Capitolo 2 Codifica del segnale vocale - InfoCom

2.3. CODIFICA BASATA SU MODELLI 11
di variazione del segnale di errore ˜en. Si osservi che le regole per l’adattamento del predittore e del quantizzatore
dipendono da quantitá note al decodificatore e non necessitano della trasmissione di ulteriore informazione. Il bit-rate
risultante per questo tipo di codifica édi32Kb/s.
Predizione e Stima Ottima
Il problema della predizione lineare si inquadra nel problema piú generale della stima lineare di un segnale yn a
partire da un insieme di osservazioni xn secondo il criterio del minimo errore quadratico medio. In tale scenario, la
stima lineare é realizzata mediante filtraggio ottimo, nel senso che i coefficienti fn del filtro che realizza la stima
sono ricavati in modo che la distanza quadratica media fra la stima ˆyn =
i fixn−i disponibile all’uscita del filtro
e il segnale yn che si vuole ricostruire sia minima. Sia S il supporto (finito o infinito numerabile) su cui é diverso
da zero il filtro che realizza la stima. I coefficienti del filtro ottimo sono quelli che minimizzano
C def
=E (yn − ˆyn) 2
=E (yn −
fixn−i) 2
=E y 2 n +
fifkxn−ixn−k − 2
i∈S
ovvero quelli che annullano
⎧
∂C
⎨
=0=E 2
∂fm ⎩
k∈S,k=m
i∈S k∈S
fkxn−mxn−k +2fmxn−mxn−m − 2ynxn−m
In altre parole il filtro ottimo verifica la relazione
fkRx[m − k] =Ryx[m]
k∈S
⎫
⎬
⎭
i∈S
fiynxn−i
Per questa scelta del filtro, l’errore (yn − ˆyn) é ortogonale in senso statistico, ovvero incorrelato, alle osservazioni:
E {(yn − ˆyn)xn−m} =E ynxn−m −
= Ryx[m] −
fkRx[m − k] =0
k∈S
fkxn−kxn−m
Ció sipuóinterpretare geometricamente osservando che la stima lineare (appartenente, cioé, al sottospazio delle
osservazioni) ottima nel senso dell’errore quadratico medio, é quella per cui l’errore é ortogonale al sottospazio
delle osservazioni (Principio di Ortogonalitá).
Tale criterio di stima ottima é di rilevante interesse in diverse applicazioni, quali l’equalizzazione di segnale, il
restauro di immagini sfocate, l’interpolazione o estrapolazione di serie aleatorie. Un caso particolare di stima ottima
lineare é quello in cui lo spazio delle osservazioni é costituito da P campioni di una serie aleatoria xn−1, ···,xn−P
ed il segnale che si desidera stimare é il campione attuale della serie, xn. In tal caso, il problema di stima prende il
nome di predizione lineare; infatti, ponendo S = {1, 2 ...P}, Ryx[m] =Rxx[m] e aggiungendo l’equazione per
il calcolo della potenza dell’errore di predizione, le equazioni normali coincidono con le sopra esposte equazioni di
Yule Walker.
2.3 Codifica basata su modelli
La codifica basata su modelli scaturisce da due ordini di considerazioni.
k∈S