Matematica e didattica della matematica

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MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Ana Millán Gasca Individuare le incognite e associare ad ognuna di esse una lettera (spesso x, y, z) è guardare il problema dal punto di vista dell’algebra. Una volta individuate le incognite, l’enunciato del problema esprime una o più condizioni relative a tale incognite: tradurre il problema in equazioni è scrivere tale condizioni sotto forma di una o più uguaglianze usando le lettere e i numeri coinvolti nel problema, oltre ai simboli delle operazioni e al simbolo =. L’algebra classica si occupa proprio della risoluzione delle equazioni e dei sistemi di equazioni con una o più incognite. L’algebra è quindi una branca della matematica che fu creata per risolvere i problemi della matematica pratica. Il fondatore dell’algebra fu Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (conosciuto anche dal nome latinizzato, Algorismi, origine della parola “algoritmo”), un matematico e astronomo molto importante di Bagdad all’epoca del califfo al-Ma’mun (813-833). Questo matematico di origini persiane, che scriveva in arabo (la lingua colta nei paesi dell’Islam), aveva una profonda conoscenza della matematica greca, ma si occupò anche di matematica pratica. Egli scrisse dapprima un libro per illustrare la scrittura dei numeri con il sistema di numerazione posizionale alla maniera indiana e i relativi algoritmi. Poi si occupò della risoluzione di problemi pratici, tentando di superare la tradizione basata sulle istruzioni applicate a singoli casi particolari e impostando il problema da un punto di vista generale: individuare l’incognita e tradurre la condizione del problema in un’equazione. Egli espose questo nuovo punto di vista in un libro dedicato a ciò che egli stesso descrisse come la “scienza delle riduzioni e delle comparazioni”, in arabo ilm al-giabr za l-muqabala, che impiega un termine, giabr, usato dapprima nella terminologia medico-chirurgica (si veda il riquadro “L’algebra di al-Hwarizimi”, All’inizio fu lo scriba, cap. 4, pp. 50-51). All’inizio del libro al-Hwarizmi scrisse: «Ho scritto, nel campo del calcolo con il giabr, un trattato che comprende le più fini e le più nobili operazioni di calcolo di cui gli uomini hanno bisogno per la ripartizione delle eredità e delle donazioni, per le spartizioni e i giudizi, per le transazioni commerciali e per tutte le operazioni che hanno fra di loro, relative all’agrimensura, alla ripartizione dell’acqua dei fiumi, all’architettura e altre cose.» ESERCIZIO 7.4 Applichi al problema che lei ha considerato nell’esercizio 7.1 e al problema proposto nell’esercizio 7.2 il punto di vista dell’algebra: individui l’incognita e traduca il problema in equazione. Che tipo di equazione ha ottenuto In termini algebrici, se x e y sono le due grandezze direttamente proporzionali (misurate secondo una certa unità di misura), si ha: x y = k e il numero k è la costante di proporzionalità. Negli anni Sessanta e Settanta l’importanza assegnata allo studio dell’algebra è aumentata, con una preferenza però per gli aspetti ! più astratti dell’algebra, come ad esempio lo studio dei polinomi e delle operazione fra di loro o lo studio dei sistemi di equazioni. Di conseguenza, i problemi “tradizionali” sono stati lasciati un po’ da parte, sia nella risoluzione aritmetica ad esempio usando la regola del tre, sia usando l’algebra. Negli ultimi anni si è registrata una tendenza a tornare alla risoluzione dei problemi, per un insieme di motivi: per il loro valore formativo nel “dare un senso” ai concetti matematici; per il loro valore generale nella formazione delle abilità euristiche (ossia per la ricerca di una verità o della risposta a un quesito, anche per tentativi, in contrasto con la dimostrazione di una verità); e, infine, per il loro potenziale valore pratico nella formazione di base di un cittadino. 6
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Ana Millán Gasca 7.2 Il problema come chiave della ricerca nella matematica greca La parola «problema» è usata oggi in molti contesti (non solo in matematica) e con molti significati. Nell’uso comune, spesso fa riferimento a un ostacolo, a una difficoltà. Alcune volte, ad esempio nelle scienze sociali, viene attribuita ad essa un significato estremamente generale: si dice che ogni attività umana è un risolvere problemi, identificando così “problema” con “compito” o “attività” da svolgere e identificando il “risolvere problemi” con le decisioni che un essere umano prende e le operazioni che esegue per svolgere tale compito o attività. In tempi recenti, le scienze cognitive hanno rivolto molta attenzione ai processi mentali che sono coinvolti nella soluzione di problemi matematici e no. Torniamo però alle origini, all’etimologia di questa parola, per capire meglio il suo significato nell’ambito nel quale è stata usata originariamente, ossia in matematica. Problema è una parola di origine greca, che deriva da un verbo greco che significa “mettere avanti, proporre”. Un problema è una questione proposta, un quesito di cui si richiede la soluzione, partendo di solito da elementi noti. La matematica greca si è sviluppata accumulando idee, concetti e metodi volti a risolvere problemi come il seguente, che risale a Ippocrate di Chio, un autore del V secolo a.C. È possibile trovare o costruire un quadrato di area uguale alla seguente figura a forma di lunula Negli Elementi di Euclide si chiamano problemi tutte quelle proposizioni o quesiti che richiedono di determinare o costruire punti o figure geometriche che soddisfino condizioni specificate: sono i problemi di costruzione o di determinazione. Per esempio: Costruire un triangolo equilatero su una retta finita data (Libro I, prop. 1) Porre in un punto dato una retta uguale a una retta data (Libro I, prop. 2) Dividere in due parti un angolo rettilineo dato (Libro I, prop. 9) Dividere in due parti una retta finita data (Libro I, prop. 10) Tracciare una linea retta perpendicolare a una retta infinita data da un punto che non sia in essa (Libro I, prop. 12) Costruire un quadrato uguale a una figura rettilinea data (Libro II, prop. 14) Tutti i problemi che si trovano negli Elementi di Euclide sono risolubili con riga e compasso, ossia richiedono soltanto il tracciamento e la mutua intersezione di rette e circonferenze. Anche questi problemi della geometria classica si possono esprimere con il linguaggio dell’algebra: ad esempio, i problemi della geometria piana si esprimono con il linguaggio dell’algebra associando ad ogni punto del piano una coppia di coordinate cartesiane (x,y). Quindi la condizione di un problema risolubile con riga e compasso si può esprimere attraverso un’equazione algebrica di secondo grado. Nell’idea greca di problema di costruzione si trova un’eco dei quesiti della matematica pratica di tipo geometrico (tracciato o disegno di punti, rette e figure, equivalenza di figure ossia uguaglianza di aree), ma il punto di vista si trasforma radicalmente. Nel tipo di quesiti considerati dai geometri greci scompare l’aspetto pratico o utile. Diventano invece essenziali due altri aspetti. In primo luogo, viene esaltato l’aspetto di “sfida alla ragione” della domanda posta: 7
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