ANALISI DELLO SHIMMY NEI CARRELLI DI ATTERRAGGIO - AIAS

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XXXIV CONVEGNO NAZIONALE AIAS – MILANO, 14-17 SETTEMBRE 2005 M Fσ = µα 5 t = t In virtù della particolare natura dei pneumatici, anche la rigidezza torsionale non è costante, ma è funzione del carico verticale [3] come succede per il coefficiente di deriva; si ha: µ = µ F 6 0 Z in cui anche µ0 è un coefficiente costante dipendente dal tipo di pneumatico. 2.4. Tread damping moment Un altro aspetto legato al pneumatico, è lo smorzamento prodotto dalla porzione di gomma a contatto con il suolo. Questa azione dà luogo ad un momento detto tread damping moment la cui espressione, trovata in letteratura [3], è: C TREAD K4 = ψ& 7 V dove K 4 2 = 0. 15a cS FZ , essendo a la semi-lunghezza dell’impronta (parametro dipendente dalla pressione di gonfiaggio). 3. ANALISI LINEARE E MAPPE DI STABILITA’ L’analisi dello shimmy è stata intrapresa su un modello semplificato di carrello, avente pivot verticale e forcella ortogonale al pivot (fig. 1). Il carrello si muove alla velocità V e la ruota è libera di oscillare intorno al pivot. Sul carrello grava il carico verticale - FZ - che si trasferisce al pneumatico e lo mantiene schiacciato al terreno; la forza Ft e il momento auto-allineante agiscono in modo da esaltare il fenomeno di shimmy. asse di rotazione L V x αα ψ L µα µα F t Figura 1: Vista frontale e superiore del carrello e carichi agenti C ψ& ψ& Si indichi con ψ l’angolo di shimmy e con L il cosiddetto braccio a terra (caster length); sia inoltre x la distanza a cui si porta il centro della ruota dalla direzione della velocità per effetto dell’oscillazione. L’ equazione di equilibrio del carrello intorno al pivot si può scrivere come [5]: ⎛ K4 ⎞ I & ψ& + ⎜CD + ⎟ψ& = LFt + M ⎝ V ⎠ t D V 8
XXXIV CONVEGNO NAZIONALE AIAS – MILANO, 14-17 SETTEMBRE 2005 dove: • I ψ& & = momento relativo all’inerzia del sistema; • C Dψ& = momento di smorzamento viscoso dovuto allo shimmy damper e all’attrito fra le parti meccaniche; • LF t = momento generato dalla forza Ft avente braccio L rispetto al pivot di rotazione. Dal momento che è ragionevole assumere il pivot libero fino ai pedali, l’eventuale coppia di richiamo elastico - Kψ - dovuta alla rigidezza torsionale K del pivot stesso, è da ritenersi nulla e pertanto non compare al primo membro dell’equazione 8. Per quanto riguarda il valore di CD, coefficiente di smorzamento equivalente, è stato assunto un valore costante suggerito da Mecaer; un valore attendibile per il momento di inerzia del carrello I è stato stimato in base a dati forniti sempre da Mecaer, tenendo conto sia dell’inerzia dello stelo che di quella della ruota (si veda Tabella 1). Secondo la meccanica delle gomme, la forza Ft è legata alla deformazione laterale ∆ subita dal pneumatico e all’angolo di deriva dalle leggi 1 e 3; in queste equazioni però non compare l’angolo di shimmy e pertanto è necessario introdurre un’altra relazione per poter correlare le tre variabili ∆, α e ψ . Si tratta della condizione cinematica di non slittamento laterale del pneumatico, anch’essa contemplata nella teoria del punto di contatto: x& + ∆& + V sin ψ + V sinα = 0 9 dove x = Lsinψ . Supponendo piccole oscillazioni e piccole deformazioni, la 9 si può linearizzare e scrivere come [5]: Lψ& + ∆& + Vψ + Vα = 0 10 Sostituendo la 3 e la 5 nell’equazione del moto 8 si giunge a: ⎛ K4 ⎞ L I & ψ& + ⎜C + ⎟ψ& D − α − µα = 0 11 ⎝ V ⎠ c Dall’equazione cinematica 10 si ricava: ∆& = −Lψ& −Vψ −Vα 12 Uguagliando le relazioni 1 e 3 e derivando si ottiene: α = ck ∆& 13 & L Sostituendo la 12 nella 13 si giunge alla seguente equazione: & α = ( −Lψ& −Vψ −Vα ) 14 ck L Le relazioni 11 e 14 sono quelle che descrivono la dinamica del sistema nei due gradi di libertà ψ e α. Si ottiene: ⎡I ⎢ ⎣0 0⎤⎧ψ ⎫ ⎡ ⎢ + ⎨ ⎬ + 0 ⎥ ⎦⎩α ⎭ ⎢ ⎣ ck L V & K CD & L 4 ⎤ ⎡ 0 ⎧ψ& ⎫ ⎥⎨ ⎬ + ⎢ 0 1⎥⎩ & α ⎭ ⎢ ⎦ ⎣ckLV L ⎤ − − µ ⎧ψ ⎫ ⎧0⎫ c ⎥⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ck V ⎥ ⎦ ⎩α ⎭ ⎩0⎭ L 15
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