Metodi non parametrici per l'analisi di cointegrazione di ... - Sapienza
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- CapitoLo I -<br />
dove la stazionarietà e l'invertibilità del processo u t richiedono<br />
rispettivamente che il polinomio IR(L) I e quello IM(L) I abbiano<br />
tutte le ra<strong>di</strong>ce in modulo su<strong>per</strong>iori ad uno.<br />
Nel seguito saremo interessati a stu<strong>di</strong>are le proprietà <strong>di</strong> un<br />
processo ricavato filtrandone un altro. Ci limiteremo a considerare<br />
filtri lineari e invarianti nel tempo, ovvero matrici polinomiali<br />
A(L) <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne nxr (r::$ n). Tale filtro <strong>di</strong>ce'si realizzabile se<br />
A J = O <strong>per</strong> 'ij > q (q < (0). Una proprietà importante è éhe se il<br />
filtro A(L) è assolutamente sommabile, ovvero:<br />
00<br />
LIAJ \ < 00<br />
J=O<br />
allora il processo V t = A(L)'u t è stazionario. Inoltre il processo<br />
vt ha la seguente rappresentazione <strong>di</strong> Cramer:<br />
1l<br />
v t = JexpUtw)A(exp(-iw))'dU(w)<br />
e la seguente matrice <strong>di</strong> densità spettrale:<br />
-1l<br />
(1. 4)<br />
La funzione A(expUw)) è detta funzione <strong>di</strong> trasferimento e la<br />
funzione A(exp(-iw))'A(expUw)) è detta funzione <strong>di</strong> guadagno. Per un<br />
ampio trattamento degli strumenti sinora presentati, si può vedere<br />
Brillinger (1981).<br />
Si consideri ora il seguente filtro':<br />
t.(L) = (1 - expOìdL) se À = O o À = 1l<br />
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