Matematica e didattica della matematica

MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
Individuare le incognite e associare ad ognuna di esse una lettera (spesso x, y, z) è guardare il
problema dal punto di vista dell’algebra. Una volta individuate le incognite, l’enunciato del
problema esprime una o più condizioni relative a tale incognite: tradurre il problema in equazioni è
scrivere tale condizioni sotto forma di una o più uguaglianze usando le lettere e i numeri coinvolti
nel problema, oltre ai simboli delle operazioni e al simbolo =. L’algebra classica si occupa proprio
della risoluzione delle equazioni e dei sistemi di equazioni con una o più incognite.
L’algebra è quindi una branca della matematica che fu creata per risolvere i problemi della
matematica pratica. Il fondatore dell’algebra fu Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (conosciuto
anche dal nome latinizzato, Algorismi, origine della parola “algoritmo”), un matematico e
astronomo molto importante di Bagdad all’epoca del califfo al-Ma’mun (813-833). Questo
matematico di origini persiane, che scriveva in arabo (la lingua colta nei paesi dell’Islam), aveva
una profonda conoscenza della matematica greca, ma si occupò anche di matematica pratica. Egli
scrisse dapprima un libro per illustrare la scrittura dei numeri con il sistema di numerazione
posizionale alla maniera indiana e i relativi algoritmi. Poi si occupò della risoluzione di problemi
pratici, tentando di superare la tradizione basata sulle istruzioni applicate a singoli casi particolari e
impostando il problema da un punto di vista generale: individuare l’incognita e tradurre la
condizione del problema in un’equazione. Egli espose questo nuovo punto di vista in un libro
dedicato a ciò che egli stesso descrisse come la “scienza delle riduzioni e delle comparazioni”, in
arabo ilm al-giabr za l-muqabala, che impiega un termine, giabr, usato dapprima nella terminologia
medico-chirurgica (si veda il riquadro “L’algebra di al-Hwarizimi”, All’inizio fu lo scriba, cap. 4,
pp. 50-51). All’inizio del libro al-Hwarizmi scrisse:
«Ho scritto, nel campo del calcolo con il giabr, un trattato che comprende le più fini e le più
nobili operazioni di calcolo di cui gli uomini hanno bisogno per la ripartizione delle eredità e delle
donazioni, per le spartizioni e i giudizi, per le transazioni commerciali e per tutte le operazioni che
hanno fra di loro, relative all’agrimensura, alla ripartizione dell’acqua dei fiumi, all’architettura e altre
cose.»
ESERCIZIO 7.4 Applichi al problema che lei ha considerato nell’esercizio 7.1 e al problema proposto
nell’esercizio 7.2 il punto di vista dell’algebra: individui l’incognita e traduca il problema in equazione. Che
tipo di equazione ha ottenuto
In termini algebrici, se x e y sono le due grandezze direttamente proporzionali (misurate
secondo una certa unità di misura), si ha:
x
y = k
e il numero k è la costante di proporzionalità.
Negli anni Sessanta e Settanta l’importanza assegnata allo studio dell’algebra è aumentata,
con una preferenza però per gli aspetti ! più astratti dell’algebra, come ad esempio lo studio dei
polinomi e delle operazione fra di loro o lo studio dei sistemi di equazioni. Di conseguenza, i
problemi “tradizionali” sono stati lasciati un po’ da parte, sia nella risoluzione aritmetica ad
esempio usando la regola del tre, sia usando l’algebra. Negli ultimi anni si è registrata una tendenza
a tornare alla risoluzione dei problemi, per un insieme di motivi: per il loro valore formativo nel
“dare un senso” ai concetti matematici; per il loro valore generale nella formazione delle abilità
euristiche (ossia per la ricerca di una verità o della risposta a un quesito, anche per tentativi, in
contrasto con la dimostrazione di una verità); e, infine, per il loro potenziale valore pratico nella
formazione di base di un cittadino.
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