Capitolo 2 Codifica del segnale vocale - InfoCom

4 CAPITOLO 2. CODIFICA DEL SEGNALE VOCALE
Rate Distortion function
Nel contesto della Teoria dell’informazione, la Rate distortion function si definisce come la minima informazione
mutua media fra X e la sua rappresentazione ˜X = Q(X), sotto il vincolo che la distorsione media sia inferiore o
al piú uguale a D, ovvero
R(D) def
= min
Q, E{d(x,˜x)}≤D I(X, ˜X) =H(X) − H(X| ˜X)
dove H(X) ha il significato di entropia nel caso di variabile aleatoria X discreta e di entropia differenziale nel
caso di variabile aleatoria X continua. Per funzione di distorsione quadratica d(x, ˜x) =(x− ˜x) 2 , la rate distortion
function di una variabile aleatoria Gaussiana di varianza σ2é data da:
⎧
⎪⎨ 1
Rg(D) = 2
⎪⎩
log2( σ2 x
D ) D ≤ σ2 x
0 D ≥ σ 2 x
La Rg(D) rappresenta un upper-bound per la R(D) di una v.a. di varianza σ2 . D’altro canto, é possibile derivare
anche lo Shannon Lower Bound
R(D) ≥ H(X) − 1
2 log2 (2πeD)
Lo studio puó essere esteso al caso di N v.a. Gaussiane indipendenti di varianza σ2 n,n=0,...N− 1. In tal caso,
la R(D) congiunta assume la forma:
Rg(θ) =
max 0, 1
2 log2( σ2 n
θ )
n=0,N−1
Dg(θ) =
n=0,N−1
min σ 2 n,θ)
Analoghe argomentazioni possono essere applicate a processi aleatori Gaussiani. Infatti, per il Teorema di Rappresentazione
spettrale, un processo aleatorio stazionario Gaussiano a valor medio nullo e di densitá spettrale di
potenza Px(ejω ) puó essere rappresentato come sovrapposizione di processi Gausssiani indipendenti nelle diverse
bande di frequenza, e si ha
Rg(θ) = max 0, 1
2 log Px(e
2
jω
)
dω
θ
Dg(θ) = min Px(e jω ),θ dω
2.2 Quantizzatore di Lloyd-Max, codifica PCM e ADPCM
La quantizzazione dei valori di ampiezza del segnale introduce una distorsione media che dipende non solo dal numero
di bit per campione ma anche dalla modalitá di assegnazione del valore di ampiezza ai livelli discreti ammissibili,
ovvero alla scelta degli intervalli di quantizzazione del segnale.
Supponiamo che la distorsione sia misurata da una funzione quadratica, e che ciascun campione sia rappresentato
da b =log2Lbits. Siano qk,k=0, ···L − 1 i valori di ampiezza assumibili dalla variabile quantizzata ˜x e θk,k=
0, ···L gli estremi dei corrispondenti L intervalli di decisione del quantizzatore. Il quantizzatore ottimo secondo il