Metodi non parametrici per l'analisi di cointegrazione di ... - Sapienza

- CapitoLo I I -
matrice può essere fattorizzata come cm = 2HG', dove H e G sono
matrici a valori complessi non singolari di ordine n )c (n - r 3 ).
Supponendo che i ranghi di cointegrazione alle frequenze O e n
siano rispettivamente pari a r l e r z (r l < n, r z < n) e ripetendo le
stesse considerazioni fatte per la cointegrazione alla frequenza
n/2, possiamo allora scrivere DI = HlG l ' e D z = HzG z ',
sono due matrici non singolari di ordine n )c (n - r l ) e
due matrici non singolari di ordine n x (n - r z ).
dove Hl e G l
Hz e G z sono
Sotto queste
ipotesi, possiamo dunque riscrivere la rappresentazione (2.6) come:
(1 - L 4 )Yt = {HlGl'(l + L + L Z + L 3 ) + HzGz'(l - L + L Z - L 3 ) +
+ [H 3 G 3 ' + H 4 G 4 ' + (H4G3' + H 3 G 4 ' )L](l - L2) + C*(L)(l - L4)h:: t
dove G 3 = Re[G], G 4 = Im[G], H 3 = Re[H] e H 4 = Im[H].
(2.7)
La rappresentazione (2.7) esplicita vincoli lineari che la
presenza di cointegrazione impone alle matrici dei coefficienti
della rappresentazione di Wold. Questi vincoli sono dovuti alla
dipendenza lineare presente tra le componenti degli elementi di Yt
associate ad ognunadelle frequenze di cointegrazione. Per questo
motivo la (2.7) viene chiamata rappresentazione a trend e
stagionalità comuni.
Nei lavori empirici la rappresentazione più usata è però quella
VAR, ovvero:
(2.8)
dove F(O) = I e IF(L) I ha alcune radici pari a l, -1 e :ti e le altre
esterne al cerchio unitario. Confrontando la (2.5) con la (2.8), è
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facile ricavare che F(L)C(L) = (I - L ). Ne segue che:
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