Le distanze ultrametriche - Sapienza

-Le origini-
innovative ed inaspettate, che per molti anni rimasero inutilizzate. Quando nel 1906
Fréchet introdusse le prime nozioni di spazio metrico, Hensel pensò di introdurle
sull'insieme dei numeri p-adici.
Per definire una funzione di distanza, la prima tappa consisteva nel definire per Qp
l'analogo del valore assoluto definito sul campo dei reali; per ogni a €E Qp, viene definito
il valore assoluto p-adico: ,
.. dove h è la più alta poteJ;lza di p che divide a. E' facile verificare come tale valore
assoluto soddisfi tutte le proprietà del valore assoluto classico (Dieudonné, 1960):
i)lalp=o a=O,
ii) labl p= lal pIbl p ,
iii) la+bl p :::; lal p +Iblp'
Nel caso dell'usuale valore assoluto Ixl = max(x,-x)e si ha Ix + xl> Ix I, se x:;é: 0, che
costituisce in Matematica il Principio di Archimede. Poiché il valore assoluto p-adico
verifica inoltre la seguente proprietà:
la+bl :::; max(lal ,Ibl ),
p . p p
più restrittiva della disuguaglianza iii), avremo:
violando il Principio di Archimede; il valore assoluto p-adico è per questo detto 110n
archimedeo (o ullrametrico).
2.4 La distanza p-adica
Per mezzo del valore assoluto p-adico, Hensel definì quindi la distanza p-adica, che
associa ad ogni coppia di numeri p-adici un reale non negativo:
Grazie alle proprietà del valore assoluto p-adico, Hensel dimostrò che la distanza p-adica
non solo verifica tutte le proprietà di una metrica, ma anche la seguente disuguaglianza:
dp(a,c):::; max[dp(a,b),dib,c)],
introducendo la disuguaglianza in seguito definita ultrametrica.
12