Elementi di meccanica dei materiali e metallurgia - Matematicamente.it

“Elementi di meccanica dei materiali e metallurgia” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com
Imponendo:
⎧σ1
= σ x
⎨
⎩σ
2 =−p
dal criterio di Von Mises (fig. 3.3) si ha:
[5.5.11]
ζ 2⋅3 σ1− σ2 = = σY
1,155⋅σ
Y
2 3
da cui:
[5.5.12]
ζ
σ x + p =
2
Dalla sostituzione di p nella [5.5.10] si ottiene l’equazione differenziale:
[5.5.13]
dσ x
dh
= −
⎛ζ⎞ h
σx + ⎜ −σx⎟⋅ ( 1+
Bplug)
⎝ 2 ⎠
che sviluppata diventa:
[5.5.14]
dσ x
dh
=
ζ
σ x ⋅Bplug − ⋅ ( 1+
B
h
plug )
2
[5.5.15]
Per risolvere questa equazione differenziale è sufficiente integrare ambo i membri, quindi:
dσ x
dh
∫ =
ζ ∫
σ x⋅Bplug − ⋅ ( 1+
B
h
plug)
2
e si ottiene:
[5.5.16]
1
Bplug
⎛ ζ ⎞
⋅ln ⎜σx⋅Bplug − ⋅ ( 1+ Bplug) ⎟=
ln h+
kost
⎝ 2 ⎠
[5.5.17]
Applicando le proprietà elementari dei logaritmi a questa equazione, si giunge alla forma:
ζ
Bplug
σ x ⋅Bplug − ⋅ ( 1+
Bplug ) = kost⋅ h
2
[5.5.18]
Per determinare la costante di integrazione kost , si deve operare dalle condizioni di
ingresso del tubo da trafilare; si assume:
⎧h=
hb
⎨
⎩σx
= σxb
= 0
[5.5.19]
Sostituendo le condizioni, indicate nella [5.5.19], nell’equazione [5.5.18] si determina la
costante di integrazione kost :
ζ −B
( 1 )
kost =− ⋅
2
+ Bplug ⋅ hb
plug
[5.5.20]
Per cui la [5.5.18] può riscriversi come:
Bplug
2⋅σ
1+
B ⎛
x
plug ⎛ h ⎞ ⎞
= ⋅⎜1−⎜ ⎟
ζ B ⎜
⎟
plug h ⎟
⎝ ⎝ b ⎠ ⎠
[5.5.21]
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