Metodi non parametrici per l'analisi di cointegrazione di ... - Sapienza

Dipartimento di Statistica, Probabilità e Statistiche Applicate
Università di Roma "La Sapienza"
Gianluca Cubadda
Metodi non parametrici
per l'analisi di cointegrazione
di serie stagionali
Roma -febbraio 1995

DOTTORATO DI RICERCA IN STATISTICA METODOLOGICA
VII CICLO (1991-1994)
GIANLUCA CUBADDA
TESI
METODI NON PARAMETRICI PER L'ANALISI DI COINTEGRAZIONE
DI SERIE STAGIONALI
DIPARTIMENTO DI STATISTICA, PROBABILITA' E STATISTICHE APPLICATE
UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI ROMA "LA SAPIENZA"

PREFAZIONE
Questa tesi è frutto dell'attività di ricerca svolta durante il
corso di Dottorato in Statistica Metodologica presso il Dipartimento
di Statistica, Probabilità e Statistiche Applicate dell'Università
di Roma "La Sapienza".
Colgo qui l'occasione per ringraziare tutti coloro che durante
questi anni mi hanno aiutato e stimolato. In particolare, un sentito
ringraziamento spetta ai Proff. M. Lippi e G.B. Tranquilli per avere
costantemente seguito €i incoraggiato la mia attività di ricerca.
Sono inoltre grato al Prof. E. Marruco, per avermi orientato
verso le tematiche dell'analisi delle serie storiche stagionali e
per avermi introdotto nello stimolante gruppo di lavoro della
Società Italiana di Statistica "Analisi Economica a Breve Termine",
al Prof. L. Piccinato, per la sua preziosa opera di coordinamento
del corso di Dottorato di Ricerca, e ai docenti del corso di "MSc in
Economics and Econometrics" dell'Università di Southampton (UK), per
i loro qualificati insegnamenti.
Roma, Gennaio 1995
Gianluca Cubadda

METODI NON PARAMETRICI PER LPANALISI DI COINTEGRAZIONE
Introduzione (p. l)
DI SERIE STAGIONALI
INDICE
Cap. I - Analisi di cointegrazione di serie stagionali:
motivazioni e aspetti preliminari
1.1 La forma spettrale di una serie stagionale e la sua
intepretazione statistica (p. 3)
1.2 Regressione spuria e relazioni di cointegrazione (p. 7)
1.3 Alcuni strumenti preliminari (p. 9)
1.4 Una breve panoramica dei capitoli success6ivi (p. 14)
Cap. II - La· teoria e la verifica della cointegrazione
stagionale nel dominio frequenziale
II.1 Introduzione (p. 15)
II.2 Cointegrazione ad una data frequenza: definizione e
proprietà (p. 16)
II.3 Il caso di serie stagionali (p. 22)
IlA Alcune rappresentazioni di serie stagionali
cointegrate (p. 23)
II.5 Test di cointegrazione non parametrici (p. 28)
II.5.1 La stima della matrice di densità spettrale (p. 29)

II.5.2 Un test basato sulla funzione di coerenza
spettrale (p. 32)
II.5.3 Un test basato sugli autovalori della matrice di
densità spettrale (p. 38)
II.6 Considerazioni conclusive (p. 43)
Cap. III - Alcuni possibili svilùppi dell'analisi di
cointegrazione stagionale nel dominio frequenziale
III.1 Introduzione (p. 46)
111.2 Componenti deterministiche e test di
cointegrazione (p. 47)
.. 111.3 Uno stiInatore non parametrico dei vettori
Bibliografia (p. 60)
polinomiali di cointegrazione (p. 50)
UlA La stima semiparametrica della matrice di densità
spettrale (p. 52)
111.5 Considerazioni conclusive (p. 59)

INTRODUZIONE
Il presente lavoro riguarda un argomento di notevole rilievo
nell'ambito dell'analisi econometrica delle serie storiche non
stazionarie: la cointegrazione. In particolare, si è voluta
approfondire l'analisi di cointegrazione di serie stagionali, ovvero
un aspetto recente riguardo al quale si è rapidamente sviluppata
un'ampia letteratura sulle riviste specializzate.
Come è noto, l'analisi delle serie storiche può essere
suddivisa in due grandi filoni: i metodi nel dominio temporale e i
metodi nel dominio frequenziale. Nell'ambito dell'analisi di
cointegrazione, la metodologia si è sviluppata soprattutto nel
dominio temporale. A parere dello scrivente, questo è dovuto non ad
una difficile trattabilità dell'argomento nel dominio frequenziale,
ma al fatto che in econometria l'approccio parametrico e
temporalista è culturalmente dominante. In questo lavoro si è inteso
invece mostrare come l'analisi di cointegrazione di serie stagionàli
possa essere affrontata in modo naturale secondo un approccio' non
parametrico nel dominio frequenziale.
Il lavoro è organizzato in tre capitoli. Nel primo capitolo,
dopo un'introduzione euristica ai concetti di integrazione e
cointegrazione stagionale, vengono illustrati alcuni strumenti
preliminari. Il secondo capitolo è logicamente suddivisibile in due
parti: la prima tratta formalmente la definizione e le proprietà
della cointegrazione ad una generica frequenza, nella seconda
vengono presentati dei test di cointegrazione non parametrici. Il
terzo capitolo riguarda alcuni possibili sviluppi dell'analisi di
cointegrazione nel' dominio frequenziale, quali il trattamento di
componenti deterministiche, la stima dei vettori polinomiali di
1

- Introduzione -
cointegrazione e la stima semiparametrica della matrice di densità
spettrale.
Si fa infine presente che parte degli argomenti presentati nel
secondo capitolo sono stati già trattati in precedenti pubblicazioni
dello scrivente (Cubadda 1994a, 1994b).
2

- Capitolo i -
DaU'esame grafico degli spettri di potenza delle due serie. si
evince che mentre la serie TY1 presenta in effetti la "forma
spettrale' tipica" evidenziata dallo studio di Granger (1966). lo
spettro di potenza della serie TY2 se ne discosta per alcuni versi.
In particolare. la componente ciclica dominante appare quella di
periodo pari a 5 anni circa. mentre la rilevanza della stagionalità
è limitata. Questa discrepanza di risultati pone ovviamente il
problema di determinare quale tra le due trasformazioni considerate
sia la più corretta al fine di rendere stazionaria la serie in
esame. In termini generali. le due trasformazioni considerate sono
ognuna compatibile con una diversa ipotesi circa il processo che
genera i dati di una ,variabile economica stagionale. Nel caso della
trasformazione che ha prodotto la serie TY1. si ipotizza che
Yt = a + bt + (3'Dt + et
(1.0
dove t è l'indice del tempo. (Yt; t = 1.2....T) = Y. D t è un vettore
colonria costituto dalle undici dummies stagionali ed et è un
processo stocastico debolmente stazionario con una funzione di
densità spettrale assolutamente continua e limitata in (-n:. n:].
L'uso del filtro differenza stagionale è invece coerente con il
modello:
Yt = c + Yt-12 + et
0.2)
dove c è una costante nel tempo. Anticipando una nozione che
approfondiremo nel seguito. nel caso in cui la serie Yt segua il
modello (1.2). diremo.' allora che la Yt è "integrata" alla frequenza
zero e alle stagionali.
Si noti che entrambi modelli (1.1) e 0.2) generano delle
sede non stazionarie in media in quanto dotate di un trend e di una
5

- Capitolo I -
In alternativa, è possibile filtrare preliminarmente ogni serie
per l'operatore differenza stagionale. Tale soluzione lascia però
insoddisfatti nel caso di serie come la Y ed la E, le quali
presentano forti analogie negli andamenti tendenziali e stagionali,
in quanto il filtro (l - L 1Z ) attenua fortemente proprio tali
andamenti. L'analisi di cointegrazione rappresenta la via di uscita
da questo dilemma. Euristicamente, potremmo dire che lo scopo di
tale analisi è l'inferenza sulle componenti non stazionarie di un
vettore di processi integrati. In particolare, due o più serie
integrate alla frequenza zero e alle stagionali sono cointegrate a
dette frequenze se esistono delle combinazioni lineari di queste
serie che sono stazionarie. Un vettore di serie cointegrate ammette
rappresentazioni diverse dalle usuali autoregressive (VAR) e a media
mobile (VMA) e richiede un apparato inferenziale ad hoc. Queste
tematiche saranno estensivamente trattate nel capitolo successivo.
1.3 Alcuni strumenti preliminari
In questo paragrafo illustreremo alcuni strumenti dei quali
faremo largamente uso nel seguito.
Cominciamo con la nozione di matrice di densità spettrale o
spettro di un processo vettoriale u t (t = 0,1,2... ) di dimensione n
e debolmente stazionario. Si assuma che tale processo abbia una
funzione di autocovarianza r(k) = E(utu t _ k ) assolutamente sommabile,
ovvero tale che:
k=-oo
9
(1.3)

- CapitoLo I -
dove Il r(k) Il indica il modulo del determinante della matrice r(k),
allora esiste la trasformata di Fourier della r(k), ovvero la
funzione
F(w) - l r
- 271: L
k=-oo
r(k)exp(-ik)
ed è limitata ed uniformemente continua in (71:, 71:]. La funzione F(w)
è detta matrice di densità spettrale del processo u t alla frequenza
w E (71:, 71:] ed è interpretabile come: (a) matrice di varianze e
covarianze del processo dU(w), il quale è legato al processo u t
mediante la rappresentazione di Cramer, ovvero:
71:
Yt =JexpOtw)dU(w)
-71:
(b) scomposizione per frequenze della matrice di covarianze del
processo u t ' ovvero:
71:
reO) = J F(w)d(w)
-71:
Poichè la F(w) è una matrice di covarianze di un processo a valori
complessi, essa è una matrice hermitiana e semidefinita positiva.
Inoltre, la matrice F(w) assume valori reali per w = O o w = O.
Nell'ambito dei processi debolmente stazionari che rispettano
la condizione (1.3), ci limiteremo a considerare processi che
ammettono la rappresentazione vettoriale a media mobile (VMA),
ovvero:
10

- Capitolo I -
dove C(L) = LCJL J , L è l'operatore di ritardo, Co = I e et è un
J=O
processo rumore bianco vettoriale di dimensione n. In questo caso,
la mçl.trite di densità spettrale del processo u t è la seguente:
Fu(w) = C(exp(-iw))'2:C(exp(iw)),
dove 2: = E(ete t '). Se il polinomio IF(L)I' dove IF(L) I indica il
determinante della matrice F(L), ha tutte le radici in modulo
superiori ad uno, allora esiste la matrice polinomiale inversa
C(L) = F(L)-l. In tal caso il processo u t viene definito invertibile
ed esiste la sua rappresentazione autoregressiva vettoriale (VAR),
ovvero:
dove la stazionarietà del processo u t richiede che il polinomio
IF(L) I abbia tutte le radici in modulo superiori ad uno. Infine, se
C(L) = R(L)-lM(L), dove R(L) e M(L) sono polinomi matriciali di
ordine rispettivamente pari a p e q (p,q < 00) tali che R o = MQ = I,
allora esiste la rappresentazione autoregressiva-media mobile
vettoriale, VARMA(p,q), del processo u t • ovvero:
11

- CapitoLo I -
dove la stazionarietà e l'invertibilità del processo u t richiedono
rispettivamente che il polinomio IR(L) I e quello IM(L) I abbiano
tutte le radice in modulo superiori ad uno.
Nel seguito saremo interessati a studiare le proprietà di un
processo ricavato filtrandone un altro. Ci limiteremo a considerare
filtri lineari e invarianti nel tempo, ovvero matrici polinomiali
A(L) di ordine nxr (r::$ n). Tale filtro dice'si realizzabile se
A J = O per 'ij > q (q < (0). Una proprietà importante è éhe se il
filtro A(L) è assolutamente sommabile, ovvero:
00
LIAJ \ < 00
J=O
allora il processo V t = A(L)'u t è stazionario. Inoltre il processo
vt ha la seguente rappresentazione di Cramer:
1l
v t = JexpUtw)A(exp(-iw))'dU(w)
e la seguente matrice di densità spettrale:
-1l
(1. 4)
La funzione A(expUw)) è detta funzione di trasferimento e la
funzione A(exp(-iw))'A(expUw)) è detta funzione di guadagno. Per un
ampio trattamento degli strumenti sinora presentati, si può vedere
Brillinger (1981).
Si consideri ora il seguente filtro':
t.(L) = (1 - expOìdL) se À = O o À = 1l
12

- Capitolo I -
A(L) = (l - 2cos(i\)L + L2) se i\ :;t: O (mod n)
E' facile vedere che il filtro Ll(L) ha una funzione di trasferimento
che si annulla alla frequenza i\. Questo implica -che la matrice di
densità spettrale del processo Lì(L)u t è nulla alla frequenza i\. Non
risulta invece definita la matrice di densità spettrale del processo
non stazionario Yt definito dall'equazione:
Una semplice estensione dell'equazione (1.4) ci porta però a
definire lo pseudospettro del processo Ytp ovvero:
il quale non è limitato superiormente per w = i\.
Infine, faremo spesso uso della seguente proposizione:
Proposizione 1. 1. Una matrice polinomiale A(L) può essere
riscritta come:
m m m
A(L) = LC k TI (l - zkL)A(Zk) + TI (l - zkL)A*(L)
k=l J:;t:k J:;t:k
dove 21"" ,2 m sono scalari complessi e distinti, c k (k = l, ... ,m) è
Iit
una costante e A (L) una matrice polinomiale (Hylleberg et al.,
1990).
13

- CapitoLo I -
1.3 Una breve panoramica dei prossimi capitoli
Nel secondo capitolo verranno approfondite le nozioni di
integrazione e cointegrazione alla frequenza zero e alle, stagionali
e si illustreranno le diverse rappresentazioni di un vettore di
serie stagionali cointegrate. Inoltre, verranno sviluppati dei test
di integrazione e cointegrazione basati sulla funzione di coerenza
spettrale e sull'analisi delle componenti principali nel dominio
delle frequenze.
Il terzo capitolo tratterà una miscellanea di argomenti,
quali costituiscono delle possibili linee evolutive per l'analisi di
cointegrazione non pq.rametrica. In primo luogo, si mostrerà come
test del capitolo precedente possano facilmente essere estesi a
serie integrate contenti componenti deterministiche complesse,
quali, ad esempio, cambiamenti di livello e trend spezzati. Questa
estensione è rilevante in quanto i test attualmente disponibili nel
dominio temporale non sono in grado di gestire tali serie.
Inoltre, si proporrà un metodo di stima dei coefficienti delle
combinazioni lineari di cointegrazione basato sugli autovettori
della matrice di densità spettrale. Infine, si presenterà uno
stimatore semiparametrico della matrice di densità spettrale il
quale consente di risolvere alcuni problemi connessi all'uso delle
componenti principali nel dominio delle frequenza.
14

n.l Introduzione
CAPITOLO II
LA TEORIA E LA VERIFICA DELLA COINTEGRAZIONE
STAGIONALE NEL DOMINIO FREQUENZIALE
Nel precedente capitolo si è scritto che lo scopo che l'analisi
di cointegrazione si prefigge è l'inferenza sulle componenti non
stazionarie di un processo stocastico vettoriale. Poichè dette
componenti, ovvero trend e stagionalità, sono responsabili delle
fluttuazioni delle serie storiche a periodi . ben determinati,
l'ottica frequenziale è di chiaro interesse per l'analisi di
cointegrazione.
Lo studio della cointegrazione nel dominio delle frequenze
rende di immediata comprensione le caratteristiche rilevanti di
serie integrate e cointegrate. In particolare, si evidenzierà che un
processo stocastico integrato può essere reso stazionario
dall'applicazione di un opportuno filtro lineare, il quale è
caratterizzato. dall'avere una funzione di trasferimento che si
annulla a date frequenze. Quando queste frequenze sono la zero e le
stagionali, tale filtro risulta essere il ben noto operatore
"differenza stagionale", inizialmente proposto da Box e Jenkins
(1976) nel loro modello moltiplicativo-stagionale. L'ipotesi che
molte serie storiche socio-economiche siano generate da processi
integrati fornisce quindi una giustificazione formale alla diffusa
15

- Capitolo I I -
pratica di "differenziare" le serie stesse al fine di renderle
stazionarie.
In ambito multivariato però l'uso di operatori differenza non
risulta appropriato nel caso di presenza di cointegrazione. Infatti,
in questa condizione la differenziazione della serie multivariata
comporta la cancellazione di importanti legami operanti tra gli
elementi del processo vettoriale. Dal punto· di vista matematico,
tale cancellazione si traduce nella perdita della proprietà di
invertibilità della serie vettoriale. Ne segue che le conseguenze
della differenziazione di serie cointegrate sono particolarmente
gravi per quanto riguarda la modellizzazione nel dominio temporale.
Questi aspetti verranno ripresi nel prossimo capitolo.
Questo capitolo è organizzato come segue: nel prossimo
paragrafo vengono introdotte le nozioni di integrazione e
cointegrazione di un processo ad una data frequenza, nel paragrafo
II.3 si specializzano dette nozioni per il caso di serie stagionali,
nel paragrafo II.4 si presentano alcune rappresentazioni di serie
stagionali cointegrate, nel paragrafo II.5 si introducono e si
discutono alcuni test per la presenza cointegrazione ad una
qualsiasi frequenza e infine il paragrafo II. 6 contiene le
conclusioni. Si precisa che paragrafi II.2, II.3 e II.5 sono
basati su precedenti lavori dello scrivente (Cubadda 1994a, 1994b).
ILi Cointegrazione ad una data frequenza: definizioni e proprietà
Definizione 2. 1: Un processo x t dicesi integrato di ordine d,
dove d E IN, ad una frequenza angolare À, e si denota x t
'" I(d,À),
se esiste un processo debolmente stazionario u t con spettro f (w)
u
limitato, uniformemente continuo in [-lI, lI], positivo in À e legato
allo pseudospettro di x t ' f (w), dalla seguente relazione:
x
16

- Capitolo II -
storiche di prezzi e di variabili economiche nominali, le quali
spesso risultano essere 1(2, O) (per alcuni risultati relativi a
serie storiche macroeconomiche italiane, si veda Cubadda e Mignacca
1994). Alle frequen;ze stagionali, le evidenze empiriche sono meno
conclusive. Infatti, le analisi empiriche condotte su dati inglesi
(MilIs e Mills 1992) e giapponesi (Engle et al. 1993), hanno fornito
indicazioni di serie integrate di ordine uno, mentre, tra gli studi
che hanno fatto uso di dati nord-americani, Beaulieu e Miron (993)
hanno evidenziato una prevalenza del caso d = 0, anche se i loro
risultati sono stati severamente posti in dubbio (Hylleberg et al,
1993). La complessiva prevalenza del caso d = 1 giustifica la
seguente definizione di cointegrazione:
Definizione 2.2: Un vettore Yt di n processi integrati di
ordine 1 alla frequenza i\ dicesi cointegrato alla frequenza i\ se
esiste un vettore polinomiale IX(L} di dimensione n tale che
lX(exp(ii\)) ;é ° e che il processo Zt = IX(L}'Yt sia I(b,i\) dove b < 1.
Il sottospazio che genera il vettore lX(exp(ii\}) è detto spazio di
cointegrazione e se la sua dimensione è pari ad r, (r < n), allora
dicesi che il processo Yt ha rango di cointegrazione pari a r. Nel
caso in cuilX(L}= IX e [Rn, diremo che il vettore Ytè cointegrato
contemporaneamente alla frequenza i\.
In termini euristici, un vettore Yt di processi. I(l,i\) è
cointegrato se è possibile ottenere un processo zt> integrato di
ordine b < 1, "passando" gli elementi del vettore Yt attraverso un
filtro lineare vettoriale o::(L) ,. Si noti che per valori di b < 1/2
il processo Zt è stazionario (Granger e Joyeux 1980). . La condizione
che la funzione di trasferimento del vettore polinomiale di
cointegrazione o::(L) sia diversa da. zero alla frequenza i\, ovvero
o::(exp(ii\)) :;C 0, esclude il caso banale in cui tutti gli elementi di
18

- Capitolo I I -
poichè ogni elemento, del vettore Yt è un processo H1,i\.), possiamo
scrivere:
dove et è un vettore di n processi HO,i\.) e
Lì(L) = (1 - exp(ii\.)L) se i\. =°o i\. = n:
Lì(L) = (1 - 2cos(i\.)L + LZ) se i\. '" ° (mod n:).
Possiamo ora enunciare il seguente teorema:
(2.0
Teorema 2.2: Il sistema (2.0 è cointegrato alla frequenza i\. se
e solo se la matrice di densità spettrale Fe(w) (w e [0, n:]) del
processo vettoriale et è singolare per w = i\.. Inoltre, lo spazio
nullo della matrice Fe(i\.) è lo spazio di cointegrazione.
Prova: Per dimostrare la sufficienza, si consideri che,
premoltiplicando entrambe le parti dell'equazione (2.1) per lX(L)' e
calcolandone lo spettro di potenza, si ottiene:
(2.2)
dove f z(w) è la densità spettrale del processo Zt. Calcolando
l'equazione (2.2) per w = i\. abbiamo:
(2.3)
dalla quale si vede che la matrice Fe(i\.) ha rango pari a (n' - r) e
che lo spazio di cointegrazione èi1 suo spazio nullo. Per
dimostrare la necessità della condizione (2.3), si consideri, che
20

- Capitolo I I -
Quando un processo x t è sia integrato stagionalmente che
integrato di ordine d alla frequenza zero allora si ha:
d-l s
O - L) O - L)x = u
t t
che è, se u t segue un processo ARMA stazionario e invertibile, il
classico modello moltiplicativo stagionale proposto da Box e Jenkins
(976).
E' infine chiaro che un vettore di n processi integrati di
primo ordine sia a qualche frequenza stagionale che alla zero può
essere cointegrato ad ognuna di queste frequenze.
HA Alcune rappresentazioni di serie stagionali cointegrate.
Un vettore Yt di n processi cointegrati sia alla frequenza zero
che alle stagionali ammette diverse rappresentazioni equivalenti nel
dominio temporale. In questo paragrafo ci limiteremo a considerare
la tipologia di cointegrazione più trattata nella letteratura,
ovvero b = O. Inoltre, per semplicità, considereremo il caso di
serie trimestrali, oVVero s = 4. In questo contesto, poichè ogni
elemento del processo vettoriale Yt è reso stazionario e invertibile
dal filtro (l - L4), possiamo scrivere la rappresentazione di Wold
del processo Yt:
23
(2.5)

- CapitoLo I I -
matrice può essere fattorizzata come cm = 2HG', dove H e G sono
matrici a valori complessi non singolari di ordine n )c (n - r 3 ).
Supponendo che i ranghi di cointegrazione alle frequenze O e n
siano rispettivamente pari a r l e r z (r l < n, r z < n) e ripetendo le
stesse considerazioni fatte per la cointegrazione alla frequenza
n/2, possiamo allora scrivere DI = HlG l ' e D z = HzG z ',
sono due matrici non singolari di ordine n )c (n - r l ) e
due matrici non singolari di ordine n x (n - r z ).
dove Hl e G l
Hz e G z sono
Sotto queste
ipotesi, possiamo dunque riscrivere la rappresentazione (2.6) come:
(1 - L 4 )Yt = {HlGl'(l + L + L Z + L 3 ) + HzGz'(l - L + L Z - L 3 ) +
+ [H 3 G 3 ' + H 4 G 4 ' + (H4G3' + H 3 G 4 ' )L](l - L2) + C*(L)(l - L4)h:: t
dove G 3 = Re[G], G 4 = Im[G], H 3 = Re[H] e H 4 = Im[H].
(2.7)
La rappresentazione (2.7) esplicita vincoli lineari che la
presenza di cointegrazione impone alle matrici dei coefficienti
della rappresentazione di Wold. Questi vincoli sono dovuti alla
dipendenza lineare presente tra le componenti degli elementi di Yt
associate ad ognunadelle frequenze di cointegrazione. Per questo
motivo la (2.7) viene chiamata rappresentazione a trend e
stagionalità comuni.
Nei lavori empirici la rappresentazione più usata è però quella
VAR, ovvero:
(2.8)
dove F(O) = I e IF(L) I ha alcune radici pari a l, -1 e :ti e le altre
esterne al cerchio unitario. Confrontando la (2.5) con la (2.8), è
4
facile ricavare che F(L)C(L) = (I - L ). Ne segue che:
25

- Capitolo I I -
nel caso di cointegrazione contemporanea, ovvero F(i) = -2BA 3 ', la
(2.11) si riduce a:
o - L 4 )Yt = et + [B1A1'O + L + L 2 + L 3 ) + B 2 A 2 'O - L + L 2 - L 3 ) +
2 li> 4
+ (B 3 + B 4 LlA 3 'O - L ) + F (L)(1 - L )]Yt-l
(2.12)
L'inferenza .nel dominio temporale per modelli stagionali
cointegrati ha fatto sinora riferimento ai modelli ECM (2.11) e
(2.12). In particolare, Hylleberg et al. (990) hanno proposto dei
test alla Dickey e' Fuller (981) per verificare la presenza di
radici unitarie in serie trimestrali univariate. L'estensione di
questi test alle serie mensili è stata considerata da Franses (991)
e da Bealieu e Miron (993). Engle et al. (993) hanno sviluppato un
metodo a due stadi alla Engle e Granger (987) per verificare e
stimare relazioni di cointegrazione trimestrali in serie bivariate.
Le statistiche proposte hanno il pregio della semplicità concettuale
e computazionale, poichè richiedono solamente regressioni con
minimi quadrati ordinari, ma in generale non sono asintoticamente
equivalenti agli stimatori di massima verosimiglianza (MLl. Un
approccio ML alla Johansen (988) è stato proposto da Lee (992) per
la verifica di cointegrazione contemporanea e la stima dei parametri
del modello (2.12) sotto l'assunzione che valga la restrizione
B 4 = O. Infine, Ahn e Reinsel (994) hanno proposto un metodo di
stima dei parametri del modello (2.11) basato sulla tecnica della
regressione a rango ridotto. Tale stimatore è asintoticamente
equivalente a quello ML.
Una caratteristica comune ai metodi nel dominio temporale è il
ricorso a tecniche inferenziali basate su opportuni teoremi del
limite centrale su spazi funzionali e relativi principi di
invarianza. Una conseguenza di ciò è che le statistiche proposte
convergono debolmente a funzionali di moti browniani multivariati i
27

- CapitoLo I I -
quali non sono invarianti all'introduzione nei modelli (2.11) e
(2.12) di elementi deterministici come derive, trend e dummies
stagionali 2 . Un'altra difficoltà è infine connessa al fatto che la
letteratura sviluppata nel dominio temporale ha sinora ignorato
l'inferenza per serie mensili cointegrate, a dispetto della loro
notevole rilevanza ai fini dell'analisi congiunturale.
II.5 Test di cointegrazione non parametrici
II.S.I La stima della matrice di densità spettrale
I test non parametrici che verranno illustrati in questo
paragrafo hanno il loro razionale nel teorema (2.2). In particolare,
data la condizione necessaria e sufficiente (2.3) per la
cointegrazione ad una data frequenza, si tratterà di verificare se
la matrice di densità spettrale. Fe(w) abbia rango ridotto alle
frequenze di interesse.
Un notevole pregio dell'analisi di cointegrazione neL dominio
frequenziale è proprio che test non richiedono preliminarmente
l'identificazione e la stima di un modello multivariato, ad es. del
tipo VARMA, per il vettore di serie storiche in esame. Inoltre,
nell'approccio non parametrico le statistiche proposte sono
opportune funzioni del processo et il quale è ottenuto cancellando
le radici unitarie dagli elementi del processo vettoriale Yt. Ciò
consente il ricorso all'usuale teoria asintotica per processi
2 Per esempio, l'analisi di Lee (1992) assume irrealisticamente che
le serie siano generate da processi a media nulla in ogni periodo e
in ogni stagione.
28

- CapitoLo I I -
stazionari. Un' implicazione rilevante di questo è che i test non
parametrici sono invarianti alla presenza nella serie Yt di
componenti deterministiche quali drifts o dummies stagionali.
Il punto di partenza dei test non parametrici è una stima
consistente della matrice di densità spettrale Fe(w). A questo
proposito, si noti che le equazioni (2.2) e (2.3) ci dicono che la
funzione

(Brillinger, 1981).
- Capitolo I I -
risultati asintotici presentati prescindono, nell'ambito
delle condizioni (2.13), da una particolare scelta della forma e
della ampiezza della finestra spettrale W T (·). Riguardo ai criteri
che possono orientare tale scelta nella pratica, è disponibile una
letteratura molto vasta. Relativamente alla forma, una finestra
spettrale ottima, nel senso che gode della proprietà minimizzare
l'errore quadratico medio relativo di stima, è la finestra spettrale
quadratica (Priestley 1962):
Tale finestra risulta comunque ottima anche secondo criteri
alternativi (Andrews 1991).
Per quanto riguarda l'ampiezza della finestra, sono disponibili
vari metodi data-based che cercano di determinare, almeno in via
approssimata, una m ottima secondo criteri quali la minimizzazione
dell'errore quadratico medio integrato (Robinson 1991) o dell'errore
quadratico medio troncato (Andrews 1991). Una difficoltà comune a
questo tipo di procedure è che l'ampiezza ottima dipende da alcuni
parametri incogniti. Un'espediente per risolvere questo problema è
31

- Capitolo I I -
Al fine di costruire un test per la cointegrazione alla
frequenza X, possiamo quindi basarci sul seguente stimatore
consistente della coerenza spettrale multipla ICe1ez(X) I:
E' noto che, se ICe e (X) I E (O, 0, allora la distribuzione di
,., l Z
zelez(X) = tanh- 1 ICe1eZ(X)I è asintoticamente normale con media
E[ze e (X)] = tanh-11 Ce e (;>d I + (n - 1)/2[k(X) - n + 1]
l Z l Z
e varianza 1I2[k(X) - n] (Brillinger 1981). Possiamo quindi ricavare
per IC e1eZ (X) I il limite inferiore di confidenza al lOO(l-p)%
e il limite superiore di confidenza al lOO(l-p)%
(2.14)
(2.15)
dove v p è il lOO(l-p)-simo percentile della distribuzione normale
standardizzata.
Questi limiti di confidenza possono essere utilizzati al fine
di costruire un test di cointegrazione alla frequenza X. In questo
33

- CapitoLo I I -
Tavola la
Valori critici per il test di non cointegrazione
Modelli l7. 5% 10% 20%
(a) 0.910 0.899 0.894 0.885
(b) 0.907 0.896 0.899 0.881
(c) 0.909 0.898 0.892 0.884
Tavola 2a
Rifiuti % per il test di non cointegrazione: Modello (a)
N°. 055. 1% 5% 10% 20%
64 98.64 99.84 99.88 99.96
128 100.00 100.00 100.00 100.00
256 100.00 100.00 100.00 100.00
Tavola 2b
Rifiuti % per il test di non cointegrazione: Modello (b)
N°. 055. l7. 5% 10% 20%
64
128
256
28.48
88.26
99.92
48.80
95.02
99.98
Tavola 2c
58.62
96.50
99.99
70.84
98.18
100.00
Rifiuti % per il test di non cointegrazione: Modello (c)
N°. 055. 1% 5% 10% 20%
64 77.64 90.14 93.60 96.70
128 99.68 99.96 99.98 98.99
256 100.00 100.00 100.00 100.00
36

- Capitolo II -
Le simulazioni indicano che i valori critici sono abbastanza
stabili tra le varie assunzioni di generazioni delle serie et e che
la probabilità di osservare un limite inferiore prossimo ad uno è
praticamente nulla.
Inoltre, risultati riportati in tavola 2 mostrano che la
potenza del test è considerevole per dimensioni campionarie medio­
grandi. Ad esempio, la potenza del test non è risultata mai
inferiore al 9570 ad un livello di confidenza del 570 per T = 128. Per
piccole dimensioni campionarie, la potenza del test è generalmente
elevata per i modelli (a) e (c), ma risulta meno soddisfacente per
il modello (b). Questo potrebbe indicare una tendenza del test ad
essere conservativo, con un valore critico pari a 0.95, quando nel
processo .sono presenti radici autoregressive di valore elevato in
modulo in corrispondenza della frequenza di interesse.
In conclusione, nel caso di serie bivariate, si suggerisce
l'uso della seguente regola di decisione:
Rifiuto al lOO(I-p)70 dell'ipotesi nulla di assenza di
cointegrazione alla frequenza i\ se il limite inferiore (2.14) è
inferiore a 0.95;
Accettazione al lOO(I-p)70 dell'ipotesi nulla di asse·nza di
cointegrazione alla frequenza i\ se il limite superiore (2.14) è
inferiore a 0.95.
Questa procedura deve essere modificata nel caso di serie
multivariate, ovvero n ::: 3, poichè il rango di cointegrazione r può
essere maggiore di uno e quindi, ricordando il teorema (2.2), non è
più assicurato che esista un blocco di rango (n - n della matrice
Fe(i\). Ne segue che nei sistemi multivariati è necessario verificare
1'assenza di cointegrazione nei sottoinsiemi di dimensione inferiore
37

- CapitoLo I I -
partendo dal livello bivariato. Ad esempio, nel caso n = 3, in primo
luogo bisogna applicare il test ad ognuna delle tre possibili coppie
di variabili. Successivamente, si deve procedere come segue: se non
vi è evidenza di cointegrazione in tutte le coppie, possiamo formare
...
il blocco F22(i\.) tra le serie che esibiscono la coerenza spettrale
più bassa in i\. e applicare il test alla serie trivariata. Invece, se
vi è evidenza di cointegrazione solamente in un paio di serie, si
accetta l'ipotesi r = l e infine, se vi è evidenza di cointegrazione
in almeno due coppie di serie, allora accettiamo l'ipotesi r = 2.
buoni risultati forniti dal test bivariato in termini di
potenza suggeriscono che le conseguenze di questo "pretesting" non
dovrebbero essere rilevanti.
II.5.3 Un test basato sugli autovalori della matrice spettrale
Questo test è stato inizialmente proposto da Phillips e
Ouliaris (1988) limitatamente per la cointegrazione alla frequenza
zero. Joyeux (1992) ha tentato un'estensione della procedura a
frequenze differenti dalla zero. Purtroppo, Joyeux (1992) ha
formulato erroneamente il sistema delle ipotesi. Le conseguenze di
questo errore e dei possibili rimedi sono stati considerati in
Cubadda (1994b).
Dal momento che il test si basa sull'analisi delle componenti
principali nel dominio frequenziale, è necessario standardizzare
tutte le variabili che sono contenute in et per evitare problemi di
scala. Questo può essere fatto definendo una nuova matrice
38

- CapitoLo I I -
q n q n
(l>I) / 0>1 )
- V D[k(À)r l12 :s
P (LPI) / (LPI )
1=1 1=1 1=1 1=1
e il limite superiore di confidenza al 100(1 - p)% è:
dove
q n q n
1l2
(LPI) / (LPI) :s (Lrl) / (Lrl ) + VpD[k(À)r
1=1 1=1 1=1 1=1
1=1 I=q+l l=q+l 1=1 1=1
(2.16)
(2.17)
Questi limiti di confidenza possono essere impiegati al fine di
sviluppare un test di cointegrazione alla freqùenza À. Infatti, se
il limite inferiore (superiore) (2.14) «2.15)) risulta maggiore
(minore) di una "piccola" quantità prefissata, allora possiamo
accettare (rifiutare) al 100(1 - p)% l'ipotesi nulla di non
cointegrazione alla frequenza À. Phillips e Ouliaris (1988)
suggeriscono, sulla base di studi di Monte Carlo, di fissare questo
valore critico pari a O.lIn
L'uso di questa procedura è stato proposto da Joyeux (1992)
come test per l'ipotesi nulla di non cointegrazione contemporanea ad
una generica frequenza À. Ma, in base ai teoremi (2.0 e (2.2), il
sistema di ipotesi suggerito da Joyeux (1992) è corretto solo se
À = O o À = 71:. Infatti, nel caso in cui À *" O (mod 71:), la matrice di
densità spettrale Fe(À) è singolare anche se esiste cointegrazione
non contemporanea. Ne consegue che, assumendo l'ipotesi nulla di
cointegrazione contemporanea alla frequenza À, se À *" O (mod 71:), il
test di Joyeux (1992) ha ampiezza asintotica pari ad uno.
,:
40

- Capitolo I I -
Al fine di sondare gli effetti di questa distorsione asintotica
del· test per campioni finiti, si riferisce dello studio di Monte
Carlo in Cubadda (l994b). A questo proposito, sono state generate
3000 replicazioni del seguente modello bivariato:
dove
A(L) = [. 1 -2L],
O 1 + L Z
e T = {80, 120, 160, 200}.
B(L) = [ 1 - 0.6L z 0.4L z], :E =
-0.5L 1 - 0.7L
[
1 0.3 ]
0.3 1
Nel modello in questione il processo Yt è cointegrato non
contemporaneamente alla frequenza n/2. In particolare, il vettore
polinomiale di cointegrazione è a:(L) = (l, -2L). Inoltre, gli
Z
spettri di potenza del processo et = (l + L )Yt hanno i loro massimi
relativi alla frequenza n/2. Infine, la matrice di densità spettrale
delle serie et è stata stimata, seguendo Joyeux (1992), con una
finestra spettrale rettangolare e fissando m = T G • 5 •
Le percentuali di rifiuto del test basato sul limite superiore
di confidenza (2.17) sono riportate nella tabella 3. Le simulazioni
indicano quindi che per il modello considerato l'ampiezza del test è
praticamente pari ad uno per dimensione campionarie pari a 160 e
oltre.
La formulazione del sistema delle ipotesi proposta da Joyeux
(1992) è stata forse motivata dall'evenienza che la verifica della
cointegrazione stagionale contemporanea ha notevole interesse per
almeno due motivi. Il primo è che la cointegrazione contemporanea
sembra essere la tipologia di cointegrazione stagionale più diffusa
41

- CapitoLo II -
Tavola 3
Rifiuti % per il test di non cointegrazione
N° Osservazioni
Ampiezza -----------------nominale
80 120 160 200
5% 74.70 96.67 99.70 99.97
10% 82.40 98.20 99.83 100.00
in pratica. Il secondo è che l'inferenza e la modellistica nel
dominio temporale sono notevolmente semplificati se la
cointegrazione stagionale è contemporanea (Lee 1992, Ahn e Reinsel
1994).
Al fine di formulare dei test di cointegrazione contemporanea
alla frequenza i\ :I: O (mod ll), si consideri che sotto tale ipotesi la
condizione (2.3) equivale alla
a'F (i\)a = a'Re[F (i\))a = O
e e
. (2.18)
dove la prima uguaglianza deriva dal fatto che la matrice di densità
spettrale Fe(i\) è hermitiana e semi-definita positiva. La relazione
(2.18) suggerisce quindi la costruzione di test basati sugli
autovalori della sola parte reale della matrice Fe(i\).
A questo proposito, si consideri che, se i\ :t:. O (mod ll,) allora
la matrice Re[R(i\)) si distribuisce asintoticamente come
[k(i\)r 1 W {k(i\), Re[P(i\))}
n
Ne segue' che quando gli autovalori P• (i=I, ... ,n) di Re[P(i\))
1
sono distinti, allora gli autovalori r• (i=I, ... ,n) di Re[R(i\)) sono
1
asintoticamente indipendenti e
42

n.6 Considerazioni conclusive
- Capitolo I I -
In questo capitolo si è trattata l'analisi di cointegrazione
per serie stagionali secondo l'ottica del dominio delle frequenze.
In particolare, si è rilevato come le problematiche sottostanti alla
teoria della cointegrazione siano più facilmente trattabili mediante
un approccio frequenziale. Inoltre si sono considerati alcuni test
non parametrici di cointegrazione per serie stagionali.
Per quanto riguarda gli aspetti inferenziali, si è visto che le
tecniche illustrate hanno il pregio di fare riferimento alla teoria
asintotica standard per processi stazionari. Ciò evita alcuni
problemi connessi all'uso della teoria asintotica basata sui
processi di Wiener, quali il trattamento delle componenti
deterministiche nei modelli nel dominio temporale. Questo aspetto
verrà ripreso nel capitolo successivo.
L'analisi di cointegrazione nel dominio frequenziale non è
comunque al momento sostitutiva a quella nel dominio temporale se
l'interesse inferenziale verte non esclusivamente sulla verifica
dell'esistenza di vettori di cointegrazione ad una data frequenza ma
anche sulla loro stima. In questi casi appare ovvio suggerire
un'approccio "combinato" tra l'impostazione frequenziale e quella
temporale, ricorrendo alla prima in una fase esplorative e alla
seconda nella fase di modellizzazione delle serie.
Nel capitolo successivo verranno introdotte alcune linee di
ricerca secondo le quali l'impostazione frequenziale potrebbe
evolversi al fine di potenziare meriti relativi rispetto alla
modellistica nel dominio temporale.
45

- Capitolo I I I -
Una questione inferenziale di notevole interesse è la stima di
vettori di cointegrazione ad una data frequenza una volta che ne sia
stata verificata l'esistenza. Nel paragrafo II1.3 si considera un
semplice stimatore non parametrico dei vettori di cointegrazione.
Riguardo a tale stimatore sono disponibili solo alcuni risultati
preliminari, i quali comunque ne garantiscono la consistenza e ne
indicano il tasso di convergenza.
Un aspetto problematico nell'analisi spettrale delle serie
storiche consiste nella stima della matrice di densità spettrale
quando questa è lontano dalI'essere "piatta" intorno alla frequenza
di interesse. Nel paragrafo III.4 viene allora esaminata l'utilità
di uno stimatore semi-parametrico della matrice di densità spettrale
ai fini dell'analisi di cointegrazione. Si affrontano inoltre alcuni
problemi specifici dei test basati sugli autovalori della matrice di
densità spettrale.
UL2 Componenti deterministiche e test di cointegrazione
Nel paragrafo 11.2 si è rilevato che un processo I(1,À) ha un
pseudospettro non limitato alla frequenza ì\. Il compito dei test di
integrazione è quello di discriminare tra serie generate da processi
Hl,À) e serie generate da processi aventi un picco finito nello
spettro di potenza alla frequenza À. Si comprendono quindi le
difficoltà che test di integrazione possono incontrare nella
distinzione tra le due classi di processi con campioni finiti, come
ampiamente documentato, da numerosi studi di Monte Carlo (ad es.
Schwert 1989 e Ghysels et al. 1994). Questa distinzione diventa
ancora più ardua se nelle serie sono presenti elementi
deterministici che concentrano la propria massa spettrale alla
47

- Capitolo I I I -
dove d(t) è una data funzione deterministica del tempo e
St '" H1.i\.). contro l'ipotesi alternativa St '" Hb.i\.). dove b < 1.
Nel dominio delle frequenze. tale test può essere effettuato in due
stadi: al primo stadio si applica il filtro ML) ad ambo i membri
della (3.0 e si stimano consistentemente i parametri della funzione
MUd(t). al secondo stadio si effettua il test descritto nel
paragrafo 11.5.3 ai residui stimati Lì(Us t . Il metodo di stima può
essere quello dei minimi quadrati generalizzati (GLS), dal momento
che il processo Lì(Us t non è necessariamente del tipo rumore bianco.
Un metodologia non parametrica per ottenere uno stimatore GLS dei
parametri della funzione della funzione MUd(t), anche nel caso in
cui d(t) sia non lineare nei parametri, è suggerita da Andrews
(1991).
Si noti che. data la normalità asintotica delle statistiche
zeleZ(i\.) e r 1 (i = 1, ....n), la suddetta procedura a due stadi può
essere estesa anche ai test di cointegrazione alla frequenza i\.
descritti nei paragrafi 11.5.2 e II.5.3.
E' il caso di sottolineare nuovamente che le metodologie
sviluppate nel dominio temporale sono molto meno flessibili nel
trattamento di eventuali componenti deterministiche. Questo perchè
la teoria asintotica basata sui processi di Wiener comporta che la
distribuzione delle statistiche-test dipenda dalla forma della
funzione o(t). In riferimento all'analisi di integrazione e
cointegrazione stagionale, metodi al momento sviluppati nel
dominio temporale sono in grado di trattare una gamma di elementi
deterministici molto limitata, che comprende al più derive, trend
lineari e dummies stagionali (Hylleberg et al., 1990 e Engle et al.,
1993).
49

- Capi.tolo I II -
III.3 Uno stimatore non parametrico dei vettori polinomiali di
cointegrazione
Sinora non si è affrontato il 'problema della stima dei vettori
polinomiali di cointegrazione (PCV) nel dominio frequenziale. Una
questione che deve essere preliminarmente trattata, è quella della
identificazione dei PCV. In effetti, i PCV sono associati, mediante
le loro funzioni di trasferimento, ad un sottospazio di C n detto
spazio di cointegrazione. Questo comporta che si richieda una
qualche forma di normalizzazione dei PCV ai fini della loro
identificazione. Infatti, il teorema 2.2 ci dice che lo spazio di
cointegrazione alla frequenza i\ coincide con lo spazio nullo della
matrice Fe(i\) ed è pertanto un sottospazio di C n di dimensione pari
a r. Una base ortonormale per lo spazio di cointegrazione alla
frequenza i\ è pertanto costituita dagli r autovettori normalizzati
associati agli autovalori nulli della matrice Fe(i\). Si noti però
che se a(expOi\» è un autovettore normalizzato della matrice Fe(i\),
allora lo è anche il vettore c(i\)a(expOi\)) per Ic(i\) I = 1. Quindi,
ricordando la dimostrazione del teorema 2.1, se
a(L) = Re[a(exp(ii\))] - Im[a(expOi\))][lItan(i\) - L/sin(i\)]
è un PCV alla frequenza i\, allora lo è anche il seguente:
a(L) = {Re[c(i\)]Re[a(expOi\))] + Im[c(i\)]Im[a(expOi\))]} +
- {Re[c(i\)]Im[a(expOi\)) - Im[c(i\)]Re[a(expOi\))]}*
*[ lItan(i\) - L/sin(i\)]
(3.2)
La discussione precedente mostra quindi che non è sufficiente
'associare un autovettore corrispondente ad un autovalore nullo della
matrice Fe(i\) per identificare univocamente un PCV. Engle et al.
50

- CapitoLo III -
260-267). Lo stimatore della matrice Fe(i\) sarà quindi ricavato
,..
"ricolorando" lo stimatore Fy(i\), ovvero come:
- -1'" -1
F (i\) = S(exp(ii\)) Fy(i\)S(exp(-ii\))'
e
L'entità della riduzione del bias ottenuta mediante l'uso dello
stimatore F (i\) dipende ovviamente da come viene operata la scelta
e
del filtro S(L). Andrews e Monahan (1992) hanno suggerito di
determinare la matrice S(L) come la matrice dei coefficienti stimati
di un VAR. Lo studio di Monte Carlo dei suddetti autori ha
evidenziato che il presbiancamento tramite il VAR riduce la
distorsione e migliora le probabilità di copertura degli intervalli
di confidenza in campioni finiti.
Nel contesto dell'analisi di cointegrazione, lo sbiancamento
della serie vettoriale et tramite un VAR non è però appropriato.
Infatti, il teorema 2.2 ha come corollario che se il processo Yt è
cointegrato alla frequenza i\, allora il processo et = Ll(L)Yt non è
invertibile. Ne segue che la stima della matrice dei coefficienti di
un VAR basata sulla serie et non converge al crescere della
numerosità campionaria. In altri termini, la difficoltà nello
sbiancamento della serie et è dovuta al fatto che la matrice F (i\) è
e
singolare e pertanto si trova sulla frontiera. del proprio spazio
parametrico. In questa situazione, il VAR non riesce a rendere
costante la matrice di densità spettrale nell' intorno della
frequenza i\ neanche asintoticamente.
Si noti che gli elementi del processo sono individualmente
processi I(O,i\) e pertanto, al netto di degenerazioni dello spettro
di potenza a frequenze differenti da i\, sono processi invertibili.
Questo suggerisce il ricorso ad uno sbiancamento univariato dei
singoli elementi del. processo vettoriale et. Al fine di esaminare
tale possibilità, si assuma che la matrice di densità spettrale
54

- Capitolo JII -
F (.) sia razionale e che pertanto si possa scrivere la seguente
e
rappresentazione VARMA del processo et = Li(L)Yt:
(3.7)
dove R(L) è una matrice polinomiale tale che R(O) = I e che IR(L) I
ha tutte le radici esterne al cerchio unitario, M(L) è una matrice
polinomiale tale che M(D) = I e che IR(L) I possa avere alcune radici
pari a exp(+ii\) e le altre esterne al cerchio unitario ed 8 t è un
processo rumore bianco vettoriale di ordine n. Si noti che,
ricordando il teorema 2.2, il processo Yt è cointegrato se e solo se
IM(exp(+ii\)) I = D, altrimenti il vettore et è un processo VARMA
stazionario ed invertibile. In entrambi casi, gli elementi del
processo et hanno individualmente una rappresentazione ARMA
stazionaria ed invertibile. Al fine di ricavare i parametri di tale
rappresentazione, si riscriva la (3.7) come:
(3.8)
dove R(L) è la matrice dei complementi algebrici della matrice
polinomiale R(L). La rappresentazione univariata del j-simo elemento
del processo vettoriaIe et è pertanto la seguente:
(3.9)
dove bJ(L) è la j-sima riga della matrice polinomiale B(L), V Jt è un
processo rumore bianco univariato e j = 1,2,... ,n.
Si noti che l'impressione, suscitata dall'equazione (3.9), che
il polinomio autoregressivo dei vari processi e Jt sia lo stesso è
largamente illusoria in quanto IR(L) I avrà generalmente delle radici
comuni con il polinomio f3/L).
55

""
- CapitoLo I I I
Dalla (3.9) possiamo scrivere:
(3.10)
dove dlj = [3j(LVI R(L) I se i = j, dlj =° se i '* j. Sostituendo la
(3.10) nella (3.8) si ricava infine la rappresentazione VARMA del
"
processo v t :
dove [3(L) è la matrice diagonale dei polinomi [3j(L) (j = 1,2,... ,n),
(3.11)
Si noti che IB(exp(:j:ii\»I =° se e solo se lM

- CapitoLo I I I -
dove n è la matrice diagonale delle varianze dei componenti del
processo vettoriale v t ' La matrice è stimata dalla:
A
dove n è la matrice diagonale delle varianze campionarie dei
componenti della serie vettoriale v t . Poichè Q-7 n + Op(T'-1I2),
allora la matrice Q(ìd si distribuisce asintoticamente come
se i\ = O (mod rr) o come
[2k(i\)r 1 W {2k(i\), Q(i\)}
n
se i\ :;:. O (mod rr), dove Q(i\) = n- 1I2 Fv(i\)Q-1I2.
Si noti che,· dal momento che diag[Fv(i\) l = diag[n]l2rr, allora
Q(i\) = {CV\v/i\)}. Gli autovalori della· matrice Q(i\) .sono pertanto
invarianti al filtraggio lineare univariato degli elementi del
processo vettorialè et,
Si consideri che l'identificazione e la stima di eventuali
componenti deterministiche nel contesto dei modelli ARMA univariati
non presenta, in liIlea di principio, particolari difficoltà. Non vi
sono quindi ostacoli all' implementazione dei test di cointegrazione
in presenza di elementi deterministici descritti nei paragrafo
III. 2.
58

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STA TlSTlCA, PROBABILITA' E STA TlSTlCHE APPLICATE
Universita' di Roma "La Sapienza"
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