Capitolo 2 Codifica del segnale vocale - InfoCom

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10 CAPITOLO 2. CODIFICA DEL SEGNALE VOCALE Figura 2.6: Principio di ortogonalitá. mente calcolati risolvendo il sistema ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ Rx[0] ⎢ Rx[1] ⎢ ⎣ Rx[−1] Rx[0] . .. ··· ··· . .. Rx[−P ] 1 PE ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Rx[1 − P ] ⎥ ⎢a1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ . ⎦ ⎣ . ⎥ ⎢ . ⎦ ⎣ . ⎥ ⎦ Rx[P ] Rx[P − 1] ··· Rx[0] 0 aP (2.2.4) La soluzione delle equazioni (2.2.4), dette di Yule-Walker, conduce alla determinazione del predittore lineare ottimo nel senso dell’errore quadratico medio2.5 . Osserviamo che la particolare struttura della matrice di autocorrelazione, che risulta di Toeplitz ed Hermitiana, consente l’adozione di algoritmi veloci per la soluzione del sistema, e rende tale approccio utilizzabile anche in applicazioni in tempo reale. Nello schema DPCM, la potenza dell’errore risultante su ˜xn eguaglia la potenza dell’errore di quantizzazione osservato sulla variabile ˜en 2.6 . D’altro canto l’errore di predizione en, pur avendo dinamica nominalmente maggiore di quella di xn, ha tipicamente potenza minore di quella di xn, epuóessere quantizzato con tecnica PCM utilizzando, a paritá di distorsione, un minor numero di bit. Tale approccio é seguito nella codifica Adaptive Differential PCM descritta nella Raccomandazione ITU-T G.726. In tale Raccomandazione, i coefficienti del predittore sono ricavati in modo adattativo a partire dalla sequenza dei valori ricostruiti ˜xn. Il quantizzatore utilizza una rappresentazione a 4 bit. Inoltre esso presenta livelli di quantizzazione distribuiti in modo non uniforme; gli intervalli di quantizzazione sono variabili in funzione della velocitá 2.5 A titolo di esempio si osservi che per il predittore ottimo di ordine 1 risulta a1 = −Rx[1]/Rx[0], ovvero ˆxn = Rx[1]/Rx[0] ∗ xn. 2.6 Infatti, en − ˜en = xn − ˆxn − ˜en = xn − (ˆxn +˜en) =xn − ˜xn
2.3. CODIFICA BASATA SU MODELLI 11 di variazione del segnale di errore ˜en. Si osservi che le regole per l’adattamento del predittore e del quantizzatore dipendono da quantitá note al decodificatore e non necessitano della trasmissione di ulteriore informazione. Il bit-rate risultante per questo tipo di codifica édi32Kb/s. Predizione e Stima Ottima Il problema della predizione lineare si inquadra nel problema piú generale della stima lineare di un segnale yn a partire da un insieme di osservazioni xn secondo il criterio del minimo errore quadratico medio. In tale scenario, la stima lineare é realizzata mediante filtraggio ottimo, nel senso che i coefficienti fn del filtro che realizza la stima sono ricavati in modo che la distanza quadratica media fra la stima ˆyn = i fixn−i disponibile all’uscita del filtro e il segnale yn che si vuole ricostruire sia minima. Sia S il supporto (finito o infinito numerabile) su cui é diverso da zero il filtro che realizza la stima. I coefficienti del filtro ottimo sono quelli che minimizzano C def =E (yn − ˆyn) 2 =E (yn − fixn−i) 2 =E y 2 n + fifkxn−ixn−k − 2 i∈S ovvero quelli che annullano ⎧ ∂C ⎨ =0=E 2 ∂fm ⎩ k∈S,k=m i∈S k∈S fkxn−mxn−k +2fmxn−mxn−m − 2ynxn−m In altre parole il filtro ottimo verifica la relazione fkRx[m − k] =Ryx[m] k∈S ⎫ ⎬ ⎭ i∈S fiynxn−i Per questa scelta del filtro, l’errore (yn − ˆyn) é ortogonale in senso statistico, ovvero incorrelato, alle osservazioni: E {(yn − ˆyn)xn−m} =E ynxn−m − = Ryx[m] − fkRx[m − k] =0 k∈S fkxn−kxn−m Ció sipuóinterpretare geometricamente osservando che la stima lineare (appartenente, cioé, al sottospazio delle osservazioni) ottima nel senso dell’errore quadratico medio, é quella per cui l’errore é ortogonale al sottospazio delle osservazioni (Principio di Ortogonalitá). Tale criterio di stima ottima é di rilevante interesse in diverse applicazioni, quali l’equalizzazione di segnale, il restauro di immagini sfocate, l’interpolazione o estrapolazione di serie aleatorie. Un caso particolare di stima ottima lineare é quello in cui lo spazio delle osservazioni é costituito da P campioni di una serie aleatoria xn−1, ···,xn−P ed il segnale che si desidera stimare é il campione attuale della serie, xn. In tal caso, il problema di stima prende il nome di predizione lineare; infatti, ponendo S = {1, 2 ...P}, Ryx[m] =Rxx[m] e aggiungendo l’equazione per il calcolo della potenza dell’errore di predizione, le equazioni normali coincidono con le sopra esposte equazioni di Yule Walker. 2.3 Codifica basata su modelli La codifica basata su modelli scaturisce da due ordini di considerazioni. k∈S
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