Le distanze ultrametriche - Sapienza

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-Introduzione- proposito, un ringraziamento particolare è diretto al Professor Ludovico Piccinato che, come coordinatore del corso di dottorato, ha stimolato e sostenuto noi dottorandi a migliorare il nostro lavoro di formazione e di ricerca. 9
2.1 Introduzione CAPITOLO 2 LE ORIGINI DELLA DISTANZA ULTRAMETRICA Per comprendere In maniera più precisa gli elementi innovativi della distanza ultrametrica è opportuno risalire alle sue origini e quindi studiare il suo sviluppo in Matematica. Questa distanza è all'origine dell'analisi p-adica ed è sorta dall'esigenza di voler sostituire l'usuale cainpo dei numeri reali R e dei numeri complessi C con un campo più generale K, dotato di una funzione confrontabile con l'usuale valore assoluto. L'esistenza della disuguaglianza ultrametrica (anche detta disuguaglianza triangolare forte) permette di considerare concetti familiari come la continuità, la differenziabilità, lo sviluppo in serie, l'integrazione, etc. con "deviazioni" interessanti da quanto succede nell'analisi classica su R o C. Questo capitolo ripercorre il cammino fatto da Hensel per introdurre il vincolo ultrametrico e fornisce alcune indicazioni generali sul suo sviluppo successivo in Matematica. E' interessante rilevare come la prima disciplina diversa dalla Matematica in cui la distanza ultrametrica è stata utilizzata è proprio la Statistica, dove ha trovato ottimale applicazione la particolare conformazione dello spazio dotato di tale distanza (cfr. capitolo 3). I progressi conseguiti in 'Statistica hanno dato impulso al diffondersi delle <strong>ultrametriche</strong> anche nella Fisica statistica, in Biologia e nella Teoria della ottimizzazione (Rammal, Toulouse, Virasoro, 1986), confermando l'importanza di uno studio interdisciplinare. 2.2 I numerip-adici Nel 1897 Kurt Hensel, ispirandosi al lavoro fatto nell'ambito della Teoria dei Numeri dal suo maestro Kronecker, introdusse la nozione di numeri p-adici. Sviluppando le ricerche di Kummer e Dedekind sulla fattorizzazione di un numero primo razionale, Hensel considerò la seguente espressione: 00 ±Laipi, O::;'ai ::;'p-l, i=O dove p è un numero primo ed i coefficienti ai sono interi naturali. Que.sta sene rappresenta un numero intero x se '( d '+1) w' X == ao+a 1P+....+a,p mo p ,v l.
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