ANALISI DELLO SHIMMY NEI CARRELLI DI ATTERRAGGIO - AIAS

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4.1. Non linearità del pneumatico XXXIV CONVEGNO NAZIONALE <strong>AIAS</strong> – MILANO, 14-17 SETTEMBRE 2005 La forza laterale Ft e il momento auto-allineante Mt, sono stati assunti, in base alle leggi 1 e 2, funzioni lineari dell’angolo di deriva; queste relazioni, valide nell’ipotesi di piccole oscillazioni, si modificano nel caso di un discorso più generale, secondo quanto suggerito in [3]. In particolare si assumono le seguenti leggi: • una funzione di saturazione con tratti lineari per la forza laterale, dove δ è l’angolo di deriva limite considerato pari a 5° (equazione 19), e • una semi-sinusoide per il momento auto-allineante, dove γ è l’angolo di deriva limite preso pari a 10° (equazione 20): ⎧ Ft = cS ⋅ FZ ⋅δ ⎪ ⎨ Ft = cS ⋅ FZ ⋅α ⎪ ⎩Ft = −cS ⋅ FZ ⋅δ per α ≥ δ per α < δ per α ≤ −δ ⎧ γ ⎛ 180° ⎞ ⎪M t = µ 0 sin⎜ α⎟ ⋅ FZ ⎨ 180° ⎝ γ ⎠ ⎪ ⎩M t = 0 4.2. Cicli limite per α < γ per α ≥ γ Come già accennato, la condizione cinematica di non slittamento laterale viene ora utilizzata senza subire alcuna linearizzazione; pertanto l’equazione 14 in questo caso assume la forma: & α + L cos ψψ& + ck V sinψ + ck V sinα = 0 21 ckL L L Come prima, questa relazione viene affiancata all’equazione del moto 9: ⎛ K4 ⎞ I & ψ& + ⎜CD + ⎟ψ& = LFt + M ⎝ V ⎠ t in cui ora Ft e Mt hanno le espressioni indicate in 19 e 20. La 21 e la 9 formano insieme il nuovo set di equazioni differenziali, stavolta non lineari, la cui risoluzione è stata condotta tramite integrazione numerica, applicando il metodo di Newmark. I calcoli sono stati effettuati per diversi valori della velocità di rullaggio V, nonché delle condizioni iniziali di integrazione - ψ0 e α0 - attribuite alle incognite. I casi riscontrati sono di due tipi: • convergenza: il sistema è stabile, ovvero lo shimmy tende a smorzarsi; • divergenza - ciclo limite: il sistema presenta una certa instabilità iniziale, in cui l’oscillazione di shimmy si amplifica, ma poi si stabilizza mantenendosi costante sul valore raggiunto. I risultati ottenuti vengono mostrati tramite grafici bidimensionali e tridimensionali, che mostrano i valori assunti istante per istante da ψ ed α. 19 20 9
XXXIV CONVEGNO NAZIONALE <strong>AIAS</strong> – MILANO, 14-17 SETTEMBRE 2005 Figura 4: Andamento temporale di ψ e α con V = 55 m/s, ψ 0 = 3° e α 0 = -3° Figura 5: Andamento temporale di ψ e α con V = 30 m/s, ψ 0 = 2° e α 0 = -2°: ciclo limite Figura 6: Andamento temporale di ψ e α con V = 15 m/s, ψ 0 = 3° e α 0 = -3° Le figure 4 e 6 si riferiscono a condizioni di funzionamento che nell’analisi lineare risultavano stabili; in effetti si nota come gli angoli ψ e α, partendo da valori iniziali di 3°, si smorzano nel tempo. Al contrario, in figura 5 viene illustrata l’evoluzione del sistema a partire da angoli iniziali più piccoli, 2°, ma con un valore di velocità per la quale nell’analisi lineare si riscontrava instabilità. Anche in questo caso si conferma la bontà della previsione del metodo agli autovalori, nel senso che l’oscillazione tende ad amplificarsi, ma invece di crescere in maniera indefinita a un certo punto si stabilizza in quello che viene definito ciclo limite. Questo aspetto non poteva essere colto tramite l’analisi lineare in quanto esso è intimamente legato alle non linearità del modello di cui si è tenuto conto solo con l’integrazione numerica. 7. CONCLUSIONI Nello studio lineare si è visto che le equazioni del moto sono di tipo esponenziale, convergente o divergente, e dall’analisi agli autovalori è possibile ricavare le mappe di stabilità che illustrano la tendenza dello shimmy al variare dei parametri caratteristici. Successivamente si è tenuto conto delle non linearità e le equazioni del moto sono state risolte tramite integrazione nel tempo. A causa delle non linearità, la divergenza che si otteneva con l’analisi lineare non si riscontra più, e al suo posto si nota l’instaurarsi del ciclo limite, la cui ampiezza è un indice della pericolosità della vibrazione di shimmy. Si sottolinea il fatto che il comportamento del sistema dipende strettamente dai valori assunti per i parametri caratteristici, sui quali si può giocare per rendere il sistema più stabile. Nell’integrazione
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