ANALISI DELLO SHIMMY NEI CARRELLI DI ATTERRAGGIO - AIAS

ASSOCIAZIONE ITALIANA PER L’ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI
XXXIV CONVEGNO NAZIONALE — 14–17 SETTEMBRE 2005, POLITECNICO DI MILANO
ANALISI DELLO SHIMMY NEI CARRELLI DI ATTERRAGGIO
Giovanna Girini, Marco Sasso
Università Politecnica delle Marche - Dipartimento di Meccanica
Sommario
Con il termine “shimmy” si indicano le oscillazioni instabili che frequentemente si osservano nei
carrelli aeronautici durante la fase di rullaggio. Le ragioni per cui queste vibrazioni si originano
spontaneamente e si auto amplificano sono da imputare al moto stesso del sistema e dipendono dalle
interazioni fra pneumatico e suolo, nonché dai parametri progettuali del carrello e dalla velocità
dell’aeroplano sulla pista.
A causa di queste oscillazioni il carrello risulta sollecitato a pericolosi fenomeni di usura e fatica,
che possono arrivare a provocare seri danneggiamenti strutturali.
In questo lavoro è stato analizzato il fenomeno dello shimmy relativamente al carrello anteriore a
ruota singola di piccoli aeromobili per il trasporto civile.
I parametri progettuali del carrello e le caratteristiche meccaniche del pneumatico sono stati messi
in relazione per ricavare il modello dinamico del sistema. Questo modello è stato analizzato dapprima
tramite uno studio agli autovalori e successivamente mediante integrazione numerica.
Dall’analisi lineare si ottengono mappe di stabilità che permettono di capire qual è la tendenza
dello shimmy al variare dei parametri in gioco. Con l’integrazione numerica invece è possibile
includere le non linearità del sistema e ottenere i cosiddetti cicli limite.
Abstract
Shimmy is a summarizing term for the torsional flutter phenomenon of aircraft landing gears. The
reason for such unstable vibrations is connected to the motion of the system itself and depends on
factors like the interactions between tire and ground, the landing gear design parameters and the
aircraft taxiing speed.
Due to these self-excited oscillations, the landing gear is stressed by dangerous phenomena of wear
and fatigue, which can lead to serious damages.
In this work, a shimmy analysis of small aircraft nose landing gears has been carried out.
Design parameters and tire mechanical properties have been related in order to develop the
dynamic model of the system. This model has been analysed by means of eigenvalues method and
numerical integration.
Stability boundaries, which are useful to evaluate the tendency of the shimmy, are obtained with
the linear analysis. By numerical integration, which allows to take the system nonlinearities into
account, limit cycles can be recorded.
Parole chiave: shimmy, carrelli di atterraggio, cicli limite.
Corresponding author: Giovanna Girini; Tel.: 071.220.4440; Fax.: 071.220.4801; E-mail: g.girini@univpm.it

1. INTRODUZIONE
XXXIV CONVEGNO NAZIONALE AIAS – MILANO, 14-17 SETTEMBRE 2005
Il fenomeno dello shimmy affligge anche attrezzature di uso quotidiano, quali sedie a rotelle, carrelli
per la spesa, carrelli portavivande, passeggini, ovvero tutti quei dispositivi in cui è presente una ruota,
collegata ad un asse, o pivot, e libera di ruotare intorno ad esso (caster wheel).
Se al pivot viene impresso un moto orizzontale, mentre la ruota viene fatta rotolare a terra, accade
che quest’ultima può assumere un moto oscillatorio del tutto spontaneo attorno al pivot stesso.
Nei carrelli di atterraggio degli aeroplani, questa instabilità può essere causa di rotture importanti, e
pertanto è compito dei progettisti far si che il fenomeno non si verifichi o quanto meno non arrivi a
compromettere il buon funzionamento del carrello.
Tuttavia, non si è ancora giunti ad una teoria definitiva che spieghi con chiarezza l’insorgere dello
shimmy e quali misure adottare per contrastarlo efficacemente. Infatti, nel corso degli anni, sono state
avanzate varie teorie sul fenomeno, eppure inoltrarsi nel problema non risulta affatto semplice in
quanto le variabili in gioco, quali rigidezze dei vari componenti, attriti fra le parti meccaniche,
interazioni pneumatico – suolo, sono numerose e spesso difficili da definire e misurare.
Un modo per contrastare il fenomeno è quello di montare sul carrello il cosiddetto shimmy damper,
una sorta di pistoncino - idraulico o elastomerico - in grado di fornire lo smorzamento necessario per
annullare, o quanto meno ridurre, le vibrazioni. Questi dispositivi migliorano le condizioni di stabilità,
ma non eliminano comunque le cause del disturbo, che devono essere ricercate studiando la natura
stessa del sistema, ovvero la struttura del carrello e le sue interazioni con il suolo attraverso il
pneumatico.
Lo studio qui presentato è stato condotto in collaborazione con la Mecaer Meccanica Aeronautica
S.p.a., azienda produttrice di carrelli aeronautici.
2. MODELLO MECCANICO DEL PNEUMATICO
Non c’è dubbio che lo shimmy sia enormemente influenzato dalle forze che il suolo trasmette alla
ruota attraverso il pneumatico. Queste reazioni si generano nella zona in cui la gomma è a contatto con
il terreno e possono essere ridotte a semplici forze e momenti.
La teoria di riferimento, da cui si è partiti per capire quali fossero queste interazioni, è la cosiddetta
teoria del punto di contatto, adottata anche da de Carbon [1] e Moreland [2] nei loro primissimi studi
sul fenomeno dello shimmy.
2.1. Rigidezza laterale e torsionale
Si consideri una ruota ferma, sulla quale agisce una forza Ft applicata nel centro della ruota stessa
parallelamente al suo asse di rotazione, cioè perpendicolarmente al suo piano.
Sotto l’azione di questa forza, il pneumatico a contatto con il suolo si deforma senza slittare,
almeno finché non viene superato il limite di aderenza, opponendosi con una forza pari e contraria a
Ft, mentre il resto della ruota subisce uno spostamento trasversale pari a ∆ . Indicando con kL la
rigidezza laterale del pneumatico, risulta:
F k ∆
1
t = L
Al posto di Ft, si supponga adesso di esercitare sulla ruota, sempre ferma, un momento M. Ad opera di
questa sollecitazione, la ruota tende a ruotare di un certo angolo θ , mentre la porzione di pneumatico
a contatto con il terreno si oppone alla rotazione con un momento pari e contrario a M. Indicando con
µ la rigidezza torsionale del pneumatico, si ottiene:
M = µθ
2

2.2. Deriva
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Si consideri nuovamente il caso in cui agisca la forza Ft e si supponga che stavolta la ruota, anziché
essere ferma, rotoli sul terreno. Come prima, è ancora presente lo spostamento trasversale ∆ ; in più si
nota che la traiettoria seguita dalla ruota non è contenuta nel suo piano, come sarebbe senza l’azione
della forza, ma forma con esso un angolo α , detto angolo di deriva.
Ciò significa che il moto della ruota, oltre ad avere una componente passante per il suo piano, ha
una componente anche in direzione ortogonale. Questo fenomeno si verifica senza che ci sia alcuno
slittamento laterale e può essere spiegato nel seguente modo.
Prima di tutto si schematizzi il pneumatico, con un infinito numero di molle montate radialmente,
dotate di elasticità verticale, laterale e torsionale. Quando la forza Ft è applicata alla ruota ferma,
quest’ultima subisce lo spostamento ∆ come risultato della deformazione laterale delle n molle a
contatto con il terreno: la risultante delle reazioni esplicate dalle molle bilancia esattamente la forza Ft.
Ora, quando la ruota viene posta in rotazione, e la molla n+1 tocca il terreno, il suo punto di
contatto non è più allineato con i punti di contatto delle molle precedenti, ma spostato lateralmente
della quantità ∆ . Inoltre, mentre la molla n+1 entra in contatto, contemporaneamente la prima molla
della serie si stacca dal terreno, per cui cessa istantaneamente di esercitare la sua parte di reazione per
bilanciare Ft, la quale però, non viene ripristinata dalla molla n+1 perché questa risulta ancora scarica
al momento del contatto.
La somma delle tensioni esercitate dalle molle non bilancia più la forza Ft e dunque si verifica un
ulteriore spostamento laterale della ruota pari a ∆ . In questo modo, anche la molla n+2, che appoggia
sul terreno subito dopo, avrà il suo punto di contatto spostato di ∆ rispetto al punto di contatto della
molla n+1.
Questo processo si ripete ogni volta che una molla entra in contatto e un’altra lo lascia; ecco quindi
come l’elasticità del pneumatico può spiegare fenomeni di deriva in assenza di slittamento.
Introducendo il coefficiente di deriva c della gomma, si può scrivere:
F t
α
= 3
c
che esprime la relazione di proporzionalità tra la forza Ft e l’angolo di deriva. Il coefficiente di deriva
c dipende dal carico verticale FZ agente sul pneumatico secondo la relazione [3-4]:
1
c = 4
cSFZ
dove cS è il coefficiente di rigidezza in sterzata ed è un valore costante legato al tipo di pneumatico.
2.3. Momento auto-allineante
All’analisi fatta finora manca però un importante fenomeno che accompagna la deriva, ovvero
l’insorgere di un momento torcente dovuto al fatto che la reazione del pneumatico alla forza Ft non è
allineata con quest’ultima, ma è spostata verso il retro della ruota di una quantità σ.
Ciò dipende dal fatto che la tensione esercitata dal punto del pneumatico appena entrato in contatto
con il terreno - head point - è praticamente nulla, mentre è massima per il punto in procinto di
abbandonare il suolo - tail point. Per questo motivo, la distribuzione delle tensioni è di tipo lineare e la
risultante che equilibra esattamente la Ft ha il suo punto di applicazione situato a 2/3 dall’head point
lungo la linea di contatto.
Indicando con σ la distanza tra il punto di applicazione di Ft e quello della reazione opposta dal
pneumatico, risulta che la ruota è soggetta ad un momento torcente che tende ad orientare la ruota
stessa nella vera direzione dello spostamento, ovvero a ridurre spontaneamente l’angolo di deriva.
Tale momento è detto auto-allineante e può essere scritto come:

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M Fσ
= µα
5
t = t
In virtù della particolare natura dei pneumatici, anche la rigidezza torsionale non è costante, ma è
funzione del carico verticale [3] come succede per il coefficiente di deriva; si ha:
µ = µ F
6
0
Z
in cui anche µ0 è un coefficiente costante dipendente dal tipo di pneumatico.
2.4. Tread damping moment
Un altro aspetto legato al pneumatico, è lo smorzamento prodotto dalla porzione di gomma a contatto
con il suolo. Questa azione dà luogo ad un momento detto tread damping moment la cui espressione,
trovata in letteratura [3], è:
C TREAD
K4
= ψ&
7
V
dove K 4
2
= 0.
15a
cS
FZ
, essendo a la semi-lunghezza dell’impronta (parametro dipendente dalla
pressione di gonfiaggio).
3. ANALISI LINEARE E MAPPE DI STABILITA’
L’analisi dello shimmy è stata intrapresa su un modello semplificato di carrello, avente pivot verticale
e forcella ortogonale al pivot (fig. 1). Il carrello si muove alla velocità V e la ruota è libera di oscillare
intorno al pivot. Sul carrello grava il carico verticale - FZ - che si trasferisce al pneumatico e lo
mantiene schiacciato al terreno; la forza Ft e il momento auto-allineante agiscono in modo da esaltare
il fenomeno di shimmy.
asse di rotazione
L
V
x
αα
ψ
L
µα µα
F t
Figura 1: Vista frontale e superiore del carrello e carichi agenti
C ψ& ψ&
Si indichi con ψ l’angolo di shimmy e con L il cosiddetto braccio a terra (caster length); sia inoltre x
la distanza a cui si porta il centro della ruota dalla direzione della velocità per effetto dell’oscillazione.
L’ equazione di equilibrio del carrello intorno al pivot si può scrivere come [5]:
⎛ K4
⎞
I & ψ& + ⎜CD
+ ⎟ψ&
= LFt
+ M
⎝ V ⎠
t
D
V
8

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dove:
• I ψ& & = momento relativo all’inerzia del sistema;
• C Dψ&
= momento di smorzamento viscoso dovuto allo shimmy damper e all’attrito fra le parti
meccaniche;
• LF t = momento generato dalla forza Ft avente braccio L rispetto al pivot di rotazione.
Dal momento che è ragionevole assumere il pivot libero fino ai pedali, l’eventuale coppia di
richiamo elastico - Kψ - dovuta alla rigidezza torsionale K del pivot stesso, è da ritenersi nulla e
pertanto non compare al primo membro dell’equazione 8.
Per quanto riguarda il valore di CD, coefficiente di smorzamento equivalente, è stato assunto un
valore costante suggerito da Mecaer; un valore attendibile per il momento di inerzia del carrello I è
stato stimato in base a dati forniti sempre da Mecaer, tenendo conto sia dell’inerzia dello stelo che di
quella della ruota (si veda Tabella 1).
Secondo la meccanica delle gomme, la forza Ft è legata alla deformazione laterale ∆ subita dal
pneumatico e all’angolo di deriva dalle leggi 1 e 3; in queste equazioni però non compare l’angolo di
shimmy e pertanto è necessario introdurre un’altra relazione per poter correlare le tre variabili ∆, α e
ψ . Si tratta della condizione cinematica di non slittamento laterale del pneumatico, anch’essa
contemplata nella teoria del punto di contatto:
x& + ∆&
+ V sin ψ + V sinα
= 0
9
dove x = Lsinψ
.
Supponendo piccole oscillazioni e piccole deformazioni, la 9 si può linearizzare e scrivere come [5]:
Lψ&
+ ∆&
+ Vψ
+ Vα
= 0
10
Sostituendo la 3 e la 5 nell’equazione del moto 8 si giunge a:
⎛ K4
⎞ L
I & ψ&
+ ⎜C
+ ⎟ψ&
D − α − µα = 0
11
⎝ V ⎠ c
Dall’equazione cinematica 10 si ricava:
∆& = −Lψ&
−Vψ
−Vα
12
Uguagliando le relazioni 1 e 3 e derivando si ottiene:
α = ck ∆&
13
& L
Sostituendo la 12 nella 13 si giunge alla seguente equazione:
& α = ( −Lψ&
−Vψ
−Vα
)
14
ck L
Le relazioni 11 e 14 sono quelle che descrivono la dinamica del sistema nei due gradi di libertà ψ e α.
Si ottiene:
⎡I
⎢
⎣0
0⎤⎧ψ
⎫
⎡
⎢ +
⎨ ⎬ +
0
⎥
⎦⎩α
⎭ ⎢
⎣ ck L
V
&
K
CD
&
L
4
⎤ ⎡
0 ⎧ψ&
⎫
⎥⎨
⎬ + ⎢ 0
1⎥⎩
& α ⎭ ⎢
⎦ ⎣ckLV
L ⎤
− − µ ⎧ψ
⎫ ⎧0⎫
c ⎥⎨
⎬ = ⎨ ⎬
ck V ⎥
⎦
⎩α
⎭ ⎩0⎭
L
15

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che consiste in un set di due equazioni differenziali lineari del secondo ordine che possono essere
risolte per studiare la stabilità del sistema. La soluzione non banale si ottiene imponendo:
⎡
det⎢
⎡I
⎢
⎢
⎣0
⎣
0⎤
⋅
0
⎥ s
⎦
2
⎡
⎢ +
+
⎢
⎣ ck L
V
K
CD
L
che porta all’equazione caratteristica:
4
⎤ ⎡
0⎥
⎢ 0
⋅ s +
1⎥
⎢
⎦ ⎣ckLV
L ⎤⎤
− − µ
c ⎥⎥
= 0
ck V ⎥⎥
L ⎦⎦
3 2
B s + B s + B s + B = 0
17
3
con:
2
1
B 3 = I
K4
B2 = IckLV
+ CD
+
V
⎛ K4
⎞
2
B1 = ⎜CD
+ ⎟ckLV
+ kLL
+ kLcµ
L
⎝ V ⎠
= k VL + ck µ V
B0 L
L
0
Dal momento che i coefficienti dell’equazione caratteristica sono tutti positivi, le soluzioni, se sono
reali, devono necessariamente essere negative; in particolare si possono verificare i seguenti casi:
• 3 radici reali;
• 1 radice reale, più 2 complesse coniugate.
Nel caso di radici reali negative, la soluzione del sistema è di tipo esponenziale convergente. Nel
caso di radici complesse coniugate la soluzione ha l’andamento di un’armonica inviluppata da
un’esponenziale; il segno della parte reale indica se la soluzione è stabile oppure instabile.
I
Tabella 1: Valori di alcuni parametri caratteristici
0.0376 [Kg m 2 ]
CD
2.5 [Nm/s]
kL
130·10 3 [N/m]
L 0.046 [m]
cs
5.8 [rad -1 ]
µ0
0.26 [m/rad]
Fz
5000 [N]
Qui di seguito sono illustrati gli studi sulla stabilità del sistema eseguiti analizzando il segno della
parte reale delle radici dell’equazione caratteristica 17. Le mappe di figura 2 mostrano le zone di
stabilità al variare della velocità di rullaggio e di un parametro caratteristico per volta, assumendo per
tutti gli altri parametri i valori indicati nella Tabella 1. In figura 3, invece, è illustrato l’andamento
della frequenza di oscillazione di shimmy in funzione del braccio a terra e della velocità di rullaggio,
sia per il sistema smorzato che per quello in assenza di smorzamento.
16
18

INSTABILE
STABILE
4. ANALISI NON LINEARE E CICLI LIMITE
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STABILE
INSTABILE
Figura 2: Mappe di stabilità
INSTABILE
INSTABILE
Figura 3: Frequenza di oscillazione di shimmy
STABILE
STABILE
Il modello matematico a cui abbiamo fatto ricorso nella Sezione3 si basa su un’analisi lineare condotta
studiando le radici del polinomio caratteristico. Il vantaggio fondamentale di questo procedimento sta
nella sua relativa semplicità di calcolo e nella possibilità di poter contare su dati, le mappe di stabilità,
che permettono di determinare indicativamente la tendenza dello shimmy al variare dei vari parametri.
Bisogna dire però che un’analisi di questo genere permette di studiare il sistema limitatamente a
situazioni che di poco si discostano dalle condizioni stazionarie, prerequisito fondamentale per
accettare la linearizzazione fatta nel corso dello studio.
Per un’analisi più veritiera dunque, è necessario utilizzare la condizione cinematica di non
slittamento laterale, espressa dalla 9, senza apportare alcuna approssimazione ai termini
trigonometrici. In più, si vuole tener conto anche di altri contributi non lineari essenzialmente legati al
comportamento del pneumatico, che vengono introdotti qui di seguito.

4.1. Non linearità del pneumatico
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La forza laterale Ft e il momento auto-allineante Mt, sono stati assunti, in base alle leggi 1 e 2, funzioni
lineari dell’angolo di deriva; queste relazioni, valide nell’ipotesi di piccole oscillazioni, si modificano
nel caso di un discorso più generale, secondo quanto suggerito in [3]. In particolare si assumono le
seguenti leggi:
• una funzione di saturazione con tratti lineari per la forza laterale, dove δ è l’angolo di deriva limite
considerato pari a 5° (equazione 19), e
• una semi-sinusoide per il momento auto-allineante, dove γ è l’angolo di deriva limite preso pari a
10° (equazione 20):
⎧ Ft
= cS
⋅ FZ
⋅δ
⎪
⎨ Ft
= cS
⋅ FZ
⋅α
⎪
⎩Ft
= −cS
⋅ FZ
⋅δ
per α ≥ δ
per α < δ
per α ≤ −δ
⎧ γ ⎛ 180°
⎞
⎪M
t = µ 0 sin⎜
α⎟
⋅ FZ
⎨ 180°
⎝ γ ⎠
⎪
⎩M
t = 0
4.2. Cicli limite
per α < γ
per α ≥ γ
Come già accennato, la condizione cinematica di non slittamento laterale viene ora utilizzata senza
subire alcuna linearizzazione; pertanto l’equazione 14 in questo caso assume la forma:
& α + L cos ψψ&
+ ck V sinψ
+ ck V sinα
= 0
21
ckL L
L
Come prima, questa relazione viene affiancata all’equazione del moto 9:
⎛ K4
⎞
I & ψ& + ⎜CD
+ ⎟ψ&
= LFt
+ M
⎝ V ⎠
t
in cui ora Ft e Mt hanno le espressioni indicate in 19 e 20.
La 21 e la 9 formano insieme il nuovo set di equazioni differenziali, stavolta non lineari, la cui
risoluzione è stata condotta tramite integrazione numerica, applicando il metodo di Newmark. I calcoli
sono stati effettuati per diversi valori della velocità di rullaggio V, nonché delle condizioni iniziali di
integrazione - ψ0 e α0 - attribuite alle incognite. I casi riscontrati sono di due tipi:
• convergenza: il sistema è stabile, ovvero lo shimmy tende a smorzarsi;
• divergenza - ciclo limite: il sistema presenta una certa instabilità iniziale, in cui l’oscillazione di
shimmy si amplifica, ma poi si stabilizza mantenendosi costante sul valore raggiunto.
I risultati ottenuti vengono mostrati tramite grafici bidimensionali e tridimensionali, che mostrano i
valori assunti istante per istante da ψ ed α.
19
20
9

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Figura 4: Andamento temporale di ψ e α con V = 55 m/s, ψ 0 = 3° e α 0 = -3°
Figura 5: Andamento temporale di ψ e α con V = 30 m/s, ψ 0 = 2° e α 0 = -2°: ciclo limite
Figura 6: Andamento temporale di ψ e α con V = 15 m/s, ψ 0 = 3° e α 0 = -3°
Le figure 4 e 6 si riferiscono a condizioni di funzionamento che nell’analisi lineare risultavano stabili;
in effetti si nota come gli angoli ψ e α, partendo da valori iniziali di 3°, si smorzano nel tempo. Al
contrario, in figura 5 viene illustrata l’evoluzione del sistema a partire da angoli iniziali più piccoli, 2°,
ma con un valore di velocità per la quale nell’analisi lineare si riscontrava instabilità. Anche in questo
caso si conferma la bontà della previsione del metodo agli autovalori, nel senso che l’oscillazione
tende ad amplificarsi, ma invece di crescere in maniera indefinita a un certo punto si stabilizza in
quello che viene definito ciclo limite. Questo aspetto non poteva essere colto tramite l’analisi lineare
in quanto esso è intimamente legato alle non linearità del modello di cui si è tenuto conto solo con
l’integrazione numerica.
7. CONCLUSIONI
Nello studio lineare si è visto che le equazioni del moto sono di tipo esponenziale, convergente o
divergente, e dall’analisi agli autovalori è possibile ricavare le mappe di stabilità che illustrano la
tendenza dello shimmy al variare dei parametri caratteristici. Successivamente si è tenuto conto delle
non linearità e le equazioni del moto sono state risolte tramite integrazione nel tempo. A causa delle
non linearità, la divergenza che si otteneva con l’analisi lineare non si riscontra più, e al suo posto si
nota l’instaurarsi del ciclo limite, la cui ampiezza è un indice della pericolosità della vibrazione di
shimmy.
Si sottolinea il fatto che il comportamento del sistema dipende strettamente dai valori assunti per i
parametri caratteristici, sui quali si può giocare per rendere il sistema più stabile. Nell’integrazione

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numerica, particolare importanza rivestono i valori iniziali attribuiti alle incognite del sistema, una cui
piccola variazione apparentemente insignificante, può generare risultati completamente differenti.
In futuro si pensa di sviluppare modelli di carrello maggiormente realistici in cui tenere conto sia di
geometrie più complesse che di equilibri anche lungo altre direzioni.
BIBLOGRAFIA
[1] de Carbon, C.B., “Analytical study of shimmy of airplane wheels”, NACA TM 1337, 1952;
[2] Moreland, W.J.,“The story of shimmy”, Journal of Aeronautical Sciences, Vol. 21, No 12, 1954,
793-808;
[3] Somieski, G.,“Shimmy Analysis of a Simple Aircraft Nose Landing Gear Model Using Different
Mathematical Methods”, AST 8, 1997, 545-555;
[4] Smith, N. D., “Understanding Parameters Influencing Tire Modeling”, Department of Mechanical
Engineering, Colorado State University;
[5] Collins, R.L., “Theories on the Mechanics of Tires and Their Application to Shimmy Analysis”,
Journal of Aircraft, Vol. 8, No 4, 1971, 271-277.