Le distanze ultrametriche - Sapienza

Dipartimento di Statistica, Probabilità e Statistiche Applicate
Università di Roma "La Sapienza"
Paola Scozzafava
Le distanze ultrametriche
Roma -febbraio 1995

Università degli Studi "La Sapienza" di Roma
Dipartimento di Statistica, Probabilità e Statistiche Applicate
'. '... .-/.;-.
. .
Dottorato dii Ricerca in Statistica Metodologica
Paola Scozzafava
Tesi
LE DISTANZE ULTRAMETRICHE
VII ciclo
(a.a. 1991192, 1992/93, 1993/94)

8 Le estensioni delle ultrametriche
8.1 Introduzione .
8.2 K - ultrametriche .
8.3 Le dissimilarità robinsoniane .
8.3.1· Ordine compatibile e incroci ..
8.3.2 Piramidi ..
8.. 3 3 P tramI · 'd' l.e d' ISSlmt . '1 anta ., rob' msoruane .
.
8.3.4 Algoritrili pirarnidali ..
8.4 Le pseudo-gerarchie .
8.4.1 Dissimilarità fortemente robinsoniane ..
8.4.2 Pseudo-gerarchie indicizzate e
dissimilarità fortemente di Robinson 94
,
8.5 Altre estensioni.... 95
8.6 Ultrametrica duale 96
8.6.1 L'ultraminima come relazione "sfuocata" 97
8.6.2 Lo spazio ultraminimo 98
8.6.3 Ultraminima superiore minimale 99
8.6.4 Costruzione di ultraminime
8.6.5 Ultraminime come indici anti-piramidali
8.6.6 Gerarchie e piramidi anti-indicizzate
8.6.7 Dati caotici.e coerenti :............................................... 102
8.6.8 Conclusioni sulle ultraminime 103
8.7 Le relazioni tra leultrametriche e le sue estensioni 104
8.8 Cenni di analisi simbolica 105
8.8.1 Ultrametriche simboliche 106
Bibliografia 108
4
86
87
88
89
90
91
93
94
94
101
101
101

-Introduzione-
proposito, un ringraziamento particolare è diretto al Professor Ludovico Piccinato che,
come coordinatore del corso di dottorato, ha stimolato e sostenuto noi dottorandi a
migliorare il nostro lavoro di formazione e di ricerca.
9

2.1 Introduzione
CAPITOLO 2
LE ORIGINI DELLA DISTANZA ULTRAMETRICA
Per comprendere In maniera più precisa gli elementi innovativi della distanza
ultrametrica è opportuno risalire alle sue origini e quindi studiare il suo sviluppo in
Matematica. Questa distanza è all'origine dell'analisi p-adica ed è sorta dall'esigenza di
voler sostituire l'usuale cainpo dei numeri reali R e dei numeri complessi C con un
campo più generale K, dotato di una funzione confrontabile con l'usuale valore assoluto.
L'esistenza della disuguaglianza ultrametrica (anche detta disuguaglianza triangolare
forte) permette di considerare concetti familiari come la continuità, la differenziabilità, lo
sviluppo in serie, l'integrazione, etc. con "deviazioni" interessanti da quanto succede
nell'analisi classica su R o C.
Questo capitolo ripercorre il cammino fatto da Hensel per introdurre il vincolo
ultrametrico e fornisce alcune indicazioni generali sul suo sviluppo successivo in
Matematica. E' interessante rilevare come la prima disciplina diversa dalla Matematica in
cui la distanza ultrametrica è stata utilizzata è proprio la Statistica, dove ha trovato
ottimale applicazione la particolare conformazione dello spazio dotato di tale distanza
(cfr. capitolo 3). I progressi conseguiti in 'Statistica hanno dato impulso al diffondersi
delle ultrametriche anche nella Fisica statistica, in Biologia e nella Teoria della
ottimizzazione (Rammal, Toulouse, Virasoro, 1986), confermando l'importanza di uno
studio interdisciplinare.
2.2 I numerip-adici
Nel 1897 Kurt Hensel, ispirandosi al lavoro fatto nell'ambito della Teoria dei Numeri
dal suo maestro Kronecker, introdusse la nozione di numeri p-adici. Sviluppando le
ricerche di Kummer e Dedekind sulla fattorizzazione di un numero primo razionale,
Hensel considerò la seguente espressione:
00
±Laipi, O::;'ai ::;'p-l,
i=O
dove p è un numero primo ed i coefficienti ai sono interi naturali. Que.sta sene
rappresenta un numero intero x se
'( d '+1) w'
X == ao+a 1P+....+a,p mo p ,v l.

-Le origini-
innovative ed inaspettate, che per molti anni rimasero inutilizzate. Quando nel 1906
Fréchet introdusse le prime nozioni di spazio metrico, Hensel pensò di introdurle
sull'insieme dei numeri p-adici.
Per definire una funzione di distanza, la prima tappa consisteva nel definire per Qp
l'analogo del valore assoluto definito sul campo dei reali; per ogni a €E Qp, viene definito
il valore assoluto p-adico: ,
.. dove h è la più alta poteJ;lza di p che divide a. E' facile verificare come tale valore
assoluto soddisfi tutte le proprietà del valore assoluto classico (Dieudonné, 1960):
i)lalp=o a=O,
ii) labl p= lal pIbl p ,
iii) la+bl p :::; lal p +Iblp'
Nel caso dell'usuale valore assoluto Ixl = max(x,-x)e si ha Ix + xl> Ix I, se x:;é: 0, che
costituisce in Matematica il Principio di Archimede. Poiché il valore assoluto p-adico
verifica inoltre la seguente proprietà:
la+bl :::; max(lal ,Ibl ),
p . p p
più restrittiva della disuguaglianza iii), avremo:
violando il Principio di Archimede; il valore assoluto p-adico è per questo detto 110n
archimedeo (o ullrametrico).
2.4 La distanza p-adica
Per mezzo del valore assoluto p-adico, Hensel definì quindi la distanza p-adica, che
associa ad ogni coppia di numeri p-adici un reale non negativo:
Grazie alle proprietà del valore assoluto p-adico, Hensel dimostrò che la distanza p-adica
non solo verifica tutte le proprietà di una metrica, ma anche la seguente disuguaglianza:
dp(a,c):::; max[dp(a,b),dib,c)],
introducendo la disuguaglianza in seguito definita ultrametrica.
12

-Le origini-
Due numeri razionali sono quindi p-adicamente vicini se la loro differenza è divisibile
per un'alta potenza ·di p. Per avere una idea intuitiva della distanza p-adica, si consideri
per esempio p = 5; due. numeri sono S-adicamente più vicini, se la loro differenza è
divisibile per un'alta potenza di 5. Si consideri a = 6 e b = 1, d 5 (6, 1) = 16-115 =5- 1 =1/5.
Se si introduce un terzo elemento c = 7, si ha:
d 5 (7,6) = 17 -615 =5-0 =1,'
d 5(7, 1) =17 -115 =5- 0 =1.
In questo modo 6 è più vicino ad 1 di quanto non lo sia 7: in particolare, il triangolo
formato da 1, 6 e 7 è isoscele con 7 equidistante sia da 1 che da 6.
L'ordine geometrico naturale dei numeri p-adici non è quindi lungo una retta reale ma,
come verrà evidenziato, su di una struttura gerarchica; altro elemento innovativo fu
quindi il concetto non usuale dell'esistenza di differenti distanze su uno stesso insieme.
2.5 L'all1laHsi p-adlica
La distanza p-adica permise ad Hensel di definire sull'insieme dei numeri p-adici, in
parallelo a quanto fatto sui reali, una struttura topologica; egli considera come sistema di
sottoinsiemi in Qp' gli intorni di ogni numero p-adico a formati da ipersfere costruite con
il valore assoluto p-adico:
co
Egli evidenziò curiose proprietà come il fatto che la serie 'La; converge se e solo se
la;l p -+ 0, mediante la quale definì l'esponenziale ed il logaritmo p-adico. Con la distanza
data dall'usuale valore assoluto, Cantor aveva dimostrato che il campo dei reali poteva
essere considerato come il completamento di Q; analogamente un allievo di Hensel
dimostrò nel 1913 che anche Qp poteva essere considerato il completamento di Q
mediante la distanza ottenuta con il valore assoluto p-adico.
L'analisi p-adica (Schikhof, 1984) ripercorre gli usuali temi dell'analisi classica su R o
C, considerando le interessanti implicazioni derivanti dalla disuguaglianza ultrametrica.
Numerose sono le parti della Matematica per le quali esiste o è concepibile una
corrispondente teoria ultrametrica: la Teoria dei Numeri, la Geometria algebrica, la
Teoria dei gruppi, l'Analisi Funzionale, etc.
L'introduzione del termine ultrametrico è dovuta a M. Krasner (1944) che, molti anni
più tardi, con una comunicazione presentata alla Accademia francese delle Scienze,
13
;=1

-Le origini-
evidenziò la generalità della struttura geometrica dello spazio ultrametrico, al di là del
particolare contesto algebrico in cui la nozione era apparsa la prima volta.
Questa comunicazione rappresentò l'occasione che consentì la conoscenza dello
spazio ultrametrico; in seguito questo concetto trovò applicazione in discipline diverse
dalla Matematica.
14

-Aspetti geometrici-
che u(ei> ej ) ::;; l', applicando la disuguaglianza ultrametrica, si avrà che u(ek' ej ) ::;; r.
Anche il punto ej può essere allora considerato centro della ipersfera. O
COROLLARIO 2.1
Nello spazio ultrametrico''(E, u) due ipersfere che hanno una intersezione non nulla,
sono concentriche.
llim..:
Ogni punto e; appartenente all'intersezione può essere preso come centro di entrambe
le ipersfere. O
COROLLARIO 2.2
Due ipersfere non disgiunte nello spazio (E, u) con lo stesso raggio coincidono.
llim..:
Discende dal Corollario precedente. O
COROLLARIO 2.3
Le ipersfere con raggio di uguale lunghezza determinano una ''partizione /I dello
spazio ultrametrico..
D.im..:
La relazione tra le coppie di punti di una ipersfera data dal suo raggio, costituisce una
relazione di equivalenza. Le classi di equivalenza associate a tale relazione, costituiscono
una partizione dello spazio ultrametrico. O
TEOREMA 3
Siano S ed S' due ipersjere non disgiunte nello spazio ultrametrico e siano e; E S e ej
E S': la distanza u(e;, e) dipende da S edS'e non da e; e ej'
D.im..:
Siano ej, ek E S e ej E S'. Per il Teorema 2, u(ej,ek)

-Aspetti geometrici-
Spazio degli interi 7=adici
Figura 2
19

-Aspetti geometrici-
n unità statistiche
Raggruppamenti gerarchici
Figura 3
20

1,5
-La biiezione-
4 ----------r------------,
2 i------,r----'--,
l -
41.4 La lbnneznoH1le dii JolhmsoH1l
------ -------
I I
a b c. d e
1
Figura 2
La struttura geometrica dello spazio ultrametrico trova quindi una sua naturale
rappresentazione nella teoria degli insiemi mediante le gerarchie indicizzate e viceversa.
Approfondendo le proprietà dei primi schemi di aggregazione gerarchici, anche Johnson
individua la corrispondenza tra schema gerarchico e la particolare metrica ultrametrica.
Per ritrovare questa corrispondenza è necessario formalizzare la definizione di schema di
aggregazione gerarchico applicato ad un certo insieme, determinando il procedimento
biunivoco per trovare la distanza ultrametrica sullo stesso insieme.
25

-La biieziolle-
Si supponga di avere 11 oggetti, rappresentati dagli interi {l, ... , 11} e una successione
di m+1 possibili partizioni in gruppi delle n unità, indicate con Co, Cl' ..., Cm' Ad ogni
possibile partizione è associato un numero reale ai U = O,...,m), detto valore della
partizione: Co è la partizione più disaggregata, tale cioè che ogni gruppo è costituito da
una sola unità e ao= 0, mentre Cm è quella più aggregata, formata da un solo gruppo di
n unità. La successione di valori ai , i = 1, ...,m, deve essere non decrescente (ai_! ::;; ai)
così come le partizioni corrispondenti: Ci_le Ci (ogni gruppo in Ci è l'unione di gruppi in
Ci_l)' Uno schema cosÌ"costituito è detto di aggregazione gerarchico.
Si vuole dimostrare come, dato uno schema di aggregazione gerarchico su 11 unità, sia
possibile associare ad esso una distanza ultrametrica e viceversa, data una distanza
ultrametrica su 11 unità, possiamo costruire uno schema gerarchico di aggregazione.
Si considerino due unità i e i'; riferendosi alla partizione più aggregata CIII , esse sono
contenute sicuramente nello stesso gruppo. Sia k l'ultimo intero dell'insieme {O, 1,..., m}
tale che, nella partizione C k , i e i' siano nello stesso gruppo e si definisca la distanza tra i
e i' uguale al valore della partizione C k :'
dei, i') =a k .
Essa verifica gli aSSIomI sulla distanza ultrametrica: nel caso i=:Ei', la partizione più
disaggregata che contiene i è Co e dU, i) = O.
Inversamente se dei, i') = 0, allora i e i' sono nello stesso gruppo in· Co è. questo
implica che i=i'. Vale· chiaramente anche la proprietà di simmetria d(i, i') = d(i', i), visto
che l'ordine con cui si considerano le due unità all'interno di un gruppo è irrilevante ai fini
del valore della partizione corrispondente. Per la verifica della disuguaglianza
ultrametrica, siano i, i' e i" tre qualsiasi delle 11 unità e sia
dei, i') =ah
d(i', i") = a!c.
Questo significa che i e i' sono nello stesso gruppo in C h ., mentre i' e i" sono nello
stesso gruppo in C k . Data la struttura gerarchica delle partizioni, uno dei precedenti
gruppi deve includere l'altro e questo gruppo corrisponde al più grande tra h e k. Sia l
questo intero, allora in Cl"' i, i' e i" sono nello stesso gruppo. Dalla definizione di d si
avrà
dei, i") ::;; al
ed essendo 1= max(h,k) e'le ah crescenti con il loro indice
e quindi
al = max ( ah' ak )
26

-La biiezione-
nell'analisi gerarchica dei gruppi; questo risultato teorico è alla base della maggioranza
I
degli algoritmi utilizzati per ottenere dei raggruppamenti gerarchici. Anche le procedure
I
esistenti prima della dimostrazione della corrispondenza biunivoca tra ultrametriche e
gerarchie, assumono una nuova dimensione teorica, che permette di valutare con
maggiore precisione i raggruppamenti ottenuti.
28

-Modello euclideo edLr
Figura 1
Se si considera la disuguaglianza ultrametrica, tre punti del piano non solo devono
formare un triangolo, ma un triangolo equilatero o isoscele con la base inferiore ai lati. ..
Una prima conseguenza è che non sarà più possibile fissare un punto e tr

-Modello euclideo edLr
Il luogo geometrico··è rappresentato dalla figura disegnata con tratto continuo: gli
archi di circonferenza (di raggio AB e con centro una in A e l'altra in B) individuano i
punti che con AB lato, formano un triangolo isoscele; ciascuno dei due punti C e C'
forma con AB un triangolo equilatero e le due semirette con origine in C e in Cf,
perpendicolari ad AB, indicano i punti che formano un triangolo isoscele di cui AB è la
base (di lunghezza inferiore ai lati). Per individuare quindi sul piano euclideo un punto in
modo da soddisfare la disuguaglianza ultrametrica rispetto a due assegnati, è necessario
sceglierlo tra quelli delle precedente figura evidenziata.
Per scegliere un quarto punto, sempre mantenendo il vincolo ultrametrico,
supponendo di avere fissato tre punti A, B e C del piano in configurazione ultrametrica,
si considerino a due a due i tre punti A, B e C assegnati e si costruisca per ciascuna
coppia un luogo geometrico costituito dagli archi di circonferenza e le due semirette
come visto sopra (fig. 3).
Figura 3
L'intersezione dei tre luoghi geometrici così individuati è costituita dagli stessi tre
punti iniziali A, n e C. Il quarto punto deve allora necessariamente coincidere con uno di
essi, producendo almeno una coppia di ultrametriche con lo stesso valore. Come prevede
il Teorema di Holman, dati 11 = 4 punti "ultrametrici", per avere un insieme di
ultrametriche tutte distinte la dimensione minima dello spazio euclideo in cui è possibile
rappresentarli è n-l = 3, e quindi dal piano è necessario passare allo spazio euclideo
tridimensionale; la figura che si ottiene è quella di un tetraedro le cui facce sono dei
triangoli equilateri o isosceli con base inferiore ai lati (fig. 4).
33

-Modello euclideo edLr
D
Figura 4
5.4 Le ultrametriche e lo scaling multidimensionale
Il teorema di Holman prevede tra le ipotesi che i punti siano tutti distinti e che quindi
per essi le distanze ultrametriche siano strettamente positive. Ammettendo l'esistenza di
ultrametriche nulle, la dimensione n-l dello spazio euclideo può essere ulteriormente
ridotta.
COROLLARlO (Critchley, 1986)
1) Sia E un insieme' di 11 punti su cui è definita una distanza ultrametrica che assume
anche valore nullo. E può essere rappresentato in uno spazio euclideo di dimensione
inferiore a n-l.
2) Una distanza ultrametrica è definita se e solo se la sua dimensione nello spazio
euclideo è uguale a n-l.
Dim.
Si definisce sull'insieme delle unità E una relazione di equivalenza r tale che per ei'
ej E E, ei r ej se u(eb ej) = O, dove 11(.) è la distanza ultrametrica tra le due unità
appartenente alla matrice U. Sia n' il numero delle classi di equivalenza così determinate.
Applicando il Teorema di Holman alle ultrametriche definite mediante la suddetta
relazione di equivalenza, si ottiene dim(U) = n'- 1 nello spazio euclideo.
Un indice di dissimilarità è definito se assume per coppie di unità distinte valori
strettamente positivi (cfr. capitolo 6). In questo caso n' =n e quindi segue la tesi. D
Considerando quindi ultrametriche non definite, Critch1ey evidenzia la possibilità di
ridurre la dimensione n-l. Egli considera otto diverse trasformazioni monotone non
decrescenti (date da tre diverse scelte binarie) che si possono effettuare sulla matrice di
34

-Modello euclideo edLr
costante da un punto ad una curva del piano. Dalla fig. 1, si consideri il quadrato
inscritto nella circonferenza (fig. 6): esso rappresenta il luogo dei punti la cui distanza LI
dall'origine O è costante.
Figura 6
Si introduce sempre il vincolo ultrametrico, fissando due punti A e B. Se si vuole
determinare il luogo geometrico dei punti che con AB formano un triangolo equilatero o
isoscele con la base inferiore ai lati (fig. 7), si può notare come i punti appartenenti ai lati
del rettangolo (figura in tratto continuo), individuati dai quadrati inscritti nella
circonferenza di raggio AB 'con centro in A e in B, formino con A e B ciascuno un
triangolo isoscele di cui AB è un lato, mentre i vertici C e CI sono i punti che danno
luogo a dei triangoli equilateri con AB. Le due semirette con origine in C e CI
rappresentano i punti che formano con AB, base inferiore ai lati, un triangolo isoscele.
37

-Modello euclideo edLr
\ \
\ \
\
Figura 7
Analogamente a quanto si è fatto per la distanza euclidea, fissando tre punti A, B e C
(con C scelto sul luogo ultrametrico evidenziato) si individui il quarto punto, sempre in
modo da rispettare il vincolo ultrametrico. L'intersezione dei luoghi geometrici costruiti
sui tre punti scelti a due a due (fig. 8) è costituita, oltre che dai tre punti inziali, anche
dalla semiretta S. Il quarto punto giace ancora sul piano L l , a differenza del caso
euclideo dove il Teorema di :E!0lman costringe alla rappresentazione tridimensionale. Ciò
mostra graficamente quanto ipotizzato da Fichet, essendo per Il = 4, la dimensione
uguale a n/2 = 2 (piano L l ).
Uno stesso numero di distanze ultrametriche è quindi rappresentato con dimensione
inferiore nello spazio rispetto allo spazio euclideo, evidenziando, più in generale, una
rappresentazione delle dissimilarità dell'analisi dei dati, più "vantaggiosa" in L l che
nell'usuale spazio euclideo.
38

-Modello euclideo edLr
s
Figura 8
39

CAPITOLO 6
ApPROSSIMAZIONE ULTRAMETRICA DI UNA DATA DISSIMILARITA'
6.1 Introduzione
Introdotte le proprietà della distanza ultrametrica e illustrati i suoi aspetti geometrici,
si pone il problema di utilizzare le sue particolarità teoriche direttamente nell'analisi dei
dati; in questo capitolo si descrivono i metodi che permettono di rappresentare un
insieme iniziale di osservazioni in uno spazio ultrametrico. Queste procedure vengono
classificate nell'ambito delle tecniche dell'analisi dei gruppi (cluster ana/ysis) come
metodi gerarchici poiché, come si è visto, rappresentare' dei punti in uno spazio
ultrametrico implica automaticamente disporli in raggruppamenti gerarchici. Introdotta la
forma in cui generalmente si presentano le informazioni sui dati e descritte le
caratteristiche della classificazione di tipo gerarchico, si procede all'analisi delle tecniche
che producono un'approssimazione ultrametrica a partire da un insieme di osservazioni.
Non si è proceduto ad una se.mplice elencazione e descrizione dei metodi, ma si è voluto
classificarli evidenziando il diverso ruolo della distanza ultrametrica in ciascuno di essi; è
stato seguito un percorso graduale, in alcuni casi cronologico, per spiegare e giustificare
la loro costruzione; i metodi più usati sono descritti con maggiore dettaglio, così come
quelli che godono di notevolr'proprietà teoriche. Tra i metodi analizzati si è voluto dare
notevole rilevanza a quelli che utilizzano la teoria dei grafi: a questo proposito vengono
introdotte le distanze additive o arboree, il cui utilizzo permette non solo di determinare
delle approssimazioni ultrametriche efficienti, ma anche di estenderle a strutture più
generali, che sono descritte in dettaglio nel capitolo 8. Nei paragrafi successivi sarà
quindi possibile ritrovare le procedure gerarchiche di analisi dei gruppi più comuni,
implementate anche su molti packages statistici, così come sarà possibile rilevare
l'esistenza di metodi meno noti che, pur non raggiungendo una importanza pratica, hanno
permesso di chiarire molte proprietà teoriche delle distanze ultrametriche.
6.2 La classificazione
Nello studio dei fenomeni sociali, economici, fisici o biologici, si analizzano grandi
quantità di dati, sintetizzando le informazioni a disposizione; la classificazione si pone
l'obiettivo di dividere l'ampio insieme delle osservazioni iniziali in un numero di
sottoinsiemi o classi, in modo che le osservazioni appartenenti alla stessa classe siano
"simili" tra loro, mentre risultino "dissimili" dalle osservazioni appartenenti alle altre
classi. Le classi non sono conosciute a priori, ma devono essere individuate tramite il

-Approssimazione ultrametrica-
processo di classificazione: la conclusione può anche indicare che ogni tentativo di sintesi
può comportare un'analisi erronea dei dati. Le procedure di classificazione prevedono la
formazione di gruppi mutuamente esclusivi, tali cioè da formare u.na partizione
dell'insieme iniziale di osservazioni, oppure prendono in considerazione gruppi che in
parte si sovrappongono (clumping procedures); tale situazione, generalmente, è quella
che si verifica più frequentemente.
6.2.1 Scelta deBla misuu"a di diversità
Le informazioni sui dati di un processo di classificazione sono sintetizzabili in una
matrice quadrata P, la cui dimensione coincide con il numero delle n unità statistiche in
esame; il generico elemento p(ei,ej) rappresenta una misura ,della diversità o similarità
(in generale prossimità) esistente tra l'unità ei e l'unità ej appartenenti ad un insieme E.
La costruzione di questa misura dipende da molti fattori quali la natura dei dati, la scelta
delle variabili rilevate, le, finalità dell'analisi; è necessario infatti, non solo scegliere la
funzione da associare ad ogni coppia di unità, ma anche selezionare le informazioni a
disposizione, l'eventuale standardizzazione delle unità di misura delle variabili e
l'introduzione di una ponderazione, se le variabili non concorrono in egual misura al
processo di raggruppamento. Per l'illustrazione e l'analisi delle numerose misure di
prossimità esistenti, si rimanda a testi specializzati sull'argomento (Sneath e Sokal, 1973,
Anderberg, 1973, Cormack;:1971, Gower, 1985); l'analisi dipende comunque dalla scelta
di queste misure e la loro costruzione non deve mai essere sottovalutata.
Un indice di similarità è una funzione s(.,.) che associa ad ogni coppia di elementi di
un insieme E un valore non negativo, in modo tale che:
(i) s(ei,ei) = max 'è. s(ei,ej),ei ::f:. e), V(ei,e) EE xE
(ii) s(ei,e) = s(e),eJ, V(ei,e) EE x E;
. . . .
si tratta quindi di un indice simmetrico, che assume valore massimo nella misura della
similarità tra un elemento e se stesso. Si parla invece di indice di dissimilarità, quando si
ha una funzione d(.,.) che associa ad ogni coppia di unità un valore non negativo, in
modo tale che:
(i) d(ei,ei) =0, Vei EE
(ii) d(ei,e) = d(ej,e i ),V(ei,ej) EE x E.
Tali funzioni hanno quindi proprietà molto generali (sono stati considerati casi in cui
anche la simmetria viene meno, cfr. ad esempio, Constantine e Gower, 1978, Bove,
1989); ciò pennette una facile costruzione sulla base delle scarse informazioni iniziali.
Tale generalità può tuttavia dar luogo ad "incoerenze"; per esempio, pur essendo per una
data coppia (e;, ej), ei ;t. ej' dee;, ej) = 0, risulta d(ei,eh) ::f. d(eh,ej)' Tali incoerenze sono
41

-Approssimazione ultrametrica-
dalla gerarchia indicizzata finale. Da un punto di vista geometrico, il metodo rende
isoscele ogni triangolo iniziale, dandogli per base il lato più piccolo e per lati uguali
quello più piccolo degli altri due.
Il metodo del legame singolo è stato tra i primi e tra i più conosciuti metodi
gerarchici; molti autori lo hanno proposto con diversi nomi, evidenzandone le proprietà
teoriche. Esso è invariante rispetto a qualsiasi trasformazione monotona delle
dissimilarità iniziali, poiché queste sono confrontate tramite l'operatore minimo o
massimo. Nel paragrafo 6.4.2 verrà descritto come tale metodo abbia avuto
successivamente una difetta interpretazione come una particolare approssimazione
ultrametrica e, nel paragrafo 6.4.3, come sia possibile un più veloce sviluppo di calcolo
mediante la teoria dei grafi.
Nel caso di equidistanza di più classi di una partizione ad un dato passo, le classi
aggregate al passo successivo saranno più di due, non 'producendo più una gerarchia
binaria, vale a dire una gerarchia i cui gruppi sono tutti formati dalla fusione di due
gruppi. Uno dei difetti del metodo è rappresentato dalla proprietà di concatenamento: se
i dati iniziali possono essere rappresentati su una catena, cioè costituiscono una
successione di elementi in cui la dissimilarità tra due qualsiasi elementi si ottiene .
sommando le dissimilarità tra gli elementi intermedi, il metodo agisce in modo da .
aggregare, ad ogni passo, le unità non ancora classificate ai gruppi esistenti, piuttosto
che a formarne dei nuovi (fig. 4); non sarà così possibile separare chiaramente due gruppi
se tra di essi esistono delle unità intermedie, con l'effetto di assegnare unità molto
dissimili allo stesso gruppo. Questo difetto rende il metodo molto vulnerabile e i metodi
successivi sono stati pensati anche per superare questa difficoltà.. Bisogna notare però
che, in alcune applicazioni, l'effetto di concatenamento del metodo permette di spiegare
meglio un certo fenomeno; in microbiologia, ad esempio, le specie da classificare sono
talmente "vicine" da confondersi ed il metodo del legame singolo permette di evidenziare
le forme intermedie e le mutazioni delle specie. Il nome legame singolo esalta il fatto che
nelle dissimilarità esistenti tra due classi, una sola è la dissimilarità scelta (la dissimilarità
minima); il metodo è perciò poco robusto perché è sufficiente un errore nel riportare una
sola dissimilarità (coincidente con la dissimilarità minima tra due classi), per modificare la
gerarchia ottenuta.
46

a l a 2 a 3 a 4
al O 1 2.1 3.3
a 2 O 1.1 2.3
a 3 O 1.2
a 4
-Approssimazione ultrametrica-
b) Il metodo del legame com,pleto (S0rensen, 1948)
O
Per questo metodo la misura della dissimilarità tra due classi Ci e Cj è data dalla
dissimilarità massima tra due loro elementi:
d(G,C j ) = maxd(elc>e[)
e"eC,
e/eC J
Come per il metodo del legame singolo, il metodo è invariante rispetto a qualsiasi
trasformazione monotona dei dati ed è una particolare approssImazione ultrametrica delle
dissimilarità iniziali (paragrafo 6.4.2). E' quindi poco robusto perché dipendente da una
sola dissimilarità, ma non risente delle proprietà di concatenamento; la tendenza infatti è
quella di formare gruppi compatti, ma troppo "chiusi", al punto di assegnare unità simili a
gruppi diversi. Il metodo non fornisce un'unica gerarchia se nella matrice iniziale esistono
delle dissimilarità uguali (presenza di ties); la tendenza è quella di costruire partizioni i
cui gruppi abbiano lo stesso numero di elementi, ponendosi all'estremo opposto del
metodo del legame singolo che tende a formare partizioni con numero di elementi
disuguale (Hubert, 1972 e 1973). Dal punto di vista geometrico, il metodo rende isoscele
ogni triangolo iniziale, assegnando per base il lato più piccolo, e per lato il maggiore
degli altri due. Anche questo metodo è stata ripreso ed analizzato da molti autori e
metodi successivi tendono a trovare una soluzione intermedia tra di esso ed il metodo del
legame singolo.
c) Il metodo del legame medio (Sokal e Michener, 1958)
La dissimilarità tra due classi C; e Cj di numerosità 11; e l1j è misurata daIIa media deIIe
dissimilarità tra le classi:
47

-Approssimazione ultrametrica-
Metodo ai ai b c AUTORE
Legame singolo 1/2 1/2 O -1/2 Florekeal. (1951)
Legame 1/2 112 O -1/2 S0rensen (1948)
completo
Legame medio ni /n;F n·/n" O O Sokal e Michener (1958)
I IJ
Mediana 1/2 1/2 -1/4 O Gower (1967)
Mc Quitty 1/2 1/2 O O McQuitty (1966)
Ward n, +nk 17, +nk -
171J +nk llu +l1k nlJ +nk n k O Ward (1963)
Centroide 11' /11" n·/n·· _11,n) O Sokal e Michener (1958)
l· lJ I lJ
11 2
u
Flessibile 1/2(1-x) 1/2(1-x) ! x

-Approssimazione uftrametrica-
. . {d(X'Y) se d(x,y)? i
dI (x,y) =
i-l altrimenti
con i variabile tra l e max[d(x,y)]. Quindi per ogni matrice Di si ricercano le partizioni
x,y
che minimizzano lo scarto assoluto; se una delle partizioni non verifica il vincolo
gerarchico, per esse si può procedere in due direzioni:
l) costruire le partizioni che verificano il vincolo gerarchico ma non sono a distanza
minima da Di .,
2) modificare le partizioni ottenute in precedenza per rispettare il vincolo gerarchico con
la partizione al passo i mantenendo la sua distanza minima da Di .
La matrice di ultrametriche corrispondente alla gerarchia indicizzata così ottenuta,
sarà quella che minimizza il criterio (3). L'algoritmo di Defays ha una complessità
computazionale elevata quando E è compostq da un numero di elementi superiore a 15, e
non converge sempre verso un'unica soluzione. Questo resta comunque l'unico tentativo
volto a minimizzare un criterio del tipo (3).
d) Ultrametrica più. vicina in scarto quadratico
Si consideri adesso il criterio (2) con a,=2:
!J(d,li) = L[d(ej,ej)-u(ej,ej)t =Ild -ull·
e1eE
eJeE
Si tratta di determinare l'ultrametrica con distanza euclidea minima da una dissimilarità
iniziale. Questo tipo di ultrametrica ottimale è stata una delle prime ad essere ricercata,
perché lo spazio euclideo è sempre stato lo spazio più "naturale" in cui proiettare questo
genere di approssimazioni.
I primi a porsi questo problema furono Sokal e Rohlf (1962), seguiti da Sokal e
Sneath (1963); essi presero in considerazione una forma equivalente, in termini di
massimizzazione, del coefficiente di correlazione cofenetico r 2 :
r 2 =1-(11d - ull)2
Ildll
A causa della complessità combinatoria e della natura non convessa del problema,
sono stati proposti molti algoritmi tutti conducenti a degli ottimi di tipo locale.
Una prima famiglia di algoritmi, basata sulla rappresentazione ad albero delle
ultrametriche (cfr. par. 6.4.3), è tesa a manipolare localmente i nodi e gli archi della
rappresentazione arborea per ottimizzare l'approssimazione (Hartigan, 1967, Carroll e
56
l
2
(4)

-:-Approssimazione uln'ametrica-
ripercorrendo il cammino "a ritroso" e attribuendo la dissimilarità minima di ogni
iterazione (coincidenti con gli estremi inferiori degli intervalli di assimilabilità di ogni
iterazione). Questo algoritmo ha una complessità computazionale elevata se il numero di
elementi di partenza è superiore a 15, ma lo stesso Chandon ha proposto una sua
approssimazione che "sveltisce" il procedimento per un numero di osservazioni più
elevato.
6.4.3 Ultrametriche e teoria dei grafi
Ricercare una matrice di ultrametriche che sia la "migliore", approssimazione possibile
di una matrice di dissimilarità, rappresentativa della informazione a disposizione sui dati,
è l'obbiettivo principale che ci si è posti. Interpretando le 11 osservazioni da classificare
come nodi o vertici e le dissimilarità esistenti tra le coppie di esse come archi di un
grafo, è possibile rappresentare la matrice di dissimilarità come un grafo completo
valutato; completo perché ogni nodo è collegato a tutti gli altri mediante un arco e
valutato perché si associa ad ogni arco un valore dato dalla corrispondente dissimilarità.
El evidente come, all'aumentare del numero dei nodi, la rappresentazione mediante un
grafo completo diventi "inestricabile" e si renda necessario determinare un grafo parziale
(con gli stessi nodi del grafo completo ma con un minor.numero di archi) che riassuma in
maniera ottimale 'le dissimilarità esistenti. In particolare, tra tutti i grafi parziali, quelli che
hanno una struttura ad albero sono i più ricercati per la loro semplicità rappresentativa.
Un albero è un grafo connesso (esiste un cammino che congiunge tutte le coppie di
vertici) senza cicli (non esistono cammini che cominciano e terminano nello. stesso nodo
senza passare due volte per uno stesso arco). Si può quindi definire in modo equivalente
un albero a n vertici, sia come un grafo connesso a n-l archi, sia come grafo a n-l archi
senza cidi. La ricerca di una approssimazione ultrametrica di una data dissimilarità, può
essere interpretata proprio in quest'ultima direzione, cioè come la determinazione di un
albero particolare che riassuma l'informazione del grafo completo iniziale.
a) Albero di lunghezza minima
Prima di illustrare le nuove approssimazioni ultrametriche che scaturiscono da questa
nuova rappresentazione mediante i grafi, è interessante osservare come si ottengano,
tramite essa, dei vantaggi anche per alcune approssimazioni già analizzate.
Definendo lunghezza di un albero, la somma delle lunghezze dei suoi archi date dai
valori dellè dissimilarità ad essi associate, tra tutti i grafi parziali che sono degli alberi,
l'albero di lunghezza minima (minimum spanning tree) , ha sempre avuto molta
importanza per le sue ottime capacità rappresentative e, come sarà maggiormente
evidente nel seguito,' per la sua interpretazione in termini di dassificazione gerarchica. Si
passa quindi ad analizzare i principali algoritmi che determinano l'albero di lunghezza
58

) I metodi di Hubert (1974)
-Approssimazione ultrametrica-
Hubert ha interpretato sia il metodo del legame singolo che quello del legame
completo nel linguaggio della teoria dei grafi, determinando poi alcuni metodi di
classificazione gerarchica "intermedi" ad essi.
Si ricorda che un grafo è semplicemente connesso se ogni coppia di nodi è collegata
per mezzo di una successione di archi adiacenti, e che il grafo è completamente connesso
se esiste sempre un arco che collega ogni coppia di nodi. Il metodo del legame singolo
costruisce una gerarchia di parti connesse semplicemente, mentre il metodo del legame
completo costruisce una gerarchia di parti completamente connesse. Tra questi due
estremi possono essere definiti otto diversi criteri che definiscono un grado intermedio di
omogeneità e isolamento. Se ne ricordano 'alcuni: un grafo è le-nodi connesso se il
numero minimo di nodi che occorre eliminare per "scollegarli" è superiore o uguale a le;
un grafo è le-archi connesso se il numero minimo di archi che occorre eliminare per
"scollegare" il grafo è superiore o uguale a le; un grafo è di grado minimo le, se ogni nodo
è collegato ad almeno altri le nodi del grafo.
Il principale vantaggio di questi metodi basati sulla teoria dei grafi risiede nella
definizione chiara e precisa dell'omogeneità e dell'isolamento dei gruppi, mentre l'assenza
sia di algoritmi efficaci in grado di classificare un numero elevato di osservazioni che di
garanzie riguardo la minimizzazione dello scarto tra la dissimilarità iniziale e la
ultrametrica finale, ne è il principale difetto.
c) Ultrametriche e distanze arboree
A partire dalla fine degli anni '70 (Tversky, 1977), si diffondono le strutture derivanti
dalla teoria dei grafi soprattutto in psicometria. In particolare, viene definito un concetto
di distanza che ben rappresenta i diversi tipi di dissimilarità utilizzati nell'analisi dei dati.
Una distanza è detta additiva o arborea ("tree metric", in inglese e "distance arborée",
in francese) se su un insieme finito E di elementi esiste un albero T, i cui nodi sono dati
dagli elementi di E, i cui archi sono etichettati con un valore reale positivo in modo che
la distanza tra due nodi i e j sia pari alla somma del valore degli archi del cammino per
andare da i aj.
Il primo importate risultato sulle distanze arboree è il Teorema dei 4 punti (Buneman,
1974):
per \:f i, j, le, l appartenenti ad E, una distanza è arborea se e solo se
d(i,j) +d(le,l)::; max[d(i,le)+d(j,l),d(i,l)+d(j,le)].
Si verifica facilmente come, ponendo ad esempio le = l, questa disuguaglianza implichi
quella triangolare, verificando quindi le proprietà della distanza.
Anche la distanza ultrametrica ha una interpretazione come distanza arborea. Per
61

-Approssimazione ultrametrica-
tradotto nella ricerca di una particolare distanza arborea che meglio riassuma le
informazioni iniziali (Barthélemy e Luong, 1986). Gli sviluppi più recenti al problema di
determinare la migliore approssimazione ultrametrica, si muovono proprio in questa
direzione; sono stati messi a punto alcuni algoritmi che tentano di risolvere il problema
della determinazione della distanza arborea "più vicina" ad una data dissimilarità,
soprattutto in termini di minimi quadrati (Carroll e Pruzansky, 1980, De Soete, 1983,
Roux, 1986, Brossier, 1985, Barthélemy e Luong, 1986, Sriram, 1990). Tutti questi
algoritmi producono dei minimi locali, essendo una approssimazione di un problema NP
complesso (l'ottimo globale ha una complessità di tipo esponenziale) che comunque,
confrontati con le approssimazioni di Chandon e altri (1980), producono risultati
"confortanti".
El opportuno evidenziare come nell'ambito dello studio della distanza arborea, si sia
analizzata la sua deç:omposizione in distanza ultrametrica ed un'altra componente; è
possibile dimostrare infatti che ogni distanza arborea può decomporsi nella somma di una
ultrametrica e di Una distanza detta centrale ("distance à centre", Le Calvé, 1986) e
viceversa, la somma di una ultrametrica con una centrale determinano una distanza
arborea.
Alcuni risultati molto recenti infine (Bandelt, 1990 e Dahlhaus, 1993), studiano le
proprietà delle ultrametriche e delle distanze arboree dal punto di vista matematico della
teoria dei grafi, pur non essendo collegati direttamente al problema della classificazione.
Sono stati costruiti degli algoritmi in grado di riconoscere, in tempi rapidi, se una
distanza definita a partire da un determinato albero, è ultrametrica oppure è arborea; non
è escluso in un futuro prossimo, l'utilizzo di queste tecniche per problemi più
direttamente connessi alla classificazione.
63

7.1 Introduzione
CAPITOLO 7
ANALISI DELLA SOLUZIONE ULTRAMETRICA
Determinata un'approssimazione ultrametrica a partire da una dissimilarità data, SI
presentano una serie di problemi di valutazione critica della soluzione trovata. Questo
capitolo affronta le tematiche di questo tipo, attraverso un'analisi dettagliata degli
argomenti che hanno trovato ampio riscontro in letteratura. Nel paragrafo finale viene
data una veloce rassegna dei temi minori, che generalmente son appendice di argomenti
principali.
La scelta della partizione ottintale tra le partizioni della gerarchia indicizzata
corrispondente alla approssimazione ultrametrica utilizzata, è tra gli argomenti che
rivestono un ruolo importante. Qualunque sia l'approssimazione scelta infatti, all'interno
del metodo usato non vi è nessuna indicazione su quale partizione scegliere per ottenere
un raggruppamento appropriato dei dati iniziali. Illustrati i metodi più usati nella pratica
corrente, viene presentata una nuova soluzione che sembra risolvere il problema in modo
"oggettivo" rispetto ai criteri esistenti.
Importante è ancora la cosiddetta teoria del consenso; prima di scegliere la partizione
più adatta tra quelle della gerarchia scelta, si pone l'obbiettivo di convalidare (o non
convalidare) la soluzione ultrametrica trovata, confrontandola con altre possibili
soluzioni e determinando una sorta di ultrametrica "media", sintesi di tutte quante. La
teoria del consenso evidenzia la necessità sempre crescente di costruire un sistema
teorico che permetta di valutare la "robustezza" dei risultati anche nell'ambito dell'analisi
dei gruppi di tipo gerarchico.
Nell'ottica della teoria del consenso si dedica un paragrafo ad una interessante
proposta di Lerman (1970) tesa a valutare a priori l'opportunità di condurre una
classificazione gerarchica su un insieme iniziale di osservazioni.
In molte situazioni di ricerca è necessario determinare un raggruppamento gerarchico
di un insieme di osservazioni che rispettino un vincolo detto di contiguità; in questo
caso, nel costruire la gerarchia di partizioni, bisogna conservare dei legami di "vicinanza"
che esistono tra alcune osservazioni, modificando i metodi tradizionali per permettere
agli elementi "contigui" di risiedere nello stesso gruppo. In questi contesti le
ultrametriche si sono rilevate particolarmente utili.
In questo capitolo inoltre, verranno affrontate alcune questioni non molto trattate
nella letteratura corrente, c'ome le ultrametriche a tre vie, le ultrametriche generate da

-Analisi della soluzione-
matrici parziali di dissimilarità, la generazione pseudo-casuale delle ultrametriche e
l'ordine compatibile necessario per ottenere ultrametriche "senza incroci".
Questo capitolo non esaurisce tutti i problemi che nascono dall'utilizzo delle
ultrametriche nella classificazione; ogni metodo è suscettibile di varianti, a seconda del
tipo di ricerca, a seconda della natura dei dati o del progresso della ricerca sulla teoria
delle stesse ultrametriche.
7.2 La sceUa della partnzaOlllle oUnmale
I metodi di raggruppamento gerarchici non prevedono di fissare a priori il numero di
gruppi in cui classificare i dati, ma forniscono una serie di partizioni delle osservazioni a
partire da quella contenente tanti gruppi quanti sono gli elementi da classificare, per
arrivare a quella costituita da un unico gruppo contenente tutti gli elementi (si parla in
questo caso, come detto, di metodi aggregativi, mentre, nel caso inverso, quando si
suddivide la partizione costituita da una sola classe, si parla di metodi gerarchici divisivi).
Ogni partizione della gerarchia è ottenuta aggregando (o dividendo) gruppi della
partizione precedente, ma nessun metodo gerarchico prevede criteri di scelta di una delle
partizioni prodotte. Questa scelta si impone però nelle applicazioni pratiche e numerose
sono state le proposte per risolvere questo problema. Milligan e Coopero (1985) hanno
esaminato in maniera dettagliata 30 regole di arresto (si definisce così una procedura che
determina la scelta di una partizione tra quelle fornite da un metodo gerarchico) tra
quelle più frequentemente usate in letteratura ed hanno confrontato, mediante alcune
simulazioni, i diversi risultati. I lavori successivi a quello di Milligan e Cooper non hanno
portato nuovi elementi nel campo teorico, ma risultano degli approfondimenti di
procedure esistenti sulla base di nuovi strumenti, soprattutto di tipo informatico.
Nell'articolo dei due autori statunitensi, si ritrovano alcuni dei metodi più utilizzati:
- Calinsld e Harabasz (1974)
Secondo questa procedura si costruisce il seguente rapporto:
trB /trW
k-1 n-k
dove n e k sono rispettivamente il numero di osservazioni ed il numero dei gruppi della
partizione in esame. Si deve anche calcolare la traccia di B e di W (le cosiddette matrici
Between e Within), i cui elementi sono gli scarti dalla media al quadrato, calcolati "tra" i
gruppi e "all'interno" dei gruppi. Viene scelta la partizione che assumerà il valore
"
massimo di questo rapporto.'
65

-Duda e Hart (1973)
-Analisi della soluzione-
In questo caso l'indice assume la forma che segue:
Je(2)
Je(l)
dove Je(2) è la somma degli scarti al quadrato quando si hanno due gruppi e Je(l)
quando il gruppo è uno solo. Viene rifiutata l'ipotesi di un solo gruppo quando il
precedente rapporto è più piccolo di uno specifico valore critico. Tale valore viene
calcolato in funzione di molti termini tra cui la dimensione del campione ed il numero di
osservazioni.
-Mojena (1977)
Si considerano le misure dei differenti livelli di fusione della procedura gerarchica e si
seleziona il numero di gruppi corrispondente al primo livello rj della gerarchia tale che
rj+l > r+ ks y
dove ro, r}> ... ,rn-l sono i livelli di fusione corrispondenti rispettivamente ad n, n-l, ..., 1
gruppi, r e Sy la media e la deviazione standard corretta delle rl e k una cqstante.
Mojena suggerisce per k un intervallo di valori tra 2.75 e 3.50, mentre Milligane Cooper
raggiungono risultati più soddisfacenti per k = 1.25.
I criteri precedenti sono quelli che danno risultati migliori rispetto a tutti gli altri
analizzati mediante simulazioni. Come si può facilmente osservare, queste procedure
propongono un criterio "esterno" alla natura dei gruppi e la scelta del suo valore critico
risulta "soggettiva", basata spesso su' opinioni personali, senza tener conto delle
informazioni iniziali sui dati. Gli autori di· tali procedure giustificano l'oggettività della
scelta proprio nella completa estraneità della costruzione dell'indice dai dati,
dimenticando che l'analisi dei gruppi deve rilevare una struttura esistente sulle
osservazioni, senza introdurre elementi "esterni" e "forzare" le conclusioni.
Fisher e Van Ness (1971), seguendo l'approccio di Jardine e Sibson (1968), hanno
formulato alcune proprietà che ogni ragionevole procedura di analisi dei gruppi dovrebbe
rispettare; queste proprietà·tendono a conservare le iniziali dissimilarità o distanze
esistenti sui dati. Ad esempio, una proprietà auspicabile è'quella di suddividere i dati in
gruppi tali che i coefficienti di similarità degli elementi nello stesso gruppo ("within­
group coefficients") siano geperalmente più alti dei coefficienti degli elementi in gruppi
diversi ("between-group coefficients"). Una partizione in classi di questo tipo è detta ben
strutturata (Rubin, 1967) ed esprime in maniera essenziale la forma "naturale" dei gruppi
esistenti sui dati.
66

-Analisi della soluzione-
Il risultato principale sulla partizione ben strutturata minimale è riassunto con il
teorema seguente; si rimanda all'articolo originario per la dimostrazione:
TEOREMA 1 (Castagnoli, 1978)
Sia E un insieme finito di elementi sul quali è stato definito un indice di dissimilarità
d; allora esiste una ed una sola partizione ben strutturata minimale di E.
La proprietà' di simmetria dell'indice di dissimilarità d non è necessaria nella
dimostrazione del precedente Teorema: è sufficiente infatti considerare, nel calcolo del
massimo diametro dei gruppi, la maggiore tra le due distanze non simmetriche e,
ricercando la minima distanza tra i gruppi, la minore tra le due. Anche la proprietà 1)
dell'indice di dissimilarità può essere indebolita e sostituita da
d(ei> ei) = O, Ve l EE,
assumendo che tra due elementi di dissimilarità nulla vale la proprietà transitiva:
In questo caso, aggregando prima gli elementi di dissimilarità nulla, il Teorema 1 resta
valido.
7.2.2 La partizione benstrutturata minimale edi metodi gerarchici
Una volta definita la partizione ben strutturata minimale e dimostrata la sua unicità, si
verifica come essa sia sempre determinata dai metodi gerarchici.
TEOREMA 2
Tra le partizioni fornite dai metodi di raggruppamento che producono una struttura
gerarchica sui dati, esiste sempre la partizione ben strutturata minimale.
Il Teorema 1 vale in particolare anche per le dissimilarità che soddisfano ulteriori
proprietà, come la disuguaglianza ultrametrica:
Data una matrice di ultrametriche, è possibile costruire a partire da essa uno schema di
raggruppamento gerarchico e, viceversa, data una struttura gerarchica sui dati, è
possibile costruire una distanza ultrametrica sulle osservazioni (cfr. capitolo 4). Poiché
quindi esiste una ed una sola partizione ben strutturata minimale per ogni matrice di
ultrametriche, per la precedente biiezione, questa partizione è una della successione
gerarchica di partizioni. D
68

-Analisi della soluzione-
discrepanze, più aggregata di quella ben strutturata minimale. Il tempo di calcolo
dell'indice ai è proporzionale al numero di confronti necessari per determinare le
discrepanze in una partizione; a questo fine è necessario confrontare ogni coppia di
elementi appartenenti allo stesso gruppo della partizione in esame con lo split della
partizione stessa. Si definisce infatti split di una partizione P i (cfr. ad esempio Delattre e
Hansen, 1980) il più piccolo degli splits dei gruppi; lo split di un gruppo G i è la minima
tra le dissimilarità tra un elemento di G i ed un elemento in ognuno degli altri gruppi della
partizione Pio Ogni volta che la dissimilarità di una coppia di elementi è maggiore dello
split della corrispondente partizione, si conterà quindi una discrepanza: questa
operazione richiede un tempo di calcolo proporzionale a 0(n 2 ) che deve essere ripetuto
al limite per gli n-l passi dell'algoritmo gerarchico. Nel complesso quindi il calcolo
dell'indice ai necessita di un tempo proporzionale a 0(n 3 ).
Seguono ora i passi dell'algoritmo:
Passo l
Immettere la matrice di dissimilarità ed effettuare l'ordinamento in modo nOll
crescente dei suoi elementi in una struttura di heap.
Immettere la prima partizione P j fornita dal metodo gerarchico prescelto e porre
D(P) = Oe M(Pj) = primo elemento della lista ordinata.
Passo 2
Immettere la partizione successiva P; e determinare il massimo diametro dei
gruppi D(p;)·e la minima distanza tra i gruppi M(PJ
Passo 3
Se D(P;) < M(P;) memorizzare la partizione come ben strutturata e andare al
passo 5.
Calcolare l'indice ai e memorizzarlo con la partizione P; corri!!Jpondente.
Passo 5
Se i = n-2, stampare l'ultima partizione ben strutturata memorizzata e la serie
degli indici ai con le corrispondenti partizioni non ben strutturate, altrimenti
tornare alpasso 2.
Si osservi come l'ultima partizione costituita da un solo gruppo (i = 11-1) non venga
considerata, perché per essa non ha senso la definizione di partizione ben strutturata;
inoltre, avendo i gruppi delle partizioni fornite dal metodo aggregativo gerarchico
numerosità decrescente, l'ultima partizione ben strutturata memorizzata sarà sicuramente
71

-Analisi della soluzione-
Le api Hoplites producta sono rappresentate da una matrice di distanze (basate su dati
standardizzati) tra Il forme di una particolare specie di ape (Tav. II, Michener, 1970).
l 2 3 4 5 6 7 8 9 lO 11
l O
2 0,940 O
3 1,229 0791 O
4 1,266 0847 0,303 O
5 1,507 1,331 1,070 1,026 O
6 1,609 1,306 0778 0573 1,175 O
7 1,450 1266 1,475 1506 1,829 1,876 O
8 1,239 1,286 1,510 1,540 1908 1,832 1,655 O
9 1,493 1,160 0,848 0792 0,965 0,978 1,847 1,761 O ,
lO 1,494 1,396 1497 1528 1724 1,687 1954 l 733 1,721 O
11 1348 1,238 . 1,352 1,385 1,724 1559 1.844 1,608 1,596 0.645 O
l, Hop/ites gracilis; 2, subgraci/is; 3, interior; 4, bernardina,' 5,panamintana; 6, producta; 7, colei; 8,
elongata; 9, uvularis; lO, grinelli,' Il, septentriona/is.
Tavola II
Everitt (1993) ha confrontato le gerarchie ottenute dall'applicazione del metodo del
legame singolo, del legame completo e del legame medio. Le corrispondenti tre serie di
partizioni sono state fatte analizzare dall'algoritmo, ottenendo la stessa partizione ben
strutturata miniinale in 8 gruppi:
{3,4,6}, {lO,Il},{1},{2},{5}, {7},{8},{9}.
La Tavola III evidenzia la serie degli ai corrispondenti ai tre metodi gerarchici: in tutti i
casi la successione è crescente, ma l'incremento maggiore è nel passaggio da 4 a 3
gruppi. La partizione in 4 gruppi sembra quindi essere la più aggregata con un
"accettabile" numero di discrepanze:
{3,4,5,6,9},{1O,11},{l,2,8},{7} (legame completo)
{l,2,3,4,5,6,9},{ lO,Il},{7},{8} (legame singolo e medio).
Numero di Legame Legame Legame
gruppI singolo medio completo
ai (%) ai (%) ai (%)
7 2,083
6 3,512 2,128 2,721
5 9,936 3,101 3,101
4 7,163 7,163 4,878
3 16,374 16,374 10,681
2 20,667 20,667 28,968
Tavola III
73

-Analisi della soluzione-
In figura 5 è riportato un esempio per il calcolo di H (Chandon e Pinson., 1981). Nella
tavola sono riportate sulle colonne le coppie di dissimilarità in ordine non decrescente e
sulle righe le teme di elementi. Con MIN si indica la dissimilarità intermedia più piccola,
con MED quella mediana e con MAX quella più grande. La X indica la coppia
intermedia alla tema corrispondente. Per verificare l'ipotesi nulla di non classificabilità
gerarchica, Lerman propone di simulare H mediante le estrazioni ripetute dall'insieme
delle possibili teme con probabilità uniforme. Ottenuto un gran numero di valori simulati
di H, calcolando la media E(H) e lo scarto a(H) della distribuzione simulata, si osserva
se la quantità IH - E (H)1 è superiore a 2 a(H); si potrà rifiutare l'ipotesi nulla al livello
di significatività del 95%.
o 2 5 7 16
2 O 6 9 16
5 6 O 7. lO
7 9 7 O 15
16 16 lO 15 O
Matrice di dissimilarità
:s:: 1-2
TERNE
1-3 2-3 1-4 3-4 2-4 3-5 4-5 1-5 2-5 Ll
h
1-2-3 MIN MED MAX O
1-2-4 MIN MED X MAX 1
1-2-5 MIN MED MAX O
1-3-4 MIN MED MAX O
1-3-5 MIN MED X MAX 1
2-3-4 MIN MED MAX O
2-3-5 MIN MED X X MAX 2
1-4-5 MIN MED MAX O
3-4-5 M1N MED O
2-4-5 M1N MED X MAX 1
5
H= lO . lO = 0.05
Figura 5
80

-Analisi della soluzione-
E' il caso del metodò del legame singolo, alterato in modo da aggregare ad ogni passo i
due gruppi che hanno la dissimilarità più piccola tra unità contigue (Monestiez, 1977,
Fischer, 1980). Tradotto nel linguaggio della teoria dei grafi, questo procedimento si
riduce alla determinazione dell'albero di lunghezza minima (cfr. capitolo 6) sul grafo di
contiguità, grafo i cui nodi rappresentano le osservazioni e i cui archi connettono coppie
di elementi contigui, pesati dal corrispondente valore della dissimilarità. Una semplice
dimostraziOne del fatto che questa gerarchia non può presentare inversioni, è otterlibile
sostituendo le dissimilarità tra coppie di unità non contigue con un valore infinito; la
costruzione della gerarchia del legame singolo sull'insieme delle dissimilarità così
modificato, riproduèe tutti i passi dell'algoritmo tradizionale e le dissimilarità infinite non
saranno mai utilizzate. Come nel caso tradizionale, anche il metodo modificato risente
dell'effetto del "concatenamento" (le unità tendono ad aggregarsi nel gruppo più grande
esistente). Per questo motivo sono stati costruiti algoritmi più efficienti in grado di
produrre la gerarchia del legame singolo vincolata (Murtagh, 1984, Cheriton e Tarjan,
1976, Yao, 1975).
Un metodo alternativo per esprimere il legame di contiguità, consiste nell'effettuare le
aggregazioni tra gruppi per i'quali esista un legame di contiguità per almeno un elemento
appartenente a ciascun gruppo. Con questo vincolo, "più debole" del precedente, il
metodo del legame completo costruisce gerarchie senza inversioni (Murtagh; 1985b,
Ferligof e Batagelij, 1982). Ma anche il metodo del legame completo ha il difetto
opposto all'effetto di concatenamento, cioè tende a formare gruppi di uguale numerosità.
Per questo motivo si è allora cercato di apportare delle modifiche al metodo di Ward che
minimizza la varianza; Webster e Burrough (1972) hanno utilizzato la contiguità
"debole" vista nel legame completo, mentre Lebart (1978) introduce anche un'ulteriore
restrizione sul massimo numero di elementi che deve contenere un gruppo, per cui se un
gruppo supera questo limite, viene rimosso interamente dagli stadi successivi
dell'algoritmo. Queste ed altre versioni più recenti (Beaulieu e Goldberg, 1989, Tilton,
1990) non presentano il problema delle inversioni.
Batagelij e Ferligoj (1982) hanno aggiornato la formula di Lance e Williams (che
racchiude molti tra i più usati metodi aggregativi gerarchici, cfr. cap. 6), modificando
opportunamente i coefficienti in modo da fornire le versioni modificate del metodo del
legame completo edi Ward senza inversioni.
Il problema· generale di tutti questi algoritmi è quello di salvaguardare nello stesso
tempo la compattezza dei gruppi e la contiguità delle unità: A questo scopo è stato
costruito un sistema basato sulla combinazione delle dissimilarità iniziali tra le coppie di
unità ele dissimilarità rappresentanti la misura della contiguità; Webster e Burrough
(1972) utilizzano diverse combinazioni additive e moltiplicative delle due dissimilarità,
mentre Perruchet (1983) e Murtagh (1982) usano il prodotto delle due, ma con il
82

-Analisi della soluzione-
ricalcolo separato delle dissimilarità tra i gruppi ad ogni passo dell'algoritmo. In questi
casi, i differenti pesi relativi delle dissimilarità modificano la classificazione risultante.
Un limite degli algoritmi citati è dato dal fatto che sono stati "testati" su particolari
insiemi di dati, mentre è necessario ancora un lavoro di tipo "empirico" per capire quali
tra di essi possono essere utilizzati in maniera universale (Murtagh, 1985a).
7.5.2 Athllali direttive di ricerca
La ricerca di gruppi con vincoli di contiguità comincia ad investire metodi anche
diversi dai gerarchici e nuovi campi di .applicazione come il riconoscimento delle forme
("pattern recognition") e l'analisi delle immagini ("image processing"). Gordon (1981),
basandosi sulla teoria dei grafi, ha costruito un algoritmo che può produrre delle
partizioni anche gerarchicamente "annidate"; egli minimizza gli scarti al quadrato tra la
misura delle osservazioni e la misura del baricentro del gruppo a cui le osservazioni sono
contigue. Ha anche introdott? delle variabili "barriera", che permettono di sottolineare in
maniera più precisa i confini dei gruppi, fornendo una soluzione alternativa alla
minimizzazione degli scarti quadratici. De Soete (1987), modifica la sua soluzione
proposta per le ultrametriche tradizionali (cfr. capitolo 6), proponendo la ricerca di una
ultrametrica vincolata che ottimizza lo scarto quadratico tra essa e la dissimilarità di
partenza; questa soluzione può essere facilmente estesa al caso di dissimilarità
incomplete (cfr. par. 7.5)
Per una rassegna bibliografica dei metodi più recenti sviluppatisi nell'ambito della
teoria del riconoscimento delle forme e dell'analisi delle immagini, si fa riferimento a
Murtagh (1985, 1994) e alla rassegna critica di Zani (1993).
Bisogna comunque sottolineare come notevoli sviluppi della teoria della
classificazione vincolata, sono sopraggiunti grazie al sempre più frequente uso della
teoria dei grafi e all'abbandono delle gerarchie che troppo spesso escludono partizioni
ottimalidal punto di vista della contiguità e continuano ad avere complessità
computazionali elevate (Hansen, Jaumard, Simeone, Doring, 1993).
Per concludere sulle ultrametriche vincolate, si vuole fare cenno ad un possibile filone
di ricerca di tipo grafico per valutare la necessità del loro effettivo utilizzo; Hansen et al.
(1993), ma, anche prima, Diday (1986), hanno fornito una rappresentazione modificata
del dendrogramma, in modo da tenere conto delle rispettive posizioni delle osservazioni
che vengono classificate. In base a questo tipo di visualizzazione è possibile controllare
se l'eventuale contiguità tra gli elementi è stata rispettata nel corso dell'aggregazione; si
ha così l'opportunità di valutare se sia il caso di adottare un'approssimazione ultrametrica
di tipo vincolato o meno.
83

7.6 Altre questioni sulle ultrametriche
-Analisi della soluzione-
In questo paragrafo sono accennati alcuni argomenti riguardanti le ultrametriche, casi
particolari di problemi principali analizzati in precedenza. Per eventuali approfondimenti
si fa riferimento alla letteratura indicata, letteratura spesso limitata, soprattutto perché i
temi sono tuttora in evoluzione e non sempre hanno raggiunto risultati consolidati e
definitivi.
La matrice di dissimilarità, rappresentante le informazioni iniziali sui dati, non è
sempre completa di tutti i suoi elementi; si verificano casi in cui le dissimilarità non sono
definite per tutte le coppie di osservazioni. Questo tipo di dissimilarità, dette parziali, si
presenta generalmente ·in 'due tipi di situazione (Brossier, 1994): nel caso in cui la
classificazione stessa dei dati è "parziale" o quando le dissimilarità parziali sono uno
stadio intermedio del processo di classificazione. Una situazione tipica si presenta nei
problemi detti di "unfolding": dato un insieme E bipartito in due insiemi A e .;r, si
conoscono le dissimilarità all'interno di A e di.;r, ma non le dissimilarità "tra" coppie di
elementi di A e X I metodi di "unfolding" ricercano un'approssimazione ultrametrica su E
a partire dalle dissimilarità precedenti (De Soete, DeSarbo, Fumas, Carroll, 1984).
Brossier (1994) ha definito delle condizioni necessarie ci sufficienti affinché una
dissimilarità parziale possa essere approssimata con una ultrametrica; è stato inoltre
fornito un possibile processo di passaggio dall'una all'altra.
Un problema nato recentemente è la generazione casuale di ultrametriche. Un
approccio alternativo alla teoria del consenso per valutare la classificazione gerarchica
ottenuta, consiste nel confrontare le gerarchie costruite con determinanti metodi di
classificazione, con delle gerarchie ottenute casualmente sulle stesse osservazioni.
Mentre la generazione casuale di alberi ed alberi graduati annovera la costruzione di
diversi algoritmi, le procedure per generare ultrametriche e quindi alberi con livelli
casuali di fusione, sono solo ai primi tentativi (Lapointe e Legendre, 1991 e Van Cutsem,
Flajolet, Zimmerman 1993). Queste procedure prevedono prima la generazione casuale
dei livelli di fusione e poi due vie alternative: o si genera direttamente la matrice di
ultrametriche, ,tenendo conto dei precedenti livelli di fusione, o si generano i nodi
dell'albero a cui poi si associano sempre i precedenti livelli.
Considerando anche una matrice di dissimilarità a tre vie (cfr., ad esempio, Coppi,
1986), una matrice cioè in cui si considera una terza dimensione che può essere, ad
esempio, rappresentata dal tempo in cui si è effettuata la misura tra le osservazioni, si
presenta il problema della determinazione della corrispondente approssimazione
ultrametrica. A questo proposito De Soete e Carroll (1989) hanno esteso il loro
algoritmo di approssimazione di tipo quadratico costruito per il caso classico "a due vie"
(cfr. capitolo 6); questa procedura prevede la formazione di più ultrametdche affiancate,
sottoposte al vincolo di avere la stessa topologia. Joly e Le Calvé (1994) definiscono la
84

-Analisi della soluzione-
disuguaglianza ultrametrica per tre vie, in base alla quale estendono gli usuali algoritmi
gerarchici, che analizzano ad ogni passo non più coppie, ma triplette di osservazioni.
Un ultimo importante problema è stato analizzato da Diday (1982, 1985) e nasce
sempre dal confronto di più classificazioni gerarchiche. Tra le difficoltà che si incontrano
nel sintetizzare più gerarchie, esiste quella riguardante l'ordine delle osservazioni:
sovrapponendo più dendrogrammi costruiti sullo stesso insieme di elementi posti sempre
nello stesso ordine, si va incontro all'eventualità di creare degli incroci. Si ha un incrocio
quando il ramo verticale di un elemento viene "tagliato" da un ramo orizzontale (si veda
come esempio l'incrocio cOf!ispondente all'elemento d del dendrogramma in fig. 6).
6- ,-----,
5-
3- r---'"'---...,
2- .......--t--''---t
1- - '--
a b c d e
Figura 6
La presenza di incroci danneggia la leggibilità della classificazione, soprattutto se essa
è il risultato della sovrapposizione di più gerarchie. Diday ha studiato teoricamente la
nozione di incrocio, strettamente connesso con l'ordine delle osservazioni, determinando
le condizioni per avere gerarchie senza incroci, particolarizzando al caso delle
ultrametriche, il concetto generale della "compatibilità" tra un ordine ed una dissimilarità
(cfr. capitolo 8).
85

-Le estensioni delle ultrametriche-
ha affrontato in maniera sistematica, cogliendo gli aspetti originali che le dissimilarità
definite in tale contesto (ultraminime) possono dare. Viene qui ripreso il lavoro di Diday
e arricchito del contributo di autori precedenti, indicando nuove linee di sviluppo che
meglio permettono di giudicare l'effettiva rappresentabilità delle osservazioni con il
modello gerarchico; tale studio può indicare un altro modo di valutare la "robustezza"
dei risultati, problema che, come ricordato in precedenza, diviene sempre più importante
anche nell'analisi gerarchica dei gruppi.
Le estensioni delle ultrametriche sono quindi numerose al punto che, in tempi
recentissimi, si è sentita la necessità di dare loro una sistematizzazione matematica più
rigorosa per poter meglio analizzare le relazioni esistenti tra di esse; a questo proposito si
è introdotto uno schema intuitivo che permette di visualizzare alcune loro relazioni.
"
L'argomento analizzato in questo capitolo è di recentissima evoluzione ed è destinato
a svilupparsi ancora molto, dal momento che non solo consente dei modelli di
rappresentazione più aderenti alla realtà, ma genera anche delle interessanti strutture
algebriche, importanti da un punto di vista teorico, ma destinate anche ad evidenziare la
loro validità applicativa.
8.2 K - uUrametrncl1le
Jardine e Sibson (1971) definiscono una gerarchia indicizzata in funzione di una
relazione di equivalenza. Una gerarchia è una particolare successione di partizioni di un
insieme dato ed esiste una naturale corrispondenza biunivoca tra le partizioni di un
insieme, e le relazioni di equivalenza definite su di esso. Come noto, una relazione di
equivalenza su un insieme E è un sottoinsieme r di ExE, che verifica le seguenti
proprietà:
i) (e;,eJ Er per "de; EE (proprietà riflessiva)
iii)(e;,ek) Er e (ebej) Er => (et ,e) Er per "de;,ej,ek EE (proplietà transitiva) .
Se r è una relazione di equivalenza su E, allora gli insiemi Ce, ={e j : ( e;, e)} E r} con
e; ed ej .E E, formano una partizione di E. Inversamente, se gli insiemi {Ca} formano
una partizione di E, allora la relazione U(Ca X CJ è una relazione di equivalenza. In
a
questo modo è possibile descrivere i gruppi di ogni livello della gerarchia mediante le
classi di equivalenza della relazione associata. Da questa interpretazione della gerarchia
indicizzata, è possibile ricavare sempre la corrispondenza biunivoca con le' ultrametriche,
sfruttando essenzialmente la proprietà transitiva della relazione r. Se ad ogni livello si
vogliono avere dei gruppi che possano anche "sovrapporsi", è sufficiente generalizzare
87

-Le estensioni delle u/trametriche-
la relazione l' senza più richiedere l'osservanza della proprietà transitiva. Le classi di
insiemi corrispondenti ad una relazione riflessiva e simmetrica, possono avere
intersezione non vuota, pur rispettando, tra gruppi di differenti livelli, la stessa struttura
"annidata" del caso gerarchico. Sulla base di questo nuovo modello, Jardine e Sibson
costruiscono dei metodi di·cluster analysis che generalizzano gli usuali metodi gerarchici;
tra questi, si ricordano i metodi definiti Bk' vincolati in modo che ad ogni liveIIo
l'intersezione tra due gruppi non può contenere più di k-l elementi di E; se il numero di
unità comuni a due gruppi è maggiore, questi vengono fìJsi in uno solo. L'algoritmo è
simile a quello del metodo del legame singolo, che si ritrova nel caso k=l (insiemi con
intersezione vuota). La relazione mediante la quale sono costruite le classi di insiemi,
verifica una proprietà k-tra;lsitiva; essa consiste nel sostituire all'insieme C deIIa
precedente definizione di transitività, un particolare insieme S di cardinalità k mediante il
quale ottenere il vincolo sulla intersezione di k-l elementi. In base a questa proprietà è
possibile ricavare, come nel caso classico, la disuguaglianza ultrametrica che, in questo
caso, è però più "debole" e viene detta k-u/trametrica:
u{e"e j ):::; max{u{eh,eZ):eh ESU{e"e j },ez.ES}
dove ej ed ej E E, S c E e ISI = k. L'algoritmo di Jardine e Sibson non ha tuttavia
riportato risultati efficienti; esso rappresenta comunque il primo tentativo di
generalizzare i metodi gerarchici ed ha rappresentato la base di partenza per gli autori
successivi che hanno lavorato nel campo delle estensioni ultrametriche.
I metodi B k sono stati ripresi da Hubert (1974) che ne ha dato una interpretazione
mediante la teoria dei grafi. Le classi di insiemi costruite sulla base di una relazione
riflessiva, simmetrica e k-transitiva, possono essere interpretate come sottografi -­
completi massimali (maximallinked sets in inglese e cliques in francese); se E è l'insieme
iniziale delle osservazioni interpretate come nodi di un grafo e le loro dissimilarità le
lunghezze degli archi, un sottografo completo massimale è definito mediante un
sottoinsieme D dell'insieme iniziale dei nodi e con gli stessi archi esistenti sul grafo
"padre" relativi aIIe coppie di D. A seconda di come vengono definiti questi sottografi, è
possibile ottenere diversi algoritmi tra cui queIIo di Jardine e Sibson; questi algoritmi
fanno uso deIIa teoria esistente per la determinazione dei sottografi completi massimali,
determinando classi di gruppi sovrapposti, che comunque rappresentano deIIe
approssimazioni non ancora efficienti nella pratica.
8.3 Le dissimilarità robinsoniane
Si è fatto già cenno alla eventuale presenza di incroci in una gerarchia indicizzata (cfr.
par.7.5). Studiando le condizioni che diano la possibilità di costruire le gerarchie senza
88

3
Piramide
2 ._._._._ _._._._ r-"--'-\
-Le estensioni delle ultrametriche-
o 1 2 3 4
Figura 1
80303 Piramidi e d!issimilarità robill1sollliane
E ="{ 1,2,3,4}
P= { n,{l}, {2}, {3}, {4},
{2,3}, {1,2,3}, {3,4} }
f(P i )= card (P i )-1, V P i di P
In analogia a quanto fatto per le ultrametriche e le gerarchie indicizzate (cfr. cap. 4), è
possibile dimostrare chèl'indice di dissimilarità introdotto da una piramide indicizzata in
senso largo è una dissimilarità robinsoniana (Diday, 1986). Più precisamente, se a partire
dalla piramide indicizzata, per ogni coppia di osservazioni appartenenti a E, si considera
il gruppo "più basso" nella rappresentazione che contiene entrambi gli elementi, il valore
dell'indice f corrispondente a. tale gruppo, identifica il valore della dissimilarità
robinsoniana della coppia di osservazioni (fig.2).
91

-Le estensioni delle ultrametriche-
{PIRAMIDI INDICIZZATE IN (biiezione )
SENSO LARGO }
v
{GERARCHIE INDICIZZATE} ( biiezione)
8.3.4 Algoritmi lPiramidali
Figura 3
{DISSIMILARITA'
ROBINSONIANE}
v
{ULTRAMETRICHE}
Una volta clùarite le questioni teoriche relative alle piramidi, sono stati messi a punto
degli algoritmi per la loro costruzione a partire da una matrice di dissimilarità qualsiasi.
Diday (1986) ha costruito un algoritmo ascendente, quindi le classi sono formate per
aggregazioni successive come nel caso gerarclùco ed è stato adottato un indice di
aggregazione del tipo del legame singolo; è presente anche un adattamento del metodo
dei vicini reciproci (cfr. cap.6). Bertrand (1986) ha migliorato questi algoritmi,
generalizzandoli a qualsiasi indice di aggregazione della formula di Lance e Williams ed
introducendo delle tecniche per chiarire la leggibilità grafica della piramide.
La ricerca in questo campo è ancora molto attiva e numerosi sono i problemi aperti; si
tratta soprattutto di ripercorrere la teoria esistente sulle ultrametriche e determinare
l'equivalente per gli indici piramidali. Così Diday (1986) ha determinato l'indice
piramidale sotto-dominante e dimostrato la sua unicità, determinando inoltre l'unicità
dell'indice piramidale superiore minimale (unicità non esistente per la corrispondente
ultrametrica). Un altro problema è quello di cercare un'interpretazione nella teoria dei
grafi della piramide derivante dal metodo del legame singolo, così come è stato
individuato l'albero di lunghezza minima per le ultrametriche: Did

-Le estensioni delle ultrametriche-
possibilità di ottenere un rappresentazione delle osservazioni iniziali in k gruppi che
possono sovrapporsi. Bertnind (1992) si è occupato dello studio delle dissimilarità
robinsoniane da un punto di vista geometrico, proiettando questi indici in spazi come
quello euclideo o Li; questo studio ha molti punti in comune a quanto è riportato in
questa tesi per le ultrametriche (cfr. cap.5).
8.4 Le pseudo-gerarchie
Parallelamente alle rappresentazioni tramite le piramidi. indicizzate, sono state
individuate altre rappresentazioni come estensione delle gerarchie; Fichet (1984) infatti,
ha introdotto le pseudo-gerarchie, strutture che verranno definite illustrando le
differenze e i molti punti di contatto con le piramidi.
8.4.1 Dissimilarità fortemente robinsoniane
La prima differenza con le rappresentazioni di Diday è data dalla generalizzazione
delle ultrametriche considerata; una dissimilarità s è dettafortemente di Robinson se:
i) esiste un ordine Ll compatibile con dR;
ii) per ogni tema (e;. ei ek) di elementi di E ordinata secondo Ll, cioè eio ejo ek si ha:
a) dR(ejt ek) =dR(ej' ek) => se eJ..'o eh allora dR(ejt eh) =dR(ei eh)
b) dR(e;. ek) = dR(e;. ej) => se eho ei allora dR(eh. ek) = dR(eh. ej)'
In altri termini una dissimilarità è fortemente robinsoniana se esiste un ordine Ll su E
tale che la matric.e M(dR,Ll) sia una matrice di Robinson ed inoltre verifichi le due
condizioni supplementari a) e b).
E' facile verificare (Durand e FiChet, 1988) che l'insieme delle ultrametriche è incluso
nell'insieme delle dissimilarità fortemente di Robinson, il quale è evidentemente incluso
nell'insieme delle dissimilarità robinsoniane.
8.4.2 Pseudo-gerarchie indicizzate e dissimilaritàfoftementef( P i ) = O;
2) se P i e P j sono due parti distinte di Ps e sono tali che P i c'P j => f( P i )

-Le estensioni delle ultrametriche-
negativi, ma valori appartenenti ad un insieme più generale, parzialmente ordinato che
ammette un minimo. Critchley e Van Cutsem generalizzano la biiezione in tre direzioni:
una prima direzione considera l'insieme E delle osservazioni da classificare o come finito
o come arbitrario; la seconda considera l'insieme dei valori che assume la dissimilarità
iniziale: o i reali non negativi o un insieme parzialmente ordinato che ammette un minimo
o infine un insieme arbitrario; la terza direzione prevede l'utilizzo di dissimilarità o
simmetriche o non simmetriche (in questo caso si parla di predissimilarità).
Tali estensioni sono tuttora in evoluzione soprattutto dal punto di vista teorico.
Consolidata la teoria, sarà interessante individuare la loro valenza "pratica" per costruire
dei metodi di classificazione sempre "più vicini" alla struttura iniziale dei dati.
8.6 Ultrametrica duale
Una distanza ultrametrica è stata definita come un indice di dissimilarità che soddisfa
la disuguaglianza ultrametrica; se i simboli di questa disuguaglianza vengono sostituiti
con i loro "complementari" (vale a dire "::;" con ";:::" e "max" con "min"), otteniamo la
funzione duale a quella ultrametrica, chiamata da Diday (1986) ultraminima. Essa è
quindi una funzione u' che associa ad ogni coppia di elementi di un insieme E un valore
non negativo in modo che:
i) Ve;,ej EE, u'(e;,ej ) =u'(ej,e;) (simmetria)
ii)Ve; ,ej,ek E E, u' (e;,ej) ;?; min[u' (e;,ek)'u' (ek,ej)] (disuguaglianza ultraminima)
Dalla disuguaglianza ultraminima, sostituendo ad ej l'elemento e; si ottiene:
da cui si deduce che l'ultraminima è un indice di similarità (cfr cap.6).
Finora' i dati iniziali sono stati rappresentati da matrici di dissimilarità, associate a
coppie di osservazioni; in generale si può far riferimento a matrici di somiglianza
(dissimilarità o similarità) che devono essere rappresentate con una certa
ap'prossimazione in uno spazio appropriato. Il problema non perde di generalità
considerando una similarità invece che una dissimilarità, dal mo Il1 ento che i valori
dell'indic,e per le coppie di elementi differenti giocano un ruolo importante nella sua
rappresentazione ed interpretazione. In effetti è sempre possibile trasformare una matrice
di dissimilarità in una di similarità conservando i valori della dissimilarità per le coppie di
elementi distinti e sostituendo ogni termine della diagonale principale della matrice di
dissimilarità con l'elemento più grande della riga o colonna corrispondente.
Se il modello gerarchico e quindi lo spazio ultrametrico non sembra adatto a
rappresentare i dati iniziali, può essere' utile, in alternativa alle estensioni viste in
96

-Le estensioni delle ultrametriche-
precedenza, valutare se è più adatta una approssimazione di tipo ultraminimo, date le
caratteristiche "opposte" rispetto a quella di tipo ultrametrico.
8.6.1 L'1!.llUramin11ima come reiaziOlme "sfuocata 99
L'ultraminima è stata introdotta la prima volta come nusura della similarità
"soggettiva" (Tamura, 1971), ricorrendo alle funzioni sjuocate ("fuzzy", in inglese,
Ilfiou Il, in francese). Ad esempio, nel classificare una serie di odori, per valutare la
vicinanza tra di essi, si fa ricorso a dei soggetti che esprimono mediante un valore
generalmente compreso tra Oe 1, la loro valutazione. Si definisce relazione sfi/Ocata ad
un passo ("one-step fuzzy relation") una fumionef 1 che associa alle coppie di elementi
di E un valore compreso tra Oe l (estremi inclusi) in modo che:
i)li(e;,e;) = l, \::le; EE
ii)li(e; ,e j ) =li(e j ,(};),\::le; ,e j EE
Si definisce relazione sfiwcata ad n passi, la funzione fn costruita come segue:
fn(ei'e) = sup min[fl(ei'e1),ile1,e 2 ), ..·,flen_1,e j )], n = 2,3,....
ll)..e2 ....,en-l eE
Da questa definizione è facile verificare che:
per cui, per il principio di convergenza monotona, esiste il seguente limite:
f(e;,e) = lim fn(e;,e j ),'
n-+CXl
la funzionef, detta slmilitudine, verifica il lemma seguente:
il che coincide con la disuguaglianza ultraminima. Tamura utilizza la similitudine f per
definire delle classi di equivalenza su E; si dice che e; ed ej hanno una relazione più forte
di À (e;R;te j); se e solo se f (e;, e j ) :?:;L Tramite la disuguaglianza ultraminima, è facile
dimostrare che R'). è una relazione di equivalenza su E; è all()ra possibile classificare le
osservazioni, utilizzando la partizione indotta da questa relazione con un appropriato À.
Per una successione' di valori di À compresi tra O e l, si ottiene una successione di
partizioni "annidate" in maniera gerarchica. Tamura utilizza quindi la similitudine (che
coincide con una ultraminima che assume valori in [0,1]) per classificare gerarchicamente
i dati, senza cogliere la sua natura duale rispetto all'ultrametrica.
Questo aspetto viene rilevato da Dunn (1974), ma continua ad essere utilizzato come
modo alternativo per costruire un modello gerarchico. Viene anche introdotta
97

-Le estensioni delle ultrametriche-
allontanando gli elementi vicini in termini della somiglianza e mantenendo lontani gli
elementi che inizialmente sono tali. Si può sintetizzare quanto detto, dicendo che
l'ultraminima superiore minimale "rappresenta bene gli opposti", così comel'ultrametrica
sotto-dominante "rappresenta bene le somiglianze".
806.4 Costruzione dii uitraminime
Utilizzando il Teorema 4, è possibile sfruttare tutti gli algoritmi costruiti per
determinare una approssimazione ultrametrica, prendendo poi l'inverso per ottenere una
ultraminima di U'(X). Una migliore strategia consiste nel prendere prima l'inverso della
misura di somiglianza iniziale, nel calcolarne poi l'approssimazione ultrametrica e quindi
nel prendere l'inverso per ottenere l'ultraminima desiderata; questa approssimazione
produce dei valori più vicini alla misura di somiglianza iniziale rispetto alla procedura
citata all'inizio. Prendere l'inverso di una ultrametrica calcolata con le usuali procedure
(quindi una misura che tende a "deformare" le distanze maggiori, conservando le minori),
significa non essere fedele né alle piccole distanze (perché se ne prende l'inverso), né alle
grandi. La seconda strategia permetterà invece di determinare una ultraminima che resta
fedele alle grandi distanze.
806.5 Ultraminime come indlici anti-piramidlaH
La dualità esistente tra ultraminime e ultrametriche, consente di determinare delle
"estensioni" delle ultraminime così come fatto per le ultrametriche; è quindi possibile
definire un ordine anti-compatibile 11' con una misura di somiglianza s (eli e j 8 ek =>
s(e;,ek) '-5, min(s(ejJej),s(ej,e k ))) e una matrice anti-Robinson (matrice simmetrica con
elementi delle righe e colonne decrescenti a partire dalla diagonale principale). Si
dimostrerà quindi che ad ogni ultraminima u' è possibile associare un ordine tJ.', tale che
u' e 11' siano anti-compatibili o, equivalentemente, costruire la matrice M (11', tJ.') in modo
che sia anti-Robinson. Come fatto per le ultrametriche, conservando la proprietà delle
ultrarninime sull'esistenza di un ordine anti-compatibile con esse e sopprimendo la
disuguaglianza ultrarninima, si potrà immergere l'insieme delle ultraminime in un insieme
più generale, definito dagli indici anti-piramidali; in corrispondenza di tali indici si potrà
costruire una rappresentazione piramidale allti-indicizzata.
80606 Gerarchie e piramidli anti-indlicizzate
La rappresentazione di una ultraminima di U'(X) può essere ottenuta tramite una
gerarchia indicizzata: esiste,'infatti la biiezione tragerarchie indicizzate ed ultrametriche,
ed una tra queste ultime e le ultraminime di U'(X). In pratica da una ultraminima, si
calcola la sua inversa per avere l'ultrametrica corrispondente a cui si dà una
101

-Le estensioni delle ultrametriche-
rappresentazione tramite una gerarchia indicizzata; affinché· questa gerarchia sia più
fedele all'ultraminima, è necessario esprimere l'altezza dei livelli con i valori
dell'ultraminima. Queste altezze non avranno l'usuale interpretazione, perché tanto più
sono piccole quanto più gli individui loro associati devono essere considerati distanti.
Questo significa anti-indicizzare la gerarchia e le lunghezze dei rami associati agli
elementi singoli possono essere modificate per tenere conto dei valori di J0 = u'(eÌ'eJ,
per ogni i (fig. 5). Analoga rappresentazione può essere data per l'estensione delle
piramidi indicizzate alle anti-indicizzate.
fiÌ\
a c
5 .
3 1..---,._.....
d
2 I...--r--- .
o
gerarchia
anti-indicizzata
8.6.7 Dati caotici e coerenti
Figura 5
a b c d
a 5 3 2 l
b 4 2 l
c 5 l
d 2
ultrantinirna
\
indotta
Le considerazioni fatte a .proposito della capacità delle ultraminime di rappresentare
bene gli opposti (cioè di deformare le piccole distanze, restando fedele alle grandi),
evidenziano la loro particolare natura volta ad esprimere una situazione in cui le
osservazioni iniziali sono "di.stanti" l'una dall'altra e disposte in modo "caotico" (Diday,
1986) in modo da non poter essere racchiuse in un rigido schema di raggruppamento
gerarchico. Un indice di dissimilarità può essere allora meglio rappresentato da una
ultraminima, piuttosto che "forzatamente" da una ultrametrica.
102

-Le estensioni delle ultrametriche-
triangoli sono equilateri o isosceli con la base minore dei lati, mentre nel secondo sono
compresi anche i triangoli scaleni (quindi anche i triangoli isosceli con base maggiore dei
lati). Trasformando le ultraminime in dissimilarità, ponendo uguale a zero la misura tra
elementi identici e mantenendo il loro valore per le coppie di elementi differenti, la loro
intersezione con le metriche è data dall'insieme dei triangoli equilateri (insieme che
coincide anche con l'intersezione con le ultrametriche) e dall'insieme dei triangoli isosceli
con base maggiore dei lati. I rimanenti triangoli dell'insieme delle ultraminime sono
isosceli con base maggiore dei lati, ma 11011 verificano la disuguaglianza triangolare; essi
sono quindi dei triangoli in senso più generale, dal momento che disegnarli
significherebbe usare "implicitamente" una distanza euclidea e quindi considerare
l'intersezione con l'insieme delle metriche.
Sarebbe interessante in questo schema poter introdurre le dissimilarità robinsoniane e
quelle fortemente robinsoniane; si è visto che le prime contengono le seconde che loro
volta contengono le ultrametriche, ma non sono state esaminate le loro relazioni rispetto
alle metriche. Questa considerazione ci permette di sottolineare ancora la "ricchezza" del
modello ultrametrico rispetto al più diffuso modello metrico; tramite la nozione di
incrocio è stato possibile introdurre il concetto di ordine compatibile con la data
dissimilarità, per estenderlo poi alle altre ultrametriche e quindi alle sue estensioni. La
nozione di incrocio scaturisce tuttavia dalle gerarchie indicizzate in corrispondenza
biunivoca con le ultrametriche; per una qualsiasi metrica questa. corrispondenza non è
garantita e non ha senso per essa determinare un ordine compatibile e di conseguenza le
sue relazioni con le dissimilarità di Robinson.
808 Cell1lll1ln dii 3lll1laRisi snmlboHca
Un ultimo argomento. suile estensioni delle ultrametriche fa riferimento ad uno dei
recentissimi sviluppi che sta avendo l'Analisi dei Dati. I metodi classici prevedono
generalmente il trattamento di dati strutturati m una matrice del tipo
"individui xvariabili", i cui. elementi rappresentano il valore della modalità di una
determinata variabile che assume un determinato individuo. I dati reali, tuttavia, non
sempre presentano una struttura di questo tipo, ma sono più complessi, per cui è
necessario effettuare delle trasformazioni per riportarli alla forma usuale, con una
conseguente perdita di informazione. Molte volte, ad esempio, i dati non sono riferiti ad
un singolo individuo, ma ad una famiglia di individui, per cui un elemento della matrice
dei dati presenta una lista di modalità delle diverse variabili presentata da ogni individuo.
L'analisi simbolica (Diday, 1989), sorta dall'esigenza di trattare i dati in forma
complessa, si è sviluppata dapprima nel definire questo tipo di dati come "oggetti
simbolici", poi nell'applicare ad essi sia le tecniche classiche dell'analisi dei dati, sia nuove
tecniche "simboliche" orientate specificatamente all'analisi di questo nuovo tipo di dati.
105

Bibliografia
(gli articoli halmo il titolo in corsivo)
Adams E.N., (1972), Consensus tec}miques and the comparison oj taxonomic trees,
Syst. Zool., 21, 390-397.
Aschbacher M., Baldi P., Baum E.B.,Wilson R.M., (1987), Embedding oj ultrametric
spaces infinite dimensionai structures, SIAM IAlg.Maths., 8, 564-577.
Bandelt H. l e Dress A W., (1993), Weak hierarchies associated wl/h SilJlilarity
measllres: an additive clustering tecnique, Technical Report, Deskrete Strukturen in
der Mathematik, UniversiHit Bielfeld, Germany.
Bandelt R.I., (1990), Recognition oj tree metrics, SIAM Journal of discrete
mathematics, 3, 1-6.
Barthélemy lP. e Luong N.X., (1986), Représentations arborées de mesures de
dissimilarité, Statistique et Analyse des données, 11, 20-41.
Barthélemy.J.P., Janowitz M. F., (1991), A formai theory ofconsensus, SIAM Journal
ofDiscrete Mathematics, 4, 305-322.
.Barthélemy lP., Leclere B., Monjardet B. (1986), On thè uSe of ordered sets in
problems ofcompar.ison and consensus ofclassifications, Journal of Classification, 3,
187-224.
Batbedat A, (1990), Les approches pyramidalesdansla c1assification arborée, Paris,
Masson.
Beaulieu l1\1., Goldberg M.;. (1989), Hierarchy in picture segmentation: a step wise
optimization approach, IEEE transactions on P.AM.I., 11, 150-163.
Bénzecri lP., (1965), Sur Ies algorithmes de c1assifieation, Cours ISUP (1965-1966),
Rellnes et Paris.
Bénzecri lP., (1973), L'Analyse des données, Tome 1, DUNOD, Paris.
Bertrand P., (1986), Etude de la représentation pyramidale, Thèse de 3° cyc1e,
Univcrsité de Paris-Dauphine, France.
Bertrand P., (1992), Propriétés et caracterisations topologiqlles d'une représentation
pyramidale, Mathematiques, Informations et Sciences Humaines, 30,5-28.
Bertrand P., Diday E., (1990), Une généra/isation des arbres hiérarchiques: les
représentations pyramidales, Revue de Statistique Appliquée, ·38, 53-78.
Boorman S.A e Oliver D.C., (1973), Metrics in spaces offinite trees, Journai of
Mathematical Psycology, lO, 26-29.
Bove G., (1989), Nuovi metodi di rappresentazione di dati di prossiinità, Tesi di
dottorato, II ciclo, Dip. di Stat., Probo e. Stat Appl., Università degli Studi "La
Sapienza" di Roma.

- Bibliografia -
Hansen P., Jaumard B., Simeone B., Doring V., (1993), Maximum split clustering under
connetivity constraints, Les Cahiers du GERARD, Québec, Canada.
Hartigan lA., (1967), Representation of similarity matrices by trees, Journal of
American Statistical Association, 62, 1140-1158.
Hensel, K., (1897), in'Dieudonné (1978).
Holman E.W., (1972), The relation between hierarchical and euclideall models for
psychological distances, Psychometrika, 37, 417-423.
Hubert, L., (1973), Monotone invariant clustering procedures, Psychometrika, 38, 47­
62.
Hubert L., (1974), Some applications ofgraph the01Y to clllstering, Psychometrika, 39,
283-309. '
Hubert L., (1974), Some applications ofgraph the01Y to clustering, British Journal of
Mathematical and Statistical Psychology, 27, 133-153.
Hubert L., Arabie P., (1994), The analysis ofproximity matrices having (anti-) Robison
formes, British Journal ofMathematical and Statistical Psycology, 47, 1-40.
Jambu M., (1972), Tecniques de Classification Automatique Appliqueé à des Donnés de
Sciences Humaines, Thèse de Doctorat de 3 eme cycle, Paris.
. -
Janowitz M.F., (1978), An order theoretic modelfar cluster analysis, SIAM Journal of
Applied Mathematics, 34, 55-72.
Jardine N., Sibson R., (1968), The construction of hierarchic and non-hieral'chic
classifications, Computer Jburnal, U 9 177-184.
Jardine N., Sibson R., (1971), Mathematical Taxonomy, Wiley, New York.
Johnson S.C.,(1967), Hierarchical clustering schemes, Psychometrika, 32, 241-254.
Joly S.,' Le Calvé G., (1994), Tree way distallces, Journal of classification (in
pubblicazione).
Krasner, M., (1944), C.R. Acad. Sci. 219, tome II, 433.
Kmskal J.B., (1956), On the shortest spanning sllbtree of a graplt and the traveling
salesman problem, Proceeding ofthe American Mathematical Society, 7,48-50.
Lance G.N., \Villiams W.T., (1967), A generaI the01Y of classification sorting
strategies: I: Hierarchical systems II Cfustering systems, The Computer Journal, 9-10,
373-380,271-277.
Lapointe F.l., Legendre P., (1991), The generation of random uflrametric matrices
representing dendrograms, Journal ofClassification, 8, 177-200.
Le Calvé G. (1986), Distance à centre, Statistique et Analyse des données.
Le Calvé G., (1987), Ll -embedding ofa data structure (I, d), in Statistical Data Analysis
based on the LcNorm and related methods, (Y.Dodge ed.), North Holland,
Amsterdam, 195-202.
113

- Bibliografia -
Murtagh F.D., (1994), Hierarchical regionalization and cartography clustering,
Pattern Recognition (in pubblicazione).
Neumann D.A, (1983), Faithfulconsensus method for n-tl'ees,·Mathematica!
Biosciences, 63, 271-287.
Penuchet C., (1983), Classification sous contl'aintes de contiguité continue, Acte de la
Societé Francophone de Classification, IRISA Report n. 162, 192-207, Rennes, France.
Prim RC. (1957), Shortest connection networks and some generalizations, Beli System
Technical Journal, 36, 1389-1401.
Rammal R., Toulouse G., Virasoro M.A, (1986), Ultrametricity for physicists, Reviews
ofModern Physics, 58, 765-788.
Rizzi A, (1987), Measure ofdistance and dissimilarity, in Methodsfor Mullidimensional
Data Analysis, ECAS, C.Lauro e E.Fichet eds., Dip. Matematica e Statistica,
Università "Federico II" di Napoli.
Rizzi A, (1991), Analisi 4ei dati, La Nuova Italia Scientifica.
Rbbinson W.S., (1951), A methodfor chronological ordering ofarcheological deposits,
American Antiquity, J!.6, 293-301.
Roux M. (1986), Représentation d'une distance par un arbre aux aretes additives, in
Data Analysis andInformatics IV, Diday editor.
Roux M., (1985), Algorithmes de classifications, Masson, Paris.
Rubin l, (1967), Optimal:classification into groups: an appl'oach for solving the
taxonomy problem, Journal of TheoreticalBiology, 15, 103-144.
Schikhof, W.H., (1984), Ultrametric calculus, Cambridge University Press; London.
Shepard R.N., (1962), Analysis of proximitlés: Multidimensional scaling with an
UnlmOlfJn distance fimction, Psychometrika, 27, 125-140,219-246.
Soleal R.R. e Michener C.D., (1958), A statistical method for evaluating systematic
l'elationship, University ofKansas Science Bullettin, 38, 1409-1439.
Sokal R.R e RohlfF.J., (1962), The comparison ofdendro[iams by objective methods,
Taxonomy, 11, 33-40.
Soleal R.R. e Sneath P.H.A, (1963), Princip!es ofNumerical Taxonomy, Freel1lan.
S0rensen T., (1948), A method far establishing gl'oups of equal amplitude in p/ant
sociology based on similal'ity ofspecies contents and its application to analyses ofthe
vegetation 017 Danish commons,Biologica! Skrifter, 5, 1-34.
Sriram N. (1990), Clique optimization: a method to construct parsimonious ultrametric
treesfrom similal'ity data, Journal ofClassification, 7, 33-52.
Stinebrickner R, (1984), S-consensus trees and indices, Bull. Math. BioI., 416, 923-935.
Tamura S., Higuchi S., Tanalea K., (1971), Pattem classification based on fuzzy
relations, IEEE Trans. Syst. Man Cybern., SCM-1, 61-66.
115

- Bibliografia -
Tilton lC., (1990), .Jmage segmentation by iterative region growing, Iriformation
Systems NewsIetter, 50-52.
Torgerson W.S., (1958), Theory and methods ofscaling, Wiley, New York.
Tversky A. (1977), Features ofsimilarity, PsychoIogicaI Review, 84, 327-352.
Vach W., (1984), Presen1ing consensus hierarchies, Journal ofClassification, 11, 59-77.
Van Cutsem B. (1984), Ultrametriques supérieures minimales et algorithme du "lien
compIettI; in Actes des j01f1'17ées de classification de la Grande Motte, C. Perruche!
ed, Paris, CNETe SFC.
Van Clitsem B.; Benkaraache T., (1993), Comparisons ofhierarchical classifications,
Fourth Conference ofthe !FCS, Paris, 31/8-04.09.1993, abstract.
Van Cutsem B., Flajolet P., Zimmerman P., (1993), A calculus for the random
generation oj combinatorial structures, Rapport de Recherche n.1830, INRIA,
Rocquencourt, France.
Vichi M., (1994), Un algoritmo per il consenso tra le classificazioni con l'ausilio di
tecniche multiway, Atti della XXXVII Riunione Scientifica della Società Italiana di
Statistica, 2, 261-268.
Ward J.H., (1963), Hierarchical grouping to optimize an objective function, Journal of
the American Statistical Association, 58, 236-244.
Webster R, Burrough P.A., (1972), Computcr-based soi! mapping ojsmall areasjrom
sample data. II Classification sl11oothing, Journal ofSoiI science, 23, 222-234.
Yao A.C., (1975), An O(IElloglvl) algorithm for finding millimum spalllling trees,
Information Processing Letters, 4,'21-23.
Zani S., (1978), Metodo step-'wise per la scelta delle variabili nell'analisi
classificatoria, Atti Seminario su due temi di analisi statistica multivariata, Pubbl. a
cura dell'Università degli Studi di Padova, Bressanone.
Zani S., (1993), Classificazione di unità territoriali e spaziali, in "Metodi Statistici per
le analisi territoriali", 93-121, Franco Angeli, Milano.
H6

STAMPATO CON IL MUL TlLlTH DEL DIPARTIMENTO DI
STATISTICA, PROBABILITA' E STATISTICHE APPLICATE
Universita' di Roma "La Sapienza"
Capo Centro Stampa - FRANCESCHETTI Orfeo
Agenti di Stamperia - MAZZOLI Mario
PAGANUCCI Giuseppe