Matematica e didattica della matematica
Matematica e didattica della matematica
Matematica e didattica della matematica
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
<strong>Matematica</strong> e <strong>didattica</strong> <strong>della</strong> <strong>matematica</strong><br />
Corso di laurea in Scienze <strong>della</strong> Formazione Primaria<br />
a.a. 2008-09<br />
Docente: Ana Millán Gasca<br />
LEZIONE 7<br />
RISOLVERE PROBLEMI<br />
SOMMARIO: 7.1 Uno sguardo più da vicino ai problemi <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> pratica. 7.2 Il problema<br />
come chiave <strong>della</strong> ricerca nella <strong>matematica</strong> greca. 7.3 La risoluzione di problemi<br />
nell’insegnamento <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> nella scuola primaria. 7.4 I problemi con i bambini prima<br />
<strong>della</strong> scuola dell’obbligo. 7.5 Tradizione e innovazione <strong>didattica</strong> nella <strong>matematica</strong> scolastica: il<br />
problema delle patate<br />
Bibliografia: All’inizio fu lo scriba, cap. 1, cap. 2, cap. 4; G. Polya, How to solve it (versione<br />
italiana: Come risolvere i problemi di <strong>matematica</strong>, Milano, Feltrinelli, 1967); G. Bolondi, La<br />
<strong>matematica</strong> quotidiana, mimesis, Milano.<br />
Nella Lezione 1, La <strong>matematica</strong> e il suo insegnamento, abbiamo ricordato che l’insegnamento<br />
<strong>della</strong> <strong>matematica</strong> nella scuola elementare introduce i bambini a due tradizioni culturali, distinte<br />
eppure con una lunga storia di influssi reciproci: da una parte, la <strong>matematica</strong> pratica o calcolo utile,<br />
le cui origini risalgono all’alba <strong>della</strong> civiltà, e, dall’altra, la <strong>matematica</strong> vera e propria, una<br />
tradizione dotta le cui origini si collocano nella cultura greca antica. In questa lezione<br />
approfondiremo le nostre conoscenze sui problemi <strong>della</strong> tradizione pratica e sul concetto di<br />
problema nel pensiero greco; e rifletteremo sul ruolo <strong>della</strong> risoluzione di problemi nella <strong>matematica</strong><br />
e nel suo insegnamento.<br />
7.1 Uno sguardo più da vicino ai problemi <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> pratica<br />
La <strong>matematica</strong> di Mesopotamia ed Egitto, all’alba <strong>della</strong> civiltà, era un calcolo utile, ossia un<br />
insieme di tecniche per risolvere problemi che presentavano un’utilità pratica, nel lavoro e nelle<br />
attività. Nei problemi si richiede di ottenere uno o più numeri sconosciuti a partire da certi numeri<br />
dati, in modo tale che sia verificata una certa condizione; la risoluzione richiede di eseguire una o<br />
più operazioni aritmetiche sui numeri dati e alcuni numeri intermedi.<br />
Nel corso <strong>della</strong> storia antica e medievale si sono sviluppate tradizioni di <strong>matematica</strong> pratica<br />
anche in altre aree geografiche, come l’Estremo Oriente o l’America centrale. Le conoscenze<br />
pratiche sui numeri e sulle figure geometriche hanno svolto un ruolo centrale nell’evoluzione<br />
tecnica e organizzativa delle società umane. Inoltre, vi sono stati molti contatti nel corso <strong>della</strong> storia<br />
tra le varie tradizioni pratiche, sia attraverso vie di trasmissione orale, sia attraverso la circolazione<br />
dei manoscritti e dei testi a stampa (si veda All’inizio fu lo scriba, cap. 2, pp. 25-28).<br />
Le tradizioni <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> pratica del passato presentano alcuni tratti distintivi che si<br />
ritrovano da oriente a occidente e attraverso il tempo, e che sono alla base dell’istruzione sul “far di<br />
conto” (operazioni e risoluzione di problemi) che è tuttora una parte dell’insegnamento <strong>della</strong><br />
<strong>matematica</strong> nella scuola primaria. Proviamo a elencarli:<br />
1
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
– si tratta di un insieme di conoscenze che rientrano nell’ambito <strong>della</strong> tecnica (si veda il<br />
glossario), ossia esse sono state sviluppate per coadiuvare gli esseri umani nel lavoro e<br />
nelle attività, in particolare per quanto riguarda l’amministrazione, l’attività notarile,<br />
l’elaborazione del calendario, i calcoli legati a prescrizioni religiose, l’edilizia,<br />
l’agrimensura e il commercio.<br />
– insieme alla scrittura, si tratta di una tecnica intellettuale, in contrasto con le tecniche<br />
relative al trattamento dei materiali, all’agricoltura o all’allevamento, con le quali<br />
condividono tuttavia l’orientamento utile.<br />
– al pari di altre conoscenze tecniche, nel passato esse sono state tramandate attraverso<br />
l’ambito orale e circoscritte a gruppi limitati di persone (da padre a figlio, da maestro<br />
ad apprendista, attraverso i contatti fra artigiani o le carovane dei commercianti).<br />
– quando tali conoscenze sono state scritte, esse si sono presentate essenzialmente come<br />
raccolte di istruzioni o ricette (come i manuali tecnici di tutte le arti pratiche), sotto la<br />
forma specifica di collezioni di problemi, ognuno dei quali riguarda attività come<br />
quelle prima elencate e presenta una situazione particolare caratterizzata da dati<br />
numerici e geometrici specifici.<br />
– dal punto di vista <strong>della</strong> struttura testuale, ogni problema presenta un enunciato (che<br />
comprende i dati e il quesito), seguito dalla procedura per la loro soluzioni, descritta<br />
per lo più attraverso una serie di istruzioni, dalla soluzione e, alcune volte, di una<br />
verifica <strong>della</strong> validità <strong>della</strong> soluzione.<br />
– le conoscenze riguardano:<br />
o la scrittura dei numeri<br />
o gli algoritmi per eseguire le operazioni aritmetiche (le quattro operazioni e<br />
l’estrazione <strong>della</strong> radice)<br />
o i vari tipi di figure geometriche (il cerchio, i poligoni e alcune figure solide) e la<br />
loro misura<br />
o l’idea di proporzionalità<br />
– questa “<strong>matematica</strong>” è quindi essenzialmente un calcolo utile: ossia si tratta di<br />
applicare le conoscenze prima elencate per risolvere problemi di indole pratica.<br />
«Raccolte di problemi appartengono alla tradizione <strong>matematica</strong> di ogni tempo e ogni luogo. I<br />
più antichi testi matematici oggi noti, il Papiro Rhind e le tavolette babilonesi, hanno questa<br />
struttura.<br />
Per molto tempo la forma più consueta di trasmissione <strong>della</strong> cultura <strong>matematica</strong> fu proprio<br />
quella <strong>della</strong> collezione di problemi. La trasformazione, avvenuta nella Grecia classica, <strong>della</strong><br />
<strong>matematica</strong> da scienza <strong>della</strong> risoluzione di problemi a scienza <strong>della</strong> dimostrazione ipoteticodeduttiva,<br />
cambiò non solo i contenuti, ma anche la forma dell’esposizione. Tuttavia accanto alla<br />
<strong>matematica</strong> “dotta” continuò ad evolversi una <strong>matematica</strong> “popolare” o “pratica”, la cui principale<br />
forma di espressione rimase la raccolta di problemi, spesso raggruppati per similarità di metodi<br />
risolutivi.»<br />
(Raffaela Franci, “Introduzione” al testo Problemi per rendere acuta la mente dei giovani (Propositiones ad<br />
acuendos juvenes, fine del VIII secolo) di Alcuino di York)<br />
2
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
Dati, svolgimento e soluzione<br />
I problemi matematici delle tavolette d’argilla mesopotamiche e dei papiri egizi presentano<br />
dal punto di vista formale una struttura testuale del tutto simile a quella dei problemi scolastici<br />
<strong>della</strong> <strong>matematica</strong> elementare moderna:<br />
– enunciato (che comprende i dati, la condizione, e il quesito posto);<br />
– svolgimento o processo di risoluzione, spesso sotto forma di istruzioni allo scriba;<br />
– e soluzione.<br />
ESEMPIO 7.1 Un problema di suddivisione di un granaio d’orzo fra molti uomini in una tavoletta sumera<br />
(risale al 2650 a.C. ca).<br />
Fonte: G. Guitel 1963, “Signification mathématique d’une tablette sumerienne”, Revue d’assyriologie et<br />
d’archéologie, 57: 145-150; traduzione italiane dei testi di Livia Giacardi, “Sistema di numerazione e calcolo<br />
algebrico nella terra tra i due fiumi”, in L’alba dei numeri)<br />
Nella riga superiore si trova l’enunciato (che comprende sia i dati numerici, sia la domanda posta) e<br />
nella riga inferiore la soluzione<br />
Dati: Si ha 1 granaio d’orzo; ogni uomo riceve 7 silà d’orzo.<br />
Domanda: Quanti uomini ci sono<br />
Soluzione: Ci sono 164.571 uomini; rimangono 3 silà d’orzo.<br />
Sono usate due unità di misura di capacità (per l’orzo) sumere, silà e granaio (equivalente a 1.152.000 silà). I<br />
due numeri ottenuti (quoziente e resto) sono espressi usando sei segni del sistema sessagesimale di numeri<br />
per contare dei sumeri: per le unità, per le decine, per le sessantine, per le decine di sessantine, per le<br />
sessantine di sessantine, per le decine di sessantine di sessantine. Il resto è 3. Il quoziente è<br />
!<br />
1+ 5 "10 + 2 " 60 + 4 " 600 + 5 " 3600 + 4 " 36000<br />
che nel sistema di numerazione attuale scrive 164.571.<br />
3
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
Interpretazione <strong>della</strong> soluzione del problema 7.1: Si tratta di una divisione con il resto, eseguita forse<br />
attraverso una serie di divisioni successive e conversioni fra i sei segni numerici disponibili:<br />
prima divisione 1152000 = 32 " 36000 = (7 " 4 + 4) " 36000 = 7 " 4 " 36000 + 4 " 36000<br />
conversione del resto all'ordine di unità successivo<br />
e seconda divisione 4 " 36000 = 40 " 3600 = (7 " 5 + 5) " 3600 = 7 " 5 " 3600 + 5 " 3600<br />
conversione del secondo resto<br />
e terza divisione 5 " 3600 = 30 " 600 = (7 " 4 + 2) " 600 = 7 " 4 " 600 + 2 " 600<br />
conversione del terzo resto<br />
e quarta divisione 2 " 600 = 20 " 60 = (7 " 2 + 6) " 60 = 7 " 2 " 60 + 6 " 60<br />
conversione del quarto resto<br />
e quinta divisione 6 " 60 = 36 "10 = (7 " 5 +1) "10 = 7 " 5 "10 +1"10<br />
sesta divisione 10 = (7 "1+ 3)<br />
risultato <strong>della</strong> divisione 1152000 = 7 " (1+ 5 "10 + 2 " 60 + 4 " 600 + 5 " 3600 + 4 " 36000) + 3<br />
!<br />
ESEMPIO 7.2 Un problema su un campo rettangolare in una tavoletta seleucide (III sec. a.C.)<br />
Identifichi nel testo del problema trascritto nel libro All’inizio fu lo scriba (pp. 12-13) l’enunciato, lo<br />
svolgimento e la soluzione. Quale è lo stile nel presentare lo svolgimento<br />
ESEMPIO 7. 3 Una tavoletta babilonese dell’antica Susa risalente al 1500 a.C. ca.<br />
1. Un quarto <strong>della</strong> larghezza aggiungi alla lunghezza: 7 mani<br />
2. 10 è la somma. Quanto la larghezza e la lunghezza<br />
Identifichi dati e quesito e provi a risolverlo.<br />
[Tratta da E. M. Bruins, M. Rutten 1961, Mémoires de la mission archéologique en Iran, tome 34, Textes<br />
mathématiques de Suse, Librairie orientaliste Paul Geuthner, Paris; (traduzione italiane dei testi di Livia Giacardi,<br />
“Sistema di numerazione e calcolo algebrico nella terra tra i due fiumi”, in L’alba dei numeri.}<br />
Grandezze proporzionali:i problemi del tre<br />
ESEMPIO 7.4 La straordinaria fioritura delle città stato sumere <strong>della</strong> pianura <strong>della</strong> Mesopotamia, con la loro<br />
articolata struttura urbana, le molte attività artigianali e la rete di scambi commerciali con paesi anche molto<br />
lontani fu possibile grazie a una complicata rete di conduzione delle acque che rese possibile lo sviluppo<br />
<strong>della</strong> agricoltura.<br />
Lo scavo dei canali è una delle attività edilizie più antiche. Un tipico compito <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> pratica,<br />
allora è il seguente. Si deve scavare un canale la cui sezione è un trapezio e le cui dimensioni sono note; è<br />
noto pure quanto un uomo può scavare in una giornata di lavoro; come anche la paga di un operaio e quella<br />
di un caposquadra in una giornata di lavoro (ad esempio, una certa quantità di orzo e di birra; e più avanti<br />
una certa quantità di denaro). Ora, il calcolo del volume di terra da scavare si ottiene a partire dalle<br />
dimensioni del canale con alcune operazioni; per gli altri calcoli, necessari per prendere una decisione<br />
ponderata sul numero di operai da fare lavorare collegata al tempo di realizzazione dell’opera, vi è in gioco<br />
la proporzionalità fra certe variabili<br />
numero di operai "#<br />
quantità di terra scavata (in unità di volume)<br />
numero di giornate di lavoro "#<br />
quantità di orzo e birra (in unità di misura di capacità)<br />
!<br />
Tali calcoli e decisioni erano responsabilità degli scribi, in Mesopotamia ed Egitto, di capomastri o<br />
ingegneri, in epoche più recenti. Ma scavare la terra con la forza umana, e tutt’al più con piccoli dispositivi<br />
come carriole, ponteggi, rampe, scale e carrucole è stato un compito al centro di molti calcoli nel corso del<br />
tempo: si pensi che i primi studi matematici per ottimizzare l’organizzazione del lavoro in un cantiere,<br />
4
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
condotti alla fine del Settecento da alcuni ingegneri-scienziati francesi, riguardarono proprio il trasporto di<br />
terra e materiali nelle opere di fortificazione militare!<br />
ESERCIZIO 7.1 Provi a porre un problema di enunciato pratico che possa essere risolto con un ragionamento<br />
di proporzionalità. Riguardi nel suo manuale di <strong>matematica</strong> <strong>della</strong> scuola media le pagine sulla<br />
proporzionalità numerica<br />
I problemi di <strong>matematica</strong> pratica che si risolvono scrivendo una proporzione numerica e<br />
risolvendola sono noti tradizionalmente come “problemi del tre” (perché si calcola un termine <strong>della</strong><br />
proporzione quando siano noti gli altri tre)<br />
a "#<br />
b<br />
c "#<br />
x<br />
a : c = b : x<br />
Molti dei problemi classici dei manuali scolastici si risolvono con l’ausilio di un ragionamento<br />
di proporzionalità: vi sono due grandezze ! (direttamente) proporzionali, ossia, il loro rapporto è<br />
costante (costante di proporzionalità). In altri termini, quando la prima grandezza aumenta (del<br />
doppio, del triplo, e così via), la seconda aumenta allo stesso modo (del doppio, del triplo, e così<br />
via); e quando la prima diminuisce (<strong>della</strong> metà, di un terzo, e così via), la seconda diminuisce allo<br />
stesso modo. Vi sono ragionamenti di proporzionalità in problemi come quelli di ripartizione, di<br />
calcolo di percentuali, di interesse o di sconto.<br />
Altri problemi si risolvono individuando una relazione di proporzionalità inversa tra due<br />
variabili, quella ciòe nella quale il rapporto fra due valori qualsivoglia <strong>della</strong> prima grandezza è<br />
uguale all’inverso del rapporto tra i corrispondenti valori <strong>della</strong> seconda.<br />
ESERCIZIO 7.2. Per scaricare un camion in un’ora si richiede il lavoro di quattro operai. Quanti operai<br />
dobbiamo coinvolgere se dobbiamo scaricarlo in mezz’ora E in venti minuti<br />
Provi a risolvere il problema prima senza l’aiuto dell’algebra! (si veda oltre, §5.7)<br />
Nella scuola elementare semplici problemi di proporzionalità diretta e inversa possono essere<br />
risolti con l’aiuto di tabelle e grafici e cercando la costante di proporzionalità, ossia usando il<br />
metodo di riduzione all’unità.<br />
Problemi matematici e algebra<br />
Nella scuola primaria si introduce ai bambini alle tecniche elementari di risoluzione dei<br />
problemi, basate sull’uso delle quattro operazioni (una o più operazioni concatenate) e semplici<br />
ragionamenti di proporzionalità, e quindi a una tradizione che ha un origine molto antica.<br />
Nella scuola secondaria di primo grado si introducono le tecniche algebriche per la risoluzione<br />
dei problemi. Esse risalgono al IX secolo, sono state create nel mondo islamico e perfezionate, con<br />
l’introduzione <strong>della</strong> notazione simbolica (lettere per le incognite e simboli per le operazioni)<br />
nell’Europa dell’inizio dell’età moderna (si veda All’inizio fu lo scriba, cap. 4).<br />
ESERCIZIO 7.3 Negli esempi di problemi di <strong>matematica</strong> pratica mesopotamica 7.1 a 7.3,<br />
– quante sono le incognite, quali sono<br />
– Provi a esprimere la condizione contenuta nell’enunciato del problema sotto forma di equazione.<br />
Questi problemi, possono essere risolti senza porre delle equazioni<br />
5
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
Individuare le incognite e associare ad ognuna di esse una lettera (spesso x, y, z) è guardare il<br />
problema dal punto di vista dell’algebra. Una volta individuate le incognite, l’enunciato del<br />
problema esprime una o più condizioni relative a tale incognite: tradurre il problema in equazioni è<br />
scrivere tale condizioni sotto forma di una o più uguaglianze usando le lettere e i numeri coinvolti<br />
nel problema, oltre ai simboli delle operazioni e al simbolo =. L’algebra classica si occupa proprio<br />
<strong>della</strong> risoluzione delle equazioni e dei sistemi di equazioni con una o più incognite.<br />
L’algebra è quindi una branca <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> che fu creata per risolvere i problemi <strong>della</strong><br />
<strong>matematica</strong> pratica. Il fondatore dell’algebra fu Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (conosciuto<br />
anche dal nome latinizzato, Algorismi, origine <strong>della</strong> parola “algoritmo”), un matematico e<br />
astronomo molto importante di Bagdad all’epoca del califfo al-Ma’mun (813-833). Questo<br />
matematico di origini persiane, che scriveva in arabo (la lingua colta nei paesi dell’Islam), aveva<br />
una profonda conoscenza <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> greca, ma si occupò anche di <strong>matematica</strong> pratica. Egli<br />
scrisse dapprima un libro per illustrare la scrittura dei numeri con il sistema di numerazione<br />
posizionale alla maniera indiana e i relativi algoritmi. Poi si occupò <strong>della</strong> risoluzione di problemi<br />
pratici, tentando di superare la tradizione basata sulle istruzioni applicate a singoli casi particolari e<br />
impostando il problema da un punto di vista generale: individuare l’incognita e tradurre la<br />
condizione del problema in un’equazione. Egli espose questo nuovo punto di vista in un libro<br />
dedicato a ciò che egli stesso descrisse come la “scienza delle riduzioni e delle comparazioni”, in<br />
arabo ilm al-giabr za l-muqabala, che impiega un termine, giabr, usato dapprima nella terminologia<br />
medico-chirurgica (si veda il riquadro “L’algebra di al-Hwarizimi”, All’inizio fu lo scriba, cap. 4,<br />
pp. 50-51). All’inizio del libro al-Hwarizmi scrisse:<br />
«Ho scritto, nel campo del calcolo con il giabr, un trattato che comprende le più fini e le più<br />
nobili operazioni di calcolo di cui gli uomini hanno bisogno per la ripartizione delle eredità e delle<br />
donazioni, per le spartizioni e i giudizi, per le transazioni commerciali e per tutte le operazioni che<br />
hanno fra di loro, relative all’agrimensura, alla ripartizione dell’acqua dei fiumi, all’architettura e altre<br />
cose.»<br />
ESERCIZIO 7.4 Applichi al problema che lei ha considerato nell’esercizio 7.1 e al problema proposto<br />
nell’esercizio 7.2 il punto di vista dell’algebra: individui l’incognita e traduca il problema in equazione. Che<br />
tipo di equazione ha ottenuto<br />
In termini algebrici, se x e y sono le due grandezze direttamente proporzionali (misurate<br />
secondo una certa unità di misura), si ha:<br />
x<br />
y = k<br />
e il numero k è la costante di proporzionalità.<br />
Negli anni Sessanta e Settanta l’importanza assegnata allo studio dell’algebra è aumentata,<br />
con una preferenza però per gli aspetti ! più astratti dell’algebra, come ad esempio lo studio dei<br />
polinomi e delle operazione fra di loro o lo studio dei sistemi di equazioni. Di conseguenza, i<br />
problemi “tradizionali” sono stati lasciati un po’ da parte, sia nella risoluzione aritmetica ad<br />
esempio usando la regola del tre, sia usando l’algebra. Negli ultimi anni si è registrata una tendenza<br />
a tornare alla risoluzione dei problemi, per un insieme di motivi: per il loro valore formativo nel<br />
“dare un senso” ai concetti matematici; per il loro valore generale nella formazione delle abilità<br />
euristiche (ossia per la ricerca di una verità o <strong>della</strong> risposta a un quesito, anche per tentativi, in<br />
contrasto con la dimostrazione di una verità); e, infine, per il loro potenziale valore pratico nella<br />
formazione di base di un cittadino.<br />
6
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
7.2 Il problema come chiave <strong>della</strong> ricerca nella <strong>matematica</strong> greca<br />
La parola «problema» è usata oggi in molti contesti (non solo in <strong>matematica</strong>) e con molti<br />
significati. Nell’uso comune, spesso fa riferimento a un ostacolo, a una difficoltà. Alcune volte, ad<br />
esempio nelle scienze sociali, viene attribuita ad essa un significato estremamente generale: si dice<br />
che ogni attività umana è un risolvere problemi, identificando così “problema” con “compito” o<br />
“attività” da svolgere e identificando il “risolvere problemi” con le decisioni che un essere umano<br />
prende e le operazioni che esegue per svolgere tale compito o attività. In tempi recenti, le scienze<br />
cognitive hanno rivolto molta attenzione ai processi mentali che sono coinvolti nella soluzione di<br />
problemi matematici e no.<br />
Torniamo però alle origini, all’etimologia di questa parola, per capire meglio il suo<br />
significato nell’ambito nel quale è stata usata originariamente, ossia in <strong>matematica</strong>. Problema è una<br />
parola di origine greca, che deriva da un verbo greco che significa “mettere avanti, proporre”. Un<br />
problema è una questione proposta, un quesito di cui si richiede la soluzione, partendo di solito da<br />
elementi noti. La <strong>matematica</strong> greca si è sviluppata accumulando idee, concetti e metodi volti a<br />
risolvere problemi come il seguente, che risale a Ippocrate di Chio, un autore del V secolo a.C.<br />
È possibile trovare o costruire un quadrato di area uguale alla seguente figura a forma di<br />
lunula<br />
Negli Elementi di Euclide si chiamano problemi tutte quelle proposizioni o quesiti che richiedono di<br />
determinare o costruire punti o figure geometriche che soddisfino condizioni specificate: sono i<br />
problemi di costruzione o di determinazione. Per esempio:<br />
Costruire un triangolo equilatero su una retta finita data (Libro I, prop. 1)<br />
Porre in un punto dato una retta uguale a una retta data (Libro I, prop. 2)<br />
Dividere in due parti un angolo rettilineo dato (Libro I, prop. 9)<br />
Dividere in due parti una retta finita data (Libro I, prop. 10)<br />
Tracciare una linea retta perpendicolare a una retta infinita data da un punto che non sia in<br />
essa (Libro I, prop. 12)<br />
Costruire un quadrato uguale a una figura rettilinea data (Libro II, prop. 14)<br />
Tutti i problemi che si trovano negli Elementi di Euclide sono risolubili con riga e compasso,<br />
ossia richiedono soltanto il tracciamento e la mutua intersezione di rette e circonferenze. Anche<br />
questi problemi <strong>della</strong> geometria classica si possono esprimere con il linguaggio dell’algebra: ad<br />
esempio, i problemi <strong>della</strong> geometria piana si esprimono con il linguaggio dell’algebra associando ad<br />
ogni punto del piano una coppia di coordinate cartesiane (x,y). Quindi la condizione di un problema<br />
risolubile con riga e compasso si può esprimere attraverso un’equazione algebrica di secondo grado.<br />
Nell’idea greca di problema di costruzione si trova un’eco dei quesiti <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> pratica<br />
di tipo geometrico (tracciato o disegno di punti, rette e figure, equivalenza di figure ossia<br />
uguaglianza di aree), ma il punto di vista si trasforma radicalmente. Nel tipo di quesiti considerati<br />
dai geometri greci scompare l’aspetto pratico o utile. Diventano invece essenziali due altri aspetti.<br />
In primo luogo, viene esaltato l’aspetto di “sfida alla ragione” <strong>della</strong> domanda posta:<br />
7
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
– la domanda e la condizione richiedono uno sforzo (sforzo di comprensione del<br />
problema);<br />
– il quesito non appare immediatamente raggiungibile, non si piega a uno sguardo<br />
superficiale e richiede ulteriore riflessione, il quesito appare alle volte come carattere<br />
paradossale (esigenza di elaborare un piano, una strategia di risoluzione).<br />
In secondo luogo, viene esaltato l’aspetto stesso di domanda interlocutoria, di comunicazione:<br />
un problema è tale perché viene posto o proposto, a sé stessi o agli altri, e di conseguenza<br />
rappresenta un invito ad esplorare, a ricercare una possibile risposta. Le matematiche sono ciò che<br />
si impara e ciò che si insegna, proprio attraverso i problemi.<br />
Dall’epoca greca fino al giorno di oggi, la <strong>matematica</strong> si è sviluppata attraverso alcuni grandi<br />
quesiti o problemi. Non a caso David Hilbert, un leader <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> tedesca e internazionale<br />
del suo tempo, in una famosa conferenza tenuta a Parigi nel 1900 rivolgendosi al I Congresso<br />
Internazionale dei Matematici, presentò un elenco di 23 problemi aperti <strong>della</strong> <strong>matematica</strong>, che<br />
rappresentavano a suo giudizio la prova evidente <strong>della</strong> vitalità e delle prospettive di sviluppo <strong>della</strong><br />
disciplina.<br />
L’importanza dei problemi nella <strong>matematica</strong> teorica potrebbe sembrare in contraddizione con<br />
l’immagine <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> come un corpus di conoscenze solido e sicuro, quasi immutabile. Ecco<br />
cosa scrive al riguardo un famoso matematico, George Polya:<br />
«Sì, la <strong>matematica</strong> ha due volti: è la scienza severa di Euclide e qualche cosa d’altro.<br />
Nell’assetto euclideo essa ci appare una scienza sistematica, deduttiva; ma nella pratica si rivela una<br />
scienza sperimentale, induttiva. Questi due aspetti sono nati insieme alla stessa <strong>matematica</strong>».<br />
Avvicinarsi alla <strong>matematica</strong> implica quindi assimilare la disciplina del suo linguaggio preciso<br />
e dell’esigenza di rigore, ma anche gustare in prima persona l’esperienza di porsi di fronte a un<br />
problema, di un quesito proposto, la cui soluzione sembra all’apparenza difficile da raggiungere, e<br />
adoperarsi al meglio alla ricerca <strong>della</strong> soluzione. Per questo motivo, storicamente nell’insegnamento<br />
<strong>della</strong> <strong>matematica</strong> è stato lasciato ampio spazio ai problemi geometrici. Anche se i tentativi di<br />
modernizzare l’insegnamento <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> negli anni Sessanta e Settanta del Novecento<br />
portarono ad accantonare un po’ la geometria e a concentrarsi sull’algebra, oggi vi è una tendenza a<br />
ritornare alla ricchezza e il valore formativo dei problemi geometrici.<br />
7.3 I problemi nell’insegnamento <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> nella scuola primaria<br />
I problemi sono presenti da sempre nei sussidiari <strong>della</strong> scuola primaria. Ma di che tipo di<br />
problemi si tratta La forma testuale e il contesto pratico al quale fanno riferimento ci permettono di<br />
capire chiaramente che si tratta <strong>della</strong> traccia che la tradizione <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> pratica e<br />
l’addestramento al far di conto ha lasciato nei libri <strong>della</strong> scuola primaria moderna. I problemi<br />
scolastici parlano di distanze, di perimetri, di aree, di pagamenti, di miscele o di ripartizione; essi<br />
presentano un enunciato con dati e una domanda rivolta all’alunno, come negli antichi problemi<br />
degli scribi. Ovviamente, per i bambini di oggi saper risolvere questi problemi non ha alcuna utilità<br />
pratica, perché il loro avviamento al lavoro è ancora molto lontano. Essi servono tutt’al più a<br />
chiarire alcuni aspetti <strong>della</strong> vita quotidiana come le unità di misura o la moneta.<br />
Tuttavia, è importante che nel lavoro matematico nella scuola primaria vi sia spazio anche per<br />
il problema nel senso più teorico che abbiamo descritto come caratteristico <strong>della</strong> concezione<br />
<strong>matematica</strong> greca: il problema come questione posta, la cui soluzione ci appare dapprima difficile o<br />
irraggiungibile, e che quindi ci invita alla ricerca, alla formulazione di una strategia per “misurarsi”<br />
con la sfida. Infatti, è il problema, la questione aperta, la “provocazione” rappresentata da una<br />
sfida intellettuale non immediatamente raggiungibile ciò che interessa il bambino e che rende la<br />
8
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
<strong>matematica</strong> attraente e fonte di soddisfazione intellettuale. Tali questioni, tali problemi, si<br />
presentano anche in molte altre discipline e in ogni attività, ma senza dubbio la <strong>matematica</strong> offre un<br />
esempio accessibile già ai bambini più piccoli. Abbiamo visto nella seconda lezione del corso che i<br />
primi passi del bambino nella <strong>matematica</strong> sono contrassegnati dalla conoscenza <strong>della</strong> sequenza dei<br />
numeri naturali e dal contare; su queste basi ogni ulteriore esperienza numerica avrà senso per il<br />
bambino se essa è collegata a un problema: se vi sono due mattoncini nella scatola e ne<br />
aggiungiamo un altro, quanti ve ne sono Se tre mamme sono in attesa del<br />
campanello davanti a scuola e arrivano altre due, quante mamme sono adesso in<br />
attesa<br />
Vi sono già in questi semplici quesiti tutte le componenti del problema: il bambino si sente<br />
sollecitato, anche se si tratta di situazioni familiari: deve capire bene la domanda, i dati, la<br />
condizione espressa dal piccolo racconto (i mattoncini e la scatola, … l’ingresso <strong>della</strong> scuola, le<br />
mamme …); deve mettere in gioco le sue incipienti conoscenze sui numeri per trovare la soluzione<br />
(un pezzo <strong>della</strong> sequenza dei numeri, il successore, il successore del successore, l’addizione). Ma<br />
pensiamo a un bambino <strong>della</strong> scuola primaria. Egli si confronta su quest’immagine sul suo libro:<br />
Osserva la segnaletica e calcola.<br />
1. A quale distanza da Saldaña si trova Loranca<br />
2. Quanti kilometri vi sono fra Loranca e Estebanvela<br />
(Dal Libro Deja huella, Classe quarta, Anaya, Madrid, 2005)<br />
Il bambino è sollecitato dall’immagine, anche se ha già visto dalla macchina molte volte<br />
segnali di questo genere e ha sentito i genitori parlarne cercando una strada. Egli deve capire bene la<br />
domanda scritta sotto l’immagine, deve capire anche i dati e la condizione nell’immagine e vedere<br />
se tutto l’insieme “ha senso”: avrà bisogno di un disegno schematico, di una notazione. Poi deve<br />
escogitare un piano e mettere in gioco le sue conoscenze ben più solide sui numeri (addizione,<br />
sottrazione di numeri naturali). Infine, deve rivedere la soluzione che ha trovato, capire se è<br />
ragionevole oppure se ha sbagliato qualche conto, mettendo in gioco le sue conoscenze sulla<br />
distanza, sulle unità di misura, sul confronto additivo fra i numeri naturali e altre conoscenze non<br />
matematiche (destra-sinistra, spazio geografico): il secondo numero deve essere maggiore del primo<br />
trovato; il secondo numero non può essere del ordine delle centinaia di kilometri. L’immagine, le<br />
parole, il problema, hanno messo in moto la mente del bambino.<br />
Un problema è come un sasso gettato nello stagno: esso muove le acque, introduce il<br />
dinamismo dove prima vi era quiete. Ovviamente ogni “provocazione” ha i suoi rischi. Non vi è<br />
dubbio che il problema suscita sia la curiosità e il desiderio di misurarsi con una sfida, sia la<br />
diffidenza, la vertigine di fronte al vuoto (la soluzione sembra irraggiungibile) e la paura di<br />
sbagliare o di fallire. Infatti, è l’insegnante la persona che deve essere in grado di scegliere i<br />
problemi, deve saper proporre i problemi, orientare la discussione e insegnare a sviluppare un<br />
metodo di lavoro di fronte ai problemi.<br />
ESEMPIO 7.4 (Libro di testo Salta a la vista, Anaya,1° anno) Un aereo trasporta 86 passeggeri. Sono scesi 45<br />
passeggeri. Quanti passeggeri sono ancora nell’aereo<br />
ESEMPIO 7.5 Un contadino ha raccolto 13.700 kg di mele e 6.825 di pere. Quante scatole servono se dispone<br />
la frutta in scatole di 25 kg<br />
9
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
ESEMPIO 7.6 Abbiamo pagato con una carta da 40 euro 12 menu da McDonalds Quanto costa ogni menu<br />
Quale è il resto<br />
ESEMPIO 7.7 In un giardino rettangolare di 25 m di larghezza e 16 di lunghezza si vuole piantare erba nella<br />
metà <strong>della</strong> superficie, fiori in un quarto e piante aromatiche nel resto. Che superficie occupa ogni<br />
coltivazione<br />
ESEMPIO 7.8 Vogliamo mettere 24 fiori in vasi con lo stesso numero di fiori. Quante possibilità abbiamo<br />
ESEMPIO 7.9 Una città ha 238.700 abitanti, la quinta parte ha una bicicletta. Quanti abitanti non hanno la<br />
bicicletta<br />
ESEMPIO 7.10 Un commerciante compra 100 paia di pantofole a 32 euro il paio. Vende le prime 80 paia a 45<br />
euro, e il resto a 40 euro. Quale è stato il guadagno ottenuto<br />
ESEMPIO 7.11 La superficie di un triangolo misura 126 cm 2 e l’altezza è 4/7 <strong>della</strong> base. Determina la base e<br />
l’altezza del triangolo.<br />
ESEMPIO 7.12 Si hanno 14 soldati in fila: la distanza tra un soldato e l’altro è 3 m. Quale è la distanza dal<br />
primo all’ultimo<br />
ESEMPIO 7.13 Un bambino ha 8 anni, e la sorellina la metà dei suoi. Quanti avrà lei quando lui ne avrà 10<br />
ESEMPIO 7.14 In un cortile vi sono galline e conigli. In tutto 40 teste e 100 gambe. Quante galline e quanti<br />
conigli<br />
ESEMPIO 7.15 Trovare tutti i numeri che si possono rappresentare in un abaco di tre posizioni usando due<br />
gettoni.<br />
ESEMPIO 7.16 «Ho comprato due fazzoletti e due paia di calzini con trecento ottanta yen. L’altro giorno<br />
avevo comprato due fazzoletti e cinque paia di calzini con settecento dieci yen Quanto vale un fazzoletto e<br />
un paio di calzini» (tratto da Yoko Ogawa, La formula preferita del professore (2003))<br />
La risoluzione dei problemi secondo Polya<br />
In un famoso libro pubblicato da George Polya (1887-1985) nel 1945 intitolato How to solve<br />
it (tradotto in italiano con il titolo Come risolvere i problemi di <strong>matematica</strong>. Logica ed euristica nel<br />
metodo matematico, Feltrinelli, 1° ed. italiana 1967), questo matematico nato a Budapest ed<br />
emigrato nel seguito negli Stati Uniti ripropose con forza il ruolo dei problemi nella formazione<br />
intellettuale dei giovani. Il libro si apre con le seguenti parole (p. 7):<br />
«Un’idea geniale risolve spesso un grande problema, ma nella risoluzione di tutti i problemi<br />
interviene un pizzico di genialità. Può trattarsi di un problema modesto; tuttavia, se esso stuzzica la<br />
nostra curiosità ed eccita le nostre facoltà mentali e, soprattutto, se si riesce a risolverlo da soli, si<br />
scoprirà l’ansia <strong>della</strong> ricerca e la gioia <strong>della</strong> scoperta. Simile esperienze, fatte a tempo opportuno,<br />
possono rappresentare un vero e proprio esercizio dello spirito e lasciare un’impronta nell’animo e nel<br />
carattere per tutta la vita.»<br />
Questo saggio, diventato molto famoso, raccoglie in modo molto efficace i principi di una<br />
lunga tradizione di risoluzione dei problemi matematici, che però raramente era stata esposta in<br />
forma scritta, poiché essa apparteneva alla tradizione orale dell’insegnamento <strong>della</strong> <strong>matematica</strong>.<br />
Attraverso molti esempi, Polya provò a fornire una descrizione del modo di procedere tipico <strong>della</strong><br />
risoluzione dei problemi matematici, ossia dei ragionamenti euristici, intendendo “ogni<br />
argomentazioni che non pretenda di essere né definitiva né rigorosa, ma si presenti semplicemente<br />
come provvisoria e plausibile, con il solo scopo di scoprire la risoluzione di un determinato<br />
problema” (p. 120). Il libro si apre con uno schema di risoluzione dei problemi diviso in quattro<br />
fasi: capire il problema; elaborare un piano; attuare il piano; verificare. Per ogni fase vi sono diverse<br />
domande da porsi o suggerimenti di azione. Questo piano è rivolto all’alunno, ed è illustrato<br />
attraverso molti esempi. Inoltre, prendendo spunto dagli stessi esempi, l’autore si rivolge<br />
all’insegnante, esortandolo a non ridurre le ore di <strong>matematica</strong> a semplici esecuzioni di calcoli, e<br />
sottolineando l’importanza di<br />
– scegliere i problemi adeguati alle conoscenze degli alunni e in grado di sollevare il<br />
loro interesse<br />
– proporre i problemi scegliendo i tempi e il modo, all’interno delle ore di <strong>matematica</strong><br />
10
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
– e intervenire discretamente attraverso le sue domande (ispirandosi alle domande<br />
proposte da Polya per corredare il suo schema di risoluzione), coadiuvandolo nella<br />
risoluzione.<br />
Anche se gli esempi considerati da Polya riguardano i problemi <strong>della</strong> scuola secondaria, il suo<br />
schema di risoluzione è valido anche nella scuola primaria. Anzi, possiamo riconoscere in un<br />
enunciato un problema genuino e non un esercizio di calcolo nella misura in cui esso sollecita<br />
nell’alunno l’applicazione dello schema di risoluzione di Polya. Proponiamo una versione<br />
abbreviata e adattata alla scuola primaria dello schema di Polya (si veda Come risolvere i problemi<br />
di <strong>matematica</strong>, pp. 11-13)<br />
LE QUATTRO FASI NELLA RISOLUZIONE DEI PROBLEMI<br />
(ADATTAMENTO DELLO SCHEMA DI RISOLUZIONE DI GEORGE POLYA)<br />
Prima fase: Capire il problema (Understanding the problem)<br />
Cosa si deve trovare<br />
Quali sono i dati Alcune volte bisogna reperire i dati in immagini o tabelle.<br />
Quali sono le condizioni<br />
Sapresti porre il problema con le tue parole<br />
È possibile soddisfare le condizioni<br />
Prova a dare una stima del risultato<br />
Disegna una figura. Prepara uno schema o diagramma.<br />
Introduci una notazione appropriata.<br />
Seconda fase: Elaborare un piano (Devising a plan)<br />
Esiste un problema analogo al tuo e già risolto in precedenza<br />
Puoi formulare il problema in un modo diverso<br />
Puoi risolvere un problema più semplice connesso con questo<br />
Puoi risolvere una parte del problema<br />
Puoi suddividere il problema in parti, preparando alcune domande intermedie<br />
Riflette alle operazioni che risolvono alcune delle domande intermedie.<br />
Hai usato tutti i dati<br />
Terza fase: Mettere in pratica il piano (Carrying out the plan)<br />
Procedi con pazienza e precisione: il piano fornisce un abbozzo generale; ci si deve<br />
convincere che i dettagli rientrano necessariamente in tale traccia, in modo tale che<br />
non resti nessun punto oscuro dove possa celarsi qualche errore.<br />
Sei capace di spiegare il tuo piano e come lo hai attuato<br />
Elenca tutte le soluzioni possibili<br />
Quarta fase: Verificare (Looking back)<br />
Puoi pensare a un piano alternativo Se ottieni una soluzione diversa forse vi è<br />
qualche errore nel piano, oppure nell’esecuzione del piano.<br />
Puoi confrontare il tuo piano con quello di altri colleghi<br />
Valuta il risultato: se non è verosimile forse hai fatto qualche errore.<br />
11
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
ESERCIZIO 7.5 Prepari una presentazione in classe dei problemi degli esempi 7.4 a 7.16, prendendo in<br />
considerazione i diversi piani o approcci possibili e le conoscenze matematiche implicate. Consideri anche<br />
problemi simili da sottoporre agli studenti per indicare possibili vie di soluzione. Consideri problemi<br />
analoghi ai quali si può applicare una strategia già usata.<br />
Ecco l’esortazione di Polya agli insegnanti (p. 24):<br />
«Risolvere i problemi è una questione di abilità vera e propria come, permettetemi i<br />
paragone, il nuotare. Qualunque abilità pratica può essere acquisita con l’imitazione e<br />
l’esercizio. Sforzandosi di imparare a nuotare, si imitano i gesti e gli sgambettii di coloro che<br />
riescono a stare a galla nell’acqua e, a poco a poco, si impara a nuotare… nuotando. Per<br />
imparare a risolvere problemi, è necessario osservare ed imitare come vi riescono altre persone e<br />
infine si riesce a risolvere i problemi … risolvendoli.<br />
L’insegnante che voglia rendere i suoi alunni più abili a risolvere quesiti di <strong>matematica</strong><br />
deve scegliere esercizi convenienti e saper risvegliare nei loro animi l’interesse per questo<br />
genere di problemi, procurando loro numerosissime occasioni di cimentarsi sia per imitazione<br />
sia in tentativi originali. Se vuole esercitare gli studenti a quelle operazioni mentali che<br />
corrispondono alle domande ed ai suggerimenti del nostro schema, l’insegnante non deve fare<br />
altro che proporre loro sia quelle che questi ogni qualvolta ciò si riveli utile e spontaneo. Inoltre,<br />
quando egli risolve un problema in classe, è opportuno che finga un poco, mostrandosi quasi<br />
incerto, e che si rivolga a voce alta le stesse domande a cui ricorre in altri momenti per aiutare i<br />
ragazzi. Grazie a questi accorgimenti, gli allievi comprenderanno l’uso corretto di tali domande<br />
e suggerimenti; così verranno a possedere qualcosa di ancora più importante <strong>della</strong> stessa<br />
conoscenza di una qualunque particolare verità <strong>matematica</strong>.»<br />
I problemi di <strong>matematica</strong> in classe<br />
Non ogni possibile quesito rappresenta un problema. Un aspetto da tenere molto presente è il<br />
seguente: una volta risolto un problema, vi è un intero gruppo di quesiti analoghi che “non sono più<br />
un problema”, nel senso che non pongono alcuna sfida, ma scatta un automatismo: il problema si<br />
riduce a un esercizio. Per esempio, le questioni che si risolvono con un’addizione costituiscono un<br />
problema per i bambini che compiono i loro primi passi nel mondo dei numeri, ma immediatamente<br />
dopo diventano “un esercizio con il più”. Lo schema di risoluzione di Polya può anche essere usato<br />
per imparare a riconoscere ciò che costituisce un problema genuino, interessante e adatto a un<br />
gruppo classe a seconda delle loro conoscenze: un problema è una sfida, non appare<br />
immediatamente raggiungibile, richiede la riflessione sul quesito e lo sviluppo di un piano, di una<br />
strategia.<br />
Tuttavia, non è possibile offrire criteri generali su ciò che è un problema, tanto meno su<br />
quando un problema è interessante o corrispondente alle conoscenze di una classe: la scelta è<br />
responsabilità del professore. Ad esempio, rivedendo anche gli esempi 7.4 a 7.16 possiamo notare<br />
che un testo scarno non indica per forza un falso problema. Vi sono alcuni problemi “normalizzati”,<br />
stereotipati, nel senso che ritornano nei sussidiari di generazione in generazioni, con ritocchi dovuti<br />
ad esempio al valore <strong>della</strong> moneta che cambia, e che potrebbero sembrare anch’essi esercizi<br />
camuffati. Ma è l’insegnante, con la sua conoscenza dei concetti <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> e la sua<br />
esperienza dei problemi di <strong>matematica</strong> che deve giudicare caso per caso.<br />
Si potrebbe anche essere tentati di credere che il carattere elementare delle conoscenze<br />
matematiche <strong>della</strong> scuola primaria non permette di proporre altro che falsi problemi o esercizi<br />
camuffati. Infatti, molti dei problemi che abbiamo proposto negli esempi 7.4 a 7.16 si risolvono in<br />
una o due operazioni, oppure risultano banali se si adoperano gli strumenti dell’algebra. Bisogna<br />
guardare invece alla scuola primaria come uno spazio di libertà nel quale si esplorano problemi<br />
12
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
estremamente semplici con strumenti semplici, procedendo per tentativi, mettendo all’opera i primi<br />
tentativi di schematizzare la situazione con un disegno, un diagramma, una notazione con lettere e<br />
nel quale si impara a discutere i problemi, iniziando dalla comprensione dell’enunciato, dalla difesa<br />
di una certa strategia, alla critica del risultato e all’eventuale modifica <strong>della</strong> strategia per evitare<br />
l’errore. Questo lavoro permetterà di apprezzare il valore del linguaggio algebrico nella scuola<br />
media inferiore, mantenendo nel contempo la mente aperta a problemi più complessi o che<br />
richiedono altre tecniche di risoluzione.<br />
ESERCIZIO 7. 6 Trovi i problemi fra quelli degli esempi 7. 4 a 7.16 suscettibili di una risoluzione con<br />
gli strumenti dell’algebra.<br />
È essenziale quindi proporre agli alunni veri e propri problemi. Alle volte è possibile<br />
identificare dei problemi nelle attività stesse che i bambini svolgono: bisogna ripartire le pizzette,<br />
oppure organizzare i turni, o mettersi in fila per due, oppure pagare un contributo per pagare<br />
l’autobus per andare in gita. Altre volte i problemi possono partire da un articolo di giornale letto<br />
dall’insegnante mentre sta arrivando a scuola. Ma anche i problemi scolastici dei sussidiari, i<br />
problemi “tradizionali” forniscono molti buoni esempi (tutti gli esemi 7.4 a 7.16, e molti problemi<br />
proposti nelle lezioni di questo corso provengono da buoni manuali scolastici).<br />
Ricordiamo per concludere le conseguenze negative di un atteggiamento rinunciatario nei<br />
confronti dell’attività di risoluzione dei problemi. Il continuo proporre e riproporre “falsi problemi”<br />
o “esercizi camuffati” può essere motivato, alle volte, dalla paura di far sperimentare ai bambini la<br />
paura, la “vertigine” di un problema vero. Vediamo alcuni tipiche idee e comportamenti dei<br />
bambini che sono proprio l’eco di questa paura, quando l’insegnante non ha lavorato su di essa,<br />
facendola diventare uno stimolo:<br />
– esiste un unico modo di risolvere un problema<br />
– ci vuole solo qualche minuto per risolvere un problema<br />
– ogni problema si risolve con una operazione (o forse due)<br />
– la chiave del successo nella risoluzione dei problemi sta in una parola chiave che<br />
appare nella domanda, che è l’ultima frase.<br />
La paura del problema si manifesta anche sotto altre vesti:<br />
– la convinzione che ci vuole un’idea immediata e geniale (quindi fuori <strong>della</strong> portata<br />
dello studente) e l’esclusione a priori dei tentativi<br />
– la rimozione di un fase molto importante nella risoluzione dei problemi, ossia la<br />
valutazione del risultato, eventualmente la verifica del risultato, che permette anche di<br />
riconsiderare il problema prima di riuscire a risolverlo: spesso gli studenti si<br />
nascondono sotto la frase: “non avevo tempo a disposizione per controllare”.<br />
7.4 I problemi con i bambini prima <strong>della</strong> scuola dell’obbligo<br />
Nel 1986 lo psicologo inglese Martin Hughes pubblicò un libro intitolato Children and<br />
number in cui presentava le ricerche da lui condotte, anche insieme ad altri collaboratori, relative<br />
alle concezioni numeriche dei bambini molto piccoli. Lo scopo di Hughes era quello di mettere in<br />
discussione le idee sostenute sulla scia <strong>della</strong> ricerca di Jean Piaget sul fatto che i bambini prima dei<br />
7 anni non avevano alcuna comprensione di due operazioni aritmetiche basilari: addizione e<br />
sottrazione. Hughes sottolineava che egli era stato in grado di emergere – e dovremmo aggiungere<br />
anche in grado di sviluppare e approfondire – la comprensione del numero da parte dei bambini<br />
molto piccoli proprio perché aveva creato occasioni di esperienza numerica che “avevano senso”.<br />
13
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
Ecco quanto racconta Hughes (p. 25-26):<br />
«Il mio personale interesse per l’addizione e per la sottrazione fu svegliato quasi per caso. Un<br />
giorno stavo giocano ad alcuni giochi numerici con un bimbo chiamato Gordon (4 anni e 8 mesi)<br />
dell’asilo nido del Dipartimento di Psicologia dell’Università di Edimburgo. Gli portai una scatola<br />
contenente mattoncini da contare, ma notai che era più interessato a togliere i mattoncini dalla scatola e<br />
rimetterli dentro. Mi apparve evidente che per lui questa situazione era intrinsecamente attrattiva, e<br />
decisi quindi di svilupparla oltre.<br />
Gordon aveva messo dieci mattoncini nella scatola. Le chiesi quanti mattoncini vi fossero lì. Egli<br />
li contò accuratamente, puntando i mattoncini ad uno ad uno. “Vi è dieci”, disse. Presi la scatola, tolsi<br />
tre mattoncini in modo tale che egli potesse vedere i mattoni rimossi ma non potesse vedere quanti<br />
fossero rimasti nella scatola, e chiusi il coperchio.<br />
MH: Ne ho estratto tre, Quanti sono rimasti<br />
G: Non lo so. Cinque<br />
MH: Dai un’occhiata e vedi (Apre la scatola)<br />
G: (Conta i mattoncini) Sette!<br />
MH: (Toglie un mattoncino e chiude di nuovo il coperchio) Ne ho estratto un altro. Quanti ne<br />
sono rimasti ora<br />
G: Non lo so. (Apre la scatola e conta) Sei.<br />
Decisi di semplificare il compito, e svuotai la scatola da tutti i mattoncini. Gordon osservava<br />
quanto misi due mattoncini di nuovo dentro e chiusi il coperchio.<br />
MH: Quanti ora nella scatola<br />
G: Due<br />
MH: (Aggiunge un mattoncino in modo tale che Gordon lo vede entrare dentro ma non lo può<br />
vedere dentro la scatola) Quanti ora<br />
G: Tre<br />
MH Sto ponendo un altro dentro (Aggiunge un altro ancora, allo stesso modo)<br />
G: Quattro. Quattro!<br />
MH: E ora sto ponendo dentro ancora due (Lo fa)<br />
G: Sei! Sei!<br />
MH: (Toglie un mattoncino) Quanti ora<br />
G: (Pausa) Cinque. Cinque!<br />
MH: (Toglie due ma non deve porre la domanda)<br />
G: Tre!<br />
MH: Vuoi vedere se avevi ragione (Apre la scatola)<br />
G: (Con le braccia spalancate) Guarda!<br />
Gordon era ovviamente intrigato dai problemi che gli stavo ponendo, e si eccitava assai quando<br />
pensava di aver la risposta giusta. Evidentemente egli accettava come genuino il problema di trovare<br />
cosa era nella scatola, e le sue risposte suggerivano che egli era capace di eseguire alcune semplici<br />
addizione e sottrazioni. È palese che aveva avuto un po’ di difficoltà con i problemi iniziali, ma egli<br />
riuscì facilmente a risolvere i successivi quando i numeri coinvolti erano minori.»<br />
Il compito <strong>della</strong> scatola (the Box task) escogitato da Hughes a partire dalla sua attenzione al<br />
bambino presenta tutte le caratteristiche di un problema (egli difatti usa la parola “problema” per<br />
riferirsi ai quesiti), seppure estremamente semplice e con un enunciato non scritto, ma proposto in<br />
forma orale e legato a oggetti materiali e a gesti fisici: una sfida, che non appare immediatamente<br />
raggiungibile, la quale richiede la riflessione sul quesito e lo sviluppo di un piano, di una strategia.<br />
Come l’insegnante che segue le indicazioni di Polya, egli ha saputo scegliere un problema<br />
“proporzionato alle conoscenze” di Gordon, glielo ha saputo proporre in modo da sollevare il suo<br />
interesse e infine lo ha aiutato a risolvere quel problema e altri simili con domande opportune.<br />
14
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
ESERCIZIO 7. 6 Formuli i compiti proposti a Gordon come problemi, individui i concetti matematici coinvolti<br />
e confronti la descrizione di Hughes con lo schema di soluzione di Polya. Quale è la sfida, ciò che ostacola il<br />
raggiungimento immediato <strong>della</strong> soluzione<br />
Nel seguito Hughes propose compiti analoghi a un gruppo di ventitrè bambini dello stesso<br />
asilo nido di età oscillanti fra 2 anni e 9 mesi e 4 anni e 2 mesi, ottenendo reazioni e risposte dello<br />
stesso tenore anche fra i più piccoli. I bambini scuotevano la scatola per sentire i mattoncini,<br />
amavano aprire la scatola per verificare se la loro risposta alla domanda era giusta, e nel contempo<br />
rispondevano alla domanda senza poter vedere i mattoncini. Fra i bambini che mostrarono maggiore<br />
capacità, egli cita il caso di Richard (4 anni e 9 mesi) che rispose correttamente ai problemi<br />
seguenti: cinque mattoncini e uno in più, sei e due in più, un mattoncino tolto da otto, due tolti da<br />
sette, e tre mattoncini tolti da cinque (p. 27):<br />
«Ciò lasciò nella scatola due mattoncini. Decisi di premerlo su una sottrazione apparentemente<br />
impossibile.<br />
MH: Ora voglio togliere dalla scatola tre mattoncini.<br />
R: Non puoi, vero<br />
MH: Perché no<br />
R: Devi giusto metterci uno dentro, vero<br />
MH: Mettere uno dentro<br />
R: Sì, e allora puoi togliere tre.<br />
Richard aveva chiaramente la situazione sotto totale controllo e rifiutava di essere spiazzato<br />
dalla richiesta impossibile. Anzi, la sua risposa all’ultima domanda mostrava che egli era capace di<br />
eseguire due calcoli mentali in successione: la addizione di un mattone a due mattoni, e la susseguente<br />
eliminazione di tutti e tre i mattoni.»<br />
Esercizio 7.7 Formuli i compiti proposti a Richard come problemi, individui i concetti matematici coinvolti<br />
e confronti la descrizione di Hughes con lo schema di soluzione di Polya. Consideri in particolare la<br />
condizione posta dall’ultimo problema formulato da Hughes (suggerimento: È possibile soddisfare le<br />
condizioni)<br />
7.5 Tradizione e innovazione <strong>didattica</strong> nella <strong>matematica</strong> scolastica: il problema<br />
delle patate<br />
Abbiamo accennato alla fine <strong>della</strong> sezione 7.1 al fatto che i problemi “tradizionali” sono<br />
stati per un lungo periodo negli anni Settanta e Ottanta, considerati un retaggio del passato da<br />
superare, e da sostituire con aspetti <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> moderna, come gli insiemi oppure l’algebra.<br />
Alla fine <strong>della</strong> sezione 7.2 abbiamo anche accennato al fatto che anche i problemi <strong>della</strong> geometria,<br />
considerati classicamente come la preparazione alla <strong>matematica</strong> colta, sono stati in quegli stessi<br />
anni considerati un retaggio da superare, un’“anticaglia”: si faceva spesso l’esempio dei tanti<br />
problemi riguardanti i triangoli e i loro punti e rette notevoli (baricentro, altezza, e così via), che<br />
bisognava sostituire con questioni più moderne. Queste esigenze di innovazione erano molto legate<br />
alle profonde trasformazioni sperimentate dalla <strong>matematica</strong>, sia nei contenuti che nei metodi, nella<br />
prima metà del Novecento, le quali si erano ormai “cristallizzate” e imponevano un'esigenza di<br />
rinnovamento anche ai diversi livelli dell'insegnamento. In quegli anni si fece sentire l'influsso del<br />
modo di porsi davanti alla <strong>matematica</strong> caratteristico del gruppo di matematici francesi “Bourbaki”,<br />
nonché dei risultati delle ricerche e dei volumi pubblicati da questo gruppo. La famosa<br />
esclamazione di uno di essi, Jean Dieudonné, “abbasso Euclide!”, riflette lo spirito del<br />
rinnovamento auspicato.<br />
15
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
Anche la risoluzione dei problemi, che formava parte tradizionalmente <strong>della</strong> <strong>matematica</strong><br />
scolastica, sembrava destinata a scomparire oppure a subire una profonda trasformazione. Tuttavia,<br />
nella scuola la <strong>matematica</strong> moderna o “insiemistica” provocò enormi difficoltà per gli studenti e<br />
polemiche e discussioni fra genitori, educatori e teorici. Quindi, a partire dagli anni Novanta si<br />
tornò a difendere i problemi tradizionali e a rivalutare la geometria elementare e i suoi problemi. A<br />
questo punto, però, dei problemi tradizionali sono stati sottolineati due aspetti:<br />
– il primo è il valore pratico dei problemi, non già nelle attività tecniche e pratiche, ma nella<br />
vita quotidiana del cittadino. Secondo i difensori di questo punto di vista, i problemi danno un senso<br />
all’insegnamento <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> nella scuola dell’obbligo il cui scopo è soltanto quello di fornire<br />
gli strumenti necessari al futuro cittadino, per leggere i giornali, per capire i meccanismi elettorali,<br />
per valutare l’interesse e le spese del conto in banca, per pagare le tasse, per interpretare una cartina,<br />
per giocare consapevolmente la schedina e così via. Questa è la <strong>matematica</strong> del cittadino, la<br />
<strong>matematica</strong> delle percentuali (un tipico gruppo dei problemi di proporzionalità) dei cui limiti ci<br />
siamo occupati nella lezione 2. Nel corso di questa lezione abbiamo visto che il ruolo dei problemi<br />
nell’insegnamento <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> va ben oltre il loro aspetto utilitario.<br />
– il loro valore “cognitivo” dei problemi, ossia il suo ruolo per sviluppare presunte abilità<br />
cognitive pure (le competenze), le quali sarebbe il nucleo dell’educazione, la quale deve girare<br />
attorno alle competenze e non attorno alle delimitazioni tradizionali delle discipline. Secondo<br />
questo punto di vista, si risolvono problemi di <strong>matematica</strong> non per assimilare i concetti basilari <strong>della</strong><br />
<strong>matematica</strong>, come numero, frazione, divisione, retta, intersezione e così via, ma per sviluppare le<br />
competenze che ruotano attorno al cosiddetto “problem solving”. La <strong>matematica</strong>, quindi, non è una<br />
delle discipline che contribuiscono alla formazione <strong>della</strong> mente, ma si deve dissolvere in<br />
formazione <strong>della</strong> mente, insieme alle altre discipline.<br />
Queste oscillazioni nella visione dell’insegnamento <strong>della</strong> <strong>matematica</strong>, e soprattutto i rischi<br />
che la distorsione <strong>della</strong> tradizione e <strong>della</strong> perdita del buon senso comportano per la qualità<br />
dell’istruzione, sono ben illustrate, in chiave di humour, da una vecchia storia, che è circolata anche<br />
in Francia nel passato, e che è stata rispolverata fra gli insegnanti spagnoli, e anche ripresa dal<br />
giornale «ABC» nel suo ABC de la educación (“El problema de las patatas”, ABC, martedì<br />
31/10/95, p. 77). Con questa storiella concludiamo la lezione: essa presenta varie “formulazioni” di<br />
uno stesso problema matematico elementare negli anni 1965-75, che corrispondono alle varie<br />
sollecitazioni di cui abbiamo parlato, alcune interne alla <strong>matematica</strong> (l’introduzione del linguaggio<br />
matematico “moderno”) e altre culturali, derivate anche dall’influsso delle tendenze nella pedagogia<br />
e nelle scienze umane (la tendenza a sostituire il vecchio insegnamento selettivo con quello<br />
comprensivo, allungando la scolarizzazione obbligatoria, e la conseguente trasformazione <strong>della</strong><br />
<strong>matematica</strong> scolastica in <strong>matematica</strong> del cittadino) le conoscenze acquisite possano essere utilizzate<br />
effettivamente nelle circostanze reali <strong>della</strong> vita dello studente — e politiche.<br />
16
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
Nel 1960<br />
Un contadino vende un sacco di patate per 1000 pesetas. Le sue spese di produzione<br />
ammontano ai 4/5 del prezzo di vendita. Qual'è il suo guadagno<br />
Nel 1970, insegnamento “tradizionale”<br />
Un contadino vende un sacco di patate per 1000 pesetas. Le sue spese di produzione<br />
ammontano ai 4/5 del prezzo di vendita, e cioè a 800 pesetas. Qual'è il suo guadagno<br />
Nel 1970, insegnamento “moderno” (LGE)<br />
Un contadino scambia un insieme P di patate contro un insieme M di monete. La<br />
cardinalità dell'insieme M è uguale a 1000 pesetas, e ogni elemento PM vale una peseta.<br />
Disegna 1000 grossi punti che rappresentino gli elementi dell'insieme M. L'insieme F delle<br />
spese di produzione è formato da 200 grossi punti in meno di quello dell'insieme M.<br />
Rappresenta l'insieme F come sottoinsieme dell'insieme M e rispondi alla questione<br />
seguente: Qual'è la cardinalità dell'insieme B dei benefici Disegnare B in colore rosso.<br />
Nel 1980, insegnamento “rinnovato”<br />
Un contadino vende un sacco di patate per 1000 pesetas. Le sue spese di produzione<br />
ammontano a 800 pesetas e il suo guadagno è di 200 pesetas. Sottolinea la parola «patata» e<br />
discutine con il tuo compagno.<br />
Tentativi sperimentali <strong>della</strong> riforma<br />
Un borghese di campagna, capitalista senza spirito di solidarietà, si è arricchito con 200<br />
pesetas nel vendere speculando un sacco di patate. Analizza il testo e di seguito dì quel che<br />
pensi di questo abuso antidemocratico.<br />
Nel 1990, insegnamento riformato (LOGSE)<br />
Dopo l'ingresso <strong>della</strong> Spagna nel Mercato Comune Europeo, gli agricoltori non possono<br />
fissare liberamente il prezzo di vendita delle patate. Supponendo che vogliano vendere un<br />
sacco di patate per 1000 pesetas, fai un sondaggio per determinare il volume <strong>della</strong> domanda<br />
potenziale di patate nel nostro paese e l'opinione sulla qualità delle nostre patate in rapporto<br />
a quelle importate da altri paesi, e come tutto il processo di vendita sarebbe soggetto ad<br />
alterazioni se i sindacati convocassero uno sciopero generale. Completa questa ricerca<br />
analizzando gli elementi del problema, mettendo in rapporto gli elementi fra di loro e<br />
cercando il principio del rapporto fra questi elementi. Per finire, fai un quadro di doppio<br />
ingresso, indicando in orizzontale, in alto, i nomi dei gruppi citati, e, sotto, in verticale,<br />
diversi modi di cucinare le patate.<br />
Nota: LGE significa Legge generale di educazione: si tratta di una riforma <strong>della</strong> scuola risalente all’anno<br />
1970, ancora in epoca franchista, che impose un rinnovamento di tipo insiemistico molto astratto (questi<br />
eccessi sono stati per lo più addolciti dalla pratica e dal buon senso degli insegnanti). Nel 1990 fu promulgata<br />
dal governo socialista una nuova legge generale di educazione (LOGSE), la prima dell'epoca democratica,<br />
concentrata sull’idea <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> del cittadino.<br />
17
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
Esercizi<br />
1) Quale è stata la forma di trasmissione caratteristica del sapere matematico pratico<br />
2) Quali testi sono gli eredi odierni delle antiche collezioni di problemi<br />
3) L’anno 2000, l’ultimo del Novecento, fu dichiarato Anno Internazionale <strong>della</strong> <strong>Matematica</strong><br />
dall’Unione <strong>Matematica</strong> Internazionale (IMU, International Mathematical Union) con il patrocinio<br />
dell’UNESCO. Queste sono le motivazioni presentate nella risoluzione approvata dall’assemblea<br />
generale dell’UNESCO l’11 Novembre 1997 per sostenere tale iniziativa:<br />
«L’assemblea plenaria,<br />
considerando l’importanza centrale <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> e delle sue applicazioni nel mondo di<br />
oggi per quanto riguarda la scienza, la tecnologia, le comunicazioni, l’economia e molti altri<br />
settori,<br />
consapevole che la <strong>matematica</strong> ha radici profonde in molte culture e che pensatori fra i più<br />
notevoli hanno contribuito significativamente nel corso di vari millenni al suo sviluppo,<br />
consapevole che il linguaggio e i valori <strong>della</strong> <strong>matematica</strong> sono universali, incoraggiando così e<br />
rendendola adatta in modo ideale alla cooperazione internazionale,<br />
sottolineando il ruolo chiave dell’educazione <strong>matematica</strong>, in particolar modo nei livelli <strong>della</strong><br />
scuola primaria e secondaria, sia per la comprensione dei concetti matematici di base, sia per<br />
lo sviluppo del pensiero razionale,<br />
[…] decide di sostenere l’iniziativa World Mathematical Year 2000» 1 *<br />
Commenti questa dichiarazione alla luce <strong>della</strong> riflessione condotta in questa lezione.<br />
4) Ritorni a considerare, alla luce dello schema di risoluzione di Polya, i vari problemi esaminati<br />
nelle lezioni 5 e 6.<br />
1 Versione originale inglese:<br />
«The General Conference<br />
Considering the central importance of mathematics and its applications in<br />
today's world with regard to science, technology, communications, economics<br />
and numerous other fields,<br />
Aware that mathematics has deep roots in many cultures and that the most<br />
outstanding thinkers over several thousand years contributed significantly<br />
to their development, and numerous other fields,<br />
Aware that the language and the values of mathematics are universal, thus<br />
encouraging and making it ideally suited for international cooperation,<br />
Stressing the key role of mathematics education, in particular at primary<br />
and secondary school level, both for the understanding of basic mathematical<br />
concepts and for the development of rational thinking,<br />
Welcomes the initiative of the International Mathematical Union (IMU) to<br />
declare the year 2000 the World Mathematical Year and carry out, within this<br />
framework, activities to promote Mathematics at all levels world-wide,<br />
Decides to support the World Mathematical Year 2000 initiative»<br />
18
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA<br />
Ana Millán Gasca<br />
Esempio 5.2 (il problema del camion); il problema delle lampadine (riquadro Pigrizia e <strong>matematica</strong><br />
<strong>della</strong> lezione 5), esercizi 10, 11,12, 13, 26, 27, 28 <strong>della</strong> lezione 5; esempio 6.1, esercizi 1, 15 e 16<br />
<strong>della</strong> lezione 6 (e i problemi svolti in aula durante il corso).<br />
5) Provi a simulare una spiegazione dei seguenti problemi per la classe quinta, usando il metodo di<br />
riduzione all’unità:<br />
a) Tre scatole uguali di caramelle al miele pesano 1,5 kg. Quanto pesano cinque scatole uguali<br />
a queste<br />
b) Giorni fa la mamma ha pagato un etto e mezzo di prosciutto 3 euro. Quanto spenderà oggi<br />
per due etti e mezzo se il prezzo non è cambiato<br />
c) Un rubinetto aperto 5 minuti fa aumentare il livello di un deposito di 20 cm. Quanto<br />
aumenterà il livello se si tiene aperto il rubinetto 15 minuti<br />
d) In un paese, l’anno scorso, sono nati 28 bimbi in media ogni settimana. Quanti bambini<br />
possiamo attendere per il prossimo trimestre<br />
e) Una macchina fabbrica 20 pezzi all’ora. Quanti pezzi fabbricherà in una giornata di 8 ore<br />
Quanto ci metterà a fabbricare 15 pezzi E 150 pezzi<br />
f) Una macchina ha impiegato 4 ore a percorrere una distanza di 280 km. Quanti kilometri<br />
percorrerà presumibilmente in 5 ore Quanto impiegherà a percorrere 420 km<br />
Non scriva proporzioni né usi l’algebra!<br />
Quali conoscenze sono impiegate nei problemi a), c), f)<br />
Oltre al ragionamento proporzionale, quali altre idee sono usate in d) e f)<br />
Classifichi i problemi tenendo presente il loro argomento.<br />
6) Provi a simulare una spiegazione dei seguenti problemi per la classe quinta, usando il metodo di<br />
riduzione all’unità:<br />
a) Tre rubinetti uguali sono disponibili per riempire un deposito. Se apro uno di essi, il<br />
deposito si riempie in 12 minuti. Quanto tempo ci vuole per riempire il deposito aprendo<br />
due rubinetti E se tutti e tre sono aperti<br />
b) Tre operai tagliano un campo d’erba in 2 ore. Quanto tempo impiegano quattro operai<br />
c) Un furgoncino impiega 5 ore per andare dalla città A alla città B a una velocità di 100 km/h.<br />
Quanto tempo impiega un camion che circola a 50 km/h. Quanto impiegherà una macchina a<br />
120 km/h<br />
7) Costruisca una tabella di valori proporzionali per uno sconto del 12 %.<br />
Totale 100 200 300 500 1 000 50 25 10 30<br />
Sconto<br />
8) Usi un metodo per tentativi o pure un metodo di riduzione all’unità per risolvere i seguenti<br />
problemi:<br />
a) “Un albergo ha 400 stanze, di cui sono occupate 280. Quale è la percentuale di<br />
occupazione dell’albergo”<br />
b)“I 12 maschi di una classe rappresentano il 40% del totale di alunni. Quanti sono in classe,<br />
fra maschi e femmine<br />
c) Un PC costa 800 euro, ma mi fanno uno sconto del 15%. Quanto devo pagare<br />
9) Lo zero: la sua storia e il suo significato all’interno del sistema dei numeri nella <strong>matematica</strong>.<br />
19