella direzione
θ, φ è data da
S(θ, φ) = R 2 |ψ1| 2
, R → ∞. (4.462)
|ψ0| 2
441

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Sostituendo in (4.453) troviamo:
S(θ, φ) =
m 2
8π24 2
W
m2
(1 + cos θ) + (1 − cos θ)
c4
·
e −iq·(kt1−kt)
2
V (q) dq
. (4.463)
Questa formola assume nel caso non relativistico la forma elementare ben
nota:
S(θ, φ) = m2
4π24
e −iq·(kt1−kt)
2
V (q) dq
, k = p
. (4.464)
Torniamo alla (4.463) e supponiamo il campo coulombiano:
Allora è notoriamente:
e −ikq·(t1−t) V (q) dq = − 4π Ze 2
V = − Ze2
. (4.465)
r
=
k2 = −
|t1 − t| 2
4π Ze 2
k 2 · 4 sin 2 θ/2
− π Ze 2
k2 sin2 . (4.466)
(θ/2)
Introduciamo il momento dell’elettrone libero p = k e la velocità da
ricaviamo infine:
S(θ) =
v = c2
W p, con W 2 = m2c 4
1 − v2 ; (4.467)
/c2 Z 2 e 4
4p2v2 sin4 2 2
2c − v
(θ/2) 2c2 da confrontare con l’espressione classica:
Scl(θ) =
+ v2
cos θ
2c2 (4.468)
Z 2 e 4
4p2v2 sin4 . (4.469)
θ/2
Così per piccole deviazioni la diffusione relativistica è uguale a quella di
un elettrone classico avente lo stesso valore di pv, ma per ampie deviazioni
442

Volumetto 4: 24 aprile 1930
è alquanto minore. Possiamo meglio confrontare le diffusioni classiche e
relativistiche (queste ultime sono date dal metodo di Born solo in prima
approssimazione) per elettroni di data energia. Indicando con E l’energia
diminuita dell’energia di riposo:
e ponendo, per brevità
avremo
E = W − mc 2 =
con che la (4.468) diventa:
S(θ) =
mc 2
1 − v 2 /c 2 − mc2 , (4.470)
s = 1 − v2 /c2 = mc2
mc2 , (4.471)
+ E
p v = E (1 + s) ; (4.472)
Z 2 e 4
16E2 sin4
2
2 + 2s 2 − 2s2
+ cos θ , (4.473)
θ/2 (1 + s) 2 (1 + s) 2
da confrontare con l’espressione classica (s = 1)
Scl(θ) =
Z 2 e 4
16E2 sin4 . (4.474)
(θ/2)
A parità di energia la diffusione relativistica è dunque maggiore di
quella classica per le piccole deviazioni e minore per le grandi deviazioni.
Poiché:
S
Scl
= 2 + 2s2
2 − 2s2
+ cos θ, (4.475)
(1 + s) 2 (1 + s) 2
la deviazione θ per cui la formola classica e relativistica coincidono è data
da:
1 − s
cos θ0 = − , (4.476)
2(1 + s)
così θ0 = 90 o per s → 1 e θ0 = 120 o per s → 0.
Diamo per alcuni valori di s il rapporto fra la diffusione relativistica e
classica S(θ)/Scl(θ) calcolata per alcuni valori di θ:
443

θ = 0 o
θ = 30 o
θ = 60 o
θ = 90 o
θ = 120 o
θ = 150 o
θ = 180 o
Volumetto 4: 24 aprile 1930
s = 1 s = 1/2 s = 1/3 s = 0
1 1.78 2.25 4.00
1 1.69 2.12 3.73
1 1.44 1.75 3.00
1 1.11 1.25 2.00
1 0.78 0.75 1.00
1 0.53 0.38 0.27
1 0.44 0.25 0.00
4.27 Grandezze atomiche di uso frequente
(1) Oscillatori armonici.
ν frequenza di oscillazioni in cm −1 , A/N massa della particella oscillante
(N numero di Avogadro), a elongazione massima classica in
un’orbita di quanto n:
a =
n
A
N
π c ν =
n
A
6.7
ν · 10−8 cm. (4.477)
Esempio: per la molecola di idrogeno, massa ridotta A = 1/2, ν ∼
4400, segue a ∼ 0.175 √ n·10 −8 (valida per valori di n assai piccoli)
(2) Relazioni fra energie e lunghezze d’onda 40
Energia di una particella α di lunghezza d’onda: λ0 = 10 −12 cm:
E0 = 300·Nπ2 2
2λ 2 0·e
V = 2.05·10 6 V. (4.478)
Energia di un elettrone di lunghezza d’onda λ0 = 10 −8 cm:
E0 = 2π2 2 ·300
mλ 2 0·e
V = 150 V. (4.479)
40 Si osservi che il valore numerico attualmente accettato (2.09·10 6 , 153 e
2.108·10 6 , rispettivamente) per le energie qui di seguito considerate differisce
leggermente da quelli riportati dall’Autore.
444

Volumetto 4: 24 aprile 1930
(3) Relazioni fra velocità ed energia.
Energia di una particella α di velocità v = 10 9 cm/s:
E0 = 3.3·10−6
1.59·10 −12 = 2.08·106 V. (4.480)
4.28 Stati quasi-stazionari
In un sistema imperturbato esista uno stato finito ψ0 di energia E0 e uno
spettro continuo ψW di energia E0 + W . Introduciamo una perturbazione
che collega lo stato finito ψ0 e gli stati continui definita da:
IW = ψ0 Hp ψW dτ. (4.481)
Per effetto della perturbazione lo stato finito ψ0 viene assorbito nello spettro
continuo. Si tratta di trovare le autofunzioni perturbate ψ ′ W . Se H è
l’Hamiltoniana totale dovremo avere:
H ψ0 = E0 ψ0 +
IW ψW dW
H ψW = (E0 + W ) ψW + IW ψ0
(4.482)
H ψ ′ W = (E0 + W ) ψ ′ W . (4.483)
Il problema può essere risolto esattamente; le autofunzioni perturbate ψ ′ W ,
normalizzate rispetto a dW , come abbiamo supposto le ψW , sono:
ψ ′ W
a = I −1
W
=
1
|a| 2 + |b| 2 ψ0 +
−
1
|a| 2 + |b| 2
a
|a| 2 + |b| 2 ψW
IW ′
dW ′
W ′ − W
ψW ′
W ′ − W dW ′ , (4.484)
l’integrale avendo il suo valore principale ed essendo inoltre
W + |IW ′|2
; b = π IW (4.485)
445

Volumetto 4: 24 aprile 1930
L’integrale in a ha ancora il valore principale. Poniamo
con che la (4.484) diventa:
ψ ′ W = 1
NW
ψ0 −
Nw = |a| 2 + |b| 2 , (4.486)
IW ′
ψW ′
W ′ − W dW ′
+ a ψW . (4.487)
Possiamo sviluppare lo stato finito ψ0 secondo le ψ ′ W ; avremo
ψ0 =
1
ψ
NW
′ W dW. (4.488)
Procediamo ormai a qualche approssimazione trascurando termini d’ordine
maggiore del secondo in IW . Poiché i valori di W che interessano, cioè
quelli che entrano in modo essenziale in (4.488), tendono a zero come I 2 ,
possiamo considerare come costanti nelle formole precedenti
Ponendo ancora:
IW = I,
sarà in questa approssimazione:
ψ ′ W =
|IW ′|2
dW ′
W ′ − W
= k. (4.489)
W = ɛ − k, ɛ = W + k, (4.490)
a = ɛ
I , b = π I, N = ɛ 2 /|I| 2 + π 2 |I| 2 ,
1
ɛ 2 /|I| 2 + π 2 |I| 2
ψ0 =
ψ0 − I
ψ ′ W
ɛ 2 /|I| 2 + π 2 |I| 2 dɛ.
ψW ′
W ′ − W dW ′ + ɛ
I ψW
(4.491)
Sostituendo nell’ultima delle (4.491) mediante la penultima, vale a dire
eliminando le ψ ′ W , otteniamo naturalmente una identità.
Consideriamo ora la dipendenza dal tempo delle autofunzioni, intendendo
che le relazioni precedenti valgono per t = 0. Assumiamo quindi come
fattore che descrive la dipendenza dal tempo di ψ ′ W :
e −iEt/ = e −i(E0−k)t/ e −iɛt/
446
(4.492)

Volumetto 4: 24 aprile 1930
e supponiamo che nell’istante t = 0 lo stato del sistema sia ψ0. Mettendo
in evidenza il fattore di dipendenza dal tempo delle ψ ′ avremo in un istante
generico, per l’ultima delle (4.491) e la (4.492):
ψ = e −i(E0−k)t/
e −iɛt/
ɛ 2 /|I| 2 + π 2 |I| 2 ψ′ W dɛ, (4.493)
da cui, sostituendo mediante la penultima delle (4.491),
−i(E0−k)t/
ψ = e
+
(con 1/T = (2π/)|I| 2 ).
I
ɛ + iπ|I| 2
e −t/2T ψ0
e −iɛt/
−t/2T
− e ψW dɛ
, (4.494)
È naturale chiedersi se la (4.494) può dedursi
direttamente dalle (4.482) senza passare attraverso gli stati stazionari ψ ′ W
e ponendo fin dal principio IW = I = costante. Poiché con questa posizione
k diviene indeterminata (vedi formola (4.489)), possiamo sperare in
questo modo di giungere alla (4.494) salvo un’indeterminazione che dipende
dall’incognito valore di k. 41 In realtà questa si può scrivere (ɛ = W + k) 42
ψ = e −iE0t/ e ikt/ e −t/2T ψ0
+
e se poniamo
IψW
e−iEt/ 1 − e
(W + k) + iπ|I| 2 i(W +k)t/
−t/2T
e dW ; (4.495)
ψ = c ψ0 e −iE0t/
segue dalle (4.482) con I in luogo di IW :
˙c = − i
I
cW ψW e −iEt/ dW (4.496)
e −iW t/ cW dW, ˙cW = − i
I e−iW t/ c. (4.497)
41 In altri termini, adoperando il metodo “diretto”, gli autovalori (perturbati)
dell’energia restano indeterminati.
42 Nel manoscritto originale, nella seguente equazione l’integrazione è eseguita
rispetto a dɛ; è però evidente che dovrebbe invece essere eseguita rispetto a dW .
447

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Possiamo trovare soluzioni di queste equazioni della forma
c = e ixt/ e −t/2T ,
cW =
I
W + x + iπ|I| 2
1
T
4π2
=
h |I2
|
1 − e i(W +x)t/
−t/2T
e ,
(4.498)
con x arbitrario, benché le condizioni iniziali siano determinate (c = 1,
cW = 0), questa arbitrarietà dipendendo dalla non convergenza dell’integrale
nella prima delle (4.497). Le (4.498) danno per ψ al tempo t
un’espressione identica a (4.495), salvo la sostituzione della quantità arbitraria
x alla grandezza determinata k.
Supponiamo ora che nel sistema imperturbato esista uno stato finito
ψ0 di energia E0 e due serie di stati infiniti ψW e φW di energia E0 + W , e
immaginiamo che una perturbazione colleghi lo stato ψ0 con entrambe le
serie di stati infiniti ψW e φW :
IW =
In luogo delle (4.482) avremo:
H ψ0 = E0 ψ0 +
ψ0 Hp ψW dτ, LW =
IW ψW dW +
H ψW = (E0 + W ) ψW + IW ψ0
H φW = (E0 + W ) φW + LW ψ0.
ψ 0 Hp φW dτ. (4.499)
LW φW dW
(4.500)
Anche qui, per effetto della perturbazione, lo stato finito ψ0 verrà assorbito
nello spettro continuo, ma ora per ogni valore di W avremo due stati
stazionari Z 1 W e Z 2 W :
H Z 1 W = (E0 + W ) Z 1 W , H Z 2 W = (E0 + W ) Z 2 W . (4.501)
448

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Possiamo scegliere Z 1 W e Z 2 W ortogonali e normalizzati nel modo seguente:
Z 1 W
Z 2 W
=
=
1
N ′ W
−
ψ0 + a ψW + A φW −
LW ′φW ′
W ′
′
dW
− W
LW ψW
|IW | 2 + |LW | 2 −
IW φW
|IW | 2 + |LW | 2 ,
IW ′ψW ′
W ′ ′
dW
− W
gli integrali avendo, al solito, i loro valori principali ed essendo ora:
a =
A =
IW
|IW | 2 + |LW | 2
W + |IW ′|2
+ |LW ′|2
dW ′
W ′
− W
LW
|IW | 2 + |LW | 2
W + |IW ′|2
+ |LW ′|2
dW ′
W ′
− W
dW ′
W ′ − W
dW ′
W ′ − W
(4.502)
(4.503)
(4.504)
N ′ W = |a| 2 + |A| 2 + π 2 |IW | 2 + π 2 |LW | 2 . (4.505)
Gli stati Z 2 W sono ortogonali a ψ0, cosicché ψ0 è sviluppabile in modo
analogo a (4.488), secondo i soli stati Z 1 W :
ψ0 =
Z 1 W /N ′ W dW. (4.506)
Facciamo ora approssimazioni analoghe a (4.489), (4.490), e (4.491)
ponendo:
|IW ′|2
IW = I, LW = L,
dW ′
W ′ − W +
|LW ′|2
dW ′
W ′ − W
= k,
(4.507)
W = ɛ − k, ɛ = W + k, (4.508)
449

da cui:
Z 1 W
=
1
N ′ W
a =
Z 2 W = L ψW − I φW
|I| 2 + |L| 2 ,
ψ0 =
Volumetto 4: 24 aprile 1930
Iɛ
|I| 2 , A =
+ |L| 2
Lɛ
|I| 2 + |L| 2
N ′
ɛ
W =
2
|I| 2 + |L| 2 + π2 (|I| 2 + |L| 2 )
ɛ I
ψ0 +
|I| 2
ψW
ψW − I
+ |L| 2 ′
W ′ ′
dW
− W
ɛ L
+
|I| 2
φW
φW − L
+ |L| 2 ′
W ′
′
dW
− W
(4.509)
(4.510)
1
ɛ 2 /(|I| 2 + |L| 2 ) + π 2 (|I| 2 + |L| 2 ) Z 1 W dɛ. (4.511)
Le (4.510) e (4.511) sono strettamente analoghe alle (4.491); possiamo
dedurne subito che se il sistema è rappresentato inizialmente da ψ0, la sua
autofunzione al tempo t sarà espressa in modo analogo a (4.495) da:
ψ = e −i(E0−k)t/ e −t/2T ψ0
+ I
+ L
essendo ora
ψW e −iEt/
W + k + iπ(|I| 2 + |L| 2 )
φW e −iEt/
W + k + iπ(|I| 2 + |L| 2 )
1 − e i(W +k)t/
−t/2T
e dW (4.512)
1 − e i(W +k)t/
−t/2T
e dW,
1 2π 2 2
= |I| + |L|
T
. (4.513)
La probabilità di transizione nell’unità di tempo dallo stato ψ0 agli stati
ψW è così 2π|I| 2 / e quella da ψ0 agli stati φW : 2π|I| 2 /, come era da
aspettarsi.
Vogliamo ora considerare un altro problema. Supponiamo che inizialmente
il sistema sia nello stato infinito ψW e vogliamo calcolare la proba-
bilità relativa (intesa nel modo usuale, fatta cioè uguale a 1 la probabilità
2
che il sistema sia in un generico stato se Y se
Y ψ dτ
= 1, cosicché
|ψ| 2 è la densità di probabilità nello spazio delle configurazioni τ) che il
450

Volumetto 4: 24 aprile 1930
sistema si trovi al tempo t nello stato ψ0 o negli stati ψW , o in stati ψW ′,
con W ′ differente da W . In luogo di probabilità relativa che il sistema si
trovi in un certo stato, parleremo di “numero di sistemi” in quello stato.
Ora, benché lo stato infinito ψW non sia rigorosamente stazionario e rappresenti
un numero infinito di sistemi, solo un numero finito di questi ha
energia differente da E0 +W per una quantità finita, cosicché dobbiamo aspettarci
che crescano indefinitamente, e possiamo presumere linearmente,
nel tempo, solo transizioni a stati infinitamente prossimi a ψW e φW . Tratteremo
il problema servendoci degli stati stazionari Z 1 W e Z 2 W e usando
delle approssimazioni (4.507) e (4.509). Sviluppando ψW secondo Z 1 W e
Z 2 W , abbiamo:
ψW =
1
N ′ W
+
ɛ I
|I| 2 + |L| 2 Z1
W + I
Z 1 W ′
N ′ W ′(W ′ ′
dW
− W )
L
|I| 2 + |L| 2 Z2 W . (4.514)
L’integrale ha al solito il suo valore principale. Se al tempo t = 0 ψ = ψW ,
possiamo calcolare immediatamente ψ al tempo t servendoci dello sviluppo
(4.514):
ψ =
1
N ′ W
+
ɛ I
|I| 2 + |L| 2 e−iEt/ Z 1
W + I
e −iE′ t/
Z 1 W ′
N ′ W ′(W ′ ′
dW
− W )
L
|I| 2 + |L| 2 e−iEt/ Z 2 W , (4.515)
essendo E = E0 + W , E ′ = E0 + W ′ . Sostituendo in (4.515) mediante
(4.510) possiamo ottenere l’espressione di ψ a mezzo degli stati imperturbati
ψ0, ψW , φW . Ad evitare difficoltà derivanti dalle singolarità degli
integrali, giova sostituire dovunque ad espressioni del tipo (1/W ′ − W )
altre della forma
W ′ − W
(W ′ − W ) 2 + α 2
e per quindi α → 0. Per t > 0 conviene rappresentare ψ come somma di due
soluzioni particolari: ψ = ψ1 + ψ2, tali che per t = 0 ψ1 + ψ2 = ψW , e delle
quali ψ1 descrive essenzialmente il fenomeno per tempi sufficientemente
lunghi, mentre ψ2 è uno stato finito della forma (4.512). Si trova così
t > 0, ψ = ψ1 + ψ2,
451

ψ1 = e −iEt/ ψW +
−
I
ɛ + iπQ 2
I
ψ2 = −
ɛ + iπQ2 con
+
Volumetto 4: 24 aprile 1930
I
ɛ + iπQ 2 e−iEt/ ψ0
IψW ′ + LφW ′
ɛ ′ − ɛ
e i(E0−k)t/ e −t/2T ψ0
−iEt/
e 1 − e i(E−E′ )t/
dE ′
IψW ′ + LφW ′
ɛ ′ + iπQ2 e −iE′ t/
1 − e i(E′ −E0+k)t/ −t/2T
e
dE ′
Q = |I| 2 + |L| 2 ,
1
T
= 2π
Q2 ,
ɛ = E − E0 + k, ɛ ′ = E ′ − E0 + k.
,
(4.516)
Il numero di transizioni nell’unità di tempo dallo stato ψW a stati ψW ′ e
φW ′ di energia prossima a E dipende per tempi sufficientemente lunghi dal
denominatore di risonanza 1/(ɛ ′ − ɛ) nell’espressione di ψ1. Indicando con
A il numero di transizioni nell’unità di tempo a stati ψW ′ (W ′ = W ) e con
B il numero di transizioni a stati φW ′, troviamo:
A = 2π
|I|2
|I| 2
ɛ2 + π2 2π
, B =
Q4 |L|2
|I| 2
ɛ2 + π2 . (4.517)
Q4 Riprendiamo le equazioni esatte (4.502) e introduciamo alcune notazioni
semplificanti. Poniamo
ɛW =
W + |IW ′|2
dW ′
W ′ − W +
|LW ′|2
dW ′
W ′ − W
= W + kW , (4.518)
QW = |IW | 2 + |LW | 2 , (4.519)
con che (4.503), (4.504), e (4.505) diventano:
a = ɛW
IW
Q2 W
, A = ɛW
LW
Q2 , N
W
′ W =
452
ɛ2 W
Q2 W
+ π2Q2 W , (4.520)

e le (4.502):
Z 1 W
=
1
N ′ W
−
Volumetto 4: 24 aprile 1930
IW
ψ0 + ɛW
Q2 LW
ψW + ɛW
W
Q2 φW
W
IW ′
ψW ′
W ′ − W dW ′ −
Z 2 W = LW
ψW −
QW
IW
φW .
QW
LW ′
φW ′
W ′
′
dW
− W
(4.521)
Conviene introdurre certe combinazioni degli stati ψW e φW che in varie
applicazioni hanno un significato fisico speciale. Porremo:
essendo:
ψW = u 1 W + u 2 W , φW = v 1 W + v 2 W , (4.522)
u 1 W = 1
2 ψW − i
2π
u 2 W = 1 i
ψW +
2 2π
v 1 W = 1 i
φW −
2 2π
v 2 W = 1
2 φW + i
2π
IW ′
IW
IW ′
IW
LW ′
LW
LW ′
Oltre alle (4.522), varranno le relazioni:
IW ′
ψW ′
W ′ − W dW ′ = iπ IW
LW ′
φW ′
W ′ − W dW ′ = iπ LW
LW
ψW ′
W ′ ′
dW
− W
ψW ′
W ′ − W dW ′ ;
φW ′
W ′ ′
dW
− W
φW ′
W ′ − W dW ′ .
1
uW − u 2
W
1
vW − v 2
W .
Sostituendo mediante queste e le (4.522), le (4.521) diventano:
Z 1 W
=
1
N ′ W
ψ0 + IW
N ′ W
ɛW
Q 2 W
− iπ u 1 W + IW
N ′ W
453
ɛW
Q 2 W
(4.523)
(4.524)
(4.525)
+ iπ u 2 W

+ LW
N ′ W
ɛW
Q 2 W
Volumetto 4: 24 aprile 1930
− iπ v 1 W + LW
N ′ W
ɛW
Q 2 W
Z 2 W = LW
u
QW
1 W + LW
u
QW
2 W − IW
v
QW
1 W − IW
v
QW
2 W .
+ iπ v 2 W , (4.526)
Il più generale stato stazionario appartenente all’energia E0 + W è una
combinazione di Z 1 W e Z 2 W :
Potremo quindi porre:
essendo:
ZW = λ Z 1 W + µ Z 2 W . (4.527)
ZW = c ψ0 + c1 u 1 W + c2 u 2 W + C1 v 1 W + C2 v 2 W , (4.528)
Da notare l’identità:
c =
λ
N ′ W
c1 = λ IW
N ′ W
c2 = λ IW
N ′ W
C1 = λ LW
N ′ W
C2 = λ LW
N ′ W
ɛW
Q2 W
ɛW
Q2 W
ɛW
Q2 W
ɛW
Q 2 W
− iπ + µ LW
QW
+ iπ + µ LW
QW
− iπ − µ IW
QW
+ iπ − µ IW
.
QW
(4.529)
|c1| 2 + |C1| 2 = |c2| 2 + |C2| 2 = |λ| 2 + |µ| 2 . (4.530)
Vogliamo trovare stati stazionari della forma (4.528) con C2 = 0. Basta
per ciò porre nelle (4.529):
ɛW
+ iπ . (4.531)
λ = IW
, µ =
QW
LW
N ′ W
Q 2 W
Notiamo per l’applicazione della (4.530) che essendo
ɛW
+ iπ
= N ′ W
,
Q 2 W
454
QW

segue dalle (4.531):
Volumetto 4: 24 aprile 1930
|λ| = |IW |
, |µ| = |LW |
, |λ| 2 + |µ| 2 = 1, (4.532)
QW
QW
cosicché le (4.530) divengono, essendo C2 = 0:
|c1| 2 + |C1| 2 = 1, |c2| 2 = 1. (4.533)
L’espressione dello stato che consideriamo sarà della forma:
ZW = c ψ0 + c1 u 1 W + c2 u 2 W + C1 v 1 W , (4.534)
e i valori delle costanti si otterranno sostituendo in (4.529) con (4.531):
Segue
c =
c1 =
IW
N ′ W QW
1
N ′ W QW
C1 = − 2iπ
c2 =
1
N ′ W QW
ɛW − iπ |IW | 2 − |LW | 2
IW LW
N ′ W QW
ɛW + iπ Q 2
W .
|c1| 2 = ɛ2 W + π 2 (|IW | 2 − |LW | 2 ) 2
ɛ 2 W + π2 Q 4 W
|C1| 2 = 4π2 |IW | 2 |LW | 2
ɛ 2 W + π2 Q 4 W
|c2| 2 = 1, |c1| 2 + |C1| 2 = 1.
(4.535)
(4.536)
Nell’approssimazione in cui si possono ritenere costanti IW = I e LW = L
il rapporto |C1| 2 /|c2| 2 ha il suo valore massimo per ɛW = 0. Tale valore
massimo è dato da:
|C1| 2
|c2| 2
0
= 4|I|2 |L| 2
Q 4
=
4|I| 2 |L| 2
(|I| 2 + |L| 2 = 1 −
) 2
455
|I| 2 − |L| 2
|I| 2 + |L| 2
2
(4.537)

Volumetto 4: 24 aprile 1930
così vale 1 se |I| 2 = |L| 2 , altrimenti è minore d’uno. Poniamo:
p0 =
|C1| 2
|c2| 2
, k = |I|2
.
|L| 2 (4.538)
sarà allora:
p0 =
4k
=
(k + 1) 2
0
k p0
1 1
2 ; 1/2 0.889
3 ; 1/3 0.750
6 ; 1/6 0.490
10 ; 1/10 0.331
100 ; 1/100 0.039
4
(1 + k)(1 + 1/k) =
e così p0(k) = p0(1/k).
Riguardiamo |C1| 2 /|c2| 2 come funzione di ɛ e poniamo
4
, (4.539)
k + 2 + 1/k
p = p(ɛ) = |C1|2
. (4.540)
|c2| 2
Nella solita approssimazione IW = I, LW = L, sarà:
p = 4π2 |I| 2 |L| 2
ɛ2 + π2 . (4.541)
Q4 L’integrale p(ɛ)dɛ ha una speciale importanza nelle applicazioni. Si trova
immediatamente:
p(ɛ) dɛ = 4π2 |I| 2 |L| 2
Q 2
Introducendo la probabilità di disintegrazione
1
T
= 2π
Q2
= 4π 2 |I| 2 |L| 2
Q 4 Q2 . (4.542)
dello stato instabile ψ0 e le probabilità parziali di disintegrazione per passaggio
negli stati ψW e φW :
1
T1
= 2π
|I|2 ,
456
1
T2
= 2π
|L|2

avremo:
1
T
= 1
T1
Volumetto 4: 24 aprile 1930
+ 1
,
T2
1
T1
= k
k + 1
e la (4.542) si può scrivere:
p(ɛ) dɛ = 2π p0
T 4
= 2π
T1
1
k + 1
1
T ,
= 2π
T
= 2π
T2
1
T2
k
(k + 1) 2
= 1
k + 1
1
, (4.543)
T
k
. (4.544)
k + 1
Passiamo a un’applicazione delle formole precedenti al problema della
disintegrazione di risonanza dei nuclei leggeri con cattura della particella α
incidente ed emissione di un protone. 43 Vogliamo considerare perciò il caso
più semplice che esista uno stato instabile del sistema nucleo + particella α
(ψ0) il quale dia luogo spontaneamente a transizioni in cui viene espulsa una
particella α, oppure a transizioni in cui sia espulso un protone e supponiamo
per semplicità che il protone o la particella α risultanti dalla disintegrazione
di ψ0 siano messi in orbita s e inoltre che il nucleo residuo sia lasciato
sempre nello stato fondamentale. Per la posizione matematica del problema
dobbiamo considerare, oltre allo stato instabile ψ0, certi stati ψW che rappresentano
il nucleo originario e una particella α in un’orbita iperbolica
s, e certi stati ψW che rappresentano il nucleo trasformato e un protone
libero in un’orbita s. Lo stato ψ0 è accoppiato così agli stati ψW come agli
stati φW da una perturbazione Hp definita dalle (4.499). Se intendiamo
ψW normalizzata rispetto a dW (e trascuriamo la mobilità del nucleo) è
facile convincersi che esso rappresenta un flusso convergente o divergente di
particelle α pari a 1/2π (particelle nell’unità di tempo) e così pure 44 φW
rappresenta un flusso entrante o uscente di protoni pari 1/2π. Al contrario
gli stati non stazionari u 1 W e u 2 W definiti dalle (4.523) rappresentano a
grande distanza solo flusso uscente [rispettivamente, entrante] di particelle
α sempre di intensità 1/2π. Analogamente, v 1 W e v 2 W definiti da (4.524)
rappresentano flusso uscente o entrambi di protoni.
Supponiamo ora che un’onda piana di particelle di determinata energia
rappresentante un flusso unitario per unità d’area cada sul nucleo
non disintegrato e vogliamo determinare come vengono diffuse le particelle
α e quante di esse diano luogo a processi di disintegrazione. Basta per
43 In linguaggio moderno, ciò significa una reazione (α, p): N + α → p + N ′ .
44 Questo punto è alquanto oscuro nel manoscritto originale.
457

Volumetto 4: 24 aprile 1930
ciò costruire uno stato stazionario che rappresenti l’onda piana incidente
più un’onda sferica divergente di protoni. Un tale stato può aversi come
somma di soluzioni particolari. Le soluzioni particolari corrispondenti al
nucleo originario più particelle α con quanti azimutali differenti da zero
rappresentano ordinari processi di diffusione e hanno la forma ben nota
dalla teoria della diffusione in campo coulombiano. Ma nel nostro stato
deve entrare anche una soluzione particolare che rappresenti particelle α
incidenti con l = 0 e non solo un’onda divergente di particelle α con l = 0
ma, anche a causa dell’accoppiamento con ψ0 e di questo con gli stati φW ,
lo stesso stato eccitato in un certo grado nonché un’onda divergente di protoni.
Una tale soluzione particolare avrà la forma (4.534), ed i valori delle
costanti sono dati dalla (4.535) a meno di un fattore di proporzionalità.
Ora c2 può essere determinato dalla condizione che il flusso entrante di particelle
α sia quello dovuto all’onda piana incidente. Questo flusso entrante
vale |c2| 2 /2π; d’altra parte il numero di particelle α con l = 0 che passano
in prossimità del nucleo nell’unità di tempo è uguale al flusso attraverso
una sezione circolare normale alla direzione di propagazione dell’onda e di
raggio λ/2π (λ = lunghezza d’onda delle particelle α). Poiché la nostra
onda incidente rappresenta un flusso unitario per unità di area, sarà:
|c2| 2
2π
= π
λ
2π
2
da cui, a meno di una costante di fase:
= λ2
4π
π2
=
M 2 , (4.545)
v2 c2 = √ 2π2 λ
. (4.546)
2π
Attraverso (4.535) potremo ottenere c, c1 e C1 moltiplicando per il valore
(4.546) di c2 diviso il valore di c2 nel caso (4.535). A noi interessano qui solo
i moduli delle quantità c1 e C1, poiché ci occupiamo solo della frequenza
dei processi di disintegrazione e non delle anomalie della diffusione, che
dipendono anche dalla fase di c1. Segue dalle (4.536) e da (4.546)
|c1| 2 = λ2
2
|C1| 2 = λ2
2
ɛ 2 + π 2 (|IW | 2 − |LW | 2 ) 2
ɛ2 + π2Q4 W
4π 2 |IW | 2 |LW | 2
ɛ2 + π2Q4 W
|c2| 2 = λ2
, λ = 2π/Mv.
2
458
(4.547)

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Il flusso uscente di protoni è dato da |C1| 2 /2π, e misura la sezione
efficace per la disintegrazione S(ɛ):
S(ɛ) = λ2
4π
4π 2 |IW | 2 |LW | 2
ɛ2 + π2Q4 . (4.548)
W
In prima approssimazione potremo supporre λ, IW e LW indipendenti da
ɛ e la (4.548) diventa:
S(ɛ) = λ2
4π
ovvero introducendo p(ɛ) mediante (4.541):
4π 2 |I| 2 |L| 2
ɛ2 + π2 , (4.549)
Q4 S(ɛ) = λ2
p(ɛ). (4.550)
4π
Poiché λ 2 /4π dà la sezione efficace per particelle α di quanto azimutale
nullo, p(ɛ) è la probabilità che una di tali particelle provochi la disintegrazione.
Per ɛ = 0, cioè per il valore più favorevole dell’energia, questa
probabilità è massima; l’espressione di p(0) è data come si è visto da
(4.539).
È interessante che p(0) può giungere al valore 1 quando k = 1.
Cioè se lo stato ψ0 ha la stessa probabilità di risolversi nell’emissione di
un protone o di una particella α e l’energia delle particelle α incidenti
ha il valore più favorevole, allora tutte le particelle incidenti con quanto
azimutale nullo danno luogo a disintegrazione. La sezione S(ɛ) corrispondente
a particelle di energia determinata E0 + k + ɛ è spesso inaccessibile
all’osservazione e solo S(ɛ)dɛ è misurabile. Sostituendo in (4.544) si ha:
S(ɛ) dɛ = λ2
2T
p(0)
4
= λ2
2T
k λ2 π
= p(0). (4.551)
(k + 1) 2 4π 2T
4.29 Funzioni sferiche con spin (II)
Data una funzione a tre valori che si trasformano secondo D1, le formole
(4.390) permettono di passare alle ordinarie coordinate cartesiane. Giova
459

Volumetto 4: 24 aprile 1930
talvolta conoscere le componenti secondo il raggio vettore r, secondo il
meridiano (verso θ crescente, cioè congruente a −r) e secondo il parallelo
(φ crescente). Si ha evidentemente, tenendo presenti le formole (4.390),
ψr = x y z
ψx + ψy +
r r r ψz
= − 1 x + iy
√ ψ1 +
2 r
z 1 x − iy
ψ2 + √ ψ3
r 2 r
ψθ = cos θ cos φ ψx + cos θ sin φ ψy − sin θψz
= − 1 x x + iy
√
2 r x2 + y2 ψ1 −
ψφ = − sin φ ψx + cos φ ψy
= − i
√ 2
x + iy
x2 + y2 ψ1 − i
√
2
x 2 + y 2
r
x − iy
x 2 + y 2 ψ3.
ψ2 + 1 z
√
2 r
x − iy
x 2 + y 2 ψ3
(4.552)
Vogliamo trovare le componenti (r, θ, φ) delle funzioni sferiche (4.377). Per
applicare comodamente le formole (5.163) poniamo le (4.552) nella forma:
ψr = − 1 x + iy
√ ψ1 +
2 r
z
r ψ2 + 1 x − iy
√ ψ3
2 r
ψθ =
1
sin θ
− 1 z x + iy
√ ψ1 −
2 r r
x2 + y 2
r2 ψ2 + 1
z x − iy
√ ψ3
2 r r
ψφ =
1
sin θ
− i x + iy
√ ψ1 −
2 r
i
x − iy
√ ψ3 .
2 r
460
(4.553)

VOLUMETTO
5
5.1 Rappresentazioni del gruppo di
Lorentz
Il gruppo delle trasformazioni reali di Lorentz agenti sulle variabili ct, x, y, z
può essere costruito per composizione delle trasformazioni infinitesime
Sx =
⎛
⎜
⎝
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
⎞
⎟
⎠
0 0 1 0
, Sy =
⎛
⎜
⎝
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
⎞
⎟
⎠
0 −1 0 0
,
⎛
⎜
Sz = ⎜
⎝
0
0
0
0
0
1
0
−1
0
0
0
0
⎞
⎟
⎠
0 0 0 0
,
Tx =
⎛
⎜
⎝
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
⎞
⎟
⎠ , Ty =
⎛
⎜
⎝
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
⎞
⎟
⎠
0 0 0 0
0 0 0 0
,
⎛
⎜
Tz = ⎜
⎝
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
⎞
⎟
⎠
1 0 0 0
.
Esse soddisfano alle seguenti relazioni di scambio, quelle che si deducono
per permutazioni circolari di x, y, z da una già scritta essendo indicate con
puntini:
Sx Sy − Sy Sx = Sz,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
461

Volumetto 5
Tx Ty − Ty Tx = − Sz,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sx Tx − Tx Sx = 0, (5.1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sx Ty − Ty Sx = Tz,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sx Tz − Tz Sx = − Ty,
etc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Del gruppo di Lorentz possono darsi due rappresentazioni irriducibili inequivalenti
mediante matrici del secondo ordine di determinante 1: le chiameremo
D1/2 e D ′ 1/2, rispettivamente. Una rappresentazione irriducibile
Dj delle matrici appartenenti a D1/2 è ancora una rappresentazione irriducibile
del gruppo di Lorentz; analogamente si possono costruire le rappresentazioni
irriducibili D ′ 1/2. La più generale rappresentazione irriducibile
del gruppo di Lorentz è data probabilmente da:
Djj ′ = Dj×D′ j ′, j, j′ = 0, 1 3
, 1, , . . . . (5.2)
2 2
(se j + j ′ è intero rappresentazioni univoche, altrimenti a due valori).
Vediamo ora come si possano costruire D1/2 e D ′ 1/2. Consideriamo un
vettore p = (p0, px, py, pz) le cui componenti si intende che si trasformino
come ct, x, y, z, e coordiniamo ad esso una matrice del secondo ordine che
indichiamo ancora con p:
p = p0 + pxσx + pyσy + pzσz =
p0 + pz px − i py
px + i py p0 − pz
. (5.3)
È chiaro che inversamente a ogni matrice del secondo ordine corrisponde
un determinato quadrivettore p. Avremo
det p = p 2 0 − p 2 x − p 2 y − p 2 z. (5.4)
Siano ora S e T due matrici arbitrarie del secondo ordine di determinante
1: 45
S = S0 + Sxσx + Syσy + Szσz, S 2 0 − S 2 x − S 2 y − S 2 z = 1,
T = T0 + Txσx + Tyσy + Tzσz, T 2 0 − T 2 x − T 2 y − T 2 z = 1.
(5.5)
45 Nel manoscritto originale è annotato: “in luogo di S e T , usare altre lettere,
462

Volumetto 5
La trasformazione p → p ′ è una trasformazione di Lorentz se per le matrici
corrispondenti vale la relazione:
Si ha infatti:
cioè:
p ′ = S p T . (5.6)
det p ′ = det S det p det T = det p, (5.7)
p ′2
0 − p ′2
x − p ′2
y − p ′2
z = p 2 0 − p 2 x − p 2 y − p 2 z. (5.8)
Si può dimostrare che mediante (5.6) si ottiene la più generale trasformazione
di Lorentz e ognuna esattamente due volte poiché alla stessa
trasformazione si arriva cambiando segno simultaneamente a S e T . Le
trasformazioni (5.6) sono tutte le trasformazioni proprie soddisfacenti a
(5.8), dunque tutte le trasformazioni reali o immaginarie di Lorentz. Se
vogliamo limitarci alle trasformazioni reali dobbiamo imporre certe relazioni
fra S e T . Al più generale quadrivettore reale p corrisponde la
più generale matrice Hamiltoniana del secondo ordine; se vogliamo dunque
che la (5.6) definisca una trasformazione reale dovrà essere p ′ Hermitiana
se tale è p. Dovrà quindi essere per p Hamiltoniana arbitraria:
S p T = (S p T ) † = T † p † S † = T † p S † , (5.9)
cioè:
T † −1
S p = p S † T −1 , (5.10)
e ponendo R = S † T −1 , R † = T † −1 S:
R † p = p R. (5.11)
Ponendo p = 1, ricaviamo R = R † , cioè R è essa stessa Hermitiana.
Sarà quindi Rp = pR qualunque sia la matrice Hermitiana p e questo
importa che p sia multipla della matrice unità. Inoltre deve essere det R =
det S/ det T = 1, e quindi infine R = ±1. Abbiamo quindi trasformazioni
reali di Lorentz nei due casi:
T = S †
(5.12)
T = − S † . (5.13)
ad esempio P e Q.” Sebbene la notazione adottata nel testo possa ingenerare confusione,
si è preferito non modificarla, dal momento che le matrici qui considerate
sono del tipo 2 × 2, laddove quelle all’inizio del paragrafo sono 4 × 4.
463

Volumetto 5
Nel secondo caso tuttavia si giunge a trasformazioni che non hanno senso
fisico perché invertono l’asse del tempo. La più generale trasformazione
avente senso fisico è data quindi da:
p ′ = S p S † , (5.14)
essendo S soggetta all’unica condizione det S = 1. Si ha il sottogruppo
delle rotazioni reali o immaginarie se T = S −1 poiché allora è identicamente
p ′ 0 = p0. Nelle rotazioni reali dovendo essere inoltre T = S † , sarà S una
matrice unitaria di determinante 1 e precisamente la più generale matrice
di questo tipo.
Una trasformazione reale di Lorentz determina dunque (a meno del
segno) una matrice S del gruppo SU(2). 46 Le matrici S costituiscono
ovviamente una rappresentazione irriducibile (a due valori) del gruppo di
Lorentz che chiameremo D ′ 1/2; una seconda rappresentazione irriducibile
inequivalente di grado 2 è data dalle matrici (S † ) −1 , e chiameremo questa
D1/2. Come rappresentazioni del sottogruppo d3 le due rappresentazioni
coincidono poiché allora S = (S † ) −1 , essendo le S unitarie. È facile derivare
le espressioni delle trasformazioni infinitesime in D1/2 e D ′ 1/2. Si trova:
(a) rappresentazione D1/2:
Sx = 1
2i
Tx = − 1
2
0 1
, Sy =
1 0
1
2i
0 1
, Ty = −
1 0
1
2
(b) rappresentazione D ′ 1/2:
Sx = 1
2i
Tx = + 1
2
0 1
, Sy =
1 0
1
2i
0 1
, Ty = +
1 0
1
2
0 −i
, Sz =
i 0
1
1 0
,
2i 0 −1
0 −i
, Tz = −
i 0
1
1 0
2 0 −1
0 −i
, Sz =
i 0
1
1 0
,
2i 0 −1
0 −i
, Tz = +
i 0
1
1 0
2 0 −1
.
(5.15)
.
(5.16)
46 Nel manoscritto originale questo gruppo è indicato con u2: abbiamo qui
preferito adottare la notazione moderna SU(2).
464

Volumetto 5
[non confondere le rotazioni infinitesime con le componenti delle trasformazioni
S = S0 + Sxσx + Syσy + Szσz . . .]
Fra le rotazioni infinitesime spaziali e quelle spazio temporali passano
dunque le seguenti relazioni:
D1/2 : (Tx, Ty, Tz) = −i (Sx, Sy, Sz) ,
D ′ 1/2 : (Tx, Ty, Tz) = +i (Sx, Sy, Sz) .
(5.17)
Sia ψ = (ψ1, ψ2) un vettore che si trasforma secondo D1/2, cioè ψ ′ =
(S † ) −1 ψ. Poniamo:
φ = σy ψ ∗ , ψ ∗ = σy φ (5.18)
sarà:
ora, essendo det S = 1
segue
e quindi
φ ′ = σy (S T ) −1 ψ ∗ = σy (S T ) −1 σy φ ; (5.19)
S = S0 + Sxσx + Syσy + Szσz, (5.20)
S −1 = S0 − Sxσx − Syσy − Szσz (5.21)
(S T ) −1 = S0 − Sxσx + Syσy − Szσz (5.22)
σy (S T ) −1 σy = S (5.23)
φ ′ = S φ, (5.24)
cioè φ si trasforma secondo D ′ 1/2. Inversamente, se φ si trasforma secondo
D ′ 1/2, σyφ ∗ si trasforma secondo D1/2.
sarà:
Poniamo
p = φ φ † = 1
2
φ † φ + φ † σxφ σx + φ † σyφ σy + φ †
σzφ σz , (5.25)
p ′ = Sφ φ † S † = SpS † . (5.26)
Segue per la (5.14) che i quadrivettori coordinati a p e p ′ si ottengono il
secondo dal primo per trasformazione di Lorentz. Badando che φ † φ=ψ † ψ,
φ † σxφ=−ψ † σxψ, φ † σyφ=−ψ † σyψ, φ † σzφ=−ψ † σzψ, avremo:
ψ † ψ, −ψ † σxψ, −ψ † σyψ, −ψ † σzψ,
φ † ψ, φ † σxφ, φ † σyφ, φ † σzφ,
ct, x, y, z,
465
(5.27)

Volumetto 5
in cui, ricordiamo, ψ è un generico vettore che si trasforma secondo D1/2
(ψ ′ = (S † ) −1 ψ) e φ un vettore che si trasforma secondo D ′ 1/2 (φ ′ = Sφ).
Si trasformi ψ secondo D1/2, e sia inoltre funzione di ct, x, y, z; allora
φ =
1 ∂ ∂
−
c ∂t ∂x σx − ∂
∂y σy − ∂
∂z σz
ψ (5.28)
si trasforma secondo D ′ 1/2. Infatti sia χ un vettore costante del tipo D1/2.
Moltiplicando a sinistra i due membri di (5.28) per χ † ricaviamo:
χ † φ = 1 ∂
χ
c ∂t
†
φ + ∂
−χ
∂x
†
σxψ
(5.29)
+ ∂
−χ
∂y
†
σyψ + ∂
−χ
∂z
†
σzψ . (5.30)
Per la prima delle (5.27) (che valgono naturalmente anche se a ψ † o φ †
si sostituiscono vettori che si trasformino allo stesso modo), il secondo
membro della (5.30) è la divergenza di un vettore, quindi un invariante.
Segue che è invariante χ † φ, cioè
qualunque sia χ, donde:
χ † S −1 φ ′ = χ † φ (5.31)
φ ′ = S φ, (5.32)
come si voleva dimostrare.
Analogamente, se φ si trasforma secondo D ′ 1/2, allora
1 ∂ ∂ ∂ ∂
ψ = + σx + σy +
c ∂t ∂x ∂y ∂z σz
φ (5.33)
si trasforma secondo D1/2.
Nelle equazioni di Dirac
W e
+
c c A0
ψ + σ· p + e
c A
ψ + mc φ = 0,
W
c
e
+
c A0
φ − σ· p + e
c A
φ + mc ψ = 0,
(5.34)
la prima coppia ψ si trasforma secondo D1/2, e la seconda coppia φ secondo
D ′ 1/2. Le (5.34) si scrivono compendiosamente:
W e
+
c c A0
ψ + ρ3 σ· p + e
c A
ψ + ρ1 mc ψ = 0. (5.35)
466

(continua nel §5.6).
Volumetto 5
5.2 Urto fra protoni e neutroni
Consideriamo il moto relativo di un protone e di un neutrone e supponiamo
che si possa prescindere dallo spin del protone e, se esiste, da quello del neutrone.
Indichiamo con m la massa ridotta del sistema (m ∼ 1/2MN ), e supponiamo
che l’interazione delle due particelle sia rappresentabile mediante
un potenziale V (r) funzione della distanza. L’equazione di Schrödinger per
quanti azimutali ℓ e per la parte radiale dell’autofunzione sarà: 47
u ′′ + 2
r u′ +
2m
ℓ(ℓ + 1)
(E − V ) −
2 r2
Facciamo per V un’ipotesi eccessivamente semplice:
V = − A, per r < R,
V = 0, per r > R.
u = 0. (5.36)
(5.37)
Soluzione di (5.36) regolare all’origine è allora per r < R
u = 1
2m
√ Iℓ+1/2 (E + A) r ,
r 2 (5.38)
mentre per r > R dobbiamo cercare fra le combinazioni lineari di
1
2m
√ Iℓ+1/2 E r
r 2
1
2m
√ Nℓ+1/2 E r
r 2 la soluzione che si raccorda in R con (5.38). Ponendo per brevità:
(5.39)
k 2 = 2m
2 E, k2 0 = 2m
(E + A) (5.40)
2 47 Nel manoscritto originale è utilizzata la vecchia notazione h/2π invece di .
467

Volumetto 5
e disponendo di un’arbitraria costante moltiplicativa perveniamo quindi
alla seguente soluzione di (5.36), regolare all’origine:
uℓ = Cℓ
√r Iℓ+1/2(k0r), r < R,
uℓ = Cℓ
√r
a Iℓ+1/2(kr) + b Nℓ+1/2(kr) , r > R,
con i seguenti valori delle costanti a e b
a = πx
2
b = πx
2
Iℓ+1/2(k0r) N ′ ℓ+1/2(kr) − k0
k I′ ℓ+1/2(k0r) Nℓ+1/2(kr)
k
Iℓ+1/2(kr) I
k0
′ ℓ+1/2(k0r) − I ′ ℓ+1/2(kr) Iℓ+1/2(k0r)
Le costanti Cℓ vogliamo determinarle in modo che
u =
(5.41)
.
(5.42)
∞
uℓ Pℓ(cos θ) (5.43)
ℓ=0
rappresenti a grande distanza l’onda piana (I) e ikz = e ikr cos θ più un’onda
divergente (S). Notoriamente si ha:
I =
∞
ℓ=0
e S = u − I, per r > R, deve avere la forma:
S =
i ℓ
π
(2ℓ + 1)
2kr Iℓ+1/2(kr) Pℓ(cos θ), (5.44)
∞
ℓ=0
essendo H 1 ℓ+1/2 = Iℓ+1/2 + iNℓ+1/2.
Ricaviamo di qua:
Cℓ =
ɛℓ
√ r H 1 ℓ+1/2(kr) Pℓ(cos θ), (5.45)
i ℓ
π
(2ℓ + 1)
a + ib 2k
ɛℓ = − 2ibiℓ
2ℓ + 1 π
a + ib 2 2k .
468
(5.46)

Volumetto 5
L’effetto del diffusore sull’onda sferica d’ordine ℓ è interamente determinato
dall’angolo θℓ che segna l’anticipo di fase di uℓ rispetto a Iℓ+1/2 per grandi
distanze:
tan θℓ = − bℓ/aℓ, (5.47)
poiché l’ultima delle (5.46) si può scrivere:
ɛℓ =
e 2iθ
ℓ − 1 i ℓ 2ℓ + 1
2
π
. (5.48)
2k
Riportiamo per comodo l’espressione delle prime funzioni di Bessel e Neumann
d’ordine mezzo :
I1/2(x)
I3/2(x)
I5/2(x)
=
=
=
2
sin x
πx
2
sin x
− cos x +
πx
x
2
cos x sin x
− sin x − 3 + 3
πx
x x
(5.49)
2
;
N1/2(x)
N3/2(x)
N5/2(x)
=
=
=
2
− cos x
πx
2
cos x
− sin x −
πx
x
2
sin x cos x
cos x − 3 − 3
πx
x x
(5.50)
2
;
H 1,2
1/2 =
2
∓ i
πx e±ix
H 1,2
3/2 =
2
πx e±ix
−1 ∓ i
H
x
(5.51)
1,2
5/2 =
2
πx e±ix
±i − 3 3i
∓
x x2
,
valendo in queste ultime il segno superiore per le funzioni di Hankel di
prima specie e il segno inferiore per le funzioni di seconda specie.
469

Volumetto 5
5.3 Zeri delle funzioni di Bessel d’ordine
mezzo
Ponendo Iℓ+1/2(πxi) = 0 si hanno i seguenti valori numerici di xi, astraendo
da xi = 0:
I1/2 : 1.000, 2.000, 3.000, 4.000;
I3/2 :
I5/2 :
I7/2 :
4.494
π ,
5.763
π ,
6.985
π ,
7.726
π ,
9.095
π ,
10.416
.
π
10.904
,
π
12.324
;
π
5.4 Statistica e termodinamica
14.066
;
π
5.4.1 Entropia di un sistema in equilibrio termico
Siano E0, E1, E2, · · · le energie degli stati stazionari; indichiamo con E
l’energia media. Sarà:
E = Σ ′ /Σ, (5.52)
essendo
Σ =
i
Σ ′ =
i
e −E i/kT , (5.53)
Ei e −E i/kT , (5.54)
dove k è la costante di Boltzmann. La probabilità che il sistema sia nello
stato i sarà:
Pi = A e −E i/kT = P (Ei), (5.55)
470

essendo ovviamente
Definiamo l’entropia da:
S =
Volumetto 5
A = 1/Σ. (5.56)
T
0
1
T
L’integrale si effettua facilmente badando che
si trova infatti:
S =
1
T
dE E
dT =
dT T +
= E
T
dE
dT. (5.57)
dT
Σ ′ = kT 2 dΣ
, (5.58)
dT
+ k
1
E
E dT =
T 2
dΣ
Σ
T +
= k log Σ + E
T
1
T 2
Σ ′
Σ dT
(5.59)
e poiché questa espressione si annulla per T = 0, come è facile verificare,
si ha semplicemente:
S = k log Σ + E
T
1
= k log
A eE/kT
=
1
k log ;
P (E)
(5.60)
si ha così che S/k è il logaritmo del numero di stati quantici differenti che
si alternano nella vita del sistema in equilibrio termico.
5.4.2 Gas perfetti
Il numero di particelle che si trovano in uno stato di energia Es è dato
secondo la statistica di Fermi o di Bose da:
ns
1 − ns
ns
1 + ns
= A e −Es/kT , ns =
1
1
A e−Es/kT (Fermi)
+ 1
(5.61)
= A e −Es/kT
, ns =
1
1
A e−Es/kT (Bose).
− 1
(5.62)
471

s
Volumetto 5
L’entropia del gas risulta:
S = k
1
log
1 − ns
s
− ns log ns
S = k
1 − ns
(Fermi) (5.63)
1 + ns
log
1
1 + ns
+ ns log (Bose). (5.64)
Per temperature elevate e densità piccole (ns → 0), e riferendosi a un
grammomolecola (N particelle, R = Nk, U =
s
nsEs energia del gas),
entrambe le statistiche danno:
S = R (1 − log A) + U
. (5.65)
T
In questo caso limite le particelle possono considerarsi come indipendenti
e così l’entropia del gas deve essere semplicemente la somma delle entropie
delle singole particelle diminuita di k log N! a causa della riduzione di stati
quantici dovuta all’identità delle particelle. L’entropia di una particella
singola è a causa di (5.60):
S ′ = − k log A
N e−U/NkT = k (log N − log A) + U
, (5.66)
NT
e l’entropia del gas risulta, se si tiene conto delle quantità dell’ordine di N
che sole hanno importanza per la definizione di entropia:
S = N S ′ − k log N! = R (log N − log A) + U
− R log N + R
T
= R (1 − log A) + U
,
T
(5.67)
che coincide appunto con la (5.65).
5.4.3 Gas monoatomico
Supponiamo lo stato fondamentale distanziato dagli altri livelli e sia g la
sua molteplicità [g = (2j + 1) oppure g = (2j + 1)(2i + 1) se esiste uno
spin nucleare debolmente accoppiato]. Per temperature elevate e densità
modeste si ha notoriamente:
A =
N h 3
g v (2π m kT ) 3/2
472
ns
(5.68)

e
Segue per la (5.67):
S = R
5.4.4 Gas biatomico
Volumetto 5
U = 3
R T. (5.69)
2
3
5
log T + log v + log g +
2 2
+ 3
log (2π m k) − log N − 3 log h
2
. (5.70)
Supponiamo nullo il momento elettronico, mentre teniamo conto dell’eventuale
spin nucleare. Si ha in questo caso, per temperature sufficientemente
elevate, o densità sufficientemente piccole (ns → 0),
A =
N h 3
v (2π m kT ) 3/2 (g0Σ0 + g1Σ1)
U = g0Σ0U R 0 + g1Σ1U R 1
g0Σ0 + g1Σ1
(5.71)
+ 3
2 R T = U R + 3
R T (5.72)
2
in cui Σ0 e Σ1 sono le somme di stato relative agli stati rotazionali pari
e dispari rispettivamente; U R 0 e U R 1 sono le energie rotazionali quali risulterebbero
se esistessero soltanto i livelli pari o dispari rispettivamente; infine
g0 e g1 sono i pesi dei livelli pari o dispari in dipendenza dello spin
nucleare. Per nuclei differenti si ha quindi:
g0 = g1 = (2i + 1)(2i ′ + 1), (5.73)
mentre per nuclei uguali si ha l’uno o l’altro dei casi:
g0 = i(2i + 1),
g1 = (i + 1)(2i + 1),
oppure
g0 = (i + 1)(2i + 1),
g1 = i(2i + 1),
(5.74)
a seconda della statistica dei nuclei e della parità del termine elettronico.
Le quantità Σ0 e Σ1, e così pure U R 0 /RT e U R 1 /RT , sono funzioni di
ɛ = T0/T, (5.75)
473

essendo T0 definita da
Volumetto 5
k T0 = h 2 /8π 2 I, (5.76)
la temperatura corrispondente alla semidifferenza seconda dei livelli rotazionali.
I dati approssimativi della tabella danno un’idea dell’andamento
di dette grandezze per valori piuttosto grandi ɛ (basse temperature).
U R 0
U R 1
Σ0U R 0 + Σ1U R 1
(Σ0 + Σ1)RT
ɛ = T0
T
Σ0 Σ1 Σ0 + Σ1
RT RT
∞ 1 0 1 0 ∞ 0
1 1.01 0.41 1.42 0.08 2.00 0.63
0.8 1.04 0.61 1.65 0.19 1.60 0.71
0.6 1.14 0.91 2.05 0.44 1.23 0.79
0.4 1.46 1.41 3.87 0.77 0.96 0.86
0.2 2.68 2.67 5.35 0.93 0.94 0.93
Per alte temperature si calcolano (ɛ → 0) senza difficoltà le espressioni asintotiche
delle stesse grandezze. Arrestandoci ai primi termini degli sviluppi
troviamo:
Σ0 = 1
2ɛ
Σ1 = 1
2ɛ
+ 1
6
+ 1
6
+ . . .
+ . . .
Σ = Σ0 + Σ1 = 1 1
+ + . . .
ɛ 3
U R 0 =
RT 1 − ɛ
− . . .
3
U R 1 =
RT 1 − ɛ
+ . . .
3
e così a meno di quantità infinitesime per T → ∞:
e l’energia totale:
(5.77)
(5.78)
U R = RT − 1
3 RT0, (5.79)
U = RT
5
2
474
ɛ
− + . . . . (5.80)
3

Volumetto 5
L’entropia risulta per la (5.65), a meno di quantità che si annullano più
rapidamente di T0/T :
3
T
S = R log T + log + log v + log g
2 T0
+ 7
3
+ log (2π m K) − log N − 3 log h , (5.81)
2 2
in cui
g = (2i + 1)(2i ′ + 1), per nuclei differenti,
g = 1
2 (2i + 1)2 , per nuclei uguali.
5.4.5 Formole numeriche per l’entropia dei gas
(5.82)
L’entropia (5.70) di un grammomolecola di gas monoatomici si può scrivere:
3
S = R log T + log v + B . (5.83)
2
La costante R vale 1.97 cal mol −1 K −1 , 48 mentre la costante numerica B
dipende da g e dal peso atomico P = Nm. Introducendo in (5.70) i valori
numerici si ha: 49
Per l’idrogeno atomico (H), ad esempio:
Per l’elio (He):
B = − 5.575 + log g + 3
log P. (5.84)
2
g = 4, P = 1, B = −4.189. (5.85)
g = 1, P = 4, B = −3.496. (5.86)
48Nel manoscritto originale le unità di misura di R sono genericamente definite
come cal/grado.
49Si noti che il valore numerico −5.575 della (5.84) è ottenuto ponendo R =
8.31·107 erg mol−1 K−1 , N = 6.022·1023 , e h = 6.626·10−27 erg s.
475

Volumetto 5
Per il sodio atomico (Na), prescindendo dallo spin nucleare:
g = 2, P = 23, B = −0.179. (5.87)
L’entropia di un gas biatomico per temperatura elevata (5.81) può anche
scriversi:
5
S = R log T + log v + B .
2
(5.88)
La costante B dipende ora da g (5.82), dal peso molecolare P = NM =
M/MH, e dalla temperatura T0
rotazionali:
che segna il disgelo dei gradi di libertà
B = − 4.575 − log T0 + log g + 3
log P.
2
Per la molecola di idrogeno, ad esempio:
(5.89)
g = 2, P = 2, T0 85 K, B = −7.28. (5.90)
La costante A, che entra nella funzione di distribuzione us = Ae −Es/KT
segna, nella nostra normalizzazione dell’energia, il coefficiente di occupazione
degli stati (individuali) di minima energia. La condizione per la
validità delle formole precedenti, in quanto fondate sulla statistica classica,
è quindi A ≪ 1.
Per il gas monoatomico si ha, sostituendo in (5.68) i valori numerici:
A =
3212
g P 3/2 , (5.91)
v T 3/2
con P peso atomico. E per il gas biatomico si ha la stessa espressione,
con g0 in luogo di g, per le temperature estremamente basse, in cui A può
divenire dell’ordine dell’unità poiché allora i gradi di libertà rotazionali
sono gelati. Da notare per la precisione che per molecole biatomiche a
nuclei uguali in cui fosse g0 = 0, il coefficiente d’occupazione degli stati più
profondi non sarebbe dato da A ma da
A exp −2h 2 /8π 2 IkT , (5.92)
e avrebbe ancora l’espressione (5.91) con g1 in luogo di g. Da notare ancora
che per temperature assai basse il momento nucleare può essere accoppiato
con il momento elettronico. Se p ′ è la pressione in atmosfere (1 atmosfera
= 1.013 dyne/cm 2 ), ed eliminiamo v in (5.91) mediante la relazione dei
gas perfetti, troviamo:
A = 39.5
g P 3/2
476
p ′
. (5.93)
T 5/2

Volumetto 5
5.4.6 Energia libera dei gas biatomici
Energia libera dei gas biatomici
u − T s = ∂
1
(U − T S) = (U − T S + P V )
∂N
N
5 T
= − kT log + ɛ log
2 T0
T
− log P . (5.94)
T1
(P è la pressione, in atmosfere; T0 = 4.31·M −3/5 , essendo M il peso molecolare;
ɛ = 0, 1, 3/2 per molecole monoatomiche, biatomiche o poliatomiche).
Per le molecole biatomiche
kT1 = h2
8π2 . (5.95)
I
Per gran numero di molecole sono da aggiungere a (5.94), già a temperatura
ordinaria, termini correttivi dipendenti dalle oscillazioni.
5.5 Polinomi di uso frequente
5.5.1 Polinomi di Legendre
Pn(x) = 1
2n d
n!
n (x 2 − 1) n
dxn , (5.96)
P0(x) = 1 (5.97)
P1(x) = x (5.98)
P2(x) = 3
2 x2 − 1
2
(5.99)
P3(x) = 5
2 x3 − 3
x
2
(5.100)
P4(x) = 35
8 x4 − 15
4 x2 + 3
8
(5.101)
477

Volumetto 5
P5(x) = 63
8 x5 − 35
4 x3 + 15
x
8
(5.102)
P6(x) = 231
16 x6 − 315
16 x4 + 105
16 x2 − 5
16
(5.103)
P7(x) = 429
16 x7 − 693
16 x5 + 315
16 x3 − 35
x
16
(5.104)
P8(x) = 6435
128 x8 − 3003
32 x6 + 3465
64 x4 − 315
32 x2 + 35
. (5.105)
128
5.6 Trasformazioni di spinori
Riprendiamo le formole del §5.1 per completarle. Al quadrivettore
coordiniamo la matrice del secondo ordine
p = (p0, px, py, pz) (5.106)
p = p0 + px σx + py σy + pz σz. (5.107)
La più generale trasformazione reale di Lorentz otteniamo facendo corrispondere
al vettore p il vettore p ′ tale che per la matrice corrispondente:
Intendiamo che sia p un vettore contravariante:
Se q è un vettore covariante
possiamo porre
p ′ = S p S † , det S = 1. (5.108)
(p0, px, py, pz) ∼ (ct, x, y, z) . (5.109)
(q0, qx, qy, qz) ∼ (ct, −x, −y, −z) , (5.110)
q0 = p0, qx = − px, qy = − py, qz = − pz, (5.111)
e per le matrici corrispondenti:
q = q0 + qx σx + qy σy + qz σz = p −1 / det p ∼ p −1 , (5.112)
478

Volumetto 5
poiché det p è invariante. Eseguendo una trasformazione di Lorentz abbiamo
per la (5.108):
p ′−1 = S −1† p −1 S −1 , (5.113)
e così, per la (5.112):
q ′ = S −1† q S −1 , det S = 1 (5.114)
Le matrici S −1† costituiscono la rappresentazione D1/2 e le matrici S la rappresentazione
D ′ 1/2. Se ψ è una grandezza del tipo D1/2 e φ una grandezza
del tipo D ′ 1/2:
si ha (v §5.1):
cioè:
ψ ′ = S †−1 ψ, φ ′ = S φ, (5.115)
σy ψ ∗ ∼ φ, σy φ ∗ ∼ ψ, (5.116)
φ1, φ2 ∼ ψ ∗ 2, − ψ ∗ 1,
ψ1, ψ2 ∼ φ ∗ 2, − φ ∗ 1.
Siano a = (a1, a2) e b = (b1, b2) grandezze a due componenti. Si ha:
(5.117)
a b ∗ = 1
2 (b∗ a + b ∗ σxa σx + b ∗ σya σy + b ∗ σza σz) , (5.118)
così alla matrice ab ∗ è coordinato il quadrivettore:
1
2 (b∗ a, b ∗ σxa, b ∗ σya, b ∗ σza) . (5.119)
Indichiamo con ψ, Ψ, . . . grandezze del tipo D1/2 e con φ, Φ, . . . grandezze
del tipo D ′ 1/2. Si ha allora:
ψ ′ Ψ ′† = S −1† ψ Ψ † S −1
φ ′ Φ ′† = S φ Φ † S † ,
e così per (5.108), (5.114), (5.118), e (5.116):
Ψ † ψ, −Ψ † σxψ, −Ψ † σyψ, −Ψ † σzψ;
∼ Φ † φ, Φ † σxφ, Φ † σyφ, Φ † σzφ;
∼ ct, x, y, z;
∼ i ψ ∗ σyφ, ψ ∗ σzφ, iψ ∗ φ, −ψ ∗ σxφ.
479
(5.120)
(5.121)

Volumetto 5
Segue che i quadrivettori si trasformano secondo D1/2×D ′ 1/2 = D1/2,1/2
(a meno di un cambiamento di coordinate). Le componenti dei tensori di
ordine più elevato non si trasformano secondo rappresentazioni irriducibili
nemmeno se si considerano tensori aventi speciali caratteri di simmetria.
Così delle 10 componenti del tensore simmetria di secondo ordine una è
invariante e nove si trasformano secondo D1,1, mentre delle sei componenti
del tensore emisimmetrico di secondo ordine se ne trasformano tre secondo
D1,0 ≡ D1, e tre secondo D0,1 ≡ D ′ 1.
Le formole (5.121) considerano in alcuni casi tipici come si trasformano
i prodotti delle componenti di una grandezza ψ per le componenti
di una grandezza φ. Essi danno luogo a una rappresentazione irriducibile
D1/2,1/2. Vogliamo ora considerare la legge di trasformazione di prodotti
di grandezze dello stesso tipo ψ (o φ). Avremo rappresentazioni non più
irriducibili equivalenti a:
D1/2×D1/2 = D0 + D1 oppure D ′ 1/2×D ′ 1/2 = D0 + D ′ 1,
e potremo quindi costruire da combinazioni di detti prodotti un invariante
e tre variabili che si trasformano come certe tre (o le altre tre) delle
componenti del tensore emisimmetrico di secondo ordine. Gli invarianti
nei casi tipici precedentemente considerati si trovano immediatamente;
infatti da
ψ ′ = S −1† ψ e φ ′ = S φ,
segue
ψ ′† φ ′ = ψ † S −1 S φ = ψ † φ.
Facendo uso, al solito, di (5.116), abbiamo così che sono invarianti:
ψ † φ =
A causa di (5.122) sarà:
φ † ψ
†
= ψ †
1φ1 + ψ †
2φ2
i Ψ ∗ σyψ = Ψ1ψ2 − Ψ2ψ1 (5.122)
i Φ ∗ σyφ = Φ1φ2 − Φ2φ1.
ψiΨk ∼ ψiΨk (φ1Φ2 − φ2Φ1) . (5.123)
Notando che l’ultima delle (5.121) si può scrivere
ψ1φ1, ψ1φ2, ψ2φ1, ψ2φ2,
∼ x − iy, ct − z, −ct − z, −x − iy,
480
(5.124)

Volumetto 5
e sostituendo nel secondo membro di (5.123), dove figurano prodotti del
tipo (ψiφℓ)(ΨkΦm), ricaviamo, dopo eliminazione dell’invariante ψ1Ψ2 −
ψ2Ψ1 (che risulta nel fatto tale poiché si trasforma come: c 2 tt1 − xx1 −
yy1 − zz1, che è invariante)
ψ1Ψ1 ∼ −c(tx1 − xt1) + i(yz1 − zy1) + ic(ty1 − yt1)
1
(ψ1Ψ2 + ψ2Ψ1)
2
∼
+(zx1 − xz1),
c(tz1 − zt1) − i(xy1 − yx1), (5.125)
ψ2Ψ2 ∼ c(tx1 − xt1) − i(yz1 − zy1) + ic(ty1 − yt1)
+(zx1 − xz1).
I vari termini del secondo membro si trasformano come le componenti del
campo elettromagnetico; precisamente:
Ex, Ey, Ez ∼ c(tx1 − xt1), c(ty1 − yt1), c(tz1 − zt1);
Hx, Hy, Hz ∼ yz1 − zy1, zx1 − xz1, xy1 − yx1,
cosicché le (5.125) si possono scrivere:
(5.126)
ψ1Ψ1 ∼ −(Ex − iHx) + i(Ey − iHy)
1
2 (ψ1Ψ2 + ψ2Ψ1) ∼ Ez − iHz (5.127)
ψ2Ψ2 ∼ (Ex − iHx) + i(Ey − iHy).
Facendo uso di (5.116), ricaviamo le formole analoghe:
φ1Φ1 ∼ −(Ex + iHx) + i(Ey + iHy)
1
(φ1Φ2 + φ2Φ1)
2
∼ Ez + iHz (5.128)
φ2Φ2 ∼ (Ex + iHx) + i(Ey + iHy);
φ † σxψ ∼ Ex − iHx
φ † σyψ ∼ Ey − iHy (5.129)
φ † σzψ ∼ Ez − iHz;
ψ † σxφ ∼ Ex + iHx
481

Volumetto 5
ψ † σyφ ∼ Ey + iHy (5.130)
ψ † σzφ ∼ Ez + iHz.
Ponendo Ψ = (ψ, φ), segue da (5.129) e (5.130):
Nella nostra rappresentazione si ha:
Ψ † ρ1σxΨ ∼ Ex ∼ − Hx
Ψ † ρ1σyΨ ∼ Ey ∼ − Hy
Ψ † ρ1σzΨ ∼ Ez ∼ − Hz
Ψ † ρ2σxΨ ∼ Hx ∼ Ex
Ψ † ρ2σyΨ ∼ Hy ∼ Ey
Ψ † ρ2σzΨ ∼ Hz ∼ Ez.
(5.131)
α = ρ3 σ, β = ρ1. (5.132)
Per passare a una rappresentazione generica corrispondente alle equazioni
W
c
+ α·p + β mc Ψ = 0, (5.133)
basta eseguire nelle formole precedenti le sostituzioni:
ρ1 → β, σx → − i αy αz,
ρ2 → β αx αy αz, σy → − i αz αx,
ρ3 → − i αx αy αz, σz → − i αx αy.
(5.134)
Si trovano così in generale le seguenti leggi di trasformazione per tutte le
combinazioni di prodotti Ψ ∗ rΨs:
Ψ † Ψ ∼ −iΨ † αxαyαzΨ ∼ ct
−Ψ † αxΨ ∼ iΨ † αyαzΨ ∼ x
−Ψ † αyΨ ∼ iΨ † αzαxΨ ∼ y
−Ψ † αzΨ ∼ iΨ † αxαyΨ ∼ z.
482
(5.135)

Volumetto 5
iΨ † βαxΨ ∼ Ex, iΨ † βαyΨ ∼ Ey, iΨ † βαzΨ ∼ Ez,
iΨ † βαyαzΨ ∼ Hx, iΨ † βαzαxΨ ∼ Hy, iΨ † βαxαyΨ ∼ Hz,
Poniamo
(5.136)
Ψ † βΨ ∼ Ψ † βαxαyαzΨ ∼ 1. (5.137)
F 1 = Ψ † Ψ, F 9 = iΨ † βαxΨ
F 2 = −Ψ † αxΨ, F 10 = iΨ † βαyΨ
F 3 = −Ψ † αyΨ, F 11 = iΨ † βαzΨ
F 4 = −Ψ † αzΨ, F 12 = +iΨ † βαyαzΨ
F 5 = −iΨ † αxαyαzΨ, F 13 = +iΨ † βαzαxΨ
F 6 = iΨ † αyαzΨ, F 14 = +iΨ † βαxαyΨ
F 7 = iΨ † αzαxΨ, F 15 = Ψ † βΨ
F 8 = iΨ † αxαyΨ, F 16 = Ψ † βαxαyαzΨ.
Ponendo, in generale
F p =
r,s
F p rs Ψ ∗ r Ψs, (5.138)
le matrici Hermitiane Frs risultano unitarie e dalla considerazione del
gruppo delle 32 matrici distinte della forma
seguono le relazioni di ortogonalità:
16
p=1
± β n0 α n1
x α n2
y α n3
z , (5.139)
F p∗
rs F p
r ′ s ′ = 4 δrr ′ δss ′ (5.140)
483

da cui segue:
Volumetto 5
Ψ ∗ r Ψs = 1
4
16
p=1
F p rs F p . (5.141)
5.7 Funzioni sferiche con spin s = 1/2
Siano ϕ m ℓ le funzioni sferiche ordinarie normalizzate e con le costanti di
fase così scelte da dar luogo alla rappresentazione ordinaria del momento
angolare rispetto agli assi x, y, z. Per esempio:
ϕ m ℓ
= (−1) m
essendo P m ℓ i polinomi di Legendre:
Si ha
2ℓ + 1 (ℓ − m)!
4π (ℓ + m)! P m ℓ (cos θ) e imφ , (5.142)
P m ℓ (t) = 1
2ℓ 2
1 − t
ℓ!
m/2 d ℓ+m (t 2 − 1) ℓ
dtℓ+m . (5.143)
ϕ m ℓ
= (−1) m ϕ −m∗
ℓ , (5.144)
e in luogo di (5.142) si può anche scrivere
ϕ m
2ℓ + 1 (ℓ + m)! −m
ℓ =
Pℓ (cos θ) e
4π (ℓ − m)! imφ . (5.145)
Le funzioni sferiche con spin s = 1/2 a due valori che si trasformano secondo
Dj (j = 1/2, 3/2, 5/2, . . .) con determinata segnatura e appartengono
quindi a valori fissati di j e di ℓ = j ∓ 1/2) sono definite da:
S m k =
k + m − 1/2
ϕ
2k − 1
m−1/2
ℓ , (−1) k+ℓ+1
k − m − 1/2
ϕ
2k − 1
m+1/2
ℓ .
(5.146)
Il numero intero, positivo o negativo, k (k = ±1, ±2, ±3, . . .) definisce j e
ℓ mediante la relazione:
k = j(j + 1) − ℓ(ℓ + 1) + 1
4 =
⎧
⎨
⎩
ℓ + 1,
− ℓ,
per j = ℓ + 1/2,
per j = ℓ − 1/2.
(5.147)
484

(a) relazioni varie fra ℓ, j, k:
Volumetto 5
σ·L = k − 1
ℓ(ℓ + 1) = (k − 1)k
(j + m)(j − m + 1) = (k + m − 1/2) (k − m + 1/2) (5.148)
(ℓ + m + 1/2) (ℓ − m + 1/2) = (k + m − 1/2) (k − m − 1/2)
(ℓ − a)(ℓ + 1 + a) = (k − 1 − a)(k + a);
(b) matrici di momenti angolari:
(Jx − i Jy) S m k = (k + m − 1/2) (k − m + 1/2) S m−1
k
(Jx + i Jy) S m k = (k + m + 1/2) (k − m − 1/2) S m+1
k
Jz S m k = m S m k ;
(c) legame fra S m k , S m −k, e S −m
k :
(5.149)
S m −k = σz S m k (5.150)
k = i σy (−1) k+ℓ+m−1/2 m ∗
S
S −m
(d) sull’operatore (σ · p): 50
σ·p f(r) S m k =
i
σ·p f(r) S m −k =
i
d
dr
d
dr
k − 1
− f(r) S
r
m −k
k + 1
+ f(r) S
r
m k ;
(e) le funzioni sferiche con spin di ordine più basso:
k = 1; j = 1
, ℓ = 0
2
S 1/2
1 = ϕ 0 0, 0 =
S −1/2
1 = 0, ϕ 0 0 =
1
√4π , 0
0,
k ; (5.151)
1
√ ;
4π
(5.152)
50 Nel manoscritto originale è utilizzata la vecchia notazione h/2π invece di .
485

S 1/2
−1
S −1/2
−1
=
=
Volumetto 5
1
3 ϕ0
2
1, −
3 ϕ1
1 =
2
3 ϕ−1
1
1 , −
3 ϕ0
1 =
S 3/2
2 = ϕ 1 1, 0 =
S 1/2
2
S −1/2
2
=
=
k = −1; j = 1
, ℓ = 1
2
1
√4π cos θ,
1
√ sin θ e
4π iφ
1
√4π sin θ e −iφ , − 1
√ cos θ ;
4π
k = 2; j = 3
, ℓ = 1
2
3
−
8π sin θ eiφ
, 0
2
3 ϕ0
1
1,
3 ϕ1
1
1 = √2π cos θ, − 1
√ sin θ e
8π iφ
1
3 ϕ−1
2
1 ,
3 ϕ0
1
1 = √8π sin θ e −iφ
1
, √ cos θ
2π
S −3/2
2 = 0, ϕ −1
1 =
S 3/2
−2
S 1/2
−2
=
=
=
0,
3
8π
sin θ e−iφ
k = −2; j = 3
, ℓ = 2
2
1
5 ϕ1
4
2, −
5 ϕ2
2
3
−
8π sin θ cos θ eiφ
3
, −
8π sin2 θ e 2iφ
2
5 ϕ0
3
2, −
5 ϕ1
2
486
;

S −1/2
−2
S −3/2
−2
Volumetto 5
=
1
2π
3
2 cos2 θ − 1
9
, − sin θ cos θ eiφ
2 8π
=
3
5 ϕ−1
2
2 , −
5 ϕ0
2
=
9
8π sin θ cos θ e−iφ
1
, −
2π
3
2 cos2 θ − 1
2
=
4
5 ϕ−2
1
2 , −
5 ϕ−1
2
=
3
8π sin2 θ e −2iφ
3
, − sin θ cos θ e−iφ ;
8π
(f) matrici di x/r, y/r, z/r rispetto alle funzioni sferiche ordinarie:
x − iy
r
x + iy
r
ϕ m ℓ = sin θ e −iφ ϕ m ℓ = −
ϕ m ℓ = sin θ e iφ ϕ m ℓ =
z
r ϕm ℓ = cos θ ϕ m ℓ =
(ℓ + m)(ℓ + m − 1)
(2ℓ + 1)(2ℓ − 1) ϕm−1 ℓ−1
(ℓ − m + 1)(ℓ − m + 2)
+
(2ℓ + 1)(2ℓ + 3)
(ℓ − m)(ℓ − m − 1)
(2ℓ − 1)(2ℓ + 1) ϕm+1 ℓ−1
(ℓ + m + 1)(ℓ + m + 2)
−
ϕ
(2ℓ + 1)(2ℓ + 3)
m+1
ℓ+1
(ℓ − m)(ℓ + m)
(2ℓ − 1)(2ℓ + 1) ϕmℓ−1
(ℓ − m + 1)(ℓ + m + 1)
+
ϕ
(2ℓ + 1)(2ℓ + 3)
m ℓ+1;
(g) matrici x/r, y/r, z/r rispetto alle funzioni sferiche con spin:
x − iy
r
S m k = − 1
k + m −
2k − 1
1
k + m −
2
3
S
2
m−1
k−1
487
ϕ m−1
ℓ+1

x + iy
r
S m k
+
Volumetto 5
1
k − m +
2k + 1
1
2
z
r Sm k = (−1)k+ℓ+1
2k − 1
k − m + 3
k − m + 1
2
S m−1
k+1
k + m − 1
S m−1
−k
+
2
(2k − 1)(2k + 1)
2
2
=
1
k − m −
2k − 1
1
k − m −
2
3
S
2
m+1
k−1
−
1
k + m +
2k + 1
1
k + m +
2
3
S
2
m+1
k+1
+
2
k − m −
(2k − 1)(2k + 1)
1
k + m +
2
1
S
2
m+1
−k
k + m − 1
k − m −
2
1
S
2
m k−1
+ (−1)k+ℓ+1
k + m +
2k + 1
1
k − m +
2
1
S
2
m k+1
+
2
(2k − 1)(2k + 1) m Sm −k;
(h) matrici di Lx, Ly, Lz (si noti che |2k − 1| = 2ℓ + 1):
(Lx − iLy) S m k =
+
(Lx + iLy) S m k =
−
Lz S m k =
2k − 2
k + m −
2k − 1
1
2
k + m − 1
k − m + 1
2
k + m − 3
S m−1
k
S m−1
−k+1
1
|2k − 1|
2
2
2k − 2
k + m +
2k − 1
1
k − m −
2
1
S
2
m+1
k
1
k − m −
|2k − 1|
1
k − m −
2
3
S
2
m+1
−k+1
2k − 2
2k − 1 m Sm k
488

−
(i) matrici di σx, σy, σz:
(σx − iσy) S m k
(σx + iσy) S m k
σz S m k
=
−
=
+
=
−
Volumetto 5
1
k + m −
|2k − 1|
1
k − m −
2
1
S
2
m −k+1;
2
k + m −
2k − 1
1
2
2
|2k − 1|
2
|2k − 1|
1
|2k − 1|
k + m − 1
k − m + 1
2
k + m + 1
2
k − m − 1
2
2
k + m − 3
S m−1
k
2
k − m − 1
2
k − m − 3
2
S m−1
−k+1
S m+1
k
S m+1
−k+1
2
2k − 1 m Sm k
1
k + m −
|2k − 1|
1
k − m −
2
1
S
2
m −k+1.
5.8 Rappresentazioni unitarie in infinite
dimensioni del gruppo di Lorentz
Le rappresentazioni del gruppo di Lorentz considerate nel §5.1 sono, ad eccezione
della rappresentazione identica, essenzialmente non unitarie, cioè
non possono rendersi tali per trasformazione. L’impossibilità di avere rappresentazioni
unitarie fedeli del gruppo di Lorentz deriva dall’essere questo
gruppo aperto. I gruppi aperti però possono avere, a differenza dei gruppi
chiusi, rappresentazioni irriducibili, anche unitarie, in infinite dimensioni.
Per ciò che riguarda il gruppo di Lorentz diamo più sotto due classi di tali
rappresentazioni unitarie. Una rappresentazione può essere definita dalle
489

Volumetto 5
trasformazioni infinitesime soddisfacenti alle relazioni di scambio (5.1). In
luogo di Sx, Sy, Sz, Tx, Ty, Tz possiamo introdurre le matrici:
ax = i Sx, bx = −i Tx, . . . . (5.153)
Queste saranno Hermitiane in una rappresentazione unitaria e viceversa.
Obbediranno inoltre alle relazioni 51
[ax, ay] = i az
[bx, by] = −i az
[ax, bx] = 0 (5.154)
[ax, by] = i bz
[bx, ay] = i bz
etc.
Ognuna delle nostre rappresentazioni opera in uno spazio a infinite dimensioni
i cui vettori unitari sono distinti da due numeri j e m (nelle rappresentazioni
della prima classe j = 1/2, 3/2, 5/2, . . ., m = j, j − 1, . . . , −j; nelle
rappresentazioni della seconda classe j = 0, 1, 2, . . ., m = j, j − 1, . . . , −j).
Oltre a ciò ogni rappresentazione è contrassegnata da un numero reale Z0
suscettibile di tutti i valori positivi o negativi e di cui vedremo appresso il
significato. Le componenti diverse da zero di ax −iay, ax +iay, az, bx −iby,
bx + iby, bz si deducono dallo schema seguente 52 :
< j, m | ax − iay | j, m + 1 > = (j + m + 1)(j − m)
< j, m | ax + iay | j, m − 1 > = (j + m)(j − m + 1)
< j, m | az | j, m > = m
< j, m | bx − iby | j + 1, m + 1 > = − 1
(j + m + 1)(j + m + 2)
2
51 Negli appunti originali il commutatore è indicato con parentesi tonde: (a, b).
Anche in questo caso abbiamo preferito adottare la notazione moderna [a, b].
A margine del manoscritto sono anche riportate le proprietà di trasformazione
delle matrici a, b (che sono in relazione con le proprietà di trasformazione del
campo elettromagnetico): (ax, ay, az, bx, by, bz) ∼ (Ex, Ey, Ez, Hx, Hy, Hz) ∼
(−Hx, −Hy, −Hz, Ex, Ey, Ez).
52 Nell’originale, questi prodotti scalari sono indicati mediante parentesi tonde:
(. . . | . . . | . . .). Seguendo la notazione di Dirac, si è preferito invece scrivere:
< . . . | . . . | . . . >.
490

Volumetto 5
< j, m | bx − iby | j − 1, m + 1 > = 1
(j − m)(j − m − 1) (5.155)
2
< j, m | bx + iby | j + 1, m − 1 > = 1
(j − m + 1)(j − m + 2)
2
< j, m | bx + iby | j − 1, m − 1 > = − 1
(j + m)(j + m − 1)
2
< j, m | bz | j + 1, m > = 1
(j + m + 1)(j − m + 1)
2
< j, m | bz | j − 1, m > = 1
(j + m)(j − m).
2
Notare le relazioni:
a 2 x + a 2 y + a 2 z = j (j + 1)
b 2 x + b 2 y + b 2 z = j (j + 1) + 3/4;
ax bx + ay by + az bz = 0
b 2 x + b 2 y + b 2 z − a 2 x − a 2 y − a 2 z = 3/4.
(5.156)
(5.157)
Noi vogliamo ora determinare le matrici α0, αx, αy, αz in un modo che
le equazioni:
α0
W0
c
e
+
c φ
+ α· p + e
c C
− mc ψ = 0 (5.158)
siano invarianti. Per ciò è necessario che gli operatori α0, αx, αy, αz o le
forme Hermitiane ad essi collegate (si tratta di trasformazioni unitarie!) si
trasformino come le componenti di un vettore covariante (α0, αx, αy, αz ∼
ct, −x, −y, −z). Per ciò occorre e basta che siano soddisfatte le relazioni
491

di scambio:
Volumetto 5
[α0, ax] = 0
[α0, bx] = i αx
[αx, ax] = 0
[αx, ay] = i αz
[αx, az] = −i αy
[αx, bx] = i α0
[αx, by] = 0
[αx, bz] = 0
etc.
Dalle prime delle (5.159) segue che α0 è funzione di j:
e dalle seconde e quinte:
cioè:
(5.159)
α0 = cj, (5.160)
[[α0, bx] , bx] = − α0, etc., (5.161)
− α0 = b 2 x α0 − 2 bx α0 bx + α0 b 2 x. (5.162)
Considerando, ad esempio, bz, segue da (5.162):
cj = 1
2
cj − 2cj+1 + cj+2 = 0,
j 2 − m 2 + 2j + 1 (cj+1 − cj) − 1
2
da cui a meno di un fattore costante:
j 2 − m 2 (cj − cj−1) ,
cj = j + 1/2, (5.163)
da cui, per (5.160), la seconda delle (5.159) e delle (5.155) segue come
unica determinazione per le matrici α0, αx, αy, αz, a meno di un fattore
492

costante:
Volumetto 5
α0 = j + 1
2
< j, m | αx − iαy | j + 1, m + 1 > = − i
(j + m + 1)(j + m + 2)
2
< j, m | αx − iαy | j − 1, m + 1 > = − i
(j − m)(j − m − 1)
2
< j, m | αx + iαy | j + 1, m − 1 > = i
(j − m + 1)(j − m + 2)
2
< j, m | αx + iαy | j − 1, m − 1 > = i
2
(j + m)(j + m − 1)
(j + m + 1)(j − m + 1)
< j, m | αz | j + 1, m > = i
2
< j, m | αz | j − 1, m > = − i
(j + m)(j − m),
2
le componenti non indicate essendo nulle.
Nelle rappresentazioni con Z0 = axbx + ayby + azbz reale e arbitrario
le ax, ay, az hanno ancora l’espressione (5.155) come nel caso particolare
Z0 = 0, mentre le componenti diverse da zero di bx, by, bz sono date nel
caso generale da:
2 4Z0 + (j + 1)
< j, m | bx − iby | j + 1, m + 1 > = −
2
2(j + 1)
< j, m | bx − iby | j, m + 1 > =
< j, m | bx − iby | j − 1, m + 1 > =
< j, m | bx + iby | j + 1, m − 1 > =
< j, m | bx + iby | j, m − 1 > =
× (j + m + 1)(j + m + 2)
Z0
(j + m + 1)(j − m)
j(j + 1)
2 4Z0 + j2
(j − m)(j − m − 1)
2j
2 4Z0 + (j + 1) 2
2(j + 1)
× (j − m + 1)(j − m + 2)
Z0
j(j + 1)
(5.164)
× (j + m)(j − m + 1)
2 4Z0 + j
< j, m | bx + iby | j − 1, m − 1 > = −
2
(j + m)(j + m − 1)
2j
493

j, m | bz | j + 1, m > =
< j, m | bz | j, m > =
< j, m | bz | j − 1, m > =
Volumetto 5
4Z 2 0 + (j + 1) 2
2(j + 1)
5.9 L’equazione ( + λ)A = p
Definiamo il simbolo da
≡ 1
c 2
∂ 2
∂t
∂x
× (j + m + 1)(j − m + 1)
Z0
j(j + 1) m
2 4Z0 + j2
(j + m)(j − m).
2j
∂y
∂z 2
∂2 ∂2 ∂2
− − − 2 2 2
(5.165)
e supponiamo λ una costante positiva (dimensionalmente [L] −2 ), mentre
p = p(x, y, z, t) è una funzione arbitraria del posto. La soluzione generale
dell’equazione:
( + λ) A = p(x, y, z, t) (5.166)
si otterrà da una soluzione particolare aggiungendo la soluzione generale
dell’equazione resa omogenea ponendo p = 0. Una soluzione particolare si
può porre nella forma:
A(q, t) = F (q, t; q ′ , t ′ ) p(q ′ , t ′ ) dq ′ dt ′ , (5.167)
e si può richiedere per simmetria che sia:
F (q, t; q ′ , t ′ ) = F (R, T ), (5.168)
se R = √ X 2 + Y 2 + Z 2 e X = x − x ′ , Y = y − y ′ , Z = z − z ′ , T = t − t ′ .
Si può inoltre esigere che F (R, T ) sia diversa da zero solo per T ≥ R/c.
F deve soddisfare all’equazione (5.166) resa omogenea (considerata
come funzione di q e t, o di q ′ e t ′ ) salvo che per T = 0 e quindi R = 0,
nel qual punto deve avere una appropriata singolarità. La funzione che
494

Volumetto 5
soddisfa alle condizioni volute presenta singolarità anche al contorno del
campo di integrazione, cioè per T = R/c, e così l’integrale (5.167) si spezza
nella somma di un integrale preso sul cono ottico negativo, e di un integrale
quadridimensionale preso all’interno del detto semicono ottico. Si trova la
formola seguente che verificheremo più avanti:
A(q, t) = 1
4π
1
R p
q ′ , t − R
dq
c
′ − cλ
4π
essendo I1 la funzione di Bessel d’ordine 1 e
T >R/c
I1(ω)
ω p(q′ , t ′ ) dq ′ dt ′ ,
(5.169)
ω = λ (c 2 T 2 − R 2 ). (5.170)
Per λ = 0 sopravvive in (5.169) solo il primo integrale che dà la consueta
espressione dei potenziali ritardati.
Per verificare la (5.169), poniamo per q e t fissi:
A(q, t) =
t
u(t
−∞
′ ) dt ′ , (5.171)
essendo u(t ′ )dt ′ il contributo dato nei due integrali a secondo membro di
(5.169) da tutti i punti dei due campi di integrazione appartenenti a t ′
compreso fra t ′ e t ′ + dt ′ . Vogliamo dimostrare che u(t ′ ) può porsi nella
forma:
u(t ′ ) = dv(t′ )
dt ′ , (5.172)
la funzione v(t ′ ) potendosi esprimere come somma di due integrali presi
nello spazio t ′ = costante, l’uno sulla superficie sferica |q −q ′ | = R = cT =
c(t − t ′ ) e l’altro all’interno della stessa sfera. Precisamente, si può porre:
v(t ′ ) = 1
4π
1 λ
+ −
R2 2
4πc 2 T 2
0
A(q ′ , t ′ )
− λ cT A(q ′ , t ′ ) I1(ω) − ωI ′ 1(ω)
ω 3
1 ∂A(q
cR
′ , t ′ )
∂t ′ + 1 ∂A(q
R
′ , t ′ )
∂R
dσ − λ
4π
4 πc
3 3 T 3
0
1 ∂A(q
c
′ , t ′ )
∂t ′
I1(ω)
ω
dq ′ ; (5.173)
[∂/∂R significa derivata secondo la normale esterna!]
Per dimostrare questa formola bisogna provare che u(t ′ ) ottenuta per
derivazione di v(t ′ ) secondo la (5.172) coincide con il vettore calcolato
495

Volumetto 5
in base alla sua definizione (5.171). Per il calcolo diretto di u(t ′ ) basta
sostituire in (5.169) a p(q ′ , t ′ ) la sua espressione ( + λ)A(q ′ , t ′ ) in base
all’equazione differenziale (5.166).
Sostituendo in (5.172) mediante (5.173), troviamo che anche u(t ′ ) si
esprime come somma di un integrale esteso sulla sfera |q − q ′ | = R = cT e
di un altro integrale preso all’interno della sfera:
u(t ′ ) = 1
4π
− 2c
R 2
− cλ
4π
+
0
∂A(q ′ , t ′ )
∂R
4 3 πc 3 T 3
0
∂
∂x ′
1
cR ∂t ′2
1 λR
+ −
R 8
I1(ω)
4πc 2 T 2
ω
I1(ω)
∂ 2 A(q ′ , t ′ )
− c ∂
R
2 A(q ′ , t ′ )
∂R2 c λA(q ′ , t ′ ) + cλ
2
( + λ) A(q ′ , t ′ )
∂A(q ′ , t ′ )
∂R
dσ
+ λ × A(q ′ , t ′ ) I1(ω) − ωI ′ 1(ω)
ω3
dq ′
(x,y,z)
ω
∂A(q ′ , t ′ )
∂x ′
2 2
4πc T
( + λ) A(q
0
′ , t ′ ) dσ
− cλ
4 πc
3
4π
3 T 3
0
I1(ω)
( + λ) A(q
ω
′ , t ′ ) dq ′ . (5.174)
= 1
4πT
Per la deduzione di questa relazione si è tenuto conto dell’equazione differenziale
a cui soddisfa I1(ω),
I ′′
1 (ω) + 1
ω I′
1(ω) + 1 − 1
ω2
I1(ω) = 0, (5.175)
come anche della (5.170) e delle relazioni:
I1(ω)
lim
ω→0 ω
= 1 I1(ω) − ωI
, lim
2 ω→0
′ 1(ω)
ω3 = 1
. (5.176)
8
Si verifica immediatamente che u(t ′ ) è precisamente la funzione che abbiamo
introdotto più sopra per dedurre (5.171) da (5.169); basta per ciò
introdurre nella (5.169) in luogo di p la sua espressione ( + λ)A, secondo
l’equazione differenziale (5.166). Resta così provato che il secondo membro
di (5.169) vale:
A ′ (q, t) = lim v(t
t ′ →t
′ ) − lim
t ′ v(t
→−∞
′ ). (5.177)
496

Segue da (5.173):
Volumetto 5
lim
t ′ v(t
→t
′ ) = A(q, t), (5.178)
mentre se ammettiamo che A(q, t) per t → −∞ si annulli con sufficiente
rapidità:
lim
t ′ →−∞ v(t′ ) = 0 . (5.179)
Segue
A ′ (q, t) = A(q, t), (5.180)
e così la (5.169) resta dimostrata, poiché verifichiamo a posteriori che la
condizione supposta è verificata se A(q, t) è definita da (5.169) e p(q, t) si
annulla per valori sufficientemente piccoli di t. Ma anche se p permane
diversa per valori comunque piccoli di t la (5.169) sarà ancora nella forma
(5.171), purché non sorgano difficoltà di convergenza.
In luogo di (5.169) si può usare quando occorre un’altra soluzione particolare
di (5.166) che si ottiene invertendo l’asse del tempo:
B(q, t) = 1
4π
1
R p
q ′ , t + R
c
dq ′ − cλ
4π
T 0,
A1(q, t) =
0, per t < 0,
(5.184)
così che la conoscenza di A1 permette di determinare A per t > 0. Se ora
poniamo:
( + λ) A1 = p(q, t), (5.185)
497

Volumetto 5
sarà p una funzione singolare per t = 0 e che si annulla per t > 0 e t < 0.
La funzione A1 è precisamente quella soluzione particolare di (5.185) che
si lascia porre nella forma (5.169). Quanto alla funzione singolare p(q, t)
essa è costituita da uno strato semplice giacente in t = 0 di densità:
s0 = 1
c 2 ˙ A(q, 0) (5.186)
e da un doppio strato giacente nello stesso spazio t = 0 di densità:
s1 = − 1
A(q, 0). (5.187)
c2 Sostituendo in (5.169) e badando a (5.184), si avrà per t > 0
A(q, t) = 1
4πt
− ∂
∂t
1
4πt
essendo
4πc 2 t 2
0
2 2
4πc t
0
s0(q ′ ) dσ − cλ
4π
s1(q ′ ) dσ − cλ
4π
4 3 πc 3 t 3
0
4 πc
3 3 t 3
0
I1(ɛ)
ɛ
I1(ɛ)
ɛ
s0(q ′ ) dq ′
s1(q ′ ) dq ′
, (5.188)
ɛ = λ(c 2 t 2 − R 2 ), (5.189)
mentre gli integrali sono estesi sulla superficie sferica o all’interno della
sfera di raggio ct e centro q.
Sostituendo a s0(q) e s1(q), le loro espressioni (5.186) e (5.187) si trova
dopo qualche trasformazione:
A(q, t) =
+ R ∂A(q′ , 0)
∂R
− 1
λc2 I1(ɛ)
t ɛ
2 2
4πc t
1
t
0
˙ A(q ′
, 0) + 1 − λR2
A(q
2
′ , 0)
dσ + λ2 4 πc
ct 3
4π
3 t 3 ′
I1(ɛ) − ɛI 1(ɛ)
0
ɛ3 A(q ′ , 0)
˙A(q ′
, 0) dq ′
(t > 0). (5.190)
4πc 2 t 2
In questa espressione ∂/∂R significa derivata secondo la normale esterna
alla sfera di raggio ct.
In modo analogo si può ottenere A per t < 0 utilizzando le soluzioni
particolari (5.181) della (5.166). Il risultato si può prevedere senz’altro
data l’invarianza della (5.182) rispetto all’inversione dell’asse temporale; si
498

Volumetto 5
otterrà la stessa espressione (5.190), in cui gli integrali saranno ora estesi
sulla superficie o all’interno della sfera di raggio −ct e centro q e dovrà
inoltre cambiarsi segno nei termini delle funzioni integrande che portano a
fattore ˙ A(q ′ , 0).
5.10 Formole varie relative ad
autofunzioni atomiche
(1) Equazioni di Dirac in campo centrale:
W − V
k = (2j + 1)(j − ℓ) =
(si veda nel §5.7); 53
c
d k
−
dr r
d k
+
dr r
+ ρ1 σ·p + ρ3 mc ψ = 0; (5.191)
ℓ + 1, per j = ℓ + 1/2,
−ℓ, per j = ℓ − 1/2;
(5.192)
(ψ3, ψ4) = u(r)
r Sm k (5.193)
(ψ1, ψ2) = i v(r)
r Sm −k (5.194)
u 2 + v 2 dr = 1, (5.195)
u = 1 2
W − V + mc
c
v, (5.196)
u = − 1
c
W − V − mc 2 u. (5.197)
53 Nel manoscritto originale è utilizzata la vecchia notazione h/2π invece di .
499

(2) Soluzione di
condizioni ai limiti:
è
y =
y ′′ +
Volumetto 5
2Z
x
(3) Formola della struttura fina:
con
E = mc 2
1 +
1 a approssimazione:
ℓ(ℓ + 1)
−
x2
y = 0; (5.198)
y
y(0) = 0, lim = 1, (5.199)
x→0 xℓ+1 (2ℓ + 1)!
(2Z) ℓ+1
√
2Zx I2ℓ+1 2 √
2Zx . (5.200)
Z 2 α 2
(S + √ k 2 − Z 2 α 2 ) 2
−1/2
S = 0, 1, 2, . . . , per k > 0,
S = 1, 2, 3, . . . , per k < 0.
E = − Z2 Z4
Rh −
n2 n3 Separazione dei doppietti:
con
∆E =
1
|k|
(α 2 Rh = 5.82 cm −1 ).
− mc 2 , (5.201)
(5.202)
3
− α
4n
2 Rh (5.203)
Z 4
n3ℓ(ℓ + 1) α2 Rh = Z a 3
0 ℓ + 1
r
2
−3 α 2 Rh, (5.204)
r −3 = Z3
a 3 0
1
n3 . (5.205)
ℓ(ℓ + 1/2)(ℓ + 1)
500

Volumetto 5
5.11 Teoria classica della radiazione di
multipolo
Consideriamo un sistema elettrico oscillante con frequenza ν, tale cioè che
la densità di carica e di corrente possa essere espressa mediante le formole:
ρ = ρ0 e −2πνit + ρ ∗ 0 e 2πνit ,
I = I0 e −2πνit + I ∗ 0 e 2πνit .
(5.206)
Conveniamo, una volta per tutte, di misurare le correnti in unità elettromagnetiche.
Dall’equazione di continuità segue:
ρ0 = c
2πνi div I0, (5.207)
cosicché il sistema è interamente definito dalla funzione vettoriale arbitraria
I0. L’irradiazione di tale sistema può calcolarsi o cercando una soluzione
delle equazioni:
φ = 4π ρ,
(5.208)
A = 4π I,
con la “condizione di continuità” 54
1 ∂φ
c ∂t
+ div A = 0, (5.209)
che si lasci porre in forma analoga a (5.206) e soddisfi inoltre alla condizione
ai limiti di rappresentare a grande distanza un’onda divergente (metodo
degli stati stazionari); ovvero supponendo che nell’istante iniziale lo spazio
sia libero da radiazione e calcolando la distribuzione di questa sulle varie
frequenze dopo un certo tempo t (metodo della variazione delle costanti).
In ogni caso la conoscenza delle correnti basta a definire il sistema
irradiante e quella del potenziale vettore a calcolare l’energia irradiata.
Basterà quindi limitarsi a considerare le relazioni che passano fra I e A che
sono grandezze vettoriali che si trasformano secondo una rappresentazione
equivalente a D1. Scegliendo opportune combinazioni lineari delle ordinarie
54 Con terminologia moderna si direbbe “condizione di gauge”; in particolare,
l’Autore sta considerando la gauge di Lorentz.
501

Volumetto 5
componenti vettoriali giova introdurre grandezze I = (I1, I2, I3) e A =
(A1, A2, A3), che si trasformano esattamente secondo D1:
I1 = 1/ √
2 (−Ix + iIy) , A1 = 1/ √
2 (−Ax + iAy) ,
I2 = Iz, A2 = Az,
I3 =
1/ √
2 (Ix + iIy) , A3 =
1/ √
2 (Ax + iAy) .
(5.210)
Conviene stabilire un opportuno sistema completo di funzioni ortogonali
rispetto a cui una generica funzione vettoriale V = (V1, V2, V3) sia
sviluppabile. Scegliamo perciò le soluzioni regolari di:
∆ V + k 2 V = 0, k > 0, (5.211)
e le numeriamo oltre che con l’indice continuo k con gli indici discreti j e m,
che hanno il significato consueto. È facile vedere che per ogni valore di k e
fissato j (intero) e m esistono tre soluzioni regolari indipendenti di (5.211)
tranne per j = 0, nel qual caso se ne ha una sola. Introducendo infatti il
momento “orbitale” ℓ (in unità ), si hanno evidentemente per ogni valore
di k, 3·(2ℓ + 1) soluzioni indipendenti di (5.211), regolari nell’origine che si
ottengono ponendo una delle componenti di V uguale a
Vi = 1 √ r Iℓ+1/2(kr) ϕ m ℓ
ℓ , i = 1, 2, 3; mℓ = ℓ, ℓ − 1, . . . , −ℓ, (5.212)
e le altre due uguali a zero:
Vi ′ = 0, i′ = i. (5.213)
Queste 3·(2ℓ + 1) funzioni vettoriali si trasformano secondo Dℓ×D1 e si
lasciano quindi esprimere come combinazioni di tre sistemi di funzioni indipendenti
che si trasformano secondo:
Dℓ−1, Dℓ, Dℓ+1
(5.214)
escluso il caso ℓ = 0, in cui sopravvive, dei sistemi (5.214), quello indicato
con Dℓ+1. Ogni rappresentazione irriducibile Dj, con soluzioni regolari di
(5.211) appartenenti a un dato valore di k, si presenta quindi in generale tre
volte, potendo essa derivare da ℓ = j + 1, j, j − 1, tranne nel caso j = 0, in
502

Volumetto 5
cui se ne ha una sola che deriva da ℓ = 1. Fissati k, j, e m si hanno dunque
tre soluzioni di (5.211), nel caso generale, e dobbiamo ancora stabilire un
criterio per distinguerle se vogliamo giungere alla numerazione completa di
tutte le soluzioni indipendenti di (5.211). Il criterio più semplice è quello
che deriva dalla dimostrazione precedente e consiste nell’assegnare oltre a j
e a m anche il momento “orbitale” ℓ, che può assumere i valori j+1, j, j −1
(per j = 0 solo ℓ = 1), ma non è il più conveniente perché non rispetta la
distinzione assai importante dal punto di vista applicativo fra onde longitudinali
e onde trasversali. Le soluzioni regolari di (5.211) possono infatti
esprimersi, come è noto, come combinazioni di soluzioni particolari appartenenti
a due sistemi differenti: il sistema delle onde longitudinali che
soddisfanno alla condizione aggiunta
da cui segue
rot V ≡ 1
· grad V = 0, (5.215)
i
V = grad v, (5.216)
e il sistema delle onde trasversali che soddisfanno alla condizione
div V = 0. (5.217)
Onde dei due sistemi sono ortogonali. Ora è facile vedere che per ogni valore
di k, j, e m (anche per j = 0) si ha una e una sola onda longitudinale che si
ottiene evidentemente da (5.216) ponendo a meno di un fattore costante:
v = 1
√ kr Ij+1/2(kr) ϕ m j . (5.218)
Dalle proprietà di simmetria per riflessione nel centro segue che l’onda
longitudinale è una combinazione delle soluzioni di (5.211) appartenenti a
ℓ = j + 1 e ℓ = j − 1; l’altra combinazione delle stesse soluzioni ortogonale
all’onda longitudinale (esiste per j > 0) sarà invece un’onda trasversale che
chiameremo, per ragioni da spiegare in seguito, “onda di multipolo elettrico
di ordine j”. Infine la soluzione appartenente a ℓ = j (esiste anche essa
solo per j > 0) costituirà un’altra onda trasversale che vogliamo chiamare
“onda di multipolo magnetico di ordine j”. Eseguendo i calcoli impliciti
nella dimostrazione precedente troviamo come espressione esplicita per i
tre tipi di onde:
503

(a) onde longitudinali:
V L k,j,m
=
Volumetto 5
k j
r 2j + 1 Ij−1/2(kr) ϕ m j,j−1
j + 1
+
2j + 1 Ij+3/2(kr) ϕ m
j,j+1 ; (5.219)
(b) onde di multipolo elettrico:
V E k,j,m =
k j + 1
r 2j + 1 Ij−1/2(kr) ϕ m j,j−1
j
−
2j + 1 Ij+3/2(kr) ϕ m
j,j+1 ; (5.220)
(c) onde di multipolo magnetico:
V M k,j,m =
k
r Ij+1/2(kr) ϕ m j,j. (5.221)
Come si è detto, e come è chiaro anche dalle espressioni precedenti, le onde
trasversali esistono solo per j > 0. Il sistema di funzioni vettoriali ortogonali
composto da (5.219), (5.220), e (5.221) è completo e normalizzato
rispetto a dk. Quest’ultima proprietà risulta facilmente dall’espressione
asintotica delle funzioni di Bessel.
Sviluppiamo in (5.206) I0 secondo detto sistema di funzioni ortogonali:
I0 =
∞
I L k,j,m V L k,j,m + I E k,j,m V E k,j,m + I M k,j,m V M
k,j,m dk,
j,m
0
(5.222)
essendo le Ik,j,m delle costanti, e analogamente immaginiamo di porre in
ogni istante:
A =
∞
j,m
˙A =
j,m
0
∞
0
χ=L,E,M
χ=L,E,M
A χ
k,j,m e−ikct + A ′χ
k,j,m eikct V χ
k,j,m dk,
ikc
(5.223)
A ′χ
k,j,m eikct − A χ
k,j,m e−ikct V χ
k,j,m dk.
504
(5.224)

Volumetto 5
La condizione di realità delle componenti (cartesiane) di A importa:
A ′χ
k,j,m = ± (−1)m A χ∗
k,j,−m , + per χ = L, E, − per χ = M.
(5.225)
Con la stessa regola si può ottenere da (5.222) lo sviluppo di I ∗ 0 .
Poniamo
V L k,j,m = grad vk,j,m. (5.226)
La funzione scalare v è data da (5.218). Le vk,j,m non sono normalizzate
rispetto a dk, tali sono invece le stesse funzioni moltiplicate per k:
pk,j,m = kvk,j,m. Sviluppiamo il potenziale scalare e la sua derivata temporale
secondo le vk,j,m, ponendo
φ =
˙φ =
∞
j,m 0
∞
j,m
0
φk,j,m e −ikct + φ ′ k,j,m e ikct
ikc
La condizione di realità impone
vk,j,m dk, (5.227)
φ ′ k,j,m e ikct − φk,j,m e −ikct
vk,j,m dk. (5.228)
φ ′ k,j,m = (−1) m φ ∗ k,j,m. (5.229)
Dalla condizione di gauge 55 ˙ φ = −c div A, osservando che le onde trasversali
sono prive di divergenza e che div grad vk,j,m = ∆ vk,j,m = −k 2 vk,j,m,
ricaviamo:
φk,j,m e −ikct − φ ′ k,j,me ikct = ik
Poniamo inoltre
ρ =
j,m
∞
0
A L k,j,m e −ikct + A ′L
k,j,m e ikct
. (5.230)
ρk,j,m vk,j,m dk, (5.231)
e badiamo che la prima delle (5.208) può scriversi per la condizione di
gauge:
φ ≡ − 1
div A − ∆ φ = 4π ρ, (5.232)
c
55 Per chiarezza, qui e nel seguito la (5.209) verrà indicata come “condizione di
gauge”, laddove nel testo originale essa viene definita “equazione di continuità”
(per i potenziali).
505

Volumetto 5
da cui segue, sviluppando secondo le soluzioni scalari di (5.211):
φk,j,m e −ikct + φ ′ k,j,m e ikct
= ik
A L k,j,m e −ikct − A ′L
k,j,m e ikct
+ 4π
k 2 ρk,j,m. (5.233)
Combinando (5.230) e (5.233), ricaviamo
φk,j,m = ik A L k,j,m + 2π
k 2 eikct ρk,j,m. (5.234)
Vogliamo ora trovare l’espressione dell’energia totale del campo elettromagnetico
quando sia noto lo sviluppo (5.223) del potenziale vettore e,
attraverso (5.234), del potenziale scalare. Poniamo perciò
E =
χ
H =
χ
∞
j,m 0
∞
j,m
Badando a (5.233) e alle formole
troviamo facilmente:
0
rot V L k,j,m = 0
E χ
k,j,m Vχ
k,j,m dk (5.235)
H χ
k,j,m Vχ
k,j,m dk. (5.236)
rot V E k,j,m = + i k V M k,j,m (5.237)
rot V M k,j,m = − i k V E k,j,m
E L k,j,m = − 4π
ρk,j,m
2
E E k,j,m = i k
E M k,j,m = i k
H L k,j,m = 0
k
H E k,j,m = − i k
H M k,j,m = i k
A E k,j,m e −ikct − A ′E
k,j,m e ikct
A M k,j,m e −ikct − A ′M
k,j,m e ikct
;
A M k,j,m e −ikct + A ′M
k,j,m e ikct
A E k,j,m e −ikct + A ′E
k,j,m e ikct
.
506
(5.238)
(5.239)

Volumetto 5
L’energia totale si può quindi scomporre in due parti:
essendo l’energia elettrostatica data da:
Wels =
W = Wels + WR, (5.240)
j,m
= 1
2
∞
mentre l’energia raggiante risulta da
WR = 1
2π
∞
k 2
A
E
k,j,m
j,m
0
0
2π
k 4 |ρk,j,m| 2 dk
1
|q − q ′ | ρ(q) ρ(q′ ) dq dq ′ , (5.241)
2
+
A M k,j,m
2
dk. (5.242)
Riprendiamo ora il nostro sistema oscillante (5.206) e calcoliamo l’energia
da esso irraggiata con il metodo della variazione delle costanti. L’energia
elettrostatica oscilla periodicamente con frequenza ν limiti finiti e
possiamo trascurarla. Quanto all’energia raggiante, supponiamo che essa
si annulli nell’istante iniziale e che quindi sia inizialmente A E k,j,m = A M k,j,m
per tutti i valori di k, j, m. Dalla seconda delle (5.208) e dalle (5.223) e
(5.224), segue
˙A Y k,j,m e −ikct − ˙ A ′Y
k,j,m e ikct
= (4π ic/k)
I Y k,j,m e −2πνit + I ′Y
k,j,m e 2πνit
,
˙A Y k,j,m e −ikct + ˙ A ′Y
k,j,m e ikct = 0, Y = E, M,
essendo, in analogia con (5.225),
k,j,m = ± (−1) m Y ∗
I
I ′Y
Di qui ricaviamo:
˙
A Y k,j,m =
A Y k,j,m =
2π ic
k
2π c
k
(5.243)
k,j,−m; + per Y = E, − per Y = M. (5.244)
I Y k,j,m e i(kc−2πν)t + I ′Y
k,j,m e i(kc+2πν)t
I Y k,j,m
e i(kc−2πν)t − 1
kc − 2πν
507
+ I ′Y
k,j,m
(5.245)
e i(kc+2πν)t
− 1
(5.246)
kc + 2πν

Volumetto 5
Per t → ∞ tutto l’integrale (5.242) proviene, a meno di quantità che non
superano limiti costanti, da valori di k prossimi a k0 = 2πv/c. Ma per k
prossimi a k0 segue da (5.246):
A Y k,j,m
= 4π
k0
sin(k − k0)ct/2
k − k0
I Y k0,j,m
, (5.247)
da cui sostituendo in (5.242) e integrando, come è lecito, al limite, da −∞
a +∞, anziché da 0 a ∞:
WR = 4π 2 c t
I
E
k0,j,m
2
+ I M
k0,j,m
2
. (5.248)
j,m
Segue per l’energia irraggiata nell’unità di tempo:
wR = WR
t = 4π2 c
I
E
k0,j,m
2
+
j,m
I M k0,j,m
2
. (5.249)
L’energia irraggiata si può quindi calcolare scomponendo il sistema oscillante
in multipoli trasversali, elettrici e magnetici, dei vari ordini, e supponendo
che essi irradino senza interferire. I multipoli longitudinali non
irradiano naturalmente energia. Ad ogni multipolo corrisponde un’onda
sferica con una determinata distribuzione di intensità e polarizzazione secondo
le varie direzioni. I numeri j e m rappresentano nell’interpretazione
quantistica il momento angolare totale e nella direzione z (in unità ) del
quanto emesso. La loro conoscenza non è sufficiente a determinare completamente
il tipo dell’onda emessa potendosi ancora trattare di onda di
multipolo elettrico e magnetico, e questa doppia possibilità va intesa come
un’alternativa nel tipo di accoppiamento fra momento orbitale e momento
intrinseco del quanto emesso. Il momento intrinseco, come è noto, vale ±
nella direzione del movimento, mentre il valore 0 è escluso.
L’intensità di un determinato multipolo è per la (5.249):
w Y j,m = 4π 2
c , Y = E, M, (5.250)
I Y k0,j,m
2
cioè calcolando il coefficiente I Y k0,j,m con la solita regola dei coefficienti dello
sviluppo secondo un sistema di funzioni ortogonali:
w Y j,m = 4π 2
c
Y †
Vk0,j,m · I0
2
dq
. (5.251)
508

Volumetto 5
Presenta un grande interesse pratico il caso che il sistema irradiante sia di
dimensioni atomiche e assai piccolo rispetto alla lunghezza d’onda irradiata
(2π/k0). Si può allora calcolare in prima approssimazione la w Y j,m sostituendo
sotto l’integrale le funzioni di Bessel che figurano nelle espressioni
della w Y j,m) con il primo termine del loro sviluppo in serie, purché si intenda
beninteso che il sistema irradiante sia posto in prossimità dell’origine. Nel
caso dei multipli elettrici figurano sotto l’integrale delle funzioni di Bessel di
ordine j+3/2 accanto ad altre di ordine j−1/2; si possono allora trascurare
le prime e conservare il primo termine dello sviluppo delle seconde. Ci
interessano solo funzioni di Bessel di ordine n + 1/2 con n intero. Per
queste si ha in prima approssimazione:
In+1/2 =
=
2 2
π
n ·n!
(2n + 1)! xn+1/2 + . . .
2
1 ·
π
1
1 1
· · · · x
3 5 2n + 1
n+1/2 + . . . . (5.252)
Ricaviamo così le formole di prima approssimazione:
w E j,m = 1 · 1
w M j,m = 1 · 1
1 1
· · · ·
32 52 (2j − 1) 2
j + 1
· 8π c
2j + 1
2j 2πν
×
r
c
j−1 ϕ m†
j,j−1 · I0
2
dq
, (5.253)
1 1
· · · · · 8π c
32 52 (2j + 1) 2
2j+2 2πν
×
r
c
j ϕ m†
2
j,j · I0 dq
. (5.254)
La (5.253) può porsi in una forma diversa, che è in generale più comoda per
il calcolo e in cui figura solo la densità di carica ρ0 in luogo della densità di
corrente. Passando infatti alle coordinate cartesiane la funzione integranda
in (5.253) può scriversi:
r j−1 ϕ m†
j,j−1 · I0 = r j−1 ϕ m∗
j,j−1 · I0
ed osservando che per una formola generale [v. (4.436)] si ha:
(5.255)
grad r j ϕ m j = j(2j + 1) r j−1 ϕ m j,j−1, (5.256)
509

e tenendo conto della (5.207)
r j−1 ϕ m†
j,j−1 · I0 dq =
=
= −
= −
Volumetto 5
r j−1 ϕ m∗
j,j−1 · I0 dq
1
j(2j + 1)
1
j(2j + 1)
1 2π ν i
j(2j + 1) c
Sostituendo con questa in (5.253), abbiamo infine:
w E j,m = 1 · 1
1 1
· · · ·
32 52 (2j + 1) 2
2j+2 2πν
×
c
grad r j ϕ m∗
j · I0 dq
r j ϕ m∗
j div I0 dq
r j ϕ m∗
j
j + 1
j
r j ϕ m∗
j ρ0 dq. (5.257)
· 8π c
2
ρ0 dq
. (5.258)
Vogliamo ora studiare l’irraggiamento del nostro sistema oscillante con
il metodo delle onde stazionarie, o meglio delle soluzioni periodiche. Ricerchiamo
perciò una soluzione della (5.208) che in analogia a (5.206), abbia
la forma
φ = φ0 e −2πνit + φ ∗ 0 e 2πνit ,
A = A0 e −2πνit + A ∗ 0 e 2πνit ,
(5.259)
con la condizione aggiunta che il potenziale scalare e vettore rappresentino
all’infinito un’onda divergente. Poniamo:
A0 =
χ
j,m
A χ
j,m (r) Uχ
k0,j,m , (5.260)
φ0 =
φj,m(r) uk0,j,m, χ = L, E, M. (5.261)
j,m
Le U χ
k0,j,m e uk0,j,m si ottengono dalle V χ
k0,j,m [formole (5.219), (5.220), e
(5.221)] e dalle vk0,j,m [formola (5.226)] sostituendo dovunque alle funzioni
di Bessel le funzioni di Hankel di prima specie. La condizione che all’infinito
esista solo un’onda divergente importa allora che esistano i limiti:
A χ
j,m (∞) = Bχ j,m
(5.262)
φj,m(∞) = Φj,m. (5.263)
510

Volumetto 5
Dall’equazione di continuità (5.209), ricaviamo in analogia a (5.207):
φ0 =
c
2π ν i div A0. (5.264)
5.12 Autofunzioni dell’idrogeno
Nelle unità elettroniche si ha:
e posto ψ = (y/r) ϕ m ℓ :
A) Spettro discreto:
essendo
y ′′ +
E = − 1
2
∆ ψ +
N y = A r ℓ+1
A = −
2E + 2
r
2E + 2
ψ = 0, (5.265)
r
ℓ(ℓ + 1)
−
r2
y = 0. (5.266)
1
, n = ℓ + 1, ℓ + 2, . . . , (5.267)
n2 C
t + 1
n
ℓ−n
t − 1
n
n
2ℓ+1 n + ℓ
2πi
2
2ℓ + 1
Ed eseguendo l’integrazione con il metodo dei residui
N y =
n−ℓ−1
p=0
(−1) p (n − ℓ − 1)(n − ℓ − 2)· · ·(n − ℓ − p)
(2ℓ + 2)(2ℓ + 3)· · ·(2ℓ + 1 + p)
× rℓ+1+p
p!
ℓ+n
e tr dt, (5.268)
. (5.269)
p 2
n
e −r/n . (5.270)
La costante di normalizzazione è data da:
N 2 =
(2ℓ + 1)!
2ℓ+1 2ℓ+4
(n − ℓ − 1)! n
.
(n + ℓ)!
(5.271)
511

1
n
C
Per ℓ = 0, si ha ad esempio:
Per ℓ = 1:
Per ℓ = 2:
Esempi di autofunzioni
N 2 = 225
1s : N y = r e −r
2s : N y =
3s : N y =
2p : N y = r 2 e −r/2
Volumetto 5
O
N 2 = 1
4 n3 . (5.272)
N 2 = 9 n
4
5
n2 . (5.273)
− 1
1
n
n 7
(n2 − 1)(n2 . (5.274)
− 4)
r − 1
2 r2
e −r/2
r − 2
3 r2 + 2
27 r3
e −r/3
512
N = 1
2
N = √
2
N =
√
27
2
N = √
24

3p : N y =
3d : N y = r 3 e −r/3
Espressione asintotica di r → ∞:
y ∼ (−1) n−ℓ−1
Volumetto 5
r 2 − 1
6 r3
e −r/3
N =
2187
32
15
N = 81 .
8
2 n
n n+1 (n + ℓ)!(n − ℓ − 1)! rn e −r/n . (5.275)
513

Indice analitico
ammoniaca, frequenze di oscillazione,
422
asse di rotazione della Terra, 143
atomo
con due elettroni, 296
con molti elettroni, 210
in un campo elettromagnetico,
146
polarizzabilità, 129
potenziale locale, 115, 118,
128
suscettibilità elettrica, 351
termini fondamentali, 122
atomo di idrogeno
autofunzioni, 411
forze di polarizzazione, 387
in un campo elettrico, 354
ionizzazione spontanea, 177
autofunzioni atomiche, 499
autofunzioni dell’idrogeno, 511
autoinduzione
variazione del coefficiente dovuto
all’effetto pellicolare, 46
in una bobina con lunghezza
finita, 43
Balmer, formula di, 140
Balmer, termine di, 325
Bernoulli
numeri di, 267
polinomi di, 267
bobina
autoinduzione, 35, 38, 43
515
lunghezza finita, 43
Bohr
magnetone, 276
raggio, 276
Boltzmann
costante, 275
legge, 158
calore specifico, 54, 61
campo centrale, regole di selezione,
333
campo elettromagnetico
energia, 506
energia raggiante, 507
Hamiltoniana, 135
spin, 508
campo magnetico
influenza sul punto di fusione,
52
carica elettrica, 169
Clairaut
equazione di, 240
problema di, 235
coefficienti binomiali, 164, 215, 217
commutatore, 294
commutatori, 269
condensatori, 33
conduttore elettrico, 11, 16
autoinduzione, 46
coordinate paraboliche, 354
corpo nero, 132
costante di Boltzmann, 275
costante di Eulero, 366

costante di Faraday, 275
costante gravitazionale di Newton,
140
Coulomb, legge di, 170
curva del cane, 276
De Broglie, onde di, 168
densità di carica, 501
densità di corrente, 501
diffusione
da un potenziale, 414
particelle α su un nucleo, 194
disintegrazione di risonanza dei
nuclei leggeri, 457
distanze medie
tra elementi di linea, 40, 41
tra elementi di superficie, 40,
41
tra elementi di volume, 40,
41
effetto pellicolare, 7
debole, 31
limite, 20, 25, 28
effetto Stark, 353, 358
effetto Zeeman
anomalo, 339
normale, 343
elettrone
carica, 275
diffusione sulla radiazione, 164
Hamiltoniana relativistica, 106,
135
massa, 86, 275
spin, 318
energia di Rydberg, 276
energia elettrica della radiazione,
134
energia elettrostatica, 507
Indice analitico
516
energia libera di un gas biatomico,
477
energia magnetica della radiazione,
134
entropia di un sistema in equilibrio,
470
equazione di Bessel, 496
equazione di continuità, 501
equazione di Dirac, 318, 466, 482
campo centrale, 499
soluzione per l’onda piana,
398
equazione di Laplace, 65, 385, 390,
411
equazione di Poisson, 128, 237
equazione di Schrödinger, 85, 320,
467
equazioni della statica per un fluido
perfetto carico, 120
equazioni differenziali, 171, 208,
229, 363, 385, 389, 416,
494
insieme completo, 345
Faraday, costante di, 275
fattoriale, 50
formula di Rutherford
Meccanica Classica, 377, 413
metodo di Born, 381
forza centrifuga, 140
fotone, spin, 508
frequenza di Larmor, 276
frequenza di Rydberg, 275
fronte d’onda, 169
funzione degli errori, sviluppo in
serie, 164
funzioni armoniche, 93

funzioni di Bessel, 375, 391, 430,
504
di ordine mezzo, 469
di ordine mezzo (zeri), 470
rappresentazione integrale, 389
funzioni di Green, 363
funzioni di Hankel, 390, 430
di ordine mezzo, 469
funzioni di Neumann, 391
di ordine mezzo, 469
funzioni di spin, 407
funzioni ortogonali, 416
funzioni sferiche, 360, 374
con spin, 425, 459, 484
gas di elettroni, 279
gas perfetto, 471
biatomico, 473
costante R, 475
monoatomico, 472
gauge
condizione, 501
Lorentz, 176, 501
trasformazioni, 175
gruppi
O(3), 300, 330
SU(2), 330, 464
continui, 293
Lorentz, 306, 309, 461, 489
permutazioni, 369, 392
rotazioni, 300, 392, 464
trasformazioni infinitesime, 293
Hamiltoniana
per il campo elettromagnetico,
135
per l’elettrone, 106, 135
Huygens, principio di, 232
Indice analitico
517
integrali circolari, 421
integrali definiti, 76, 161, 262
laplaciano
in coordinate paraboliche, 354
in coordinate polari, 93
in coordinate sferiche, 91
linee di forza, 66
logaritmo integrale, sviluppo in
serie, 366
Lorentz
gauge, 176, 501
gruppo, 306, 309
trasformazione reale, 478
magnetone di Bohr, 276
matrici di Dirac e gruppo di Lorentz,
309
metodo degli stati stazionari, 501
metodo dei residui, 511
metodo del Π, 19
metodo del T, 19
metodo della variazione delle
costanti, 501, 507
metodo delle onde stazionarie, 510
metodo delle soluzioni periodiche,
510
metodo di Born, 381
limite relativistico, 438
metodo di Ritz, 387
molecola
biatomica, 124
potenziale, 279
momenti di una funzione, 251
momento angolare, 484
momento di dipolo elettrico, per
un atomo nel suo stato
fondamentale, 351
momento di inerzia, 140, 242

momento di inerzia della Terra,
140, 144, 243
momento elettronico, 473
moto kepleriano
cinematica, 151
periodo di rivoluzione, 152
perturbato, 151
perturbato (approssimazione
adiabatica), 155
multipoli
longitudinali, 508
trasversali, 508
neutrone, 467
Newton, legge di, 235
numero quantico
azimutale, 271, 467
equatoriale, 271
onda piana, 169
sviluppo in funzioni sferiche,
374
teoria di Dirac, 398
onde
longitudinali, 503
trasversali, 503
operatore di D’Alembert, 494
operatori impropri, 408
oscillatore armonico, 444
quantizzazione, 95
oscillatori elettromagnetici, 135
osservabili e matrici, 146
pacchetto d’onde, 168
parentesi di Poisson, 269, 346
permutazioni, 369
circolari, 461
pesi (statistici), 473
peso atomico, 475
Indice analitico
518
peso molecolare, 476
pile termoelettriche, 10
Planck, relazione di, 133, 341
polarizzabilità atomica, 129
polinomi di Legendre, 90, 361, 375,
477, 484
regole di moltiplicazione, 362
potenziale
elettrico, 1
gravitazionale, 140
in un atomo, 115, 118, 128
in una molecola, 279
newtoniano, 235
ritardato, 4, 207, 495
vettore, 134, 136
principio d’indeterminazione, 193
probabilità, 48
curve di, 260
prodotti infiniti, 266
propagazione del calore, 58, 78
protone, 467
quaternioni, 284, 301
radiazione
energia elettrica, 134
energia magnetica, 134
multipolo (teoria classica), 501
rappresentazioni unitarie del
gruppo di Lorentz, 489
regole di selezione, 333
Rydberg
energia, 276
frequenza, 275
numero d’onda, 275
schiacciamento della Terra, 141
Schwarz, formula di, 211
Schwarz, teorema di, 82

skineffect limite, 20, 25
spin, 318
fotone, 508
nucleare, 473
spinori, trasformazioni di, 478
stati quasi-stazionari, 445
statistica di Bose–Einstein, 471
statistica di Fermi–Dirac, 471
Stirling, formula di, 161
struttura fina, 325, 500
superfici equipotenziali, 237, 279
suscettibilità elettrica, per un
atomo nel suo stato fondamentale,
351
sviluppi in serie, 42, 163, 227
sviluppo in integrali di Fourier,
130, 419
tasso di mortalità per un atomo
in un campo elettromagnetico,
146
teorema del rotore, 15
teorema della divergenza, 15, 234
teorema di Schwarz, 82
teoremi di Green, 15
teoria dell’irraggiamento, 133, 144,
149, 158, 164
coefficienti di Einstein, 158
termodinamica, teoria statistica,
470
Terra
asse di rotazione, 143
momento di inerzia, 140, 144,
243
schiacciamento della, 141
velocità angolare, 142
Thomas-Fermi, funzione di, 111
Indice analitico
519
applicazione ad atomi pesanti,
118
seconda approssimazione per
il potenziale in un atomo,
128
trasformazione di Laplace, 385,
418
trasformazioni
conformi, 81
infinitesime, 464
Lorentz, 461, 478
ortogonali, 306
spinori, 478
unitarie in due variabili, 282
urto fra protoni e neutroni, 467
variabili casuali, 212
velocità angolare della Terra, 142
velocità di fase, 168
velocità di gruppo, 169
velocità della luce, 275
Wallis, formula di, 267