e - Sapienza

TEORIA DELLA SUPERPOPOLAZIONE E CAMPIONM1ENTO DA
POPOLAZIONI FINITE
Incl1 c:: e
Cap. I Introduzione Pago
1. i
1.2
. 1. 3
Concetti generali
Inrerenza e campionamento
Campionamento da popolazioni rinite
Cap II LaSuperpopolazione
2. 1 Introduzione 37
2. 2 Superpopolazione di variabili 39
2. 3 Superpopolazione di unità 4-4-
2.4- Supe:r'popo l azione di variabili ed unità 4-8
cap I I I L'approccio predittivo
3. 1 Intr'oc1uzione
50
3.2 Dalla sUrficienza alla sufficienza
prec:u t tiva
54-
3.3 ApPlicazione alla inferenza da popolazioni
finite
63
-, ---- - .'-"
3
8
32
'"

Il· camPionamento da popolazioni finite
Le iPotesi di base, del l 'approccio classico al campionamento
da pOPolazioni finite, sono;
,(·g·l) V i E I
Nella 1) è stata assunta ì'assenza di ·errori non campionari.
Il vettol""e
(Yl'········, YN)
viene considerato un punto dello spazio RN' E' possibile
quindi l'iscrivere le 1) come;
Supponiamo di estrarre da P, utilizzando un disegnO p (s), un
campione cli n u;nità e di osservare
d(s) =(Xi' , , , , , , •• Xn )
Il parametro da stimare, utilizzando i dati caInpionari e:
POiChè
32

di P, un valore della variabile oggetto di indagtne pari a y e
una funZione decrescente di X. Riconducendo il problema
nell'mru)ito della teoria della massima entropia, il fine del
Piano di camPionamento con probabilità proporZionale ad X e
quello di massimizzare la distanza tra due distribuzioni sotto il
vincolo di mantenere costante le qllantita;
ma dalla derivazione della formula di entroPia interpretata come
probabilità di una densità di probabilita, si ha;
H(f) '" -l00
ftx)iZof j{x) ,;(
f) .
ma le frequenze camPionarie, considerate come un campiona da una
distribuzione di pr6babilita (SuperpopolaZiOne) , hanno una
probabilita data da;
dove
pOicl1e
e POssibile indicare direttamente
quindi
Pr{Y/x)
35
/
V i E I
invece di Pr{i/x]

dove
se
quindi
ossia il risultato campionario non influisce sulla media delle.
variabili non "osser'vate", e Punica assunzione Possibile e che:
,
che e POi l'assunzione fatta nel paragrafo 5 del caPitolo 1,
)

Superpopolazione di variabili ed unità
Come e stato detto precedentemente, l'approccio
superpopolazione, nell'inferenza da popolazioni finite porta a
considerare un insieme infinito di unità, oppure se viene
considerata fissa la cardinalità di P, una varibile N
dimensionale, indiPendentemente dalle singole unità di P.
Riescono difficilemnte giustificabili le operazioni di limite
su una struttura del genere, ed inoltreper il fatto che la
correlazione interna (diPendenza intrinseCa) non tende a zero,
qualsiasi "predittore" risulta inconsistente. Se invece la
numerosità della pOPolazione 'reale non Viene considerata fissa,
ma puo variare, (Puo tendere ad infinitO), allora si ha come
struttura di superpopolazione un insieme di variabili aleatorie
(una per ogni unità di P) che, al tendere di N (Cardinalità di P)
all'infinito risulta un processo stocastico. In altri termini, il
vettoY'e
risulta un insieme di punti su una traiettoria del processo
stocastico (Superpopolazione).
In questo contesto, ad osni individuo viene associato una
cOPPia di valori (Xi' i) il primo e la realizzazione di
una variabile casuale Xi' mentre il secondo appartiene ad un
insieme che induce sullo spazio X delle variabili Xi' un
ordinamento (se, rispetto alla densità di probabilità congiunta
delle Xi' tale ordinamento e irrilevante, allora il processo
e SCambiabile). Se indicll1amo con è allora le traiettor'ie del
processo (SuperpopolaZiOni)
un
" ....

Dalle fe)rmul e
informativo (le
non dipendono da
5'" 3)
precedenti si evince che il disegno e nonprobabilita
di inclusione delle unita di P in s
I): ne deriva:
aJLs
ed inoltre, data la sufficienza di t, per a si ha:
ossia
Xjs,tJLa e XjtJLs
p(x:a, S)=p(x:a)
p(x:a,t)=p(x:t)
Il ruolo delle etichette, sembrerebbe quindi unicamente
quello di consentire lJindividuazione delle unita che sono
"portatrici" di una particolare realizzazione della variabile X
in P, e quindi, una volta estratto il campione, il loro,ruolo si
estingue, Questo aVViene, nel caso classico, quando le
probabilita di inclusione sono costanti, Quando non lo sono, le
etichette sono necessarie, in quanto servono per associare a
ciascuna unita estratta la rispettiva probabilita di 'inclusione,
.per avere una stima del parametro (di popolaZiOne) di interesse,
Da quanto esposto in precedenza, invece, lJunica
informazione rilevante per a,
e lJinsieme dei valori osservati, indiPendentemente dalle unita
estratte: ossia lJinteresse e sullJinsieme:
qualunque sia s,
X(S)={Xl"""Xn )
56
.l

dimostrazione:
La distribuzione della variabile (s+i)-dimensionale Y(s+i),
puo essere fattorizzata nel seguente modo;
F[Y(S+i);6]= H[Y(s),t(s): 6] K[Y(s+i);Y(S),6]
dalla sufficienza di t(s) per 6 si ha;
H[Y(S),t(S);6]=H' [Y(S);t(S),6] P[t(S);6]=H[Y(s)] P[t(S);6]
S i Ila Cflllndi :
?(./I) F[Y(s+i);6] = H[Y(s)] P[t(s);6] K[Y(S+i);Y(S),6]
siccome t(s) é predittiva, allora;
K[Y(S+i:Y(s),6]= G [ Y(s+i);t(s),6 ]
Sostituita nella (9) fornisce la (8) I
. teorema;
Se da una popolazione finita di N unita viene estratto un
campione di numerosita n, utilizzando il disegno p(S);
p (s) =
n! (N-n) !
N!
la statistica t= (1/n) EX i
sufficiente per e;
dimostrazione;
e
6=6 (M) = (1/N) E
iEs è totalmente
Per dimostrare la sufficienza totale di t,
dimostrare che il parametro delle variabili aleatorie
·dipende dai dati campionari soltanto attraverso t(s).
Nelle popolazioni rinite,
e (s; y (1-s» =(1 /N) E y. l
POiché t(S) é non distorto per 6, si ha;
E[t(s)] =EP(S)T(S) =6
E 1
iE {I-sJ
x ­
i
bisogna
y(I-s),
,.
; -

pOlche
sl Ila;
p(s) =p(I-s)
t(I-s)=[(N-n)/n]t(s)
allora t(I-S) e non dlstorto per 9[s:Y(I-S)] la cul stlma dlpende
dal datl, solo attraverso t (S) Il .
62

la statistica SUIIiciente e data da
e lo stimatore di Max-VerOSimiglianza per S viene ottenuto
risolvendo 11 sistema non lineare (attraverso metodl iteratiVl);
Utilizzando quindl S, 1 valori sulle unltà non campionate possono
essere ottenuti apPllcando 11 "predlttore";
che dlventa per Y(a)=1 e Y(b)=O

BisOgna aggiungere che se i cluster vengono 'campionati tutti,
e quindi il' disegno diventa ad uno stadio stratificato, allora la
disegUaglianza precedente risulta invertita.
Il legmne che esiste tra le varianze dei due stimatori viene
espresso attraverso la seguente formula:
$"-:5. 1) V [Td (:y)] =_N_(N_-_n_}_N_(M_-_l_}__
n HZ (l'i-1)
dove
V[Ts(y)]Z [i+(M-l}'I']
ed affinché risulti V[Td(Y}] > Q dovra essere;
1
- -- M-i

consideriamo separatamente le unita di primo stadio e quelle di
secondo stadio.
,
Se invece consideriamo la variabile aleatoria di
pari a
dimensioni
D= 'E Mi
iE {I J
allora la struttura di covarianza può essere espressa come:
';;.4. 1) COV(Yi, j'Yh, 1)=
13+

6. 1
Cap. VI
IL CAMPIONA}IENTO LONGITUDINALE
Introc:ìuzione
Il campionamento da popolazioni finite ha come scopo. in
generale. di risalire induttivamente alla misurazione di alcuni
par·ametr·i. (fenomeni) l'iguardanti un cer·to insieme di "individui"
(poPOlaziOne). Viene osservato un sottoinsieme (CamPione) e minimizzato.
attraverso opportuni aCcorgimenti. sia nella fase di selezione
degli individui da campionare che nella scelta della
funzione delle misurazioni effettuate sugli individui campionati.
lJerrore che. inevitabilmente. si commette nel trarre conclusioni
rispetto agli individui. della popolazione. non inclusi nel cmn-
. Pione.
L'errore campionario risulta direttanlente legato alla variabilita'
del fenomeno (variabile oggetto di indagine) al variare
dell'individuo ed allà modalita di estrazione dell'individuo
stesso dalla popolazione (disegno campionario).
Un fenomeno. qllindi. pUo aSSlunere diverse modalita (quantitative
o qualitative) se misurato su individui differenti. in
altri ter·mini. al variare .deIl' individuo si osser·va una certa
variabilita' del fenomeno oggetto di indagine. E' da osservare
che le indagini campionarie sarebbero prive di Significato se non
esistesse la POSsibilita di osservare una variabilita del fenomeno
pur misurandolo. sullo stesso individuo; questa Possibilita e
data (deriVa). dall'introduzione del fattore tempo.
In altre parole. per popolazioni finite. qualsiasi fenomeno
potrebbe essere perfettamente conosciuto misurandolo dopo avere
effettuato un censimento. soltanto sugli individui che entrano e
su quelli che escono dalla popolazione.
In realta' l'importanza delle indagini camPionarie deriva proprio
dal fatto che esiste una variabilita' temporale nei fenomeni
e da qui' l'esigenza di effettuare diverse misurazioni (CampiOnamenti)
in tempi diversi per avere informazioni aggiornate circa
l'effettiva entita' dei fenomeni di interesse. QuandO non si e
interessati a misurare variazioni temporali del fenomeno. le
indagini vengono cl1Ìamate "trasversali" J al trimenti vengono cilla-

za (livello di 'pI'o})abilita) o: prefissata cIle:
oppure
-
X =X
ti t2
- X > X
ti t2
X -< X
ti t2
test bidirezionale
test unidirezionali
E' comunque arduo dare una valutazione abbastanza attendibile
deIl' entita' de l cambiamento avvenuto nel per-iodo (t -t ) l se non
- .' 2 i
viene utilizzato un "modello statistico" atto a "spiesare" una
parte della variabilita' temporale del fenomeno stesso.
b) campionamento con le stesse unita nei successivi
temPi (panel).
Questo tipo e11 campionamento (spesso denominato panel) consente
di ottenere quelle particolari quantita clle sono i "flussi"
non altrimenti osservabili trmnite stime trasversali indipendenti
(caso precedente).
Le principali caratteristiche di questo tipo di
disegno di camPionamento possono essere cosi' riassunte:
- Le unita della popolazione cmnpionata rimansono nel campione
per tutto il periodo di ossevazione del fenomeno.
- Il questionario rimane identico nelle successive interviste
(almeno per la parte di CUi interessa misurare i flUSSi)
114

successivi tempi. Per le unita campionate, comunque,esiste la
possibilita di porre qUesiti sugli istanti di tempo precedenti.
In questo modo si ha una sovrapposizione temporale (liVelli) che
prolungano la struttura di panel. Uno svantaggio di livelli
mUltiPli elevati è quellO di corru)inare (al fine di ottenere delle
stime) unita con e11versi "effetti memoria" e quindi con
differenti errori di risposta.
Supponendo di avere un disegnO a livello unico, le quantita di
interesse sono le segUenti:
a) la media campionaria delle unita entrate per la prima volta
ne l campione,
X h
b) medie campionarie delle unita.rimaste nel campione ai tempi
t e t
Il h-i
c)
media can1pionaria delle unita rilevate al
uscite al tempo t :tl
Il
ed
tempo t ed
h-i'
Supponendo che la quantita che piU interessa sia la media al
tempo t , una stima viene fornita da:
Il .
l a j1·i) utilizza per. l a stima de 11 a mee1ia al
esistente tra il valore assunto dal fenomeno
nei due temPi successivi, th e th-l'
117
tempo t il
h
oggetto di
legame
indagine
.' ..,

C) Stima della diTTerenza (e somme)tra due medie.
Supponendo di avere le stime di M e d M e possibile
11. 11.- 1
utilizzare la stima'al tempo t per migliorare quella al tempo
tI
t . Uno stimatore della diTTerenza e inTatti dato da:
tl-l
'-1-2 ) M -M =M -(M +u(M -x »
tI 11.- 1 11. 11.- 1 tI 11.
Come per la diTTerenza, per la somma di due o piU medie
successivi si utilizza il valore ottenuto al tempo
migliOrare le stime ottenute nei temPi precedenti.
"tempi" sono maggior'e di 2 lo stimatore si complica,
vengono presupposti solo due tempi di campionamento.
G-t-3 ) M +M = M + (M -u(M -k »
11. h-l 11. 11.-1 h h
d) Campionamento ruotato a piU livelli:
in temPi
t per'
11.
Se i
per cui
Se i livelli sono Pit'l. di 2 la stima "media della popolazione al
tempo 11. " si PUo ottenere i terativamente:
dove
come si
ruotato
M =x +u (M -x )
h h h 'h-l h-l
PUo intuire l'aumento di
dipende (a parita di
118
preCisione
numerosita
in un campione
direttamente

) p lim .{ (1IN) .E X (i, t) =IJ (t) l =1
c) IE(Xt)=iJ(t)
La (a) rappresenta l'evoluzione nel tempo del fenomeno oggetto di
studiO. Per fenomeni demografici ed economici e solito imporre
delle funzioni di crescita che abbiano un andamento Piuttosto
r'ego l are. I l par'ametro dovr'à sOddiSf?l-'e de Il e equaziOni
differenziali del tipo
oppur'e essere;
diJ(t)=a(t)iJ(t)dt
diJ (t) =adt
iJ(t)=cost
Nell'approccio superpopolazione, per ogni
riferimento t, la popolazione P e considerata un
unità estratto casualmente da un insieme infinito
una misura di probabilità F(IJ(t),02). Il parametro
e(t) è tale che;
Plim { e(t,N)=1J 1=1 V t E {i, T1
per'iodo di
campione di N
su cui esiste
di popolaZione
In effetti e(t,N) risulta una statistica sufficiente per
lJ(t), per cui
ino l tre, POiC11e
XtJe(tLLIJ(t)
131
V t

e quindi al variare di i cambia la probabilità che, campionando
una unità da P essa possegga l'intensità Y=y del carattere Y. Lo
scopo dell'inferenza diventa quindi quello di ricercare un legame
funzionale stocastico che permetta di "predire" condizionalmente
alle etichette non osservate, i valori della caratteristica Y. Il
modello inferenziale sarà quindi;
Pr {Y Y ; e e J = TI· F (Y. =Y. ; e . )
1 li 1 li ( 111
Se inoltre l'etichetta è multidimensionale (ad esempio coordinate
geografiche dei comuni) allora il modello stocastico è quello di
campo aleatorio ed i punti Y(i, j) saranno su una superficie
stocastica scomponibile in lIsegnale + rumore", per quanto
riguarda le unità ;non osservate di P. L'approccio inferenziale è
satato quello· predittivo, in .cui le proprietà degli stimatori
non sono le stesse dell'inferenza classica ma devono avere dei
legami con le distribuzioni delle variabili non osservate
(sufficienza predittiva). In alcuni casi ad esempio
nella non-informatività delle etichette le due definizioni
coincidono in quanto il parametro di Superpopolazione rimane
costante al variare dell'unità (o della prova). Il lavoro è
andato man mano espandendosi per cui risulta forse privo di
conclusioni definitive. Quello che comunque è definito è che si
tratta di un approccio al problema della stima da popolazioni
finite che esula dagli attuali orientamenti (anche se modelbased)
.
138

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