Le distanze ultrametriche - Sapienza

-Modello euclideo edLr
Il luogo geometrico··è rappresentato dalla figura disegnata con tratto continuo: gli
archi di circonferenza (di raggio AB e con centro una in A e l'altra in B) individuano i
punti che con AB lato, formano un triangolo isoscele; ciascuno dei due punti C e C'
forma con AB un triangolo equilatero e le due semirette con origine in C e in Cf,
perpendicolari ad AB, indicano i punti che formano un triangolo isoscele di cui AB è la
base (di lunghezza inferiore ai lati). Per individuare quindi sul piano euclideo un punto in
modo da soddisfare la disuguaglianza ultrametrica rispetto a due assegnati, è necessario
sceglierlo tra quelli delle precedente figura evidenziata.
Per scegliere un quarto punto, sempre mantenendo il vincolo ultrametrico,
supponendo di avere fissato tre punti A, B e C del piano in configurazione ultrametrica,
si considerino a due a due i tre punti A, B e C assegnati e si costruisca per ciascuna
coppia un luogo geometrico costituito dagli archi di circonferenza e le due semirette
come visto sopra (fig. 3).
Figura 3
L'intersezione dei tre luoghi geometrici così individuati è costituita dagli stessi tre
punti iniziali A, n e C. Il quarto punto deve allora necessariamente coincidere con uno di
essi, producendo almeno una coppia di ultrametriche con lo stesso valore. Come prevede
il Teorema di Holman, dati 11 = 4 punti "ultrametrici", per avere un insieme di
ultrametriche tutte distinte la dimensione minima dello spazio euclideo in cui è possibile
rappresentarli è n-l = 3, e quindi dal piano è necessario passare allo spazio euclideo
tridimensionale; la figura che si ottiene è quella di un tetraedro le cui facce sono dei
triangoli equilateri o isosceli con base inferiore ai lati (fig. 4).
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