- Analisi dell'associazione tra due caratteri - Introduciamo le ...

- Analisi dell’associazione tra due caratteri -
Introduciamo le distribuzioni di frequenze per due caratteri considerati
congiuntamente e ne mostriamo la rappresentazione tabellare e grafica.
Distribuzioni doppie di frequenze
Le determinazioni di due caratteri su di un collettivo, siano esso
qualitativi o quantitativi, possono essere organizzate sotto forma di
distribuzione unitaria doppia, dove le modalità dei due caratteri
osservati sono elencate unità per unità.
Unità Modalità di X Modalità di Y
u 1 x 1 y 1
u 2 x 2 y 2
...
...
...
u i x i y i
...
...
...
u n x n y n
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E’ necessario sintetizzare le determinazioni dei caratteri tramite una
tabella di frequenze a doppia entrata detta anche distribuzione
doppia di frequenze.
Dati due caratteri, definiamo tabella di frequenze a doppia entrata o
distribuzione doppia di frequenze, l’insieme delle frequenze
congiunte n ij
, ovvero le frequenze assolute delle unità che
presentano congiuntamente la modalità i-esima del primo carattere e
la j-esima del secondo carattere.
La generica tabella a doppia entrata dei caratteri X e Y,
rispettivamente con H e K modalità è la seguente:
Carattere
Carattere Y
X y 1 …. y j … y k Tot.
x 1 n 11 n 1j n 1k n 1.
…
…
x i n i1 n ij n ik n i.
…
x H n H1 n Hj n Hk n H.
Tot. n .1 n .j n .k n
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La colonna e la riga del totale sono dette distribuzioni marginali. Esse
corrispondono alle distribuzioni di frequenze semplici dei due
caratteri esaminati.
La colonna del totale è la distribuzione semplice del carattere X e il
generico termine n i.
indica la frequenza assoluta delle unità che nel
collettivo presentano la modalità x i
La riga del totale indica la distribuzione semplice del carattere Y e il
generico termine n .j
indica la frequenza assoluta delle unità che nel
collettivo presentano la modalità y j
Le righe e le colonne interne alla tabella a doppia entrata identificano
le distribuzioni condizionate.
Le frequenze n ij
sono le cd. frequenze congiunte e rappresentano il
numero (assoluto) di unità che presentano congiuntamente la
modalità i-esima del carattere X la modalità j-esima del carattere Y
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Tab. Rilevazione continua forze lavoro, 2006
Ripartizione geografica
Totale
Nord Centro Sud Italia
Occupati 11839 5039 7507 24385
In cerca di occupazione 423 296 902 1621
Totale 12262 5335 8409 26006
La distribuzione data dalla prima riga ci dice come si distribuiscono
secondo il carattere Y (ripartizione geografica) le sole unità che
presentano la modalità x 1
(occupati) del carattere X (stato
occupazionale) e viene detta distribuzione condizionata della Y
rispetto alla modalità x 1
di X. Analogamente, se consideriamo la
prima colonna della tabella si ottiene la distribuzione condizionata
del carattere X rispetto alla modalità y 1
del carattere Y.
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Nella tabella di frequenze a doppia entrata valgono le seguenti
proprietà:
k
= ∑
∑
ni. nij
per i = 1,..., H; n.
j
= nij
per = 1,....,K;
j=
1
H
i=
1
n
=
H
K
∑∑
n
=
H
∑
ij
i= 1 j= 1 i=
1
n
i.
=
K
∑
j=
1
n
. j
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Possiamo considerare oltre alle frequenze assolute le distribuzioni
doppie di frequenze relative e percentuali, dove il generico elemento
interno alla tabella a doppia entrata è espresso da f ij
=n ij
/n e da
p ij
=f ij
*100.
Le distribuzioni marginali relative si ottengono dividendo le frequenze
assolute marginali per il totale (*100 quelle percentuali) e
corrispondono alle distribuzioni di frequenze relative semplici dei
caratteri.
Le distribuzioni relative condizionate della X e della Y si ottengono
rapportando le distribuzioni condizionate per i corrispondenti totali di
riga o per i corrispondenti totali di colonna.
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Per ogni distribuzione condizionata di un carattere quantitativo si può
calcolare la:
Media aritmetica condizionata di un carattere quantitativo Y rispetto
alla i-esima modalità di un carattere X è data da:
y
X = x
=
i
1
n
i.
La varianza condizionata di un carattere quantitativo Y rispetto alla i-
esima modalità di un carattere X è data da:
K
∑
j=
1
y
j
n
ij
σ
2
Y
1
K
= ∑(
y −
X = x
j
i
ni.
j=
1
y
X = x
i
)
2
n
ij
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Due caratteri si dicono indipendenti se la distribuzione di uno dei
due caratteri non varia al variare dell’altro. In tal caso, le
distribuzioni di frequenze relative condizionate rispetto alle modalità
dell’altro sono tutte uguali tra di loro.
Se i caratteri sono indipendenti, la generica frequenza assoluta
corrispondente alla i-esima modalità di X e alla j-esima modalità di Y
deve essere uguale a:
n
ij
La condizione di indipendenza può essere riscritta come segue:
n
n
(la freq. relativa congiunta è uguale al prodotto delle freq. rel.
marginali).
=
n
i.
n
n
. j
i.
. j
n
ij
= , fij
= fi.
f.
j
n
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L’associazione spuria è una legame statistico empirico che si verifica
tra due caratteri logicamente indipendenti.
Se il legame associativo tra due caratteri non è spurio, possiamo
affrontare lo studio secondo due ottiche: la dipendenza e
l’interdipendenza.
Un carattere Y dipende perfettamente da X quando a ogni modalità di
X è associata una sola modalità di Y, cioè quando in una tabella
doppia per ogni i c’è un solo j per il quale n ij
èdiverso da 0.
Tra due caratteri sussiste interdipendenza perfetta se a ogni modalità
di uno dei due caratteri corrisponde una e una sola modalità dell’altro
carattere e viceversa.
questo richiede che K = H
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Misura dell’associazione
Iniziamo considerando indici generali di associazione che si basano
sulle differenze tra le frequenze osservate n ij
e quelle teoriche di
indipendenza
n' =
ij
Le differenze tra le frequenze osservate e quelle teoriche vengono
dette contingenze e sono date da c ij
=n ij
-n’ ij
n
i.
n
n
. j
Corrisp. alle frequenze che avremmo
dovuto avere in caso di indipendenza
L’indice di associazione Chi-quadrato di Pearson misura la distanza
media da zero delle contingenze, ognuna delle quali risulta ponderata
per il reciproco delle frequenze.
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χ
=
H
K
∑∑
i= 1 j=
1
c
2
ij
n'
ij
=
H
K
∑∑
i= 1 j=
1
( n
ij
−
n'
n'
ij
ij
)
2
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Se i due caratteri sono perfettamente indipendenti, tutte le
contingenze devono essere nulle e l’indice Chi-quadrato assumerà
valore nullo, se i due caratteri sono associati l’indice sarà positivo,
assumendo valori tanto più grandi quanto più le frequenze osservate
si differenziano da quelle teoriche.
Espressioni equivalenti (dipende da n)
H K 2
n
2
ij
χ
=
∑∑
n'
−
n;
oppure
2
χ
=
H
K
∑∑
2
nij
(
n n
i= 1 j= 1 ij i= 1 j=
1 i.
. j
−1)
n
Per eliminare la dipendenza da n utilizziamo l’indice di contingenza
quadratica media:
Φ
2
= χ
2
/
n
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Se la tabella si riferisce a due caratteri ordinati è possibile costruire
degli indici che oltre a misurare l’intensità dell’associazione, ne
misurano anche il verso. Ossia, oltre verificare se c’è una
corrispondenza fra le modalità dei due caratteri, analizziamo anche
se alle modalità di ordine più elevato di un carattere corrispondono
più frequentemente le modalità di ordine più basso o più alto
dell’altro carattere.
In generale, poiché le modalità dei due caratteri sono ordinate,
possono sussistere fra loro due tipi diversi di relazione: diretta o
concordanza e relazione inversa o discordanza.
C’è concordanza tra X e Y se modalità di ordine elevato di X si
associano più frequentemente a modalità di ordine elevato di Y,
mentre modalità di ordine basso di X si associano più frequentemente
a modalità di ordine basso di Y.
C’è discordanza tra X e Y se modalità di ordine elevato di X si
associano più frequentemente a modalità di ordine basso di Y, mentre
modalità di ordine basso di X si associano più frequentemente a
modalità di ordine elevato di Y.
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- Sintesi della distribuzione di un carattere – La variabilità
Cap. 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 fino alla formula 6.6.3 6.7
Prossima lezione 6.8 e 6.9
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